2016考前谈兵(4).谈解析几何解题中的设而不求技术(1)

解析几何中“设而不求”的常用技巧赵忠平【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2012(000)010【总页数】3页(P19-21)【作者】赵忠平【作者单位】永昌县第一高级中学甘肃永昌737200【正文语种】中文解析几何综合问题作为每年数学高考的压轴题型之一，能够有效地考查学生的思维能力和运算能力.由于解题过程中经常出现大量的参数，需要用到“设而不求”的思想方法进行消参，许多学生感到运算难度大、解题正确率低.本文总结解析几何中“设而不求”的几种常用技巧，仅供参考.1 利用曲(直)线定义例1 过圆外一点P(2，-1)引圆x2+y2=1的2条切线，求经过2个切点的直线方程.分析设2个切点分别为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则切线方程为因为切线方程过点P(2，-1)，所以可见 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都满足方程 2x-y=1.因此，经过2个切点的直线方程为2x-y=1.例2 已知双曲线的方程是16x2-9y2=144，F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.点评曲线定义中往往包含“数”与“形”的特征，巧妙运用曲线定义可以达到在运算中进行“整体代换”的目的.2 利用韦达定理例3 已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C 截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点O.若存在，写出l的方程;若不存在，请说明理由.分析设存在这样的直线 l：y=x+b，代入x2+y2-2x+4y-4=0，得设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由题意OA⊥OB，得将式(1)，式(2)代入式(3)得即b=1或b=-4.易验证b=1或b=-4时，Δ＞0，故直线l存在，其方程为y=x+1或y=x-4.点评直线与曲线位置关系的综合问题一般可以通过联立方程组消去一个变量，得到关于另外一个变量的二次方程，再运用韦达定理表示弦长、面积、弦中点、弦的垂直平分线方程等，在运算中进行“整体代换”，消去多余参数.3 利用“点差法”例4 过点M(-2，0)的直线 l与椭圆 x2+2y2=2交于点P1，P2，线段P1P2的中点为P.设直线l的斜率为k1(k1≠0)，设直线OP的斜率为k2，则k1k2= ______. 分析设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x0，y0)，则两式相减得点评与“弦中点”有关的问题或与曲线上2个点斜率有关的问题通常可以运用“点差法”进行“整体代换”，从而简化运算.4 利用方程“整体”结构例5 垂直于x轴的直线交双曲线于点M，N，A1，A2为双曲线的顶点，求直线A1M与A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹形状.分析设 A1(-a，0)，A2(a，0)，M(x1，y1)，N(x1，-y1)，则直线A1M的方程为直线A2N的方程为式(4)×式(5)，得因为(x1，y1)在双曲线上，所以当a=b时，轨迹为以原点为圆心、以a为半径的圆;当a≠b时，轨迹为椭圆.点评利用方程整体结构特点，两式相加或相乘消去多余参数，从整体上实现对方程的化简也是一种常用的“设而不求”技巧.5 利用焦半径公式例6 已知过椭圆的右焦点F2垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，椭圆上不同的2个点 A，C 满足|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列.求AC中点的横坐标.因此AC中点的横坐标为4.点评与曲线上点到焦点有关的问题常常利用焦半径公式化简，可以起到“整体代换”的作用.6 利用“特征构造法”例7 ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段 OD 的中点.已知|AB|=4，曲线C过点Q，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程;(2)过点B的直线l与曲线C交于点M，N，与OD所在直线交于点求证：λ1+λ2为定值.分析 (1)略.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(0，y0)，易知B(2，0).因为，所以因此λ1，λ2是方程的2个根，即点评由2个结构特征完全相同的等式(或不等式)可以先构造方程(或不等式)，再利用根与系数关系实现“设而不求”.。

解析几何中的设而不求解题技巧解析几何是中学数学的重点内容，也是高考主要考察的地方，解析几何的方法与技巧也较多，其中一类的问题是设而不求，就是可以设出有关的点，或设出有关的变量，通过这些变量来解决问题，而设出的这些变量不用求出来，只是参与解题，通过这一桥梁作用求出问题，解决问题，下面就常用的设而不求的类型总结如下，希望对同学有所帮助。

一 遇到中点问题一般用设而不求例1 ,椭圆Q ：)0( 12222>>=+b a by a x 的右焦点为F （c,0），过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点. （1）求点P 的轨迹H 的方程；（2）若在Q 的方程中，令θθsin cos 12++=a ， ).20(sin 2πθθ≤<=b 确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远. 此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么 位置时，三角形ABD 的面积最大？（1）设椭圆),(1:112222y x A by a x Q 上的点=+、),(22y x B ，又设P 点坐标为),(y x P ，则),(y x P ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2222222222212212ba y a xb ba y a xb 1°当AB 不垂直x 轴时，21x x ≠，由①—②得)(.0,,02)(2)(22222222121212212*=-+∴-=-=--∴=-+- cx b y a x b cx yy a x b x x y y y y y a x x x b2°当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（*） 故所求点P 的轨迹H 的方程为：022222=-+cx b y a x b（2）因为，椭圆Q 右准线l 方程是c a x 2=原点距椭圆Q 的右准线l 的距离为,2ca,1||),0,2(,1,1,2.,2,,2).42(2cos 1cos sin 1).20(sin ,sin cos 1,22222222======+=+++=≤<=++=-=DF D c b a l Q in c a b a b a c 此时最远的右准线原点距椭圆时所以当上式达到最大值时当则由于πθπθπθθθθπθθθθ),(112:1122y x A y x Q 上的点设椭圆=+、),,(22y x B.0,1,2484,11,)2()1(84)()(4,21,22.012)2(,112,1.||21||21||212222221221221222122122222121取等号当得令由韦达定理得得中代入的方程为设直线面积===≤≥+=++=-+=-=+-=+-=+=-++=++=-=+=∆k t t tS k t k k y y y y y y S k y y k k y y ky y k y x ky x m y y y y S ABD 因此，当直线m 绕点F 转动到垂直x 轴位置时，三角形ABD 的面积最大. 点评：求圆锥曲线的弦的中点轨迹问题时一般用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线的交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，代入圆锥曲线方程两式相减便可求出中点坐标与斜率的关系。

“设而不求”在解析几何中的应用“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．一、巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求[典例1] 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．[解析] 法一：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B ＋p2＝4×p2⇒y A ＋y B ＝p . 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py可得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 所以y A ＋y B ＝2pb 2a 2＝p ，解得a ＝2b ，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .法二：(点差法)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .易知直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . [答案] y ＝±22x 二、中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，此法实质上是“设而不求”的一种方法 [典例2] (1)△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2,2)，△ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为________．(2)抛物线E ：y 2＝2x 上存在两点关于直线y ＝k (x －2)对称，则k 的取值范围是________． [解析] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知G ⎝⎛⎭⎫12，0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋23＝12，y 1＋y 2＋23＝0，从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y22＝－1，即M ⎝⎛⎭⎫－14，－1， 又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1，故直线BC 的方程为y －(－1)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋14，即4x ＋4y ＋5＝0. (2)当k ＝0时，显然成立．当k ≠0时，设两对称点为B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点为M (x 0，y 0)，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0，由对称性知k BC ＝－1k，点M 在直线y ＝k (x －2)上，所以y 0＝－k ，y 0＝k (x 0－2)，所以x 0＝1.由点M 在抛物线内，得y 20<2x 0，即(－k )2<2，所以－2<k <2，且k ≠0.综上，k 的取值范围为(－2，2)．[答案] (1)x ＋y ＋54＝0 (2)(－2，2)三、中点弦或对称问题的“点差法”求解 [典例3]已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[解] 假设存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，由⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，x 22－y222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，又x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1， 所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1，消去y 得2x 2－4x ＋3＝0， 因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．(说明最后验证Δ＞0是十分必要的)四、求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，此法实质上也是设而不求[典例4] 已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．[解析] 法一：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋12，消去x 得y 2－2ty －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1.所以|AB |＝t 2＋1|y 1－y 2|＝t 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝t 2＋14t 2＋4＝2t 2＋2， 同理得，用1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝2⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ()12，0，不妨设l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k ()x －12，l 2：y ＝－1k()x －12由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1＋2k 2.由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8. [答案] 8。

设而不求法的解题步骤
一、设立未知数
首先，我们需要根据题目的条件和要求，选择适当的未知数。

未知数的选择应该使得问题简化，并且能够通过代数运算求解。

二、建立方程或方程组
根据题目给出的条件和未知数，我们需要建立方程或方程组来表达问题的数学关系。

这个步骤需要仔细分析题目的条件，找出等量关系或不等量关系，并转化为数学表达式。

三、整体代入
在建立方程或方程组后，我们需要对方程中的未知数进行代入。

通常我们会将已知量或较容易求得的量代入到方程中，以简化计算过程。

四、消去未知数
在整体代入后，我们可以通过代数运算来消去方程中的未知数。

常用的方法包括加减消元法、代入法等。

在消去未知数的过程中，需要特别注意符号和运算顺序，确保计算的正确性。

五、求解问题
最后，我们可以通过代数运算得出最终结果。

在求解问题时，需要注意结果是否符合实际情况和题目的要求，并进行必要的检验和验证。

高考解析几何题“设而不求”解题法的应用数学问题的解答中，思维方法往往是解题的突破口。

若思维得法，解题就会一气呵成。

“设而不求法”指利用题设条件，巧妙设元，通过整体替换再消元或减元，达到运算中以简驭繁的目的的一种解题方法。

“设而不求”解题思想是高考解析几何题常利用的方法之一，它通过设而不求的策略，可以使复杂的问题简单化，解题准确、快捷。

解析几何问题“设而不求”的解题思想的常见方法有：设而不求整体化归、利用韦达定理、代点相减法、利用曲线系方程整体消元法等。

一、设而不求，整体化归通过巧设坐标或参数，应用性质进行化归，整体消元，绕开复杂的运算过程，从而使问题得到迅速解决。

例1.（2011高考模拟）如图1，已知椭圆x2+2y2=8和定点p（4，1），过p作直线交椭圆于a、b两点，在线段ab上取点q，使ap/pb=-aq/qb，求动点q的轨迹方程。

分析：b、q、a、p在同一线段上，且ap/pb=-aq/qb，故可设ap/pb=k，于是b、q、a、p坐标之间的联系就找到了，把b、a点的坐标及k 设而不求，通过消元的办法找出q点坐标的关系式，即求出q点的轨迹方程。

解：设q（x，y），a（x1，y1），b（x2，y2），ap/pb=k，则4=■，1=■x=■，y=■∴4x=■，2y=■两式相加得4x+2y=■=8所以q点的轨迹方程为2x+2y=4（在已知椭圆内）点评：通过坐标或参数设而不求，巧妙化归，整体消元，解题过程变得顺畅、完美。

例2.（2010高考模拟）p0（x0，y0）是双曲线的■-■=1上的一点，过点p作两渐近线的平行线，分别与另一渐近线交于q、r，求证四边形orpq的面积为定值。

分析：设oq、or的倾斜角分别为？琢，？茁，夹角为？兹，且有tａｎ？琢＝■，tａｎ？茁＝-■，cos？琢＝■，cos？茁＝-■，则直线pr的方程为y=■（x-x0）+y0，直线qr的方程为y=-■（x-x0）+y0，分别与双曲线方程联立解得xr=■-■y0，xq=■+■y0。

谈谈解析几何解题中的“设而不求”技术（一） 什么是“设而不求” ?我们先看下面的例子:过圆外一点P(a,b)引圆x 2+y 2=R 2的两条切线，求经过两切点的直线方程. 按常规,应当先求切点的坐标,再求切线方程.可是求切点避免不了解方程组,而在通常情况下,解方程组牵涉到繁杂的计算,可不可以避免这一繁杂的程序呢?请看:【解析】设两切点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则两切线方程分别为：x 1x+y 1y=R 2,x 2x+y 2y=R 2.∵切线经过点P(a,b),∴ax 1+by 1=R 2,ax 2+by 2=R 2.∵点(x 1,y 1),(x 2,y 2)适合方程ax+by=R 2,∴所求直线方程为ax+by=R 2. 在这里,我们用四个参变量x 1, y 1,x 2 ,y 2分别表示两切点A 、B 的坐标,以此为基础进行推理,同样达到解题的目的.这种在一定条件下,通过合理的设参、消参以避免某些中间过程的计算,最终达到解题目的的手段,就是“设而不求”. （二） 哪些问题可以实施“设而不求”?【题1】椭圆193622=+y x 的弦被点（4，2）平分，那么此弦所在直线的方程是【解析】设弦两端分别无A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有 ()13642121=+y x()23642222=+y x（1）-（2）：()()()()0421212121=-++-+y y y y x x x x （3）由条件：AB 中点为（4，2），∴()：代入⎩⎨⎧=+=+3482121y y x x ∴()()，则21,016821212121-=--==-+-x x y y k y y x x 故所求直线方程为：()0824212=-+--=-y x x y 也就是：.【评述】本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的中点而求弦所在直线方程,可以对其交点实施“设而不求”.【题2】已知直线1:02856:2222=+=--by a x c y x l 与椭圆（0<b<a 且b ∈Z ）交于M 、N 两点，B 是椭圆的上顶点，△BMN 的重心恰为椭圆的右焦点，求椭圆C 的方程.【解析】设直线()():,,,,2211则两点于交椭圆y x N y x M c l()()()105656028560285621212211⎩⎨⎧=-+-+⇒=--=--y y x x y x y x 且()()()()⎩⎨⎧=-++-+⇒=+=+,021*********222222222212212y y y y a x x x x b ba x a xb b a y a x b 但点M 、N 在直线:65280,l x y --=上()()()212122121266,255MNb x x y y k x x a y y +-∴==∴=--+椭圆上顶点为B （0，b ），且椭圆右焦点F （c ，0）为△BMN 的重心，()()⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=+=+⇒=++=++∴:13303021212121代入b y y cx x b y y c x x()()():23456518再代入=+b c(),,52,563222222c b a a bc b a c b +==∴-=-⋅而.22,025222bc b c b cb c ==∴=+-∴或()()从而代入舍去代入,4,5614:42;,,5641:42=∴==∉==b b bc Z b b b c .11620:,20,222222=+=+==y x c b a c 则所求椭圆方程为 【评述】本解说明:当直线与曲线相交,若已知直线方程（或其斜率）,而求曲线方程,可以对其交点 实施“设而不求”.【题3】 长为2的线段AB 在抛物线y=x 2上滑动，求AB 中点的轨迹方程. 【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)为抛物线y=x 2上两点，那么：()12)())((2122121212121222211⎩⎨⎧-+=+-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧==x x x x y y x x x x y y x y x y 设AB 中点为M(x,y),那么：()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-⇒⎩⎨⎧-=-=-⎩⎨⎧=+=+yx x x x x x y y x x x y x x x y y yy y x x x 2212212221************)(4)(242)(2:1222代入∴|AB|2=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)2=(1+4x 2)(x 1－x 2)2=(1+4x 2)[(x 1+x 2)2－4x 1x 2]=(1+4x 2)[4x 2－4(2x 2－y)]=4（1+4x 2）（y －x 2）已知|AB|=2.∴(1+4x 2)(y －x 2)=1,所求点M 的轨迹方程为：y=x 2+2411x +.【评述】本解说明: 当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实施“设而不求”.【小结】按理说,解数学题避免不了‘求’,其最终目的（不论是计算题还是证明题）,都是要‘求’出最后的结果的.这里说的‘不求’,专指可以简化的解题中间过程,用‘设’去代替‘求’.以上各例说明:在解析几何解题中,凡是与弦的中点或弦所在直线的斜率有关的问题,都可以实施“设而不求”.但是, “设而不求”的范围并不仅限于此,它还大量应用于求弦的长度等中间过程之中.因而,它在解高考解析几何大题中大有用武之地,请看：考场精彩【题4】（高考题）P.Q.M.N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知共线，与共线，与且，0=⋅求四边形PMQN 的面积的最大值与最小值.【分析】（1）∵PQ⊥MN ，S四边形PMQNMN PQ 21，故应先求椭圆的弦PQ 与MN 之长；但是,求弦长不必先求交点,可以对交点实施“设而不求”. （2）“设而不求”必须先设参数,而参数的个数应越少越好.选用直线的参数方程可以使参数的个数减半.又由于PQ ⊥MN ，弦PQ 与MN 之长的计算过程类似,又可以用“同理”的技术处之.【解析】椭圆的上交点为F （1，0）.设直线PQ 的参数方程为：⎩⎨⎧+==ααsin 1cos t y t xα∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，t 为参数.代入椭圆方程：()().01sin 2cos 1,2sin 1cos 222222=-++=++ααααt t t t 即设此方程之二根为t 1，t 2,则|PQ|=|t 1-t 2|=()()221212222224sin 4222241cos 1cos 1cos 1cos t t t t MN αααβα+-=+==++++，同理：， 90PQ MN βα⊥∴=︒-，，|MN|=,sin 1222α+ 于是MN PQ S PMQN ⋅=21四边形 ,2sin 4124sin 122cos 12221222ααα+=+⋅+⋅=当α=0时，S max =2；当α=4π时，S min =916.【评析】由于实施了“分析”中的两点措施,解这道解析几何大题所用的工夫仅相当于解一道小题.这说明:只要方法对路,“大题”也是可以“小做”的.【题5】（高考题） 设A 、B 是椭圆223x y λ+=上两点，点(1,3)N 是线段AB的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点。

高中数学解析几何设而不求的若干途径设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的解答中，常常可以起到简化计算的作用。

许多同学会问：什么情况下，可以通过设而不求解答问题呢？本文介绍设而不求的若干实施途径，供大家参考。

一、利用直线方程的两点式求直线方程时，利用直线方程的定义，实现设而不求 例1 过圆外一点P （a ，b ）引圆222r y x =+的两条切线，求经过两个切点的直线方程。

解：设两个切点分别为P 1（11y x ，），P 2（22y x ，），则切线方程为：211PP r by ax :1=+l ，222PP r by ax :2=+l 。

可见P 1（11y x ，），P 2（22y x ，）都满足方程2r by ax =+，由直线方程的定义得：2r by ax =+，即为经过两个切点的直线方程。

二、解答有关点在圆锥曲线上的问题时，借助圆锥曲线定义，整体考虑，实现设而不求 例2 已知椭圆2122F F 19y 25x 、，=+为焦点，点P 为椭圆上一点，3PF F 21π=∠，求21PF F S ∆。

解析：由题意知点P 为椭圆上一点，根据椭圆的定义10|PF ||PF |21=+。

再注意到求21PF F S ∆的关键是求出|PF ||PF |21⋅这一整体，则可采用如下设而不求的解法：设2211r |PF |r |PF |==，由椭圆定义得10r r 21=+① 由余弦定理得643cos r r 2r r 212221=π-+ ② ①2－②得，12r r 21=333sin r r 21S 21PF F 21=π=∴∆ 三、解答与圆锥曲线的弦的中点、斜率有关的问题时，通过代点相减，实现设而不求 例3 求过椭圆16y 4x 22=+内一点A （1，1）的弦PQ 的中点M 的轨迹方程。

解析：设动弦PQ 的方程为)1x (k 1y -=-，设P （11y x ，），Q （22y x ，），M （00y x ，），则：16y 4x 2121=+① 16y 4x 2222=+ ②①－②得：0)y y )(y y (4)x x )(x x (21212121=-++-+当21x x ≠时，0x x y y 2y y 42x x 12122121=--⋅+⋅++ 由题意知k x x y y y 2y y x 2x x 1212021021=--=+=+，，，即0k y 4x 00=+ ③ ③式与)1x (k 1y 00-=-联立消去k ，得0y 4x y 4x 002020=--+ ④ 当21x x =时，k 不存在，此时，0y 1x 00==，，也满足④。

例谈“设而不求”在解析几何中的应用
作者：王俊胜
来源：《新高考·高三数学》2016年第03期
“设而不求”的解题方法是通过设定未知数，根据题目给出的条件，找到各量之间的制约关系，从而通过方程解出未知数，或是通过有关未知数的列式计算出答案。

“设而不求”的思想通过搭建桥梁关系，直达问题中心，从而得出答案，既节省时间，又减少了解题步骤，提高了解题正确率。

运用“设而不求”的技巧，注意了运算的合理性、目的性，同时用到了韦达定理、中点坐标公式、向量垂直的充要条件等，使思路更加清晰，运算得以简化，从而帮助我们迅速地解决了问题。

在数学解题过程中，有些题目如果选择“设而不求”的方法，则会更加简捷。

有的题目按照常规思路考虑只会更加复杂，难以解决。

如果在做数学题的过程中，遇到了这样的问题，就应该尝试使用“设而不求”的方法，通过这种特殊的思想，简化解题步骤，从而开拓思维，解决问题。