2017级燕大硕士矩阵分析试卷

北京交通大学2002008-20098-2009学年第一学期硕士研究生学年第一学期硕士研究生矩阵分析矩阵分析矩阵分析考试试卷考试试卷考试试卷(A)(A)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一、（8分）设线性映射A ：]4R x ⎡→⎣]3R x ⎡⎣且T (())()d f x f x dx=，对任意∈)(x f ]4R x ⎡⎣.求线性映射T 在基2323,,,x x x 及基22,3,x x 下的矩阵表示.其中，]210121{|}n n i nR x a a x a x a x a R −−⎡=++++∈⎣⋯.二（共14分，问题（1）4分，问题（2）10分）（1）叙述矩阵范数的定义（2）设3201i A i −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，求矩阵范数1A ，∞A ，2A ，F A .（这里12−=i ）；三求解题（共18分）（1）（6分）求矩阵的满秩分解。

(2)(4分)设三阶矩阵的特征多项式与最小多项式分别是：证明：13214261073931114128510A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 322()5()5f m λλλλλλ=−=−与4125A A=（3）（8分）求矩阵1010111A i i −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠的正交三角分解UR A =，其中U 是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵.四证明题（共16分，每小题各8分）：1设n 阶矩阵002,()k A A k ≠=≥.证明：A 不能与对角矩阵相似.2设,A B 是n 阶正规矩阵，试证：A 与B 相似的充要条件是A 与B 酉相似.五（14分）设01010i A i i i −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，验证A 是Hermite 矩阵并求酉阵U 使得1U AU −是对角矩阵.六（共30分，每小题6分）设308316205A ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠，（1）求A E −λ的Smith 标准形(写出主要步骤)；其中E 为3阶单位阵。

（2）写出A 的初等因子和A 的最小多项式；（3）求相似变换矩阵P 和A 的Jordan 标准形J ,使得J AP P =−1；（4）求2008J 和矩阵函数)(A f ；（5）求2ln()A E +计算行列式2sin()A π.。

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。

)(B 21-=ab 。

)(C 0=ab 。

D (2=ab 。

【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。

（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（ ）)(A )0,0(。

)(B )3,0(。

)(C )0,3(。

)(D )1,1(。

【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。

（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。

)(B )1()1(-<f f 。

)(C |)1(||)1(|->f f 。

)(D |)1(||)1(|-<f f 。

【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。

第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。

由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。

故1x ，2x ，3x 是线性无关的。

（2）用反证法。

假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。

所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。

二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。

四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。

)(B 21-=ab 。

)(C 0=ab 。

D (2=ab 。

【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。

（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（ ）)(A )0,0(。

)(B )3,0(。

)(C )0,3(。

)(D )1,1(。

【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。

（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。

)(B )1()1(-<f f 。

)(C |)1(||)1(|->f f 。

)(D |)1(||)1(|-<f f 。

【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。

北京理工大学2017-2018学年第一学期2017级硕士研究生〈矩阵分析〉终考试题一、（10分）设线性变换f 在基123[1,1,1],[1,0,1],[0,1,1]ααα=-=-=下的矩阵表示为101110123A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（1）求f 在基123[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]εεε===下的矩阵表示。

（2）求f 的核与值域。

二、（10分）求矩阵20000i A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的奇异值分解。

三、（10分）求矩阵111222111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的谱分解。

四、（15分）已知(1)n u R n ∈>为一个单位列向量，令T A I uu =-，证明（1）21A =；（2）对任意的X R ∈，如果有AX X ≠，那么22AX X <。

五、（15分）已知矩阵1212a A a ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，（1）问当a 满足什么条件时，矩阵幂级数121()k k k A ∞=+∑绝对收敛？（2）取a = 0，求上述矩阵幂级数的和。

七、（20分）求下列矩阵的矩阵函数2,sin ,cos tA e A A ππ3000300210130010312300101300030100013()()()A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 八、（5分）已知sin 53sin 2sin 52sin sin 5sin sin sin 5sin 2sin 52sin sin 5sin sin 5sin 2sin 52sin sin 53sin t t t t t t tA t t t t t t t t t t t t +--⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦求矩阵A 。

九、（5分）已知不相容线性方程组14122334110x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩求其最佳最小二乘解。

矩阵理论历年试题汇总及答案矩阵理论是线性代数中的一个重要分支，它涉及到矩阵的运算、性质以及矩阵在不同领域中的应用。

历年来的矩阵理论试题通常包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分解等重要概念。

以下是对矩阵理论历年试题的汇总及答案解析。

矩阵的基本运算试题1：给定两个矩阵 \( A \) 和 \( B \)，其中 \( A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B =\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，求 \( A + B \) 和 \( AB \)。

答案：首先计算矩阵的加法 \( A + B \)，根据矩阵加法的定义，对应元素相加，得到 \( A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)。

接着计算矩阵乘法 \( AB \)，根据矩阵乘法的定义，得到 \( AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix} \)。

特征值和特征向量试题2：已知矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的特征值和对应的特征向量。

答案：首先求特征值，我们需要解方程 \( \det(C - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。

计算得到 \( \det(\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}) = (4-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 3\lambda - 2 \)。

五邑大学 试 卷课程：矩阵分析在3R 中，定义),,2(),,(132321321x x x x x x x x x +--=ℜ，则ℜ是否是3R 上的线性变换？如果是求出ℜ在某一基下的矩阵，并求ℜ的核与值域。

（16分）解：1）3123123(,,),(,,),x x x y y y R k R αβ∀==∈∈，则有()()(),()()k k αβαβααℜ+=ℜ+ℜℜ=ℜ，所以ℜ是3R 上的线性变换。

2）取3R 的一组基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ααα===，则123()(2,0,1),()(1,1,0),()(1,1,0)αααℜ=ℜ=-ℜ=-，所以123123211(,,)(,,)011100αααααα--⎛⎫⎪ℜ= ⎪ ⎪⎝⎭，故ℜ在该基下的矩阵为A ，211011100A --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

3）ℜ的值域为向量12()(2,0,1),()(1,1,0)ααℜ=ℜ=-生成的子空间。

4）ℜ的核=3{|()0}R αα∈ℜ==3{|0}TR A αα∈=，线性方程组0T A α=的基础解系为11,η⎛⎫⎪= ⎪⎪故ℜ的核是{|}T k k R η∀∈。

二、（12分）设η是欧氏空间V 中一单位向量，定义ηαηαα),(2)(-=ℜ，证明ℜ是正交变换。

解：,,V k R αβ∀∈∈，有()()2(,)2(,)2(,)αβαβηαβηαηαηβηβηℜ+=+-+=-+-； ()2(,)2(,)(2(,))()k k k k k k k ααηαηαηαηαηαηαℜ=-=-=-=ℜ； ((),())(2(,),2(,))(,)2(,)(,)2(,)(,)4(,)(,)(,)(,)2(,)(,)2(,)(,)4(,)(,)(,)αβαηαηβηβηαβηαηβηβαηηαηβηηαβηαηβηβαηηαηβαβℜℜ=--=--+=--+=三、证明对任意的n n ⨯矩阵n n ij a A ⨯=)(，若定义∑∑===ni nj ijaA 11||||||，则|| ∙||是一种矩阵范数，但不是算子范数（从属于向量范数的矩阵范数）。

2017年山东烟台大学管理学综合考研真题B卷一、简答题（45分，每小题9分）1、行为科学的贡献有哪些?2、赫茨伯格的双因素理论的内容是什么?对管理有哪些启示?3、扁平型组织相对于高耸型组织，有哪些优点和缺点?4、供应链管理有哪些特点?5、仓储的必要性或者重要性有哪些?二、计算题（45分，每小题15分）1、【决策树】某企业现在生产某产品，生产规模不大。

根据市场预测分析，明年产品的销路有两种可能∶销路好（市场需求大增）与销路一般（与今年的市场需求持平），各种情况出现的概率分别为0.7和0.3。

为适应市场需求可能的变化，企业在今年的第四季度有两种方案可供选择∶（1）新建生产线（可以满足销路好的需求）（2）改进生产线（可以满足销路一般的需求）。

如果今年没有上新生产线，企业还可以采取两种方案∶（1）紧急安装新生产线（2）加班生产和外包。

2、【一元线性回归】某企业从有关资料中发现产品销售和广告投入之间符合一元线性回归关系。

近年该企业广告费和销售额资料如表所示，若2003年广告费为120万元，请用一元线性回归分析法预测2003年产品销售额。

3、【单利与复利】某人拟从证券市场购买一年前发行的三年期国库券，年利率为14%（按单利计算），到期一次还本付息，面额为100元，若此人要求在余下的两年中获得12%的年利率（按复利计算，即利滚利），问此人应该以多少的价格买入?三、案例分析题（20分）A建筑卫生陶瓷厂是一家国有中型企业，由于种种原因，2005年停产近一年，亏损250万元，濒临倒闭。

2006年初，郑先生出任厂长。

面对停水、停电、停发工资的局面，郑厂长认真分析了工厂的现状，果断决策∶治厂先从人事制度改革入手，把科室及分厂的管理人员减掉3/4，充实到生产第一线，形成一人多用、一专多能的治厂队伍。

他还在全厂推行了"一厂多制"的经营方式∶对生产主导产品的一、二分厂，采取"四统一"（统一计划、统一采购、统一销售、统一财务）的管理方法;对墙地砖分厂实行股份制改造;对特种耐火材料厂实行租赁承包。