大学物理第四、五、六章习题参考答案
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第4章 机械振动
4.1基本要求
1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系
2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析
3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义
4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点
4.2基本概念
1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。
简谐振动的运动方程 cos()xAt
2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。
3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。
4．频率 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1T
5．圆频率 作简谐振动的物体在2秒内完成振动的次数，它与频率的关系为22T
6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位
7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。
弹性势能222p11cos()22EkxkAt
动能22222k111sin()sin()222EmmAtmAtv 弹簧振子系统的机械能为222kp1122EEEmAkA
8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。
9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力。
10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。
4.3基本规律
1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的
物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。图4.1表示了弹簧振子的动能和势能随时间的变化（0）。为了便于将此变化与位移随时间的变化相比较，在下面画了x-t曲线，由图可以看出，动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。
2．简谐振动的合成
若一个质点同时参与了两个同方向、同频率的简谐振动，即
111cos()xAt
222cos()xAt
合振动仍是一个角频率为的简谐振动。
合位移12cos()xxxAt 图4.1 弹簧振子的动能和势能随时间的变化 EpEOOxkE212EkAtt合振动的振幅221212212cos()AAAAA
合振动的初相11221122sinsintancoscosAAAA
振动加强：212πk， (0 1 2,)k，， 12AAA
振动减弱：21(21)πk， ( 1, 2, 3)k 12AAA
当21取其他值时 1212AAAAA
若两个振动同方向，但不同频率，则合成振动不再是周期振动，而是振幅随时间周期性变化的振动。
若两振动的振动方向相互垂直，频率相同。一般情况下，合成振动轨迹为一椭圆。
若两个相互垂直的振动频率不相同，且为简单比关系，则其合成振动的轨迹为封闭的曲线，曲线的具体形状取决于两个振动的频率比。若两频率比为无理数，则合成运动轨迹永不封闭。
4.4学习指导
1．重点解析
简谐振动的运动学问题是本章的重点内容之一，主要有以下两种类型：
（1）已知简谐振动表达式求有关物理量
（2）已知运动情况或振动曲线建立简谐振动表达式
对于类型（1）主要采用比较法，就是把已知的振动表达式与简谐振动的一般表达式cos()xAt加以比较，结合有关公式求得各物理量。
对于类型（2）的解题方法，一般是根据题给的条件，求出描述简谐振动的三个特征量A、、,然后将这些量代入简谐振动的一般式，就得到要求的运动表达式。
其中角频率由系统的性质决定,2km.
振幅A可由初始条件求出，2200vAx；或从振动曲线上直接看出。 图4-3 图4-2 初相有两种解法，一是解析法，即从初始条件得到00tanvx,这里有两个值，必须根据条件去掉一个不合理的值；另一是旋转矢量法，正确画出振幅矢量图，这是求初相最简便且直观的方法。
例 如图4-2所示为某质点作简谐振动的曲线。求该质点的振动方程。
分析：若要求质点的振动方程，必须求出三个特征量A、、。利用振动曲线可以看出2410Am，t=0时刻，质点位移022xA，t=0.5s时，x=0。利用这些信息可以确定、。
解：方法1 解析法
t=0时，022xA，于是有
02cos2xAA
解得：34
由t=0时刻对应的曲线斜率0dxdt可知，所以质点速度00v，即：
0sin0vA
所以34
为求，先写出质点振动方程
23410cos()4xtm
将t=0.5s，x=0代入上式得
3cos()024，同样结合该点的速度方向可以得到2，所以质点的振动方程是
23410cos()24xtm
方法2：旋转矢量法 图4-4
由振动曲线可知，t=0时刻，质点位移022xA，质点速度00v，对应的旋转矢量如图4-3所示，由图可知34。
t=0.5s时，x=0，0v。此运动状态对应矢量OP，即旋转矢量由t=0时的OM经0.5s转至OP，共转了4，1140.52radsrads
质点的振动方程是
23410cos()24xtm
2．难点释疑
疑难点1 旋转矢量
自Ox轴的原点O作一矢量A，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量A在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动的角频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量。如图4-4所示。旋转矢量A的矢端在Ox轴上的投影点的运动，可表示物体在Ox轴上的简谐振动。旋转矢量A与简谐振动的物理量之间的对应关系如表4-1所示。
表4-1 旋转矢量A与简谐振动的物理量之间的对应关系
旋转矢量是研究简谐振动的一种比较直观的方法，可以使运动的各个物理量表现得直观，运动过程显示得清晰，有助于简化简谐振动讨论中的数学处理。但必须指出，旋转矢量本身并不在作简谐振动，而是旋转矢量端点的投影点在作简谐振动。 图4-5 问题：简谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为4T吗？走过该距离的一半所需的时间是8T吗？振子从平衡位置出发经历8T时运动的位移是多少？
解析 从平衡位置运动到最远点对应旋转矢量图4-5中的角度变化是2，所需的时间24Tt
振子的速度sin()vAt不是常数，振子做变速直线运动，所以走过该距离的一半所需的时间不是8T。振子从平衡位置运动到2A处（OM 位置）时，振幅矢量转过了6的角度，即612Tt
即振子从平衡位置运动到2A所用的时间是12T，而不是8T。振子从2A运动到平衡位置所用的时间是36Tt。
振子从平衡位置出发经历8T时运动的位移是
2cos()cos()8242TxAAA
疑难点2 当一个弹簧振子的振幅加倍时，则振动周期、最大速度、质点受力最大值和振动能量如何变化？
解析 弹簧振子的振幅一般由初始条件确定。振幅加倍时，振动周期不变，因为对于给定的弹簧振子系统其周期是一定的，即2mTk；最大速度的表达式是A，所以振幅加倍时最大速度也加倍，质点受力最大值为f=kA，所以振幅加倍时受力最大值也加倍；简谐振动系统中机械能守恒为212EkA，所以振幅加倍时振动能量变为原来4倍
4.5习题解答
4.1 两根轻弹簧和一质量为m的物体组成一振动系统,弹簧的劲度系数为k1和k2,串联后与物体相接,则此系统的固有频率为等于[ ]
(A) 2//)(21mkk
k1
k2
习题4.1图 m (B) 1212/[()]2kkkkm
(C) 2)/(21kkm
(D) 1212()/()/(2)kkkkm
解析：正确答案（B）
两弹簧k1和k2串联后可等效为劲度系数k的弹簧，设k1和k2的形变量分别为Δx1和Δx2，k的形变量为 Δx，则有Δx＝Δx1+Δx2，亦即
12111kkk
1212kkkkk
据此可确定系统的固有频率为
12121/[()]22kkkkkmm
4.2 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为［ ］
(A) π (B)π/2
(C) 0 (D)θ
解析：正确答案（C）
由已知条件可知其初始时刻的位移正向最大。利用旋转矢量图可知，初相相位是0。选（C）
4.3 用余弦函数描述一简谐振动。已知振幅为A，周期为T，初相3，则振动曲线为［ ］
习题4.3图 解析：正确答案（A）
由已知条件可知：初始时刻振动的位移是cos()32AyA，速度是3sin()2vAtA，方向是向y轴正方向，则振动曲线上t=0时刻的斜率是正值。
4.4 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： [ ]
（A）222cos()33xtcm
（B）222cos()33xtcm
（C）422cos()33xtcm
（D）422cos()33xtcm
解析：正确答案（D）
由振动图像可知，初始时刻质点的位移是2A，且向y轴负方向运动，下图是其对应的旋转矢量图，由图可知，其初相位是23，振动曲线上给出了质点从2A到A的时间是1s，其对应的相位从23变化到2，所以它的角速度11224313radsrads。
简谐振动的振动方程为422cos()33xt
4.5 质点作简谐振动，已知振动周期为T，则其振动动能变化的周期是[ ]
(A) T/4 (B) T/2
(C) T (D) 2T
解析：正确答案（B）
质点作简谐振动的动能表达式是222k1sin()2EmAt，可见其变化的周期是简谐振动周期的12。
4.6 设某人一条腿的质量为m，长为l，当他以一定频率行走时最舒适，试用一习题4.4图
2343/xcm0t
