1、勾股练习

2022-2023学年度北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元综合练习题（附答案）一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝8，AC＝3，两顶点A，B在y轴、x轴上滑动，点C在第一象限内，连接OC，则OC的最大值为（）A．7B．8C．9D．2．已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m和n（m＜n），过此三角形锐角的顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则有（）A．m2+2mn+n2＝0B．m2﹣2mn+n2＝0C．m2+2mn﹣n2＝0D．m2﹣2mn﹣n2＝03．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，则S2＝（）A．171B．79C．100D．814．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab＝6，则图中大正方形的边长为（）A．5B．C．4D．35．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90B．100C．110D．1216．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（）A．三个内角度数之比是3：4：5B．三边长的平方比为5：12：13C．三边长度是1：：D．三个内角度数比为2：3：47．分别以下列各组数为一个三角形的三边长：①6，8，10；②13，5，12；③2，2，3；④7，24，25；其中能构成直角三角形的有（）组．A．2B．3C．4D．58．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（）A．x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2B．2x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2C．x2＝42+（x﹣2）2D．x2＝（x﹣4）2+229．如图，是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（）A．80米B．90米C．100米D．110米10．有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8m B．10m C．12m D．14m二．填空题11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为．12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC是网格上的格点三角形，则它的边AC上的高等于．13．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为．14．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么a+b的值为．15．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．16．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三边长是．17．如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB上的高CD＝．18．观察下面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．19．一根长16cm牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中．牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是20．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，扩充后等腰三角形绿地的周长．21．放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为．22．如图所示，一个梯子AB长5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C间的距离为3m梯子滑动后停在DE位置上，如图，测得DB的长为1m，则梯子顶端A下落了m．三．解答题23．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：（1）在图中画一条线段MN，使MN＝；（2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF．24．在△ABC中，点D是直线BC上的一点，已知AB＝15，AD＝12，AC＝13，BD＝9．求BC的长．25．如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．26．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数．27．若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．28．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．29．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．参考答案一．选择题1．解：取AB中点P，连接OP、CP，则OP＝AP＝AB＝4，由勾股定理得，CP＝5，利用三角形两边之和大于第三边可知：OC≤OP+PC＝9，OC的长的最大值为9，故选：C．2．解：如图，m2+m2＝（n﹣m）2，2m2＝n2﹣2mn+m2，m2+2mn﹣n2＝0．故选：C．3．解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，因此S2＝125﹣46＝79，故选：B．4．解：∵ab＝6，∴直角三角形的面积是ab＝3，∵小正方形的面积是1，∴大正方形的面积＝1+4×3＝13，∴大正方形的边长为，故选：B．5．解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，易得△CAB≌△BOF≌△FLG，∴AB＝OF＝3，AC＝OB＝FL＝4，∴OA＝OL＝3+4＝7，∵∠CAB＝∠BOF＝∠L＝90°，所以四边形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，所以KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，因此矩形KLMJ的面积为10×11＝110．故选：C．8．解：当三个内角度数之比是3：4：5时，最大的角的度数是：180°×＝75°＜90°，故选项A不符合题意；当三边长的平方比为5：12：13时，因为（）2+（）2≠（）2，故该三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意；当三边长度是1：：时，12+（）2＝（）2，故该三角形不是直角三角形，故选项C符合题意；三个内角度数比为2：3：4时，最大的角的度数是：180°×＝80°＜90°，故选项D不符合题意；7．解：①62+82＝100＝102，符合勾股定理的逆定理；②52+122＝132，符合勾股定理的逆定理；③22+22≠32，不符合勾股定理的逆定理；④72+242＝252，符合勾股定理的逆定理．故选：B．8．解：根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，故选：A．9．解：因为两点之间线段最短，所以AC为从A到B的最短距离，根据矩形的对边相等，得，BC＝AD＝80米，再根据勾股定理，得，AC＝100米．故选：C．10．解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，在Rt△AEC中，AC＝10m．故选：B．二．填空题11．解：连接AC，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，∴甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，∵甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，∴丁的面积为30+16﹣17＝29．故答案为：29．12．解：S△ABC＝4×5﹣﹣＝，根据勾股定理得：AC＝5，设△ABC边AC边上的高为h，则，解得h＝，故答案为．13．解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，故斜边长＝10，故答案为10．14．解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，四个直角三角形的面积是：ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12，则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，则a+b＝5．故答案为：5．15．解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．16．解：当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长＝4，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长＝，三角形的边长分别为3，5，亦能构成三角形；综合以上两种情况，第三边的长应为4或．17．解：∵△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AB2＝AC2+BC2，即52＝32+42，∴△ABC是直角三角形，∵CD⊥AB，∴AC•BC＝AB•CD，即3×4＝5×CD，解得CD＝．故答案为：．18．解：通过观察得：第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5；第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13；第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25；第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41；所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61．故答案为：11，60，61．19．解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大＝16﹣12＝4cm．当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝13cm，故h＝16﹣13＝3cm．故h的取值范围是3≤h≤4．故答案是：3≤h≤4．20．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理有：AB＝10，应分以下三种情况：①如图1，当AB＝AD＝10时，∵AC⊥BD，∴CD＝CB＝6m，∴△ABD的周长＝10+10+2×6＝32m．②如图2，当AB＝BD＝10时，∵BC＝6m，∴CD＝10﹣6＝4m，∴AD＝＝＝4m，∴△ABD的周长＝10+10+4＝（20+4）m．③如图3，当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x﹣6，由勾股定理得：AD＝＝x解得，x＝，∴△ABD的周长为：AD+BD+AB＝m．④如图4中，倍长AC后，因为AC＝8，所以扩充部分就是以8m为直角边的直角三角形，此时△ABD的周长为36m，故答案为：32m或（20+4）m或m或36m．21．解：所示题意如下图：OA＝40×20＝800m，OB＝40×15＝600m．在直角△OAB中，AB＝＝1000米．故答案为：1000米．22．解：在Rt△ABC中，AB＝5m，BC＝3m，根据勾股定理得AC＝＝4米，Rt△CDE中，ED＝AB＝5m，CD＝BC+DB＝3+1＝4米，根据勾股定理得CE＝＝3，所以AE＝AC﹣CE＝1米，即梯子顶端下滑了1m．三．解答题23．解：如图所示：24．解：∵AB＝15，AD＝12，BD＝9，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，在Rt△ADC中，DC＝＝5，则BC＝BD+DC＝14．当C′在线段BD上时，BC′＝9﹣5＝4，综上所述，BC的长为14或4．25．解：（1）如图所示，连接BE，∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又∵AE2﹣CE2＝BC2，∴BE2﹣CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；（2）Rt△BDE中，BE＝＝＝10，∴AE＝10，设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝162﹣（10+x）2，Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝102﹣x2，∴162﹣（10+x）2＝102﹣x2，解得x＝2.8，∴CE＝2.8．26．解：∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°，∴由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18，∵CD＝，DA＝5，∴CD2+AC2＝DA2，∴∠ACD＝90°，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+90°＝135°．27．解：（1）第一组（a是奇数）：9，40，41（答案不唯一）；第二组（a是偶数）：12，35，37（答案不唯一）；（2）当a为奇数时，，；当a为偶数时，，；证明：当a为奇数时，a2+b2＝，∴（a，b，c）是“勾股数”．当a为偶数时，a2+b2＝∴（a，b，c）是“勾股数”．28．解：（1）11，60，61；（2）后两个数表示为和，∵，，∴．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：11，60，61．29．解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2∴x2+52＝（x+1）2解得x＝12∴AB＝12∴旗杆的高12m．。

勾股定理基础题考点一：勾股定理1） 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c,那么一定有222c b a =+勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

题型一：直接考查勾股定理 例１. 在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长题型二：利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1。

5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0。

5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.题型三：利用勾股定理求线段长度——例题：如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm ，在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.题型四：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

（2）已知Rt △ABC 中,∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ) A 、242c mB 、36 2c mC 、482c mD 、602c m考点二:勾股定理的逆定理题型一：勾股数的应用(1）下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是（ ）A. 4，5，6 B 。

2，3，4 C 。

11，12,13 D 。

8，15，17（2）若线段a,b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ) A 、2∶3∶4 B 、3∶4∶6 C 、5∶12∶13 D 、4∶6∶7题型二：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 (1)下面的三角形中：①△ABC 中，∠C=∠A －∠B ；②△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1：2:3； ③△ABC 中，a ：b ：c=3：4：5;④△ABC 中，三边长分别为8，15,17． 其中是直角三角形的个数有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是（ )A ． 钝角三角形B 。

勾股定理练习题及答案问题一：已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

解答一：根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

设斜边的长度为c，则有：c^2 = 3^2 + 4^2c^2 = 9 + 16c^2 = 25取平方根得到c = 5cm。

所以，斜边的长度为5cm。

问题二：已知直角三角形的斜边长度为10cm，一条直角边的长度为6cm，求另一条直角边的长度。

解答二：设另一条直角边的长度为a。

根据勾股定理，可得：a^2 + 6^2 = 10^2a^2 + 36 = 100a^2 = 100 - 36a^2 = 64取平方根得到a = 8cm。

所以，另一条直角边的长度为8cm。

问题三：已知直角三角形的一条直角边的长度为5cm，另一条直角边的长度为12cm，求斜边的长度。

解答三：设斜边的长度为c。

根据勾股定理，可得：c^2 = 5^2 + 12^2c^2 = 25 + 144c^2 = 169取平方根得到c = 13cm。

所以，斜边的长度为13cm。

问题四：已知直角三角形的斜边长度为15cm，一条直角边的长度为9cm，求另一条直角边的长度。

解答四：设另一条直角边的长度为a。

根据勾股定理，可得：a^2 + 9^2 = 15^2a^2 + 81 = 225a^2 = 225 - 81a^2 = 144取平方根得到a = 12cm。

所以，另一条直角边的长度为12cm。

问题五：已知直角三角形的一条直角边的长度为7cm，另一条直角边的长度为24cm，求斜边的长度。

解答五：设斜边的长度为c。

根据勾股定理，可得：c^2 = 7^2 + 24^2c^2 = 49 + 576c^2 = 625取平方根得到c = 25cm。

所以，斜边的长度为25cm。

以上是五道勾股定理练习题及答案的解答过程。

通过这些练习题，我们可以加深对勾股定理的理解，熟练掌握如何在已知条件下求解三角形的边长。

勾股定理在几何学和实际应用中都有广泛的应用，是数学中的重要概念之一。

勾股定理难题50道1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对3．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留)π4．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表：若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出Sl= （用含m 的代数式表示） 6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ． （2）错误的原因是 ． （3）本题正确的结论是 ．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积AE=；则正方形EFGH的面积=．16=，19．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树米才是安全的．10．如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为2cm．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC∆中BC边上的高是．∆，则ABC13．如图，在ABC∠=︒，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分∆中，90ABC别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = ．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是 ．15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 米．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 ．17．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上， 点D ，E 在边PR 上， 点G ，F 在边PQ 上， 那么PQR ∆的周长等于 ．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD = ．19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是cm ．（结果保留根号）20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =，6DE =，则EB = ．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为m．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为尺．23．如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为m．24．如图，Rt ABC∆的斜边AC为一直角边，另一直角∆的两直角边分别为1，2，以Rt ABC边为1画第二个ACD∆；在以ACD∆的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个∆；⋯，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是．ADE25．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5610cm，在上盖中⨯⨯（单位：)开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：2 1.4≈．≈，3 1.7≈，5 2.2)26．如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是cm （结果用带根号和π的式子表示）．评卷人得分三．解答题（共24小题）27．已知ABC∆中，AB AC=．（1）如图1，在ADE∆中，若AD AE=，且DAE BAC∠=∠，求证：CD BE=；（2）如图2，在ADE∆中，若60DAE BAC∠=∠=︒，且CD垂直平分AE，3AD=，4CD=，求BD的长；（3）如图3，在ADE∆中，当BD垂直平分AE于H，且2BAC ADB∠=∠时，试探究2CD，2BD，2AH之间的数量关系，并证明．28．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是11(91),(91)22-+；勾是五时，股和弦的算式分别是11(251),(251)22-+．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，请用含(n n为奇数，且3)n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m为偶数，且4)m>的代数式来表示股和弦．29．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC 中，AB AC =，其一腰上的高为h ，M 是底边BC 上的任意一点，M 到腰AB 、AC 的距离分别为1h 、2h ．（1）请你结合图形来证明：12h h h +=；（2）当点M 在BC 延长线上时，1h 、2h 、h 之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线13:34l y x =+，2:33l y x =-+，若2l 上的一点M 到1l 的距离是32．求点M 的坐标．30．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线，动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边CDE ∆，连接BE ． （1）填空：ACB ∠= 度；（2）当点D 在线段AM 上（点D 不运动到点)A 时，试求出ADBE的值； （3）若8AB =，以点C 为圆心，以5为半径作C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点，在点D 运动的过程中（点D 与点A 重合除外），试求PQ 的长．31．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题， 请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长 ． （1） 如图 1 ，正方体的棱长为5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点1C 处；（2） 如图 2 ，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为6cm ，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到1C 处；（3） 如图 3 ，圆锥的母线长为4cm ，圆锥的侧面展开图如图 4 所示， 且1120AOA ∠=︒，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发， 沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．32．在学习勾股定理时，我们学会运用图()I 验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：2()a b +，也可表示为：214()2c ab +，即221()4()2a b c ab +=+由此推出勾股定理222a b c +=，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图()(2002II 年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用()III 提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证222()2x y x xy y +=++； （3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++．33．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱1BB 的中点E ，再连接AE 、1EC ．虫乙如果沿路径1A E C --爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）34．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，设c 为最长边，当222a b c +=时，ABC ∆是直角三角形；当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，探究ABC ∆的形状（按角分类）．（1）当ABC ∆三边分别为6、8、9时，ABC ∆为 三角形；当ABC ∆三边分别为6、8、11时，ABC ∆为 三角形．（2）猜想，当22a b + 2c 时，ABC ∆为锐角三角形；当22a b + 2c 时，ABC ∆为钝角三角形．（3）判断当2a =，4b =时，ABC ∆的形状，并求出对应的c 的取值范围． 35．一、阅读理解：在ABC ∆中，BC a =，CA b =，AB c =； （1）若C ∠为直角，则222a b c +=；（2）若C ∠为锐角，则22a b +与2c 的关系为：222a b c +> 证明：如图过A 作AD BC ⊥于D ，则BD BC CD a CD =-=- 在ABD ∆中：222AD AB BD =- 在ACD ∆中：222AD AC CD =- 2222AB BD AC CD -=-2222()c a CD b CD --=- 2222a b c a CD ∴+-= 0a >，0CD >2220a b c ∴+->，所以：222a b c +>（3）若C ∠为钝角，试推导22a b +与2c 的关系．二、探究问题：在ABC ∆中，3BC a ==，4CA b ==，AB c =；若ABC ∆是钝角三角形，求第三边c 的取值范围．36．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且满足422422a b c b a c +=+，试判断ABC ∆的形状．阅读下面解题过程：解：由422422a b c b a c +=+得： 442222a b a c b c -=-①2222222()()()a b a b c a b +-=-② 即222a b c +=③ABC ∴∆为Rt △． ④试问：以上解题过程是否正确：若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） 错误原因是 本题的结论应为 ．37．如图a ，90EBF ∠=︒，请按下列要求准确画图：1：在射线BE 、BF 上分别取点A 、C ，使2BC AB BC <<，连接AC 得直角ABC ∆； 2：在AB 边上取一点M ，使AM BC =，在射线CB 边上取一点N ，使CN BM =，直线AN 、CM 相交于点P ．（1）请用量角器度量APM ∠的度数为 ；（精确到1)︒ （2）请用说理的方法求出APM ∠的度数；（3）若将①中的条件“2BC AB BC <<”改为“2AB BC >”，其他条件不变，你能自己在图b 中画出图形，求出APM ∠的度数吗？38．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边BC 和AB 上的点，ABD ∆与ACD ∆的周长相等，CAE ∆与CBE ∆的周长相等．设BC a =，AC b =，AB c =． （1）求AE 和BD 的长；（2）若90BAC ∠=︒，ABC ∆的面积为S ，求证：S AE BD =．39．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）40．ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =．若90C ∠=︒，如图1，根据勾股定理，则222a b c +=．若ABC ∆不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．41．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 ⋯ a221-231-241-251-⋯ b46 810 ⋯ c221+ 231+241+251+⋯（1）请你分别观察a ，b ，c 与n 之间的关系，并用含自然数(1)n n >的代数式表示：a = ，b = ，c = ；（2）猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．42．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算1(91)2-、1(91)2+与1(251)2-、1(251)2+，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，用(n n 为奇数且3)n 的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m 为偶数且4)m >的代数式来表示他们的股和弦．43．如图，梯子AB 斜靠在墙上，90ACB ∠=︒，5AB =米，4BC =米，当点B 下滑到点B '时，点A 向左平移到点A '．设BB x '=米(04)x <<，AA y '=米． （1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 为何值时，点B 下滑的距离与点A 向左平移的距离相等？（3）请你对x 再取几个值，计算出对应的y 值，并比较对应的y 值与x 值的大小(y 值可以用精确到0.01的近似数表示，也可用无理数表示）．（4）根据第（1）~（3）题的计算，还可以结合画图、观察，推测y 与x 的大小关系及对应的x 的取值范围．44．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量90A ∠=︒，3AB m =，12BC m =，13CD m =，4DA m =，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？45．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，在图①画出一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲静止不动，昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（3）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1)s 19 4.4≈21 4.6．46．在合肥市地铁一号线的修建过程中，原设计的地铁车站出入口高度较低，为适应地形，把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了，如图所示，已知原设计楼梯BD 长20米，在楼梯水平长度()BC 不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由30︒增大到45︒，那么新设计的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据：2 1.414≈，3 1.732)≈47．如图，小强在江南岸选定建筑物A ，并在江北岸的B 处观察，此时，视线与江岸BE 所成的夹角是30︒，小强沿江岸BE 向东走了500m ，到C 处，再观察A ，此时视线AC 与江岸所成的夹角60ACE ∠=︒．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程（结果可保留根号）；若不能，请说明理由．48．在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 、E 是直线AB 上两点．45DCE ∠=︒ （1）当CE AB ⊥时，点D 与点A 重合，显然222DE AD BE =+（不必证明）； （2）如图，当点D 不与点A 重合时，求证：222DE AD BE =+；（3）当点D 在BA 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．49．如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD AB ⊥，1AB =，2BC CD ==．求四边形ABCD 的周长和面积．50．定义： 三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形” ．数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒 （每 根长度记为 1 个单位） 中取出若干根， 首尾依次相接组成三角形， 进行探究活动 ． 小亮用 12 根火柴棒， 摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、 小颖的启发， 分别摆出三个不同的等腰“整数三角形” ． （1） 请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2） 你能否也从中取出若干根， 按下列要求摆出“整数三角形”， 如果能， 请画出示意图；如果不能， 请说明理由 ． ①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊 （既 非直角三角形， 也非等腰三角形） “整数三角形” ．勾股定理难题50道参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形【解答】解：依题意可知，1133BP BF DH==，2233CQ CG DH==，又////PB CQ DH，APB AQC AHD∴∆∆∆∽∽，A∴、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图）故选：B．2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对【解答】解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得15BD=；在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得6CD=．当AD在三角形的内部时，15621BC=+=；当AD在三角形的外部时，1569BC=-=．则BC的长是21或9．故选：D ．二．填空题（共24小题）3．在底面直径为2cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 231π+ cm ．（结果保留)π【解答】解：如图所示，无弹性的丝带从A 至C ，绕了1.5圈，∴展开后 1.523AB cm ππ=⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：22229931AC AB BC cm ππ=+=+=+． 故答案为：231π+．4．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 10 cm ．【解答】解：将长方体展开，连接A 、B '，13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=，根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=． 故答案为：10．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表： 三边a 、b 、ca b c +- l S /S l345 2 12 6 1/26810 4 24 24 1 51213 4 30 30 1 81517 6 40 60 3/2121620848962⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出S l =4m（用含m 的代数式表示） 【解答】解：3452m a b c =+-=+-=时，1224S l ==； 6810512134m a b c =+-=+-=+-=时，414S l ==； 815176m a b c =+-=+-=时，3624S l ==； 1216208m a b c =+-=+-=时，824S l ==； ⋯∴我们可以猜想出4S ml =． 故答案为4m．6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为 7或25 秒．【解答】解：如图，作AD BC ⊥，交BC 于点D ， 8BC cm =，142BD CD BC cm ∴===， 223AD AB BD ∴=-=，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA AC ⊥时，22222AP PD AD PC AC =+=-，2222PD AD PC AC ∴+=-，22223(4)5 2.25PD PD PD ∴+=+-∴=， 4 2.25 1.750.25BP t ∴=-==， 7t ∴=秒，当点P 运动t 秒后有PA AB ⊥时，同理可证得 2.25PD =， 4 2.25 6.250.25BP t ∴=+==， 25t ∴=秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ③ ． （2）错误的原因是 ． （3）本题正确的结论是 ．【解答】解：2222222()()()c a b a b a b -=-+∴应有2222222()()()0c a b a b a b ---+=得到22222()[()]0a b c a b --+=，22()0a b ∴-=或222[()]0c a b -+=，即a b =或222a b c +=，∴根据等腰三角形得定义和勾股定理的逆定理，三角形为等腰三角形或直角三角形．故填③，不能确定22a b -是否为0，等腰三角形或直角三角形．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边DA 、AB 、BC 、CD 上．若正方形ABCD 的面积16=，1AE =；则正方形EFGH 的面积= 10 ．【解答】解：四边形EFGH 是正方形，EH FE ∴=，90FEH ∠=︒，90AEF AFE ∠+∠=︒，90AEF DEH ∠+∠=︒，AFE DEH ∴∠=∠，在AEF ∆和DHE ∆中， A D AFE DEH EF HE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AEF DHE ∴∆≅∆， AF DE ∴=，正方形ABCD 的面积为16， 4AB BC CD DE ∴====， 413AF DE AD AE ∴==-=-=，在Rt AEF ∆中，2210EF AE AF + 故正方形EFGH 的面积101010=．故答案为：10．9．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树 4 米才是安全的． 【解答】解：如图，BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m ，则413BC m =-=，945AB m =-=，在Rt ABC ∆中，2222534AC AB BC =-=-=米． 即小孩至少离开这棵树4米才是安全的． 故答案为：4．10．如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm ．如果从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，那么所用细线最短需要73 cm ．【解答】解：如图所示，从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，∴展开后188AC cm cm =⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：2273AB AC BC cm =+．故答案为：73．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm ，则A 、B 、C 、D 四个小正方形的面积之和为 144 2cm ．【解答】解：如右图所示， 根据勾股定理可知，231S S S +=正方形正方形正方形， 2C D S S S +=正方形正方形正方形， 3A B S S S +=正方形正方形正方形，2112144C D A B S S S S S ∴+++===正方形正方形正方形正方形正方形．故答案是144．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC ∆，则ABC ∆中BC 边上的高是322．【解答】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B 、C 为EF 、FD 的中点，ABC AEB BFC CDA AEFD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形 11122121112222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，32=． 22112BC =+=．ABC ∴∆中BC 边上的高是3322222⨯÷=． 故答案为：322．13．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = 2 ．【解答】解：ABC ∆中，90ABC ∠=︒， 222AB BC AC ∴+=， 222BC AC AB ∴=-，21BC S =、224AB S ==，236AC S ==， 132642S S S ∴=-=-=．故答案为：2．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是103．【解答】解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=， ∴得出18S y x =+，24S y x =+，3S x =，12331210S S S x y ∴++=+=，故31210x y +=，1043x y +=， 所以21043S x y =+=， 故答案为：103． 15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 5 米．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长 圆柱高4米，底面周长1米222(13)491625x =⨯+=+= 所以，花圈长至少是5m ．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 4或25或10 ．【解答】解：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ，90DAC ∠=︒，且AD AC =，224BD BA AD ∴=+=+=；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ，连接BD ，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于E ． ABC ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=︒， 45DCE ∴∠=︒，又DE CE ⊥，90DEC ∴∠=︒， 45CDE ∴∠=︒，222CE DE ∴=== 在Rt BAC ∆中，222222BC +=，2222(222)(2)25BD BE DE ∴=+=++=； ③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ，90ADC ∠=︒，AD DC =，且2AC =，2sin 45222AD DC AC ∴==︒=⨯=， 又ABC ∆、ADC ∆是等腰直角三角形， 45ACB ACD ∴∠=∠=︒， 90BCD ∴∠=︒，又在Rt ABC ∆中，222222BC =+=，2222(22)(2)10BD BC CD ∴=+=+=． 故BD 的长等于4或25或10．17．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上， 点D ，E 在边PR 上， 点G ，F 在边PQ 上， 那么PQR ∆的周长等于27133+ ．【解答】解： 延长BA 交QR 于点M ，连接AR ，AP ．AC GC =，BC FC =，ACB GCF ∠=∠， ABC GFC ∴∆≅∆，30CGF BAC ∴∠=∠=︒，60HGQ ∴∠=︒，90HAC BAD ∠=∠=︒， 180BAC DAH ∴∠+∠=︒， 又//AD QR ，180RHA DAH ∴∠+∠=︒， 30RHA BAC ∴∠=∠=︒，60QHG ∴∠=︒，60Q QHG QGH ∴∠=∠=∠=︒， QHG ∴∆是等边三角形 ．3cos304232AC AB =︒=⨯=． 则23QH HA HG AC ====．在直角HMA ∆中，3sin 602332HM AH =︒=⨯=．cos 603AM HA =︒=． 在直角AMR ∆中，4MR AD AB ===．2334723QR ∴=++=+． 21443QP QR ∴==+． 3736PR QR==+．PQR ∴∆的周长等于27133RP QP QR ++=+．故答案为：27133+．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD =75．【解答】解：设AC x =，CD y =，由勾股定理得： 2222(5)6425x y x y ⎧++=⎨+=⎩， 消去x ，得：22(5)39y y +-=， 整理，得： 1014y =，即75y =， 故CD 的长为75． 19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 42cm ．（结果保留根号）【解答】解：将圆柱体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，224442AB cm =+=．20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =6DE =，则EB =334 ．【解答】解：在Rt ABC ∆中，42AB =，45A ∠=︒，24242BC ∴=⨯= 在Rt EDC ∆中，60EDC ∠=︒，6DE =，3sin 6332CE DE EDC ∴=∠=⨯= 334BE CE BC ∴=-=-．故填空答案：334-．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 20489+或40165+或4085+ m ．【解答】解：（1）当20是等腰三角形的底边时，根据面积求得底边上的高AD 是16，再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的中线，即底边的一半10BD =， 根据勾股定理即可求得其腰长22100256289AB AD BD =++，此时三角形的周长是20489+；（2）当20是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况． 根据面积求得腰上的高是16；①当高在三角形的外部时，在RT ADC ∆中，2212AD AC CD =-=，从而可得32BD =，进一步根据勾股定理求得其底边是22221632165BC CD BD =+=+=，此时三角形的周长是40165+；②当高在三角形的内部时，根据勾股定理求得2212AD AC CD =-=，8BD AB AD =-=， 在RT CDB ∆中，22BC CD BD =+2216885+=，此时三角形的周长是4085+； 故本题答案为：20489+或40165+或4085+．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun 一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为 10.1 尺．【解答】解：设单门的宽度是x 米，根据勾股定理，得221(0.1)x x =+-， 5.05x =，则210.1x =尺．23．如图是一个长8m 、宽6m 、高5m 的仓库，在其内壁的点A （长的四等分点）处有一只壁虎、点B （宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 85 ．。

北师大版数学八年级上册第一章勾股定理练习题一、选择题1.三个正方形的面积如图所示，则面积为A的正方形的边长为()A. 164B. 36C. 8D. 62.在Rt△ABC中，斜边AB=3，则AB2+AC2+BC2=()A. 9B. 18C. 10D. 243.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是()A. B. C. D.4.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．设直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，且a：b=4：3，则大正方形面积与小正方形面积之比为()A. 25：9B. 25：1C. 4：3D. 16：95.下列各数是勾股数的是()A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，66.如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为()第1页，共15页第2A. 96 m 2B. 204 m 2C. 196 m 2D. 304 m 27. 已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM =MN =2，NB =1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形8. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A. 3，4，5B. 5，12，13C. 12，16，20D. 412，712，812 9. 下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是( )A. 3，4，5B. 6，8，9C. 1，2，3D. 5，12，1410. 适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为( )(1)a =b ，∠A =45°(2)∠A =32°，∠B =58°(3)a =5，b =12，c =13A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 如图，一个梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，测得AO =2 m.若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB 为( )A. 2.5 mB. 3 mC. 1.5 mD. 3.5 m12. 一个带盖的长方形盒子的长，宽，高分别是8cm ，8cm ，12cm ，已知蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的B 点，则蚂蚁要爬行的最短行程是( )A. 28cmB. 4√29C. 4√17D. 20cm13.如图，在高为3米，，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度为()A. 4米B. 5米C. 6米D. 7米二、填空题14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=13，BC=5，点D是斜边AB上的动点，则CD的最大值为，最小值为．15.如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则(a+b)2的值为______．16.若正整数a，n满足a2+n2=(n+1)2，这样的三个整数a，n，n+1(如：3，4，5或5，12，13)我们称它们为一组“完美勾股数”.当n<150时，共有______ 组这样的“完美勾股数”．17.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=13，DA=12，则四边形ABCD的面积等于______．18.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点)．19.如图，圆柱的底面直径BC=12cm，高AB=8cm，按如图所π示的方式缠绕细线，缠绕一周(不记接头)至少需要cm长的细线．第3页，共15页。

第一章《勾股定理》专题复习(含答案)第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为______mm．（2）如图2，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）Ａ．4Ｂ．6 Ｄ．55图2图1 Ｃ．16分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得：AB2=902+1202=22500，所以AB=150（mm）（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求∠A1E2A2 ∠A4E2C4 ∠A4E5C4的度数．A5A4E5A 54A4E54A3A2A1AB11D1E1 12EA2A3E2B11D1E1解：连结图3A3E2． A3A2 A1A2，A2E2 A2E2， A3A2E2 A1A2E2 90， Rt△A3A2E2≌Rt△A1A2E2（SAS） AEA AEA． 322122．由勾股定理，得：C4E5C3E2，A4E5 A3E2，A4C4 A3C3 2，△A4C4E5≌△A3C3E2（SSS） AEC AEC． 323454勾股定理 - 1 -。

1S 3S 2S 1C BACBA D E FE F D C B A C A B D 课题：勾股定理（一） 姓名：直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系： （2）若D 为斜边中点，则斜边中线（3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：勾股定理的内容是： 。

1、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为202、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为 。

3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。

4、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。

5、一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm,则第三边的为 。

6、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．7、以直角三角形的两条直角边为边向外作正方形，他们它们面积分别是6和3.则斜边长是 。

8、若直角三角形三边存在关系，则最长边是 。

9、在，∠C ＝90°AB=34,并且AC:BC=8:15,则AC= BC=10、直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为 ．11、已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，这时甲、乙俩人相距 ．12、一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为 ． 13、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7，8，则以斜边为边长的正方形的面积为____．14、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做_____？15、已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是_____ 16、如图所示，以的三边向外作正方形，其面积分别 为,且 ；17、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为18、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为19、如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出∠A=40°∠B ＝50°，AB ＝5公里，BC ＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AC 凿通？20、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,•则这条小路的面积是多少?21、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。

21B Aa bcmBA 211.4的值等于（ ）A 、4 B 、2 C 、2± D 、4±2.等腰三角形的底边长为12，底边上的中线长为8，它的腰长为（ ） A 、6 B 、8 C 、10 D 、233. 如图，已知直线a ∥b ，直线c 与a 、b 分别交于A 、B ；且∠1=120°， 则∠2=（ ）A 、60°B 、80°C 、120°D 、150° 4. 下列计算正确的是（ ） A 、3312=- B 32=6 C 3+2=5D 、428=÷5．在平面直角坐标系xOy 中，点P(-3，5)关于y 轴的对称点在第（ ）象限 A 、一 B 、二 C 、三 D 、四6．将△ABC 的三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘以－1，则所得图形 （ ） A 、与原图形关于x 轴对称 B 、与原图形关于y 轴对称C 、与原图形关于原点对称D 、向y 轴的负方向平移了一个单位7．二元一次方程组⎩⎨⎧==+1-22y x y x 的解是（ ）A 、⎩⎨⎧==20y xB 、⎩⎨⎧==11y xC 、⎩⎨⎧==1-1-y xD 、⎩⎨⎧==02y x8．一次函数b kx y +=的图象如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是( ) A 、x ＜0 B 、x ＞0 C 、x ＜2 D 、x ＞29.如果正比例函数y kx =的图象经过点（－2，1），那么k 的值等于 ． 10.已知实数x,y 满足0)3(22=-+-y x x ，则xy 的值为 ．11．如图，直线l ∥m ，将含有45°角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上，则∠1+∠2的度数为 ．12. 如图，一次函数11y k x b =+的图象1l 与22y k x b =+的图象2l 相交于点P ，则方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是 ．13．（1）计算 21)22()52)(52(2--++- （2）解方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-02221y x y x14．已知31,31x y =+=-，求代数式223y xy x +-的值．15．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+123a c c b b a 的解满足c b a k ++=，求关于x 的函数k kx y -=的解析式．16.如图，直线32+=x y 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B. ⑴ 求A 、B 两点的坐标；⑵ 过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，且使AP=2OA ， 求ΔB OP 的面积.17.如图，△ABD 、△CBD 都是等边三角形，DE 、BF 分别是△ABD 的两条高，DE 、BF 交于点G. （1）求∠BG D 的度数 （2）连接CG①求证：BG +D G =CG②求ABCG的值经典例题：1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

轧东卡州北占业市传业学校<第一章勾股定理>专题练习〔一〕双解问题例1 一个三角形的两边长是5和12，要使其成为一个直角三角形，那么第三边长应为多少？变式：1.小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为41m，15m，第三边上的高为9m，请你帮小强计算这块菜地的面积．2.在△ABC中，AB=15，AC=13，高CD=12，求三角形的周长．〔二〕折叠问题中利用勾股定理建立方程例2 如图，在长方形ABCD中，AD=10cm，AB=8cm，E是CD上一点，假设以AE为折痕，将△ADE翻折，点D 恰与BC边上的点F重合，求△AEF的面积．变式：1．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使点B与点C重合，折痕DE的长为．2．长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，那么DE= cm．2题 3题3．如下列图，在长方形纸片ABCD中，AB=3，BC=4，现将顶点A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，那么重垒局部△AEF的面积为．例3 把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点愉好重合落在AD边上的点P处〔如图二〕，∠MPN=90°，PM=3，PN=4，〔1〕求△PMN的周长；〔2〕求矩形纸片ABCD的面积．变式：如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ，得到△MNK．〔1〕假设∠1=70°，求∠MKN 的度数．〔2〕△MNK 的面积能否小于12？假设能，求出此时∠1的度数；假设不能，试说明理由． 〔三〕勾股定理逆定理的应用例4 在△ABC 中，a=22mn -，b=2mn ，c=22m n +，其中m, n 是正整数，且m>n ，试判断△ABC 是不是直角三角形．变式:1.以下各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a 〔a>0〕； ⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2〔m 、n 为正整数，且m>n 〕其中可以构成直角三角形的有〔 〕 A ．5组 B ．4组 C ．3组 D ．2组2. 设一个直角三角形两直角边分别为a 、b ，斜边上的高为h ，斜边长为c ，那么以c h +、a b +、h为边的三角形的形状是 三角形．3.四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积〔四〕勾股定理及逆定理与图形面积的整体计算例5 直角三角形的周长为92，斜边长为2，求它的面积． 变式：1．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD=4，AD 为高，△ABC 的周长为16，S △ABC = .2．假设三角形的三边a 、b 、c 满足a +b =10，ab =18，c =8，那么此三角形是三角形．3.．如图，△ABC 中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，那么这个距离是〔 〕A. 1B. 3C. 4D. 5(五)勾股定理及逆定理的综合应用例6 如下列图，一根旗杆在离地面5米处断裂，旗杆顶部落承离杆底12米的A处，旗杆断裂前有多高？变式：现有一长25cm的云梯，架靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，那么梯子可以到达墙的高度为m，假设梯子顶端下滑了4m，那么梯子底部在水平方向滑动了m．例7 如下列图，一圆柱油罐底面积的周长为24m，高为6m，一只壁虎从距底面1m的A处爬行到对角B处去捕食，它爬行的最短路线长为多少？例8 如下列图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km，BB1=4km，且A1B1=8km．现在在高速公路的A1B1之间设一个出口P，使A、B两个村庄到P的距离之和最短，那么这个最短距离是多少？变式：1. 如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？2.公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所，AP=160米，假设拖拉机在行驶时，周围100米内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行使时，是否会受到影响？请说明理由，如果受到影响，拖拉机的速度是18千米/小时，那么受影响的时间为多少？例9 如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别为1，2，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，正方形NHMC的面积=变式：如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为a、b、c，A、B、N、E、F五点在同一直线上，那么c= 〔用含有a，b的代数式表示〕．例10 某公司的大门如下列图，其中四边形ABCD是长方形，上部是以AD为直径的半圆，其中AB=2.3m，BC=2m，现有一辆装满货物的卡车，高为2.8m，宽为1.6m，问这辆车能否通过公司大门？并说明你的理由．变式:，如图△ABC中，∠C=90°，M为AB中点，∠PMQ=90°，求证PQ2=AP2+BQ2．。