高中数学线性回归方程线性回归方程公式详解

高中数学选修1-2数学知识点第一部分 统计案例 知识点：1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系 ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：abx y+=∧（最小二乘法）最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法1221ni i i ni i x y n x y b x n x a y b x ==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni iini i iy yx xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关； ⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

3．线形回归模型：⑴随机误差e ：我们把线性回归模型e a bx y ++=，其中b a ,为模型的未知参数，e 称为随机误差。

随机误差a bx y e i i i --=⑵残差eˆ：我们用回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的y ˆ估计a bx +，随机误差)(a bx y e +-=，所以y y e ˆˆ-=是e 的估计量，故a x b y y y e ii i i i ˆˆˆˆ--=-=，e ˆ称为相应于点),(i i y x 的残差。

⑶回归效果判定-----相关指数(解释变量对于预报变量的贡献率) 22121ˆ()1()nii i nii i yyR yy ==-=--∑∑(2R 的表达式中21)(∑=-ni i y y 确定)注：①2R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；②2R 越接近于1，，则回归效果越好。

4．独立性检验（分类变量关系）：(1)分类变量：这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量。

(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表。

高中数学线性回归方程
线性回归方程的分析方法
分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。

如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。

如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。

线性回归方程的例题求解
用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布,分别求对a、b的偏导数并令它们等于零，得方程组解得。

其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程,称为回归系数,对
应的直线称为回归直线.顺便指出,将来还需用到,其中为观测值的样本方差。

先求x,y的平均值。

利用公式求解：b=把x,y的平均数带入a=y-bx。

求出a=是总的公式y=bx+a线性回归方程y=bx+a过定点。

x为xi的平均数，y为yi的平均数
线性回归方程两个重要公式
感谢您的阅读，祝您生活愉快。

回归方程表格公式计算介绍如下：
回归方程一般是指线性回归方程，可以用最小二乘法进行求解。

假设有m 个自变量，样本规模为n，则回归方程可以表示为：
y = b0 + b1x1 + b2x2 + ... + bmxm + ε
其中，y 表示因变量，x1～xm 表示自变量，b0～bm 表示回归系数，ε 表示随机误差项。

根据最小二乘法的原理，将样本中的自变量和因变量对应组成矩阵X 和向量y，则可以求解如下的回归系数b：
b = (XTX)-1XTy
其中，XT 表示X 矩阵的转置，(XTX)-1 表示XTX 的逆矩阵，XTy 表示X 转置矩阵和y 向量的乘积。

由于逆矩阵和矩阵乘法等计算较为复杂，因此一般采用表格软件（如Excel）进行计算。

可以按照以下步骤进行回归方程的表格公式计算：
1.在Excel 中输入自变量x1～xm 和因变量y 的样本数据，将其组成矩阵X 和向量
y。

2.使用Excel 函数MMULT 计算X 转置矩阵XT 和X 矩阵的乘积，得到XTX 矩阵
3.使用Excel 函数MINVERSE 计算XTX 的逆矩阵，得到(XTX)-1
4.使用Excel 函数MMULT 计算(XTX)-1 和XTy 的乘积，得到回归系数向量b
5.根据回归方程y = b0 + b1x1 + b2x2 + ... + bmxm + ε，将回归系数b 带回即可得
到回归方程。

注意，在使用Excel 进行计算时，需要保证样本规模足够大，以确保回归方程的有效性。

同时，还需要注意是否存在异常数据点、多重共线性等问题，以保证回归方程的准确性和可靠性。

回归直线方程公式详解及例题回归直线方程，听起来是不是有点严肃？这玩意儿就像是数学里的“小白兔”，看起来很复杂，但其实乍一看也不过是个简单的小家伙。

让咱们聊聊这个直线方程的由来，还有怎么用它解决问题。

说白了，就是用一条直线把一堆数据给“牵”起来，让我们看清楚它们之间的关系。

就像在赶集一样，把各种水果摆成一排，想要了解哪个最受欢迎。

这里，最常见的回归直线方程是y = mx + b。

听起来不算复杂吧？不过咱们慢慢来，不急。

y代表咱们要预测的东西，比如说，你想知道你的成绩和学习时间的关系，那y就可以是你的成绩；x就是你花在学习上的时间。

m，这个家伙叫做斜率，表示的是y和x之间的关系，简单来说就是学习时间每增加一个小时，成绩大概能提高多少分。

b则是当你啥都不做时，你的成绩是多少，这个也很重要，没错，人生不就是这么回事吗？想象一下，拿出一根铅笔和一张纸，把这些点点画出来。

每个点就代表了一次测量，比如说你在不同时间学习的成绩。

画得可真像一幅抽象画，虽然一开始没法看出什么，但如果仔细一看，就能发现某种趋势。

这就是回归分析的魔力，它能帮你找到这些点之间的规律。

慢慢地，这些点就会聚成一条线，给你展示出学习时间和成绩之间的关系。

再来聊聊如何计算这些参数。

有很多软件和工具可以帮你做这些。

但如果你想亲自尝试，手动计算也是个不错的选择。

先得算出这些数据的平均值，接着用这些平均值来计算m和b。

想象一下，m的计算就像是在算你朋友圈里哪个小伙伴总是抢着买单。

搞定这些，y = mx + b就能顺利出炉了。

说到这里，有些小伙伴可能会想，回归直线到底有什么用呢？这玩意儿其实是个超有用的工具。

比如说，商家可以用它预测销量，学校可以分析成绩趋势，甚至天气预报也会用到。

想想看，如果你知道晴天和下雨天的概率，你是不是就能提前决定穿哪双鞋？这不就是让生活更简单吗？回归直线也有它的局限性。

毕竟，生活可不是总那么简单。

数据点就像是小孩子一样顽皮，根本不愿意听话，完全不按常理出牌。

知识点总结选修1-2知识点总结第一章统计案例1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：abx y （最小二乘法）其中，1221ni ii nii x y nx y bx nx a ybx注意：线性回归直线经过定点),(y x .2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：ni ni iini i iy y x x y y x x r11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x,正相关；r <0时，变量y x,负相关；⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率. 记为P (A |B ) , 其公式为P (A |B )＝P （AB ）P （A ）4相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果_P (AB )＝P (A )P (B ) ，则称A 、B 相互独立．(2)如果A 1，A 2，…，An 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝_P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立．5．独立性检验（分类变量关系）：(1)2×2列联表设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A 变量121:,;B B B B 通过观察得到右表所示数据：并将形如此表的表格称为2×2列联表．(2)独立性检验根据2×2列联表中的数据判断两个变量A ，B是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验．(3)统计量χ2的计算公式χ2=n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）第二章推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三数学归纳法:它是一个递推的数学论证方法.步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立C.证明n=k+1时命题也成立, 完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N )结论都成立。

求回归方程公式
回归方程公式为：
y = β0 + β1*x1 + β2*x2 + … + βn*xn + ε
其中，y表示被解释变量（或因变量），x1、x2、…、xn表示解
释变量（或自变量），β0表示截距，β1、β2、…、βn表示自变量
的系数，ε表示误差项。

回归方程是一个用自变量来预测因变量的方程，它可以用来解释
因变量（y）与自变量（x）之间的关系。

回归方程可以用来进行预测、掌握因变量如何受自变量影响、预测因变量在不同自变量取值下的可
能取值等。

在实际应用中，回归方程可以用来分析各种关系，例如：影响销
售额的各种因素（例如广告费用、产品价格等）、影响学生成绩的各
种因素（例如考试成绩、学习时间、家庭背景等）、影响医疗费用的
各种因素（例如年龄、性别、体重指数等）等等。

除了上述基本回归方程外，还有一些其他类型的回归方程，例如：多元非线性回归方程、广义线性回归方程等，在实际应用中可以根据
具体需求选择合适的回归方程模型。

浅析高中数学函数与回归方程简单而言，函数是一种对应关系，是从非空数集a到实数集b的对应。

而回归方程则是指能够用直线方程y=bx+a近似表示的一种相关关系，回归方程的具体表现形式实则也表现为函数形式，其方程也叫线性回归方程。

从函数与回归方程的性质来看，二者之间存在相同之处，也存在区别[1]。

针对函数与回归方程之间的关系，以及回归方程涉及回归分析和实际应用，以下将展开具体的分析。

一、函数在数学当中，函数表示的是对应关系。

更加精准来说，当x 是一个非空集合，y是非空数集，f是一个对应的法则，如果对x中的每个x，按照对应法则f，使得y中存在唯一的一个元素y 与之对应，就称对应法则f是x上的一个函数，记作y=f（x），称x为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈R}为其值域（值域是y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，也可称为y是x的函数。

因此，在函数当中，函数具备三个要素，即对应法则、定义域和值域。

在解决不同变量之间的关系当中，函数能够以一种确定和理想的形式体现。

二、回归方程回归方程是在一定的样本资料下，根据回归分析后，取得一个变量（因变量）对另一变量（自变量）的一种回归关系的数学表达式，即y=bx+a。

其与函数关系不同，y=bx+a表示的是一种不确定性关系[2]。

更具体而言，给出一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn），线性回归方程中的系数a，b满足：b=，a=y-bx。

在回归方程当中，受到变量的作用和影响，其中的相关关系可以为线性相关，也可以为非线性相关，而回归方程也能够在很大程度上反映各不同变量之间是否存在相关性。

三、回归方程中的相关关系与函数关系的异同分析根据上述对函数以及回归方程的定义，两者存在的异同点十分明显。

首先，在相同点方面，二者均是指两个变量之间的关系。

其次，在不同点方面，函数关系指的是两个变量之间的关系，是一种确定性的关系，是一种因果关系，是一种理想的关系模型[3]。

线性回归方程 第26课时【学习导航】学习要求1.进一步了解非确定性关系中两个变量的统计方法；2.进一步掌握回归直线方程的求解方法．【课堂互动】自学评价1.相关关系: 当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系 .2.回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法 .3. 求线性回归方程的步骤：(1)x y (2)x y x y (3)i i i i 计算平均数、，计算与的积，求，计算，，∑∑∑x y i i 22(4)将上述有关结果代入公式，求,b a ，写出回归直线方程．【精典范例】【解】1）画出散点图：x2）设回归直线方程a bx y+=ˆ，利用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==xb y a x x y x y x b i i i i i 121221211212,计算a ，b ，得b ≈1.215, a=x b y -≈0.974，∴回归直线方程为：974.0215.1ˆ+=x y例2 已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：x (（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线度且画出图形． 【解】（1）图略 （2）1(45424648423558403950)44.5010x =+++++++++= 1(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y =+++++++++=7.37 设回归直线方程为y bx a =+，则10110221100.17510i ii ii x y x yb xx==-==-∑∑，a y bx =-=0.418-所以所求回归直线的方程为0.1750.148y x =-追踪训练1、以下是收集到的新房屋销售价格y 与房屋的大小的数据： （１）画出数据的散点图；（２）用最小二乘法估计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线． 【解】（１）散点图（略） （２）55115,545,109,116,23.2,ii i i n xx y y =======∑∑5521160952,12952ii i i i xx y ====∑∑25129525451160.1962,23.20.1962109 1.8166560952545b a ⨯-⨯=≈=-⨯≈⨯-所以，线性回归方程为0.1962 1.8166y x =+．2、一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量x( 单位：万件)之间有如下一(2)求出月总成本yˆ与月产量x 之间的线性回归方程。

回归是统计学中的一种分析方法，用于确定两个变量之间的关系。

回归直线是一种用于回归分析的数学模型，它表示为一条直线的方程。

公式表示为：
y = bx + a
其中，y是自变量，x是因变量，b是斜率，a是截距。

斜率b表示因变量x增加1单位时，自变量y会增加多少。

截距a表示当x=0时，回归直线与y轴的交点的y坐标。

举个例子，假设你想确定身高与体重之间的关系，你可以收集一些数据，然后使用回归分析来确定回归直线的方程。

假设你得到的结果是y = 0.5x + 20，这意味着每增加1厘米的身高，体重会增加0.5千克；当身高为0厘米时，体重为20千克。

回归方程公式回归方程是一种特殊的统计关系，它允许你使用数学表达式来预测变量之间的关系。

使用一个或多个自变量（例如年龄，收入，教育，种族等）来预测另一个变量，例如财富或健康状况。

归方程使用变量之间的数据来确定回归系数以及预测结果。

回归方程的公式是什么？回归方程的公式通常形式为：Y=a+bX，其中a是回归系数，b是X变量的系数，X是被预测变量，Y是预测结果。

例如，假设您正在预测财富与年龄之间的关系，则回归方程可能是Y = a + bX，其中Y 表示财富，X表示年龄，a和b表示回归系数。

求解回归方程的方法回归方程的求解分为两个主要步骤。

先，使用X变量的数据集（例如，年龄）拟合一个数学拟合曲线，称为回归曲线。

外，需要使用回归曲线对Y变量（例如，财富）求和平方差，以得出回归系数a和b。

回归曲线可以分为线性回归曲线和非线性回归曲线。

性回归曲线是具有确定性系数的线性关系，它可以明确地预测变量之间的关系。

线性回归曲线是具有不确定性系数的非线性关系，它不能明确地预测变量之间的关系。

为了求解回归方程，需要使用数据拟合技术，例如最小二乘法，线性回归和非线性回归。

小二乘法可以用来拟合线性模型，同时确定模型中每个变量的权重。

性回归可以用来拟合线性模型，而非线性回归可以用来拟合非线性模型。

由于每种拟合技术的方法不同，因此可能需要使用不同的算法来求解每种类型的回归方程。

例如，使用最小二乘法拟合线性回归模型时，可以使用最小二乘法的梯度下降算法来求解回归方程；而使用非线性回归模型时，可以使用多项式回归，神经网络或其他类似的算法来求解该方程。

回归方程的应用回归方程是统计学中常用的工具，它可以用来研究变量之间的关系，特别是当变量之间存在某种可能的统计关系时，回归方程可以帮助我们对变量之间的关系进行更详细的分析。

例如，可以使用回归方程来研究收入与教育程度之间的关系，或研究冠状动脉病变（CVD）和高血压之间的关系等。

此外，回归方程可能还可以用于模拟和预测变量之间的关系，例如通过模拟股票价格的变化，预测经济增长，或者预测政治事件对市场的影响等。