2017-2018版高中数学第一章常用逻辑用语1命题(二)学案北师大版选修2_1

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1.1 命题1。

了解命题的概念.（重点)2.掌握四种命题的结构形式.会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题。

（难点) 3。

熟练判断命题的真假性。

（易混点）［基础·初探]教材整理1 命题及相关概念阅读教材P3“问题提出”以上的部分,完成下列问题.(1）定义：可以判断真假，用文字或符号表述的语句叫命题。

（2)分类错误!（3)形式：通常把命题表示为“若p则q”的形式，其中p是条件,q是结论.1。

判断(正确的打“√”,错误的打“×”）（1）“x＞16”是命题.（)(2)“一个实数不是正数就是负数”是真命题.( ）(3)若两个命题为互否命题，则它们的真假性肯定不相同。

( ）【解析】（1)×，因为没有给定变量x的值，无法确定其真假,故不是命题. (2）×,因为0既不是正数也不是负数，所以是假命题。

(3）√,互否命题的真假性相反。

【答案】(1）×(2)×(3)√2。

下列语句是命题的是( ）A。

0.333不是无限不循环小数B.2x＞5C.请同学们用好《非常学案》！D。

三角形是平面图形吗？【解析】B不能判断其真假,C、D分别是祈使句、疑问句不是命题。

高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件学案北师大版选修211.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充分条件与判定定理1.2.3 必要条件与性质定理1.理解充分条件、必要条件的概念.(重点)2.掌握充分条件、必要条件的判断.(难点)[基础·初探]教材整理充分条件与必要条件阅读教材P6～P7的部分，完成下列问题.命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了结论成立的充分条件性质定理给出了结论成立的必要条件1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件.( )(2)若p是q的充分条件，则﹁p是﹁q的充分条件.( )(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( )【解析】(1)若p是q的必要条件，则p⇐q，∴q是p的充分条件，正确.(2)p⇒q﹁p⇒﹁q，错误.(3)两角不相等⇒两角不是对顶角，充分条件.【答案】(1)√(2)×(3)×2.“a＞1”是“a＞－1”的( )A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.以上都不对【解析】a＞1⇒a＞－1，∴a＞1是a＞－1的充分条件.【答案】 A3.若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件. 【解析】∵p⇒q，q⇒r，∴p⇒r.【答案】充分4.p：a＜1，q：|a|＜1，则p是q的________条件.【解析】∵a≤|a|＜1，∴|a|＜1⇒a＜1，∴p是q的必要条件.【答案】必要[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________[小组合作型]充分条件的判断(1)下列各题中，p是q的充分条件的是________.①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；③p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根.【自主解答】①∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.∴p不是q的充分条件.②∵两个三角形相似，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件.③∵m＜－2，∴12＋4m＜0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件.【答案】③(2)“a＞b，b＞2”是“a＋b＞4，ab＞4”的________条件.【自主解答】由a＞b，b＞2⇒a＋b＞4，ab＞4，∴是充分条件.【答案】充分(3)设命题甲为0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的________条件.【自主解答】解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5，∵0＜x＜5⇒－1＜x＜5，∴甲是乙的充分条件.【答案】充分1.判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题.2.除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件.必要条件的判断在以下各题中，分析p与q的关系：(1)p：x＞2且y＞3，q：x＋y＞5；(2)p：y＝x2，q：函数是偶函数；(3)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形.【精彩点拨】要判断p与q的关系，主要看是p⇒q，还是q⇒p.【自主解答】(1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件.(3)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件.1.判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件.2.也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”.条件乙“x∈B”.若A⊇B，则甲是乙的必要条件.[再练一题]1.分析下列各项中p 与q 的关系. (1)p ：α＝π3，q ：cos α＝12；(2)p ：(x ＋1)(x －2)＝0，q ：x ＋1＝0.【解】 (1)由于p ⇒q ，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. (2)由于q ⇒p ，故q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件.充分条件与必要条件的应用是否存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；若不存在，请说明理由.【导学号：32550003】【精彩点拨】 分别求出不等式的解集A ，B ，再根据条件判断A 与B 的关系即可. 【自主解答】 由x 2－x －2＞0⇒x ＞2或x ＜－1；4x ＋p ＜0⇒x ＜－p4，当－p 4≤－1，即p ≥4时，x ＜－p4≤－1⇒x ＜－1⇒x 2－x －2＞0，故当p ≥4时，4x ＋p ＜0是x 2－x －2＞0的充分条件.1.涉及求参数的取值范围与充分必要条件有关的问题，常借助集合的观点来处理.2.此类题的步骤为首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系，然后构建满足条件的不等式组，再进行求解.[再练一题]2.将本例中的“充分条件”改为“必要条件”，其他不变.【解】 由x 2－x －2＞0/⇒4x ＋p ＜0，所以不存在实数p 使4x ＋p ＜0是x 2－x －2＞0的必要条件.[探究共研型]充分条件和必要条件探究1 【提示】 充分、必要条件都具有传递性，具体如下：若p 是q 的充分条件，q 是s 的充分条件，即p ⇒q ，q ⇒s ，则有p ⇒s ，即p 是s 的充分条件；若p 是q 的必要条件，q 是s 的必要条件，即q ⇒p ，s ⇒q ，则有s ⇒p ，即p 是s 的必要条件.探究2 从集合的角度如何判断充分条件、必要条件？【提示】 设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若x 具有性质p ，则x ∈A ；若x 具有性质q ，则x ∈B .若A ⊆B ，就是说x 具有性质p ，则x 必具有性质q ，即p ⇒q ，p 是q 的充分条件.同理，若B ⊆A ，即q ⇒p ，p 是q 的必要条件.从集合的角度判断条件，可加深我们对充分条件与必要条件的理解. 探究3 在寻求条件时，要注意什么？【提示】 在判断充分条件、必要条件时，要特别注意哪一个是“条件”，哪一个是“结论”，否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意：若p 是q 的……条件，则p 是条件，q 是结论；若p 的……条件是q ，则p 是结论，q 是条件.“0＜x ＜5”的一个必要条件是( )A.x ＞5B.x 2－5x ＞0 C.0＜x ＜4D.x ＜5【精彩点拨】 “p 的必要条件是q ”分不清哪是条件哪是结论，易出现q ⇒p 的错误情况.【自主解答】 ∵0＜x ＜5⇒x ＜5， ∴x ＜5是0＜x ＜5的一个必要条件.故选D. 【答案】 D [再练一题]3.使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分条件是( ) A.x ＜0 B.x ≥0 C.x ∈{－1,3,5} D.x ≤－12或x ≥2【解析】 因x ∈{－1,3,5}⇒2x 2－5x －3≥0， 故选C. 【答案】 C[构建·体系]1.已知：p ：x ＞1；q ：x ＞2；则p 是q 的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.即不充分也不必要条件D.以上答案均不正确【解析】 ∵x ＞2⇒x ＞1，∴p ⇐q . ∴p 是q 的必要条件. 【答案】 B2.下列p 是q 的必要条件的是( ) A.p ：a ＝1，q ：|a |＝1 B.p ：a ＜1，q ：|a |＜1 C.p ：a ＜b ，q ：a ＜b ＋1 D.p ：a ＞b ，q ：a ＞b －1 【解析】 ∵|a |＜1，a ≤|a |， ∴a ＜1，即|a |＜1⇒a ＜1. 【答案】 B3.“tan α＝－1”是“α＝3π4”的( ) A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.以上都不对 【解析】 因α＝3π4⇒tan α＝－1，故选B.【答案】 B4.已知p ：x 2－x ＜0，那么命题p 的一个充分条件是( )A.0＜x ＜2B.－1＜x ＜1C.12＜x ＜23D.12＜x ＜2 【解析】 ∵12＜x ＜23⇒x 2－x ＜0，∴p 的充分条件是12＜x ＜23.【答案】 C5.p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ，则p 是q 的________条件. 【解析】 ∵x ＝y ⇒|x |＝|y |，即q ⇒p ， ∴p 是q 的必要条件. 【答案】 必要我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。

[学习目标] 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p或q”“p且q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的綈p命题.知识点一“且”(1)定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p 且q.(2)命题p且q的真假判定(3)A与B的交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.知识点二“或”(1)定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p 或q.(2)命题p或q的真假判定(3)A与B的并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.知识点三“非”(1)定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作綈p，读作非p.(2)命题綈p的真假判定(3)A在全集U中的补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}.(4)命题“p且q”与“p或q”的否定命题：①綈(p且q)＝綈p或綈q；②綈(p或q)＝綈p且綈q.思考(1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？(2)命题的否定与否命题有什么区别？答案(1)生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.(2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.题型一p且q命题及p或q命题例1分别写出下列命题构成的“p且q”“p或q”的形式，并判断它们的真假.(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：3是无理数，q：3是实数；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等.解(1)p且q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；∵p真，q假，∴p且q为假.p或q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；∵p真，q假，∴p或q为真.(2)p且q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p或q为真.(3)p且q：3是无理数且是实数；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：3是无理数或是实数；∵p真，q真，∴p或q为真.(4)p且q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p或q为真.反思与感悟(1)判断“p且q”形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断.(2)判断“p或q”形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定“p或q”形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题“p或q”为假命题，可简记为：有真则真，全假为假.跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)李明是男生且是高一学生.(2)方程2x2＋1＝0没有实数根.(3)12能被3或4整除.解(1)是“p且q”形式.其中p：李明是男生；q：李明是高一学生.(2)是“非p”形式.其中p：方程2x2＋1＝0有实根.(3)是“p或q”形式.其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.题型二綈p命题例2写出下列命题的否定形式.(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零.(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.反思与感悟綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p且q”的否定是“綈p或綈q”等.跟踪训练2写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：3＜2；(3)p ：空集是集合A 的子集； (4)p ：5不是75的约数.解 (1) 綈p ：y ＝sin x 不是周期函数.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (2) 綈p ：3≥2.命题p 是假命题，綈p 是真命题；(3) 綈p ：空集不是集合A 的子集.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (4) 綈p ：5是75的约数.命题p 是假命题，綈p 是真命题. 题型三 p 或q 、p 且q 、綈p 命题的综合应用例3 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围. 解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4， 所以0≤a <4.因为“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].反思与感悟 由真值表可判断p 或q 、p 且q 、綈p 命题的真假，反之，由p 或q ，p 且q ，綈p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集.跟踪训练3 已知命题p ：方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的实根；命题q ：方程4x 2＋2(a －4)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围. 解 ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假， 由a 2－4>0得a >2或a <－2. 由4(a －4)2－4×4<0得2<a <6.①若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－2，a ≤2或a ≥6，∴a <－2或a ≥6；②若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，2<a <6，通过分析可知不存在这样的a .综上，a <－2或a ≥6.1.命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，则( ) A.p 真q 假 B.p 且q 为真 C.p 或q 为假 D.p 假q 真答案 D解析 命题p 假，命题q 真. 2.给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集. 其中真命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 D解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x 2－2x －4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆A ∪B ，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题.3.已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数.则在命题q 1：p 1或p 2，q 2：p 1且p 2，q 3：(綈p 1)或p 2和q 4：p 1且(綈p 2)中，为真命题的是( ) A.q 1，q 3 B.q 2，q 3 C.q 1，q 4 D.q 2，q 4答案 C解析 p 1是真命题，则綈p 1为假命题；p 2是假命题，则綈p 2为真命题； ∴q 1：p 1或p 2是真命题，q 2：p 1且p 2是假命题， ∴q 3：(綈p 1)或p 2为假命题，q 4：p 1且(綈p 2)为真命题.∴为真命题的是q1，q4.4.已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是()A.p假q真B.“p或q”为真C.“p且q”为真D.“綈p”为真答案 B解析由(x＋2)(x－3)<0得－2<x<3，∵1∈(－2,3)，∴p真.∵∅≠{0}，∴q为假，∴“p或q”为真.5.若p是真命题，q是假命题，则()A.p且q是真命题B.p或q是假命题C.綈p是真命题D.綈q是真命题答案 D解析根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确.1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假.(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”，“p或q”的真假.p且q为真⇔p和q同时为真，p或q为真⇔p和q中至少一个为真.3.若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.因此(綈p)且p为假，(綈p)或p为真.4.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.。

第一章常用逻辑用语[自我校对]①互逆②逆否命题假.四种命题之间的基本关系如图1­1所示.图1­1其中，原命题与其逆否命题是同真同假的，原命题的逆命题与原命题的否命题是同真同假的，通常我们说互为逆否的两个命题是等价的.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2)若x2＋y2＝0，则x、y全为零.【精彩点拨】根据四种命题的构成形式给出其他三种形式.同时注意：(1)“否定”即“取其补集”(2)互为逆否的两个命题同真或同假.【规范解答】(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题.否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题.逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题.(2)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题.否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题.逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题.[再练一题]1.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A.若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C.若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D.若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数【解析】原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是B选项.【答案】 B(1)能够保证一个事件一定发生的条件，叫做这个事件发生的充分条件；一个事件要发生必须具备的条件叫做这个事件发生的必要条件；一个条件既能保证某个事件发生，同时又是这个事件发生必须具备的条件，就叫做这个事件发生的充要条件.在实际应用中，体现充要条件的文字还有“当且仅当”“有且仅有”“必须且只需”等.用逻辑符号表示为：①若p ⇒q ，且q p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ②若q ⇒p ，且pq ，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；③若p ⇒q ，且q ⇒p (或﹁p ⇒﹁q )，则p 是q 的充要条件，此时q 也是p 的充要条件； ④若pq ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件(2)利用集合的关系判断充分条件、必要条件、充要条件①A ⊆B ，就是若x ∈A ，则x ∈B ，即A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件； ②AB ，就是若x ∈A ，则x ∈B ，且B 中至少有一个元素不属于A ，即A 是B 的充分不必要条件，B 是A 的必要不充分条件；③A ＝B ，就是A ⊆B 且A ⊇B ，则A 是B 的充分条件，同时A 是B 的必要条件，即A 是B 的充要条件；④若AB ，A ⊉B ，则A 是B 的既不充分也不必要条件.若p ：|3x －4|＞2，q ：1x 2－x －2＞0，则﹁p 是﹁q 的什么条件？【精彩点拨】 先化简p ，q .再求出﹁p ，﹁q .再由﹁p 与﹁q 的推出关系下结论.【规范解答】 解不等式|3x －4|＞2，得p ：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞2或x ＜23， ∴﹁p ：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23≤x ≤2. 解不等式1x 2－x －2＞0，得q ：{x |x ＜－1或x ＞2}.∴﹁q ：{x |－1≤x ≤2}. ∴﹁p 是﹁q 的充分不必要条件. [再练一题]2.设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 {a n }为等比数列，a n ＝a 1qn －1，由a 1＜a 2＜a 3，得a 1＜a 1q ＜a 1q 2即a 1＞0，q ＞1或a 1＜0,0＜q ＜1则数列{a n }为递增数列，反之也成立故选C.【答案】 C含有逻辑联结词的复合命题的真假判断以及含有量词的命题的真假判断的不同方法和技巧.(1)简单命题的真假判断：判断简单命题的真假，通常用直接法判断，当不易判断时，还可用间接法(转化为等价命题或举反例).用直接法判断时，应先分清条件和结论，运用命题所涉及知识进行推理论证.用转化法判断时，需正确写出等价命题，再判断.(2)复合命题的真假判断：判断复合命题的真假，应先确定复合命题的形式，然后根据简单命题的真假，利用真值表判断其真假.(3)含有量词的命题的真假判断：判断含有量词的命题的真假，根据题目信息，应该先判断命题中的量词特征，再利用全称命题和特称命题真假的判断方法判断.全称命题与特称命题的判断方法如图1­4所示.指出下列命题的真假.(1)命题：“不等式|x＋2|≤0没有实数解”；(2)命题：“－1是偶数或奇数”；(3)命题：“2属于集合Q，也属于集合R”；(4)命题：“A(A∪B)”.【精彩点拨】先判断命题所含的逻辑联结词，然后再判断命题的真假.【规范解答】(1)此命题为“﹁p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解，因为x＝－2是该不等式的一个解，所以p是真命题，即﹁p为假命题，故原命题为假命题；(2)此命题为“p或q”的形式，其中p：“－1是偶数”，q：“－1是奇数”.因为p 是假命题，q为真命题，所以“p或q”为真命题，故原命题为真命题；(3)此命题为“p且q”的形式，其中p：2属于Q，q：2属于R.因为p为假命题，q 为真命题，所以p且q为假命题，故原命题为假命题；(4)此命题为“﹁p”的形式，其中p：A⊆(A∪B)，因为p为真命题，所以“﹁p”为假命题，故原命题为假命题.[再练一题]3.下列命题中是真命题的是________.(写出所有真命题的序号)(1)任意x∈R，x2≥x；(2)存在x∈R，x2≥x；(3)若“x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题.【解析】(1)(2)分别是全称命题与特称命题，易知(1)为假，(2)为真；(3)的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”，由于当x＝2时，x2－3x＋2＝0，故可知(3)为假命题.【答案】(2)(1)转化意识①由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为判断其逆否命题的真假或证明其逆否命题.②将给定p，q条件的判断转化为集合间关系的判断，即通过构造相应集合求解.(2)简化意识判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断.(3)反例意识在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的方法.已知命题p：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，命题q：函数y＝－(5－2a)x 是R上的减函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________.【自主解答】函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，即y＝x2＋2x＋a的值域包含(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0⇔a≤1，即p真⇔a≤1；函数y＝－(5－2a)x是减函数⇔5－2a＞1⇔a＜2，即q真⇔a＜2.由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假.若p真q假，则无解；若p假q真，则1＜a＜2.故满足题意的实数a的取值范围是(1,2).【答案】(1,2)[再练一题]4.设A，B为两个非空集合，则下列四个命题中真命题的序号是________.综上可知，真命题的序号是④.图1­3图1­4【答案】④1.设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0【解析】分别否定命题的条件和结论，并互换位置可得逆否命题.根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.故选D.【答案】 D2.设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】设数列的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)＜0，即q＜－1，故q ＜0是q ＜－1的必要而不充分条件.故选C. 【答案】 C3.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D.∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2【解析】 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2”.【答案】 D4.已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x＞1，则﹁p 为( ) A.∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B.∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C.∀x ＞0，总有(x ＋1)e x≤1 D.∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1【解析】 利用全称命题的否定是特称(存在性)命题求解.“∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ＞1”的否定是“∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1”.故选B. 【答案】 B5.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.【解析】 利用正切函数的值域及不等式恒成立的条件求解.由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.【答案】 1。