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三角函数图像的对称轴与对称中心

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1 / 3 函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

正弦函y=sinx的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ，

且平行于y轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。

三角函数图像的对称轴与对称中心

特级教师 王新敞

对于函数sin()yAx、cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()yAx的对称中心与零点和渐近线与x轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()yAx、cos()yAx和tan()yAx的简图容易画错，一般只要通过函数sinyx、cosyx、tanyx图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心．

1.正弦函数sinyx图像的对称轴与对称中心：

1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

对称轴为2xk、对称中心为(,0) kkZ．

对于函数sin()yAx的图象的对称轴只需将x取代上面的x的位置，即2xk ()kZ，由此解出1()2xk ()kZ，这就是函数sin()yAx的图象的对称轴方程．

对于函数sin()yAx的图象的对称中心只需令xk ()kZ，由此解出1()xk ()kZ，这就是函数sin()yAx的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) kkZ．

2.余弦函数cosyx图像的对称轴与对称中心：传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！

1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

对称轴为xk、对称中心为(,0)2k kZ．

对于函数cos()yAx的图象的对称轴只需将x取代上面的x的位置，即xk ()kZ，由此解出1()xk ()kZ，这就是函数cos()yAx的图象的对称轴方程．

对于函数cos()yAx的图象的对称中心只需令2xk ()kZ，由此解出1()2xk ()kZ，这就是函数cos()yAx的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2kkZ．

3.正切函数tanyx图像的渐近线与对称中心：

y=tanx322-32--2oyx

渐近线为2xk、对称中心为(,0)2k kZ，也就是曲线与x轴的交点和渐近线与x轴的交点两类点组成．正切曲线无对称轴．

对于函数tan()yAx的图象的渐近线只需将x取代上面的x的位置，即2xk ()kZ，由此解出1()2xk ()kZ，这就是函数tan()yAx的图象的渐近线方程．

对于函数tan()yAx的图象的对称中心只需令2kx ()kZ，由此解出1()2kx ()kZ，这就是函数tan()yAx的图象的对称中心的横坐标，得对称中心传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！

1((),0) 2kkZ．

例 函数y=sin(2x+3)的图象：⑴关于点（3，0）对称；⑵关于直线x=4对称；⑶关于点（4，0）对称；⑷关于直线x=12对称．正确的序号为________．

解法一：由2x+3=kπ得x=621k，对称点为（621k，0）（zk），当k=1时为（3，0），⑴正确、⑶不正确；由2x+32k得x=1212k（zk），当k=0时为12x，⑷正确、⑵不正确．综上，正确的序号为⑴⑷．

解法二：根据对称中心的横坐标就是函数的零点，对称轴必经过图象最值点的结论，可以采用代入验证法．易求()3f=sin(2×3+3)=0、()4f=sin(2×4+3)=32、()12f=sin(2×12+3)=1，所以⑴正确、⑵不正确、⑶不正确、⑷正确．综上，正确的序号为⑴⑷．

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B旋转对称、中心对称和轴对称

B旋转对称、中心对称和轴对称

学科教师辅导讲义

讲义编号 09sh10sx001036

学员编号： sh2zq1222 年 级：初一 课时数： 3

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：

学科组长签名及日期 教务长签名及日期

课 题 旋转对称、中心对称与轴对称

授课时间： 备课时间：

教学目标

1．了解平移和旋转的概念，理解平移、旋转的基本性质，并能作出简单的平面图形平移、

旋转后的图形；

2．掌握旋转对称图形和中心对称图形的概念，理解旋转对称图形和中心对称图形的区别和联系；知道中心对称的意义及与中心对称图形的区别

3．会判别出图形是否是旋转对称图形或中心对称图形，会画出给定条件的旋转对称图

形或中心对称图形；

4．掌握轴对称和轴对称图形的概念和区别、联系；

5．探索图形之间的变换关系，认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的多用。

重点、难点

重点：理解平移、旋转的基本性质；旋转对称图形和中心对称图形和轴对称图形的概念及其应用；画已知图形的中心对称和轴对称图形；

难点：作平面图形平移、旋转后的图形；中心对称与中心对称图形、轴对称与轴对称图形的区别与联系。

考点及考试要求

掌握平移、旋转的性质，并会按要求作图；旋转对称图形和中心对称图形、轴对称图形的概念，以及它们的区别与联系；中心对称、轴对称的两个图形的性质，会判断两个图形是否成中心对称或轴对称，以及它与中心对称图形、轴对称图形的区别。

教学内容

一．旋转对称图形和中心对称图形

1．把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这个图形叫做 ，这个定点叫做 ，旋转的角度叫做 ．

2．旋转角α的范围是 ．

3．把一个图形绕着一个定点旋转180°后，与初始图形重合，那么这个图形叫做 ，这个定点叫做 ．

正余弦函数图像的对称轴和对称中心

正余弦函数图像的对称轴和对称中心

1 / 2 正余弦函数图像的对称轴和对称中心

【基本结论】:

正弦曲线xysin，Rx的对称轴方程是2kx，Zk;对称中心坐标为

（k，0），Zk。

余弦曲线xycos，Rx的对称轴方程是kx，Zk;对称中心坐标为

（2k，0），Zk。

【典例分析】：

例1 求函数)32cos(3xy的对称中心和对称轴方程。

解: 由于函数xycos的对称中心为（2k，0），（Zk）对称轴方程是kx

又由232kx，得1252kx（Zk）

由kx32，得62kx（Zk）

故函数)32cos(3xy的对称中心为（1252k，3）（Zk）

对称轴方程为62kx（Zk）

例2 已知函数)2sin()(xxf的图像关于直线8x对称，求的值。

解: 由于函数xxfsin)(的图像的对称轴方程为kx2（Zk）

所以，函数)2sin()(xxf的图像的对称轴方程为

kx22（Zk）

即kx22（Zk） 224kx（Zk）

又因为已知函数)2sin()(xxf的图像的对称轴方程为8x

则有2248k（Zk） 2 / 2 解之得：4k（Zk）；

当0k时，4

2023备考-三角函数专题高频考点《三角函数的对称性》原卷版

2023备考-三角函数专题高频考点《三角函数的对称性》原卷版

2023备考-三角函数专题高频考点《三角函数的对称性》

（原卷版）

三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为半个周期，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为四分之一周期，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这又说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值．

关于三角函数对称的几个重要结论；

函数xysin的对称轴为)(2Zkkx，对称中心为))(0.(Zkk；

函数xycos的对称轴为)(Zkkx，对称中心为))(0,2(Zkk；

函数xytan函数无对称轴，对称中心为))(0,2(Zkk；

求函数)0()sin(wbwxAy的对称轴的方法；令)(2Zkkwx，得)(2Zkwkx；对称中心的求取方法；令)(Zkkwx，得wkx，即对称中心为)(bwk，．

（5）求函数)0()cos(wbwxAy的对称轴的方法；令)(Zkkwx得wkx2，即对称中心为))(,2(Zkbwk

真题回顾

1.（2022新高考I卷）记函数π()sin()(0)4fxxb的最小正周期为T．若2ππ3T且()yfx的函数图象关于点3π(,2)2中心对称，则π()2f

A．1 B．32 C．52 D．3

2.（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)fxx的图像关于点2π,03中心对称，则（ ）

A．()fx在区间5π0,12单调递减

正弦函数对称点

正弦函数对称点

正弦函数对称点

对称轴：关于直线x=(π/2) kπ，k∈Z对称。正弦函数是三角函数的一种。对于任意一个实数x都对应着唯一的角，而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。

定义域

实数集r，可以扩展到复数集c

值域

[-1，1]（正弦函数有界性的彰显）

最值和零点

①最大值：当x=2kπ (π/2)，k∈z时，y(max)=1

②最小值：当x=2kπ (3π/2)，k∈z时，y(min)=-1

零值点：(kπ，0)，k∈z

对称性

1)对称轴：关于直线x=(π/2) kπ，k∈z等距

2)中心对称：关于点(kπ,0)，k∈z对称

周期性

最小正周期：2π

奇偶性

奇函数(其图象关于原点对称)

单调性

在[-(π/2) 2kπ,(π/2) 2kπ]，k∈z上是增函数

在[(π/2) 2kπ,(3π/2) 2kπ]，k∈z上就是减至函数

对称轴和对称中心求法

正弦函数存有最基本的公式：y=asin(wx ψ)，对称轴(wx ψ)=kπ ?π（k∈z），对称中心(wx ψ)=kπ （k∈z），求出x即可。 例子：y=sin(2x-π/3)，求对称轴和对称中心

对称轴：2x-π/3=kπ π/2，x=kπ/2 5π/12

对称中心：2x-π/3=kπ，x=kπ/2 π/6，对称中心为(kπ/2 π/6,0)