八年级下学期第二次月考数学试题(含答案)

河南省桐柏县2021-2021学年八年级数学下学期第二次月考试题一、选择题（每小题3分，共计24分）1．若反比例函数ky x=的图象经过点（1，－2），则k=（ ） A 、―2 B 、2 C 、12、 D 、―122．已知某反比例函数的图象经过点()m n ，，则它一定也经过点（ ） A ．()m n -，B ．()n m ，C ．()m n -，D ．()m n ，3．如果把分式ba ba 22-+中的a 、b 都扩大3倍，那么分式的值一定( )A 、是原来的3倍B 、是原来的5倍C 、是原来的31D 、不变 4．表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数且0mn ≠）图象是（ ）5．如图，一次函数y 1=x+1的图象与反比例函数y 2=2x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，连接AO 、BO ，下列说法正确的是 A. 点A 和点B 关于原点对称 B. 当x ＜1时，y 1＞y 2 C. S △AOC =S △BODD. 当x ＞0时，y 1、y 2都随x 的增大而增大如图，过x 轴正半轴任意一点P 作x 轴的垂线，分别与反比例函数y 1=2x 和y 2=4x的图像交于点A 和点B.若点C 是y 轴上任意一点，连结AC 、BC ，则△ABC 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是 ( ) A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形8．若x<0，则xx x 2-的结果是（ ）A ．0B ．—2C ．0或—2D ．2二、填空题（每小题3分，共计24分）9．已知平行四边形ABCD ，请补充一个条件，使它成为矩形ABCD ．你补充的条件是 ． 10．分式26+-x x ,当x=_____________时,值为零;当x=_____________时,无意义. 11．矩形的两条对角线的一个交角为60o，两条对角线的和为8cm ，则这个矩形的一条较短边为 cm ．12．已知反比例函数32m yx，当______m 时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当______m 时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大；13．已知空气的单位体积质量为0.00124克/厘米³，将0.00124克/厘米³用科学计数法表示为14．在函数y ＝21m x +的图象上有三个点（－2，y 1），(－1，y 2)，（15，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系为__________________（用“＜”连接）．15．如图,正方形ABCD 中,点E 、F 分别在边BC 、CD 上,且AE =EF =FA ．你能得出的结论： ① ② ③16． 如图，一次函数y=mx 与反比例函数y=xk的图象交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若=3，则k 的值是 .三、计算题（每小题6分，共计12分）先化简24x 4x 4x x x ++⎛⎫-÷⎪⎝⎭再从-3<x<2中，选择一个你喜欢的值代入求值。

辽宁省沈阳市和平区峥嵘中学2021-2022学年八年级下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．观察如图所示的图形，绕着它的中心旋转120°后能与自身重合有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下面是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（）A ．2+x=x ﹣1B ．2﹣x=1C ．2+x=1﹣x D ．2﹣x=x ﹣13．若分式3a ba 中的,ab 的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值()A ．是原来的3倍B ．是原来的127C ．是原来的19D ．是原来的134．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝90°，将四边形ABCD 沿AB 方向平移得到四边形A 'B 'C 'D '，BC 与C 'D '相交于点E ，若BC ＝8，CE ＝3，C 'E ＝2，则阴影部分的面积为（）A ．B ．13C ．D ．265．已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A ，B 为顶点的网格平行四边形的个数为()A ．6B ．8C ．10D ．126．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%，今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~5月份每辆车的销售价格为x 万元.根据题意，列方程正确的是()A ．50005000(120%)1x x-=+B ．50005000(120%)1x x +=+C ．50005000(120%)1x x-=-D ．50005000(120%)1x x+=-7．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作EF BC ∥交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，下列四个结论：①EF BE CF =+；②1902BOC A ∠=+∠︒；③点O 到ABC 各边的距离相等；④设,OD m AE AF n =+=，则AEF S mn =△．其中正确的结论是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④8．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE ＝AF ，AC 与EF 相交于点G ．下列结论：①AC 垂直平分EF ；②BE +DF ＝EF ；③当∠DAF ＝15°时，△AEF 为等边三角形；④当∠EAF ＝60°时，12ABE CEF S S =△△．其中正确的是（）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④二、填空题9．若分式222x-+的值为0，则x 的值是______．10．若不等式组01x m x m ->⎧⎨-<⎩的解集中每一个x 值均不在25x ≤≤的范围内，则m 的取值范围是______．11．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝30°，AD ＝BD ＝4，则平行四边形ABCD 的面积等于______________.12．如图，过边长为5的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为_____．13．如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，点F 、G 分别在边,BC CD 上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为_________.三、解答题14．在A ，B 两地间仅有一条长为360千米的笔直公路，若甲，乙两车分别从A 、B 两地同时出发，匀速前往终点B ，A 两地，乙车速度是甲车速度的34倍，乙车比甲车晚到90分钟，求乙车每小时行驶多少千米？15．如图，ABC 和BDE △都是等腰直角三角形，90ACB DBE ∠=∠=︒，连接CD ，以CA ，CD 为邻边作CAFD Y ，连接CE ，BF ．（1）如图1，当D 在BC 边上时，请直接写出CE 与BF 的关系；（2）如图2，将图1中的BDE △绕点B 顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不存在，请说明理由；（3）若3AC =，2BD =，将图1中的BDE △绕点B 顺时针旋转一周，当BD 与直线BC 夹角为30°时，请直接写出CE 的值．16．如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，∠AEB ＝90°，将Rt △ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90°，得到△CBE '（点A 的对应点为点C ）．延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．猜想证明：(1)四边形BE 'FE 的形状是______；(2)如图②，若DA ＝DE ，请猜想线段CF 与FE 的数量关系并加以证明；(3)如图①，若AB ＝15，CF ＝3，求DE 的长．参考答案：1．B【分析】根据旋转的性质，对题中图形进行分析，判定正确选项．【详解】解∶①旋转120°后，图形可以与原来的位置重合，故正确；②旋转120°后，图形无法与原来的位置重合，故错误；③旋转120°后，图形无法与原来的位置重合，故错误；④旋转120°后，图形与原来的位置重合，故正确．故选∶B ．【点睛】本题考查图形的旋转与重合，理解旋转图形的定义是解决本题的关键．2．D【详解】解：方程的两边同乘（x ﹣1），即可得2﹣x=x ﹣1．故选：D ．3．C【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】原式3333a 3b a b 1a b(3a)9a 9a +++===⨯；故选C ．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4．B【分析】利用平移的性质得到B ′C ′＝BC ＝8，BC ∥B ′C ′，CD ∥C ′D ′，S 梯形ABCD ＝S 梯形A ′B ′C ′D ′，然后根据S 阴影部分＝S 梯形BB ′C ′E 进行计算．【详解】解：∵四边形ABCD 沿AB 方向平移得到四边形A 'B 'C 'D '，∴B ′C ′＝BC ＝8，BC ∥B ′C ′，CD ∥C ′D ′，S 梯形ABCD ＝S 梯形A ′B ′C ′D ′，∴C ′D ′⊥BE ，∴S 阴影部分＝S 梯形BB ′C ′E ＝12（8﹣3+8）×2＝13．故选：B ．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．5．D【详解】分析:根据平行四边形的定义:两组对边平行的四边形是平行四边形,显然图中以A 、B 为顶点的网格平行四边形的个数为12个，分以AB 为边和以AB 为对角线两种思路求解.详解:如图所示,根据平行四边形的定义,则以AB 为边的网格平行四边形有6个,以AB 为对角线的网格平行四边形有6个,则共有12个.故选D.点睛:本题考查了平行四边形的判定,此题要能够根据平行四边形的定义,分别以AB 为边或对角线找到所有的平行四边形.6．A【分析】首先根据所设今年每辆车的价格，可表示出去年的价格，同样根据销售总额的关系可表示出今年的销售总额，然后再根据去年和今年1~5月份销售汽车的数量相同建立方程即可得解.【详解】∵今年1~5月份每辆车的销售价格为x 万元，∴去年每辆车的销售价格为（x+1）万元，则有()5000120%50001x x-=+故选A.【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中去年和今年的关系.7．A【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和即可对②进行判断；根据平行线的性质和角平分线的定义可得,EBO EOB FCO COF ∠=∠∠=∠，再根据等角对等边即得,BE EO OF CF ==，进而可对①进行判断；过O 作OM AB ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，连接OA ，可得ON OD OM m ===，可得12AEF AOE AOF S S S mn =+=即可对④进行判断；根据角平分线的性质即可对③进行判断．【详解】解：∵在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，∴11,,18022OBC ABC OCB ACB A ABC ACB ∠=∠∠=∠∠+∠+∠=︒，∴1902OBC OCB A ∠+∠=︒-∠，∴()1180902BOC OBC OCB A ∠=︒-∠+∠=︒+∠；故②正确；∵在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，∴,OBC OBE OCB OCF ∠=∠∠=∠，∵EF BC ∥，∴,OBC EOB OCB FOC ∠=∠∠=∠，∴,EOB OBE FOC OCF ∠=∠∠=∠，∴,BE OE CF OF ==，∴EF OE OF BE CF =+=+，故①正确；过点O 作OM AB ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，连接OA ，∵在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，∴ON OD OM m ===，∴()11112222AEF AOE AOF S S S AE OM AF OD OD AE AF mn =+=⋅+⋅=⋅+=△△△；故④错误；∵在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，∴点O 到ABC 各边的距离相等，故③正确．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理和角平分线的性质，属于基础题型，熟练掌握角平分线的性质等基本知识是解题关键．8．C【分析】①通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE ＝∠DAF ，BE ＝DF ，由正方形的性质就可以得出EC ＝FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，②设BC ＝x ，CE ＝y ，由勾股定理就可以得出EF 与x 、y 的关系，表示出BE 与EF ，即可判断BE +DF 与EF 关系不确定；③当∠DAF ＝15°时，可计算出∠EAF ＝60°，即可判断△EAF 为等边三角形，④当∠EAF＝60°时，设EC ＝x ，BE ＝y ，由勾股定理就可以得出x 与y 的关系，表示出BE 与EF ，利用三角形的面积公式分别表示出CEF S △和ABE S ，再通过比较大小就可以得出结论．【详解】解：①四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AFAB AD =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE ＝DF ，∵BC ＝CD ，∴BC ﹣BE ＝CD ﹣DF ，即CE ＝CF ，∵AE ＝AF ，∴AC 垂直平分EF ．故①正确；②设BC ＝a ，CE ＝y ，则BE =DF =a -y ，∴BE +DF ＝2（a ﹣y ），EF y ，∴BE +DF 与EF 关系不确定，只有当y ＝（2）a 时成立，故②错误；③当∠DAF ＝15°时，∵Rt △ABE ≌Rt △ADF ，∴∠DAF ＝∠BAE ＝15°，∴∠EAF ＝90°﹣2×15°＝60°，又∵AE ＝AF∴△AEF 为等边三角形．故③正确；④当∠EAF ＝60°时，则△AEF 是等边三角形，设EC ＝x ，BE ＝y ，则CF =x ，∴AB =BC =x +y ，22222EF CE CF x =+=，∴222AE x =，∵222AB BE AE +=，即()2222x y y x =++，∴()22x y x y =+，∵21122CEF S CE CF x =⋅=V ，()12ABE AB B y S E x y =⋅=+ ，∴12ABE CEF S S =△△．故④正确．综上所述，正确的有①③④，故选：C ．【点睛】本题属于四边形综合题，是中考填空题或选择题的压轴题，考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质是解题的关键．9．2【分析】根据分式值为0的条件解答即可．【详解】∵分式222xx x-+的值为0，∴22020x x x ⎧-=⎨+≠⎩，∴202x x x =±⎧⎨≠≠-⎩，，∴2x =．故答案为：2．【点睛】本题考查分式值为0的条件，解一元二次方程．掌握分式值为0的条件：分子为0，分母不为0是解题关键．10．1m ≤或5m ≥【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解来确定不等式组的解集，再结合解集中任意一个x 的值都不在25x ≤≤的范围内可得答案．【详解】解：01x m x m ->⎧⎨-<⎩①②，解不等式①，得x >m ，解不等式②，得1x m <+，所以不等式组的解集是1m x m <<+，不等式组01x m x m ->⎧⎨-<⎩的解集中每一个x 值均不在25x ≤≤的范围内，12∴+≤或5mm≥，m≥，解得：1m£或5m≥，即m的取值范围是1m£或5m≥．故答案为：1m£或5【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．11．【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，分点E在AB上或AB的延长线上两种情况，分别利用三角函数求出AE、DE的长，利用勾股定理求出BE的长，继而可得AB的长，然后利用平行四边形的面积公式进行求解即可.【详解】过点D作DE⊥AB，垂足为E，如图1，点E在AB上，∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=AE=ADcos30°=6，在Rt△DBE中，2=，∴AB=AE+BE=8，∴平行四边形ABCD的面积为8⨯=如图2，点E在AB的延长线上，∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=AE=ADcos30°=6，在Rt△DBE中，2=，∴AB=AE-BE=4，∴平行四边形ABCD的面积为4⨯=故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的面积，正确地画出图形是解题的关键.12．2.5【分析】过点P 作PF BC ∥交AC 于点F ，根据题意可证APF 是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明AE FE =，根据全等三角形判定定理可证PFD QCD ≌△△，DF DC =，进而证明12DE AC =，计算求值即可．【详解】解：过点P 作PF BC ∥交AC 于点F，∵PF BC ∥，ABC 是等边三角形，∴60,60APF B A ︒︒∠=∠=∠=，∴APF 是等边三角形，∴PF PA =，∵PE AC ⊥，∴AE FE =；∵PA CQ =，∴PF CQ =，∵PF BC ∥，∴∠=∠PFD QCD ，在FPD △和QCD 中，PDF QDC PFD QCD PF QC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PFD QCD ≌△△，∴DF DC =，∴12DF FC =，12EF AF =，∵,DF EF DE FC AF AC +=+=，∴()11112222DE FC AF FC AF AC =+=+=，∵5AC =，∴115 2.522DE AC ==⨯=，故答案为：2.5【点睛】本题考查了平行线性质、等边三角形性质与判定、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是解题关键．13【分析】连接AC ,根据正方形的性质可得A 、E 、C 三点共线，连接FG 交AC 于点M ，由正方形的性质求和勾股定理可求得EC 和FG ，AC 的长度,从而求得AE ,因为的中点，可得PE 和AP ,再由正方形的性质可得GM 和EM ,FG ，在Rt △PGM 中，求解即可．【详解】解，如下图，连接AC ，连接FG 与AC 交于点M∵四边形ABCD 和四边形EFCG 是正方形，且点F 、G 分别在边,BC CD 上∴A 、E 、C 三点共线，90,90ABC EFC ∠=∠= ，EC FG ⊥,EC FG=在Rt ABC 中，90,3ABC AB BC ∠=== 由勾股定理得：222223318AC AB BC =+=+=∵AC ＞0∴AC =在Rt EFC 中，90,1EFC EF FC ∠=== 由勾股定理得：22222112EC EF FC =+=+=∵EC ＞0∴EC =∴AE AC EC =-=又∵P 是AE 的中点，M 是EC 的中点∴12PM AC ==又∵1122GM FG EC ==在Rt PGM 中，由勾股定理得：222PG PM GM =+即：22222PG ⎛⎛=+ ⎝⎭⎝⎭=5∵0PG >∴PG =【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理解三角形等知识点，牢记性质和定理内容，并结合图形灵活应用是解题关键．14．乙车速度为60千米/时【分析】设甲车速度为x 千米/时，则乙车的速度是34x 千米/时，根据“乙车比甲车晚到90分钟”列出方程并解答．【详解】解：设甲车速度为x 千米/时，则乙车的速度是34x 千米/时，依题意得：360903603604x x +=，解得：80x =，经检验：80x =是原方程的解，∴3604x =，答：乙车速度为60千米/时．【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．15．（1）CE BF =，CE BF ⊥；（2）成立，证明见解析；（3【分析】（1）证明△BEC ≌△DBF （SAS ），由全等三角形的性质得出CE=BF ，∠BCE=∠DFB ，则可得到结论；（2）延长FD 交BC 于点G ，证明△CBE ≌△△FDB （SAS ），由全等三角形的性质得出CE=BF ，∠ECB=∠BFG ，则可得出结论；（3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案；【详解】（1）CE BF =，CE BF ⊥；如图，设CE与BF相交于点M，∵△ABC和△BDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DBE=90°，∴AC=BC，DE=DB，∵四边形CAFD是平行四边形，∴CA=DF=BC，CA∥DF，∠ACB=∠FDB，∴∠CBE=∠FDB=90°，∴△BEC≌△DBF（SAS），∴CE=BF，∠BCE=∠DFB，∵∠DFB+∠DBF=90°，∴∠BCE+∠DBF==90°，∴∠CMB=90°，⊥．∴CE BF（2）成立证明：如图，延长FD交BC于点G．四边形ACDF是平行四边形，=，∴，AC FD//AC FDDGB ACB∴∠=∠=︒，90∴∠=∠+∠，FDB DGB DBG∴∠=︒+∠，FDB DBG90，∠=︒DBE90∴∠=︒+∠，90CBE DBGFDB CBE ∠=∠，ABC 是等腰直角三角形，AC BC ∴=，又AC DF = ，BC DF ∴=，BD BE = ，CBE FDB ∴V V ≌，CE BF ∴=，ECB BFG ∠=∠，90BFG FBG ∠+∠=︒Q ，90ECB FBG ∴∠+∠=︒，CE BF ∴⊥．（3）如（2）题图，由（2）知∠DGB=90°，BF=CE ，∵∠DBC=30°，BD=2，∴DG=1，，∵AC=3，AC=DF ，∴FG=DF+DG=3+1=4，∴BF =，∴，如图所示，延长CB 交DF 于点M ，∵AC∥DF，AC⊥BC，∴BM⊥DF，∴∠BMF=∠BMD=90°，∵∠MBD=30°，BD=2，∴DM=1，，∵AC=DF=3，∴FM=DF-DM=3-1=2，∴BF==，∴，∴CE【点睛】本题是四边形几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；16．(1)正方形(2)CF＝FE'(3)【分析】（1）由旋转的特征可得到∠E′＝∠AEB＝90°、∠EBE′＝90°、BE′＝BE，再由∠BEF ＝180°﹣∠AEB＝90°，可判定四边形BE′FE是正方形；（2）过点D作DG⊥AE于点G，由DA＝DE得AG＝12AE，再证明△ADG≌△BAE，且由四边形BE′FE是正方形，得到FE′＝AG＝12CE′，可证得结论；（3）过点D 作DG ⊥AE 于点G ，由旋转及四边形BE ′FE 是正方形可得如下关系：AE ＝CE ′＝FE ′+CF ＝FE ′+3＝BE +3，在Rt △BAE 中根据勾股定理求出BE 、AE 的长，由（1）可知，△ADG ≌△BAE ，得到DG ＝BE ，AG ＝BE ，再由勾股定理求出DE 的长．【详解】（1）四边形BE ′FE 是正方形．理由如下：由旋转得，∠E ′＝∠AEB ＝90°，∠EBE ′＝90°，∵∠BEF ＝180°﹣∠AEB ＝90°，∴四边形BE ′FE 是矩形，由旋转得，BE ′＝BE ，∴四边形BE ′FE 是正方形．（2）CF ＝FE '，证明：如图2，过点D 作DG ⊥AE 于点G ，则∠DGA ＝∠AEB ＝90°，∵DA ＝DE ，∴AG ＝12AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝AB ，∠DAB ＝90°，∴∠BAE +∠DAG ＝90°，∵∠ADG +∠DAG ＝90°，∴∠ADG ＝∠BAE ，在△ADG 和△BAE 中ADG BAE AGD AEB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△BAE （AA S ），∴AG ＝BE ；∵四边形BE ′FE 是正方形，∴BE＝FE′，∴AG＝FE′，由旋转得，AE＝CE′，∴12AE＝12CE′，∴FE′＝12AE＝12CE′，∴CF＝FE'．（3）如图3，过点D作DG⊥AE于点G，∵BE＝FE′，CF＝3，∴AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3，∵AE2+BE2＝AB2，且AB＝15，∴(BE+3)2+BE2＝(15)2，解得，BE＝9或BE＝﹣12（不符合题意，舍去），∴AE＝9+3＝12，由（2）得，△ADG≌△BAE，∴DG＝AE＝12，AG＝BE＝9，∴GE＝AE﹣AG＝12﹣9＝3，∵∠DGE＝90°，∴DE＝【点睛】此题考查了正方形的性质与判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形．。

2022～2023年苏州星湾学校初二下学期第二次月考数学试卷一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共计16分）.1.化简4的结果是()A.-2B.2C.-4D.42.若分式2xx+1有意义，则x的取值范围是()A.x>0B.x≠0C.x>1D.x≠13.若2x=3y，且x≠0，则x-yy的值为()A.13B.-13C.12D.-124.下列计算正确的是()A.2+3=5B.6-2=2C.(-2)2=2D.(-3)2=-35.下列性质中，矩形、菱形、正方形都具有的是()A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线平分一组对角D.对角线互相平分6.若点A(x，y1)，B(x2，y2)在函数y=-2023x上，且x1<0<x2，则下列结论中正确的是() A.y1>y2 B.y1<y2C.y1=y2D.y1，y2的大小关系无法确定7.已知△ABC∾△DEF，AB:DE=1:3，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为()A.3B.5C.15D.458.如图，A(a，b)、B(-a，-b)是反比例函数y=m x的图像上的两点.分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数y=nx的图像交于点C、D.若四边形ACBD的面积是8，则m、n满足等式()A.m+n=4B.n-m=4C.m+n=8D.n-m=8二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共计24分)9.若5-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是.10.计算:a-1+1a+1=.11.比较大小:4-1312.(填“>”、“<”或“=”)12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=12cm,点D在边AB上,AD=AC,AE⊥CD,垂足为E,点F是BC的中点,则EF=cm.13.一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=k2x的图像交于A(n，2)和B(-4，-1)两点，若y1>y2，则x的取值范围是.(第8题图)（第12题图）（第14题图）14.如图，菱形纸片ABCD，AB=8，∠B=60°，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在CD边的中点B 处，折痕与边BC、BA分别交于点M、N.则CM的长为.15.如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠DBC=90°，BC=3，BD=4，且∠BCD=2∠ABD，则线段AD=16.如图，在▱ABCD中，AC=4，BD=8，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，E为BD上任意点，F为AE中点,则BF+FO的最小值=.三、解答题(本大题共8小题，共60分)17.(本距满分6分)计算(1)18×3÷2;，(2)8+313-2+32.18.(本题满分6分)解方程:(1)x2+2x=3(2)x+4x-3-23-x=4.19.(木题满分4分)先化简，再求值:(a-2ab-b2a)÷a2-b2a，其中a=1+2，b=1- 2.AB CD（第15题图）AB CDEF O(第16题图)20.(本题满分8分)一辆货车和一辆轿车从上海出发，均沿沪宁高速公路匀速驶向自的地南京，已知沪宁高速公路全长约300km.(1)沪宁高速公路规定:货车的速度不得超过90km/h.求货车到达南京所需的最短时间；(2)若轿车的速度是货车速度的1.5倍，轿车到达南京所用的时间比货车少1小时15分钟，试问货车有没有超速？并说明理由.21.(本题满分8分)如图，矩形ABCD中，E为DC上一点，把△ADE沿AE翻折，点D恰好落在BC边上的点F处.(1)求证:△ABF∾△FCE;(2)若AB=63，AD=12，求CE的长.22.(本题满分6分)如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)若▱ABCD∾▱CEFD,且AD=4,求AF的长.23.(本题满分10分)【阅读理解】对于任意正实数a 、b ，∵(a -b )2≥0，∴a +b -2ab ≥0，∴a +b ≥2ab ，只有当a =b 时，等号成立.【数学认识】在a +b ≥2ab (a 、b 均为正实数)中，若ab 为定值k ，则a +b ≥2k .只有当a =b 时，a +b 有最小值2k .【解决问题】(1)若x >0时，x +4x有最小值为，此时x =:(2)如图1，已知点A 在反比例函数y =8x (x >0)的图像上，点B 在反比例函数y =-4x(x >0).的图像上，AB ∥y 轴，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点B 作BC ⊥y 轴于点C .求四边形ABCD 周长的最小值.(3)学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为100平方米的长方形自行车棚.图书馆的后墙只有5米长可以利用，其余部分由铁围栏建成，图2是小尧同学设计的图纸，设所需铁围栏L 米，自行车棚长为x 米.L 是否存在最小值，如果存在，那么当x 为何值时，L 最小，最小为多少米？如果不存在，请说明理由.24.(本题满分10分)如图，矩形ABCD 中，AB =12，AD =8，点E 为BC 的中点，动点F 从点A 出发沿射线AB 方向以每秒2个单位的速度运动，连接DF ，DE ，EF .过点E 作DF 的平行线交射线AB 于点H ，设点F 的运动时间为t (不考虑D 、E 、F 在一条直线上的情况).(1)填空:当t =时;AF =CE ，此时BH =;(2)当△BEF 与△BEH 相似时，求t 的值.xyABCDO (图1)x 米5米（图2）后墙AB C DEFHABC DEF （备用图）。

2011-2012学年度下学期东春中学八年级第二次月考数学试卷一、选择（3’×12=36’）1.若分式a 2−4(a+2)(a−3)的值为0，则a 的值为（ ） A ．±2B.2C.-2D.32.将分式x−y2x+y 中的x,y 都扩大为原来的5倍，则分式的值（ ）A.扩大为原来的5倍B.缩小为原来的15C.缩小为原来的125D.不变3.如图，某反比例函数图像过点（-2，1），则反比例函数表达式为（ ） A.y =2xB.y =−2xC.y =12x D.y =−12x 4.下列运算正确的是（ ）A.4x 6÷2x 2=2x 3B.2x −2=12x 2C.(−2a 2)3=−8a 6D.a 2+b 2a−b=a −b5.如图，过y 轴正半轴任意一点P 作x 轴的平行线分别与反比例函数y=-4/x 和y=2/x 图像交于点A 、B ，若点C 是x 轴上任一点，连AC ，BC ，则△ABC 的面积为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 6．一次函数y=-2x+1与反比例函数y =3x 大致图像是（）A B C D7.在平行四边形ABCD 中，添加下列条件，不能判定平行四边形ABCD 是菱形的是（ ） A.AB=BC B.AC ⊥BD C.BD 平分∠ABC D.AC=BD 8.如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，∠AOB=60°，AB=5，则AD=( ) A.5√2 B.5√3C.5D.109．如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD=6，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H 分别为AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 周长为（ ） A.7 B.9 C.10 D.11OCA DBHGFEABCD CA学校：_________________ 班级：___________________ 姓名：___________________ 考号：________________________10.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC,∠B=45°，AD=2,BC=4，则梯形面积为（ ） A.3 B.4 C.6 D.811.如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在CD 上，且CD=3DE ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连AG,CF,下列结论：①△ABG ≅△AFG ②BG=GC ③AG ∥CF ④S △FGC=3，其中正确结论个数是（ ）A.1B.2C.3D.412.下列边长能构成四边形的是（ ） A.1、2、3、5 B.2、3、2、6 C.3、7、4、8 D.3、4、4、6 二、填空题（3’×6=18’）13.一种新型病毒的直径是0.00000302米，用科学技术法表示这个数为__________米14.当m=______关于x 的分式方程2x+m x−3=−1无解15.如图，反比例函数y 1=k 1x和正比例函数y 2=k 2x 图像相交于A （-1，-3）B （1，3）两点，若k1x >k 2x ,则x 的取值范围是______________16.如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加一个条件__________可使它成为矩形。

2021-2022学年八年级数学下册第二次月考测试题（附答案）一、选择题（共30分）1．把a2﹣a分解因式，正确的是（）A．a（a﹣1）B．a（a+1）C．a（a2﹣1）D．a（1﹣a）2．如图，数轴上所表示的不等式的解集是（）A．x≥2B．x＞2C．x＜2D．x≤23．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（）A．105°B．100°C．95°D．90°5．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＝1B．x≠1C．x＝﹣1D．x≠﹣16．如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（）A．12B．15C．18D．217．若（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，则a必须满足（）A．a＜0B．a＞﹣3C．a＜﹣3D．a＞38．如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+3的图象交于点P（1，2），则关于不等式x+b＞kx+3的解集是（）A．x＞0B．x＞1C．x＜1D．x＜010．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A．B．3C．4D．5二、填空题（共24分）11．分解因式：ab2﹣9a＝．12．若一个多边形的每一个内角都是150°，则它是边形．13．如图所示，△DEF是由△ABC通过平移得到的，且点B，E，C，F在同一条直线上，若BF＝14，EC＝8，则从△ABC到△DEF的平移距离为．14．若分式有意义，则x的取值范围为．15．平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，写出一个能使四边形AECF 一定为平行四边形的条件．（用题目中的已知字母表示）16．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是（填序号）．三、计算题（共18分）17．解方程：．18．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．19．先化简：，再选一个你喜欢的a的值代入求值．四、解答题（共48分）20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2的坐标．21．如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．（1）求BD的长；（2）求证：BF＝EF．22．如图：在Rt△ABC中，∠A＝90°，过B作BH∥AC．（1）按尺规作图要求作BC的垂直平分线，交AC于E，交BH于D，（保留作图痕迹，不写作法），连接BE、CD．（2）求证：四边形BECD是平行四边形．23．为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知每瓶B型消毒液比A型贵2元，用56元购A型消毒液与72元购B型消毒液的瓶数相同．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．24．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，且OE＝CE．（1）求证：∠OBE＝∠ADO；（2）若F，G分别是OD，AB的中点，且BC＝10，①求证：△EFG是等腰三角形；②当EF⊥EG时，求▱ABCD的面积．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（5，1），B（1，1），C（0，5）．直线m平行于x轴且经过C，D，E三点．直线l的关系式为y＝﹣2x+b．（1）若△ABD是以AB为底的等腰三角形，且直线l过点D，求b的值；（2）若b＝9，直线l与▱ABDE的边DE相交时，求点E的横坐标n的取值范围；（3）若点F为▱ABDE的对角线BE与DA的交点，当直线l经过点F时，求点D的横坐标q与b之间的函数关系式．参考答案与试题解析一、选择题（共30分）1．解：a2﹣a＝a（a﹣1）．故选：A．2．解：∵2处是实心圆点且折线向右，∴不等式的解集是x≥2．故选：A．3．解：A．该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．4．解：由题意可得：MN垂直平分BC，则DC＝BD，故∠DCB＝∠DBC＝25°，则∠CDA＝25°+25°＝50°，∵CD＝AC，∴∠A＝∠CDA＝50°，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣25°＝105°．故选：A．5．解：∵分式有意义，∴x﹣1≠0．解得；x≠1．故选：B．6．解：由折叠可得，∠ACD＝∠ACE＝90°，∴∠BAC＝90°，又∵∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝2AB＝6，由折叠可得，∠E＝∠D＝∠B＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴△ADE的周长为6×3＝18，故选：C．7．解：∵（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3．故选：C．8．解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．9．解：当x＞1时，x+b＞kx+3，即不等式x+b＞kx+3的解集为x＞1．故选：B．10．解：由作法得EF垂直平分AB，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），∴MA+MD的最小值为AD，∵AB＝AC，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，∵S△ABC＝•BC•AD＝10，∴AD＝＝5，∴BM+MD长度的最小值为5．二、填空题（共24分）11．解：原式＝a（b2﹣9）＝a（b+3）（b﹣3），故答案为：a（b+3）（b﹣3）．12．解：360÷30＝12，则它是12边形．13．解：∵△DEF是由△ABC通过平移得到，∴BE＝CF，∴BE＝BF﹣EC，∵BF＝14，EC＝8，∴BE＝14﹣8＝3．故答案为：3．14．解：∵分式有意义，∴x2﹣4≠0，∴x≠±2．故答案为：x≠±2．15．解：连接AC交BD于点O，如图：在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵AE∥CF，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，∴△AOE≌COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AECF为平行四边形；故答案为：AE∥CF．16．解：过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点P作PF⊥OB，垂足为F，∴∠PEO＝90°，∠PFO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠EPF＝360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠PFO＝60°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠MPN＝180°﹣∠AOB＝60°，∴∠MPN﹣∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN，∴∠MPE＝∠NPF，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∵∠MEP＝∠NFP＝90°，∴△MEP≌△NFP（ASA），∴PM＝PN，ME＝NF，故①正确；∵OP＝OP，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），∴OE＝OF，∴OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE，∵OP平分∠AOB，∴∠EOP＝∠AOB＝60°，∴∠EPO＝90°﹣∠EOP＝30°，∴PO＝2OE，∴OM+ON＝OP，故②正确；∵△MEP≌△NFP，∴四边形PMON的面积＝四边形PEOF的面积，∴四边形PMON的面积保持不变，故③正确；∵PM＝PN，∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，∵MN的长度是变化的，∴△PMN的周长是变化的，故④错误；所以，说法正确的是：①②③，故答案为：①②③．三、计算题（共18分）17．解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1）得（x+1）2﹣6＝（x+1）（x﹣1）（2分）整理，得2x＝4x＝2（4分）检验，把x＝2代入（x+1）（x﹣1）＝3≠0．所以，原方程的根是x＝2．（5分）18．解：解不等式x+4≤3（x+2），得：x≥﹣1，解不等式3x﹣3＜2x，得：x＜3，则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，将不等式的解集表示在数轴上如下：19．解：原式＝[﹣]•＝•＝•＝，当a＝﹣1时，原式＝﹣1．四、解答题（共48分）20．解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2的坐标（﹣2，2）．21．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BCD＝60°，AB＝BC＝AC＝6，又∵AB＝6，点D为AC的中点，∴CD＝3，BC⊥CD，∴BD＝＝＝3；（2）证明：∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，∴∠CBD＝，又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，又∵∠BCD＝60°，∴∠E＝，∴∠CBD＝∠E，∴BD＝DE，又∵DF⊥BC，垂足为F．∴BF＝EF．22．（1）解：如图，直线DE为所求；（2）证明：DE交BC于F，如图，∵DE垂直平分BC，∴BF＝CF，EB＝EC，又∵BH∥AC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（AAS），∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．23．解：（1）设A型消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是y元，得，解得．答：A型消毒液的单价是7元；B型消毒液的单价是9元．（2）设购进A型消毒液a瓶，则购进B型消毒液（90﹣a）瓶，费用为w元，依题意可得：w＝7a+9（90﹣a）＝﹣2a+810，∵k＝﹣2＜0，∴w随a的增大而减小．∵B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，∴90﹣a≥a．解得a≤67 ，∴当a＝67时，w取得最小值，此时w＝﹣2×67+810＝676，90﹣a＝23．答：最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶，购进B型消毒液23瓶；最低费用为676元．24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，DO＝BO＝BD，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD＝2AD，∴AD＝DO，∴BC＝BO，∵E是CO中点，∴∠OBE＝∠OBC，∴∠OBE＝∠ADO；（2）①证明：∵BC＝BO，∴△BOC是等腰三角形，∵E是CO中点，∴EB⊥CO，∴∠BEA＝90°，∵G为AB中点，∴EG＝AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF＝CD∴EG＝EF，∴△EFG是等腰三角形；②解：由①得EF∥AB，∵EF⊥EG，∴EG⊥AB，∵G是AB的中点，∴AE＝BE，设CE＝x，则AO＝CO＝2CE＝2x，∴BE＝AE＝3x，在Rt△BEC中，BC＝10，∴EC2+BE2＝BC2，即x2+（3x）2＝102，解得x＝，∴AC＝，BE＝，∴S▱ABCD＝2S△ABC＝．25．解：（1）∵A（5，1），B（1，1），DA＝DB，∴D（3，5），将x＝3，y＝5代入y＝﹣2x+b，∴b＝11；（2）∵四边形ABDE为平行四边形，∴DE＝AB＝4，∵E（n，5），∴D（n﹣4，5），当5＝﹣2x+9时，x＝2，∵直线y＝﹣2x+9与边DE有交点，∴2≤n≤6；（3）∵四边形ABDE为平行四边形，∴DF＝F A，∵D（q，5），A（5，1），∴，即，将，y＝3代入y＝﹣2x+b，∴q＝b﹣8．。

陕西省西安交大附中2020-2021学年八年级下学期第二次月考数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．若a＜b，则下列结论不正确的是（）A．3a＜3b B．a﹣1＜b﹣1 C．﹣5a＜﹣5b D．＜3．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＝34．正十二边形的一个内角的度数为（）A．30°B．150°C．360°D．1800°5．若直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线长是（）A．4.8 B．10 C．7 D．56．在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，∠A＝（）A．120°B．60°C．140°D．30°7．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB 上，连接BB′，则∠C′B′B的度数为（）A．40°B．20°C．70°D．50°8．如图，平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（8，0），P为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是（）A．6B．12 C．D．4二.填空题（共6小题，每小题3分共18分）9．因式分解：m3﹣m＝．10．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则此多边形的边数是．11．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于点E，AD＝6，EC＝3，则AB的长为．12．若关于x的分式方程＝的解为负数，则k的取值范围为．13．将直线y＝kx+5的图象向下平移3个单位后，经过点A（1，0），则平移后的直线解析式为．14．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BD＝2CD＝4，AD＝2，则AB的长为．三.解答题（共11小题，共78分）15．（5分）计算：（π+2022）0﹣（）﹣2+．16．（5分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．17．（5分）．18．（5分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝5．19．（6分）尺规作图：如图，已知△ABC，请在BC上找一点P，使得AP+PC＝BC（保留作图痕迹，不写作法）．20．（8分）如图，E、F是▱ABCD的对角线BD所在直线上两点，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．21．（8分）（利用分式方程解应用题）某社区为迎接“十四运”对1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面，铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．求原计划每天铺设路面多少米？22．（8分）已知m＝a2b，n＝2a2+3ab，则：（1）当a＝﹣3，b＝2，m+n＝；（2）若m＝4，n＝6，求+的值．23．（8分）某商店需要购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表：甲乙进价（元/件）14 35售价（元/件）20 45 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1680元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金小于5320元，且销售完这批商品后获利大于1660元，请问有几种购货方案？并求出其中获利最大的购货方案．24．（8分）已知在直角坐标系中，O（0，0），A（1，3），C（5，0），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则：（1）点B的坐标为；（2）若点B在第一象限内，且直线l：y＝﹣x+b将平行四边形的面积平分，求b的值．25．（12分）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，当点P在直角边AC 上运动时，过点P作PQ⊥AB于点Q，若AP＝2a，则PQ＝；（2）如图2，已知在等边△ABC中，AB＝6，取BC的中点D，连接AD，当点P在AD 所在的直线上运动时，连接PB、PC，求PA+PB+PC的最小值为多少？（3）如图3，已知平行四边形ABCD的面积为16，∠A＝30°，AB＝2BC，点P为边CD 上的一个动点，求2PB+PD的最小值为多少？参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．若a＜b，则下列结论不正确的是（）A．3a＜3b B．a﹣1＜b﹣1 C．﹣5a＜﹣5b D．＜【分析】根据不等式的性质判断即可．解：A．因为a＜b，所以3a＜3b，故A不符合题意；B．因为a＜b，所以a﹣1＜b﹣1，故B不符合题意；C．因为a＜b，所以﹣5a＞﹣5b，故C符合题意；D．因为a＜b，所以，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质，不等式两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号方向的改变是解题的关键．3．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＝3【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．解：∵分式有意义，∴x﹣3≠0，∴x的取值范围是：x≠3．故选：C．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．4．正十二边形的一个内角的度数为（）A．30°B．150°C．360°D．1800°【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．解：正十二边形的每个外角的度数是：，则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．故选：B．【点评】本题考查了多边形的计算，正确理解内角与外角的关系是关键．5．若直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线长是（）A．4.8 B．10 C．7 D．5【分析】根据勾股定理求得斜边为10，再通过斜边上的中线等于斜边的一半得中线长为5．解：根据勾股定理得，斜边为：，∴斜边上的中线为5．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，属于基础题．6．在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，∠A＝（）A．120°B．60°C．140°D．30°【分析】利用平行四边形的邻角互补，即可得到结论．解：在平行四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，∵∠B＝60°，∴∠A＝120°，故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质：邻角互补，对角相等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．7．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB 上，连接BB′，则∠C′B′B的度数为（）A．40°B．20°C．70°D．50°【分析】先根据旋转的性质，求得AB＝AB'，∠BAB'＝40°，进而得到△ABB'中，∠ABB'＝70°，再根据∠C＝90°，在Rt△BC'B'中，求得∠C′B′B即可．解：∵把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，∴AB＝AB'，∠BAB'＝40°，∴△ABB'中，∠ABB'＝70°，又∵∠AC'B'＝∠C＝90°，∴Rt△BC'B'中，∠C′B′B＝90°﹣70°＝20°．故选：B．【点评】本题主要考查了旋转的性质，解决问题的关键是掌握：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．8．如图，平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（8，0），P为y轴正半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是（）A．6B．12 C．D．4【分析】设P（0，m），则OP＝m，通过证明得△AOP≌△PMQ，求得Q点的坐标，然后根据勾股定理可得BQ＝，即可求得当m＝2时，BQ有最小值．解：∵A（4，0），∴OA＝4，设P（0，m），则OP＝m，如图，作QM⊥y轴于M，∵∠APQ＝90°，∴∠OAP+∠APO＝∠APO+∠QPM，∴∠OAP＝∠QPM，在△AOP和△PMQ中，，∴△AOP≌△PMQ（AAS），∴MQ＝OP＝m，PM＝OA＝4，∴Q（m，m+4），∵B（8，0），∴，∵2＞0，∴当m＝2时，BQ有最小值，故选：A．【点评】本题考查了动点问题，关键点在于做合理的辅助线来构造全等三角形，学生在平时要多做积累．二.填空题（共6小题，每小题3分共18分）9．因式分解：m3﹣m＝m（m+1）（m﹣1）．【分析】先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．解：m3﹣m＝m（m2﹣1）＝m（m+1）（m﹣1），故答案为：m（m+1）（m﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．10．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则此多边形的边数是10．【分析】任何多边形的外角和是360度，内角和是外角和的4倍，则内角和是4×360度．n 边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．解：设边数为n，则（n﹣2）•180°＝4×360°，解得：n＝10．则多边形的边数是10．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．11．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于点E，AD＝6，EC＝3，则AB的长为9．【分析】首先证明DA＝DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，AB＝CD，∴∠DEA＝∠EAB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝AD＝6，∴CD＝CE+DE＝6+3＝9，∴AB＝CD＝9，故答案为：9．【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．12．若关于x的分式方程＝的解为负数，则k的取值范围为k＜3且k≠2．【分析】先解分式方程，然后根据分式方程的解为负数，确定k的范围即可解答．解：＝，3（x+2）＝2（x+k），解得：x＝2k﹣6，∵分式方程的解为负数，∴2k﹣6＜0且2k﹣6≠﹣2，∴k＜3且k≠2，故答案为：k＜3且k≠2．【点评】本题考查了解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式，解分式方程是解题的关键．13．将直线y＝kx+5的图象向下平移3个单位后，经过点A（1，0），则平移后的直线解析式为y＝﹣2x+2．【分析】根据一次函数的平移可得直线y＝ax+5的图象向下平移3个单位后得y＝ax+2，然后把A（1，0）代入y＝ax+2即可求出a的值，问题得解．解：将直线y＝kx+5的图象向下平移3个单位后得y＝kx+2，∵经过点A（1，0），∴0＝k+2，解得：k＝﹣2，平移后的直线的解析式为y＝﹣2x+2，故答案为：y＝﹣2x+2．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．14．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BD＝2CD＝4，AD＝2，则AB的长为．【分析】将△ABD旋转得到△BCP，可求出∠BDC＝120°，再做垂线构造直角三角形利用勾股定理即可求解．解：如图，将△ABD绕B点旋转一定的角度，使得A点与C点重合，D点落在点P处，则有：∠PBD＝∠ABC＝120°，PB＝BD＝4，PC＝AD＝，∴PD＝＝4，∠BDP＝∠BPD＝30°，又∵CD＝2，可得：CD2+PD2＝CP2，∴∠CDP＝90°，∴∠BDC＝120°，如下图，过点B做CD的垂线交CD的延长线于点Q，∴∠BDQ＝60°，∴DQ＝BD＝2，BQ＝DQ＝，∴CQ＝4，∴BC＝＝，∴AB＝．故答案为：．【点评】本题难点是辅助线的做法，通过旋转将题目给的条件进行转化，考查了勾股定理、其逆定理以及特殊直角三角形的性质．三.解答题（共11小题，共78分）15．（5分）计算：（π+2022）0﹣（）﹣2+．【分析】先计算零指数幂、负整数指数幂及开方运算，再合并即可得到答案．解：原式＝1﹣4+3＝0．【点评】此题考查的是实数的运算，掌握它的运算法则是解决此题关键．16．（5分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．解：解不等式x﹣1≥，得：x≥﹣1，解不等式＜﹣x+3，得：x＜2，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．17．（5分）．【分析】首先去掉分母，然后解整式方程，最后验根即可求解．解：，∴1﹣（x﹣2）＝﹣（1﹣x），∴x＝2，当x＝2时，方程的分母为0，∴x＝2不是方程的解，∴原方程无解．【点评】此题主要考查了解分式方程，其中（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．18．（5分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝5．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．解：原式＝（﹣）÷＝•＝，当x＝5时，原式＝＝＝﹣．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．19．（6分）尺规作图：如图，已知△ABC，请在BC上找一点P，使得AP+PC＝BC（保留作图痕迹，不写作法）．【分析】作AB的垂直平分线交BC于P．根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，所以AP+PC＝BC．解：如图，点P为所作．【点评】本题考查了作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．20．（8分）如图，E、F是▱ABCD的对角线BD所在直线上两点，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】连接AC，交BD于点O．由平行四边形的性质推知OA＝OC，OB＝OD；再结合已知条件证得OE＝OF，即可得出结论．【解答】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD．又∵BE＝DF，∴BE﹣OB＝DF﹣OD，即OE＝OF．又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．21．（8分）（利用分式方程解应用题）某社区为迎接“十四运”对1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面，铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．求原计划每天铺设路面多少米？【分析】设原计划每天铺设路面x米，则提高工作效率后每天铺设路面（1+25%）x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合共用13天完成道路改造任务．列出分式方程，解方程即可．解：设原计划每天铺设路面x米，则提高工作效率后每天铺设路面（1+25%）x米，依题意，得：+＝13，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．答：原计划每天铺设路面80米．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．（8分）已知m＝a2b，n＝2a2+3ab，则：（1）当a＝﹣3，b＝2，m+n＝18；（2）若m＝4，n＝6，求+的值．【分析】（1）将a、b的值代入m+n＝a2b+2a2+3ab＝a（ab+2a+3b）计算即可；（2）由m＝4，n＝6得出a（2a+3b）＝6①，a•3ab＝12②，继而代入+＝+＝＝计算即可．解：（1）m+n＝a2b+2a2+3ab＝a（ab+2a+3b），当a＝﹣3，b＝2时，m+n＝﹣3×（﹣6﹣6+6）＝﹣3×（﹣6）＝18，故答案为：18；（2）∵m＝4，n＝6，∴a2b＝4，2a2+3ab＝6，即a•ab＝4，a（2a+3b）＝6①，则a•3ab＝12②，∴+＝+＝＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．23．（8分）某商店需要购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表：甲乙进价（元/件）14 35售价（元/件）20 45（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1680元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金小于5320元，且销售完这批商品后获利大于1660元，请问有几种购货方案？并求出其中获利最大的购货方案．【分析】（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，根据该商品购进两种商品共200件且销售完这批商品后能获利1680元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设甲种商品购进m件，则乙种商品购进（200﹣m）件，根据“该商店计划投入资金小于5320元，且销售完这批商品后获利大于1660元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为非负整数即可得出购货方案的数量，设销售完这批商品后获利w元，根据总利润＝每件的利润×销售数量（购进数量），即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．解：（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，依题意得：，解得：．答：甲种商品购进80件，乙种商品购进120件．（2）设甲种商品购进m件，则乙种商品购进（200﹣m）件，依题意得：，解得：80＜m＜85，又∵m为非负整数，∴m可以为81，82，83，84，∴该商店共有4种购货方案．设销售完这批商品后获利w元，则w＝（20﹣14）m+（45﹣35）（200﹣m）＝﹣4m+2000，∵﹣4＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝81时，w取得最大值，即甲种商品购进81件、乙种商品购进119件时，该商店销售完这批商品后获利最大．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．24．（8分）已知在直角坐标系中，O（0，0），A（1，3），C（5，0），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则：（1）点B的坐标为（6，3）或（4，﹣3）或（﹣4，3）；（2）若点B在第一象限内，且直线l：y＝﹣x+b将平行四边形的面积平分，求b的值．【分析】（1）设B（m，n），分三种情况：①以BO、AC为对角线，则BO、AC的中点重合，，可得B（6，3）；②以BA、OC为对角线，，B（4，﹣3），③以BC、AO为对角线，，解得B（﹣4，3）；（2）点B在第一象限内，则B（6，3），设对角线AC、BD交于D，可得D（3，），把D（3，）代入y＝﹣x+b即可得b的值是．解：（1）设B（m，n），又O（0，0），A（1，3），C（5，0），①以BO、AC为对角线，则BO、AC的中点重合，∴，解得，∴B（6，3）；②以BA、OC为对角线，则BA、OC的中点重合，∴，解得，∴B（4，﹣3），③以BC、AO为对角线，则BC、AO的中点重合，∴，解得，∴B（﹣4，3），综上所述，点B的坐标为（6，3）或（4，﹣3）或（﹣4，3），故答案为：（6，3）或（4，﹣3）或（﹣4，3）；（2）点B在第一象限内，则B（6，3），设对角线AC、BD交于D，如图：由平行四边形性质可知，过D的直线平分平行四边形的面积，∵B（6，3），D是OB中点，∴D（3，），把D（3，）代入y＝﹣x+b得：﹣3+b＝，∴b＝，答：b的值是．【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及平行四边形性质及应用，平行四边形面积等知识，解题的关键是运用平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．25．（12分）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，当点P在直角边AC 上运动时，过点P作PQ⊥AB于点Q，若AP＝2a，则PQ＝a；（2）如图2，已知在等边△ABC中，AB＝6，取BC的中点D，连接AD，当点P在AD 所在的直线上运动时，连接PB、PC，求PA+PB+PC的最小值为多少？（3）如图3，已知平行四边形ABCD的面积为16，∠A＝30°，AB＝2BC，点P为边CD 上的一个动点，求2PB+PD的最小值为多少？【分析】（1）由PQ＝AP求得结果；（2）将△CPA绕点C顺时针旋转60°至△CFE，连接PF，BE，交AC于可得PA+PB+PC ≥BE，可得当点B、P、F、E共线时，PA+PB+PC＝BE，此时PA+PB{PC的值最小，进而求得BE＝2BG，进一步求得结果；（3）作DG⊥AB于G，作BF⊥AE于F，作PE⊥AD于E，连接BE，根据▱ABCD的面积求得BC和AB的长，PB+PE＝PB+PD＝PB+PE≥BF≥BE，求出BE的值，进一步求得结果．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴PQ＝，故答案是：a；（2）如图1，将△CPA绕点C顺时针旋转60°至△CFE，连接PF，BE，交AC于G，∴CF＝PC，∠PCF＝60°，EF＝PA，∴△PCF是等边三角形，∴PF＝PC，∵PB+PF+EF≥BE，∴PA+PB+PC≥BE，当点B、P、F、E共线时，PA+PB+PC＝BE，∵CE＝BC，∠ACB＝∠ACE＝60°，∴BE＝2BG，BG⊥AC，∵∠BGC＝90°，∠CBG＝90°﹣∠ACB＝30°，∴CG＝＝3，∴BG＝＝3，∴BE＝6，∴PA+PB+PC的最小值是：6；（3）如图2，作DG⊥AB于G，作BF⊥AE于F，作PE⊥AD于E，连接BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，CD∥AB，∴∠CBG＝∠A＝30°，∠EDC＝∠A＝30°，∴CG＝，∵AB•CG＝16，AB＝2BC，∴BC＝4，AB＝8，在Rt△DEP中，∠EDC＝30°，∴PE＝PD，∴PB+PD＝PB+PE≥BF≥BF，在Rt△ABF中，∠A＝30°，∴BF＝＝4，∴PB+的最小值是4，∵2PB+PD＝2（PB+PD），∴2PB+PD的最小值是8．【点评】本题考查了等边三角形判定和性质，直角三角形性质，平行四边形的性质等知识，解决问题的关键是利用旋转作辅助线．。

浙教版八年级（下）月考数学试卷一、选择题（每小题3分,共10小题）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x+2y＝1 B．x+y2＝1 C．D．x2﹣2＝02．（3分）如果是二次根式,那么x应满足的条件是（）A．x≠2的实数B．x≤2的实数C．x≥2的实数D．x＞0且x≠2的实数3．（3分）下列四个等式：①；②（﹣）2＝16；③（）2＝4；④．正确的是（）A．①②B．③④C．②④D．①③4．（3分）下列各组二次根式中,化简后属于同类二次根式的一组是（）A．和B．和C．和D．和5．（3分）下列运算正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）某超市一月份的营业额为200万元,三月份的营业额为288万元,如果每月比上月增长的百分数相同,则平均每月的增长（）A．10% B．15% C．20% D．25%7．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035C．x（x+1）＝1035 D．x（x﹣1）＝10358．（3分）用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0时,此方程可变形为（）A．B．C．D．9．（3分）已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]＝0（k是常数）,则下列说法中正确的是（）A．方程一定有两个不相等的实数根B．方程一定有两个实数根C．当k取某些值时,方程没有实数根D．方程一定有实数根10．（3分）如图为了测量某建筑物AB的高度,在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°,沿CB 方向前进12m到达D处,在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°,则建筑物AB的高度等于（）A．6（+1）m B．6（﹣1）m C．12（+1）m D．12（﹣1）m二、填空题（每小题4分,共6小题）11．（4分）一元二次方程（x﹣3）2＝4二次项系数为,一次项系数为,常数项为．12．（4分）若＝1﹣a,则a的取值范围为．13．（4分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根,则代数式m2﹣m﹣3的值等于．14．（4分）一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是．15．（4分）长方形铁片的长是宽的2倍,在它的四角各截去一个边长为5cm的小正方形,然后折起来做成一个无盖的铁盒,盒子容积为1.5立方分米,则铁片的长和宽分别为．16．（4分）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“友好方程”．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+5m＝mx+5和x2+2x+m﹣1＝0互为“友好方程”,则m 的值为．三、解答题（共66分）17．（6分）化简（1）（2）18．（8分）解下列方程（1）（x﹣2）2＝3x（x﹣2）（2）2x2﹣4x﹣5＝019．（8分）（1）已知,,求a2+ab+b2的值．（2）已知5x2﹣4x﹣12＝0的两根为x1、x2,求的值．20．（10分）目前,某镇正在为小城市建设做着不懈努力,镇政府决定在新城区政府大楼前建设一块个长a米,宽b米的长方形草坪,并计划在该草坪场上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）．（1）用含a,b的代数式表示两条人行道的总面积；（2）若已知a：b＝3：2,并且四块草坪的面积之和为2204平方米,试求原长方形的长与宽各为多少米？21．（10分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+2）x+（3m+6）＝0．（1）试讨论该方程的根的情况并说明理由；（2）无论m为何值,该方程都有一个固定的实数根,试求出这个根．22．（12分）某商场销售一批名牌衬衫,现平均每天售出40件,每件盈利80元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施．经调查发现,如果每件衬衫每降价2元,商场平均每天可多售出4件．（1）如果每件衬衫降价x元,则商场每天可售出件衬衫；（2）若商场平均每天要盈利4800元,每件衬衫应降价多少元？（3）每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多？23．（12分）如图,△ABC是边长为3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动．（1）当点P运动的时间为1.5s时,求线段PQ的长；（2）当四边形APQC的面积是△ABC面积的时,求点P运动的时间；（3）在点P的运动过程中,是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的？如果存在,请求出点P运动的时间；若不存在,请说明理由．（加试题）24．（5分）已知a＞b＞0,且,则＝．25．（5分）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9,x+y＝a2+6a﹣9,若x≤y,则实数a的值为．26．（10分）求使关于x的方程（a+1）x2﹣（a2+1）x+2a3﹣6＝0的根是整数的所有整数a．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分,共10小题）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x+2y＝1 B．x+y2＝1 C．D．x2﹣2＝0【分析】利用一元二次方程的定义判定即可．【解答】解：A、x+2y＝1是二元一次方程；B、x+y8＝1是二元二次方程,不符合题意；C、3x+,不符合题意；D、x2﹣2＝6是一元二次方程,符合题意,故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程的定义,熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．（3分）如果是二次根式,那么x应满足的条件是（）A．x≠2的实数B．x≤2的实数C．x≥2的实数D．x＞0且x≠2的实数【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可．【解答】解：根据题意得,2﹣x≥0,解得x≤7．所以x应满足的条件是x≤2的实数．故选：B．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．解题的关键是明确二次根式的被开方数是非负数．3．（3分）下列四个等式：①；②（﹣）2＝16；③（）2＝4；④．正确的是（）A．①②B．③④C．②④D．①③【分析】本题考查的是二次根式的意义：①＝a（a≥0）,②＝a（a≥0）,逐一判断．【解答】解：①＝＝8；②＝（﹣3）2＝1×4＝2≠16,不正确；③＝2符合二次根式的意义；④＝＝8≠﹣4．①③正确．故选：D．【点评】运用二次根式的意义,判断等式是否成立．4．（3分）下列各组二次根式中,化简后属于同类二次根式的一组是（）A．和B．和C．和D．和【分析】先将各选项进行二次根式的化简,再根据同类二次根式的概念求解即可．【解答】解：A、＝3,,故本选项错误；B、＝2,,故和是同类二次根式；C、＝3,与,故本选项错误；D、＝,与不是同类二次根式．故选：B．【点评】本题考查了同类二次根式,解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．5．（3分）下列运算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【解答】解：A、与不能合并；B、原式＝＝；C、原式＝＝；D、原式＝,所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可．在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍．6．（3分）某超市一月份的营业额为200万元,三月份的营业额为288万元,如果每月比上月增长的百分数相同,则平均每月的增长（）A．10% B．15% C．20% D．25%【分析】设平均每月的增长率为x,原数为200万元,后来数为288万元,增长了两个月,根据公式“原数×（1+增长百分率）2＝后来数”得出方程,解出即可．【解答】解：设平均每月的增长率为x,根据题意得：200（1+x）2＝288,（7+x）2＝1.44,x7＝0.2＝20%,x6＝﹣2.2（舍去）,答：平均每月的增长率为20%．故选：C．【点评】本题是一元二次方程的应用,属于增长率问题；增长率问题：增长率＝增长数量原数量×100%．如：若原数是a,每次增长的百分率为x,则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2,即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．7．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035C．x（x+1）＝1035 D．x（x﹣1）＝1035【分析】如果全班有x名同学,那么每名同学要送出（x﹣1）张,共有x名学生,那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张,即可列出方程．【解答】解：∵全班有x名同学,∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片,∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张,首先确定一个人送出多少张是解题关键．8．（3分）用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0时,此方程可变形为（）A．B．C．D．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程,要注意解题步骤,把左边配成完全平方式,右边化为常数．【解答】解：∵x2+px+q＝0∴x3+px＝﹣q∴x2+px+＝﹣q+∴（x+）2＝故选：B．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数．9．（3分）已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]＝0（k是常数）,则下列说法中正确的是（）A．方程一定有两个不相等的实数根B．方程一定有两个实数根C．当k取某些值时,方程没有实数根D．方程一定有实数根【分析】当k＝1时方程为一元一次方程,只有一个实数根,当k≠1时,利用△判定方程根的情况即可．【解答】解：化简方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣6）]＝0,得（k﹣1）x8﹣2x﹣k+3＝3,当k＝1时方程为一元一次方程,只有一个实数根,当k≠1时,∵b8﹣4ac＝4﹣5×（4k﹣k2﹣2）＝4k2﹣16k+16＝8（k﹣2）2≥7,∴方程一定有实数根．故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程．解题的关键是二次项的系数及如何确定方程有无实数根．10．（3分）如图为了测量某建筑物AB的高度,在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°,沿CB 方向前进12m到达D处,在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°,则建筑物AB的高度等于（）A．6（+1）m B．6（﹣1）m C．12（+1）m D．12（﹣1）m【分析】利用所给的角的三角函数用AB表示出BD,CB；根据BC﹣DB＝CD即可求出建筑物AB 的高度．【解答】解：根据题意可得：BC＝＝AB＝AB．∵CD＝BC﹣BD＝AB（﹣6）＝12,∴AB＝6（+6）．故选：A．【点评】本题通过考查仰角的定义,构造两个直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力．二、填空题（每小题4分,共6小题）11．（4分）一元二次方程（x﹣3）2＝4二次项系数为1,一次项系数为﹣6,常数项为5．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a,b,c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项．其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项．【解答】解：（x﹣3）2＝4化为一般形式x2﹣6x+7＝0,故答案为：1,﹣8,5．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式,去括号的过程中要注意符号的变化,不要漏乘,移项时要注意符号的变化．12．（4分）若＝1﹣a,则a的取值范围为a≤1．【分析】根据二次根式的性质可知,开方结果≥0,于是1﹣a≥0,解即可．【解答】解：∵＝5﹣a,∴1﹣a≥0,∴a≤7,故答案是a≤1．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键时注意开方结果的取值是≥0．13．（4分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根,则代数式m2﹣m﹣3的值等于﹣2．【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2﹣m＝1,然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m为一元二次方程x2﹣x﹣1＝6的一个根．∴m2﹣m﹣1＝3,即m2﹣m＝1,∴m2﹣m﹣3＝1﹣8＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14．（4分）一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是k＜2且k≠1．【分析】根据题意可得△＝b2﹣4ac＝4﹣4（1﹣k）×（﹣1）＞0,且1﹣k≠0,再解方程与不等式即可．【解答】解：∵一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根,∴△＝b6﹣4ac＝4﹣2（1﹣k）×（﹣1）＞2,且1﹣k≠0,解得：k＜3,且k≠1,故答案为：k＜2且k≠8．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式,关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．15．（4分）长方形铁片的长是宽的2倍,在它的四角各截去一个边长为5cm的小正方形,然后折起来做成一个无盖的铁盒,盒子容积为1.5立方分米,则铁片的长和宽分别为40cm,20cm．【分析】设铁片的宽为xcm,则长可用含x的代数式表示,从而这个盒子的容积可用含x的代数式表示,方程可列出,进而可求宽和长．【解答】解：设铁片的宽为xcm,则长为2xcm解得：x1＝20,x3＝﹣5（舍去）则铁片的宽为20cm,长为40cm故答案为：40cm,20cm．【点评】考查了一元二次方程的应用,对于容积问题应熟记各种图形的体积公式．另外,要注意等量关系的寻找；在解一元二次方程时注意舍去不合题意的解．16．（4分）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“友好方程”．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+5m＝mx+5和x2+2x+m﹣1＝0互为“友好方程”,则m 的值为﹣34或1或﹣2．【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣4x+5m＝mx+5,得到x1＝5,x2＝m﹣1．再分别将x＝5,x＝m ﹣1代入x2+2x+m﹣1＝0,求出m的值即可．【解答】解：x2﹣4x+4m＝mx+5,整理得x2﹣（5+m）x+5（m﹣1）＝7,分解因式得（x﹣5）[x﹣（m﹣1）]＝2,解得x1＝5,x4＝m﹣1．当x＝5时,25+10+m﹣6＝0；当x＝m﹣1时,（m﹣4）2+2（m﹣3）+m﹣1＝0,解得m＝8或m＝﹣2．．所以m的值为﹣34或1或﹣6．故答案为：﹣34或1或﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程,求出方程x2﹣4x+5m＝mx+5的两个解是解题的关键．三、解答题（共66分）17．（6分）化简（1）（2）【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式,然后合并即可；（2）利用完全平方公式计算．【解答】解：（1）原式＝﹣﹣2﹣＝﹣；（2）原式＝3﹣2+1﹣12＝﹣8﹣4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可．在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍．18．（8分）解下列方程（1）（x﹣2）2＝3x（x﹣2）（2）2x2﹣4x﹣5＝0【分析】（1）移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可；（2）先求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可．【解答】解：（1）移项得：（x﹣2）2﹣7x（x﹣2）＝0,（x﹣6）（x﹣2﹣3x）＝2,x﹣2＝0,x﹣7﹣3x＝0,x5＝2,x2＝﹣3；（2）2x2﹣7x﹣5＝0,b6﹣4ac＝（﹣4）3﹣4×2×（﹣3）＝56,x＝,x1＝,x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程,能选择适当的方法解方程是解此题的关键．19．（8分）（1）已知,,求a2+ab+b2的值．（2）已知5x2﹣4x﹣12＝0的两根为x1、x2,求的值．【分析】（1）根据,,可以得到a+b、ab的值,从而可以求得所求式子的值；（2）根据5x2﹣4x﹣12＝0的两根为x1、x2,可以得到x1+x2,x1•x2的值,从而可以得到所求式子的值．【解答】解：（1）∵,,∴a+b＝4,ab＝6,∴a2+ab+b2＝（a+b）3﹣ab＝42﹣5＝16﹣1＝15；（2）∵5x8﹣4x﹣12＝0的两根为x4、x2,∴x1+x8＝,x6•x2＝﹣,∴＝＝＝．【点评】本题考查二次根式的化简求值、根与系数的关系,解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．20．（10分）目前,某镇正在为小城市建设做着不懈努力,镇政府决定在新城区政府大楼前建设一块个长a米,宽b米的长方形草坪,并计划在该草坪场上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）．（1）用含a,b的代数式表示两条人行道的总面积；（2）若已知a：b＝3：2,并且四块草坪的面积之和为2204平方米,试求原长方形的长与宽各为多少米？【分析】（1）用人行横道的长乘以宽后相加减去重合部分的面积即可；（2）根据求得的比,设出矩形的长和宽,然后利用面积为2204即可求得原矩形的长和宽．【解答】解：（1）∵两条人行横道的长分别为a米和b米,宽均为2米,∴人行横道的面积为：2a+3b﹣4；（2）∵a：b＝3：8,∴设a＝3x,则b＝2x,根据题意得：（3x﹣2）（2x﹣4）＝2204解答：x＝20或x＝﹣（舍去）∴3x＝60,2x＝40,答：原长方形的长与宽各为60米和40米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用的知识,正确的解答第二题是解决本题的关键．21．（10分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+2）x+（3m+6）＝0．（1）试讨论该方程的根的情况并说明理由；（2）无论m为何值,该方程都有一个固定的实数根,试求出这个根．【分析】（1）求出判别式的值即可判断．（2）由无论m为何值,该方程都有一个固定的实数根,又m（x2﹣4x+3）﹣2x+6＝0,推出x2﹣4x+3＝0,且﹣2x+6＝0即可解决问题．【解答】解：（1）对于关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+3）x+（3m+6）＝3,∵△＝[﹣（4m+2）]8﹣4m（3m+7）＝16m2+16m+4﹣12m8﹣24m＝4m2﹣6m+4＝4（m﹣4）2≥0, ∴关于x的一元二次方程mx5﹣（4m+2）x+（5m+6）＝0有实数根．（2）∵无论m为何值,该方程都有一个固定的实数根,又∵m（x8﹣4x+3）﹣5x+6＝0,∴x8﹣4x+3＝3,且﹣2x+6＝8解得x＝3,∴无论m为何值,该方程都有一个固定的实数根【点评】本题考查根的判别式,一元二次方程的定义等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型．22．（12分）某商场销售一批名牌衬衫,现平均每天售出40件,每件盈利80元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施．经调查发现,如果每件衬衫每降价2元,商场平均每天可多售出4件．（1）如果每件衬衫降价x元,则商场每天可售出件衬衫；（2）若商场平均每天要盈利4800元,每件衬衫应降价多少元？（3）每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多？【分析】（1）如果每件衬衫降价x元,则商场每天可售出件衬衫为：40+4×x,即可求解；（2）由题意得：4800＝（40+2x）（80﹣x）,即可求解；（3）设每天盈利为w＝（40+2x）（80﹣x）＝﹣2（x﹣80）（x+20）,即可求解．【解答】解：（1）如果每件衬衫降价x元,则商场每天可售出件衬衫为：40+4×；（2）由题意得：4800＝（40+2x）（80﹣x）,解得：x＝20或40,∵为了扩大销售,增加利润,∴x＝20不符合题意舍去,x＝40,答：若商场平均每天要盈利4800元,每件衬衫应降价40元；（3）设每天盈利为w＝（40+2x）（80﹣x）＝﹣7（x﹣80）（x+20）,∵﹣2＜0,故w有最大值,w取得最大值,即每件衬衫降价30元时,商场平均每天盈利最多．【点评】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意,列出平均每天的销售利润w（元）与销售降价x（元/件）之间的函数关系式,再依据函数的增减性求得最大利润．23．（12分）如图,△ABC是边长为3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动．（1）当点P运动的时间为1.5s时,求线段PQ的长；（2）当四边形APQC的面积是△ABC面积的时,求点P运动的时间；（3）在点P的运动过程中,是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的？如果存在,请求出点P运动的时间；若不存在,请说明理由．【分析】（1）根据时间和速度表示AP和BQ的长,发现PQ是三角形ABC的中位线,可得PQ的长；（2）先用△ABC的面积﹣△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积,再根据四边形APQC的面积是△ABC面积的列方程,解方程即可；（3）四边形APQC的面积等于三角形ABC面积的三分之二,可得出一个关于t的方程,如果方程无解则说明不存在这样的t值,如果方程有解,那么求出的t值就是题目所求的值．【解答】解：（1）当点P运动的时间为1.5s时,如图2AB＝,∴PQ＝AC＝1.5cm；（2）设点P运动的时间为t秒,如图8,过P作PM⊥BC于M,在△BPM中,sin∠B＝,∴PM＝PB•sin∠B＝（8﹣t）,∴S△PBQ＝BQ•PM＝（3﹣t）＝,∵四边形APQC的面积是△ABC面积的,∴S四边形APQC＝S△ABC﹣S△PBQ＝S△ABC,∴＝（3﹣t）,＝（4﹣t）,t2﹣3t+2＝0,解得：t＝1或7；则点P运动的时间是1秒或2秒；（3）假设存在某一时刻t,使得四边形APQC的面积是△ABC面积的,则S四边形APQC＝S△ABC,由（2）得：S△ABC﹣S△PBQ＝S△ABC,＝S△PBQ,＝（3﹣t）,3＝t（4﹣t）,∴t2﹣3t+4＝0,∵△＝（﹣3）2﹣4×1×6＜0,∴方程无解,∴无论t取何值,四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．【点评】此题是三角形综合题,主要考查了等边三角形的面积公式,图形面积的求法、勾股定理以及一元二方程的解法等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法．得出四边形APQC的面积是解本题的关键．（加试题）24．（5分）已知a＞b＞0,且,则＝．【分析】移项后,把分式加减,得到关于a、b的二次方程,解二次方程用含b的代数式表示出a,得结果．【解答】解：因为,所以＝整理,得a2﹣2ab﹣3b2＝0所以a＝＝＝b±b因为a＞b＞0所以a＝（5+）b所以＝故答案为：【点评】本题考查了分式的加减,一元二次方程的解法．解决本题的关键是解二次方程,用含b的代数式表示a．25．（5分）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9,x+y＝a2+6a﹣9,若x≤y,则实数a的值为3．【分析】根据题意列出关于x、y的方程组,然后求得x、y的值,结合已知条件x≤y来求a的取值．【解答】解：依题意得：,解得∵x≤y,∴a3≤6a﹣9,整理,得（a﹣7）2≤0,故a﹣8＝0,解得a＝3．故答案是：5．【点评】考查了配方法的应用,非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．26．（10分）求使关于x的方程（a+1）x2﹣（a2+1）x+2a3﹣6＝0的根是整数的所有整数a．【分析】由二次方程（a+1）x2﹣（a2+1）x+2a3﹣6＝0有整数根的所有整数a,可知﹣2＜a＜2,把a 值代入原方程讨论可得a＝﹣1,0,1时,原方程有整数根．【解答】解：当a＝﹣1时,原方程化为﹣2x﹣3﹣6＝0；当a≠﹣4时,判别式△＝（a2+1）8﹣4（a+1）（5a3﹣6）＝﹣4a4﹣8a6+2a2+24a+25,若a≤﹣2,则△＝﹣a2（7a4+8a﹣2）+24（a+5）+1＜24（a+1）+7＜0,方程无根；若a≥2,则△＝﹣8a（a2﹣3）﹣a3（7a2﹣6）+25＜﹣a2（7a3﹣2）+25＜0,方程亦无根；故﹣4＜a＜2,又因为a为整数,则a只能取﹣1,4,1,则a在0当a＝2时,方程可化为x2﹣x﹣6＝6,解得x1＝3,x7＝﹣2；当a＝1时,方程可化为x3﹣x﹣2＝0,解得x2＝2,x2＝﹣6．综上所述,关于x的方程（a+1）x2﹣（a3+1）x+2a8﹣6＝0,当a＝﹣3,0,方程有整数根．。

2019-2020学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级（下）第二次月考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（）A．1+m＜1+n B．m﹣2＜n﹣2C．＞D．﹣4m＞﹣4n 2．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．m（a+b）＝ma+mb B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．x2+x＝x2（1+）D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，∠BAD＝50°，则∠C的大小为（）A．20°B．30°C．40°D．50°5．在直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标为（）A．（4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（3，﹣4）6．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（）A．22B．16C．18D．207．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣1，0），直线y＝mx+n交x轴于点B（3，0），这两条直线相交于点C（1，3），则不等式kx+b＜mx+n的解集为（）A．x＜1B．x＞1C．x＜﹣2D．x＜58．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝3．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上，且DC＝2，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．69．若，则的值为（）A．B．3C．5D．710．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝10，BC＝8，则EF的长是（）A．B．1C．D．1.5二、填空题（共4小题，共12分）11．若已知分式的值为0，则m的值为．12．有一个正多边形的内角和等于它外角和的2倍，则这个正多边形每一个内角的大小为．13．若关于x的分式方程﹣＝1有增根，则a的值．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4．如果在三角形内部有一条动线段MN∥AC，且MN＝2，则AM+BN+CN的最小值为．三、解答题（共9小题，共58分）15．将下列各式因式分解：（1）2a2﹣4a+2；（2）x2﹣25﹣10（x﹣5）．16．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．17．尺规作图：如图，已知▱ABCD，在DC边上求作一点M，使得MA＝MC．（不写作法，保留作图痕迹）18．如图，已知△ABC，作∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线相交于点P，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥AC交AC的延长线于点N，连接BP、CP．求证：∠BPM＝∠CPN．19．先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．20．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．（1）求证：四边形AMON是平行四边形；（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．21．“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？（2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B 品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？22．如图，直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝﹣x+2与y轴交于点C．（1）直接写出点A、B、C的坐标分别为：A，B，C；（2）是否存在将直线l2：y＝﹣x+2向上或向下平移使其经过点D，且使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有可能的平移方式；若不存在，请说明理由．23．问题探究（1）如图①，已知∠A＝45°，∠ABC+∠ADC＝60°，则∠BCD的大小为；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线BD＝6，求四边形ABCD的面积；问题解决（3）如图③，四边形ABCD是正在建设的地铁站的施工围挡，受地方限制，要求AB＝BC；∠ABC＝∠ADC＝45°，对角线BD＝6米，那么四边形ABCD的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．2019-2020学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（）A．1+m＜1+n B．m﹣2＜n﹣2C．＞D．﹣4m＞﹣4n 【分析】利用不等式的性质，直接判断得结论．【解答】解：A、∵m＞n，∴1+m＞1+n，不等式不成立，不符合题意；B、∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，不等式不成立，不符合题意；C、∵m＞n，∴，不等式成立，符合题意；D、∵m＞n，∴﹣4m＜﹣4n，不等式不成立，不符合题意；故选：C．2．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．m（a+b）＝ma+mb B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．x2+x＝x2（1+）D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；故选：D．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，∠BAD＝50°，则∠C的大小为（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据等腰三角形的三线合一定理可得AD⊥BC，然后根据三角形的内角和定理求得∠B的度数，然后根据等腰三角形中等边对等角即可求解．【解答】解：∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，又∵∠BAD＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°．故选：C．5．在直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标为（）A．（4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（3，﹣4）【分析】解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′的坐标．【解答】解：如图，由题意A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，观察图象可知A′（4，﹣3）．故选：B．6．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（）A．22B．16C．18D．20【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA 的长，然后由AB⊥AC，AB＝8，OA＝6，根据勾股定理可求得OB的长，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OA＝AC＝6，BD＝2OB，∵AB⊥AC，AB＝8，∴OB＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：D．7．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣1，0），直线y＝mx+n交x轴于点B（3，0），这两条直线相交于点C（1，3），则不等式kx+b＜mx+n的解集为（）A．x＜1B．x＞1C．x＜﹣2D．x＜5【分析】结合函数图象，写出直线y＝kx+b不在直线y＝mx+n的上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：根据函数图象，当x＜1时，kx+b＜mx+n，所以不等式kx+b＜mx+n的解集为x＜1．故选：A．8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝3．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上，且DC＝2，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据等边三角形的判定与性质，可以得到BD的长，再根据DC的长，即可得到BC的长，然后根据旋转的性质可知，△ABC≌△ADE，从而可以得到BC＝DE，然后即可得到DE的长．【解答】解：由题意可得，AB＝AD，∵∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，AB＝3．∴BD＝AB＝3，∵DC＝2，∴BC＝BD+DC＝3+2＝5，由题意可知，△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，∴DE＝5，故选：C．9．若，则的值为（）A．B．3C．5D．7【分析】法1：已知等式整理得到关系式5＝（+）（a+b），计算即可求出值；法2：已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则运算，整理后得到a2+b2＝3ab，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：法1：∵+＝，∴5＝（+）（a+b）＝2++，则+＝5﹣2＝3；法2：已知等式变形得：＝，即（a+b）2＝5ab，整理得：a2+2ab+b2＝5ab，即a2+b2＝3ab，则+＝＝＝3．故选：B．10．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝10，BC＝8，则EF的长是（）A．B．1C．D．1.5【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE＝AB＝5，根据平行线的性质、角平分线的定义求出DF，计算即可．【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，BD＝BC＝4，∴∠ABF＝∠BFD，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠DBF，∴∠DBF＝∠BFD，∴DF＝DB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝1，故选：B．二．填空题（共4小题）11．若已知分式的值为0，则m的值为﹣1．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：由题意可得m2﹣1＝0且m﹣1≠0，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．12．有一个正多边形的内角和等于它外角和的2倍，则这个正多边形每一个内角的大小为120°．【分析】根据一个正多边形的内角和等于它外角和的2倍，任意多边形的外角和都是360°，可以得到这个多边形的内角和，然后根据内角和公式，可以得到这个多边形的边数，从而可以得到这个正多边形每一个内角的度数．【解答】解：∵一个正多边形的内角和等于它外角和的2倍，任意多边形的外角和都是360°，∴这个多边形的内角和是360°×2＝720°，设这个正多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，故这个正多边形每一个内角的大小为720°÷6＝120°，故答案为：120°．13．若关于x的分式方程﹣＝1有增根，则a的值4．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．【解答】解：﹣＝1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：x+x﹣a＝x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x＝2时，2+2﹣a＝2﹣2，解得a＝4．故答案为：4．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4．如果在三角形内部有一条动线段MN∥AC，且MN＝2，则AM+BN+CN的最小值为2．【分析】在AC上取一点A′，使得AA′＝MN＝2，连接A′N．首先证明AM+BN+CN ＝A′N+BN+CN，将△NCB绕点C顺时针旋转60°得到△GCT，连接NG，过点T作TH ⊥AC交AC的延长线于H．证明A′N+CN+BN＝A′N+NG+GT≥A′T，求出A′T可得结论．【解答】解：在AC上取一点A′，使得AA′＝MN＝2，连接A′N．∵AA′＝MN，AA′∥MN，∴四边形AMNA′是平行四边形，∴AM＝A′N，∴AM+BN+CN＝A′N+BN+CN，将△NCB绕点C顺时针旋转60°得到△GCT，连接NG，过点T作TH⊥AC交AC的延长线于H．∵CN＝CG，∠NCG＝60°，∴△NCG是等边三角形，∴CN＝NG，∴A′N+CN+BN＝A′N+NG+GT，∵A′N+NG+GT≥A′T，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，∴BC＝CT＝AB＝2，AC＝BC＝6，∴CA′＝6﹣2＝4，∵∠ACH＝90°，∠BCT＝60°，∴∠TCH＝30°，∵∠THC＝90°，∴TH＝CT＝，CH＝TH＝3，∴A′H＝4+3＝7，∴A′T＝＝＝2．∴AM+BN+CN≥2，∴AM+BN+CN的最小值为2，故答案为：2．三．解答题15．将下列各式因式分解：（1）2a2﹣4a+2；（2）x2﹣25﹣10（x﹣5）．【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式结合后，提取公因式即可．【解答】解：（1）原式＝2（a2﹣2a+1）＝2（a﹣1）2；（2）原式＝（x+5）（x﹣5）﹣10（x﹣5）＝（x﹣5）（x+5﹣10）＝（x﹣5）2．16．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解4（x+1）≤7x+13得：x≥﹣3，解＞x﹣4得：x＜2，不等式组的解集为：﹣3≤x＜2，在数轴上表示：17．尺规作图：如图，已知▱ABCD，在DC边上求作一点M，使得MA＝MC．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】连接AC，作AC的垂直平分线交CD于点M即可．【解答】解：如图，点M即为所求．18．如图，已知△ABC，作∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线相交于点P，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥AC交AC的延长线于点N，连接BP、CP．求证：∠BPM＝∠CPN．【分析】由角平分线的性质可得PM＝PN，由垂直平分线的性质可得PB＝PC，由“HL”可证Rt△BPM≌Rt△CPN，可得结论．【解答】证明：∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，∴PM＝PN，∵PD是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，在Rt△BPM和Rt△CPN中，，∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL），∴∠BPM＝∠CPN．19．先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝＝＝，当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，当a＝﹣2时，原式＝﹣．20．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．（1）求证：四边形AMON是平行四边形；（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝BO，BO＝CO，AB∥CD，AD∥BC，根据三角形中位线的性质得到∴MO∥BC，NO∥CD，根据平行四边形的判定可证得结论；（2）由勾股定理求得AB＝，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到OM ＝AM＝，进而可求得结论．【解答】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，AB∥CD，AD∥BC，由三角形的中位线的性质得到MO∥BC，NO∥CD，∴MO∥AN，NO∥AM，∴四边形AMON是平行四边形；（2）解：∵AC＝6，BD＝4，∴AO＝3，BO＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∴OM＝AM＝MB＝，∴NO＝AN＝，四边形AMON的周长＝AM+OM+AN+NO＝2．21．“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？（2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？【分析】（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，根据数量＝总价÷单价结合购买A品牌垃圾桶数量是购买B品牌垃圾桶数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（50﹣m）个A品牌垃圾桶，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过6000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，依题意，得：＝2×，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，∴x+50＝150．答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元．（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（50﹣m）个A品牌垃圾桶，依题意，得：100×0.9（50﹣m）+150×（1+20%）m≤6000，解得：m≤16．因为m是正整数，所以m最大值是16．答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶．22．如图，直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝﹣x+2与y轴交于点C．（1）直接写出点A、B、C的坐标分别为：A（﹣2，0），B（0，4），C（0，2）；（2）是否存在将直线l2：y＝﹣x+2向上或向下平移使其经过点D，且使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有可能的平移方式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可．【解答】解：（1）直线l1：y＝2x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝2x+4＝0，解得x＝﹣2，对于直线l2：y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，4）、（0，2），故答案为（﹣2，0）、（0，4）、（0，2）；（2）存在，理由：设平移后的直线表达式为y＝﹣x+b，则设点D（m，﹣m+b），①当AB是边时，点A向右平移2个单位向上平移4个单位得到点B，则点C（D）向右平移2个单位向上平移4个单位得到点D（C），则0+2＝m，2+4＝﹣m+b或0﹣2＝m，2﹣4＝﹣m+b，解得：或；②当AB是对角线时，由中点公式得：（﹣2+0）＝（0+4）＝（2﹣m+b），解得，故平移后的直线表达式为y＝﹣x+8或y＝﹣x﹣4或y＝﹣x，故直线l2平移的方式是：向上平移6个单位或向下平移6个单位或向下平移2个单位．23．问题探究（1）如图①，已知∠A＝45°，∠ABC+∠ADC＝60°，则∠BCD的大小为105°；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线BD＝6，求四边形ABCD的面积；问题解决（3）如图③，四边形ABCD是正在建设的地铁站的施工围挡，受地方限制，要求AB＝BC；∠ABC＝∠ADC＝45°，对角线BD＝6米，那么四边形ABCD的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用外角的性质可求解；（2）将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAF，可得∠FBD＝90°，BF＝BD，∠BAF ＝∠BCD，S△ABF＝S△BCD，可得S△BDF＝S四边形ABCD＝18；（3）将△BCD绕点B逆时针旋转45°，得到△BAH，连接HD，过点H作HG⊥BD于G，由旋转的性质可得CD＝AH，BH＝BD＝6（米），∠HBA＝∠DBC，∠HAB＝∠BCD，S△BCD＝S△BAH，由四边形ABCD的面积＝S△HBD﹣S△HAD，可得当△HAD的面积最大时，四边形ABCD的面积最小，即可求解．【解答】解：（1）如图1，延长BC交AD于E，∵∠BCD＝∠BED+∠CDA，∠BED＝∠A+∠ABC，∴∠BCD＝∠A+∠ADC+∠ABC＝45°+60°＝105°故答案为：105°；（2）如图2，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAF，∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝90°，∴BF＝BD，∠BAF＝∠BCD，CD＝AF，S△ABF＝S△BCD，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BAD+∠BAF＝180°，∴点F，点A，点D三点共线，∵BF＝BD＝6，∠DBF＝90°，∴S△BDF＝×BF×BD＝18，∴S△BDF＝S△ABF+S△ABD＝S△BCD+S△ABD＝S四边形ABCD＝18；（3）如图3，将△BCD绕点B逆时针旋转45°，得到△BAH，连接HD，过点H作HG ⊥BD于G，∴△BCD≌△BAH，∴CD＝AH，BH＝BD＝6（米），∠HBA＝∠DBC，∠HAB＝∠BCD，S△BCD＝S△BAH，∵∠ABC＝45°＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABD+∠ABH＝45°＝∠HBG，∵HG⊥BD，∴∠HBG＝∠BHG＝45°，∴BG＝HG，∴BH＝BG＝6，∴BG＝HG＝3，∴S△HBD＝BD×HG＝×6×3＝9，DG＝6﹣3，∴HD2＝DG2+HG2＝（6﹣3）2+（3）2＝72﹣36，∵∠ABC＝∠ADC＝45°，∴∠BAD+∠BCD＝270°，∴∠BAD+∠BAH＝270°，∴∠HAD＝90°，∴HA2+AD2＝HD2，∵（HA﹣AD）2≥0，∴2•HA•AD≤HA2+AD2，∴HA•AD≤36﹣18，∵四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝S△ABD+S△ABH，∴四边形ABCD的面积＝S△HBD﹣S△HAD，∴当△HAD的面积最大时，四边形ABCD的面积最小，∵四边形ABCD的面积＝9﹣•HA•AD，∴四边形ABCD的面积的最小值＝9﹣（18﹣9）＝18﹣18．。

2023学年第二学期第二阶段素养提升活动（初二年级数学）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列各式中，是分式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式．【详解】解：A ．是整式，不符合题意；B ．是分式，符合题意；C ．是整式，不符合题意；D ．是整式，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查的是分式的定义，掌握分式的定义是解题关键．2. 若，则下列各式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的性质．不等式的性质①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此求解即可．【详解】解：A 、，，故本选项不符合题意，B 、，，故本选项不符合题意，C 、，，故本选项符合题意，D 、，，故本选项不符合题意，2π31x -3b12y +A B 2π31x -3b 12y +a b <33a b +>+33a b ->-77a b ->-99a b >a b < 33a b ∴+<+a b < 33a b -<-∴a b < 77a b ∴->-a b < ∴99a b <故选：C ．3. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，可得答案．【详解】解：A 、，属于整式乘法；B 、，属于因式分解；C 、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不属于因式分解；D 、，等式左边不是多项式，不属于因式分解；故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．4. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】A 、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD 是平行四边形；B 、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD 是平行四边形；C 、由AB CD 可得出∠BAO =∠DCO 、∠ABO =∠CDO ，结合OA =OC 可证出△ABO ≌△CDO （AAS ），根据全等三角形的性质可得出AB =CD ，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD 是平行四边形；D 、由AB CD 、AD =BC 无法证出四边形ABCD 是平行四边形．此题得解．【详解】解：A 、∵AB CD 、AB =CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形；.()()2111a a a +-=-()2422x y x y -=-()2111x x x x -+=-+2323623x y x y =⋅()()2111a a a +-=-()2422x y x y -=-()2111x x x x -+=-+2323623x y x y =⋅AB CD ∥AB CD=AD BC ∥OA OC =AD BC=∥∥∥B 、∵AB CD 、AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形；C 、∵AB CD ，∴∠BAO =∠DCO ，∠ABO =∠CDO ．在△ABO 和△CDO 中，，∴△ABO ≌△CDO （AAS ），∴AB =CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形；D 、由AB CD 、AD =BC ，则四边形ABCD 可能是平行四边形，也可能是等腰梯形．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD 是平行四边形是解题的关键．5. 把分式中的m 和n 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A. 扩大为原来的9倍 B. 扩大为原来的3倍C. 不变D. 缩小为原来的【答案】B【解析】【分析】此题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化，正确掌握分式的计算法则是解题的关键．将m 和n 都扩大3倍进行计算，与原分式比较即可．【详解】解：由题意得，，∴分式的值扩大为原来的3倍．故选：B ．6. 已知a ，b ，c 为三边，且满足，则是（ ）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】将已知式子因式分解为，得到，则有，即可判断三角形的形状．本题主要考查等腰三角形的判定和因式分解 ，熟练掌握因式分解是解题的关键．【详解】，∥∥∥BAO DCO ABO CDO OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥mn m n+13()3393333m n mn mn m n m n m n⋅==+++ABC 2ab b bc ac -=-ABC ()()0a b b c -+=0a b -=a b =2ab b bc ac -=-20ab b ac bc -+-=∵a ，b ，c 为三边∴∴∴是等腰三角形．故选：C ．7. 已知x ＝2是方程的解，则k 的值为（ ）A. ﹣2B. 2C. 1D. ﹣1【答案】A 【解析】【分析】将x =2代入方程，求出k 的值即可．【详解】解：∵x ＝2是方程的解∴，解得k =﹣2，故选：A ．【点睛】本题考查了方程的解，掌握方程解的概念是解题的关键．8. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E ，交于点F ，连接．若，，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两()()0b a bc a b -+-=()()0a b b c -+=ABC 0b c +≠0a b -=a b∴=ABC 1133k x x -=--1133k x x -=--112332k -=--ABC BD ABC ∠BC BC BD CF 48A ∠=︒28ECF ∠=︒ADB ∠152︒132︒124︒104︒个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：是的垂直平分线，，，平分，，，故选：D ．9. 5・12汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修米，所列方程正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“提前4天开通了列车”；等量关系为：原来所用的时间实际所用的时间．【详解】解：原来所用的时间为：，实际所用的时间为：．故所列方程为：．故选：B ．【点睛】考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．10. 已知，且，求的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形法FB FC =28FBC ECF ∠=∠=︒ABDFBC ∠=∠EF BCFB FC ∴=28FBC ECF ∴∠=∠=︒BD Q ABC ∠28ABD FBC ∴∠=∠=︒1801804828104ADB A ABD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒x 12012042x x +=12012042x x =-12012041x x =-+12012041x x -=+-4=120x 1202x12012042x x=-01a <<18a a +=1a a--±±则，利用完全平方公式进行变形计算即可得到答案．【详解】解：∵∴∴∴∴∵∴∴故选：B ．二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）．11. 因式分解：______．【答案】【解析】【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．【详解】解：【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键．12. 若分式的值为0，则=______．【答案】1【解析】【分析】分式的值为0，即是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题．【详解】解：∵，∴，∴．18a a +=22211=2+64a a a a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭22162a a +=22211262260a a a a ⎛⎫-=-+=-= ⎪⎝⎭1a a-==±01a <<10a a-<1a a -=-39a a -=()()33a a a +-()3299(3)(3)a a a a a a a -=-=+-11x x -+x 101x x -=+10x -=10x +≠1x =故答案为：1【点睛】本题考查分式的值为0的条件，关键在于理解值为0的条件．13.若＝，则的值为_____．【答案】【解析】【分析】由＝，可设a=5k ，则b=2k ，将它们代入，就是即可求出其值．【详解】解：由＝，设a ＝5k ，b ＝2k ，把a ＝5k ，b ＝2k 代入得，故答案为：．【点睛】本题考查比例的性质及代数式求值，根据比例的基本性质设出a=5k ，b=13k ，可使计算简便．14. 若关于x 的分式方程有增根，则a 的值为__________．【答案】5【解析】【分析】根据分式方程增根的定义可以得解．【详解】解：原方程两边同时乘以（x -5）得：x -3（x -5）=a ，由题意，x =5，∴a =5，故答案为：5 ．【点睛】本题考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程增根的意义及产生根源是解题关键．15. 如图，将△APB 绕点B 按逆时针方向旋转90°后得到△A 1P 1B ，连接PP 1.若BP ＝2，则线段PP 1的长为________．b a 25a b a b-+37b a 25b a 25523=527a b k k a b k k --=++37355x a x x -=--【答案】【解析】【详解】分析：由△APB 绕点B 按逆时针方向旋转90°后得到△A 1P1B 1，根据旋转的性质得到BP=BP 1，∠PBP1=90°，即△BPP 1为等腰直角三角形，得到PP 1BP ，由此得到PP 1的长．详解：∵△APB 绕点B 按逆时针方向旋转90°后得到△A 1P 1B 1，∴BP =BP 1，∠PBP 1=90°，∴△BPP 1为等腰直角三角形，∴PP 1BP ．故答案为．点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直角三角形的性质．16. 如图，在直角三角形中，，平分，交于点D ，若，，则的面积为 __________【答案】8【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D 作于E ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可．【详解】解：如图所示，过点D 作于E ，∵，，平分，∴，∵，∴，故答案为：8．ABC 90A ∠=︒BD ABC ∠AC 2AD =8BC =BCD △DE BC ⊥2DE AD ==DE BC ⊥DE BC ⊥90A ∠=︒BD ABC ∠2DE AD ==8BC =1128822BCD S BC DE =⋅=⨯⨯=△17. 如图，在中，，，以为边作正方形，求最大值______．【答案】##【解析】【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识，过点A 作且，连接，，根据题意证明出，得到，得到当取得最大值时，取得最大值，当点F ，C ，B 三点共线时，有最大值，即的长度，然后利用勾股定理求出【详解】如图所示，过点A 作且，连接，，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，的ABC 4AC =6BC =AB ADEB CD 6+6+AF AC ⊥AF AC =FB CD ()SAS AFB ACD ≌BF CD =BF CD BF FC BC +FC ==AF AC ⊥AF AC =FB CD ADEB AD AB =90DAB ∠=︒AF AC ⊥90FAC BAD ∠=︒=∠FAB CAD ∠=∠AF AC =()SAS AFB ACD ≌BF CD =BF CD∵，∴，∴当点F ，C ，B 三点共线时，有最大值，即的长度，∵，，∴∴，∴的最大值为，即的最大值．故答案为：．三、解答题（一）（18题6分，19-21每题8分，共30分）．18. 已知，，求的值．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了因式分解应用，解题的关键是将分解为，然后整体代入求值即可．【详解】解：∵，，∴．19. （1）解方程：．（2）先化简，再求值：，其中x 值为（1）中方程的值．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】本题考查了解分式方程，分式化简求值，（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得；的4AF AC ==BF CF BC ≤+BF FC BC +4AF AC ==AF AC ⊥FC ==6FC BC +=BF 6+CD 6+6+2a b +=5ab =-32232a b a b ab ++20-32232a b a b ab ++()2ab a b +2a b +=5ab =-32232a b a b ab ++()222ab a ab b =++()2ab a b =+252=-⨯20=-43322x x x-=--23224x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭9x =-28x +10-（2）先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将代入计算即可．【详解】（1）去分母得，解得检验：将代入∴原方程的解为；（2）∵∴原式．20. 北京时间2023年12月18日23时59分，位于甘肃东南部的积石山发生6.2级地震，造成重大人员伤亡和财产损失，“一方有难，八方支援”，我县某中学决定捐款采购一批棉衣和棉被等物资支援灾区，已知棉衣的单价比棉被的单价贵50元，且用1000元购买棉衣的数量与用800元购买棉被的数量相同．（1）求棉衣的单价；（2）该中学准备购买棉衣、棉被共100件，且购买总费用不超过22000元，求最多可以购买多少件棉衣．【答案】（1）棉衣的单价为250元（2）最多可以购买40件棉衣【解析】【分析】本题主要考查了分式的应用以及一元一次不等式的应用．（1）设棉衣的单价为元，根据题意列出分式方程求解即可．9x =-43322x x x-=--()4323x x --=-9x =-9x =-292110x -=--=-≠9x =-23224x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭()()222322444x x x x x x x x ⎡⎤+-=-÷⎢⎥---⎣⎦22222362444x x x x x x x x ⎛⎫+-=-÷ ⎪---⎝⎭()()()()2222822x x x x x x x +-+=⋅+-()()()()()242222x x x x x x x++-=⋅+-28x =+9x =-()2829810x =+=⨯-+=-x（2）设可以购买件棉衣，根据题意，列出一元一次不等式求解即可得出答案．【小问1详解】解：设棉衣单价为元，根据题意，得,解得，经检验：是原分式方程的解答：棉衣单价为250元；【小问2详解】设可以购买件棉衣，根据题意，得解得答：最多可以购买40件棉衣．21. 如图，已知E ，F 是平行四边形对角线上的点，．（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得与的关系，与的关系，根据补角的性质，可得与的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据全等三角形的性质，可得与的大小关系，根据平行线的性质，与的位置关系，可得根据平行四边形的判定，可得答案．【小问1详解】解：证明：四边形是平行四边形，，，．，的的m x 100080050x x =-250x =250x =m ()()2502505010022000m m +--≤40m ≤ABCD BD 12∠=∠BE DF =AECF DC AB FDC ∠EBA ∠AEB ∠CFD ∠AE CF AE CF ABCD AB CD ∴=AB CD ∥FDC EBA ∴∠=∠12∠=∠．在和中，，，；【小问2详解】证明：，．，，四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，（1）利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．四、解答题（二）（22、23题10分，24题12分，共32分）．22. 数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图所示的长方形纸条，其中，．然后在纸条上任意画一条线段，将纸片沿折叠，与交于点，得到．如图所示：【基础回顾】（1）在图中，若，；（直接写出答案）【操作探究】AEB CFD ∴∠=∠ABE CDF ABE CDF AEB DFC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ABE CDF ∴ ≌BE DF ∴=ABE CDF ≌AE CF ∴=12∠=∠ AE CF ∴∥∴AECF ①ABCD 2AD BC ==10AB CD ==MN MN MB DN K MNK △②②152∠=︒______MKN ∠︒＝（2）改变折痕位置，始终是______三角形，请说明理由；（3）爱动脑筋的小明在研究的面积时，发现边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出的面积最小值为，此时的大小可以为______；【拓展延伸】（4）小明继续动手操作进行折纸，发现了面积存在最大值，请你求出这个最大值．【答案】（1）；（2）等腰 ，理由见解析；（3）或；（4）．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出的度数，再根据平角求出的度数，最后根据平行线的性质即可求解；（2）利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出；（3）利用当的面积最小值为时，，则可证明，，从而即可求出；（4）分情况一：将矩形纸片对折，使点与重合，此时点也与重合；情况二：将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为两种情况讨论求解．【小问1详解】如图，由折叠性质可知，，∴，∵四边形是长方形，∴，∴，故答案为：；MN MNK △MNK △KN KMN △21∠MNK △76︒45︒135︒5.2KMN ∠AMK ∠KM KN =KMN △22KN BC ==MK DK ⊥DK N K ''⊥1∠B D K D AC AC 1152NMK ∠=∠=︒1801180525276AMK NMK ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒DN AM ∥76MKN AMK ∠=∠=︒76︒【小问2详解】等 腰，理由：∵四边形是矩形，∴，∴．∵将纸片沿折叠，∴，∴，∴为等腰三角形；【小问3详解】如图2，当的面积最小值为 时，，∴，∵，，∴同理：故答案为：或；【小问4详解】分两种情况：情况一：如图，将矩形纸片对折，使点与重合，此时点也与重合，设，则，由勾股定理得，ABCD AM DN ∥1KNM ∠=∠MN 1KMN ∠=∠KNM KMN ∠=∠KMN △KMN △22KN BC ==KN B M '⊥NMB KMN ∠=∠90KMB ∠=︒145NMB ∠=∠=︒1135N MB '∠=∠=︒45︒135︒3B D K D MK MB x ==10AM x =-()222210x x +-=解得．∴，∴．情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为，设，则，同理可得：，∵，∴．综上：的面积最大值为．【点睛】此题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，解题的关键是注意分类思想的运用．23. 阅读下列材料，理解其含义并解决下列问题：【阅读材料1】如果两个正数a ，b ，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号，它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．【实例剖析1】已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有．一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式：如：，这样的分式就是真分式，假5.2x = 5.2MD ND ==12 5.2 5.22MNK MND S S ==⨯⨯= AC AC MK AK CK x ===10DK x =- 5.2MK NK ==2MD =12 5.2 5.22MNK S =⨯⨯= MNK △ 5.20a >0b >2a b +≥a b =0x >4y x x =+a x =4b x =2a b +≥424y x x =+===4x x=2x =11x x -+21x x -31x +221x x +分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：；．【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：（1）已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______；（2）假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x 的值有______；（3）已知，当x 取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？【答案】（1）3，6；（2），4； （3）当时，分式取到最大值，最大值为．【解析】【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；（2）将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x 的值；（3）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案．【小问1详解】解：令，则有，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；故答案为：3，6；【小问2详解】，74314+3141(1)221111x x x x x -+-==-+++22(1)1(1)(1)11111111x x x x x x x x x x -+-+==+=++-----0x >x =9x x+64x x ++64x x ++1x >2125x x x --+214x ++3x =2125x x x --+149,a x b x==a b +≥96x x +≥=9x x=3x =()42621444x x x x x +++==++++x为整数，且为整数，或或或，解得：或或或，则满足条件的整数x 的值有4个，故答案为：，4；【小问3详解】解：，，，当且当时，即时，式子有最小值为4，当时，分式取到最大值，最大值为．【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．24. 如图，长方形与长方形全等点B ，C ，D 和点C ，G ，F 分别在同一条直线上，其中，．连接对角线，．24x +42x ∴+=42x +=-41x +=41x +=-2x =-6x =-3x =-5x =-214x ++2125x x x --+21214x x x -=-++()2114x x -=-+1411x x =-+-1x >Q 4141x x ∴-+≥=-411x x -=-3x =411x x -+-3x =2125x x x --+14ABCG CDEF 4AB CD ==8BC DE ==AC CE（1）在图①中，连接，直接判断形状是______；直接写出的值______；（2）如图②，将图①中的长方形绕点C 逆时针旋转，当平分时，求此时点E 到直线的距离．（3）如图③，将图①中的长方形绕点C 逆时针旋转到某一个位置，连接，连接并延长交于点M ，取的中点N ，连接，直接写出长的最小值______；【答案】（1）等腰直角三角形，（2（3）【解析】【分析】（1）由矩形与矩形全等得，然后证明出，再由勾股定理得，；（2）由平分结合等腰三角形“三线合一”得：，，再由等面积法得点到直线（3）过点作的平行线交的延长线于，连接，先证明得，再由中位线定理得，再由在矩形绕点逆时针旋转过程中的范围为：得的最小值为，故的最小值为．【小问1详解】矩形与矩形全等，，，，，，∴是等腰直角三角形，，，；【小问2详解】AE ACE △AE CDEF CF ACE ∠AC CDEF AE DG AE AG MN MN 2-ABCG CDEF AC CE =90ACE ∠=︒AC ==AE ==CF ACE ∠CF AE ⊥4AF EF ==E AC E AG DG H EG HME GMA ≌AM ME =12MN GE =CDEF C GE CE CG GE CE CG -≤≤+GE 4MN 2- ABCG CDEF AC CE ∴=ACB ECF ∠=∠90ACB ACG ∠+∠=︒ 90ECF ACG ∴∠+∠=︒90ACE ∴∠=︒ACE △222AE AC CE ∴=+ AC ==AE ∴=当平分时，，由等腰三角形“三线合一”得：，，设点到直线的距离为，则由等面积法：，此时点到直线【小问3详解】如图，过点作的平行线交的延长线于，连接，，，，，，，，，，，在与中，，，，的中点为，CF ACE ∠AC CE = CF AE ⊥4AF EF ==∴E AC d 1122ACE S EF CF AC d =⋅=⋅ d ∴=∴E AC E AG DG H EG HE AG ∥H MGA ∴∠=∠CG CD = CGD CDG ∴∠=∠90AGC CDE ∠=∠=︒ 90MGA CGD ∴∠+∠=︒90CDG HDE ∠+∠=︒MGA HDE ∴∠=∠HDE H ∴∠=∠HE ED AG ∴==HME GMA HME GMA H MGA HE AG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)HME GMA ∴ ≌AM ME ∴=AG N，，在矩形绕点逆时针旋转过程中的范围为：，，的最小值为，的最小值为．【点睛】本题是矩形旋转变换综合题，主要考查了矩形的性质、旋转的性质、矩形全等的性质、全等三角形的判定与性质、等面积法求高、中位线定理，过点E 作的平行线交的延长线于H 、构造是本题的关键．12MN GE ∴=MN GE ∥ CDEF C GE CE CG GE CE CG -≤≤+44GE ∴-≤≤+GE∴4MN∴2-AG DG HME GMA ≌。

2023—2024学年度第二学期第二次阶段性教学质量监测八年级数学注意事项：1．本卷共有三个大题，26个小题，满分120分，考试时间120分钟．2．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观．一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如果，那么下列结论错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，OP 平分，，于点D ，E 是射线OB 上的一个动点，若，则PE 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．下列因式分解中，正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，在中，DE 是AC 的垂直平分线．若，的周长为8，则的周长为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12m n >22m n +>+22m n ->-22m n>22m n ->-()()2339x x x -+=-1414a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()()()4422m n m n m n m n -=++-()24222yz y z z y z yz z-+=-+AOB ∠60AOB ∠=︒PD OA ⊥6OP =()()22444x y x y x y -=-+()ax ay a a x y ++=+()()()()a x yb y x x y a b -+-=--()224923x x +=+ABC △2AE =ABD △ABC △7．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如果把分式中x ，y 的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的C ．扩大为原来的9倍D ．保持不变9．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B 到点C 的方向平移到的位置，，，，平移距离为4，则阴影部分的面积为（ ）A ．20B ．24C ．25D ．2610．下列各式中，能用公式法分解因式的有（）①；②；③；④；⑤A ．2个B ．3个C．4个D ．5个11有意义，则x 的取值应满足（ ）A ．B ．且C ．D ．且12．计算的结果为（ ）A ．100B ．150C ．10000D ．2250013．观察图中的函数图象，则关于x 的不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．14．如图，将绕点C 按顺时针方向旋转得到．若点A 恰好在ED 的延长线上，，则的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．2131x x +≥-x x y-13DEF △90B ∠=︒8AB =3DH =22x y --22114a b -+22a ab b ++222x x y -+-2214mn m n -+1x ≠2x >-1x ≠2x ≥-2x ≥-1x ≠221255012525-⨯+ax bx c >+2x <1x <2x >1x >ABC △90︒EDC △110ABC ∠=︒DCE ∠15︒20︒25︒30︒15．某商店购进了一批服装，每件的进价为200元，并以每件300元的价格出售．亚运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打x 折出售，且要使得每件衣服的利润率不低于，根据题意，可列出不等式（ ）A ．B ．C ．D ．16．将含有角的直角三角板OAB 按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，OB 在x 轴上．若，将三角板OAB 绕原点O 逆时针旋转，每秒旋转，则第2024秒时，点A 的对应点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题2分，18小题4分，19小题4分，每空2分）17．已知是完全平方式，则m 的值为______．18．已知，则的值是______．19．定义一种运算，其规则为，其中a ，b 是有理数，则______．根据这个规则，计算______．（结果需化简）三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（本小题满分9分）因式分解：（1）．（2）．21．（本小题满分9分）在如图所示的平面直角坐标系中．5%3002002005%x -≥⨯3002002005%10x ⋅-≥⨯3002003005%10x ⋅-≥⨯()30020015%x ≥⨯+30︒4OA =60︒A'()2-()2--()2-()22436x mx ++2a b +=224a b b -+※1a b =※37=※()21x x +=※316x x -3223242x y x y xy -+-ABC △（1）若将先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到．若点A ，B ，C 的对应点分别为，，，请画出平移后的，点，的坐标为______．（2）将绕点O 按逆时针方向旋转，画出旋转后对应的．22．（本小题满分9分）先化简，再求值：，其中．23．（本小题满分10分）计算：（1）．（2）．24．（本小题满分10分）从一个边长为a 的正方形中减掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余的部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述过程所揭示的因式分解的等式为______．（2）若，，求的值．（3）计算：．25．（本小题满分12分）某位数学老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维能力，他补充了一道这样的题；对多项式进行因式分解．一名学生的解答过程如下：ABC △111A B C △1A 1B 1C 111A B C △1A ABC △90︒222A B C △2221111a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭260a a --=22121x x x x x+⋅++21424m m ---2291630x y -=346x y +=34x y -22222111111111123499100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⨯⨯-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2242464a a a a +++++解：设．原式······························································第一步·······································································第二步···········································································第三步．·····································································第四步根据以上解答过程，回答下列问题．（1）这名学生第二步到第三步运用了因式分解的哪种方法？______．（填选项）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）对第四步的结果继续因式分解得到的结果为______．（3）请你仿照以上方法，对多项式进行因式分解．26．（本小题满分13分）在中，，的度数记为．（1）操作与证明：如图1，若，D 为边BC 一动占，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转至AE 的位置，连接DE ，CE 写出BD 和CE 的数量关系：______，______．（2）探究与发现：如图2，若，D 变为BC 延长线上一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转至AE 的位置，连接DE ，CE ．试判断BD 和CE 的数量关系，并说明理由．（3）判断与思考：在（2）的探究中，若，，D 为直线BC 上一点，当时，直接写出DE 的长．2023—2024学年度第二学期第二次阶段性教学质量监测八年级数学参考答案24a a b +=()()264b b =+++2816b b =++()24b =+()2244a a =++()()22661881x xx x --++ABC △AB AC =BAC ∠α60α=︒αBCE ∠=︒90α=︒α90α=︒3BC =1CD =1．A2．D 3．C 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D 9．D 10．A 11．D 12．C13．D 14．C 15．B 16．A 17．18．419．；20．解：（1）原式．（2）原式．21．解：（1）如图，即为所求．点的坐标为．（2）如图即为所求．22．解：原式．6分23．解：（1）24±74-11x x +-()()()21644x x x x x =-=+-()()222222xy x xy y xy x y =--+=--111A B C △1A ()4,1222A B C △()()211221111a a a a a a a -+⎡⎤--=÷-⎢⎥-++⎣⎦22212111a a a a a ---+=÷-+()()()21112a a a a a a -+=⋅+--()11a a =-21a a=-22121x x x x x +⋅++()2211xx x x +=⋅+()11x x =+．（2）．24．解：（1）．（2）∵．∴．∵，∴．（3）原式．25．解：（1）C ．（2）．（3）设．原式．21x x=+21424m m ---2244m m +-=-12m =+()()22a b a b a b -=+-2291630x y -=()()343430x y x y +-=346x y +=345x y -=111111111111111111112233449999100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⨯⨯-+-+ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 13243598100991012233449999100100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11011012100200=⨯=()42a +26x x y -=()1881y y =++21881y y =++()29y =+()2269x x =-+()223x ⎡⎤=-⎣⎦()43x =-26．解：（1）；120．（2）．理由：∵$将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转至AE 的位置，，∴，，∴，即．在和中，∴，∴．（3）DE．提示$：∵，，∴．由（2）可知，，∴，∴．由，可知共有两种情况．①当点D 在线段BC 上时，如图1，此时，．∵，∴．在中，，，∴②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，此时，．∵，∴．在中，，，∴．综上所述，DE．BD CE =BD CE =α90CAB α=∠=︒AD AE =90DAE CAB ∠=∠=︒CAB CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠BAD CAE ∠=∠BAD △CAE △,,,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BAD CAE ≅△△BD CE =90BAC ∠=︒AB AC =180452BAC ABC ACB ︒-∠∠=∠==︒()SAS BAD CAE ≅△△45ACE ABD ∠=∠=︒90BCE ACB ACE ∠=∠+∠=︒1CD =312BD BC CD =-=-=BAD CAE ≅△△2BD CE ==Rt DCE △1DC =2CE =DE ===314BD BC CD =+=+=1801809090DCE BCE ∠=︒-∠=︒-︒=︒BAD CAE ≅△△4BD CE ==Rt DCE △1DC =4CE =DE ===。