2020版高考数学二轮复习专题六概率统计复数算法推理与证明 练习

第1讲 概 率1．(2019·苏北四市高三模拟)若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为________．[解析] 3人值班的情况有(甲，乙，丙)、(甲，丙，乙)、(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)、(丙，甲，乙)、(丙，乙，甲)，共6种，其中甲与丙都不在第一天值班的情况有(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)，共2种，故所求的概率为26＝13． [答案] 132．(2019·无锡市高三模拟)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为________．[解析] 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数有以下6种可能：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，取出的数中一个是奇数一个是偶数有4种可能：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，故由古典概型的概率计算公式可得取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为23． [答案] 233．(2019·无锡期末)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．[解析] 记两本数学书为1，2，1本语文书为3，则将它们排成一行的所有基本事件为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共6个基本事件，其中2本数学书相邻的基本事件有(1，2，3)，(2，1，3)，(3，1，2)，(3，2，1)，共4个基本事件，故所求的概率为P ＝46＝23． [答案] 234．(2019·苏州市高三调研测试)一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0．2，目标未受损的概率为0．4，则目标受损但未完全击毁的概率为________．[解析] 目标受损但未完全击毁的概率为1－(0．2＋0．4)＝0．4[答案] 0．45．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(二))某饮品店提供A ，B 两种口味的饮料，且每种饮料均有大杯、中杯、小杯三种．甲、乙两人随机各点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯，则甲和乙恰好点了同一种口味饮料的大杯和小杯的概率为________．[解析] “甲、乙两人随机各点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯”共有8种等可能基本事件，分别为(A 大，A 中)，(A 大，A 小)，(A 大，B 中)，(A 大，B 小)，(B 大，A 中)，(B 大，A 小)，(B 大，B 中)，(B 大，B 小)，其中“甲和乙恰好点了同一种口味饮料的大杯和小杯”包括2种情况为(A 大，A 小)，(B 大，B 小)，所以所求概率P ＝28＝14． [答案] 146．(2019·南通模拟)同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为________．[解析] 基本事件有36种，其中两个点数之积小于4的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，共计5种，故两个点数之积小于4的概率为536，故不小于4的概率为1－536＝3136． [答案] 31367．(2019·南京模拟)如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是________．[解析] 设正六边形的中心为点O ，BD 与AC 交于点G ，BC ＝1，则BG ＝CG ，∠BGC ＝120°，在△BCG 中，由余弦定理得1＝BG 2＋BG 2－2BG 2cos 120°，得BG ＝33，所以S △BCG ＝12×BG ×BG ×sin 120°＝12×33×33×32＝312，因为S 六边形ABCDEF ＝S △BOC ×6＝12×1×1×sin 60°×6＝332，所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1－6S △BCG S 正六边形ABCDEF ＝23． [答案] 238．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(六))在区间(0，3)上随机取一个数a ，使得函数y ＝a x (a >0)是增函数的概率为________．[解析] 要使函数y ＝a x (a >0)是增函数，则需a >1，又a ∈(0，3)，所以所求概率为3－13＝23． [答案] 239．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[解析] 由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35． [答案] 3510．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知集合A ＝{x |x ＝sinn π4，n ∈N *，1≤n ≤8}，若从集合A 中任取一个元素x ，则满足x 2≤12的概率为________． [解析] 由已知得，集合A ＝{x |x ＝sin n π4，n ∈N *，1≤n ≤8}＝{0，1，22，－1，－22}，由x 2≤12解得－22≤x ≤22，集合A 中满足x 2≤12的元素有0，22，－22，则由古典概型的概率计算公式可知P ＝35． [答案] 3511．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”“3”“4”“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．[解析] 从四个不同的数中选三个的情况有(2，3，4)，(2，3，6)，(2，4，6)，(3，4，6)，共四种，满足成等差数列的情况有(2，3，4)和(2，4，6)，共两种．故所求概率为24＝12． [答案] 1212．(2019·江苏高考信息卷)设连续抛掷两次骰子得到的点数分别为x ，y ，若平面向量a ＝(x ，y )，b ＝(－2，1)，则|a |>|b |的概率为________．[解析] 法一：由题意知，x ∈{1，2，3，4，5，6}，y ∈{1，2，3，4，5，6}，故(x ，y )所有可能的取法共36种，列表如下：其中，满足|a |>|b |的(x ，y )的取法共有33种(表中斜线部分)，则所求概率P ＝3336＝1112． 法二：由题意知，x ∈{1，2，3，4，5，6}，y ∈{1，2，3，4，5，6}，故(x ，y )所有可能的取法共36种．若|a |≤|b |，即x 2＋y 2≤5，所以满足|a |≤|b |的(x ，y )的取法共有3种：(1，1)、(1，2)、(2，1)，故|a |>|b |的概率P ＝1－336＝1112． [答案] 111213．(2019·武汉武昌区调研)已知函数f (x )＝13x 3－(a －1)x 2＋b 2x ，其中a ∈{1，2，3，4}，b ∈{1，2，3}，则函数f (x )在R 上是增函数的概率为________．[解析] f ′(x )＝x 2－2(a －1)x ＋b 2，若函数f (x )在R 上是增函数，则对于任意x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立，所以Δ＝4(a －1)2－4b 2≤0，即(a －1)2≤b 2．a ，b 所有的取值情况有4×3＝12(种)，若满足(a －1)2≤b 2，则当a ＝1时，b ＝1，2，3，当a ＝2时，b ＝1，2，3，当a ＝3时，b ＝2，3，当a ＝4时，b ＝3，共有3＋3＋2＋1＝9(种)情况，所以所求概率为912＝34． [答案] 3414．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(七))若一次函数f (x )＝2ax －5满足a ∈[－3，2]且a ≠0，则f (x )≤0在x ∈[0，2]上恒成立的概率为________．[解析] 由题意可得函数f (x )＝2ax －5≤0在x ∈[0，2]上恒成立，当x ＝0时，－5≤0，显然恒成立；当x ∈(0，2]时，可化为a ≤52x ，而y ＝52x 在x ∈(0，2]上的最小值为54，所以a ≤54，结合a ∈[－3，2]且a ≠0，得a ∈[－3，0)∪(0，54]，由几何概型的概率计算公式可得f (x )≤0在x ∈[0，2]上恒成立的概率P ＝（54－0）＋[0－（－3）]（2－0）＋[0－（－3）]＝1720．[答案] 1720第1讲 概 率[2019考向导航]1．古典概型古典概型有两个特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．判断满足以上两个特征，便可用古典概型概率公式P ＝m n求解．其中，n 是基本事件总数，m 是所求事件所含的基本事件数．2．几何概型几何概型是另一种重要的概率模型，它的两个基本特点是：①试验中所有可能出现的结果基本事件有无限多个；②每个基本事件的可能性相等．古典概型与几何概型中基本事件发生都是等可能的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限个．几何概型中事件A 的概率计算公式是： P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的所有结果构成的区域长度（面积或体积）． 3．几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．古典概型[典型例题](1)(2019·高考江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．(2)(2018·高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【解析】(1)记3名男同学为A，B，C，2名女同学为a，b，则从中任选2名同学的情况有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种，其中至少有1名女同学的情况有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7种，故所求概率为710．(2)记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为3 10．【答案】(1)710(2)310(1)古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．(2)确定基本事件的方法①当基本事件总数较少时，可列举计算；②列表法、树状图法．(3)较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．[对点训练]1．(2019·苏北三市高三模拟)现有三张识字卡片，分别写有“中”“国”“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．[解析] 三张卡片随机排序的基本事件为(中，国，梦)，(中，梦，国)，(国，中，梦)，(国，梦，中)，(梦，中，国)，(梦，国，中)，共6个，而组成“中国梦”的事件有1个，所以由古典概型的概率计算公式可得所求概率为16． [答案] 162．从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________ ．[解析] 取两个数的所有情况有：(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6种．乘积为6的情况有：(1，6)，(2，3)，共2种．故所求事件的概率为26＝13． [答案] 13几何概型[典型例题](1)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．(2)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．【解析】 (1)由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59． (2)法一：设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连结OC ，DC ．不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1．在以OA 为直径的半圆中，空白部分的面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分的面积S 2＝2．又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π， 所以阴影部分的面积为S 3＝π－2．所以P ＝π－2π＝1－2π． 法二：连结AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2．由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC ，所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2． 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π， 所以S 阴影＝π－2．所以P ＝S 阴影S 扇形OAB ＝π－2π＝1－2π． 【答案】 (1)59 (2)1－2π数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的方法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，通用公式：P (A )＝构成事件A 的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度． [对点训练]3．(2019·南京模拟)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点，则该点到直线x ＋y －22＝0的距离d ∈[0，1]的概率为________．[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0，0)，半径r ＝2，所以圆心O 到直线x ＋y －22＝0的距离为d 1＝|0＋0－22|12＋12＝2＝r ，所以直线x ＋y －22＝0与圆O 相切．不妨设圆x 2＋y 2＝4上到直线x ＋y －22＝0的距离d ∈[0，1]的所有点都在AB ︵上，其中直线AB 与直线x ＋y －22＝0平行，直线AB 与直线x ＋y －22＝0的距离为1，所以圆心到直线AB 的距离为r －1＝1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12∠AOB ＝12，所以12∠AOB ＝π3，得∠AOB ＝2π3，所以所求的概率P ＝23π·22π·2＝13． [答案] 131．(2019·苏北四市高三模拟)若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为________．[解析] 3人值班的情况有(甲，乙，丙)、(甲，丙，乙)、(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)、(丙，甲，乙)、(丙，乙，甲)，共6种，其中甲与丙都不在第一天值班的情况有(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)，共2种，故所求的概率为26＝13． [答案] 132．(2019·无锡市高三模拟)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为________．[解析] 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数有以下6种可能：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，取出的数中一个是奇数一个是偶数有4种可能：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，故由古典概型的概率计算公式可得取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为23． [答案] 233．(2019·无锡期末)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．[解析] 记两本数学书为1，2，1本语文书为3，则将它们排成一行的所有基本事件为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共6个基本事件，其中2本数学书相邻的基本事件有(1，2，3)，(2，1，3)，(3，1，2)，(3，2，1)，共4个基本事件，故所求的概率为P ＝46＝23． [答案] 234．(2019·苏州市高三调研测试)一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0．2，目标未受损的概率为0．4，则目标受损但未完全击毁的概率为________．[解析] 目标受损但未完全击毁的概率为1－(0．2＋0．4)＝0．4[答案] 0．45．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(二))某饮品店提供A ，B 两种口味的饮料，且每种饮料均有大杯、中杯、小杯三种．甲、乙两人随机各点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯，则甲和乙恰好点了同一种口味饮料的大杯和小杯的概率为________．[解析] “甲、乙两人随机各点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯”共有8种等可能基本事件，分别为(A 大，A 中)，(A 大，A 小)，(A 大，B 中)，(A 大，B 小)，(B 大，A 中)，(B 大，A 小)，(B 大，B 中)，(B 大，B 小)，其中“甲和乙恰好点了同一种口味饮料的大杯和小杯”包括2种情况为(A 大，A 小)，(B 大，B 小)，所以所求概率P ＝28＝14． [答案] 146．(2019·南通模拟)同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为________．[解析] 基本事件有36种，其中两个点数之积小于4的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，共计5种，故两个点数之积小于4的概率为536，故不小于4的概率为1－536＝3136． [答案] 31367．(2019·南京模拟)如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是________．[解析] 设正六边形的中心为点O ，BD 与AC 交于点G ，BC ＝1，则BG ＝CG ，∠BGC ＝120°，在△BCG 中，由余弦定理得1＝BG 2＋BG 2－2BG 2cos 120°，得BG ＝33，所以S △BCG ＝12×BG ×BG ×sin 120°＝12×33×33×32＝312，因为S 六边形ABCDEF ＝S △BOC ×6＝12×1×1×sin 60°×6＝332，所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1－6S △BCG S 正六边形ABCDEF ＝23．[答案] 238．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(六))在区间(0，3)上随机取一个数a ，使得函数y ＝a x (a >0)是增函数的概率为________．[解析] 要使函数y ＝a x(a >0)是增函数，则需a >1，又a ∈(0，3)，所以所求概率为3－13＝23． [答案] 239．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[解析] 由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35．[答案] 3510．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知集合A ＝{x |x ＝sin n π4，n ∈N *，1≤n ≤8}，若从集合A 中任取一个元素x ，则满足x 2≤12的概率为________．[解析] 由已知得，集合A ＝{x |x ＝sinn π4，n ∈N *，1≤n ≤8}＝{0，1，22，－1，－22}，由x 2≤12解得－22≤x ≤22，集合A 中满足x 2≤12的元素有0，22，－22，则由古典概型的概率计算公式可知P ＝35．[答案] 3511．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”“3”“4”“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．[解析] 从四个不同的数中选三个的情况有(2，3，4)，(2，3，6)，(2，4，6)，(3，4，6)，共四种，满足成等差数列的情况有(2，3，4)和(2，4，6)，共两种．故所求概率为24＝12．[答案] 1212．(2019·江苏高考信息卷)设连续抛掷两次骰子得到的点数分别为x ，y ，若平面向量a ＝(x ，y )，b ＝(－2，1)，则|a |>|b |的概率为________．[解析] 法一：由题意知，x ∈{1，2，3，4，5，6}，y ∈{1，2，3，4，5，6}，故(x ，y )所有可能的取法共36种，列表如下：其中，满足|a |>|b |的(x ，y )的取法共有33种(表中斜线部分)，则所求概率P ＝3336＝1112．法二：由题意知，x ∈{1，2，3，4，5，6}，y ∈{1，2，3，4，5，6}，故(x ，y )所有可能的取法共36种．若|a |≤|b |，即x 2＋y 2≤5，所以满足|a |≤|b |的(x ，y )的取法共有3种：(1，1)、(1，2)、(2，1)，故|a |>|b |的概率P ＝1－336＝1112． [答案] 111213．(2019·武汉武昌区调研)已知函数f (x )＝13x 3－(a －1)x 2＋b 2x ，其中a ∈{1，2，3，4}，b ∈{1，2，3}，则函数f (x )在R 上是增函数的概率为________．[解析] f ′(x )＝x 2－2(a －1)x ＋b 2，若函数f (x )在R 上是增函数，则对于任意x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立，所以Δ＝4(a －1)2－4b 2≤0，即(a －1)2≤b 2．a ，b 所有的取值情况有4×3＝12(种)，若满足(a －1)2≤b 2，则当a ＝1时，b ＝1，2，3，当a ＝2时，b ＝1，2，3，当a ＝3时，b ＝2，3，当a ＝4时，b ＝3，共有3＋3＋2＋1＝9(种)情况，所以所求概率为912＝34．[答案] 3414．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(七))若一次函数f (x )＝2ax －5满足a ∈[－3，2]且a ≠0，则f (x )≤0在x ∈[0，2]上恒成立的概率为________．[解析] 由题意可得函数f (x )＝2ax －5≤0在x ∈[0，2]上恒成立，当x ＝0时，－5≤0，显然恒成立；当x ∈(0，2]时，可化为a ≤52x ，而y ＝52x 在x ∈(0，2]上的最小值为54，所以a ≤54，结合a ∈[－3，2]且a ≠0，得a ∈[－3，0)∪(0，54]，由几何概型的概率计算公式可得f (x )≤0在x ∈[0，2]上恒成立的概率P ＝（54－0）＋[0－（－3）]（2－0）＋[0－（－3）]＝1720．[答案] 1720第2讲 统 计1．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知一组数据1，2，3，4，5m 的方差为2，那么相对应的另一组数据2，4，6，8，10m 的方差为________．[解析] 1，2，3，4，5m的平均数x －＝2＋m ，方差s 2＝（－m －1）2＋m 2＋（1－m ）2＋（－m ＋2）2＋（4m －2）25＝2，而2，4，6，8，10m 的平均数x－1＝4＋2m ，方差s 21＝4×（－m －1）2＋m 2＋（1－m ）2＋（－m ＋2）2＋（4m －2）25＝4×2＝8． [答案] 82．(2019·扬州期末)已知样本6，7，8，9，m 的平均数是8，则标准差是________． [解析] 因为x －＝6＋7＋8＋9＋m5＝8，所以m ＝10，故s ＝15（4＋1＋0＋1＋4）＝2． [答案] 23．(2019·高三第二次调研测试)某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为______．[解析] 根据题意知，从该单位行政人员中抽取了7人，设该单位行政人员的人数为n ，则56280n ＝7，解得n ＝35． [答案] 354．(2019·苏北四市模拟)如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．[解析] 由题意得：x －甲＝88＋92＋963＝92，x －乙＝90＋91＋953＝92，故s 2甲＝13(16＋0＋16)＝323，s 2乙＝13(4＋1＋9)＝143，故方差较小的那组同学成绩的方差为143． [答案] 1435．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)某中学举办了以“美丽中国，我是行动者”为主题的环保知识竞赛，赛后从参赛者中随机抽取了100人，将他们的竞赛成绩(单位：分)分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．并得到如图所示的频率分布直方图，其中“竞赛成绩不低于70分”的人数为______．[解析] 由题意知a ＝(1－0．05－0．1－0．2－0．25－0．1)÷10＝0．030，所以“竞赛成绩不低于70分”的频率为0．3＋0．25＋0．1＝0．65，所以“竞赛成绩不低于70分”的人数为100×0．65＝65．[答案] 656．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)《幸福账单》在南通地区的选拔规则如下：每位参赛选手的才艺展示由7位评委打分(总分100分)，去掉一个最低分和一个最高分，取其余5位评委打分的平均数作为该选手的成绩．已知某选手的得分情况如茎叶图所示，则该选手的成绩为________．[解析] 由题意可知该选手的成绩是80、83、85、87、90这5个数的平均数，即80＋83＋85＋87＋905＝85．[答案] 857．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h ～120 km/h ，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为______________________________________．[解析] 从频率分布直方图可知，非正常行驶的机动车辆频率为(0．002 5＋0．005 0)×20＝0．150，故所求车辆数为0．150×100＝15．[答案] 158．某校有甲、乙、丙3个高三文科班，其中甲班有47人，乙班有51人，丙班有49人．现分析3个班的某一次数学考试成绩，计算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是90分，丙班的平均成绩是87分，则该校这3个高三文科班的数学平均成绩是________分．[解析] 由题意知，3个高三文科班的数学平均成绩x －＝90×47＋90×51＋87×4947＋51＋49＝89．[答案] 899．如图所示的茎叶图记录了一组数据，关于这组数据，其中说法正确的序号是________． ①众数是9；②平均数是10；③中位数是9或10；④标准差是3．4．[解析] 由茎叶图知，该组数据为7，8，9，9，9，10，11，12，12，13，所以众数为9，①正确；中位数是9＋102＝9．5，③错；平均数是x －＝110(7＋8＋9＋9＋9＋10＋11＋12＋12＋13)＝10，②正确；方差是s 2＝110[(7－10)2＋(8－10)2＋(9－10)2＋(9－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝3．4，标准差s ＝3．4，④错．[答案] ①②10．网络上有一种“QQ 农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号01，02，03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中最大的编号为________．[解析] 由最小的两个编号为03，09可知，抽样间距为6，因此抽取人数的比例为16，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋(10－1)×6＝57．[答案] 5711．(2019·南京、盐城模拟)已知一组数据：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7构成公差为d 的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d 等于________．[解析] 这组数据的平均数为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 77＝7a 47＝a 4，又因为这组数据的方差等于1，所以17[(a 1－a 4)2＋(a 2－a 4)2＋(a 3－a 4)2＋(a 4－a 4)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 4)2＋(a 7－a 4)2]＝（3d ）2＋（2d ）2＋d 2＋0＋d 2＋（2d ）2＋（3d ）27＝1，即4d 2＝1，解得d ＝±12．[答案] ±1212．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为________．[解析] 由题图1得到小波一星期的总开支，由题图2得到小波一星期的食品开支，从而借助题图2计算出鸡蛋开支占总开支的百分比．由题图2知，小波一星期的食品开支为30＋40＋100＋80＋50＝300元，由题图1知，小波一星期的总开支为30030%＝1 000元，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为301 000×100%＝3%． [答案] 3%13．“中国人均读书4．3本(包括网络文学和教科书)，比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家．”这个论断被各种媒体反复引用．出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并进一定量的书籍丰富小区图书站．由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了40名读书者进行调查，将他们的年龄(单位：岁)分成6段：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求在这40名读书者中年龄分布在[40，70)的人数； (2)求这40名读书者的年龄的平均数和中位数．[解] (1)由频率分布直方图知年龄在[40，70)的频率为(0．020＋0．030＋0．025)×10＝0．75，故这40名读书者中年龄分布在[40，70)的人数为40×0．75＝30． (2)这40名读书者年龄的平均数为25×0．05＋35×0．10＋45×0．20＋55×0．30＋65×0．25＋75×0．10＝54． 设中位数为x ，则0．005×10＋0．010×10＋0．020×10＋0．030×(x －50)＝0．5，解得x ＝55，故这40名读书者年龄的中位数为55．14．(2018·高考全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位： m 3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 (1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．35 m 3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)[解] (1)(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0．35 m3的频率为0．2×0．1＋1×0．1＋2．6×0．1＋2×0．05＝0．48．因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0．35 m3的概率的估计值为0．48．(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x－1＝150(0．05×1＋0．15×3＋0．25×2＋0．35×4＋0．45×9＋0．55×26＋0．65×5)＝0．48．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x－2＝150(0．05×1＋0．15×5＋0．25×13＋0．35×10＋0．45×16＋0．55×5)＝0．35．估计使用节水龙头后，一年可节省水(0．48－0．35)×365＝47．45(m3)．第2讲统计[2019考向导航]1．随机抽样(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体数较少． (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成．2．常用的统计图表 (1)频率分布直方图①小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率；②各小矩形的面积之和等于1；③小矩形的高＝频率组距，所有小矩形的高的和为1组距．(2)茎叶图在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数(2)方差：s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]．标准差：s ＝1n[（x 1－x －）2＋（x 2－x －）2＋…＋（x n －x －）2]．抽样方法 [典型例题](1)(2019·南通市高三调研)为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3 000人，则该校学生总人数是________．(2)(2019·江苏名校高三入学摸底)某班有学生45人，现将所有学生按1，2，3，…，45随机编号，并采用系统抽样的方法从中抽取5名学生参加学习情况问卷调查，已知抽取的学生的编号分别为3，a ，21，b ，39，则a ＋b ＝________．【解析】 (1)设该校学生总人数为n ，则500－200－100500＝3 000n ，解得n ＝7 500．(2)由系统抽样的知识得，抽取的5个编号依次为3，12，21，30，39，所以a ＋b ＝12＋30＝42．【答案】 (1)7 500 (2)42分层抽样(1)要点：总体分层，按照比例，独立抽取；(2)适合范围：总体可以分层，层与层之间有明显差异，而层内个体差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层在总体中所占比例抽取．系统抽样(1)要点：个体编号，确定间隔，随机选一，等距抽取．(2)当Nn(N 为总体中个体数目，n 为样本容量)不是整数时，先从总体中随机剔除一些个体；在每一个间隔中，采用简单随机抽样抽取第一个个体．[对点训练]1．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________．[解析] 依题意，女运动员有98－56＝42(人)．设应抽取女运动员x 人，根据分层抽样特点，得x 42＝2898，解得x ＝12．[答案] 122．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体；如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n ＝________．[解析] 总体容量为6＋12＋18＝36．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6，12，18．当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6．即样本容量n ＝6．[答案] 6统计与数据处理 [典型例题](1)(2019·高考江苏卷)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________．(2)(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(一))某电商联盟在“双11”狂欢节促销活动中，对11月11日9时到14时的销售额进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知13时到14时的销售额为4．5万元，则10时到13时的销售额为________万元．【解析】 (1)数据6，7，8，8，9，10的平均数是6＋7＋8＋8＋9＋106＝8，则方差是4＋1＋0＋0＋1＋46＝53．(2)设10时到13时的销售额为x 万元，由题图可知13时到14时的销售额与10时到13。