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振动的合成教案

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5. 4．1、 同方向、同频率两简谐运动的合成
当一个物体同时参与同方向的两个振动时，它在某一时刻的位移应为同一时刻两个振动的位移的代数和。

当两振动的频率相同时，设此两振动的位移分别为 )cos(111ϕω+=t A x
)cos(222ϕω+=t A x
则合振动的位移应为
21x x x +=
)cos()cos(2211ϕωϕω+++=t A t A
22221111sin sin cos cos sin sin cos cos ϕωϕωϕωϕωt A t A t A t A -+-=
t A A t A A ωϕϕωϕϕsin )sin sin (cos )cos cos (22112211+-+=
t A t A ωϕωϕsin sin cos cos -=
)cos(ϕω+=t A
上式中
t o x +t o x =t
o x
瞬态振动静态振动受迫振动（a ） （b ） （c ）
图5-3-6
2221122211)sin sin ()cos cos (ϕϕϕϕA A A A A +++=
22122121)cos(2A A A A +-+=ϕϕ
22112
211cos cos sin sin ϕϕϕϕϕA A A A tg ++=
根据以上结论，进一步可以看到
①若πϕϕk 2012或=-（k 为整数），则
1)cos(12=-ϕϕ
212221212A A A A A A A +=++=
即合振动的振幅达到最大值，此时合振动的初位相与分振动的初位相同（或相差πk 2）
②若πϕϕ=-12或π)12(+k 则
1)cos(12-=-ϕϕ
212221212A A A A A A A -=+-=
即合振动的振幅达到最小值。

此时合振动的初位相取决于1A 和2A 的大小。

即当21A A >时，合振动的初位相等于)2(11πϕϕk +；当12A A >时，合振动的初位相等于)2(22πϕϕk +或；当12A A =时，则A=0，物体不会发生振动。

③一般情况下，12ϕϕ-可以任意值，合振动的振幅A 的取值范围为
21A A +≥A ≥21A A -
5. 4．2、 同方向、频率相近的两振动的合成
设物体同时参与两个不同频率的简谐运动，例如
t A x 111cos ω=
t A x 222cos ω=
为简单起见，我们已设012==ϕϕ，这只要适当地选取时间零点，是可以做到的。

如果再设A A A ==21，则合振动
)cos (cos 2121t t A x x x ωω+=+= t t A 2cos 2cos 22
12
1ωωωω+-=
由于1ω和2ω相差不多，则有（21ωω+）比（21ωω-）大很多，由此，上一合振动可以看成是振幅为t A 2cos 22
1ωω-（随时间变化）。

角频率为22
1ωω+的振
动。

这种振动称为“拍”。

拍的位移时间图像
大致如图5-4-1所示。

由图可见，振幅的变化
周期T '为t A 2cos 22
1ωω-变化周期的一半，即
212122221ωωππωω-=⋅-⋅='T 或拍频为212121v v T v -=-='='πωω
21ωωω-='
5．4．3、同频率相互垂直的两个简谐振动的合成
当一物体同时参与相互垂直的振动时
)cos(11ϕω+=t A x
)cos(22ϕω+=t A y
合振动的轨迹在直角坐标系中的方程为
)(sin )cos(21221212222212ϕϕϕϕ-=--+A xy A y A x （6-17）
当πϕϕK 212=-时，)2,1,0(ΛΛ±±=K
021*******=-+A xy A y A x
图5-4-1
得 x A A y 12=
合成结果仍为简谐振动（沿斜率为12
A A 的直线作简谐振动）。

当12ϕϕ-=π)12(+K 时，)2,1,0(ΛΛ±±=K
1222
212=+A y A x 可见，当ππϕϕ23212或=-时，合振动均为椭圆振动，但两者旋转方向不同。

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《物理学教学课件》5-5 振动的合成.ppt

《物理学教学课件》5-5 振动的合成.ppt

5-5 振动的合成
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
设一质点同时参与 两独立的同方向、同频 率的简谐振动：
x1
A1
cos(t
1
)
x A cos(t )
2
2
2
A2
2 1
A1
O x2 x1 x
两振动的位相差 2 1 =常数
1. 分振动 : 2. 合振动:
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2) (A1 cos1 A2 cos2)cos t (A1 sin 1 A2 sin 2)sin t
B1 cos t B2 sin t
B12 B22 (
B1 cos t
Bபைடு நூலகம்2 B22
B2 sin t)
B12 B22
sin B2
B12 B22
则 x Acos cost Asin sin t Acos( t )
其中 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
更简洁的:
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2)
x (2A cos2 π 2 1 t)cos2 π 2 1 t
1
2
2
2π2 1 T π
2
2
1
T 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
方法二：旋转矢量合成法
振幅
A
2 A1 cos( 2
1
2
t)
拍频 2 1
振动圆频率
(2 1)t
2
大学物理教案-第4章 机械振动 机械波

大学物理教案-第4章 机械振动 机械波


动的时刻)。
反映 t=0 时刻的振动状态(x0、v0)。
x0 Acos0
v0 Asin0 x
m
A
0=0
o
A
X0 = A
o x
-A x
t T
0 = /2
m
A
o X0 = 0
m
-A
o
X0 = -A
o x
-A x
A
o x
-A
t T
0 = Tt
4、振幅和初位相由初始条件决定
由
x0 Acos0
v0 Asin 0
A A12 A22 2 A1A2 cos2 1 ，
tan A1 sin 1 A2 sin 2 。 A1 cos1 A2 cos2
3. 两种特殊情况
（1）若两分振动同相 2 1 2k ，则 A A1 A2 , 两分振动相互加强， 如 A1=
A2 ,则 A = 2A1
（2）若两分振动反相，2 1 2k 1 ， 则 A | A1 A2 | ,两分振动相互减弱，
波动是振动的传播过程。 机械波----机械振动的传播 波动 电磁波----电磁场的传播 粒子波----与微观粒子对应的波动 虽然各种波的本质不同，但都具有一些相似的规律。
一、 弹簧振子的振动 m
o X0 = 0
§4.1
m
简谐振动的动力学特征
二、谐振动方程 f=-kx
a f k x
x
mm
令 k 2 则有 m
教学内容
备注
1
大学物理学
大学物理简明教程教案
第 4 章 机械振动 机械波
前言 1. 振动是一种重要的运动形式 2. 振动有各种不同的形式 机械振动:位移 x 随 t 变化；电磁振动；微观振动 广义振动:任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。 3. 振动分类
《简谐运动的合成》课件

《简谐运动的合成》课件


演化、分支和应用
复杂演化
分支学科
摆锤波、庞加莱山丘和分形结构。
天文学、量子力学、金融市场的 年度周期、周期性疾病等。
应用
音乐制作、机械振动隔振等。
《简谐运的合成》PPT 课件
让我们一起探索简谐运动的奥秘，以及如何合成它们，理解它们的物理和声 学意义。
简谐运动
定义
在保证周期性的前提下，物体在固定外力作用下沿一个固定轨道做的运动称为简谐运动。
特点
周期性、振幅、相位、频率、能量守恒。
物理意义
简谐运动是许多自然现象的基础，例如弹簧振子、波的传播、电路中的交流电等。
4 频率
单位时间内重复运动的次数，即振动的快慢。
简谐振动的模拟
Project 1
通过模拟普通化学键中的键弹 性常数，让分子的振动成为一 个弹性团体的整体振动。
Project 2
开发一个可以模拟波的传播和 反射等现象的平台。
Project 3
设计一个工具用于分析在大量 复杂结构和流体下的流动或运 动。
总结
原理 应用 重要性
简谐运动的周期性、振幅、相位、频率、能量守 恒 声音、机械振动、电路等多个领域。
简谐振动学是理解自然现象及应用科学的基础。
力学和声学之美
1 位移
最基本的力学量，表述物体在空间三维坐标 系所占据的位置。
2 振幅
描述物体围绕平衡位置做小幅度振动的最大 位移量。
3 波长
因为波是重复的，所以它有特定的波长。
简谐振动的合成
概述
两个或多个简谐运动的合成。
合成振幅的求法
矢量法或三角函数法。
合成频率的求法
各组分振动的频率之和。
双摆实验
演示简谐振动的合成原理。
(完整版)大学物理授课教案第十二章机械振动

(完整版)大学物理授课教案第十二章机械振动

第四篇 振动与颠簸第十二章机械振动§ 12-1 简谐振动1、弹簧振子运动如图所取坐标，原点 O 在 m 均衡地点。

现将 m 略向右移到 A ，而后松开，此时，由于弹簧伸长而出现指向均衡地点的弹性力。

在弹性 力作用下，物体向左运动，当经过地点O 时，作用在 m 上弹性力等于 0，可是因为惯性作用， m 将持续向 O 左侧运动，使弹簧压缩。

此时，因为弹簧被压缩， 而出现了指向均衡地点的弹性力并将阻挡物体向左 运动，使 m 速率减小，直至物体静止于B （刹时静止），以后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。

这样在弹性力作用下物体左右来去运动，即作机械振动。

图 12-12、简谐振动运动方程由上剖析知， m 位移为 x （相对均衡点 O ）时，它遇到弹性力为（胡克定律） ：Fkx(12-1)式中： 当x即位移沿 +x 时，F 沿 -x ，即F0 当 x即位移沿 -x 时，F 沿+x ，即F 0k为弹簧的倔强系数， “—”号表示力 F 与位移 x （相对 O 点）反向。

定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。

由定义知，弹簧振子做谐振动。

由牛顿第二定律知，m加快度为aF kxmm（ m为物体质量）ad 2 xd 2 x k x∵dt 2∴ dt2mk2∵ k、 m均大于 0，∴可令m可有：d 2 x2 x 0(12-2)dt 2式 (12-2) 是谐振动物体的微分方程。

它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为x Asin t'(12-3)或x Acos t(12-4)'2式 (12-3)(12-4) 是简谐振动的运动方程。

所以，我们也能够说位移是时间t 的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。

本书顶用余弦形式表示谐振动方程。

3、谐振动的速度和加快度物体位移：xAcos tdxAsin tV(12-5)速度：dtd 2 xa2 Acos t 2 x加快度：dt 2(12-6)可知：Vmax A amax 2 Ax t、V t 、 at 曲线以下图 12-2图 12-3第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权（教授）说明：（1）Fkx 是谐振动的动力学特点；（2） a2 x是谐振动的运动学特点；（3）做谐振动的物体往常称为谐振子。