有关三角形四心的题目(答案)
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一. 知识点总结1)O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心,则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 2)O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ::::=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3)O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOCsin S S S A OB A OC BOC =∠∠∠=∆∆∆:::: 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4)O 是内心ABC ∆的充要条件是)|CB |CB |CA |CA (OC )|BC |BC |BA |BA (OB )ACAC |AB |AB (OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量,使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成:0)e e (O C )e e (O B )e e (O A 322131=+⋅=+⋅=+⋅O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心,则c b a S S S A OB A OC BOC ::::=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线);二. 范例(一).将平面向量与三角形内心结合考查例1.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足)(ACAC ABAB OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )(A )外心(B )内心(C )重心(D )垂心解析:因为ABAB是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和, 又AP OA OP =-,则原式可化为)(21e e AP +=λ,由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 平分BAC ∠,则知选B.点评:这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”,首先ABAB 是什么?没见过!想想,一个非零ACB1e 2e PBCHA图6向量除以它的模不就是单位向量? 此题所用的都必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉,又能迅速地将它们迁移到一起,解这道题一点问题也没有。
三角形“四心”问题一、三角形的“重心”1、重心的定义:中线的交点,重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式:AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2、重心的性质:(1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
(2)重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
(3)在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即(x A +x B +x C 3,y A +y B +y C3).3、常见重心向量式:设O 是∆ABC 的重心,P 为平面内任意一点 ①OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ②PO⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ③若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈[0,+∞),则P 一定经过三角形的重心 ④若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC ),λ∈[0,+∞),则P 一定经过三角形的重心二、三角形的“垂心”1、垂心的定义:高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内; 直角三角形的垂心在直角顶点上; 钝角三角形的垂心在三角形外。
2、常见垂心向量式:O 是∆ABC 的垂心,则有以下结论: 1、OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2、|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 3、动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC ),λ∈(0,+∞),则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的垂心4、奔驰定理推论:S ∆BOC :S ∆COA :S ∆AOB =tanA:tanB:tanC ,tanA ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 三、三角形的“内心”1、内心的定义:角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
三角形的四心习题及解析一、单选题1. ( )△ ABC 中,若/ A :/ B :/ C = 1 : 2: 3, G 为厶 ABC 的重心,则△ GAB 面积:△ GBC 面积:△ GAC 面 积=(A ) 1: 2:,3( B ) 1 :3 : 2( C )2: 1 : 3 ( D ) 1 : 1: 1。
答案:(D )/■△ GAB 面积:△ GBC 面积:△ GAC 面积=1: 1: 1答案:(C ) 答案:(B )2 22.()如图,△ ABC 中,AB = AC ,两腰上的中线相交与G ,若/ BGC = 90°22, 贝 U BE 的长为多少? ( A ) 2( B )2^2( C ) 3 ( D )4。
,且BC解析:T AB = AC ,且 GABC 的重心 A BE = CD ■- BG = CG BC 2:2--BG = — == 2*2v'2ABE = 3BG =-皂=32 2又 T / BGC = 90 ° ,BC = 2.23.()如图,等腰△ ABC中,AB = AC = 13,BD = CD = 5,O ABC 的外心,?( A ) 117( B )24119( C ) 121( D ) 123。
242424 G 为△ ABC 的重心解析ABC为等腰三角形,二A D丄BCAD = '•. 132—52=12,连接 OB,令 OD = x ,贝UOB =OA = AD-0D= 12(12 — x) 2= x 2 + 52 x =119故选(B ) 244. ()如图,D 、E 分別为AB 、AC 中点,BE 、CD 交于F,若斜线部分的面积为7,则△ ACD 的面积为多少?( A ) 21( B ) 24( C ) 28( D ) 35。
答案:(A)5. ()直角三角形 ABC 中,/ A = 90°, O 为外心,G 为重心,若AC= 6, AB = 8,则2 4 5 7 OG=?(A)-(B )(C ) -(D )。
三角形四心竞赛训练题1一、填空题1、三角形的三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的 心;三个角的平分线的交点叫做三角形的 心;三条中线的交点叫做三角形的 心;三条高线的交点叫做三角形的 心。
2、在△ABC 中,∠A=40º,为△ABC 的内心,则∠BOC = 度。
3、圆的外切正三角形的边长是圆内接三角形的边长的 倍。
4、已知三角形三边长分别为3、4、5,则其内切圆半径为 。
5、设△ABC 的垂心为H ,则∠BHC +∠BAC= 度。
二、解答题6、如图1,△ABC 中,AD 为BC 边的高线,点O 为△ABC 的外心,求证:∠BAO=∠DAC 。
7、求证:三角形的三条中线交于一点,且这一点到顶点的距离等于中线长的23。
8、如图2,Rt △ABC 的内切圆⊙O 和斜边BC 的切点为T ,求证:ABCBT TC S ∆⋅=。
9、如图3,已知△ABC 的内心为I ,△BCI 的外心为D ,求证:A 、B 、C 、D 四点共圆。
10、如图4,已知△ABC 的内切圆和BC 相切于D ,求证:△ABD 、△ACD 的内切圆相切。
11、如图5,设△ABC 的垂心为H ,并且直线AH 和外接圆及边BC 的交点分别为E 、D ,求证:HD=DE 。
12、如图6,△ABC 的垂心为H ,外心O 到边BC 的距离为OM ,求证:AH=2OM 。
13、如图7,△ABC 的垂心为H ,外心为O ,若∠A =60º;求证:三直线HO 、AB 、AC 所作成的△APQ 是正三角形。
14、如图8,△ABC 的垂心H ,若垂足三角形DEF 的外接圆和HC 的交点为G ,求证:HG=CG 。
15、设从△ABC 的外接圆的圆心O 向BC 边作垂线OD ,求证:∠BOD=∠A 或者∠BOD+∠A=180º16、如图9,△ABC 中,∠A=2∠B ,由顶点C 作∠A 的平分线AD 的垂线CF ,垂足为F ,求证:CF 经过△ABC 的外心。
初中数学竞赛专项训练之三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖一、填空题:1、G 是△A BC 的重心,连结AG 并延长交边BC 于D ,若△ABC 的面积为6cm 2, 则△BGD 的面积为( )A. 2cm 2B. 3 cm 2C. 1 cm 2D. 23 cm 22、如图10-1,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,∠C 的平分线与∠B 的外角的平分线交于E 点,则∠AEB 是( ) A. 50° B. 45° C. 40° D. 35°3、在△ABC 中,∠ACB =90°,∠A =20°,如图10-2,将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转角α到∠A ’C ’B ’的位置,其中A ’、B ’分别是A 、B 的对应点,B 在A ’B ’上,CA ’交AB 于D ,则∠BDC 的度数为( ) A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°4、设G 是△ABC 的垂心,且AG =6,BG =8,CG =10,则三角形的面积为( ) A. 58 B. 66 C. 72 D. 845、如图10-3,有一块矩形纸片AB CD ,AB =8,AD =6,将纸片折叠,使AD 边落在AB 边上,折痕为AE ,再将△AED 沿DE 向右翻折,AE 与BC 的交点为F ,△CEF 的面积为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 86、在△ABC 中,∠A =45°,BC =a ,高BE 、CF 交于点H ,则AH =( )A.a 21 B. a 22C. aD. a 2 7、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心,A 1、B 1、C 1分别是点I 关于BC 、CA 、AB 的对称点,若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上,则∠ABC 等于( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°8、已知AD 、BE 、CF 是锐角△ABC 三条高线,垂心为H ,则其图中直角三角形的个数是( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12二、填空题1、如图10-4,I 是△ABC 的内心,∠A =40°,则∠CIB =__2、在凸四边形ABCD 中,已知AB ∶BC ∶CD ∶DA =2∶2∶3∶1,且∠ABC =90°,则∠DAB 的度数是_____3、如图10-5,在矩形ABCD 中,AB =5,BC =12,将矩形ABCD 沿对角线对折,图10-1B 图10-2 D A EB C AD E B C F图10-3 图10-4A BCD E D ’图10-5然后放在桌面上,折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是_______4、在一个圆形时钟的表面,OA 表示秒针,OB 表示分针(O 为两针的旋转中心)若现在时间恰好是12点整,则经过____秒钟后,△OAB 的面积第一次达到最大。
三角形”四心“向量形式的充要条件本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式:ABC 的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔ABC 的内心⇔::::A B C S S S a b c =⇔ABC 的外心sin 2:sin 2:sin 2C S A B C =⇔sin ABC 的垂心⇔::tan :tan A B C S S S A =ASCS BSA.外心B.内心【答案】B【法一】由a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅uu r uu u r uuu r 由0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 得OA =- 根据平面向量基本定理可得b a S S -=-所以b a S b S a =,c a S cS a=,延长CO 交AB 于E ,延长BO 交AC 则||||b a S AE S BE =,又b a S b S a =,所以||||AE b BE a ==所以CE 为ACB ∠的平分线,同理可得BF 是ABC ∠的平分线,【法二】记点O 到AB 、BC 、C A 的距离分别为123h h h ,,,212OBC S a h =⋅ ,312OAC S b h =⋅ ,112OAB S c h =⋅ ,因为0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△,则233111=0222a h OAb h OBc h OC⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ,即2310a h OA b h OB c h OC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ,又因为0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=,所以123h h h ==,所以点P 是△ABC 的内心.故选:B【反思】设O 为ABC ∆所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则O 为ABC ∆的内心⇔0aOA bOB cOC ++=.利用结论可直接得到O 为ABC 的内心.例题2:已知G 是ABC ∆的重心,且满足56sin 40sin 35sin 0AGA BGB CGC ++=,求角B【详解】因为G 是ABC ∆的重心,所以0GA GB GC ++=,所以56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C =,所以sin :sin :sin 5:7:8A B C =,由正弦定理::sin :sin :sin 5:7:8a b c A B C ==,由余弦定理,2222225871cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯,因为(0,)B π∈,所以3B π=.【反思】设G 是ABC ∆的重心,直接利用奔驰定理结论O 是ABC ∆的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔0OA OB OC ++=,所以在本例中,已知56sin 40sin 35sin 0AGA BGB CGC ++=可得到56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C =,从而得到sin :sin :sin 5:7:8A B C =,再利用正弦定理,余弦定理求解.例题3:设点O 在ABC ∆内部,且5370OA OB OC ++=,则ABC ∆与AOC ∆的面积之比为.【详解】因为点O 在ABC ∆内部,满足奔驰定理0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=,且5370OA OB OC ++=,所以::5:3:7A B C S S S =,从而得到::(537):35:1ABC AOC S S ∆=++=【反思】奔驰定理:设O 是ABC ∆内一点,BOC ∆,AOC ∆,AOB ∆的面积分别记作A S ,B S ,C S 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=,对于满足条件的选择,填空题,都可以直接使用该结论.三、针对训练举一反三一、单选题1.(2022·全国·高三专题练习)平面上有ABC 及其内一点O ,构成如图所示图形,若将OAB ,OBC △,OCA 的面积分别记作c S ,a S ,b S ,则有关系式0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r.因图形和奔驰车的logo 很相似,常把上述结论称为“奔驰定理”.已知ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若满足ASCS BSA .外心B .内心【答案】B【详解】由a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅uu r uu u r uuu r 由0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 得OA =- 根据平面向量基本定理可得b a S S -=-所以b a S b S a =,c a S cS a=,延长CO 交AB 于E ,延长BO 交AC 则||||b a S AE S BE =,又b a S b S a =,所以||||AE b BE a ==所以CE 为ACB ∠的平分线,同理可得BF 是ABC ∠的平分线,是平面向量中一个非常优美的结论,奔驰定理A .25B .12C .16【答案】D【详解】解:O 为三角形ABC 内一点,且满足2OA + ∴233()2()()3OA OB OC OB OA OC OB OA OC OA ++=-+-+-⇒.13C A B C S S S S ==++,△ABC 内的一点,∠BAC ,∠ABC ,∠A .若230OA OB OC ++=,则:A S S B .若2OA OB == ,5π6AOB ∠=,C .若O 为△ABC 的内心,34OA OB +=设AF m =,tan A ∠又:tan BE AE EC A =∠由AB FC AC BE ⋅=⋅S 的三个内角,以下命题正确的有(A .若0OA OB OC ++=,则O 为ABC B .若230OA OB OC ++=,则::A B S S C .若5π||||2,6OA OB AOB ==∠= ,2OA B :若2,OE OB OD == 所以AOE DOE S S S == 则::1:2:3A B C S S S =,正确;C :由题设1225π6ins 2C S =⨯⨯⨯=所以0OF OE OD ++=,即O 为而16C EOF S S =,则6EOF S = ,故所以1391244ABC S =++= ,错误;D :由BOC BAC π∠+∠=,则OB 同理,||||cos OB OA OB OA BOA ⋅=∠A .O 为ABC 的外心B .BOC ∠C .::cos :cos :cos OA OB OC A B C = D .:A S S 【答案】BCD【详解】依题意,()OA OB OB OC OB OA OC ⋅=⋅⇔⋅-= 同理OA ⊥CB ,OC ⊥AB ,则O 为ABC 的垂心,A 错误;AB ,AC 于P ,Q ,由选项2OBC ACB π∠+∠=,OCB ∠又OBC OCB BOC π∠+∠+∠=A .O 为ABC 的垂心B .AOB ACBπ∠=-∠C .sin :sin :sin ::OA OB OC BAC ABC ACB ∠∠∠=D .tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅=【答案】ABDOB OC ⋅ ,即OA OB OB OC ⋅-⋅ 0CA =,OB CA ⊥ ,AB,正确;因为OA CB ⊥,所以90ADB ∠=o ,BAO Ð因为OB CA ⊥,所以90BEA ∠= ,ABO Ð则(90AOB ABO BAO ππ∠=-∠-∠=-A .O 为ABC 的垂心B .C .:sin :si n :n :si O A A OB O C C B =D .【答案】ABD【详解】对于A ,OA OB OB OC ⋅=⋅ ,(OB OA ∴⋅由A 可知:AD BC ⊥,BE ⊥AOE C ∴∠=∠,又AOE ∠+∠对于C ,由B 可得:OA OB ⋅= 同理可得:OB OC OB OC ⋅=-⋅对于②:记点P 到AB 、为PBC PAC S PA S PB ++ △△a h b h PA PB c h PC +⋅⋅⋅+。
第十九讲三角形的四心【趣题引路】你知道欧拉线吗?欧拉线是欧拉发现的.欧拉(1707-1783),瑞士数学家,•变分法的奠基人,复变函数论的先驱者,理论流体力学的创始人,受学于贝努利家族.著作浩如烟海.几乎每一个数学分支都可见到他的名字.如多面体的欧拉定理,•空间解析几何的欧拉变换公式,四方方程的欧拉解法,数论中的欧拉函数,•微分方程中的欧拉方程,等等.他在数论和微分方程等方面有重大成就,•在天文学和物理学等方面也有很大贡献,对航海和弹道研究起了一定作用 .初等几何中的欧拉线.欧拉线定理的内容是:三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍,且三角形的外心、重心、垂心共线.你会证明这个定理吗?证明 (1)连BO交圆于E,则BE是直径,如图1,BO=OE,做OD⊥BC•于点D,•则BD=DC.∴OD//12EC.∵BE是直径.∴CE⊥BC,EA⊥AB.∴CE∥AH.AE∥CH,AHCE是平行四边形.∴AH//EC,∴AH=2OD;(1)(2) (2)△ABC中,AE为高,H为垂心,O为外心如图2.OD⊥BC于点D,连AD交HO于G′.∵AH//2OD,∴△AHG′∽△DOG′.∴AG′=2G′D.又∵AD是中线,∴G′与△ABC重心重合.∴三角形的外心,重心,•垂心三点共线.即H、G′、O共线.【知识延伸】三角形的四心,指的是外心、内心、重心、垂心.•由于三角形的四心处在特殊的位置上,因而它们具有独特的性质.这些是解与四心相关问题的基础.外心是三角形外接圆的圆心,它是三角形各边中垂线的交点.若O 为锐角△ABC•的外心,则有(1):∠BOC=2∠BAC,或∠BOC=360°-2∠A;(2)OA=OB=OC.内心是三角形三条内角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心.如I 是△ABC•的内心.则有:(1)∠BIC=90°+12∠A; (2)内切圆半径与半周长的积为三角形面积; (3)•内心I 到△ABC 的三边距离相等;(4)若延长AI 交△ABC 的外接圆于点E,则EI=EB=EC.(5)•在Rt △ABC 中,斜边为c,内切圆半径为r,两直角边分别为a 、b,则r=12(a+b+c). 重心是三角形三条中线的交点,设G 是△ABC 的重心,则有: (1)重心G•分每条中线为2:1; (2)S △BCG =S △CAG =S △ABC ;(3)若AD 是△ABC 的BC 边上的中线,•则有AD 2=12(AB 2+AC 2- BC 2).这就是中线长公式.(称斯台沃特定理).垂心是三角形三条高所在直线的交点,•常利用它构造相似三角形及判定四点共圆. 例1 已知G 、L 、H 分别是△ABC 的重心,内心,垂心,且AB>AC,则关系式: 甲: S △AGB > S △AGC ;乙: S △ALB > S △ALC ; 丙: S △ABC = S △AHC + S △BHC + S △AHC . 其中正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析 如图3,若G 为△ABC 的重心.由重心的性质知, S △AGB = S △AGC .(3) (4) 如图4 ,若L 为△ABC 的内心,设三角形内切圆半径为r, 则S △ALC =12AB ·r. S △ALC =12AC ·r.∵AB>AC,∴S △ALB > S △ALC .当△ABC 为钝角三角形时,若H 为△ABC 的垂心,显然S △ABC ≠S △AHC + S △BHC+ S △BHA . 故选B. 点评利用重心、内心、垂心的性质,用排除法排除了甲和丙不成立,最后确定乙成立. 例2 如图,在Rt △ABC 中,∠A=90°,BC=a,CA=b,AB=c,I 为其内心,则tan 2B +tan 2C 的值为( ). A.2a a b c ++ B.aa b c ++C.22a a b c++ D.以上答案均不对 解析 连BI,AI,CI,过I 分别作三边的垂线ID,IE,IF,垂足分别为点D 、E 、F,•设△ABC 的内切圆I 的半径为r,则ID=IE=IF=r.在Rt △CIF 中,tan 2C =rCE .在Rt △BIF 中,tan 2B rBF=,∴tan 2B +tan 2C =r rCF BF +=()BF CF r BF CF +=ar BF CF.由切线长可知:CF+BF=a,CE+AE=b,AD+BD=c.又∵CE=CF,AD=AE,BD=BF,∴CF=12(a+b-c),BF=12(a+c-b). ∴CF ·BF=12(a+b-c)(a+c-b)=14[a 2-(c-b )2]=14[b 2+c 2-(c-b)2]=12bc.又∵12bc= (a+b+c)r =S △ABC ,∴bc=(a+b+c)r.∴BF ·CF=12(a+b+c)r. ∴tan 2B +tan 2C =2ara b c r ++=2a a b c ++.选A.点评由于I 为内心,由2B , 2C联想到连结BI,IC.在Rt △ABC 中用BF,CF 来表示出tan 2B ,tan 2C的值.再利用切线长定理表示出CF,BF 的长.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,△ABC 的外接圆为⊙O,∠ACB=60°,N 是弧AB 的中点,H 是垂心. 求证:CN ⊥OH.证明 连OC 、ON,延长AH 交⊙O 于H ′,连OH ′,CH ′. 由∠ACB=60°,得∠CAH ′=•30°, ∴∠COH ′=2∠CAH ′=60°.∵OC=OH ′,∴△OCH ′是正三角形,即OC=OH ′=CH ′. ∵AH ⊥BC,CH ⊥AB.∴B 、•Q 、H 、P 四点共圆,得∠CHH ′=∠CBA. 又∠CH ′B=∠CBA,从而知∠CHH ′=∠CH ′A,• 于是△CHH ′为等腰三角形.且有CH=CH ′. 由于H 为垂心,N 为AB 的中点. ∴CH ⊥AB,ON ⊥AB,从而得CH ∥OH.又ON=OC=CH ′=CH,由此知四边形OCHN 为菱形. ∴OH ⊥CN. 点评本题设法证明OH,CN 是菱形的对角线,从而使问题获证.例2 在△ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,∠ACB=90°,CD 和BE 是△ABC 的两条中线,•且CD ⊥BE,求a:b:c.解析 如图,设CD 、BE 相交于点F,则F 为△ABC 的重心.设EF=x,DF=y,•则FB=2x,CF=2y. 在Rt △BCE 中,∵CF ⊥BE,∴Rt △BCF ∽Rt △BEC, ∴a 2=2x ·3x=6x 2.同理,(12b )2=x ·3x, 即b 2=12x 2.在Rt △DFB 中,由勾股定理,得 (12c )2=(2x)2+y 2,∴c 2=16x 2+4y 2. ① 又∵Rt △FEC ∽Rt △FCB,∴C F 2=EF ·BF.即(2y 2)=x ·2x,∴y 2=12x 2. ②以②式代入①得c 2=18x 2,∴a 2:b 2:c 2=6x 2:12x 2:18x 2=1:2:3 ∴点评由F 为Rt △ACB 的重心,因而a 、b 、•c•均能用两条中线长的代数式来表示.•又由CF 2=EF ·BF,问题获解.本题应用方程的思想方法处理平面几何的有关计算问题,其思路清晰,解题步骤规范.中考真题欣赏例1 (2003年南宁市中考题) 已知E 是△ABC 的内心,∠A 的平分线交BC 于点F,且与△ABC 的外接圆相交于点D,如图. (1)求证:∠DBE=∠DEB;(2)若AD=8cm,DF:FA=1:3,求DE 的长.证明 (1)∵E 是△ABC 的内心,∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵∠BED=∠3+∠1,∠5=∠2, ∴∠4+∠5=∠3+∠2=∠3+∠1, 即∠EBD=∠BED;(2)∵∠EBD=∠BED,∴DE=DB.∵∠D=∠D,∠5=∠2=∠1,∴BD 2=AD ·FD.∵DF:FA=1:3,AD=8, ∴FD:AD=1:4,184DF ,∴DF=2(cm). ∴B D 2=8×2=16,∴DE=BD=4(cm).点评利用内心,圆周角等性质将已知和未知关系联系起来,从而使问题获解.例2 (2001年上海市业务数学招生试题)如图,已知O 是△ABC 的边AB 、AC 的中垂线的交点,I 是∠ABC 、∠ACB 的平分线的交点,且∠I+∠BOC=180°.求∠BAC 的度数.解析 ∵O,I 分别是△ABC 的外心和内心,∴∠BOC=2∠BAC,∠I=90°+12∠BAC, 又∵∠I+∠BOC=180°, ∴90°+12∠BAC+2∠BAC=180°. ∴∠BAC=36°. 点评利用外心和内心的性质,将∠BOC 、∠BIC 用∠BAC 来表示,然后建立方程得解.竞赛样题展示例1 (2003年黄冈数学特长生选拔试题)如图,△ABC 中,AB=1998,BC=1999,AC=2000,I 为内心,G 为重心,求IG 的长.解析 连结AI 并延长交BC 于O,连AG 并延长交BC 于J,连BI,IG,由角平分线的性质定理得又∵BO+OC=1999,∴BO=999,OC=1000.又∵BJ=JC=19992,∴OJ=12又∵BI 为角的平分线,∴1998999AB AI BO IO ===2,而AG GJ=2, ∴IG ∥OJ,∴23IG OJ =, GI=23×12=13.点评连结AI,AG 并延长交边BC 于O 、J,连BI.由角平分线的性质可求出BO 、OC 的长,利用角的平分线的性质可计算出AI IO 的值,因为G 为重心,同样可知AG GJ 的值,发现AI IO =AG GJ,从而计算出IG 的长.例2 (第23届加拿大奥赛预选题)△ABC 的外心为O,AB=AC,如图,D 是AB•的中点,E 是△ACD 的重心.证明:OE ⊥CD.证明 设F 、F 分别为AC 、BC 的中点,连结AG 、DF,设AG 交DC 于H,GF 交DC 于I,• 则O 在AG 上,E 在OF 上. ∵AB=AC,AG ⊥BC,DF //12BC. ∴HO ⊥DE,∵D 、F 、G 分别为AB 、AC 和BC 的中点,知H 为△ABC 的重心, ∴DH=13DC=23DI. 由E 为△ADC 的重心,知DE=23DF. 由23DH DEDI DF==,∴EH ∥IF,即EH ∥AB, 由O 为△ABC 的外心,知OD ⊥AB,OD ⊥EH,OH ⊥DE,OD ⊥HE.知O 为△DEH 的垂心.∴EO ⊥DH,即EO ⊥CD. 点评本例综合运用了重心,垂心和外心的概念与性质.全能训练A 卷1.在△ABC 中,∠A 是钝角,O 是垂心,AO=BC,则cos(∠OBC+∠OCB)的值是( )2.设G 为△ABC 的重心,且AG=6,BG=8,CG=10,则△ABC 的面积为( )A.58B.66C.72D.843.在△ABC 中,BC=3,AC=4,BC 和AC 的中线AE,BD 互相垂直,则AB 等于( ).4.如图,△ABC 的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,则m:n:p 等于( ) A.111::a b cB.a:b:cC.cosA:cosB:cosCD.sinA:sinB:sinC 5.如图,在锐角△ABC 中,AD ⊥BC,点D 为垂足,DE ⊥AC,点E 为垂足,DF ⊥AB,•F 为垂曲心,O 为△ABC 的外心. 求证:(1)△AEF ∽△ABC; (2)AO ⊥EF.6.如图,直线PQ过△ABC的重心M,P、Q分别内分AB、AC的比值为p、q。
题型三 三角形“四心”与向量结合 (一)平面向量与三角形内心1、O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足+=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )(A )外心(B )内心(C )重心(D )垂心2、已知△ABC ,P 为三角形所在平面上的一点,且点P 满足:0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=,则P 是三角形的( )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心3、在三角形ABC 中,动点P 满足:CP AB CB CA •-=222,则P 点轨迹一定通过△ABC 的: ( )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心)(二)平面向量与三角形垂心 “垂心定理”H 是△ABC 所在平面内任一点,HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.证明:由⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理⊥,⊥.故H 是△ABC 的垂心. (反之亦然(证略))4、已知△ABC ,P 为三角形所在平面上的动点,且动点P 满足: 0PA PC PA PB PB PC •+•+•=,则P 点为三角形的 ( )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 [5、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足⋅=⋅=⋅,则点O 是ABC ∆的 ( )(A )三个内角的角平分线的交点 (B )三条边的垂直平分线的交点(C )三条中线的交点(D )三条高的交点6、在同一个平面上有ABC ∆及一点O满足关系式: 2O A +2BC =2OB +2CA =2OC +2AB ,则O为ABC ∆的 ( )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心(三)平面向量与三角形重心 “重心定理”G 是△ABC 所在平面内一点,GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心. (证明 图中GE GC GB =+ 连结BE 和CE ,则CE=GB ,BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点,AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0,得+=0⇒2-=-=,故G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略))P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证明+=+=+=⇒)()(3+++++=∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0,即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31PC PB PA PG ++=.(反之亦然(证略))7、已知O 是平面上一 定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足:)(AC AB OA OP ++=λ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心*8、已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形ABC 的重心,动点P 满足 =31 (21+21+2),则点P 一定为三角形ABC 的 ( )边中线的中点 边中线的三等分点(非重心) C.重心 边的中点(四)平面向量与三角形外心9、若O 为ABC ∆内一点,OA OB OC==,则O 是ABC ∆ 的( ) A .内心 B .外心 C .垂心 D .重心10、ABC ∆的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,)(OC OB OA m OH ++=,则实数m =:(五)平面向量与三角形四心11、已知向量1OP ,2OP ,3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0,|1OP |=|2OP |=|3OP |=1, 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.(《数学》第一册(下),复习参考题五B 组第6题)12、在△ABC 中,已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。
()
OP OA AB AC λ=++()0,λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 (填三角形的“四心”)
2、已知O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足
AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭
()0,λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 (填三角形的“四心”)
3、已知O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足
cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭()0,λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 (填三角形的“四心”)
2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭
()0,λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 (填三角形的“四心”)
5、已知O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足
sin sin AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭
()0,λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 (填三角形的“四心”)。