黑龙江省大庆市2017-2018学年高三上学期第一次质检数学文试卷 Word版含解析

2017-2018学年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i3．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，sinx≥1 B．∀x∈R，sinx≥1 C．∃x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx＞14．已知向量，满足+=（1，﹣3），﹣=（3，7），•=（）A．﹣12 B．﹣20 C．12 D．205．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．96 B．C． D．6．在区间[﹣5，4]上随机取一个数x，使不等式＞1成立的概率为（）A．B．C．D．7．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2 B．3 C．4 D．58．函数y=sin（2x﹣）在区间[﹣，π]的简图是（）A．B．C．D．9．已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣4 B．5 C．4 D．无最小值10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）=（）A．1 B．e+1 C．e+3 D．311．设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，）二、填空题13．已知圆C：（x﹣m+1）2+（y﹣m）2=1与两坐标轴都有公共点，则实数m的取值范围______．14．已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是______．15．已知f（x）=ln（x+﹣a），若对任意的m∈R，均存在x0＞0使得f（x0）=m，则实数a的取值范围是______．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=cosC，并且a=，则△ABC的面积为______．三、解答题17．已知数列{a n}满足a1=2，前n项和为S n，若S n=2（a n﹣1），（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（log2a n）2﹣（log2a n）2，若c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．+118．为了促进人口的均衡发展，我国从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开二孩政策．为了解适龄民众对放开生育二孩政策的态度，某部门选取70后和80后年龄段的人作为调查对象，进行了问卷调查．其中，持“支持生二孩”“不支持生二孩”和“保留意见”态度的人数如下表龄段有关？（2）在统计表中持“不支持生二孩”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人，并将其看成一（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P﹣ABF体积的4倍．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴相交于点M，过焦点F且斜率为1的直线与抛物线相交所得弦的中点的纵坐标为2．已知直线l：x=my+与抛物线C交于A，B两点，且=λ（1≤λ≤3）．（1）求抛物线C的方程；（2）求2+2的取值范围．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1处的切线的方程为3x ﹣y ﹣3=0，求实数a ，b 的值； （Ⅱ）若x=1是函数f （x ）的极值点，求实数a 的值；（Ⅲ）若﹣2≤a ＜0，对任意x 1，x 2∈（0，2]，不等式恒成立，求m 的最小值．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连续PB 交圆O 于点D ，若MC=BC ． （1）求证：△APM ∽△ABP ；（2）求证：四边形PMCD 是平行四边形．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（φ为参数，实数a ＞0），曲线C 2：（φ为参数，实数b ＞0）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C 1交于O 、A 两点，与C 2交于O 、B 两点．当α=0时，|OA |=1；当α=时，|OB |=2．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求2|OA |2+|OA |•|OB |的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，且f （x +2）≥1的解集A 满足[﹣1，1]⊆A ． （1）求实数m 的取值范围B ；（2）若a ，b ，c ∈（0，+∞），m 0为B 中的最小元素且++=m 0，求证：a +2b +3c ≥．2016年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．2．复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选C3．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，sinx≥1 B．∀x∈R，sinx≥1 C．∃x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx＞1 【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为∃x∈R，使得sinx＞1【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p：∀x∈R，sinx≤1，的否定是∃x∈R，使得sinx＞1故选：C4．已知向量，满足+=（1，﹣3），﹣=（3，7），•=（）A．﹣12 B．﹣20 C．12 D．20【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出两向量的坐标，代入数量积的坐标运算即可．【解答】解：∵=（4，4），∴，∴=（﹣1，﹣5）．∴=2×（﹣1）﹣2×5=﹣12．故选A．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．96B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的．【解答】解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为2．∴几何体的平面部分面积为6×42﹣π×22=96﹣4π．圆锥的侧面积为=4．∴几何体的表面积为96﹣4π+4． 故选：C ．6．在区间[﹣5，4]上随机取一个数x ，使不等式＞1成立的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式即可求得结果．【解答】解：不等式＞1可化为﹣1＞0，即＜0，解得﹣2＜x ＜1；又区间[﹣5，4]的长度为9，使得＞1成立的x 的范围是（﹣2，1），区间长度为3，由几何概型公式可得使得＞1成立的概率为P==．故选：D ．7．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出i，从而到结论．【解答】解：当输入的值为n=6时，n不满足上判断框中的条件，n=3，i=2，n不满足下判断框中的条件，n=3，n满足上判断框中的条件，n=4，i=3，n不满足下判断框中的条件，n=4，n不满足上判断框中的条件，n=2，i=4，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为i=4，故选C．8．函数y=sin（2x﹣）在区间[﹣，π]的简图是（）A．B．C．D．【考点】余弦函数的图象．【分析】由函数的解析式，根据当x=0时，y=﹣，排除B、D；再根据当x=时，y=0，排除C，从而得出结论．【解答】解：对于函数y=cos（2x﹣），由于当x=0时，y=sin（﹣）=﹣，故排除B、D．再根据当x=时，y=sin0=0，故排除C，故选：A．9．已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣4 B．5 C．4 D．无最小值【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y，则y=﹣x+平移此直线，由图象可知当直线y=﹣x+经过A时，直线在y轴的截距最小，得到z最小，由得到A（2，1），所以z=x+2y的最小值为2+2×1=4；故选C．10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）=（）A．1 B．e+1 C．e+3 D．3【考点】抽象函数及其应用．【分析】由函数为单调函数可知f（x）﹣e x为常数，不妨设f（x）=e x+c，于是f（c）=e+1，从而解出c，得出f（x）的解析式．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的单调函数，不妨设f（c）=e+1，∴f（x）﹣e x=c，即f（x）=e x+c．∴f（c）=e c+c=e+1．∴c=1．∴f（x）=e x+1．∴f（ln2）=e ln2+1=3．故选：D．11．设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可．【解答】解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1|+|MF2|=2a，|MF1|﹣|MF2|=2a，所以|MF1|=a+a1，|MF2|=a﹣a1．因为∠F1MF2=90°，所以，即，即，因为，所以．故选：B ．12．已知函数f （x ）=（b ∈R ）．若存在x ∈[，2]，使得f （x ）+xf ′（x ）＞0，则实数 b 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，）B ．（﹣∞，）C ．（﹣∞，3）D ．（﹣∞，）【考点】导数的运算．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数a 的取值范围．【解答】解：∵f （x ）=f （x ）=，x ＞0，∴f ′（x ）==，∴f （x ）+xf ′（x ）=﹣=，∵存在x ∈[，2]，使得f （x ）+xf ′（x ）＞0， ∴1+2x （x ﹣b ）＞0∴b ＜x +，设g （x ）=x +，∴b ＜g （x ）max ，∴g ′（x ）=1﹣=，当g ′（x ）=0时，解的x=，当g ′（x ）＞0时，即＜x ≤2时，函数单调递增，当g ′（x ）＜0时，即≤x ＜2时，函数单调递减，∴当x=2时，函数g （x ）取最大值，最大值为g （2）=2+=∴b ＜， 故选：B ．二、填空题13．已知圆C：（x﹣m+1）2+（y﹣m）2=1与两坐标轴都有公共点，则实数m的取值范围[0，1] ．【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标，根据圆心坐标，得到圆心到x，y轴的距离与半径的关系进行求解即可．【解答】解：由圆的标准方程得圆心坐标C（m﹣1，m），半径R=1，若圆C：（x﹣m+1）2+（y﹣m）2=1与两坐标轴都有公共点，则，即，即，则0≤m≤1，即实数m的取值范围是[0，1]，故答案为：[0，1]14．已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】画出图形，求出正三棱锥的底面边长，侧棱长以及斜高，然后求解正三棱锥的表面积．【解答】解：正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上．所以ABC的中心就是球心O，PO是球的半径，也是正三棱锥的高，则R=2，由题意可知：OA=OB=OC=2，底面三角形ABC的高为：3．则AB=3，AB=2，PA=3，则该正三棱锥的表面积是：×2×3+3××2×=3+3．故答案为：．15．已知f（x）=ln（x+﹣a），若对任意的m∈R，均存在x0＞0使得f（x0）=m，则实数a的取值范围是[4，+∞）．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】令t=x+﹣a，求出t的范围，于是函数y=lnt，根据对数函数的性质，求出a的范围即可．【解答】解：令t=x+﹣a，易知t∈[4﹣a，+∞）于是函数y=lnt，t≥4﹣a，显然当4﹣a≤0时便有t≥0恒成立，即a≥4，故答案为：[4，+∞）．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=cosC，并且a=，则△ABC的面积为．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由cosA的值和平方关系求出sinA，利用诱导公式、内角和定理得到sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简：sinB=cosC，利用同角三角函数间的基本关系列出方程组，求出sinC与cosC的值，由正弦定理求出c的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：∵cosA=，A为三角形的内角，∴sinA===，∵sinB=cosC，且sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=cosC，则cosC+sinC=cosC，即sinC﹣cosC=0，由得，sinC=，cosC=，∴sinB=cosC=，又a=，由正弦定理得，则c===，∴△ABC的面积S===，故答案为：．三、解答题17．已知数列{a n}满足a1=2，前n项和为S n，若S n=2（a n﹣1），（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（log2a n+1）2﹣（log2a n）2，若c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）由题意和当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1进行化简，得到数列的递推公式，由等比数列的定义判断出数列{a n}是等比数列，由等比数列的通项公式求出{a n}的通项公式；（2）由（1）和对数的运算化简b n=（log2a n+1）2﹣（log2a n）2，代入c n=a n b n化简后，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求T n．【解答】解：（1）∵S n=2（a n﹣1），∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2（a n﹣1）﹣2（a n﹣1﹣1）=2（a n﹣a n﹣1），则a n=2a n﹣1，又a1=2，则数列{a n}是以2为首项、公比的等比数列，∴=2n；（2）由（1）得，b n=（log2a n+1）2﹣（log2a n）2=（n+1）2﹣n2=2n+1，∴c n=a n b n=（2n+1）•2n，∴T n=3×2+5×22+…+（2n+1）×2n，①则2T n=3×22+5×23+…+（2n+1）×2n+1，②①﹣②得：﹣T n=6+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1=6+2×﹣（2n+1）•2n+1=（﹣2n+1）•2n+1﹣2，∴T n=（2n﹣1）•2n+1+2．18．为了促进人口的均衡发展，我国从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开二孩政策．为了解适龄民众对放开生育二孩政策的态度，某部门选取70后和80后年龄段的人作为调查对象，进行了问卷调查．其中，持“支持生二孩”“不支持生二孩”和“保留意见”态度的人数如下表龄段有关？（2）在统计表中持“不支持生二孩”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人，并将其看成一（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验．【分析】（1）根据统计表计算K2，对照数表即可得出结论；（2）求出用分层抽样方法抽取5人时，80后、70后应抽取的人数，用列举法计算基本事件数以及对应的概率．【解答】解：（1）根据统计表计算得，K2==≈133＞6.635，有99.9%的把握认为“支持生二孩”与“不支持生二孩”与年龄段有关．（2）在统计表中持“不支持生二孩”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人，则80后应抽取2人，记为A、B，70后应抽取3人，记为c、d、e，从这5人中任意选取2人，基本事件数为AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种；至少有1个80后的基本事件是AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be共8种，故所求的概率为P==．19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P﹣ABF体积的4倍．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）利用体积公式，即可求正四棱锥P﹣ABCD的高．【解答】（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（Ⅱ）P到平面ABCD的距离d=1所以：而：，所以h=2…．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴相交于点M，过焦点F且斜率为1的直线与抛物线相交所得弦的中点的纵坐标为2．已知直线l：x=my+与抛物线C交于A，B两点，且=λ（1≤λ≤3）．（1）求抛物线C的方程；（2）求2+2的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，利用点差法能求出抛物线C的方程．（2）求出F（1，0），M（﹣1，0），联立方程组，得y2﹣4my﹣4=0，由此利用韦达定理、向量知识、抛物线性质，结合已知条件能求出2+2的取值范围．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式作差，得=2p（x1﹣x2），∴=，依题意，当m=1，即k AB=1时，线段AB的中点的纵坐标为2，∴=k AB==，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）由（1）知F（1，0），M（﹣1，0），联立方程组，消去x，得y2﹣4my﹣4=0，∴，且，又=，（1≤λ≤3），则（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），即y1=﹣λy2，代入①②，得消去y2，得﹣2，∵1≤λ≤3，∴2，则0≤m2，又M（﹣1，0），则=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），则=（x1+1）2+=（my1+1）2+（my2+1）2+2（my1+my2+2）+2+=（m2+1）（）+4m（y1+y2）+8=16m4+40m2+16，而当0时，16，∴2+2的取值范围是[16，]．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅲ）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈（0，2]，不等式恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，根据f′（1）=3，求出a，代入f（x）求出b即可；（Ⅱ）根据x=1是极值点求出a，检验即可；（Ⅲ）问题可化为，设，根据函数的单调性求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，…∵曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0，∴1﹣a=3，f（1）=0，∴a=﹣2，，∴a=﹣2，．…（Ⅱ）∵x=1是函数f（x）的极值点，∴f′（1）=1﹣a=0，∴a=1；…当a=1时，，定义域为（0，+∞），，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以，a=1．…（Ⅲ）因为﹣2≤a＜0，0＜x≤2，所以，故函数f（x）在（0，2]上单调递增，不妨设0＜x1≤x2≤2，则，可化为，…设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为（0，2]上的减函数，即在（0，2]上恒成立，等价于x3﹣ax﹣m≤0在（0，2]上恒成立，即m≥x3﹣ax在（0，2]上恒成立，又﹣2≤a＜0，所以ax≥﹣2x，所以x3﹣ax≤x3+2x，而函数y=x3+2x在（0，2]上是增函数，所以x3+2x≤12（当且仅当a=﹣2，x=2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NA•NB，进而=，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP（II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O 的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD 是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NA•NB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），利用cos2φ+sin2φ=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值．同理可得b的值．（II ）由（I ）可得C 1，C 2的方程分别为ρ=cos θ，ρ=2sin θ．可得2|OA |2+|OA |•|OB |=2cos 2θ+2sin θcos θ=+1，利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C 1：（φ为参数，实数a ＞0），化为普通方程为（x ﹣a ）2+y 2=a 2，展开为：x 2+y 2﹣2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2a ρcos θ，即ρ=2acos θ，由题意可得当θ=0时，|OA |=ρ=1，∴a=．曲线C 2：（φ为参数，实数b ＞0），化为普通方程为x 2+（y ﹣b ）2=b 2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsin θ，由题意可得当时，|OB |=ρ=2，∴b=1．（Ⅱ）由（I ）可得C 1，C 2的方程分别为ρ=cos θ，ρ=2sin θ．∴2|OA |2+|OA |•|OB |=2cos 2θ+2sin θcos θ=sin2θ+cos2θ+1=+1，∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1，当2θ+=时，θ=时取到最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，且f （x +2）≥1的解集A 满足[﹣1，1]⊆A ． （1）求实数m 的取值范围B ；（2）若a ，b ，c ∈（0，+∞），m 0为B 中的最小元素且++=m 0，求证：a +2b +3c ≥．【考点】其他不等式的解法；元素与集合关系的判断． 【分析】（1）因为f （x ）=m ﹣|x ﹣2|，所以f （x +2）≥1等价于|x |≤m ﹣1，解此不等式，结合[﹣1，1]⊆A 知A 是非空集合，得到端点的不等式得到m 范围；（2）由（1）知m 0=2，所以，即，利用乘1法，将要证不等式左边变形为满足基本不等式的形式． 【解答】解：（1）因为f （x ）=m ﹣|x ﹣2|，所以f （x +2）≥1等价于|x |≤m ﹣1， 由[﹣1，1]⊆A 知A 是非空集合，所以 1﹣m ≤x ≤m ﹣1， 结合[﹣1，1]⊆A 可得m ﹣1≥1⇒m ≥2， 即实数m 的取值范围是B=[2，+∞）．（2）由（1）知m 0=2，所以，∴．2016年10月5日。

黑龙江省大庆市2018届高三上学期理数第一次教学质量检测试题一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）设集合A={−1,0,1,2,3}，B={x||x|≤2}，则A∩B=的值为（）A．{−1,0,1,2}B．{−2,−1,0,1,2}C．{0,1,2}D．{1,2}2．（2分）已知复数z=2−i1+i，则在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2分）若x,y满足{y≤1x+y≥1y≥x−1，则2x+y的最大值为（）A．2B．5C．6D．74．（2分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（）A．2B．4C．8D．125．（2分）执行如图所示的程序语句，则输出的s的值为（）A．√22B．1C．√22+1D．√2+16．（2分）已知命题p:直线l1:ax+y+1=0与l2:x+ay+1=0平行；命题q:直线l:x+ y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为√2，则命题p是q（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既充分也不必要条件7．（2分）数列{a n}为正项递增等比数列，满足a2+a4=10，a32=16，则log√2a1+log√2a2+⋯+log√2a10等于（）A．-45B．45C．-90D．908．（2分）若e1⇀,e2⇀是夹角为60∘的两个单位向量，则向量a⇀=e1⇀+e2⇀，b⇀=−e1⇀+2e2⇀的夹角为（）A．30∘B．60∘C．90∘D．120∘9．（2分）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(1，√3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，则双曲线的方程为（）A．x24−y212=1B．x212−y24=1C．x24−y220=1D．x220−y24=110．（2分）已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ∈[0,+∞) 时， f ′(x)<0 .若 a =−f(ln 12) ， b =f(ln(1e −1e2)),c =f(e 0.1), 则 a,b,c 的大小关系为（ ）A ．b <a <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．a <c <b11．（2分）函数 f(x)=2sin(ωx +ϕ) 的图象过点 (π9，2) ，相邻两个对称中心的距离是 π3 ，则下列说法不正确的是（ ） A ．f(x) 的最小正周期为 2π3B ．f(x) 的一条对称轴为 x =4π9C ．f(x) 的图像向左平移 π9 个单位所得图像关于 y 轴对称 D ．f(x) 在 [−π9，π9] 上是减函数12．（2分）已知函数 f(x)={x 2+1，−2≤x ≤1|x +1x −4|，1<x ≤5，若关于 x 的方程 f(x)−ax =0 有两个解，则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(0，625]∪[−52，−2)B ．(0，625)∪[−52，−2] C ．(−∞，−52)∪[625，+∞)∪{0，−2}D ．(−∞，−52)∪[625，+∞) 二、填空题 (共4题；共8分)13．（2分）∫(2x −1)dx =30 ．14．（2分）一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球 O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记球 O 的体积为 V 1 ，圆柱内除了球之外的几何体体积记为 V 2 ，则 V1V 2的值为 ．15．（2分）若 f(x)=e x lna +e −x lnb 为奇函数，则1a +2b的最小值为 ． 16．（2分）已知抛物线 C:y 2=4x ，过其焦点 F 作一条斜率大于0的直线 l ， l 与抛物线交于M,N 两点，且 |MF|=3|NF| ，则直线 l 的斜率为 ．三、解答题 (共7题；共75分)17．（10分）设函数 y =f(x) 的图象由 y =sin2x +1 的图象向左平移 π12 个单位得到.（1）（5分）求 f(x) 的最小正周期及单调递增区间：（2）（5分）在 ΔABC 中， a,b,c ，6分别是角 A,B,C 的对边，且 f(A)=2 , b =1 , s ΔABC =√3 ,求 a 的值.18．（10分）已知数列 {a n } 的前 n 项和为 s n ，点 (n,s n ) 在曲线 y =12x 2+52x ，上数列 {b n }满足b n +b n+2=2b n+1 ， b 4=11 ， {b n } 的前5项和为45． （1）（5分）求 {a n } ， {b n } 的通项公式；（2）（5分）设 C n =1(2a n −3)(2b n−8) ，数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ，求使不等式 T n >k 54恒成立的最大正整数 k 的值．19．（10分）已知四棱锥 P −ABCD 的底面 ABCD 为正方形， PA ⊥ 上面 ABCD 且 PA =AB =2 ． E 为 PA 的中点．（1）（5分）求证： PC// 面 BDE ；（2）（5分）求直线 DE 与平面 PBC 所成角的余弦值.20．（10分）已知椭圆 C:x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0) ，其焦距为2，离心率为 √22（1）（5分）求椭圆 C 的方程；（2）（5分）设椭圆的右焦点为 F ， K 为 x 轴上一点，满足 OK⇀=2OF ⇀ ，过点 K 作斜率不为0的直线 l 交椭圆于 P,Q 两点，求 ΔFPQ 面积 s 的最大值.21．（15分）已知函数 f(x)=1−ax +lnx（1）（5分）若不等式 f(x)≤0 恒成立，则实数 a 的取值范围；（2）（5分）在（1）中， a 取最小值时，设函数 g(x)=x(1−f(x))−k(x +2)+2 .若函数g(x) 在区间 [12，8] 上恰有两个零点，求实数 k 的取值范围；（3）（5分）证明不等式： 2ln(2×3×4×⋯×n)>n 2−2n+1n（ n ∈N ∗ 且 n ≥2 ）.22．（10分）在平面直角坐标系 xoy 中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C1：x2+y2=1，直线l：ρ(cosθ−sinθ)=4.（1）（5分）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、√3倍后得到曲线C2，请写出直线l，和曲线C2的直角坐标方程；（2）（5分）若直线l1经过点P(1，2)且l1//l，l1与曲线C2交于点M，N，求|PM|•|PN|的值.23．（10分）已知a,b是任意非零实数．（1）（5分）求|3a+2b|+|3a−2b||a|的最小值（2）（5分）若不等式|3a+2b|+|3a−2b|≥|a|(|2+x|+|2−x|)恒成立，求实数x取值范圈.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由B={x||x|≤2}得B={x|−2≤x≤2}，结合A={−1,0,1,2,3}可得A∩B={−1,0,1,2}，故答案为：A.【分析】首先结合绝对值不等式的解法求出集合B再结合交集的运算性质即可得出结果。

2017-2018学年度上学期第一次阶段检测高三数学试题（理科）一．选择题：（每小题5分，共60分）1．设全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{2,3,4,6}，N ＝{1,4,5}，则(∁U M )∩N 等于( )A ． {1,2,4,5,7}B ．{1,4,5}C ．{1,5}D ．{1,4} 2．下列有关命题的说法错误．．的是（ ） A ．命题“若210x -= ， 则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠ 则210x -≠” B ．“1x = ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题R :∈∃x p 使得210x x ++<，则R :∈∀⌝x p 均有210x x ++…3． 下列函数中，在区间（-1，1）上为减函数的是（ ）A ．11y x=- B ．2xy -= C ．()ln 1y x =+ D ． cos y x = 4．已知点P 在角43π的终边上，且4OP =,则P 点的坐标为 ( )A.(B. 1-,- 22⎛ ⎝⎭C.()D．1-,- 22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5.已知a ＞0，b ＞0且ab=1，则函数f （x ）=a x与函数g （x ）=﹣log b x 的图象可能是（ ）6.设0.3log 4a =，0.3log 0.2b =，1c e π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A. a b c >>B. b c a >>C. b a c >>D. c b a >> 7.已知偶函数()f x 满足()10f -=，且在区间[)0,+ ∞上为减函数，不等式()2log 0f x >的解集为( )A ．()-1,1B ．()()-,-1 1, ∞⋃+∞C ． 1,2 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D . ()10,2, 2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭8.已知函数()()()3sin 0f x x ωϕω=+>，若33f π⎛⎫=⎪⎝⎭，012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为（ ）A.2B.4C. 6D.89.为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x ＋1的图象，可以将函数y ＝2sin 3x 的图象 ( )A .向右平移π12个单位，向下平移1个单位B.向左平移π12个单位，向下平移1个单位C .向右平移π12个单位，向上平移1个单位D.向左平移π12个单位，向上平移1个单位10. 已知()f x ()()=sin 0,0A x A ωϕω+>>的一段图象如下，则()f x 的解析式为（ ） A ．()4=2sin 23f x x π⎛⎫+⎪⎝⎭ B ．()=2sin 23f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()=2sin 23f x x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．()=2sin 26f x x π⎛⎫-⎪⎝⎭11.如图是函数()2f x x ax b =++的部分图象，则函数()()ln g x x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11(,)42 B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)12．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1} 二．填空题：（每小题5分，共20分） 13．31cos 6π=________14.11sin )x dx -=⎰_____________.15.定义在()0,+ ∞上的函数()f x 满足 ()()22f x f x =，当[)1,2x ∈时，()2f x x =，则()10f = ________16．已知()1x f x e =-，又()()()()2g x fx tf x t R =-∈，若满足()1g x =-的x 有三个，则t 的取值范围是____________________三．解答题：（共70分）17．（10分）已知 ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 5α= （1）求sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）求5cos 26πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值。

黑龙江省大庆市数学高三上学期文数第一次教学质量诊断性考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2015高三上·保定期末) 集合A={x|（1+x）（1﹣x）＞0}，B={x|y= }，则A∩B=（）A . （﹣1，1）B . （0，1）C . [0，1）D . （﹣1，0]2. （1分） (2018高二下·湛江期中) 命题“对任意的”的否定是（）A . 不存在B . 存在C . 存在D . 对任意的3. （1分）下列各式比较大小正确的是（）A . 1.72.5＞1.73B . 0.6﹣1＞0.62C . 1.70.3＜0.93.1D . 0.8﹣0.1＞1.250.24. （1分）函数y=tan（3x+1）的最小正周期是（）A .B .D . π5. （1分）函数y = 1n|x－1|的图像与函数y=-2 cos x（-2≤x≤4）的图像所有交点的横坐标之和等于（）A . 8B . 6C . 4D . 26. （1分）“a=”是“直线l1：（a+2）x+（a﹣2）y=1与直线l2：（a﹣2）x+（3a﹣4）y=2相互垂直”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （1分）若loga=c， (a＞0，且a≠1，b＞0)，则有（）A . b=a7cB . b7=acC . b=7acD . b=c7a8. （1分）已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（）A .C .D .9. （1分）已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中的最大的面积是（）A . 3B .C . 6D . 810. （1分） (2015高三上·廊坊期末) 已知α的终边过点P（2，﹣1），则cosα的值为（）A . ﹣B . ﹣C .D .11. （1分）已知函数的最大值是4, 最小值是0, 最小正周期是, 直线是其图象的一条对称轴, 则下面各式中符合条件的解析式是（）A .B .C .D .12. （1分）函数的最大值为（）A .B . eC .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·沙湾期中) 若3x=4y=36，则 =________．14. （1分）三角形一边长为，它对的角为，另两边之比为，则此三角形面积为________ ．15. （1分） (2016高一上·佛山期中) f（x）= ，f（f（））=________．16. （1分） (2018高二下·衡阳期末) 已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，AB⊥CD，若四面体ABCD 体积的最大值为9，则球O的表面积为________．三、解答题 (共7题；共14分)17. （2分） (2017高一下·肇庆期末) 函数（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）记△A BC内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求sin B的值．18. （2分）(2019·怀化模拟) 设函数 .（1）若是的极大值点，求的取值范围；（2）当，时，方程（其中）有唯一实数解，求的值.19. （2分）已知角α的终边上一点P（4a，﹣6a）（a≠0），求sinα，cosα，tanα的值．20. （2分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，BC=CC1=4，D是A1C1中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1CD；（Ⅱ）当三棱锥C﹣B1C1D体积最大时，求点B到平面B1CD的距离．21. （2分） (2015高三上·青岛期末) 已知函数f（x）=alnx+x2+bx（a为实常数）．（1）若a=﹣2，b=﹣3，求f（x）的单调区间；（2）若b=0，且a＞﹣2e2，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）设b=0，若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．22. （2分）(2018·南宁模拟) 已知直线（为参数），圆（为参数）.（1）当时，求与的交点坐标；（2）过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点，当变化时，求点的轨迹方程，并指出它是什么曲线.23. （2分）(2017·南昌模拟) [选修4-5：不等式选讲]设f（x）=|ax﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[﹣6，2]，求实数a的值；（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共14分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。

大庆中学2017—2018上学年第一次质量检测（文）数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|32,A x x n n N ==+∈，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B 中的元素个数为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．22.椭圆221168x y +=的离心率为（ ）A ．13B ．12C D 3.已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A ．310B ．15C ．110D ．1205.已知θ为锐角，且cos()12πθ+=5cos()12πθ-=（ ）A B ．12 C D ．6.一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于（ ）A ．2B ．3+C ．4D ．67.下列命题中正确的是（ ）A ．“若0ab =，则0a =或0b =”的逆命题；B ．“若220x y +≠，则x ，y 不全为零”的否命题； C ．“x R ∃∈，使213x x +>”的否定；D ．“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题.8.已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A ．172B ．192C ．10D ．129.函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈D ． 13(2,2),44k k k Z -+∈10.已知两条直线m 、n ，两个平面α、β，给出下面四个命题： ①//m n ，m α⊥n α⇒⊥； ②//αβ，m α⊂，n β⊂//m n ⇒； ③//m n ，//m α//n α⇒； ④//αβ，//m n ，m α⊥n β⇒⊥.其中正确命题的序号是（ ） A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③11.已知点1F 是抛物线C ：24x y =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的焦点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A B 1 C 1D 12.设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.数列{}n a 中12a =，12n n a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = ．14.如图是一个算法流程图，则输出的k 的值 ．15.若x ，y 满足约束条件20,210,220,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩则3z x y =+的最大值为 ．16.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （1）若a b =，求cos B ； （2）若90B =︒，且a =ABC ∆的面积.18.某商场对甲、乙两种品牌的商品进行为期100天的营销活动，为调查者100天的日销售情况，随机抽取了10天的日销售量（单位：件）作为样本，样本数据的茎叶图如图，若日销量不低于50件，则称当日为“畅销日”.（1）现从甲品牌日销量大于40且小于60的样本中任取两天，求这两天都是“畅销日”的概率；（2）用抽取的样本估计这100天的销售情况，请完成这两种品牌100天销量的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数有关．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且2AB =，60BAD ∠=︒． （1）求证：//OM 平面PAB ； （2）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（3）当三棱锥M BCD -的体积等于4时，求PB 的长． 20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,0)，且椭圆C 的离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）若动点P 在直线1x =-上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l MN ⊥，求直线l 是否恒过定点，若是，则求出该定点的坐标；不是请说明理由． 21.已知函数()ln (1)f x x a x =+-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围． 22.选修4-4：坐标系与参数方程选讲以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 是参数，0απ≤<），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）当4πα=时，曲线1C 和2C 相交于M 、N 两点，求以线段MN 为直径的圆的直角坐标方程.大庆中学2017—2018上学年第一次质量检测（文）数学参考答案一、选择题1-5:DDCCC 6-10:BDBDC 11、12：CA二、填空题13.6 14.17 15.4 16.3π 三、解答题17.解：（1）由题设及正弦定理可得22b ac =，又a b =，可得2221cos 24a cb B ac +-==. （2）由（1）知22b ac =，因为90B =︒，由勾股定理得222a cb +=，故222a c ac +=，得a c ==. 所以ABC ∆的面积为1.18.解：（1）由题意知，甲品牌日销量大于40且小于60的样本中畅销日有三天，分别记为1a ，2a ，3a ，非畅销日有三天，分别记为1b ，2b ，3b .从中任取2天的所有结果有：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}13,a b ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}23,a b ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}33,a b ，{}12,b b ，{}13,b b ，{}23,b b 共15个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.其中两天都是畅销日的结果有：{}12,a a ，{}13,a a ，{}23,a a 共3个， 所以两天都是畅销日的概率31155P ==. （2）22200(50703050)25 6.635801*********K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数有关.19.证明：（1）∵在PBD ∆中，O 、M 分别是BD 、PD 的中点， ∴OM 是PBD ∆的中位线，∴//OM PB ， ∵OM ⊄平面PBD ，PB ⊂面PBD , ∴//OM 面PBD .（2）∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，∵AC ⊂面PAC ，PA ⊂面PAC ，AC PA A =， ∴BD ⊥平面PAC ， ∵BD ⊂平面PBD ， ∴平面PBD ⊥平面PAC .解：（3）因为底面ABCD 是菱形，M 是PD 的中点，所以1124M BCD M ABCD P ABCD V V V ---==，从而P ABCD V -又2AB =，60BAD ∠=︒，所以ABCD S = ∵四棱锥P ABCD -的高为PA ，∴13PA ⨯=32PA =， ∵PA ⊥面ABCD ，AB ⊂平面ABCD , ∴PA AB ⊥.在Rt PAB ∆中，52PB ===.20.解：（1）因为点(2,0)在椭圆C 上，所以22401a b+=，所以24a =， 因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，即22214a b a -=， 解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）设0(1,)P y -，033(,)22y ∈-，①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x -=+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由2203412,(1),x y y y k x ⎧+=⎨-=+⎩得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=， 所以201228834ky k x x k ++=-+，因为P 为MN 中点，所以1212x x +=-， 即20288234ky k k+-=-+， 所以003(0)4MN k y y =≠， 因为直线l MN ⊥，所以043l y k =-， 所以直线l 的方程为004(1)3y y y x -=-+，即041()34y y x =-+，显然直线l 恒过定点1(,0)4-.②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-， 此时直线l 为x 轴，也过点1(,0)4-. 综上所述直线l 恒过定点1(,0)4-. 21.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1'()f x a x=-. 若0a ≤，则'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；若0a >，则当1(0,)x a ∈时，'()0f x >；当1(,)x a ∈+∞时，'()0f x <，所以()f x 在1(0,)a单调递增，在1(,)a+∞单调递减.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞无最大值；当0a >时，()f x 在1x a=取得最大值，最大值为111()ln(1)ln 1f a a a a a a=+-=-+-. 因此1()22f a a>-等价于ln 10a a +-<，令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在(0,)+∞单调递增，(1)0g =. 于是，当01a <<时，()0g a <；当1a >时，()0g a >，因此，a 的取值范围是(0,1).22.解：（1）对于曲线1C 消去参数t 得： 当2πα≠时，1C ：1tan (2)y x α-=-；当2πα=时，1C ：2x =.对于曲线2C ：222cos 2ρρθ+=，2222x y x ++=，则2C ：2212y x +=. （2）当4πα=时，曲线1C 的方程为10x y --=，联立1C ，2C 的方程消去y ，得222(1)20x x +--=，即23210x x --=，||MN ===3=， 圆心为1212(,)22x x y y ++，即12(,)33-，从而所求圆方程为22128()()339x y -++=.。

2016-2017学年黑龙江省大庆中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．在复平面内，复数对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合M={x|x 2＜4}，N={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，则集合M ∩N 等于（ ） A ．{x|x ＜﹣2} B ．{x|x ＞3} C ．{x|﹣1＜x ＜2} D ．{x|2＜x ＜3}3．已知函数f （x ）=sin （2x ﹣），若存在a ∈（0，π），使得f （x+a ）=f （x+3a ）恒成立，则a=（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数的定义域为（ ）A ．（﹣4，﹣1）B ．（﹣4，1）C ．（﹣1，1）D ．（﹣1，1]5．下列说法正确的是（ ）A ．“a＞1”是“f（x ）=log a x （a ＞0，a ≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件B ．命题“∃x ∈R 使得x 2+2x+3＜0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+2x+3＞0” C ．“x=﹣1”是“x 2+2x+3=0”的必要不充分条件D ．命题p ：“∀x ∈R ，sinx+cosx ≤”，则￢p 是真命题6．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）m 3．A ．B ．C ．D ．7．阅读如图的程序框图，若输出的S 的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）A．i＞5 B．i＜6 C．i＜7 D．i＞88．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．179．对于函数f（x）=sin2x+sin2x（x∈R）有以下几种说法：（1）（，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；（2）函数f（x）的最小正周期是2π；（3）函数f（x）在上单调递增．（4）y=f（x）的一条对称轴：其中说法正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．310．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（）A．y=0.7x+5.25 B．y=﹣0.6x+5.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.2511．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．212．函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f （x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}二、填空题（共有4个小题，每个小题五分）13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是．14．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）15．设为单位向量，的夹角为60°，则的最大值为．16．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM，交y轴于点P，切圆于点M，若，则双曲线的离心率是．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．18．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．20．设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M 是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．选修题22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016-2017学年黑龙江省大庆中学高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．在复平面内，复数对应的点位于复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，同时i的幂运算，得到复数对应的点的坐标即可．【解答】解：复数===1+i．复数对应的点为（1，1）在第一象限．故选A．2．已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合M∩N等于（）A．{x|x＜﹣2} B．{x|x＞3} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】先化简两个集合，再由交集的定义求交集，然后比对四个选项，选出正确选项来【解答】解：由题意集合M={x|x2＜4}═{x|﹣2＜x＜2}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜2}故选C3．已知函数f（x）=sin（2x﹣），若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立，则a=（）A．B．C．D．【考点】三角函数的周期性及其求法；函数恒成立问题．【分析】首先求出f（x+a）和f（x+3a），然后根据正弦的周期性求出a的值．【解答】解：f（x+a）=sin（2x+2a﹣）f（x+3a）=sin（2x+6a﹣）因为f（x+a）=f（x+3a），且a∈（0，π）所以2x+2a﹣+2π=2x+6a﹣∴a=即存在a=使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立．故选D．4．函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【分析】由题意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函数的定义域．【解答】解：由题意知，函数的定义域为，解得﹣1＜x＜1，故选C．5．下列说法正确的是（）A．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件B．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．利用充要条件的定义和函数的性质判断．B．利用特称命题的否定是全称命题来判断．C．利用充分条件和必要条件的定义进行判断．D．利用命题p与￢p真假关系进行判断．【解答】解：根据对数函数的性质可知，“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”，则a＞1，所以A正确．特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，所以B错误．因为x2+2x+3=0的判断式△＜0，所以方程无解，所以“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”即不充分也不必要条件，所以C错误．因为命题p为真命题，所以￢p是假命题，所以D错误．故选：A．6．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）m3．A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个形状为正方体一半的三棱柱构成，即体积为3.5个小正方体体积．【解答】解：由三视图可知该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个形状为正方体一半的三棱柱构成，即体积为3.5个小正方体体积．即V=7．阅读如图的程序框图，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＞5 B．i＜6 C．i＜7 D．i＞8【考点】循环结构；程序框图．【分析】S=2，i=2，不满足条件，执行循环；依此类推，当S=16，i=6，满足条件，退出循环体，输出S=16，从而得到判定框中应填．【解答】解：S=1+1=2，i=2，不满足条件，执行循环；S=2+2=4，i=3，不满足条件，执行循环；S=4+3=7，i=4，不满足条件，执行循环；S=7+4=11，i=5，不满足条件，执行循环；S=11+5=16，i=6，满足条件，退出循环体，输出S=16故判定框中应填i＞5或i≥6故选：A8．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．17【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．【解答】解：作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．故选：B．9．对于函数f（x）=sin2x+sin2x（x∈R）有以下几种说法：（1）（，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；（2）函数f（x）的最小正周期是2π；（3）函数f（x）在上单调递增．（4）y=f（x）的一条对称轴：其中说法正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】函数f（x）=sin2x+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+，分析函数的对称性，周期性和单调性，可得结论．【解答】解：函数f（x）=sin2x+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+，当x=时，sin（2x﹣）=0，故（，）是函数f（x）的图象的一个对称中心，故（1）错误；函数f（x）的最小正周期是π，故（2）错误；由2x﹣∈，k∈Z得：x∈，k∈Z当k=0时，是函数f（x）的一个单调递增区间，故（3）正确．当时，sin（2x﹣）=1．故y=f（x）的一条对称轴，故（4）正确．故选：C10．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（）A．y=0.7x+5.25 B．y=﹣0.6x+5.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.25【考点】回归分析的初步应用．【分析】先求样本中心点，利用线性回归方程一定过样本中心点，代入验证，可得结论．【解答】解：先求样本中心点，，由于线性回归方程一定过样本中心点，代入验证可知y=﹣0.7x+5.25，满足题意故选D．11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】直线的倾斜角；抛物线的简单性质．【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合，求出A、B 的坐标，然后求其比值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，，又，可得，则，故选C．12．函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f （x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}【考点】函数单调性的性质；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x•f（x）﹣e x，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g （0）=1，可得不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．【解答】解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选A二、填空题（共有4个小题，每个小题五分）13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54 ．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】由茎叶图得到甲乙运动员的得分数据，由小到大排列后得到两组数据的中位数，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和可求．【解答】解：由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：17，22，28，34，35，36．由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：12，16，21，23，29，31，32．由此可得甲运动员得分数据的中位数是．乙运动员得分数据的中位数是23．所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54．故答案为54．14．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是②③④（填序号）【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④15．设为单位向量，的夹角为60°，则的最大值为1+．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意， =（1，0），=（，），=（cosα，sinα），利用三角恒等变换和平面向量的数量积，即可求出最大值．【解答】解：由题意||=||=||=1，、的夹角θ=60°，设=（1，0），=（，），=（cosα，sinα），∴（++）•=•+•+c2=cosα+cosα+sinα+1=cosα+sinα+1=sin（α+）+1≤+1；∴当α=2kπ+，k∈Z，时取得最大值1+．故答案为：．16．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM，交y轴于点P，切圆于点M，若，则双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据向量加法法则，得到OM是△POF中PF边上的中线．由PF与圆x2+y2=a2相切得到OM⊥PF，从而可得△POF是等腰直角三角形，∠MFO=45°．最后在Rt△OMF利用三角函数的定义算出=，可得双曲线的离心率大小．【解答】解：∵，∴△POF中，OM是PF边上的中线．∵PF与圆x2+y2=a2相切，∴OM⊥PF，由此可得△POF中，PO=FO，∠MFO=45°，又∵Rt△OMF中，OM=a，OF=c，∴sin∠MFO=，即=．因此，双曲线的离心率e=．故答案为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】（1）根据频数=频率×样本容量，频率=对应矩形面积，构造关于n的方程，解方程可得该组织的人数；（2）先计算出第3，4，5组中每组的人数，进而根据比例，可得到应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者；（3）选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（1）由题意：第2组的人数：35=5×0.07•n，得到：n=100，故该组织有100人．…（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．∵第3，4，5组共有60名志愿者，∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：．∴应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．…（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1B2，第5组的1名志愿者为C1．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种．其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3，至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种，则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为．…18．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n﹣1=b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n===6（n+1）•2n，∴T n=6①，∴2T n=6②，①﹣②可得﹣T n=6=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，证明平面CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB；（II）证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD．【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，∵ME⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴ME∥平面PAB．∵AD∥BC，BC=AE，∴ABCE是平行四边形，∴CE∥AB．∵CE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CE∥平面PAB．∵ME∩CE=E，∴平面CME∥平面PAB，∵CM⊂平面CME，∴CM∥平面PAB；（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，由（I）及BC=CD=AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，∵PA∩AB=A，∴BD⊥平面PAB，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAB⊥平面PBD．20．设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出g（x）=f′（x）的解析式，然后求函数的导数g′（x），利用函数单调性和导数之间的关系即可求g（x）的单调区间；（Ⅱ）分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，∴g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+2a，x＞0，g′（x）=﹣2a=，当a≤0，g′（x）＞0恒成立，即可g（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0，当x＞时，g′（x）＜0，函数为减函数，当0＜x＜，g′（x）＞0，函数为增函数，∴当a≤0时，g（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0时，g（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=0，①当a≤0时，f′（x）单调递增，则当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x=1处取得极小值，不合题意，②当0＜a＜时，＞1，由（1）知，f′（x）在（0，）内单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增，即f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．③当a=时， =1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则当x＞0时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．④当a＞时，0＜＜1，当＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=1时，f（x）取得极大值，满足条件．综上实数a的取值范围是a＞．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M 是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程；（Ⅱ）（ⅰ）设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果（ⅱ）求出直线PM，QM的方程，然后求解B，A坐标，利用AB的斜率求解最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．可得a=2，c=，b=，可得椭圆C的方程：；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（﹣t，0）t＞0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，﹣2m），（ⅰ）证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，k==，k′==﹣，==﹣3．为定值；（ⅱ）由题意可得，m2=4﹣t2，QM的方程为：y=﹣3kx+m，PN的方程为：y=kx+m，联立，可得：x2+2（kx+m）2=4，即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0可得x A=，y A=+m，同理解得x B=，y B=，x A﹣x B=k﹣=，y A﹣y B=k+m﹣（）=，k AB===，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，所以6k+，当且仅当k=时取等号．此时，即m=，符合题意．所以，直线AB的斜率的最小值为：．选修题22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1： +y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．2017年2月23日。

2017-2018学年黑龙江省大庆中学高三上学期期中考试理数一、选择题：共12题1．已知全集,集合,则A. B.C. D.【答案】C【解析】本题主要考查集合的基本运算、指数函数的性质.或,则2．已知复数(i是虚数单位),它的实部和虚部的和是A.4B.6C.2D.3【答案】C【解析】,故实部与虚部的和是=2.3．二项式的展开式中常数项是A.28B.-7C.7D.-28【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理.通项,令,得r=6,展开式中常数项是.4．“”是“函数是偶函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】B【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、三角函数的性质.当时,==是偶函数;令,则=是偶函数,所以必要性不成立,故答案为B.5．一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的侧视图的面积为A. B.8 C. D.12【答案】A【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积,考查了空间想象能力.设正三棱柱的底面边长为a,高为h,由侧视图可知,,则a=4,因为棱柱的体积为,所以,所以h=3,则该三棱柱的侧视图的面积为6．执行如图所示的程序框图,输出的是A.10B.15C.20D.35【答案】D【解析】本题主要考查当型循环结构程序框图.运行程序:i=1,P=0,S=0;P=1,S=1,i=2;P=3,S=4,i=3;P=6,S=10,i=4;P=10,S=20,i=5;P=15,S=35,i=6,此时条件不成立,循环结束,输出S=357．已知是等差数列的前项和,若,则等于A.18B.36C.72D.无法确定【答案】B【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与前项和公式,考查了计算能力.由题意可得=,则,所以.8．已知函数,若函数有三个不同的零点,则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查函数与方程,考查了数形结合思想.作出函数的图象,如图所示,因为有三个不同的零点,所以有三个不同的交点,因此观察图象可知,实数的取值范围为.9．已知直线与圆相交于两点,且,则的值是A. B. C. D.0【答案】A【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、平面向量的数量积,考查了转化思想与逻辑推理能力.因为,且圆的半径为1,所以,则10．已知P是△ABC所在平面内一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P一定在A.△ABC的内部B.AC边所在的直线上C.AB边所在的直线上D.BC边所在的直线上【答案】B【解析】本题主要考查向量的减法运算以及共线向量.据题意,=λ+⇔-=λ⇔=λ,∴点P在AC边所在的直线上,故选B.11．定义行列式运算,将函数的图象向左平移个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查新定义问题、三角函数的图象与性质,考查了转化思想与逻辑推理能力.由题意可得,则平移后所得图象对应函数的解析式,是偶函数,所以,由题意可知,当k=1时,t 取得最小值为12．在平面直角坐标系中,双曲线的右焦点为,一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点,若的面积为,则直线的斜率为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系,考查了计算能力.由题意设斜率为k,k>0,则直线方程为y=kx,F(4,0),将y=kx代入求解可得交点横坐标为,所以A、B纵坐标差的绝对值为,因为的面积为,所以,所以k=二、填空题：共4题13．若点在直线上,其中,则的最小值为 .【答案】2【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式,考查了逻辑推理能力与计算能力.由题意可得m+n=2,又,所以均为正数,则==≥=,当且仅当,即m=n=1时,等号成立.14．已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围是 .【答案】a3【解析】本题主要考查导数、函数的性质,考查了恒成立问题.,因为函数在区间上是增函数,所以,即在区间上恒成立,因为,所以,所以15．不等式组表示平面区域为,在区域内任取一点,则点的坐标满足不等式的概率为 .【答案】【解析】本题主要考查几何概型、线性规划的应用,考查了数形结合思想、逻辑推理能力与计算能力.作出不等式所表示的平面区域,如图所示为三角形OAB,面积为4,在三角形OAB内的不等式所表示的平面区域为四分之一圆,面积为,所以,所求事件的概率为P=.16．给出以下命题:①双曲线的渐近线方程为;②命题是真命题;③已知线性回归方程为,当变量增加2个单位,其预报值平均增加4个单位;④设随机变量服从正态分布,若,则;则正确命题的序号为 .【答案】①③【解析】本题主要考查命题真假的判断、双曲线、回归分析、正态分布,考查了逻辑推理能力. ①由双曲线的性质可知,①正确;②令,则,②故错误;③由回归分析可知,③正确;④因为随机变量服从正态分布,且,所以,则,故④错误,因此正确命题的序号为①③三、解答题：共6题17．数列的前项和为,等差数列满足.(1)分别求数列的通项公式;(2)设,求证:.【答案】(1)由得②①-②得;,,(2)因为所以所以所以【解析】本题主要考查的应用、等差数列与等比数列的通项公式,考查了作差比较法与逻辑推理能力、计算能力.(1)根据题意,利用化简可得,即可求出的通项公式;结论条件,由等差数列的通项公式求解可得数列的通项公式;(2)易得,作差化简可得,则结论可得.18．对某交通要道以往的日车流量(单位:万辆)进行统计,得到如下记录:将日车流量落入各组的频率视为概率,并假设每天的车流量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率;(2)用表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数,求的分布列和数学期望.【答案】(1)设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”,A2表示事件“日车流量低于5万辆”,B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”.则P(A1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70,P(A2)＝0.05,所以P(B)＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049(2)可能取的值为0,1,2,3,相应的概率分别为=,=,=,=.X的分布列为因为X~B(3,0.7),所以期望E(X)＝3×0.7＝2.1.【解析】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率、离散型随机变量的分布列与期望,考查了分析问题与解决问题的能力.(1)设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”,A2表示事件“日车流量低于5万辆”,由题意可得P(A1)＝0.35＋0.25＋0.10,P(A2)＝0.05,由所求事件的概率为2P(A1)P(A1)P(A2);(2)可能取的值为0,1,2,3,根据题意,分别求出相应的概率,即可求出分布列与期望.19．已知四棱锥的底面是等腰梯形,,且,与交于底面分别是的中点.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)分别是的中点.是的中位线,由已知可知面面.(2)以所在直线为x轴,y轴,z轴,建系由题设,,,,,设平面的法向量为可得,平面的法向量为设二面角为,【解析】本题主要考查线面、面面垂直的判定与性质、二面角、空间向量的应用,考查了逻辑推理能力、空间想象能力与计算能力.(1)易得,再证明面,则结论易得;(2)以所在直线为x轴,y 轴,z轴,建系,由题设,,,分别求出平面的一个法向量,平面的一个法向量,设二面角为,利用向量的夹角公式求解即可.20．已知椭圆的两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2且为的菱形的四个顶点.(1)求椭圆的方程;(2)过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于两点,为椭圆的右顶点,直线分别交直线于点,线段的中点为,记直线的斜率为,求证:为定值.【答案】(1)由条件知a=2,b=,故所求椭圆方程为.(2)设过点P(1,0)的直线l方程为:,设点E(x1,y1),点F(x2,y2),将直线l方程代入椭圆C:,整理得:,因为点P在椭圆内,所以直线l和椭圆都相交,恒成立,且.直线AE的方程为:,直线AF的方程为:,令x=3,得点,所以点P的坐标.直线PF2的斜率为====.将代入上式得:.所以为定值.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线的斜率与方程,考查了方程思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由条件易得a、b、c的值,则可得椭圆方程;(2)将直线l方程=代入椭圆方程,利用韦达定理,结合条件,再分别求出,求出中点P的坐标,利用斜率公式化简所以即可.21．设,曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求的值;(2)若,恒成立,求的范围.【答案】(1)=由题设.(2),,,即设,即,.①若,,这与题设矛盾.②若方程的判别式当,即时,.在上单调递减,,即不等式成立.当时,方程,其根,,当单调递增,,与题设矛盾.综上所述, .【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的性质,考查了分类讨论思想与方程思想、转化思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)=,由题意,,求解即可;(2)由题意可得,设,即,求导,再分三种情况讨论求解.22．已知动点都在曲线为参数)上,对应参数分别为与为的中点.(1)求的轨迹的参数方程;(2)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.【答案】(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cosα＋cos 2α,sinα＋sin 2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0＜α＜2π).(2)M点到坐标原点的距离==(0＜α＜2π).当α＝π时,d＝0,故M的轨迹过坐标原点.【解析】本题主要考查参数方程与极坐标,考查了点的轨迹方程、中点坐标公式、两点间的距离公式与三角函数.(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos 2α,2sin 2α),由中点坐标公式求解即可;(2)由两点间的距离公式,结合三角恒等变量可得==,由三角函数的性质易得结论.。