四边形辅助线

相似四边形中几种常见的辅助线作法(有
辅助线)
相似四边形中常见的辅助线作法（有辅助线）
相似四边形是指具有相同比例关系的四边形。

在研究相似四边形时，可以利用一些常见的辅助线作法来简化问题的分析和解决。

以下是几种常见的辅助线作法：
1. 完全相似定理：如果两个四边形的所有对应角相等，并且对应边的比例相等，那么这两个四边形是相似的。

根据这个定理，我们可以直接判断两个四边形是否相似，而无需计算其边长和角度。

2. 高度定理：相似的五边形（包括四边形）中，对应的高度之比等于对应边的比例。

通过测量两个四边形的高度，我们可以推导出它们的边长比例。

3. 中线定理：相似的五边形（包括四边形）中，对应的中线之比等于对应边的比例。

通过测量两个四边形的中线，我们可以推导出它们的边长比例。

4. 角平分线定理：相似的五边形（包括四边形）中，对应的角平分线之比等于对应边的比例。

通过测量两个四边形的角平分线，我们可以推导出它们的边长比例。

这些辅助线作法可以帮助我们在研究相似四边形时更加简化问题，减少计算量，并且提供了直接判断相似性的方法。

在实际应用中，可以根据具体问题的需求选择合适的辅助线作法。

希望以上内容对您有帮助！如有其他问题，请随时提问。

初中数学辅助线整理归纳一、三角形中常见辅助线的添加1. 与角平分线有关的（1）可向两边作垂线。

（2）可作平行线，构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2. 与线段长度相关的（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

3. 与等腰等边三角形相关的（1）考虑三线合一（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °二、四边形中常见辅助线的添加特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。

下面介绍一些辅助线的添加方法。

1. 和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。

（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形（2）利用两组对边平行构造平行四边形（3）利用对角线互相平分构造平行四边形2. 与矩形有辅助线作法（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.3. 和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.（1）作菱形的高（2）连结菱形的对角线4. 与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。

平行四边形几何辅助线专题详解1 平行四边形知识框架{分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4个点的坐标平行四边形的面积{利用面积解决问题方程思想构造中位线{连接法{连接两中点知一中点，取另一中点知两中点，构双中位线倍长法{倍长垂直于角平分线的线段倍长线段 方法1 分类讨论思想分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4点坐标一、动态讨论解题技巧：点在线段的不同位置，也会造成不同的结果 （1）1个点的移动如下图，1个点C 在直线AB 上移动，会出现3种情况：①在线段AB 左侧；②在线段AB 当中；③在线段AB 右侧，具体见例1.（2）2个点的移动如下图，2个点C、D在线段AB上移动（C、D两点在AB中），会出现2种情况：①点C在点D的左侧；②点C在点D的右侧，具体见例2.例1.▱ABCD的内角∠BCD的平分线CE交射线DA于点E，若AE=3，DE=4，求▱ABCD的周长。

例2.在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，求AB的长。

二、高的位置的讨论解题技巧：在平行四边形中作高，会出现2种情况：①在图形内；②在图形外。

（1）过点作下（上）侧边的高如下图，过点A作▱ABCD下侧的边CD上的高AE。

因▱ABCD倾斜方向的变化，高会存在两种情况，具体见例1（2）过点右（左）侧边的高如下图，过点B作▱ABCD的右侧边AD上的高AE。

因▱ABCD倾斜大小的变化，高会存在两种情况，具体见例2上述两种情况实质是同一种情况经过翻折后得到的，为同一种情况。

例1.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，若AB=5，BC=6，求CE的值。

例2.在▱ABCD中，AD=BD=4，BE是AD边上的高，∠EBD=30°，求△ABD的面积。

教师辅导讲义
C专题——辅助线添加
添加中位线：
一、三角形中点：遇中点，想中位线
1.如图，△ABC中，是中线，是角平分线，CF⊥AE于，，，则的长为
2、如图,AD 是△ABC 的中线,E 是AD 的中点,F 是BE 延长线与AC 的交点,求证:AF=2
1CF 3、已知:如图,在▱ABCD 中,E 是CD 的中点,F 是AE 的中点,FC 与BE 交于G.
求证:GF=GC .
、如图,,M、N
.
2、如图,点P是四边形ABCD的对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠CBD=45°，∠ADB=105°，试探
3、如图，已知四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于点
H、G，求证：∠AHF＝∠BGF.
2、已知：△ABD和△(1)说明：MB=MC；
5、如图，在矩形ABCD
．
2、.已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为_________．。

四边形辅助线的经典例题1.问题描述在几何学中，我们通常使用辅助线来帮助解决问题，特别是在研究四边形时。

本文将介绍一些经典的四边形辅助线例题，并提供解答和解题思路。

2.题目一题目描述如图所示，在四边形A BC D中，连结A C和B D的交点为P。

证明：四边形AB CD是平行四边形的充分必要条件是A P=CP。

A_______B||||D__|_______|__C解答和解题思路解答设四边形AB CD为平行四边形，即AB∥CD，AD∥B C。

通过观察可以发现，△A PC与△CP D相似（共边、共角、共角），因此我们有：A P/P C=AC/C D=AB/BC同理，△AP B与△B CP相似，可得：A P/P B=AB/B C=AC/CD由上述两个等式可知：A P/P C=AP/P B即A P=CP，得证。

解题思路在证明这个结论时，我们需要利用平行四边形的性质和相似三角形的性质。

通过观察和推理，我们可以发现△A P C与△C PD相似，△A PB与△B CP相似。

利用相似三角形的性质，我们可以得出A P=CP的结论。

3.题目二题目描述如图所示，在四边形A BC D中，连结A C和B D的交点为P。

证明：当且仅当四边形AB CD的对角线互相平分时，四边形AB CD为矩形。

A_______B||||D__|_______|__C解答和解题思路解答设四边形AB CD的对角线AC和B D相交于P点。

先证明四边形A BC D 是矩形的充分条件是A P=CP且B P=DP。

由题意可知，四边形A BC D是矩形，则A B∥C D且AD∥B C。

根据平行线性质，我们可以得到以下结论：A D/D C=AP/P C(1)A B/B C=BP/P D(2)由(1)式得到A P/PC=A D/DC，即AP/P C=A D/B D，再结合(2)式得到：A P/P C=AD/B D=AB/BD=AB/B C即A P/PC=A B/BC，从而得到AP=C P。

专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法、知识点1 •四边形的内角和与外角和定理：(1) 四边形的内角和等于360°; (2) 四边形的外角和等于360° .2. 多边形的内角和与外角和定理：(1) n 边形的内角和等于(n-2)180 ° ;(2) 任意多边形的外角和等于 360° .3. 平行四边形的性质:4、平行四边形判定方法的选择已知条件选择的判定方法 边一组对边相等 方法⑵,方法⑶ 一组对边平行 定义(方法D.方法⑶角经对角相等对角线方法⑷5、和平行四边形有关的辅助线作法(1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 勺对角线AC 的中点，四边形OCD 是平行四边形•E求证：OE 与AD 互相平分./ 飞说明：当已知条件中涉及到平行，且要求BC性质四边形ABCD 是平行四边形判定(1) 两组对边分别平行;(2) 两组对边分别相等; (3)两组对角分别相等;(4) 对角线互相平分； (5) 邻角互补.证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形—:(2)利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在△ ABC中，E、F为AB上两点, AE=BF ED//AC，FG//AC交BC分别为D, G.求证：ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问(3)利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图，已知ADS^ ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求证BF=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法•（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例4、如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE二CF ,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

高中立体几何辅助线技巧高中立体几何辅助线技巧立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的三维图形。

在高中数学学习过程中，立体几何是一个非常重要的部分，而辅助线技巧则是解决立体几何问题的关键。

本文将为大家介绍一些高中立体几何辅助线技巧。

一、平行四边形法平行四边形法是解决平面内两直线或两平面之间的夹角问题时经常使用的方法。

具体步骤如下：1. 画出两个相交直线或平面。

2. 在其中一个直线或平面上任选一点，连一条与另一个直线或平面相交于该点的直线。

3. 在另一个直线或平面上找到与上述直线相交于同一点的另一条直线。

4. 连接这两条相交于同一点的直线所构成的平行四边形对角线。

5. 平行四边形对角线所在的直线就是原来两个相交直线或平面之间夹角所在的位置。

二、垂足法垂足法主要用于求解空间内点到某个面或某条直线距离最短的问题。

具体步骤如下：1. 画出一个点和一个面或一条直线。

2. 连接该点到面或直线上的垂线。

3. 在垂线上找到垂足点。

4. 连接该点和垂足点，这条连线就是点到面或直线的最短距离。

三、平面几何基本定理法平面几何基本定理法主要用于解决空间内平行关系和相交关系的问题。

具体步骤如下：1. 画出两个平行或相交的直线或平面。

2. 根据平面几何基本定理，选择适当的辅助线，将图形分割成几个简单的部分。

3. 利用简单部分之间的关系，求出所需结果。

四、向量法向量法主要用于解决空间内向量运算相关问题。

具体步骤如下：1. 画出所需向量及其所在位置。

2. 根据向量运算公式，选择适当的辅助向量，并进行计算得到所需结果。

五、截距法截距法主要用于求解空间内某个图形与坐标轴之间的交点坐标。

具体步骤如下：1. 画出所需图形及其所在位置。

2. 根据图形与坐标轴的交点坐标关系，选择适当的辅助线，并进行计算得到所需结果。

综上所述，以上五种高中立体几何辅助线技巧在解决立体几何问题时非常实用。

在学习过程中，我们应该灵活运用这些技巧，提高解决问题的效率和准确性。

第十三讲 四边形中常见辅助线学习目标1．掌握四边形中常见辅助线的作法，并能灵活应用。

2、结合题目，通过作辅助线把复杂的问题简单化。

一、知识回顾 1、平行四边形四边形ABCD 是平行四边形 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 2、平行四边形判定方法的选择二、 例题辨析平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

ABDOC性质判定例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）⑴连结BF ⑵DE BF = ⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =图2图1OOECCABDABDEF第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ，10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ）A 111<<mB 222<<mC 1210<<mD 65<<m解：将线段DB 沿DC 方向平移，使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE 为平行四边形,∵在ACE ∆中, 12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==∴101221012+<<-m ，即2222<<m 解得111<<m 故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

平行四边形辅助线的常见添法1. 什么是平行四边形？在几何学中，平行四边形是一种特殊的四边形，它具有两对对立边分别平行。

一个平行四边形有以下特点： - 两对对立边分别平行 - 对立角相等 - 对角线互相平分在解决几何问题时，我们经常需要在平行四边形中绘制一些辅助线来帮助我们理解和解决问题。

接下来，我们将介绍一些常见的平行四边形辅助线的添法。

2. 垂直平分线垂直平分线是指通过一个角的顶点并垂直于对立边的直线。

在一个平行四边形中，通过任意一个内角的顶点作垂直于对立边的直线可以将该对立边等分为两个相等部分。

3. 中位线中位线是指连接两个相邻顶点并且与对立边中点重合的直线。

在一个平行四边形中，通过连接两个相邻顶点并且与对立边中点重合的直线可以将该平行四边形分成两个面积相等的三角形。

4. 对角线对角线是指连接两个非相邻顶点的直线。

在一个平行四边形中，通过连接两个非相邻顶点的直线可以将该平行四边形分成两个对角线互相平分的三角形。

5. 高线高线是指从一个顶点到对立边的垂直距离。

在一个平行四边形中，通过从一个顶点到对立边的垂直距离可以找到该平行四边形的高。

6. 平行四边形的性质除了上述常见的添法外，平行四边形还具有一些其他重要性质： - 相邻内角互补- 对立内角互补 - 相邻外角互补 - 对立外角互补 - 内角和为180度 - 外角和为360度这些性质使得我们在解决几何问题时可以利用平行四边形的特性来简化问题或者得出结论。

7. 总结通过本文介绍，我们了解了常见的平行四边形辅助线的添法。

这些辅助线可以帮助我们更好地理解和解决平行四边形相关的几何问题。

同时，我们也了解到平行四边形具有一些重要的性质，这些性质在解决几何问题时起到了关键作用。

希望通过本文的介绍，读者对于平行四边形辅助线的常见添法有了更深入的理解，并能够在实际问题中灵活运用。