不确定度与数据处理

⼤学物理实验测量的不确定度和数据处理测量的不确定度和数据处理测量不确定度采⽤不确定度的必然性国际计量局等七个国际组织于1993年指定了具有国际指导性的“测量不确定度表⽰指南ISO 1993（E）”（以下简称《指南》）。

⼏年来国际与国内的科技⽂献开始采⽤不确定度概念，我国各个⾼校也不断开展这⽅⾯的讨论，改⾰教学内容与⽅法，以求与国际接轨。

虽然⼀些学者对《指南》的有些内容持批评态度[注1]，但总的趋势是在贯彻《指南》的同时，不断改善它。

测量不确定度定义为测量结果带有的⼀个参数，⽤以表征合理赋予被测量量的分散性，它是被测量客观值在某⼀量值范围内的⼀个评定。

不确定度理论将不确定度按照测量数据的性质分类：符合统计规律的，称为A类不确定度，⽽不符合统计规律的统称为B类不确定度。

测量不确定度的理论保留系统误差的概念，也不排除误差的概念。

这⾥的误差指测量值与平均值之差或测量值与标准值（⽤更⾼级的仪器的测量值）的偏差。

测量不确定度的 B类分量仪器的最⼤允差Δ仪测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为B类不确定度，记为ΔB 。

它包含了由测量者估算产⽣的部分Δ估和仪器精度有限所产⽣的最⼤允差Δ仪。

Δ仪包含了仪器的系统误差，也包含了环境以及测量者⾃⾝可能出现的变化（具随机性）对测量结果的影响。

Δ仪可从仪器说明书中得到，它表征同⼀规格型号的合格产品，在正常使⽤条件下，⼀次测量可能产⽣的最⼤误差。

⼀般⽽⾔，Δ仪为仪器最⼩刻度所对应的物理量的数量级（但不同仪器差别很⼤，⼀些常⽤仪器的最⼤允差见第26页）。

测量者的估算误差Δ估测量者对被测物或对仪器⽰数判断的不确定性会产⽣估算误差Δ估。

对于有刻度的仪器仪表，通常Δ估为最⼩刻度的⼗分之⼏，⼩于Δ仪（因为最⼤允差已包含了测量者正确使⽤仪器的估算误差）。

⽐如，估读螺旋测微器最⼩刻度的⼗分之⼀为0.001毫⽶，⼩于其最⼤允差0.004毫⽶；估读钢板尺最⼩刻度的⼗分之⼀为0.1毫⽶，⼩于其最⼤允差0.15毫⽶。

第一章误差、不确定度和数据处理的基本知识1、测量不确定度的概念是什么？如何对测量不确定度进行评定？怎样对测量结果进行报道？提示：A 类不确定度计算：B 类不确定度计算：合成不确定度计算：本学期的8 个实验中，其中迈克尔逊干涉仪测量光波长实验，声速测量实验均要求对测量进行不确定度评定计算。

2、测量结果有效数字位数是如何确定的？（1）不确定度的位数一般只取一位（而且只入不舍），若首位是1 或2 时可取两位。

相对不确定度为百分之几，一般也只取一、两位。

（2）不确定度决定了测量结果有效数字的位数，即测量结果的有效数字最后一位应与不确定度所在位对齐；若不确定度取两位，则测量结果有效数字的末位和不确定度末位取齐。

（3）有效数字尾数舍入规则：尾数“小于五则舍，大于五则入，等于五凑偶”，这种舍入法则使尾数舍与入的概率相同。

（4）同一个测量值，其精度不应随单位变换而改变。

例：迈克尔逊干涉测量光波波长结果3、作图法是如何处理数据的？（光速测量实验、等厚干涉实验均应用了作图法处理数据）（1）作图规则①作图一定要用坐标纸；②选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小；③标明坐标轴；④标示测量数据点；⑤连成线（要用直尺、曲线板，图线要光滑）；⑥标注图名.（2）图解法求直线的斜率和截距求直线斜率和截距的具体做法是，在描出的直线两端各取一坐标点A（x1，y1）和B（x2，y2），则可从下面的式子求出直线的斜率a 和截距b。

A、B 两坐标点相隔要远一些，一般取在直线两端附近（但不要超出测量数据范围，不要取原来的测量数据点），且自变量最好取为整数。

4、逐差法是如何处理数据的？（牛顿环实验、迈克尔逊干涉仪测量光波长实验、用霍尔传感器测量杨氏模量实验、声速测量实验）提示：看教材数据处理部分。

不确定度与数据处理不确定度与数据处理一、不确定度1. 不确定度1）不确定度是指由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，是表征被测量的真值所处的量值范围的评定。

2）不确定度与误差的关系不确定度和误差是两个不同的概念，前者实在后者理论基础上发展起来的，它们都是由于测量过程的不完善性引起的。

误差用于定性地描述理论和概念的场合，不确定的用于给出具体数值或进行定量运算分析的场合。

2.直接测量结果不确定度的估计直接测量结果总不确定度表示为1）A类不确定度当进行有限次测量时，A类不确定度的表达式为式中是与测量次数，置信度有关的量，可以从表1.2.1中查得。

在要求精度不高的情况下，当6≤n≤10时当n不在上述范围内时或要求精度误差估计时，应查表得到相应的值。

2）B类不确定度B类不确定度分量的误差与不确定度的系统误差相对应。

一般由仪器误差来代替。

常用仪器的误差或误差限值由生产厂家或实验室给出。

即3）总不确定度的合成当测量次数n符合6≤n≤10条件时，简化为当，或对测量结果影响甚小，或只进行了一次测量，可简单地用表示。

3.间接测量结果不确定度的估计设间接测量所用的数学表达式为式中为间接测量结果，为直接测量结果，且它们相互独立。

的不确定度（分别为）必然影响间接测量结果，使也有相应的不确定度。

不确定度是微小量，相当于数学中的“增量”，所以间接测量结果不确定度的计算公式和数学中的全微分公式基本相同。

不同之处在于不确定度替代了dx，dy，dz，…以及不确定度用“方和根”合成的统计性质。

即间接测量结果的表示方法为二、. 数据处理1. 测量结果的有效数字1）有效数字的定义测量结果的若干位准确数字和最后一位存疑数字的全体称为有效数字。

有效数字位数的多少，反映了测量结果的准确度，位数越多，准确度越高。

测量结果取几位有效数字是件严肃的事，不可任意取舍。

有效数字与小数点的位置无关，单位换算时，有效数字的位数不应发生变化。

还应注意，表示小数点位置的“0”不是有效数字，数字中间或数字后面的零是有效数字，不能任意增减。

不确定度与数据处理一、 误差与不确定度1．误差与不确定度的关系（1）误差：测量结果与客观真值之差 ∆x =x -A其中A 称为真值，一般不可能准确知道，常用约定真值代替：⎪⎩⎪⎨⎧理论公式计算结果—理论值更高精度仪器测量结果—标准值如物理常数等—公认值对一个测量过程，真值A 的最佳估计值是平均值x 。

在上述误差公式中，由于A 不可知，显然∆x 也不可知，对误差的最佳估计值是不确定度u (x )。

（2）不确定度：对误差情况的定量估计，反映对被测量值不能肯定的程度。

通常所说“误差”一般均为“不确定度”含义。

不确定度分为A 、B 两个分量，其中A 类分量是可用统计方法估计的分量，它的主要成分是随机误差。

2．随机误差： 多数随机误差服从正态分布。

定量描述随机误差的物理量叫标准差。

（1）标准差与标准偏差标准差 kA x i k ∑-=∞→2)(l i mσ∵真值A 不可知，且测量次数k 为有限次 ∴ σ 实际上也不可知，于是：用标准偏差S 代替标准差σ ： 1)()(2--=∑k x x x S i ——单次测量的标准偏差结果表述： x i ± S (x ) （置信概率~68.3%）真值的估计值 单次测量标准差最佳估计值S (x )的物理意义：在有限次测量中，每个测量值平均所具有的标准偏差。

（并不是只做一次测量）通常不严格区分标准差与标准偏差，统称为标准差。

（2）平均值的标准差真值的最佳估计值是平均值，故结果应表述为： x ± S (x ) （置信概率~68.3%）真值的最佳估计值其中 )1()()(2--=∑k k x x x S i ——平均值的标准偏差例1：某观察量的n 次独立测量的结果是X 1, X 2, , X n 。

试用方差合成公式证明平均值的标准偏差是样本标准偏差的n1，即nX S X S )()(=。

解： nX X i∑=由题知X i 相互独立，则根据方差合成公式有 nX u X u X u n )()()(212++=利用样本标准偏差的定义，可知 u (X i )=S (X ) i =1,2, ,n 故 nX S nX nS nX S X S X S X u )()()()()()(222==++==3．系统误差与仪器误差（限）（1）系统误差：在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可以预知方式变化的那一部分误差称为系统误差。

不确定度与数据处理一、 误差与不确定度1．误差与不确定度的关系（1）误差：测量结果与客观真值之差x =x -A其中A 称为真值，一般不可能准确知道，常用约定真值代替：⎪⎩⎪⎨⎧理论公式计算结果—理论值更高精度仪器测量结果—标准值如物理常数等—公认值对一个测量过程，真值A 的最佳估计值是平均值x 。

在上述误差公式中，由于A 不可知，显然x 也不可知，对误差的最佳估计值是不确定度u (x )。

（2）不确定度：对误差情况的定量估计，反映对被测量值不能肯定的程度。

通常所说“误差”一般均为“不确定度”含义。

不确定度分为A 、B 两个分量，其中A 类分量是可用统计方法估计的分量，它的主要成分是随机误差。

2．随机误差： 多数随机误差服从正态分布。

定量描述随机误差的物理量叫标准差。

（1）标准差与标准偏差标准差 kA x i k ∑-=∞→2)(limσ∵真值A 不可知，且测量次数k 为有限次 ∴实际上也不可知，于是：用标准偏差S 代替标准差 ： 1)()(2--=∑k x x x S i ——单次测量的标准偏差结果表述： x i ± S (x ) （置信概率~68.3%）单次测量标准差最佳估计值S (x )的物理意义：在有限次测量中，每个测量值平均所具有的标准偏差。

（并不是只做一次测量）通常不严格区分标准差与标准偏差，统称为标准差。

（2）平均值的标准差真值的最佳估计值是平均值，故结果应表述为： x ± S (x ) （置信概率~68.3%）真值的最佳估计值 平均值的标准差最佳估计值其中 )1()()(2--=∑k k x x x S i ——平均值的标准偏差例1：某观察量的n 次独立测量的结果是X 1, X 2, , X n 。

试用方差合成公式证明平均值的标准偏差是样本标准偏差的n1，即nX S X S )()(=。

解： nX X i∑=由题知X i 相互独立，则根据方差合成公式有 nX u X u X u n )()()(212++=利用样本标准偏差的定义，可知 u (X i )=S (X ) i =1,2, ,n 故 nX S nX nS nX S X S X S X u )()()()()()(222==++==3．系统误差与仪器误差（限）（1）系统误差：在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可以预知方式变化的那一部分误差称为系统误差。

物理实验中的数据处理和不确定度分析方法引言：物理实验是科学研究的重要手段之一，通过实验可以验证理论，探索未知领域。

然而，实验数据的处理和不确定度分析是实验过程中不可忽视的重要环节。

本文将对物理实验中的数据处理和不确定度分析方法进行探讨。

一、数据处理方法1. 数据收集：在进行物理实验时，首先需要收集实验数据。

可以使用仪器设备进行直接测量，也可以通过观察和记录来获取数据。

在数据收集过程中，应注意记录数据的准确性和完整性。

2. 数据整理：在收集到实验数据后，需要对数据进行整理和归纳。

可以使用表格、图表等形式将数据进行整理，以便更好地分析和理解数据。

3. 数据分析：数据分析是对实验数据进行统计和推理的过程。

可以使用数学统计方法，如平均值、标准差等，对数据进行分析和描述。

此外，还可以使用图像处理和模型拟合等方法，对数据进行更深入的分析。

二、不确定度分析方法1. 系统误差：系统误差是由于实验仪器、环境条件等因素引起的误差。

在进行实验前，应对实验仪器进行校准和调试，以减小系统误差的影响。

此外，还可以通过重复实验和对比实验结果来估计系统误差的大小。

2. 随机误差：随机误差是由于实验中的偶然因素引起的误差。

在实验中，随机误差是不可避免的，但可以通过增加实验次数和使用统计方法来减小其影响。

例如，可以使用标准差和方差等统计指标来描述随机误差的大小。

3. 不确定度表示：不确定度是对实验结果的不确定程度的度量。

在实验中，不确定度可以通过测量误差、重复实验等方法来估计。

常用的表示方法有绝对误差、相对误差和百分比误差等。

4. 不确定度传递：在物理实验中，往往需要通过多个测量值计算得到最终结果。

在进行计算时，需要将每个测量值的不确定度传递到最终结果中。

可以使用不确定度传递公式，根据测量值的不确定度和计算公式来计算最终结果的不确定度。

结论：物理实验中的数据处理和不确定度分析是确保实验结果准确性和可靠性的重要环节。

通过合理的数据处理和不确定度分析方法，可以更好地理解实验数据，评估实验结果的可靠性，并为科学研究提供有力支持。

物理实验技术中的数据处理与不确定度评估方法数据处理和不确定度评估是物理实验中至关重要的环节，它们对实验结果的准确性和可靠性起着决定性的作用。

本文将探讨物理实验技术中的数据处理方法和不确定度评估方法，以及它们在实验研究中的应用。

一、数据处理方法1. 有效数字和四舍五入在数据处理中，我们需要确定有效数字的位数，以确保数据的准确度和可靠性。

有效数字是指一个数字中确实的数字和估计的数字，例如，对于测量到的数值6.723，有效数字为四位，因为小数点后的数字是估计的。

在处理数据时，我们通常使用四舍五入的方法来确定有效数字的位数，确保数据的准确性。

2. 平均值和标准差在物理实验中，我们通常进行多次测量来获取更加准确的结果。

计算测量数据的平均值可以减小测量误差，提高数据的可靠性。

平均值的计算公式为数据之和除以测量次数。

另外，标准差是评估数据的离散程度的指标，表示数据的分散程度。

标准差越小，数据的可靠性越高。

3. 异常值的排除在实验测量中，可能会出现一些异常值，即与其他数据明显不符合的极端数值。

这些异常值可能会对结果产生较大的影响，因此我们需要对其进行排除。

一种常用的方法是通过判断是否与其他数据的差异超过两倍标准差来排除异常值，以确保结果的准确性。

二、不确定度评估方法1. 绝对误差和相对误差在物理实验中，我们很难完全避免测量误差的出现，这些误差会导致实验结果与真实值存在一定的偏差。

绝对误差是指测量结果与真值之间的差异，而相对误差则是绝对误差与真值的比值。

通过评估绝对误差和相对误差，我们可以了解实验结果的准确性和可靠性。

2. 系统误差和随机误差在实验测量中，误差可分为系统误差和随机误差。

系统误差是由于仪器、环境等因素引起的，它会导致测量结果偏离真实值的方向一致。

随机误差是由于测量精度的限制和实验条件的变化引起的，它会导致测量结果在一定范围内波动。

评估和控制系统误差和随机误差是减小不确定度的关键。

3. 不确定度的计算不确定度是评估测量结果的精确程度的指标，它可以通过多种方法进行计算。

有效数据与不确定度及数据处理1 有效数字任何一个物理量，其测量结果或多或少的存在着误差, 为了准确地表达测量数值, 并反映测量值的精确程度，规定测量数据(或测量结果) 必须以有效数字来表示.目前物理实验教材中常见的有效数字定义如下：测量结果中所有可靠数字和一位存疑(或欠准) 数字统称为有效数字,即“有效数字= 测量结果中全部可靠数字+ 1 位”。

有效数字的位数：可靠数字的位数加上存1位存疑数字即是有效数字的位数，如用卷尺测量人体身高的测量值为173.83cm ，173.8 cm 是可靠数字，其位数是4位，0.03cm 是存疑数字，那这个有效数字的位数为5位。

单位的变化不改变有效数字的位数。

173.83cm 变换单位变为0.0017383km ，因此0.0017383km 有效位数仍位5位。

41.7310⨯m ，其值虽然等于17300m ，但有效位数还是3位。

有效数字位数的意义：对于同一个物理量进行测量，其有效数字位数越大，代表测量精度越高。

有效数字的运算规则：（1） 在加减法运算中，运算后的末位，应当和参加运算各数中最先出现的可疑位一致。

（2） 乘除法运算后的有效数字位数，可估计为和参加运算各数中有效数字位数最少的相同。

（3） 三角函数、对数值的有效数字 测量值X 的三角函数或对数的位数，可由X 函数值与X 的末位增加1个单位后的函数值相比较去确定如：'4326x =，求sin ?x =由计算器算出：'sin 43260.687510='sin 43270.687721=由此可知应取 's i n 43260.6875=（4） 物理公式中有些数值，不是实验测量值，不必考虑位数。

（5） 对数运算时，首数不算有效数字，首位数是8或9的m 位数值在乘除运算中，计算有效数字位数时，可多算一位。

（6） 有多个数值参加运算时，在运算中应比按有效数字运算规则定的多保留一位，以防止由于多次取舍引入计算误差。