最新浙江省嘉善县新世纪学校高中数学 2.3.1直线与平面垂直的判定课时作业 新人教A版必修2名师精编资料汇编

第二章 2.3 2.3.3直线与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是 ( C )A．平行B．异面C．垂直D．不相交[解析] ∵α∥β，b⊥β，∴b⊥α.又∵a∥α，∴b⊥a.2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面. ( C )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β[解析] ∵m∥n，m⊥α，则n⊥α，故选C．3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC 所在平面，那么 ( C )A．PA＝PB＞PC B．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PC D．PA≠PA≠PC[解析] ∵PM⊥平面ABC，MC⊂平面ABC，∴PM⊥MC，PM⊥AB.又∵M为AB中点，∠ACB＝90°，∴MA＝MB＝MC.∴PA＝PA＝PC.4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G、H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是 ( B )A ．EF ⊥平面αB ．EF ⊥平面βC ．PQ ⊥GED ．PQ ⊥FH[解析] 因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG ⊥PQ .若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF ⊥PQ .又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH ，故选B ．5．下列命题正确的是 ( A ) ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α. A ．①② B ．①②③C ．②③④D ．①②④[解析] 由性质定理可得(1)(2)正确．6．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 ( A )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 [解析] ∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥AC ，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C .而AP ⊥BD 1，∴AP ⊂平面AB 1C .又P ∈平面BB 1C 1C ，∴P 点轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C .故选A ． 二、填空题7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为__4__.[解析] 如图，设AB 的中点为M ，分别过A 、M 、B 向α作垂线，垂足分别为A 1、M 1、B 1，则由线面垂直的性质可知，AA 1∥MM 1∥BB 1，四边形AA 1B 1B 为直角梯形，AA 1＝3，BB 1＝5，MM 1为其中位线，∴MM 1＝4.8．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积是__23__. [解析] 如图，由已知得PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ， ∴PA ⊥平面PBC .又PB ⊥PC ，PB ＝PC ，BC ＝2， ∴PB ＝PC ＝ 2.∴V P －ABC ＝V A －PBC ＝13PA ·S △PBC ＝13×2×12×2×2＝23.三、解答题9．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A1C⊥平面BB1D1D.[解析] ∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.又底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝2，且AC＝2，∴AC2＝AA21＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D.10.如右图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB ∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．[解析] (1)连接C1D.∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.∵AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.又AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1.又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)如图，连接AD1、AE、D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN.∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，又M是AD1的中点，∴N是AE的中点．又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.即E是DC的中点．综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.B级素养提升一、选择题1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则 ( C )A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直2．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的命题是 ( D )A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°[解析] A中，△A1BD为等边三角形，∴四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；易知CD1∥BA1，CB1∥DA1，又CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，又BA1∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，利用排除法选D．3．如图所示，PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥BC.其中正确的个数为 ( C )A．1 B．2 C．3 D．4[解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BC .∵PA 垂直于⊙O 所在的平面，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥AF ，∴③正确．又AF ⊥PC ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB ，∴①正确．又AE ⊥PB ，∴PB ⊥平面AEF ，∴EF ⊥PB ，∴②正确．若AE ⊥BC ，则由AE ⊥PB ，得AE ⊥平面PBC ，此时E 、F 重合，与已知矛盾，∴④错误．故选C ．二、填空题4．已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝2，AC ＝BC ＝1，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为__6π__.[解析] 如图所示取PB 的中点O ，∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC .∴OA ＝12PB ，OC ＝12PB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OP ，故O 为外接球的球心．又PA ＝2，AC ＝BC ＝1， ∴AB ＝2，PB ＝6， ∴外接球的半径R ＝62. ∴V 球＝43πR 3＝4π3×(62)3＝6π.5．△ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且它们在α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为__3 cm__.[解析] 如图，设A 、B 、C 在平面α上的射影分别为A ′、B ′、C ′，△ABC 的重心为G ，连接CG 并延长交AB 于中点E ， 又设E 、G 在平面α上的射影分别为E ′、G ′，则E ′∈A ′B ′，G ′∈C ′E ′，EE ′＝12(A ′A ＋B ′B )＝52，CC ′＝4，CG ︰GE ＝2︰1，在直角梯形EE ′C ′C 中，可求得GG ′＝3.C 级 能力拔高1．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.[解析] (1)由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC . 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C .(2)因为棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1，又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以B 1C ⊥AC .因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C . 因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC . 又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°.G 为线段PC 上的点.(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值； (3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG GC的值． [解析] (1)设点O 为AC 、BD 的交点． 由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 垂直平分线段AC . 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥BD . 又PA ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面APC .(2)连接OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面PAC 所成的角．由题意得OG ＝12PA ＝32.在△ABC 中，因为AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，AO ＝CO ，所以∠ABO ＝12∠ABC ＝60°，所以AO ＝OC ＝AB ·sin60°＝ 3. 在Rt △OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2. 在Rt △OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433. 所以DG 与平面APC 所成角的正切值为433.(3)因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG . 在Rt △PAC 中，PC ＝32＋32＝15.所以GC ＝AC ·OC PC ＝2155. 从而PG ＝3155，所以PG GC ＝32.。

浙江省嘉善县新世纪学校高中数学 2.2.3直线与平面平行的性质习题 新人教A 版必修2
3. 平行四边形EFGH 的四个顶点H G F E 、、、 分别在空间四边形ABCD 的四条边AD CD BC AB 、、、上，又FG EH //，则（ ）.
A.BD EH //，BD 不平行于FG
B.BD FG //，EH 不平行于BD
C.BD EH //，BD FG //
D.以上都不对
4. a 和b 是异面直线，则经过b 可作___个平面与直线a 平行.
5. 异面直线b a ,都和平面α平行，且它们和平面α内的同一条直线的夹角分别是 45和 60，则a 和b 的夹角为______. 能力提升
7. 如图7- 6，在A B C ∆所在平面外有一点P ，E D 、分别是PB 与AB 上的点，过E D 、作平面平行于BC ，试画出这个平面与其它各面的交线，并说明画法的依据.
图7-6
8. 已知异面直线CD AB ,都平行于平面α，且CD AB 、在α两侧，若BD AC ，与平面α相交于N M 、两点，求证：
ND BN MC AM =.。

2．3.1 直线与平面垂直的判定一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．如果直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是( ) A．l⊂α B．l⊥αC．l∥α D．l⊂α或l∥α2．下列说法中正确的个数是( )①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.A．4 B．2 C．3 D．13．在正方体ABCD­ A1B1C1D1中，下面结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1DD．异面直线AD与CB1所成的角为45°4．如图L2­3­1所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )图L2­3­1A．平行 B．垂直相交C．垂直但不相交 D．相交但不垂直5．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列结论中不正确的是( )A．若c⊥α，α∥β，则c⊥βB．若a⊥b，b⊂β，c是a在β内的射影，则b⊥cC．若b∥c，b⊂α，c⊄α，则c∥αD．若a∥α，b⊥a，则b⊥α6．给出互不相同的直线m，n，l和平面α，β，则下列四个结论中正确的个数是( )①若m⊂α，l∩α＝A，A∉m，则l与m不共面；②若m，l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β；④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m.A．1 B．2 C．3 D．47．如图L2­3­2所示，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )图L2­3­2A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．如图L2­3­3所示，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件______________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)图L2­3­3图L2­3­49．如图L2­3­4所示，在正方体ABCD­ A1B1C1D1中，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为________．10．如图L2­3­5所示，在正三棱锥A­BCD中，E，F分别为BD，AD的中点，EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成的角为________．图L2­3­5 图L2­3­611．如图L2­3­6所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC ＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)得分12．(12分)如图L2­3­7所示，在四棱锥P­ ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AD＝2，PA＝2，PD＝2 2，求证：AD⊥平面PAB.图L2­3­713．(13分)如图L2­3­8所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC上的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.图L2­3­814．(5分)正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.6315．(15分)如图L2­3­9所示，已知点M，N分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，A1B1的中点，P是底面ABCD的中心．求证：(1)MN∥平面PB1C；(2)D1B⊥平面PB1C.图L2­3­92．3 直线、平面垂直的判定及其性质2．3.1 直线与平面垂直的判定1．D [解析] l可在平面α内也可在平面α外，在平面α外时l∥α.2．B [解析] 对于①②不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以①②是错误的；易知③④是正确的．3．C [解析] 由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45°，所以D正确．4．C [解析] 连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD 不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．5．D [解析] 对于选项D，可能还有b∥α或b与α相交的情况．6．C [解析] 由异面直线的定义，易知①正确；由线面平行的性质知，存在直线l′⊂α，m′⊂α，使得l∥l′，m∥m′，∵m，l是异面直线，∴l′与m′是相交直线．又n⊥l，n⊥m，∴n⊥l′，n⊥m′，故n⊥α，所以②正确；由面面平行的判定定理知，③正确；④中满足条件l∥α，m∥β，α∥β的直线m，l的位置关系可能是相交、平行或异面，故④不正确．7．D [解析] 对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C ，由对称性知SA 与平面SBD 所成的角与SC 与平面SBD 所成的角相等，故C 正确．8．AC ⊥BD 或四边形ABCD 为菱形 [解析] 若A 1C ⊥B 1D 1，由四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，得AA 1⊥B 1D 1，则B 1D 1⊥平面AA 1C 1C ，所以A 1C 1⊥B 1D 1，即AC ⊥BD ，则四边形ABCD 为菱形．9．30° [解析] 连接BC 1交B 1C 于点M ，连接A 1M ，则BM ⊥B 1C .因为A 1B 1⊥BM ，且A 1B 1∩B 1C ＝B 1，所以BM ⊥平面A 1B 1CD ，因此∠BA 1M 即为直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角．因为A 1B ＝2BM ，∠A 1MB ＝90°，所以∠BA 1M ＝30°.10．45° [解析] 因为三棱锥A ­ BCD 为正三棱锥，所以AB ＝AD ，AB ⊥CD . 又EF ⊥CF ，EF ∥AB ，所以AB ⊥CF ，所以AB ⊥平面ACD ，故直线BD 与平面ACD 所成的角∠BDA ＝45°.11．2 [解析] 因为PA ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 与平面ABC 所成的角．在△PAC 中，AC ＝12AB ＝12PA ，所以tan ∠PCA ＝PAAC＝2.12．证明：在△PAD 中，由PA ＝2，AD ＝2，PD ＝2 2，可得PA 2＋AD 2＝PD 2，即AD ⊥PA .又AD ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面PAB .13．证明：(1)因为SA ＝SC ，D 为AC 的中点， 所以SD ⊥AC .在Rt △ABC 中，有AD ＝DC ＝DB ， 所以△SDB ≌△SDA ，所以∠SDB ＝∠SDA ，所以SD ⊥BD . 又AC ∩BD ＝D ，所以SD ⊥平面ABC .(2)因为AB ＝BC ，D 是AC 的中点，所以BD ⊥AC . 又由(1)知SD ⊥BD ，所以BD ⊥平面SAC.14．D [解析] O 1，O ，则OO 1⊥B 1D 1，OO 1∥BB 1，O 1O 与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角，易证得为∠O 1OD 1，在Rt △OO 1D 1中，cos ∠O 1OD 1＝O 1O OD |＝132＝63. 15．证明：(1)连接AP ，AB 1.∵四边形ABCD 为正方形，∴A ，P ，C 三点共线． 因为M ，N 为中点，所以MN ∥AB 1.因为MN ⊄平面PB 1C ，AB 1⊂平面PB 1C ，所以MN ∥平面PB 1C . (2)连接D 1B 1，PB .∵D 1D DB ＝PB BB 1＝12，∠D 1DB ＝∠PBB 1＝90°，∴△D 1DB ∽△PBB 1， ∴∠D 1BD ＝∠BB 1P .∵∠PBB 1＝90°，∴∠B 1PB ＋∠D 1BD ＝90°，∴D 1B ⊥PB 1①. ∵B 1B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴B 1B ⊥AC . 又AC ⊥BD ，BD ∩B 1B ＝B ，∴AC ⊥平面B 1D ， ∵BD 1⊂平面B 1D ，∴AC ⊥D 1B ②.由PB 1∩AC ＝P 以及①②得D 1B ⊥平面PB 1C .。

课时作业15 直线与平面垂直的判定1．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，那么能保证该直线与平面垂直的是()A．①③B．②C．②④D．①②④2．已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为()A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1与B1E共面D．以上都不对4．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°6．如果PA，PB，PC两两垂直，那么点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的(D) A．重心B．内心C．外心D．垂心7．▱ABCD的对角线交点为O，点P在▱ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是垂直．8．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有4.9．如图，∠ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝4 cm，点P到角的两边AC，BC 的距离都等于2 3 cm，则PC与平面ABC所成角的大小为.10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.11．如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点．(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．12．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.64 B.104C.22 D.3213.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是．15.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2 2.(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．课时作业15 直线与平面垂直的判定1．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，那么能保证该直线与平面垂直的是(A)A．①③B．②C．②④D．①②④解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两条直线有可能是平行的．2．已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：根据题意，“a⊥α”，又由平面α∥β，则有“a⊥β”，则“a⊥α”是“a⊥β”的充分条件，反之，若“a⊥β”，又由平面α∥β，则有“a⊥α”，则“a⊥β”是“a⊥α”的必要条件，则“a⊥α”是“a⊥β”的充要条件．故选C.3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为(A)A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1与B1E共面D．以上都不对解析：连接A1D，则由正方形的性质，知AD1⊥A1D，又B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，所以AD1⊥平面A1B1ED，又B1E⊂平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，故选A.4．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(B)A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(C)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，取BC的中点E，连接AE，ED，AD，则AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则AE＝32a，DE＝12a.∴tan ∠ADE＝ 3.∴∠ADE ＝60°. 6．如果PA ，PB ，PC 两两垂直，那么点P 在平面ABC 内的投影一定是△ABC 的( D ) A ．重心 B ．内心 C ．外心 D ．垂心解析：如图，由PA ，PB ，PC 两两互相垂直，可得AP ⊥平面PBC ，BP ⊥平面PAC ，CP ⊥平面PAB ，所以BC ⊥OA ，AB ⊥OC ，AC ⊥OB ，所以点O 是△ABC 三条高的交点，即点O 是△ABC 的垂心，故选D.7．▱ABCD 的对角线交点为O ，点P 在▱ABCD 所在平面外，且PA ＝PC ，PD ＝PB ，则PO 与平面ABCD 的位置关系是垂直．解析：∵PA ＝PC ，O 是AC 的中点，∴PO ⊥AC .同理可得PO ⊥BD .∵AC ∩BD ＝O ，∴PO ⊥平面ABCD .8．如图所示，PA ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有4.解析：⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BCAC ⊥BC PA ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC .9．如图，∠ACB ＝90°，平面ABC 外有一点P ，PC ＝4 cm ，点P 到角的两边AC ，BC 的距离都等于2 3 cm ，则PC 与平面ABC 所成角的大小为45°.解析：如图，过P 作PO ⊥平面ABC 于点O ，连接CO ，则CO 为∠ABC 的平分线，且∠PCO 为PC 与平面ABC 所成的角，设其为θ，连接OF ，易知△CFO 为直角三角形．又PC ＝4，PF ＝23，∴CF ＝2，∴CO ＝22，在Rt △PCO 中，cos θ＝CO PC ＝22，∴θ＝45°. 10.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .证明：连接AC ，则AC ⊥BD ，又BD ⊥A 1A ，AC ∩AA 1＝A ，AC ，A 1A ⊂平面A 1AC ，∴BD ⊥平面A 1AC ，A 1C ⊂平面A 1AC ，∴BD ⊥A 1C .同理可证BC 1⊥A 1C .又BD ∩BC 1＝B ，BD ，BC 1⊂平面BC 1D ， ∴A 1C ⊥平面BC 1D .11．如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．(1)求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)求直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．解：(1)证明：直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥AD ， ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC .又BC ∩BB 1＝B ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1.(2)如图，连接C 1D .由(1)可知AD ⊥平面BCC 1B 1，则∠AC 1D 即为直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角．在Rt △AC 1D 中，AD ＝32，AC 1＝2， sin ∠AC 1D ＝AD AC 1＝64，即直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为64.12．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( A )A.64B.104C.22D.32解析：如图所示，取A 1C 1的中点D ，连接AD ，B 1D ，则易证得B 1D ⊥平面ACC 1A 1，∴∠DAB 1即为直线AB 1与平面ACC 1A 1所成的角．不妨设正三棱柱的棱长为2，则在Rt △AB 1D 中，sin ∠DAB 1＝B 1D AB 1＝322＝64，故选A.13.如图，四棱锥S -ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( D )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选项A正确，因为SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SD.又ABCD 为正方形，所以AC⊥BD.因为BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB.选项B正确，因为AB∥CD，CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，所以AB∥平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是[2，＋∞)．解析：因为PA⊥平面AC，QD⊂平面AC，所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.①当0<a<2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有∠AQD<90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；③当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.15.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2 2.(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．解：(1)证明：如图，连接AC与BD相交于点O，连接OE，因为AD＝CD，DB平分∠ADC ，所以OA ＝OC .又因为E 为PC 的中点，所以PA ∥OE .又PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PA ∥平面BDE .(2)证明：因为AD ＝CD ，DB 平分∠ADC ，所以AC ⊥BD ，因为PD ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥PD ，又因为BD ∩PD ＝D ，所以AC ⊥平面PBD .(3)由(2)知CO ⊥平面PBD ，所以直线BC 在平面PBD 内的射影为BO ，所以∠OBC 是直线BC 与平面PBD 所成的角．因为AD ＝CD ，AD ⊥CD ，DB 平分∠ADC ， 所以∠ODC ＝∠OCD ＝45°. 所以OD ＝OC ＝22CD ＝22.因为DB ＝22，所以OB ＝DB －OD ＝322. 在Rt △OBC 中，tan ∠OBC ＝OC OB ＝13，所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为13.。

直线与平面垂直的性质课时作业（附答案）课时提升作业(十) 直线与平面垂直的性质一、选择题(每小题3分，共18分) 1.已知直线l1，l2与平面α，有下列说法：①若l1∥α，l1∥l2，则l2∥α；②l1 α，l2∩α=A，则l1与l2为异面直线；③若l1⊥α，l2⊥α，则l1∥l2；④若l1⊥l2，l1∥α，则l2∥α. 其中正确的个数有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解析】选B.①错，因为l2还可能在α内.②错，当A∈l1时，l1∩l2=A.③对，是线面垂直的性质定理.④错，l2与α的位置关系不确定. 2.(2014•松原高一检测)BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，连接AD，则图中共有直角三角形的个数是( ) A.8 B.7 C.6 D.5 【解析】选A.因为AP⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又PD⊥BC于D，PD∩PA=P，所以BC⊥平面PAD，AD 平面PAD，所以BC⊥AD. 又BC是Rt△ABC的斜边，所以∠BAC为直角. 所以图中的直角三角形有：△ABC，△PAC，△PAB，△PAD，△PDC，△PDB，△ADC，△ADB.3.在空间中，下列说法正确的有( ) ①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一平面的两条直线互相平行；④两条异面直线不可能垂直于同一平面. A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.由公理4知①正确，由线面垂直的性质定理知④正确.对于②，空间中垂直于同一条直线的两条直线相交、平行、异面都有可能.对③中的两条平行于同一个平面的直线，其位置关系不确定. 4.(2013•广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是( ) A.若l∥α，l∥β，则α∥β B.若l⊥α，l⊥β，则α∥β C.若l⊥α，l∥β，则α∥β D.若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】选B.对于选项A，两个平面α，β平行于同一条直线，不能确定两平面平行还是相交(若两平面相交能确定与交线平行)；对于选项B，垂直于同一条直线的两个平面平行(直线是公垂线)；对于选项C，能推出两个平面相交且两个平面垂直；对于选项D，l∥β，l⊥β，l β都可能. 5.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( ) A.PA=PB>PC B.PA=PB<PC C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC 【解析】选C. 因为△ABC为直角三角形，M为斜边AB的中点，所以MA=MB=MC，因为PM垂直于△ABC所在平面，所以Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，所以PA=PB=PC . 【变式训练】已知直线PG⊥平面α于G，直线EF α，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的关系是( ) A.PE>PG>PF B.PG>PF>PEC.PE>PF>PGD.PF>PE>PG 【解析】选C.在Rt△PFE中，PE>PF；在Rt△PFG中，PF>PG，所以PE>PF>PG. 6.(2014•吉安高二检测)如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α.垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的( ) A.AC⊥β B.AC⊥EF C.AC与BD在β内的射影在同一条直线上 D.AC 与α，β所成的角相等【解析】选D.对于A.若AC⊥β，EF β，则AC⊥EF. 又AB⊥α，EF α，则AB⊥EF，AB⊥α，CD⊥α，所以AB∥CD，故ABDC确定一个平面，又AC∩AB=A，所以EF⊥平面ABDC，BD 平面ABDC，所以EF⊥BD.同理B也能推出BD⊥EF.对于选项C.由于AC与BD在β内的射影在同一条直线上，所以平面ABDC与平面β垂直，又因为EF⊥AB，所以EF⊥平面ABDC，所以EF⊥BD.对于D，若AC∥EF，则AC与α，β所成的角也相等，但不能推出BD⊥EF. 二、填空题(每小题4分，共12分) 7.(2014•无锡高二检测)已知直线m 平面α，直线n 平面α，m∩n=M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________. 【解析】因为直线a⊥m，a⊥n，直线m 平面α，直线n 平面α，m∩n=M，所以a⊥α.同理可证直线b⊥α，所以a∥b. 答案：a∥b 8.若三个平面两两垂直，它们交于一点A，空间一点C1到三个平面的距离分别为5，6，7，则AC1的长为________. 【解析】如图构造长方体，可知长方体的长、宽、高分别为7，6，5，AC1为体对角线，所以AC1= = . 答案： 9.AB是�O的直径，点C是�O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC垂直于�O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________(填写正确结论的序号). (1)直线DE∥平面ABC. (2)直线DE⊥平面VBC. (3)DE⊥VB. (4)DE⊥AB. 【解析】因为AB是�O的直径，点C是�O上的动点(点C不与A，B重合)，所以AC⊥BC，因为VC垂直于�O所在的平面，所以AC⊥VC，又BC∩VC=C，所以AC⊥平面VBC. 因为D，E分别是VA，VC的中点，所以DE∥AC，又DE⊈平面ABC，AC 平面ABC，所以DE∥平面ABC，DE⊥平面VBC，DE⊥VB， DE与AB所成的角为∠BAC是锐角，故DE⊥AB不成立. 由以上分析可知(1)(2)(3)正确. 答案：(1)(2)(3)三、解答题(每小题10分，共20分) 10.(2014•开封高一检测)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°. (1)求证：AB⊥A1C. (2)若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积. 【解析】(1)如图，取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA=CB，所以OC⊥AB. 由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C 平面OA1C，故AB⊥A1C. (2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC=OA1= . 又A1C= ，则A1C2=OC2+O ，故OA1⊥OC. 因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，所以OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高. 又△ABC的面积S△ABC= ，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1= × =3. 11.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1= ，D是A1B1的中点. (1)求证：C1D⊥平面A1B. (2)当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论. 【解析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°. 又D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1. 因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D，又AA1∩A1B1=A1，所以C1D⊥平面A1B. (2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求. 证明：因为C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1. 又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，所以AB1⊥平面C1DF. 【变式训练】如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB. 【证明】因为SA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以SA⊥BC，又因为BC⊥AB，SA∩AB=A，所以BC⊥平面SAB，又AE 平面SAB，所以BC⊥AE. 因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE. 又BC∩SC=C，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SB. 一、选择题(每小题4分，共16分) 1.已知直线l⊥平面α，直线m 平面β.有下面四个说法：①α∥β l⊥m；②α⊥β l∥m；③l∥m α⊥β；④l⊥m α∥β. 其中正确的说法是( ) A.①② B.①③C.②④D.③④ 【解析】选B.l⊥α，α∥β，所以l⊥β.又因为m β，所以l⊥m.①正确.l∥m，l⊥α，所以m⊥α，又因为m β，所以α⊥β，③正确. 2.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB 的大小( ) A.变大 B.变小 C.不变 D.有时变大有时变小【解析】选C.由于BC⊥CA，l⊥平面ABC，所以BC⊥l，即BC⊥AP，又因为AP∩AC=A，故BC⊥平面ACP，所以BC⊥CP，即∠PCB=90°. 3.(2014•蚌埠高一检测)线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为5，7，则AB的中点到α的距离为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解题指南】利用线面垂直的性质求解. 【解析】选C.设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质知AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1=5，BB1=7，MM1为其中位线，所以MM1= =6. 4.(2014•洛阳高一检测)PO垂直于△ABC所在平面α，垂足为O，若点P到△ABC的三边的距离相等，且点O在△ABC内部，则点O是△ABC的( ) A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心【解析】选D.如图所示，因为PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB.又因为PD⊥AB，PO∩PD=P，所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD.同理，OE⊥BC，OF⊥AC. 又因为PD=PE=PF，所以OD=OE=OF. 所以O为△ABC 的内心. 二、填空题(每小题5分，共10分) 5.(2014•合肥高一检测)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1，AB上的点，若∠B1MN=90°，则∠C1MN=________. 【解析】因为B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥MN.又∠B1MN是直角，所以MN⊥B1M.又B1C1∩B1M=B1，所以MN⊥平面B1C1M. 所以MN⊥C1M，所以∠C1MN=90°. 答案：90° 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为________. 【解析】如图，先找到一个平面总是保持与BD1垂直，连接AC，AB1，B1C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段CB1. 答案：线段CB1 【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A的中点，M是AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则N满足什么条件时，有MN⊥A1C1. 【解析】连接EG，EM，GM，BD，因为正方形AA1D1D中，E，G分别为AD，A1D1的中点，所以EG∥AA1. 因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以EG⊥平面A1B1C1D1. 因为A1C1 平面A1B1C1D1，所以A1C1⊥EG. 因为在△ABD中，EM是中位线，所以EM∥BD. 因为BB1∥DD1且BB1=DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1∥BD. 所以EM∥B1D1. 因为正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，所以A1C1⊥EM. 因为EM∩EG=E，EM，EG 平面EGM，所以A1C1⊥平面EGM. 因此，当点N在EG上时，直线MN 平面EGM，有MN⊥A1C1成立. 三、解答题(每小题12分，共24分) 7.(2014•宿迁高二检测)如图，在三棱锥P-ABC 中，点E，F分别是棱PC，AC的中点. (1)求证：PA∥平面BEF. (2)若平面PAB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥PA. 【解题指南】(1)根据三角形中位线的性质，可得EF∥PA，再利用线面平行的判定定理，可证PA∥平面BEF. (2)作PO⊥AB，垂足为O，根据平面PAB⊥平面ABC，可得PO⊥平面ABC，所以PO⊥BC，利用PB⊥BC，可得BC⊥平面PAB，从而可得结论. 【证明】(1)因为点E，F分别是棱PC，AC 的中点，所以EF∥PA，因为PA⊈平面BEF，EF 平面BEF，所以PA∥平面BEF. (2)作PO⊥AB，垂足为O，因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥BC，因为PB⊥BC，PO∩PB=P，所以BC⊥平面PAB，因为PA 平面PAB，所以BC⊥PA. 【变式训练】如图，已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC. 【证明】过P作PO⊥平面ABC于O，连接OA，OB，OC.因为BC 平面ABC，所以PO⊥BC. 又因为PA⊥BC，PA∩PO=P，所以BC⊥平面PAO. 又因为OA 平面PAO，所以BC⊥OA. 同理，可证AB⊥OC. 所以O是△ABC的垂心.所以OB⊥AC. 又因为PO⊥AC，OB∩PO=O，所以AC⊥平面PBO. 又PB 平面PBO，所以PB⊥AC. 8.(2014•山东高考)如图，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC= AD，E，F 分别为线段AD，PC的中点. (1)求证：AP∥平面BEF. (2)求证：BE⊥平面PAC. 【解题指南】(1)本题考查线面平行的证法，可利用线线平行来证明线面平行. (2)本题考查了线面垂直的判定，在平面PAC中找两条相交直线与BE垂直即可. 【证明】(1)连接AC交BE于点O，连接OF，不妨设AB=BC=1，则AD=2，又因为E为AD的中点，所以AE=1，所以AE=BC，因为AB=BC，AD∥BC，所以四边形ABCE为菱形，因为O，F分别为AC，PC的中点，所以OF∥AP，又因为OF 平面BEF，AP⊈平面BEF，所以AP∥平面BEF. (2)因为AP⊥平面PCD，CD 平面PCD，所以AP⊥CD，因为BC∥ED，BC=ED，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD，所以BE⊥PA，又因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC，又因为PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，所以BE⊥平面PAC. 【变式训练】在△ABC中，∠BAC=60°，P是△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=90°. (1)求证：PB⊥面PAC. (2)若H是△ABC的重心，求证：PH⊥面ABC. 【证明】(1)如图，由题设易得AB=AC，因为∠BAC=60°，所以△ABC为等边三角形，所以AB=BC. 因为PA=PB=PC，所以△PAB≌△PBC，所以∠BPC=∠APB=90°，即PB⊥PC. 又PB⊥PA，PA∩PC=P，所以PB⊥面PAC. (2)取BC中点D，因为PB=PC，所以PD⊥BC. 同理可得AD⊥BC，所以BC⊥面PAD. 因为AD是△ABC的边BC上的中线，所以△ABC的重心H在AD上，所以BC⊥PH，同理可得AB⊥PH. 又AB∩BC=B，所以PH⊥面ABC.。

课时作业48直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“l∥m”是“α⊥β”的()A．充要条件B．必要条件C．充分条件D．既不充分又不必要条件解析：若l∥m，则m⊥平面α，由面面垂直的判定定理可知α⊥β，反过来，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，又因为m⊂β，所以l与m 可能平行，异面或相交，所以“l∥m”是“α⊥β”的充分条件，故选C.答案：C2．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，直线m ⊂平面α，直线n⊥平面β，给出命题：①n⊥m⇒α∥β；②n∥m⇒α⊥β；③α∥β⇒n⊥m；④α⊥β⇒n∥m.其中正确命题为() A．①③B．②③C．②④D．①④解析：由直线n⊥面β，n∥m⇒m⊥面β，又因为直线m⊂平面α，所以α⊥β，②对，由题意，再结合α∥β⇒n⊥α⇒n⊥m，③对，故选B.答案：B3．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β()A．不存在B．有且只有一对C ．有且只有两对D ．有无数对解析：过直线a 的平面α有无数个，当平面α与直线b 平行时，两直线的公垂线与b 确定的平面β⊥α，当平面α与b 相交时，过交点作平面α的垂线与b 确定的平面β⊥α.故选D.答案：D4．如图所示，b ，c 在平面α内，a ∩c ＝B ，b ∩c ＝A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b (C ，D 均异于A ，B )，则△ACD 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：因为a ⊥b ，b ⊥c ，a ∩c ＝B ，所以b ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC ，故△ACD 为直角三角形．答案：B5．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12 B ．1C.32 D ．2解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt△DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66.由面积相等得66×x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12. 答案：A6．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S —ABC 的体积为( ) A.33B.233C.433D.533解析：如图所示，由题意知，在棱锥S —ABC 中，△SAC ，△SBC 都是等腰直角三角形，其中AB ＝2，SC ＝4，SA ＝AC ＝SB ＝BC ＝2 2.取SC 的中点D ，易证SC 垂直于面ABD ，因此棱锥S —ABC 的体积为两个棱锥S —ABD 和C —ABD 的体积和，所以棱锥S —ABC 的体积V ＝13SC ·S △ADB ＝13×4×3＝43 3.答案：C二、填空题7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为________．解析：设BD 与AC 交于点O ，连接D 1O ，∵BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1成的角．∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，DD 1∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面DD 1B ，平面DD 1B ∩平面ACD 1＝OD 1，∴DD 1在平面ACD 1内的射影落在OD 1上，故∠DD 1O 为直线DD 1与平面ACD 1所成的角，设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62，∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝63， ∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63. 答案：638．假设平面α∩平面β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥β，垂足分别为B ，D ，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，现有下面四个条件：①AC ⊥α；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF .其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)解析：如果AB 与CD 在一个平面内，可以推出EF 垂直于该平面，又BD 在该平面内，所以BD ⊥EF .故要证BD ⊥EF ，只需AB ，CD 在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．答案：①③9．如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．解析：点P 到直线CC 1的距离等于点P 在面ABCD 上的射影到点C 的距离，点P 在面ABCD 内的射影落在线段DE 上设为P ′，问题等价求为P ′C 的最小值，当P ′C ⊥DE 时，P ′C 的长度最小，此时P ′C ＝2×122＋1＝255. 答案：255三、解答题10．(2014·湖北卷)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.解：(1)连接AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN ⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P ，Q 分别为线段AB ，CD 的中点，EP ⊥平面ABCD .(1)求证：DP ⊥平面EPC .(1)问在EP 上是否存在点F 使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出FP AP 的值．解：(1)因为EP ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥DP ，又四边形ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，P ，Q 为AB ，CD 的中点，所以PQ ⊥DC ，且PQ ＝12DC ，所以DP ⊥PC .因为EP ∩PC ＝P ，所以DP ⊥平面EPC .(2)如图，假设存在F 使平面AFD ⊥平面BFC ，因为AD ∥BC ，AD ⊄平面BFC ，BC ⊂平面BFC ，所以AD ∥平面BFC ，所以AD 平行于平面AFD 与平面BFC 的交线l .因为EP ⊥平面ABCD ，所以EP⊥AD，而AD⊥AB，AB∩EP＝P，所以AD⊥平面F AB，所以l⊥平面F AB，所以∠AFB为平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角．因为P是AB的中点，且FP⊥AB，所以当∠AFB＝90°时，FP＝AP，所以当FP＝AP，即FPAP＝1时，平面AFD⊥平面BFC.1．如右图，在三棱锥P—ABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．(1)求证：P A∥平面BEF；(2)若平面P AB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥P A.解：(1)在△P AC中，E、F分别是PC、AC的中点，所以P A∥EF，又P A⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以P A∥平面BEF.(2)在平面P AB内过点P作PD⊥AB，垂足为D.因为平面P AB⊥平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面P AB，所以PD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以PD⊥BC，又PB⊥BC，PD∩PB＝P，PD⊂平面P AB，PB⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB，又P A⊂平面P AB，所以BC⊥P A.2．(2014·广东卷)如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，EF∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D—AF—E的余弦值．解：(1)证明：PD⊥平面ABCD，PD⊂面PCD，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，AD ⊂平面ABCD ，AD ⊥CD ，∴AD ⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，∴CF ⊥AD ，又AF ⊥PC ，∴CF ⊥AF ， AD ，AF ⊂平面ADF ，AD ∩AF ＝A ，∴CF ⊥平面ADF .(2)解法1：过E 作EG ∥CF 交DF 于G ，∵CF ⊥平面ADF ， ∴EG ⊥平面ADF ，过G 作GH ⊥AF 于H ，连EH ，则∠EHG 为二面角D —AF —E 的平面角，设CD ＝2，∵∠DPC ＝30°，∴∠CDF ＝30°，从而CF ＝12CD ＝1，CP ＝4，∵EF ∥ DC ，∴DE DP ＝CF CP ，即DE 23＝122， ∴DE ＝32，还易求得EF ＝32，DF ＝3，从而EG ＝DE ·EF DF ＝32·323＝34，易得AE ＝192，AF ＝7，EF ＝32，∴EH ＝AE ·EF AF ＝192·327＝31947， 故HG ＝(31947)2－(34)2＝6347， ∴cos ∠EHG ＝GH EH ＝6347·47319＝25719. 解法2：分别以DP ，DC ，DA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设DC ＝2，则A (0,0,2)，C (0,2,0)，P (23，0,0)，设CF→＝λCP →，则F (23λ，2－2λ，0)，DF →⊥CF →，可得λ＝14，从而F (32，32，0)，易得E (32，0,0)，取面ADF 的一个法向量为n 1＝12CP →＝(3，－1,0)，设面AEF 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，利用n 2·AE →＝0，且n 2·AF→＝0，得n 2可以是(4,0，3)，从而所求二面角的余弦值为n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝432×19＝25719.。

课时作业33 直线与平面垂直的判定基础强化1.已知直线a ⊥平面α，直线b ⊂平面α，则下列结论肯定成立的是( ) A ．a 与b 相交 B ．a 与b 异面 C ．a ⊥b D ．a 与b 无公共点2．下列说法中可以推断直线l ⊥平面α的是( ) A ．直线l 与平面α内的一条直线垂直 B ．直线l 与平面α内的两条直线垂直 C ．直线l 与平面α内的两条相交直线垂直 D ．直线l 与平面α内的多数条直线垂直3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的6个面中，与AA 1垂直的平面有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．(多选)下列命题中正确的有( )A ．过直线l 外一点，有且只有一个平面与l 垂直B ．假如三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面C ．垂直于角的两边的直线必垂直于该角所在的平面D ．过点A 且垂直于直线a 的全部直线都在过点A 且垂直于a 的平面内6．(多选)若下列平面中的两条直线与直线a 垂直，则可以保证直线a 与平面垂直的是( )A ．四边形的两边B ．正六边形的两边C ．圆的两条直径D ．三角形的两边7．过平面外一点P 的斜线段是过这点的垂线段的233，则斜线段与平面α所成的角是________.8．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC 的关系是________.9.如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，BA＝BC，K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB.10．如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，D为AC的中点，若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝π2，求CC1与平面BC1D所成角的正弦值．实力提升11.如图，圆柱OO′中，AA′是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则()A．BC⊥平面A′ACB．BC⊥平面A′ABC．AC⊥平面A′BCD．AC⊥平面A′AB12.如图，假如MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．不垂直C．垂直D．相交13．在四面体P-ABC中，若P A＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影肯定是△ABC 的()A．外心B．内心C．垂心D．重心14．(多选)已知正方体ABCD -A1B1C1D1，则()A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°[答题区]题号12345611121314 答案15.已知四棱锥P-ABCD中，侧棱P A⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，则该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是________．16.如图，在四棱锥V-ABCD中，VA＝VD，BA＝BD.(1)证明：AD⊥VB.(2)在棱VC上是否存在一点P，使得VC⊥平面P AD？若存在，指出点P的位置；若不存在，说明理由．课时作业33直线与平面垂直的判定1．解析：因为直线a⊥平面α，直线b⊂平面α，依据线面垂直的定义，所以a⊥b，其他选项不肯定成立．故选C.答案：C2．解析：依据线面垂直的判定定理：直线垂直平面内两条相交直线，强调两条、相交，A、B不正确，C正确；依据线面垂直定义：直线垂直平面内的任一条直线，此时强调任一条，不是多数条，因为这多数条直线可能是平行的，D不正确．故选C.答案：C3.解析：在正方体中，侧棱都和底面垂直，故在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的6个面中，与AA 1垂直的平面有平面ABCD 和平面A 1B 1C 1D 1，共2个．故选B.答案：B4．解析：正四棱锥P -ABCD ，连接底面对角线AC ，令正四棱锥边长为1，则AC ＝2，易知△P AC 为等腰直角三角形．AC 中点为O ，由正四棱锥知，PO ⊥底面ABCD ，即∠P AC 为所求，所以侧棱和底面所成的角为45°.故选B.答案：B5．解析：过直线l 外一点，有且只有一个平面与l 垂直，故A 正确；假如三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面，故B 正确；垂直于角的两边(角两边不共线)的直线必垂直于该角所在的平面，故C 错误；过点A 且垂直于直线a 的全部直线都在过点A 且垂直于a 的平面内，故D 正确．故选ABD.答案：ABD6．解析：对于A ，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；对于B ，若直线a 垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于C ，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于D ，三角形的随意两边肯定相交，故能保证线面垂直．故选CD.答案：CD 7．解析：如图，连接AB ，由PB ⊥α，知∠P AB 是线段P A 与平面α所成角，在Rt △P AB 中，因为P A ＝233PB ，所以sin ∠P AB ＝PB P A ＝32，∠P AB ∈(0，π2)，所以∠P AB ＝π3，即线段P A 与平面α所成角为π3.答案：π38．解析：∵AB ⊥α，l ⊂α，∴AB ⊥l ，又BC ⊥β，l ⊂β，∴BC ⊥l ，又AB ∩BC ＝B ，且AB ，BC ⊂平面ABC ，∴直线l ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，故l ⊥AC .答案：l ⊥AC9．证明：∵VA ＝VC ，∴三角形VAC 是等腰三角形， ∵K 是AC 中点，∴VK ⊥AC ， 又BA ＝BC ，∴BK ⊥AC . ∵VK 与BK 交于点K ， ∴AC ⊥平面VKB . 10．解析：如图，过点C 作CH ⊥C 1D 于点H ，连接AC 1. ∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC .∵BD ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥BD .∵AB ＝BC ，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC . 又CC 1∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC 1. ∵CH ⊂平面ACC 1，∴BD ⊥CH . 又CH ⊥C 1D ，C 1D ∩BD ＝D ， ∴CH ⊥平面BC 1D ，∴∠CC 1D 为CC 1与平面BC 1D 所成的角． 设AB ＝2a ，则CD ＝2a ，C 1D ＝6a ，∴sin ∠CC1D＝CDC1D＝2a6a＝33.11．解析：对于A：依题意AA′⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA′⊥BC，又AB是底面圆的直径，所以BC⊥AC，AA′∩AC＝A，AA′，AC⊂平面AA′C，所以BC⊥平面AA′C，故A正确；对于B：明显BC与AB不垂直，则BC不行能垂直平面A′AB，故B错误；对于C：明显AC与A′C不垂直，则AC不行能垂直平面A′BC，故C错误；对于D：明显AC与AB不垂直，则AC不行能垂直平面A′AB，故D错误．故选A.答案：A12．解析：连接AC，因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又MC⊥菱形ABCD所在的平面，BD⊂平面ABCD，所以MC⊥BD，又MC∩AC＝C，MC，AC⊂平面MAC，所以BD⊥平面MAC，MA⊂平面MAC，所以MA⊥BD.故选C.答案：C13．解析：如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∵P A＝PB＝PC，PO为公共边，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心．故选A.答案：A14．解析：如图，连接B 1C ，由A 1B 1∥DC ，A 1B 1＝DC ，得四边形DA 1B 1C 为平行四边形，可得DA 1∥B 1C ，∵BC 1⊥B 1C ，∴直线BC 1与DA 1所成的角为90°，故A 正确；∵A 1B 1⊥BC 1，BC 1⊥B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴BC 1⊥平面DA 1B 1C ，而CA 1⊂平面DA 1B 1C ，∴BC 1⊥CA 1，即直线BC 1与CA 1所成的角为90°，故B 正确；设A 1C 1∩B 1D 1＝O ，连接BO ，可得C 1O ⊥平面BB 1D 1D ，即∠C 1BO 为直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角，∵sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝12，∴直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角为30°，故C 错误；∵CC 1⊥底面ABCD ，∴∠C 1BC 为直线BC 1与平面ABCD 所成的角，为45°，故D 正确．故选ABD.答案：ABD 15．解析：由题意，在四棱锥P -ABCD 中，侧棱P A ⊥平面ABCD ，可得P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，所以△P AD ，△P AB 为直角三角形；又由四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥BC ，结合P A ⊥BC ，P A ∩AB ＝A ，可得BC ⊥平面P AB ，又因为PB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥PB ，所以△PBC 为直角三角形，同理，△PCD 也为直角三角形．所以该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是4.答案：4 16．解析：(1)证明：取AD中点E，连接EV，EB.因为VA＝VD，所以AD⊥VE.因为BA＝BD，所以AD⊥EB.又VE∩EB＝E，所以AD⊥平面VEB.因为VB⊂平面VEB，所以AD⊥VB.(2)假设在棱VC上存在一点P，使得VC⊥平面P AD.因为AD⊂平面P AD，所以AD⊥VC. 又AD⊥VB，VB∩VC＝V，所以AD⊥平面VBC.因为BC⊂平面VBC，所以AD⊥BC. 在平面ABCD中，因为AD⊥EB，AD⊥BC，所以EB∥BC，与EB∩BC＝B冲突．所以在棱VC上不存在点P，使得VC⊥平面P AD.。

高一数学人教A 版必修2同步课时作业2.3.1直线与平面垂直的判定一、选择题1.已知,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ）A.若//,m n m α⊥,则n α⊥B.若//,//m n αα ,则//m nC.若m α⊥,//m β,则//αβD.若//m α,αβ⊥,则m β⊥2.在正方形123SG G G 中，E F 、分别是12G G 及23G G 的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE SF 、及EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G 、2G 、3G 三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S EFG -中必有( )A. SG EFG ⊥△所在平面B. SD EFG ⊥△所在平面C. GF SEF ⊥△所在平面D. GD SEF ⊥△所在平面3.若三条直线,,OA OB OC 两两垂直,则直线OA 垂直于( )A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC4.设,m n 为直线,,αβ为平面,则m α⊥的一个充分条件可以是( )A.αβ⊥,n αβ⋂=,m n ⊥B.//αβ,m β⊥C.αβ⊥,//m βD.n α⊂,m n ⊥5.已知,αβ是不重合的平面，,m n 是不重合的直线，则m α⊥的一个充分条件是( )A.,m n n α⊥⊂B.//,m βαβ⊥C.,,n n m αββ⊥⊥⊥D.,,n m n αβαβ=⊥⊥6.己知直线l ⊥平面α,直线//m 平面β,若αβ⊥,则下列结论正确的是( )A ．//l β或l β⊂B ．//l mC ．m α⊥D ．l m ⊥ 7.如图，AB 是O 的直径，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC -的四个面中，直角三角形的个数有( )A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个8.已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则m α⊥的一个充分条件是( )A.,m n n α⊥⊂B.//,m n βα⊥C.,,n n m αββ⊥⊥⊥D. ,,a n a m n ββ⋂=⊥⊥ 二、填空题9.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,且PA =,E 为棱BC 上的动点,若PE DE ＋的最小值为则PB =_________.10.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱垂直于底面，满足_________时，1BD AC ⊥.(写上一个条件即可)11.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥面ABCD ，且1PD =，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为__________．三、解答题12.已知ABC △中90ACB ∠=︒，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC .参考答案1.答案：A解析：对于A ，根据线面垂直的性质定理，即可知A 正确；对于B ，若//m α，//n α，则//m n 或者、相交或者异面，所以B 不正确； 对于C ，若m α⊥，//m β，则αβ⊥，所以C 不正确；对于D ，若//m α，αβ⊥，则与β的关系不确定，所以D 不正确；综上，选A ．2.答案：A 解析：在折叠过程中，始终有11SG G E ⊥，33SG G F ⊥，即SG GE ⊥，SG GF ⊥，所以SG ⊥平面EFG ．故选A ．3.答案：C解析：∵,,OA OB OA OC OB OC O ⊥⊥⋂=，∴OA ⊥平面OBC .4.答案：B解析：选项A,缺少m B ⊂这一条件,故不一定推出m α⊥;选项B,显然能够推出m α⊥;选项C,若m 平行于平面α和平面β的交线,则//m α或m α⊂,故不一定推出m α⊥;选项D,若m α⊂,则直线m 不垂直于平面α.故选B.5.答案：C解析：对于答案A:,m n n α⊥⊂，得出m 与α是相交的或是垂直的，故A 错； 答案B://,m βαβ⊥，得出m 与α是相交的、平行的都可以，故B 错；答案C:,n n αβ⊥⊥，得出//αβ，再m β⊥得出m α⊥，故C 正确；答案D:,,n m n αβαβ=⊥⊥，得出m 与α是相交的或是垂直的，故D 错故选C6.答案：A 对于A,直线l ⊥平面α,α⊥β,则l ∥β或l ⊂β，A 正确；对于B,直线l ⊥平面α,直线m ∥平面β,且α⊥β,则l ∥m 或l 与m 相交或l 与m 异面， ∴B 错误；对于C,直线l ⊥平面α,直线m ∥平面β,且α⊥β,则m ⊥α或m 与α相交或m ⊂α或m ∥α， ∴C 错误；对于D,直线l ⊥平面α,直线m ∥平面β,且α⊥β,则l ∥m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误故选：A.7.答案：A解析：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，∴ABC △是直角三角形；又PA ⊥平面ABC ，∴PA AB ⊥，,PA AC PA BC ⊥⊥；∴PAC PAB 、△△是直角三角形； 又AC PA A =，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC PC ⊥，∴PBC △是直角三角形；∴四面体P ABC -的四个面中，直角三角形有4个。

2.3直线、平面垂直的判定及其性质●知识梳理直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

PaL2注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 l βBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3直线与平面、平面与平面垂直的性质●知能训练一．选择题1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）A．α⊥β，且m⊂α B．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β2．在三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（）A．AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的体积为B．BD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为C．AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的体积为D．BD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为3．如图，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（）A．B．C．D．4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD：BC：AB=2：3：4，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．在翻折过程中，可能成立的结论是（）A．①③B．②③C．②④D．③④5．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的表面积为（）A．16πB．24πC．32πD．48π6．设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥αB．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥βC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c7．已知平面α⊥平面β，点A∈α，则过点A且垂直于平面β的直线（）A．只有一条，不一定在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，一定在平面α内D．有无数条，一定在平面α内8．如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角9．下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF=G．现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P-AEF中必有（）A．AP⊥△PEF所在平面B．AG⊥△PEF所在平面C．EP⊥△AEF所在平面D．PG⊥△AEF所在平面11．如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足．分别为B，D，若增加一个条件，就能推出BD⊥EF．现有①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5 B．8 C．10 D．613．经过一条直线与一个平面垂直的平面个数是（）A．1 B．2 C．无数D．以上答案都不正确A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：315．已知点E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条16．三棱锥P-ABC的高为PH，若P到△ABC的三边的距离相等，若H在△ABC内，则H 为△ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．垂心或内心17．如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部18．如图是一个几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题19．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）20．已知平面α，β和直线，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．（i）当满足条件时，有m∥β；（ii）当满足条件时，有m⊥β．（填所选条件的序号）21．已知AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线，CD∈平面α，CD⊥AC，则面面垂直的有．22．设△ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA1⊥平面α于点A1，BB1⊥平面α于点B1，CC1⊥平面α于点C1，G、G1分别是△ABC和△A1B1C1的重心，若AA1=7，BB1=3，CC1=5，则GG1= ．23．设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α则n∥α；②若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中所有真命题的序号是．24．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为．25．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值等于．26．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有对．第24题第25题第26题三．解答题27．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、AD1的中点，求证：（Ⅰ）直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）直线AC1⊥平面PQMN．28．在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．29．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E-ABC的体积．30．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．求证：BC⊥平面ACD；【参考答案】1-5 BCABD 6-10 CCDDA 11-15 BBDAB 16-18 AAB19. DM⊥PC（或BM⊥PC等）20.③⑤；②⑤21.平面ABC⊥平面ACD 22.5 23.①②24.线段CB1 25. 1 26.527.证明：（Ⅰ）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AD1，∵AD1∥BC1，且F、P分别是AD、DD1的中点，∴FP∥AD1，∴BC1∥FP，又FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）如图，连接AC、BD，则AC⊥BD，∵CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CC1⊥BD；又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1，又AC1⊂平面ACC1，∴BD⊥AC1；又∵M、N分别是A1B1、A1D1的中点，∴MN∥BD，∴MN⊥AC1；同理可证PN⊥AC1，又PN∩MN=N，∴直线AC1⊥平面PQMN．28. （Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，∵AB∩AC=A，∴AA1⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，∴直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）解：取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点，则O 为AC1的中点．连接MD，OE，则MD∥AC，MD=AC，OE∥AC，OE=AC，∴MD∥OE，MD=OE，连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，∴DE∥MO，∵DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，∴DE∥平面A1MC，∴线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A1MC．29.（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴V E-A B C=S△ABC•AA1=×××1×2=30.解：（Ⅰ）在图1中，可得AC＝BC＝2取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，DO⊂面ACD，从而OD⊥平面ABC，（4分）∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD（6分）另解：在图1中，可得AC＝BC＝2从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC⊂面ABC，从而BC⊥平面ACD。

2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、选择题1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在2．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为() A．30° B．45°C．60° D．120°3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC.BD的关系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是()A．4 B．3 C．2 D．15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在四面体A－EFH中必有()A．HG⊥△AEF所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．AH⊥△EFH所在平面6．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63 B.265 C.155 D.105二、填空题7．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________.9．已知△ABC的三条边长分别是5,12,13，点P到A，B，C三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC的距离为________．10．如图所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．三、解答题11．如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN ⊥平面PBM .(2)若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB .12．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .答案精析1．B 2.C 3.C4．A [∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC .又∵BC ⊥AC ，AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB.△P AC.△ABC.△PBC .]5．D [∵AD ⊥DF ，AB ⊥BE ，∴AH ⊥HF ，AH ⊥HE .又∵EH ∩FH ＝H ，∴AH ⊥面EFH .] 6．D [如下图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，连接A 1C 1，与B 1D 1交于O 点，连接OB ，由已知A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，OC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴OC 1⊥BB 1.而BB 1∩B 1D 1＝B 1， ∴OC 1⊥平面BB 1D 1D .∴OB 是BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影． ∴∠C 1BO 是BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角． 在正方形A 1B 1C 1D 1中， OC 1＝12A 1C 1＝12×22＋22＝ 2.在矩形BB 1C 1C 中，BC 1＝BC 2＋CC 21＝4＋1＝ 5. ∴sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝25＝105.]7．A 1C 1⊥B 1C 1解析 如图所示，连接B 1C .由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C .因此，要得AB 1⊥BC 1，则需BC 1⊥平面AB 1C ，即只需AC ⊥BC 1即可．由直三棱柱可知，只要满足AC ⊥BC 即可．而A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要满足A 1C 1⊥B 1C 1即可．8．90°解析 ∵B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，MN ⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥MN .又∵MN ⊥B 1M ，B 1M ∩B 1C 1＝B 1，∴MN ⊥平面C 1B 1M ，∴MN ⊥C 1M ，即∠C 1MN ＝90°.9.332解析 由点P 到△ABC 三个顶点的距离相等可知，P 在面ABC 上的投影为△ABC 的外心． 又∵△ABC 为直角三角形，∴其外心是斜边的中点，即P 在面ABC 上的投影是△ABC 斜边的中点D ，如图．∴点P 到平面ABC 的距离为PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝32 3.10．①②③解析 ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB .又∵AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确． 11．证明 (1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴AM ⊥BM .又P A ⊥平面ABM ，∴P A ⊥BM . 又∵P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM . 又AN ⊂平面P AM ，∴BM ⊥AN . 又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ， ∴AN ⊥平面PBM .(2)由(1)知AN ⊥平面PBM ， PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB . 又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ， ∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .12．(1)证明 ∵AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ， ∴AB ⊥PH .又∵PH ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ， ∴PH ⊥平面ABCD .(2)解 ∵PH ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点，PH ＝1，∴点E 到平面ABCD 的距离h ＝12PH＝12. 又∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ，∴AD ⊥CD ，∴S △BFC ＝12·CF ·AD ＝12×1×2＝22，∴V E －BCF ＝13S △BCF ·h ＝13×22×12＝212.(3)证明 如图，取P A 的中点G ，连接GE ，DG .∵DA ＝DP ，∴DG ⊥P A .∵AB ⊥平面P AD ，DG ⊂平面P AD ，∴AB ⊥DG . 又∵AB ∩P A ＝A ，∴DG ⊥平面P AB .∵GE ∥AB ，GE ＝12AB ，DF ∥AB ，DF ＝12AB ，∴GE ∥FD ，GE ＝FD ， ∴四边形DFEG 为平行四边形， ∴DG ∥EF ，∴EF ⊥平面P AB .。

浙江省嘉善县新世纪学校高中数学 2.2.1直线与平面平行的判定课时作业 新人教A 版必修23.已知直线m 、n 是异面直线，且m//平面α，则n 与平面α的位置关系是（ ） A ．n//α，或n α⊂ B ．n α=A ，或n α⊂C ．n //α，或nα=A ， D ．n//α，或n α=A ，或n α⊂4. 如果AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC 的位置关系是（ ）.A.平行B.相交C.AC 在此平面内D.平行或相交 5．能保证直线a 与平面α平行的条件有______________①,,a b a αα⊄⊂∥b ②,b a α⊂∥b ③,b α⊂c ∥,αa ∥b,a ∥c ④,,,,b A B a C b αα⊂∈∈∈且AC=AB6. 若直线,a b 相交，且a ∥α，则b 与平面α的位置关系是_____________.7. 在长方体1111ABCD A B C D -中，E,F 为1AA , 1BB中点，则与EF 平行的面有________个.能力提升1. 如图，在正方体中，E 为1DD 的中点，判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.OFCADEB2.在四棱锥是S-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD 底面A BCD,E,F 分别是AB,SC 的中点，求证：EF ∥面S A D.3.如图，四棱锥A —DBCE 中，O 为底面正方形DBCE 对角线的交点， F 为A E 的中点。

求证：AB//平面DCF 。

7、如图，两个全等正方形ABCD 与ABE F 所在平面相交于AB ，M∈AC，N∈FB，且AM ＝FN ，求证：M N∥平面BCE ．EBCD A FMN。

浙江省嘉善县新世纪学校高中数学 2.3.1直线与平面垂直的判定学案 新人教A 版必修2【重点】直线与平面的判定定理 【难点】线面角的理解及求法 【自学导引】预习课本P64-67,完成下列问题1. 定义:如果直线l 和平面α内的_______直线都_____,我们就说直线l 和平面α互相记作直线l 叫做_________,平面α叫做_______,直线与平面垂直时它们惟一的公共点P 叫做_____. 2. 判定定理______________直线都垂直,3. 直线与平面所成的角平面的一条斜线和它平面上的_____所成的所成的_____,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是_______;一条直线和平面_____(或________),我们说它们所成角是_______,则直线和平面所成角的取值范围:_________ 【例题讲解】lb a ααPAOA例1. 已知△ABC 中,∠ACB=90°,PA ⊥平面ABC,AD ⊥PC 于D,求证:AD ⊥平面PBC 分析:在平面内找到两条直线与直线垂直变式1. 如图,在正方体AC1中,求证: (1)AC ⊥平面B1D1DB (2)BD1⊥平面ACB1D 1D CBA 1B 1C 1A例2.如图所示,正方体AG 的棱长为a,点P在AC 上,Q 在BG 上,AP=BQ=a,求直线PQ 与 平面ABCD 所成角的正切值.H F G DAB C E Q PD P ABC分析:找出射影,作出角;证明作出的是所求角: 计算(一作二证三计算)变式 2. 如图,已知∠BOC 在平面α内,OA 是平面αBOA=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,BC=2a,求OA 和平面α所成的角.αOC BA【课堂小结】线面垂直的定义及用途: 线面垂直的判定: 线面所成角: 证明线面垂直的方法:。

浙江省嘉善县新世纪学校高中数学平面与平面垂直的判定学案新人教A版必修2
【难点】二面角的明白得及求法
【自学导引】
预习讲义P67-69,完成以下问题
1.二面角
(1)概念:从一条直线动身的____________所组成的图形叫做二面角._____________叫做二面角的棱._______________叫做二面角的面.
如图1记作:_________或__________.
(2)二面角的平面角
如图2,在二面角α-l-β的棱l上作取一点O,以点O为_____,在半平面α和β内别离作_____于棱l的射线OA和OB,那么__________________叫做二面角的平面角
取值范围:__________
2.平面与平面的垂直
(1)概念:若是两个平面相交,且它们所成的二面角是_________就这两个平面相互垂直
(2)判定定理
一个平面过另一个平面的______,那么这两平面垂直.
符号表示:
【例题讲解】
例1. 如图,长方体AC1中3,求二面角D1-BC-D的大小
变式1. 如图,PA ⊥平面ABC,AC ⊥BC,A B=2,BC=2,PB=6,求二面角P-BC -A.
例2. 如图,在四棱锥S-ABCD 是中,底面四边形ABCD 是平行四边形,SC ⊥平面ABC D,E 为SA 的中点为,求证:平面EBD ⊥平面ABCD.
变式2. 如图,在空间四边形ABCD 中,AB=BC,CD=DA,E,F,G 别离是CD,DA,DC 的中点,求证:平面BEF ⊥平面BGD.
【课堂小结】
二面角的概念及求法:
面面垂直的判定定理: F
E
G B D
A。

2.3.1 直线与平面垂直的判定【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．3．知道斜线在平面上的射影的概念，斜线与平面所成角的概念．1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l 与平面α内的________________直线都________，就说直线l 与平面α互相垂直，记作________．直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l 的________．(2)判定定理 文字表述：一条直线与一个平面内的________________________都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α．2．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的________所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图所示，________就是斜线AP 与平面α所成的角．(2)当直线AP 与平面垂直时，它们所成的角的度数是90°；当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角的度数是________； 线面角θ的范围：________．一、选择题1．下列命题中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线；④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是( ) A ．a ⊥β B ．a ∥βC ．a ⊂βD ．a ⊂β或a ∥β3．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交4．如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．16．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F 分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直⇔线面垂直”．2．直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理． (3)利用下面两个结论：①若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α； ②若α∥β，a ⊥α，则a ⊥β． 3．线线垂直的判定方法(1)异面直线所成的角是90°． (2)线面垂直，则线线垂直．§2．3 直线、平面垂直的判定及其性质2．3．1 直线与平面垂直的判定答案知识梳理1．(1)任意一条 垂直 l⊥α 垂线 垂面 (2)两条相交直线 a ⊂α b ⊂α a∩b＝A 2．(1)射影 锐角 ∠PAO (2)0° [0°，90°] 作业设计1．B [只有④正确．] 2．D3．C [取BD 中点O ，连接AO ，CO ， 则BD⊥AO，BD⊥CO， ∴BD⊥面AOC ，BD⊥AC， 又BD 、AC 异面，∴选C ．]4．B [易证AC ⊥面PBC ，所以AC ⊥BC ．]5．A [⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥BC AC⊥BC ⇒BC⊥平面PAC ⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．] 6．A [PO⊥面ABC ．则由已知可得，△PAO、△PBO、△PCO 全等， OA ＝OB ＝OC ， O 为△ABC 外心． 只有③正确．]7．(1)45° (2)30° (3)90° 解析(1)由线面角定义知∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD 所成的角，∠A 1BA ＝45°． (2)连接A 1D 、AD 1，交点为O ，则易证A 1D⊥面ABC 1D 1，所以A 1B 在面ABC 1D 1内的射影为OB ，∴A 1B 与面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO ，∵A 1O ＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°．(3)∵A 1B⊥AB 1，A 1B⊥B 1C 1，∴A 1B⊥面AB 1C 1D ，即A 1B 与面AB 1C 1D 所成的角为90°． 8．∠A 1C 1B 1＝90° 解析如图所示，连接B 1C ，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC 即可． 因为A 1C 1∥AC，B 1C 1∥BC，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可． (或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等) 9．90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN． 又∵MN⊥B 1M ， ∴MN⊥面C 1B 1M ， ∴MN⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．10．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E≌△CBF， ∴∠B 1BE ＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE， 又AB⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB⊥CF，AB∩BE＝B ，∴CF⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD ， ∴CD⊥PA．又矩形ABCD 中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A ， ∴CD⊥平面PAD ， ∴CD⊥PD．(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG ． 又∵G、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形， ∴AG∥EF．∵PA＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ． ∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．∵PD∩CD＝D ，∴EF⊥平面PCD ．12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1． ∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO＝CO ，∴B 1O⊥AC． 连接PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94，OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21．∴B 1O⊥PO， 又∵PO∩AC＝O ， ∴B 1O⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA⊥BC．又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A ， ∴BC⊥平面SAB ． 又∵AQ ⊂平面SAB ，∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B ， ∴AQ⊥平面SBC ．(2)∵AQ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ， ∴AQ⊥SC．又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A ，∴SC⊥平面APQ ．∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ⊥SC．。

卜人入州八九几市潮王学校新田一中高中数学必修二课时作业：.1直线与平面垂直的断定根底达标1．直线m，n是异面直线，那么过直线n且与直线m垂直的平面()．A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或者无数个D．不存在解析假设异面直线m、n垂直，那么符合要求的平面有一个，否那么不存在．答案B2．给出以下说法：①假设平面α的两条斜线段PA，PB在α内的射影长相等，那么PA，PB的长度相等；②PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，假设OQ⊥PO，那么必有OQ⊥AO；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条相交直线a，b都与另一个平面β平行，那么α∥β.其中不正确的选项是()．A．①②③④B．①②③C．①③④D．②③④答案B3．空间四边形ABCD的四边相等，那么它的两对角线AC、BD的关系是()．A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交解析取BD中点O，连接AO，CO，那么BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C.答案C4．如下列图，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，那么图中直角三角形的个数有________．解析⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.答案45．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，那么动点P的轨迹是________．解析BD1⊥平面B1AC，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，所以P为B1C上任何一点，均有AP⊥BD1.答案B1C6．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，那么AE与平面ABC1D1所成角的余弦值为________．解析如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO.由正方体易知EO⊥平面ABC1D1，所以∠EAO为所求．在Rt△EOA中，EO＝EF＝A1D＝，AE＝＝，sin∠EAO＝＝.所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.答案7．某个实心零部件的形状是如下列图的几何体，其下部是底面均是正方体，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1­ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD­A2B2C2D2.求证：直线B1D1⊥平面ACC2A2.证明∵四棱柱ABCD­A2B2C2D2侧面是全等的矩形，∴AA2⊥AB，AA2⊥AD.又AB∩AD＝A.∴AA2⊥平面ABCD.连接BD，∵BD⊂平面ABCD，∴AA2⊥BD.因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.根据棱台的定义知，BD与B1D1一共面．又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面ABCD∩平面BB1D1D＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1.所以BD∥B1D1，于是，由AA2⊥BD，AC⊥BD，BD∥B1D1，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1.又AA2∩AC＝A，所以直线B1D1⊥平面ACC2A2.才能提升8．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，那么BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()．A.B.C.D.解析如右图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，连接A1C1、B1D1，交于O点，连接OB，由A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.又∵BB1⊥平面A1B1C1D1，OC1⊂平面A1B1C1D1，∴OC1⊥BB1.而BB1∩B1D1＝B1，∴OC1⊥平面BB1D1D.∴OB是BC1在平面BB1D1D内的射影．∴∠C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角．在正方形A1B1C1D1中，OC1＝A1C1＝＝.在矩形BB1C1C中，BC1＝＝＝.∴sin∠C1BO＝＝＝.答案D9．如下列图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，假设BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，那么a的取值范围是________．解析因为PA⊥平面AC，QD⊂平面AC，所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.①当0＜a＜2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有∠AQD＜90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；③当a＞2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.答案[2，＋∞]10．如下列图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解连接A1B，CD1，那么A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥面A1BCD1，又D1E⊂面A1BCD1，∴AB1⊥D1E.于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.连接DE，那么DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.∵ABCD是正方形，E是BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.。

浙江省嘉善县新世纪学校高中数学 2.2.1直线与平面平行的判定学案新人教A版必修2温习：一、直线与直线的位置关系有______________，_______________，_________________.二、直线与平面的位置关系有______________，_______________，_________________. 试探：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？按照概念好判断吗？你能想到其它的判断方式吗？二、新课导学※探索新知探讨1：直线与平面平行的背景分析实例1：如图5-1，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动的一边l与墙所在的平面位置关系如何？图5-1实例2：如图5-2，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有如何的位置关系？图5-2结论：上述两个问题中的直线l与对应平面都是_________的.探讨2：直线与平面平行的判定定理问题：探讨1两个实例中的直线l为何会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一结论表示出来吗？新知：直线与平面平行的判定定理定理：____________________________________________________________________该判定定理可简述为：________________________________________用符号语言表示：_____________________________________图5-3反思：试探下列问题(1)上述定理的实质是什么？它表现了什么数学思想？(2)若是要证明那个定理，该如何证明呢？(3)你能从以上定理想到证明平行的步骤吗？(4)证明线线平行常常利用的方式有哪些？※ 典型例题例1 有一块木料如图5-4所示，P 为平面BCEF 内一点，要求过点P 在平面BCEF 内作一条直线与平面ABCD 平行，应该如何画线？图5-4例2 如图，空间四边形ABCD 中，,E F 别离是,AB AD 的中点，求证：EF ∥平面BCD .※ 动手试试练1. 已知ABC ∆,,D E 别离为,AC AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使A 到A '的位置，设M 是A B '的中点，求证：ME ∥平面A CD '.三、总结提升※ 学习小结1. 直线与平面平行判定定理及其应用,其核心是线线平行⇒线面平行；2. 转化思想的运用：空间问题转化为平面问题.※ 知识拓展判定直线与平面平行通常有三种方式：⑴利用概念：证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的，往往借助终归法来证明.⑵利用判定定理，其关键是证明线线平行.证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等.⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到)。