河北省邯郸市2020届高三年级第二次模拟考试数学(理科)试卷含答案

2020高考仿真模拟卷(六)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足z (1＋i)＝|－1＋3i|，则复数z 的共轭复数为( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i答案 C解析 由z (1＋i)＝|－1＋3i|＝(－1)2＋(3)2＝2，得z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，∴z －＝1＋i.故选C.2．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集的个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7答案 B解析 依题意，在同一平面直角坐标系中分别作出x 2＝4y 与y ＝x 的图象，观察可知，它们有2个交点，即A ∩B 有2个元素，故A ∩B 的真子集的个数为3，故选B.3．已知命题p ：“∀a >b ，|a |>|b |”，命题q ：“∃x 0<0,2x 0 >0”，则下列为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．p ∨qD ．p ∨(綈q ) 答案 C解析 对于命题p ，当a ＝0，b ＝－1时，0>－1， 但是|a |＝0，|b |＝1，|a |<|b |，所以命题p 是假命题． 对于命题q ，∃x 0<0,2x 0 >0，如x 0＝－1,2－1＝12>0. 所以命题q 是真命题，所以p ∨q 为真命题．4．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A－b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 A解析 由题意，得a 2－b 2＝4c 2，则－14＝cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴c 2－4c 22bc ＝－14，∴3c 2b ＝14，∴b c ＝32×4＝6，故选A.5．执行如图所示的程序框图，则输出的T ＝( )A ．8B ．6C ．7D ．9答案 B解析 由题意，得T ＝1×log 24×log 46×…×log 6264＝lg 4lg 2×lg 6lg 4×…×lg 64lg 62＝lg 64lg 2＝6，故选B.6．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝2sin x cos x 的图象( )A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位 答案 C解析 将函数y ＝2sin x cos x ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位可得到y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，故选C.7．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且经过点(2,2)，则双曲线的实轴长为( )A ．12B ．1C ．2 2D ． 2答案 C解析 由题意双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，即ca ＝3⇒c 2＝3a 2.又由c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝2a 2，所以双曲线的方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，又因为双曲线过点(2,2)，代入双曲线的方程，得4a 2－42a 2＝1，解得a ＝2，所以双曲线的实轴长为2a ＝2 2.8．若x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋7≥0，2x ＋y ≥3，3x －y ＋1≤0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．5B ．11.6C ．17D ．25答案 C解析 作出不等式组所表示的可行域如下图所示，则x 2＋y 2的最大值在点B (1,4)处取得，故x 2＋y 2的最大值为17.9．设函数f (x )＝|lg x |，若存在实数0<a <b ，满足f (a )＝f (b )，则M ＝log 2a 2＋b 28，N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，Q ＝ln 1e 2的关系为( )A ．M >N >QB ．M >Q >NC ．N >Q >MD ．N >M >Q答案 B解析 ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |， ∴lg a ＋lg b ＝0，即ab ＝1， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝1a ＋b ＋2＝1a ＋1a ＋2<12＋2＝14， ∴N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2<－2， 又a 2＋b 28>ab 4＝14，∴a 2＋b 28>14>⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2， ∴M ＝log 2a 2＋b 28>－2， 又Q ＝ln 1e 2＝－2，∴M >Q >N .10．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1的中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是( )A ．10B ．4＋ 3C ．2＋ 3D ．4＋ 3答案 D解析 ①从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝AM 2＋AN 2＝12＋(2＋1)2＝10.②从底面到N 点，沿棱柱的AC ，BC 剪开、展开，如图2. 则MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos120°＝12＋(3)2＋2×1×3×12＝4＋3，∵4＋3<10，∴MN min ＝4＋ 3.11．(2019·江西景德镇第二次质检)已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，点P 在抛物线上，点A (0，－1)，则|PF ||P A |的最小值是( )A ．22B ．32C ．1D ．12答案 A解析 由题意可得，抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1，过点P 作PM 垂直于准线，垂足为M ，由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |，则|PF ||P A |＝|PM ||P A |＝sin ∠P AM ，因为∠P AM 为锐角，故当∠P AM 最小时，|PF ||P A |最小，即当P A 和抛物线相切时，|PF ||P A |最小，设切点P (2a ，a )，由y ＝14x 2，得y ′＝12x ，则切线P A 的斜率为12×2a ＝a ＝a ＋12a ，解得a ＝1，即P (2,1)，此时|PM |＝2，|P A |＝22，所以sin ∠P AM ＝|PM ||P A |＝22，故选A.12．(2019·天津部分区一模联考)已知函数y ＝f (x )的定义域为(－π，π)，且函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈(0，π)时，f (x )＝πln x －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x (其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝f (log π3)，b ＝f (log 139)，c ＝f (π13 )，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．c >b >aD ．b >c >a答案 D解析 ∵f (x )＝πln x －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ，∴f ′(x )＝πx －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2＝2，即f ′(x )＝πx －2cos x ，当π2≤x <π时，2cos x ≤0，f ′(x )>0；当0<x <π2时，πx >2,2cos x <2，∴f ′(x )>0，即f (x )在(0，π)上单调递增，∵y ＝f (x ＋2)的图象关于x ＝－2对称，∴y ＝f (x ＋2)向右平移2个单位得到y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )为偶函数，b ＝f (log 139)＝f (－2)＝f (2)，0＝log π1<log π3<log ππ＝1,1＝π0<π13<π12 <2，即0<log π3<π13 <2<π，∴f (2)>f (π13 )>f (log π3)，即b >c >a .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，－1)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案10解析 由题意，得a ·b ＝|a ||b |cos45°＝2×1×22＝1，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝2＋4×1＋4×1＝10，所以|a ＋2b |＝10.14．已知函数f (x )＝ax －log 2(2x ＋1)(a ∈R )为偶函数，则a ＝________. 答案 12解析 由f (x )＝f (－x )，得ax －log 2(2x ＋1)＝－ax －log 2(2－x ＋1)，2ax ＝log 2(2x＋1)－log 2(2－x＋1)＝log 22x ＋12－x ＋1＝x ，由于x 的任意性，所以a ＝12.15．如图，为测量竖直旗杆CD 的高度，在旗杆底部C 所在水平地面上选取相距421 m 的两点A ，B 且AB 所在直线为东西方向，在A 处测得旗杆底部C 在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D 的仰角为60°；在B 处测得旗杆底部C 在东偏北10°方向上，旗杆顶部D 的仰角为45°，则旗杆CD 的高度为________ m.答案 12解析 设CD ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝45°，∴BC ＝x ，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，∴AC ＝CD tan60°＝x 3，在△ABC 中，∠CAB ＝20°，∠CBA ＝10°，AB ＝421， ∴∠ACB ＝180°－20°－10°＝150°，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°， 即(421)2＝13x 2＋x 2＋2·x 3·x ·32＝73x 2，解得x ＝12.即旗杆CD 的高度为12 m.16．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中， M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若|PC →|＝2，则(P A →·PB →)·(PC →·PM→) 的最小值是________．答案 32－24 2解析 根据题意，建立平面直角坐标系， 如图所示，则C (0,0)，B (2,0)，A (0,2)，M (1,1)，由|PC→|＝2，知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，设点P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π)； 则P A →＝(－2cos θ，2－2sin θ)， PB→＝(2－2cos θ，－2sin θ)，PC →＝(－2cos θ，－2sin θ)， PM→＝(1－2cos θ，1－2sin θ)， ∴(P A →·PB →)·(PC →·PM →)＝[(－2cos θ)(2－2cos θ)＋(－2sin θ)(2－2sin θ)]·[(－2cos θ)(1－2cos θ)＋(－2sin θ)(1－2sin θ)]＝(4－4cos θ－4sin θ)(4－2cos θ－2sin θ) ＝8(3－3cos θ－3sin θ＋2sin θcos θ)， 设t ＝sin θ＋cos θ，∴t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[－2，2]，∴t 2＝1＋2sin θcos θ， ∴2sin θcos θ＝t 2－1，∴y ＝8(3－3t ＋t 2－1)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－2，当t ＝2时，y 取得最小值为32－24 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1＝164，1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，n ∈N *.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q >0， 因为1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，所以1a 1q n －1－1a 1q n ＝2a 1q n ＋1，因为q >0，解得q ＝2，所以a n ＝164×2n －1＝2n －7，n ∈N *.4分(2)b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2＝(－1)n ·(log 22n －7)2＝(－1)n ·(n －7)2， 设c n ＝n －7，则b n ＝(－1)n ·(c n )2，6分T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝－(c 1)2＋(c 2)2＋[－(c 3)2]＋(c 4)2＋…＋[－(c 2n －1)2]＋(c 2n )2＝(－c 1＋c 2)(c 1＋c 2)＋(－c 3＋c 4)·(c 3＋c 4)＋…＋(－c 2n －1＋c 2n )(c 2n －1＋c 2n )＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝2n [－6＋(2n －7)]2＝n (2n －13)＝2n 2－13n .12分18．(2019·四川百校模拟冲刺)(本小题满分12分)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D 是棱AB 的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)若AA 1⊥平面ABC ，AB ＝2，BB 1＝4，AC ＝BC ，E 是棱BB 1的中点，当二面角E －A 1C －D 的大小为π4时，求线段DC 的长度．解 (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，连接DF ，而D 是AB 的中点，则BC 1∥DF ，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .4分(2)因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥CD ，又AC ＝BC ，E 是棱BB 1的中点， 所以DC ⊥AB ，所以DC ⊥平面ABB 1A 1，5分以D 为坐标原点，过D 作AB 的垂线为x 轴，DB 为y 轴，DC 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设DC 的长度为t ，则C (0,0，t )，E (2,1,0)，A 1(4，－1,0)，D (0,0,0)，所以EA 1→＝(2，－2,0)，A 1C →＝(－4,1，t )，DA 1→＝(4，－1，0)，DC →＝(0,0，t )， 分别设平面EA 1C 与平面DA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎨⎧2x 1－2y 1＝0，－4x 1＋y 1＋tz 1＝0，令x 1＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，3t ，同理可得n ＝(1,4,0)，9分 由cos 〈m ，n 〉＝1＋417×2＋9t 2＝22，解得t ＝3174， 所以线段DC 的长度为3174.12分19．(2019·湖南长沙统一检测)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于点B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝43.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与l 1，l 2交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .解 (1)连接AF 2，由题意，得|AB |＝|F 2B |＝|F 1B |， 所以BO 为△F 1AF 2的中位线，又因为BO ⊥F 1F 2，所以AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝2|BO |＝b 2a ＝83， 又e ＝c a ＝13，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝9，b 2＝8， 故所求椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.4分 (2)证明：由题意可知，l 1的方程为x ＝－3， l 2的方程为x ＝3.直线l 与直线l 1，l 2联立可得M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )，又F 1(－1,0)， 所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m )，F 1N →＝(4,3k ＋m )，所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 28＝1，y ＝kx ＋m ，得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0.7分 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km )2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0，化简，得m 2＝9k 2＋8. 所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2＝0， 则F 1M →⊥F 1N →，故∠MF 1N 为定值π2.10分 同理F 2M →＝(－4，－3k ＋m )，F 2N →＝(2,3k ＋m )， 因为F 2M →·F 2N →＝0，所以F 2M →⊥F 2N →，∠MF 2N ＝π2. 故∠MF 1N ＝∠MF 2N .12分20．(本小题满分12分)某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1 kg 的包裹收费10元；重量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每超出1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计算)需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近(1)计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率； (2)①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？解 (1)样本中包裹件数在101～400之间的天数为48，频率f ＝4860＝45，故可估计概率为45.显然未来3天中，包裹件数在101～400之间的天数X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，45， 故所求概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫452×15＝48125.4分(2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：10×43＋15×30＋20×15＋25×8＋30×4100＝15(元)，故该公司对每件包裹收取的快递费的平均值可估计为15元.6分②根据题意及①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加15×13＝5(元)，将题目中的天数转化为频率，得；8分 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：10分 因975<1000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.12分 21．(2019·江西南昌一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋a )(e 为自然对数的底数，a 为常数，且a ≤1)．(1)判断函数f (x )在区间(1，e)内是否存在极值点，并说明理由； (2)若当a ＝ln 2时，f (x )<k (k ∈Z )恒成立，求整数k 的最小值． 解 (1)f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x ＋a －1，令g (x )＝ln x －x ＋1x ＋a －1，x ∈(1，e)， 则f ′(x )＝e x g (x )，2分 g ′(x )＝－x 2－x ＋1x 2<0恒成立， 所以g (x )在(1，e)上单调递减， 所以g (x )＜g (1)＝a －1≤0， 所以f ′(x )＝0在(1，e)内无解．所以函数f (x )在区间(1，e)内无极值点.5分(2)当a ＝ln 2时，f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋ln 2)，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x ＋ln 2－1， 令h (x )＝ln x －x ＋1x ＋ln 2－1， 由(1)知，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12>0，h (1)＝ln 2－1＜0，所以存在x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得h (x 1)＝0，且当x ∈(0，x 1)时，h (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )＜0，即f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (x 1)＝e x 1(－x 1＋ln x 1＋ln 2).8分由h (x 1)＝0，得ln x 1－x 1＋1x 1＋ln 2－1＝0，即ln x 1－x 1＋ln 2＝1－1x 1，所以f (x 1)＝e x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1，x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令r (x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则r ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x ＋1>0恒成立，所以r (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，所以r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<r (x )<r (1)＝0，所以f (x )max ＜0，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－ln 2＋ln 2＝－e 2>－1，所以－1＜f (x )max ＜0，所以若f (x )＜k (k ∈Z )恒成立，则k 的最小值为0.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝2y 得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x 0，y 0)，求3x 0＋12y 0的取值范围．解 (1)由直线l 的参数方程消去参数可得它的普通方程为3x ＋y －23－1＝0，由ρ＝2两端平方可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.4分(2)曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝2y得到曲线C ′的方程为x ′2＋y ′24＝4，即x ′24＋y ′216＝1，则点M 的参数方程为⎩⎨⎧x 0＝2cos θ，y 0＝4sin θ(θ为参数)，代入3x 0＋12y 0，得3×2cos θ＋12×4sin θ＝2sin θ＋23cos θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，由三角函数的基本性质，知4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－4,4].10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>x －1；(2)若关于x 的不等式f (x )>4有解，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，即解不等式|x －1|－|3x ＋2|>x －1.当x >1时，不等式可化为－2x －3>x －1，即x <－23，与x >1矛盾，无解． 当－23≤x ≤1时，不等式可化为－4x －1>x －1， 即x <0，所以解得－23≤x <0.当x <－23时，不等式可化为2x ＋3>x －1，即x >－4，所以解得－4<x <－23.综上所述，所求不等式的解集为(－4,0).5分(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ＋2，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －a －2，x >a ，7分因为函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞上单调递减，所以当x ＝－23时，f (x )max ＝23＋a ，8分 不等式f (x )>4有解等价于f (x )max ＝23＋a >4， 解得a >103.故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞.10分。

2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。

邯郸市2014年高三第二次模拟考试理科综合能力测试 2014.4本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第I卷1至5页，第II卷6至16页，共300分。

考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号。

第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。

以下数据可供解题时参考相对原子质量（原子量）：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Mg-24 Al-27 Si-28 S-32 Cl-35.5 K-39 Ca-40 Fe-56 Cu-64 Ag-108第I卷（选择题共126分）一、选择题，本题共13小题，每小题6分。

每小题给出的选项中只有一项符合题目要求。

1．右列各图是一位同学在观察植物某一器官的装片时所画的四个图像。

下列说法正确的是A．四个细胞分化发育顺序为a→c→b→d(从早到晚)B．a细胞中的染色体比其它细胞中的染色体清晰C．该器官在无光的条件下不能产生［H］和ATPD．用放射性尿嘧啶核糖核苷酸培养细胞，只有a会出现放射性2．下列说法错误．．的是A．动、植物细胞都可以发生渗透作用B．若右图细胞已经死亡，渗透作用也会停止C．右图中A、B分别表示细胞和液泡的长度D．若右图细胞发生质壁分离复原停止时，细胞液浓度与外界溶液浓度不一定相等3. 与遗传信息传递的一般规律“中心法则”没有．．直接关系的是A．DNA复制B．碱基互补配对原则C. 密码子与氨基酸的对应关系D. 基因在染色体上4．下列说法正确的是A．服用青霉素药物杀菌属于人体免疫反应B．人被生锈的铁钉扎到脚，应立即到医院注射抗破伤风杆菌抗体，促进自身免疫反应C．破伤风杆菌侵入人体深部的组织细胞并大量繁殖，只需体液免疫即可将其消灭D．组织液渗回血浆和渗入淋巴的量相差较大5．右图是反射弧的模式图（a、b、c、d、e表示反射弧的组成部分，I、Ⅱ表示突触的组成部分），有关说法错误．．的是A．正常机体内兴奋在反射弧中的传导是单向的B．Ⅱ处发生的信号变化是电信号→化学信号→电信号C．直接刺激神经中枢导致效应器发生反应，不是反射D．神经细胞上神经冲动都以局部电流的形式传导6．生态系统中某一植食性动物种群个体数量的变化如图所示。

河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级摸底考试数学试卷命题单位：邯郸市第一中学（满分：150分,测试时间：120分钟）第I 卷（选择题,共60分）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2280A x x x =--<,{}2,3,4,5B =,则A B = （）A.{2}B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,42.已知2i z =+,则()i z z -=（）A.62i- B.42i- C.62i+ D.42i+3．已知圆锥的高为1,母线长为6,则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（）A.2B.52D.34．设0>ω,若函数()2cos()2f x x πω=-在[,42ππ-上单调递增,则ω的取值范围是（）A.1(0,]2B.3(1,]2C.3[0,]2D.(0,1]5．如图,在底面半径为1,高为6的圆柱内放置两个球,使得两个球与圆柱侧面相切,且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面,得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为()A.226．已知82βαππ<<<,且5sin 2sin cos 2sin 4413πααπ-=，sin 2cos 4πβ+cos 2sin4πβ33=,则()βα22sin -的值为（）B.96 C. D.96-7．若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线,则（）A.2log m n> B.2log n m> C.2log m n< D.2log n m<8．先后抛掷两枚质地均匀的骰子,甲表示事件“第一枚骰子掷出的点数是1”,乙表示事件“第二枚骰子掷出的点数是2”,丙表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是8”,丁表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是7”,则下列说法正确的有（）①甲与乙相互独立②乙与丁相互独立③乙与丙不互斥但相互独立④甲与丙互斥但不相互独立A.1个B.2个C.3个D.4个二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9．有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,现从中有放回的取出5个球并记录取球结果,则下列统计结果中可能取出6号球的是（）A.平均数为3,中位数为2B.中位数为3,众数为2C.平均数为2,方差为2.4D.中位数为3,极差为210．已知(cos ,sin ),(cos )a x x b x x ==r r ,函数()f x a b =⋅r r,则下列选项正确的是()A.函数f (x )的值域为13[,]22-．B.将函数1sin 2y x =+图像上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变）,再将所得图像向左平移12π个单位长度,可得函数()f x 的图像．C.函数f (x )是奇函数．D.函数f (x )在区间[]π20，内所有零点之和为143π．11．如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为1,P 是1A D 上的一个动点,下列结论中正确的是（）A.BP 的最小值为23B.PA PC +C.当P 在直线1A D 上运动时,三棱锥1B ACP -的体积不变D.以点B 为球心,2为半径的球面与面AB 1C 的交线长为π312．已知圆221:(12C x y +-=上两点A 、B 满足AB 点()0,0M x 满足:MA MB =,则下列结论中正确的是（）A.当AB =,012x =B.当00x =时,过M 点的圆C 的最短弦长是C.线段AB 的中点纵坐标最小值是12D.过M 点作圆C 的切线且切点为A,B,则0x 的取值范围是(,)-∞⋃+∞第II 卷（非选择题,共90分）三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13．已知函数()3(xxa e f x e x -=是偶函数,则=a ______.14．设抛物线2y =的焦点为F ,准线为l ,过抛物线上一点A 作l 的垂线,垂足为B ．设0C (),AF 与BC 相交于点D ．若CF AF =,则△ACD 的面积为_____．15.,212xx R e x a ∀∈-≥+,则a 的最大值为______.16.德国大数学家高斯年少成名,被誉为数学届的王子,19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论,就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》.在其年幼时,对1+2+3+……+100的求和运算中,提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称之为高斯算法,现有函数()xf x =设数列{}n a 满足*121(0)()()()(1)()n n a f f f f f n N n n n-=+++++∈ ，若12,{}n n n n b a b n +=则的前项_________.n S =和四､解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知正项数列{}n a 满足11a =,且112++=-n n n n a a a a .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记21n n a b n =+,求数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:11.32n S ≤<18.(本小题满分12分)某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛,有A ,B,C 三类问题,每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答,只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答.A 类问题中的每个问题回答正确得10分,否则得0分;B 类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分,C 类问题中的每个问题回答正确得30分,否则得0分.已知小康同学能正确回答A 类问题的概率为0.8,能正确回答B 类问题的概率为0.6,能正确回答C 类问题的概率为0.4,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小康按照CBA 的顺序答题,记X 为小康的累计得分,求X 的分布列;（2）相比较小康自选的CBA 的答题顺序,小康的朋友小乐认为按照ABC 的顺序答题累计得分期望更大,小乐的判断正确吗？并说明理由.19.(本小题满分12分)已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若4,b =在①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-,②1cos 3)(2cos =++B C A 两个条件中任选一个完成以下问题：（1）求;B （2）若D 在AC 上,且,AC BD ⊥求BD 的最大值.20.(本小题满分12分)如图,ABCD 为圆柱OO '的轴截面,EF 是圆柱上异于AD ,BC 的母线.（1）证明:BE ⊥平面DEF ;（2）若6==BC AB ,当三棱锥B DEF -的体积最大时,求二面角B DF E --的正弦值.21.(本小题满分12分)已知双曲线C :22221x y a b-=的离心率为2,1F 、2F 为它的左、右焦点,点P 为双曲线在第一象限上的一点,且满足120PF PF ⋅=uuu r uuu r,126PF PF =.（1）求C 的方程;（2）过点2F 作直线l 交双曲线于,A B 两点,在x 轴上是否存在定点(),0Q m ,使得⋅uur uuu rQA QB 为定值,若存在,求出m 的值和该定值;若不存在,请说明理由.2212012.()()ln ().();():(本小题满分分已知函数（）讨论的零点个数（）证明x f x x ax a f x f e xf x a=+≠≤-河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级摸底考试数学参考答案一、单选题1——4:BADD 5——8:BBBC 二、多选题9.AB10.ABD 11.BCD12.CD三、填空题13.1-14.15.116.12n n +⋅四、解答题17.【解析】(1)数列{}n a 中,0n a >,由112++=-n n n n a a a a ,可得2111=-+nn a a .…………………………………………………………………………2分又11111a ==,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公差为2的等差数列,则12)1(211-=-+=n n a n,则数列{}n a 的通项公式为121-=n a n .…………………………………………………4分(2)由(1)知121-=n a n ,则1111(21(21)(21)22121n n a b n n n n n ===-+-+-+,…………………………………6分则数列{}n b 的前n 项和111111111123352121221()()n S n n n =-+-++-=--++L ,………………………8分,012131,311210,312,*<+-≤-∴≤+<∴≥+∴∈n n n N n .2131,1121132<≤∴<+-≤∴n S n …………………………………………………10分18.【解析】(1)由题可知,X 的所有可能取值为0,30,50,60……………………………1分()010.40.6P X ==-=()()300.410.60.16P X ==⨯-=()500.40.6(10.8)0.048P X ==⨯⨯-=()600.40.60.80.192P X ==⨯⨯= (5)分所以X 的分布列为X0305060P0.60.160.0480.192………………………………………………………………………………………………6分(2)由(1)知,()00.6300.16500.048600.19218.72E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．若小康按照ABC 顺序答题,记Y 为小康答题的累计得分,则Y 的所有可能取值为0,10,30,60()010.80.2P Y ==-=()()100.810.60.32P Y ==-=()300.80.6(10.4)0.288P X ==⨯⨯-=()600.80.60.40.192P X ==⨯⨯=………………………………………………………10分所以()00.2100.32300.288600.19223.36E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=故小乐的判断正确…………………………………………………………………………12分19.【解析】(1)若选①,由正弦定理得,(),)()(a c a c b c b -=-+………………………2分即,222ac a c b -=-即,222ac b c a =-+2221cos ,222a cb ac B ac ac +-∴===……4分(0,),,3B B ππ∈∴=Q ……………………………………………………………………5分若选②cos2()3cos cos2()3cos cos23cos 1,A C B B B B B π++=-+=+=Q …………………2分,1cos 31cos 22=+-∴B B 即22cos 3cos 20,B B +-=即2cos -=B (舍)或21cos =B ,…………………………………………………………4分(0,),,3ππ∈∴=Q B B ……………………………………………………………………5分(2)BD AC ⊥Q ,BD 为AC 边上的高,当面积最大时,高取得最大值.…………………6分法一：由余弦定理得,B ac c a b cos 216222-+==,由重要不等式得162ac ac ac ≥-=,当且仅当a=c 时取等,……………….…….…….…….…….……….…………………9分所以34sin 21≤=∆B ac S ABC .…….…….…….…….…….…….………………10分所以AC 边上的高的最大值为4312b =..…….…….…….…….………………12分法二：由正弦定理得ABC ∆外接圆的直径为2sin b R B ==,.……………………7分利用正弦定理表示面积得:11sin sin 2233ABC S ac B A C B ∆==⋅122sin()sin()233A A A A ππ=-=-)363A π=-+≤……………………………………………………10分所以AC 边上的高的最大值为322134=b ..…….…….…….…….………………12分20.【解析】(1)证明：如右图,连接AE ,由题意知AB 为O 的直径,所以AE BE ⊥.因为AD ,EF 是圆柱的母线,所以AD EF ∥且AD EF =,所以四边形AEFD 是平行四边形.所以AE DF ∥,所以BE DF ⊥.因为EF 是圆柱的母线,所以EF ⊥平面ABE ,又因为BE ⊂平面ABE ,所以EF BE ⊥.又因为DF EF F = ,DF 、EF ⊂平面DEF ,所以BE ⊥平面DEF .………………………………………4分(2)由(1)知BE 是三棱锥B DEF -底面DEF 上的高,由(1)知EF AE ⊥,AE DF ∥,所以EF DF ⊥,即底面三角形DEF 是直角三角形.设DF AE x ==,BE y =,则22:6Rt ABE x y+=在中有,………………………………………………………………5分所以221113326622B DEF DEFx yV S BE x y-∆+⎛=⋅=⋅⋅⋅=≤=⎝,当且仅当3==yx时等号成立,即点E,F分别是»AB,»CD的中点时,三棱锥B DEF-的体积最大,…………………………………………………………………………………7分(:另解等积转化法:1.3B DEF D BEF D BCF B CDF CDFV V V V S BC----∆====⋅,)F CD E F AB CD易得当与距离最远时取到最大值此时、分别为 、 中点下面求二面角B DF E--的正弦值：法一：由(1)得BE⊥平面DEF,因为DF⊂平面DEF,所以BE DF⊥.又因为EF DF⊥,EF BE E⋂=,所以DF⊥平面BEF.因为BF⊂平面BEF,所以BF DF⊥,所以BFE∠是二面角B DF E--的平面角,……9分由(1)知BEF为直角三角形,则3BF==.故3sin3BEBFEBF∠==,所以二面角B DF E--的正弦值为分法二：由(1)知EA,EB,EF两两相互垂直,如图,以点E为原点,EA,EB,EF所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系E xyz-,则00000000(),(,,),(,B D E F.由(1)知BE⊥平面DEF,故平面DEF的法向量可取为00()EB=uuu r.设平面BDF的法向量为(,,)n x y z=,由((0,DF BF==,……………………………………………………8分得n DFn BF⎧⋅=⎨⋅=⎩,即⎧=⎪⎨+=⎪⎩,即xy=⎧⎪⎨=⎪⎩,取1z=,得n= (10)分设二面角B DF E --的平面角为θ,cos cos ,n EB n EB n EBθ⋅=<>==⋅r uur r uurr uur ,所以二面角B DF E --的正弦值为33.………………………………………………12分21.【解析】(1)解法一：由2ce a==得：2c a =,b ∴=,120PF PF ⋅=uuu r uuu rQ ,∴12PF PF ⊥,在12Rt F PF V 中,由122PF PF a -=得：222121224PF PF PF PF a +-=,代入222124PF PF c +=,126PF PF =得:224124c a -=解得:23b =,21a =,∴双曲线方程为：2213y x -=.………………………………………4分解法二：由2ce a==得：2c a =,b ∴==,设点()(),0P x y y >,则点P满足22221x y a b-=…①,120PF PF ⋅=uuu r uuu r Q ,()()222,,0c x y c x y x c y ∴---⋅--=-+=,即222x y c +=…②,121211222F PF S PF P y c F ⋅==,即3y c ⋅=…③,则由①②得：2b y c =,代入③得：23b =,21a =,∴双曲线方程为:2213y x -=.…………4分(2)解法一:当l 斜率不存在时,:2l x =,此时()2,3A ,()2,3B -,2(2)9QA QB m ⋅=--，uur uuu r当l 斜率为0时,:0l y =,此时()1,0A -,()10B ,,21QA QB m ⋅=-uur uuu r；QA QB ⋅若为定值，uur uuu r 22:(2)91.,0,1m m m QA QB ⋅=--=-=-则有解得uur uuu r:(10),:0.QA QB Q ⋅=-uur uuu r下证当为，时恒有；………………………………………………6分当l 斜率存在时,设():2l y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y ,联立()22233y k x x y ⎧=-⎨-=⎩得()222234430k x k x k -+--=,则236360k ∆=+>,212243k x x k -∴+=-,2122433k x x k --=-,…………………………………8分()()121211QA QB x x y y ∴⋅=+++uur uuu r ()()212121212124x x x x k x x x x =++++-++⎡⎤⎣⎦()()()222121212114k x x k x x k =+--+++………………………………………………10分()()22222224341211433k k k k k k k ---=+--++--()222241(3)410.3k k k k +-=++=-综上所述：存在1m =-,使得0QA QB ⋅=uur uuu r ；……………………………………………12分解法二：当l 斜率为0时,:0l y =,此时()1,0A -,()10B ,,由(),0Q m 得：21QA QB m ⋅=-uur uuu r ；………………………………………………………………………6分当l 斜率不为0时,设:2l x ty =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立22233x ty x y =+⎧⎨-=⎩得：()22311290t y ty -++=,则236360t ∆=+>,1221231t y y t -∴+=-,122931y y t =-,…………………………………………………………8分()()()()11221212,,QA QB x m y x m y x m x m y y ∴⋅=-⋅-=--+uur uuu r 2212121212(2)(2)(1)(2)()(2)ty m ty m y y t y y m t y y m =+-+-+=+⋅+-++-()2222222129(1215)9(1)(2)(2)(2)313131t m t t m t m m t t t --+=++-+-=+----,………………………10分若⋅uur uuu r QA QB 为定值,则1215931m -=-,1m ∴=-,()1,0Q ∴-,此时0QA QB ⋅=uur uuu r ；当1m =-,l 斜率为0时,210QA QB m ⋅=-=uur uuu r ；综上所述,存在1m =-,使得0QA QB ⋅=uur uuu r ；………………………………………………………………………………12分2min ln ln ln 122.(1)()ln 0,,(),()(0,),()0,(,),()0,()(0,)1(,),()(),20,();,()0,()x x x f x x ax a g x g x x x x x e g x x e g x g x e e g x g e ex g x x e g x x g x -'=+==-=-=''∈<∈+∞>∴+∞∴==-→→+∞><→+∞→【解析】令则设当时时在上单调递减，在上单调递增分时当时且时L L L L L L L L L L L L L L L L L Q 0,311,(),0,(),a f x a a f x e e∴<-=->分当时无零点当或时有一个零点L L L L L L L10,().5L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L a f x e-<<当时有两个零点分ln ()()()(2),((),7ln 10(0)ln 10(0),:()10(0)8()1,()1,(,0)x at atat t f x x x x f e x f e t f f t a x a ate t at t t at e t tf x e x h x x e h x e x --------=≤-⇔≤-++-≥>++-≥>+-≥>'=+-=-∈-∞设则分即证，即证即证，分设则当时L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 00,()0,(0,),()0,()(,0),()(0),()(0)010110,0"",(1),,,()0x h x x h x h x h x h x h x e x a x ef x -'<∈+∞'>∴-∞+∞∴≥=∴+-≥==>-=当时在单调递减在，单调递增，分当且仅当时成立由知当时存在使得L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ()11()()10,().12x f x f e x f x e f x a-∴+-≥∴≤-分分L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L。

绝密★启用前邯郸市2023届高三年级保温试题数 学注意事项：1．答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．已知集合{}1,1,2,4A =−，{}|1|1B x x =−≥，则C A B =R A ．{1}B ．{1,2}−C ．{1,2}D ．{1,2,4}−2．已知等腰梯形ABCD 满足AB CD ，AC 与BD 交于点P ，且22AB CD BC ==，则下列结论错误．．的是 A ．2AP PC =B ．||2||AP PD =C ．2133AP AD AB =+ D ．1233AC AD AB =+ 3．已知抛物线:M 216y x =的焦点为F ，倾斜角为60 的直线l 过点F 交M 于,A B 两点（A 在第一象限），O 为坐标原点，过点B 作x 轴的平行线，交直线AO 于点D ，则点D 的横坐标为 A ．8−B ．4−C ．2−D ．1−4．某医院安排3名男医生和2名女医生去甲、乙、丙三所医院支援，每所医院安排一到两名医生，其中甲医院要求至少安排一名女医生，则不同的安排方法有 A ．18种 B ．30种 C ．54种 D ．66种 5．三棱锥S ABC −中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，SA AB BC ==．过点A 分别作AE SB ⊥，AF SC ⊥交SB SC 、于点E F 、，记三棱锥S FAE −的外接球表面积为1S ，三棱锥S ABC−的外接球表面积为2S ，则12S S = AB ．13CD ．126．在平面直角坐标系内，已知(3,4)A −，(3,1)B −，动点(,)P x y 满足||2||PA PB =，则22(1)()x y t −+−（t ∈R ）的最小值是AB ．2C ．4D ．167．如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1,2,3,3,6,4,10,5,…，则此数列的前30项的和为 A ．680 B ．679C ．816D ．8158．已知函数2()sin 2sin 2 (3f xx x ax a π =π−−π−∈ R)在区间10,2上有两个极值点1x 和2x ，则122x x f +的范围为A ．,36ππ −−B ．,36ππ −−C ．,36ππ −D ．,36ππ −二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复平面内复数1z对应向量1(1,OZ =，复数2z 满足2||2z =，1z 是1z 的共轭复数，则A ．11||||z OZ =B ．()2211z z = C ．214z z = D ．12||4z z =10．已知曲线22C :14x y m m+=−的焦点为12,F F ，点P 为曲线C 上一动点，则下列叙述正确的是A ．若3m =，则曲线C的焦点坐标分别为(和B ．若1m =，则12PF F △2C ．若曲线C 是双曲线，且一条渐近线倾斜角为3π，则2m =−D ．若曲线C的离心率e =2m =−或6m = 11．已知三棱锥P ABC −，过顶点B α分别交棱PA ，PC 于M ，N （均不与棱端点重合）．设1PM r PA =，2r CPNP =，3PNM PAC S S r ∆∆=，4P BNM P ABC V r V −−=，其中PNM S △和PAC S △分别表示PMN △和PAC △的面积，P BNM V −和B P A C V −分别表示三棱锥P BNM −和三棱锥P ABC −的体积．下列关系式一定成立的是A ．132r r r =B ．223122r r r <+C ．142r r r <+D ．1241r r r +>+12．为了估计一批产品的不合格品率p ，现从这批产品中随机抽取一个样本容量为n 的样本123,,,,n ξξξξ ，定义i 1,,1,2,,0,i i n i ξ == 第次不合格第次合格，于是(1)iP p ξ==，(0)1i P p ξ==−，1,2,,i n = ，记1122()(,,,)n n L p P x x x ξξξ==== （其中01i x =或，1,2,,i n = ），称()L p 表示p 为参数的似然函数．极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A ，B ，C ，…，若在一次试验中，结果A 出现，则一般认为试验条件对A 出现有利，也即A 出现的概率很大.极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参数未知”，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大．根据以上原理，下面说法正确的是A ．有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球．今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中抽出的B ．一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测鲤鱼和草鱼的比例为4:1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的C ．11()(1)(01,1,2,,)nniii i x n x i L p pp x i n ==−=−==∑∑ 或D ．()L p 达到极大值时，参数p 的极大似然估计值为11ni i x n=∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数2()(22)x x f x x a −=⋅−是奇函数，则a = ▲ ．14．ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan b a B=，3sin sin A B +，则cos 2B = ▲ ．15．已知数列{}n a 满足：对任意2n ≥，均有11n n n a a a n +−=−+．若122a a ==，则2023a = ▲ ． 16．若曲线e x y =与圆22()2x a y −+=有三条公切线，则a 的取值范围是 ▲ ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为222)S a b c =+−，c =．（1）若4B π=，求a ；（2）D 为AB 上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD 的最大值． 条件①：CD 为C ∠的角平分线； 条件②：CD 为边AB 上的中线． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*13 1 ()n n a S n +=+∈N ． （1）求{}n a 通项公式； （2）设1nn a b n =+，在数列{}n b 中是否存在三项,,m k p b b b （其中2k m p =+）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．19．（本小题满分12分）如图，三棱锥S ABC −的体积为43，E 为AC 中点，且SEB △，AB BC =，90ABC ∠=，AC SB ⊥．（1）求顶点S 到底面ABC 的距离；（2）若90SAB SCB ∠=∠=°，求平面SAC 与平面SBC 夹角 的余弦值．20．（本小题满分12分）已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴，且过(2,0),(4,3)A B 两点． （1）求双曲线C 的方程；（2）已知点(2,1)P ，设过点P 的直线l 交C 于,M N 两点，直线,AM AN 分别与y 轴交于点,G H ，当||6GH =时，求直线l 的斜率．21．（本小题满分12分）已知函数()21ln 2f x x mx x x +−． （1）若()f x 在[)1+∞，单调递增，求实数m 取值范围； （2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：121x x <．22．（本小题满分12分）邯郸是历史文化名城，被誉为“中国成语典故之都”．为了让广大市民更好的了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成语大赛.比赛共设置n 道题，参加比赛的选手从第一题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目.设某选手答对每道题的概率均为(01)p p <<，各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）记答题结束时答题．．个数为X ，当3n =时，若() 1.75E X >，求p 的取值范围； （2）（i ）记答题结束时答对．．个数为Y ，求()E Y ； （ii ）当56p =时，求使()4E Y >的n 的最小值． 参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈.。

2021届高考复习综合检测二（全国卷）数学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3 ．本次考试时间120 分钟，满分150 分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题（本题共12小题，每小题 5 分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝｛x|x2－x－2>0｝，B＝｛x|log2x≤2｝，则A∩B等于（）A．（－∞，－1）∪ （0，＋∞ ）B．（2,4]C．（0,2）D．（－1,4]2－i2．复数z＝－对应的点在复平面内位于（）1＋iA．第一象限C．第三象限 3.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.32 16 8 164．在△ ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝2 3sin B，则 A 等于（）5．（2019 ·河南省郑州市第一中学适应性考试）已知函数 f （x）是定义在R 上的偶函数，且 f （0）B．第二象限D．第四象限A.π 2π 5 πB.3C. 3D. 6＝0，当x<0时， f (x)单调递增．若实数 a 满足 f (3－|a ＋1|)>f9．抛物线 y 2＝2px(p>0)的焦点为 F ，已知点 A 和 B 分别为抛物线上的两个动点．＝120°，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ，垂足为 N ，则 |MN|的最大值为 ( ) |AB |A. 3 B ． 1 C.233 D. 3333，则 a 的取值范围是 ( ) 3A.32，B. －∞， －3∪ －1，＋∞22C.4， 3，D. －∞，4∪ －2，＋∞336．一个几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的体积为()A.6＋6π 368＋ 2π 3 C.69＋2π 3 D. 67．已知函数 f (x)＝ Acos(ωx ＋ φ) πA>0， ω>0， |φ|<2 的图象如图所示， 若函数h(x)＝f (x)＋1的2 π π 4 πA. 3B.2C. 3 D ． π8． (2019 ·上海市吴淞中学期末 a －x 2)函数 f (x)＝|x ＋a 1－|－x1为奇函数的充要条件是 (A ． 0<a<1B ． a>1C ． 0<a ≤1D ．a ≥1且满足∠ AFB则 两个不同零点分别为 x 1， x ，|lg|x －1|| x ≠1 ，10．(2019 ·上海市曹杨中学期末 )设定义域为 R 的函数 f (x)＝则关于 x 的方0 x ＝ 1 ，程 f 2(x)＋ bf (x)＋c ＝0有 7个不同实数根的充要条件是 ( )数 t 的取值范围是 ( )A ． (－∞， 2) C ．(－∞， 3)第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)、填空题 (本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在题中横线上 )13．已知定义在 R 上的奇函数，当 x>0时， f (x)＝log 2x －3x ，则 f (－1)＝ ________ . 14．若 (x －1)5－2x 4＝a 0＋ a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋ a 3(x －2)3＋a 4(x － 2)4＋a 5(x －2)5，则 a 2＝15．设 f ′(x)和g ′(x)分别是 f (x)和g(x)的导函数，若 f ′(x) ·g ′(x)<0在区间 I 上恒成立，则1称 f (x)和 g(x)在区间 I 上单调性相反．若函数 f (x)＝3x 3－2ax(a ∈R)与 g(x)＝x 2＋2bx(b ∈ R)在3区间 (a ，b)上单调性相反 (a>0) ，则 b － a 的最大值为 ______ ．16．已知圆 O ：x 2＋y 2＝1 与 x 轴负半轴的交点为 A ， P 为直线 3x ＋4y － a ＝0 上一点，过 P作圆 O 的切线，切点为 T ，若|PA|＝2|PT|，则 a 的最大值为 ______ ．三、解答题 (本题共 6 小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(12 分)在锐角△ ABC 中， a ，b ，c 为内角 A ，B ，C 的对边，且满足 (2c －a)cos B － bcos A ＝0.(1)求角 B 的大小；(2)已知 c ＝ 2，AC 边上的高 BD ＝3 721，求△ ABC 的面积 S 的值．A ． b<0 且 c>0C ．b<0 且 c ＝ 0B ． b<0 且 c<0D ． b ≥ 0 且 c 11．(2020 ·哈尔滨市师范大学附属中学月考)已知 O 为△ ABC 的外接圆的圆心， 且 3O →A ＋ 4O →B ＝－ 5OC ，则 C 的值为 ( )πA.4πD.1212．已知函数 f (x)＝ln x ＋ x － t 2t ∈R ，若对任意的 x ∈[1,2] ，f (x)>－x ·f ′(x)恒成立，则实B. －∞， 32D. －∞，18．(12 分)如图，在长方体ABCD －A1B1C1D 1 中，AA1＝1，底面ABCD 的周长4，E 为BA1 为的中点．(2)当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，求直线BA1 与平面A1CD 所成的角θ.在椭圆 C 1 上．(1)求椭圆 C 1 的方程；(2)设 P 为椭圆 C 2上一点，过点 P 作直线交椭圆 C 1于 A ，C 两点，且 P 恰为弦 AC 的中点，则当点 P 变化时，试问△ AOC 的面积是否为常数， 若是，求出此常数， 若不是，请说明理由．20．(12 分 )当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．目前，国家教育主管部 门正在研制的 《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》 ，以及将出台的加强劳动教育 指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求．为激发学生加强体育活 动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者 得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 8 局时停止．设甲在每局中获1胜的概率为 p p>12 ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为19.(12 分 )已知椭圆 C 1： 22 a x 2＋b y 2＝1(a>b>0)和椭圆C 2：x 2＋y 2＝1 的离心率相同，且点 ( 2，1)5.9.(1)求p 的值；(2)设X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X 的分布列和均值E(X)．1－xx 121.(12分)函数 f (x)＝ln x＋(a∈R且a≠0)，g(x)＝(b－1)x－xe x－(b∈R)．ax x(1)讨论函数 f (x)的单调性；(2)当a＝1时，若关于x的不等式 f (x)＋g(x)≤－2恒成立，求实数b的取值范围．请在第22～23 题中任选一题作答．22．(10分)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标4cos θx＝2＋tcos α，系，已知曲线 C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ2，直线l 的参数方程是(t 为参1－cos2θy＝2＋tsin α数，0≤ α<π．)(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线 C 交于A，B 两点，且线段AB 的中点为M (2,2)，求α.23．(10分)已知函数 f (x)＝m－|x＋4|(m>0) ，且 f (x－2)≥0的解集为［－3，－1］．(1)求m 的值；1 1 1(2)若a，b，c 都是正实数，且a＋2b＋3c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.答案精析1．B [∵集合 A ＝ {x|x 2－x － 2>0} ＝{ x|x<－ 1或 x>2}， B ＝{x|log 2x ≤ 2} ＝ { x|0<x ≤ 4} ，∴A ∩B ＝{x|2<x ≤4}＝（2,4]．]2－i2－ i 1－ i1－ 3i 1 3i2．D [z ＝12－＋i i，即z ＝21＋－ii 11－－ii＝1－23i＝12－32i ，故z 在复平面内对应的点位于第四象限．]3． C [设小正方形的边长为 1，可得阴影平行四边形的底为2，高为 22，阴影等腰直角三角形的直角边为 2，斜边为 2 2，大正方形的边长为 2 2，4． A [∵sin C ＝2 3sin B ，∴由正弦定理得 c ＝2 3b ，则 c 2＝ 12b 2. 又 a 2－ b 2＝ 3bc ，那么 a 2＝ 7b 2， cos A ＝b2＋2c b 2c－a2＝46b 32b 2＝23∵A ∈（0，π，）∴A ＝6π.]5． B [∵f （3－|a ＋1|）＞f － 33 ，∴f （3－|a ＋1|）＞f 33 ＝f （3 2）， 又 f （x ）为偶函数，且在 （－ ∞ ，0）上单调递增，1∴f （x ）在（0，＋ ∞ ）上单调递减， ∴|a ＋1|＞2，31解得 a ∈ －∞，－32 ∪ －21，＋ ∞ .]6． B [几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为3，底面为边长为 2 的11π·21正方形；半圆锥高为 3，底面为半径为 1 的半圆，因此体积为 13× 3×22＋ 13× 3× π2·＝13327．A [由图象可知， A ＝2， 4T ＝23π－6π＝2π，∴T ＝2π，ω＝1，∴f （x ）＝ 2cos （x ＋φ），所以 P ＝2× 22＋ 21×2×2 2 2× 2 2由余弦定理得8＋ π 36 ，故选 B.] 3π π π ∵f 6 ＝2cos 6＋φ＝2，且 |φ|<2π， ππ∴φ＝－ 6，f （x ）＝2cos x －6 ，π令 h （x ）＝ f （x ）＋1＝ 2cos x － ＋ 1＝ 0，6π1可得 cos x －6 ＝－ 2，解得 x －π＝2π＋2k π，k ∈Z 或 x －π＝4π＋2k π，k ∈Z ，6 3 6 3x ＝5π＋2k π，k ∈Z 或 x ＝ 3π＋2k π，k ∈Z ，62则|x 1－x 2|的最小值为 32－56＝23 .]则（a ＋b ）2－ab ≥（a ＋b ）2－ a ＋2 b 2＝ 34（a ＋b ）2，3即|AB|2≥43（a ＋b ）2，8．C [f （x ）＝ a －x 2 |x ＋1|－1 f （－ x ） ＝ a －x 2|－x ＋1|－1f (x) 为奇函数，a － x 2 ＝－ a － x 2|x ＋ 1|－ 1＝－|－x ＋1|－1∴|x ＋1|＋ |x －1|＝2，∴－1≤x ≤1，考虑定义域 a －x 2≥0，即－ a ≤ x ≤ a(a>0)且 x ≠0， 由抛物线的定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形 ABPQ 中， 2|MN |＝ |AQ|＋|BP|＝a ＋b ， 由余弦定理得 |AB|2＝a 2＋b 2－2abcos 120 °＝ a 2＋ b 2＋ ab ，整理得 |AB|2＝ (a ＋ b)2－ ab ， 因为 ab ≤ a ＋2 b2，满足 a ≤1， ∴0<a ≤1.]设|AF|＝a ，|BF|＝b ， Q ，P ，当且仅当 a ＝b ，即 |AF|＝|BF|时取等号，故选 D.]10．C [令 t ＝f (x)，考虑方程 t 2＋bt ＋c ＝0的根， 该方程必有两个不同实数解， 设解为 t ＝t 1， t＝t 2，由题设方程 t1＝f ( x)和方程 t 2＝f (x)的解即为方程 f 2(x)＋ bf (x)＋c ＝0 的解， 因为方程 f 2(x)＋bf (x)＋c＝0 有 7 个不同的解，根据 f (x)的图象 (如图所示 )可得，直线 y ＝t 1与 y ＝f (x)的图象有 3 个不同的公共点， 直线 y ＝t 2与 y ＝f (x)的图象有 4 个不同的公共点，故 t1＝0，t 2>0，所以 c ＝0，t 2＝－ b>0 即 b<0，故选 C.]→ 1 → →且OC ＝－ 5(3OA ＋4OB)，→ → → 1 → → ∴OC ·OC ＝|OC|2＝ 215(3OA ＋4OB)2 ＝295|O →A|2＋2254O →A ·O →B ＋ 2165|O →B|2 ＝|O →C|2＋2254O →A ·O →B ， ∴24O →A ·O →B ＝0，∴∠ AOB ＝90°.25 如图所示，建立平面直角坐标系，设 A(0,1) ，B(1,0)，由 3O →A ＋4O →B ＝ (4,3)＝－ 5O →C ，则 C ＝ 4π.]x 2－ln x ＋ 1－t 212．B [∵ f ′(x)＝2，11 22令 g(x)＝x ＋x ，又 g(x)＝x ＋x 在[1,2] 上单调递增，xx33∴g(x)min ＝g(1)＝2，∴t <2.] 13．3解析 因为 f (1)＝ log 21－ 3＝－ 3， 又 f (x)为定义在 R 上的奇函数， 所以 f (－1)＝－f (1)＝3. 14．－ 38解析 令 x － 2＝t ，则 x ＝ t ＋ 2.由条件可得 (t ＋1)5－2(t ＋2)4＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋ a 3t 3＋ a 4t 4＋a 5t 5， 故 t 2的系数为 C 53－2C 42×22＝－ 38，即 a 2＝－ 38.115.2解析 由题意知 f ′(x)＝x 2－2a ， g ′(x)＝2x ＋2b ， 函数 f (x)与 g(x) 在区间 (a ， b)上单调性相反， 则(x 2－ 2a)(2x ＋2b)<0 在 x ∈(a ，b)上恒成立， 又 0<a<b ，所以 2x ＋ 2b>0，于是 x 2－2a<0 在 x ∈( a ， b)上恒成立．可知 C4，－ 3 ，5，－5 ，则CA ＝45，85 ，C →B ＝ 95， 3， 5，CA ·CBcos C ＝|CA|×|CB|24 ＝ 2， 4 5× 3 10 2 5 × 53625 25又对任意的 x ∈ [1,2] ，f ′ (x) ·x ＋ f (x)>0 恒成立， ∴对任意的 x ∈ [1,2] ，2x2－2tx ＋1>0 恒成立，即对任意的 x ∈ [1,2] ， 2x 2－2tx ＋1> 0 恒成立，则 t <2x ＋12x＝ x ＋1 2x12 x ＋ 恒成立，x x 2易知x2－2a<0 的解集为（－2a，2a），所以（a，b）? （－2a，2a），所以b－a≤2a－a＝－a－21 2＋12，11当a＝21，b＝1 时，b－a取得最大值12.2316.3 解析易知A（－1,0），设P（x，y），由|PA|＝2|PT|，可得（x＋1）2＋y2＝4（x2＋y2－1），1 16化简得x－132＋y2＝196，可转化为直线3x＋4y－a＝0 与圆x－31 2＋y2＝196有公共点，所以d＝|1－a|≤4，5317 23 解得－137≤a≤233.23故 a 的最大值为233.317．解(1)∵(2c－a)cos B－bcos A＝0，由正弦定理得(2sin C－sin A)cos B－sin Bcos A＝0，∴ (2sin C－sin A)cos B＝sin Bcos A，2sin Ccos B－sin(A＋B)＝0，1∵A＋B＝π－C 且sin C≠ 0，∴cos B＝2，∵B∈(0，π∴B＝π.311（2）∵ S△ABC＝2acsin B＝2BD ·b，代入c＝2，BD＝3721，sin B＝23，得b＝37a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4－2a，代入b＝37a，得a2－9a＋18＝0，解得a＝3，b＝7a＝6，b＝ 2 7，又∵三角形为锐角三角形，∴a2<c2＋b2，∴a＝3，b＝7.证明如下：如图，连接 AB 1， C 1D ， 则 AB 1C 1D 是平行四边形， ∵E 是 AB 1的中点，1∴AE ∥C 1D ，AE ＝2C 1D ， ∴AEC1D 为梯形， A ，E ， C 1，D 四点共面， 又EC 1与AD 为梯形的两腰，故 EC 1与 AD 相交.(2)设 AB ＝b ，AD ＝2－b ，VABCD －A 1B 1C 1D 1＝b(2－ b)×AA 1＝b （2－b ）≤b ＋22－ b2＝1，当且仅当 b ＝ 2－ b ，即 b ＝1 时取等号， 方法一 连接 BD （图略），设点 B 到平面 A 1CD 的距离为 h ，则根据等体积法 VB －A 1CD ＝VA 1 －BCD ，其中 S △A 1CD ＝21×CD ×A 1D ＝ 22， ∴h ＝22， 则直线 BA 1与平面 A 1CD 所成的角 θ满足 sin方法二 分别以边 AB ，AD ，AA 1所在的直线为 x ，y ，z 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 B(1,0,0)，A 1(0,0,1) ，C(1,1,0)，D(0,1,0)，设平面 A 1CD 的法向量为 n ＝ （x ， y ， z ），11 ∴ S △ABC ＝2ac sin B ＝2×2× 3×3＝3 32＝218．解 （1）EC 1 与 AD 是相交直线VA 1－ BCD ＝13S △ BCD × AA 1＝16，36h1θ＝BA1＝2，π∵ θ∈ 0， 2 ，θ＝6π.BA 1＝(－1,0,1)， CD ＝(－1,0,0)， CA 1＝（－1， 1,1),－ x ＝ 0， 即－ x － y ＋z ＝ 0，取 z ＝ 1，则 n ＝ （0,1,1），n ·CD ＝ 0，则→n ·C →A 1＝∴sin θ＝ |cos 〈B →A 1， n 〉 |＝ 1＝2× 2＝1， 2，π ∵ θ∈ 0，∴θ＝6π.2 1 c 219．解 （1）由题意知， a 2＋b 2＝1，且a ＝ 2 ，即 a 2＝ 4， b 2＝ 2，所以椭圆 C 1的方程为 x 4 ＋y 2＝1.（2）是． ①当直线 AC 的斜率不存在时，必有 P （ ± 2，0），此时 |AC|＝2，S△AOC＝ 2.② 当直线 AC 的斜率存在时，设其斜率为 k ，点 P （x 0，y 0），则 AC ：y － y 0＝ k （x － x 0），直线 AC 与椭圆 C 1联立，得 （1＋2k 2）x 2＋4k （y 0－kx 0）x ＋ 2（y 0－ kx 0） 2－ 4＝ 0，设 A 则 x 0＝ x1＋ x2＝－2k y0－k 2x0，即 x 0＝－2ky 0，1＋2k 2 0 02 2 21又 x 02＋ 2y 20＝2， ∴y 02＝1＋ 2k 2，S △AOC ＝21×|y01－＋k kx02|× 1＋k 216k 2 y 0－ kx 0 2－4 1＋2k 2 [2 y 0－ kx 0 2 －4]1＋ 2k 2 ＝2|y 0－ kx 0| 2 1＋ 2k 2 － 2 1＋2k 2 y 0－ kx 0 2＝21＋2k 2 |y 0| 2 1＋2k 2 － 1＋ 2k 2 2y 20 1＋2k 2＝ 2|y 0| 1＋ 2k 2＝ 2.综上， △AOC 的面积为常数 2.20．解 （1）依题意，当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时，第二局比赛结束时比赛结束．所以有 p 2＋ （1－p ）2＝95，解得 p ＝ 32或 p ＝13（舍）．（2）依题意知， X 的所有可能值为 2,4,6,8.5 设每两局比赛为一轮， 则该轮结束时比赛停止的概率为 59.若该轮结束时比赛还将继续， 则甲、 乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．4从而有 P(X ＝ 2)＝59，5 5 20 P(X ＝4)＝ 1－9 × 9＝81，所以随机变量 X 的分布列为21．解 (1)∵ f (x)＝ln x ＋a 1x －1a ，1 1 ax － 1 ∴f ′ (x)＝ － 2＝2 (x>0) ， x ax 2 ax 2当 a<0 时， f ′(x)>0，∴f (x)在(0，＋ ∞ )上单调递增，1当 a>0 时，由 f ′ (x)>0 得 x> ； a1由 f ′ (x)<0 得 0<x< ，a11∴f (x)在 0，1a 上单调递减，在 a 1，＋ ∞ 上单调递增． aa11 综上，当a<0时，f (x)在(0，＋ ∞ )上单调递增；当a>0时，f (x)在 0，1 上单调递减，在 1，＋∞aa 上单调递增．(2)由题意，当 a ＝ 1 时，不等式 f (x)＋g(x)≤－2，11即 ln x ＋ －1＋(b － 1)x －xe x － ≤－2，xxln x 1即 b －1≤ e x －ln x x － 1x 在 (0，＋ ∞)上恒成立，xx1 令 u(x)＝ x 2e x ＋ ln x ，则 u ′ (x)＝ (x 2＋ 2x)e x＋ x >0，x∴u(x)在(0，＋∞)上单调递增，P(X ＝6)＝ 1－ 59 × 1－5 ×5＝80，9 9 729 P(X ＝8)＝×5－1×5－1－5 ×1＝ 64. －9 729.则 E(X)＝2× 59＋4×2810＋6×78209＋8×64 729 2 522729 . 令 h(x)＝ e x － ln xxx1， x ，则 h ′(x)＝ e x － 1－ lnx x 2＋x 2＝x 2e x ＋ ln xx 2又 u （1）＝ e>0， u 1 ＝ e －ln 2<0，∴u(x)有唯一零点 x 0 2<x 0<1 ， 所以 u(x 0)＝0，即 x 0ex 0＝－ln x0，(*)x 0当 x ∈(0，x 0)时，u(x)<0，即 h ′ (x)<0 ， h(x)单调递减； x ∈(x 0，＋∞)时，u(x)>0，即 h ′( x)>0 ， h(x)单调递增， ∴h(x 0)为 h(x)在定义域内的最小值．x 1令k(x)＝xe x 2<x<1，则方程 (*)等价于 k(x)＝k(－ln x)，1又易知 k(x)单调递增，所以 x ＝－ln x ，e x ＝ x 1，x∴h(x)的最小值为∴ b － 1≤ 1，即 b ≤2， ∴实数 b 的取值范围是 (－∞，2］．4cos θ22．解 (1)曲线 C ：ρ＝2θ，即ρsin 2θ＝4cos θ，于是有ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 化为直角坐标方程为 y 2＝4x.y 2＝4x ，(2)方法一 联立 x ＝2＋tcos α，y ＝2＋tsin α，则(2＋tsin α)2＝4(2＋tcos α)， 即 t 2sin 2α＋ (4sin α－ 4cos α)t － 4＝ 0.由 AB 的中点为 M(2,2)，得 t 1＋ t 2＝0，有 4sin α－ 4cos α＝0， 所以 k ＝tan α＝1，π由 0≤α<π 得α＝ .方法二 设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，则（y 1＋ y 2）（ y 1－ y 2）＝ 4（x 1－ x 2），y 1－y 2 y 1＋y 2＝4，∴k ＝tan α＝＝1，x 1－x 2由 0≤α<π得α＝π.方法三设 A4，y1，B 4，y2 (y 1<y 2)，则由 M(2,2)是 AB 的中点，得4＋4＝4， ? y 1＋y 2＝4，ln x 0 1 1－x0 124y 21＝ 4x 1，y1y2＝0，y1＋y2＝4y1<y2，∴y1＝0，y2＝4，知A(0,0)，B(4,4)，π ∴k＝tan α＝1，由0≤α<π 得α＝.4方法四依题意设直线l：y－2＝k(x－2)，与y2＝4x联立得y－2＝k y4－2 ，即ky2－4y－8k＋8＝0.4由y1＋y2＝＝4，得k＝tan α＝1，k因为0≤α<π ，所以α＝4π.23．(1)解依题意 f (x－2)＝m－|x＋2|≥0，即|x＋2|≤m，则－m－2≤x≤－2＋m，－m－2＝－3，∴m＝1.－2＋m＝－1，1 1 1(2)证明∵a1＋21b＋31c＝1(a，b，c>0)，∴a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) 1a＋21b＋31c ＝3＋a＋2b＋a＋3c＋2b＋3c≥9，2b a 3c a 3c 2b3当且仅当a＝2b＝3c，即a＝3，b＝2，c＝1时取等号．4。

邯郸市2023届高三年级第二次模拟试题英语（答案在最后）本试卷共12页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.本试卷由四个部分组成。

其中，第一、二部分和第三部分的第一节为选择题。

第三部分的第二节和第四部分为非选择题。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场/座位号、考生号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分听力(共两节，满分30分)第一节(共5小题;每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.What does the man mean?A.He is ill.B.He doesn’t want to dance.C.He has no time to dance.2.What time is it now?A.4:20.B.4:30.C.4:40.3.What will the woman do tonight?A.Go to the mall.B.Go for a movie.C.Study at home.4.What is the man doing now?A.Washing clothes.B.Repairing the was hing machine.C.Preparing a report.5.What are the speakers talking about?A.A secretary.B.A colleague.C.A position.第二节(共15小题;每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

2020届四省名校高三第二次大联考理科数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{})2ln(+==x y x A ，{}13<=x x B ，则=B A A.{}02<<-x x B.{}02<≤-x x C.{}12<<-x x D.{}12<≤-x x 2.对于平面内两个非零向量a 和b ，0:>⋅b a p ，a q :和b 的夹角为锐角，则p 是q 的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入x n ,的值分别为2,4，则输出v 的值为A.24B.25C.49D.504.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1032=+a a ，305=S ，则数列{}n a 的公差为A.1B.2C.3D.45.42)2(xx -展开式中含5x 的项的系数为A.8B.8-C.4D.4-6.正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）111C B A ABC -中，AB AA =1，M 为棱1CC 的中点，则异面直线C A 1与BM 所成的角为A.6π B.4πC.3π D.2π7.2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去CB A ,,三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为A.121 B.81C.61D.418.已知函数)sin(31)cos(33)(θθ+-+=x x x f )2|(|πθ<是偶函数，则θ的值为A.3π B.3π-C.6π D.6π-9.在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DB CD 3=，点M 在AD 边上，AM AD 3=，若AC AB CM μλ+=，则=+μλA.32- B.32C.67 D.67-10.抛物线)0(:2>=a ax y C 的焦点F 是双曲线12222=-x y 的一个焦点，过F 且倾斜角为︒60的直线l 交C 于B A ,，则=||AB A.2334+ B.234+C.316D.1611.下列选项中，函数1sin 2)(2+-=x x x x f 的部分图象可能是A. B.C. D.12.设点)0,1(A ，)0,4(B ，动点P 满足||||2PB PA =，设点P 的轨迹为1C ，圆2C ：4)3(3(22=-++y x ，1C 与2C 交于点N M ,，Q 为直线2OC 上一点（O 为坐标原点），则=⋅MQ MN A.4 B.32C.2 D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设复数|43|1i ii z +-+=，则=z _______.14.在正项等比数列{}n a 中，1011010=a ，则=++++2019321lg lg lg lg a a a a _______.15.如图，三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，BC SB ⊥，2==BC AB ，3==PC PA ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为_______.16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+--=1,21ln 1,272)(2x x x x x x f 若关于x 的方程kx x f =)(恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_______.三、解答题（共70分。

绝密★启用前邯郸市2023届高三年级摸底考试试卷数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}2220,log 0A xx x B x x =-<=∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.{0}xx >∣ B.{01}x x <∣ C.{12}x x <∣ D.{01x x <<∣或2}x 2.设复数i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知函数()y f x =的图象在点()()3,3P f 处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f -'=（ ）A.2-B.2C.3-D.34.某高中2022年的高考考生人数是2021年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2021年和2022年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：下列结论正确的是（ ）A.该校2022年与2021年的本科达线人数比为6：5B.该校2022年与2021年的专科达线人数比为6：7C.2022年该校本科达线人数增加了80%D.2022年该校不上线的人数有所减少5.已知向量()()4,3,,1a b m =--=，且夹角的余弦值为35-，则m =（ ） A.0 B.1- C.0或247- D.247- 6.“01x <<”是“111x x +>+”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件7.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，S 表示ABC 的面积，其公式为222222142a b c S a b ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.若2,sin sin sin 2sin a b c cb A B C A++==++，则ABC 面积S 的最大值为（ ）2 B.1 C.23 28.从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的概率为（ ）A.4163 B.3863C.23D.57二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分.9.已知函数()f x 的局部图象如图所示，下列函数()f x 的解析式与图象符合的可能是（ ）A.()245f x x =B.()4f x x =C.()sin f x x x =D.()21xf x x =+ 10.已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为2,P 为C 上一点，则（ ） A.双曲线C 的实轴长为2B.双曲线C 的一条渐近线方程为3y x =C.122PF PF -=D.双曲线C 的焦距为411.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则下列结论一定成立的是（ ） A.若15a a =，则12n a a a ===B.若53a a >，则12n S S S <<<C.若32a =，则22158a a +D.若488,4a a ==，则1266S =12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在线段11A C 上，则（ ）A.直线11A C 与BC 所成的角为30B.对任意的点E ，都有BD ⊥平面ACEC.存在点E ，使得平面ABE ∥平面11CC D DD.存在点E ，使得平面ABE ⊥平面CDE三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若抛物线24y x =的准线与圆22:()1C x a y -+=相切，则a =__________. 14.已知()52345601234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则03a a +的值为__________.15.如图，在正四棱台ABCD EFGH -中，43,3AB EF ==E ABCD -的体积为48，则该四棱台的体积为__________. 16.设函数()sin sin (0)3f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）在①22223sin b c a ac B +-=；①222sin sin sin 3sin sin B C A B C +-=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，__________. （1）求角A ；（2）若8,10a b c =+=，求ABC 的面积.18.（本题满分12分）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3614,126S S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()1n n b n a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .19.（本题满分12分）暑假期间，某学校建议学生保持晨读的习惯，开学后，该校对高二､高三随机抽取200名学生（该学校学生总数较多），调查日均晨读时间，数据如表： 日均晨读时间/分钟 [)0,10 [)10,20 [)20,30 [)30,40 [)40,50 []50,60人数51025505060将学生日均晨读时间在[]30,60上的学生评价为“晨读合格”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，依据0.05α=的独立性检验，能否认为“晨读合格”与年级有关联？ 项目 晨读不合格 晨读合格 合计 高二 高三 15 100 合计抽取2名学生，记所抽取的2人中晨读合格的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：α0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x α2.7063.8416.6357.87910.828P ABCD -为梯形，22,,AB AD DC AB DC AB AD ==⊥∥，平面PCB ⊥平面ABCD .（1）证明：PB AC ⊥；（2）若PCB 为正三角形，求二面角B PA C --的正弦值.21.（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，上､顶点分别为12,,M N NF F 321MF NF 的四条边的平方和为16.（1）求椭圆C 的方程；（2）若1a b >>，斜率为k 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点H 在直线12x =上，求证：线段AB 的垂直平分线与圆2214x y +=恒有两个交点. 22.（本题满分12分）已知函数()()ln 0f x x a x a =-≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()()ln xg x xe a x x =-+，且a e >，证明：()g x 有且仅有两个零点.（e 为自然对数的底数）高三年级摸底考试试卷数学全解全析1.【命题说明】本题依托集合的概念和不等式的基本性质，考查图示法表示集合的关系､交集的定义､解不等式，考查运算能力和数形结合思想.【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查数学运算和直观想象的核心素养.C 由题可得{}{02},1A xx B x x =<<=∣∣，由题图可得阴影部分为{12}A B x x ⋂=<∣. 2.【命题说明】本题依托复数的概念，考查复数的运算和共扼复数的概念，考查运算能力. 【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算的核心素养.D 因为i 11i 1i 22z ==++， 所以11i,22z z =-在复平面内对应的点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限.3.【命题说明】本题依托导数的概念，考查求导法则和导数的几何意义，考查运算能力和数形结合思想.【学科素养】本题重点考查数学运算和直观想象的核心素养.D 函数()f x 的图象在点()()3,3P f 处的切线的斜率就是在该点处的导数，即()3f '就是切线27y x =-+的斜率，所以()32f '=-，又()32371f =-⨯+=，所以()()()33123f f -=--='.4.【命题说明】本题依托扇形统计图数据，考查了对扇形统计图的理解与应用，考查灵活应用所学知识解答实际问题的能力，考查运算能力和数形结合思想. 【学科素养】本题重点考查数据分析的核心素养.C 不妨设2021年的高考人数为100，则2022年的高考人数为150.2021年本科达线人数为50，2022年本科达线人数为90，得2022年与2021年的本科达线人数比为9:5，本科达线人数增加了80%，故选项A 不正确，选项C 正确；2021年专科达线人数为35，2022年专科达线人数为45，所以2022年与2021年的专科达线人数比为9:7，选项B 错误；2021年不上线人数为15，2022年不上线人数也是15，不上线的人数无变化，选项D 错误. 5.【命题说明】本题依托平面向量的概念，考查平面向量数量积的理解与应用，考查运算能力.【学科素养】本题重点考查数学运算的核心素养. A 由已知222(4)(3)5,1,43a b m a b m =-+-==+⋅=--，所以243cos ,0551a b m a b a bm ⋅-===-<⨯+，解得0m =或247-（舍去）.23551m =-⨯+之后，不用解方程，可用试值法，将240,1,7m =--代入，易得0m =符合题意.6.【命题说明】本题依托不等式，考查充分条件和必要条件的判断，考查灵活应用充分条件和必要条件的定义解答问题的能力，考查运算能力. 【学科素养】本题重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.A 因为21111001111x x x x x x x +>⇒-+>⇒>⇒>-+++且0x ≠，充分性成立，所以“01x <<”是“111x x +>+”的充分不必要条件. 7.【命题说明】本题依托古代三角形问题，考查正弦定理在解三角形中的应用，考查二次函数求最值问题，考查转化思想.【学科素养】本题重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养. C 由正弦定理得sin sin sin sin 2sin a a b c c A A B C A++==++，得2c a =，因为2,b ABC =的面积22222242119204424a b c S a b a a ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=-=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2109a =，即10a =ABC 的面积S 有最大值为23. 8.【命题说明】本题依托正方体的点､线､面位置关系，考查古典概型的概率求解，考查运算能力和空间想象能力.【学科素养】本题重点考查数学运算和直观想象的核心素养.D 从正方体的8个顶点和中心中任取4个，有49126n C ==个结果，4个点恰好构成三棱锥分两种情况：①从正方体的8个顶点中取4个点，共有4870C =个结果，在同一个平面的有6612m =+=个，构成三棱锥有701258-=个；①从正方体的8个顶点中取3个与中心构成三棱锥有346832C +=个，故从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的个数为583290+=，故所求概率9051267P ==. 9.【命题说明】本题依托函数图象，考查函数性质，函数单调性､奇偶性､极值等问题，考查数形结合思想.【学科素养】本题重点考查逻辑推理和数学抽象的核心素养. AC 对于A ，()()2244()55f x x x f x -=-==为偶函数，图象为开口向上的抛物线，()4115f =<，与题干图象相符；对于()4B,f x x =为偶函数，但()11f =，与题干图象不相符；对于()()()()C,sin sin f x x x x x f x -=--==为偶函数，由()sin cos f x x x x +'=，当02x π<<时，()()0,f x f x '>单调递增，且()1sin11f =<，与题干图象相符；对于()()2D,()1xf x f x x --==--+为奇函数，与题干图象不相符.10.【命题说明】本题依托双曲线方程，考查双曲线性质､定义，考查数形结合思想. 【学科素养】本题重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.ABD 由双曲线方程知：离心率为232c a e a+===，解得1a =，故22:13y C x -=，实半轴长为1，实轴长为22a =，A 正确；因为可求得双曲线渐近线方程为3y x =，故一条渐近线方程为3y x =，B 正确；由于P 可能在C 的不同分支上，则有12||||||2PF PF -=，C 错误；焦距为22224,D c a b =+=正确.11.【命题说明】本题依托等差数列概念，考查等差数列的通项公式､前n 项和的性质，考查基本不等式综合应用，考查转化思想.【学科素养】本题重点考查数学运算和数学抽象的核心素养.ACD 设等差数列的公差为d ，因为15a a =，所以114a a d =+，所以0d =，则12n a a a ===，故A 正确；因为53a a >，所以1142a d a d +>+，所以{}0,n d a >为递增数列，但12n S S S <<<不一定成立，如1231232,1,0,2,3,3a a a S S S =-=-==-=-=-，故B 不正确；因为2222151532282a a a aa +⎛⎫+== ⎪⎝⎭，当且仅当152a a ==时取等号，故C 正确；因为418138,74,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩解得11,11,d a =-⎧⎨=⎩，则1248880a a d =+=-=，得1121212662a aS +=⨯=，故D 正确.【知识总结】结论：（1）等差､等比数列的性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t +=+=∈N ，①若{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； ①若{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，当0d =时，为常数列；当0d >时，递增；当0d <时，递减.12.【命题说明】本题依托正方体，考查线面､面面位置关系的证明与判定，异面直线所成角的定义等问题，考查数形结合与转化思想.【学科素养】本题重点考查数学运算､直观想象和逻辑推理的核心素养. BC 因为11AC AC ∥，所以直线11A C 与BC 所成的角为45，故A 错误； 因为BD ⊥平面11ACC A ，故BD ⊥平面ACE ，故B 正确； 当点E 在1A 处时，平面ABE ∥平面11CC D D ，所以存在点E ，使得平面ABE ∥平面11CC D D ，故C 正确.如图，过点E 作11MN A B ∥，则MN 为平面ABE 与平面CDE 的交线，在正方体中，11A B ⊥平面11BCC B ，所以MN ⊥平面11BCC B ，所以BN MN ⊥，CN MN ⊥，所以BNC ∠即为平面ABE 与平面CDE 所成的夹角， 因为点N 一定在以BC 为直径的圆外，所以90BNC ∠<，所以不存在点E ，使得平面ABE ⊥平面CDE ，故D 错误.（设正方体的棱长为11,B N x =，则11tan ,tan 1B BN x C CN x ∠∠==-，所以()()()1122111tan tan 1111324x x BNC B BN C CN x x x x x ∠∠∠+-=+===---+⎛⎫-+⎪⎝⎭，当12x =时，tan BNC ∠取得最大值，为43，此时BNC ∠为锐角，故D 错误.）13.【命题说明】本题依托抛物线和圆的方程，突出考查了抛物线性质和圆的切线，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算和直观想象的核心素养.【解析】抛物线24y x =的准线为1x =-，圆22:()1C x a y -+=的圆心为(),0a ，半径1r =，与准线1x =-相切，得2a =-或0. 答案：2-或014.【命题说明】本题依托二项式定理，突出考查利用二项式展开式的通项求系数，考查学生对这些知识的理解掌握水平，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力. 【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算的核心素养.【解析】令001x a =⇒=-，由题得5(1)x -的展开式的通项为515C (1)r r r r T x -+=-，令52r -=，得3r =，令53r -=，得2r =，所以3322355C (1)C (1)0a =-+-=，所以031a a +=-. 答案：1-15.【命题说明】本题依托四棱台和四棱锥，突出考查四棱台体积的求解，考查学生对四棱台知识的理解掌握水平，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力. 【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算和直观想象的核心素养.【解析】方法一：由题意，设点E 到平面ABCD 的距离为h ，由四边形ABCD 面积为2(43)48S ==，得四棱锥E ABCD -的体积为11484833hS h ==⨯，得3h =.所以棱台体积为()()113484824324339933V h S S S S =+=⨯⨯+⨯=下下上上.方法二：由题意，设点E 到平面ABCD 的距离为h ，由四边形ABCD 面积为2(43)48S ==，得四棱锥E ABCD -的体积为11484833hS h ==⨯，得3h =.由棱台定义知，延长,,,EA FB GC HD 交于一点（图略），设为P ，设棱锥P ABCD -的高为x ，则棱锥P EFGH -的高为3x +，由三角形相似可得439x AB x EF ==+，得125x =，于是棱台体积1(3V x =+3）11271122434839933535S xS -=⨯⨯-⨯⨯=下上. 答案：39916.【命题说明】本题依托三角函数解析式，突出考查利用正弦型函数在区间上的极值点个数判断正弦型函数的基本性质，考查三角变换公式，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.【学科素养】本题重在运算，重点考查了数学抽象和逻辑推理的核心素养. 【解析】()3331sin sin sin 3cos 3sin 3226f x x x x x x x x ππωωωωωωω⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦， 作出函数3sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=+>⎪⎝⎭的图象如图所示： 由于函数()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则57262ππωππ+<，解得71033ω<. 答案：710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【名师指点】解本题的关键在于换元6t x πω=+，将问题转化为函数3sin y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的极值点个数问题，数形结合来求解. 17.【命题说明】本题考查利用正､余弦定理解三角形的方法，考查三角变换公式及对三角形面积公式的理解与应用能力，强调综合运用所学知识来解决问题的能力. 【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.【分析】（1）选择①：利用正弦定理边角互化，结合余弦定理可求得tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；选择②：由正弦定理､余弦定理可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值； （2）利用余弦定理可求得bc 的值，结合三角形面积公式可得出ABC 的面积. 【解析】（1）选择①：因为22223sin b c a ac B +-=， 由余弦定理可得2cos 23sin bc A ac B =， 所以结合正弦定理可得sin cos 3sin sin B A A B =. 因为()0,B π∈，则sin 0B >，所以cos 3sin A A =，即3tan 3A =， 因为()0,A π∈，所以6A π=； 选择①：因为222sin sin sin 3sin sin B C A B C +-=， 由正弦定理得2223b c a bc +-=，由余弦定理得2223cos 2b c a A bc +-==因为()0,A π∈，所以6A π=； （2）由（1）知6A π=，又已知8,10a b c =+=， 由余弦定理得，(22222cos ()23a b c bc A b c bc =+-=+-， 即(6410023bc =-，所以23bc =+所以ABC 的面积为(11sin sin 923226bc A bc π==-. 18.【命题说明】本题依托等比数列概念，突出考查数列的求和方法，考查学生对错位相减法的理解与应用能力，强调综合运用所学知识来解决问题的能力. 【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养. 【分析】（1）根据3614,126S S ==，得到1,a q 的值，得到{}n a 的通项公式. （2）首先根据（1）得到()1n n b n a =-，再利用错位相减法求n T 即可. 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，由3614,126S S ==， 得()()3611361114,12611a q a q S Sqq--====--，相除得319q +=，得2q =，所以12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，即2nn a =；（2）由（1）可得()()112nn n b n a n =-=-，所以()()23112222212n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯……①，()()2211122222122n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯……①， ①-①，得()22112222122n n nn T n ---=++++--⨯，得()()1212112212n n nT n ---=--⨯-， 所以()1422n n T n +=+-⨯.【方法指导】本题主要考查数列的求和，常见的数列求和方法如下： 1.公式法：直接利用等差､等比数列的求和公式计算即可； 2.分组求和法：把需要求和的数列分成熟悉的数列，再求和即可； 3.裂项相消法：通过把数列的通项公式拆成两项之差，再求和即可；4.错位相减法：当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时，可使用此方法求和.19.【命题说明】本题依托数据统计､频率分布，突出考查列联表的填写､2χ的计算､二项分布的概率计算公式及其随机变量的分布列和数学期望，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算､数据分析的核心素养. 【解析】（1） 项目 晨读不合格 晨读合格 合计 高二 25 75 100 高三 15 85 100 合计40160200220.05200(25851575) 3.125 3.84110010040160x χ⨯⨯-⨯==<=⨯⨯⨯，所以依据0.05α=的独立性检验，不能认为“晨读合格”与年级有关联.（2）题表中学生晨读合格的概率为16042005=， 所以42,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()02024110C 5525P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()11124181C 5525P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()22241162C 5525P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，ξ的分布列为 ξ12P125 825 1625所以()255E ξ=⨯= 或()181680122525255E ξ=⨯+⨯+⨯=. 20.【命题说明】本题依托四棱锥，考查棱锥中的线面位置关系及求二面角，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.【学科素养】本题重在运算､联想与推理，重点考查数学运算､直观想象和逻辑推理的核心素养.【分析】（1）设222AB AD DC ===，可得AC BC ⊥，利用平面PCB ⊥平面ABCD ，可得AC ⊥平面PCB ，则AC PB ⊥；（2）取BC 的中点O 为坐标原点，以OP 的方向为z 轴正方向，过点O 分别作AB 和AD 的平行线，分别为x 轴和y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，分别求得平面ABP 的法向量和平面ACP 的法向量，进而利用数量积求解即可.也可以直接寻找两平面所成角的平面角，在三角形中运用余弦定理求解.【解析】（1）由题意，设222AB AD DC ===，又,AB DC AB AD ⊥∥，得2AC BC ==2AB =，所以AC BC ⊥，又平面PCB ⋂平面ABCD CB =，且平面PCB ⊥平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥平面PCB ，故AC PB ⊥. （2）方法一（向量法）：取BC 的中点O 为坐标原点，以OP 的方向为z 轴正方向，过点O 分别作AB 和AD 的平行线，分别为x 轴和y 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由PCB 为正三角形，2BC =，得6PO =， 则3111116,,0,,,0,,,0,222222A B C P ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则()()3162,0,0,,,,1,1,0222AB AP AC ⎛⎫=-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设()111,,n x y z =为平面ABP 的法向量，则有0n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120316022x x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，可取()0,6,1,n =， 设()222,,m xy z =为平面ACP 的法向量，则有0m AC m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220316022x y x y z --=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，可取61,,m ⎛=- ⎝⎭， 所以6673cos ,873n m n m n m-⋅===⨯， 设二面角B PA C --的平面角为α，则22742sin 1(cos ,)177n m α⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭，故二面角B PA C --42. 方法二（几何法）：如图，取PA 的中点M ，连接CM ，在平面PAB 中作MN PA ⊥，连接CN ，由（1）知2AC BC ==PCB 为正三角形，所以2PC BC PB ===，所以PC AC =， 所以CM PA ⊥，又MN PA ⊥，所以CMN ∠为二面角B PA C --的平面角. 因为AC ⊥平面PCB ，所以AC PC ⊥，所以222,1PA PC AC CM AM +===，在ABP 中，2,2PB AB PA ===，所以2224423cos 284PA AB PB BAP PA AB ∠+-+-===⋅，所以7774sin tan tan cos 3AM BAP BAP MN AM BAP AN BAP ∠∠∠∠===⋅===，在ACN 中，45CAN ∠=，所以22102cos CN AC AN AC AN CAN ∠=+-⋅⋅=在MNC 中，22222271017cos 2721MN CM CN CMN MN CM ∠+-+-⎝⎭⎝⎭===⋅⨯⨯， 所以2742sin 17CMN ∠⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，即二面角B PA C --42. 21.【命题说明】本题依托椭圆方程，考查椭圆方程的求法､直线与圆锥曲线相交､根与系数的关系（或点差法）的应用以及直线与圆恒有两个交点问题，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.【学科素养】本题重在运算､联想与推理，重点考查数学运算､直观想象和逻辑推理的核心素养.【分析】（1）根据题意12NF F 3，结合四边形21MF NF 的四条边的平方和为16，即()22416b c+=，求出,a b 即可得结果；（2）联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系（或点差法），根据中点坐标公式化简，列出线段AB 的垂直平分线方程，判断定点在圆内即可得结果. 【解析】（1）由12NF F 31232c b ⨯⨯=， 又四边形21MF NF 的四条边的平方和为16， 所以2224,3,1a b c ===或2224,1,3a b c ===，即椭圆C 的方程为22143x y +=或22 1.4x y +=（2）方法一：设()()1122,,,A x y B x y ，由于1a b >>，得椭圆C 的方程为22143x y +=， 设直线l 的方程为y kx m =+，结合图形（图略）知，当斜率0k =时，线段AB 的中点H 在y 轴上，不在直线12x =上，故0k ≠， 由221,43x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 得()2223484120kxkmx m +++-=，由()()()222222Δ6443441248430k m k mm k =-+-=--->，得2234m k <+.由122834kmx x k +=-+，设线段AB 的中点H 为()00,x y ，得0241342km x k =-=+，即2348k km +=-， 所以0038y kx m k=+=-. 所以线段AB 的垂直平分线的方程为31182y x k k ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭. 即118y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故线段AB 的垂直平分线恒过点1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为2211108644⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，故点1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆2214x y +=内，所以线段AB 的垂直平分线与圆2214x y +=恒有两个交点. 方法二：由于1a b >>，得椭圆C 的方程为22143x y +=，设直线l 的方程为y kx m =+，结合图形（图略）知，当斜率0k =时，线段AB 的中点H 在y 轴上，不在直线12x =上，故0k ≠， 设()()112201,,,,,,,2A x y B x y H y A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭点代入椭圆方程得221122221,431,43x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①-②得，()()()()1212121211043x x x x y y y y +-++-=，将1212120121,2,y y x x y y y k x x -+=+==-，代入上式化简，得038y k=-， 所以线段AB 的垂直平分线的方程为31182y x k k ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭. 即118y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 故线段AB 的垂直平分线恒过点1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为2211108644⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，故点1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆2214x y +=内，所以线段AB 的垂直平分线与圆2214x y +=恒有两个交点. 22.【命题说明】本题依托指数函数和对数函数，考查利用导数求函数单调区间，考查利用导数研究函数的零点存在性问题，强调综合运用所学知识来解决问题的能力. 【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养. 【解析】（1）由题意可得函数()f x 的定义域为()()0,,1a x af x x x∞'-+=-=， 当0a >时，令()0f x '>，得x a >，所以()f x 在(),a ∞+上单调递增；令()0f x '<，得0x a <<， 所以()f x 在()0,a 上单调递减； 当0a <时，因为()0f x '>恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）()()()e ln e ln e(0)xxxg x x a x x x a x x =-+=->，令e x t x =，则()1e 0xt x '=+>在0x >时恒成立，所以e x t x =在0x >时单调递增，且()0,t ∞∈+， 所以()()e ln exxg x x a x =-有两个零点等价于()ln f t t a t =-有两个零点.因为e a >，由（1）知，()f t 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减， 所以()()min ()ln 1ln f t f a a a a a a ==-=-， 因为e a >，所以()0f a <. 下面证明当e a >时，()2ee0aaf a =->，设()2e xh x x =-，则()e 2xh x x ='-，令()e 2xm x x =-，又()e 2xm x '=-，当e x >时，()e 20xm x ='->恒成立，所以()m x 单调递增，得()ee 2e 2e 0xh x x >-'=->，故()2e xh x x =-在()e,∞+上单调递增，得2e 2e e e 0x x ->->，即()2e e0aaf a =->，又因为()110f =>， 所以()f t 在()()1,,,eaa a 上各存在一个零点，所以e a >时，函数()f t 有且仅有两个零点， 即当e a >时，函数()g x 有且仅有两个零点.。

河北省邯郸市部分学校2025届高三上模拟预测考试语文试题考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间150分钟。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，18分）阅读下面的文字，完成1～5题。

材料一：1965年，IBM公司开始发售广受欢迎的S360计算机，它采用分立晶体管，售价高达11万美元。

同年，全世界约有2万台计算机，平均每16万人才拥有1台。

如果芯片价格能以指数速度下降，那么计算机就能变得廉价并普及开来。

两年前，芯片的销售达到了50万颗，但仍远低于晶体管的数亿颗，而且芯片的客户几乎都是美国军方，民用市场都被芯片高企的价格吓退了。

微电子的未来何在？摩尔试图从数字中寻求支持。

究竟是盈利，还是亏本？是分立元件，还是集成电路？决定这一切的不是别的，而是真实的数字。

摩尔自小就喜欢琢磨数字，他习惯在一张小纸片上写下一连串数字，然后反复地琢磨它们背后的意义。

在摩尔的老本行化学中，数字也起着关键作用。

摩尔小时候最喜爱自制炸药，他知道在爆炸反应中指数增长非常普遍。

曾有一次，摩尔把自己每年的薪水数值描绘在一个坐标轴上，连成曲线，才发现它竟然也呈现指数增长的趋势。

现在，摩尔需要在数字中找到一个办法，以说服业界相信芯片成本将会下降。

成本下降的直接原因是芯片规模变大，相同价格下，芯片包含更多的元件，性能得到提升。

如果能让人们相信未来芯片上元件数量有不断增加的趋势，那么客户就会放下顾虑并逐渐接受芯片。

摩尔回顾了过去几年中芯片上元件数量的增加情况，试图从中找到论证依据。

他首先想到的是最简单的情形，即整个裸片上只有一个晶体管，那就是霍尼于1959年春天在仙童半导体公司做出来的平面晶体管，摩尔认为它是芯片“起飞”的原点。

河北省邯郸市2014届高三第二次模拟考试理科数学试卷（带解析）1．已知集合{}1,0,1A =-，{}11B x x =-≤<，则AB =（ ）A.{}0B.{}0,1C.{}1,0-D.{}1,0,1- 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知{}1,0A B =-，故选C.考点：集合的交集运算2．复数z 满足()()25z i i --=，则z =（ ）A.22i --B.22i -+C.22i -D.22i + 【答案】D 【解析】试题分析：由题意知()()()()525252222225i i z i i z i i i i ++-====+⇒=+--+，故选D. 考点：复数的除法 3．下列说法不正确．．．的是 A.命题“对x R ∀∈,都有20x ≥”的否定为“0x R ∃∈,使得200x <” B.“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件C. “若tan α≠3πα≠” 是真命题D.甲、乙两位学生参与数学模拟考试，设命题p 是“甲考试及格”，q 是“乙考试及格”，则命题“至少有一位学生不及格”可表示为()()p q ⌝⌝∧【答案】D【解析】试题分析：由全称命题的否定可知，命题“对x R ∀∈,都有20x ≥”的否定为“0x R ∃∈,使得200x <”，A 选项说法正确；当0c =时，22ac bc =，则22a b ac bc >⇒>/，若22ac bc >，则0c ≠，则20c >，由不等式的性质可知a b >，因此“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件，B 选项说法正确；考查命题“若tan α≠3πα≠”的逆否命题“若3πα=，则tan α=tan α≠3πα≠”为真命题，因此，命题“若tan α≠3πα≠”为真命题，故C 选项说法也正确；命题“至少有一位学生不及格”的否定是“两位学生都及格”，其否定的表示为“p q ∧”，因此命题“至少有一位学生不及格”的表示为()()()p q p q ⌝⌝⌝∧=∨，故D 选项说法错误，故选D.考点：1.全称命题的否定；2.充分必要条件；3.四种命题；4.复合命题4．函数()()()4,04,<0x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨-⎪⎩，若()()f a f a <-，则a 的取值范围是（ ）A.(),0-∞B.()0,+∞C.()4,0-D.()0,4 【答案】A【解析】试题分析：作出函数()f x 的图象如下图所示，由图象可知，函数()f x 为奇函数，且在R 上单调递增，由()()f a f a <-得a a <-，解得0a <，故选A.考点：1.函数的图象；2.函数的单调性5．如图1所示的程序框图，运行相应的程序，若输出y 的值为4，则输入x 的值可能为（ ） A.6 B.7- C.8- D.7【答案】C 【解析】试题分析：输出的y 的值为4，即242x y x ==⇒=，也就是说循环进行到最后一次，x 的值变为2，若输入的x 的值为6，则循环结束后x 的值变为0，不合乎题意；若输入的x 值为7-或7时，循环结束后x 的值变为1，不合乎题意；若输入的x 的值为8-时，循环结束后x 的值变为2，合乎题意，故选C. 考点：算法与程序框图6．过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，若8AB =，则直线AB 的倾斜角为（ ）A.566ππ或B.344ππ或C.233ππ或D.2π 【答案】B 【解析】试题分析：解法一：由于过抛物线()220y px p =≠的焦点的直线与抛物线相交的弦长为22sin pα（其中α为直线的倾斜角），设直线AB 的倾斜角为α，则有22418sin sin 2αα=⇒=，由于0απ≤≤，则sin 0α≥，所以sin α=4πα=或34π，故选B.解法二：易知抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，设点()11,A x y ，()22,B x y ，则122AB x x =++，当直线AB x ⊥轴时，直线AB 的方程为1x =，则1221124AB x x =++=++=，不合乎题意；一般地，设直线AB 的方程为()1y k x =-，代入抛物线的方程得()214k x x -=⎡⎤⎣⎦，化简得()2222240k x k x k -++=，由韦达定理得212224k x x k ++=，所以212224228k AB x x k+=++=+=，解得1k =±，因此直线AB 的倾斜角为4π或34π，故选C.考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.抛物线的定义7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A.54B.27C.18D.9 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为矩形的三棱锥，矩形的长为6，高为3，底面积为6318S =⨯=，此三棱锥的高为3h =，因此该几何体的体积为111831833V Sh ==⨯⨯=，故选C.考点：1.三视图；2.空间几何体的体积8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若()1122m m m a a a m +-⋅=≥，数列{}n a 的前n 项积为n T ，若21512m T -=，则m 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【解析】试题分析：由题意知1m a -、m a 、1m a +成等比数列，则有2112m m m m a a a a -+=⋅=，由于0m a >，因此2m a =，211221m m T a a a --=⋅⋅⋅，()()2212121122121221m m m m m m T T T a a a a a a ------∴=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅()()()()()2121224221812122221121225122m m m m m m m m a a a a a a a -------=⋅⋅⋅⋅⋅=====对，所以4218m -=，解得5m =，故选B.考点：1.等比数列的性质；2.倒序相乘法9．已知函数()()2sin f x x ϕ=+，且()01f =，()00f '<，则函数3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴的方程为（ ） A.0x = B.6x π= C.23x π=D.2x π= 【答案】A【解析】 试题分析：()()2sin f x x ϕ=+，()()2cos f x x ϕ'∴=+，()02cos 0cos 0f ϕϕ'∴=<⇒<，而()102sin 1sin 2f ϕϕ==⇒=，cos ϕ∴===,()526n n Z πϕπ∴=+∈, ()552sin 22sin 66f x x n x πππ⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此52s i n2s i 3362f xx x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos x =，因此函数3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴为直线()x k k Z π=∈，取0k =，则直线0x =是函数y =3f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的一条对称轴，故选A.考点：三角函数图象的对称性10．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得30-分；选乙题答对得10分，答错得10-分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ） A.24 B.36 C.40 D.44 【答案】D 【解析】试题分析：分以下两种情况讨论：（1）两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有242224C ⨯⨯=种；（2）四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有222412C C =种情况； （3）一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有144C =种情况； （4）一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有144C =种情况；综上所述，共有24124444+++=种不同的情况.故选D. 考点：排列组合11．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD =，直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为（ ）A.4πB.8πC.16π【答案】B 【解析】试题分析：如下图所示，取BC 的中点O ，连接OA 、OD ，易证AOB DOB ∆≅∆，所以OA OD =，EO D CBA易证OA BC ⊥，OD BC ⊥，且OA OD O =，OA 、OD ⊂平面AOD ，BC ∴⊥平面AOD ，过点A 在平面AOD 内作AE OD ⊥，由于AE ⊂平面AOD ，AE BC ∴⊥， 由于AE OD ⊥，OD BC D =，OD 、BC ⊂平面BCD ，AE ∴⊥平面BCD因此，ADO ∠为直线AD 与平面BCD 所成的角，所以3ADO π∠=，由于OA OD =，所以A O D ∆为等边三角形，O A O D∴==，OA BC ⊥，且22BC OB AD OB AD OA ==⇒==，由勾股定理得2222222AB OA OB OA OA =+==⇒，易知O A O B O D ====所以O 为三棱锥A BCD -外接球的球心，其半径为，所以其外接球的表面积为248S ππ=⨯=，故选B.考点：1.直线与平面垂直；2.外接球12．若函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点，则m 的取值范围（ ）A.()1,3-B.()3,1-C.()3,+∞D.(),1-∞- 【答案】A 【解析】试题分析：考查函数()2ln xg x a x x a m =+--，则问题转化为曲线()y g x =与直线2y =有两个公共点，则()()ln 2ln 1ln 2x xg x a a x a a a x '=+-=-+，则()00g '=，当01a <<时，ln 0a <，当0x <时，10xa ->，()1ln 0x a a -<，20x <，则()1ln 20x a a x -+<，当0x >，10xa -<，()1ln 0x a a ->，20x >，则()1ln 20x a a x -+>，此时，函数()2ln xg x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，同理，当1a >时，函数()2ln x g x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，因此函数()2ln x g x a x x a m =+--在0x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 01g x g m ==-，)由于函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点，结合图象知12m -<，解得13m -<<，故选A. 考点：1.函数的图象；2.函数的零点13．已知1a =，()1,3b =，()b a a -⊥，则cos ,a b =_________________. 【答案】12. 【解析】试题分析：由题意知(212b =+，()()20b a a b a a a b a -⊥⇔-⋅=⋅-=，即2cos ,0a b a b a ⋅⋅-=，即2112cos ,10cos ,2a b a b ⨯⨯-=⇒=. 考点：1.平面向量垂直条件的转化；2.平面向量的数量积 14．若实数x 、y 满足条件()()04330x y x y x y ≤+≤⎧⎨--≤⎩，则2z x y =+的最大值为_______.【答案】7. 【解析】试题分析：作出不等式组()()04330x y x y x y ≤+≤⎧⎨--≤⎩所表示的平面区域如下图所示，直线30x y -=与直线4x y +=交于点()1,3A ，作直线:2l z x y =+，则z 为直线l 在x 轴上的截距，当直线l 经过可行域上的点A 时，此时直线l 在x 轴上的截距最大，z 取最大值，即max 1237z =+⨯=.考点：线性规划15．已知数列{}n a 的前5项为3、4、6、10、18，据此可写出数列{}n a 的一个通项公式为____. 【答案】122n -+.【解析】试题分析：由题意知13a =，24a =，36a =，410a =，518a =，02112a a ∴-==，13222a a -==，24342a a -==，35482a a -==，归纳得212n n n a a ---=，3122n n n a a ---∴-=，，0212a a -=，上述1n -个等式相加得()01230112122222112n n n n n a a ------=+++==--，11112121322n n n n a a ---∴=-+=-+=+.考点：1.不完全归纳法；2.累加法16．已知F 是双曲线12222=-by a x 的右焦点，点A 、B 分别在其两条渐近线上，且满足2BF FA =，0OA AB ⋅=（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为____________.【解析】试题分析：双曲线22221x y a b-=的两条渐近线方程为0x y a b ±=，即by x a =±，假设点A 在直线b y x a =，并设A 的坐标为()11,x y ，点()22,B x y ，则点B 在直线by x a=-，()()()2222,0,,BF c x y c x y =-=--，()()()1111,,0,FA x y c x c y =-=-，2BF FA =，于是有212122y y y y -=⇒=-，由于点A 在直线b y x a =，则1111ay by x x a b =⇒=，同理得22ay x b=-， 由于2BF FA =，则()212c x x c -=-，则212ay ay c c b b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即11222ay ay c c b b -=-， 于是有134bcy a=， ()1111,,ay OA x y y b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()11122111112,,,2,,3ay ay ay AB x y x y y y y b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，221130ay OA AB y b ⎛⎫∴⋅=-= ⎪⎝⎭，所以()222222222430333a c a b c a e b a -=⇒==-⇒==，因此e =考点：1.向量的坐标运算；2.双曲线的渐近线；3.双曲线的离心率17．已知函数()232cos 2f x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值； （2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别是a 、b 、c ，2a =，()12f A =-，求ABC ∆周长L 的最大值.【答案】（1）最小正周期为π，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为0；（2）6.【解析】试题分析：（1）将函数()f x 的解析式利用降幂公式与辅助角公式化简为()=sin 216f x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，利用公式即可求出函数()f x 的最小正周期，然后由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出26x π+的取值范围，根据图象确定sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭的取值范围，即可求出函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；（2）先利用()12f A =-结合角A 的取值范围求出角A 的值，解法一是对边a 利用余弦定理，借助基本不等式求出b c +的最大值，从而求出L 的最大值，解法二是利用正弦定理与内角和定理将L 转化为以角B 的三角函数，将L 转化为求此函数在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭的最大值.（1）()232cos 2f x x x =+-1cos 23222x x +=+- =sin 216x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()f x 最小正周期22T ππ==， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()f x ∴最大值为0；（2）由()12f A =-得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 又132666A πππ<+<5266A ππ∴+=3A π∴=，解法一：由余弦定理得,222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-()()()22223344b c b c b c bc b c ++=+-≥+-=，即4b c +≤=,6a b c ∴++≤ （当且仅当2b c ==时取等号）所以6L =；解法二：由正弦定理得2sin sin sin3b cB Cπ==，即sin 3b B =，3c C =，所以)sin sin 3b c B C +=+2sin sin 4sin 36B B B ππ⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 203B π<<，5666B πππ∴<+<， 1sin 126B π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭（当且仅当3B C π==时取最大值）4b c ∴+≤，∴6a b c ++≤ 所以6L =.考点：1.降幂公式；2.正弦定理与余弦定理；3.三角函数的基本性质；4.基本不等式 18．从天气网查询到邯郸历史天气统计（2011-01-01到2014-03-01）资料如下：自2011-01-01到2014-03-01，邯郸共出现：多云507天，晴356天，雨194天，雪36天，阴33天，其它2天，合计天数为：1128天.本市朱先生在雨雪天的情况下，分别以21的概率乘公交或打出租的方式上班（每天一次，且交通方式仅选一种），每天交通费用相应为2元或40元；在非雨雪天的情况下，他以90%的概率骑自行车上班，每天交通费用0元；另外以10%的概率打出租上班，每天交通费用20元.（以频率代替概率，保留两位小数. 参考数据：1150.20564≈） （1）求他某天打出租上班的概率；（2）将他每天上班所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）0.18；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）将事件“打出租车上班”分成两类：一类是雨雪天打出租车上班，另一类是非雨雪天打出租车上班，利用条件概率求各自的概率，并将两个概率相加即可得到问题中涉及的事件的概率；（2）列举出随机变量X 的可能值，利用在各种天气下朱先生上班所选择的交通工具的方式求出在X 在相应可能值下相应的概率，然后列举出随机变量X 的概率分布列，并求出X 的数学期望. （1）设A 表示事件“雨雪天”， B 表示事件“非雨雪天”， C 表示事件“打出租上班”，()()()()()()B C P A C P A P BC P AC P C P +=+=18.01.08.05.020.0%10112836194121112836194=⨯+⨯≈⨯⎪⎭⎫⎝⎛+-+⨯+=，（2）X 的可能取值为0、2、20、40，()194360190%0.80.90.721128P X +⎛⎫==-⨯≈⨯= ⎪⎝⎭()19436120.200.50.1011282P X +==⨯≈⨯=()1943620110%0.80..10.081128P X +⎛⎫==-⨯≈⨯= ⎪⎝⎭()194361400.200.50.1011282P X +==⨯≈⨯=，()80.510.04008.02010.0272.00=⨯+⨯+⨯+⨯=X E （元）考点：1.条件概率；2.随机变量的概率分布列与数学期望19．如下图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，点B 为以AC 为直径的圆上任意一动点，且SA AB =，点M 是SB 的中点，AN SC ⊥且交SC 于点N . （1）求证：SC ⊥面AMN ；（2）当AB BC =时，求二面角N MA C --的余弦值.z【答案】（1）详见解析；（2）13. 【解析】 试题分析：（1）由已知条件SA ⊥平面ABC 得到SA BC ⊥，再由已知条件得到BC AB ⊥，从而得到BC ⊥平面SAB ，进而得到B C A M ⊥，利用等腰三角形三线合一得到A M S B ⊥，结合直线与平面垂直的判定定理得到AN ⊥平面SBC ，于是得到AM SC ⊥，结合题中已知条件AN SC ⊥以及直线与平面垂直的判定定理得到SC ⊥平面AMN ；（2）以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法求二面角N MA C -- 的余弦值.（1）证明：SA ⊥底面ABC ，BC SA ∴⊥，又易知BC AB ⊥， BC ∴⊥平面SAB ，BC AM ∴⊥，又SA AB =，M 是SB 的中点，AM SB ∴⊥， AM ∴⊥平面SBC ，AM SC ∴⊥， 又已知SC AN ⊥， ⊥∴SC 平面AMN ；（2）如下图以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，由于可设1AB SA ==，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,0,1S ，11,0,22M ⎛⎫⎪⎝⎭， xy11,0,22AM ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，()1,1,0AC =，设平面ACM 的一个法向量(),,n x y z =，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即011022x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 可得()1,1,1n =-，由（1）可知CS 为面AMN 的法向量， 易求()1,1,1CS =-- 1cos ,3CS nCS n CS n ⋅∴==⋅，∴二面角N MA C --的余弦值是13.考点：1.直线与平面垂直；2.空间向量法求二面角20．已知1F 、2F 为椭圆E 的左右焦点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为其上一点，且有1PF24PF +=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 的直线1l 与椭圆E 交于A 、B 两点，过2F 与1l 平行的直线2l 与椭圆E 交于C 、D 两点，求四边形ABCD 的面积ABCD S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）6. 【解析】试题分析：（1）设椭圆E 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，先利用椭圆定义得到2a 的值并求出a 的值，然后将点P 的坐标代入椭圆方程求出b 的值，最终求出椭圆E 的方程；（2）根据平行四边形的几何性质得到4ABCD OAB S S ∆=，即先求出OAB ∆的面积的最大值，先设直线AB 的方程为1x my =-，且()11,A x y 、()22,B x y ，将此直线的方程与椭圆E 的方程联立，结合韦达定理将OAB ∆的面积表示成只含m 的表达式，并利用换元法将代数式进行化简，最后利用基本不等式并结合双勾函数的单调性来求出OAB ∆面积的最大值，从而确定平行四边形ABCD 面积的最大值.（1）设椭圆E 的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，由已知124PF PF +=得24a =，∴2a =， 又点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，∴219144b+=∴b = 椭圆E 的标准方程为22143x y +=； （2）由题意可知，四边形ABCD 为平行四边形 ∴4ABCD OAB S S ∆=， 设直线AB 的方程为1x my =-，且()11,A x y 、()22,B x y ，由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my +--=，122634m y y m ∴+=+，122934y y m =-+， 11112121122OABOF A OF B S S S OF y y y y ∆∆∆=+=⋅-=-，==令21m t +=，则1t ≥，OAB S ∆== 又()19g t t t∴=+在[)1,+∞上单调递增，∴()()110g t g ∴≥=，∴OAB S ∆的最大值为32，所以ABCD S 的最大值为6.考点：1.椭圆的定义与方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.韦达定理；4.基本不等式21．已知函数()()222ln 2f x x x x ax =-++.（1）当1a =- 时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程； （2）设函数()()2g x f x x =--，（ⅰ）若函数()g x 有且仅有一个零点时，求a 的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若2e x e -<<，()gx m ≤，求m 的取值范围.【答案】（1）340x y +-=；（2）（i ）1；（ii ）)223,e e ⎡-+∞⎣.【解析】试题分析：（1）将1a =-代入函数解析式，求出()f x '，由此计算()1f '与()1f 的值，最后利用点斜式写出相应的切线方程；（2）利用参数分离法将问题转化为直线y a =与函数()()12ln x xh x x--=的图象有且仅有一个交点来处理，然后利用导数来研究函数()h x 的单调性与极值，从而求出a 的值；（ii ）将问题转化为()max g x m ≤，然后利用导数研究()g x 在区间()2,e e -上最值，从而确定实数m 的取值范围.（1）当1a =-时，()()222ln 2f x x x x x =--+，定义域()0,+∞，()()()22ln 22f x x x x x '=-+--， ()13f '∴=-，又()11f =，()f x 在()()1,1f 处的切线方程340x y +-=；（2）（ⅰ）令()()20g x f x x =--=，则()222ln 22x x x ax x -⋅++=+，即()12ln x x a x--=，令()()12ln x xh x x--=，则()2221122ln 12ln x x x h x x x x x---'=--+=， 令()12ln t x x x =--，()221x t x x x+'=--=-，()0t x '<，()t x 在()0,+∞上是减函数，又()()110t h '==，所以当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， 所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 11h x h ∴==，所以当函数()g x 有且仅有一个零点时1a =；（ⅱ）当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2ex e -<<，()g x m ≤，只需证明()max g x m ≤，()()()132ln g x x x '=-⋅+，令()0g x '=，得1x =或32x e -=，又2e x e -<<，∴函数()g x 在322,e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在32,1e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增 又33322122g e e e ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()223g e e e =-，()333322213222222g e e e e e e e g e ----⎛⎫⎛⎫=-+<<<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32g e g e -⎛⎫< ⎪⎝⎭，()()2max 23g x g e e e ∴==-，223m e e ∴≥-.考点：1.利用导数求函数的切线方程；2.函数的零点；3.不等式恒成立；4.参数分离法 22．已知，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直AB 的一条弦，垂足为E ，弦AG 交CD 于F . （1）求证：E 、F 、G 、B 四点共圆； （2）若24GF FA ==，求线段AC 的长.【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）证明90BEF BGF ∠=∠=，利用四边形BEFG 对角互补证明E 、F 、G 、B 四点共圆；（2）利用（1）中的结论结合割线定理得到AF AG AE AB ⋅=⋅，然后在Rt ABC ∆中利用射影定理得到2AC AE AB =⋅从而计算出AC 的值.（1）如图，连结GB ，由AB 为圆O 的直径可知90AGB ∠=，BA又CD AB ⊥，所以90AGB BEF ∠=∠=，因此E 、F 、G 、B 四点共圆；（2）连结BC ，由E 、F 、G 、B 四点共圆得AF AG AE AB ⋅=⋅， 又2AF =，6AG =，所以12AE AB ⋅=，因为在Rt ABC ∆中，2AC AE AB =⋅所以AC =考点：1.四点共圆；2.割线定理；3.射影定理23．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t为参数），点A 的极坐标为4π⎫⎪⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程； （2）求AP AQ ⋅的值.【答案】（1）()2211x y -+=；（2）12. 【解析】试题分析：（1）在极坐标方程2cos ρθ=的两边同时乘以ρ，然后由222x y ρ=+，cos x ρθ=即可得到圆C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去x 、y 得到有关t 的参数方程，然后利用韦达定理求出AP AQ ⋅的值. （1）由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=222x y ρ=+，cos x ρθ=，222x y x ∴+=即()2211x y -+=，即圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=；（2）由点A的极坐标4π⎫⎪⎪⎝⎭得点A 直角坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，将1211y 22x t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()2211x y -+=消去x 、y，整理得211022t t --=， 设1t 、2t为方程2102t -=的两个根，则1212t t =-，所以1212AP AQ t t ⋅==. 考点：1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理 24．已知函数()1f x x x a =-+-. （1）当2a =时，解不等式()4f x ≥；（2）若不等式()2f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1722x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭,或；（2）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-31,. 【解析】试题分析：（1）将2a =代入函数()f x 的解析式，利用零点分段法将区间分成三段，去绝对值符号，并求出相应的不等式；（2）将问题转化为()min 2f x a ≥，利用双绝对值函数12y x x x x =-+-的最小值为min y12x x -，于是得到()m i n 1f x a =-，问题转化为12a a -≥来求解，解出不等式12a a -≥即可.第 21 页 共 21 页 （1）由()4f x ≥得，⎩⎨⎧≥-≤4231x x ，或⎩⎨⎧≥<<4121x ，或⎩⎨⎧≥-≥4322x x ， 解得：12x ≤-或72x ≥，原不等式的解集为1722x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭,或； （2）由不等式的性质得：()1f x a ≥-， 要使不等式()2f x a ≥恒成立，则a a 21≥-， 解得：1-≤a 或31≤a 所以实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-31,. 考点：1.零点分段法求解不等式；2.不等式恒成立。

绝密★启用前邯郸市2023届高三年级第二次模拟试题地理本试卷共8页，满分100分，考试用时75分钟。

2023.04注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选漆其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效、3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

第七次全国人口普查显示我国城镇化率达63.89%，但户籍人口城镇化率仅为45.4%。

国家“十四五”规划明确提出推进以人为核心的新型城镇化，意味着今后很长一段时间内乡村人口向城镇持续迁移的态势不会改变，乡村出现收缩边缘化现象。

下图示意乡村收缩边缘化的发展阶段与治理干预后的可能结果。

据此完成1~3题。

1.目前，导致我国户籍人口城镇化率和总城镇化率不匹配的主要原因是①乡村振兴战略②城市旧城改造③新型城镇化战略④人口“候鸟式”迁徙A.①③B.①④C.②③D.②④2.我国乡村收缩边缘化的主要原因是A.城市工业发展B.城市环境改善C.受教育水平降低D.交通条件改善3.为了减缓乡村收缩边缘化现象，干预的措施主要有①控制乡村人口外迁②调整农村产业结构③完善乡村基础设施④流转乡村农业用地A.①②B、②③C.①④. D.8442022年我国首次大面积推入太豆玉米带状复合种植，共有16个省份1047个县的4万多和经营主体来承担(现下图)。

这将爱挥高位作物玉米的边行优势，扩大低位作物大豆的受光空间，在同一地块实现大豆玉米和谐共生、一季双收。

据此完成4、5题。

4.我国推广大豆玉米带状复合种植的主要目的是A.增大玉米产量B.增加植被覆盖率C.减少农业病虫害D.增加进心供给5.推测复合种植新模式中玉米的边行优势主要是1相于1十片伸展，增加光照吸收②少占耕地，增加种植面积3减少化肥使用，减轻土壤污染④利于通风透光，提高单产A.①②B.②③C.①④D.③④大气混合层是气象要素随高度分布趋于均匀的大气边界层，其下层空气湍流强，上层空气湍流弱。

第1页共6页◎高三数学月考题一、单选题1．已知{21,N}P x x k x ==-∈∣，{}2log 2Q x x =≤∣，则P Q = （）A ．{}113-,,B ．{1,3}C ．{0,2,4}D ．{2,4}2．定义在R 上的偶函数()f x 满足：在[0,)x ∈+∞上单调递减，则满足()()211f x f -<的x 的取值范围是（）A ．()1,0-B ．(1,)(,0)+∞⋃-∞C ．(,0)-∞D ．()0,13．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．(52x x +的展开式中，4x的系数是（）A ．10B ．40C ．60D ．805．过抛物线24y x =的焦点F 且斜率为1的直线与该拋物线交于AB 两点，则线段AB 的中点到准线的距离为（）A ．3B ．4C ．5D ．66．已知数列{}n a 满足11a =，1113n n a a +=+，设数列{}1n n a a +的前n 项和为n T ，若()33101k T k *>∈N ，则k 的最小值是（）A ．16B ．17C ．18D ．19◎第2页共6页7．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，2AB AD CD ===，BD =，BD CD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，则球O 的体积为（）A．πBπC．πD ．2π8．已知点M 是椭圆C ：22143x y +=上异于顶点的动点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，E 为1MF 的中点，12F MF ∠的平分线与直线EO 交于点P ，则四边形12MF PF 的面积的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D．二、多选题（多选漏选不得分）9．已知复数3i1iz +=-，则下列结论中正确的是（）A ．z 对应的点位于第二象限B ．z 的虚部为2C．z =D ．5zz =10．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ11．下列说法正确的是（）A ．若随机变量()21,N ξσ ，(5)0.75P ξ<=，则()30.25P ξ≤-=B ．若随机变量19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()215D X +=C ．以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.51z x =+，则c ，k 的值分别是e ，0.5D ．从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率为13514415C C C 12．古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值m （m ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，()()2,0,4,0A B -，点P 满12PA PB=.设点P 的轨迹为C ，则下第3页共6页◎列结论正确的是（）A ．C 的方程为22(4)12x y ++=B ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线C ．在C 上存在K 使得2KO KA=D ．在x 轴上存在异于A ，B 的两个定点D ，E ，使得12PD PE=三、填空题13．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =______.14．已知O 的半径为2，点,,A B C 为该圆上的三点，且2AB =，0BA BC ⋅>uur uuu r，则()OC BO BA ⋅+ 的取值范围是______.15.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，ABC ∆的面积为S ，()22tan 8a b C S +=，则222sin sin sin A BC+=__________．16．已知函数()e ,01ln ,1x x x f x x x x ⎧<<=⎨≥⎩的图像与直线1l ：21sin y α=交于点()11,A x y ，()22,B x y ，其中12x x <，与直线2l ：212cos y α=交于两点()33,C x y 、()44,D x y ，其中34x x <，则1234x x x x +的最小值为__________.四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos b A c A a C =+.(1)求A ；(2)若4a =，求ABC 面积的最大值.18．已知数列{}n a 的首项12a =，且*121()n n a a n N +=+∈.(1)求证：数列{}1n a -是等比数列；(2)设2log (1)n n b a =-，求使不等式1245n b b b +++<- 成立的最小正整数n.◎第4页共6页19．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PB ⊥底面ABCD ，3AB BC ==，3BP =，13CF CP =，13DE DA =．(1)证明：EF P 平面ABP ；(2)求直线PC 与平面ADF 所成角的正弦值．20．抖音（TikTok ）是由今日头条推出的一款短视频分享APP ，于2016年9月上线，是一个专注于年轻人音乐短视频创作分享的社区平台.抖音的出现是一把双刃剑，可以鼓励人们表达、沟通和记录，让每一个人看见并连接更大的世界，但同时也出现部分网民长时间沉迷刷抖音的现象，长时间刷抖音会影响用眼健康.为了解网民刷抖音的情况，某研究小组从抖音用户中随机抽取100人，对其平均每天刷抖普的时长进行统计，得到统计表如下：平均每天刷抖音的时长不大于1小时大于1小时且小于3小时不少于3小时人数（男）20256人数（女）201514该研究小组按照用户平均每天刷抖音时长将沉迷刷抖音程度分为重度、中度、轻度、若某人平均每天刷抖音的时长不少于3小时则称为“重度沉迷”；平均每天刷抖音的时长大于1小时且小于3小时，叫称为“中度沉迷”；平均每天刷抖音的时长不大于1小时，则称为“轻度沉迷”.(1)根据调查数据，填写下面列联表，并根据数据判断是否有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系？第5页共6页◎非“重度沉迷”“重度沉迷”合计人数（男）人数（女）合计(2)该研究小组为鼓励用户适度刷抖音，从这100名研究对象中按分层抽样的方式随机抽取20位，分别给与“重度沉迷”“中度沉迷”和“轻度沉迷”的抖音用户50元、100元、150元的购书券奖励.现从这20位抖音用户中随机抽取两人，求这两人所获得购书券总和X 的分布列和期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0010k 2.0722.7063.8415.0246.63510.82821．（本题12分）点(4,3)P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上，离心率e =(1)求双曲线C 的方程；(2),A B 是双曲线C 上的两个动点（异于点P ），12,k k 分别表示直线,PA PB 的斜率，满足1232k k =，求证：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点的坐标.22．已知()ln 2xf x x x =-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设1x 、2x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x =，其中12x x <.“以直代曲”是微积分的基本思想和重要方法.请你在①、②两种方法中选择一种（也可以同时选择①②）来证明：212e x x +<.①用直线2xy =代替曲线()y f x =在()0,e 之间的部分；②用曲线()y f x =在2e x =处的切线代替其在()2e,e之间的部分.参考答案：1．B2．B3．B4．D5．B6．B【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到n a ，由此可得1n n a a +，利用裂项相消法可求得n T ，由33101k T >可构造不等式求得k 的范围，进而得到最小值.【详解】1113n na a +=+ ，111a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，3为公差的等差数列，()113132n n n a ∴=+-=-，则132n a n =-，()()11111323133231n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，11111111111344771035323231n T n n n n ⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪---+⎝⎭11133131⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭n n n ，由33101k T >得：3331101k k >+，解得：332k >，又k *∈N ，min 17k ∴=.故选：B.7．C【分析】根据勾股定理和面面垂直的性质定理得到球心位于BC 中点，再求出半径，利用球的体积公式得到答案.【详解】 四面体ABCD 的顶点都在的球O 的球面上,且2,AB AD CD BD ====BD CD ⊥，222AB AD BD ∴+=，BC = 平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ⋂平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ，CD \^平面ABD ，又AD ⊂ 平面ABD ，CD AD ∴⊥，AC ∴===(2212BC ==,(2222212AB AC +=+=,222AB AC BC ∴+=,AC AB ∴⊥,取BC 中点O ,则1122OA OB OC OD BC =====⋅∴球O 的体积343V π=⋅=.故选：C.8．B【分析】由题，结合角平分线性质与椭圆的性质，()1212122MF PF S MF MF h h =+=，h 为P 到2MF 的距离，又OE 是12F MF △的中位线，故12212sin h F F MF F =⋅∠，结合余弦定理，设2MF t =，即可表示出12MF PF S ，即可讨论最值【详解】由图，224,3a b ==，1c ==，故122F F =，124MF MF +=，又MP 平分12F MF ∠，则P 到1MF 、2MF 的距离相等，设为h ，则()1212122MF PF S MF MF h h =+=设2MF t =，则14MF t =-，()22221243cos 24t t MF F t t +--∠==-，由OE 是12F MF △的中位线，易得12212sin h F F MF F =⋅∠=即12MF PF S =，由椭圆性质易知，存在点M 为椭圆C 上异于顶点的动点，使32t =，此时12MF PF S 最大，且为2故选：B9．CD10．CD11．AC【分析】四个选项分别利用正态曲线的性质，二项分布方差的有关性质，非线性回归方程线性化的方法，考虑对立事件即可求概率，即可判断正误.【详解】随机变量()21,N ξσ ，正态曲线关于1x =对称，则()()35P P ξξ≤-=≥,()51(5)10.750.25P P ξξ≥=-<=-=,即()30.25P ξ≤-=，故A 正确；随机变量19,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()11191233D X np p ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故()()2148D X D X +==，故B 错误；∵e kx y c =，∴两边取对数得()ln ln e ln kxy c c kx ==+，令ln z y =，可得ln z c kx =+，∵0.51z x =+，∴ln 1c =，0.5k =，∴e c =，故C 正确；从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的对立事件为选取的4人中没有一名女生，其概率为541041C C ,则其中至少有一名女生的概率为41541310514415C C C 1C C -≠，故D 不正确；故选:AC ．12．BD【分析】设点(),P x y ，根据题意可求出C 的方程可判断A ，根据三角形内角平分线的性质可判断B ，求出点K 的轨迹方程与C 的方程联立可判断C ，设,D E .的坐标结合C 的方程可判断D.【详解】设点(),P x y ，则由12PAPB =12=，化简可得()22416x y ++=，故A 错误；当A ，B ，P 三点不共线时，因为12PA PB=，2,4OA OB ==，所以12OA OB=，所以PA OA PB OB=，射线PO 是APB ∠的平分线，故B 正确；设存在()00,K x y ，则()2200416x y ++=，即2200080x x y ++=，因为2KO KA ==所以()2222000042x y x y ⎡⎤+=++⎣⎦，所以220001616033x x y +++=，又因为2200080x x y ++=，所以02x =，又因为02x =不满足()22:416C x y ++=，所以不存在K 满足条件，故C 错误；假设x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ，使得12PD PE=，可设(,0),(,0)D m E n =，由P 的轨迹方程为2280x y x ++=，可得228224,40m n m n -=--=，解得6,12m n =-=-或2,4m n =-=（舍去），即存在(6,0),(12,0)D E --，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查阿波罗尼斯圆的定义及应用，属于新定义问题；证明角平分线除了可以通过线段的长度比来证明，还可以通过点到线段两边的距离相等来证明；和圆有关的线段长度问题，可以利用坐标法来解决问题.13．15214．(6,-【分析】先以OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，得到(2,0)A ，B ，()2cos ,2sin C θθ，[)0,2θ∈π，根据向量数量积的坐标表示，得到()0,,23πθππ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭，进而可得出结果.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则(2,0)A ，B ，()2cos ,2sin C θθ，[)0,2θ∈π，又0BA BC ⋅>uu r uu u rcos 1θθ-<，即1sin 62πθ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以()0,,23πθππ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭，又(0,BO BA +=-，所以()(6,OC BO BA ⋅+∈- .故答案为：(6,-.【点睛】本题主要考查求平面向量数量积的取值范围，可用建系的方法处理，属于常考题型.15.【答案】2【解析】由题意可知()22sin 18sin cos 2C a b ab C C ⎛⎫⎛⎫+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()224cos a b ab C +=，由余弦定理：222cos 2a b c C ab +-=，可得2222a b c +=，又由正弦定理可得222222sin sin 2sin a b A Bc C++=。

邯郸市2024届高三年级第三次调研考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的．1．已知集合{}2M =≤，{}23N x x =-<<，则M N = （）A ．{}04x x ≤≤B ．{}24x x -<≤C ．{}03x x ≤<D ．{}04x x ≤<2．若复数(1)i2ia a z +-=+为纯虚数，则实数a =（）A ．2-B ．13-C ．13D ．23．已知向量(,2)a m = 与(2,4)b =--共线，则3a b -= （）A ．(1,10)B ．(5,10)C ．(5,2)D ．(1,2)4．在632x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，21x 的系数为（）A ．192-B ．6-C ．6D ．1925．已知等比数列{}n a 的各项互不相等，且14a ，312a ，23a 成等差数列，则2021202320202022a aa a -=-（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知抛物线28y x =的焦点为F ，(,)P x y 为抛物线上一动点，点(6,3)A ，则PAF △周长的最小值为（）A ．13B ．14C ．15D ．167．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，(2)()f x f x +=，且()f x 在[1,0]-上单调递减，若()3log 45a f =，()5log 8b f =-，43c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b c a<<8．已知在四面体ABCD 中，AB BC CD DA BD ====，二面角A BD C --的大小为3π，且点A ，B ，C ，D 都在球O 的球面上，M 为棱AC 上一点，N 为棱BD 的中点．若MO CN λ=，则λ=（）A ．13B ．49C ．59D ．23二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知双曲线22:163x y C λλ-=+-，则（）A ．λ的取值范围是(6,3)-B ．C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上C ．C 的焦距为6D ．C 的离心率e 的取值范围为(1,3)10．“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体E ABCD F --的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）A ．共有18个顶点B ．共有36条棱C ．表面积为6+D ．体积为11．已知ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，面积为)22234a cb +-，则下列说法正确的是（）A ．cos cos A C 的取值范围是11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．若D 为边AC 的中点，且1BD =，则ABC △的面积的最大值为3C ．若ABC △是锐角三角形，则a c 的取值范围是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．若角B 的平分线BE 与边AC 相交于点E，且BE =，则4a c +的最小值为10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．写出一个(0)ωω>，使得函数()sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于点(1,0)对称，则ω可以为__________．13．从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X ，则()E X =__________．14．记min{,,}x y z 表示x ，y ，z 中最小的数．设0a >，0b >，则11min ,,3a b b a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知217S =，57n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是公差为12的等差数列．（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16．（15分）某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：年份序号x 12345招生人数y /千人0.811.31.72.2（I ）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以证明；（II ）求y 关于x 的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．参考数据：5124.5i i ix y ==∑，()521 1.26i i y y =-=∑3.55≈．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑，回归方程ˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，224AB BC CD ===，5PC =，E 为棱AB 的中点，且CE PE ⊥．（I ）求四棱锥P ABCD -的高；（II ）求二面角B PC E --的正弦值．18．（17分）已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b +=>>经过2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点．（I ）求E 的方程；（II ）若圆221x y +=的两条相互垂直的切线12,l l 均不与坐标轴垂直，且直线12,l l 分别与E 相交于点A ，C 和B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值．19．（17分）已知函数()2()e x f x x ax=-，a ∈R ．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（II ）已知关于x 的方程2()e xf x ax =-恰有4个不同的实数根1234,,,x x x x ，其中10x >，20x >．（i ）求a 的取值范围；（ii ）求证：124x x +>．邯郸市2024届高三年级第三次调研考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案C命题意图本题考查集合的表示与运算．解析{}{}204M x x =≤=≤≤，{}23N x x =-<<，所以{}03M N x x =≤< ．2．答案C命题意图本题考查复数的相关概念和运算．解析(1)i [(1)i](2i)31(2)i 2i (2i)(2i)5a a a a a a z +-+---+-===++-，因为z 为纯虚数，所以310,20,a a -=⎧⎨-≠⎩解得13a =．3．答案B命题意图本题考查平面向量的性质．解析因为//a b ，所以(4)2(2)m -⨯=⨯-，解得1m =，所以33(1,2)(2,4)(5,10)a b -=---=．4．答案A命题意图本题考查二项式定理的应用．解析632x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为3(6)184166C (2)(2)C r r r r r r rr T x x x---+=-=-，令1842r -=-，得5r =，所以21x 的系数为326192-⨯=-．5．答案D命题意图本题考查等比数列与等差数列的性质．解析设{}n a 的公比为(1)q q ≠±．因为14a ，312a ，23a 成等差数列，所以12343a a a +=，所以2340q q --=，解得(41q q ==-舍去），从而20212023202020224a a q a a -==-．6．答案A命题意图本题考查抛物线的性质．解析由题知(2,0)F ，准线方程为2x =-．如图，过P 作准线的垂线，垂足为Q ，过A 作准线的垂线，垂足为B ，所以PAF △的周长||||||||||||||||8513PF PA AF PQ PA AF AB AF =++=++≥+=+=，当P 为AB 与抛物线的交点P '时等号成立，即PAF △周长的最小值为13．7．答案B命题意图本题考查函数的综合性质．解析因为()f x 是偶函数，(2)()f x f x +=，()f x 在[1,0]-上单调递减，所以()f x 在[1,2]上单调递减．()()()333log 452log 5log 5a f f f ==+=，()()55log 8log 8b f f =-=，因为345125381=>=，3485125625=<=，所以4353>，4385<，所以5341log 8log 523<<<<，所以()()534log 8log 53f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故a c b <<．8．答案C命题意图本题考查几何体的结构特征．解析由题意知ABD △与BCD △均为等边三角形，连接AN ，CN ，则AN BD ⊥，CN BD ⊥，ANC ∠是二面角A BD C --的平面角，所以3ANC π∠=，又易知AN CN =，所以ACN △是等边三角形．设P 为BCD △的外心，Q 为CN 的中点，连接,,OP ON AQ ，则点O ，P ，Q 都在平面ACN 内，建立平面直角坐标系如图．设2AN NC AC ===，则23NP =，6ONP π∠=，所以239OP =．又AQ =，所以29OP AQ =，因为//MO CN ，所以29CM CA =，则可得223,39O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1623,99M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而109MO =，59OM CN λ==．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案AC命题意图本题考查双曲线的方程与性质．解析对于A ，22163x y λλ-=+- 表示双曲线，(6)(3)0λλ∴+->，解得63λ-<<，故A 正确；对于B ，由63λ-<<，可知60λ+>，C ∴的焦点只能在x 轴上，故B 错误；对于C ，设C 的半焦距为(0)c c >，则2639c λλ=++-=，3c ∴=，∴焦距为26c =，故C 正确；对于D ，离心率e =，63λ-<< ，03∴<，e ∴的取值范围是(1,)+∞，故D 错误．10．答案BD命题意图本题考查空间几何体的结构特征以及相关计算．解析由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A 错误，B 正确；该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，故该多面体的表面积为3618664⨯+⨯⨯=+，故C 错误；正八面体E ABCD F --的体积为2133⨯⨯=，切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为2126132⨯⨯⨯==，故D 正确．11．答案ABC命题意图本题考查正弦定理、余弦定理和三角恒等变换的综合应用．解析由题意知()22213sin 24S ac B a c b ==+-，整理得222sin a c b B +-=，由余弦定理知2222cos a c b ac B +-=，tan B ∴=(0,)B π∈ ，3B π∴=．对于A ，223131cos 2cos cos cos cos sin cos cos sin 232244A A C A A A A A A π+⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭11sin 2264A π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，72,666A πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，1sin 262A π⎛⎫⎛⎤∴-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，cos cos A C ∴的取值范围为11,24⎛⎤- ⎥⎝⎦，故A 正确；对于B ，D 为边AC 的中点，2BD BC BA ∴=+ ，则2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥ ，43ac ∴≤，当且仅当a c =时，等号成立，13343sin 24433ABC S ac B ∴==≤=△，故B 正确；对于C ，21sin sin sin 13222sin sin sin tan 2C C C a A c C C C C π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====，ABC △是锐角三角形，62C ππ∴<<，3tan 3C ⎛⎫∴∈+∞ ⎪⎝⎭，1,22a c ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，由题意得ABE BCE ABC S S S +=△△△，即111sin sin sin 262623c BE a BE c a πππ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯，整理得a c ac +=，即111a c +=，1144(4)559c a a c a c ac a c ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2a c =时，等号成立，故D 错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案3π（答案不唯一，56π，43π等也正确）命题意图本题考查三角函数的性质．解析由题意知2()3k k πωπ+=∈Z ，所以()26k k ππω=-∈Z ，又0ω>，所以3πω=，56π，43π，…．13．答案8命题意图本题考查随机变量的分布列与期望．解析任取2张卡片的所有10种结果中，每个数字各出现了4次，故1()(12359)4810E X =⨯++++⨯=．14．答案2命题意图本题考查不等式的性质．解析若1a b ≤，则1ab ≤，此时111min ,,3min ,3a b a b b a a ⎧⎫⎧⎫+=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，因为13134a b ab a ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭，所以a 和13b a +中至少有一个小于等于2，所以1min ,32a b a ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭，又当2a =，12b =时，1132a b b a ==+=，所以11min ,,3a b b a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的最大值为2．若1a b >，则1ab >，此时1111min ,,3min ,3a b b b a b a ⎧⎫⎧⎫+=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，因为111334b b a ab ⎛⎫+=+< ⎪⎝⎭，所以1b 和13b a +中至少有一个小于2，所以11min ,,32a b b a ⎧⎫+<⎨⎬⎩⎭．综上，11min ,,3a b b a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的最大值为2．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图本题考查数列的性质与数列求和．解析（I ）因为217S =，所以21527S =⨯+，所以11(2)5722n S n n n =+-⨯=+，即(57)2n n S n =+．当2n ≥时，151n n n a S S n -=-=+，又111(57)62a S ==+=适合上式，所以51n a n =+．（II ）1111(51)(56)55156nb n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故1111111561111165156n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭1115656n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭6(56)nn =+．16．命题意图本题考查线性回归分析的应用．解析（I ）由题意知1(12345)35x =++++=，1(0.81 1.3 1.7 2.2) 1.45y =++++=，所以55 3.50.9863.55iix yxyr -=∑，因为r 与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（II ）()515215 3.5ˆ0.3510i ii i i x yxybx x ==-===-∑∑，ˆˆ 1.40.3530.35a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.350.35y x =+．当7x =时，ˆ0.3570.35 2.8y=⨯+=，由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人．17．命题意图本题考查空间垂直关系以及空间向量的应用．解析（I ）如图，过A 作BC 的平行线，与CD 的延长线交于点O ，连接PO ，EO ．由已知得BC CD ⊥，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，所以BC ⊥平面PCD ，因为PO ⊂平面PCD ，所以BC PO ⊥．由已知可得四边形ABCD 为矩形，所以4CO AB ==，因为E 为棱AB 的中点，所以CE OE ==，从而CE OE ⊥．又因为CE PE ⊥，PE OE E = ，所以CE ⊥平面PEO ，从而CE PO ⊥．因为BC CE C = ，所以PO ⊥平面ABCD ．所以四棱锥P ABCD -的高即3PO ==．（II ）如图，以O 为坐标原点，,,OA OC OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,3)P ，(2,4,0)B ，(0,4,0)C ，(2,2,0)E ，所以(2,0,0)CB = ，(0,4,3)PC =- ，(2,2,0)CE =-．设(,,)m x y z =是平面PBC 的法向量，则430,20,m PC y z m CB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩可取(0,3,4)m = 设(,,)n p q r =是平面PCE 的法向量，则430,220,n PC q r n CE p q ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩可取(3,3,4)n = ．所以534cos ,34||||m n m n m n ⋅〈〉==，所以二面角B PC E --的正弦值为34．18．命题意图本题考查椭圆的方程、椭圆与直线的位置关系．解析（I ）因为E过点62P ⎛⎫-⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2222231,2191,4a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,3.a b ⎧=⎨=⎩故E 的方程为22143x y +=．（II ）由题知12,l l 的斜率存在且不为0．设1:(0)l y kx m k =+≠．因为1l 与圆221x y +=1=，得221m k =+．联立1l 与E 的方程，可得()2223484120kxkmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,C x y ，则122834kmx x k-+=+，212241234m x x k -=+．所以12||AC x =-=将221m k =+代入，可得||AC =．用1k -替换k，可得||BD =．四边形ABCD 的面积1||||2S AC BD =⋅=++．令21t k=+，则(1,)t ∈+∞，可得22241112112S t t t t ==+-+-再令u=，(1,)t ∈+∞，则52u ⎤∈⎥⎦，可得2242424240652649625u S u u u ==≥=+++⨯，即四边形ABCD 面积的最小值为24049．19．命题意图本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数性质．解析（I ）()22()e e 2(1)e 3x x x f x ax x ax x ax '=-+-=+-，所以(0)101f '=-=，又(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =．（II ）（i ）由2()e x f x ax =-，得()2(1)e 0x x ax+-=，该方程有一根为1-，且0x ≠，所以2e 0x ax -=即2e xa x=有3个不同的实数根，且这3个实数根均不为1-．令2e ()x g x x =，则3(2)e ()xx g x x -'=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0g x '>，当(0,2)x ∈时，()0g x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．又2e (2)4g =，且当x 无限趋近于-∞时，()0g x >且趋近于0，当x 从0的左侧无限趋近于0时，()g x 趋近于+∞，当x 从0的右侧无限趋近于0时，()g x 趋近于+∞，当x 无限趋近于+∞时，e x 的增速远大于2x 的增速，所以()g x 趋近于+∞．故()g x的大致图象如图所示：又21e (1)e 4g -=<，所以当2e 4a >时，直线y a =与曲线()y g x =有3个不同的交点，且这3个交点的横坐标均不为1-，所以a 的取值范围为2e ,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（ii ）由（i ）知121e x ax =，222e x ax =，所以11ln 2ln x a x =+，22ln 2ln x a x =+，所以1121222ln 2ln 2ln x x x x x x -=-=，则12122ln x x x x -=，要证124x x +>，只需证()1212122ln x x x x x x -+>，不妨设210x x >>，所以1201x x <<，所以12ln 0x x <，则只需证()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=++．令12x t x =，则(0,1)t ∈，令2(1)()ln 1t h t t t -=-+，则当01t <<时，2222212(1)2(1)(1)4(1)()0(1)(1)(1)t t t t t h t t t t t t t +--+--'=-==>+++，所以()h t 在(0,1)上单调递增，所以()(1)0h t h <=，所以当(0,1)t ∈时，2(1)ln 1t t t -<+恒成立，所以原不等式124x x +>得证．。

2024年普通高中学业水平选择性模拟考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}124340,A x x x B x y x ⎧⎫⎪⎪=--≤==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A ．(]0,1B ．[]0,4C ．(]0,4D ．[]0,12．已知复数z 满足21z =-，则22z z +=（）A ．1BC ．3D3．已知,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，且,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则“m n ⊥”是“m β⊥”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()12f x x x =++的图像与x 轴相交于点P ，则该曲线在点P 处的切线方程为（）A ．y x=-B ．=1y x --C ．0y =D ．1y x =-5．由动点P 向圆22:(2)(3)1M x y +++=引两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，若四边形APBM 为正方形，则动点P 的轨迹方程为（）A ．22(2)(3)4x y +++=B ．22(2)(3)2x y +++=C ．22(2)(3)4-+-=x y D ．22(2)(3)2x y -+-=6．某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（）A ．12B ．18C ．20D ．60．7．已知O 为坐标原点，12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 上一点，若直线1PF 和OP 的倾斜角分别为α和2α，且3tan 4α=，则双曲线C 的离心率为（）AB ．5C ．2D ．758．对任意两个非零的平面向量a 和b ，定义：22a b a b a b⋅⊕=+，2a b a b b ⋅= ．若平面向量,a b满足0a b >> ，且a b ⊕ 和a b 都在集合|Z,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭中，则a b a b ⊕+= （）A ．1B ．32C ．1或74D ．1或54二、选择题：本题共3小题，钓小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin (0,0,0π)f x M x M ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，A ，B 为()f x 的图像与x 轴的交点，C 为()f x 图像上的最高点，ABC 是边长为1的等边三角形，2OB OA =，则（）A ．()02f =B ．直线136x =是()f x 图像的一条对称轴C ．()f x 的单调递减区间为()172,2Z 66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的单调递增区间为()512π,2πZ 66k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭10．设拋物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，过点()0,3P 的直线与抛物线E 相交于点,A B ，与x 轴相交于点,2,10C AF BF ==，则（）A ．E 的准线方程为=2y -B ．p 的值为2C ．AB =D ．BFC △的面积与AFC △的面积之比为911．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若函数()23f x -的图象关于点()2,1对称，()()224f x f x x +--=，且()00f =，则（）A ．()f x 的图像关于点()1,1对称B ．()()4f x f x +=C ．()10262f '=D ．501()2499i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．已知0b >，函数()42bxxa f x +=是奇函数，则=a ，b =．13．正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以,,,,A B C D E 为顶点的多边形为正边边形，设CAD α∠=，则cos cos2cos3cos4αααα+++=，cos cos2cos3cos4αααα=．14．在长方体1111ABCD A B C D -中，15,3,4AB AD AA ===，平面//α平面11A ABB ，则α截四面体11ACD B 所得截面面积的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，设平面PAD 与平面PBC 相交于直线l .(1)证明：//l AD .(2)若平面PAB ⊥平面,5,2ABCD PA PB AB ===，求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值.16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =11n n S S S +=(1)求{}n a 的通项公式；(2)若14nn n n S b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．假设某同学每次投篮命中的概率均为12．(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.(2)该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投(),33n n n +∈≤N 个球，若这n 个球都投进，则训练结束，否则额外再投1003n -个．试问n 为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？18．已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()32,0,1,2M N ⎛⎫⎪⎝⎭两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．19．已知函数()()e ,ln xf x mxg x x m x =-=-．(1)是否存在实数m ，使得()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调区间相同？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)已知12,x x 是()f x 的零点，23,x x 是()g x 的零点．①证明：e m >，②证明：31231e x x x <<．1．B【分析】先化简两个集合，再利用交集运算可得答案.【详解】由2340x x --≤得14x -≤≤，即{}14A x x =-≤≤，{}0B x x =≥,所以[]0,4A B = .故选：B 2．D【分析】设i(,R)z a b a b =+∈，根据条件得到0,1a b ==±，再利用模长的计算公式，即可求出结果.【详解】令i(,R)z a b a b =+∈，则2222i 1z a ab b =+-=-，所以22120a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0,1a b ==±，所以i z =±，故2212i z z +=-±故选：D.3．A【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面垂直的性质可得结果.【详解】用平面ADFE 代表平面α，平面ABCD 代表平面β，当m n ⊥如图所示时显然m 与平面β不垂直，反之，当m β⊥时，又n β⊂，根据线面垂直的性质有m n ⊥，所以“m n ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件，故选：A.4．C【分析】令()0f x =可计算出切点坐标，结合导数的几何意义可得切线斜率，即可得解.【详解】令102x x +=+，即()210x x ++=，即()210x +=，解得=1x -，故()1,0P -，()()2112f x x '=-+，则()()2011112f '-=-=-+，则其切线方程为：()()()111f x y f ='--+，即0y =.故选：C.5．B【分析】根据正方形可得动点P 的轨迹是以M .【详解】因为四边形APBM 为正方形，且1MA MB ==,所以M P =,故动点P 的轨迹是以M 22(2)(3)2x y +++=.故选：B6．C【分析】根据题意，分为当新节目插在中间的四个空隙中的一个和新节目插在中间的四个空隙中的两个，结合排列数与组合数的计算，即可求解.【详解】根据题意，可分为两类：①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有1242C A 428=⨯=种方法；②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有24A 4312=⨯=种方法，由分类计数原理得，共有81220+=种不同的差法.故选：C.7．B【分析】由已知计算可得所以直线1PF 的斜率为3tan 4α=，直线OP 的斜率为247，设(,)P x y ，由324,47y y x c x ==+，解得724,2525c cx y ==，代入双曲线方程计算即可求得结果.【详解】由题意得22322tan 4tan 21tan 314a αα⨯==-⎛⎫- ⎪⎝⎭247=，所以直线1PF 的斜率为3tan 4α=，直线OP 的斜率为247，设(,)P x y ，则有324,47y y x c x ==+，解得724,2525c cx y ==，代入双曲线方程，得222272425251c c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，又222b c a =-，所以()()222222227242525c c c a a a c a ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得：2422472025c a c a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，c e a =，所以242721025e e ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得5e =或57e =(1e >,舍).故选：B 8．D【分析】根据0a b >> ，得到222a b a b +>，再利用题设中的定义及向量夹角的范围，得到12a b ⊕< ，12a b > ，再结合条件，即可求出结果.【详解】因为113|Z,04,,,14424n n n ⎧⎫⎧⎫∈<≤=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，设向量a 和b 的夹角为θ，因为0a b >> ，所以222a b a b +>，得到2222cos cos cos =22a b a b a b a b a b a b a bθθθ⋅⊕==<⋅++，又[]0,πθ∈，所以cos 122θ≤，又a b ⊕ 在集合|Z,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭中，所以cos 124θ>，即1cos 2θ>，得到14a b ⊕= ，又因为22cos 1cos cos 2a b a a b a b b b b θθθ⋅⋅===>>，所以34a b = 或1，所以1a b a b ⊕+= 或54，故选：D.9．BC【分析】由图可得()ππ3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的图象与性质分析各个选项即可.【详解】对于A ，由图可得：()f x 的最小正周期为2，所以2π2ω=，即πω=，易得2M =，所以()()π2f x x ϕ=+，因为2OB OA =，所以1,03A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，1,62C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由五点作图法可得：ππ62ϕ+=，即π3ϕ=，所以()ππ3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()304f =，故A 不正确；对于B ，由于1313π()π+)62632f ==，为最大值，所以直线136x =是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；对于C ，令ππ3π2π+π2π+232k x k ≤+≤()k ∈Z ，解得；()Z 172266k x k k +≤≤+∈，所以单调递减区间为()172,2Z 66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，令πππ2ππ2π+232k x k -≤+≤()k ∈Z ，解得；()5122Z 66k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为()512,2Z 66k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，故D 不正确，故选：BC ，10．BD【分析】设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，利用根与系数的关系及抛物线的性质进行计算，从而判定各选项.【详解】设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立232y kx x py=+⎧⎨=⎩，可得2260x pkx p -=-，所以122x x pk +=，126x x p =-，因为22x py =，所以22x y p =，故22212122236944x x p y y p p ===，因为2,10AF BF ==，由抛物线定义可得，122p y =-，2102py =-，则210922p p ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得2p =或22p =，因为1202py =->，所以2p =，则E 的准线方程为=1y -，故B 正确，A 错误；又E 的方程为24x y =，1212p y =-=，21092py =-=，把11y =代入24x y =可得21144x y ==，222436x y ==，不妨设()()2,1,6,9A B -，则AB =C 错误；设F 到直线AB 的距离为d ，BFC △的面积12BFC S BC d =，AFC △的面积12AFC S AC d = ，则BFC △的面积与AFC △的面积之比219BFC AFC BC S yS AC y === ，故D 正确.故选：BD.11．ACD【分析】根据函数的图象变换及其对称性，可得判定A 正确；结合()()22f x f x +-=和()()224f x f x x +--=，化简得到()()48f x f x =+-，可判定B 不正确；令()()2g x f x x =-，得到()()4g x g x =+，得到函数()g x 和()g x '是以4为周期的周期函数，结合()()()1026222g g f '=''=-，可判定C 正确；结合()()11,22f f ==，()35f =，()48f =，得到()()()()12344g g g g +++=-，结合()()2g x f x x =-是以4为周期的周期函数，进而求得501()i f i =∑的值，即可求解.【详解】对于A 中，设函数()y f x =的图象关于(,)a b 对称，则()3y f x =-关于(3,)a b +对称，可得()23y f x =-关于3(,)2a b +对称，因为函数()23f x -的图像关于点()2,1对称，可得32,12a b +==，解得1,1a b ==，所以函数()y f x =的图象关于(1,1)对称，所以A 正确；对于B 中，由函数()y f x =的图象关于(1,1)对称，可得()()22f x f x +-=，因为()()224f x f x x +--=，可得()()242f x f x x ++=+，则()()244(2)2410f x f x x x +++=++=+，两式相减得()()48f x f x -+=-，即()()48f x f x =+-，所以B 不正确；对于C 中，令()()2g x f x x =-，可得()()()442(4)428g x f x x f x x +=+-+=+--，因为()()48f x f x =+-，所以()()4g x g x =+，所以函数()g x 是以4为周期的周期函数，由()()2g x f x x =-，可得()()2g x f x ''=-，所以()()102610262g f ''=-，因为函数()g x 是以4为周期的周期函数，则()g x '是以4为周期的周期函数，所以()()()1026222g g f '=''=-，由()()224f x f x x +--=，可得()()212(1)4f x f x +⨯--⨯-'='，即()()224f x f x ''++-=，令0x =，可得()()224f f ''+=，所以()22f '=，所以()20g '=，所以()1026(1026)2(2)22f f f '''=+=+=，所以C 正确；对于D 中，因为()00f =，且函数()f x 关于(1,1)对称，可得()()11,22f f ==，又因为()()224f x f x x +--=，令1x =，可得()()314f f -=，所以()35f =，再令2x =，可得()()408f f -=，所以()48f =，由()()2g x f x x =-，可得()()()()11,22,31,40g g g g =-=-=-=，可得()()()()12344g g g g +++=-又由函数()()2g x f x x =-是以4为周期的周期函数，且()()2f x g x x =+，所以()()()()()()501()125012502(1250)i f i f f f g g g ==+++=+++++++∑ ()()()()()()121234122(1250)g g g g g g ⎡⎤=⋅+++++++++⎣⎦ 50(150)12(4)12242299+=⨯--+⨯=-，所以D 正确.故选：ACD.【点睛】知识结论拓展：有关函数图象的对称性的有关结论（1）对于函数()y f x =，若其图象关于直线x a =对称（0a =时，()f x 为偶函数），则①()()f a x f a x +=-；②()()2f a x f x +=-；③()()2f a x f x -=.（2）对于函数()y f x =，若其图象关于点(),0a 对称（0a =时，()f x 为奇函数），则①()()f a x f a x +=--；②()()2f a x f x +=--；③()()2f a x f x -=-.（3）对于函数()y f x =，若其图象关于点(),a b 对称，则①()()2f a x f a x b ++-=；②()()22f a x f x b ++-=；③()()22f a x f x b -+=.12．1-1【分析】根据题意，由奇函数的性质和定义，利用特殊值法求出a 、b 的值，验证可得答案.【详解】根据题意，函数()42bxxa f x +=是奇函数，其定义域为R ，则有(0)0f =，(1)(1)f f -=-，即0114024422b b a a a --⎧+=⎪⎪⎨++⎪=-⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，当1a =-，1b =时，()14222xx x x f x --+-==，其定义域为R ，且()22()x x f x f x --=-=-，即()f x 为奇函数，故1a =-，1b =；故答案为：1-；113．0116##0.0625【分析】由正五角星的性质，求得36CAD α∠== ，进而根据诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】正五角星可分割成5个3角形和1个正五边形,五个3角形各自角度之和180正五边形的内角和()180521803540⨯-=⨯= ；每个角为5401085= ，三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为18010872-=o o o ，三角形内角和为180 ，那么三角形顶角，即五角星尖角18072236-⨯= ，即36CAD α∠== .cos cos2cos3cos4cos36cos72cos108cos144αααα+++=+++()()cos36cos72cos 18072cos 18036=++-+-cos36cos72cos72cos360=+--= ;()2cos cos2cos3cos4cos36cos72cos108cos144cos36cos72αααα==因为cos 36cos 72︒︒⋅2sin 36cos36cos72sin 72cos72sin14412sin 362sin 364sin 364︒︒︒︒︒︒︒︒︒⋅⋅⋅====,所以1cos cos2cos3cos416αααα=.故答案为：0；116.14．10【分析】结合题意画出对应图形后，设111B T B C λ=，则有TR TM VN VS TW TU VU VWλ====，则有22NVS SWR NSRM UVWT S S S S =-- 平行四边形平行四边形，借助λ表示出面积，结合二次函数的性质即可得.【详解】平面α截四面体11ACD B 的截面如图所示，设111B T B C λ=，则TR TM VN VS TW TU VU VWλ====，所以四边形NSRM 为平行四边形，且//,//MR UW MN TV ，在矩形UVWT 中，()4,5,5,51UV VW TM MU λλ====-，()4,41TR RW λλ==-，则22NVS SWRNSRM UVWT S S S S =-- 平行四边形平行四边形()2221112020120202202010222λλλ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-+-=--+≤-⨯=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当12λ=时，等号成立.故答案为：10.【点睛】关键点点睛：本题关键点是得到所得截面后，借助割补法表示出该截面面积，并结合二次函数的性质求解.15．(1)证明见解析；(2)4515【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理即可证明；（2）利用面面平行的性质确定PO ⊥平面ABCD ，建立直角坐标系，利用坐标法结合线面角公式即可求解.【详解】（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是正方形，所以//BC AD ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，因为AD ⊂平面PAD ，平面PBC ⋂平面PAD l =，所以//l AD ；（2）因为PA PB =，取AB 的中点O ，连接PO ，则PO AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，则PO ⊥平面ABCD ，所以以O 坐标原点建立如图坐标系，因为5,2PA PB AB ===，ABCD 是正方形，所以2PO =，则()0,0,2P ，()1,0,0A ，()1,2,0C -，()1,2,0D ,()1,0,2AP =- ，()0,2,0AD = ，()1,2,2PC =-- ，设平面PAD 的法向量为(),,n x y z = ，则20n AP x z ⋅=-+= ，20n AD y ⋅== ，取2x =，0y =，1z =，即()2,0,1n = ，设直线PC 与平面PAD 所成角为θ，则sin cos ,15PC n PC n PC nθ⋅=== ，所以直线PC 与平面PAD16．(1)21n a n =-(2)21n nT n n =++【分析】（1）首先求出11a =，可证明数列为首项为1，公差为1的等差数列，得到2n S n =，利用1n n n a S S -=-得到{}n a 的通项公式；（2）由（1）知，2144(21)(21)n n n n S n b a a n n +==-+，化简可得111122121n b n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当1n ==11a =，1==，则数列为首项为1，公差为1的等差数列；n =，则2n S n =，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，12111a =⨯-=满足条件，所以{}n a 的通项公式为21n a n =-(*)n ∈N （2）由（1）知，2144(21)(21)n n n n S n b a a n n +==-+，所以2224111111114141(21)(21)22121n n b n n n n n n ⎛⎫==+=+=+- ⎪---+-+⎝⎭，故11111111112335212122121n n T n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-=+ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ ，即21n n T n n =++17．(1)38；(2)5n =.【分析】（1）根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式计算即得.（2）该同学投篮的次数为X ，求出X 的可能值及对应的概率，求出期望的函数关系，作差结合数列单调性推理即得.【详解】（1）依题意，该同学投篮4次，恰好投中2次的概率2224113C ()(1)228p =-=.（2）设该同学投篮的次数为X ，则X 的可能值为,10031002n n n n +-=-，,33n n +∈≤N ，于是11(),(1002)122n nP X n P X n ===-=-，数学期望113100()(1002)(12100222n n n n E X n n n -=⋅+-⋅-=-+，令3100()2100,2n n f n n n +-=-+∈N ，则1397(1)2982n n f n n +-+=-+，2110332(1)()2n n n f n f n ++--+-=，显然数列2{10332}n n +--是递减的，当4n ≤时，2103320n n +-->，(1)()f n f n +>，当5n ≥时，2103320n n +--<，(1)()f n f n +<，即有(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f <<<<>>> ，因此(5)f 最大，所以当5n =时，该同学投篮次数的期望值最大.18．(1)2214x y +=(2)存在，3个【分析】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，根据条件得到41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可求出结果；（2）设直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，当1k =时，由椭圆的对称性知满足题意；当21k ≠时，联立直线与椭圆方程，求出,A B 的坐标，进而求出AB 中垂线方程，根据条件中垂线直经过点(0,1)D ，从而将问题转化成方程42710k k -+=解的个数，即可解决问题.【详解】（1）由题设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因为椭圆过()2,0,1,2M N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭两点，所以41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到1,14m n ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知(0,1)D ，易知直线,DA DB 的斜率均存在且不为0，不妨设(0)DA k k k =>，1DB k k =-，直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，由椭圆的对称性知，当1k =时，显然有DA DB =，满足题意，当21k ≠时，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得到221()204k x kx ++=，所以2814A k x k =-+，222281411414A k k y k k -=-+=++，即222814(,)1414k k A k k --++，同理可得22284(,)44k k B k k -++，所以()2222222222222414(4)14(4)(14)1414888(144)5414AB k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----+-+--++===++++++，设AB 中点坐标为00(,)x y ，则2220228812(1)1442(4)(14)k k k k k k x k k -+-++==++，22222022144151442(4)(14)k k k k k y k k --+-++==++，所以AB 中垂线方程为222222215512(1)()(4)(14)1(4)(14)k k k k y x k k k k k -+=--++-++，要使ADB 为AB 为底边的等腰直角三角形，则直AB 中垂线方程过点(0,1)，所以222222215512(1)1(0)(4)(14)1(4)(14)k k k k k k k k k -+=--++-++，整理得到42710k k -+=，令2t k =，则2710t t -+=，4940∆=->，所以t 有两根12,t t ，且121270,10t t t t +=>=>，即2710t t -+=有两个正根，故有2个不同的2k 值，满足42710k k -+=，所以由椭圆的对称性知，当21k ≠时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，联立椭圆方程求出,A B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点(0,1)D ，再转化成关于k 的方程的解的问题.19．(1)存在，且(],0m ∈-∞(2)①证明见解析②证明见解析【分析】（1）结合导数与函数单调性的关系，分0m ≤与0m >进行讨论即可得；（2）①利用导数得到()f x 的单调性后，借助零点的存在性定理可得()ln ln 0f m m m m =-<，解出即可得；②构造函数()()e (0),(1)ln x x m x x n x x x x=>=>，结合导数得到函数的单调性，画出相应图象，可得从而得到12ln x x =，23e x x =，从而可得31232x x x x =，结合2x 的范围即可得解.【详解】（1）由题意得()()()0,,e ,1x m x m x f x m g x x x∞-∈+=-=-=''，当0m ≤时，()()0,0f x g x ''≥≥，所以()f x 和()g x 在()0,∞+上都单调递增，符合题意；当0m >时，若()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调区间相同，则()f x 和()g x 有相同的极值点，即ln m m =，令()ln h m m m =-，则()111m h m m m-=-='，当()0,1m ∈时，()0h m '>，当()1,m ∞∈+时，()0h m '<，所以()h m 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，则()()11h m h ≤=-，所以ln m m =无解，综上，当(],0m ∞∈-时，()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调区间相同；（2）①由题意，()f x 有两个零点，()e x f x m '=-，若0m ≤，则()0f x '≥，所以()f x 在R 上单调递增，不符合题意，若0m >，则当(),ln x m ∞∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，当()ln ,x m ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，且当x →-∞时，()f x ∞→-，当x →+∞时，()f x ∞→+，所以()ln ln 0f m m m m =-<，解得e m >，得证；②令()()0,0f x g x ==，得e ,ln xmx x m x ==，即e 0,0ln x x m m x x =>=>，令()()e (0),(1)ln x x m x x n x x x x=>=>，则()()()22e 1ln 1,(ln )x x x m x n x x x ''--==，当()0,1x ∈时，()()0,m x m x '<单调递减，当()1,x ∞∈+时，()()0,m x m x '>单调递增，当()1,e x ∈时，()()0,n x n x '<单调递减，当()e,x ∞∈+时，()()0,n x n x '>单调递增，在同一坐标平面内作出函数()e (0)x m x x x=>与函数()ln x n x x =(1)x >的图象，它们有公共点()22,A x y，如图，故12301e x x x <<<<<，且有12321223e e ln ln x x x x x x x x ===，由1212e ln x x x x =，得12ln 12e e ln x x x x =，即()()12ln m x m x =，又20ln 1x <<，所以12ln x x =，由2323e ln x x x x =，得2233e lne ln x x x x =，即()()23e x n n x =，又2e e x >，所以23e x x =，由2222e ln x x x x =，得222231e ln x x x x x =⋅=，即2132x x x =，故()3312321,e x x x x =∈.【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于构造函数()()e (0),(1)ln x x m x x n x x x x=>=>，结合导数得到函数的单调性，从而得到31232x x x x =.。

河北省邯郸市2025届高三第一次调研考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a =(x,−1)，b =(2,1)，若(a−2b )//b ，则x = ( )A. −2B. −1C. 1D. 22.若z +1z−1=2i ，则z = ( )A. 45−35iB. 35−45iC. 35+45iD. 45+35i3.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 13S 9=269，则a 7a 5= ( )A. 3B. 2C. 43D. 234.已知正三棱台ABC−A′B′C′的体积为1423，若AB =2，A′B′=4，则该正三棱台的高为( )A. 263B. 14615 C. 14627D. 4335.已知sin (α−β)=13，tan α=3tan β，则sin (α+β)= ( )A. 16B. 13C. 12D. 236.在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A ，B ，C 三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A 场地的不同安排方法数为( )A. 32B. 24C. 18D. 127.已知函数f(x)=(x−1)2−sin x x 2+1，g(x)=ax +1(a ≠0)，若y =f(x)和y =g(x)图象存在3个交点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，(x 3,y 3)，则y 1+y 2+y 3= ( )A. 1B. 2C. 3D. 48.设双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线C 上，过点P 作两条渐近线的垂线，垂足分别为D ，E ，若PF 1⋅PF 2=0，且3|PD||PE|=S △PF 1F 2，则双曲线C 的离心率为( )A. 233B.2 C.3 D. 2二、多选题：本题共3小题，共18分。

邯郸市2022届高三年级摸底考试试卷化学本试卷共8页，满分100分，考试用时75分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Cl 35．5 Cr 52 一、单项选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．化学与生产生活密切相关，下列与化学有关的说法正确的是（）A．鲜花的香味来源于乙醇B．食品加工时往往添加抗氧化剂，与化学反应速率有关C．“嫦娥”系列卫星使用的碳纤维属于新型有机髙分子材料D．在酒化酶的作用下葡萄糖能水解为乙醇和二氧化碳2．下列化学用语的表述正确的是（）A．甘油的结构简式B．溴乙烷的键线式：C．四氯化碳的比例模型：D．三氟化硼的电子式：3．莽草酸酯是一种莽草的提取物，临床中可用于很多病症的治疗。

下列有关莽草酸甲酯的说法正确的是（）C H OA．属于芳香族化合物B．分子式为71052mol HC．能发生氧化、消去和取代反应D．1 mol该有机物最多消耗24．某学习小组从海带中提取碘单质并进行纯化。

下列实验装置和操作能达到目的的是（）A ．灼烧海带B ．用苯萃取碘水中的2IC ．从碘苯溶液中提取2ID ．精制单质碘5．白磷（4P ）通常是白色或黄色蜡状固体，几乎不溶于水，易溶于有机溶剂，可与热的浓碱反应，其反应的化学方程式为42223P 3NaOH 3H O 3NaH PO PH +++↑。

次磷酸钠（22NaH PO ）是一种正盐，水溶液呈碱性（设A N 为阿伏加德罗常数的值）。

下列有关说法正确的是（ ）A ．32H PO 是一元弱酸B ．生成31mol PH 时，有A 4P P N -键断裂C ．次磷酸钠的水溶液呈碱性的原因是22H PO -的水解大于22H PO -的电离D ．白磷与热的浓碱反应时，氧化剂和还原剂的物质的量之比为3∶16．某实验小组模拟海水淡化的同时制备2H 、2Cl 和NaOH 溶液，装置如图所示（两端为惰性电极，阳膜只允许阳离子通过，阴膜只允许阴离子通过）。