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2014年广东省高考语文数学（文...2014年广东省高考真题及答案(word版）语文、数学、英语、政治、历史、地理、物理、化学、生物全科（10份）经典答案解析目录2014年广东省高考语文试卷及答案 (2)2014年广东省高考数学（文）试卷及答案 (16)2014年广东省高考数学（理）试卷及答案 (26)2014年广东省高考英语试卷及答案 (32)2014年广东省高考文综（政、史、地）试卷及答案 (41)2014年广东省高考理综（理、化、生）试卷及答案 (54)2014年广东省高考语文试卷及答案本试卷共8页，24小题，满分150分。
考试用时150分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处。
”2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、本大题4小题，每小题3分，共12分。
1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同．．．．的一组是A．驰骋．/聘．请饶恕．/夙．愿塞．翁失马/敷衍塞．责B．瑕．疵/遐．想遏．止/摇曳．是否．/臧否．C．诽谤．/磅．礴洗涤．/嫡．亲累．积/劳累．D．渗．透/掺．杂俯．仰/辅．导屡见不鲜．/鲜．为人知2．下面语段中画线的词语，使用不恰当．．．的一项是与连篇累牍的电视剧本身相比，剧中翻书的动作、人物的坐姿等，只是一些细节。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A i B iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.xx 212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.xx 22+ 答案:A111:()2,(),()22(),222(), A.x x xx x x f x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.二、填空题(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDFAEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长三、解答题16.(本小题满分12分)已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且5()12f π=（1） 求A 的值；（2）若()()(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-553:(1)()sin()sin 3.121234(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336cos sin 31cos ,()336f A A A f x x f f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=++-+=++-+-===∴=∴-=解由得1sin()3sin()3cos 3 1.6323πππθθθ-+=-==⨯=17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为 (2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)50413210201(121123412100)2012522012.6+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2112,,2211.33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅=====∴=⋅==1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0{}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式 (3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-2222002222220.:1(0)(1);(2)(,),,.:(1)3,954,1.94(2),,4x yC a ba bCP x y C P C Pcc e a b a cax yCx y+=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x xx yy k x x yk x k y kx x y kxk y kx y kx k y kx-±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即2222200000122220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.kyx k x y k y k kxx yP x y+=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a Rf xa x f x f=+++∈<∈已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()3224222111()()23612211()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-+00020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,0,,01,7x a x f x f x x a a a a x x ++∴∈=+++=<∴∆=-+=->=>∴<<<<若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,1212155,,,,24425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<-=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭即得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).2。
2014年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）z==3+4i3．（5分）（2014•广东）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）解：∵向量=，﹣=4．（5分）（2014•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（），由于﹣6．（5分）（2014•广东）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取7．（5分）（2014•广东）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”解：由正弦定理可知⇒，8．（5分）（2014•广东）若实数k满足0＜k＜5，则曲线﹣=1与﹣=1的﹣=1﹣=19．（5分）（2014•广东）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，10．（5分）（2014•广东）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下命题：①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；④z1*z2=z2*z1122）12=（）1+z1=1，21z1，2，等式不成立，故错误；二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11-13题）11．（5分）（2014•广东）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为5x+y+2=0．．12．（5分）（2014•广东）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为0.4．中任取两个不同字母，共有=10=4=0.413．（5分）（2014•广东）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5．（二）（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（2014•广东）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．，解得：．【几何证明选讲选做题】15．（2014•广东）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=3．．=四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．x+）=，）﹣x+））（）=Asin））﹣））﹣（cos=3sin，﹣）．名工人年龄数据如下表：（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．=30[18．（13分）（2014•广东）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．CD=；=，即=，，∴PE=CD；MD=，S MD=××=．19．（14分）（2014•广东）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．得：，即．）由．，．）可知=，=＜（时，显然有=＜时，+﹣•＜，有20．（14分）（2014•广东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．）依题意知+=1++21．（14分）（2014•广东）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＜0时，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x0）=f（）．）转化为（的两根为）时，，）∵∴若存在∪，使得在的两根为，∴依题意有，且，且．∪时，存在唯一的∪，使得∪}∪，使得。
2014年全国各地文科数学试题(广东卷)数学 (文科)一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A i B iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.xx212-B.x x sin 3C.1cos 2+xD.xx 22+ 答案:A111:()2,(),()22(),222(), A.x xx x x x f x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*;③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*;则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数,且154a a =,则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDFAEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长16.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈,且532()122f π=（1） 求A 的值;（2） 若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈,求()6f πθ-5533232:(1)()sin()sin ,2 3.12123422(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos3sin 333sin ,(0,),32f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴--=+--+=+--+-===∴=∈解由得又6cos 36()3sin()3sin()3cos 3 6.66323f θππππθθθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图; (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为(2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)504132102011(121123412100)25212.62020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2222221333132,=,,,,2442833336()(),44211362.338216CDE M CDE CDE CF DE DE PE S CD DE P CP MD ME DE PE DE V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅==-=-=-=∴=⋅=⋅⋅=即{}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0(3)证明：对一切正整数n ,有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3):,()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)n k k n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又解法一当时(1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44111111:(),.(1)2(21)(21)(21)22121(:)n n k k a a n n n n a a k k k k k k +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-=<=-++-+-+解法二以下略注解法二的放缩没有解法一的精确,在使用中第一项不放缩时才能得到答案22220022222520.:1(0)(5,0),.3(1);(2)(,),,.55:(1)5,,3,954,31.94(2),,4x y C a b a b C P x y C P C P c c e a b a c a a x y C x y +=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为离心率为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x x x y y k x x y k x k y kx x y kx k y kx y kx k y kx -±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即22222000001220220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.k y x k x y k y k k x x y P x y +=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为'22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,2011,(,11),()0,(),(11,11),()0,(),(11,)f x x x a x x a a a f x f x a x x a a x a f x f x x a a f x f x x a =++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=-±-∈-∞--->∴∈----+-<∈-+-+∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,11),(11,),()(11,11).f x f x a f x a f x a a f x a a >≥-∞+∞<-∞----+-+∞----+-此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a R f x a x f x f =+++∈<∈已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得3232000033220002000000200000111111(2):()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()322422211111()()()(4236122122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-解法一2000020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,14221487214872148:,0,,8447+2148,01,7214x x a x f x f x x a a a a a a ax x a +++∴∈=+++=<∴∆=-+=->-±--±--+-=>∴--<<<-若存在使得必须在上有解方程的两根为只能是依题意即000002574811,492148121,,12127+2148155=,,,,424425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)(1212422a a a a a x a a x f x f a x f x <∴<-<-<<---=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈⎨⎬⎩⎭即又由得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1)().2f =00:0,110,()3,111,(1)()(0,1),111(0,)(,1),()=();222()30,()(0,11),(11,1),5111),()(0,),(,1),422a a i a a f x x f x f ii a f x a a a f x <∴-+->≤--+-≤∈-<<-+--+-=-解法二若从而由知在区间上是减函数故此时不存在使得若则函数在区间上递减在区间上递增若则在上递减在上递增显然此时不存在满足题意的000000;512)3,111,,(11,1),4212525255(1)()0,0,,;222412124513)0,011,,(0,11),421775(0)()0,0,,2224124x a a x x a a f f a a x a a x x a a f f a -<<-<-+-<∈-+-->+>>--<<--<<<-+-<∈-+-->--><--若则若题意中的存在则故只需即则故时存在满足题意的若则若题意中的存在则故只需即则故000007.12:25557111(,)(,),(0,)(,1)()().1244122222575111(,][,0),(0,)(,1)()().12124222a x a x f x f a x f x f <<-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭时存在满足题意的综上所述当时存在唯一的满足当时不存在使。
2014年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(一)说明：1 •本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共24题.2 .本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成.3. 本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充.四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法.1.在ABC中，C=A+ , sinA= —3.2 3(1 )求sinC的值；(2)若BC=6，求ABC的面积.X- y> 0,编号为n.若以(m , n)作为点P的坐标，求点P落在区域彳'内的概率.x+ y-5c 06•某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其质量(单位：克)是否合格，分别记录抽查数据，获得质量数据的茎叶图如图所示.(1)根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品质量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的质量较稳疋；(2)若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的质量之差不超过2克的概率.(2)将函数y= f(x)的图象向左平移芸个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的g倍，纵坐标不变，得到函数y = g(x)的图象，求g(x)在|0 5 I上的值域.2 1 ' 24」4. 如图，某测量人员为了测量珠江北岸不能到达的两点A, B之间的距离，他在珠江南岸找到一个点C,从C点可以观察到点A, B;找到一个点D，从D点可以观察到点A, C;找到一个点E,从E点可以观察到点B, C;并测量得到数据：/ ACD = 90 ° / ADC = 60 ° / ACB = 15 ° / BCE = 105 ° / CEB = 45° , CD = CE = 100m.(1 )求厶CDE的面积；(2)求A , B之间的距离. 7. 某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60) , [60,70) , [70,80) , [80,90) , [90,100)分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.5. —个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1 , 2 , 3 , 4.(1)从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a,然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b,求关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率；2 .已知函数f(x)= 3sin( 3x+$)(3>0, 0 v—)的最小正周期为n,且其图象经过点(一,0).2 3 (1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数x 2_2 12 a 共(0,兀)，且g( a = 1, g(3 = ^4^，求g(a- ®的值.2014年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料3 .已知向量m= (sin x,1), n= ( ,3Acos x, Acos 2x) (A>0)，函数f(x) = m n 的最大值为6.甲乙2124 43 11110 2571(8 9(1 )求A的值;25周岁以上in 26周岁以下組(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为生产能手”请你根据已知条件完成 2 2列联表，并判断是否有90%的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：P(K2Kk)0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.8288. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料:日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差X ( °C) 101113128发芽数y (颗) 232530261611 .等腰梯形PDCB 中，DC // PB, PB=3DC=3, PD= •. 2 , DA 丄PB,垂足为A,将厶PAD 沿AD 折起,使得PA丄AB,得到四棱锥P-ABCD .该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程？ = !?(•?；( 3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问( 2)中所得的线性回归方程是否可靠？9•如图，三棱锥P-ABC 中，PB —底面ABC , BCA=90：, PB=BC=CA=4 , E为PC 的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF =2FP . (1)求证：BE _平面PAC ； ( 2)求证：CM //平面BEF ；(3)求三棱锥F - ABE的体积.10.如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2, AB=4. ( 1)求证：PQ丄平面ABCD ； (2)求点P到平面QAD的距离.C(1) 求证：平面(2) 点M在棱VPM」CD 时V 4FAD丄平面PCD ；PB上，平面AMC把四棱锥P-ABCD分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比求证：PD//平面AMC .2014年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(三) 13•数列{a n}, {b n}满足：31 = 2,2a n .1 = a n n,b n = a n - n 2(n N*).(1 )求数列｛b n｝的通项公式；(2)设数列｛a n｝,｛b n｝的前n项和分别为A n、B n,问是否存在实数■，使得｛B n｝为等差数列?n若存在，求出■的值；若不存在，说明理由14 .设数列a f满足c = 2, a2• a4 = 8，且对任意n • N ,函数 f (x) = (a n —a n 1 a n 2)x a n 1 cosx —a n .2 sinx满足匕)2(1)求数列la n!的通项公式; (2)若b n = 2( a n +# ，求数列的前n项和Sn.15 .根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为X1,X2, lH,X n,l||,X2008 ；%, y2,川,y n,川,丫2008 •(1)求数列｛x n｝的通项公式x n； (2)求y1和y2,写出y n+1与y n的关系式，并推导求出数列｛y n｝的一个通项公式y n；(3)求Z n 二約1 X2『2 川X n y n(n N*,n < 2008)./ft出弋/1 _16 .已知函数f(x) x (x，R, a 为常数)，P1(X1,y” , P2(X2,y2)是函数a +21y=f(x)图象上的两点•当线段P1P2的中点P的横坐标为一时，P的纵坐标恒为2 14(1)求y=f(x)的解析式；(2)若数列｛a n｝的通项公式为a n = f (』)(％€ N ,n = 1,2川，n)，求数列｛a n｝的前n o和& .n2x17.已知椭圆C : -a椭圆C的焦距为2.b2=1 a b 0的离心率为F1、F 2分别为椭圆(1)求椭圆C的方程；(2)设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF1为半a2径作圆M，当圆M与直线l : x 有公共点时，求厶MF1F2面积的最c大值.2 218 .如图，已知F c,0是椭圆C : A •当=1 a b 0的右焦点，圆a b2 2 2F: x-c y = a2与x轴交于D,E两点，其中E是椭圆C的左焦点.(1)求椭圆C的离心率；(2)设圆F与y轴的正半轴的交点为B，点A 是点D关于y轴的对称点，试判断直线AB与圆F的位置关系；(3)设直线BF与圆F交于另一点G，若厶BGD的面积为4 3，求椭圆C的标准方程.C的左、右焦点，若X2014年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料(四)19.已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4•设该动圆圆心的轨迹为曲线 E.(3)是否存在实数a，使得f(x)的最小值是3?如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由.20 .如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O,且AC BC =0, |BC|= 2AC|.(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上是否存点Q,使得|QB| 2 - |QA| 2 = 2 ?若存在，有几个(不必求出Q点的坐标)，若不存在，请说明理由... 2 2 4 (3)过椭圆E上异于其顶点的任一点P,作L O : x y 的两条切线,3切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n,求证: 1 1为定值.3m n(1 )设a_ 0,求f(x)的单调区间;(2)设a . 0 ,且对于任意x . 0, f(x) _ f (1).试比较ln a与-2b的大小.24.已知函数f(x) = lnx , g (x)二x且g(2) = 2 .(1)设函数F(x) = ag(x)— f(x)(其中a>0 ),若F (x)没有零点，求实数a的取值范围; 若p q • 0 ,总有m[g( p) - g(q)] pf (p) - qf (q)成立，求实数m的取值范围.21•已知函数f (x)二ax3• bx2-3x(a、b R)在点(1,f(1))处的切线方程为y，2=0 .(1)求函数f (x)的解析式；(2)若对于区间［-2,2］上任意两个自变量的值为,x2都有f (xj - f (x2)兰c,求实数c的最小值;(3)若过点M(2, m)(m=2)可作曲线y = f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.2014年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(文科)训练材料参考答案n1. (1)因为在ABC 中，C=A+—,2所以A为锐角，且cosA = 1 - sin2A 二1-( J2二f .兀J6sinC=sin(A+— )=cosA=—2 3(2)由正弦定理得BC ABsin A sin C所以AB二BC sinCsin A223.已知函数f(x)二ax bx-lnx, a,b R .(2)所以3ln x22.已知函数f(x)=axT nx , g(x) ，它们的定义域都是(0, e］. ( e 1 )x(1 )当a =1时，求函数f (x)的最小值；n因为在ABC 中, C=A+—,2(2)当a =1时，求证: f(m) g(n) 17对一切m, n •(0, e］恒成立;3( 兀、(2) 由(1)知 f(x) = 6sin 2x 十二 I .I 6丿将函数y = f(x)的图象向左平移 需个单位后得到{ 兀]兀] ( 兀、y = 6sin |2 x + 一 丨 + — = 6sin 2x + — I 的图象; :I 12 丿 6 一 < 3 丿所以 ABC 的面积为S ABC =^AB BC si nB 二丄2 3 -、6丄八2 . s 2 2 3 2 n2 . (1)因为函数f(x)的最小正周期为 n,且3>0,所以：=n,解得«= 2.所以 f(x)= 3sin(2x + © . 因为函数f(x)的图象经过点 nrnr(,0)，所以 3sin (2 ) = 0, 3 32 ■: 得二+(p = kn, k € z ,即3 2 ■: 1f兀、再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的三倍，纵坐标不变，得到 y =6sin 4x+‘ ]的图象. 2 I 3丿( 血、因此 g(x)= 6sin 4x+二 \ .< 3丿因为 x € |0,-^ I 所以 4乂+彳€「I , 一 1 <s in 4x+二】兰 1，所以-3< g(x)兰 6 .[24」 3[3 6」 2 i 3丿 所以g(x)在0,— 上的值域为[—3,6]. 1 24」n 3. 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)= 3sin (2 X • —) 3 4. (1 )在厶 CDE 中，/ DCE = 360 °— 90°— 15°— 105 = 150 °1 12 所以△ CDE 的面积为 &CDE =?CD 汉 CE 汉 sin150 =?汉 100汉 100汇 sin30 = 2500(m ).(2)连结 AB .在 Rt △ ACD 中，AC = CD tan Z ADC = 100 tan 60 = 100. 3(m).(2)依题意有 g(x) = 3sin [2 (- ) ] = 3sin(x ) =3cos x. 2 12 3 21 由 g( a ) = 3cos a= 1，得 cos a= 3, 3 由 g( 3)= 3cos 3=弓^2，得 cos 3= ~42. 因为 a, 3€ (0,二)，所以 sin a= , sin 3=亠护. 所以 g( a — 3)= 3cos( a — 3 = 3(cos a cos 3+ sin o (sin 3 =3xl 返+迈汽运L^713 4 3 4 3. (1) f(x) = mn =V3Asin xcos x + Acos 2x = A —^sin2x+」cos2x = Asin 2x+— 2 「2 2 丿 i 6丿Ji在厶BCE 中, 由正弦定理得 在厶ABC 中,因为f(x)的最大值为6，且A>0，所以A = 6./ CBE = 180° —Z BCE — Z CEB = 180° —105° — 45° = 30°. BC CE CE sin _ CEB 100sin 45°BC = CE ，所以 BC— = 100 . 2(m).sin /C EB sin Z CBE sin Z CBE sin30°由余弦定理得 AB 2= AC 2+ BC 2 — 2AC BC cos Z ACB ,又 cos Z ACB = cos 15 °= cos(60 °— 45°) = cos 60 °os 45 °+ sin 60 sin 45=1 丈 V 3?/2= V6+V22 2224所以 AB 2= (100 . 3)2+ (100 . 2)2-2 100.3100. 2' 6； ‘ 2= 10000(2 — . 3).所以AB = 100 . 2— , 3(m)，所以A , B 之间的距离为 100. 2 — , 3 m .5. (1)所有基本事件(a , b )有:(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2),( 4,3),共 12 种.因为关于x 的一元二次方程x 2+2ax+b 2=0有实根，所以△ =4a 2-4b 2>0即a 2^b 2. 记 关于x 的一元二次方程x 2+2ax+b 2=0有实根的概率”为事件A ,则事件 A 包含的基本事件有：(2,1), ( 3,1), ( 3,2), (4,1), ( 4,2), (4,3),共 6 种.因为在「ABC 中，B-(A C),所以 sin B 二sin( A C)二sin AcosC cosAsin C3(3) 66= 133333所以P(A)= A二1为所求.12 2(2)所有基本事件(m , n)有：(1,1), ( 1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), ( 3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4),共16 种.「X -v 30记点P落在区域丫一‘内”为事件B ,(X +y -5 <0则事件B包含的基本事件有：(1,1), ( 2,1), (2 , 2), ( 3,1),共4种.4 1所以P(B)= 为所求.16 4(A2 , B1), (A2 , B2), (A3 , B1), (A3 , B2), ( B1 , B2),共10 种.其中至少有1名25周岁以下组”工人的结果有：(A1 , B1), (A1 , B2), (A2 , BJ, (A2 , B2) , ( A3 , B1), (A3 , B2) , ( B1 , B2),共7 种. 所以所求的概率为7.10(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“2周岁以上组”中的生产能手有60 0.25 = 15 (人)，“2周岁以下组”中的生产能手有40 0.375 = 15 (人).据此可得2 2列联表如下：7. (1)由已知得，样本中有“ 2周岁以上组”工人60名，“ 2周岁以下组”工人40名.在样本中日平均生产件数不足60件的工人中，“ 2周岁以下组”工人有40 0.05 =2 (人)，记为B1 , B2.从中随机抽取2名工人，所有可能的结果有：6 .(1)由茎叶图可知，甲车间样品的质量分别是107,111,111,113,114,122 ,乙车间样品的质量分别是108,109,110,112,115,124 .生产能手非生产能手合计25周岁以上组154560 25周岁以下组152540合计3070100_ 1X 甲107 111 111 113 114 122 U113 ,6_ 1X 乙108 109 110 112 115 124 =113.1 2 2 2 2 2 2107 -113 111-113 113-113 114-113 122-113 =21,假设H o :生产能手与工人所在的年龄组没有关系.将2 2列联表中的数据代入公式，计算得lx2n(ad-bc)2100 (15 25-15 45)225K 1.79.(a + b)(c+d)(a+c)(b + d) 60汉40汇30汇70 142 1 2 2 2 2 2 2S i 108-113 I 亠|109-113| 亠[110-113 112 -113「:;']115 -113 | 亠门24-113 X甲=x乙，S甲：：：S乙，所以甲车间的产品的质量较稳定(2)从乙车间6件样品中随机抽取两件，所有的基本事件有：(108,109),(108,110)当H。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A i B iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.xx212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.xx 22+答案:A111:()2,(),()22(),222(),A .x xxx x x f x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*； ③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDFAEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长16.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π=（1） 求A 的值；（2） 若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-5533232:(1)()sin()sin ,2 3.12123422(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos 33sin 33sin ,(0,),32f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴--=+--+=+--+-===∴=∈∴解由得26cos 1sin 36()3sin()3sin()3cos 3666323f θθππππθθθθ=-=∴-=-+=-==⨯=某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为(2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)50413210201(121123412100)2012522012.6+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2222221333132,=,,,,2442833336()(),44211362.338216CDE M CDE CDE CF DE DE PE S CD DE P CP MD ME DE PE DE V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅==-=-=-=∴=⋅=⋅⋅=即1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0{}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式 (3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-22220022222520.:1(0)(5,0),.3(1);(2)(,),,.55:(1)5,,3,954,31.94(2),,4x y C a b a b C P x y C P C P c c e a b a c a a x y C x y +=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为离心率为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x x x y y k x x y k x k y kx x y kx k y kx y kx k y kx -±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即22222000001220220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.k y x k x y k y k k x x y P x y +=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a R f x a x f x f =+++∈<∈已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得'22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,2011,(,11),()0,(),(11,11),()0,(),(11,)f x x x a x x a a a f x f x a x x a a x a f x f x x a a f x f x x a =++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=-±-∈-∞--->∴∈----+-<∈-+-+∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,11),(11,),()(11,11).f x f x a f x a f x a a f x a a >≥-∞+∞<-∞----+-+∞----+-此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()3224222111()()23612211()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-+00020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,14221487214872148:,0,,8447+2148,01,721484x a x f x f x x a a a a a a ax x a a ++∴∈=+++=<∴∆=-+=->-±--±--+-=>∴--<<<-<若存在使得必须在上有解方程的两根为只能是依题意即0000025711,492148121,,12127+2148155=,,,,424425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<---=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭即又由得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).2。
绝密★启用前试卷类型：A2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中s 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一组数据12,,,n x x x L 的方差2222121[()()()],n s x x x x x x n=-+-++-L其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N =I{}A.0,2 {}B.2,3 {}C.3,4 {}D.3,5 2. 已知复数z 满足(34)25i z -=，则z =A.34i --B.34i -+ .34C i - D.34i +3. 已知向量(1,2)a =r ，(3,1)b =r ，则b a -=r rA.(2,1)-B.(2,1)-C.(2,0)D.(4,3)4. 若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于A.7B.8C.10D.115. 下列函数为奇函数的是1A.22x x-2B.sin x x C.2cos 1x + 2D .2xx + 6. 为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为A.50B.40C.25D.20 7. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的变分别为,,a b c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8. 若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x k y --=的 A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等9. 若空间中四条两两不相同的直线1l ，2l ，3l ，4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 与4l 既不平行也不垂直D.14l l 与位置关系不确定10. 对任意复数1w ，2w ，定义1212w w w w *=，其中2w 是2w 的共轭复数，对任意复数123,,z z z ，有如下四个命题：①()()()1231323z z z z z z z +*=*+*②()()()1231213z z z z z z z *+=*+* ③()()123123z z z z z z **=**④1221z z z z *=*则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11~13题）11. 曲线53x y e =-+在点(0,2)-处的切线方程为 .12. 从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为 .13. 等比数列{}n a 的各项均为正数且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++＝ .（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为 .15. （几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =,AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的周长的周长＝ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12 分） 已知函数5()sin(),,()3122f x A x x R f ππ=+∈=（1）求A 的值；E FD CB A（2）若()()(0,),2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-.17．（本小题满分13 分） 某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁） 工人数（人）19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1合计 20（1）求这20名工人年龄的众数与极差； （2）以这十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差.18. （本小题满分13 分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1,2AB BC PC ===,作如图3折叠，折痕EF ∥DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .（1）证明：CF ⊥平面MDF ; （2）求三棱锥M CDE -的体积. 19. (本小题满分14分)设各项为正数的数列{}n a的前n 和为n S ,且n S 满足.222*(3)3()0,n n S n n S n n n N -+--+=∈（1）求1a 的值;（2）求数列{}n a 的通项公式; （3）证明:对一切正整数n ,有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++<+++20. (本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，离心率为3（1）求椭圆C 的标准方程;C E F P B AD P A D C B F EM（2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21. (本小题满分14分)已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈. （1）求函数()f x 的单调区间;（2）当0a <时,试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得01()()2f x f =.2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. B2. D3. B4. C5. A6. C7. A8. D9. D 10. B二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. 11. 520x y ++= 12.2513. 5 14. (1,2) 15. 3 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.553:(1)()sin()sin 3.12123422(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos 33sin sin (0,),32f A A Af x x f fπππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴--=+--+=+--+-===∴=∈∴解由得cos 3()3sin()3sin()3cos 36632f θππππθθθθ==∴-=-+=-===17.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为(2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)50413210201(121123412100)2012522012.6+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为 18.00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2112,,2211.33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅=====∴=⋅==19.1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-20.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(cc e a b a cax yCx yy y k x xx yy k x x yk x k y====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:200002222220000002222000001222200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kxk y kx y kx k y kx kyx k x y k y k kx x y⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±Q依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y∴+=程点的轨迹方程为21.'22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,201(,1,()0,(),(11),()0,(),(1)f x x x a x x a aa f x f xa x x ax f x f xx f x f xx=++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=-±∈-∞-->∴∈---+<∈-++∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,11),()(11).f x f xa f xa f xf x>≥-∞+∞<-∞---++∞--+此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()3224222111()()23612211()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-+00020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,0,,01,7x a x f x f x x a a a a x x ++∴∈=+++=<∴∆=-+=->=>∴<<若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,1212155,,,,24425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<-=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭即得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).2。
2014年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料（文科）说明：1．本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共24题．2．本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成．3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．1．在ABC ∆中，C =A +2π，sin A （1）求sin C 的值；（2）若BC =6，求ABC ∆的面积．2．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，02πϕ<<)的最小正周期为π，且其图象经过点(,0)3π.（1）求函数f (x )的解析式；（2）若函数g (x )＝()212x f π+，α，β∈),0(π，且g (α)＝1，g (β)＝324，求g (α－β)的值．3．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x ) (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6．（1）求A 的值；（2）将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡245,0π上的值域．4．如图，某测量人员为了测量珠江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，他在珠江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，CD ＝CE ＝100m ．（1）求△CDE 的面积； （2）求A ，B 之间的距离．5．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a ，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b ，求关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0有实根的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ．若以（m ，n ）作为点P 的坐标，求点P 落在区域0,50x y x y -≥⎧⎨+-<⎩内的概率．6．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其质量（单位：克）是否合格，乙甲2412分别记录抽查数据，获得质量数据的茎叶图如图所示.（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品质量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的质量较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的质量之差不超过2克的概率.7．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率；（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22⨯列联表，并判断是否有90％的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：22()n ad bcK-=，其中n a b c d=+++.8．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?（参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑.）9．如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，4===CA BC PB ，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ； （3）求三棱锥ABE F -的体积.10．如图，已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高都是2，AB =4. （1）求证：PQ ⊥平面ABCD ； （2）求点P 到平面QAD 的距离.QBCPAD11．等腰梯形PDCB 中，DC ∥PB ，PB =3DC =3，PD =2，DA ⊥PB ，垂足为A ，将△P AD 沿AD 折起，使得P A ⊥AB ，得到四棱锥P -ABCD ．（1）求证：平面P AD ⊥平面PCD ；（2）点M 在棱PB 上，平面AMC 把四棱锥P -ABCD 分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比ABC M ACD PM V V --=45时，求证：PD //平面AMC ．12．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，侧面11AAC C 是正方形，E 是1A B 的中点，F 是棱1CC 上的点．（1）当E ABF V -=11AAC C 的边长； （2）当1A F FB +最小时，求证：1AE A FB ⊥平面.13．数列}{},{n n b a 满足：*112,2,2()n n n n a a a n b a n n +==+=-+∈N . （1）求数列}{n b 的通项公式；（2）设数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为A n 、B n ，问是否存在实数λ，使得}{nB A nn λ+为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.14．设数列{}n a 满足12a =,248a a +=，且对任意*n ∈N ，函数1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅满足()02f π'=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若122nn n a b a =+（）,求数列{}n b 的前n 项和n S .15．根据如图所示的程序框图，将输出的x 、y 值依次分别记为122008,,,,,n x x x x ；122008,,,,,n y y y y ．（1）求数列}{n x 的通项公式n x ；（2）求y 1和y 2，写出y n+1与y n 的关系式，并推导求出数列{y n }的一个通项公式y n ； （3）求*1122(,2008)n n n z x y x y x y n n =+++∈≤N ．16．已知函数a R x a x f x,(21)(∈+=为常数），P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)是函数y=f (x )图象上的两点.当线段P 1P 2的中点P 的横坐标为21时，P 的纵坐标恒为41.（1）求y=f (x )的解析式；（2）若数列{a n }的通项公式为*00()(,1,2,,)n na f n n n n =∈=N ，求数列{a n }的前n 0和0n S .17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，12F F 、分别为椭圆C 的左、右焦点，若椭圆C 的焦距为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与直线 l 2a x c=：有公共点时，求△12MF F 面积的最大值．18．如图，已知(),0F c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，圆()222:F x c y a -+=与x 轴交于,D E 两点，其中E 是椭圆C 的左焦点．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设圆F 与y 轴的正半轴的交点为B ，点A 是点D 关于y 轴的对称点，试判断直线AB 与 圆F 的位置关系；（3）设直线BF 与圆F 交于另一点G ，若BGD ∆的面积为C 的标准方程．图（6）y xBOEFD19．已知动圆 C 过定点M(0,2)，且在 x 轴上截得弦长为 4.设该动圆圆心的轨迹为曲线 E. （1）求曲线 E 的方程；（2）点 A 为直线 l ：x －y －2 = 0 上任意一点，过 A 作曲线 C 的切线，切点分别为 P 、Q ，求△APQ 面积的最小值及此时点 A 的坐标．20．如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆E 上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且0=⋅，|BC |＝2|AC |． （1）求椭圆E 的方程；（2）在椭圆E 上是否存点Q ，使得222|QB||QA|-=？ 若存在，有几个（不必求出Q 点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E 上异于其顶点的任一点P ，作2243O :x y +=的两条切线，切点分别为M 、N ，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，求证：22113m n +为定值．21．已知函数32()3f x ax bx x =+-()a b ∈R 、在点(1,(1))f 处的切线方程为20y +=． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若对于区间[2,2]-上任意两个自变量的值1x ，2x 都有12()()f x f x c -≤，求实数c 的最小值；（3）若过点(2,)M m (2)m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．22．已知函数()ln f x ax x =-，ln ()xg x x=，它们的定义域都是(0,]e ．（2.718e ≈）（1）当1a =时，求函数()f x 的最小值； （2）当1a =时，求证：17()()27f mg n >+对一切,(0,]m n e ∈恒成立； （3）是否存在实数a ，使得()f x 的最小值是3？如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由．23．已知函数2()ln ,f x ax bx x =+-,a b ∈R ． （1）设0a ≥,求()f x 的单调区间；（2）设0a >，且对于任意0x >,()(1)f x f ≥.试比较ln a 与2b -的大小．24．已知函数()ln f x x =，()g x x '=且(2)2g =．（1）设函数()()()F x ag x f x =-（其中0a >），若()F x 没有零点，求实数a 的取值范围； （2）若0p q >>，总有[()()]()()m g p g q pf p qf q ->-成立，求实数m 的取值范围．2014年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(文科)训练材料参考答案1．（1）因为在ABC ∆中，C =A +2π，所以A为锐角，且cos A ==． 所以sin C =sin(A +2π)=cos（2）由正弦定理得sin sin BC AB A C =，所以sin sin BC CAB A===因为在ABC ∆中，C =A +2π， 所以C为钝角，且cos 3C ===． 因为在ABC ∆中，()B A C π=-+，所以1sin sin()sin cos cos sin (3B AC A C A C =+=+==． 所以ABC ∆的面积为111sin 223ABC S AB BC B ∆=⨯⨯=⨯=2．（1）因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2πω＝π，解得ω＝2.所以f (x )＝3sin(2x ＋φ)． 因为函数f (x )的图象经过点(,0)3π，所以3sin (2)3πϕ⨯+＝0，得23πϕ+＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－23π，k ∈Z . 由02πϕ<<，得φ＝π3.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin (2)3x π+.（2）依题意有g (x )＝3sin [2()]2123x ππ⨯++＝)2sin(3π+x =3cos x . 由g (α)＝3cos α＝1，得cos α＝13，由g (β)＝3cos β＝324，得cos β＝24.因为α，β∈),0(π，所以sin α＝223，sin β＝144.所以g (α－β)＝3cos(α－β)＝3(cos αcos β＋sin αsin β)＝3×⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯4143224231＝2＋474.3．（1）f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 212sin 23＝A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx . 因为f (x )的最大值为6，且A >0，所以A ＝6. （2）由（1）知f (x )＝6sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx . 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+6122ππx ＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+34πx 的图象．因此g (x )＝6sin ⎪⎭⎫⎝⎛+34πx ． 因为x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡245,0π，所以4x ＋π3∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,3ππ，≤-21sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+34πx 1≤，所以3-≤g (x )6≤．所以g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡245,0π上的值域为[－3,6]．4．（1）在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°．所以△CDE 的面积为S △CDE ＝12CD ⨯CE ⨯sin150°＝12⨯100⨯100⨯sin30°＝2500(m 2)．（2）连结AB ．在Rt △ACD 中，AC ＝CD tan ∠ADC ＝100⨯tan 60°＝1003(m)． 在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°．由正弦定理得BC sin ∠CEB ＝CEsin ∠CBE ，所以0sin 100sin 45sin sin 30CE CEB BC CBE ∠==∠＝1002(m)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ， 又cos ∠ACB ＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45° ＝12×22＋32×22＝6＋24， 所以AB 2＝(1003)2＋(1002)2－2⨯1003⨯1002⨯6＋24＝10000(2－3)． 所以AB ＝1002－3(m)，所以A ，B 之间的距离为1002－ 3 m ．5．（1）所有基本事件（a ，b ）有：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），共12种.因为关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0有实根，所以△=4a 2-4b 2≥0，即a 2≥b 2． 记“关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0有实根的概率”为事件A ， 则事件A 包含的基本事件有：（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），共6种． 所以P(A)=61122=为所求． （2）所有基本事件（m ，n ）有：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16种． 记“点P 落在区域0,50x y x y -≥⎧⎨+-<⎩内”为事件B ，则事件B 包含的基本事件有：（1,1），（2,1），（2，2），（3,1），共4种． 所以P(B)=41164=为所求．6．（1）由茎叶图可知，甲车间样品的质量分别是107,111,111,113,114,122，乙车间样品的质量分别是108,109,110,112,115,124.()11071111111131141221136x =+++++=甲， ()11081091101121151241136x =+++++=乙.()()()()()()222222211071131111131111131131131141131221136S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦甲21=， ()()()()()()222222211081131091131101131121131151131241136S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦乙 883=.因为x x =乙甲，22S S <乙甲，所以甲车间的产品的质量较稳定. （2）从乙车间6件样品中随机抽取两件，所有的基本事件有：(108,109),(108,110)(108,112),(108,115),(108,124)，(109,110),(109,112),(109,115),(109,124)，(110,112)， (110,115),(110,124)，(112,115),(112,124)，(115,124)，共15种.设事件A 表示“所抽取的两件样品的质量之差不超过2克”，则事件A 包含的基本事件有：(108,109),(108,110)，(109,110)，(110,112)，共4种.所以()415P A =为所求. 7．（1）由已知得，样本中有“25周岁以上组”工人60名，“25周岁以下组”工人40名. 在样本中日平均生产件数不足60件的工人中， “25周岁以上组”工人有600.053⨯=（人），记为A 1，A 2，A 3； “25周岁以下组”工人有400.052⨯=（人），记为B 1，B 2. 从中随机抽取2名工人，所有可能的结果有： （A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 2，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2）， （A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，B 2），共10种. 其中至少有1名“25周岁以下组”工人的结果有： （A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，B 2），共7种.所以所求的概率为710. （2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中， “25周岁以上组”中的生产能手有600.2515⨯=（人）， “25周岁以下组”中的生产能手有400.37515⨯=（人）. 据此可得22⨯列联表如下：假设0H ：生产能手与工人所在的年龄组没有关系. 将22⨯列联表中的数据代入公式，计算得222()()()()(100(15251545)251.79604030701)4n ad bc K a b c d a c b d ⨯-==+++⨯-⨯=≈+⨯⨯⨯.当0H 成立时，2( 2.706)0.100P K ≥≈.因为1.79 2.706<，所以没有90％的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”. 8．（1）设“选取的2组数据恰好是不相邻2天数据”为事件A ，所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为12月份的日期数）有：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共有10种．事件A 包括的基本事件有：（1,3），（1,4），（1,5），（2,4），（2,5），（3,5），共有6种．所以53106)(==A P 为所求． （2）由数据，求得11131225302612,2733x y ++++====． 由公式，求得ˆˆˆ2.5,3ba ==-=-． 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.53yx =-． （3）当x =10时，ˆ 2.510322,222312y=⨯-=-=<． 同理，当x =8时，ˆ 2.58317,171612y=⨯-=-=<． 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的． 9．（1）∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB ⊥.由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥. 又PBCB B =，∴AC ⊥平面PBC .又⊂BE 平面PBC ，∴AC BE ⊥.BC PB = ，E 为PC 中点，∴BE PC ⊥.又PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PCAC C =，∴BE ⊥平面PAC .（2）取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM .∵E 为PC 中点，2FA FP =，∴//EF CG .∵CG ⊄平面,BEF EF ⊂平面BEF ，∴//CG 平面BEF . 同理可证//GM 平面BEF . 又CGGM G =，∴平面//CMG 平面BEF .又CD ⊂平面CDG ，∴//CD 平面BEF . （3）由（1）知BE ⊥平面PAC ， 所以BE 是三棱锥B AEF -的高.由已知可得22=BE ，238213131=⋅⨯==∆∆PC AC S S PAC AEF . ∴三棱锥ABE F -的体积为93231=⋅==∆--BE S V V AEF AEF B ABE F .10．（1）取AD 的中点M ，连结PM ，QM . 因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥， 所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM ，从而AD ⊥平面PQM . 又⊂PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD .同理PQ ⊥AB .又AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， AD AB A =，所以PQ ⊥平面ABCD . （2）连结OM ，则PQ AB OM 21221===. 所以∠PMQ ＝90°，即PM ⊥MQ .由（1）知AD ⊥PM ，所以PM ⊥平面QAD . 所以PM 的长是点P 到平面QAD 的距离.在Rt △PMO 中，22222222=+=+=OM PO PM .所以点P 到平面QAD 的距离为22.11．（1）因为在等腰梯形PDCB 中，DA ⊥PB ， 所以在四棱锥P －ABCD 中，DA ⊥AB ，DA ⊥PA ， 又PA ⊥AB ，且DC ∥AB ，所以DC ⊥PA ，DC ⊥DA ，QBCPADOMAB PMN又DA ⊂ 平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，PA∩DA = A ， 所以DC ⊥平面PAD ．又DC ⊂平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ． （2）因为DA ⊥PA ，PA ⊥AB ，,,DAAB A DA AB ABCD =⊂平面，所以PA ⊥平面ABCD ，又PA ⊂ 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ． 过M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，则MN ⊥平面ABCD ．在原等腰梯形PDCB 中，DC ∥PB ，PB = 3DC = 3，DA ⊥PB ， ∴PA = 1，AB = 2，1AD ==．设MN = h ，则1133M ABC ABC V S h h -∆=⋅=，1132P ABCD ABCD V S PA -∆=⋅=． ∴123PM ACD P ABCD M ABC hV V V ---=-=-．∵ABC M ACD PM V V --=45，∴152343h h -=，解得23h =． 在△PAB 中，23BM MN BP PA ==，∴21,33BM BP MP BP ==． 在梯形ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ，连结OM ． 易知△AOB ∽△DOC ，∴12DO DC OB AB ==． 故DO PMOB MB=，所以在平面PBD 中，有PD ∥MO ． 又PD ⊄平面AMC ，MO ⊂平面AMC ，所以PD ∥平面AMC ．12．（1）设正方形AA 1C 1C 的边长为x ， 由于E 是1A B 的中点，△EAB 的面积为定值．1CC ∥平面1AA B ，∴点F 到平面EAB 的距离为定值，即点C 到平面1AA B 的距离为定值．又E ABF F ABE V V --=，且13F ABE ABE V S h -∆=⋅即1132223x x x ⋅⋅⋅⋅=，38,2x x ∴==，所以正方形11AAC C 的边长为2．（2）将侧面11B BCC 展开到侧面11ACC A 得到矩形11A ABB ． 连结B A 1交C C 1于点F ，此时点F 使得BF F A +1最小. 此时FC 平行且等于A A 1的一半，F ∴为C C 1的中点. 取AB 中点O ，连接OE,EF ，OC ，OEFC ∴为平行四边形， △ABC 为正三角形，∴OC AB ⊥. 又1AA ⊥平面ABC ，1OC AA ∴⊥. 因为1ABAA A =，OC ∴⊥平面1A AB .AE ⊂平面1A AB ，OC AE ∴⊥.又EF ∥OC ，AE EF ∴⊥.由于E 是1A B 的中点，所以1AE A B ⊥.又1A B ⊂平面1A FB ，EF ⊂平面1A FB ，1A B EF E =，所以1AE A FB ⊥平面.13．（1）由2,2-+=+-=n b a n a b n n n n 得.∵,21n a a n n +=+∴n n n n b b n b n b 21,22]2)1([211=-+=-++++即. ∴}{n b 是首项为21,3111公比为=+=+a b n 是等比数列.所以1)21(3-=n n b .（2）∵,2-+=n b a n n ∴2)3(-+=n n B A n n .又),211(6211)211(3n n n B -=--=∴n n n B n B A n n n 2)3()1(-++=+λλnn n )211)(1(623-++-=λ. 所以当且仅当}{,1nB A nnλλ+-=时为等差数列. 14．（1）因为1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅，所以1212sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-⋅-⋅（）.所以121()02n n n n f a a a a π+++'=-+-=.所以122n n n a a a ++=+，{}n a ∴是等差数列.因为12a =，248a a +=，所以34a =，1d =，2-111n a n n ∴=+⋅=+（）.（2）因为111122121222n n n a n nb a n n +=+=++=++（）（）（）， 所以111221221212n n n n S -++=+-（）（）211313122n n n n n n =++-=++-（）. 15．（1）由框图，知数列2,1}{11+==+n n n x x x x 中，， ∴*12(1)21(,2008)n x n n n n =+-=-∈≤N ． （2）由框图，y 1=2，y 2=8，知数列{y n }中，y n +1=3y n +2． ∴)1(311+=++n n y y ，∴1113,1 3.1n n y y y ++=+=+∴数列{y n +1}是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴n y +1=3·3n －1=3n ，∴n y =3n －1（*,2008n n ∈≤N ）．（3）z n =n n y x y x y x +++ 2211=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n －1）（3n －1） =1×3+3×32+…+（2n －1）·3n －[1+3+…+（2n －1）] 记S n =1×3+3×32+…+（2n －1）·3n ，① 则3S n =1×32+3×33+…+（2n －1）×3n +1 ② ①－②，得－2S n =3+2·32+2·33+…+2·3n －（2n －1）·3n +1 =2（3+32+…+3n ）－3－（2n －1）·3n +1=2×13·)12(331)31(3+-----n n n =113·)12(63++---n n n 63·)1(21--=+n n∴.33·)1(1+-=+n n n S 又1+3+…+（2n －1）=n 2， ∴12*(1)33(,2008)n n z n n n n +=-⋅+-∈≤N .16．（1）由)(x f y =的图象上得,21,212121+=+=x x a y a y 两式相加得21212121+++=x x a a ，化简得421=+xx a 恒成立.,4,121=∴=+a x x ∴.241)(+=x x f （2）),1,,3,2,1(2120000-==-+n k n k n n k 000000()()11,()(),242k n k f f k n k n n f f n n -+-∴=+=由已知条件得即00000001231()()()()(),n n nS f f f f f n n n n n -∴=+++++000000000012321()()()()()(),:n n n nS f f f f f f n n n n n n --∴=++++++两式相加得000000000000000112222112[()()][()()][()()][()()]2()n n n n n nS f f f f f f f f f n n n n n n n n n ----=+++++++++0111112(1)(1)2,22226f n =++++=-+⋅121300-=∴n S n .17．（1）因为22c =，且12c a =，所以1,2,c a b ==== 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设点M 的坐标为()00,x y ，则2200143x y +=．因为()11,0F -，24a c=，所以直线l 的方程为4x =． 由于圆M 与l 由公共点，所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径R ．因为()22221001R MF x y ==++，所以()()22200041xx y -≤++，即20010150y x +-≥．又因为2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以233101504x x -+-≥，解得0423x ≤≤． 当043x =时，0y =()12max122MF F S =⨯=．18．（1）∵圆F 过椭圆C 的左焦点，把（—c,0）代入圆F 的方程，得224c a =，所以椭圆C 的离心率12c e a ==． （2）在方程()222x c y a -+=中， 令22220x y a c b ==-=得， 可知点B 为椭圆的上顶点． 由（1）知12c a =，得2,a c b ===，所以()0B .在圆F 的方程中，令0y =，可得点D 的坐标为()3,0c ，则点()3,0A c -．于是可得直线AB的斜率AB k ==，而直线FB的斜率FB k ==1AB FD k k ⋅=-，∴直线AB 与圆F 相切．（3）DF 是BDG ∆的中线，22BDG BFD S S DF OB c ∆∆∴==⋅==22c ∴=，从而得28a =，26b =，∴椭圆C 的标准方程为22186x y +=． 19．（1）设动圆圆心坐标为 C (x ,y )， 根据题意得x 2 + (y －2) 2 = y 2 + 4化简得 x 2 = 4y ，所以曲线 E 的方程为x 2 = 4y ． （2）设直线 PQ 的方程为 y = kx + b由 ⎩⎨⎧ x 2= 4yy = kx + b消去 y 得 x 2－4kx －4b = 0 设 P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)，则 x 1 + x 2 = 4k ，x 1x 2 = －4b ，且△ = 16k 2 + 16b ． 以点 P 为切点的切线的斜率为y’ | x =x 1 = 12x 1，Gy xBOAEFD其切线方程为 y －y 1 = 12 x 1 (x －x 1)，即 y = 12 x 1x －14 x 12 ⇒ x 12－2x 1x + 4y = 0．由切线过 A (x 0,y 0) 得 x 12－2x 1x 0 + 4y 0 = 0，同理x 22－2x 2x 0 + 4y 0 = 0．∴x 1、x 2 是方程 x 2－2x 0 x + 4y 0 = 0的两个解． ∴x 1 + x 2 = 2x 0，x 1x 2 = 4y 0．所以 ⎩⎨⎧ x 0 = x 1 + x 22 = 2ky 0= x 1x24 = －b所以 A (2k ,－b ) ． 由 A (x 0,y 0) 在直线 x －y －2 = 0 上， 则 2k + b －2 = 0，即 b = 2－2k ．代入 △ = 16k 2 + 16b = 16k 2 + 32－32k = 16 (k －1) 2 + 16 > 0． ∴| PQ | = 1 + k 2 | x 1－x 2 | = 4 1 + k 2 k 2 + b ． A (2k ,－b ) 到直线 PQ 的距离为 d = | 2k 2 + 2b |k 2 + 1 ，∴S △APQ = 12| PQ | d = 4 | k 2 + b | k 2 + b = 4 (k 2+ b ) 32= 4 (k 2－2k + 2) 32 = 4 [(k －1) 2+ 1] 32 ．∴当 k = 1 时，S △APQ 最小，其最小值为 4，此时点 A 的坐标为 (2,0) ．20．（1）依题意知，椭圆的长半轴长2a =，则A (2，0) ．设椭圆E 的方程为14222=+by x ． 由椭圆的对称性知|OC |＝|OB |，又∵0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC |．∴AC ⊥BC ，|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形．∴点C 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(－1，－1) ．将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得342=b ，∴所求的椭圆E 的方程为143422=+y x ． （2）设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB||QA|-=，设00Q(x ,y )，则()()()2222220000001126222|QB ||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即00320x y +-=，--------①又∵点Q 在椭圆E 上，∴2200340x y +-=，-----②由①式得0023y x =-代入②式并整理得：2007920x x -+=，-----③∵方程③的根判别式8156250∆=-=>，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q 存在，且有两个． （3）设点11P(x ,y )，由M 、N 是O 的切点知，OM MP,ON NP ⊥⊥,∴O 、M 、P 、N 四点在同一圆上，且圆的直径为OP,则圆心为1122x y (,)， 其方程为22221111224x y x y (x )(y )+-+-=，即22110x y x x y y +--=-----④即点M 、N 满足方程④，又点M 、N 都在O 上， ∴M 、N 坐标也满足方程2243O :x y +=----⑤ ⑤-④得直线MN 的方程为1143x x y y +=． 令0y ,=得143m x =，令0x =得143n y =，∴114433x ,y m n ==． 又点P 在椭圆E 上，∴22443433()()m n +=，即2211334m n +=为定值．21．（1）2()323f x ax bx '=+-． 根据题意，得(1)2(1)0f f =-⎧⎨'=⎩，即323230a b a b +-=-⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩．所以3()3f x x x =-．（2）令()0f x '=，即2330x -=．得1x =-或1x =．因为(1)2f -=，(1)2f =-，所以当[2,2]x ∈-时，max ()2f x =，min ()2f x =-． 对于区间[2,2]-上任意两个自变量的值1x ，2x ，都有12max min ()()()()4f x f x f x f x -≤-=，所以4c ≥，所以c 的最小值为4．（3）因为点(2,)M m (2)m ≠不在曲线()y f x =上，所以可设切点为00(,)x y ． 则30003y x x =-．因为200()33f x x '=-，所以切线的斜率为2033x -， 则曲线()y f x =在00(,)x y 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-， 即2300(33)2y x x x =--．又切线过点(2,)M m ，所以2300(33)22m x x =-⨯-，即32002660x x m -++=． 因为过点(2,)M m (2)m ≠可作曲线()y f x =的三条切线， 所以关于0x 的方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解． 所以函数32()266g x x x m =-++有三个不同的零点． 则2()612g x x x '=-．令()0g x '=，则0x =或2x =．则(0)0(2)0g g >⎧⎨<⎩，即6020m m +>⎧⎨-+<⎩，解得62m -<<．22．（1）当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x-'=-=． 因为()f x 定义域是(0,]e ，当1x =时()0f x '=，当(0,1)x ∈时()0f x '<， 当(1,]x e ∈ 时()0f x '>，所以当1x =时，()f x 有最小值(1)1f =． （2）由（1）知，在1a =且(0,]x e ∈时，有()1f m ≥．又因为(0,]x e ∈，21ln ()0xg x x-'=≥，所以()g x 在区间(0,]e 上为增函数， 1110()() 2.727g x g e e ≤=<=，所以当(0,]n e ∈时，171017()1272727g n +<+=． 因为()1f m ≥，所以17()()27f mg n >+对一切,(0,]m n e ∈恒成立．（3）假设存在实数a ，使得()f x 的最小值是3，11()ax f x a x x-'=-=．当1a e≤时，因为(0,]x e ∈，所以1ax ≤，()0f x '≤，所以()f x 在(0,]e 上为减函数．所以当x e =时()f x 取最小值()13f e ae =-=，此时4a e=，矛盾，故舍去． 当1a e >时，令'()0f x <，得10x a <<；令'()0f x >，得1x e a<≤．所以()f x 在1(0,]a 上为减函数，在1(,]e a 上为增函数．所以当1x a =时，()f x 取最小值11()1ln 3f a a=-=，此时2a e =．所以假设成立，所以存在2a e =，使得()f x 的最小值是3．23．（1）由2()ln ,(0,)f x ax bx x x =+-∈+∞得221()ax bx f x x+-'=．①当0a =，1()bx f x x-'=． （ⅰ）若0b ≤，因为0x >，所以()0f x '<恒成立， 所以函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞． （ⅱ）若0b >，当10x b<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减． 当1x b>时， ()0f x '>，函数()f x 单调递增． 所以函数()f x 单调递减区间是1(0,)b ，单调递增区间是1(,)b+∞．②当0a >时，令()0f x '=，得2210ax bx +-=．由280b a ∆=+>得1x =，2x =．显然10x <，20x >．当20x x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当2x x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．所以函数()f x 单调递减区间是(0,)4b a -，单调递增区间是()4b a-+∞.综上所述，当0a =，0b ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞；当0a =，0b >时，函数()f x 单调递减区间是1(0,)b ，单调递增区间是1(,)b+∞；当0a >时，函数()f x 单调递减区间是，单调递增区间是)+∞．（2）由题意，函数()f x 在处取得最小值，由（1()f x 的唯一极小值点，1=，整理得21a b +=即12b a =-. ln (2)ln 2ln 24a b a b a a --=+=+-．令()ln 24g x x x =+-，则14()x g x x -'=．令()0g x '=，得14x =． 当104x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当14x >时，()0g x '<，()g x 单调递减． 所以当14x =时，()g x 最大．所以11()()1ln 1ln 4044g x g ≤===-<． 所以()0g a <，所以ln 240a a +-<，即ln (2)a b <-．24．（1）由()g x x '=，可设21()2g x x c =+，又由(2)2g =，解得0c =，所以21()2g x x =.所以2()ln 2a F x x x =-，211'()(ax a F x ax x x x x x -=-==． 因为0a >，()F x 的定义域为(0,)+∞，所以当时x >()0F x '>，0x <<时，()0F x '<．所以()F x 在是减函数，在)+∞上是增函数． 易知0x +→时，()F x →+∞；x →+∞时，()F x →+∞．因为()F x 没有零点，所以()F x 在(0,)+∞上的最小值是11ln 022F a =+>， 解得1a e >．所以a 的取值范围为1(,)e+∞．（2）原问题即0p q >>时，()()()()mg p pf p mg q qf q ->-恒成立． 令2()()()ln 2m h x mg x xf x x x x =-=-，则()h x 在(0,)+∞上为单调递增函数， 所以'()ln 10h x mx x =--≥在(0,)+∞上恒成立， 即ln 1x m x+≥在(0,)+∞上恒成立． 令ln 1()x G x x +=，则2ln '()x G x x =-， 所以当(0,1)x ∈时，()0G x '>；(1,),()0x G x '∈+∞<．所以()G x 的最大值为(1)1G =，所以m 的取值范围为[1,)+∞．。
