【全国市级联考】广东省中山市2016-2017学年高二下学期期末统一考试数学(理)试题

2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。

新桥中学、肇庆实中2016-2017学年第二学期高二年级期末考试数学（理科）命题人：刘玲审核人：高二备考组说明：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

3.选择题选出答案后，用黑色2B 铅笔在答题卡上涂黑，不能答在试卷上。

4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

5.考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，只交回答题卷以及选择题答题卡。

参考公式：线性回归方程a x by ???中系数计算公式：ni ini ii ni ini i ixn xyx n y x x x y y x x b1221121)())((?，x b ya ??，其中x ，y 表示样本均值.22列联表随机变量))()()(()(22d b c ad cb a bc adn K. )(2k KP 与对应值表：)(2k KP 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.7063.8415.0246.6357.87910.828一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若=4+3i，则 =（）A、1B、﹣1C、D、（2）盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球的概率是( )A、 B、 C、 D、（3）定积分的值为（）A、 B、 C、 D、（4）函数y=32-2ln的单调增区间为（）A、 B、C、 D、（5）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A、假设至少有一个钝角 B、假设至少有两个钝角C、假设没有一个钝角D、假设没有一个钝角或至少有两个钝角（6）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞2）=p，则P（﹣2＜ξ＜0）=（）A、+P B、1﹣P C、﹣P D、1﹣2P（7）设a,b为实数，若复数，则( )A、a=1,b=3B、a=3,b=1C、a=,b=D、a=, b=（8）将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（）A、12 B、24 C、36 D、72（9）已知随机变量的概率分布列如表所示：且的数学期望E=6，则（）5 6 7 8p 0.4 a b 0.1A、a=0.3，b=0.2B、a=0.2，b=0.3C、a=0.4，b=0.1D、a=0.1，b=0.4（10）某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×２列联表计算得2≈3.918．附表：P（2≥） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（）A、95%B、5%C、97.5%D、2.5%（11）在的展开式中，4的系数为（）A、﹣120B、120C、-15D、15（12）设函数y=f()的定义域为R+，若对于给定的正数，定义函数，则当函数时，定积分的值为（）A、2ln2+2B、2ln2-1C、2ln2D、2ln2+1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13) 用数学归纳法证明：，在验证n＝1时，左边计算所得的项为________(14) 10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有________ 种．(15) 函数f（）=3+a2+b+a2在=1时有极值为10，则a+b的值为_______(16) 如图是函数的导函数的图象，对此图象，有如下结论：①在区间（-2，1）内是增函数；②在区间（1，3）内是减函数；③在=2时，取得极大值；④在=3时，取得极小值。

中山市高二级2016 —2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上•如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案•不准使用铅笔和涂改液•不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁•考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.）1. 若复数z满足z「2i = -i z，贝U z =A. -1 iB. 1 -iC. 1 - iD. -1 -i2. 设随机变量X〜B（8, p）,且D（X）= 1.28,则概率p的值是A . 0.2 B. 0.8 C. 0.2 或0.8 D. 0.163•某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响•部分统计数据如下表：附表:经计算K2的观测值为10,,则下列选项正确的是（）A .有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B .有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C .在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D .在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响4.用反证法证明：若整系数一兀二次方程 ax bx0（a = 0）有有理数根，那么a,b,c 中至少有一个是偶数•下列假设正确的是 A •假设a,b,c 都是偶数； B •假设a,b,c 都不是偶数 C .假设a,b,c 至多有一个偶数 D •假设a,b,c 至多有两个偶数5.函数f （x ）-In x 的单调递减区间是Ml"2A . 0,B . Hr ,I 2一，丿6.已知X 的分布列为X —1 0 1 P1 1 1 236设Y = 2X + 3,贝U E(Y)7A ・3“取到的2个数均为偶数”，则P （BA 等于（）A.8&在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N （ — 1,1）的部分密度曲线）的点的个数的估计值为附：若 X 〜N （u, d 2）,贝 y P （ — b <X< 叶 d ） 0.682 6, P （ — 2 <r <X< 才 2（r ）= 0.954 4.11 VOA . 1 193B . 1 359C . 2 718D . 3 4139.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据， 求出y 关于x 的线性回归方程为 y =0.7X + 0.35，则下列结论错误的是（）B . 47.从 1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件 A 为“取到的2个数之和为偶数” ，事件B 为A.产品的生产能耗与产量呈正相关 B . t 的值是3.15C .回归直线一定过（4.5,3.5）D . A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加 0.7吨 A . 1200 B . 12 .已知函数f x 的导函数为「x ，且「x ::: f x 对任意的x ・R 恒成立，则下列不 等式均成立的是值等于16.已知函数 f x = x 2 2x a, g x =1 nx - 2x,, 如果存在，2，使得对任意的X2，丄，2 ，都有f &X 2成立，则实数_2三、解答题（本大题共 6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）10. 将5件不同的奖品全部奖给 3个学生，每人至少一件奖品，则不同的获奖情况种数是 A. 150B. 210C. 240D. 30011. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传 大衍之数五十 项为：0、2、4、& 12、18、24、32、40、50 .通项公式：n 2 -1”的推论.其前10 ,n 为奇数，如果把这个数列 {a n }排成如图形状,—,n 为偶数2并记A （m,n ）表示12 50 …0 2 4 18 24 832 40 m 行中从左向右第 n 个数，则（10,4）的值为 D . 36121280 C . 3528A . f In2 ：：:2f 0 , C. f In2 ：：:2f 0 , f 2 ： e 2f 0 f 2e 2f 0B . f In2 2f 0 , f 2 e 2f 0 D . f In2 2f 0 , f 2 <e 2f 0二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分,20分，把答案填在答题卡相应横线上） 13. 14. 1直线y x b 是曲线y = In x 的一条切线,2! 4 x 2 2xdx = ____________ 0则实数 b 的值为15. 已知(1 -x)5 = a 0 aixx a3x5■ &X ,则(a ° - a 2 a 4)(a< a 3 ' a §)的a 的取值范围是17. （本小题满分10分）在匕仮--1丨的展开式中，求: I 丘丿（1）第3项的二项式系数及系数；（2）含x2的项.18. （本小题满分12分）1 1设正项数列 % / 的前n项和为Sn ,且Sn = —（a n•—）,2 a n（1）求a1, a2,a3，并猜想数列：a n的通项公式（2）用数学归纳法证明你的猜想.19. （本小题满分12分）为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型① y =C1X2• C2与模型；②y二e C3X C4作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系.温度x/c C20222426283032产卵数y/个610212464113322t =x24004845766767849001024z = 1 n y 1.79 2.30 3.04 3.18 4.16 4.73 5.77-x t y z2 - [ 7 - 17 其中trX j , J, ”lny i, zf , 附：对于一组数据（叫，r）,（・,「2）,……（％「n），其回归直线V= = *的斜率和截n迟（巴一巴“一眄距的最小二乘估计分别为：2二送岸i -門2i A（1）根据表中数据，分别建立两个模型下y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30C时的产卵数.（G,C2,C3,C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据:4 65 4 85 5 05e . :104.58, e . :127.74, e .156.02）（2）若模型①、②的相关指数计算分别为尺2=0.82, R22=0.96.，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好•20. （本小题满分12分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成•规定：至少正确完成其中2道题的便可通过•已知6道备选题2 中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是一，3 且每题正确完成与否互不影响.（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？21. （本小题满分12 分）a b a b ,对于命题P :存在一个常数M，使得不等式M 对2a+b 2b + a a + 2b b + 2a 任意正数a , b恒成立•(1)试给出这个常数M的值；(2)在(1)所得结论的条件下证明命题P ；(3)对于上述命题，某同学正确地猜想了命题Q:存在一个常数M，使得不等式a b c— _M _—a b c对任意正数a，b，c恒成立.”3a亠b 3b亠c 3c亠a a亠3b b亠3c c亠3a观察命题P与命题Q的规律，请猜想与正数a , b , c , d相关的命题.22. (本小题满分12分)已知函数f(x) =xln x「^ax2「x • 3a3「4a2「a 2(^ R)存在两个极值点. 2(I)求实数a的取值范围；2 (n)设X1和x2分别是f(x)的两个极值点且x^：：x2，证明：X1X2・e .中山市高二级2016 — 2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（理科）答案44三、解答题：217.解（1）第3项的二项式系数为 C 6 =15,............................................. 2分又T 3 =C2（2 JX ）4 - I " =240x ，所以第3项的系数为240. .................................. 5分X令3-k = 2，得k=1.所以含x 2的项为第2叽且T 2 - -192x 2 ....................................... 10分11 18・解⑴当 n =1 时，a 1（3] ） ,.•• a^i = 1 或 a^ -1 （舍，a n 0）. ............. 1 分2a 1当 n - 2 时，a 1 a^ （a 2 丄），.a 2 二,2-1...... 2分2a 2当 n = 3 时，a 1 a ? a 3 二丄皑丄），.a 2 = 3 - 2 ...... 3 分2a 3猜想：a n = •、. n -、：；：n -1. ........ 4 分⑵证明：①当n=1时，显然成立...... 5分②假设n = k 时，a k = I k - ■ k -1成立，1 1 1 1则当^k 1时，去1012匚（帚1=-2（%任）,11分一、 选择题： CCABA ABBBA DA 二、 填空题： ― 21 13. In2 -1 ； 15. ; 15. -256;16.（_：In 2- — ].⑵ T k1 =C ：（2、.X ）6“= （-1）k26“C ：x 3“即"丄"a k ；dL 」k-1）TRak 1由①、②可知，—n 三N* , a. =、E —、、n — 1 . ........ 12 分19•解：(1)对于模型①：设t =x2，则y =G x2• C2 =G t C27 _ _二(t i -t)(y i -y)其中G =斗0.43 , ........................... 1分■ 2■- (t i「)i 4c2j-c] =80-0.43 692 —217.56 ....................... 3 分2所以y =0.43x -217.56 , ..................... 4 分2当x =30时，估计产卵数为力=0.43 30 -217.56 =169.44……5分对于模型②：设z = In y，贝U ln y =C3x C47 _ _送(K -z)(x -x)其中C3二1^ 0.32 , ................................................ 6 分瓦(x -x)2i吕C4=Z—C3X=3.57 — 0.32 26=—4.75 ............................... 8 分0.32x -4.75所以y=e , ....................................... 9分当x =30 时，估计产卵数为y2 = e。

中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（文科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.【答案】D【解析】因为抛物线x2=4y，所以p=2，所以抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．故选D．2. 若复数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.3. 命题“R，”的否定为A. R，B. R，C. R，D. R，【答案】D【解析】“R ，”的否定为R ，,故选D.4. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀16 2 18 总计20 10 30 附表：P(K2≥k0 )0.150.10.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828经计算的观测值为10，则下列选项正确的是( )A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】因为7.879＜K2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选：A．5. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A. 假设都是偶数；B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数【答案】B【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选B.考点：命题的否定.6. 函数的单调递减区间是A. B.C. ，D.【答案】A【解析】函数y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞）．令y′=2x﹣= ，解得，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间是．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性。

中山市2017届高二下学期期末统一考试数学（理科）本试卷共4页，22小题， 满分150分． 考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数z 满足2z i i z -=-⋅，则z =A ．1i -+B ．1i -C ．1i +D ．1i -- 2．设随机变量X ～B (8，p )，且D (X )＝1.28，则概率p 的值是A ．0.2B ．0.8C ．0.2或0.8D ．0.163．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算K 的观测值为10，，则下列选项正确的是( ) A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响4. 用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A ．假设,,a b c 都是偶数；B ．假设,,a b c 都不是偶数C ．假设,,a b c 至多有一个偶数D ．假设,,a b c 至多有两个偶数5．函数2()ln f x x x =-的单调递减区间是A. 0,2⎛ ⎝⎦ B.2⎫+∞⎪⎪⎣⎭C. ,⎛-∞ ⎝⎦，⎛ ⎝⎦D.⎡⎢⎣⎦ 6．已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A.73B ．4C ．－1D ．1 7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )A.18B.14C.25D.128．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布 N(－1,1)的部分密度曲线)的点的个数的估计值为附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.A ．1 193B ．1 359C ．2 718D ．3 413 9．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，则下列结论错误的是( )A. B ．t 的值是3.15C ．回归直线一定过(4.5,3.5)D ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨10. 将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是 A. 150 B. 210 C. 240 D. 30011. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，如果把这个数列{}n a 排成如图形状，并记,A m n （）表示第m 行中从左向右第n 个数，则10,4A （）的值为A ．1200B ．1280C ．3528D ． 361212． 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x '<对任意的x R ∈恒成立，则下列不等式均成立的是A ．()()()()2ln 220,20f f f e f <<B ．()()()()2ln 220,20f f f e f >> C. ()()()()2ln 220,20f f f e f <> D ．()()()()2ln 220,20f f f e f >< 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上） 13. 直线12y x b =+是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值为14.=⎰15. 已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则0241()(a a a a +++35)a a + 的值等于 .16. 已知函数()()22,ln 2,f x x x a g x x x =++=-，如果存在11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17．（本小题满分10分）在6⎛⎝的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含2x 的项．18．（本小题满分12分） 设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11()2n n nS a a =+，(1)求123,,a a a ，并猜想数列{}n a 的通项公式(2)用数学归纳法证明你的猜想．19.（本小题满分12分）为了研究一种昆虫的产卵数y 和温度x 是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①212y C x C =+与模型；②34C x C y e +=作为产卵数y 和温度x 的回归方程来建立两个变量之间的关系.其中2i i t x =，7117i i t t ==∑，ln i i z y =，7117i i z z ==∑，附：对于一组数据11(,)μν，22(,)μν，……(,)n n μν，其回归直线v βμα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()nii i nii μμννβμμ==--=-∑∑，ανβμ=-．（1）根据表中数据，分别建立两个模型下y 关于x 的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30C时的产卵数.（1234,,,C C C C 与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：4.65 4.855.05104.58,127.74,156.02e e e ≈≈≈）（2）若模型①、②的相关指数计算分别为22120.82,0.96.R R ==，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.20. （本小题满分12分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？21.（本小题满分12分）对于命题P ：存在一个常数M ，使得不等式2222a b a bM a b b a a b b a+≤≤+++++对任意正数a ，b 恒成立.（1）试给出这个常数M 的值；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题P ；（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题Q ：“存在一个常数M ，使得不等式333333a b c a b cM a b b c c a a b b c c a++≤≤++++++++对任意正数a ，b ，c 恒成立．”观察命题P 与命题Q 的规律，请猜想与正数a ，b ，c ，d 相关的命题．22. （本小题满分12分）已知函数2321()ln 342()2f x x x ax x a a a a =--+--+∈R 存在两个极值点．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设1x 和2x 分别是()f x 的两个极值点且12x x <，证明：212e x x >．数学（理科）参考答案一、选择题： CCABA ABBBA DA 二、填空题：13．ln 21-； 14．4π； 15．256-； 16．21(ln 2]4-∞-，.三、解答题：17.解(1)第3项的二项式系数为2615C =， ………………………………… 2分又22436240T C x ⎛== ⎝，所以第3项的系数为240. …………… 5分(2)663166(1)2kk k k k k kk T C C x ---+⎛==- ⎝， 令32k -=，得1k =. 所以含2x 的项为第2项，且22192T x =- ……… 10分18.解(1)当1n =时，11111()2a a a =+，∴11a =或11a =-(舍,0n a >). ……… 1分 当2n =时，122211()2a a a a +=+，∴21a ． ……… 2分 当3n =时，1233311()2a a a a a ++=+，∴2a ……… 3分猜想：n a =. ………4分 (2)证明：①当1n =时，显然成立． ………5分 ②假设n k =时，k a = 则当1n k =+时，11111111()()22k k k k k k ka S S a a a a ++++=-=+-+,即1111()k k k k a a a a ++-=-+=-=-∴1k a += ………11分 由①、②可知，*n N ∀∈，n a . ………12分 19.解：（1）对于模型①：设2t x =，则21212y C x C C t C =+=+其中711721()()0.43()iii i i t t y y C t t ==--==-∑∑， ……………………… 1分21800.43692217.56C y C t =-=-⨯=- …………………… 3分所以20.43217.56y x =-， ………………… 4分 当30x =时，估计产卵数为210.4330217.56169.44y =⨯-= …… 5分对于模型②：设ln z y =，则34ln y C x C =+其中713721()()0.32()iii ii z z x x C x x ==--==-∑∑，………………………………… 6分43 3.570.3226 4.75C z C x =-=-⨯=- ……………………… 8分所以0.32 4.75x y e -=， ………………………………… 9分 当30x =时，估计产卵数为0.3230 4.75 4.852127.74y e e ⨯-===………… 10分（2）因为2212R R <，所以模型②的拟合效果更好 ………………………………… 12分20. 解：（1）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3……………1分()124236115C C P c ξ===；()214236325C C P c ξ===；()304236135C C P c ξ===；…………4分应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为()1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯= ………………………………………5分设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3……………………………6分()()3120133112160;13273327P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2323332112282,33327327P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………………9分 应聘者乙正确完成题数η的分布列为：()160123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=. （或∵23,3B η⎛⎫⎪⎝⎭∴()2323E η=⨯=） …………10分（2）因为()()()()22213121222325555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=，()2(1)3D np p η=-=所以()()D D ξη<……………………………………………11分综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当； 从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大………………12分21. 解：（1）令a b =得：2233M ≤≤，故23M =； ……3分 （2）先证明2223a b a b b a +≤++.∵0a >，0b >，要证上式，只要证3(2)3(2)2(2)(2)a b a b a b a b b a +++≤++，即证222a b ab +≥ 即证2()0a b -≥，这显然成立.∴2223a b a b b a +≤++. ……6分 再证明2322a ba b b a≤+++. ∵0a >，0b >，要证上式，只要证3(2)3(2)2(2)(2)a a b b b a a b b a +++≥++，即证222a b ab +≥ 即证2()0a b -≥，这显然成立.∴2322a ba b b a≤+++. ……9分 （3）猜想结论：存在一个常数M ，使得不等式 44444444a b c d a b c dM a b b c c d d a a b b c c d d a+++≤≤+++++++++++对任意正数a ，b ，c ，d 恒成立. ……12分22. 解：（Ⅰ）由题设函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln f x x ax '=-， ……… 1分 故函数()f x 有两个极值点等价于其导函数()f x '在(0,)+∞有两个零点． 当a = 0时()ln f x x '=，显然只有1个零点01x =． ……………………… 2分当a ≠0时，令()ln h x x ax =-，那么11()axh x a x x-'=-=． 若a < 0，则当x > 0时()0h x '>，即()h x 单调递增，所以()h x 无两个零点. … 3分 若a > 0，则当10x a <<时()0h x '>，()h x 单调递增；当1x a>时()0h x '<，()h x 单调递减，所以11()()ln 1h x h a a ≤=-. 又(1)0h a =-<，当x →0时→-∞，故若有两个零点，则11()ln 10h a a =->，得10a e <<． ……………………………………… 5分综上得，实数a 的取值范围是1(0,)e． ……………………………………… 6分（Ⅱ）要证212e x x >，两边同时取自然对数得212ln ln n 2e l x x +>=． ……… 7分由()0f x '=得1122ln 0ln 0x ax x ax -=⎧⎨-=⎩，得12121212ln ln ln ln x x x x a x x x x +-==+-.所以原命题等价于证明12121212()(ln ln )ln ln 2x x x x x x x x +-+=>-．………… 8分因为12x x <，故只需证1212122()ln ln x x x x x x --<+，即1121222(1)ln 01x x x x x x --<+．…… 9分令12x t x =，则01t <<，设2(1)()ln (01)1t g t t t t -=-<<+，只需证()0g t <．… 10分 而22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++，故()g t 在(0,1)单调递增，所以()(1)0g t g <=． 综上得212e x x >．……………………………………………………………… 12分。

中山市高二级第二学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若复数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.2. 设随机变量X～B(8，p)，且D(X)＝1.28，则概率p的值是A. 0.2B. 0.8C. 0.2或0.8D. 0.16【答案】C【解析】∵随机变量X～B（8，p），且D（X）=1.28，∴8P（1-p）=1.28，∴p=0.2或0.8故选：C3. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18总计20 10 30 附表：P(K2≥k0)0.150.10.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828经计算的观测值为10，，则下列选项正确的是( )A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】因为7.879＜K2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选：A．4. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A. 假设都是偶数；B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数【答案】B【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选B...............................考点：命题的否定.5. 函数的单调递减区间是A. B.C. ，D.【答案】A【解析】函数y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞）．令y′=2x﹣= ，解得，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间是．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性6. 已知X的分布列为X －1 0 1P设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为A. B. 4 C. －1 D. 1【答案】A【解析】由条件中所给的随机变量的分布列可知EX=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣）+3=．故答案为：A．7. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：(1,3)、(1,5)、(3,5)、(2,4)，∴p(A)=，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4),∴P(AB)=∴ .本题选择B选项.8. 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的部分密度曲线)的点的个数的估计值为附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.A. 1 193B. 1 359C. 2 718D. 3 413【答案】B【解析】正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]= ×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p= =0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．点睛：正态曲线的性质：（1）曲线在轴的上方，与轴不相交 .（2）曲线是单峰的，它关于直线=μ对称（由得）（3）曲线在=μ处达到峰值（4）曲线与轴之间的面积为19. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是( )x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【答案】B【解析】由题意，故选：B．10. 将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是A. 150B. 210C. 240D. 300【答案】A【解析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33=60种分法，分成2、2、1时，根据分组公式90种分法，所以共有60+90=150种分法，故选A．点睛：一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。

中山一中2016-2017学年度高二下学期第二次段考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，故选A.2.已知随机变量的分布列为，，则等于( )A. 6B. 9C. 3D. 4【答案】A【解析】由题意，，，，故选A.3.用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应该写成（）A. 假设当时，能被整除B. 假设当时，能被整除C. 假设当时，能被整除D. 假设当时，能被整除【答案】D【解析】注意n为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．解：根据数学归纳法的证明步骤，注意n为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n=2k-1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确；故选D．本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n=2k-1能取到1，是解好本题的关键．4.曲线与直线围成的封闭图形的面积为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由，直线，令,可得或，曲线与直线交于点或，因此围成的封闭图形的面积，故选B.5.随机变量服从正态分布，且.已知，则函数图象不经过第二象限的概率为( )A. 0.3750B. 0.3000C. 0.2500D. 0.2000【答案】C【解析】图象不经过第二象限，，随机变量服从正态分布，且，函数图象不经过第二象限的概率为，故选C.6.有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为( )A. 18B. 15C. 16D. 25【答案】B【解析】名会唱歌的从中选出两个有种,名会跳舞的选出名有种选法,但其中一名既会唱歌又会跳舞的有一个,两组不能同时用他,共有种，故选B.7.利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得P（K2>k）0．100．050．0250．0100．0050．001k2．7063．8415．0246．6357．87910．828参照附表，得到的正确结论是（）A．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】B【解析】解：计算K2≈8.806>7.879，对照表中数据得出有0.005的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1−0.005=99.5%的把握说明两个变量之间有关系，本题选择B选项.8.某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )A. 2000元B. 3200 元C. 1800元D. 2100元【答案】D【解析】第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个号有种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有注,故至少要花,故选D.9.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，令，则，故选A.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10.将三颗骰子各掷一次，设事件“三个点数都不相同”，“至少出现一个6点”，则概率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】考点：条件概率与独立事件．分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）==P（B）=1-P（）=1-=1-=∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==故选A．11.设的三边长分别为，的面积为,内切圆半径为,则,类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为,内切球半径为，四面体的体积为,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体A-BCD="1" /3 (S1+S2+S3+S4)R∴R=故选C．12.已知函数.正实数满足，则下述结论中正确的一项是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】由，即，从而，令，则由得，，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，，，可得或，又，因此成立，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，一元二次不等式的解法及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将方程问题转化为利用导数求最值进而通过解不等式解答.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设为实数时，实数的值是__________．【答案】3【解析】【详解】设为实数，，可得或又因为，故答案为.14.若的展开式中项的系数为70，则的值为__________．【答案】【解析】若的展开式的通项为，令得，故展开式中项的系数为，解得，故答案为.15.4 名学生被中大、华工、华师录取，若每所大学至少要录取1名，则共有不同的录取方法__________．【答案】36种【解析】先从名学生中任意选个人作为一组，方法种；再把这一组和其它个人分配到所大学，方法有种，再根据分步计数原理可得不同的录取方法种，故答案为种.故答案为16.将集合中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形表:则该数表中，从小到大第50个数为__________．【答案】1040【解析】用表示，下表的规律为：…，则第行的第个数，，故答案为.【方法点睛】本题归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是，圆的极坐标方程是．（1）求与交点的极坐标；（2）设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程是（为参数），求的值．【答案】(1)，或；(2)．【解析】试题分析：（1）联立极坐标方程，解得与交点的极坐标是，或；（2）直线的参数方程化为普通方程，把，的直角坐标带入，解得.试题解析：（1）代入，得．所以或，取，．再由得，或．所以与交点的极坐标是，或．（2）参数方程化为普通方程得．由（Ⅰ）得，的直角坐标分别是，，代入解得．18.在数列中，，，其中实数．(1)求，并由此归纳出的通项公式；(2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．【答案】(1)(2)见解析【解析】试题分析：（1），，可归纳猜测；（2）根据数学归纳法证明原理，当时，由显然结论成立．假设时结论成立，即只需证明当时，即可..试题解析：(1) 由，及得，于是猜测:(2)下面用数学归纳法予以证明:当时，由显然结论成立．假设时结论成立，即那么，当时，由显然结论成立．由、知，对任何都有19.某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b 的值，再求出a 的值，写出线性回归方程．（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t 的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值.试题解析：（1）由题意，,,,∴y 关于t 的线性回归方程为； 8分（2）由（1）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入,得：(千元)故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元左右. 12分考点：线性回归方程．【易错点睛】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真算出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，要求学生具有较好的数字运算能力，计算就是一个易错点.注意运算的准确性.20.(1)已知，用分析法证明:；(2)已知，且，用反证法证明:都大于零．【答案】(1)见解析(2) 见解析【解析】试题分析：（1）用分析法证明,…；（2）假设不都大于零，即至少有一个小于零或等于零，这时需要逐个讨论不是正数的情形.但注意到条件的特点（任意交换的位置不改变命题的条件），我们只要讨论其中一个数（例如），其他两个数（例如）与这种情形类似.试题解析：(1)因为欲使由已知得最后一个不等式成立，故原不等式成立；(2) 假设不都大于零，即至少有一个小于零或等于零(ⅰ)若某一个等于零，由，与矛盾．(ⅱ)若某一个小于零，不妨设，由，得由，得，那么，得，即，结合，得与矛盾．结合(1)、(2) 知都大于零．21.将编号为1、2、3、4的四个小球随机的放入编号为1、2、3、4的四个纸箱中，每个纸箱有且只有一个小球，称此为一轮“放球”．设一轮“放球”后编号为的纸箱放入的小球编号为，定义吻合度误差为(1) 写出吻合度误差的可能值集合；(2) 假设等可能地为1，2，3，4的各种排列，求吻合度误差的分布列；(3)某人连续进行了四轮“放球”，若都满足，试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮“放球”相互独立)；【答案】(1).(2) 见解析(3)【解析】试题分析：（1）根据题意知与的奇偶性相同，误差只能是偶数，由此写出的可能取值；（2）用列举法求出基本事件数，利用古典概型概率公式计算对应的概率值，写出随机变量的分布列；（3）利用互斥事件的概率公式计算，再利用对立事件的概率公式求解.试题解析：(1) 由于在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，所以中的奇数的个数与中偶数的个数相同．因此，与的奇偶性相同，从而吻合度误差只能是偶数，又因为的值非负且值不大于8．因此，吻合度误差的可能值集合.(2)用表示编号为1、2、3、4的四个纸箱中放入的小球编号分别为，则所有可能的结果如下:易得，，，，于是，吻合度误差的分布列如下:02468(3)首先，由上述结果和独立性假设，可得出现这种现象的概率为【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及随机变量的分布列，属于难题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.22.已知函数.(1) 若函数在点处的切线方程为，求的值；(2) 若，求函数在区间上的最小值；(3) 对任意的，都有，求正实数的取值范围.【答案】(1)；(2)见解析(3).【解析】试题分析：（1）求出导数，由，即可解得；（2）求出导函数，令导函数为求出根，通过讨论根与区间的关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值与区间端点函数值比较，即可得函数的最小值；（3）由题意可得在递增.通过构造函数求出导数，结合二次函数的性质，解不等式即可得到的范围.试题解析：(1)，函数点处的切线斜率为，在点处的切线方程为，则，计算得出；(2)，令得（舍）或，当时，在单调递减，在上单调递增所以；当时，在上单调递减，所以.即有当时，；当时，.(3)对任意的，都有，即为在递增．因为，，在恒成立，即有在恒成立，即有令，对称轴，，则判别式，即，计算得出．则有的取值范围为.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解。

中山一中2016—2017学年度高二下学期第二次段考理科数学第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 为虚数单位，复数z 满足()11z i +=,则z 的共轭复数z =（ )A ．1122i +B ．1122i -C ．1122i -+D ．1122i --2。

已知随机变量X 的分布列为()13P X k ==，1,2,3k =,则()35D X +等于(）A ．6 B.9 C 。

3 D.43.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n nx y +能被x y +整除”，第二步归纳假设应该写成（ ）A ．假设当()*n k k N =∈时,k kx y +能被x y +整除B.假设当()*2n k k N =∈时，k k x y +能被x y +整除 C.假设当()*21n k k N =+∈时，k kx y +能被x y +整除D.假设当()*21n k k N =-∈时，2121k k x y--+能被x y +整除4。

曲线(2sin 0)y x x π=≤≤与直线1y =围成的封闭图形的面积为( ） A ．4233π B.2233π C 。

433πD.2233π5.随机变量a 服从正态分布()21,N σ,且()010.3000P a <<=。

已知0,1a a >≠,则函数1xy a a =+-图象不经过第二象限的概率为( )A.0。

3750B.0.3000C.0。

2500 D 。

0.2000 6。

有6 名学生，其中有3 名会唱歌,2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的,去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为（ )A 。

18B 。

15C 。

16D 。

257。

利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用22⨯列联表，由计算可得28.806K≈参照附表，得到的正确结论是（ ）A.有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B 。

中山市高二级一学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（文科）本试卷共页，小题，满分分. 考试用时分钟.注意事项：、答卷前，考生务必用铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.、选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.、考生必须保持答题卡的整洁•考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分•在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）.抛物线y 4x的焦点坐标为. <1 ① .'：0 ].：■ . '.0 :【答案】【解读】因为抛物线，所以，所以抛物线的焦点坐标为（，）•故选..若复数二满足孑？一i ' 7，则7 —.1 - i . 1 i . ] . '1 i【答案】【解读】£丨i “ E i ：丄1' ' ：■ 7 -：-，故选..命题“ "' ， "< x if 1二C ”的否定为.”.：'，艾扎：二 C . 弓 1.;，工兀-1 :■- c.>: _ ， f' _ k _ 丄. 2 . V 乂 _ ， J _ x _ 丄.：【答案】【解读】 1 £ 0 ”的否定为⑴，* X — 1 匚、故选..某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响.部分统计数据如下表:使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀学习成绩不优秀总计经计算Q的观测值为，则下列选项正确的是（）.有的把握认为使用智能手机对学习有影响.有的把握认为使用智能手机对学习无影响.在犯错误的概率不超过的前提下认为使用智能手机对学习有影响.在犯错误的概率不超过的前提下认为使用智能手机对学习无影响【答案】【解读】因为VV,对照数表知，有的把握认为使用智能手机对学习有影响.故选：..用反证法证明：右整系数一兀一次方程1 bx 占亠0、有有理数根，那么上•二中至少有一个是偶数•下列假设正确的是.假设【I上.二都是偶数；假设匚|上.二都不是偶数•假设【I上.二至多有一个偶数. 假设【I上.二至多有两个偶数【答案】【解读】试卷分析：的上二中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即假设比b疋都不是偶数”，故选.考点：命题的否定..函数fi xj - x' - Inx的单调递减区间是.■：■. L -【答案】【解读】函数-的定义域为(，g).令’—］丄扛「，解得 3 x '；,二函数-的单调递减区间是＞3 . J .故选：点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一()确定函数=()的定义域；()求导数();()解不等式’()＞，解集在定义域内的部分为单调递增区间;()解不等式’()＜，解集在定义域内的部分为单调递减区间.方法二()确定函数=()的定义域；()求导数’='()，令’()=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；()把函数()的间断点(即()的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()的定义区间分成若干个小区间；乙的值为，则判断框内应填入的条件是.执行如图所示的程序框图，若输出的()确定’().k - a? . k ■■■ 3?.【答案】【解读】由题意得，模拟执行程序框图，可得：满足条件，弓—1,乞—1 ;满足条件，£ — ?,<. — ?;满足条件，弓== 2 ；满足条件，弓=如上=4;由题意，此时应不满足套件，推出循环，输出S■的值为34，结合选项可得判断框内填入的条件可以是k •-巳，故选•.已知为双曲线匚「. ；1的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为.S . .23 . 6【答案】【解读】双曲线〔［丄的•儿•儿C：，则可设（匕，），设双曲线的一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为' :;,故选..下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为y = +，则下列结论错误的是产品的生产能耗与产量呈正相关的值是回归直线一定过（）产品每多生产吨，则相应的生产能耗约增加吨【答案】■■■ y = 0,7 x 4.5 + 0.35 = 3.5, /. t = 4 x 3.5-2.5-4-4,5 = 3,中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外 • ”其中的“筹”原意是指《孙子算经》 中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表 123456789 "| || HI Uli mil T TO= —1—表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位 数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位 用横式表示，以此类推，例如用算筹表示就是： 1 T - II.，则 用算筹可表示为【答案】纵式打，选考点：新定义 x 2 V 2.设「，「.分别为双曲线： ^ 的左右焦点，点「.关于渐近线的对称 a b 点恰好落在以「为圆心，°「」为半径圆上,则双曲线的离心率为.3 . S . 2 . 2【答案】【解读】由题意，(,-),(,),a be一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为.| .【解读】试卷分析：由定义知；十位为横式 ；个位为【解读】由题意, 1 I T . m - T:千位为横式 ；百位为纵式设关于渐近线的对称点为，与渐近线交于,。

【关键字】关系中山市高二级2016—2017学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（文科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.【答案】D【解析】因为抛物线x2=4y，所以p=2，所以抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．故选D．2. 若单数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.3. 命题“R，”的否定为A. R，B. R，C. R，D. R，【答案】D【解析】“R，”的否定为R，,故选D.4. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算的观测值为10，则下列选项正确的是()A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】因为7.879＜K2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选：A．5. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A. 假设都是偶数；B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数【答案】B【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选B.考点：命题的否定.6. 函数的单调递减区间是A. B.C. ，D.【答案】A【解析】函数y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞）．令y′=2x﹣= ，解得，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间是．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性7. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为64，则判断框内应填入的条件是A. B. C. D ．【答案】A【解析】由题意得，模拟执行程序框图，可得：，满足条件，；满足条件，；满足条件，；满足条件，；由题意，此时应不满足套件，推出循环，输出的值为，结合选项可得判断框内填入的条件可以是，故选A.8. 已知F为双曲线的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A. B. 3 C. D.【答案】A【解析】双曲线的a= ，b= ，c= ，则可设F（，0），设双曲线的一条渐近线方程为y=x，则F到渐近线的距离为d==，故选A．9. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【答案】B【解析】由题意，故选：B．10. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则9117 用算筹可表示为A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由定义知: 千位9为横式；百位1为纵式；十位1为横式；个位7为纵式，选A考点：新定义11. 设，分别为双曲线：的左右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心,为半径圆上,则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y= x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，即c=2a，e=2．故答案为：C ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：，如果把这个数列排成如图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为A. 1200B. 1280C. 3528D. 3612【答案】D【解析】由题意，则A（10，4）为数列{a n}的第92+4=85项，∴A（10，4）的值为=3612，故选D ．点睛：本题取材于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，明确对应数列中的第几项，然后根据求出此项即可.本题的关键是正确理解树形图，明确项数.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13. 一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，则t=2时的瞬时速度为_________.【答案】13【解析】s=3t2+t的导函数s′=6t+1，∴s′（2）=6×2+1=13∴t=2时的瞬时速度为13故答案为1314. 已知是函数的一个极值点，则实数____________【答案】12【解析】f′（x）= +2x﹣10（x＞0）．∵x=3是函数f（x）=alnx+x2﹣10x的一个极值点，∴f′（3）= +6﹣10=0，解得a=12．∴f′（x）=∴0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，3＞x＞2时，f′（x）＜0，∴x=3是函数f（x）=12lnx+x2﹣10x的一个极小值点，故答案为：12．15. 双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P与两个焦点所构成的三角形的周长等于________________.【答案】42【解析】双曲线的a=8，b=6，则c=10，设P到它的上焦点F的距离等于3，由于3＞c﹣a=2，3＜c+a=18，则P为上支上一点，则由双曲线的定义可得PF'﹣PF=2a=16，（F'为下焦点）．则有PF'=19．则点P与两个焦点所构成三角形的周长为PF+PF'+FF'=3+19+20=42．故答案为42．16. 已知函数，如果对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】求导函数，可得g′（x）= ﹣2= ，x∈[，2]，g′（x）＜0，∴g（x）min=g（2）=ln2﹣4，∵f（x）=2x+a，∴f（x）在[，2]上单调递增，∴f（x）max=f（2）=4+a，∵如果存在，使得对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，∴4+a≤ln2﹣4，∴a≤故答案为点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：①根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；②若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;③若恒成立，可转化为.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17. 已知复数()，且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数的模.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）化为标准形式，根据纯虚数概念确定复数z；（2）先化简，然后求模即可.试题解析：(1)∵为纯虚数，∴∴，所以(2),∴.点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：①复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．②复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．③利用复数相等求参数．．18. 已知，设：实数满足，：实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）为真时实数的取值范围是，为真时实数x的取值范围是，然后求交集即可；（2）是的充分不必要条件即即是的充分不必要条件，易得：且.试题解析：（1）由得当时，，即为真时实数的取值范围是.由，得，即为真时实数x的取值范围是因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是.（2）由得，所以，为真时实数的取值范围是.因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件所以且所以实数的取值范围为：.19. 为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型；②作为产卵数和温度的回归方程来建立两个变量之间的关系.温度20 22 24 26 28 30 32产卵数个 6 10 21 24 64 113 322 400 484 576 676 784 900 10241.792.303.04 3.184.16 4.735.77 26 692 80 3.571157.54 0.43 0.32 0.00012其中，，，，附：对于一组数据，，……，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，（1）根据表中数据，分别建立两个模型下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：）（2）若模型①、②的相关指数计算分别为，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.【答案】(1)详见解析;(2)模型②的拟合效果更好.【解析】试题分析：（1）利用表中数据，建立两个模型下关于的回归方程；（2）因为，所以模型②的拟合效果更好.试题解析：（1）对于模型①：设，则其中，所以，当时，估计产卵数为对于模型②：设，则其中，所以，当时，估计产卵数为（2）因为，所以模型②的拟合效果更好.点睛：求解回归方程问题的三个易误点：①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(， )点，可能所有的样本数据点都不在直线上．③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．20. 已知椭圆：的右焦点为，右顶点为，设离心率为，且满足，其中为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据，解得c值，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）联立l与椭圆C的方程，得,得，．所以，又O到l的距离．所以△OMN的面积求最值即可.试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则|OF| = c，|OA| = a，|AF| =．所以，其中，又，联立解得，．所以椭圆C的方程是．（Ⅱ）由题意直线不能与x轴垂直，否则将无法构成三角形．当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，那么l的方程为．联立l与椭圆C的方程，消去y，得．于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=，这显然大于0．设点，．由根与系数的关系得，．所以，又O到l的距离．所以△OMN的面积．，那么，当且仅当t = 3时取等．所以△OMN面积的最大值是．点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 设函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调区间（其中为自然对数的底数）；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】(1) 的单调减区间为,单调增区间为;(2) .【解析】试题分析：（1）由，解不等式得到单调区间；（2）根据题意，构造，在上单调递减，转化为恒成立问题，求得k的取值范围.试题解析：（1）由，知，且，……1分因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，所以，得，所以，令，得，在上单调递减；令，得，在上单调递增，综上，的单调减区间为,单调增区间为.（2）因为，恒成立，则有，对恒成立，令，则在上单调递减，所以在上恒成立，所以恒成立，令，则.所以的取值范围是.点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了化归转化的思想，属于难题.不等式恒成立，可以变量集中后构造新函数ｇ（ｘ），则此函数在上单调递减，进而转化为在上恒成立，最终变量分离求最值即可．....................................22. 对于命题：存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立.（1）试给出这个常数的值；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题；（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题：“存在一个常数，使得不等式对任意正数，，恒成立．”观察命题与命题的规律，请猜想与正数，，，相关的命题．【答案】(1);(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】试题分析：（1）取特值，定常数的值；（2）利用分析法证明命题P;(3).猜想结论：存在一个常数，使得不等式对任意正数，，，恒成立.试题解析：（1）令得：，故；（2）先证明.∵，，要证上式，只要证，即证即证，这显然成立.∴.再证明.∵，，要证上式，只要证，即证即证，这显然成立.∴.（3）猜想结论：存在一个常数，使得不等式对任意正数，，，恒成立. 此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。