新教材人教A版数学必修第一册 模块综合提升

模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1,1)，b ＝(1，y,1)，c ＝(2，－4，2)，a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．2 2B ．10C ．3D ．4【答案】C【解析】∵b ∥c ，∴y ＝－2．∴b ＝(1，－2,1)．∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x ＋1·()－4＋2＝0，∴x ＝1．∴a ＝(1,1,1)．∴a ＋b ＝(2，－1，2)．∴|a ＋b |＝22＋－12＋22＝3．2．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD →＋12(BC →－BD →)等于( )A ．AD →B ．FA →C ．AF →D ．EF →【答案】C【解析】∵BC →－BD →＝DC →，12(BC →－BD →)＝12DC →＝DF →，∴AD →＋12(BC →－BD →)＝AD →＋DF →＝AF →．3．若直线l 1：mx ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12【答案】B【解析】直线l 1：y ＝－m 2x －12，直线l 2：y ＝－x ＋2，又∵直线l 1与直线l 2互相垂直，∴－m2×(－1)＝－1，即m ＝－2．4．已知直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a ＝( )A ．－9B ．1C ．1或－2D ．1或－9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，所以9－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋4＋a －1|52，所以a 2＋8a －9＝0，解得a ＝1或a ＝－9．5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，半焦距为c ，若|MO |≤c (其中O 为坐标原点)，则y 20的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 4c 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 4c 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 4c 2，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2c 2，＋∞ 【答案】A【解析】因为|MO |≤c ，所以|MO |≤a 2＋b 2，所以x 20＋y 20≤a 2＋b 2，又因为x 20a 2－y 20b2＝1，消去x 2得0≤y 20≤b 4a 2＋b 2，所以0≤y 20≤b 4c2．6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x ，由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ．把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因为0＜e ＜1，所以可得e ＝32． 7．在空间直角坐标系Oxyz 中，O (0,0,0)，E (22，0,0)，F (0,22，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO →|＝|CB →|＝3，若cos 〈EF →，BC →〉＝16，则OC →·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】D【解析】设C (x ，y ，z )，B (2，2，0)，OC →＝(x ，y ，z )，BC →＝(x －2，y －2，z )，EF →＝(－22，22，0)，由cos 〈EF →，BC →〉＝EF →·BC→|EF →||BC →|＝－22，22，0·x －2，y －2，z 4×3＝16，整理可得x －y ＝－22，由|CO →|＝|CB →|＝3，得x 2＋y 2＝x －22＋y －22，化简得x ＋y ＝2，以上方程组联立得x ＝24，y ＝324，则OC →·OF →＝(x ，y ，z )·(0,22，0)＝22y ＝3． 8．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A ．22B ．1－22C ．1＋22D ．2＋ 2【答案】D【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116．设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ．由抛物线的定义，得点M 到准线的距离为|MF |，点N 到准线的距离为|NF |．由梯形的中位线定理，得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )．由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab a ＋b 2＝1－2－2aba ＋b 2≥1－2－2ab 2ab2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时取得最小值2＋2．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l ：(a 2＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0C ．直线l 过定点(0,1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【解析】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0,1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在x 轴、y 轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC ．10．已知F 1，F 2是双曲线C ：y 24－x 22＝1的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1F 2为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2 C ．点M 的横坐标为± 2 D ．△MF 1F 2的面积为2 3 【答案】ACD【解析】由双曲线方程y 24－x 22＝1知a ＝2，b ＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±abx ＝±2x ，A 正确；c ＝a 2＋b 2＝6，以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2＋y 2＝6，B 错误；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝6，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2，由对称性知点M 横坐标是±2，C 正确；S △MF 1F 2＝12|F 1F 2||x M |＝12×26×2＝23，D 正确．故选ACD ．11．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( )A ．(0，2)B ．(1，2－1)C ．(2，0)D ．(2－1,1)【答案】AC【解析】如图所示，原点到直线l 的距离为d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值．连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝2．设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式，得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．故选AC ．12．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋512OB →＋512OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，因为16＋512＋512＝1，所以P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量2a ，－b ，c 也不共面，所以{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若a ·b ＜0，又由〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，所以不正确． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是__________；|OM |＝________．【答案】(1,1，－1)3【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是M ′(1,1，－1)，|OM |＝12＋－12＋12＝3．14．(2021年惠州期末)圆C ：(x －1)2＋y 2＝1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的圆的方程为______________．【答案】(x ＋1)2＋(y －2)2＝1【解析】圆C ：(x －1)2＋y 2＝1圆心C (1,0)，半径r ＝1，设圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点C ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b2＋1＝0，ba －1＝－1，解得a ＝－1，b ＝2，即圆C 的圆心关于直线l 的对称圆心为C ′(－1,2)，而圆关于直线对称得到的圆的半径不变，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1．15．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．【答案】32【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)．∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC→＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32．又∵MN →綉12AD 1→，∴MN ∥平面ACD 1．∴直线MN 到平面ACD 1的距离为32．16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点且2|PF 1|＝3|PF 2|，若∠F 1PF 2＝60°，则该双曲线的离心率为________．【答案】7【解析】2|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ．在△PF 1F 2中，利用余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2·6a ·4a cos60°，化简整理得到c ＝7a ，故e ＝7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →．解：(1)设点O 为坐标原点，OB →＝OA →＋AB →＝(2，－5,3)＋(4,1,2)＝(6，－4,5)， 则B (6，－4,5)．OC →＝OB →＋BC →＝(6，－4,5)＋(3，－2,5)＝(9，－6,10)，则C (9，－6,10)．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(7，－1,7)，则CA →＝(－7,1，－7)，又因为BC →＝(3，－2,5)，所以CA →·BC →＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－58． 18．(12分)菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．解：(1)k BC ＝－5－－16－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2．∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0． (2)k AC ＝－5－76－－4＝－65．∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56．∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0． (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11． 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4．两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2． ∴圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程相减， 得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0．圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27．20．(12分)如图，过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交C 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，R ，Q 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．解：(1)由题意，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －p 2＝0，由题意知x 1，x 2是方程两根，所以x 1x 2＝－p 2＝－4， 所以p ＝2，抛物线的标准方程为x 2＝4y ．(2)设R (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，T (0，t )，因为点T 在RQ 的垂直平分线上，所以|TR |＝|TQ |， 得x 23＋(y 3－t )2＝x 24＋(y 4－t )2．因为x 23＝4y 3，x 24＝4y 4，所以4y 3＋(y 3－t )2＝4y 4＋(y 4－t )2， 即4(y 3－y 4)＝(y 3＋y 4－2t )(y 4－y 3)， 所以－4＝y 3＋y 4－2t ．又因为y 3＋y 4＝1，所以t ＝52，故T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52．于是S △MNT ＝12|FT ||x 1－x 2|＝34|x 1－x 2|．由(1)得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 所以S △MNT ＝34|x 1－x 2|＝34x 1＋x 22－4x 1x 2＝3416k 2－4×－4＝3k 2＋1≥3． 所以当k ＝0时，S △MNT 有最小值3．21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 上的点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PC ⊥AC ．∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2． ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ． 又∵BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．(2)解：如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)． 设P (0,0，a )(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，CA →＝(1,1,0)，CP →＝(0,0，a )，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAC 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝x 1＋y 1＝0，m ·CP →＝az 1＝0，所以可取x 1＝1，y 1＝－1，z 1＝0，即m ＝(1，－1,0)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面EAC 的法向量， 则n ·CA →＝n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，x 2－y 2＋az 2＝0，取x 2＝a ，y 2＝－a ，z 2＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝63，则a ＝2．于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1,1，－2)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n ||PA →||n |＝23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． 22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32．(1)求椭圆C 的方程．(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可得32＝c a ，1a 2＋34b2＝1， 又因为a 2－b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)存在定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，理由如下： 设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立，整理得(4＋m 2)y 2－23my －1＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2)，则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝23m 4＋m 2，y 1y 2＝－14＋m2． 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数． 所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0．又因为x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0， 所以y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0， 整理得(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0． 从而可得(3－t )·23m 4＋m 2－2m ·－14＋m2＝0，11 即2m (4－3t )＝0，所以当t ＝433，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0也符合题意． 综上所述，存在x 轴上的定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．。

模块综合提升一、集合与函数概念1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理正整数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R2.集合间的基本关系(1)子集：若集合A中任意一个元素都是集合B的元素，则A⊆B(或B⊇A)；(2)真子集：若集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中，则A B(或B A)；(3)相等：若集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集，则A＝B.(4)子集的性质①若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．②子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.③空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．④A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．集合的基本运算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；(2)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(3)补集：∁U A＝{x|x∈U且x∉A}．4．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x，在集如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个元素x，在(2)相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是同一函数．5．函数的单调性单调性的定义：对于函数f (x )的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2， (1)若当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，则说f (x )在区间D 上是增函数； (2)若当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，则说f (x )在区间D 上是减函数． 6．函数的奇偶性(1)f (x )是奇函数⇔对定义域内任意x ，都有f (－x )＝－f (x )⇔对定义域内任意x ，都有f (－x )＋f (x )＝0⇔f (x )图象关于原点对称；(2)f (x )是偶函数⇔对定义域内任意x ，都有f (－x )＝f (x )⇔对定义域内任意x ，都有f (－x )－f (x )＝0⇔f (x )图象关于y 轴对称．二、基本初等函数(Ⅰ) 1．分数指数幂(1)a m n ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(2)a －mn ＝1a m n(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．2．根式的性质 (1)(na )n＝a ；(2)当n 为奇数时，na n＝a ；当n 为偶数时，n a n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.3．有理指数幂的运算性质 (1)a r·a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 4．指数式与对数式的互化log a N ＝b ⇔a b＝N (a >0，a ≠1，N >0)． 5．对数的四则运算法则 若a >0，a ≠1，M >0，N >0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． 6．对数的换底公式及推论(1)换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，a ≠1，c >0，c ≠1，b >0)．(2)常用推论： ①log a b ·log b a ＝1； ②log a b ·log b c ·log c a ＝1；③log am b n ＝n mlog a b (a >0，a ≠1，b >0)． 7．对数恒等式：a log a M ＝M ，log a a x＝x . 8．幂、指数、对数函数的图象及性质 (1)指数函数的图象和性质图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0x∈(0,1)时，y<0；x∈(1，＋∞)时，y>0x∈(0,1)时，y>0；x∈(1，＋∞)时，y<0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数(3)五个常见幂函数的图象：三、函数与方程1．函数的零点(1)概念：函数f(x)的零点是使f(x)＝0的实数x.(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：(3)函数零点的判断①若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法(1)概念：对于区间[a，b]上连续的，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．(2)用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[a，b]，验证：f(a)·f(b)<0，给定精确度；第二步：求区间[a，b]的中点x1；第三步：计算f(x1)；若f(x1)＝0，则x1就是函数零点；若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1；若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1；第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步．3．函数模型的应用(1)三种常见函数模型的增长差异函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随n值而不同增长速度a x的增长快于x n的增长，x n的增长快于log a x的增长增长后果总会存在一个x0，当x>x0时，就有a x>x n>log a x(2)函数模型的选取及数据拟合的一般步骤1．任何一个集合都至少有两个子集．(×)提示：空集只有一个子集．2．{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)提示：结合集合的描述法可知{x|y＝x2＋1}为函数y＝x2＋1的定义域；{y|y＝x2＋1}为函数y＝x2＋1的值域；{(x，y)|y＝x2＋1}为函数y＝x2＋1上的点集，故不正确．3．若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1. (×)提示：{x2,1}＝{0,1}，则x＝0.4．{x|x≤1}＝{t|t≤1}．5．对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． (√) 6．若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .(×)提示：B ，C 未必相等．7．若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)提示：不能用特殊值判断函数的单调性．8．函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)． 提示：[1，＋∞)为函数的单调递增区间的子集． 9．函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)提示：单调区间不能用“∪”连接．10．闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到． (√) 11．偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点． (×)提示：函数未必在原点处有定义．12．若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． (√) 13．如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (√) 14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．(×)提示：b ＝0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 是偶函数．15.na n＝(na )n＝a (n ∈N ＋)．(×)提示：注意n 的奇偶性．16．若a m <a n(a >0，且a ≠1)，则m <n . (×) 提示：当a >1时，命题成立．17．函数y ＝2－x在R 上为单调减函数． (√) 18．若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N . (×)提示：MN >0未必M >0，N >0.19．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数． (×)提示：a >1时，上述命题成立．20．函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．(√) 21．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．(√)22．函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)提示：函数的零点就是函数的图象与x轴的交点的横坐标．23．函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(×) 24．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(√) 25．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)．26．某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(×)提示：降价后：价格为100(1＋10%)×90%＝99，比较两者间的关系，易知亏损．27．函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)提示：未必，如当x＝2时，函数y＝2x与y＝x2函数值相等．28．不存在x0，使ax0<x n0<log a x0. (×)提示：存在，结合函数图象可知．29．在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度．(√) 30．“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×)提示：a>0，b>1.1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A＝( ) A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}C[∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，∴∁U A＝{1,6,7}．又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁U A＝{6,7}．故选C.]2．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝( )A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}C[∵N＝{x|－2＜x＜3}，M＝{x|－4＜x＜2}，∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故选C.]3．函数y ＝2x32x ＋2－x 在[－6,6]的图象大致为( )B [因为f (x )＝2x 32x ＋2－x ，所以f (－x )＝－2x32－x ＋2x ＝－f (x )，且x ∈[－6,6]，所以函数y ＝2x 32x ＋2－x 为奇函数，排除C ；当x ＞0时，f (x )＝2x 32x ＋2－x ＞0恒成立，排除D ；因为f (4)＝2×6424＋2－4＝12816＋116＝128×16257≈7.97，排除A.故选B.] 4．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x－1，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．e －x －1 B ．e －x＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x＋1D [当x <0时，－x >0， ∵当x ≥0时，f (x )＝e x－1， ∴f (－x )＝e －x－1. 又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－e －x＋1. 故选D.]5．设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )C [根据函数f (x )为偶函数可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)，因为0＜2－32＜2－23＜20＜log 34，且函数f (x )在(0，＋∞)单调递减，所以f (2－32)＞f (2－32)＞f ⎝⎛⎭⎪⎫log 314.]6．已知a ＝log 2 0.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aB [∵a ＝log 20.2＜0，b ＝20.2＞1，c ＝0.20.3∈(0,1)， ∴a <c <b .故选B.]7．已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax，若f (ln 2)＝8，则a ＝____________. －3 [当x >0时，－x ＜0，f (－x )＝－e －ax.因为函数f (x )为奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＝8，所以a ＝－3.]8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.12 [法一：令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12. 法二：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]9．已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.－2[由f(a)＝ln(1＋a2－a)＋1＝4，得ln(1＋a2－a)＝3，所以f(－a)＝ln(1＋a2＋a)＋1＝－ln11＋a2＋a＋1＝－ln(1＋a2－a)＋1＝－3＋1＝－2.]。

2021-2022学年高中数学模块综合测评新人教A版必修第一册年级：姓名：模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}A [在数轴上表示出集合A ，B ，如图所示．由图知A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．] 2．函数f (x )＝x －1x ＋1在区间[2,3]上的最大值为( ) A ．13 B ．1 C ．2 D ．12D [∵f (x )＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1在区间[2,3]上单调递增， ∴函数f (x )＝x －1x ＋1在区间[2,3]上的最大值为f (3)＝3－13＋1＝12，故选D.] 3．已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ”是“sin α＝sinβ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件C [当k ＝2n 为偶数时，α＝2n π＋β， 此时sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β，当k ＝2n ＋1为奇数时，α＝2n π＋π－β，此时sin α＝sin(π－β)＝sin β，即充分性成立，当sin α＝sin β，则α＝2n π＋β，n ∈Z 或α＝2n π＋π－β，n ∈Z ，即α＝k π＋(－1)k β，即必要性成立，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的充要条件，故选C.]4．已知x ，y ∈R ，则x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0C [∵x ，y ∈R ，且x >y >0，则1x <1y ，sin x 与sin y 的大小关系不确定，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，ln x ＋ln y 与0的大小关系不确定．故选C.] 5．函数y ＝ln cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2的图象是( )A. B.C. D.A [由偶函数排除B 、D ，∵0<cos x ≤1，∴y ≤0，∴排除C.故选A.] 6．已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则cos 2α＝( )A ．2425B ．725C ．－2425D ．±2425A [∵0<α<π2，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，∴π4<α＋π4<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝210.∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2102＝2425.故选A.]7．已知函数y ＝ax －2＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(m ，n )，且函数y ＝log 2(mx2＋bx ＋n )在区间(－∞，1]上单调递减，则实数b 的取值范围为( )A ．[－5，－4)B ．(－5，－4]C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]B [∵函数y ＝ax －2＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(2,3)，∴m ＝2，n ＝3，∴y＝log 2(2x 2＋bx ＋3)．又y ＝log 2(2x 2＋bx ＋3)在区间(－∞，1]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 4≥12＋b ＋3>0，∴－5<b ≤－4，故选B.]8．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K1＋e－0.23t －53，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．69C [由题意可知，当I (t *)＝0.95K 时，K1＋e －0.23t *－53＝0.95K ，即10.95＝1＋ e－0.23(t *－53)，e－0.23(t *－53)＝119，e 0.23(t *－53)＝19，∴0.23(t *－53)＝ln 19≈3，∴t *≈66.故选C.]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，则下列结论正确的是( )A ．a >0B ．b >0C ．c >0D ．a ＋b ＋c >0BCD [因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，故相应的二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，所以a <0，故A 错误；易知2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝－1<0，－b a ＝32>0，又a <0，故b >0，c >0，故BC 正确；由二次函数的图象(图略)可知f (1)＝a ＋b ＋c >0，故D 正确．故选BCD.] 10．对于函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋c (a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值去计算f (－1)和f (1)，所得出的正确结果可能是( )A ．2和6B ．3和9C ．4和11D ．5和13ABD [函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋c ，所以f (1)＝a ＋b sin 1＋c ，f (－1)＝－a －b sin 1＋c .所以f (1)＋f (－1)＝2c ，因为c ∈Z ，所以f (1)＋f (－1)为偶数，故四个选项中符合要求的为ABD.故选ABD.]11．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |的叙述正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增C ．f (x )在[－π，π]有4个零点D ．f (x )的最大值为2AD [A.∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故正确；B ．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故错误；C ．当x ∈[0，π]时，令f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π，又f (x )在[－π，π]上为偶函数，∴f (x )＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故错误；D ．∵sin|x |≤1，|sin x |≤1，当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )或x ＝－π2－2k π(k ∈Z )时两等号同时成立，∴f (x )的最大值为2，故正确．故选AD.] 12．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．1a <1bB ．ab <0C ．a ＋b <0D ．ab <a ＋bBCD [∵a ＝log 0.20.3＝lg 0.3－lg 5>0，b ＝log 20.3＝lg 0.3lg 2<0，∴1a >0>1b ，a ＋b ＝lg 0.3lg 2－lg 0.3lg 5＝lg 0.3lg 5－lg 2lg 2lg 5＝lg 0.3lg52lg 2lg 5，ab ＝－lg 0.3lg 2·lg 0.3lg 5＝lg 0.3·lg103lg 2lg 5，∵lg 103>lg 52，lg 0.3lg 2lg 5<0，∴ab <a ＋b <0.故选BCD.]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形中心角的弧度数是________．1或4 [设扇形的半径为R ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋αR ＝6，12αR 2＝2，解得α＝1或4.]14．十九世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x ∈Q0，x ∈∁R Q被称为狄利克雷函数．狄利克雷函数是无法画出图象的，但它的图象却客观存在，若点(2，y )在其图象上，则y ＝________.0 [∵f (x )＝⎩⎨⎧1，x ∈Q0，x ∈∁R Q，又2∈∁R Q ，∴y ＝0.]15．设ω>0，若函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递增，则ω的取值范围是________．(0,1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，5 [令2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k πω－π2ω≤x ≤2k πω＋π2ω(k ∈Z )，当k ＝0时，－π2ω≤x ≤π2ω，。

[巩固层·知识整合][提升层·题型探究](教师独具)圆锥曲线的定义及应用【例1】(1)已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M 的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，则∠F1PF2＝________.(1)C(2)60°[(1)把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝|3x＋4y－12|5.∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．(2)双曲线方程16x2－9y2＝144，化简为x29－y216＝1，即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义知|m －n |＝2a ＝6， 又已知m ·n ＝64，在△PF 1F 2中，由余弦定理知 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝m 2＋n 2－(2c )22m ·n＝(m －n )2＋2m ·n －4c 22m ·n＝36＋2×64－4×252×64＝12.所以∠F 1PF 2＝60°.]“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．[跟进训练]1．若A (3,2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，P 为抛物线上任意一点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．72 [设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF |＝|PD |， ∴要求|P A |＋|PF |取得最小值，即求|P A |＋|PD |取得最小值， 当D ，P ，A 三点共线时|P A |＋|PD |最小，为3＋12＝72.]圆锥曲线的方程【例2】 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(2)已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于A ，B 两点，且a ＝2b .若|AB |＝25，求椭圆的方程．(1)C [法一：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎨⎧c ＝2a ，b ＝3a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .依题意，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a 到直线y ＝3x 的距离分别为d 1，d 2，因为d 1＋d 2＝6，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪3c －b 2a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪3c ＋b 2a 2＝6，所以23a －3a 2＋23a ＋3a 2＝6，解得a ＝3，所以b ＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.法二：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎨⎧c ＝2a ，b ＝3a ，如图所示，由d 1＋d 2＝6，即|AD |＋|BE |＝6，可得|CF |＝3，故b ＝3，所以a ＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.](2)[解]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y 并整理得x 2－4x ＋8－2b 2＝0.由Δ＝16－4(8－2b 2)＞0，得b 2＞2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2. ∵|AB |＝25，∴1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25，即52·16－4(8－2b 2)＝25，解得b 2＝4，故a 2＝4b 2＝16. ∴所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．[跟进训练]2．(1)以直线3x ±y ＝0为渐近线，一个焦点坐标为F (0,2)的双曲线方程是( ) A ．y 2－x 23＝1B ．x 2－y 23＝1C ．x 23－y 2＝1 D ．y 23－x 2＝1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，求抛物线的标准方程．(1)D [设双曲线方程为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)， 因为焦点在y 轴上，所以方程可化为y 2－λ－x 2－λ3＝1，由条件可知－λ－λ3＝4，解得λ＝－3.所以双曲线方程为3x 2－y 2＝－3，即y 23－x 2＝1.](2)[解] 由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba ＝3， 即双曲线的渐近线方程为y ＝±3x . 由题意得，抛物线的准线方程为x ＝－p2， 可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，3p 2， 从而△AOB 的面积为12·3p ·p2＝3，解得p ＝2或p ＝－2(舍)． 所以抛物线的标准方程为y 2＝4x .圆锥曲线性质及应用【例3】 (1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13D ．14(2)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2B ． 3C ． 2D ．233[思路探究] (1)利用数形结合，采取三角函数定义建立方程求解； (2)根据弦长建立方程，求解．(1)D(2)A[(1)由题意易知直线AP的方程为y＝36(x＋a)，①直线PF2的方程为y＝3(x－c)．②联立①②，得P点纵坐标y＝35(a＋c)，如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH＝35(a＋c)．因为∠PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c，PH＝35·(a＋c)，所以sin 60°＝PHPF2＝35(a＋c)2c＝32，即a＋c＝5c，即a＝4c，所以e＝ca＝14.故选D.(2)由题意可知圆的圆心为(2,0)，半径为2.因为双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±ba x，即bx±ay＝0，且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2，所以|2b|a2＋b2＝22－12，所以ba＝ 3.故离心率e＝1＋b2a2＝2.故选A.]求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．1．本例(2)条件改为“双曲线左、右焦点为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 2作C 的渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，求C 的离心率．”[解] 点F 2(c,0)到渐近线y ＝ba x 的距离|PF 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪bc a －01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝b (b ＞0)，而|OF 2|＝c ，所以在Rt △OPF 2中，由勾股定理可得|OP |＝c 2－b 2＝a ，所以|PF 1|＝6|OP |＝6a . 在Rt △OPF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc， 在△F 1F 2P 中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝b 2＋4c 2－6a 22b ·2c，所以b c ＝b 2＋4c 2－6a 24bc ⇒3b 2＝4c 2－6a 2，则有3(c 2－a 2)＝4c 2－6a 2， 解得ca ＝3(负值舍去)， 即e ＝ 3.2．本例(2)条件改为“双曲线的一条渐近线经过(3，－4)，求其离心率”． [解] 由条件知双曲线的焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±b a x ，把(3，－4)代入y ＝－ba x ，得－4＝－b a ×3，∴b a ＝43. ∴离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53.直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线关系中，常见的有哪几种问题．[提示] 公共点个数问题，弦长问题、中点弦问题、定点、定值问题及最值问题．2．圆锥曲线中如何处理定点问题？[提示] ①引进参数法．引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．②特殊到一般法．根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【例4】 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，右顶点是A (2,0)，离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆交于两点M ，N (M ，N 不同于点A )，若AM →·AN →＝0，求证：直线l 过 定点，并求出定点坐标．[思路探究] (1)由椭圆右顶点的坐标为A (2,0)，离心率e ＝12，可得a ，c 的值，由此可得椭圆C 的方程；(2)当直线MN 斜率不存在时，设l MN ：x ＝m ，易得m ＝27，当直线MN 斜率存在时，直线MN ：y ＝kx ＋b (k ≠0)，与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立，得(4k 2＋3)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，由AM →·AN →＝0可得b ＝－27k ，从而得证．[解] (1)右顶点是A (2,0)，离心率为12，所以a ＝2，c a ＝12，∴c ＝1，则b ＝3， ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线MN 斜率不存在时，设l MN ：x ＝m ，与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立得：|y |＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24，|MN |＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24， 设直线MN 与x 轴交于点B ，|MB |＝|AB |， 即3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 24＝2－m ， ∴m ＝27或m ＝2(舍)，∴直线m 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0；当直线MN 斜率存在时，设直线MN 斜率为k ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则直线MN ：y ＝kx ＋b (k ≠0)，与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立，得(4k 2＋3)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0， x 1＋x 2＝－8kb4k 2＋3，x 1x 2＝4b 2－124k 2＋3，y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2， Δ＝(8kb )2－4(4k 2＋3)(4b 2－12)＞0，k ∈R ， AM →·AN →＝0，则(x 1－2，y 1)(x 2－2，y 2)＝0，即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝0，∴7b 2＋4k 2＋16kb ＝0， ∴b ＝－27k 或b ＝－2k ，∴直线l MN ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27或y ＝k (x －2)，∴直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0或(2,0)舍去；综上知直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.1．圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)证明代数式为定值．依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形．(3)求某线段长度为定值．利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变形即可．2．圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．[跟进训练]3.已知椭圆E 的中心在坐标原点，两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，短半轴长为2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过焦点F 2的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，满足F 1A →⊥F 1B →，求直线l 的方程．[解] (1)由题意，椭圆E 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，短半轴长为2， 可得c ＝1，b ＝2，则a ＝b 2＋c 2＝5，所以椭圆E 的标准方程x 25＋y 24＝1；(2)由题意知直线l 与x 轴不重合，设直线l ：x ＝ny ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧4x 2＋5y 2＝20x ＝ny ＋1，整理得(4n 2＋5)y 2＋8ny －16＝0， 可得y 1＋y 2＝－8n 4n 2＋5，y 1y 2＝－164n 2＋5，又由F 1A →⊥F 1B →，则F 1A →·F 1B →＝0，得(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2)＝0， 代入直线可得(ny 1＋2，y 1)·(ny 2＋2，y 2)＝0，即 (n 2＋1)y 1y 2＋2n (y 1＋y 2)＋4＝0，代入可得(n 2＋1)⎝⎛⎭⎪⎫－164n 2＋5＋2n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－8n 4n 2＋5＋4＝0，解得n 2＝14，所以直线l 的方程为x ＝±12y ＋1，即直线l 的方程为：2x ＋y －2＝0或2x －y －2＝0.[培优层·素养升华]【例】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且与抛物线y 2＝x 交于M ，N 两点，△OMN (O 为坐标原点)的面积为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，点A 为椭圆上一动点(非长轴端点)，F 1，F 2为左、右焦点，AF 2的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．[思路探究] (1)由题意求得a ，b ，c 的值即可确定椭圆方程；(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系和均值不等式即可确定三角形面积的最大值．[解] (1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与抛物线y 2＝x 交于M ，N 两点， 可设M (x ，x )，N (x ，－x )，∵△OMN 的面积为22， ∴x x ＝22，解得x ＝2，∴M (2，2), N (2，－2)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝224a 2＋2b 2＝1a 2＝b 2＋c2，解得a ＝22，b ＝2，c ＝2，∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A (2，2)，B (2，－2)，C (－2，－2)，故S △ABC ＝12×22×4＝42；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)x 28＋y 24＝1，化简得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8k 2－8＝0，则Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－8)＝32(k 2＋1)＞0， x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1·x 2＝8k 2－82k 2＋1，|AB |＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2] ＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 22k 2＋12－4·8k 2－82k 2＋1 ＝42·k 2＋12k 2＋1，点O 到直线kx －y －2k ＝0的距离d ＝|－2k |k 2＋1＝2|k |k 2＋1， 因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d ＝4|k |k 2＋1，∴S △ABC ＝12|AB |·2d ＝12·⎝⎛⎭⎪⎫42·k 2＋12k 2＋1·4|k |k 2＋1＝82·k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2.∵k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2＝k 2(k 2＋1)[k 2＋(k 2＋1)]2≤k 2(k 2＋1)4k 2(k 2＋1)＝14，又k 2≠k 2＋1，所以等号不成立． ∴S △ABC ＝82·k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2＜42，综上，△ABC 面积的最大值为4 2.(1)本题属于直线与圆锥曲线的综合问题．这类题目常出现在高考题的压轴题位置．难度属于中难程度．(2)本题以椭圆为载体，考查了直线及椭圆与数学运算能力、逻辑推理能力． (3)解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：①注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； ②强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．[跟进训练]4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，离心率为32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点(－3,0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，O 为坐标原点，求OM →·ON →的取值范围．[解] (1)因为椭圆C 的短轴长为2，所以2b ＝2， 所以b ＝1，又椭圆C 的离心率为32，所以c a ＝a 2－b 2a ＝a 2－1a ＝32， 解得a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 将y ＝k (x ＋3)代入x 24＋y 2＝1，消去y 可得 (1＋4k 2)x 2＋24k 2x ＋36k 2－4＝0，所以Δ＝(24k 2)2－4×(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0，即k 2＜15，且x 1＋x 2＝－24k 21＋4k 2，x 1x 2＝36k 2－41＋4k 2，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1＋3)·k (x 2＋3)＝(1＋k 2)x 1x 2＋3k 2(x 1＋x 2)＋9k 2＝(1＋k 2)·36k 2－41＋4k 2＋3k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－24k 21＋4k 2＋9k 2＝41k 2－41＋4k 2＝－4＋57k 21＋4k 2， 因为0≤k 2＜15，所以0≤57k 21＋4k 2＜193，所以－4≤－4＋57k 21＋4k2＜73， 所以OM →·ON →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，73.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

[巩固层·知识整合][提升层·题型探究](教师独具)空间向量的线性运算和数量积F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．(2)已知正四面体OABC 的棱长为1，如图．求：①OA →·OB →；②(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； ③|OA →＋OB →＋OC →|.[思路探究] (1)利用向量共线定理证明． (2)利用数量积的定义及运算法则进行．[解] (1)证明：∵E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →. 则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →. ∵FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB →＝23(CD →－CB →)＝23BD →， ∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在EH 上，故四边形EFGH 是梯形． (2)在正四面体OABC 中，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1. 〈OA →，OB →〉＝〈OA →，OC →〉＝〈OB →，OC →〉＝60°. ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12. ②(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝OA 2→＋2OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →2－2O B →·OC →＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1.③|OA→＋OB→＋OC→|＝(OA →＋OB →＋OC →)2＝12＋12＋12＋(2×1×1×cos 60°)×3＝ 6.1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a | ·|b |是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等．[跟进训练]1.如图，已知ABCD -A ′B ′C ′D ′是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，则α＋β＋γ＝________.32 [连接BD ，则M 为BD 的中点，MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋ 34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→. ∴α＝12，β＝14，γ＝34. ∴α＋β＋γ＝32.]空间向量基本定理三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为( )A ．0B ．357C ．9D ．657(2)如图，已知空间四边形OABC ，对角线OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →.(1)D [∵a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，a ，b ，c 三个向量不能构成空间的一个基底，∴a 与b 不平行，且a ，b ，c 三个向量共面， ∴存在实数X ，Y ，使得c ＝X a ＋Y b ，即⎩⎨⎧2X －Y ＝7，－X ＋4Y ＝5， 3X －2Y ＝λ，解得λ＝657.](2)[解] OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(OB →＋OC →)－12OA →＝12OA →＋13(OB →＋OC →)－13OA →＝16OA →＋13OB →＋13OC →.基底的判断方法判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．[跟进训练]2.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长． [解] (1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c . (2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a ＋b ＋c |＝5，∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.空间向量的坐标表示(2)已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． ①当(λa ＋b )∥(a －3b )时，求实数λ的值； ②当(a －3b )⊥(λa ＋b )时，求实数λ的值．[思路探究] (1)利用|a |＝|a |2构建函数关系，再利用二次函数求最小值； (2)利用向量共线和垂直的充要条件，由坐标运算求解． (1)355 [由已知，得b －a ＝(2，t ，t )－(1－t,1－t ，t )＝(1＋t,2t －1,0)． ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋02 ＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95.∴当t ＝15时，|b －a |的最小值为355.] (2)[解] ①∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)，∴a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa ＋b ＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．∵(λa ＋b )∥(a －3b )， ∴λ－27＝5λ＋3－4＝－λ＋5－16，解得λ＝－13.②∵(a －3b )⊥(λa ＋b )，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝1063.熟记空间向量的坐标运算公式 设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， (1)加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2)． (2)数量积运算：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (3)向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22. (4)向量长度：设M 1(x 1，y 1，z 1)，M 2(x 2，y 2，z 2)， 则|M 1M 2→|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. (5)a ∥b ⇔x 1＝λx 2且y 1＝λy 2且z 1＝λz 2.提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算．[跟进训练]3．已知O 为坐标原点，OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时Q 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，34C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73C [设OQ →＝λOP →，则QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝OB －OQ →＝OB →－λOP →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－13.所以当λ＝43时，QA →·QB →最小，此时OQ →＝43OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.]利用空间向量证明平行、垂直问题＝AD ＝CD ＝2AB ＝2，M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面P AD ；(2)平面P AD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由．[思路探究] (1)证明向量BM →垂直于平面P AD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可．[解] (1)证明：以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1，1,1)，∴BM →＝(0,1,1)，平面P AD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面P AD ，∴BM ∥平面P AD .(2)BD→＝(－1,2,0)，PB→＝(1,0，－2)，假设平面P AD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.设N(0，y，z)，则MN→＝(－1，y－1，z－1)，从而MN⊥BD，MN⊥PB，∴⎩⎨⎧MN→·BD→＝0，MN→·PB→＝0，即⎩⎨⎧1＋2(y－1)＝0，－1－2(z－1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y＝12，z＝12，∴N⎝⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面P AD内存在一点N⎝⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN⊥平面PBD.利用空间向量证明空间中的位置关系线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直.线面平行①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.线面垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题.面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题.[跟进训练]4.如图所示，已知P A⊥平面ABCD，ABCD为矩形，P A＝AD，M，N分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面P AD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC .[证明] (1)如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz .设P A ＝AD ＝a ，AB ＝b .P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)． 因为M ，N 分别为AB ，PC 的中点， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，a 2.所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，又AP →＝(0,0，a )，AD →＝(0，a,0)， 所以MN →＝12AD →＋12AP →.又因为MN ⊄平面P AD ，所以MN ∥平面P AD .(2)由(1)可知P (0,0，a )，C (b ，a,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，D (0，a,0)．所以PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，－a ，PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·PC →＝0，n 1·PM →＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧bx 1＋ay 1－az 1＝0，b 2x 1－az 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1.令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b ) .设平面PDC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧n 2·PC →＝0，n 2·PD →＝0，故⎩⎨⎧bx 2＋ay 2－az 2＝0，ay 2－az 2＝0，所以⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝z 2，令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面PMC ⊥平面PDC .用空间向量求空间角和空间距离1．用法向量求直线与平面所成的角时，直线的方向向量和平面的法向量的夹角与线面角有什么关系？[提示] 不是线面角，而是它的余角(或补角的余角)，即设线面角为θ，直线与平面的法向量的夹角为〈a ，n 〉，则θ＝π2－〈a ，n 〉(〈a ，n 〉为锐角)或θ＝〈a ，n 〉－π2(〈a ，n 〉为钝角)．应注意到线面角为锐角或直角．2．平面与平面的夹角一定是锐角吗？ [提示] 不一定，可以是锐角，也可以是直角．【例5】 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝6，AA 1＝4，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且|CP |＝2，Q 是DD 1的中点，求：(1)M 到直线PQ 的距离； (2)M 到平面AB 1P 的距离．[解] 如图，建立空间直角坐标系B -xyz ，则A (4,0,0)，M (2,3,4)，P (0,4,0)，Q (4,6,2)．(1)∵QM →＝(－2，－3,2)，QP →＝(－4，－2，－2)，∴QM →在QP →上的射影的模＝|QM →·QP →||QP →|＝(－2)×(－4)＋(－3)×(－2)＋2×(－2)(－4)2＋(－2)2＋(－2)2 ＝1024＝566. 故M 到PQ 的距离为|QM →|2－⎝⎛⎭⎪⎫5662＝17－256＝4626.(2)设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1P 的某一法向量，则n ⊥AB 1→，n ⊥AP →， ∵AB 1→＝(－4,0,4)，AP →＝(－4,4,0)，∴⎩⎨⎧－4x ＋4z ＝0，－4x ＋4y ＝0，因此可取n ＝(1,1,1)，由于MA →＝(2，－3，－4)，那么点M 到平面AB 1P 的距离为d ＝|MA →·n ||n |＝|2×1＋(－3)×1＋(－4)×1|3＝533，故M 到平面AB 1P 的距离为533.1．本例中，把条件“∠BAD ＝120°”改为“∠BAD ＝90°，且P A ＝1”，其它条件不变，求点A 到平面PCB 的距离．[解] 如图，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,1)，C (1,1,0)，B (0,2,0)，∴AP →＝(0,0,1)，BP →＝(0，－2,1)，BC →＝(1，－1,0)． 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·BP →＝0n ·BC →＝0即⎩⎨⎧－2y ＋z ＝0x －y ＝0. 令y ＝1，则x ＝1，z ＝2.∴n ＝(1,1,2)，∴A 点到平面PCB 的距离为 d ＝|AP →·n ||n |＝26＝63.2．在本例条件中加上“P A ＝1”，求直线P A 与平面PCB 所成角．[解] 根据题目所建立的平面直角坐标系可知A (0,0,0)，P (0,0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，B (0,2,0)， ∴AP →＝(0,0,1)，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，0BP →＝(0，－2,1)，设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝32x －32y ＝0，m ·BP →＝－2y ＋z ＝0，令y ＝1，则m ＝(3，1,2)，设P A 与平面PCB 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，P A →〉|＝|m ·P A →||m ||P A →|＝21×22＝22，∴θ＝45°.故直线P A 与平面PBC 所成的角为45°.用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，易知θ＝〈n ，a 〉－π2或者π2－〈n ，a 〉．(3)平面与平面的夹角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补．[培优层·素养升华]【例】 如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M —P A —C 为30°，求PC 与平面P AM 所成角的正弦值．[思路探究] (1)首先利用等腰三角形的性质可得PO ⊥AC ，利用勾股定理可证得PO ⊥OB ，然后结合线面垂直的判定定理即可证得结果；(2)根据(1)中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出点M (含有参数)的坐标，根据已知条件求得此参数，然后求解即可．[解] (1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.如图，连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .(2)如图以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .由已知得O (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0，－2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,23)，AP →＝(0,2,23)．取平面P AC 的一个法向量OB →＝(2,0,0)．设M (a,2－a,0)(0＜a ≤2)，则AM →＝(a,4－a,0)． 设平面P AM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由AP →·n ＝0，AM →·n ＝0得⎩⎨⎧2y ＋23z ＝0，ax ＋(4－a )y ＝0，取y ＝3a ，则z ＝－a ，x ＝3(a －4)，可得n ＝(3(a －4)，3a ，－a )为平面P AM 的一个法向量， 所以cos 〈OB →，n 〉＝23(a －4)23(a －4)2＋3a 2＋a 2.由已知可得|cos 〈OB →，n 〉|＝32， 所以23|a －4|23(a －4)2＋3a 2＋a 2＝32，解得a ＝43，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，433，－43. 又PC →＝(0,2，－23)， 所以cos 〈PC →，n 〉＝34.所以PC 与平面P AM 所成角的正弦值为34.利用向量方法求空间角问题是每年高考的热点问题，无论是二面角、直线与平面所成的角，还是异面直线所成的角，最终都利用空间向量的夹角公式⎝ ⎛⎭⎪⎫即cos θ＝a·b |a ||b |来求解．不同的是求二面角时，所取的两个向量为两个平面的法向量；求直线与平面所成的角时，所取的向量为直线的方向向量与平面的法向量；求异面直线所成的角时，则只需取两条直线的方向向量即可．[跟进训练]如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，求二面角B -EC -C 1的正弦值．[解] (1)证明：由已知得，B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故B 1C 1⊥BE .又BE ⊥EC 1，B 1C 1∩EC 1＝C 1， 所以BE ⊥平面EB 1C 1.(2)由(1)知∠BEB 1＝90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以∠AEB ＝45°，故AE ＝AB ，AA 1＝2AB .以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，|DA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，E (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，CE →＝(1，－1,1)，CC 1→＝(0,0,2)． 设平面EBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧CB →·n ＝0，CE →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，x －y ＋z ＝0，所以可取n ＝(0，－1，－1)．设平面ECC 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎨⎧CC 1→·m ＝0，CE →·m ＝0，即⎩⎨⎧2z 1＝0，x 1－y 1＋z 1＝0，所以可取m ＝(1,1,0)．于是cos 〈n ，m 〉＝n·m|n ||m |＝－12. 所以，二面角B -EC -C 1的正弦值为32.。

1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词根底过关练题组一全称量词命题与存在量词命题1.将“x2+y2≥2xy〞改写成全称量词命题,以下说法正确的选项是()A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xyB.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xyC.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xyD.存在x<0,y<0,使x2+y2≥2xy2.(2021浙江温州苍南高一上检测)以下命题中,存在量词命题的个数是()①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④对于≤1.任意x∈R,总有1x2+13.(多项选择)以下命题是“∃x∈R,x2>3〞的表述方法的有()A.有一个x∈R,使得x2>3成立B.对有些x∈R,x2>3成立C.任选一个x∈R,都有x2>3成立D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立4.命题“有些负数满足(1+x)(1-9x)>0〞用“∃〞或“∀〞可表述为.5.判断以下命题是全称量词命题还是存在量词命题.(1)任何一个实数除以1,仍等于这个数;(2)∀x∈R,(x+1)2≥0;(3)∃x∈R,x2<2.题组二全称量词命题与存在量词命题的真假判断6.(2021山东师范大学附属中学高一10月阶段性检测)以下命题中,既是全称量词命题又是真命题的是()A.至少有一个x∈Z,使得x2<3成立B.对任意a,b∈R,都有a2+b2≥2(a+b-1)C.∃x∈R,√x2=xD.菱形的两条对角线长度相等7.(多项选择)(2021广东中山一中高一上段考)以下命题中,是真命题的是()A.空集是任何一个非空集合的真子集B.∀x∈R,4x2>2x-1+3x2C.∃x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2D.∀a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解8.(2021北京海淀一模)a<b,那么以下结论正确的选项是()A.∀c<0,a>b+cB.∀c<0,a<b+cC.∃c>0,a>b+cD.∀c>0,a<b+c9.设语句q(x):|x-1|=1-x.(1)写出q(1),q(2),并判断它们是不是真命题;(2)写出“∀a∈R,q(a)〞,并判断它是不是真命题;(3)写出“∃a∈R,q(a)〞,并判断它是不是真命题.题组三全称量词命题与存在量词命题的应用10.(2021湖南长沙长郡中学高一上适应性检测)∀x∈{x|1≤x<3},都有m>x,那么m的取值范围为()A.m≥3B.m>3C.m>1D.m≥111.(2021江苏扬州邗江高一上期中)命题p:∃x0>0,x0+t-1=0,假设p为真命题,那么实数t的取值范围是()A.{t|t>1}B.{t|t<1}C.{t|t≥1}D.{t|t≤1}12.(2021湖北荆州沙市中学高一上月考)假设命题“∀x∈{x|0<2x-3<5},一次函数y=3x-a的图象都在x轴下方〞为真命题,那么实数a的取值范围是.13.(2021辽宁沈阳高一上期末)设p:∀x∈R,x2+x+a≥0.假设p是真命题,那么实数a的取值范围是.答案全解全析根底过关练1.A“任意〞为全称量词,选项A正确.2.B命题①中含有存在量词“有些〞,是存在量词命题;命题②中全称量词省略,可以表达为“所有的正方形都是菱形〞,是全称量词命题;命题③中全称量词省略,可以表达为“一切能被6整除的数也能被3整除〞,是全称量词命题;命题④中有全称量词“任意〞,是全称量词命题.故有1个存在量词命题.3.ABDC选项是全称量词命题,A,B,D选项符合题意,应选ABD.4.答案∃x<0,使得(1+x)(1-9x)>0解析“有些〞为存在量词,因此可用存在量词命题来表述.5.解析(1)命题中含有全称量词“任何一个〞,故是全称量词命题.(2)命题中含有全称量词“∀〞,故是全称量词命题.(3)命题中含有存在量词“∃〞,故是存在量词命题.6.B选项A,C为存在量词命题,选项B,D为全称量词命题.菱形的对角线长度不一定相等,D选项为假命题.a2-2a+b2-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,所以a2+b2≥2(a+b-1),所以选项B为真命题.应选B.7.AC 对于选项A,利用空集和真子集的关系可以判断A 正确;对于选项B,将4x 2>2x -1+3x 2整理,得x 2-2x +1=(x -1)2>0,又x ∈R,所以(x -1)2≥0,应选项B 错误;对于选项C,当x =1时,|x -2|=|1-2|<2,应选项C 正确;对于选项D,当a =0,b =0时,方程ax +b =0有无数多解,应选项D 错误. 应选AC .8.D 对于选项A,当a =1,b =3,c =-1时,不成立,故A 中结论错误;对于选项B,当a =1,b =3,c =-3时,不成立,故B 中结论错误;对于选项C,当a <b ,c >0时,a <b +c 恒成立,故C 中结论错误,D 中结论正确.应选D .9.解析(1)q (1):|1-1|=1-1,真命题.q (2):|2-1|=1-2,因为|2-1|=1,1-2=-1,所以|2-1|≠1-2,假命题.(2)∀a ∈R,|a -1|=1-a ,由(1)知,q (2)为假命题,所以“∀a ∈R,|a -1|=1-a 〞为假命题.(3)∃a ∈R,|a -1|=1-a ,由(1)知,q (1)为真命题,所以“∃a ∈R,|a -1|=1-a 〞为真命题.10.A∵∀x ∈{x |1≤x <3},都有x <3,∴要使m >x 成立,只需m ≥3.应选A .11.B 命题p :∃x 0>0,x 0+t -1=0,即∃x 0>0,x 0=1-t ,∵p 为真命题,∴1-t >0,解得t <1,∴实数t 的取值范围是{t |t <1}.应选B .12.答案 a ≥12解析集合{x |0<2x -3<5}={x|32<x <4},假设“∀x ∈{x |0<2x -3<5},一次函数y =3x -a 的图象都在x 轴下方〞为真命题,那么当32<x <4时,y =3x -a <0恒成立, ∴3×4-a ≤0,即a ≥12,∴实数a 的取值范围是a ≥12.13.答案{a|a ≥14}解析∵∀x ∈R,x 2+x +a ≥0,∴Δ=12-4a ≤0,∴a ≥14,∴a 的取值范围为{a|a ≥14}.。

模块综合训练(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线√3x-y-2 021=0的倾斜角等于()A.π6B.π3C.πD.不存在√3x-y-2021=0化为y=√3x-2021,则直线的斜率为√3,所以直线的倾斜角等于π3.故选B.2.(2020天津,7)设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为()A.x24−y24=1B.x2-y24=1C.x24-y2=1 D.x2-y2=1双曲线x 2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,y2=4x的焦点坐标为(1,0),l为yb+x1=1,即y=-bx+b,∴-b=-ba 且-b·ba=-1,∴a=1,b=1.故选D.3.若圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值等于()A.0B.2C.1D.±2x2+y2-ax-2y+1=0的标准方程为(x-a2)2+(y-1)2=a24,圆心坐标为(a2,1),圆x2+y2-4x+3=0的标准方程为(x-2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径为1,连心线所在直线的斜率为1a2-2=2a-4,中点坐标为(a+44,1 2 ),由题意可得{a 24=1,2a -4·1=-1,a+44-12-1=0,解得a=2.4.如图,在棱长均相等的四面体O-ABC 中,点D 为AB 的中点,CE=12ED ,设OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.16a +16b +13c B.13a +13b +13c C.16a +16b -13cD.1a +16b +23cCE=12ED ,∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OE⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OB⃗⃗⃗⃗⃗ +23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16a +16b +23c . 5.若双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y 2=4所截得的弦长为2,则C 的离心率为 ( )A.2B.√3C.√2D.2√33bx ±ay=0,圆心(2,0)到渐近线距离为d=√22-12=√3, 则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为 d=√a 2+b2=2b c=√3,即4(c 2-a 2)c 2=3,整理可得c 2=4a 2,双曲线的离心率e=√c 2a 2=√4=2.6.如图,在几何体ABC-A 1B 1C 1中,△ABC 为正三角形,AA 1∥BB 1∥CC 1,AA 1⊥平面ABC ,若E 是棱B 1C 1的中点,且AB=AA 1=CC 1=2BB 1,则异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值为( ) A.√1313B.2√1313C.√2613D.2√2613C 为原点,在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴,CB 为y 轴,CC 1为z 轴,建立空间直角坐标系,设AB=AA 1=CC 1=2BB 1=2,则A 1(√3,1,2),A (√3,1,0),C 1(0,0,2),B 1(0,2,1),E (0,1,32),A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,-12),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,-1,2),设异面直线A 1E 与AC 1所成角为θ,则cos θ=|A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√134·√8=√2613. ∴异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值为√2613.7.已知抛物线C :y 2=8x ,圆F :(x-2)2+y 2=4(点F 为其圆心),直线l :y=k (x-2)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M 1,M 2,M 3,M 4四点,则下列各式结果为定值的是( ) A.|M 1M 3|·|M 2M 4|B.|FM 1|·|FM 4|C.|M 1M 2|·|M 3M 4|D.|FM 1|·|M 1M 2|,设M 1,M 2,M 3,M 4四点的横坐标分别为x 1,x 2,x 3,x 4,由题意知y 2=8x 的焦点坐标与圆F 的圆心(2,0)相同,准线l 0:x=-2. 由定义得|M 1F|=x 1+2. 又|M 1F|=|M 1M 2|+2,∴|M 1M 2|=x 1,同理,|M 3M 4|=x 4.将y=k (x-2)代入抛物线方程,得k 2x 2-(4k 2+8)x+4k 2=0, ∴x 1x 4=4,∴|M 1M 2|·|M 3M 4|=4.故选C .8.如图,已知F 1,F 2是椭圆T :x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 是椭圆T 上一点,且不与x 轴重合,过F 2作∠F 1PF 2的外角的平分线的垂线,垂足为Q ,则点Q 在 上运动.( )A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线F 2Q 与F 1P 的延长线交于点M ,连接OQ (图略).因为PQ 是∠F 1PF 2的外角的平分线,且PQ ⊥F 2M ,所以在△PF 2M 中,|PF 2|=|PM|,且Q 为线段F 2M 的中点.又O 为线段F 1F 2的中点,由三角形的中位线定理,得|OQ|=12|F 1M|=12(|PF 1|+|PF 2|).由椭圆的定义,得|PF 1|+|PF 2|=2a ,所以|OQ|=a ,所以点Q 在以原点为圆心,a 为半径的圆上运动.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.(2020山东,9)已知曲线C :mx 2+ny 2=1.( ) A.若m>n>0,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上 B.若m=n>0,则C 是圆,其半径为√nC.若mn<0,则C 是双曲线,其渐近线方程为y=±√-mn xD.若m=0,n>0,则C 是两条直线mx 2+ny 2=1,∴x 21m+y 21n=1.∵m>n>0,∴1n >1m >0,∴C 是焦点在y 轴上的椭圆,A 正确; ∵m=n>0,∴x 2+y 2=1n ,即C 是圆, ∴r=√nn ,B 错误; 由mx 2+ny 2=1,得x21m+y 21n=1,∵mn<0,1m 与1n 异号,∴C 是双曲线,令mx 2+ny 2=0,可得y 2=-mn x 2,即y=±√-mn x ,C 正确;当m=0,n>0时,有ny 2=1,得y 2=1n ,即y=±√nn ,表示两条直线,D 正确,故选ACD .10.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB=4,BC=2,M ,N 分别为棱C 1D 1,CC 1的中点,则下列说法正确的是( )A.A ,M ,N ,B 四点共面B.平面ADM ⊥平面CDD 1C 1C.直线BN 与B 1M 所成的角为60°D.BN ∥平面ADMA,由图显然AM 、BN 是异面直线,故A ,M ,N ,B 四点不共面,故A 错误;对于B,由题意AD ⊥平面CDD 1C 1,故平面ADM ⊥平面CDD 1C 1,故B 正确;对于C,取CD 的中点O ,连接BO ,ON ,可知B 1M ∥OB ,三角形BON 为等边三角形,故C 正确;对于D,BN ∥平面AA 1D 1D ,显然BN 与平面ADM 不平行,故D 错误.11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,给出下列四个结论,其中正确的结论是( ) A.(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=3A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2B.A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0 C.向量AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°D.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |中,设正方体的棱长为1,则(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3,3A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3,故A 正确;B 中,A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A =AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,由AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确;C 中,A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°,但AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,故C 不正确;D 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,故D 也不正确.12.若曲线C 上存在点M ,使M 到平面内两点A (-5,0),B (5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C 为“好曲线”.以下曲线是“好曲线”的是( ) A.x+y=5 B.x 2+y 2=9 C.x 225+y 29=1D.x 2=16y:点M 轨迹是以A ,B 为焦点的双曲线.则a=4,c=5,∴b 2=c 2-a 2=9,∴M 的轨迹方程为x 216−y 29=1.直线x+y=5过点(5,0),故直线与M 的轨迹有交点,是“好曲线”,A 正确;x 2+y 2=9是以(0,0)为圆心,3为半径的圆,与M 的轨迹没有交点,不是“好曲线”,B 错误;x 225+y 29=1的右顶点为(5,0),故椭圆与M 的轨迹有交点,是“好曲线”,C 正确;把x 2=16y 代入双曲线方程,可得y 2-9y+9=0,此时Δ>0,故抛物线与M 的轨迹有交点,是“好曲线”,D 正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知圆C :x 2+y 2-2x-1=0,以点12,1为中点的弦所在的直线l 的方程是 .(x-1)2+y 2=2,可知圆心为C (1,0).设A12,1,则以A 为中点的弦所在的直线l 即为经过点A 且垂直于AC 的直线.又知k AC =0-11-12=-2,所以k l =12,所以直线l 的方程为y-1=12x-12,即2x-4y+3=0.x-4y+3=014.在四棱锥P-ABCD 中,设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,2,-8),则顶点P 到底面ABCD 的距离为 .ABCD 的法向量n =(x ,y ,z ),则{AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =4x -2y +3z =0,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =-4x +y =0, 令x=3,则y=12,z=4,∴n =(3,12,4). ∴点P 到底面ABCD 的距离d=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√9+144+16=2.15.(2019全国Ⅲ,理15)设F 1,F 2为椭圆C :x 236+y 220=1的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形,则M 的坐标为 .a 2=36,b 2=20,∴c 2=a 2-b 2=16,∴c=4.由题意得,|MF 1|=|F 1F 2|=2c=8. ∵|MF 1|+|MF 2|=2a=12,∴|MF 2|=4. 设点M 的坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0), 则S △MF 1F 2=12×|F 1F 2|×y 0=4y 0. 又S △MF 1F 2=12×4×√82-22=4√15, ∴4y 0=4√15,解得y 0=√15. 又点M 在椭圆C 上,∴x 0236+(√15)220=1,解得x 0=3或x 0=-3(舍去). ∴点M 的坐标为(3,√15).√15)16.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,M ,N ,E ,F 分别是A 1B 1,AD ,B 1C 1,C 1D 1的中点,则过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面的面积为 ,CE 和该截面所成角的正弦值为 .A 1D 1的中点G ,BC 的中点P ,CD 的中点H ,连接GM ,GN ,MN ,PE ,PH ,PF ,HF ,∵MG ∥EF ,NG ∥EP ,MG ∩NG=G ,EF ∩EP=E ,∴平面MNG ∥平面PEFH , ∴过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面为PEFH ,∵PE=2,EF=√12+12=√2,四边形PEFH 是矩形,∴过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面PEFH 的面积为S=2√2.以D 1为原点,D 1A 1为x 轴,D 1C 1为y 轴,D 1D 为z 轴,建立空间直角坐标系, E (1,2,0),F (0,1,0),H (0,1,2),C (0,2,2),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),设平面PEFH 的法向量n =(x ,y ,z ), 则{n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x -y =0,n ·EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x -y +2z =0,取x=1,得n =(1,-1,0),设CE 和该截面所成角为θ, 则sin θ=|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||EC ⃗⃗⃗⃗⃗||n |=√5·√2=√1010, ∴CE 和该截面所成角的正弦值为√1010.√2√1010四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米,拱顶距离水面6.5米. (1)建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,试求拱桥所在抛物线的方程; (2)若一竹排上有一个4米宽、6米高的大木箱,问此木排能否安全通过此桥?由题意在平面直角坐标系xOy 中,设抛物线方程为y=ax 2(a<0).由条件得点(26,-6.5)在抛物线上,∴-6.5=262a ,解得a=-1104,∴抛物线方程为y=-1104x 2,即x 2=-104y.(2)由(1)可得抛物线的方程为x 2=-104y , 当x=2时,解得y=-126,∵6.5-6=0.5>126,∴木排可安全通过此桥. 18.(12分)如图,已知以点A (-1,2)为圆心的圆与直线l 1:x+2y+7=0相切.过点B (-2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ,N 两点,Q 是MN 的中点,直线l 与l 1相交于点P. (1)求圆A 的方程;(2)当|MN|=2√19时,求直线l 的方程.由于圆A 与直线l 1:x+2y+7=0相切,∴R=√5=2√5,∴圆A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时,易知x=-2与题意相符,使|MN|=2√19.②当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y=k (x+2),即kx-y+2k=0,连接AQ , 则AQ ⊥MN ,∵|MN|=2√19,∴|AQ|=1,由|AQ|=√k 2+1=1,得k=34.∴直线l :3x-4y+6=0,故直线l 的方程为x=-2或3x-4y+6=0. 19.(12分)(2020山东,20)如图,四棱锥P-ABCD 的底面为正方形,PD ⊥底面ABCD.设平面PAD 与平面PBC 的交线为l. (1)证明:l ⊥平面PDC ;(2)已知PD=AD=1,Q 为l 上的点,求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值.PD ⊥底面ABCD ,所以PD ⊥AD.又底面ABCD 为正方形,所以AD ⊥DC. 所以AD ⊥平面PDC.因为AD ∥BC ,AD 不在平面PBC 中,所以AD ∥平面PBC ,又因为AD ⊂平面PAD ,平面PAD ∩平面PBC=l ,所以l ∥AD.所以l ⊥平面PDC. (2)D 为坐标原点,分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由PD=AD=1,得D (0,0,0),C (0,1,0),B (1,1,0),P (0,0,1),则DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1). 由(1)可设Q (a ,0,1),则DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,1). 设n =(x ,y ,z )是平面QCD 的法向量,则{n ·DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{ax +z =0,y =0.可取n =(-1,0,a ).所以cos <n ,PB⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3√1+a 2.设PB 与平面QCD 所成角为θ,则sin θ=√33×√1+a 2=√33√1+2a a 2+1.因为√33√1+2a a 2+1≤√63,当且仅当a=1时,等号成立,所以PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为√63. 20.(12分)已知抛物线x 2=2py (p>0)的焦点到直线l :x-y-2=0的距离为3√22. (1)求抛物线的标准方程;(2)设点C 是抛物线上的动点,若以点C 为圆心的圆在x 轴上截得的弦长均为4,求证:圆C 恒过定点.x 2=2py 的焦点坐标为(0,p2),由点到直线的距离公式可得(|-p2-2|)√2=3√22, 解得p=2(负值舍去),所以抛物线的标准方程是x 2=4y.C 的坐标为(x 0,x 024),半径为r ,又圆C 在x 轴上截得的弦长为4, 所以r 2=4+(x 024)2,所以圆C 的标准方程为(x-x 0)2+(y -x 024)2=4+(x 024)2,化简得(1-y2)x 02-2xx 0+(x 2+y 2-4)=0,对于任意的x 0∈R ,上述方程均成立,故有{1-y2=0,-2x =0,x 2+y 2=4,解得x=0,y=2,所以圆C 恒过定点(0,2).21.(12分)在矩形ABCD 中,AB=3,AD=2,E 是线段CD 上靠近点D 的一个三等分点,F 是线段AD 上的一个动点,且DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1).如图,将△BCE 沿BE 折起至△BEG ,使得平面BEG ⊥平面ABED. (1)当λ=12时,求证:EF ⊥BG. (2)是否存在λ,使得FG 与平面DEG 所成的角的正弦值为13?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.当λ=12时,F 是AD 的中点,∴DF=12AD=1,DE=13CD=1.∵∠ADC=90°,∴∠DEF=45°.∵CE=23CD=2,BC=2,∠BCD=90°,∴∠BEC=45°.∴BE ⊥EF.又平面GBE ⊥平面ABED ,平面GBE ∩平面ABED=BE ,EF ⊂平面ABED , ∴EF ⊥平面BEG.∵BG ⊂平面BEG ,∴EF ⊥BG.(2)存在.以C 为原点,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则E (2,0,0),D (3,0,0),F (3,2λ,0).取BE 的中点O , ∵GE=BG=2,∴GO ⊥BE ,∴易证得OG ⊥平面BCE ,∵BE=2√2, ∴OG=√2,∴G (1,1,√2).∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1-2λ,√2),EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,√2),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,√2). 设平面DEG 的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·DG⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x +y +√2z =0,n ·EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +y +√2z =0,令z=√2,则n =(0,-2,√2).设FG 与平面DEG 所成的角为θ,则sin θ=|cos <FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=√6×√6+(1-2λ)=13,解得λ=12或λ=-710(舍去), ∴存在实数λ,使得FG 与平面DEG 所成的角的正弦值为13,此时λ=12. 22.(12分)(2020山东,22)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且过点A (2,1).(1)求C 的方程;(2)点M ,N 在C 上,且AM ⊥AN ,AD ⊥MN ,D 为垂足,证明:存在定点Q ,使得|DQ|为定值. 由题设得4a 2+1b 2=1,a 2-b 2a 2=12,11 解得a 2=6,b 2=3,所以C 的方程为x 26+y 23=1.M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).若直线MN 与x 轴不垂直,设直线MN 的方程为y=kx+m ,代入x 26+y 23=1得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-6=0.于是x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2.由AM ⊥AN 知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故(x 1-2)(x 2-2)+(y 1-1)(y 2-1)=0,可得(k 2+1)x 1x 2+(km-k-2)(x 1+x 2)+(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因为A (2,1)不在直线MN 上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k ≠1. 于是MN 的方程为y=k (x -23)−13(k ≠1).所以直线MN 过点P (23,-13).若直线MN 与x 轴垂直,可得N (x 1,-y 1).由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得(x 1-2)(x 1-2)+(y 1-1)(-y 1-1)=0.又x 126+y 123=1,可得3x 12-8x 1+4=0.解得x 1=2(舍去)或x 1=23.此时直线MN 过点P (23,-13).令Q 为AP 的中点,即Q (43,13).若D 与P 不重合,则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边,故|DQ|=12|AP|=2√23.若D 与P 重合,则|DQ|=12|AP|.综上,存在点Q (43,13),使得|DQ|为定值.。

1．A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．(√)2．若A∩B＝A∩C，则B＝C. (×)提示：当A为空集时，集合B，C为任意集合．3．若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√) 4．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．(×)提示：最多有1个交点．5．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(×) 提示：函数y＝2x＋1与函数y＝5x＋2的定义域与值域相同，但这两个函数不是相等函数．6．函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)提示：单调区间不能取并集．7．所有的单调函数都有最值．(×)提示：单调函数在闭区间上有最值．8．偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(√) 9．如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√) 10．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) 11．若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)12．二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.(×)提示：当二次函数的对称轴在[a，b]内，取得最值4ac－b24a；当二次函数的对称轴不在[a，b]内，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x＝a，x＝b时取得最值．13．在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角系中的开口大小(√) 14．对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×) 提示：当a＞1时，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．15．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点．(×)提示：函数的零点是函数y＝f(x)与x轴交点的横坐标．16．若f(x)在(a，b)上有零点，一定有f(a)·f(b)＜0. (×)提示：f(x)在(a，b)上有零点，不一定有f(a)·f(b)＜0，需要看零点是否为变号零点．17．函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．(×) 提示：当x＝2时2x＝x2.18．在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α＞0)的增长速度．(√) 19．一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(×)提示：一个不等式的两边同加上或同乘以同一个正数，不等号方向不变．20．x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充分不必要条件．(√)21．终边落在x轴非正半轴上的角可表示为α＝2kπk＋π(k∈Z)．(√)22．诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)23．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2是奇函数． (×) 提示：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2是偶函数． 24．函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )(×)提示：函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )． 25．将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象． (×)提示：函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度是指x 的变化量，不是ωx 的变化量．26．将函数y ＝sin x 图象上各点的纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍，便得到函数y ＝A sin x 的图象． (√)27．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T 2. (√)28．存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) 29．公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×) 提示：α，β应使tan α、tan β、tan(α＋β)有意义．30．公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．(×) 提示：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2sin(x＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 21．高考对集合的考查主要表现在考查集合的基础知识(集合的关系与运算)，5分．2．常用逻辑用语是高考考查的热点，每年必考，往往以学科内相关知识作为载体考查充分必要条件和含有一个量词的命题的否定，以客观题形式呈现，5分．3．一元二次不等式则以工具形态渗透到函数等相关内容中；基本不等式以工具形态渗透到解三角形的最值或者解析几何中的最值研究中，一般不单独考查．4．函数的奇偶性、单调性的考查常以指数函数、对数函数、幂函数为载体，考题以选择题、填空题为主，5分．函数零点也时有考查，有一定的难度．5．高考对三角函数的考查主要体现在考查三角函数的图象与性质、简单的三角恒等变换等基本知识和基本方法．考查的热点内容有三角函数的图象(特别是图象变换问题)、三角函数的性质(特别是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质)、三角函数式的求值问题等．高考中主要以选择题或填空题的形式呈现，偶尔会出现在解答题中．其中选择题或填空题主要考查三角函数的图象与性质、三角函数式的求值问题；而解答题则与《必修第二册》的解三角形问题交汇在一起综合考查，位于解答题第一题的位置，难度中等，一般不单独考查，只是作为工具出现．1．已知集合M ＝{x |－4＜x ＜2}，N ＝{x |x 2－x －6＜0}，则M ∩N ＝( )A ．{x |－4＜x ＜3}B ．{x |－4＜x ＜－2}C ．{x |－2＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3}C [法一：∵N ＝{x |－2＜x ＜3}，M ＝{x |－4＜x ＜2}，∴M ∩N ＝{x |－2＜x ＜2}，故选C.法二：由题可得N ＝{x |－2＜x ＜3}．∵－3∉N ，∴－3∉M ∩N ，排除A ，B ；∵2.5∉M ，∴2.5∉M ∩N ，排除D.故选C.]2．已知a ＝log 2 0.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aB [∵a ＝log 20.2＜0，b ＝20.2＞1，c ＝0.20.3∈(0,1)，∴a <c <b .故选B.]3．设x ∈R ，则“0＜x ＜5”是“|x －1|＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [本题考查不等式的解法、必要而不充分条件的判断．由|x －1|＜1得0＜x ＜2，故0＜x ＜5推不出0＜x ＜2,0＜x ＜2能推出0＜x ＜5.故“0＜x ＜5”是“|x －1|＜1”的必要而不充分条件．故选B.]4．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15 B.55 C.33 D ．255B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B.]5．下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x | A [A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x ＜0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x ＜0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.]6．设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )C [根据函数f (x )为偶函数可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)，因为0＜2－32＜2－23＜20＜log 34，且函数f (x )在(0，＋∞)单调递减，所以f (2－32)＞f (2－23)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314.] 7．设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x－1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83 B [当－1＜x ≤0时，0＜x ＋1≤1，则f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1＜x ≤2时，0＜x －1≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2＜x ≤3时，0＜x －2≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3)，……由此可得f(x)＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧…12(x＋1)x，－1＜x≤0，x(x－1)，0＜x≤1，2(x－1)(x－2)，1＜x≤2，22(x－2)(x－3)，2＜x≤3，…由此作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知当2＜x≤3时，令22(x－2)(x－3)＝－89，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝73或x＝83，将这两个值标注在图中．要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－89，必有m≤73，即实数m的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，73，故选B.] 8．设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则(x＋1)(2y＋1)xy的最小值为．43[(x＋1)(2y＋1)xy＝2xy＋x＋2y＋1xy＝2xy＋6xy＝2⎝⎛⎭⎪⎫xy＋3xy ≥2×2xy·3xy＝43，当且仅当xy＝3，即x＝3，y＝1或x＝2，y＝32时等号成立．故所求的最小值为4 3.]。