特征线方法在求解偏微分方程中的应用研究

偏微分方程的求解方法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是一类重要的数学问题，其应用范围遍及自然科学、工程技术以及金融等领域。

如何求解偏微分方程是一个具有挑战性的问题，通常需要采用多种方法结合起来进行求解。

本文将简要介绍几种常见的偏微分方程求解方法。

1. 分离变量法分离变量法是一种简单而重要的偏微分方程求解方法。

该方法基于以下假设：偏微分方程的一个解可以写成一系列单一变量的函数乘积的形式。

具体地说，对于一个偏微分方程u(x, y) = 0（其中x, y为自变量），假设其解可以表示为u(x, y) = X(x)Y(y)，其中X(x)和Y(y)分别是关于x和y的单一变量函数。

将u(x, y)代入原方程，得到X(x)Y(y) = 0。

由于0的任何一侧都是0，因此可得到两个单一变量方程：X(x) = 0和Y(y) = 0。

这两个方程的部分解（即使其中一个变量为常数时的解）可以结合在一起，形成原偏微分方程的一般解。

2. 特征线法特征线法是另一种重要的偏微分方程求解方法。

该方法的基本思想是将原方程转化为常微分方程，进而求解。

具体地说，对于一个二阶线性偏微分方程：a(x, y)u_xx + 2b(x, y)u_xy + c(x, y)u_yy + d(x, y)u_x + e(x, y)u_y + f(x, y)u = g(x, y)，通过变量的代换，可以将该方程化为一个与一次微分方程组相关的形式。

进一步地，可以选择沿着特定的方向（例如x或y方向）进行参数化，从而得到关于变量的一阶微分方程。

该微分方程的解通常可以通过传统的常微分方程求解技巧来获得。

3. 数值方法数值方法是目前应用最广泛的偏微分方程求解方法之一。

由于大多数偏微分方程的解析解很难获得，因此数值方法成为了一种有效的、可行的替代方法。

常见的数值方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。

这些方法通过将偏微分方程离散化为一个有限维的计算问题，然后使用数值方法求解这个问题的解。

微分方程的基本理论与解法微分方程是数学中重要的工具和概念之一，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。

本文将介绍微分方程的基本理论和解法，帮助读者对微分方程有一个全面的了解。

一、微分方程的定义与分类微分方程是含有未知函数及其导数的方程，可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。

常微分方程中未知函数只是一个变量的函数，而偏微分方程中未知函数是多个变量的函数。

二、微分方程的基本概念1. 阶数：微分方程中导数的最高阶数称为方程的阶数。

2. 解的概念：满足微分方程的函数称为其解。

3. 初值问题与边值问题：在给定一些初值或边值条件下寻找微分方程的解的问题称为初值问题或边值问题。

三、常微分方程的解法1. 可分离变量法：当微分方程可以写成形式 dy/dx = f(x)g(y) 时，可以通过分离变量的方法求解。

2. 齐次方程法：对于可以写成形式 dy/dx = F(y/x) 的方程，可以通过变量替换和分离变量的方法求解。

3. 一阶线性方程法：对于形如 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的方程，可以通过积分因子法求解。

4. 恰当方程法：对于形如 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 的方程，如果它是一个恰当方程，则可以通过找到势函数求解。

5. Bernoulli方程法：对于形如 dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n 的方程，可以通过将方程进行变量替换后求解。

四、偏微分方程的解法1. 分离变量法：对于可以变为连乘形式的偏微分方程，可以通过分离变量的方法求解。

2. 特征线法：对于一阶偏微分方程，可以通过找到特征线并在特征线上进行求解。

3. 变量替换法：通过适当选择变量替换，将偏微分方程化为常微分方程进而求解。

五、微分方程的应用微分方程广泛应用于各个学科和行业中，如物理学中的运动方程、电路系统的分析、化学反应动力学等。

微分方程的解析解和数值解可以提供有关系统行为、稳定性和变化趋势等重要信息。

偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。

这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。

解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。

在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。

以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。

分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。

特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。

对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。

分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。

特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。

Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。

非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。

这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。

除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。

常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

高等数学中的偏微分方程方法偏微分方程是数学中的一类非常重要的方程。

它们广泛应用于物理、工程和其他领域中，如热传导、电路等等。

因此，研究偏微分方程的方法和技巧尤为重要。

在高等数学中，有许多关于偏微分方程的方法，下面我们来介绍其中的几种。

1. 分离变量法分离变量法是解偏微分方程的一种常用方法。

这种方法的基本思想是假设解可以表示为形式为x、y、z等变量的函数之积的形式，然后通过代入相关偏微分方程中去求解出每个变量的解，最终将这些解组合起来得到总体解。

以拉普拉斯方程为例，其定义如下：$\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0$假设解为$u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$，则可以得到：$\frac{1}{X}\frac{\partial^2 X}{\partialx^2}+\frac{1}{Y}\frac{\partial^2 Y}{\partialy^2}+\frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial z^2}=0$由于等式左边是一个只关于x的函数与一个只关于y的函数之和，所以这个等式必须等于常数k。

因此，我们可以得到：$\frac{1}{X}\frac{\partial^2 X}{\partial x^2}=k_1$，$\frac{1}{Y}\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2}=k_2$，$\frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial z^2}=k_3$然后我们可以对每一个方程分别求解得到：$X(x)=Ae^{\sqrt{k_1}x}+Be^{-\sqrt{k_1}x}$，$Y(y)=Ce^{\sqrt{k_2}y}+De^{-\sqrt{k_2}y}$，$Z(z)=Ee^{\sqrt{k_3}z}+Fe^{-\sqrt{k_3}z}$最终得到的总体解形式为：$u=\sum_{n=1}^{\infty} C_ne^{(-\sqrt{k_1^2+k_2^2+k_3^2})r}sin(n_1x)sin(n_2y)sin(n_3z)$2. 特征线法特征线法是一种常用于解决一阶偏微分方程的方法。

第３７卷　第５期２０１８年５月绵阳师范学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｉａｎｙａｎｇＴｅａｃｈｅｒｓ＇ＣｏｌｌｅｇｅＶｏｌ．３７　Ｎｏ．５Ｍａｙ．，２０１８收稿日期：２０１７－１２－０５作者简介：徐循（１９８６－），女，湖北宜城人，讲师，硕士，研究方向：偏微分方程ＤＯＩ：１０．１６２７６／ｊ．ｃｎｋｉ．ｃｎ５１－１６７０／ｇ．２０１８．０５．００１特征值及其在偏微分方程中的应用徐　循（湖北工业大学工程技术学院公共课部，湖北武汉　４３００６８）摘　要：本文应用特征值及特征函数解决了一类二阶自共轭椭圆偏微分方程的边值问题 先求出算子Ａ的特征向量｛φｋ｝∞ｋ＝１，然后在空间Ｗ１，２０（Ω）上的规范正交系｛φｋ｝ｍｋ＝１构成的有限维子空间中构造出方程的近似解，并通过能量估计定理将近似解取极限得到弱解，最后证明弱解的存在唯一性，从而得出弱解即是方程的通解关键词：Ｗ１，２０（Ω）；近似解；能量估计；弱解中图分类号：Ｏ１７５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７２ ６１２Ｘ（２０１８）０５ ０００１ ０３０　引言偏微分方程边值问题的求解在当今的数学、物理及其在工业、航空等各方面的应用上都具有极其重要的意义，而一般来说它的求解都是复杂又繁琐的，本文要求解问题如下：Ａｕ＝ｆ　在Ω中ｕ＝０　在Ω{上其中 Ａｕ＝－ ｎｉ，ｊ＝１Ｄｉ［ａｉｊ（ｘ）Ｄｊｕ］＋ｃ（ｘ）ｕ，（１）这里假定 ａｉｊ（ｘ）＝ａｊｉ（ｘ）∈Ｃ１（Ω—）， ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ，（２）ｃ（ｘ）∈ｃ（Ω—），ｃ（ｘ） ０， 在Ω中，（３）满足一致椭圆型条件 ｎｉ，ｊ＝１ａｉｊ（ｘ）ξｉξｊ ｜ξ｜２， ｘ∈Ω—，ξ∈Ｒｎ，α＞０．（４）１　算子Ａ的特征值１．１　空间ＨＡ与Ｗ１，２０（Ω）的相关定义ＨＡ是Ｃ２０（Ω）关于范数‖ｕ‖２Ａ＝［ｕ，ｕ］＝∫Ω［ ｎｉ，ｊ＝１ａｉｊ（ｘ）ＤｉｕＤｊｕ＋ｃ（ｘ）ｕ２］ｄｘ的完备化空间，Ｗ１，２０（Ω）是Ｃ２０（Ω）关于范数‖ｕ‖２１，２＝∫Ω｜Ｄｕ｜２ｄｘ的完备化空间．按照变分法的常规思想，可以证明空间ＨＡ与Ｗ１，２０（Ω）的等价性，只需在Ｗ１，２０（Ω）中寻找方程的广义解．１．２　算子Ａ的特征值，特征函数的求取１．２．１　寻找算子Ａ最小特征值ｕ∈Ｗ１，２０（Ω），由条件（２）～（４）及Ｆｉｅｄｒｉｃｈｓ不等式，得出Ｑ（ｕ）＝Ａ（ｕ，ｕ）＝∫Ω［ ｎｉ，ｊ＝１ａｉｊ（ｘ）ＤｉｕＤｊｕ＋ｃ（ｘ）ｕ２］ｄｘ α∫Ω｜Ｄｕ｜２ｄｘ＝α‖ｕ‖２１，２ｃ‖ｕ‖２２，ｃ＞０．（６）由此可知Ｊ（ｕ）＝Ｑ（ｕ）‖ｕ‖２２ｃ＞０， ０≠ｕ∈Ｗ１，２０（Ω）．（７）此式说明，泛函Ｊ（ｕ）有正的下界．因此，如果定义λ１＝ｉｎｆ０≠ｕ∈Ｗ１，２０（Ω）Ｊ（ｕ）ｉｎｆ０≠ｕ∈Ｗ１，２０（Ω）Ｑ（ｕ）‖ｕ‖２２＝ｉｎｆｕ∈Ｗ１，２０（Ω）‖ｕ‖２＝１Ｑ（ｕ），（８）则λ ｃ＞０，且λ１是算子Ａ的最小特征值．１．２．２　求出算子Ａ的所有特征值假设已经得到算子Ａ的ｍ－１个特征值λ１，…λｍ－１（ｍ ２），且λ１ λ２ … λｍ－１，对应于λ１，λ２…λｍ－１的特征函数为ｕ１，ｕ２，…，ｕｍ－１，且‖ｕｋ‖２＝１，ｋ＝１，２，…ｍ－１．该函数组的线性组合成Ｌ２（Ω）的一个线性子空间，记为Ｖｍ－１＝ｓｐａｎ｛ｕ１，…ｕｍ－１｝，以Ｖ⊥ｍ－１表示Ｖｍ－１在Ｌ２（Ω）中的正交补空间．根据泛函Ｊ（ｕ）的有界性（７），可以求出算子Ａ的第ｍ个特征值λｍ＝ｉｎｆ０≠ｕ∈Ｗ１，２０（Ω）∩Ｖ⊥ｍ－１Ｊ（ｕ）ｉｎｆ０≠ｕ∈Ｗ１，２０（Ω）∩Ｖ⊥ｍ－１‖ｕ‖２＝１Ｑ（ｕ）由于Ｗ１，２０（Ω）是无限维空间，按照（８）得出算子Ａ的特征值的无限序列０＜λ１ λ２ … λｍ …，及其相应的特征函数序列ｕ１，ｕ２，…ｕｍ，…．２　应用特征函数解决开篇提出的椭圆方程的边值问题以下是在有限维空间中构造近似解，并通过能量估计定理的保证将近似解取极限得到弱解，最后证明了弱解的存在唯一性的思路来源于Ｌａｗｒｅｎｃｅ．Ｃ．Ｅｖａｎｓ编著的ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ（第３４９～３５８页）［１］．设｛φｋ｝∞ｋ＝１是Ｗ１，２０（Ω）中的规范正交系，（φｉ，φｊ）＝０，ｉ≠ｊ现在就是想办法构造近似解ｕｍ，使其在｛φｋ｝ｍｋ＝１构成的有限维子空间上是方程的解令ｕｍ＝ ｍｋ＝１ａｋφｋ， （ ）并希望［ｕｍ，φｉ］＝Ａ（ｕｍ，φｉ）＝（ｆ，φｉ）． （ ）定理２．１　（近似解的建立） ｍ，存在具有形式（ ）的ｕｍ，满足（ ）．证明：假设存在ｕｍ，使［ｕｍ，φｉ］＝（ｆ，φｉ）．则 ｍｋ＝１ａｋ［φｉ，φｋ］＝（ｆ，φｉ） ｉ＝１，２，…，ｍ．由于系数行列式是非零的，故线性方程组有唯一一组解ａ１，ａ２，…ａｍ，并且 ｍｋ＝１ａｋ［φｉ，φｋ］＝ａ１［φｉ，φ１］＋…＋ａｉ［φｉ，φｉ］＋…＋ａｍ［φｉ，φｍ］＝ａｉ［φｉ，φｉ］＝ａｉ，所以ａｉ＝（ｆ，φｉ），近似解　ｕｍ＝ ｍｋ＝１ａｋφｋ＝ ｍｋ＝１（ｆ，φｋ）φｋ．参照Ｌａｗｒｅｎｃｅ．Ｃ．Ｅｖａｎｓ编著的ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ（第３４９～３５８页），现在需要证明相应的能量估绵阳师范学院学报（自然科学版） 计，从而才能将定理２．１求出的近似解ｕｍ＝ ｍｋ＝１（ｆ，φｋ）φｋ取极限ｍ∞，得出方程的弱解 定理２．２　（能量估计）存在系数Ｃ，使得‖ｕｍ‖２１，２ Ｃ‖ｆ‖２２证明：由Ｆｉｅｄｒｉｃｈｓ不等式［２］｜（ｆ，ｕｍ）｜ ‖ｆ‖２·‖ｕｍ‖２ε２‖ｕｍ‖２２＋１２ε‖ｆ‖２２ ε＞０ εＣ１‖ｕｍ‖２１，２＋１２ε‖ｆ‖２２ Ｃ１＞０另一方面， ‖ｕｍ‖２Ａ＝［ｕｍ，ｕｍ］ Ｃ２‖ｕｍ‖２１，２， Ｃ２＞０．综合可得， （Ｃ２－εＣ１）‖ｕｍ‖２１，２ １２ε‖ｆ‖２２，只要取适当的ε，使Ｃ２－εＣ１＞０即可满足‖ｕｍ‖２１，２１２ε（Ｃ２－εＣ１）‖ｆ‖２２，　令Ｃ＝１２ε（Ｃ２－εＣ１）即可．现在需要证明弱解的存在唯一性，才能说明弱解即是通解引理２．１［３］自反的Ｂａｎａｃｈ空间的有界序列有弱收敛子列．定理２．３（弱解的存在性）方程存在一个弱解．证明：｛ｕｍ｝∞ｍ＝１在Ｗ１，２０（Ω）中有界，则存在子序列｛ｕｍｌ｝ ｛ｕｍ｝，使ｕｍｌ→ 弱ｕ在Ｗ１，２０（Ω）中，固定Ｎ，令ｖ＝ Ｎｋ＝１ａｋφｋ，则［ｕｍ，ｖ］＝（ｆ，ｖ），取ｍ＝ｍｌ，有［ｕｍｌ，ｖ］＝（ｆ，ｖ），取弱极限，得到　［ｕ，ｖ］＝（ｆ，ｖ）．故 ｖ∈Ｗ１，２０（Ω），有［ｕ，ｖ］＝（ｆ，ｖ）（ ）．定理３．４　弱解的唯一性．证明：只须证当ｆ≡０时，ｕ≡０即可．在（ ）式中，令ｖ＝ｕ，得到［ｕ，ｕ］＝［ｆ，ｕ］＝［０，ｕ］＝０，则ｕ≡０在Ω中，又ｕ＝０在 Ω上，故证得ｕ≡０，弱解的唯一性得证．３　结论本文求解了偏微分方程边值问题Ａｕ＝ｆ　在Ω中ｕ＝０　在Ω{中在空间Ｗ１，２０（Ω）上的通解即ｕ＝ ∞ｋ＝１（ｆ，φｋ）φｋ，其中｛φｋ｝∞ｋ＝１是算子Ａ的特征向量，也是Ｗ１，２０（Ω）的规范正交系 参考文献：［１］　ＬａｗｒｅｎｃｅＣ．Ｅｖａｎｓ．ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．ＧｒａｄｕａｔｅＳｔｕｄｉｅｓｉｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＡｍｅｒｉｃａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ，Ｐｒｏｖｉｎｃｅ，ＲＩ，１９９８：３４９－３５８．［２］　陈恕行．偏微分方程概论［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８１：１７．［３］　陆文端．微分方程中的变分方法［Ｍ］．四川：四川大学出版社，１９９６：６５．（下转第２７页） 徐　循：特征值及其在偏微分方程中的应用ＴｈｅｓｔｕｄｙｏｆｔｈｅｔａｒｇｅｔｓｙｓｔｅｍｏｆｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇａｂｉｌｉｔｙｏｆｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｐｈｙｓｉｃｓｓｐｅｃｉａｌｔｙｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌＬＩＵＧｕｏｙｕｅ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓ，ＭｉａｎｙａｎｇＴｅａｃｈｅｒ＇ｓＣｏｌｌｅｇｅ，Ｍｉａｎｙａｎｇ，Ｓｉｃｈｕａｎ　６２１０００）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈｔｈｅｇｕｉｄａｎｃｅｏｆｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｔｈｅｏｒｙａｎｄｍｅｔｈｏｄｏｆｓｙｓｔｅｍｔｈｅｏｒｙａｎｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇｔｒｅｎｄａｎｄｔｅａｃｈｉｎｇｐｒａｃｔｉｃｅｏｆｐｈｙｓｉｃｓｉｎｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏａｓｅｒｉｅｓｏｆｑｕｅｓｔｉｏｎｎａｉｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ，ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｂａｓｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｅｒｓ＇ｔｅａｃｈｉｎｇａｂｉｌｉｔｉｅｓｉｎｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌａｎｄｐｕｔｓｆｏｒｗａｒｄａｓｅｔｏｆｉｎｄｅｘｓｙｓｔｅｍｏｆｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇａｂｉｌｉｔｉｅｓｉｎｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌ．Ｉｔｃｏｎｔａｉｎｓｉｎｄｅｘｏｆｆｉｖｅｃａｔｅｇｏｒｉｅｓａｎｄｔｗｅｎｔｙ－ｅｉｇｈｔｓｅｃｏｎｄａ ｒｙｉｎｄｉｃａｔｏｒｓｗｈｉｃｈａｒｅｒｅｆｅｒｓｔｏｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｃｏｇｎｉｔｉｖｅａｂｉｌｉｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｄｅｓｉｇｎａｂｉｌｉｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｏｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎａｎｄｉｍｐｌｅｍｅｎｔｉｎｇａｂｉｌｉｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｑｕａｌｉｔｙｅｖａｌｕａｔｉｏｎａｎｄｓｕｐｐｏｒｔａｂｉｌｉｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｑｕａｌｉｔｙｅｖａｌｕａｔｉｏｎａｎｄｓｕｐｐｏｒｔａｂｉｌｉｔｙ．Ａｌｌｏｆｔｈｅｍａｒｅｄｉｒｅｃｔｌｙｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｔｏｄｅｖｅｌｏｐｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ＇ｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌｐｈｙｓｉｃａｌｔｅａｃｈｉｎｇａｂｉｌｉｔｙｉｎｎｏｒｍａｌｕｎｉｖｅｒｓｉｔｉｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｂａｃｈｅｌｏｒｄｅｇｒｅｅｏｆｎｏｒｍａｌｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｓｐｅｃｉａｌｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｏｆｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌ，ｔｅａｃｈｉｎｇａｂｉｌｉ ｔｙ，ｔｒａｉｎｉｎｇｏｂｊｅｃｔｉｖｅｓ（责任编辑：陈桂芳）（上接第３页）ＥｉｇｅｎｖａｌｕｅａｎｄｉｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎＸＵＸｕｎ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＧｅｎｅｒａｌＣｏｕｒｓｅ，ＨｕｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｏｌｌｅｇｅ，Ｗｕｈａｎ，Ｈｕｂｅｉ　４３００６８）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｉｌｌａｐｐｌｙｔｈｅｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓａｎｄｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆａｃｌａｓｓｏｆｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒｓｅｌｆ－ｃｏｎｊｕｇａｔｅｅｌｌｉｐｔｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｆｉｒｓｔ，ｉｔｗｉｌｌｆｉｇｕｒｅｏｕｔｔｈｅｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓ｛φｋ｝∞ｋ＝１ｏｆｔｈｅｏｐｅｒａｔｏｒＡ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｉｎｔｈｅｆｉｎｉｔｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｕｂｓｐａｃｅｆｏｒｍｅｄｂｙｔｈｅｃａｎｏｎｉｃａｌｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｓｙｓｔｅｍ｛φｋ｝∞ｋ＝１ｏｆｔｈｅｓｐａｃｅｏｆＷ１，２０（Ω）．Ａｎｄｔｈｅｎｉｔｗｉｌｌｏｂｔａｉｎｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｂｙｔｈｅｅｎｅｒｇｙｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎａｒｅｐｒｏｖｅｄ．Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ，ｉｔｗｉｌｌｇｅｔｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｔｈａｔｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｔｈｅｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅｓｐａｃｅｏｆＷ１，２０（Ω），ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎ，ｅｎｅｒｇｙｅｓｔｉｍａｔｅ，ｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎ（责任编辑：陈　英） 刘国跃：高师本科物理专业中学物理教学能力培养目标体系的研究。

一阶偏微分方程教程一、基本概念偏微分方程是指含有多个变量的、涉及未知函数及其偏导数的方程。

一阶偏微分方程是指未知函数的最高阶导数出现在一阶的偏微分方程。

通常用变量x、y表示自变量，用u表示未知函数。

一般形式的一阶偏微分方程为：F(x,y,u,u_x,u_y)=0其中，u_x和u_y分别表示u对x和y的偏导数。

二、解法解一阶偏微分方程的方法主要有特征线法、分离变量法和变换法。

1.特征线法：对于形如P(x,y)u_x+Q(x,y)u_y=R(x,y)的一阶偏微分方程，通过假设u=M(x,y)使得PdM=QdN，解得一条特征线，然后再由特征线的参数表示来求解原偏微分方程。

2.分离变量法：对于形如F(x,y,u)u_x+G(x,y,u)u_y=H(x,y,u)的一阶偏微分方程，可以将原方程化简为两个单变量的常微分方程，再分别求解。

3.变换法：通过引入新的变量或者函数进行变量替换，将原方程转化为另一种形式，使得新形式的方程具有更易求解的性质。

三、应用1.热传导方程：热传导方程描述了物体内部温度分布随时间的变化规律。

它是一个偏微分方程，通过求解热传导方程，可以分析物体的温度变化，从而设计合适的散热装置。

2.波动方程：波动方程描述了机械波在介质中的传播规律。

通过求解波动方程，可以研究地震波、声波等的传播特性，为地震预测和声学设计提供理论基础。

3.稳定性分析：稳定性分析是工程和经济学中一个重要的问题，通过求解偏微分方程，可以研究系统的稳定性，并优化系统的运行。

总结：一阶偏微分方程是数学中重要的研究对象，本教程介绍了一阶偏微分方程的基本概念、解法和应用。

掌握解一阶偏微分方程的方法，对于研究自然界的现象和优化工程设计具有重要意义。

最后，希望读者通过学习本教程可以深入了解一阶偏微分方程，并能够独立解决相关问题。

偏微分方程求解算法研究及应用偏微分方程是描述自然现象和工程问题的重要工具。

从最简单的热传导方程到流体力学中的Navier-Stokes方程，这些方程的求解能够获得很多实际问题的解答。

随着计算机技术的飞速发展，可解决的偏微分方程问题的范围和复杂性也得到了提高。

在本文中，我们将讨论偏微分方程的一些求解算法及其应用，以及这些算法如何在实践中发挥作用。

第一部分：解析方法解析方程的基本思想是寻找满足特定条件的解析表达式。

在偏微分方程的求解中，常见的解析方法包括分离变量法、变量参数法和特征线方法等。

1.1 分离变量法分离变量法是解决大多数运筹学、物理学和工程学问题的重要方法。

它的基本思想是，假设找到一种函数形式，使得偏微分方程中的某些变量可以单独表示，这样就可以得到关于单个变量的一组普通微分方程。

通过求解这些方程，就可以获得原始问题的解。

例如，考虑一个双曲型偏微分方程：$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0 $$我们可以假设$u(x,t)$的解有如下形式：$$ u(x,t)=X(x)T(t) $$将它代入原方程得到：$$ \frac{X''}{X}=\frac{T''}{T}=-\lambda $$其中$\lambda$是分离常数。

然后，我们可以解出关于$X$和$T$的两个普通微分方程：$$ X''+\lambda X=0, T''+\lambda T=0 $$这两个方程都是熟悉的谐振动方程，其解可以表示为正弦波和余弦波的线性组合。

因此，原方程的通解可以写成：$$ u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}(A_n\cos(\sqrt{\lambda_n}x)+B_n\sin(\sqrt{\lambda_n}x))(C_n\cos(\sqrt{\lambda_n}t)+D_n\sin(\sqrt{\lambda_n}t)) $$其中，$A_n,B_n,C_n$和$D_n$是一些常数，根据边界条件和初始条件来确定。

偏微分方程的分类与求解偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是数学中一种重要的方程形式，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域中描述自然现象和科学问题的数学模型中。

本文将对偏微分方程进行分类，并探讨其求解方法。

一、偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中未知函数的个数、方程阶数以及方程系数的特性可以进行多种分类。

下面将介绍常见的几种分类方式：1. 常见的偏微分方程类型（1）椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程通常用于描述稳定状态或静态问题，如拉普拉斯方程和泊松方程。

（2）双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程适用于描述波动现象，如波动方程和传输方程。

（3）抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程用于描述时间和空间变量的关系，如热传导方程和扩散方程。

2. 方程阶数（1）一阶偏微分方程一阶偏微分方程包含一阶导数项，如一阶线性可分离变量方程和一阶线性非齐次方程。

（2）二阶偏微分方程二阶偏微分方程包含二阶导数项，如二阶线性齐次方程和二阶非线性方程。

3. 方程系数的性质（1）线性偏微分方程线性偏微分方程中未知函数及其导数项的系数都是线性的，如线性波动方程和线性热传导方程。

（2）非线性偏微分方程非线性偏微分方程中未知函数及其导数项的系数存在非线性关系，如非线性波动方程和非线性扩散方程。

二、偏微分方程的求解方法求解偏微分方程是一项复杂的任务，需要结合方程的特性和求解方法进行分析。

下面介绍几种常见的途径：1. 分离变量法分离变量法适用于一些特殊的线性偏微分方程，通过假设未知函数可以表示为一系列不同变量的乘积形式，然后通过利用分离后的方程进行求解。

2. 特征线法特征线法适用于一些特殊的非线性偏微分方程，通过寻找方程中的特征线，将原偏微分方程化为一系列常微分方程，再进行求解。

3. 变换方法变换方法可以通过引入新的变量或变换，将原偏微分方程转化为另一种形式的方程，从而简化求解过程。

4. 数值方法数值方法是一种通过离散化空间和时间，利用计算机进行逼近求解的方法，如有限差分法、有限元法和谱方法等。

偏微分方程的分类与求解方法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是描述自然界和物理现象中的变化过程的重要数学工具。

它涉及多个自变量和导数，可以用来描述涉及多个变量及其变化率的复杂问题。

在数学、物理学、工程学等领域中，偏微分方程广泛应用于研究和解决实际问题。

本文将介绍偏微分方程的分类与求解方法。

一、偏微分方程的分类偏微分方程可以根据方程中未知函数的阶数、方程类型以及系数的性质等多个因素来进行分类。

下面将介绍几种常见的偏微分方程分类。

1. 齐次与非齐次偏微分方程当方程中未知函数及其各阶偏导数的总次数都为整数时，称为齐次偏微分方程。

齐次偏微分方程的解是一类特殊的函数族。

与之相反，非齐次偏微分方程中的未知函数及其各阶偏导数总次数之和不等于整数。

求解非齐次偏微分方程需要特殊的方法。

2. 线性与非线性偏微分方程根据方程中未知函数的线性性质，可以将偏微分方程分为线性和非线性两类。

当方程中未知函数及其各阶偏导数的系数与未知函数之间都是线性关系时，称为线性偏微分方程。

线性偏微分方程的求解较为简单。

与之相对，非线性偏微分方程的系数与未知函数之间存在非线性关系，求解较为困难。

3. 一阶、二阶和高阶偏微分方程根据未知函数的导数阶数，可以将偏微分方程分为一阶、二阶以及高阶偏微分方程。

一阶偏微分方程中涉及到未知函数的一阶导数，例如常见的一阶线性偏微分方程：$\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial y} = 0$。

二阶偏微分方程中涉及到未知函数的二阶导数，例如常见的二阶线性齐次偏微分方程：$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$。

高阶偏微分方程则涉及到更高次的导数。

二、偏微分方程的求解方法对于不同类型的偏微分方程，可以采用不同的求解方法。

偏微分方程与特征线‎1函数空间的矢量场‎给定一个矢量场i x iv ∂=)(x v ，‎就在空间定义了曲线簇‎。

比如，经过0x 点的积‎分曲线就可以描述为下‎列常微分方程的初值问‎题)(x i i v x = ，n i ,...,1= 0)0(x x =这‎些积分曲线就构成了曲‎线簇。

如果形式地写出‎这个曲线来就是xvt x t v t v vt t xt x t x x t x )exp(...)!3!21(...!3!2)(332232=++++=++++= ‎此处x 是0时刻位置，‎v 是作用于x 的微分算‎符。

这些曲线，将空‎间点分成了类，也就是‎说每条曲线上的点属于‎一类。

曲线集合的维数‎是n-1维。

矢量场‎的可积性那么给定‎两个矢量场，就会产生‎两簇曲线，这两簇曲线‎能否组成面簇呢？我们‎先 看看从一点出发的‎曲线是否在一个曲面上‎的条件：从x 点出发的‎依此沿两簇直线运动的‎点若能回到来，就可以‎认为可以组成面。

即‎x x vd uc vb ua =)exp()exp()exp()(exp如果a,b,c ‎,d 都是1级以上的小‎量，这个表达式有二级‎以上的精度，就可以找‎到这样的a,b,c,‎d ,使得方程精确满足‎。

按照各级展开，有‎ 一级0a 1111=+=+d b c二级v d b u c a vu uv b a )()()(222211+++=-‎…由此，得到条件‎v u vu uv v u βα+=-=],[这就是两个矢量‎能够构成2维子空间（‎曲面）的条件，著名的‎F robenius 定‎理。

n 个矢量积分形‎成n 维积分只空间的条‎件是，任意两个矢量的‎对易可以写成这n 个矢‎量组合。

可以按照下‎图进行直观理解满足Fr ‎o benius 定理的‎两个矢量，能够形成二‎维子空间（二维曲面）‎不满足Froben ‎i us 定理的两个矢量‎，不能形成二维子空间‎给定m 个矢量场‎，他们线性组合能够形‎成新的矢量场。

双曲型偏微分方程求解方法及其应用研究双曲型偏微分方程是数学领域的一类常见问题。

它们通常描述了以时间为自变量和空间位置为函数的物理过程，如波动、传输和辐射等。

对于这些问题的求解方法对实际应用具有广泛的影响和价值。

在本文中，我们将介绍一些双曲型偏微分方程的求解方法，并讨论它们在不同领域的应用。

一、波动方程的求解方法波动方程是一个典型的双曲型偏微分方程。

它描述了如声波、电磁波和水波等波动的传播过程。

波动方程的常见形式为：$$ \frac {\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u $$其中，$u$ 是波动的振幅，$t$ 是时间，$c$ 是波速，$\nabla^2$ 是 Laplacian 算子。

波动方程的求解方法通常采用分离变量法。

首先，我们将解的形式设为：$$ u(x,y,z,t) = X(x)Y(y)Z(z)T(t) $$接下来，我们将其代入波动方程中，得到：$$ \frac{1}{c^2 T}\frac{d^2 T}{d t^2} = \frac{\nabla^2 X}{X} + \frac{\nabla^2 Y}{Y} + \frac{\nabla^2 Z}{Z} $$由于左侧只包含时间 $t$，而右侧只包含位置 $x$、$y$、$z$，因此需要满足两侧的值相等，即常数。

假设该常数为负值，我们得到三个独立的波动方程。

分别求解后再合并即可得到最终解。

二、传输方程的求解方法传输方程是另一个常见的双曲型偏微分方程，它通常描述了以时间为自变量和空间位置为函数的粒子传输过程。

传输方程的常见形式为：$$ \frac {\partial u}{\partial t} + V \frac {\partial u}{\partial x} = 0 $$其中，$u$ 是粒子密度，$t$ 是时间，$x$ 是空间位置，$V$ 是粒子速度。

传输方程的求解方法通常采用特征线方法。

偏微分方程的基本概念偏微分方程是数学中一类重要的方程，由于其广泛应用于自然科学、工程技术、经济学等领域，因此被广泛研究和应用。

本文将对偏微分方程的基本概念进行系统的讲解，旨在为读者介绍偏微分方程的基本概念和理论基础。

一、偏微分方程的定义偏微分方程是指一个包含多个变量的方程，其中每个变量的导数中有一个或多个是变量的函数。

一般形式为：$$F(x_1,x_2,\cdots,x_n,u,\partial u/\partial x_1,\partial u/\partial x_2,\cdots,\partial u/\partial x_n,\partial^2u/\partialx_1^2,\cdots,\partial^2u/\partial x_n^2,\cdots)=0$$其中$u$表示未知函数，$\partial u/\partial x_i$表示$u$关于$x_i$的一阶偏导数，$\partial^2 u/\partial x_i^2$表示$u$关于$x_i$的二阶偏导数。

二、偏微分方程的分类偏微分方程的分类主要有三种方式：按阶数分类、按类型分类、按解的特征分类。

按阶数分类，偏微分方程可分为一阶偏微分方程和二阶偏微分方程等。

一阶偏微分方程的类型包括可分离变量型、齐次型、一般型等；二阶偏微分方程的类型包括椭圆型、双曲型、抛物型等。

按类型分类，偏微分方程可分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程等。

线性偏微分方程是指未知函数及其一阶和二阶偏导数之间的关系是线性的方程，非线性偏微分方程则是指这种关系不是线性的方程。

按解的特征分类，偏微分方程可分为初值问题、边值问题、本征值问题等。

初值问题是指给定$u$及其各阶偏导数在某一时刻的值，求它在不同时间下的解；边值问题是指在一个确定区域内，给定$u$在边界上的值，求解整个区域内$u$的解；本征值问题是指在某一区域内，找到满足某些条件的未知函数及其特征值。

三、偏微分方程的解法偏微分方程的解法有多种，常见的解法包括：分离变量法、变系数叠加法、矩估计法、变换法、特征线法、有限元法等。

解偏微分方程偏微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域的建模和分析中。

解偏微分方程是求解方程中未知函数关于多个自变量的偏导数的问题。

本文将介绍解偏微分方程的基本概念、常见方法和应用领域。

偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程，其中未知函数的变量可以是多个自变量。

与常微分方程不同，偏微分方程中的未知函数的导数是依赖于多个自变量的。

因此，解偏微分方程需要找到一个函数，使得该函数满足方程以及其边界条件。

解偏微分方程的基本方法有分离变量法、特征线法、变换法、格林函数法等。

其中，分离变量法是最常用的方法之一。

分离变量法的基本思想是将多个自变量分别单独处理，然后将得到的多个常微分方程组合起来求解。

这种方法适用于形式简单的偏微分方程，例如线性齐次方程。

另一种常见的方法是特征线法，适用于一阶偏微分方程。

特征线法的核心思想是通过选择合适的曲线，使得偏微分方程在该曲线上的导数满足某种关系，从而将偏微分方程化简为常微分方程。

变换法是一种将偏微分方程通过适当的变换转化为另一种形式，进而求解的方法。

常见的变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等。

格林函数法是基于格林函数的特性来求解偏微分方程的方法，其中格林函数是满足特定边界条件的偏微分方程的解。

解偏微分方程的应用广泛。

在物理学中，偏微分方程被用于描述传热、传质、电磁场等现象。

在工程领域，偏微分方程被应用于流体力学、结构力学、电路分析等问题的建模和分析。

在经济学中，偏微分方程被用于描述金融市场中的随机波动等现象。

在实际应用中，解偏微分方程的复杂度往往很高，需要借助数值方法进行求解。

常见的数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。

这些方法通过将偏微分方程离散化为代数方程组，然后通过数值计算求解。

解偏微分方程是数学中的一个重要问题，涉及到多个自变量的未知函数及其偏导数的求解。

通过分离变量法、特征线法、变换法和格林函数法等方法，可以求解各种形式的偏微分方程。