高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

高等数学课后习题及参考答案（第十章）习题 10-11. 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L , 在点(x , y )处它的线密度为μ(x , y ), 用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x , I y ; (2)这曲线弧的重心坐标x , y .解 在曲线弧L 上任取一长度很短的小弧段ds (它的长度也记做ds ), 设(x , y )为小弧段ds 上任一点.曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量元素分别为 dI x =y 2μ(x , y )ds , dI y =x 2μ(x , y )ds . 曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量分别为 ⎰=Lx ds y x y I ),(2μ, ⎰=Ly ds y x x I ),(2μ.曲线L 对于x 轴和y 轴的静矩元素分别为 dM x =y μ(x , y )ds , dM y =x μ(x , y )ds . 曲线L 的重心坐标为⎰⎰==L L y dsy x ds y x x M M x ),(),(μμ, ⎰⎰==LL x ds y x dsy x y M M y ),(),(μμ. 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L 分为两段光滑曲线L 1和L 2, 则⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L ds y x f ds y x f ds y x f .证明 划分L , 使得L 1和L 2的连接点永远作为一个分点, 则∑∑∑+===∆+∆=∆111111),(),(),(n n i i i i ni n i i i i i i i s f s f s f ηξηξηξ.令λ=max{∆s i }→0, 上式两边同时取极限∑∑∑+=→=→=→∆+∆=∆nn i i i i n i i i i ni i i i s f s f s f 111011),(lim),(lim ),(lim ηξηξηξλλλ,即得⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L ds y x f ds y x f ds y x f .3. 计算下列对弧长的曲线积分:(1)⎰+Ln ds y x )(22, 其中L 为圆周x =a cos t , y =a sin t (0≤t ≤2π);解⎰+L nds y x)(22⎰+-+=π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n=⎰+-+π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n ⎰++==ππ2012122n n a dt a .(2)⎰+Lds y x )(, 其中L 为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;解 L 的方程为y =1-x (0≤x ≤1);⎰⎰'-+-+=+102])1[(1)1()(dx x x x ds y x L22)1(1=-+=⎰dx x x .(3)xdx L⎰, 其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成的区域的整个边界; 解 L 1: y =x 2(0≤x ≤1), L 2: y =x (0≤x ≤1) .xdx L ⎰xdx xdx LL ⎰⎰+=21⎰⎰'++'+=102122)(1])[(1dx x x dx x x⎰⎰++=10102241xdx dx x x )12655(121-+=.(4)ds ey x L22+⎰, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2, 直线y =x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界; 解 L =L 1+L 2+L 3, 其中 L 1: x =x , y =0(0≤x ≤a ),L 2: x =a cos t , y =a sin t )40(π≤≤t ,L 3: x =x , y =x )220(a x ≤≤,因而ds eds eds eds ey x L y x L y x L y x L22322222122++++⎰⎰⎰⎰++=,⎰⎰⎰+++-++=axa ax dx e dt t a t a e dx e 220222402202211)cos ()sin (01π2)42(-+=a e a π.(5)⎰Γ++ds z y x 2221, 其中Γ为曲线x =e t cos t , y =e t sin t , z =e t 上相应于t 从0变到2的这段弧;解 dt dtdz dt dydt dx ds 222)()()(++=dt e t e t e t e t e t t t t t 222)cos sin ()sin cos (+++-=dt e t 3=,⎰⎰++=++Γ20222222223sin cos 11dt e et e t e ds z y x t t t t ⎰----=-==2220)1(23]23[23e e dt e t t .(6)⎰Γyzds x 2, 其中Γ为折线ABCD , 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0, 0, 0)、 (0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2); 解 Γ=AB +BC +CD , 其中 AB : x =0, y =0, z =t (0≤t ≤1), BC : x =t , y =0, z =2(0≤t ≤3), CD : x =1, y =t , z =2(0≤t ≤3), 故yzds x yzds x yzds x yzds x CD BC AB 2222⎰⎰⎰⎰++=Γ9010200322231=++++=⎰⎰⎰dt t dt dt .(7)⎰Lds y 2, 其中L 为摆线的一拱x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )(0≤t ≤2π);解⎰⎰'+'--=L dt t a t t a t a ds y π2022222])(cos [])sin ([)cos 1(⎰--=π2023cos 1)cos 1(2dt t t a 315256a =.(8)⎰+Lds y x )(22, 其中L 为曲线x =a (cos t +t sin t ), y =a (sin t -t cos t )(0≤t ≤2π).解 dt dtdydt dx ds 22)()(+=atdt dt t at t at =+=22)sin ()cos (atdt t t t a t t t a ds y x L ])cos (sin )sin (cos [)(22202222-++=+⎰⎰π⎰+=+=πππ2023223)21(2)1(a tdt t a .4. 求半径为a , 中心角为2ϕ的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心. 解 建立坐标系如图10-4所示, 由对称性可知0=y , 又 ⎰==L x xds a M M x ϕ21⎰-⋅=ϕϕθθϕad a a cos 21ϕϕsin a =, 所以圆弧的重心为)0 ,sin (ϕϕa5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为x =a cos t , y =a sin t , z =kt , 其中0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求:(1)它关于z 轴的转动惯量I z ; (2)它的重心. 解 dt t z t y t x ds )()()(222'+'+'=dt k a 22+=. (1)⎰+=Lz ds z y x y x I ),,()(22ρds z y x y x L))((22222+++=⎰dt k a t k a a ⎰++=π20222222)()43(32222222k a k a a ππ++=. (2)⎰⎰++==LLds z y x ds z y x M )(),,(222ρ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=, ds z y x x M x L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(cos 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+=, ds z y x y M y L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(sin 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+-=, ds z y x z M z L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(1dt k a t k a kt M22222243)2(3k a k a k πππ++=,故重心坐标为)43)2(3 ,436 ,436(22222222222222k a k a k k a ak k a ak πππππππ+++-+.习题 10-21. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明:⎰=L dx y x P 0),(.证明 设L 是直线x =a 上由(a , b 1)到(a , b 2)的一段, 则L : x =a , y =t , t 从b 1变到b 2. 于是00) ,())( ,(),(2121⎰⎰⎰=⋅==b b b b L dt t a P dt dtda t a P dx y x P . 2. 设L 为xOy 面内x 轴上从点(a , 0)到(b , 0)的一段直线, 证明⎰⎰=Lbadx x P dx y x P )0 ,(),(.证明L : x =x , y =0, t 从a 变到b , 所以⎰⎰⎰='=baL b adx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(.3. 计算下列对坐标的曲线积分:(1)⎰-Ldx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧;解 L : y =x 2, x 从0变到2, 所以⎰⎰-=-=-L dx x x dx y x2042221556)()(.(2)⎰Lxydx , 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , 因此⎰⎰⎰+=21L L L xydx xydx xydx⎰⎰+'++=adx dt t a a t a t a 200)cos (sin )cos 1(π3020232)sin sin sin (a t td tdt a πππ-=+-=⎰⎰.(3)⎰+Lxdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到2π的一段弧;解 ⎰⎰+-=+L dt t tR R t R t R xdy ydx ]cos cos )sin (sin [20π⎰==20202cos πtdt R .(4)⎰+--+L y x dy y x dx y x 22)()(, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行);解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以⎰+--+L yx dyy x dx y x 22)()( ⎰---+=π202)]cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1dt t a t a t a t a t a t a a ⎰-=-=ππ202221dt a a .(5)ydz zdy dx x -+⎰Γ2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧; 解⎰⎰--+=-+Γπθθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x233220331)(a k d a k ππθθπ-=-=⎰.(6)dz y x ydy xdx )1(-+++⎰Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的一段直线;解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1.⎰Γ-+++dz y x ydy xdx )1(⎰-+++++++=1)]1211(3)21(2)1[(dt t t t t⎰=+=1013)146(dt t .(7)⎰Γ+-ydz dy dx , 其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里的A , B , C依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1, CA : x =x , y =0, z =1-x , x 从0变到1, 故ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx CA BC AB +-++-++-=+-⎰⎰⎰⎰Γ⎰⎰⎰+-+'--+'--=101010)]1()1([])1(1[dx dt z z dx x 21=.(8)dy xy y dx xy x L)2()2(22-+-⎰, 其中L 是抛物线y =x 2上从(-1, 1)到(1, 1)的一段弧.解 L : x =x , y =x 2, x 从-1变到1, 故⎰-+-L dy xy y dx xy x )2()2(22⎰--+-=113432]2)2()2[(dx x x x x x 1514)4(21042-=-=⎰dx x x 4. 计算⎰-++Ldy x y dx y x )()(, 其中L 是:(1)抛物线y =x 2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧; 解 L : x =y 2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(⎰=⋅-+⋅+=2122334]1)(2)[(dy y y y y y . (2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段; 解 L : x =3y -2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(11]1)23()23[(21=⋅+-+⋅+-=⎰dy y y y y y(3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线; 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =1, y =y , y 从1变到2, L 2: x =x , y =2, x 从1变到4, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(dy x y dx y x dy x y dx y x L L )()()()(21-+++-++=⎰⎰14)2()1(4121=++-=⎰⎰dx x dy y .(4)沿曲线x =2t 2+t +1, y =t 2+1上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧. 解 L : x =2t 2+t +1, y =t 2+1, t 从0变到1, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(332]2)()14)(23[(1022=⋅--++++=⎰dt t t t t t t .5. 一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成, 试求当一质量为m 的质点沿圆周x 2+y 2=R 2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时 场力所作的功.解 已知场力为F =(|F |, 0), 曲线L 的参数方程为 x =R cos θ, y =R sin θ,θ从0变到2π, 于是场力所作的功为R F d R F dx F d W LL||)sin (||||20-=-⋅==⋅=⎰⎰⎰πθθr F .6. 设z 轴与力方向一致, 求质量为m 的质点从位置(x 1, y 1, z 1) 沿直线移到(x 2, y 2, z 2)时重力作的功.解 已知F =(0, 0, mg ). 设Γ为从(x 1, y 1, z 1)到(x 2, y 2, z 2)的直线, 则重力所作的功为⎰⎰⎰ΓΓ-==++=⋅=21)(0012z z z z mg dz mg mgdz dy dx d W r F .7. 把对坐标的曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分, 其中L 为:(1)在xOy 面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1); 解 L 的方向余弦214cos cos cos ===πβα,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰+=L ds y x Q y x P 2),(),(.(2)沿抛物线y =x 2从点(0, 0)到(1, 1);解 曲线L 上点(x , y )处的切向量为τ=(1, 2x ), 单位切向量为 )412,411()cos ,(cos 22x x x ++==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L ]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰++=L ds xy x xQ y x P 241),(2),(. (3)沿上半圆周x 2+y 2=2x 从点(0, 0)到(1, 1). 解 L 的方程为22x x y -=, 其上任一点的切向量为 )21 ,1(2x x x --=τ, 单位切向量为)1 ,2()cos ,(cos 2x x x --==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L ]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰-+-=Lds y x Q x y x P x x )],()1(),(2[2.8. 设Γ为曲线x =t , y =t 2, z =t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分⎰Γ++Rdz Qdy Pdx 化成对弧长的曲线积分.解 曲线Γ上任一点的切向量为 τ=(1, 2t , 3t 2)=(1, 2x , 3y ), 单位切向量为)3 ,2 ,1(9211)cos ,cos ,(cos 22y x yx ++==τγβαe ,ds R Q P Rdz Qdy Pdx L ]cos cos cos [γβα++=++⎰⎰Γ⎰++++=L ds y x yRxQ P 2294132.习题 10-31. 计算下列曲线积分, 并验证格林公式的正确性:(1)⎰++-ldy y x dx x xy )()2(22, 其中L 是由抛物线y =x 2及y 2=x 所围成的区域的正向边界曲线; 解 L =L 1+L 2, 故⎰++-L dy y x dx x xy )()2(22⎰⎰++-+++-=21)()2()()2(2222L L dy y x dx x xy dy y x dx x xy⎰⎰++-+++-=112243423)](2)2[(]2)()2[(dy y y y y y dx x x x x x301)242()22(1010245235=++--++=⎰⎰dy y y y dx x x x ,而dxdy x dxdy yPx Q DD)21()(-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=102)21(y y dx x dy301)(42121=+--=⎰dy y y y y , 所以⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l DQdy Pdx dxdy yPx Q )(.(2)⎰-+-ldy xy y dx xy x )2()(232, 其中L 是四个顶点分别为(0, 0)、 (2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形区域的正向边界.解 L =L 1+L 2+L 3+L 4, 故⎰-+-L dy xy y dx xy x )2()(232dy xy y dx xy x L L L L )2())((2324321-+-+++=⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰+-+-+=202002022222)8()4(dy y dx x x dy y y dx x 8482020=-+=⎰⎰ydy xdx , 而 dxdy xy y dxdy y P x Q DD )32()(2+-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰+-=20220)32(dy xy y dx 8)48(20=-=⎰dx x , 所以 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(. 2. 利用曲线积分, 求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线x =a cos 3t , y =a sin 3t ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=-=L dt t t a t a ydx A π2023)sin (cos 3sin ⎰==ππ20224283cos sin 3a tdt t a . (2)椭圆9x 2+16y 2=144;解 椭圆9x 2+16y 2 =144的参数方程为x =4cos θ, y =3sin θ, 0≤θ≤2π, 故⎰-=Lydx xdy A 21 ⎰-⋅-⋅=πθθθθθ20)]sin 4(sin 3cos 3cos 4[21d ⎰==ππθ20126d . (3)圆x 2+y 2=2ax .解 圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为x =a +a cos θ, y =a sin θ, 0≤θ≤2π,故 ⎰-=Lydx xdy A 21 ⎰-⋅-⋅+=πθθθθθ20)]sin (sin cos )cos 1([21d a a a a 2202)cos 1(2a d a ⎰=+=ππθθ.3. 计算曲线积分⎰+-L y x xdy ydx )(222, 其中L 为圆周(x -1)2+y 2=2, L 的方 向为逆时针方向.解 )(222y x y P +=, )(222y x x Q +-=. 当x 2+y 2≠0时 y P x Q ∂∂=∂∂0)(2)(22222222222=+--+-=y x y x y x y x . 在L 内作逆时针方向的ε小圆周l : x =εcos θ, y =εsin θ(0≤θ≤2π),在以L 和l 为边界的闭区域D ε上利用格林公式得0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰-+dxdy y P x Q Qdy Pdx D l L ε, 即 ⎰⎰⎰+=+-=+-lL l dy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx . 因此 ⎰⎰+-=+-l L y x xdy ydx y x xdy ydx )(2)(22222⎰--=πθεθεθε20222222cos sin d ⎰-=-=ππθ2021d .4. 证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关, 并计算积分值:(1)⎰-++)3 ,2()1 ,1()()(dy y x dx y x ;解 P =x +y , Q =x -y , 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏 导数, 而且1=∂∂=∂∂xQ y P , 故在整个xOy 面内, 积分与路径无关.取L 为点(1, 1)到(2, 3)的直线y =2x -1, x 从1变到2, 则⎰⎰-+-=-++)3 ,2()1 ,1(21)]1(2)13[()()(dx x x dy y x dx y x ⎰=+=2125)1(dx x . (2)⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy ;解 P =6xy 2-y 3, Q =6x 2y -3xy 2, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且2312y xy xQ y P -=∂∂=∂∂, 故积分与路径无关, 取路径 (1, 2)→(1, 4)→(3, 4)的折线, 则⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy236)6496()3642312=-+-=⎰⎰dx x dy y y .(3)⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy .解 P =2xy -y 4+3, Q =x 2-4xy 3, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且342y x xQ y P -=∂∂=∂∂, 所以在整个xOy 面内积分与 路径无关, 选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线, 则⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy⎰⎰=++-=102135)1(2)41(dx x dy y .5. 利用格林公式, 计算下列曲线积分:(1)⎰-+++-Ldy x y dx y x )635()42(, 其中L 为三顶点分别为(0, 0)、 (3, 0)和(3, 2)的三角形正向边界;解 L 所围区域D 如图所示, P =2x -y +4, Q =5y +3x -6,4)1(3=--=∂∂-∂∂yP x Q , 故由格林公式,得⎰-+++-L dy x y dx y x )6315()42(dxdy y P x Q D)(∂∂-∂∂=⎰⎰ 124==⎰⎰dxdy D.(2)⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正 向星形线323232a y x =+(a >0);解 x e y x xy x y x P 22sin 2cos -+=, x ye x x Q 2sin 2-=,0)2cos sin 2()2cos sin 2(22=-+--+=∂∂-∂∂x x ye x x x x ye x x x x yP x Q , 由格林公式⎰-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (2220)(=∂∂-∂∂=⎰⎰dxdy yP x Q D . (3)⎰+-+-Ldy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223, 其中L 为在抛物线 2x =πy 2上由点(0, 0)到)1 ,2(π的一段弧; 解 x y xy P cos 223-=, 223sin 21y x x y Q +-=,0)cos 26()6cos 2(22=--+-=∂∂-∂∂x y xy xy x y yP x Q , 所以由格林公式0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰++-dxdy yP x Q Qdy Pdx D OB OA L , 其中L 、OA 、OB 、及D 如图所示.故 ⎰⎰++=+AB OA L Qdy Pdx Qdy Pdx4)4321(02201022πππ=+-+=⎰⎰dy y y dx . (4)⎰+--L dy y x dx y x )sin ()(22, 其中L 是在圆周22x x y -=上由点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧.解 P =x 2-y , Q =-x -sin 2y ,0)1(1=---=∂∂-∂∂y P x Q , 由格林公式有0)(=∂∂-∂∂-=+⎰⎰⎰++dxdy y P x Q Qdy Pdx DBO AB L , 其中L 、AB 、BO 及D 如图所示.故 ⎰⎰++--=+--L OB BA dy y x dx y x dy y x dx y x )sin ()()sin ()(22222sin 4167)sin 1(102102+-=++-=⎰⎰dx x dy y .6. 验证下列P (x , y )dx +Q (x , y )dy 在整个xOy 平面内是某一函数u (x , y )的全微分, 并求这样的一个u (x , y ):(1)(x +2y )dx +(2x +y )dy ;证明 因为yP x Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整 个xOy 面内的函数u (x , y )的全微分.⎰++++=),()0,0()2()2(),(y x C dy y x dx y x y x u C y xy x +++=22222. (2)2xydx +x 2dy ;解 因为y P x x Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个 xOy 面内的函数u (x , y )的全微分.⎰++=),()0,0(22),(y x C dy x xydx y x u ⎰⎰+=++=y yC y x C xydx dy 00220. (3)4sin x sin3y cos xdx –3cos3y cos2xdy解 因为yP x y x Q ∂∂==∂∂2sin 3cos 6, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个 定义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分.⎰+-=),()0,0(2cos 3cos 3cos 3sin sin 4),(y x C xdy y xdx y x y x u C y x C xdy y dx xy +-=+-+=⎰⎰3sin 2cos 2cos 3cos 3000. (4)dy ye y x x dx xy y x y )128()83(2322++++解 因为yP xy x x Q ∂∂=+=∂∂1632, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定 义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分. ⎰+++++=),()0,0(232)128()823(),(y x y C dy ye y x x dx xy iy xh y x u C dx xy y x dy ye yx y +++=⎰⎰0022)83(12C e ye y x y x y y +-++=)(124223.(5)dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++解 因为yP y x x y x Q ∂∂=-=∂∂sin 2cos 2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是 某个函数u (x , y )的全微分 ⎰⎰+-+=x y C dy y x x y xdx y x u 002)sin sin 2(2),( C y x x y ++=cos sin 22.7. 设有一变力在坐标轴上的投影为X =x +y 2, Y =2xy -8, 这变力确 定了一个力场, 证明质点在此场内移动时, 场力所做的功与路径无关. 解 场力所作的功为⎰Γ-++=dy xy dx y x W )82()(2. 由于yX y x Y ∂∂==∂∂2, 故以上曲线积分与路径无关, 即场力所作的功 与路径无关.习题10-41. 设有一分布着质量的曲面∑, 在点(x , y , z )处它的面密度为μ(x , y , z ), 用对面积的曲面积分表达这曲面对于x 轴的转动惯量.解. 假设μ(x , y , z )在曲面∑上连续, 应用元素法, 在曲面∑上任意一点(x , y , z )处取包含该点的一直径很小的曲面块dS (它的面积也记做dS ), 则对于x 轴的转动惯量元素为dI x =(y 2+z 2)μ(x , y , z )dS ,对于x 轴的转动惯量为dS z y x z y I x ),,()(22μ+=∑⎰⎰.2. 按对面积的曲面积分的定义证明公式dS z y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=,其中∑是由∑1和∑2组成的.证明 划分∑1为m 部分, ∆S 1, ∆S 2, ⋅⋅⋅, ∆S m ;划分∑2为n 部分, ∆S m +1, ∆S m +2, ⋅⋅⋅, ∆S m +n ,则∆S 1, ⋅⋅⋅, ∆S m , ∆S m +1, ⋅⋅⋅, ∆S m +n 为∑的一个划分, 并且i i i i nm m i i i i i m i i i i i n m i S f S f S f ∆∑+∆∑=∆∑++==+=),,(),,(),,(111ζηξζηξζηξ. 令}{max 11i mi S ∆=≤≤λ, }{max 12i n m i m S ∆=+≤≤+λ, } ,max{21λλλ=, 则当 λ→0时, 有dS z y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=.3. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dSz y x f ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解 ∑的方程为z =0, (x , y )∈D ,dxdy dxdy z z dS y x=++=221, 故 dxdy z y x f dS z y x f D),,(),,(⎰⎰⎰⎰=∑.4. 计算曲面积分dS z y x f ),,(∑⎰⎰, 其中∑为抛物面z =2-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分, f (x , y , z )分别如下:(1) f (x , y , z )=1;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dxdy y x dS z y x f xyD 22441),,(++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d ππ313])41(121[2202/32=+=r . (2) f (x , y , z )=x 2+y 2;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2, dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dxdy y x y x dS z y x f xyD 2222441)(),,(+++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d ππ301494122022=+=⎰rdr r r . (3) f (x , y , z )=3z .解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dS z y x f ),,(∑⎰⎰dxdy y x y x xyD 2222441)](2[3+++-=⎰⎰⎰⎰+-=πθ20202241)2(3rdr r r d ππ1011141)2(62022=+-=⎰rdr r r . 5. 计算dS y x )(22+∑⎰⎰, 其中∑是: (1)锥面22y x z +=及平面z =1所围成的区域的整个边界曲面;解 将∑分解为∑=∑1+∑2, 其中∑1: z =1 , D 1: x 2+y 2≤1, dS =dxdy ;∑1:22y x z +=, D 2: x 2+y 2≤1, dxdy dxdy z z dS y x2122=++=. dS y x dS y x dS y x )()()(22222221+++=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ dxdy y x dxdy y x D D )()(222221+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=πθ20103dr r d +⎰⎰πθ201032dr r d πππ221222+=+=. 提示: dxdy dxdy yx y y x x dS 21222222=++++=.(2)锥面z 2=3(x 2+y 2)被平面z =0及z =3所截得的部分. 解 ∑:223y x z +=, D xy : x 2+y 2≤3,dxdy dxdy z z dS y x2122=++=, 因而 πθπ922)()(302202222==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑rdr r d dxdy y x dS y x xy D . 提示: dxdy dxdy y x y y x x dS 2])(326[])(326[1222222=++++=.6. 计算下面对面积的曲面积分:(1)dS y x z )342(++∑⎰⎰, 其中∑为平面1432=++z y x 在第一象限中的部分;解 y x z 3424:--=∑, x y x D xy 2310 ,20 :-≤≤≤≤, dxdy z z dS y x 221++=dxdy 361=, 61436143614)342(==⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dxdy dxdy dS y x z xy xyD D . (2)dS z x x xy )22(2+--∑⎰⎰, 其中∑为平面2x +2y +z =6在第一象限中的部分;解 ∑: z =6-2x -2y , D xy : 0≤y ≤3-x , 0≤x ≤3,dxdy dxdy z z dS y x3122=++=, dS z x x xy )22(2+--∑⎰⎰ dxdy y x x x xy xyD 3)22622(2--+--=⎰⎰⎰⎰--+--=x dy y xy x x dx 30230)22236(3 427)9103(33023-=+-=⎰dx x x . (3)dS z y x )(++∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分;解 ∑:222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2,dxdy z z dS y x 221++=dxdy y x a a 222--=,dxdy yx a a y x a y x dS z y x xy D 222222)()(----++=++⎰⎰⎰⎰∑ )(||22h a a D a adxdy xy D xy-===⎰⎰π(根据区域的对称性及函数的奇偶性).提示: dxdy yx a y y x a x dS 22222222)()(1+--++--+=dxdy y x a a 222--=, (4)dS zx yz xy )(++∑⎰⎰, 其中∑为锥面22y x z +=被x 2+y 2=2ax所截得的有限部分.解 ∑: 22y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2ax ,dxdy dxdy z z dS y x2122=++=, dxdy y x y x xy dS zx yz xy xyD ])([2)(22+++=++⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰++=-θππθθθθcos 202222)]sin (cos cos sin [2a rdr q r r dθθθθθθππd a )cos sin cos cos (sin 24422554⎰-++= 421564a =. 提示: dxdy yx y y x x dS 2222221++++=. 7. 求抛物面壳)10)((2122≤≤+=z y x z 的质量, 此壳的面密度为μ=z .解 ∑: )(2122y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2, dxdy y x dxdy z z dS y x222211++=++=.故 dxdy y x y x zdS M xyD 22221)(21+++==⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ202022121rdr r r d )136(152+=π. 8. 求面密度为μ0的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解 ∑: 222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2,dxdy z z dS y x 221++=dxdy yx a a 222--=, dxdy y x a a y x dS y x I z 222022022)()(--+=+=∑∑⎰⎰⎰⎰μμ ⎰⎰-=a dr ya r d a 0223200πθμ 4034a πμ=.提示:dxdy yx a y y x a x dS 22222222)()(1---+---+=dxdy y x a a 222--=.习题10-51. 按对坐标的曲面积分的定义证明公式:dydz z y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰dydz z y x P dydz z y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=.解 证明把∑分成n 块小曲面∆S i (∆S i 同时又表示第i 块小曲面的面 积), ∆S i 在yOz 面上的投影为(∆S i )yz , (ξi , ηi ,ζi )是∆S i 上任意取定的一点, λ是各小块曲面的直径的最大值, 则dydzz y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰ yz i i i i i i i n i S P P ))](,(),([lim ,2,110∆±==→∑ζηξζηξλyz i i i i ni yz i i i i n i S P S P ))(,(lim ))(,(lim ,210,110∆±∆==→=→∑∑ζηξζηξλλ dydz z y x P dydz z y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=.2. 当∑为xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dxdy z y x R ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解 因为∑: z =0, (x , y )∈D xy , 故dxdy z y x R dxdy z y x R xyD ),,(),,(⎰⎰⎰⎰±=∑,当∑取的是上侧时为正号, ∑取的是下侧时为负号.3. 计算下列对坐标的曲面积分:(1)zdxdy y x 22∑⎰⎰其中∑是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧;解 ∑的方程为222y x R z ---=, D xy : x 2+y 2≤R , 于是zdxdy y x 22∑⎰⎰dxdy y x R y x xyD )(22222----=⎰⎰ ⎰⎰⋅-⋅⋅=πθθθ20222202sin cos rdr r R r r d R⎰⎰-=πθθ20052222sin 41R dr r r R d 71052R π=. (2)ydzdx xdydz zdxdy ++∑⎰⎰, 其中z 是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的第一卦限内的部分的前侧;解 ∑在xOy 面的投影为零, 故0=∑⎰⎰zdxdy .∑可表示为21y x -=, (y , z )∈D yz ={(y , z )|0≤y ≤1, 0≤z ≤3}, 故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=∑3010102221311dy y dy y dz dydz y xdyz yz D ∑可表示为21x y -=, (z , x )∈D zx ={(z , x )|0≤z ≤3, 0≤x ≤1}, 故dzdx x ydzdx zx D 21-=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=-=30101022131dx x dx x dz . 因此 ydzdx xdydz zdxdy ++∑⎰⎰)13(2102dx x ⎰-=ππ2346=⨯=. 解法二 ∑前侧的法向量为n =(2x , 2y , 0), 单位法向量为)0 , ,(1)cos ,cos ,(cos 22y x y x +=γβα, 由两种曲面积分之间的关系,dS z y x ydzdx xdydz zdxdy )cos cos cos (γβα++=++∑∑⎰⎰⎰⎰π23)(222222==+=+⋅++⋅=∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰dS dS y x dS y x y y y x x x . 提示: dS ∑⎰⎰表示曲面的面积.(3)dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰, 其中f (x , y , z )为连续函数, ∑是平面x -y +z =1在第四卦限部分的上侧; 解 曲面∑可表示为z =1-x +y , (x , y )∈D xy ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x -1}, ∑上侧的法向量为n =(1, -1, 1), 单位法向量为)31 ,31 ,31()cos ,cos ,(cos -=γβα, 由两类曲面积分之间的联系可得dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰dS z f y f x f ]cos )(cos )2(cos )[(γβα+++++=∑⎰⎰dS z f y f x f ]31)()31()2(31)(⋅++-⋅++⋅+=∑⎰⎰ 2131)(31===+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dS dS z y x xyD .(4)⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdy , 其中∑是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1: x =0, D yz : 0≤y ≤1, 0≤z ≤1-y ,∑2: y =0, D zx : 0≤z 1, 0≤x ≤1-z ,∑3: z =0, D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑+++=4321xzdxdy xzdxdy 4000∑⎰⎰+++= dxdy y x x xy D )1(--=⎰⎰⎰⎰-=--=1010241)1(x dy y x xdx . 由积分变元的轮换对称性可知241⎰⎰⎰⎰∑∑==yzdzdx xydydz . 因此⎰⎰∑=⨯=++812413yzdzdx xydydz xzdxdy .解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1、∑2、∑3是位于坐标面上的三块; ∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x .显然在∑1、∑2、∑3上的曲面积分均为零, 于是⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdyyzdzdx xydydz xzdxdy ++=∑⎰⎰4dS xz yz xy )cos cos cos (4γβα++=∑⎰⎰dS xz yz xy )(34++=∑⎰⎰81)]1)(([3=--++=⎰⎰dxdy y x y x xy xyD . 4. 把对坐标的曲面积分dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(++∑⎰⎰化成对面积的曲面积分:(1)∑为平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧;解 令63223),,(-++=z y x z y x F , ∑上侧的法向量为:)32 ,2 ,3(),,(==z y x F F F n ,单位法向量为)32 ,2 ,3(51)cos ,cos ,(cos =γβα, 于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dS R Q P )3223(51++=∑⎰⎰. (2)∑是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧.解 令F (x , y , z )=z +x 2+y 2-8, ∑上侧的法向量n =(F x , F y , F z )=(2x , 2y , 1),单位法向量为)1 ,2 ,2(4411)cos ,cos ,(cos 22y x y x ++=γβα, 于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dS R yQ xP yx )22(441122++++=∑⎰⎰.10-61. 利用高斯公式计算曲面积分:(1)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222, 其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =a ,y =a , z =a 所围成的立体的表面的外侧;解 由高斯公式原式dv z y x dv z R y Q x P )(2)(++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰===Ωaa a a dz dy xdx xdv 0400366(这里用了对称性).(2)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧;解 由高斯公式原式dv z y x dv z R y Q x P )(3)(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ20004sin 3a dr r d d 5512a π=. (3)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322, 其中∑为上半球体 x 2+y 2≤a 2, 2220y x a z --≤≤的表面外侧;解 由高斯公式原式dv y x z d z R y Q x P )()(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ2020022sin a dr r r d d 552a π=. (4)⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2≤9的整个表面的外侧;解 由高斯公式原式π813)(==∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰dv dv z R y Q x P . (5)⎰⎰∑+-yzdxdy dzdx y xzdydz 24,其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =1,y =1, z =1所围成的立体的全表面的外侧.解 由高斯公式原式dv y y z dv z R y Q x P )24()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=-=10101023)4(dz y z dy dx . 2. 求下列向量A 穿过曲面∑流向指定侧的通量: (1)A =yz i +xz j +xy k , ∑为圆柱x +y 2≤a 2(0≤z ≤h )的全表面, 流向外侧; 解 P =yz , Q =xz , R =xy ,⎰⎰∑++=Φxydxdy xzdzdx yzdydzdv z xy y xz x yz ))()()((∂∂+∂∂+∂∂=Ω⎰⎰⎰00==Ω⎰⎰⎰dv . (2)A =(2x -z )i +x 2y j - xz 2k , ∑为立方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a , 0≤z ≤a ,的全表面, 流向外侧;解 P =2x -z , Q =x 2y , R =-xz 2,⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv xz x dv z r y Q x P )22()(2-+=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰-=-+=a a a a a dz xz x dy dx 023200)62()22(. (3)A =(2x +3z )i -(xz +y )j +(y 2+2z )k , ∑是以点(3, -1, 2)为球心, 半径R =3的球面, 流向外侧.解 P =2x +3z , Q =-(xz +y ), R =y 2+2z ,⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv dv z R y Q x P )212()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰π1083==Ω⎰⎰⎰dv . 3. 求下列向量A 的散度:(1)A =(x 2+yz )i +(y 2+xz )j +(z 2+xy )k ;解 P =x 2+yz , Q =y 2+xz , R =-z 2+xy ,)(2222div z y x z y x zR y Q x P ++=++=∂∂+∂∂+∂∂=A . (2)A =e xy i +cos(xy )j +cos(xz 2)k ;解 P =e xy , Q =cos(xy ), R =cos(xz 2),)sin(2sin div 2xz xz xy x ye zR y Q x P xy --=∂∂+∂∂+∂∂=A . (3)A =y 2z i +xy j +xz k ;解 P =y 2, Q =xy , R =xz ,x x x zR y Q x P 20div =++=∂∂+∂∂+∂∂=A . 4. 设u (x , y , z )、v (x , y , z )是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续 偏导数的函数, n u ∂∂, nv ∂∂依次表示u (x , y , z )、v (x , y , z )沿∑的外法线方向 的方向导数. 证明dS n u v n v u dxdydz u v v u )()∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, 其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面, 这个公式叫作林第二公式. 证明 由第一格林公式(见书中例3)知dxdydz z v y v x v u )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n v u )(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, dxdydz z u y u x u v )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n u v )(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω. 将上面两个式子相减, 即得dxdyd z u y u x u v z v y v x v u )]()([222222222222∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ ⎰⎰∑∂∂-∂∂=dS n u v n v u )(. 5. 利用高斯公式推证阿基米德原理: 浸没在液体中所受液体的压力 的合力(即浮力)的方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体的重力. 证明 取液面为xOy 面, z 轴沿铅直向下, 设液体的密度为ρ, 在物 体表面∑上取元素dS 上一点, 并设∑在点(x , y , z )处的外法线的方向余 弦为cos α, cos β, cos γ, 则dS 所受液体的压力在坐标轴x , y , z 上的分量 分别为-ρz cos αdS , -ρz cos β dS , -ρz cos γ dS ,∑所受的压力利用高斯公式进行计算得00cos ==-=Ω∑⎰⎰⎰⎰⎰dv dS z F x αρ,00cos ==-=Ω∑⎰⎰⎰⎰⎰dv dS z F y βρ,||cos Ω-=-=-=-=ΩΩ∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρρργρdv dv dS z F z ,其中|Ω|为物体的体积. 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力, 其方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体所受的重力, 即阿基 米德原理得证.习题10-71. 利用斯托克斯公式, 计算下列曲线积分:(1)⎰Γ++xdz zdy ydx , 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2, , 若从z 轴 的正向看去, 这圆周取逆时针方向;解 设∑为平面x +y +z =0上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为)31,31,31()cos ,cos ,(cos ==γβαn .于是 ⎰Γ++xdz zdy ydx dS x z y zy x ∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰γβαcos cos cos 2333)cos cos cos (a dS dS πγβα-=-=---=∑∑⎰⎰⎰⎰.提示:dS ∑⎰⎰表示∑的面积, ∑是半径为a 的圆.(2)⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dz z y )()()(, 其中Γ为椭圆x 2+y 2=a 2, 1=+b z a x(a >0, b >0), 若从x 轴正向看去, 这椭圆取逆时针方向;解 设∑为平面1=+b z a x 上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为) ,0 ,()cos ,cos ,(cos 2222b a b b a b ++==γβαn . 于是 ⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dx z y )()()(dS y x x z z y zy x ---∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰γβαcos cos cos dS b a b a dS ∑∑⎰⎰⎰⎰++-=---=22)(2)cos 2cos 2cos 2(γβα)(2)(2)(22222b a a dxdy a b a dxdy a b a b a b a xyxyD D +-=+-=+++-=⎰⎰⎰⎰π.提示: ∑(即x ab b z -=)的面积元素为dxdy a b a dxdy a b dS 222)(1+=+=.(3)⎰Γ+-dz yz xzdy ydx 23, 其中Γ为圆周x 2+y 2=2z , z =2, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向;解 设∑为平面z =2上Γ所围成的部分的上侧, 则⎰Γ+-dz yz xzdy ydx 2323yz xz y zy x dxdydzdx dydz -∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰ ππ2025)3()(22-=⨯-=+-+=∑⎰⎰dxdy z dydz x z .(4)⎰Γ-+dz z xdy ydx 232, 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=9, z =0, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向.解 设∑为xOy 面上的圆x 2+y 2≤9的上侧, 则⎰Γ-+dz z xdy ydx 232232z x y zy x dxdydzdx dydz -∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰ π9===⎰⎰⎰⎰∑dxdy dxdy xyD .2. 求下列向量场A 的旋度: (1)A =(2z -3y )i +(3x -z )j +(-2x )k ;解 k j i kj i A 6422332++=---∂∂∂∂∂∂=x y z x y z z y x rot . (2)A =(sin y )i -(z -x cos y )k ;解 j i kji A +=--+∂∂∂∂∂∂=0)cos (sin y x z y z z yx rot . (3)A =x 2sin y i +y 2sin(xz )j +xy sin(cos z )k .解 )sin(cos )sin(sin 22z xy xz y y x z y x ∂∂∂∂∂∂=kj i A rot=[x sin(cos z )-xy 2cos(xz )]i -y sin(cos z )j +[y 2z cos(xz )-x 2cos y ]k . 3. 利用斯托克斯公式把曲面积分dS n A ⋅∑⎰⎰rot 化为曲线积分, 并计算积分值,其中A 、∑及n 分别如下:(1)A =y 2i +xy j +xz k , ∑为上半球面221y x z --=, 的上侧, n 是∑的 单位法向量;解 设∑的边界Γ : x 2+y 2=1, z =0, 取逆时针方向, 其参数方程为 x =cos θ, y =sin θ, z =0(0≤θ≤2π, 由托斯公式dS n A ⋅∑⎰⎰rot ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx ⎰Γ++=xzdz xydy dx y 2⎰=+-=πθθθθθ20220]sin cos )sin ([sin d .(2)A =(y -z )i +yz j -xz k , ∑为立方体0≤x ≤2, 0≤y ≤2, 0≤z ≤2的表面外侧 去掉xOy 面上的那个底面, n 是∑的单位法向量. 解dS n A ⋅∑⎰⎰rot ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx⎰Γ-++-=dz xz yzdy dx x y )()(⎰⎰Γ-===0242dx ydx .4. 求下列向量场A 沿闭曲线Γ(从z 轴正向看依逆时针方向)的环流量: (1)A =-y i +x j +c k (c 为常量), Γ为圆周x 2+y 2=1, z =0; 解θθθθθπd cdz xdy ydx L ]cos cos )sin ()(sin [(20+--=++-⎰⎰⎰==ππθ202d .(2)A =(x -z )i +(x 3+yz )j -3xy 2k , 其中Γ为圆周222y x z +-=, z =0. 解 有向闭曲线Γ的参数方程为x =2cos θ, y =2sin θ, z =0(0≤π≤2π). 向量场A 沿闭曲线Γ的环流量为⎰⎰-++-=++LL dz xy dy yz x dx z x Rdz Qdy Pdx 223)()(。

第十章 曲线积分与曲面积分(第六部分)曲面积分习题解答一、对面积的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑++dS y x z )342(，其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限中的部分． 分析 因为∑：1432=++z y x ，可恒等变形为∑：y x z 3424--=，又因被积函数y x z 342++与∑形式相同，故可利用曲面方程来简化被积函数，即将4342=++y x z 代入，从而简化计算。

解 平面∑方程的为)321(4yx z --=（如图）， ∑在xoy 面上的投影区域xy D ：0,0,132≥≥≤+y x yx ；34,2-=∂∂-=∂∂y z x z ，面积元素 dxdy dxdy y z x z dS 361122=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= 从而 ⎰⎰⎰⎰⋅=++∑xyD dxdy dS y x z 3614)342( 61432213614=⋅⋅⋅=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x |)|(，其中∑为1||||||=++z y x .解 由对称性可知，=⎰⎰∑xdS ，由轮换对称性和代入技巧知，⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑=++=dS dS z y x dS y 31|)||||(|31||，再由曲面积分的几何意义知，34238=⋅=⎰⎰∑dS ，所以，334|)|(=+⎰⎰∑dS y x.y二、对坐标的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑dydz x 2．其中∑为球面2222R z y x =++在第一卦限部分的上侧。

分析 由于∑不是封闭曲面，且只是对坐标z y ,的曲面积分，故直接计算即可。

解 因∑：222z y R x --=取前侧，且∑在yoz 面上的投影区域为0 ,0 , :222≥≥≤+z y R z y D yz .于是得 ⎰⎰∑dydz x 2dydz z y R yzD ⎰⎰--=)(222⎰⎰⋅-θ=πRrdr r R d 02220 )( 402228141212R r r R Rπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑++=ydzdx xdydz zdxdy I ．其中∑是柱面122=+y x 被平面0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧。

第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一 基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。

物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。

定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。

物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。

二 基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。

第十章 曲线积分与曲面积分第一节 第一类曲线积分1.设xOy 平面内有一分布着质量的曲线弧L ,在点(,)x y 处它的线密度为(,)x y ρ,用对弧长的曲线积分表示：（1）这曲线弧L 的长度_______S =; （2）这曲线弧L 的质量_______M =;（3）这曲线弧L 的重心坐标：___x =;___y =;（4）这曲线弧L 对x 轴,y 轴及原点的转动惯量____x I =;____y I =;0____I =. 解 （1）d LS s =⎰;（2）(,)d LM x y s μ=⎰;（3）(,)d (,)d L Lx x y s x x y sμμ=⎰⎰, (,)d (,)d L Ly x y s y x y sμμ=⎰⎰, （4）2(,)d x LI y x y s μ=⎰, 2(,)d y LI x x y s μ=⎰, 220()(,)d LI x y x y s μ=+⎰2.（1）设L 为椭圆22143x y +=,其周长为a ,求⎰+L s y x d )43(22. （2）设L 为圆周2264x y +=,求⎰+Ls y x d 22.解 （1）L ：22143x y +=,即223412x y +=, 从而⎰+Ls y xd )43(22=⎰Ls d 12=⎰Ls d 12=12a .（2）L ：2264x y +=, 从而⎰+Ls y x d 22=⎰Ls 8d =⎰Ls d 8=8π28⋅⋅=128π.3.计算22()d Lx y s +⎰,其中L 是以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形. 解 如图10.1所示,1L ：0y =,x 从02→,2L ：0x =,y 从01→, 3L ：22x y =-,y 从01→,图 10.1d s y y ==. 从而22()d Lxy s +⎰=122()d L x y s +⎰+222()d L x y s +⎰+322()d L x y s +⎰=21122220d d [(22)]d x x y y y y y +-+⎰⎰=12081(485)d 33y y y +-+=3+4.计算s ⎰,其中L 为曲线222x y x +=.解1 L 的参数方程为 L ：1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩ 02πθ≤≤. 计算出d d s θ=,于是s ⎰=20θ⎰=2π02cos d 2θθ⎰2u θ=π4cos d u u ⎰=π208cos d u u ⎰=8.解2 在极坐标系下,L :2cos ,r θ= ππ22θ-≤≤.计算出d s θ==2d θ,于是s ⎰=222cos 2d ππθθ-⋅⎰=208cos d πθθ⎰=8.5.求空间曲线e cos tx t -=,e sin ty t -=,e (0)tz t -=<<+∞的弧长.解 d s t =td tt -,从而 0e d t s t +∞-==.6.有一铁丝成半圆形cos x a t =,sin y a t =,0t π≤≤,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量.解 d s t =t =d a t . d L m s ρ=⎰=d L y s ⎰=πsin d a t a t ⋅⎰=π2sin d a t t ⎰=22a . 7.计算22()d Lxy z s +-⎰,其中L 为球面222x y z a ++=与平面0x y z ++=的交线.解 由于222x y z a ++=与0x y z ++=对x ,y ,z 都具有轮换对称性,故 2d Lx s ⎰=2d Ly s ⎰=2d Lz s ⎰,d Lx s ⎰=d Ly s ⎰=d Lz s ⎰.于是2d L x s ⎰=2221(d d d )3LL L x s y s z s ++⎰⎰⎰ =2221()d 3Lx y z s ++⎰=2d 3L a s ⎰=22π3a a ⋅=32π3a . 其中d Ls ⎰为圆周2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩的周长,显然平面0x y z ++=过球面2222x y z a ++=的球心(0,0,0)O ,所以L 为该球面上的大圆,即半径为a ,故周长为2a π.又因为()d Ly z s -⎰=d d LLy s z s -⎰⎰=0,所以22()d Lx y z s +-⎰=32π3a .第二节 第二类曲线积分1.计算⎰+--+Lyx y y x x y x 22d )(d )(,其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）. 解 L :cos ,sin x a t y a t ==,t 由0到2π, 从而I =⎰+--+L y x yy x x y x 22d )(d )(=20[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]d t t t t t t t π+---⎰=20d t π-⎰=2π-.2.计算22()d Lxy x -⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.解 I =22()d Lx y x -⎰=2240()d x x x -⎰=5615-. 3.计算(2)d d La y x x y -+⎰,其中L 为摆线(sin )x a t t =-,(1cos )y a t =-上对应t 从0到π2的一段弧（图10.2）. 图 10.2解 I =(2)d d La y x x y -+⎰=20{[2(1cos )](1cos )(sin )sin }d a a t a t a t t a t t π---+-⎰=22sin d a t t t π⎰=22πa -.4.计算22[1()sin ]d [()sin ]d Lxy y x x x xy y y ++++⎰,其中L 为上半椭圆221(0)x xy y y ++=≥,从点(1,0)-到点(1,0)的一段弧.解 由221x xy y ++=可得221xy y x +=-,221x xy y +=-,代入积分式,得22[1()sin ]d [()sin ]d Lxy y x x xxy y y ++++⎰=22[1(1)sin ]d (1)sin d Lx x x y y y +-+-⎰=10221[1(1)sin ]d (1)sin d x x x y y y -+-+-⎰⎰=2.5.计算222d d d x x y y z z Γ++⎰,其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段.解 Γ的点向式方程为：111123x y z ---==,从而Γ得参数方程为 1x t =+,12y t =+,13z t =+,t 由0到1.I =12220[(1)2(12)3(13)]d t t t t +++++⎰=111333000111(1)(12)(13)333t t t +++++=32.6.计算⎰Γ+-z y y x d d d ,其中Γ为有向闭折线ABCA ,这里的A ,B ,C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).解 如图10.3,AB :1x y =-,0z =,y 由0到1.d d d ABx y y z -+⎰=12d y -⎰=2-;BC :1y z =-,0x =,z 由0到1;d d d BC x y y z -+⎰=10(2)d z z -⎰=32; CA :1z x =-,0y =,x 由0到1;d d d CAx y y z -+⎰=1d x ⎰=1,图 10.3故 I =()d d d AB BC CAx y y z ++-+⎰⎰⎰=3212-++=12. 7.有一质量为m 的质点,除受重力的作用外,还受到一个大小等于该质点到原点的距离,方向指向原点的力f 的作用,设该质点沿螺旋线:cos L x t =,sin y t =,z t =从点π(0,1,)2A 移动到点(1,0,0)B 移动到点,求重力与力f 的合力所作的功. 解 依据题意,力f =x y z ---i j k ,故质点所受的合力 ()mg x y z mg =-=---+F f k i j k 在螺旋线L 上,起点A 对应于π2t =,终点B 对应于0t =,即π:02t →. 因此,力F 所作的功 d d ()d LW x x y y z mg z =---+⎰=0π2[cos (sin )sin cos ()]d t t t t t mg t ----+⎰=π20()d t mg t +⎰=2ππ82mg +.第三节 格林公式1.设xOy 平面上闭曲线L 所围成的闭区域为D ,将给定的二重积分与其相应的曲线积分用线连接起来. (1)d d Dx y ⎰⎰ (a) ⎰-Lx y y x d d(2) 2d d Dx y ⎰⎰ (b)⎰-L y x x x d d 21(3)d d Dx y -⎰⎰ (c)⎰-L x y y x d d 212.利用曲线积分计算星形线3cos x a t =,3sin y a t =所围成图形的面积.解 如图10.4，因为33cos sin x a tx a t⎧=⎨=⎩ t 由0到2π. 从而S =d Dσ⎰⎰=⎰-Lx y y x d d 21图 10.4=2π32321[cos 3sin cos sin (3cos sin )]d 2a t a t t a t a t t t ⋅--⎰=2π22203sin cos d 2a t t t ⎰=2π2203sin 2d 8a t t ⎰=2π231cos 4d 82t a t -⎰=23π8a .3.证明2322(6)d (63)d Lxy y x x y xy y -+-⎰只与L 的起始点有关,而与所取路径无关,并计算积分(3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰.解 236P xy y =-,2263Q x y xy =-,2123P Qxy y y x∂∂=-=∂∂,所以积分与路径无关, 故(3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰=34212(248)d (549)d x x y y y -+-⎰⎰=2323412[128][273]x x y y -+-=80156236+=. 或者 (3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰ =(3,4)2232(1,2)(6d 6d )(d 3d )xy x x y y y x xy y +-+⎰=(3,4)223(1,2)d(3)x y xy -⎰=223(3,4)(1,2)[3]x y xy -=236. 4.计算e (1cos )d e (sin )d x x LI y x y y y =-+-⎰,其中L 为从(0,0)O 到(,0)A π的正弦曲线sin y x =. 解 如图10.5所示,由格林公式 I =e (1cos )d e (sin )d x xLy x y y y -+-⎰=y y y x y x x AO AOL d )(sin e d )cos 1(e )(-+--⎰⎰+=(e )d d 0xDy x y ---⎰⎰=πsin 0e d d x xx y y ⎰⎰=π201e sin d 2x x x ⎰=π01e (1cos 2)d 4xx x -⎰=ππ0011e d e cos 2d 44x x x x x -⎰⎰=ππ11(e 1)(e 1)420---=π1(e 1)5-. 图 10.5其中π0e cos 2d xx x ⎰=πcos 2de x x ⎰=ππ0e cos 2|e dcos 2xx x x -⎰=π0e 12sin 2d x e x x π-+⎰=ππ0e 12sin 2de x x -+⎰=πππ00e 12e sin 2|2e dsin 2x x x x -+-⎰=ππ0e 14e cos2d x x x --⎰.移项解之,得ππ01e cos 2d (e 1)5x x x =-⎰.注意 本题易犯两个错误： （1）I =y y y x y x x AO AOL d )(sin e d )cos 1(e )(-+--⎰⎰+=(e )d d x Dy x y -⎰⎰.产生错误的原因是,没有注意格林公式使用时的条件：⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂DL y Q x P y x yPx Q d d d d )(,其中C 是D 的取正向的边界曲线.而本题的闭曲线L AO +是D 的取负向的边界曲线,所以二重积分()d d DQ Px y x y∂∂-∂∂⎰⎰前面必须添加负号. （2）计算定积分π0e cos 2d x x x ⎰是连续两次使用部分积分法后移项解出来的.对此积分有些同学束手无策,有些则在连续使用分布积分法d d u v uv v u =-⎰⎰时,每次选取函数()u x ,不注意必须是同类函数（如选三角函数作为()u x 就一直选三角函数,如选e x作为()u x 就一直选e x）,结果就出现了恒等式d d u v u v =⎰⎰,即前进一步又倒退一步,致使积不出来.5. 已知()x ϕ'连续,且(0)(1)0ϕϕ==,(0,0)A ,(1,1)B ,计算⎰-'+-=AMBx x y y x y y I d ]1e )([d ]e )([ϕϕ其中AMB 是以AB 线段为直径的上半圆周.解 如图10.6所示⎰-'+-=AMBx x y y x y y I d ]1e )([d ]e )([ϕϕ=⎰⎰+-'+--BAAMB BA x x y y x y y d ]1e )([d ]e )(][[ϕϕ=d d [()e ]d [()e 1]d x xABDx y y y x y y ϕϕ'-+-+-⎰⎰⎰ 图 10.6=10π[(()())e (1)]d 4xx x x x ϕϕ'-++-+⎰=111000π()e d ()e d (1)d 4x xx x x x x x ϕϕ'-++-+⎰⎰⎰=1100π3()e d e d ()42x x x x x ϕϕ-++-⎰⎰ =111000π3()e d e ()|()e d 42x x x x x x x x ϕϕϕ--++-⎰⎰ =π342--=π3()42-+. 本题需注意两点：（1）同上题一样,使用格林公式时要注意边界曲线的方向,本题因是负向,故二重积分前必须添上负号;（2）因()x ϕ是抽象函数,不可能直接将11()e d ()e d x x x x x x ϕϕ'+⎰⎰积出来,请不要先急于积分,先用分布积分法将10()e d x x x ϕ'⎰表示为11100e d ()e ()|()e d x x xx x x x ϕϕϕ=-⎰⎰,则两项抽象函数的定积分就抵消了,问题就可得到解决,因此在解题过程中一定要善于思考,从中 发现解题技巧.6.证明22()d ()d x y x x y yx y-+++在右半平面(0)x >内为某一函数(,)u x y 的全微分,并求出一个这样的函数(,)u x y .解 22x y P x y -=+,22x yQ x y +=+,由于222222()P y xy x Q y x y x ∂--∂==∂+∂,所以 22()d ()d x y x x y yx y -+++为某一函数(,)u x y 的全微分.取定点0(1,0)M ,对于右半平面上任一点(,)M x y ,令 (,)u x y =(,)22(1,0)()d ()d x y x y x x y yx y -+++⎰=222100d d 0x y x x y x y x x y -++++⎰⎰ =22221001d d d xy y x yx y y x x y x y++++⎰⎰⎰ =221ln arctan ln()ln 2y x x y x x +++- =221arctanln()2y x y x ++.7.已知曲线积分⎰-++Ly x x x y d )9(d )1(33,其中L 为圆周222()x a y a -+= (0)a >,取逆时针方向,求a 的值,使得对应曲线积分的值最大.解 显然31P y =+,39Q x x =-在区域:D 222()x a y a -+≤内有一阶连续的偏导数,由格林公式()I a =⎰+Ly Q x P d d =()d d DQ Px y x y ∂∂-∂∂⎰⎰=22(933)d d Dx y x y --⎰⎰ =229d d 3()d d DDx y x y x y -+⎰⎰⎰⎰=2cos 232029π3d d a a r r πθπθ--⎰⎰=244229π34cos d a a ππθθ--⎰=2442924cos d a a ππθθ-⎰=2431π9π24422a a -⋅⋅⋅=2499ππ2a a -. 2()18π(1)I a a a '=-,令()0I a '=,解得1a =（依题意设0a >，故将0a =和1a =-舍去）,因为1a =是()I a 在(0,)+∞内唯一的驻点,且()18π54πI a ''=-=36π0-<,故()I a 在1a =处取得最大值,因此1a =,即当积分路径为22(1)1x y -+=时,对应曲线积分 的值最大.8.求⎰+---Lyx yx x y 22)1(d )1(d ,其中 （1）L 为圆周2220x y y +-=的正向;（2）L 为椭圆22480x y x +-=的正向.解 令22(,)(1)y P x y x y =-+,22(1)(,)(1)x Q x y x y--=-+,则当22(1)0x y -+≠时,有22222(1)[(1)]Q x y Px x y y∂--∂==∂-+∂, 记L 所围成的闭区域为D ,（1）L :2220x y y +-=,即22(1)1x y +-=, 此时(1,0)D ∉,（如图10.7(a)所示）. 图 10.7(a)图 10.7(b)由于Q Px y∂∂=∂∂,由格林公式, 0)1(d )1(d 22=+---⎰Ly x yx x y .（2）L :22480x y x +-=,即22(1)14y x -+=,此时(1,0)D ∈,以(1,0)为圆心,以充分小的0ε>为半径作圆周1cos :sin x C y εθεθ-=⎧⎨=⎩,θ由0到2π,取逆时针方向（如图10.7(b)所示）.记L 和C 所围成的闭区域为1D ,对复连通区域1D 应用格林公式,得 0)1(d )1(d 22=+---⎰-+C L yx yx x y , 从而I =⎰+---Ly x y x x y 22)1(d )1(d =⎰+---C y x yx x y 22)1(d )1(d =2π2sin (sin )cos cos d εθεθεθεθθε--⋅⎰=2π0d θ-⎰=2π-.注意 （2）中由于点(1,0)位于L 所围成的闭区域D 内,需用复连通域上的格林公式,以避开(1,0)点,考虑到被积函数的分母为22(1)x y -+,故取圆周1cos :sin x C y εθεθ-=⎧⎨=⎩,有同学不考虑“洞”,即点(1,0),直接用格林公式,得到0)1(d )1(d 22=+---⎰Lyx yx x y 是错误的. 9.求[esin ()]d (e cos )d xx LI y b x y x y ax y =-++-⎰,其中a 、b 为正常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧.解 添加从点(0,0)O 沿0y =到点(2,0)A a 的有向直线段1L ,则⎰⎰-++---++-=+11d )cose (d )](sin e [d )cos e (d )](sin e [L x x L L x x yax y x y x b y y ax y x y x b y I =20[(e cos )(e cos )]d d d a x x Dy a y b x y bx x -----⎰⎰⎰=20()d d d a Db a x y b x -+⎰⎰⎰=22π()(2)22bb a a a -+=23ππ(2)22a b a +-.第四节 第一类曲面积分1.设有一分布着质量的曲面∑,在点(,,)x y z 处它的面密度为(,,)x y z ρ.用曲面积分表示：（1）这曲面∑的面积A =______; （2）这曲面∑的质量M =______;（3）这曲面∑的重心坐标为x =______,y =______,z =______; （4）这曲面∑对于x 轴,y 轴,z 轴及原点的转动惯量x I =__,y I =__,z I =______,0I =______.解 （1）A =d S ∑⎰⎰.（2）M =(,,)d x y z S μ∑⎰⎰.（3）x =(,,)d (,,)d x x y z Sx y z Sμμ∑∑⎰⎰⎰⎰,y =(,,)d (,,)d y x y z Sx y z Sμμ∑∑⎰⎰⎰⎰,z =(,,)d (,,)d z x y z Sx y z Sμμ∑∑⎰⎰⎰⎰.（4）x I =22()(,,)d y z x y z S μ∑+⎰⎰, y I =22()(,,)d x z x y z S μ∑+⎰⎰, z I =22()(,,)d xy x y z S μ∑+⎰⎰, 0I =222()(,,)d x y z x y z S μ∑++⎰⎰.2.计算4(2)d 3z x y S ∑++⎰⎰,其中∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分. 解 如图10.8所示，∑:1234x y z ++=,2zx ∂=-∂,43z y ∂=-∂,d d S x y ==d d 3x y , 在积分曲面上,被积函数423z x y ++=4()4234x y z++=,303:202xy y xD x ⎧≤≤-⎪⎨⎪≤≤⎩,从而4(2)d 3z x y S ∑++⎰⎰=4d 3xyD x y ⋅⎰⎰图 10.8=461d d xyD x y ⎰⎰=46133⋅=461. 3.计算⎰⎰∑+S y xd )(22,其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 解 如图10.9所示,1∑:22z x y =+,22zxx y∂=∂+,22z yx y∂=∂+,22d 1()()d d z z S x y x y∂∂=++∂∂=2d d x y ,22:1xy D x y +≤. 2∑:1z =,d d d S x y =,22:1xy D x y +≤,⎰⎰∑+S y x d )(22=122222()d ()d x y S x y S ∑∑+++⎰⎰⎰⎰ =2π12π1220d ρ2ρd ρd ρρd ρθθ+⎰⎰⎰⎰=11330022πρd ρ2πρd ρ+⎰⎰=π(21)2+. 4.计算I =()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中∑为锥面22z x y =+被柱面222x y ax +=所截成的部分(0)a >.解 因为积分曲面∑关于zOx 坐标面（即0y =平面）对称,xy yz +()y x z =+是关于y 的奇函数,所以I =()d d y x z S zx S ∑∑++⎰⎰⎰⎰＝0d zx S ∑+⎰⎰此外,在∑上,22z x y =+,d 2d d S x y =,且∑在xOy 面上的投影为22:2xy D x y ax +≤,因此I ＝d zx S ∑⎰⎰＝22d x x y S ∑+⎰⎰＝222d d xyD x x y x y +⎰⎰＝π2cos 32π022d cos d a r r θθθ-⎰⎰＝452082cos d aπθθ⎰＝4428253a ⋅⋅＝464215a ． 图 10.95.计算d S ∑⎰⎰,其中∑为抛物面222()z xy =-+在xOy 面上方的部分.解 如图10.10所示,222()z x y =-+,2zx x∂=-∂,2z y y ∂=-∂,22d 1()()d d z z S x y x y∂∂=++∂∂=22144d d x y x y ++, 22:2xy D x y +≤,d S ∑⎰⎰=22144d d xyD x y x y ++⎰⎰=2π220d 14ρρd ρθ+⎰⎰=12222012π(14ρ)d(14ρ)8++⋅⎰=2223π2(14ρ)|43⋅+=13π3. 6.计算()d x y z S ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分. 解 ∑在xOy 面上的投影为圆域：2222:xy D x y a h +≤-, d S =222222221()()d d x y x y a x ya x y--++----=222d d x y a x y--,故()d x y z S ∑++⎰⎰=222222()d d xyD x y a x y x y a x y++--⋅--⎰⎰由积分区域的对称性可得：222d d xy D x x y a x y⋅--⎰⎰=0，222d d xyD y x y a x y⋅--⎰⎰=0,又积分区域xy D 的面积为22π()a h -,故()d x y z S ∑++⎰⎰=d d xyD a x y ⎰⎰=22π()a a h -. 7.求柱面220x y ax +-=在球面2222x y z a ++=内部的部分的表面积(0)a >. 解 由对称性,所求面积A 为其位于第一卦限部分面积的4倍,即4d A S ∑=⎰⎰,其中曲面∑为2y ax x =-,求得面积元素图 10.10d d S x z =d x z ,由22z x y ax⎧⎪=⎨+=⎪⎩,消去y ,得z =由此得∑在zOx 坐标面上的投影为::0xz D z ≤≤0x a ≤≤,因此,曲面∑的面积 4d A S ∑=⎰⎰=4d xzD x z=02d a ax ⎰⎰=02a ax ⎰=02ax ⎰=24a . 8.设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,)P x y z S ∈,π为S 在点P 处的切平面,(,,)f x y z 为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求d (,,)SzS f x y z ⎰⎰解 设(,,)X Y Z 为π上任意一点,则π的方程为122xX yY zZ ++=,从而知 (,,)f x y z =12222()44x y z -++,由z =有z x ∂∂,z y∂∂d Sd x yd x y ,从而d (,,)Sz S f x y z ⎰⎰=221(4)d d 4Dx y x y --⎰⎰=2π201d ρ)ρd ρ4θ-⎰⎰=3π2.第五节 第二类曲面积分1.当∑是xOy 面内的一个闭区域D 时,(,,)d f x y z S ∑⎰⎰与二重积分的关系为（1）(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=____d d D x y ⎰⎰,（2）(,,)d R x y z S ∑⎰⎰=____d d Dx y ⎰⎰.解 （1）(,,0)f x y , （2）(,,0)R x y ±.注意 因第一类曲面积分与所给曲面的侧无关,所以(1)中应填(,,0)f x y ;而第二类曲面积分与曲面的侧有关,所以(2)中应填(,,0)R x y ±,有个别同学常疏忽这一点,只填(,,0)R x y ,这是不对的.2.计算222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑为半球面z =. 解 记1∑:x =取前侧,2∑:x =,1∑与2∑在yoz面的投影区域相同,记为yz D .2d d x y z ∑⎰⎰=12d d x y z ∑⎰⎰+22d d x y z ∑⎰⎰ =222222()d d ()d d yzyzD D a y z y z a y z y z -----⎰⎰⎰⎰=0. 同理2d d y z x ∑⎰⎰=0,而 2d d z x y ∑⎰⎰=222222()d d x y a a x y x y +≤--⎰⎰=2220d (ρ)ρd ρaa πθ-⎰⎰=4π2a . 从而I =222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ =2d d x y z ∑⎰⎰+2d d y z x ∑⎰⎰+2d d z x y ∑⎰⎰=0+0+4π2a =4π2a .注意 常见的错误是：2d d x y z ∑⎰⎰=12d d x y z ∑⎰⎰+22d d x y z ∑⎰⎰=2222()d d yzD a y z y z --⎰⎰ 或2d d y z x ∑⎰⎰=2222()d d zxD ax z z x --⎰⎰.产生错误的原因是忽视了将第二类曲面积分化为二重积分时,应根据积分曲面的侧选择二重积分前的正、负号.(,,)d d f x y z x y ∑⎰⎰=[,,(,)]d d xyD f x y z x y x y ±⎰⎰,(,,)d d g x y z y z ∑⎰⎰=[(,),,]d d yzD g x y z y z y z ±⎰⎰,(,,)d d R x y z z x ∑⎰⎰=[,(,),]d d zxD R x y z x z z x ±⎰⎰.将第二类曲面积分化为二重积分时,究竟什么时候二重积分前面写正号,什么时候写负号,这与所给曲面的侧有关.切记：上侧取正,下侧取负; 前侧取正,后侧取负; 右侧取正,左侧取负;3.计算⎰⎰∑y x xz d d ,其中∑是平面0x =,0y =,0z =,1x y z ++=所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 如图10.11所示,1234∑=∑+∑+∑+∑,其中1234,,,∑∑∑∑各自对应于四面体的一个表面,可表示为1∑:0z = 下侧; 2∑:0y = 左侧;3∑:0x = 后侧; 4∑:1x y z ++= 上侧.由于1∑在0z =平面上,故在1∑上的曲面积分为0; 同理,在2∑,3∑上的曲面积分也都为0,所以,所求积分⎰⎰∑y x xz d d =4d d xz x y ∑⎰⎰由4∑得方程得1z x y =--,4∑在xoy 面上的投影域为:01xy D y x ≤≤-,01x ≤≤, 于是⎰⎰∑y x xz d d =4d d xz x y ∑⎰⎰=4(1)d d x x y x y ∑--⎰⎰=(1)d d xyD x x y x y --⎰⎰=110d (1)d x x x x y y ---⎰⎰=124. 4.计算d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z R ++=的外侧. 解 由题设,∑的单位法向量n =(cos ,cos ,cos )αβγ,2,2)x y z =1(,,)x y z R. 由两类曲面积分的关系,可得d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰=(cos cos cos )d x y z S αβγ∑++⎰⎰=2221()d x y z S R ∑++⎰⎰=21d R S R ∑⎰⎰ =d RS ∑⎰⎰几何意义24πR R ⋅=34πR . 5.计算I =y x z h x z y g z y x f d d )(d d )(d )d (++⎰⎰∑,其中,,f g h 为连续函数,∑为平行六面体:0,0,0x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤表面的外侧. 解⎰⎰∑y x z h d d )(=()d d (0)d d xyxyD D h c x y h x y -⎰⎰⎰⎰=[()(0)]ab h c h -,⎰⎰∑x z y g d d )(=()d d (0)d d xzxzD D g b z x g z x -⎰⎰⎰⎰=[()(0)]ac g b g -,⎰⎰∑z y x f d d )(=()d d (0)d d yzyzD D f a y z f y z -⎰⎰⎰⎰=[()(0)]bc f a f -,从而 I =()(0)()(0)()(0)[]f a f g b g h c h abc a b c---++.注意 本题易犯的错误是利用高斯公式来解,题目中仅告诉我们,,,f g h 为连续函数,又如何对,,f g h 求导呢?6.计算[(,,)]d d [2(,,)]d d [(,,)]d d f x y z x y z f x y z y z x f x y z z x y ∑+++++⎰⎰,其中(,,)f x y z 为连续函数,∑是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧.解 平面1x y z -+=的法线向量为n ={1,1,1}-,方向余弦为cosα=,cos β=cos γ=, 则 I =[(,,)]d d [2(,,)]d d [(,,)]d d f x y z x y z f x y z y z x f x y z z x y ∑+++++⎰⎰=[()cos (2)cos ()cos ]d f x f y f z S αβγ∑+++++⎰⎰=[((2)((f x f y f z S ∑++++⎰⎰()dx y z S∑-+=1d3S∑⎰⎰dxyDx y⎰⎰dxyx y⎰⎰=d dxyDx y⎰⎰=12.第六节高斯公式通量与散度1.设计yxxyzxzzxyzyyzx dd)(dd)(d)d(222-+-+-⎰⎰∑,其中∑为平面x=,0,0,,,y z x a y a z a=====所围成的立体的表面的外侧.解由高斯公式,I=yxxyzxzzxyzyyzx dd)(dd)(d)d(222-+-+-⎰⎰∑=(222)dx y z vΩ++⎰⎰⎰=2()dx y z vΩ++⎰⎰⎰设该正方体的形心坐标为(,,)x y z,则2ax y z===,而d ddx v x vxvvΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,d y vyvΩ=⎰⎰⎰,d z vzvΩ=⎰⎰⎰,所以d,x v xvΩ=⎰⎰⎰d,y v yvΩ=⎰⎰⎰d,z v zvΩ=⎰⎰⎰.从而I=2()x y z v++=31112()222a a a a++=43a.本题巧妙地利用了重心坐标公式,将利用高斯公式后得到的三重积分()dx y z vΩ++⎰⎰⎰的计算转化为计算()x y z v++,从而使问题得到解决.2.计算24d d d d2d dxz y z y z x yz x y∑-+⎰⎰,其中∑是球面2222x y z a++=外侧的上半部分(0)a>.解补充平面2221:0()z x y a∑=+≤取下侧,I=yxyzxzyzyxz dd2dddd4)(211+--⎰⎰⎰⎰∑+∑∑=(422)d0z y y vΩ-+-⎰⎰⎰=4d z vΩ⎰⎰⎰=2π0004dρdρdazθ⎰⎰⎰=22ρρ8πρdρ2a a-⋅⎰=4πa.注意 易犯的错误是 （1）I =24d d d d 2d d xz y z y z x yz x y ∑-+⎰⎰=(422)d z y y v Ω-+⎰⎰⎰=4zdv Ω⎰⎰⎰=… 产生错误的原因是,没有注意到∑仅是球面的上半部分,∑并非封闭曲面,不能直接用高斯公式.尽管本题中沿曲面1∑的积分：124d d d d 2d d 0xz y z y z x yz x y ∑-+=⎰⎰,致使题目答案未受任何影响,但对不封闭的曲面直接用高斯公式,显然是不对的.（2）有同学在补充平面2221:0()z x y a ∑=+≤时,不写取什么侧,这也不妥.3.计算y x z x z y x f x z y )y x f(y d d d d )(1d d 1++⎰⎰∑,其中()f u 具有一阶连续导数,∑为柱面222()()()2ax a y a -+-=及平面0,1(0)z z a ==>所围成立体的表面外侧.解 利用高斯公式,有I =y x z x z yxf x z y )y x f(y d d d d )(1d d 1++⎰⎰∑=2211[()()1]d x xf f v y y y y Ω''-+⎰⎰⎰=d v Ω⎰⎰⎰ =2π()12a ⋅⋅=2π4a . 4.计算y x z x z y z y x d d d d d d 333++⎰⎰∑,其中∑为球面2222xy z a ++=的内侧.解y x z x z y z y x d d d d d d 333++⎰⎰∑=2223()d xy z v Ω-++⎰⎰⎰=2ππ403d sin d ρd ρaθϕϕ-⎰⎰⎰=512π5a -. 注意 易犯的错误是y x z x z y z y x d d d d d d 333++⎰⎰∑=2223()d x y z v Ω++⎰⎰⎰ =23d a v Ω⎰⎰⎰=2343π3a a ⋅=54πa . 这里有两个错误：(1) 不注意高斯公式使用的条件：∑应是空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧. 本题所 给的闭曲面是球面的内侧. 因此在将闭曲面上的曲面积分y x z x z y z y x d d d d d d 333++⎰⎰∑化成三重积分2223()xy z dv Ω++⎰⎰⎰时,前面必须写上负号.(2) 将曲面积分与三重积分的计算法混为一谈. 计算三重积分222()d x y z v Ω++⎰⎰⎰时, 因为Ω为球体：2222x y z a ++≤,因此不能将三重积分中的被积函数222x y z ++用2a 代入,这种做法是常犯的错误. 只有计算曲面积分时,才能将曲面方程代入被积函数.5.计算322d d 2d d 3d d I x y z xz z x y z x y ∑=++⎰⎰,其中积分曲面∑为抛物面z =22(01)x y z +≤≤的上侧.解 令221:1(1)z x y ∑=+≤,取下侧,则1∑+∑构成封闭曲面,取内侧. 于是y x y x z xz z y x d zd 3d d 2d d 2231++⎰⎰∑+∑=()d P Q R v x y zΩ∂∂∂-++∂∂∂⎰⎰⎰ =223()d d d xy x y z Ω-+⎰⎰⎰=221223d d ()d xyx yD x y x y z +-+⎰⎰⎰=22π11203d d d r r r r z θ-⎰⎰⎰=13206π(1)d r r r --⎰=π2-.由于1∑在平面1z =上,1∑在,zOx yOz 坐标面上的投影为直线段,故d d z x =d d y z =0,1∑在xOy 坐标面上的投影域为22:1xy D x y +≤,于是322d d 2d d 3d d x y z xz z x y z x y ∑++⎰⎰=123d d y x y ∑⎰⎰=23d d xyD y x y -⎰⎰ =212203d ρρsin d ρπθθ-⋅⎰⎰=212303sin d ρd ρπθθ-⎰⎰=3π4-. 所以11322322d d 2d d 3d d d d 2d d 3d d I x y z xz z x y z x y x y z xz z x y z x y ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰=π3π()24---=π4.6.计算⎰⎰∑++S z y xd )cos cos cos (222γβα,其中∑是由222x y z +=及z h =(0)h >所围成的闭曲面的外侧,cos ,cos ,cos αβγ是此曲面的外法线的方向余弦.解 ∑在xOy 平面上的投影区域为：222x y h +≤. I =⎰⎰∑++S z y x d )cos cos cos (222γβα=⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d 222=(222)d x y z v Ω++⎰⎰⎰=2d d )d xyh D x y x y z z ++⎰⎰=2()d d 2d d d xyxyh h D D x y x y z x y z ++⎰⎰⎰⎰=222()2()(d 2d d 2xy xyD D h x y x y h x y x y -+++⎰⎰⎰⎰=2π2π22202(cos sin )d (ρ)ρd ρd (ρ)ρd ρh hh h θθθθ+-+-⎰⎰⎰⎰=23002π(ρρ)d ρhh +-⎰=442π[]24h h -=4π2h .7.已知向量场22xz x y y z =i +j +k A ,求A 的散度以及A 穿过∑流向∑指定侧的通量,其中∑为2222,1z x y x y =++=以及三个坐标面在第一卦限所围立体全表面的外侧. 解 令22,,P xz Q x y R y z ===,则A 的散度 22div P Q RA z x y x y z∂∂∂=++=++∂∂∂. 通量⎰⎰∑⋅=ΦS d n A =div d v Ω⎰⎰⎰A =22()d z x y v Ω++⎰⎰⎰=22220d d ()d xyx y D x y z x y z +++⎰⎰⎰22(:1,0,0)xy D x y x y +≤≥≥=2223()d d 2xyD x y x y +⎰⎰=142003d d 2r r r πθ⋅⎰⎰=π31226⋅⋅=π8.第七节 斯托克斯公式 环量与旋度1.利用斯托克斯公式计算⎰Γ++z x y z x y d d d ,这里Γ为曲线2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩ 从x 轴正向看去,Γ为逆时针方向.解 平面0x y z ++=的上侧法线的方向余弦为cos cos cos αβγ===设∑为平面0x y z ++=上由圆周Γ所围成的面域,取上侧,相应的单位法向量. 于是⎰Γ++z x y z x y d d d =cos cos cos d S x y z yzxαβγ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰=(cos cos cos )d S αβγ∑-++⎰⎰=d S ∑=2a . 2.求向量场(sin )(-cos )z y z x y +A =i -j 的旋度.解 rot sin cos 0x y z z y z x y∂∂∂∂∂∂+-+ij k A ==+i j . 3.求平面向量场22()2x y xy -A =i +j 沿闭曲线L 的环流量,其中L 是0x =,,0,x a y y b ===所围成的正向回路. 解 环向量⎰+-Ly xy x y x d 2d )(22=4d d xyD y x y ⎰⎰=004d d a bx y y ⎰⎰=22ab .4.利用斯托克斯公式计算⎰Lz xyz d ,其中Γ是用平面y z =截球面22xy +21z +=所得的截痕,若逆z 轴正向看去,取逆时针的方向. 解 由斯托克斯公式⎰Lz xyz d =d d d d d d 00y z z x x yx y z xyz∂∂∂∂∂∂=d d d d xz y z yz z x ∑-⎰⎰, 其中∑是平面y z =上以圆Γ为边界的平面,其侧与Γ的正向符合右手规则.显然,∑在yoz 坐标面上的投影为一线段,所以d d 0xz y z ∑=⎰⎰.∑在xoz 坐标面上的投影为一椭圆域22:21D x z +≤,且∑的法向量与y 轴成钝角, 从而2d d d dDyz z x z z x ∑-=⎰⎰⎰⎰=2d z z x ⎰⎰=π22204sin sin cos d zz t t t =⎰π2420(sin sin )d t t t -1π31π2()22422⋅-⋅⋅=π16.第十章 曲线积分与曲面积分（总习题）1.填空.（1）设平面曲线L 为下半圆周y =则曲线积分22()d Lx y s +⎰的值是π;（2）向量场22(,,)ln(1)zx y z xy ye x z =+++u i j k 在点(1,1,0)P 处的散度div 2=u . （3）设L 为取正向的圆周229x y +=,则曲线积分⎰-+-Ly x x x y xy d )4(d )22(2的值是18π-.解 （1）22()d L x y s +⎰=d L s ⎰=12π12⋅⋅=π. （2）div u =P Q R x y z ∂∂∂++∂∂∂=222e 1Zz y x z ++⋅+, 从而 2(1,1,0)22div |e |21zP xzy z =++=+u . （3）⎰-+-Ly x x x y xy d )4(d )22(2=(2422)d d D x x x y --+⎰⎰=2d d Dx y -⎰⎰=22π3-⋅⋅=18π-. 2.计算⎰++ABCDA y x yx d d ,ABCDA 是以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --位顶点的正方形正向边界. 解 法1 ⎰⎰+=++=ABCDA ABCDA y x y x yx I d d d d (00)d d 0Dx y =-=⎰⎰.此法是先将正方形的边界1x y +=代入被积函数后,再用格林公式求解. 法2 因 :1,AB x y += :1,BC y x -= :1,CD x y --=:1DA x y -=.从而d d ()ABBCCDDAx yI x y+=++++⎰⎰⎰⎰=()d d ABBCCDDAx y ++++⎰⎰⎰⎰=01111(11)d (11)d (11)d (11)d x x x x ---+++-++⎰⎰⎰⎰=112d 2d x x -+⎰⎰=0.法2是分段分别计算,比较一下还是法1简便.但切记不可直接对⎰++ABCDA y x yx d d 用格林公式.请同学们动脑筋想一下,这是为什么？3.计算⎰-+-+-=ABz xy z y zx y x yz x I d )(d )(d )(222,B A 为螺线cos x ϕ=,y =sin ϕ,z ϕ=由点(1,0,0)到点(1,0,2π)的弧段. 解 ⎰-+-+-=ABz xy z y zx y x yz x I d )(d )(d )(222=22220[(cos sin )(sin )(sin cos )cos (sin cos )]d πϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ--+-+-⎰ =22222222cos dcos cos2d sin dsin d sin dsin πππππϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-++-⎰⎰⎰⎰⎰=33322π2π2π2π0000cos sin sin |0|||3332ϕϕϕϕ-++- =31000(2π)03-++-=38π3. 4.设B A ))为连接点(1,2)A 与(2,3)B 的某曲线弧,又设B A ))与直线段AB 所包围图形的面积等于k ,计算曲线积分y xx x x y B A d )1(d 2⎰-+)).(直线段AB 与曲线弧B A ))除点,A B 外无其它交点,曲线弧B A ))不与y 轴相交,且自身不相交).解 2(,)y P x y x =, 1(,)Q x y x x=-,则 221111Q P x y x x∂∂-=+-=∂∂, 直线段:1BA y x =+,x 由2到1,记B A ))与BA 所围成的闭区域为D ,由于要用到格林公式,所以要分两种情况讨论：B A ))取逆时针方向（如图10.12(a)）（1）y x x x x y I B A d )1(d 2⎰-+=))=y xx x x y BAAB BA d )1(d )(2-+-⎰⎰+ =21d d d ()d BA Dy x y x x y x x -+-⎰⎰⎰=12211()d x k x x x x+-+-⎰ =1221()d k x x x-+⎰=2k +. （2）B A ))取顺时针方向（如图10.12（b ）所示）. y x x x x y I B A d )1(d 2⎰-+=))=y xx x x y BA AB BA d )1(d )(2-+-⎰⎰+ =21d d d ()d BA Dy x y x x y x x--+-⎰⎰⎰=1221()d k x x x --+⎰=2k -+.注意 常见错误是不讨论B A ))是取逆时针方向,还是取顺时针方向,就直接利用了格林公式,这是不对的.5.计算曲线积分⎰++-L y x y x x y 22d d .（1）L 是圆周22(1)(1)1x y -+-=的正向; （2）L 是曲线1x y +=的正向.解 22(,)y P x y x y -=+, 22(,)x Q x y x y=+,当220x y +≠时, 22222()P y x Qy x y x∂-∂==∂+∂, 记曲线L 所围成的闭区域为D . 图 10.12（1） 如图10.13（a ）所示,此时(0,0),(,),(,)D P x y Q x y ∉在L 所围成的闭区域D 内有一阶连续偏导数,由格林公式： ⎰⎰⎰==++-=L Dy x y x yxx y I 0d d 0d d 22. c（2）如图10.13（b ）所示,此时(0,0),(,),(,)D P x y Q x y ∈在L 所围成的闭区域D 上有不连续点(0,0),以(0,0)为圆心,以充分小0ε>的为半径作圆周:cos ,sin ,02πC x y εθεθθ==≤≤,C 取逆时针方向,记L 和C 所围成的闭区域为1D ,对复连通域1D 应用格林公式,有0d d 22=++-⎰-+C L yx yx x y 从而⎰++-L y x y x x y 22d d =⎰++-C y x y x x y 22d d=2π2sin (sin )cos cos d εθεθεθεθθε--+⋅⎰=20d πθ⎰=2π.6.计算曲线积分⎰+-Cy x xy y x 224d d ,其中C 是(1,0)以为中心,(1)R R ≠为半径的圆周,逆时针方向.解 22(,)4y P x y x y -=+, 22(,)4xQ x y x y =+,当2240x y +≠时,22224P y x Qy x y x∂-∂==∂+∂,C 所围成的闭区域记为D ,(0,0)究竟在不在以为(1,0)中心,R 为半径的圆内,要分两种情况讨论： 图 10.13（1）1R <时,(0,0)D ∉（图10-14(a)）,则⎰=+-Cy x xy y x 04d d 22;（2）1R >时,(0,0)D ∈,作足够小的椭圆cos :2sin x L y εθεθ=⎧⎨=⎩,02πθ≤≤,L 取逆时针方向（图10.14(b)）于是由格林公式,有04d d 22=+-⎰-+L C yx xy y x , 从而⎰+-Cy x x y y x 224d d =⎰+-L yx xy y x 224d d =2π22220cos 2cos )2sin (sin )d 4cos 4sin εθεθεθεθθεθεθ--+⎰=2π01d 2θ⎰=π. 注意 易犯错误是不分1,1R R <>两种情况讨论,未注意闭曲线L 所围成的闭区域D 内有无“洞”,即D 是否为“单连通域”？7.设曲线积分2d ()d Lxy x y x y ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0ϕ=,计算(1,1)2(0,0)d ()d xy x y x y ϕ+⎰的值.解 2(,)P x y xy =,(,)()Q x y y x ϕ=,因曲线积分与路径无关,P Qy x∂∂=∂∂, 22(),()2,()xy y x x x x x C ϕϕϕ''===+, 由(0)0ϕ=,则0C =,从而2()x x ϕ=. (1,1)2(0,0)d ()d I xy x y x y ϕ=+⎰=(1,1)22(0,0)d d xy x x y y +⎰=1d y y ⎰=12. 8.质点P 沿着以AB 为直径的圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 的作用,F 的大小等于点P 到原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角（a ）1R <（b ）1R >图 10.14。

第十章曲线积分与曲面积分10.1 对弧长的曲线积分一、求曲线cos,sin,t t tx e t y e t z e===从0t=到任意点间的那段弧的质量，设它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为1。

1)te-）二、计算下列曲线积分：1. L⎰，其中L为旋轮线：(sin)(1cos)x a t ty a t=-⎧⎨=-⎩（0tπ≤≤2）。

（324aπ）2.()Lx y ds+⎰，其中L是顶点为(0,0),(1,0),(0,1)O A B的三角形边界。

（13. L⎰，其中L是由极坐标曲线,0,r aπθθ===4所围成的区域的边界曲线。

（2(1)a ae aeπ-+4）4.()Lx y z ds++⎰，其中L由直线AB：(1,1,0),(1,0,0)A B及螺线cos,sin,(02)x t y t z t tπ===≤≤组成。

（322+）三、计算L⎰，其中L是由,0y x y y===所围成的第一象限部分的边界。

（2sin cosR R Rπ+4）四、计算L，其中L是圆：2222x y z ax y⎧++=⎨=⎩。

（2aπ2）五、 计算Lxds⎰Ñ，其中L 由直线0,x y x ==及曲线22y x -=所围成的第一象限部分的整个边界。

（+） 10.2 对坐标的曲线积分一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离成正比，比例系数为k 。

若质点从点(0,)a 沿椭圆22221x y a b +=在第一象限部分移动到点(0,)b ，求弹力所做的功。

（221()2k a b -）二、计算曲线积分22(2)(2)Lx xy dx y xy dy ++-⎰，其中L 是抛物线2(11)y x x =-≤≤沿x增加的方向。

（1415-） 三、 计算2y Lxe dy+⎰，其中L是曲线y =从点(0,0)O 到点(1,1)的一段弧。

（2322）四、 计算2222()()Lx y dx x y dy ++-⎰，其中L 是曲线11y x =--从点(0,0)到点(2,0)的一段。

第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧； 解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。

解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。

证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。

解 :45Lxydx =⎰。

（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。

（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。

第十章 曲线积分与曲面积分一．曲线积分的计算 （1）基本计算1.第一类：对弧长线积分的计算(,)Lf x y ds ⎰关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰例 L 为圆周221,x y +=则22xy Le ds +=⎰2e π 参数方程，曲线代入解 cos :(02)sin x L y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩ds d θθ==22x y Leds +=⎰202ed e πθπ=⎰例 计算2⎰L x ds ，其中2222:(0)0⎧++=>⎨-=⎩x y z a L a x y . (8分)解 由于 22222222::00⎧⎧++=+=⇒⎨⎨-=-=⎩⎩x y z a x z a L L x y x y 所以L 的参数方程可表示为:(02)sin θθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩x L y t z a (3分)θθ==ds ad (2分) 故23222cos 22ππθθ==⎰⎰La a x ds ad(3分) 【例10.22】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为:,(),cos 22L ds ad r a θθππθθθθ=⎧-≤≤==⎨=⎩则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰第二类：对坐标的线积分的计算 关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩(:)t αβ→做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰例 设L 为抛物线2y x =从点()0,0到()2,4一段弧，则()22Lx y dx -=⎰5615-注意微元，及参数方程的形式【例10.17】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧. 解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算；对弧长的线积分，对称性同二重积分 例 计算3222(),Lx y ds L x y R 其中：++=⎰解：33()LLLx y ds xds y ds =+=0+⎰⎰⎰ 第一个L 关于y 对称，第二个L 关于x 对称【例10.15】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a ta y a t =⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解 （法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例10.18】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰对坐标的线积分，对称性为，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x 对称，L 在上半平面与下半平面部分的走向相反时，若P 对y 为偶函数，则，0LPdx =⎰奇函数，则12LL Pdx Pdx =⎰⎰。

第十章 曲线积分与曲面积分一．曲线积分的计算 （1）基本计算1.第一类：对弧长线积分的计算(,)Lf x y ds ⎰关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰例 L 为圆周221,x y +=则22xy Le ds +=⎰2e π 参数方程，曲线代入解 cos :(02)sin x L y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩ds d θθ==22x y Leds +=⎰202ed e πθπ=⎰例 计算2⎰L x ds ，其中2222:(0)0⎧++=>⎨-=⎩x y z a L a x y . (8分)解 由于 22222222::00⎧⎧++=+=⇒⎨⎨-=-=⎩⎩x y z a x z a L L x y x y 所以L 的参数方程可表示为:(02)sin θθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩x L y t z a (3分)θθ==ds ad (2分) 故23222cos 22ππθθ==⎰⎰La a x ds ad(3分) 【例10.22】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为:,(),cos 22L ds ad r a θθππθθθθ=⎧-≤≤==⎨=⎩则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰第二类：对坐标的线积分的计算 关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩(:)t αβ→做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰例 设L 为抛物线2y x =从点()0,0到()2,4一段弧，则()22Lx y dx -=⎰5615-注意微元，及参数方程的形式【例10.17】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧. 解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算；对弧长的线积分，对称性同二重积分 例 计算3222(),Lx y ds L x y R 其中：++=⎰解：33()LLLx y ds xds y ds =+=0+⎰⎰⎰ 第一个L 关于y 对称，第二个L 关于x 对称【例10.15】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a ta y a t =⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解 （法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例10.18】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰对坐标的线积分，对称性为，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x 对称，L 在上半平面与下半平面部分的走向相反时，若P 对y 为偶函数，则，0LPdx =⎰奇函数，则12LL Pdx Pdx =⎰⎰。

第10章曲线积分和曲⾯积分参考解答1l ()()213122001211418312l xds x ==?+= ()1211212Ll l xds xdsxds =+=+??蜒? （2）()22234Lxy x y ds ++??，L 为椭圆22143x y +=，其周长为a 。

解：()()22222342341212LLy ds xyds x y ds ds a ++=++==蜒蜒注意第⼀类曲线积分的对称性：若曲线关于x （y ）轴对称，⽽被积函数关于y （x ）为奇函数，则曲线积分为零！（3）L，L 为圆周22x y ax +=（0a >）。

解：圆周之参数⽅程为cos 22sin 2a a x t a y t ?=+=??（02t π≤≤），故22200cos22La tdtππ==2222002cos cos cos2a u du a udu udu aππππ（4）Lzds，L为()0 cossin0x t ty t t t tz t==≤≤=解：()322123tLzds t==+-Lx ds，L圆周为2222x y z ax y z++=++=解：因222L L Lx ds y ds z ds==蜒?，故()222223112333L L Lx ds x y z ds a ds aπ=++==蜒?2、计算下列对坐标的曲线积分：（1）()()2222Lx y dx x y dy++-1,1再到点()2,0的⼆线段。

x解：()1:01L y x x=≤≤，()2:212L y x x=-≤≤()()2222LI x y dx x y dy=++-()()()()1222222222L Lx y dx x y dy x y dx x y dy =++-+++-()()()()1222222=++----()122201222x dx x dx =+-??43=（作代换2t x =-，知第⼆个定积分与第⼀个相等）（2）23Lydx xzdy yz dz -+??，L 是圆周2222x y zz ?+=?=?，从z 轴正向看去，该圆周取逆时针⽅向。

第十章 曲线积分与曲面积分§10.1 对弧长曲线的积分一、判断题1．若f(x)在（-+∞∞,）内连续，则⎰badx x f )(也是对弧长的曲线积分。

（ ）2．设曲线L 的方程为x=)(y ϕ在[βα,]上连续可导则⎰⎰'+=Ldyy y y f ds y x f βαϕϕ2)]([1)),((),(（ ）二、填空题1.将⎰+Lds y x)(22，其中L 为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)()20π≤≤t 化为定积分的结果是 。

2.⎰+L ds y x )(= ，其中L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段。

三、选择题1．⎰+Lds y x )(22=（ ），其中L 为圆周122=+y x （A ）⎰02πθd （B ）⎰πθ2d （C ）⎰πθ22d r （D ）⎰πθ22d2．⎰Lxds =（ ），L 为抛物线2x y =上10≤≤x 的弧段。

（A ）)155(121- （B ）)155(- （C ）121 （D ）)155(81-四、计算⎰+Cds y x )(，其中C 为连接点（0，0）、（1，0）、（0，1）的闭折线。

五、计算⎰++L ds z y x )2(22，其中L 为⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x六、计算⎰+Ln ds y x)(22，L 为上半圆周：)(222N n R y x ∈=+七、计算⎰+Ly x ds e22，其中L 为圆周222a y x =+，直线y=x 和y=0在第一象限内围成扇形的边界。

八、求半径为a ，中心角为ϕ2的均匀圆弧（ρ=1）的重心。

§10.2 对坐标的曲线积分一、判断题1．定积分也是对坐标的曲线积分。

（ ） 2．022=+-⎰L y x ydx xdy ，其中L 为圆周122=+y x 按逆时针方向转一周。

（ ）二、填空题1．ydz x dy y dx x 2233++⎰Γ= ，其中Γ是从点A （1，2，3）到点B （0，0，0）的直线段AB 。

⾼数第⼗章线⾯积分习题和答案第⼗章曲线积分曲⾯积分练习题A 组⼀.填空题1. 设L 是 122=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则?Lydy e 2=2.设?MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x ⾄点 )1,3(N 的半圆，则积分+MNxdy ydx =3. L 是从)6,1(A 沿6=xy ⾄点)2,3(B 的曲线段，则++Ly x xdy ydx e )( =4. 设L 是从)0,1(A 沿1222=+y x ⾄点2,0(B )的曲线段，则+Ly x y x dy ye dx xe 222 =5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则+Ldx y x xy )(33 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则?7. 设L 是xoy 平⾯上沿逆时针⽅向绕⾏的简单闭曲线，且9)34()2(=++-?dy y x dx y x L，则L 所围成的平⾯区域D 的⾯积等于8. 常数 k = 时，曲线积分?+Ldy x kxydx 2与路径⽆关。

9.设是球⾯ 1222=++z y x ，则对⾯积的曲⾯积分∑++ds z y x 222 =10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三⾓形围成的线，则对弧长的曲线积分? Lds =11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的⼀条线，则-++Ldy y x dx y x )()(=12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则+LdS y x 322)(=13. 设为曲⾯2222a z y x =++，则??∑dS z y x 222=⼆、选择题1．设→→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P ,Q 在域D 内具有⼀阶连续偏导数，⼜L ：? AB 是D 内任⼀曲线，则以下四个命题中，错误的是（）+LQdy Pdx 与路径⽆关，则在D 内必有yPx Q ??≡?? B ．若?Lds A 与路径⽆关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=C ．若在D 内yPx Q ??≡??，则必有?L ds A ·与路径⽆关。

重积分§ 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值dxdy y x I D⎰⎰+=22 其中D 为：422≤+y x( dxdy y x I D⎰⎰+=22=πππ3162.4..312.4.=-) 2、设D 为圆域,0,222>≤+a a y x 若积分dxdy y x a D⎰⎰--222=12π，求a 的值。

解：dxdy y x a D⎰⎰--222=3.34.21a π 81=a3、设D 由圆,2)1()2(22围成=-+-y x 求⎰⎰Ddxdy 3解：由于D 的面积为π2, 故⎰⎰Ddxdy 3=π64、设D ：}10,53|),{(≤≤≤≤y x y x ，⎰⎰⎰⎰+=+=DDdxdy y x I dxdy y x I 221)][ln(,)ln(，比较1I , 与2I 的大小关系解：在D 上，)ln(y x +≤ 2)][ln(y x +,故1I ≤2I5、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 ,122=+y x 和曲面2)]([xy f z =所围的立体的体积，可用二重积分表示为⎰⎰≤+=1:222)]([y x D dxdy xy f V6、根据二重积分的性质估计下列积分的值⎰⎰Dydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0,0:(≤0⎰⎰Dydxdy x 22sin sin 2π≤)7、设f(x,y)为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求 ⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π解：利用积分中值定理及连续性有)0,0(),(lim ),(1lim820f f dxdy y x f a a D a ==→→⎰⎰ηξπ§ 2 二重积分的计算法1、设⎰⎰+=Ddxdy y xI 1，其中D 是由抛物线12+=x y 与直线y=2x ，x=0所围成的区域，则I=（ ）A ： 212ln 3ln 87+-- B ： 212ln 3ln 89-+C ： 212ln 3ln 89-- D ： 412ln 3ln 89--2、设D 是由不等式1≤+y x 所确定的有界区域，则二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )(为（ ）A ：0B ： 31C ：32D ： 13、设D 是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分 ⎰⎰Dxy dxdy ye 为（ ）A ：e e e 212124-- B ：21242121e e e e -+-C ：e e 21214+ D ：2421e e -4、 设f(x,y)是连续函数，则二次积分dy y x f dx x x ⎰⎰++-2111),(为（ ）A dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰----+112111102),(),( B dx y x f dy y ⎰⎰--1110),(C dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰-----+112111102),(),( D dx y x f dy y ⎰⎰---11202),(5、设有界闭域D 1、D 2关于oy 轴对称，f 是域D=D 1+D 2上的连续函数，则二重积分⎰⎰Ddxdy y x f )(2为（ ）A ⎰⎰1),(22D dxdy y x f B ⎰⎰22),(4D dxdy y x fC ⎰⎰1),(42D dxdy y x f D⎰⎰22),(21D dxdy y x f 6、设D 1是由ox 轴、oy 轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f 是域D:|x|+|y|≤1上的连续函数，则二重积分⎰⎰Ddxdy y x f )(22为（ ）A ⎰⎰1),(222D dxdy y x f B ⎰⎰1),(422D dxdy y x fC ⎰⎰1),(822D dxdy y x f D⎰⎰1),(2122D dxdy y x f7、.设f(x,y)为连续函数，则⎰⎰a xdy y x f dx 0),(为( )A ⎰⎰a a ydx y x f dy 0),( B ⎰⎰a yadx y x f dy 0),(C ⎰⎰a y dx y x f dy 0),( D ⎰⎰a xdx y x f dy 0),(8、求 ⎰⎰=Ddxdy yx I 22 ，其中 :D 由x=2,y=x,xy=1所围成. (49)9、设I=⎰⎰31ln 0),(xdy y x f dx ,交换积分次序后I 为：I=⎰⎰31ln 0),(xdy y x f dx =⎰⎰3ln 03),(y edx y x f dy10、改变二次积分的次序： ⎰⎰⎰⎰-+4240200),(),(xx dy y x f dx dy y x f dx = ⎰⎰21221xxdx ydx x11、设 D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} ,求⎰⎰+Dy x dxdy e 的值解：⎰⎰+Dyx dxdy e=⎰⎰⎰⎰-==+121101)1())((e dy e dx e dy edx y xl yx12设 I=⎰⎰--Ddxdy y x R 222,其中D 是由x 2+y 2=Rx 所围城的区域，求I (331R π)13、计算二重积分⎰⎰-+Ddxdy y x |4|22，其中D 是圆域922≤+y x解：⎰⎰-+Ddxdy y x |4|22==-+-⎰⎰⎰⎰rdr r d rdr r d ππθθ2032220202)4()4(241π 14、计算二重积分⎰⎰Dy xdxdy e },m ax{22，其中D={(x,y)| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}解： ⎰⎰Dy xdxdy e }22,max{=1101022-=+⎰⎰⎰⎰e dx e d dy e dx yy xx y15、计算二重积分⎰⎰++Ddxdy yx yx 22，D ：.1,122≥+≤+y x y x 解：⎰⎰++D dxdy yx y x 22=24)sin (cos 201sin cos 12πθθθπθθ-=+⎰⎰+rdr r r d§ 3 三重积分1、设Ω是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则⎰⎰⎰Ωxdxdydz 为( )A ⎰⎰⎰--12101y x y xdz d dx B ⎰⎰⎰---2102101y yx xdy dz dxC ⎰⎰⎰---2102101x yx xdz dy dx D ⎰⎰⎰10110xdz dy dx2、设Ω是由曲面x 2+y 2=2z,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(表示为累次积分，I=（ ）A ⎰⎰⎰120202ρπθρθρρθz)dz ,sin ,cos f(d d B ⎰⎰⎰220202ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d dC ⎰⎰⎰2022202ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d d D ⎰⎰⎰20220dz z),sin ,cos f(d d ρθρθρρθπ3、设Ω是由1222≤++z y x 所确定的有界闭域，求三重积分⎰⎰⎰Ωdv e z ||解：⎰⎰⎰Ωdv e z ||=⎰⎰⎰--≤+111||222)(z y x z dz dxdy e =2⎰=-122)1(ππdz z e z 4、设Ω是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32(1/364)5、设Ω是球域：1222≤++z y x ，求⎰⎰⎰Ω++++++dxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222 (0) 6、计算⎰⎰⎰+Qdxdydz y x )(22 其中Ω为：平面z=2与曲面2222z y x =+所围成的区域 (π564) 7、计算⎰⎰⎰Qzdxdydz x 2其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x 2所围成的闭区域(2/27))8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求dxdydz z y x f t tz y x t )(1lim 222222240⎰⎰⎰≤++→++π解：dxdydz z y x f tt z y x t ⎰⎰⎰≤++→++222222240(1lim π =)0(')(4limsin )(1lim 42022040f t drr f r dr r r f d d ttt tt ==⎰⎰⎰⎰→→ϕϕθπππ§4 重积分的应用1、(1)、由面积22y x +=2x, 22y x +=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（ ）A )2(41+πB )2(21+πC )2(43+π D 2+π(2) 、位于两圆θρsin 2=与θρsin 4=之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )A (0,35)B (0,36)C (0,37) D (0,38)(3)、由抛物面x y z 422=+和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是 （ ）A (0,0,34)B (0,0,35) C (0,0,45) D (0,0,47)(4)、 质量分布均匀(密度为μ)的立方体所占有空间区域:}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ,该立方体到oz 轴的转动惯量I Z =( )A 31μB 32μC μD 34μ2、求均匀上半球体(半径为R)的质心解：显然质心在z 轴上，故x=y=0,z=⎰⎰⎰Ω=831R zdv V 故质心为(0,0,R 38)4、 曲面2213y x z --=将球面25222=++z y x 分割成三部分，由上至下依次记 这三部分曲面的面积为 s 1, s 2, s 3, 求s 1:s 2:s 3解：π102559222=--=⎰⎰≤+dxdy y x y x 1S π2025516222=--=⎰⎰≤+dxdy y x y x 3Sπ70=2S5、求曲面xy Rz =包含在圆柱222R y x =+内部的那部分面积 解：3)122(2222222R dxdy R y x R R y x π-=++=⎰⎰≤+S6、求圆柱体Rx y x 222≤+包含在抛物面Rz y x 222=+和xoy 平面之间那部分立体的体积解：43)(2132222R dxdy y x R Rx y x π=+=⎰⎰≤+V 第九章 自测题一、选择题: （40分） 1、⎰⎰-x dy y x f dx 1010),(=( )A ⎰⎰-1010),(dx y x f dy x B ⎰⎰-xdx y x f dy 1010),( C ⎰⎰11),(dx y x f dy D ⎰⎰-ydx y x f dy 101),(.2、设D 为222a y x ≤+,当=a ( )时,π=--⎰⎰Ddxdy y x a 222. A 1 B 323 C 343 D 321 3、设⎰⎰+=Ddxdy y x I )(22,其中D 由222a y x =+所围成,则I =( B ).A 40220a rdr a d aπθπ=⎰⎰ B 4022021a rdr r d aπθπ=⋅⎰⎰;C 3022032a dr r d a πθπ=⎰⎰ D 402202a adr a d a πθπ=⋅⎰⎰.4、设Ω是由三个坐标面与平面z y x -+2=1所围成的空间区域,则⎰⎰⎰Ωxdxdydz =( ).A481 B 481- C 241 D 241- .5 、设Ω是锥面,0(222222>+=a by a x c z )0,0>>c b 与平面c z y x ===,0,0所围成的空间区域在第一卦限的部分,则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy=( ). A c b a 22361 B b b a 22361 C a c b 22361D ab c 361.6、计算⎰⎰⎰Ω=zdv I ,1,222=+=Ωz y x z 为围成的立体,则正确的为( )和（）A ⎰⎰⎰=101020zdz rdr d I πθ B ⎰⎰⎰=11020rzdz rdr d I πθC ⎰⎰⎰=11020rrdr dz d I πθ D ⎰⎰⎰=zzrdr d dz I 02010πθ.7、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积=s ( )A π3B π2C π5D π22.8、由直线2,2,2===+y x y x 所围成的质量分布均匀(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量x I =( ).A μ3B μ5C μ4D μ6二、计算下列二重积分:（20分）1、⎰⎰-Dd y x σ)(22,其中D 是闭区域:.0,sin 0π≤≤≤≤x x y (9402-π)2、⎰⎰Dd xyσarctan ,其中D 是由直线0=y 及圆周1,42222=+=+y x y x ,x y =所围成的在第一象 限内的闭区域 . (2643π) 3、⎰⎰+-+Dd y x y σ)963(2,其中D 是闭区 域:222R y x ≤+ (2494R R ππ+)4、⎰⎰-+Dd y x σ222,其中D :322≤+y x . (.25π) 三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）1、⎰⎰⎰⎰-+yydx y x f dy dx y x f dy 30312010),(),( (⎰⎰-xxdy y x f dx 3220),()2、⎰⎰-+21110),(x xdy y x f dx (⎰⎰⎰⎰-+2220211),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy )3、⎰⎰θθθθ0)sin ,cos (rdr r r f d a (⎰⎰θθθθ0)sin ,cos (rdr r r f d a)四、计算下列三重积分:（15分）1、Ω+⎰⎰⎰Ω,)cos(dxdydz z x y :抛物柱面x y =2,,π=+==z x o z o y 及平面所围成的区域 (21162-π) 2、,)(22⎰⎰⎰Ω+dv z y 其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与平面5=x 所围 (π3250) 五、（5分）求平面1=++czb y a x 被三坐标面所割出的有限部分的面积 .(22222221a c c b b a ++)六、（5分）设)(x f 在]1,0[上连续,试证:310101])([61)()()(⎰⎰⎰⎰=dx x f dxdydz z f y f x f x y x 0)0(,)()()()(,)()(1==='=⎰⎰F dx x f t F x f x F dt t f x F x且则=⎰⎰⎰101)()()(x yx dxdydz z f y f x f =-⎰⎰dy x F y F y f dx x f x11)]()()[()(dx x F F x F x F F x f )}()1()()]()1((21){[(2122⎰+--=)1(21)1(61)1(21333F F F -+=)1(613F。