高一数学教案 01-集合与简易逻辑 17

第一章“集合与简易逻辑”教材分析本章安排的是“集合与简易逻辑”，这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容．集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容，这部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系．简易逻辑知识则是新增加的内容，这部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要的基础．一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科．学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分．在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，这就是把它们安排在高中数学起始章的出发点．本章共编排了8小节，教学时间约需22课时：11 集合约2课时12 子集、全集、补集约2课时13 交集、并集约2课时14 绝对值不等式的解法约2课时15 一元二次不等式的解法约4课时16 逻辑联结词约2课时17 四种命题约2课时18 充分条件与必要条件约2课时小结与复习约4课时说明：本章是高中数学的起始章，课时安排得相对宽松一些，像小结与复习部分安排4课时，其中考虑到了对初中内容进行适当复习、巩固的因素．一内容与要求大体上按照集合与逻辑这两个基本内容，第一章编排成两大节．第一大节是“集合”．学生在小学和初中数学中，已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（圆）等，都有了一定的感性认识．在此基础上，这一大节首先结合实例引出集合与集合的元素的概念，并介绍了集合的表示方法．然后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念，此外，还给出了与子集相联系的全集与补集的概念．接着，又讲述了属于集合运算的交集、并集的初步知识．鉴于不等式的内容目前初中数学只讲述一元一次不等式与一元一次不等式组，考虑到集合知识的运用与巩固，又考虑到下一章讨论函数的定义域与值域的需要，第一大节最后安排的是绝对值不等式与一元二次不等式的解法．此外，在这一大节之后，还附了一篇关于有限集合元素个数的阅读材料．这一大节的重点是有关集合的基本概念．学习集合的初步知识，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，可以使学生更好地使用集合语言表述数学问题，并且可以使学生运用集合的观点研究、处理数学问题，这里，起重要作用的就是有关集合的基本概念．这一大节的难点是有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系．学生是从本章才正式开始学习集合知识的，这部分包含了比较多的新概念，还有相应的新符号，有些概念、符号还容易混淆，这些因素都可能造成学生学习的障碍．第二大节是“简易逻辑”．学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的意义，介绍了判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假的方法．接下来，讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．根据《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》的规定，本章的教学要求是：⒈理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；掌握带绝对值的不等式与一元二次不等式的解法．⒉理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简单的问题；掌握充要条件的意义．二本章的特点⒈注意初中与高中的衔接近年来，在与本章有关的内容上，按照教学大纲，初中的教学要求有哪些变化呢？先看有关集合的部分．初中适当渗透一些集合思想，这一点基本没有变化．此外，初中去掉了一元二次不等式与绝对值不等式的内容．再看有关逻辑的部分．1996年以前的初中毕业生，应该达到以下要求：⑴了解命题的概念；⑵初步掌握逆命题和逆定理的概念，能正确叙述题设与结论都是简单命题的命题的逆命题，了解正确命题的逆命题的逆命题不一定正确；⑶了解四种命题及其相互关系；⑷理解用反证法证明命题的思路，能用反证法证明一些比较简单的几何题．从1996年起，对于高一新生，初中的要求又有进一步调整．上述⑵改为：了解逆命题和逆定理的概念，原命题成立它的逆命题不一定成立，会识别两个互逆命题．⑶删去．⑷改为：了解反证法．基于以上情况，考虑到学习高中数学的需要，新教材一方面补充了一些必要的知识点，例如关于一元二次不等式与绝对值不等式的解法；另一方面对一些初中相对薄弱的内容，适当予以加强，例如关于反证法等．例如，关于交集、并集的概念，教科书先从图形表示入手，让学生有一个直观的认识，然后给出定义，再用实例加以说明，并且，引出概念的图形也只是采用了一种简明的形式，而没有画出全部可能出现的情况．又如，本章是对比初中学过的一元一次不等式，并且借助二次函数的图象，讲述一元二次不等式解法的．⒉重视集合与逻辑在中学数学学习中的应用本章是高中数学的基础，学习本章，主要目的是为了理解后续章节出现的集合与逻辑语言，会用集合与逻辑语言描述学习中遇到的数学问题，进而解决这些问题．像对一些性质、定理的理解，对函数的定义域、值域的描述，对推理方法的掌握，等等．本章在集合与逻辑内容的编排上，既考虑到知识的系统性，又照顾到学生的可接受性，并且始终围绕着集合与逻辑在中学数学学习中的应用这一基本出发点．在集合这部分，有关集合运算的内容，就注意在解方程和不等式方面的应用，在数学概念的分类方面的应用．在逻辑这部分，有关命题的内容，突出的是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的理解和对复合命题真值的认识，而不过多地涉及对一个语句是不是命题的判断．此外，像关于复合命题的否定，对近期学习影响不大，学生学习又比较困难，本章基本未涉及．为了帮助学生理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”，教科书中介绍了“或门电路”、“与门电路”，这是两个应用的实例．实际上，计算机的“智能”装置就是以数学逻辑为基础进行设计的三教学中应注意的问题⒈教学要求的把握要适时、适度本章是高中数学的起始章，适当地把握本章的教学要求是教学中应该重视的问题．集合与逻辑的初步知识是高中数学的基础知识，学习这些内容，主要是为今后进一步学习其他知识作基本语言、基本方法的准备，相应地，对知识系统性、严谨性的要求一定要适度．学习有关集合的初步知识，其目的主要在于应用．具体说，就是在学习其他知识时，能读懂其中的简单的集合概念和符号；在处理简单的实际问题时，能根据需要，运用集合语言进行表述．在安排训练时，要把握一定的分寸，不要搞偏题、怪题．集合有关性质的证明，一般不要求学生掌握．有些可能混淆但在实际问题中并不多见的关系，就不必故意编排在一起，让学生去一一进行辨析．本章安排的是集合与逻辑的初步知识，这些知识的讲述，是以初中数学的内容为基础的．从引出有关知识的实例，到具体应用的问题，基本都属于初中数学的范围，这种局限自然会对有关知识的理解和掌握造成一定影响．随着后续章节的学习，对集合与逻辑知识的应用将越来越广泛和深入，相应地，对集合与逻辑知识理解和掌握的水平也就越来越高了．因此，本章的教学要求，应该避免一步到位．关于含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真值表，在开始时，教学重点还是借助三个真值表，加深对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的了解，而不必急于让学生掌握对一般复合命题的真假的判断．关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．⒉提高集合与逻辑的教学效益目前高中数学教学的一个突出问题是教学效益不高．具体表现在：一方面，学生用在数学上的时间比较多，像与美国比，是美国学生的好几倍；另一方面，学生在考试中表现良好，但创造性能力和应用能力有一定欠缺，个性发展也存在着不足之处．为了后续章节的学习，在本章必须给学生打下适当的集合与逻辑基础，限于学生的预备知识与接受能力，在本章又不能过多地追求理论的完整，只有处理好这个关系，才能提高教学效益．因此，在实际教学时，一定要抓住重点．怎样把握本章的教学重点呢？一是要有助于对初中数学的理解，二是要能为高中数学的学习扫除障碍．换句话说，学习集合与逻辑，要着眼于用集合与逻辑的知识解决数学学习中的问题，而不要在概念的严谨性、知识的系统性上花过多的时间与精力．像逻辑中有不少问题，在学术界内部都有争论，在高一数学课上，就完全没有必要去涉及了．⒊使用数学符号要规范本章教材有不少集合与逻辑的数学符号，这些符号的采用，依据的是新的国家标准，其中有些符号与原教科书不同，在教学时应该注意．。

《集合与简易逻辑》数学教学教案第一章：集合的概念与表示方法1.1 集合的定义与表示方式集合的定义集合的表示方法：列举法、描述法1.2 集合之间的关系子集、真子集、非子集集合的包含关系1.3 集合的基本运算并集、交集、补集集合的运算规律第二章：逻辑推理与命题2.1 逻辑推理的基本概念推理、归纳推理、演绎推理2.2 命题与命题联结词命题的定义与分类命题联结词：且、或、非2.3 命题的真假判断命题的真假性质真值表与逻辑等价式第三章：简易逻辑3.1 简易逻辑的基本概念逻辑常数、逻辑运算符逻辑等价式与蕴含式3.2 简易逻辑的推理规则蕴含式与等价式的转换推理规则：德摩根定律、分配律、结合律3.3 简易逻辑的应用逻辑判断与推理的应用实例简易逻辑在数学证明中的应用第四章：不等式与不等式组4.1 不等式的定义与性质不等式的概念与表示方法不等式的基本性质：传递性、同向可加性4.2 不等式组的解法不等式组的表示方法解一元一次不等式组、二元一次不等式组4.3 不等式的应用不等式在实际问题中的应用不等式在几何问题中的应用第五章：函数的概念与性质5.1 函数的定义与表示方法函数的概念与要素函数的表示方法：解析法、表格法、图象法5.2 函数的性质函数的单调性、奇偶性、周期性函数的图像特点5.3 函数的应用函数在实际问题中的应用函数在几何问题中的应用第六章：集合的幂集与排列组合6.1 幂集的概念与性质幂集的定义幂集的性质与运算6.2 排列组合的基本概念排列、组合的定义排列数、组合数的计算公式6.3 排列组合的应用排列组合在实际问题中的应用排列组合在排列组合问题中的应用第七章：事件的概率与随机变量7.1 概率的基本概念概率的定义与性质古典概率、条件概率、独立事件的概率7.2 随机变量的概念与性质随机变量的定义与分类随机变量的分布函数与期望值7.3 概率分布的应用概率分布解决实际问题概率分布在不确定性决策中的应用第八章：数列的概念与性质8.1 数列的定义与表示方法数列的概念与要素数列的表示方法：通项公式、列表法、图象法8.2 数列的性质数列的单调性、周期性、收敛性数列的极限概念8.3 数列的应用数列在实际问题中的应用数列在数学分析中的应用第九章：函数的极限与连续性9.1 函数极限的概念与性质函数极限的定义与性质无穷小、无穷大的概念9.2 函数的连续性函数连续性的定义与性质连续函数的运算性质9.3 函数极限与连续性的应用函数极限与连续性在实际问题中的应用函数极限与连续性在数学分析中的应用第十章：集合与简易逻辑的综合应用10.1 集合与逻辑在数学问题中的应用集合与逻辑在数学证明中的应用集合与逻辑在数学分析中的应用10.2 集合与逻辑在其他学科中的应用集合与逻辑在物理学中的应用集合与逻辑在计算机科学中的应用10.3 集合与逻辑在生活中的应用集合与逻辑在日常生活中的应用集合与逻辑在思维训练中的应用重点和难点解析重点环节1：集合的表示方法与之间的关系集合的表示方法：列举法、描述法集合之间的关系：子集、真子集、非子集；集合的包含关系重点环节2：逻辑推理的基本概念与命题联结词推理、归纳推理、演绎推理命题联结词：且、或、非重点环节3：命题的真假判断与真值表命题的真假性质真值表与逻辑等价式重点环节4：简易逻辑的基本概念与推理规则逻辑常数、逻辑运算符推理规则：德摩根定律、分配律、结合律重点环节5：不等式与不等式组的解法与应用不等式的性质：传递性、同向可加性不等式组的解法：一元一次不等式组、二元一次不等式组重点环节6：幂集的概念与性质幂集的定义幂集的性质与运算重点环节7：事件的概率与随机变量的概念概率的定义与性质随机变量的定义与分类重点环节8：数列的性质与应用数列的单调性、周期性、收敛性数列的极限概念重点环节9：函数的极限与连续性函数极限的定义与性质函数的连续性重点环节10：集合与逻辑的综合应用集合与逻辑在数学问题中的应用集合与逻辑在其他学科中的应用全文总结和概括：本文主要分析了《集合与简易逻辑》数学教学教案中的重点环节，包括集合的表示方法与之间的关系、逻辑推理的基本概念与命题联结词、命题的真假判断与真值表、简易逻辑的基本概念与推理规则、不等式与不等式组的解法与应用等方面。

第十七教时教材： 绝对值不等式与一元二次不等式练习课目的： 通过练习逐步做到能较熟练掌握上述两类不等式的解法。

过程：一、复习：绝对值不等式与一元二次不等式的复习。

二、例题：例1、解不等式 45312x+-≤解：原不等式可化为：① 24531≥+-x 和② 24531-≤+-x解①：57-≤x 解②： 59≥x∴原不等式的解集是{x|57-≤x }∪{x|59≥x }={x|57-≤x 或59≥x }例2、解不等式 6541352≤+-x解：原不等式可化为：654135265≤+-≤-x 10112010≤+-≤-⇒x∴ 2021201≤≤x ∴原不等式的解集是{x| 2021201≤≤x }或解：原不等式化为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥+-65413526541352x x （略）例3、解关于x 的不等式 a x <-+132 (a ∈R) 解：原不等式可化为：132+<+a x当 a+1>0 即a>-1时 -(a+1)<2x+3<a+1 2224-<<+-⇒a x a 当 a+1≤0即 a ≤-1时 解集为Ø ∴当a>-1时 原不等式的解集是 {x|2224-<<+-a x a }； 当a ≤-1时 解集为Ø例4、解不等式 7412<-≤x解一：原不等式可化为：7142<-≤x⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-714214x x ⎪⎩⎪⎨⎧<<-≥-≤⇒2234341x x x 或 2434123<≤-≤<-⇒x x 或解二： ∵ ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-时当时当4141411441x x x x x ∴ Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧<-≤≥714241x x Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧<-≤<741241x x （下略）解三：原不等式解集等价于下面两个不等式解集的并集：2≤1-4x<7 2≤-(1-4x)<7（下略）例5、解不等式 |x+2| + |1-x|<x -4 解：原不等式即为 |x+2| + |x -1|<x -4 Ⅰ： ⎩⎨⎧+<-+---<4122x x x x ⇒ØⅡ： ⎩⎨⎧+<-++<≤-41212x x x x ⇒ -1<x<1 Ⅲ： ⎩⎨⎧+<-++≥4121x x x x ⇒ 1≤x <3 ∴ 原不等式的解集为：{x|-1<x<3} 例6、解下列不等式： ① 3-6x-2x 2<0解：整理得 2x 2+6x-3<0用求根公式求根得解集{x|21532153+-<<--x } ② (x-1)(3-x)<x(x+1)+1解：整理得 2x 2-3x+4>0 ∵023<-=∆ ∴不等式解集为 R ③11352≤--x x 解：移项，通分，整理得 0134≥-+x x 不等式解集为{x|x ≤-4或x>31}或解：取并集 ⎩⎨⎧-≤->-1352013x x x ⎩⎨⎧-≥-<-1352013x x x ④ 0≤x 2-2x-3<5解：原不等式的解集为下面不等式组的解集⎪⎩⎪⎨⎧<--≥--55203222x x x x ⎩⎨⎧<<-≥-≤⇒4231x x x 或∴原不等式的解集为 {x|-2<x ≤-1 或 3≤x<4}例7、已知U=R 且 A={x|x 2-5x-6<0} B={x| |x-2|≥1} 求： 1）A ∩B 2)A ∪B 3)(C u A)∩(C u B) 解：A={x|-1<x<6} B={x|x ≤1或x ≥3} A ∩B={x|-1<x ≤1或3≤x<6} A ∪B=R C u A={x|x ≤-1或x ≥6} C u B={x|1<x<3} ∴(C u A)∩(C u B)= {x|x ≤-1或x ≥6}∪{x|1<x<3}=Ø 也可求 C u (A ∪B)= Ø例8、解关于x 的不等式 (1-a)x 2+4ax-(4a+1)>0 (a ∈R) 解：1 当1-a=0即 a=1时 原不等式化为 4x-5>0 x>452 当 1-a>0即a<1时 ∵∆=4(3a+1) (1)当⎩⎨⎧>+<0131a a即131<<-a 时 ∆>0此时原不等式的解集是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++->-+--<a a a x a a a x x 11321132|或(2)当a=31-时 ∆=0原不等式化为 4x 2-4x+1>0 即 (2x-1)2>0此时原不等式的解集是 {x ∈R|x ≠21}(3)当a<31-时∆<0 且 1-a>0 此时原不等式的解集为R 3 当1-a<0即a>1时 原不等式可化为 (a-1)x 2-4ax+(4a+1)<0 这样a-1>0这时∆=4(3a+1)>0 用求根公式求得：此时原不等式的解集为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++<<-+-11321132|a a a x a a a x综上可得：当a<-31时原不等式解集为R当a=-31时原不等式解集为{x ∈R|x ≠21}当131<<-a 时原不等式解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++->-+--<a a a x a a a x x 11321132|或当a=1时原不等式解集为{x| x>45}当a>1时原不等式解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++<<-+-11321132|a a a x a a a x例9、已知A={x| |x-a|≤1} B={x|03302≥---x x x }且A ∩B=Ø求a 的范围。

1高中数学第一册（上）第一章集合与简易逻辑◇教材分析【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．◇学习指导【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想；3．分类思想；4．数形结合思想．2【解题规律】1．如何解决与集合的运算有关的问题？1）对所给的集合进行尽可能的化简；2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．2．如何解决与简易逻辑有关的问题？1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题．引言通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。

1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识；2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识．在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了．§1.1集合〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；(2)初步了解“属于”关系的意义；(3)初步了解有限集、无限集、空集的意义．〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合．〖教学过程〗☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．1、集合的概念：在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度3洋、北冰洋”也组成一个集合．我们一般用大括号表示集合，上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。

第一章 集合与简易逻辑教案一．集合的有关概念 1．集合①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。

②表示方法列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c} 描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x ∣P(x)}.如：}1),({},1{},1{-=-=-=x y y x x y y x y x图示法：用文氏图表示题中不同的集合。

③分类：有限集、无限集、空集。

④性质 确定性：A a A a ∉∈或必居其一，互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同， 无序性：{1，2，3}={3，2，1}2．常用数集复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集*N （或N +） 有理数集Q 3．元素与集合的关系：A a A a ∈∉或 4．集合与集合的关系：①子集：若对任意A x ∈都有B x ∈[或对任意B x ∉都有A x ∉] 则A 是B 的子集。

记作：A B B A ⊇⊆或 C A C B B A ⊆⇒⊆⊆,②真子集：若B A ⊆，且存在A x B x ∉∈00,但，则A 是B 的真子集。

记作：AB[或“B A B A ≠⊆且”] A B ，B CA C③B A A B B A =⇔⊆⊆且④空集：不含任何元素的集合，用φ表示，对任何集合A 有A ⊆φ，若φ≠A 则φ A注：}{}0{}{φφφ≠≠≠a a 5．子集的个数若},,{21n a a a A =，则A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n个，2n-1个和2n-2个。

二．集合的运算 1．有关概念①交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 ②并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或③全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U 表示。

④补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且A BA BA BA B ABA BAU C U A2．常用运算性质及一些重要结论 ①A B B A A A A A ===φφ ②A B B A AA AA A ===φ③C B A C B A C B A ==)()( C B A C B A C B A ==)()( ④)()()(C A B A C B A = )()()(C A B A C B A = ⑤U A C A A C A U U == φ⑥B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=⑦)()()()()()(B C A C B A C B C A C B A C U U U U U U ==⑧)()()()(B A Card B Card A Card B A Card -+=三．含有绝对值不等式1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =）()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法；(如讨论a x x =--122的解有个数) （5）不等式同解变形原理：即()a x a a a x <<-⇔><0 ()a x a x a a x -<>⇔>>或0()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或03、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。

第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉．例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示．集合分有限集和无限集两种．集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法．例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集．定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆．规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等．如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集．定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集． 定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且．定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成．（1）若)(C B A x ∈，则A x ∈，且B x ∈或C x ∈，所以)(B A x ∈或)(C A x ∈，即)()(C A B A x ∈；反之，)()(C A B A x ∈，则)(B A x ∈或)(C A x ∈，即A x ∈且B x ∈或C x ∈，即A x ∈且)(C B x ∈，即).(C B A x ∈（3）若B C A C x 11 ∈，则A C x 1∈或B C x 1∈，所以A x ∉或B x ∉，所以)(B A x ∉，又I x ∈，所以)(1B A C x ∈，即)(111B A C B C A C ⊆，反之也有.)(111B C A C B A C ⊆定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法．定理3 乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法．二、方法与例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合．例1 设},,{22Z y x y x a a M ∈-==，求证：（1）)(,12Z k M k ∈∈-；（2）)(,24Z k M k ∈∈-；（3）若M q M p ∈∈,，则.M pq ∈[证明]（1）因为Z k k ∈-1,，且22)1(12--=-k k k ，所以.12M k ∈-（2）假设)(24Z k M k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使2224y x k -=-，由于y x -和y x +有相同的奇偶性，所以))((22y x y x y x +-=-是奇数或4的倍数，不可能等于24-k ，假设不成立，所以.24M k ∉-（3）设Z b a y x b a q y x p ∈-=-=,,,,,2222，则))((2222b a y x pq --=（因为Z ya xb Z ya xa ∈-∈-,）．2．利用子集的定义证明集合相等，先证B A ⊆，再证A B ⊆，则A =B ．例2 设A ，B 是两个集合，又设集合M 满足B A M B A B A M B M A ===,，求集合M （用A ，B 表示）． 【解】先证M B A ⊆)( ，若)(B A x ∈，因为B A M A =，所以M x M A x ∈∈, ，所以M B A ⊆)( ；再证)(B A M ⊆，若M x ∈，则.B A M B A x =∈1）若A x ∈，则B A M A x =∈；2）若B x ∈，则B A M B x =∈．所以).(B A M ⊆ 综上，.B A M =3．分类讨论思想的应用．例3 }02{},01{},023{222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若C C A A B A == ,，求.,m a【解】依题设，}2,1{=A ，再由012=-+-a ax x 解得1-=a x 或1=x ，因为A B A = ，所以A B ⊆，所以A a ∈-1，所以11=-a 或2，所以2=a 或3．因为C C A = ，所以A C ⊆，若∅=C ，则082<-=∆m ，即2222<<-m ，若∅≠C ，则C ∈1或C ∈2，解得.3=m综上所述，2=a 或3=a ；3=m 或2222<<-m ．4．计数原理的应用．例4 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若I B A = ，求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数．【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，I B A , 中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个．（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有1024210=个，非空真子集有1022个．5．配对方法． 例5 给定集合},,3,2,1{n I =的k 个子集：k A A A ,,,21 ，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值．【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得12-n 对，每一对不能同在这k 个子集中，因此，12-≤n k ；其次，每一对中必有一个在这k 个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C 1A 与A ，并设∅=1A A ，则A C A 11⊆，从而可以在k 个子集中再添加A C 1，与已知矛盾，所以12-≥n k ．综上，12-=n k ．6．竞赛常用方法与例问题． 定理4 容斥原理；用A 表示集合A 的元素个数，则,B A B A B A -+=C B A C B C A B A C B A C B A +---++=，需要xy 此结论可以推广到n 个集合的情况，即∑定义8 集合的划分：若I A A A n = 21，且),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= ，则这些子集的全集叫I 的一个n -划分．定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数．定理6 抽屉原理：将1+mn 个元素放入)1(>n n 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+m 个元素，也必有一个抽屉放有不多于m 个元素；将无穷多个元素放入n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素．例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．【解】 记}）2（2,1001{},100,,3,2,1{x x x x A I 记为整除能被且≤≤== ，}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=，由容斥原理，+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A 7430100151001010061005100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡，所以不能被2，3，5整除的数有26=-C B A I 个．例7 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示．由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数．又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==时，恰有912=S ，且S 满足题目条件，所以最少含有912个元素．例8 求所有自然数)2(≥n n ，使得存在实数n a a a ,,,21 满足：【解】 当2=n 时，1,021==a a ；当3=n 时，3,1,0321===a a a ；当4=n 时， 1,5,2,04321====a a a a ．下证当5≥n 时，不存在n a a a ,,,21 满足条件．令n a a a <<<= 210，则.2)1(-=n n a n 所以必存在某两个下标j i <，使得1-=-n j i a a a ，所以1111--=-=-n n n a a a a 或21a a a n n -=-，即12=a ，所以1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a 或2)1(-=n n a n ，12=a ． （ⅰ）若1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a ，考虑2-n a ，有22-=-n n a a 或22a a a n n -=-，即22=a ，设22-=-n n a a ，则121----=-n n n n a a a a ，导致矛盾，故只有.22=a 考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或33a a a n n -=-，即33=a ，设23-=-n n a a ，则02212a a a a n n -==---，推出矛盾，设33=a ，则2311a a a a n n -==--，又推出矛盾， 所以4,22==-n a a n 故当5≥n 时，不存在满足条件的实数． （ⅱ）若1,2)1(2=-=a n n a n ，考虑2-n a ，有12-=-n n a a 或32a a a n n -=-，即23=a ，这时1223a a a a -=-，推出矛盾，故21-=-n n a a ．考虑3-n a ，有23-=-n n a a或-=-n n a a 33a ，即3a =3，于是123--=-n n a a a a ，矛盾．因此32-=-n n a a ，所以12211a a a a n n -==---，这又矛盾，所以只有22a a n =-，所以4=n ．故当5≥n 时，不存在满足条件的实数．例9 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合i A ，.201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i 求n 的最小值．【解】 .16min =n设B 中每个数在所有i A 中最多重复出现k 次，则必有4≤k ．若不然，数m 出现k 次（4>k ），则.123>k 在m 出现的所有i A 中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，121,,,b m a a }},,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a ，其中61,≤≤∈i A a i ，为满足题意的集合．i a 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以.4≤k 20个i A 中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以16≥n ．当16=n 时，如下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}． 例10 集合{1，2，…，3n }可以划分成n 个互不相交的三元集合},,{z y x ，其中z y x 3=+，求满足条件的最小正整数.n【解】 设其中第i 个三元集为,,,2,1},,,{n i z y x i i =则1+2+…+∑==n i i zn 1,43 所以∑==+n i i z n n 142)13(3．当n 为偶数时，有n 38，所以8≥n ，当n 为奇数时，有138+n ，所以5≥n ，当5=n 时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以n 的最小值为5．三、基础训练题1．给定三元集合},,1{2x x x -，则实数x 的取值范围是___________．2．若集合},,012{2R x R a x ax x A ∈∈=++=中只有一个元素，则a =___________．3．集合}3,2,1{=B 的非空真子集有___________个．4．已知集合}01{},023{2=+==+-=ax x N x x x M ，若M N ⊆，则由满足条件的实数a 组成的集合P =___________．5．已知}{},2{a x x B x x A ≤=<=，且B A ⊆，则常数a 的取值范围是___________．6．若非空集合S 满足}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则S a ∈-6，那么符合要求的集合S 有___________个．7．集合}14{}12{Z k k Y Z n n X ∈±=∈+=与之间的关系是___________．8．若集合}1,,{-=xy xy x A ，其中Z x ∈，Z y ∈且0≠y ，若A ∈0，则A 中元素之和是___________．9．集合}01{},06{2=-==-+=mx x M x x x P ，且P M ⊆，则满足条件的m 值构成的集合为___________．10．集合},9{},,12{2R x x y y B R x x y x A ∈+-==∈+==+，则 =B A ___________．11．已知S 是由实数构成的集合，且满足1）2;1S ∉）若S a ∈，则S a∈-11．如果∅≠S ，S 中至少含有多少个元素？说明理由． 12．已知B A C a x y y x B x a y y x A =+====},),{(},),{(，又C 为单元素集合，求实数a 的取值范围．四、高考水平训练题1．已知集合},,0{},,,{y x B y x xy x A =+=，且A =B ，则=x ___________，=y ___________．2．},9,1{)()(},2{,,},9,8,7,6,5,4,3,2,1{11==⊆⊆=B C A C B A I B I A I}8,6,4{)(1=B A C ，则=)(1B C A ___________．3．已知集合}121{},0310{2-≤≤+=≥-+=m x m x B x x x A ，当∅=B A 时，实数m 的取值范围是___________．4．若实数a 为常数，且=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∈a x ax x A a 则,1112___________． 5．集合}1,12,3{},3,1,{22+--=-+=m m m N m m M ，若}3{-=N M ，则=m ___________．6．集合},27{},,35{++∈+==∈+==N y y b b B N x x a a A ，则B A 中的最小元素是___________．7．集合}0,,{},,,{2222y x y x B xy y x y x A -+=+-=，且A =B ，则=+y x ___________．8．已知集合}04{},021{<+=<-+=px x B xx xA ，且AB ⊆，则p 的取值范围是___________．9．设集合},05224),{(},01),{(22=+-+==--=y x x y x B x y y x A }),{(b kx y y x C +==，问：是否存在N b k ∈,，使得∅=C B A )(，并证明你的结论．10．集合A 和B 各含有12个元素，B A 含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C 的个数：1）B A C ⊆且C 中含有3个元素；2）∅≠A C ．11．判断以下命题是否正确：设A ，B 是平面上两个点集，}),{(222r y x y x C r ≤+=，若对任何0≥r ，都有B C A C r r ⊆，则必有B A ⊆，证明你的结论．五、联赛一试水平训练题1．已知集合A B B x mx x m z z B x x A ⊆∅≠>+-==<=且,},2,11{},0{2，则实数m 的取值范围是___________．2．集合}12,2,,3,2,1{+=n n A 的子集B 满足：对任意的B y x B y x ∉+∈,,，则集合B 中元素个数的最大值是___________．3．已知集合}2,,{},,,{2d a d a a Q aq aq a P ++==，其中0≠a ，且R a ∈，若P =Q ，则实数=q ___________．4．已知集合}1),{(},0,),{(y x xy y x B a a y x y x A +=+=>=+=，若B A 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则=a ___________．5．集合},,,4812{Z n l m l n m u u M ∈++==，集合},,,121620{Z r q p r q p u u N ∈++==，则集合M 与N 的关系是___________．6．设集合}1995,,3,2,1{ =M ，集合A 满足：M A ⊆，且当A x ∈时，A x ∉15，则A 中元素最多有___________个．7．非空集合}223{},5312{≤≤=-≤≤+=x x B a x a x A ，≤则使B A A ⊆成立的所有a 的集合是___________．8．已知集合A ，B ，aC （不必相异）的并集},,2,1{n C B A =, 则满足条件的有序三元组（A ，B ，C ）个数是___________．9．已知集合}1),{(},1),{(},1),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A ，问：当a 取何值时，C B A )(为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？10．求集合B 和C ，使得}10,,2,1{ =C B ，并且C 的元素乘积等于B 的元素和．11．S 是Q 的子集且满足：若Q r ∈，则0,,=∈-∈r S r S r 恰有一个成立，并且若S b S a ∈∈,，则S b a S ab ∈+∈,，试确定集合S ．12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？六、联赛二试水平训练题1．321,,S S S 是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，如果i S x ∈，j S y ∈，则i S y x ∈-．求证：321,,S S S 中必有两个相等．2．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集)117,,2,1( =i A i ，使得（1）每个i A 恰有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和相同．3．某人写了n 封信，同时写了n 个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？4．设2021,,,a a a 是20个两两不同的整数，且整合{120}i j a a i j +≤≤≤中有201个不同的元素，求集合{120}i j a a i j -<≤≤中不同元素个数的最小可能值．5．设S 是由n 2个人组成的集合．求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数．6．对于整数4≥n ，求出最小的整数)(n f ，使得对于任何正整数m ，集合}1,,1,{-++n m m m 的任一个)(n f 元子集中，均有至少3个两两互质的元素．7．设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数k ，使S 的任意一个s 元子集中都存在两个不同的数a 和b ，满足ab b a )(+．8．集合+∈=N k k X },6,,2,1{ ，试作出X 的三元子集族&，满足：（1）X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2））k 的元素个数表示&&(6&2=． 9．设集合}21{，m ，，A =，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1421,,,A A A ，一定存在某个集合)141(≤≤i A i ，在i A 中有两个元素a 和b 满足43b a b <≤．。

《集合与简易逻辑》数学教学教案第一章：集合的概念与表示方法1.1 集合的定义与性质引导学生理解集合的基本概念，如集合、元素、子集等。

介绍集合的性质，如确定性、互异性、无序性等。

1.2 集合的表示方法介绍集合的表示方法，如列举法、描述法等。

练习如何用不同的方法表示给定的集合。

第二章：集合的关系与运算2.1 集合的关系介绍集合之间的关系，如子集、真子集、并集、交集等。

练习判断给定的集合之间的关系。

2.2 集合的运算介绍集合的运算规则，如并集、交集、补集等。

练习运用集合的运算解决实际问题。

第三章：逻辑推理与命题3.1 逻辑推理的基本概念引导学生理解逻辑推理的基本概念，如前提、结论、推理等。

介绍演绎推理和归纳推理的定义和特点。

3.2 命题与命题公式介绍命题的概念，如简单命题、复合命题等。

练习判断给定的语句是否为命题，并分析命题之间的关系。

第四章：简易逻辑4.1 简易逻辑的基本规则介绍简易逻辑的基本规则，如蕴含式、逆否式、充要式等。

练习运用简易逻辑的规则进行推理。

4.2 逻辑推理的应用练习运用逻辑推理解决实际问题，如判断真假命题、解决逻辑谜题等。

巩固集合与逻辑的基本概念和运算规则。

5.2 提高解题能力提供一些提高解题能力的练习题，让学生进一步巩固所学知识。

分析解题思路，培养学生的逻辑思维和解题技巧。

第六章：不等式与不等式组6.1 不等式的概念与性质引导学生理解不等式的基本概念，如不等号、不等式等。

介绍不等式的性质，如同向相加、反向相减等。

6.2 不等式组的解法介绍不等式组的解法，如图形法、代数法等。

练习运用不同的方法解给定的不等式组。

第七章：函数的概念与性质7.1 函数的定义与表示方法引导学生理解函数的基本概念，如函数、自变量、因变量等。

介绍函数的表示方法，如解析式、图像等。

7.2 函数的性质介绍函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

练习判断给定的函数具有哪些性质。

第八章：指数函数与对数函数8.1 指数函数的概念与性质引导学生理解指数函数的基本概念，如指数函数、底数、指数等。

高中数学第一册(上)第一章集合与简易逻辑◇教材分析【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式得解法(可瞧做集合得化简)、简易逻辑三部分:【知识点与学习目标】【高考评析】集合知识作为整个数学知识得基础,在高考中重点考察得就是集合得化简,以及利用集合与简易逻辑得知识来指导我们思维,寻求解决其她问题得方法.◇学习指导【学法指导】本章得基本概念较多,要力求在理解得基础上进行记忆.【数学思想】1.等价转化得数学思想; 2.求补集得思想;3.分类思想;4.数形结合思想.【解题规律】1. 如何解决与集合得运算有关得问题？1) 对所给得集合进行尽可能得化简;2) 有意识应用维恩图来寻找各集合之间得关系;3) 有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合得元素.2. 如何解决与简易逻辑有关得问题？1) 力求寻找构成此复合命题得简单命题;2) 利用子集与推出关系得联系将问题转化为集合问题.引言通过一个实际问题,目得就是为了引出本章得内容。

1、分析这个问题,要用数学语言描述它,就就是把它数学化,这就需要集合与逻辑得知识;2、要解决问题,也需要集合与逻辑得知识.在教学时,主要就是把这个问题本身讲清楚,点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对.而要进一步认识、讨论这个问题,就需要运用本章所学得有关集合与逻辑得知识了.§1、1集合〖教学目得〗通过本小节得学习,使学生达到以下要求:(1)初步理解集合得概念,知道常用数集及其记法; (2)初步了解“属于”关系得意义;(3)初步了解有限集、无限集、空集得意义.〖教学重点与难点〗本小节得重点就是集合得基本概念与表示方法;难点就是运用集合得两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单得集合.〖教学过程〗☆本小节首先从初中代数与几何涉及得集合实例入手,引出集合与集合得元素得概念,并且结合实例对集合得概念作了说明.然后,介绍了集合得常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合得例子.1、集合得概念:在初中代数里学习数得分类时,就用到“正数得集合”,“负数得集合”等此外,对于一元一次不等式2x一1＞3,所有大于2得实数都就是它得解.我们也可以说,这些数组成这个不等式得解得集合,简称为这个不等式得解集.在初中几何里学习圆时,说圆就是到定点得距离等于定长得点得集合.几何图形都可以瞧成点得集合.一般地,某些指定得对象集在一起就成为一个集合,也简称集.这句话,只就是对集合概念得描述性说明.集合则就是集合论中原始得、不定义得概念.在开始接触集合得概念时,主要还就是通过实例,对概念有一个初步认识. 例如, “我校篮球队得队员”组成一个集合; “太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”也组成一个集合.我们一般用大括号表示集合,上面得两个集合就可以分别表示成4我校篮球队得队员)与4太平洋。

人教版高中数学 教案+学案 综合汇编第1章 集合 第十七教时教材： 绝对值不等式与一元二次不等式练习课目的： 通过练习逐步做到能较熟练掌握上述两类不等式的解法。

过程：一、复习：绝对值不等式与一元二次不等式的复习。

二、例题：例1、解不等式 45312x+-≤解：原不等式可化为：① 24531≥+-x 和② 24531-≤+-x解①：57-≤x 解②： 59≥x∴原不等式的解集是{x|57-≤x }∪{x|59≥x }={x|57-≤x 或59≥x }例2、解不等式 6541352≤+-x 解：原不等式可化为：654135265≤+-≤-x 10112010≤+-≤-⇒x∴ 2021201≤≤x ∴原不等式的解集是{x| 2021201≤≤x }或解：原不等式化为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥+-65413526541352x x （略）例3、解关于x 的不等式 a x <-+132 (a ∈R)解：原不等式可化为：132+<+a x当 a+1>0 即a>-1时 -(a+1)<2x+3<a+1 2224-<<+-⇒a x a 当 a+1≤0即 a ≤-1时 解集为Ø ∴当a>-1时 原不等式的解集是 {x|2224-<<+-a x a }； 当a ≤-1时 解集为Ø例4、解不等式 7412<-≤x解一：原不等式可化为：7142<-≤x⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-714214x x ⎪⎩⎪⎨⎧<<-≥-≤⇒2234341x x x 或 2434123<≤-≤<-⇒x x 或解二： ∵ ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-时当时当4141411441x x x x x ∴ Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧<-≤≥714241x x Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧<-≤<741241x x（下略）解三：原不等式解集等价于下面两个不等式解集的并集：2≤1-4x<7 2≤-(1-4x)<7 （下略）例5、解不等式 |x+2| + |1-x|<x -4解：原不等式即为 |x+2| + |x -1|<x -4 Ⅰ： ⎩⎨⎧+<-+---<4122x x x x ⇒ØⅡ： ⎩⎨⎧+<-++<≤-41212x x x x ⇒ -1<x<1Ⅲ： ⎩⎨⎧+<-++≥4121x x x x ⇒ 1≤x <3 ∴ 原不等式的解集为：{x|-1<x<3} 例6、解下列不等式： ① 3-6x-2x 2<0解：整理得 2x 2+6x-3<0用求根公式求根得解集{x|21532153+-<<--x } ② (x-1)(3-x)<x(x+1)+1解：整理得 2x 2-3x+4>0 ∵023<-=∆ ∴不等式解集为 R ③11352≤--x x 解：移项，通分，整理得0134≥-+x x 不等式解集为{x|x ≤-4或x>31} 或解：取并集 ⎩⎨⎧-≤->-1352013x x x ⎩⎨⎧-≥-<-1352013x x x④ 0≤x 2-2x-3<5解：原不等式的解集为下面不等式组的解集⎪⎩⎪⎨⎧<--≥--55203222x x x x ⎩⎨⎧<<-≥-≤⇒4231x x x 或∴原不等式的解集为 {x|-2<x ≤-1 或 3≤x<4}例7、已知U=R 且 A={x|x 2-5x-6<0} B={x| |x-2|≥1} 求： 1）A ∩B 2)A ∪B 3)(C u A)∩(C u B) 解：A={x|-1<x<6} B={x|x ≤1或x ≥3} A ∩B={x|-1<x ≤1或3≤x<6} A ∪B=R C u A={x|x ≤-1或x ≥6} C u B={x|1<x<3} ∴(C u A)∩(C u B)= {x|x ≤-1或x ≥6}∪{x|1<x<3}=Ø 也可求 C u (A ∪B)= Ø例8、解关于x 的不等式 (1-a)x 2+4ax-(4a+1)>0 (a ∈R)解：1 当1-a=0即 a=1时 原不等式化为 4x-5>0 x>452 当 1-a>0即a<1时 ∵∆=4(3a+1) (1)当⎩⎨⎧>+<0131a a即131<<-a 时 ∆>0此时原不等式的解集是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++->-+--<a a a x a a a x x 11321132|或(2)当a=31-时 ∆=0 原不等式化为 4x 2-4x+1>0 即 (2x-1)2>0此时原不等式的解集是 {x ∈R|x ≠21}(3)当a<31-时∆<0 且 1-a>0 此时原不等式的解集为R3 当1-a<0即a>1时 原不等式可化为 (a-1)x 2-4ax+(4a+1)<0 这样a-1>0这时∆=4(3a+1)>0 用求根公式求得：此时原不等式的解集为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++<<-+-11321132|a a a x a a a x综上可得：当a<-31时原不等式解集为R当a=-31时原不等式解集为{x ∈R|x ≠21}当131<<-a 时原不等式解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++->-+--<a a a x a a a x x 11321132|或当a=1时原不等式解集为{x| x>45}当a>1时原不等式解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++<<-+-11321132|a a a x a a a x例9、已知A={x| |x-a|≤1} B={x|03302≥---x x x }且A ∩B=Ø求a 的范围。

集合与简易逻辑教案教学目标：1. 理解集合的概念，掌握集合的表示方法。

2. 学会运用集合的基本运算。

3. 理解简易逻辑的定义和性质。

4. 学会运用简易逻辑解决问题。

教学内容：第一章：集合的概念与表示方法1.1 集合的概念1.2 集合的表示方法1.3 集合的性质第二章：集合的基本运算2.1 集合的并集2.2 集合的交集2.3 集合的补集2.4 集合的幂集第三章：简易逻辑的基本概念3.1 简易逻辑的定义3.2 简易逻辑的性质3.3 简易逻辑的判定方法第四章：简易逻辑的应用4.1 简易逻辑在几何中的应用4.2 简易逻辑在代数中的应用4.3 简易逻辑在概率中的应用第五章：集合与简易逻辑的综合应用5.1 集合与简易逻辑的结合5.2 集合与简易逻辑在实际问题中的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解集合与简易逻辑的基本概念、性质和应用。

2. 利用案例分析，让学生通过具体例子理解集合的基本运算和简易逻辑的判定方法。

3. 引导学生运用集合与简易逻辑解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力。

教学评估：1. 课堂练习：每章结束后，安排课堂练习，巩固所学知识。

2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

3. 课后作业：布置课后作业，检验学生对知识的掌握程度。

4. 期中期末考试：评估学生对整个课程的学习效果。

教学资源：1. 教材：《集合与简易逻辑》2. 课件：教师自制课件3. 案例分析：相关实际问题案例4. 练习题库：相关习题和解答教学进度安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：3课时5. 第五章：2课时集合与简易逻辑教案教学目标：1. 理解集合的概念，掌握集合的表示方法。

2. 学会运用集合的基本运算。

3. 理解简易逻辑的定义和性质。

4. 学会运用简易逻辑解决问题。

教学内容：第六章：集合的分类6.1 集合的分类标准6.2 有序集合与无序集合6.3 集合的划分与覆盖第七章：集合与函数7.1 函数的定义与性质7.2 函数的图像与特征7.3 函数与集合的关系第八章：集合与数系8.1 自然数系8.2 整数系8.3 有理数系8.4 实数系第九章：集合与逻辑推理9.1 逻辑推理的基本形式9.2 集合与逻辑推理的关系9.3 集合逻辑推理的应用第十章：集合与简易逻辑的综合应用10.1 集合与简易逻辑在科学研究中的应用10.2 集合与简易逻辑在日常生活中的应用10.3 集合与简易逻辑在其它学科中的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解集合与简易逻辑的基本概念、性质和应用。