2020年东北师大附中等六校2020届高三联合模拟考试理科数学试题 试卷+参考答案

2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 .A.( , 1) (3,B.( , 1] [3,D.( , 1] [1,4.大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数 n ，如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结果必然 是1 ，这个题目在东方称为“角谷猜想” ，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各 种方法，甚至动用了最先进的电子计算机， 验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确 的，但却给不出一般性的证明，例如取 n 13，则要想算出结果 1，共需要经过的运算步数 是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知 a ln3,b log 3 e,c log e (注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是 （ ）A.b acB.c b aC.b c aD.a b c6.已知在边长为 3 的等边 ABC 的中，1BD DC ，则 AD AC =( )2A.6B.9C.12D. 61.已知集合 A x 22x，B11 则 C R (A B) ( ) x2.已知复数 za bi(a,b R)， z i1 是实数，那么复数 z 的实部与虚部满足的关系式为 A.a B.a b C.a 2b 0 D.a 2b 0 3.已知 是两个不同的平面，直线 m ，下列命题中正确的是（ A.若 ，则 m ∥ B.若 ，则 m C.若 m∥，则 ∥D.若 m ，则C.[3, )7.如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， ED 平面 ABCD ， FC 平面 ABCD ，y 轴对称，则2nb n 为数阵从左至右的 n 列，从上到下的 n 行共 n 2个数的和，则数列的前 2020 项和为bnED 2FC 2 ，则四面体 A BEF 的体积为( )1 A.32 B. 3C.14 D.38.已知函数 f (x)sin2x 3 cos2x 的图像向右平移 (02)个单位后，其图像关于A.12B.6C.35 D. 122x9.已知椭圆 2a2yb 21(a b 0) 的右焦点为 F(c,0) ，上顶点为A(0,b) ，直线2 ax 上 c存在一点 P 满足 (FP FA) AP 0 ，则椭圆的离心率取值范围为(1A.[12,1) 2 B.[ 22 ,1) 51 C.[ 52 1,1) D.(0, 2 ]10. 已 知 定 义 在 R 上的函 数 f (x) ， 满 足 f(1 x) f (1 x) ， 当[1, ) 时f(x)1 x 2,xx12f ( 2 ),x[1,3) [3, )，则函数 f(x) 的图像与函数 g(x)ln x,xln(2 x),x 1的图像在区间 [ 5,7] 上所有交点的横坐标之和为(A.5B.6C.7D.911.已知数 a n 列的通项公式为 a n 2n2 ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）4 小题，每小题5 分，共 20 分 .把答案填写在答题纸相应位置上13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增 大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术， 它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力 .假定现在市售的某款新能源汽车上， 车载动力蓄电池充放电循环次数达到 2000 次 的概率为 85%，充放电循环次数达到 2500 次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经 经过了 2000 次充电，那么他的车能够充电 2500 次的概率为 .14.已知函数 f （x ） e x ae x 在［ 0,1］上不单调，则实数 a 的取值范围为.2*15.数列 a n 满足 a 1 1，a n （2S n 1） 2S n 2（n 2,n N *），则 a n =.16.已知函数 f （x ） （x 2 a ）2 3x 2 1 b ，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）一）必考题：共 60 分 .17. （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2bcosC 2a c （Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若 a 2， D 为AC 的中点，且 BD 3，求 c .18. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 中， BB 1 平面 ABC ， AB BC ， AB 2，BC 1，1011 A.20202019 B.20202020 C.2021 1010 D.202112.已知双曲线2y1 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1、F2 ， 点3 1 2P 在双曲线上，且 F 1PF 2 120 ，F 1PF 2 的平分线交 x 轴于点 A ，则 PA （ ）A. 55B.2 5 5C.3 55D. 5二、填空题：本题共 1①a2⑤ 4 个极小值35② a ③ a 1, 2 b 0 22⑥1 个极小值点⑦6 个零点④ a 1, 9 b4⑧4 个零点三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2或 b 01 （Ⅱ）F 是线段CC1上一点，且直线AF 与平面ABB1A1所成角的正弦值为3，求二3 面角F BA1 A 的余弦值.19. （本小题满分12 分）为了研究55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100 万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5 万，出现B症状人数为9.3 万，出现C 症状人数为 6.5万，其中含AB症状同时出现 1.8 万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5 万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5 万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73 万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55 岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？n(ad bc)2参考公式：K2(a b)(c d)(a c)(b d)20. (本小题满分12 分)1 2 2 1已知以动点P为圆心的⊙ P与直线l: x 相切，与定圆⊙ F：(x 1)2 y2相24 外切.(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程C ；(Ⅱ)过曲线C上位于x轴两侧的点M、N (MN 不与x轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足记为M 1、N1 ，直线l 交x轴于点A，记AMM 1、AMN、ANN 1的面积分别为S1、S2、S3 ，且S22 4S1S3 ，证明：直线MN过定点.21. (本小题满分12 分)12已知函数f(x) (x 1) ln( x 1)- ax2 x(a R) .2(Ⅰ)设f (x)为函数f(x) 的导函数，求函数f ( x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)在(0, )上有最大值，求实数a 的取值范围.二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任取一题作答 .如果多做，则按所做的第 题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分 10 分.22. [选修 4-4：坐标系与参数方程 ]Ⅰ）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程；Ⅱ）设 M 、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求 MN 的最小值 .23. [选修 4-5：不等式选将 ]设函数 f （x ） x 2 x 3（Ⅰ）求不等式 f （x ） 9的解集；（Ⅱ）过关于 x 的不等式 f （x ） 3m 2 有解，求实数 m 的取值范围一模答案、填空题1, n 113. 14. 15. a n2 16. ①⑥、② ,n 22n 1 2n 3⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得 2sin BcosC 2sin A sinC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯在直角坐标系 xOy 中，参数方程x cos （其中 y sin为参数）的曲线经过伸缩变换2x得到曲线 C ，以原点 O 为极点， yx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 sin （3 10 2又由sin A sin(B C) sin BcosC cosB sin C ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4⋯分⋯得2cos B sin C sinC 0 ，因为0 C ，所以sinC0，所以cosB1．因为0 B ，所以2．2B．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6⋯分⋯3uuur uuur uuur（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以BA BC2BD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8⋯分⋯uuu r uuur 2 uuur 2所以BC)2 (2BD)2，即a2 2 c ac12，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分因为a 2，解方程c22c 8 0，得c 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分18. 解析：(I )连结AB1交A1B于O，连结EO , OC11Q OA OB, AE EB, OE BB1, OE //BB1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯21又DC1BB1，DC1// BB1,2OE/ /DC 1 ，因此，四边形DEOC 1为平行四边形，即ED / /OC1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯Q OC1 面C1AB, ED 面C1AB, DE // 平面C1BA1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5⋯分⋯z(II )建立空间直角坐标系B xyz ，如图过F 作FH BB1 ，连结AHQ BB1 面ABC,AB 面ABC, AB BB1Q AB BC,BC I BB1, AB 面CBB1C1Q AB 面BAA1 B1 , 面BAA1B1 面CBB1C1,Q FH 面CBB1C1, FH BB1, 面BAA1B1 I 面CBB1C1 BB1, FH 面BAA1B1，即FAH 为直线AF 与平面ABB1 A1 所成角，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.7⋯分⋯11记为，sin , AF 3,AF 3在Rt ACF 中，5 AC 2 CF 2 AF 2 CF 2 9, CF 2,uuur uuurF(0,2,1), A1(2,3,0), BF (0,2,1), BA1 (2,3,0),20．解析：ur 设平面 BAC 1的法向量 m （x, y,z ），ur m ur m uuur BF 2y uuur BA 1 2x3y 0 ur ，取 y 2,m ( 3,2, 4) 0 平面 BAA 1 的法向量 n (0,0,1) ，⋯⋯ur r |cos m,n |4 ⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分 29 1因此，二面角 F BA 1 A 的余弦值 429 .⋯29 19. 解析：设 A ｛出现 A 症状的人｝ 、 B 示有限集合元素个数） 根据数 .1⋯0 ⋯分.1⋯2分⋯出现 B 症状的人｝、 C ｛出现 C 症状的人｝（ card 表 1 可 知card AI B 1.8,card AI C 1,card BI C 2,card AI BI C 0.5，所以 card AUBUC card A card B card card AI B card AI C card B I C card=8.5+9.3+6.5 1.8 1 0.5 20 1.3 6.2 0.5 40.51.5失眠人数（万）不失眠人数（万）患病人数（万） 5 7 12 不患病人数（万）15 73 882080100得患病总人数为 20 万人，比例大约为 20%.⋯⋯.4⋯分⋯ ⋯分⋯.9⋯分22100 5 73 15 7k 24.001 3.841.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分12 88 80 20有 95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在 “强关联 ” . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分Ⅰ）设P x,y ，e P 半径为 R ，则R x 1, PF 21R 1 ，所以点 P 到直线 x2 1的 距离与到 F 1,0 的距离相等，故点 P 的轨迹方程 C 为 y 2 4x . .4⋯分⋯Ⅱ）设 M x 1, y 1 N x 2, y 2 ，则 M 1 2,y 11 N 12,y2 设直线 MN : x ty n t 22 0 代入 y 2 4x 中得 y 2 4ty 4n 0 y 1 y 2 4t, y 1y 2 4n 0. .6⋯分⋯Q S 1 2 x 1y 1 、 S 3 x 2 4S 1S 31 ty 1 n2ty 2n 1 2y 1y 221t y 1y 2 n2t y 1y2n22211 4nt 24t2nn22x12x 1 2 y 1y 24n214n222t 2 n 1 4n2 又 S 2 11 n y 1 y2 1 1 n y122 2 2 22 2 1 1 2 1 S 22 n 16t 2 16n 4 n 24 2 2 2 S 22 4S 1S 3 8nt 2 4 n 1 t 2 2n2y 24y 1y 22t 2 n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分21 1⋯⋯nn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分22 .⋯⋯.8⋯分⋯直线 MN 恒过 1,0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分 221．解析： （Ⅰ） f x ln x 1 ax2 x ．令 h xln x 1 ax ，1 fxhxa ； .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯x 11o当 a0时 ，h x 0 ，f 'x在 1, 上 递 增 ，无减 区间hx 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3⋯分⋯2o当a0时，令 hx011 x 1，a令 h x0x11a所以， f 'x 在 1,11 上单调递增， 在 11, 上单调递减； .⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯.5⋯aa分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 a 0 时，f ' x在 0, 上递增， f ' xf ' 0 0在 0,上递增，无最大值， 不合题意；x所以，当x0时，h x 2 x 1 ax 2 x 1 a x 1 x 12ax1．取t4211，则t 1 ，且h t t 1 2 a t 10．a a又因为h11h0 0，所以由零点存在性定理，存在x01 1,t ，使得a ah x00；⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分当x0, x0时，h x0 ，即f x 0；当x x0 ,时，h x0 ，即f x0；所以， f x 在0, x0上单调递增，在x0 ,上单调递减，在0,上有最大值f x0 ．综上，0a1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分在第22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2．B．铅．笔．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

2020届高三联合模拟考试理科数学试题一､选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}220A x Z x x =∈--≤，{}1,0,1B =-，则AB =( )A. {}1,0,1-B. {}0,1C.1,0,1,2D.{}12x x -≤≤【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，再利用交集的定义可求出集合A B .【详解】{}{}{}220121,0,1,2A x Z x x x Z x =∈--≤=∈-≤≤=-，因此，{}1,0,1A B =-.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2.复数(),z a bi a b R =+∈是()()212i i ++的共轭复数，则a b +=（ ） A. 5 B. 5-C. 5iD. 5i -【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数()()212i i ++表示为一般形式，利用共轭复数的概念可求出a 与b 的值，即可得出+a b 的值.【详解】()()22122525i i i i i a bi ++=++==-，05a b =⎧∴⎨-=⎩，解得05a b =⎧⎨=-⎩，因此，5a b +=-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，同时也考查了共轭复数的概念以及利用复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.3.设命题:p 有的平行四边行是菱形，则p ⌝为（ ） A. 所有平行四边形都不是菱形 B. 有的菱形不是平行四边形 C. 有的平行四边形不是菱形 D. 不是菱形的四边形不是平行四边形【答案】A 【解析】 【分析】将命题p 改写为特称命题的形式，然后利用特称命题的否定可得出命题p ⌝. 【详解】命题:p 存在平行四边形为菱形，则命题:p ⌝所有平行四边形都不是菱形. 故选：A.【点睛】本题考查特称命题否定，解题的关键就是将原命题表示成特称命题的形式，属于基础题.4.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A. 4y x =±B. 14y x =±C. 2y x =±D.12y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可直接得出该双曲线的渐近线方程.【详解】由题意可知，双曲线2214y x -=的渐近线方程为2y x =±.故选：C.【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，要熟悉渐近线方程与双曲线标准方程之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 5.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，63363S S -=，则5a =（ ） A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，利用条件63363S S -=求出d 的值，由此可计算出5a 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则1163653263322363632a d a d S S d ⨯⨯++-=-==， 解得2d =，因此，5141429a a d =+=+⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列中相关项的计算，一般利用方程思想求出首项和公差的值，同时也涉及了等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.6.我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261-）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的值一个实例.若输入的4n =，5v =，2x =，则该程序框图计算的是（ ）A. 23451222324252⋅+⋅+⋅+⋅+⋅B. 1234122324252+⋅+⋅+⋅+⋅C. 012340212223242⋅+⋅+⋅+⋅+⋅D. 23450212223242⋅+⋅+⋅+⋅+⋅【答案】B 【解析】 【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i 、v 的值，当0i =时，不满足条件0i >，跳出循环，即可得解．【详解】输入4n =，5v =，2x =，则第一次：4i n ==，40i =>，524v =⋅+，3i =；第二次：30i =>，()25242352423v =⋅+⋅+=⋅+⋅+，2i =；第三次：20i =>，()23252423225242322v =⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+，1i =；第四次：10i =>，()324321524232221524232221v =⋅+⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+，0i =； 跳出循环，输出1234122324252v =+⋅+⋅+⋅+⋅. 故选：B ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i 、v 的值是解题的关键，属于基础题．7.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若2b c =，a =3A π=，则ABC∆的面积为（ ）A. 1B. 3C. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求出b 、c 的值，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】由余弦定理可得2222212cos 4222a b c bc A c c c c =+-=+-⨯⨯⨯，即236c =，解得c =2b c ==因此，ABC ∆的面积为11sin 222ABC S bc A ∆==⨯=故选：D.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.8.已知直线a 、b 与平面α、β满足a α⊂，b β⊂，l αβ=，则下列命题中正确的是（ ）A. αβ⊥是a b ⊥的充分不必要条件B. a l ⊥是αβ⊥的充要条件C. 设αβ⊥，则a b ⊥是a l ⊥的必要不充分条件D. 设αβ⊥，则a b ⊥是a l ⊥的既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直、面面垂直的判定和性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出各选项中命题的正误.【详解】对于A 选项，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，设α=平面ABCD ，β=平面11CDD C ，a BD =，1b C D =， 平面ABCD ⊥平面11CDD C ，BD ⊂平面ABCD ，1C D ⊂平面11CDD C ， 易知1BDC ∆为正三角形，则13BDC π∠=，则a b αβ⊥⇒⊥/； 设a AC =，b BD =，α=平面ABCD ，β=平面1BC D ，AC BD ⊥，但平面ABCD 与平面1BC D 不垂直，则a b αβ⊥⇒⊥/.所以，αβ⊥是a b ⊥的既不充分也不必要条件，A 选项错误； 对于B 选项，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，设α=平面ABCD ，β=平面1BC D ，a AC =，l BD =，AC BD ⊥，但平面ABCD 与平面1BC D 不垂直，即a l αβ⊥⇒⊥/； 设α=平面ABCD ，β=平面11CDD C ，1a C D =，l CD =，则14CDC π∠=，平面ABCD ⊥平面11CDD C ，但1C D 与CD 不垂直，即a l αβ⊥⇒⊥/， 所以，a l ⊥是αβ⊥的既不充分也不必要条件，B 选项错误； 对于C 、D 选项，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，设α=平面ABCD ，β=平面11CDD C ，a BD =，1b DD =，l CD =，1BD DD ⊥，但BD 与CD 不垂直，所以，若αβ⊥，a b a l ⊥⇒⊥/；若αβ⊥，l αβ=，a l ⊥，a α⊂，a β∴⊥，b β⊂，a b ∴⊥，则a l a b ⊥⇒⊥.所以，若αβ⊥，则a b ⊥是a l ⊥的必要不充分条件，C 选项正确，D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题以立体几何为载体，考查充分条件和必要条件的判断，要熟悉空间中垂直关系的判定和性质定理，结合几何体模型进行判断，考查推理能力，属于中等题.9.在正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP x AB y AD =+，则x y +的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设正方形ABCD 的边长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xAy ，可得出圆C 的方程为()()22222x y -+-=，可设点P 的坐标为()22cos ,22sin θθ++，根据向量的坐标运算可将x y +用θ的三角函数表示，利用辅助角公式和正弦函数的有界性可求出x y +的最大值.【详解】设正方形ABCD 的边长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，直线BD 的方程为221x y+=，即20x y +-=， 点C 到直线BD 的距离为22211d ==+则以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆C 的方程为()()22222x y -+-=， 设点P 的坐标为()22,22θθ+，由AP x AB y AD =+，得()()()()2,22,00,22,2x y x y θθ=+=，1cos 21sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩，所以，2sin 24x y πθθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 因此，x y +的最大值为3. 故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数和的最小值，利用圆的有界性结合圆的参数方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.10.已知函数()()()36cos 0f x x x ωω=->，若存在a R ∈，使得()f x a +为奇函数，则ω的值可能为（ ） A.12πB.3πC.4π D.5π 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得()()()36cos f x a x a x a ω+=-++⎡⎤⎣⎦，由奇函数的性质分析可得6a =，进而可得()6k k Z ωπ=∈，则()6k k Z πω=∈，据此分析选项可得答案． 【详解】根据题意，函数()()36cos f x x x ω=-，()()()36cos f x a x a x a ω∴+=-++⎡⎤⎣⎦，若存在a R ∈，使得()y f x a =+为奇函数，令()()()()36cos g x f x a x a x a ω=+=-++⎡⎤⎣⎦，则()()()306cos 0g a a ω=-=.若60a -≠，则()cos 0a ω=，()2a k k Z πωπ∴=+∈，得()()212k a k Z πω+=∈，此时()()()3216cos 2k g x x a x k Z ωπ+⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭， 所以()()36sin g x x a x ω=+-或()()36sin g x x a x ω=-+-为奇函数， 若函数()()36sin g x x a x ω=+-为奇函数，由()()g x g x -=-可得()()336sin 6sin x a x x a x ωω--+-=-+-对任意的x ∈R 恒成立，()()3366x a x a ∴-+-=+-，66x a x a ∴-+-=+-，得0x =，对任意的x ∈R 不恒成立.同理，()()36sin g x x a x ω=-+-不可能为奇函数； 由上可知，6a =，则()()3cos 6g x x x ωω=+为奇函数，则()()g x g x -=-，得()()33cos 6cos 6x x x x ωωωω--=-+，可得()()cos 6cos 6x x ωωωω-=+，由两角和与差的余弦公式可得2sin sin60x ωω=， 则等式sin sin60x ωω=对任意的x ∈R 恒成立，则sin60ω=，则()6k k Z ωπ=∈， 得()6k k Z πω=∈，当2k =时，3πω=，A 、C 、D 都不满足. 故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数的恒等变形，属于中等题． 11.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（ ）A. ()0,1B. [)1,+∞C. ()()0,11,+∞D. ()0,∞+【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()g x xf x x =-，根据条件判断()y g x =在R 上的单调性，然后将所求不等式分1x =、1x >和1x <三种情况得到不等式的解集．【详解】令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-， 定义域为R 的函数()y f x =满足()()1f x xf x '+>，()0g x '∴>，∴函数()y g x =在R 上单调递增，当0x =时，由()()1f x xf x '+>，知()01f >，∴当1x =时，显然不等式()()()2111x f x f x x +->-+成立.当1x >时，则10x -<，所以()()()()2221111x f x x f x x x--<--+-，整理得()()()()()()222111111xf x x x f x x ----<----，即()()211g x g x -<-，所以，211x x -<-，得20x x ->，则1x >； 当1x <时，则10x ->，所以()()()()2221111x f x x f x x x-->--+-，整理得()()()()()()222111111xf x x x f x x ---->----，即()()211g x g x ->-，所以，211x x ->-，得20x x -<，则01x <<. 综上所述，原不等式的解集为()0,∞+. 故选：D ．【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式和利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和函数思想，属中档题．12.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 、Q 、R 在C 上，且PQR ∆的重心为F ，则PF QF +的取值范围为（ ） A. 993,,522⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦B. 994,,522⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. ()93,44,2⎛⎫⎪⎝⎭D. []3,5【答案】A 【解析】 【分析】根据重心坐标公式求出R 的横坐标为()3R P Q x x x =-+，纵坐标为()R P Q y y y =-+，设直线PQ 的方程为x ky m =+，与抛物线方程联立，用m 、k 求出表示出R 的坐标，结合抛物线的方程，求出k 的取值范围，再结合抛物线的定义可得出结论．【详解】由题意知，抛物线C 的焦点为()1,0F ，设点(),P P P x y 、(),Q Q Q x y 、(),R R R x y ，由重心的坐标公式得1303P Q RP Q R x x x y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，()3R P Q x x x ∴=-+，()R P Q y y y =-+，设直线PQ 的方程为x ky m =+，由24x ky m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ky m --=，()221616160k m k m ∆=+=+>，由韦达定理得4P Q y y k +=，4P Q y y m =-，所以，()()()2242P Q P Q P Q x x ky m ky m k y y m k m +=+++=++=+，故()23342R P Q x x x k m =-+=--，()4R P Q y y y k =-+=-，将点R 的坐标代入抛物线C 的方程得()22164342k k m =⨯--，得2238m k =-， 则()()228228360k m k∆=+=->，得2102k≤<， 则(]222422543,5P Q PF QF x x k m k +=++=++=-∈.()1,0F 不在直线PQ 上，则1m ≠，此时，218k ≠，则92PF QF +≠. 因此，PF QF +的取值范围是993,,522⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 故选：A.【点睛】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题． 二､填空题.13.已知函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足()()3233f x g x x x x -=++，则()()22f g -+=______.【答案】2- 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得()()22f g ---的值，结合函数()y g x =的奇偶性可得()()()()2222f g f g ---=-+，据此计算可得答案．【详解】根据题意，()()3233f x g x x x x -=++，则()()()()()3222232322f g ---=-+⨯-+⨯-=-. 又由函数()y g x =是奇函数，则()()22g g -=-，故()()()()22222f g f g -+=---=-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．14.已知x ，y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z ＝2x +y 的最大值为_____.【答案】3. 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．【详解】解：11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是(1,1)A --，11,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，(2,1)C -，在ABC ∆中满足2z x y =+的最大值是点C ，代入得最大值等于3． 故答案为：3．【点睛】本题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.在ABC ∆中，6AB AC ==，4BC =，AD 是BC 边上的中线，将ABD ∆沿AD 折起，使二面角C AD B --等于120，则四面体ABCD 外接球的体积为______. 【答案】323π 【解析】 【分析】由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高AD 及底面外接圆的半径r ，利用公式222AD R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出外接球的半径R ，进而求出外接球的体积．【详解】因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，在折起的过程中，AD BD ⊥，AD CD ⊥，BD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面BCD ， 因为二面角C AD B --等于120，所以120BDC ∠=，且2BD CD ==，2242AD AB BD =-=BCD ∆中，30CBD BCD ∠=∠=，BCD ∆外接圆半径为22sin 30BDr ==，设外接球的半径为R ，则()2222222232AD R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭因此，所以外接球的体积为(33442332333V R πππ==⨯=.故答案为：3π.【点睛】本题考查一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球半径与三棱锥棱长的关系及球的体积公式，考查计算能力，属于中档题．16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10a =，()()1112n nn n a a +⎡⎤=+-+-⎣⎦，则2n a =______，2n S =______.【答案】 (1). 212n -- (2). ()2143n -【解析】 【分析】令21n k =-，k *∈N ，根据递推关系即可求得2k a ，进而得出2n a ；令2n k =，k *∈N ，则可得到数列{}n a 的奇数项均为0，进而由等比数列的前n 项和公式求得2n S ． 【详解】令21n k =-，k *∈N ，则()()2121212211122k k k k k a a ----⎡⎤=+-+-=-⎣⎦，所以2122n n a -=-；令2n k =，k *∈N ，则()()()()222212121122220k k k k k k a a -+⎡⎤=+-+-=⨯-+-=⎣⎦， 所以，数列{}n a 所有的奇数项均为0. 因此，()()()1352122142142222143n n n nS---=-++++=-=-.故答案为：212n --；()2143n -.【点睛】本题考查由数列递推关系求数列通项及前n 项和，考查运算求解及逻辑推理能力，属于中档题．三､解答题:解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.17.下表给出的是某城市2015年至2018年，人均存款x （万元），人均消费y （万元）的几组对照数据.（1）试建立y 关于x 的线性回归方程；如果该城市2019年的人均存款为1.1万元，请根据线性回归方程预测2019年该城市的人均消费；（2）计算()()221211==-=--∑∑niii nii y y R y y ，并说明线性回归方程的拟合效果.附：回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）0.6y x =，人均存款为0.66万元；（2）20.9R =，人均存款解释了90%的人均消费的变化，x 、y 具有较好的拟合效果. 【解析】 【分析】（1）由已知数据求得b 和a 的值，则线性回归方程可求，把 1.1x =代入线性回归方程，求得y 值得答案；（2）由回归方程计算得1y 、2y 、3y 、4y 的值，再由公式()()221211==-=--∑∑niii nii y y R y y 求得2R 的值，进一步说明线性回归方程的拟合效果． 【详解】（1）()41110.60.70.80.90.7544i i x x ===+++=∑，()41110.350.450.450.550.4544i i y y ===+++=∑，()()()()()410.150.10.0500.0500.150.10.03iii x x y y =--=-⨯-+-⨯+⨯+⨯=∑，()()()42222210.150.050.050.150.05ii x x =-=-+-++=∑，()()()414210.03ˆ0.60.05iii i i x x y y bx x==--∴===-∑∑，0.450.60.750a y bx =-=-⨯=， ∴所求回归直线方程为0.6y x =，当 1.1x =时，0.6 1.10.66y =⨯=，预计该国家2019年的人均存款为0.66万元； （2）由回归方程计算得，10.36y =，20.42y =，30.48y =，40.54y =， 所以，()()()()()42222210.350.360.450.420.450.480.550.540.002i ii y y =-=-+-+-+-=∑，()()()()()42222210.350.450.450.450.450.4850.550.450.02i i y y=-=-+-+-+-=∑，()()42214210.002110.90.02i i i i i y y R y y==-=-=-=-∑∑， 说明人均存款解释了90%的人均消费的变化，x 、y 具有较好的拟合效果.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，同时也考查了相关指数的计算，考查计算能力，是基础题．18.如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭. .（1）求AE ，AF （用θ表示）； （2）求EAF ∆的面积S 的最小值.【答案】（1）1cos AE θ=，06cos 6AF πθπθ⎛⎫=<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭；（2）(32. 【解析】 【分析】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF 即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.【详解】（1）在Rt ABE ∆中，1AB =，所以1cos cos AB AE EAB θ==∠，在Rt ADF ∆中，AD =，236DAF EAB πππθ∠=--∠=-，0cos 6cos 6ADAF DAFπθθ⎫∴==<<⎪∠⎝⎭- ⎪⎝⎭； （2）13sin 234cos cos 622S AE AF ππθθ=⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭32sin 23πθ===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为06πθ<<，所以22333πππθ<+<2sin 223πθ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，当232ππθ+=时，即当12πθ=时，S取最小值(32.【点睛】本题考查了正弦型函数最值和三角形的面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中等题．19.如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，侧面11B BCC 是矩形，12BB BC =，E 为1AA 的中点，平面1ECC ⊥平面ABCD .（1）证明：1CC ⊥平面ABCD ；（2）判断二面角1B EC B --是否为直二面角，不用说明理由； （3）求二面角1B EC C --的大小. 【答案】（1）见解析；（2）是；（3）120. 【解析】 【分析】（1）连接AC 、11A C 、BD ，平面1ECC 即为平面11AAC C ，推导出BD AC ⊥，1BD CC ⊥，1CC BC ⊥，由此能证明1CC ⊥平面ABCD ；（2）二面角1B EC B --是直二面角；（3）以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角1B EC C --的大小． 【详解】（1）连接AC ，11A C ，BD .平面1ECC 即为平面11C CAA ，底面ABCD 是正方形，BD AC ∴⊥.又平面1ECC ⊥平面ABCD ，平面1ECC 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，BD ∴⊥平面1ECC ，又1CC ⊂平面1ECC ，1CC BD ∴⊥，侧面11B BCC 是矩形，1CC BC ∴⊥，又BD BC B ⋂=，BD ⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1CC ∴⊥平面ABCD ； （2）二面角1B EC B --为直二面角；（3）由（1）可知，1CC CD ⊥，1CC BC ⊥，CD BC ⊥，故以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CD 为单位长度，建立如下图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()0,1,0B ，()1,1,1E ，()1,0,0D ，所以()1,1,1CE =，()0,1,0CB =，设平面EBC 的法向量为(),,n x y z =，则00n CB y n CE x y z ⎧⋅==⎨⋅=++=⎩，令1x =，则0y =，1z =-，则()1,0,1n =-，由（1）知，BD ⊥平面1ECC ，所以，()1,1,0BD =-是平面1ECC 的一个法向量， 于是1cos ,2n BD n BD n BD⋅<>==⋅， 由（2）知二面角1B EC C --的平面角为钝角，所以二面角1B EC C --的大小为120.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查直二面角的判断，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 在左、右顶点分别为A 、B ，左焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M 、N 两点（M 和N 均不在坐标轴上），直线AM 、AN 分别与y 轴交于点P 、Q ，直线BM 、BN 分别与y 轴交于点R 、S ，求证：RSPQ为定值，并求出该定值. 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，定值13. 【解析】 【分析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由离心率及过的点和a 、b 、c 之间的关系求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为1x ky k ⎛=-≠ ⎝⎭，将直线l 与椭圆C 的方程联立，设点()11,M x y ，()22,N x y ，求出两根之和及两根之积，写出AM 、AN 的方程由题意求出P 、Q 的坐标，求出PQ 的值，同理由题意求出RS 的值，进而求出比值为定值．【详解】（1）设椭圆C焦距为()20c c >，由题意，22222191412a b a b c c a ⎧+=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得24a =，23b =，所以，椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）由（1）知，()1,0F -，()2,0A -，()2,0B由题意，直线l 不与y 轴垂直，且不过椭圆C 的上、下顶点，故可设直线l的方程为13x ky k ⎛=-≠± ⎝⎭，设()11,M x y ，()22,N x y . 由221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()2234690k y ky +--=. ()214410k ∆=+>，由韦达定理，122634k y y k +=+，122934y y k =-+. 直线AM 的方程为()()11112221y y y x x x ky =+=+++，1120,1y P ky ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 同理，2220,1y Q ky ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以，()()12122121212222111y y y y PQ ky ky k y y k y y -=-=+++++()()()21212222234296213434y y k y y k k k k -+-==-++++， 直线BM 的方程为()()11112223y y y x x x ky =-=---，1120,3y R ky ⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 同理，2220,3y S ky ⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 所以，()()121221212126223339y y y y RS ky ky k y y k y y -=-=---++()()()212122222346918693434y y k y y k k k k -+-==--+++， 由题意，12y y ≠，故13RS PQ =. 【点睛】考查直线与椭圆的综合应用，考查椭圆标准方程的求解，以及弦长比值为定值问题的证明，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.21.已知函数()()21x f x x ax e a R -=-+-∈. （1）讨论函数()()x g x e f x =的单调性；（2）证明：当1a >时，函数()f x 有三个零点.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()y g x =的解析式，求导，分0a <、0a =及0a >解关于导函数的不等式即可得出函数()y g x =的单调区间； （2）易知函数()y f x =的零点就是函数()y g x =的零点，结合（1）的结论以及零点存在性定理即可得证．【详解】（1）()()()211x x g x e f x e x ax ==-+-， ()()()()21211x x g x e x ax x a e x x a '∴=-++-=++-. ①当0a <时，11a -<-，当()()11,,x a -∞∞∈--+时，()0g x '>，当()1,1x a ∈--时，()0g x '<. 函数()y g x =单调递增区间为(),1a -∞-，()1,-+∞，单调递减区间为()1,1a --； ②当0a =时，11a -=-，()0g x '≥，则函数()y g x =在R 上为增函数；③当0a >时，11a ->-，当()(),11,a x -+∞∈-∞-，()0g x '>，当()1,a 1x ∈--，()0g x '<.∴函数()y g x =的单调递增区间为(),1-∞-，()1,a -+∞，单调递减区间为()1,1a --； 综上所述，当0a <时，函数()y g x =的单调递增区间为(),1a -∞-，()1,-+∞，单调递减区间为()1,1a --；当0a =时，函数()y g x =的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调减区间；当0a >时，函数()y g x =的单调递增区间为(),1-∞-，()1,a -+∞，单调递减区间为()1,1a --；（2）0x e >，∴函数()y f x =的零点就是函数()y g x =的零点，当1a >时，由（1）知函数()y g x =在(),1-∞-，()1,a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减.当(),1x ∈-∞-时，函数()y g x =单调递增，因为()2110a g e +-=->，()()1212321a g a e a a ----=++-， 令()()122321a a e a a ϕ--=++-，则()()()()()121212324321211a a a a e a a a e a a e a a ϕ------'=-++--=---=-+-，1a >，()0a ϕ'∴<，函数()y a ϕ=在()1,+∞上单调递减，()()()271110g a a eϕϕ∴--=<=-<， 所以，存在()11,1x a ∈---，使得()10g x =，所以，函数()y g x =在(),1-∞-上有1个零点1x ；当()1,a 1x ∈--，()y g x =为减函数，极小值点10x a =->，且()00g =，所以，函数()y g x =在()1,a 1x ∈--有1个零点20x =；当()1,x a ∈-+∞，函数()y g x =为增函数，()10g a -<，()10a g a e =->，∴存在()31,x a a ∈-，使得()30g x =，所以函数()y g x =在()1,a -+∞有1个零点3x . 综上，当1a >时，函数()y g x =有三个零点，即函数()y f x =有三个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数的零点，考查零点存在性定理，考查分类讨论思想及逻辑推理能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:2C x y y +=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为42ππρθ⎫=<<⎪⎭. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(),M ρα在曲线2C 上，直线OM 交曲线1C 于点N ，求OM ON ⋅的最小值.【答案】（1）曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的直角坐标方程为()10y x x x=+>；（2）4. 【解析】【分析】（1）由222sin x y y ρρθ⎧+=⎨=⎩可将曲线1C 的方程化为极坐标方程，在曲线2C 的极坐标方程两边平方得()22sin cos cos 1ρθθθ-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意得出OM =，2sin ON α=，然后利用换元法和三角函数关系式的恒等变换并结合基本不等式可求出OM ON ⋅的最小值.【详解】（1）将222sin x y y ρρθ⎧+=⎨=⎩代入222x y y +=得，2sin ρθ=， 所以曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=.曲线2C 的方程可化为222sin cos cos 1,42ππρθθρθθ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()210xy x x -=>，得()10y x x x=+>， 所以2C 的直角坐标方程为()10y x x x =+>； （2）由（1）及题设条件知，OM =，2sin ON α=，其中,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα， 所以222224sin 4tan sin cos cos tan 1OM ON a ααααα⋅==--，令tan 1t α=-， 因为,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，所以tan 1α>，所以0t >， 所以()222411484816t OM ON t t t +⎛⎫⋅==++≥⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当1t =，即tan 2α=，,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα时等号成立. 所以OM ON ⋅的最小值为4.【点睛】本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型．23.已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =++-+.（1）当1a b c ===时，求不等式()5f x >的解集； （2）若()f x 的最小值为1，求a b c ++的值，并求222a b c b c a++的最小值. 【答案】（1）()(),22,-∞-+∞；（2）1a b c ++=，222a b c b c a++的最小值为1. 【解析】【分析】 （1）先将1a b c ===代入函数()y f x =的解析式中，得出()111f x x x =++-+，然后分1x ≥、11x -<<、1x ≤-三种情况来解不等式()5f x >，即可得出该不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出()y f x =的最小值，从而得到a b c ++的值，再利用基本不等式求出222a b c b c a++的最小值. 【详解】（1）当1a b c ===时，()111f x x x =++-+，于是，不等式()5f x >可化为114x x ++->.当1x ≥时，不等式化为114x x ++->，解得2x >；当11x -<<时，不等式化为()114x x +-->，即24>，无解；当1x ≤-时，不等式化为()()114x x -+-->，即24x ->，解得2x <-.综上，不等式()5f x >的解集为()(),22,-∞-+∞；（2）由绝对值三角不等式得()()()1f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++=，所以1a b c ++=.由基本不等式得22a b a b +≥=，22b c b c +≥=，22c a c a +≥=， ()2222a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++，即2221a b c a b c b c a++≥++=， 2221a b c b c a∴++≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立， 因此，222a b c b c a++的最小值为1. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （ ） A.),3()1,(+∞--∞ B.),3[]1,(+∞--∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ）A.c a b <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6-7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A -的体积为（ ）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π 9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[-D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f -=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<-≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为（ ）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（ ）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （ ）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .16.已知函数b x a x x f ----=13)()(222，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21-≤a ②2523<<a ③02,1<<-=b a ④249,1-<<-=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F --1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+-y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈-++=）. （Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.答案： 一、选择题1B ；2B ；3D ；4A ；5B ；6A ；7B ；8D ；9C ；10C ；11D ；12B 二、填空题13.177; 14。

东北师大附中2020届高三年级第一次摸底考试理科数学试题数学（理科）试题一、选择题1.若i 是虚数单位,在复平面内复数21ii-+表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】运用复数除法的运算法则,化简复数21ii-+,最后选出正确答案. 【详解】因为2(2)(1)131(1)(1)22i i i i i i i --⋅-==-++⋅-,所以复平面内复数21i i-+表示的点的坐标为13(,)22-,该点在第四象限. 故选D【点睛】本题考查了复数除法的运算法则.考查了复数在复平面表示点的位置问题.2.若全集{}*2560U x N x x =∈--≤,集合{}2,3A =,{}0,1,5B =,则()U B A ⋂ð（ ）A. {}0,1,5B. {}1,5C. ∅D. {}0,1,4,5,6【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式,并求出正整数解集,化简全集的表示,根据补集、交集的定义,求出()U B A ⋂ð. 【详解】{}{}{}*2*560161,2,3,4,5,6U x N x x x N x =∈--≤=∈-≤≤=.因为{}2,3A =,所以{}1,4,5,6U A =ð,因此(){}1,5U B A ⋂=ð. 故选B【点睛】本题考查了集合的补集运算、并集运算,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.3.下列函数中,既是偶函数,又在()0,∞+上单调递增的函数是（ ） A. 32y x = B. xy e-=C. 21lg y x =-D. 6y x =+【答案】D 【解析】 【分析】对选项中的四个函数,先求定义域,再判断是不是偶函数,当()0,x ∈+∞时,化简函数的解析式,再判断单调性即可选出正确答案.【详解】选项A ：函数32y x =的定义域为全体非负实数集,故该函数不具有奇偶性,不符合题意； 选项B ：函数()xy f x e-==的定义域为全体实数集. ()()xxf x eef x ----===,所以该函数是偶函数, 当()0,x ∈+∞时, 1()()x x x f x e e e --===,因为101e<<,所以该函数此时是减函数,不符合题意；选项C ：函数2()1lg y f x x ==-的定义域为非零的全体实体集,22()1lg()1lg ()y f x x x f x =-=--=-=,所以该函数是偶函数,当()0,x ∈+∞时, 2()1lg 12lg f x x x =-=-,根据单调性的性质可知：该函数此时单调递减,不符合题意；选项D ：函数()6y f x x ==+的定义域为全体实数集, ()66()f x x x f x -=-+=+=,所以该函数是偶函数, 当()0,x ∈+∞时, ()6y f x x ==+,符合题意. 故选D【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性,属于基础题.4.设50.3a =,0.35b =,0.3log 5c =,则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法,可以比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为函数0.3xy =是全体实数集上的减函数,所以有5000.30.31<<=；因为函数5x y =是全体实数集上的增函数,所以有0.30551>=；因为函数0.3log y x =是正实数集上的减函数,所以有0.30.3log 5log 10<=,因此有b a c >>. 故选D【点睛】本题考查了对数式、指数式的比较,运用对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法是解题的关键.5.素数也叫质数,部分素数可写成“21n -”的形式（n 是素数）,法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“21n -”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第51个梅森素数是8258993321P =-,它是目前最大的梅森素数.已知第8个梅森素数为3121P =-,第9个梅森素数为6121Q =-,则QP约等于（参考数据：lg 20.3≈）（ ） A. 710 B. 810C. 910D. 1010【答案】C 【解析】 【分析】根据,P Q 两数远远大于1, Q P 的值约等于613122,设613122k =,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出k 的值.【详解】因为,P Q 两数远远大于1,所以Q P 的值约等于613122,设6130303122lg 2lg 2k k k =⇒=⇒=,因此有930lg 2lg lg 910k k k =⇒=⇒=. 故选C【点睛】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题. 6.函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选D7.“22a -≤≤”是“关于x 的不等式210ax ax a-+≥的解集为R ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先判断不等式210ax ax a-+≥的解集为R 成立的条件,然后根据充分性、 必要性的定义选 出正确答案. 【详解】因为关于x 的不等式210ax ax a -+≥的解集为R ,所以有：0a >且21()40a a a--⋅≤,所以有02a <≤,显然由22a -≤≤不一定能推出02a <≤,但由02a <≤一定能推出22a -≤≤,故“22a -≤≤”是“关于x 的不等式210ax ax a-+≥的解集为R ”的必要不充分条件. 故选B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,解决不等式恒成立问题是解题的关键.8.已知函数()3211,0log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩,若()1f a ≤,则实数a 的取值范围是（ ） A. [)3,3,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U B. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. (]3,00,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U D. []4,2-【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式,分类讨论解不等式,最后求出实数a 的取值范围. 【详解】当0a ≤时, ()311211122f a a a ≤⇒+-≤⇒-≤≤,而0a ≤,所以 302a -≤≤； 当0a >时, ()31log 13f a a a ≤⇒≤⇒≤,而0a >,所以03a <≤,综上所述： 实数a 的取值范围是3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选B【点睛】本题考查了分段函数不等式解法,正确求解对数不等式、绝对值不等式是解题的关键.9.二次函数2y ax bx c =++和2y cx bx a =++(0ac ≠,a c ≠)的值域分别为M 和N ,命题:p MN ,命题:q M N ≠∅I ,则下列命题中真命题的是（ ） A. p q ∧ B. ()p q ∨⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()p q ⌝∧【答案】D 【解析】 【分析】根据两个二次函数最高次项系数的正负性可以通过举例说明命题p 的真假,根据两个二次函数最高次项系数的正负性进行分类讨论,可以判断出命题q 的真假,最后根据且命题、或命题的真假判断方法选出正确答案.【详解】(1)当0a >,0c <时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时显然:p MN是假命题,而244ac b a -是负的, 244ac b c-是正的,故命题:p MN 是假命题, 命题:q M N ≠∅I 是真命题；(2)当0a >,0c >时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,的二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -、 244ac b c-是同号,故命题:q M N ≠∅I 是真命题； (3)当0a <,0c <时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -、 244ac b c-是同号,故命题:q M N ≠∅I 是真命题； (4)当0a <,0c >时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -是正数、 244ac b c-是负数,故命题:q M N ≠∅I 是真命题； 综上所述：p 是假命题,q 是真命题.选项A: 因为p 是假命题, q 是真命题,p q ∧是假命题；选项B: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以q ⌝是假命题,因此()p q ∨⌝是假命题；选项C: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以p ⌝是真命题,q ⌝是假命题,因此()()p q ⌝∧⌝是假命题； 选项D: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以p ⌝是真命题, ()p q ⌝∧是真命题.故选D【点睛】本题考查了命题的真假判断,考查了二次函数的值域,考查了集合之间的关系、运算问题,分类讨论是解题的关键.10.若函数(),0231,0x e x a x f x ax a x ⎧-+>=⎨+-≤⎩在(),-∞+∞上是单调函数，且()f x 存在负的零点，则a 的取值范围是（ ）A. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (]0,1C. 1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用导数,判断出函数在0x >时的单调性,进而可以判断整个函数的单调性,这样利用分段函数的单调性的性质和()f x 存在负的零点,这样可以选出正确答案. 【详解】当0x >时, ()()'10xx f x e x a fx e =-+-⇒>=,所以函数在0x >时单调递增,由题意可知整个函数在全体实数集上也是单调递增,因此有：2001311a a a a>⎧⇒<≤⎨-≤+⎩,又因为()f x 存在负的零点,因此有13103a a ->⇒>,综上所述：a 的取值范围是1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选C【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性和零点求参数问题,考查了数学运算能力.11.已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,且()26f =,若对任意两个不相等的正数12,x x ,都有()()2112120x f x x f x x x -<-,则()30f x x->的解集为（ ）A. ()(),20,2-∞-UB. ()()2,02,-+∞UC. ()()2,00,2-UD. ()(),22,-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】 根据所求不等式形式构造新函数,根据()()2112120x f x x f x x x -<-,可以判断出函数()f x 的单调性,最后利用函数的单调性和偶函数数的性质,求出()30f x x->的解集. 【详解】由题意可知：120,0x x >>,因此有()()()()21121221121212121212()()000x f x x f x f x f x x f x x f x x x x x x x x x x x ---⋅<⇒<⇒<---,设()()f x g x x=,因此函数()g x 在0x >时是单调递减函数, 因为()26f =, 所以(2)3g =,而()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,所以有()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--,因此函数()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数. 由偶函数的性质可知：当0x <时, 函数()g x 是单调递增的.所以当0x >时,()30()(2)02f x g x g x x->⇒>⇒<<； 当0x <时,()30()(2)0220f x g x g x x x->⇒>-⇒>>-⇒-<<,综上所述： ()30f x x->的解集是()()2,00,2-U . 故选C【点睛】本题考查了通过构造函数求解不等式解集问题,对已知的不等式进行数学变形,利用函数的单调性和偶函数的性质是解题的关键.12.若关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈,2.71828e =L L 为自然对数的底数,则3122312x x x xx x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A. eB. 2eC. ()42m m +D. ()41m m +【答案】B 【解析】 【分析】根据所给方程的特征,令x xt e=进行换元,方程转化为2(1)0t m t m e ++++=,画出函数 ()xxg x e =的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值.【详解】令x x t e =,所以由10x x xx e m e x e+++=+可得2(1)0t m t m e ++++=, 设()x x g x e =,1()xx g x e'-=,当1x >时, '()0g x <,所以函数()x x g x e =单调递减, 当1x <时, '()0g x >,所以函数()x xg x e =单调递增,而1(0)0,(1)g g e ==,显然当0x >时, ()0>g x ，当0x <时, ()0<g x ，因此函数()x xg x e=的图象如下图所示：要想关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<, 结合函数图象可知,只需关于t 的方程2(1)0t m t m e ++++=有两个不相等的实数根12,t t ,且12312123,x x x x x x t t e e e===, ()()3122231212x x x x x x m m m t m t m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴+++=++ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()()()22121212()(1)t m t m t t m t t m e m m m m e ++=+++=+-++=,31222312111x x x x x x e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选B.【点睛】本题考查了函数与方程思想,考查了数形结合思想,属于中档题.二、填空题13.已知函数()()1,0f x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩,那么74f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________． 【答案】12- 【解析】 【分析】求74f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,根据分段函数的解析式,就要求34f ⎛⎫⎪⎝⎭的值, 要求34f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,根据分段函数的解析式,就要求14f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值,而14f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值直接代入即可求出.【详解】773311(1)()(1)()444442f f f f f ⎛⎫=-==-=-==- ⎪⎝⎭. 故答案为12-【点睛】本题考查了已知分段函数的解析式求函数值问题,考查了数学运算能力.14.函数()()212log 6f x x x =-+的单调递增区间为__________． 【答案】()3,6 【解析】 【分析】先求出函数()f x 的定义域,再根据复合函数的单调性的性质,可以求出函数()f x 的单调递增区间.【详解】函数()f x 的定义域为：{}06x x <<,()()221122log 6log [(3)9]f x x x x =-+=--+,所以函数()f x 的单调递增区间为()3,6.故答案为()3,6【点睛】本题考查了复合函数的单调区间,本题易忘记求函数的定义域.15.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动,先以A 为中心顺时针旋转,当B 落在x 轴时,又以B 为中心顺时针旋转,如此下去,设顶点C 滚动时的曲线为()y f x =,则()5f =__________；当23x <≤时,()f x =__________．【答案】 (1).(2).【解析】 【分析】根据题意分别求出0,1,2,3,4,x =时对应的函数值,结合正方形运动的轨迹图象求出当23x <≤时,函数的解析式即可.【详解】边长为1的正方形ABCD ,当0x =时, C 点的坐标为：(0,1),即(0)1f =；当1x =时, C 点的坐标为：,即(1)f =当2x =时, C 点的坐标为：(2,1),即(2)1f =； 当3x =时, C 点的坐标为：(3,0),即(3)0f =； 当4x =时, C 点的坐标为：(4,1),即(4)1f =；当5x =时, C 点的坐标为：,即(5)f =当23x <≤时, 顶点C 的轨迹是以(2,0)为圆心,半径为1的14圆,其方程为：22(2)1x y y -+=⇒=,所以()f x =.【点睛】本题考查了函数值的计算,考查了函数的解析式和性质,考查了数学阅读能力.16.已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立,则t 的取值范围是__________． 【答案】[)5,-+∞ 【解析】 【分析】根据函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,通过求导,可以求出a 的取值范围,求出()()1212f x f x x x +--的表达式,最后利用导数,通过构造函数,求出新构造函数的单调性,最后求出t 的取值范围.【详解】2221()(0)ax x f x x x'-+=>,因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根,于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩,解得102a <<. ()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---,设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭, 22()0a h a a '-=>,故()h a 在102a <<上单调递增,故1()52h a h ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭,所以5t ≥-.因此 t 的取值范围是[)5,-+∞故答案为[)5,-+∞【点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题,考查了不等式恒成立问题,构造新函数,利用导数是解题的关键.三、解答题17.在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-． (1)求角B 的值；(2)若ABC V的面积为,b =,求a c +的值．【答案】(1)3π；(2)9 【解析】 【分析】(1)利用同角的三角函数关系式中的平方和关系,把等式中的余弦变形为正弦形式,由正弦定理,变形为边之间的关系,再由余弦定理可以求出角B 的值；(2)根据面积公式、余弦定理可以得到,a c 之间的关系式,最后求出a c +的值． 【详解】(1)由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-, 得222sin sin sin sin sin B C A A C -=-.由正弦定理,得222b c a ac -=-,即222a c b ac +-=,所以222cos 2a c b B ac+-==122ac ac =. 因为0B π<<，所以3B π=.(2)由(1)知3B π=,又b =,2222cos b a c ac B ∴=+-2221a c ac =+-=,①又1sin 2S ac B ==20ac ∴=,②由①②得，2241a c +=,所以()222a c a c +=++281ac =, 所以9a c +=.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系,考查了正弦定理、余弦定理、面积公式,考查了数学运算能力.18.已知函数()22ln f x x a x =-,()222ln 2g x x x =-+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时,判断()()g x f x -的零点个数． 【答案】(1)见解析；(2)2 【解析】 【分析】(1)对函数()f x 进行求导,利用分类讨论法求出函数()f x 的单调性；(2)设()()()F x g x f x =-,求导,让导函数等于零,然后判断出函数单调性,最后确定函数零点个数.【详解】(1)()22a f x x x '=-()22x ax-=, 故当0a ≤时,()0f x '≥,所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增, 当0a >时,令()0f x '>,得x >所以函数()f x在)+∞上单调递增, 令()0f x '<,得x <所以函数()f x在(上单调递减,综上,当0a ≤时,函数()f x 在()0,∞+上单调递增, 当0a >时,函数()f x在)+∞上单调递增,在(上单调递减.(2)设()()()F x g x f x =-=2ln 22ln 2x x -+-, 则()21F x x'=-,令()0F x '=, 解得2x =,当()0,2x ∈时,()0F x '>； 当()2,x ∈+∞时,()0F x '<； 故()F x 最大值为()20F=，所以()()g x f x -有且只有一个零点2.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力. 19.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠,使得平面ABD ⊥平面CBD ,AE ⊥平面ABD ,F 是BD 的中点,且AE =的(1)求证：DE AC ⊥；(2)求二面角B EC F --的大小． 【答案】(1)见解析；(2)45︒ 【解析】 【分析】(1) 以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,求出点,,E B D 三点的坐标,通过F 是BD 的中点,可得CF BD ⊥,利用面面垂直的性质定理可得CF ⊥平面BDA ,进而可以求出点C 的坐标,最后利用向量法可以证明出DE AC ⊥；(2)分别求出平面BCE 、平面FCE 的法向量,最后利用空间向量夹角公式求出二面角B EC F --的大小． 【详解】(1)证明：以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则(E ,()2,0,0B ,()0,2,0D取BD 的中点F 并连接,CF AF . 由题意得,CF BD ⊥ 又Q 平面BDA ⊥平面BDC ,CF ∴⊥平面BDA ,(C ∴,(0,DE ∴=-u u u r ,(AC =u u u r,(0,DE AC ⋅=-⋅u u u r u u ur(0=,DE AC ∴⊥.(2)解：设平面BCE 的法向量为()111,,n x y z =r,则(2,0,EB =u u u r,(BC =-u u u r,00DE n CB n ⎧⋅=⇒⎨⋅=⎩u u u v vu u u vv 11111200x x y ⎧=⎪⎨--=⎪⎩令(1,n =-r.平面FCE 的法向量为()222,,m x y z =u r,()1,1,0F所以()1,1,0EC =u u u r，(FC =u u u r ,由2220000x y EC m z FC m +=⎧⎧⋅=⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩u u u v vu u u v v 得()1,1,0m =-ur .设二面角B EC F --为θ,则cos cos ,2n m θ==r u r所以二面角B EC F --的大小为45︒.【点睛】本题考查了用空间向量的知识解决线线垂直、二面角的问题,正确求出相关点的坐标是解题的关键.20.已知12,F F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点,O 为坐标原点,,点()在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2),,D E F 为椭圆上三个动点,D 在第二象限,,E F 关于原点对称,且DE DF =,判断tan DE DF EDF ⋅∠u u u v u u u v是否存在最小值,若存在,求出该最小值,并求出此时点D 的坐标,若不存在,说明理由．【答案】(1)22162x y +=；(2)存在,最小值为6,D ⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】(1)把点的坐标代入椭圆方程中,再求出离心率的表达式,最后根据,,a b c 三者之间的关系,可以求出,a b 的值,最后写出椭圆的标准方程；(2)利用平面向量数量积的定义,化简tan DE DF EDF ⋅∠u u u r u u u r的表达式,可以发现只需判断EDF V 面积是否有最小值,设出直线EF 的方程,与椭圆的方程联立,利用一元二次方程的根与系数的关系,求出EF 的表达式,同理求出OD 的表达式,最后确定EDF V 面积的表达式,利用基本不等式可以求出EDF V 面积的最小值,最后求出点D 的坐标.【详解】(1)点()在椭圆上,则22311a b+=,又c a =222a b c =+, 解得26a =,22b =,∴椭圆的方程为22162x y +=；（2）tan DE DF EDF DE ⋅∠=u u u r u u u rsin 2DEF DF EDF S ∠=△,只需判断EDF V 面积是否有最小值. 设直线EF 的方程为()0y kx k =>, 设()11,E x y ,()22,F x y ,联立22162y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,得22631x k =+,所以1EF x ==因为1ODk k=-，同理可知OD ==,1122EDFS EF OD ==⋅△261k+=()()()2226133132k k k +≥=++,此时22313k k +=+因为0k >即1k =时,tan DE DF EDF ⋅∠u u u r u u u r最小值为6,,易知直线OD 的方程为y x =-,联立22162y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即D ⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了求三角形面积最小值问题,考查了基本不等式的应用,考查了数学运算能力. 21.已知函数()()ln 1f x x =+,()()202xg x a x a=>+,设()()()F x f x g x =-． (1)如果曲线()y f x =与曲线()y g x =在1x =处的切线平行,求实数a 的值； (2)若对()0,x ∀∈+∞,都有()0F x >成立,求实数a 的取值范围；(3)已知()F x 存在极大值与极小值,请比较()F x 的极大值与极小值的大小,并说明理由． 【答案】(1)12；(2)1a ≥；(3) 当112a <<时,()F x 极大值大于极小值； 当102a <<时,()F x 极大值小于极小值. 【解析】 【分析】(1)分别求出两个函数的导数,把1x =代入两个导函数中,根据线线平行斜率的关系,可以求出实数a 的值； (2)对函数()F x 求导,分类讨论函数的单调性,最后求出实数a 的取值范围；(3)令()F x 的导函数等于零,求题意确定实数a 的取值范围,分类讨论,根据函数的单调性确定极大值与极小值之间的大小关系即可. 【详解】(1)因为()11f x x '=+,()()242a g x x a '=+, 所以()112f '=,()()24112ag a '=+,由()()11f g ''=,得12a =(2)()()()F x f x g x =-=()()2ln 102xx x x a+->+, 易知()00F =,()()21412a F x x x a '=-++()()()224112x a a x x a +-=++①当()4100a a a ⎧-≥⎨>⎩,即1a ≥时,有()0F x '>,所以()F x 在()0,∞+上是增函数, 所以()()00F x F >=,满足题意.②当()4100a a a ⎧-<⎨>⎩，即01a <<时,()0F x '=,得1x =-2x =因为()20,x x ∈,()0F x '<, 所以()F x 在()20,x 上是减函数,()()00F x F <=,不符合题意.综上,1a ≥. (3)()()()()2241012x a a F x x x a +-'==++,即()2410x a a +-=有两个不相等实数根1x =-,2x =因为()101a a ⎧->⎪⎨-≠-⎪⎩,所以01a <<且12a ≠,①当21a -<-时,即112a <<时,()F x 在()11,x -上是增函数,在()12,x x 上是减函数,在()2,x +∞上是增函数,故()F x 极大值为()1F x ,极小值为()2F x ，且()()12F x F x >. ②当120a -<-<时,即102a <<时, ()F x 在()11,x -上是增函数,在()1,2x a -上是减函数,在()22,a x -上是减函数,在()2,x +∞上是增函数,故()F x 极大值为()1F x ,极小值为()2F x .()()()121ln 1F x F x x -=+-()1221222ln 122x x x x a x a-++++ ()()()21121241ln 122a x x x x x a x a -⎛⎫+=+ ⎪+++⎝⎭,因为210x x ->,220x a +>,120x a +<, 所以()()12F x F x <. 综上，当112a <<时,()F x 极大值大于极小值； 当102a <<时,()F x 极大值小于极小值. 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数证明不等式恒成立问题,考查了函数的极大值与极小值之间的大小关系问题,考查了数学运算能力. 22.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为32x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴建立极坐标系,点P的极坐标54π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点,求PQ 中点M 到直线l 的距离最小值． 【答案】(1)10x y ++=,()()22112x y -++=；(2)2【解析】 【分析】(1)利用加减消元法消参可以求出直线l 的普通方程.利用极坐标与直角坐标之间的转化公式可以求出曲线C 的直角坐标方程；(2)求出P 的直角坐标,利用曲线C 的参数方程设出点Q 的坐标,利用中点坐标公式,求出M 的坐标,利用点到直线距离公式求出M 到直线l 的距离,利用辅助角公式,根据正弦型函数的单调性可以求出PQ 中点M 到直线l 的距离最小值．【详解】(1)直线l 的普通方程10x y ++=,由4πρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos sin 22θθ⋅-⋅⎭2cos 2sin θθ=-, 22cos 2sin ρρθρθ∴=-,即2222x y x y +=-,∴曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -++=；(2)易知P 的直角坐标()3,3--，设()1,1Q αα+-, 则PQ的中点24,22M αα⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭, 设M 到直线l 的距离为d ,则d==, 当sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,min 2d =. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了中点坐标公式,考查了点到直线距离公式,考查了圆的参数方程的应用,考查了数学运算能力. 23.已知函数()12f x x x =+-．(1)求不等式()2f x ≥-的解集；(2)若关于x 的不等式()235f x a a -≥-在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解,求实数a 的取值范围． 【答案】(1){}13x x -≤≤；a ≤≤【解析】【分析】 (1)利用零点法分类讨论求出不等式()2f x ≥-的解集；(2)根据题意本问题题可以转化为()2max 35f x a a -≥-⎡⎤⎣⎦成立,求出()f x 的最大值,最后求出实数a 的取值范围．【详解】(1)不等式化为0122x x x ≥⎧⎨+-≥-⎩或10122x x x -≤<⎧⎨++≥-⎩或1122x x x <-⎧⎨--+≥-⎩, 解得03x ≤≤或10x -≤<或∅故不等式()2f x ≥-的解集为{}13x x -≤≤；(2)由题意知，只需()2max 35f x a a -≥-⎡⎤⎣⎦成立, 因为()1,03231,03x x f x x x -+≤≤⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩, 在2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,在[]0,3上单调递减, 所以()()max 01f x f ==,所以2520a a -+≤,a ≤≤. 【点睛】本题考查了利用零点法分类讨论求解绝对值问题,考查了不等式在闭区间上有解问题,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.。

绝密★启用前2020届吉林省东北师范大学附属中学高三第四次模拟考试数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案：正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}260,{21,}A x x x B x x k k Z =--≤==-∈，则A B =（）A ．{1,1}-B ．{1,3}C ．{1,1,3}-D ．{1,3}-答案：C由题意结合一元二次不等式的解法可得{}23A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解. 解：由题意{}()(){}{}26032023A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以{}{}{}2321,1,1,3A B x x x x k k Z ⋂=-≤≤⋂=-∈=-. 故选：C. 点评：本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合交集的运算与运算求解能力，属于基础题. 2．在复平面内，复数zi 对应的点关于实轴对称，则zi=（） A．1-- B．i +C．1-+D．i答案：A由题意结合复数的坐标表示可得z i =，再利用复数的除法运算法则即可得解. 解：i在复平面内对应的点为)，复数zi 对应的点关于实轴对称，∴复数z在复平面内对应的点为)1-，∴z i =，∴)21i i z i i ii⋅===--.故选：A. 点评：本题考查了复数的运算与复数几何意义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.3．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高，2019年全年总收入与2018年全年总收入相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生相应变化，下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法错误的是（）A．该企业2019年研发的费用与原材料的费用超过当年总收入的50%B．该企业2019年设备支出金额及原材料的费用均与2018相当C．该企业2019年工资支出总额比2018年多一倍D．该企业2018年与2019研发的总费用占这两年总收入的20%答案：B由题意对统计图的数据进行提取、整合，逐项判断即可得解.解：由题意设该企业2018年全年总收入为x，则2019年全年总收入为2x，对于A，该企业2019年研发的费用占全年总收入的0.25，原材料的费用占全年总收入的0.3，两者的费用和占全年总收入的0.250.30.55+=，超过50%，故A正确；对于B，该企业2019年设备支出金额为全年总收入的0.2，即为0.4x，原材料的费用占全年总收入的0.3，即为0.6x；2018年设备支出金额占全年总收入的0.4，即为0.4x，原材料的费用占全年总收入的0.15，即为0.15x；所以该企业2019年设备支出金额与2018年相当，但原材料的费用不相同，故B错误；对于C，该企业2019年、2018年工资支出总额均占全年总收入的0.2，分别为0.4x、0.2x，所以该企业2019年工资支出总额比2018年多一倍，故C正确；对于D，该企业2018年与2019研发的费用分别占全年总收入的0.1与0.25，分别为0.1x与0.5x，两年的总费用为0.6x，占这两年总收入的0.60.220%3xx==，故D正确.故选：B.点评：本题考查了统计图的应用，考查了数据分析能力，关键是对于统计图中的数据进行有效提取、整合，属于基础题.4．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中真命题的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B利用线线、线面、面面位置关系的性质与判定，逐项判断即可得解. 解：对于①，由线面平行的判定可知若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，故①错误；对于②，由面面垂直的判定可知若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故②正确；对于③，同一平面中垂直于同一直线的两条直线相互平行，空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；对于④，若一个平面内存在一条直线垂直另一平面，由线面垂直的性质可知该直线必然垂直两平面的交线，所以若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故④正确. 故选：B. 点评：本题考查了空间中线线、线面、面面位置关系性质与判定的应用，考查了空间思维能力，属于基础题.5．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则d =（） A ．12B ．14C ．4D ．2答案：D由题意结合等差数列通项公式、前n 项和公式列方程即可得解. 解：数列{}n a 为等差数列，4505S a ==，， 设数列{}n a 的公差为d ，∴41514340245S a d a a d ⨯⎧=+⋅=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩. 故选：D. 点评：本题考查了等差数列通项公式与前n 项和公式的基本量运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长､b 为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（）A ．a<b?;a=a 2a+ B ．a<b?;a=a+2a C ．a ≥b?;a=a 2a+D ．a ≥b?;a=a+2a答案：C由程序框图模拟程序的运行，结合题意即可得解. 解：竹逾松长，意为竹子比松高，即a<b ，但这是一个含当型循环结构的程序框图，当不满足条件时，退出循环，故菱形框中条件应为a ≥b ？， 松日自半，则表示松每日增加一半，即矩形框应填a=a 2a+. 故选：C 点评：本题考查数学文化和补全程序框图相结合的综合问题，重点考查理解题意，并能正确模拟程序运行，属于基础题型. 7．函数ln ()sin xf x x x=+的部分图象大致是() A ． B ．C ．D ．答案：C先判断函数的奇偶性，根据奇偶函数图象特征排除，再利用特值验证排除可得解. 解：因为ln ||0,()sin()()x x f x x f x x-≠-=-+=--, ln ()sin xf x x x∴=+奇函数，图象关于原点对称，所以排除选项D ； 因为2ln2()102f πππ=+>，所以排除选项A ；因为ln ()00f πππ=+>，所以排除选项B ；因此选项C 正确.故选：C. 点评：本题考查函数图象识别问题.其解题思路：由解析式确定函数图象：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 函数图象识别有时常用特值法验证排除8．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点为12,F F ，过2F 作x 轴的垂线与C 相交于,A B两点，1F B 与y 轴相交于D ，若1BF AD ⊥，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．3答案：B连接1AF ，设该双曲线的焦距为2c ，将x c =代入双曲线方程可得A 、B 坐标，由平面几何知识可得1AF AB =，利用双曲线定义可得2122b a AF AF a=-=，化简后再利用双曲线离心率公式即可得解. 解：连接1AF ，如图：设该双曲线的焦距为2c ，则122F F c =，()2,0F c ，由22221c y a b -=、222c a b =+可得2b y a =±，所以2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22b ABa ，22b AF a=， 因为点O 为12F F 的中点，且2//OD F B ，所以点D 为1BF 的中点，又1BF AD ⊥，所以212b AF AB a==，所以2221222b b b a AF AF a a a=-=-=，即222a b =，所以该双曲线的离心率2222213c a b b e a a a+===+=故选：B.点评：本题考查了双曲线性质的应用，考查了双曲线离心率的求解，关键是对于条件的合理转化，属于中档题.9．已知函数()y f x =是定义域为(,)ππ-的偶函数，且在(0,)π上单调递增，设(log 3)a f π=，1313(log 9),()b f c f π==，则,,a b c 的大小关系是（）A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b a c >>答案：A由题意结合偶函数的性质可得()2b f =，利用对数函数、幂函数的单调性可得130log 312ππ<<<<，再利用函数的单调性即可得解.解：函数()y f x =是定义域为(,)ππ-的偶函数,∴()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，log 1log 3logππππ<<，∴0log 31π<<，11133318π<<，∴1312π<<，∴130log 312ππ<<<<，又函数()y f x =在(0,)π上单调递增，∴()132()(log 3)f f f ππ>>即b c a >>.故选：A. 点评：本题考查了对数函数单调性、幂函数单调性的应用，考查了函数单调性与奇偶性的应用，属于中档题.10．把函数sin2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =有以下四个判断：①该函数的解析式为2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②该函数图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；③该函数在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a =．其中，正确判断的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②④答案：D先利用三角函数的平移变换和伸缩变换得到函数()2in 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f s x x ，再利用正弦函数的性质一一验证. 解：把函数sin2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位得到sin 2in 263ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦y x s x ， 纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()2in 23π⎛⎫=+⎪⎝⎭f s x x ，故①正确； 因为2in 2=033ππ⎛⎫⨯+⎪⎝⎭s ，故②正确； 因为0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则22,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin y x =不单调，故③错误；因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2in 223π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭s x ，若函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a = 故选：D 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质及图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．已知圆C ：22(1)12x y -+=，点P 是圆C 上的动点，点(1,0)M -，线段PM 的中垂线交PC 于Q ，当MQC ∠最大时，QM 所在直线的方程是（）A ．1)y x =+B ．2(1)y x =±+C ．1(1)2y x =±+ D ．1)2y x =±+答案：A由题意可得，点Q 的轨迹是以,C M 为焦点的椭圆，则当点Q 位于椭圆的短轴的端点时，MQC ∠最大，由此可求出答案：． 解：解：由题意，点M 在圆C 内，圆22(1)12x y -+=的圆心()1,0C ，半径23r =，∵线段PM 的中垂线交PC 于Q ， ∴QM QP PC =<，∴QM QC QP QC +=+32PC CM ==>=， ∴点Q 的轨迹是以,C M 为焦点、长轴长为23 即3a =1c =，2b =∴点Q 的轨迹方程为22132x y +=，由椭圆的几何性质可知，当点Q 位于椭圆的短轴的端点(0,2时，MQC ∠最大， 此时QM 所在直线的方程是112x +=-±，即2(1)y x =+， 故选：A ． 点评：本题主要考查椭圆的定义的应用，考查椭圆的几何性质，属于中档题． 12．已知()()()sin 0xxf x a e ex a π-=-->存在唯一零点，则实数a 的取值范围（）.A ．,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭答案：B利用奇偶性可确定唯一零点0x =，将问题转化为()f x 在0x >时无零点问题的求解；利用放缩法，令()()xxh x a e ex π-=--，利用导数可求得2a π≥时()0h x >，由此知满足题意；当02a π≤<，利用零点存在定理可确定()f x '在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，由此可确定存在()00,x x ∈时，()0f x <，结合x →+∞时，()f x →+∞，可确定02a π≤<不合题意，由此得到结论.解：()f x 定义域为R 且()()()sin x x f x a e e x f x π--=-+=-，()f x ∴为定义在R 上的奇函数，()f x ∴的唯一零点为0x =，则只需0x >时，()f x 无零点即可得到结论；当0x >时，令()sin g x x x ππ=-，则()()cos cos 10g x x x πππππ'=-=-≤，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即sin x x ππ<，∴()()sin x x x x a e e x a e e x ππ---->--，令()()xxh x a e ex π-=--，则()()xx h x a ee π-'=+-，()()x x h x a e e -''=-，0a >，则()0h x ''>，()()02h x h a π''∴>=-，当2a π≥时，()()00h x h ''>≥，()()00h x h ∴>=，()()sin 0xxa e ex h x π-∴-->>，满足当0x >时，()f x 无零点； 当02a π≤<时，()()cos x xf x a e ex ππ-'=+-， ()020f a π'∴=-<，111122221cos 022f a e e a e e ππ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x '∴在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在最小零点0x ，使得()00f x '=，又()f x '为连续函数，则当()00,x x ∈时，()0f x '<；()()00f x f ∴<=，又x →+∞时，()f x →+∞，()f x ∴在()0,∞+上必存在零点，不合题意；综上所述：实数a 的取值范围为,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：B .本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，涉及到函数奇偶性、零点存在定理的应用；关键是能够根据函数奇偶性确定零点位置，进而将问题转化为函数在0x >时无零点问题的求解；难点在于通过放缩和零点存在定理确定符合题意的区间. 二、填空题13．已知非零向量a b ，满足a a b ，则1()2a b b -⋅=__.答案：0aa b 两边平方求出2||2b a b =⋅；化简1()2a b b -⋅可求解.解： 由aa b 两边平方，得222|||||+|2a a b a b -=⋅，2||2b a b =⋅，211()=022a b b a b b a b a b -⋅=⋅-=⋅-⋅，故答案：为：0 点评：本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝(2)若向量a b ，是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22•a a a a ＝＝或2222||)2?(a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．14．二项式61)x的展开式的常数项是_______.（用数字作答） 答案：240直接根据二项展开式的通项公式求解即可． 解：解：∵61)x的展开式的通项公式(6161rrrr T C x -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭()3362621r r r r C x --=⋅⋅-⋅， 令3302r -=，得2r ，则()2243621240T C =⋅⋅-=， 故答案：为：240．本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题． 15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122n n n S a --=，则2020S =_______. 答案：101021(1)34- 可由所给等式利用n S 与n a 的关系求得1121122n n n n a a ---+=-，列出2020S 利用分组求和法及等比数列求和公式即可得解. 解：当2n ≥时，1122n n n S a --=，-1-12122n n n S a -∴-=， 两式相减可得1121122n n n n a a ---+=-，()()()2020123420192020S a a a a a a ∴=++++++103220192018111111222222=-+-++-132019022018111111+222222⎛⎫⎛⎫=+++-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1010101010101010111111[1]121244224(1)1133411444⎛⎫⎛⎫---+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-==---.故答案：为：101021(1)34- 点评：本题考查递推公式、分组求和法、等比数列求和公式，属于中档题. 三、双空题16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____．答案：231627π求出一个正四面体的体积乘以2，即为所求六面体的体积；取该六面体的一半记为正四面体S ABC -，取BC 中点为D ，连接SD ，AD ，作SO ⊥平面ABC ，垂足O 在AD 上，当六面体内的球体积最大时球心为O 且该球与SD 相切，过球心作OE SD ⊥，则OE 就是球半径，求出OE 代入球体体积计算公式即可得解. 解：一个正三角形面积为133222⨯⨯⨯=，该六面体是由六个边长为2的正三角形构成的，所以，该六面体看成由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为2，如图，2的正四面体S ABC -中，取BC 中点为D ，连接SD ，AD ，作SO ⊥平面ABC ，垂足O 在AD 上，则16222AD SD ==-=，613OD AD ==，22233SO SD OD =-=，则该正四面体的体积为1113231333ABC V S SO ∆=⋅⋅==， 该六面体的体积为两个正四面体的体积之和21223V V ==， 当该六面体内有一球，如上图，且该球体积取最大值时，球心为O ，且该球与SD 相切，过球心作OE SD ⊥，则OE 就是球半径，因为SO OD SD OE ⨯=⨯，所以球半径36696233SO OD R OE SD ⨯====，所以该球体积的最大值为：22316427S ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案：为：答题空1：23；答题空2：1627π；点评：本题考查多面体的体积、球体体积、球与多面体内切问题，属于中档题. 四、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=，PAB △为正三角形，6PC =，E 为线段AB 的中点．（1）证明：PE ⊥平面ABCD ；（2）若3PM PD =，求二面角M EC D --的大小． 答案：（1）见解析（2）60︒．（1）根据PAB △为正三角形及E 为线段AB 的中点可知PE AB ⊥，再由所给线段长度及勾股定理逆定理证明PE CE ⊥，即可由线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD ；（2）以E 为原点，分别以EB ，EC ，EP 为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，结合3PM PD =可求得M 的坐标，由空间向量法求得平面CEM 的法向量及平面ABCD 的法向量，由空间向量法即可求得二面角M EC D --的余弦值，进而求得二面角的大小． 解：（1）证明：连接CE ，PE 如下图所示：∵PAB △是边长为2的正三角形，且E 是AB 中点， ∴PE AB ⊥，3PE =，又∵ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=， ∴ABC 是正三角形，3CE =， 又∵6PC =，∴222PC PE CE =+，即PE CE ⊥，又PE AB ⊥，CE AB E ⋂=， ∴PE ⊥平面ABCD ．（2）由（1）可得：以E 为原点，分别以EB ，EC ，EP 为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -如下图所示则()000E ，，，()100B ，，，(003P ，，，()030C ，，()230D -，． 设点M 坐标为()x y z ，，，由3PM PD =，得 ((33233x y z =-，，，， ∴23233M ⎛- ⎝⎭，，，∴23233EM⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，，，()030EC=，，，设平面CEM的法向量为()n x y z=，，，则232333330n EM x y zn EC y⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令z=1，得()301n=，，．∵PE⊥平面ABCD，∴平面ABCD的法向量()001m=，，，∴11os==212cn mn mn n⋅=⨯⋅，，由空间结构体图形可知，二面角M EC D--为锐二面角，∴二面角M EC D--的大小为60︒．点评：本题考查了线面垂直的判定，由空间向量法求二面角的应用，属于中档题. 18．如图，点D在ABC∆的边BC上，,5, 1.4ADC AB BDπ∠===（1）求AD和sin B；（2）若(1tan)(1tan)2++=B C，求sin C.答案：（1）2AD=5sin5B=（2）10sin C=（1）在ABD△中，应用余弦定理可求得AD，然后由正弦定理求得sin B；（2）利用两角和的公式求得B C+，再由两角差的正弦公式求得sin C．解：解：（1）344ADBπππ∠=-=，设AD x=，在ABD∆中，2222cosAB AD BD AD BD ADB=+-⋅∠，即2512(x x =+-⨯，解得x =-（舍），x =AD ∴=.在ABD ∆中，sin sin 5AD ADB B AB∠===.故AD =sin B =. （Ⅱ）由(1tan )(1tan )2++=B C 得tan tan 1tan tan C B C B +=-，tan tan tan()11tan tan C BC B C B++==-∵,B C 是三角形内角，∴(0,)B C π+∈，4B C π∴+=由（1）知sin 5B =，(0,)2B π∈，cos 5B ∴===，sin sin()sin cos cos sin sin )444210C B B B B B πππ=-=-=-=． 点评：本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和与差的正切、正弦公式，考查知识点较多，对学生的运算求解能力要求较高，属于中档题．19．设函数()1f x mx =+（m R ∈），()ln g x x =. （1）求()()()h x f x g x =-的极值；（2）当01x <<时，函数1()(1)y a g x x=++的图象恒在直线1y =的上方，求实数a 的取值范围； 答案：（1）见解析（2）12a ≥（1）求出导函数()h x '，按0m ≤和0m >分类讨论可得；（2）问题转化为不等式恒成立，对不等式讨论，由于(0,1)x ∈，按1a <-和1a ≥-分类讨论，1a ≥-时，由于10a x +>恒成立，不等式变形为ln(1)0(01)1xx x ax+-><<+，引入新函数()ln(1)1xF x x ax =+-+，01x <<.求出导函数22[(12)]()(1)(1)x a x a F x ax x --'=++，01x <<.讨论()0F x '=的根的情况，按此分类得出函数的单调性，从而得出结论．解：解：（1）∵()1ln h x mx x =+-，0x >，∴11()mx h x m x x-'=-=，0x >. 当0m ≤时，∵0x >，∴()0h x '<，所以()h x 在区间为(0,)+∞单调递减，所以()h x 无极值； 当0m >时，令()0h x '=，解得1x m =，当1(0,)x m ∈时，()0h x '<，当1(,)x m∈+∞时，()0h x '>所以()h x 在区间为1(0,)m递减，在区间为1(,)m +∞递增，所以当1x m=时()h x 取得极小值1()ln 2h m m=+，无极大值. （2）由题可知，不等式1()ln(1)1a x x ++>对(0,1)x ∈恒成立.当1a <-时，取1(0,1)x a =-∈代入上述不等式，此时01>，不符合题意；当1a ≥-时，因为110axa x x++=>在(0,1)x ∈上恒成立， 所以不等式等价于ln(1)0(01)1xx x ax+-><<+ 令()ln(1)1xF x x ax=+-+，01x <<.则22[(12)]()(1)(1)x a x a F x ax x --'=++，01x <<. 当0a =，()01xF x x -'=<+，所以()F x 在(0,1)递减，所以()(0)0F x F <=，不符合题意； 当2120aa -≤，即12a ≥时，()0F x '>，所以()F x 在(0,1)递增，所以()(0)0F x F >=，01x <<，符合题意； 当2120a a ->，即112a -≤<且0a ≠时，取0212min{,1}ax a-=，当0(0,)x x ∈时，必有()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 上递减，所以()(0)0F x F <=，0(0,)x x ∈，不符合题意. 综上：a 的取值范围是12a ≥. 点评：本题考查用导数研究函数的极值，考查用导数研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题常常转化为求函数的最值，利用最值满足的性质确定结论．20．随着现代电子技术的迅猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科——可靠性理论．在可靠性理论中，一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性．元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性．现有n （*n N ∈，2n ≥）种电子元件，每种2个，每个元件的可靠性均为p （01p <<）．当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路．现要用这2n 个元件组成一个电路系统，有如下两种连接方案可供选择，当且仅当从A 到B 的电路为通路状态时，系统正常工作．（1）（i ）分别写出按方案①和方案②建立的电路系统的可靠性1P 、2P （用n 和p 表示）； （ii ）比较1P 与2P 的大小，说明哪种连接方案更稳定可靠； （2）设4n =，45p =，已知按方案②建立的电路系统可以正常工作，记此时系统中损坏的元件个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 答案：（1）（i ）()12nnP pp =-，()22nnP p p =-（ii ）12P P <，按方案②建立的电路系统更稳定可靠．（2）见解析，43（1）（i ）利用对立事件的概率公式计算，n 个元件串联通路的概率是np ，而n 个元件并联时不通的概率是np ，由此可计算可计算方案①和方案②建立的电路系统的可靠性1P 、2P ；（ii ）作差后构造函数()()22nn f x x x =---，利用导数可得其单调性从而得()f p 与(1)0f =的大小，得出结论；（2）在方案②电路系统可以正常工作的条件下，元件损坏的概率是条件概率，可计算编号相同的两个并联元件中至多有一个损坏，且有一个损坏的条件概率为()()12211311C p p p -=--，由此可知，14,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，依次计算出各概率，得分布列，再由二项分布计算出期望． 解：解：（1）（i ）按方案①建立的电路系统的可靠性()()21112nn n P pp p =--=-；按方案②建立的电路系统的可靠性为()()22112nn n P p p p ⎡⎤=--=-⎣⎦； （ii ）()1222n n n P P p p p ⎡⎤-=---⎣⎦． 令()()22nn f x x x =---，*n N ∈且2n ≥，则()()112n n f x n x x --⎡⎤'=--⎣⎦．当()0,1x ∈时，()1121n n x x --->>，从而()0f x '>，所以()f x 在()0,1上单调递增；当()0,1p ∈时，()()10f p f <=，即()220nn p p ---<．所以，12P P <，按方案②建立的电路系统更稳定可靠．（2）在方案②电路系统可以正常工作的条件下，编号相同的两个并联元件中至多有一个损坏，且有一个损坏的条件概率为()()12211311C p p p -=--，由此可知，14,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ()42160381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314123213381P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()222412823327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()33412833381P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()4114381P X ===；所以，随机变量X 的分布列为()433E X =⨯=．点评：本题考查对立事件的概率关系，考查二项分布与期望，解题关键是掌握串联电路与并联电路正常工作和不正常工作的概率的求解方法．考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．21．已知O 为坐标原点，直线:1l x my =+过椭圆22221(0)x ya b a b+=>>右焦点F 且交椭圆于,A B 两点，P 为直线4x =上动点，当PF l ⊥时，直线OP 平分线段AB（1）求椭圆方程；（2）记直线,PA PB 斜率分别为12,k k ，直线PF 斜率为k ，求证：122k k k +=．答案：（1）22143x y （2）见解析（1）直线l 与x 轴交点为(1,0)F ，即1c =，由直线l 方程代入椭圆方程，设1122(,),(,)A x y B x y 后可得1212,y y y y +，得中点M 坐标，设(4,)P n ，由OM OP k k =，1l FP k k ⋅=-可得22b a，从而可得,a b ，得椭圆方程．（2）在（1）的基础上直接计算12k k +与k ，即证得结论． 解：解：（1）由222211x y a b x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得22222222()20b m a y b my b a b +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则222212122222222,b m b a b y y y y b m a b m a--+==++， 设AB 中点00(,)M x y ，则2212000222222,12y y b m a y x my b m a b m a +-===+=++ 22222222(,)a b m M b m a b m a -++，22OM b mk a-= 设(4,)P n ，3FP n k =，1l k m =，4OP nk =， 依题意，OMOP k k =，即224b m n a -=，13FP l n k k m ==-，得2234b a =，又2221a b c -==，解得224,3a b ==，椭圆方程为22143x y ．（2）由（1）知12122269,3434m y y y y m m --+==++，3FPnk k == 12121212124433y n y n y n y nk k x x my my ----+=+=+---- 1212122121223()()63()9my y y y nm y y n m y y m y y -+-++=-++2222222218186634343491893434m m nm n m m m m m m m -++++++=-++++222266(34)2927363nm n m nm m ++==++， 所以122k k k +=． 点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，方法是“设而不求”的思想方法，即设交点为1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,y y y y +（或1212,x x x x +），把1212,y y y y +整体代入题中其他条件参与计算化简．22．在平面直角坐标系xOy 中，将曲线11cos :2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上任意一点(,)M x y 经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩后得到曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ+=．（1）求直线l 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线2C 交于,A B 两点，(1,0)P ，求||||||PA PB -的值.答案：（1）2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，l 的普通方程为10x y +-=；（2（1）先求出曲线2C 的参数方程，然后消去参数θ，即可求出曲线2C 的直角坐标方程；由cos x ρθ=，sin y ρθ=，能求出直线l 的普通方程；（2）求出直线l 的参数方程，并代入2240x y x +-=，得到230t -=，由此借助韦达定理即可求出||||||PA PB -的值. 解：（1）设曲线2C 上任意一点(,)M x y '''，则有'2(1cos )'2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，消去θ得2240x y x +-''='，所以，曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=. 由(cos sin )1ρθθ+=，得l 的普通方程为10x y +-=.（2）直线l的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，将其代入2240x y x +-=，得221410222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即230t -=， 设,A B 对应的参数分别为12,t t，则12123t t t t +==-，因为1230t t =-<，所以，1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=+点评：参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化；极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程；解决极坐标方程与参数方程的综合问题时，对于参数方程或极坐标方程应用不熟练的情况下，我们可以先化为直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰；对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷. 23．若关于x 的不等式22210x x t +---≥在实数范围内有解. （1）求实数t 的取值范围；（2）若实数t 的最大值为a ，且正实数m n p ，，满足23m n p a ++=，求证：123m p n p+++≥. 答案：（Ⅰ）3t ≤（Ⅱ）见证明（Ⅰ）不等式22210x x t +---≥在实数范围内有解，也即是2221x x t +--≥成立，求出2221x x +--最大值即可；（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到3a =，因此()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，展开之后结合基本不等式即可证明结论成立；也可利用柯西不等式()()2121141223223m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++≥ ⎪⎣⎦++++⎝⎭来证明. 解：解：（Ⅰ）因为22210x x t +---≥所以2221x x t +--≥ 又因为()222122213x x x x +--≤+--= 所以3t ≤（Ⅱ）由（1）可知，3a =,则方法一：()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()41221141433223m p n p m p n p ⎛⎡⎤++=+++≥++=⎢⎥ ++⎣⎦⎝ 123m p n p∴+≥++ 方法二：利用柯西不等式()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭2133≥= 123m p n p∴+≥++ 点评：本题主要考查含绝对值的不等式，以及不等式的证明，常用到基本不等式或柯西不等式等，需要考生灵活运用各类结论，属于常考题型.。

哈尔滨师大附中 2020年高三第一次联合模拟考试 东北师大附中 理 科 数 学辽宁省实验中学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间120分钟，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=<--=11,0322x x B x x x A ，则=)(B A R Y C.A ),3()1,(+∞--∞Y .B ),3[]1,(+∞--∞Y .C ),3[+∞ .D ),1[]1,(+∞--∞Y2. 已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为.A 0=+b a.B 0=-b a .C 02=-b a .D 02=+b a3. 已知βα，是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是.A 若βα⊥，则β//m .B 若βα⊥，则β⊥m .C 若β//m ，则βα// .D 若β⊥m ，则βα⊥4. 大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，职责除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步骤是.A 9 .B 10 .C 11 .D 125. 已知e c e b a πlog log 3ln 3===，，，则下列关系正确的是.A c a b << .B a b c << .C a c b <<.D c b a <<6. 已知边长为3的等边ABC ∆，DC BD 21=,则=⋅AC AD.A 6.B 9 .C 12 .D 6-7. 如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A -的体积为.A 31 .B 32.C 1.D 34 8. 已知函数)(x f x x 2cos 32sin +=的图象向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图象关于y 轴对称，则=ϕ.A 12π .B 6π .C 3π .D 125π 9. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线c a x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为.A )1,21[.B )1,22[.C )1,215[- .D ]22,0( 10. 已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f -=+，当),1[+∞∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[)21(2)3,1[21)(x xf x x x f ，则函数)(x f 的图象与函数⎩⎨⎧<-≥=1)2ln(1ln )(x x x xx g 的图象在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为 .A 5.B 6 .C 7 .D 911. 已知数列{}n a 的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为.A 20201011.B 20202019.C 20212020.D 2021101012. 已知双曲线1322=-y x 的左右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且ο12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA.A 55 .B 552 .C 553 .D 5122125431432321-++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上. 13. 近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力。

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<−−=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （ ） A.),3()1,(+∞−−∞ B.),3[]1,(+∞−−∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞−−∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=−b aC.02=−b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ） A.c a b << B.a b c << C.a c b << D.c b a <<6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6−7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A −的体积为（ ）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[− D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f −=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈−∈−−=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<−≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[−上所有交点的横坐标之和为（ ）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（ ）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=−y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （ ）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数x x ae e x f −+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=−，则n a = .16.已知函数b x a x x f −−−−=13)()(222，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21−≤a ②2523<<a ③02,1<<−=b a ④249,1−<<−=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A −111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F −−1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++−=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:−=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+−y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈−++=）.（Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(−++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(−≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020年高三第一次联合模拟考试理科数学答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B BDABABDCCDB二、填空题13.14.15. ()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=⎨−≥⎪−−⎩16. ①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，……………………………….2分 又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，……………………………….4分 得2cos sin sin 0B C C +=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =−．因为0B π<<，所以23B π=．……………………………….6分 （Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=，……………………………….8分 所以22()(2)BA BC BD +=，即2212a c ac ++=，……………………………….10分 因为2a =，解方程2280c c −−=，得4c =．……………………………….12分 18.解析：（I ）连结1AB 交1A B 于O ，连结1,EO OC11,,,2OA OB AE EB OE BB ==∴=1//OE BB ,……………………………….1分 又1112DC BB =，1DC //1BB , 1//OE DC ∴，因此，四边形1DEOC 为平行四边形，即1//ED OC ……………………………….2分111,,OC C AB ED C AB ⊂⊄面面DE ∴//平面11C BA ……………………………….5分（II ）建立空间直角坐标系B xyz −，如图过F 作1FH BB ⊥，连结AH11,,BB ABC AB ABC AB BB ⊥⊂∴⊥面面 111,,AB BC BC BB AB CBBC ⊥∴⊥面 111111,,AB BAA B BAA B CBBC ⊂∴⊥面面面111,,FH CBBC FH BB ⊂⊥面11111,BAA B CBBC BB =面面11FH BAA B ⊥面， 即FAH ∠为直线AF 与平面11ABB A 所成角，……………………………….7分 记为θ，11sin ,3,3AF AF θ==∴= 在Rt ACF ∆中，222259,2,AC CF AF CF CF ==+=+∴=11(0,2,1),(2,3,0),(0,2,1),(2,3,0),F A BF BA ==设平面1BAC 的法向量(,,)m x y z =，120230m BF y z m BA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2,(3,2,4)y m ==−− 平面1BAA 的法向量(0,0,1)n =，……………………………….10分4|cos ,|291m n <>=⋅……………………………….11分 BC1A 1B 1C D OFHxyz因此，二面角1F BA A −−的余弦值……………………………….12分19. 解析：设A =｛出现A 症状的人｝、B =｛出现B 症状的人｝、C =｛出现C 症状的人｝（card 表示有限集合元素个数） 根据数据1可知()()()()1.8,1,2,0.5card A B card A C card B C card A B C ====，所以()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card B C card=++−+++⎡⎤⎣⎦()=8.5+9.3+6.5 1.8120.520−+++=.……………………………….4分得患病总人数为20万人，比例大约为20%.……………………………….6分.……………………………….9分()22100573157 4.001 3.84112888020k ⨯⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯.……………………………….11分有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联” .………………………….12分B20．解析： （Ⅰ）设(),P x y ，P 半径为R ，则11,22R x PF R =+=+，所以点P 到直线1x =−的距离与到()1,0F 的距离相等，故点P 的轨迹方程C 为24y x =.……………………………….4分（Ⅱ）设()()1122,,M x y N x y 、，则11211,,22M y N y ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、设直线():0MN x ty n t =+≠代入24y x =中得2440y ty n −−=12124,40y y t y y n +==−<.……………………………….6分 11132211112222S x y S x y =+⋅=+⋅、 131112114S S 22x x y y ⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12122212122222211221142211444221242ty n ty n y y t y y n t y y n nnt t n n nt n n⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.……………………………….8分又21211112222S n y y n =+⋅−=+()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………………….10分2222221311484222S S S nt n t n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12n ⇒=.…………………….11分∴直线MN 恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………….12分21．解析：（Ⅰ）()()ln 1f x x ax '=+−令()()()ln 1h x f x x ax '==+−， ()11h x a x '=−+；.……………………………….1分 1当0a ≤时，()0h x '>，()'f x ∴在()1,−+∞上递增，无减区间()0h x '=.……………………………….3分 2当0a >时，令()1011h x x a '>⇒−<<−， 令()101h x x a'<⇒>− 所以，()'f x 在11,1a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a ≤时，()'f x ∴在()0,+∞上递增，()()''00f x f ∴>=()f x ∴在()0,+∞上递增，无最大值，不合题意；.……………………………….6分 1当1a ≥时，()1101h x a a x '=−<−≤+ ()'f x ∴在()0,+∞上递减，()()''00f x f ∴<=，()f x ∴在()0,+∞上递减，无最大值，不合题意；.……………………………….8分 2当01a <<时，110a−>， 由（Ⅰ）可知()'f x 在10,1a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….9分设()1ln g x x x =−−，则()1x g x x−'=； 令()001g x x '<⇒<<；令()01g x x '>⇒>()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增；()()10g x g ∴≥=，即ln 1x x ≤−由此，当0x >时，1<ln x <所以，当0x >时，()()12h x ax a x <<+=−．取241t a =−，则11t a >−，且()20h t <−=． 又因为()1100h h a ⎛⎫−>= ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，使得()00h x =；.……………………………….11分当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<；所以，()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，在()0,+∞上有最大值()0f x ．综上，01a <<.……………………………….12分在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B ．．铅笔．．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。