最新北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形公开课优质PPT课件(1)

A
由sin BC 得 BCcsin
c
？
C
c 由cos AC
？
c
？ B B90o
得 ACccos
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想， 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们�

20 sin 35

20 0.57
35.1
你还有其他 方法求出c吗？
灿若寒星
练习
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a=30,b=20;
解：根据勾股定理
B
C a2 b2 302 202 10 13
tan A a 30 3 1.5 b 20 2
灿若寒星
例2：如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这个
直角三角形（精确到0.1）
解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°
A
tan B b
c
b
a
35°
20
a
b tan B

20 tan 35

20 0.70
28.6
B
a
C
sin B b c
c
b sin B

a， b
tanB

B的对边 B的邻边

b a
灿若寒星
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6
解这个直角三角形
A
解： tan A BC 6 3 AC 2
A 60
2
C
6
B
B 90 A 90 60 30
AB 2AC 2 2
初中数学课件
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一角一边 A
60 30
在Rt△ABC中,
（1）根据∠A=60°,斜边AB=30, 你能求出这个三角形的其他元素吗?
∠BACBC
两边
C
你发现 了什么
（2）根据AC=，1BC=

第一章 直角三角形的边角关系
1.4 解直角三角形
知识回顾 例题讲授 课堂小结
获取新知 随堂演练
知识回顾
在直角三角形中：
①三边之间关系： a2+b2=c2（勾股定理）.
②锐角之间关系： ∠A＋∠B＝90°.
A
③边角之间关系：
sin
A
A的对边 斜边
a c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
5
则AC的长为（ B ）
A．3
B．3.75
C．4.8 D．5
4. 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A=50 °，AB=3.求∠B 和 a，b（边长精确到0.1）
解：在Rt△ACB中, ∠B=90°- 50°=40°,
sin A a , AB
∴a=AB• sinA=3sin50°≈2.3.
c， 且b = 30, ∠B = 25°，求这个三角形的其他元素（边长精确到1).
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠A=65°.
sin B b , b 30, c
∴c b 30 71. sin B sin 25
A
c
b
30
25°
B
a
C
tan B b ,b 30, ∴a b 30 64.
解：在 Rt△ABC 中，a2+b2=c2， a 15, b 5,
A
2
2
c a2 b2 15 5 2 5.
5
在 Rt△ABC 中，sinB = b 5 1 ,
c 25 2
C
∴∠B = 30°.
∴∠ A = 60°.

c
b
C
a
（锐角三角函数）
b
cos A sin B ,
c
a
tan A ,
b
b
tan B ,
a
B
考点 三 解直角三角形
* 匹配例题
B
5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若AB=2 ， ∠ A=30°,则 AC= 3 ;
（2）若AB=4，AC=3，则BC=
7
sinA=
7
4 ;
即： x
2+10
x -50=0
x1 5 5 3, x2 5 5 3 (舍去)
∴sin ∠CAE=
CE 5 5 3

AC
10 2
∴∠CAE≈15°
∴灯塔C处在视察站A的北偏西15°
的方向
45°
A
考点
*
四 解直角三角形知识的应用问题
2.方位角:
常见模型
匹配例题
解：过点C作CD ⊥AB,垂足为D
米，路基高是4米，则路基的下底宽是
.
15
3
4
6
3
6
考点
四 解直角三角形知识的应用问题——模型总结
A
D
C
翻折
一个
Rt△
平移一个Rt△
B
C
D
小结
辨认
数形结合
熟记
实际问题
数学问题
应用
答
模型求解
直角三角形
构造直角三角
特殊角的三角函数值
谢
谢
方位角
h
α
l
考点 一
1. 定义:
锐角三角函数

c
b
10 20 3
∴c＝ sinB ＝ sin60 ＝ 3 .
由勾股定理得a＝
c2
b2
＝
10 3
3
.
知－练
(3) c =20， ∠A＝60°; 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
∵sin A＝ b ，c＝20，
c
∴a＝c·sin A＝20×sin 60°＝20×
3 2
解：∵∠A＝26°44′，∠C＝90°， ∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
由sin A＝ 由cos A＝
a c
,
得a＝c·sin 得b＝c·cos
A＝100·sin 26°44′≈44.98. A＝100·cos 26°44′≈89.31.
b
,
c
知－练
1 在Rt△ABC中， ∠C＝90° ， ∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a, b, c，根据以下条 件求出直角三 角形的其他元素〔角度精确到1° ): (1) a = 4, b =8;
在Rt△ABC中，如果其中两边的长，你能求出 这个三角形的其他元 素吗？
(1)三边之间的关系；
(2)两锐角之间的关系；
(3)边角之间的关系：sin A＝ a ＝cos B， c
cos A＝ b ＝sin B， c
tan A＝ a 1 . b tan B
知－讲
两直角边：
应用勾股定理求斜边， 应用角的正切值求出 一锐角，再利用直角 三角形的两锐角互余，求 出另一锐角．一般不用正 弦或余弦值求锐角，因为 斜边是一个中间量，如果 是近似值，会影响结果的 精确度．
∴∠B＝90°－∠A≈63°26′.
知－练

（2）若a=10，∠B=30°,求 ∠A 的度和b、c的长度。
Ｂ
在Rt△ABC中,∠C=90°：
（1）已知a=4，c=8，求b, ∠A ,∠B。 （2）已知a=1，b=
3 ，求c, ∠A，∠B。
Ａ
c
a Ｃ
b
（3）已知b=10，∠B=60°,求 ∠A ，a，c。
知一边， （4）已知c=20，∠A=60°，求 ∠B，a，b。 一角
1 2 3 2
3 3
2 2
1 2
1
3
复习练习: 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12, AB=13,则有 ①根据勾股定理得: 13 5 BC=_________=______ 132 -122
5 BC 13 ②sinA =_____=_____ AB 12 AC AB = _______ 13 ③cosA =_______ BC 5 ④tanA =_____=____ AC 12
b sinB= c
c
a

a cosB= c b tanB= a
Ａ
b
Ｃ
Ｂ
在Rt△ABC中,∠C=90°， ∠A，
∠B， ∠C所对的边分别是a，b，c。
Ａ
c
a
（1）若b=4，c=8，求a的长度和 ∠A 、∠B的度数。
b
Ｃ
a 4 3 ， A 60 ， B 30
（2）若c=20，∠A=60°，求 ∠B的度数和a、b的长度。
2、边长为6cm的等边三角形中，其一边上高
的长度为
3 3
cm。
例题训练2
例2：已知：如图，在 RT △△ ABC 中，∠ ACB=90 °， 变式 1：已知：如图，在 RT ABC 中,∠ ACB=90 °， ∠A=30 °， DAC 是AC 延长线上一点， ∠A=30 °， D是 上一点，且 ∠BDC=60°， 且 ∠BDC=60 °， BC=30， 求AD的长度。 BC=30 ， 求AD 的长度。

例 在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所
对的边分别为 a,b,c，且a = 15 ,b = 5 ，求这个三
角形的其他元素。
Ｂ
？ ？c a
15
Ａ？b Ｃ
5
解：在Rt△ABC中，a2 b2 c2 ∵a 15, b 5, ∴c 2 5
在Rt△ABC中，sin B b 5 1 c 25 2
选取关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误” 解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切； 宁乘勿除，化斜为直”
作业布置
1、课本习题1.5 1、2题
2、预习下一节内容，三角函数的应用
课后作业： 3 、如图,根据图中已知数据,求△ABC其余各边的长, 各角的度数和△ABC的面积.
A
4cm 450
课堂小结
通过本节课的学习，大家有什么收获呢？
解直角三角形
根据
勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数
解法：只要知道五个元素中的两 个元素（至少有一个是边），就 可以求出余下的三个未知元素
注意
在遇到解直角三角形的问题时，最好先画一个直角三 角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元 素是未知的。以得于分析解决问题
1、在下列直角三角形中不能求解的是（ ）
A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角
C、已知两边
D、已知两角
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，BC＝3，则
AC＝( )
A.3sin40° B．3sin50° C．3tan40°D．3tan50°
3、Rt△ABC中,∠C=90°, （1）已知AC = 3，AB=6，解这个直角三角形。 （2）已知BC= 3，∠B =60°，解这个直角三角形.

北师版·九年级下册
4 解直角三角形
新课导入
直角三角形 三个角
中的6个元素 三条边
A
B
c a
C
b
至少知道几个元素，就 可以求出其他的元素呢？
探索新知
在Rt△ABC中，如果已知 其中两边的长，你能求出这个 三角形的其他元素吗？
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对 的边分别为 a，b ，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角形的 其他元素.
b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（角度精确
到1°）. （1）a=4，b=8；
解：（2）在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠B=60°，
（2）b=10，∠B=60°；
（3）c=20，∠A=60°.
∴∠A=30°.
∵ tanB= b ，b=10，∴a= 10 3 .
a
3
∵ sinB= b ，b=10，∴c= 20 3.
（2） c a2 + b2
(6 2)2 +(6 6)2 12 2
∴ sinA= a 1
c2
则∠A=30°，∠B=60°
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别 为 a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素.
（1）a=20，∠A=45°;
解：（1）∵tanA= a 1
∵tanB= b ，b=30，∴a= b 30 ≈64 .
a
tan B tan 25
两边
一角一边
在Rt△ABC中，如果已知∠A=60°，∠B=30°，你能
求出这个三角形的其他元素吗？ 不能
两角
两边
一角一边
你发现了什么？

sin A BC 5.2 0.0954 AB 54.5
CB
所以∠A≈5°28′ A
可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角． 你愿意试着计算一下吗？
练习
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;
解：根据勾股定理
B
C a2 b2 302 202 10 13 tan A a 30 3 1.5
AB
A
C
cos A AC AC AB cos A 6 cos 75 AB
A B 90 B 90 A 90 75
探究
在图中的Rt△ABC中， （2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
B 能
6
AB2 AC 2 BC 2 BC AB2 AC 2 62 2.42 5.5 α
北师大版 九年级（下）
这样的问题怎么解决
问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精 确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
b 20 2
c
a=30
A b=20 C
A 56.3
B 90 A 90 56.3 33.7
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
(2)
∠B＝72°，c = 14.
解：
sin B b c
b c sin B 14 sin 72 13.3

第一章 直角三角形的边角关系
1.4 解直角三角形
17
1
复 习
1.两锐角之间的关系:
∠A+∠B=900
2.三边之间的关系:
a2+b2=c2
B
c a
C
b
A
回 顾
正弦函数：
sin
A
A 的对边 斜边
余弦函数： 3.边角之间的关
系
cos
A
A 的对边 A 的邻边
2
新课进行时
（2）若CD=2，求AB与BC的长.
cosC= ,AC= ,求:（1）BC的长；
认真阅读课本P16例1，体会什么是解直角三角形？
如图，在Rt△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC=90°，AB= AC.
解：在△ABC中，∵cos B=
，∴∠B=45°.
C
17
6
练习提高
1.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°, sin C= 3 ,AC=6,BD平分∠CBA交AC
cosC= ,AC= ,求:（1）BC的长；
练习：已知在Rt△ABC中，∠C=900,a=5, ∠B=600,求∠A和b，c.
cosC= ,AC= ,求:（1）BC的长；
c ab 15 5 25 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且
4
（2）若sinA= 5 ，求AD的长． （注意：计算过程和结果均保留 根号）
14
本节课我们学到了哪些主要 知识？
17
15
知识小结
解直角三 角形
勾股定理

Ca
B
sinAA斜 的边 对边 ac
sinBB斜 的边 对边 bc
coAsA斜 的边 邻边 bc coBsB斜 的边 邻边 ac
tanA A A的 的邻 对边 边 ba tanB B B的 的邻 对边 边 ba
例3如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20， 解这个直角三角形（精确到0.1）
解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°
直角三角形
三边之间关系 锐角之间关系
图19.3.1
a2+b2=c2（勾股定理） ∠A+∠B=90º
边角之间关系 sinAA斜 的边 对边 BAB CcoAsA斜 的边 邻边 A AC B (以锐角A为例) tanA A A的 的邻 对边 边 B AC CcoAt A A的 的对 邻边 边 B AC C
4.在直角三角形中，如果已知两条边的长 度，能否求出另外两个锐角？
解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角．
在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：
（1）三边之间的关系 a2b2c2
A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
b
c
（3）边角之间的关系
AC 2,BC 6
A
解： tanABC 6 3 AC 2
A60
2
C
6
B
B 9 0 A 9 0 6 0 30
AB 2AC 22
随堂练习
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列
条件解直角三角形；
B
（1）a = 30 , b = 20 ; 解：根据勾股定理
c a=30
C a 2 b 23 0 2 2 0 2 1 01 3

由此你能总结一下已知两边解直角三角形的方法吗?
先利用勾股定理求出第三边, 然后再用适当的三角函数求出对应的锐角, 最后利用互余关系求出另一个锐角
两锐角之间
两边之间
直角三角形中，边角关系：
锐角三角函数 （边、角关系）
解直角三角形的思路： 先利用勾股定理求出第三边
然后再用适当的三角函数求出对应的锐角,
已知两边长度解直角三角形
例1、在Rt△ABC中, 已知∠C=90°，a=4, c=8， 解这个直角三角形
思路导析：已知一直角边a，一斜边c，则b=______ 由sinA=_____,从而求出________
解：在Rt△ABC中
∵ a 2 b 2 c 2 ,a 4,c 8
∴b c 2 a 2 82 42 4 3
大树未折断前的高度为9米，树头与地面的夹角为30°
变式1、在Rt△ABC中,∠C=90°，已知a=2 3 ,c=4,解这个直角三角形
变式2、如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图,
汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米.已知小汽车 车门宽AO为1.2米,当车门打开角度∠AOB为多少时,车门会 碰到墙。请说明理由. (参考数据sin41°≈0.66 cos41°≈ 0.74，tan40°≈ 0.87）
A . 习题2.6 知识技能 1—3
B. 若菱形ABCD的周长为24，面积为18cm2 , 求菱形最小内角。
福山区崇文中学
邹艳艳
1.理解直角三角形中五个元素的关系。 2.会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余
及锐角三角函数解直角三角形，
如图.小明同学背
着一桶水,从山脚 A 出
发，沿与地面成30°角