高考数学二轮复习课时跟踪检测十三概率统计统计案例小题练理0220399

湖南高考数学二轮备考概率问题专项练习（含答案）概率是对随机事情发作的能够性的度量，下面是概率效果专项练习，希望对考生有所协助。

题型一、古典概型效果例1：某班级的某一小组有6位先生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位先生参与班级志愿者小组，求以下事情的概率：(1)选取的2位先生都是男生;(2)选取的2位先生一位是男生，另一位是女生。

破题切入点：先求出任取2位先生的基身手情的总数，然后区分求出所求的两个事情含有的基身手情数，再应用古典概型概率公式求解。

解：(1)设4位男生的编号区分为1,2,3,4,2位女生的编号区分为5,6。

从6位先生中任取2位先生的一切能够结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种。

从6位先生中任取2位先生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)。

所以选取的2位先生全是男生的概率为P1=。

(2)从6位先生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种。

所以选取的2位先生一位是男生，另一位是女生的概率为P2=。

题型二、几何概型效果例2：(2021四川改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时辰等能够发作，然后每串彩灯以4秒为距离闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时辰相差不超越2秒的概率是________。

破题切入点：由几何概型的特点，应用数形结合即可求解。

设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时辰为x、y，x、y相互独立，由题意可知，如下图。

C ．123.3D ．126.7C 解析 由题意可知身高在(100,110]，(110,120]，(120,130]的频率依次为0.05,0.35,0.3，前两组的频率和为0.4，组距为10，设中位数为x ，则(x －120)×0.310＝0.1，解得x ＝123.3.故选C 项．6．(20xx·山西实验中学模拟)某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表所示．产品数x /个 10 20 30 40 50 产品总成本y /元62a758189由最小二乘法得到回归方程y ^＝0.67x ＋54.9，则a ＝________.解析 计算可得，x －＝30，y －＝307＋a 5，所以307＋a 5＝0.67×30＋54.9，解得a ＝68.答案 687．为比较甲、乙两地14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，则甲、乙两地该月14时的平均气温x甲，x乙的大小关系为________，标准差s 甲，s 乙的大小关系为________.解析 x －甲＝15×(26＋28＋29＋31＋31)＝29，x －乙＝15×(28＋29＋30＋31＋32)＝30，则x －甲<x －乙；由茎叶图知，乙地的气温相对比较集中，甲地的气温相对比较离散，所以甲地该月的标准差大于乙地该月的标准差，即s 甲>s 乙．答案 x －甲<x －乙 s 甲>s 乙8．为了研究雾霾天气的治理情况，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y。

新高考高三数学（文）二轮复习课时跟踪训练(五十八)[基础巩固]一、选择题1．如图是一容量为100的样本质量的频率分布直方图，样本质量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，[15,20]，则样本质量落在[15,20]内的频数为()A．10 B．20C．30 D．40[解析]由题意得组距为5，故样本质量在[5,10)，[10,15)内的频率分别为0.3和0.5，所以样本质量在[15,20]内的频率为1－0.3－0.5＝0.2，频数为100×0.2＝20，故选B.[答案] B2．(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是( ) A ．19 B ．20 C ．21.5 D ．23[解析] 由茎叶图知，该组数据的中位数为20＋202＝20，故选B. [答案] B3．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个[解析] 由图可知平均最高气温高于20℃的月份为六月、七月和八月，有3个，所以选项D不正确．故选D.[答案] D4．(2015·安徽卷)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为()A．8 B．15 C．16 D．32[解析]令y i＝2x i－1(i＝1,2,3，…，10)，则σ(y)＝2σ(x)＝16.[答案] C5．(2017·温州八校联考)如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其中位数为()A．12.5 B．13C．13.5 D．14[解析]中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线横坐标，第一个矩形的面积是0.2，第二个矩形的面积是0.5，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3∶2即可，∴中位数是13.[答案] B6．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36 D.677[解析] 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367.[答案] B 二、填空题7．根据某市环境保护局公布2010～2015这六年每年的空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年每年的空气质量优良天数的中位数是________．[解析] 由折线图可知空气质量优良天数从小到大排列为290,300,310,320,320,340，故其中位数为310＋3202＝315. [答案] 3158．2017年端午节期间，为确保交通安全，某市交警大队调取市区某路口监控设备记录的18：00～20：00该路口220辆汽车通过的速度，其频率分布直方图如图所示，其中a ，c 的等差中项为b ，且a ，b 的等差中项为0.010.已知该路口限速90 km/h ，则这些车辆中超速行驶的约有__________辆．[解析]由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，a ＋b ＝2×0.010，a ＋2b ＋c ＝0.1－(0.010＋0.030)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.005，b ＝0.015，c ＝0.025.所以汽车行驶速度超过90 km/h 的频率为10a ＝0.05，故汽车行驶速度超过90 km/h 的大约有220×0.05＝11(辆)．[答案] 119．已知总体的各个个体的值由小到大依次为3,7，a ，b,17,20，且总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则a ＝________.[解析] 总体的中位数为a ＋b2＝12，即a ＋b ＝24，数据是从小到大排列的，7≤a ≤b ≤17，又总体的标准差最小，∴a ＝b ＝12.[答案] 12 三、解答题10．(2015·广东卷)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？[解] (1)由(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得x ＝0.0075，∴直方图中x 的值为0.0075.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230. ∵(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，则(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户分别为15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．[能力提升]11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差[解析] 由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错误；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．[答案] C12．某参赛队准备在甲、乙两名球员中选一人参加比赛．如图所示的茎叶图记录了一段时间内甲、乙两人训练过程中的成绩，若甲、乙两名球员的平均成绩分别是x 1、x 2，则下列结论正确的是( )A.x1>x2，选甲参加更合适B．x1>x2，选乙参加更合适C．x1＝x2，选甲参加更合适D．x1＝x2，选乙参加更合适[解析]根据茎叶图可得甲、乙两人的平均成绩分别为x1≈31.67，x2≈24.17，从茎叶图来看，甲的成绩比较集中，而乙的成绩比较分散，因此甲发挥得更稳定，选甲参加比赛更合适，故选A.[答案] A13．(2016·北京卷)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．[解](1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15，所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．14．2017年8月22日金乡县首届“诚信文艺奖”评选暨2017“百姓大舞台”第一季大型才艺大赛决赛在红星美凯龙举行．在比赛现场，12名专业人士和12名观众代表分别组成评判小组A，B，给参赛选手打分，如图是两个评判组对同一选手打分的茎叶图：(1)求A 组数据的众数和极差，B 组数据的中位数；(2)对每一组计算用于衡量相似性的数值，回答：小组A 与小组B 哪一个更像是由专业人士组成的？并说明理由．[解] (1)由茎叶图可得：A 组数据的众数为47，极差为55－42＝13；B 组数据的中位数为55＋582＝56.5.(2)小组A 更像是由专业人士组成的．理由如下： 小组A ，B 数据的平均数分别为x A ＝112×(42＋42＋44＋45＋46＋47＋47＋47＋49＋50＋50＋55)＝56412＝47，x B ＝112×(36＋42＋46＋47＋49＋55＋58＋62＋66＋68＋70＋73)＝67212＝56，所以小组A ，B 数据的方差分别为s 2A＝112×[(42－47)2＋(42－47)2＋…＋(55－47)2]＝112×(25＋25＋9＋4＋1＋4＋9＋9＋64)＝12.5，s2B＝112×[(36－56)2＋(42－56)2＋…＋(73－56)2]＝112×(400＋196＋100＋81＋49＋1＋4＋36＋100＋144＋196＋289)＝133.因为s2A<s2B，所以小组A的成员的相似程度高．由于专业裁判给分更符合专业规则，相似程度应该更高，因此小组A更像是由专业人士组成的．。

新高考高三数学（文）二轮复习课时跟踪训练(六十)[基础巩固]一、选择题1．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A．－3 B．－2 C．－1 D．0[解析]由条件，第一次运行后x＝2，y＝0；第二次运行后x＝4，y＝－1；第三次运行后x＝8，y＝－2；则输出结果是－2.选B.[答案] B2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是()A．3 B．11 C．38 D．123[解析]a＝1，a<10，a＝12＋2＝3；a＝3<10，a＝32＋2＝11；a＝11>10，∴输出a＝11.[答案] B3．(2016·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝()A．3 B．4 C．5 D．6[解析]由程序框图依次得①a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；②a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；③a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；④a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4，此时s>16，输出n＝4.[答案] B4．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝()A．7 B．12 C．17 D．34[解析]输入x＝2，n＝2.初始k＝0，s＝0.第一次输入a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝0＋1＝1≤n，进入循环；第二次输入a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝1＋1＝2≤n，再次进入循环；第三次输入a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝2＋1＝3>n，跳出循环，输出s＝17.故选C.[答案] C5．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋130的值的一个程序框图，则菱形判断框内应填入的条件是()A．i<15?B．i>15?C．i<16?D．i>16?[解析] 注意到12＋14＋16＋…＋130是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前15项和，结合题意得，菱形判断框内应填入的条件是“i >15？”，选B.[答案] B6．(2017·天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 第一次循环，24能被3整除，N ＝243＝8>3；第二次循环，8不能被3整除，N ＝8－1＝7>3；第三次循环，7不能被3整除，N ＝7－1＝6>3；第四次循环，6能被3整除，N ＝63＝2<3，结束循环，故输出N 的值为2.选择C.[答案] C 二、填空题7．运行如图所示的程序，输出的结果是__________． [解析] ∵a ＝4，b ＝5，∴a ＝a ＋b ＝9，b ＝a －b ＝9－5＝4，∴输出的结果为4.[答案]48．执行如图所示的程序框图，则输出0的概率为__________． [解析] 因为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，74的长度为74－1＝34，[1,3]的长度为3－1＝2，所以输出0的概率为342＝38.[答案] 389．(2016·山东卷)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为________．9题图 10题图[解析] i ＝1时，执行S ＝S ＋i ＋1－i ，得S ＝2－1；i ＝2时，执行S ＝S ＋i ＋1－i ，得S ＝2－1＋3－2＝3－1；i ＝3时，执行S ＝S ＋i ＋1－i ，得S ＝(3－1)＋4－3＝1.由于i ＝3≥3成立，故输出S ＝1.[答案] 1[能力提升]10．(2017·东北三省四市二模)运行如图所示的程序框图，则输出的a ，b ，c 满足( )A ．c ≤b ≤aB ．a ≤b ≤cC ．a ≤c ≤bD ．b ≤c ≤a[解析] 因为“t ＝a ，a ＝b ，b ＝t ”这三个语句的作用是借助新的变量t 将a 与b 的值进行互换，所以此框图的作用是将输入的a ，b ，c 的值按照从大到小的顺序进行排序，故选A.[答案] A11．(2018·天星大联考)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．－18 B.18 C ．－116 D.116[解析] 已知S ，n 的初值均为1，则第一次运行循环时，S ＝cos π7，由于n ＝1不满足条件n >2，执行n ＝n ＋1，即n ＝2，循环S ＝cos π7·cos 2π7，此时n ＝2，不满足条件n >2，继续执行n ＝n ＋1，即n ＝3，循环S ＝cos π7cos 2π7cos 3π7，由于n ＝3满足条件n >2，则输出S ，即S ＝cos π7cos 2π7cos 3π7＝cos π7cos 2π7cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－4π7＝－cos π7cos 2π7cos 4π7＝－23sin π7cos π7·cos 2π7cos 4π723sin π7＝－sin 8π78sin π7＝18.故选B. [答案] B12．(2017·沈阳第一次质量监测)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n(mod m)，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n等于()A．21 B．22 C．23 D．24[解析]当n＝21时，21被3整除，执行否．当n＝22时，22除以3余1，执行否；当n＝23时，23除以3余2，执行是；又23除以5余3，执行是，输出的n＝23.故选C.[答案] C13．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，如果输入a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，则输出的λ的值是________．[解析]当λ＝－4时，－4a＋b＝(0,10)，b＝(4，－2)，λa＋b与b既不平行也不垂直；当λ＝－3时，－3a＋b＝(1,7)，b＝(4，－2)，λa＋b与b既不平行也不垂直；当λ＝－2时，－2a＋b＝(2,4)，b＝(4，－2)，λa＋b与b垂直；循环结束，输出λ＝－2.[答案]－214．设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.[解析]当a＝123时，b＝321－123＝198≠123；当a＝198时，b＝981－189＝792≠198；当a＝792时，b＝972－279＝693≠792；当a＝693时，b＝963－369＝594≠693；当a＝594时，b＝954－459＝495≠594；当a＝495时，b＝954－459＝495＝495＝a，终止循环，输出b ＝495.[答案]495[延伸拓展]1．(2017·湖南三湘名校联盟三模)给出30个数：1,2,4,7,11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入()A．i≤30？；p＝p＋i－1B．i≤31？；p＝p＋i＋1C．i≤31？；p＝p＋iD．i≤30？；p＝p＋i[解析]由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30，即①处应填写i≤30？.由第1个数是1；第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2；第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4；第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7……故②处应填写p＝p＋i.[答案] D2．(2017·四川内江模拟)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n ＝( )A ．4B ．5C ．2D ．3[解析] 执行程序框图，可得a ＝1，A ＝1，S ＝0，n ＝1，S ＝2，不满足条件S ≥10，执行循环体；n ＝2，a ＝12，A ＝2，S＝92，不满足条件S ≥10，执行循环体；n ＝3，a ＝14，A ＝4，S ＝354，不满足条件S ≥10，执行循环体；n ＝4，a ＝18，A ＝8，S ＝1358，满足条件S ≥10，退出循环，输出n 的值为4.故选A.[答案] A。

课时跟踪检测（十四） 概率与统计（大题练）A 卷——大题保分练1．(2018·洛阳模拟)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表(1)求这3天送餐单数都不小于40的概率；(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望E (X )；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ， 则P (M )＝C 325C 350＝23196.(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a ， 当a ＝38时，X ＝38×6＝228， 当a ＝39时，X ＝39×6＝234， 当a ＝40时，X ＝40×6＝240， 当a ＝41时，X ＝40×6＋1×7＝247， 当a ＝42时，X ＝40×6＋2×7＝254.所以X 的所有可能取值为228,234,240,247,254. 故X 的分布列为所以E (X )＝228×110＋234×15＋240×15＋247×25＋254×110＝241.8.②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7＝238.8元． 由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元． 因为238.8<241.8，所以推荐小王去乙公司应聘．2．(2018·河北五校联考)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(1)将题中的2×2(2)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由；(3)如果按性别进行分层抽样，从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：K 2＝n a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.解：(1)题中的2×2列联表补充如下：(2)K 2＝55×45×60×40≈8.25>6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(3)由题意，抽取6人中包括男生4名，女生2名，X 的取值为0,1,2， 则P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，故X 的分布列为E (X )＝0×15＋1×35＋2×15＝1.3．(2019届高三·山西八校联考)某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x (万元)和销售量y (万元)的数据如下：(2)若用y ＝c ＋d x 模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程y ^＝1.63＋0.99x ，经计算线性回归模型和该模型的R 2分别约为0.75和0.88，请用R 2说明选择哪个回归模型更好；(3)已知利润z 与x ，y 的关系为z ＝200y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①广告费x ＝20时，销售量及利润的预报值是多少？ ②广告费x 为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01) 参考公式：回归直线y ^＝a ^＋b ^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －. 参考数据：5≈2.24.解：(1)∵x －＝8，y －＝4.2，∑i ＝17x i y i ＝279.4，∑i ＝17x 2i ＝708，∴b ^＝∑i ＝17x i y i －7x －y －∑i ＝17x 2i －7x －2＝279.4－7×8×4.2708－7×82＝0.17，a ^＝y －－b ^x －＝4.2－0.17×8＝2.84， ∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.17x ＋2.84.(2)∵0.75<0.88且R 2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， ∴选用y ^＝1.63＋0.99x 更好． (3)由(2)知，①当x ＝20时，销售量的预报值y ^＝1.63＋0.9920≈6.07(万台)， 利润的预报值z ＝200×6.07－20≈1 194(万元)．②z ＝200(1.63＋0.99x )－x ＝－x ＋198x ＋326＝－(x )2＋198x ＋326＝－(x －99)2＋10 127，∴当x ＝99，即x ＝9 801时，利润的预报值最大， 故广告费为9 801万元时，利润的预报值最大．4．第四届世界互联网大会在浙江乌镇隆重召开，人工智能技术深受全世界人民的关注，不同年龄段的人群关注人工智能技术应用与发展的侧重点有明显的不同，某中等发达城市的市场咨询与投资民调机构在该市对市民关注人工智能技术应用与发展的侧重方向进行调查，随机抽取1 000名市民，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求这1 000名市民年龄的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)调查发现年龄在[20,40)的市民侧重关注人工智能技术在学习与工作方面的应用与发展，其中关注智能办公的共有100人，将样本的频率视为总体的频率，从该市年龄在[20,40)的市民中随机抽取300人，请估计这300人中关注智能办公的人数；(3)用样本的频率代替概率，现从该市随机抽取20名市民调查关注人工智能技术在养老服务方面的应用与发展的情况，其中有k 名市民的年龄在[60,80]的概率为P (X ＝k )，其中k ＝0,1,2，…，20，当P (X ＝k )最大时，求k 的值．解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的 1 000名市民年龄的平均数x －＝25×0.05＋35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.25＋75×0.1＝54(岁)．设1 000名市民年龄的中位数为x ，则0.05＋0.1＋0.2＋0.03×(x －50)＝0.5， 解得x ＝55，所以这1 000名市民年龄的平均数为54，中位数为55.(2)由频率分布直方图可知，这 1 000名市民中年龄在[20,40)的市民共有(0.05＋0.10)×1 000＝150人，所以关注智能办公的频率为100150＝23， 则从该市年龄在[20,40)的市民中随机抽取300人，这300人中关注智能办公的人数为300×23＝200.故估计这300人中关注智能办公的人数为200.(3)设在抽取的20名市民中，年龄在[60,80]的人数为X ，X 服从二项分布， 由频率分布直方图可知，年龄在[60,80]的频率为(0.025＋0.010)×10＝0.35， 所以X ～B (20,0.35)，所以P (X ＝k )＝C k200.35k(1－0.35)20－k，k ＝0,1,2， (20)设t ＝P X ＝kP X ＝k －＝C k 200.35k 0.6520－kC k －1200.35k －10.6521－k ＝－k13k，k ＝1,2， (20)若t >1，则k <7.35，P (X ＝k －1)<P (X ＝k )； 若t <1，则k >7.35，P (X ＝k －1)>P (X ＝k )． 所以当k ＝7时，P (X ＝k )最大， 即当P (X ＝k )最大时，k 的值为7.B 卷——深化提能练1．(2019届高三·福州四校联考)某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A ，B ，C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款方式付款的客户进行统计分析，得到柱状图如图所示．已知从A ，B ，C 三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元、2万元、3万元．现甲、乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率估计1位客户采用相应分期付款方式的概率．(1)求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率；(2)记X (单位：万元)为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望．解：(1)设“采用A 种分期付款方式购车”为事件A ，“采用B 种分期付款方式购车”为事件B ，“采用C 种分期付款方式购车”为事件C ，由柱状图得，P (A )＝35100＝0.35，P (B )＝45100＝0.45，P (C )＝20100＝0.2， ∴甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率P ＝1－(P (A )·P (A )＋P (B )·P (B )＋P (C )·P (C ))＝0.635.(2)由题意知，X 的所有可能取值为2,3,4,5,6，P (X ＝2)＝P (A )P (A )＝0.35×0.35＝0.122 5，P (X ＝3)＝P (A )P (B )＋P (B )P (A )＝0.35×0.45＋0.45×0.35＝0.315，P (X ＝4)＝P (A )P (C )＋P (B )P (B )＋P (C )P (A )＝0.35×0.2＋0.45×0.45＋0.2×0.35＝0.342 5，P (X ＝5)＝P (B )P (C )＋P (C )P (B )＝0.45×0.2＋0.2×0.45＝0.18， P (X ＝6)＝P (C )P (C )＝0.2×0.2＝0.04.∴X 的分布列为E (X )2．(2019届高三·湘东五校联考)已知具有相关关系的两个变量x ，y 的几组数据如下表所示：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并估计当x ＝20时y 的值；(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x －y －4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列以及期望．参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －. 解：(1)散点图如图所示：(2)依题意，x －＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y －＝15×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，∑i ＝15x 2i ＝4＋16＋36＋64＋100＝220，∑i ＝15x i y i ＝6＋24＋42＋80＋120＝272，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y －∑i ＝15x 2i －5x －2＝272－5×6×7.6220－5×62＝4440＝1.1， ∴a ^＝7.6－1.1×6＝1，∴线性回归方程为y ^＝1.1x ＋1，故当x ＝20时，y ＝23.(3)可以判断，落在直线2x －y －4＝0右下方的点满足2x －y －4>0，故符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值为1,2,3， P (ξ＝1)＝C 22C 13C 35＝310，P (ξ＝2)＝C 12C 23C 35＝610＝35，P (ξ＝3)＝C 33C 35＝110，故ξ的分布列为故E (ξ)＝1×310＋2×35＋3×10＝10＝5.3．(2018·辽宁五校联考)某校高三年级有500名学生，一次考试的英语成绩服从正态分布N (100,17.52)，数学成绩的频率分布直方图如下：(1)如果成绩高于135分的为特别优秀，则本次考试英语、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？(2)试问本次考试英语和数学的平均成绩哪个较高，并说明理由；(3)如果英语和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的有ξ人，求ξ的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.68，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.96，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.99.解：(1)因为英语成绩服从正态分布N (100,17.52)，所以英语成绩特别优秀的概率P 1＝P (X ≥135)＝(1－0.96)×12＝0.02，由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率P 2＝0.001 6×20×34＝0.024，所以英语成绩特别优秀的学生大约有500×0.02＝10(人)， 数学成绩特别优秀的学生大约有500×0.024＝12(人)． (2)本次考试英语的平均成绩为100分，数学的平均成绩为60×0.16＋80×0.168＋100×0.48＋120×0.16＋140×0.032＝94.72(分)，因为94.72<100，所以本次考试英语的平均成绩较高．(3)英语和数学成绩都特别优秀的有6人，则单科成绩特别优秀的有10人，ξ可取的值有0,1,2,3，所以P (ξ＝0)＝C 310C 316＝314，P (ξ＝1)＝C 210C 16C 316＝2756，P (ξ＝2)＝C 110C 26C 316＝1556，P (ξ＝3)＝C 36C 316＝128，故ξ的分布列为E (ξ)＝0×314＋1×2756＋2×1556＋3×128＝98.4.在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机下单和支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普索(Ipsos)合作，调查了腾讯服务的6 000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带的现金(单位：元)如茎叶图所示，规定：随身携带的现金在100元以下的为“淡定族”，其他为“非淡定族”．(1)根据上述样本数据，列出2×2列联表，判断是否有75%的把握认为“淡定族”与“性别”有关？(2)用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3人，设这3人中“淡定族”的人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望．参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：解：(1)K 2＝18×42×40×20≈1.429>1.323，故有75%的把握认为“淡定族”与“性别”有关．(2)用样本估计总体，用户中为“淡定族”的概率为1860＝310，ξ的可能取值为0,1,2,3，由题意，得到ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，310， P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫310k ⎝ ⎛⎭⎪⎫7103－k，k ＝0,1,2,3， 随机变量ξ的分布列为故随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝0×1 000＋1×1 000＋2×1 000＋3×271 000＝9001 000＝910.。

高考数学二轮复习考点解析四：概率与统计某某市同泽高级中学 谷凤军2008年4月7日一、方法概述1、概率与统计已成为高考的一个重点考查内容，其基本考点有随机事件的概率，抽样方法，总体分布的估计；理科则还有离散型随机变量的分布列，数学期望与方差，正态分布等。

试题以实际问题为背景，贴近生活，难度适中。

2、 解决概率问题，一定要根据有关概念，判断是否是等可能事件，或互斥事件，或相互独立事件，或是独立重复试验，以便选择正确的计算方法。

解题过程中，要明确条件中“至少有1个发生”、“至多有1个发生”、“恰有1个发生”、“都发生”、“都不发生”和“不都发生”等词语的意义，以及它们概率之间的关系和计算公式。

3、总体、样本及样本频率是统计中最基本的概念，通过样本可对总体进行估计。

4、在求某些较复杂的概率时，通常有两种办法：一是将所求事物的概率化成一些彼此互斥的事件的概率之和；二是先求此事件的对立事件的概率。

5、 要注重概率、统计知识与其它知识的互相渗透，是近几年来高考的命题方向，通常与函数、数列、不等式、方程等知识相结合，同时它的应用性极强，需要学会建立准确的数学模型。

6、 对于随机变量，则必须弄清楚它是服从哪一类型分布，能够写出分布列，求出数学期望和方差，它们是随机变量最常用也是最重要的数学特征，它们分别刻划了随机变量的平均值水平和取值分布离散的程度。

二、各地模拟题汇编1、（08年东北育才三模）现有五道数学试题，记为A 、B 、C 、D 、E 和它们对应的答案为e d c b a 、、、、,把A 、B 、C 、D 、E 和e d c b a 、、、、分别写成左右两列，现有一答题者，随机用5条线段把左、右全部连接起来，构成一个“一一对应”已知连对一个得1分，连错一个得0分。

（1）求答题者得分的分布列； (文科)求恰连对一个的概率。

（2）求所得分数的期望。

（文科）求五个都练错的概率。

设答对数为η，则η=0，1，2，3，5（1）记得分为ξ，则ξ=0，1，2，3，5 1分∴12011)5()5(55=====A p p ηξ121)3()3(5535=====A C p p ηξ612)2()2(5525=====A C p p ηξ839)1()1(5515=====A C p p ηξ3011836112112011)0()0(=----====ηξp p 8分 ∴所求得分数ξ的分布列为9∴（2）112015121361283130110=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12分 2、（本小题满分13分）一个口袋里面装有２个白球４个黑球，这些球除颜色差别外没有其它的区别. 现在从袋中随机取出一个来记好颜色，然后放回并搅匀，之后再随机取球记色，再放回搅匀，…. 记数列1n :n n na a 第次取得白球-1第次取得黑球，数列n a 的前n 项和记为nS ①.求事件“4S ＝２”的概率； ②求4S 取值的分布列和数学期望4ES . 解：（１）事件42S =只能是“四次取球中出现三次白球一次黑球”，每次取得白球的概率为2163=；取得黑球的概率是4263=…………..2’ 于是3344128(2).3381p S C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………..2’ （２）4S 可能的取值有4,2,0,2,4--40441216(4)(3381p S p C ⎛⎫⎛⎫=-==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四次全黑）； 441232(2)(3381p S p C ⎛⎫⎛⎫=-==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭１3１三黑一白）； 4412248(0)(338127p S p C ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅==⎪⎪⎝⎭⎝⎭222二黑二白）； 44128(2)(3381p S p C ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭313一黑三白）； 44121(2)(3381p S p C ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭404四次皆白），…………………5’于是4S 取值的分布列为………………………………………….2’4163224814(4)(2)02481818181813ES =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=-…………2’ 3、（本小题满分12分）有10X 形状、大小相同的卡片，其中2X 上写着数字0，另外5X 上写着数字1，余下3X 上写着数字2。

课时跟踪检测（十三） 概率、统计、统计案例 （小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(·长春模拟)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A ．95,94B ．92,86C ．99,86D ．92,91解析：选B 由茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故92为中位数，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.2．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列{a n }(n ＝1,2,3,4)．已知a 2＝2a 1，且样本容量为300，则小长方形面积最小的一组的频数为( )A ．20B ．40C ．30D ．无法确定解析：选A 由已知，得4个小长方形的面积分别为a 1,2a 1,4a 1,8a 1，所以a 1＋2a 1＋4a 1＋8a 1＝1，得a 1＝115，因此小长方形面积最小的一组的频数为115×300＝20.3．(·许昌二模)某校共有在职教师140人，其中高级教师28人，中级教师56人，初级教师56人，现采用分层抽样的方法从在职教师中抽取5人进行职称改革调研，然后从抽取的5人中随机抽取2人进行深入了解，则抽取的这2人中至少有1人是初级教师的概率为( )A.710B.310C.320D.720解析：选 A 由题意得，应从高级、中级、初级教师中抽取的人数分别为5×28140＝1,5×56140＝2,5×56140＝2，则从5人中随机抽取2人，这2人中至少有1人是初级教师的概率为C 12C 13＋C 22C 25＝710.4．(·昆明模拟)如图是1951～我国的年平均气温变化的折线图，根据图中信息，下列结论正确的是( )A．1951年以来，我国的年平均气温逐年增高B．1951年以来，我国的年平均气温在再创新高C．以来，我国每年的年平均气温都高于1981～的平均值D．以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～的平均值解析：选D 由图可知，1951年以来，我国的年平均气温变化是有起伏的，不是逐年增高的，所以选项A错误；1951年以来，我国的年平均气温最高的不是，所以选项B错误；由图可知，1981～的气温平均值为9.5,的年平均气温低于1981～的平均值，所以选项C错误；以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～的平均值，所以选项D正确．5．(·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A.112B.114C.115D.118解析：选C 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为345＝115.故选C.6．(·合肥一模)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是( )A.114B.112C.17D.16解析：选D 由题意知，该广播电台在一天内播放新闻的时长为24×2×5＝240分钟，即4个小时，所以所求的概率为424＝16，故选D.7．(·石家庄模拟)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.12解析：选C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P AB P A ＝25，故选C.8．(高三·辽宁五校联考)为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有显著效果的图形是( )解析：选D 分析四个等高条形图得选项D 中，不服用药物与服用药物患病的差异最大，所以最能体现该药物对预防禽流感有显著效果，故选D.9．(·郑州、湘潭联考)已知a ∈{－2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x＋b 为减函数的概率是( )A.310B.35C.25D.15解析：选C 由题意知a ，b 的组合共有10种，函数f (x )＝(a 2－2)e x＋b 为减函数，则a 2－2<0，又a ∈{－2,0,1,2,3}，故只有a ＝0，a ＝1满足题意，又b ∈{3,5}，所以当a ＝0时，b 可取3,5；当a ＝1时，b 可取3,5，满足题意的组合有4种，所以函数f (x )＝(a 2－2)e x＋b 为减函数的概率是410＝25.故选C.10.为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中11时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，给出以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温； ②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温； ③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差； ④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④解析：选C 由茎叶图和平均数公式可得甲、乙两地的平均数分别是30,29，则甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温，①错误，②正确，排除A 和B ；又甲、乙两地该月11时的标准差分别是s 甲＝4＋1＋1＋45＝2，s 乙＝ 9＋1＋4＋45＝185，则甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差，③正确，④错误，故选项C 正确．11．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18 B.14 C.34D.78解析：选D 由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×12×1＝74，则所求的概率P ＝742＝78.12．(·内蒙古包头铁路一中调研)甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是( )A.25B.1130C.715D.16解析：选C 三人中恰有两人合格的概率P ＝23×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＋23×⎝⎛⎭⎪⎫1－34×25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34×25＝715，故选C. 二、填空题13．(·南昌模拟)某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________．解析：由题知分组间隔为648＝8，又第1组中抽取的号码为5，所以第6组中抽取的号码为5×8＋5＝45.答案：4514．(·天津和平区调研)从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是________．解析：设事件A 为“抽到的两张都是假钞”，事件B 为“抽到的两张至少有一张假钞”， 则所求的概率为P (A |B )， 因为P (AB )＝P (A )＝C 25C 220＝119，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220＝1738， 所以P (A |B )＝P ABP B ＝1191738＝217.答案：21715．某篮球比赛采用7局4胜制，即若有一队先胜4局，则此队获胜，比赛就此结束．由于参加比赛的两队实力相当，每局比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一局比赛组织者可获得门票收入40万元，以后每局比赛门票收入比上一局增加10万元，则组织者在此次比赛中获得的门票收入不少于390万元的概率为________．解析：依题意，每局比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列，设此数列为{a n }，则易知首项a 1＝40，公差d ＝10，故S n ＝40n ＋n n －12×10＝5n 2＋35n .由S n ≥390，得n 2＋7n ≥78，所以n ≥6.所以要使获得的门票收入不少于390万元，则至少要比赛6局．①若比赛共进行6局，则P 6＝C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516；②若比赛共进行了7局，则P 7＝C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝516.所以门票收入不少于390万元的概率P ＝P 6＋P 7＝1016＝58.答案：5816．(·石家庄摸底)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：理科 文科 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计203050已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025. 根据表中数据，得到K 2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为________．解析：由K 2＝4.844>3.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%. 答案：5%B 级——难度小题强化练1．(·成都模拟) 小明在花店定了一束鲜花，花店承诺将在第二天早上7：30～8：30之间将鲜花送到小明家．若小明第二天离开家去公司上班的时间在早上8：00～9：00之间，则小明在离开家之前收到这束鲜花的概率是( )A.18 B.14 C.34D.78解析：选D 如图，设送花人到达小明家的时间为x ，小明离家去上班的时间为y ，记小明离家前能收到鲜花为事件A .(x ，y )可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|7.5≤x ≤8.5,8≤y ≤9}，这是一个正方形区域，面积为S Ω＝1×1＝1，事件A 所构成的区域为A ＝{(x ，y )|y ≥x,7.5≤x ≤8.5,8≤y ≤9}，即图中的阴影部分，面积为S A ＝1－12×12×12＝78.这是一个几何概型，所以P (A )＝S A S Ω＝78，故选D. 2．(·福州四校联考)某汽车的使用年数x 与所支出的维修总费用y 的统计数据如下表：使用年数x /年12345维修总费用y /万元 0.5 1.2 2.2 3.3 4.5根据上表可得y 关于x 的线性回归方程y ＝b x －0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用(不足1年按1年计算)( )A ．8年B ．9年C ．10年D ．11年解析：选D 由y 关于x 的线性回归直线y ^＝b ^x －0.69过样本点的中心(3,2.34)，得b ^＝1.01，即线性回归方程为y ^＝1.01x －0.69，由y ^＝1.01x －0.69＝10得x ≈10.6，所以预测该汽车最多可使用11年，故选D.3．(·长春模拟)如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升． 其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ①由图可知一班每次考试的平均成绩都在年级平均成绩之上，故①正确．②由图可知二班平均成绩的图象高低变化明显，可知成绩不稳定，波动程度较大，故②正确．③由图可知三班平均成绩的图象呈上升趋势，并且图象的大部分都在年级平均成绩图象的下方，故③正确．故选D.4．(·郑州模拟)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则1a ＋4b的最小值为( )A.49B ．2C.94D ．9解析：选C 由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x ＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y －6)＋5＋7＋10＝0，解得y ＝4.由x ，G ，y 成等比数列，可得G 2＝xy ＝4，由正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列，可得G ＝2，a ＋b ＝2G ＝4，所以1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋b 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ＋4a b ＋4≥14×(5＋4)＝94(当且仅当b ＝2a 时取等号)．故1a ＋4b 的最小值为94，选C.5．正六边形ABCDEF 的边长为1，在正六边形内随机取点M ，则使△MAB 的面积大于34的概率为________．解析：如图所示，作出正六边形ABCDEF ，其中心为O ，过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，则OG 的长为中心O 到AB 边的距离．易知∠AOB ＝360°6＝60°，且OA ＝OB ，所以△AOB 是等边三角形，所以OA ＝OB ＝AB ＝1，OG ＝OA ·sin 60°＝1×32＝32， 即对角线CF 上的点到AB 的距离都为32. 设△MAB 中AB 边上的高为h ， 则由S △MAB ＝12×1×h >34，解得h >32.所以要使△MAB 的面积大于34，只需满足h >32，即需使M 位于CF 的上方． 故由几何概型得，△MAB 的面积大于34的概率P ＝S 梯形CDEF S 正六边形ABCDEF ＝12. 答案：126．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n ＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n 为________．解析：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意可知，系统抽样的抽样距为36n ，分层抽样的抽样比是n36，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×n36＝n6，篮球运动员人数为12×n36＝n3，足球运动员人数为18×n36＝n2，可知n应是6的倍数，36的约数，故n＝6,12,18.当样本容量为n＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为35n＋1，因为35n＋1必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n为6. 答案：6。

【高考数学二轮限时练】小题考法——统计、统计案例与概率1．已知以原点O 为圆心，1为半径的圆以及函数y ＝x 3的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，该小米落入阴影部分的概率为( )A ．12B ．14C ．16D ．182．为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为0001,0002，…，2000的2 000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003，则最后一个样本编号是( )A ．0047B ．1663C ．1960D ．19633．一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为( )A ．－11B ．3C ．9D ．174．在某次高中数学竞赛中，随机抽取90名考生，其分数如图所示，若所得分数的平均数，众数，中位数分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a5．在区间[－2,3]上随机取一个数x ，则满足|x －1|≤1的概率是( ) A ．15 B ．25 C ．35D ．456．下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据，用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程y ^＝0.7x ＋a ^，则a ^＝( )A ．0.25 C ．0.45D ．0.557．△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，AB →·AC →＝12，在线段AC 上任取一点P ，则△PAB 的面积小于43的概率是( )A ．12B ．13C ．23D ．358．从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是( )A ．23B ．12C ．25D ．139．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是( )A ．512B ．12C ．23D ．71510．把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币平放在一个边长为8的正方形托盘上，则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率为( )A ．18B ．π4C ．916D ．151611．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是____．12．在区间[0,1]上随机选取两个数x 和y ，则满足2x －y ＜0的概率为____． 13．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为____．14．如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为____.15．设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为____．16．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着一枚完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为________．答案及解析小题考法——统计、统计案例与概率1．解析：选B 由图形的对称性知，所求概率为14. 故选B ．2．解析：选D 2000÷50＝40，故最后一个样本编号为3＋49×40＝1963, 故选D ． 3．解析：选C 设没记清的数为x ，若x ≤2，则这列数为x,2,2,2,4,5,10，平均数为25＋x7，中位数为2，众数为2，所以2×2＝25＋x7＋2，得x ＝－11；若2<x ≤4，则这列数为2,2,2，x,4,5,10，则平均数为25＋x 7，中位数为x ，众数为2，所以2x ＝25＋x7＋2，得x ＝3；若x ≥5，则这列数为 2,2,2,4,5，x,10或2,2,2,4,5,10，x ，则平均数为25＋x7，中位数为4，众数为2，所以2×4＝25＋x7＋2，得x ＝17，所以－11＋3＋17＝9．4．解析：选D 经计算得平均值a ＝5923， 众数为b ＝50，中位数为c ＝50＋602＝55，故b＜c ＜a ，选D ．5．解析：选B |x －1|≤1,0≤x ≤2，根据几何概型的知识可知概率为25，故选B ．6．解析：选B 由题设有x －＝4.5，y －＝3.5故3.5＝0.7×4.5＋a ^，解得a ^＝0.35，选B ． 7．解析：选C 由AB ＝4，AC ＝6，AB →·AC →＝12得：24cos A ＝12， ∴cos A ＝12.∴sin A ＝32.设AP ＝x ，则S △ABP ＝12×4x ·sin A ＝3x ＜4 3.∴x ＜4．∴使△PAB 的面积小于43的概率为46＝23.故选C ．8．解析：选C 记3个红球分别为a ，b ，c,3个黑球分别为x ，y ，z ，则随机取出两个小球共有15种可能：ab ，ac ，ax ，ay ，az ，bc ，bx ，by ，bz ，cx ，cy ，cz ，xy ，xz ，yz ，其中两个小球同色共有6种可能，ab ，ac ，bc ，xy ，xz ，yz ，根据古典概型概率公式可得所求概率为615＝25，故选C ．9．解析：选A 由题意得，连抛掷两次骰子分别得到点数m ，n 所组成的向量(m ，n )的个数为36，由于向量(m ，n )与向量(1，－1)的夹角θ为锐角， 所以(m ，n )·(1，－1)>0， 即m >n ，满足题意的情况如下： 当m ＝2时，n ＝1； 当m ＝3时，n ＝1,2； 当m ＝4时，n ＝1,2,3； 当m ＝5时，n ＝1,2,3,4；当m ＝6时，n ＝1,2,3,4,5，共15种， 故所求事件的概率为1536＝512．10．解析：选C 如图，要使硬币完全落在托盘上，则硬币圆心在托盘内以6为边长的正方形内，硬币在托盘上且没有掉下去，则硬币圆心在托盘内，由几何概型概率公式可得，硬币完全落在托盘上的概率为P ＝6×68×8＝916，故选C ．11．解析：乙不输的概率为12＋13＝56．答案：5612．解析：概率为几何概型，如图，满足2x －y ＜0的概率为S △OAB S 正方形＝12×12×112＝14．答案：1413．解析：根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50．答案：5014．解析：x －甲＝15(87＋89＋90＋91＋93)＝90，x －乙＝15(88＋89＋90＋91＋92)＝90，所以s 2甲＝15[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4，s 2乙＝15[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝2，所以成绩较稳定的是乙运动员，成绩的方差为2．答案：215．解析：设样本数据的平均数为x －，则y i ＝2x i －1的平均数为2x －－1，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为12 017[(2x 1－1－2x －＋1)2＋(2x 2－1－2x －＋1)2＋…＋(2x 2 017－1－2x －＋1)2]＝4×12 017[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 2 017－x －)2]＝4×4＝16． 答案：1616．解析：四个人按顺序围成一桌，同时抛出自己的硬币抛出的硬币正面记为0，反面记为1，则总的基本事件为(0,0,0,0)，(0,0,0,1)，(0,0,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,0,0)，(0,1,0,1)，(0,1,1,0)，(0,1,1,1)，(1,0,0,0)，(1,0,0,1)，(1,0,1,0)，(1,0,1,1)，(1,1,0,0)(1,1,0,1)，(1,1,1,0)，(1,1,1,1)，共有16种情况．若四个人同时坐着，有1种情况；若三个人坐着，一个人站着，有4种情况；若两个人坐着，两个人站着，此时没有相邻的两个人站起来有3种情况．所以没有相邻的两个人站起来的情况共有1＋4＋3＝8种，故所求概率为12．答案：12。

高考数学《概率统计》复习知识结构1.注意：互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件。

2.（1）试验的所有可能结果为有限个，每次试验只出现其中的一个结果；（2）每一个试验结果出现的可能性相等。

（3）古典概型的概率公式：P(A)＝事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝mn.3.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（或面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。

几何概型的概率公式：设某一事件（也是S中的某一区域），S包含A，它的量度大小（长度、面积或体积）为()Aμ，考虑到均匀分布性，事件A发生的概率() ()()A P ASμμ=.4.统计学中的几个基本概念：（1）样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。

（2）平均数计算公式：一般地，如果有n 个数n x x x ,,,21⋅⋅⋅，则n21n x x x x +⋅⋅⋅++=. （3）加权平均数：如果n 个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里n f f f k =+⋅⋅⋅++21），那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为n2211n n f x f x f x x +⋅⋅⋅++=，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21⋅⋅⋅叫做权。

（4）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

（5）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

（6）方差：在一组数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“s 2”表示。

方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。

（7）方差计算公式：])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=. 简化计算公式，有：])[(122222212x n x x x ns n -+⋅⋅⋅++= 也可写成22222212])[(1x x x x n s n -+⋅⋅⋅++=. 此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。

课时跟踪检测十三概率一、选择题1．2021·沈阳市监测将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，那么“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学〞的概率是A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选B A，B，C，D 4名同学排成一排有A错误!＝24种排法．当A，C之间是B时，有2×2＝4种排法，当A，C之间是D时，有2种排法，所以所求概率为错误!＝错误!，应选B．2．2021·商丘模拟是BC边的中点，因为错误!错误!错误!的中点，所以黄豆落在△PBC内的概率P＝错误!＝错误!，应选C．3．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．假设抽到各球的时机均等，事件A表示“三次抽到的号码之和为6〞，事件B表示“三次抽到的号码都是2〞，那么PB|A＝A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选A因为P A＝错误!＝错误!，P AB＝错误!＝错误!，所以PB|A＝错误!＝错误!4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为错误!和错误!，两个零件是否加工为一等品相互独立，那么这两个零件中恰有一个一等品的概率为A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选B设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品．那么P A＝错误!，PB＝错误!，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P A错误!＋P错误!B＝P AP错误!＋P错误!PB＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!5．假设同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，那么在3次试验中至少有1次成功的概率是A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选C一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－错误!×错误!＝1－错误!＝错误!，设X为3次试验中成功的次数，所以X～B错误!，故所求概率PX≥1＝1－PX＝0＝1－C错误!×错误!0×错误!3＝错误!，应选C．6．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，假设比赛为“三局两胜〞制，甲在每局比赛中获胜的概率均为错误!，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选B甲获得冠军的概率为错误!×错误!＋C错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!甲获得冠军且比赛进行了三局的概率为C错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!，所以在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率P＝错误!＝错误!7．2021·东北三省三校一模从标有1,2,3,4,5的五张卡片中，依次抽出2张，那么在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选B由题意，记“第一次抽到奇数〞为事件A，“第二次抽到偶数〞为事件B，那么P A＝错误!＝错误!，P AB＝错误!×错误!＝错误!，所以P A|B＝错误!＝错误!应选B．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上〞的概率为P，P≥错误!，那么n的最小值为A．4 B．5C．6 D．7解析：选A将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上〞的概率为P，P≥错误!，∴P＝1－错误!n≥错误!，∴错误!n≤错误!，即n≥4，∴n的最小值为49．2021·广东珠海一模夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为，假设该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，那么其能成功溯流产卵繁殖的概率为A．B．5C．错误!D．错误!解析：选C设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P A＝，P AB＝，∴PB|A＝错误!＝错误!＝错误!应选C．10．2021·广东汕头模拟甲、乙两人参加“社会主义价值观〞知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为错误!和错误!，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，那么这两个人中至少有一人获得一等奖的概率为A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选D根据题意，至少有一人获得一等奖的对应事件就是两人都没有获得一等奖，那么所求概率是1－错误!错误!＝错误!11．2021·福建厦门二模袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，那么3次中恰有2次抽到黄球的概率是A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选D袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝错误!，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P＝C错误!错误!21－错误!＝错误!12．2021·河北“五个一名校联盟〞二模某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，开关第一次闭合后出现红灯的概率为错误!，两次闭合后都出现红灯的概率为错误!，那么在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选C设“开关第一次闭合后出现红灯〞为事件A，“第二次闭合后出现红灯〞为事件B，那么由题意可得P A＝错误!，P AB＝错误!，那么在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是PB|A＝错误!＝错误!＝错误!应选C．二、填空题13．某知识竞赛规那么如下：在主办方预设的5个问题中，选手假设能连续正确答复出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确答复每个问题的概率都是，且每个问题的答复结果相互独立．那么该选手恰好答复了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析：依题意，该选手第2个问题答复错误，第3、第4个问题均答复正确，第1个问题答复正误均有可能．由相互独立事件概率计算公式得，所求概率P＝1××＝答案：14．2021·山东枣庄第八中学东校区高二月考如下图的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是错误!，且是相互独立的，那么灯泡甲亮的概率为________．解析：灯泡甲亮满足的条件是a，c两个开关都闭合，b开关必须断开，否那么短路．记“a闭合〞为事件A，“b闭合〞为事件B，“c闭合〞为事件C，那么灯泡甲亮应为事件A错误!C，且A，B，C之间相互独立，P A＝PB＝PC＝错误!由独立事件概率公式知P A错误!C＝P AP错误!PC＝错误!×错误!×错误!＝错误!答案：错误!15．2021·江西南昌模拟口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，第一次取得红球，那么第二次取得白球的概率为________．解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A表示“第一次取得红球〞，事件B表示“第二次取得白球〞，那么P A＝错误!＝错误!，P AB＝错误!×错误!＝错误!，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为PB|A＝错误!＝错误!＝错误!答案：错误!16．2021·吉林省吉林市第三次调研某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩单位：分X服从正态分布N110，102，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记“该同学的成绩90<ξ≤110〞为事件A，记“该同学的成绩80<ξ≤100〞为事件B，那么在A事件发生的条件下B事件发生的概率PB|A≈________结果用小数表示，精确到附：X服从正态分布，那么Pμ－σ<X≤μ＋σ＝7；Pμ－2σ<X≤μ＋2σ＝5；Pμ－3σ<X≤μ＋3σ＝3解析：由题意得，P A＝25，P AB＝错误!× 5－7＝9∴PB|A＝错误!＝错误!≈答案：。