高三基础知识天天练 数学选修4-5-1人教版

选修4-1 第1节一、选择题1．若三角形三边上的高分别为a 、b 、c ，这三边长分别为6、4、3，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．6∶4∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶6解析：由三角形面积公式： 12×6a ＝12×4b ＝12×3c ， ∴6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝k ，则a ＝k 6，b ＝k 4，c ＝k 3，∴a ∶b ∶c ＝k 6∶k 4∶k32∶3∶4.答案：C2．如下图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，则线段BF 的长为( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm解析：∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形， ∴FC ＝DE ＝5 cm ， ∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BD DA， 即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 答案：D3．Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝( )A ．3∶2B ．2∶3C ．9∶4D ．4∶9解析：由△ABD ∽△CBA 得AB 2＝BD ·BC ， 由△ADC ∽△BAC 得AC 2＝DC ·BC ， ∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 答案：D4．已知：如右图，正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，则PQ 的长为( )A ．1 B.54 C.32D. 2解析：∵PQ ⊥PC ，∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°， ∴∠APQ ＝∠BCP ，∴Rt △APQ ∽Rt △PBC ， ∴AP BC ＝AQBP. ∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3，∴PB ＝3，AP ＝1， ∴AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝916＋1＝54. 答案：B5．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数解析：∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．答案：D6．如右图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656D.636解析：过A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG . ∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD. ∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13， ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656.答案：C 二、填空题7．在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，设该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x ＝________.解析：2个，△ACD 和△CBD . 答案：28．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为________．解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案． 答案：1∶29．如右图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△PAD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．解析：设AP ＝x ，(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝APBC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝APBP ，即333＝x 6－x ，解得x ＝32， 所以符合条件的点P 有两个． 答案：两 三、解答题10．如右图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别交CE 及BA 的延长线于F 、H .求证：(1)DG 2＝BG ·CG ； (2)BG ·CG ＝GF ·GH .证明：(1)DG 为Rt △BCD 斜边上的高， ∴由射影定理得DG 2＝BG ·CG . (2)∵DG ⊥BC ，∴∠ABC ＋∠H ＝90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠ABC ＋∠ECB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠H ＝∠ABC ＋∠ECB ， ∴∠H ＝∠ECB .又∵∠HGB ＝∠FGC ＝90°， ∴Rt △HBG ∽Rt △CFG ， ∴BG GF ＝GHGC，∴BG ·CG ＝GF ·GH . 11．如右图，正方形ABCD 中，AB ＝2，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，DQ ⊥AP 于Q .(1)试证明△DQA ∽△ABP ；(2)当点P 在BC 上变动时，线段DQ 也随之变化，设PA ＝x ，DQ ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式．解：(1)∵DQ ⊥AP ，∴∠DQA ＝90°， ∠DAQ ＋∠ADQ ＝90°， 又∵∠DAQ ＋∠BAP ＝90°， ∴∠BAP ＝∠QDA . ∴△DQA ∽△ABP .(2)∵△DQA ∽△ABP ，∴DA AP ＝DQ AB，∴DQ ＝DA ·AB PA ，即y ＝4x. 12．有一块直角三角形木板，如右图所示，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解：如图(1)所示，设正方形DEFG 的边长为x cm ，过点C 作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ，因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，所以AC ·BC ＝AB ·CM ，即3×4＝5·CM .所以CM ＝125. 因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB . 所以CN CM ＝DE AB ，即125－x125＝x 5.所以x ＝6037.如图(2)所示，设正方形CDEF 的边长为y cm ， 因为EF ∥AC ，所以△BEF ∽△BCA . 所以BF BC ＝EF AC ，即3－y 3＝y 4.所以y ＝127. 因为x ＝6037，y ＝127＝6035，所以x <y . 所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.。

复习课
整合·网络构建]
警示·易错提醒]
．不等式性质的两个易错点．
()忽略不等式乘法中“大于”这一条件．()求相关式子的取值范围时，常常因变形不等价导致错误．
．应用基本不等式求最值的三个注意点．
()“一正”：各项或各因数都是正数．
()“二定”：积(或和)为定值．
()“三等”：等号成立的条件．
．绝对值不等式的两个注意点．
()解绝对值不等式、关键是应用绝对值定义或绝对值的性质去掉
绝对值符号．()在应用零点分段法分类讨论时，要注意做到分类标准统一，分类方法既不重复又不遗漏，在应用平方法时，要注意同解变形．
专题一基本不等式的应用
在用基本不等式求最值时，
“正数”“相等”等条件往往容易从题设中获得或验证，而“定值”则需要一定的技巧和方法．常用的方法有“加－项、减－项”
“配系数”“拆项法”“的代换”等．
例] 已知＞，求函数＝的最小值．
解：＝＝＝≥，
当且仅当－＝，即＝时，等号成立，
所以当＝时，有最小值，最小值为.
归纳升华
．利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，“一
正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件，若等号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值．．基本不等式的功能在于“和”与“积”的相互转化，使用基本不
等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式
的形式再进行求解．变式训练] 已知＞，＞，且＋＝，求＋的最小值．。

第二讲证明不等式的基本方法1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式，通过综合应用加深对不等式基本性质基本定理的理解．2．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．,利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们而言，掌握这些技巧是极为重要的．但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景．所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中．2．1 比较法1．了解用作差比较法证明不等式．2．了解用作商比较法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．作差法：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a＞b⇔a－b________0a＝b⇔a－b________0a＜b⇔a－b________0答案：＞＝＜思考1 比较两个代数式值的大小：x2与x2－x＋1.解析：当x＝1时，x2＝x2－x＋1；当x＞1时，x2＞x2－x＋1；当x＜1时，x2＜x2－x＋1.2．作商法：由于当b ＞0时，a ＞b ⇒ab ＞1，因此要证明a ＞b (b ＞0)，可以转化为证明与之等价的a b＞1(b ＞0)，这种证明方法即为作商法．思考2 求证：1618＞1816.证明：∵16181816＝256332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27348＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128818＞1，∴1618＞1816.一层练习1．设m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则( ) A ．m ＞n B ．m ≥n C ．m ＜n D ．m ≤n 答案：D2．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b 答案：A3．已知下列不等式：①x 2＋3＞2x (x ∈R)；②a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3(a ，b ∈R)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：C4.2a1＋a2________1(填“≥”“≤”“>”或“<”)． 答案：≤二层练习5．若a ＞b ，则代数式a 3＋a 2b 与ab 2＋b 3的大小关系是( )A ．a 3＋a 2b ＜ab 2＋b 3B ．a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3C ．a 3＋a 2b ＝ab 2＋b 3D ．不能确定解析：∵a ＞b ，∴(a 3＋a 2b )－(ab 2＋b 3)＝(a 3－b 3)＋(a 2b －ab 2)＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＋ab (a －b )＝(a －b )·(a ＋b )2≥0，∴a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3.答案：B6．设0<2a <1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝11－a ，Q ＝11＋a ，那么( )A ．Q <P <M <NB ．M <N <Q <PC ．Q <M <N <PD ．M <Q <P <N 答案：C7．若a ＞b ＞0，下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b ＞a b B.b 2＋1a 2＋1＞b 2a 2 C ．a ＋1a ＞b ＋1bD ．a a ＜a b答案：B8．设a ，b 均为正数，且a ≠b ，则a a b b 与a b b a的大小关系是______________．答案：a a b b ＞a b b a9.6－22与5－7的大小关系是________________________________________________________________________．答案：(6－22)＞(5－7)10．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2－4a ，若P ＞Q ，则实数a ，b 满足的条件为________．解析：P －Q ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2.∵P ＞Q ，P －Q ＞0.∴ab ≠1或a ≠－2.答案：ab ≠1或a ≠－211．若a ，b 均为正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 12≥a ＋b . 证明：证法一 左边－右边＝a b ＋ba－(a ＋b ) ＝（a ）3＋（b ）3－（a ＋b ）abab＝（a ＋b ）[（a ）2－2ab ＋（b ）2]ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab，因为a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0，所以ab＋ba－(a＋b)≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法二左边－右边＝ab＋ba－(a＋b)＝⎝⎛⎭⎪⎫ab－b＋⎝⎛⎭⎪⎫ba－a＝a－bb＋b－aa＝（a－b）（a－b）ab ＝（a＋b）（a－b）2ab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法三左边右边＝ab＋baa＋b＝（a）3＋（b）3ab（a＋b）＝a＋b－abab＝1＋（a－b）2ab≥1，所以ab＋ba≥a＋b.三层练习12．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：∵2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)．又∵a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b>0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，∴2a3－b3－2ab2－a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.13．设不等式|2x－1|<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解析：(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得 0<x<1.所以M＝{x|0<x<1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0<a<1，0<b<1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.故ab＋1>a＋b.14．设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．证明：由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]≥0；当a＜b时，a＜b，从而(a)5＜(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]＞0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用a＞b⇔a－b＞0)，还有作商比较法(即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1)．作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变形是关键，目的在于能判断差的符号，而不必考虑差的具体值是多少．为便于判断差式的符号，通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式．当所得的差式是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．变形方法常用分解因式、通分、配方、有理化等．多项式不等式、分式不等式或对数不等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是：作商、变形、判断商值与1的大小，适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值与1的大小是用比较法证明不等式的难点．判断过程应详细叙述．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．习题课 不 等 式1．若a ，b ， c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，那么( ) A ．a －c ＞b －d B ．ac ＞bd C ．－a d ＞－b cD ．a －d ＞b －c 答案: D2．若1a <1b<0，则下列等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2.其中，正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案: C3．若a ，b ∈R ，则不等式：①a 2＋3>2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2中一定成立的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④ 答案: C4．若x >54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最小值为( )A ．－3B ．2C ．5D ．7答案: D5．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( )A.14B ．1C ．4D ．8 答案: C6．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，表达式3x ＋27y＋1的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．7 答案: D7．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的最小值为________． 答案: 68．若正实数x ，y ，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x >0，y >0，2x ＋y ＋6＝xy 得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22(xy )－6≥0. ∴(xy －32)(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0， ∴xy ≥32， 即xy ≥18.∴xy 的最小值为18. 答案：189．(2014·上海高考文科)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为______．解析：当时x ＞0，f (x )＝x ＋1x≥2，若f (0)是f (x )的最小值，则f (0)＝a ≤2.答案：(－∞，2]．10．(2014·辽宁卷)对于c ＜0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为______．解析：因为4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，所以(2a ＋b )2－c ＝6ab ＝3×2ab ≤3×（2a ＋b ）24，所以(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当b ＝2a ，c ＝4a 2时，|2a ＋b |取得最大值． 故1a ＋2b ＋4c ＝2a ＋1a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－1，其最小值为－1 答案：－111．(2014·湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流量速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l .(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大流量比(l )中的作答车流量增加______辆/时． 解析：(1)依题意知，l ＞0，v ＞0，所以当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋12l ＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时，取等号． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v ＋18v ＋100≤76 000v ＋100v＋18≤2 000， 当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(l )中的最大车流量增加100辆/时．答案：(1)1 900 (2)10012．已知x ，y ，z 都为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1. 求证：(x ＋y )(y ＋z )≥2.证明：由已知得xz ＞0，y (x ＋y ＋z )＞0. 又xyz (x ＋y ＋z )＝1，所以(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝xz ＋y (x ＋y ＋z )≥2xz ·y （x ＋y ＋z ）＝2， 即(x ＋y )(y ＋z )≥2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xz ＝y （x ＋y ＋z ），xyz （x ＋y ＋z ）＝1时取等号．13．(1)已知x >1，求函数y ＝x 2x －1的最小值；(2)若x <12，求函数y ＝2x ＋2＋12x －1的最大值．解析：(1)y ＝x 2x －1＝（x ＋1）（x －1）＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2. ∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x －1＋1x －1＋2≥2（x －1）·1x －1＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立． ∴y min ＝4.(2)y ＝2x ＋2＋12x －1＝(2x －1)＋12x －1＋3.∵x <12，∴2x －1<0.即1－2x >0.∴y ＝2x ＋2＋12x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－2x ）＋11－2x ＋3≤－2（1－2x ）·1（1－2x ）＋3＝1.当且仅当1－2x ＝11－2x ，即x ＝0时，等号成立． ∴y max ＝1.14．如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解析：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ， 则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18， 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .解法一 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3， 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． 解法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ，∵x ＞0，∴0＜y ＜6，S ＝xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y )·y ，∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0， ∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y ）＋y 22＝272， 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5，故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.,在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用．学习时注意适当联系实际，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适当应用数形结合有利于解决问题．如函数的图象、集合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1 不等式1．1.1 不等式的基本性质1．回顾和复习不等式的基本性质．2．灵活应用比较法比较两个数的大小．3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小顺序的关系．数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞b⇔a－b________；a＝b⇔a－b________；a＜b⇔a－b________．答案:＞0 ＝0 ＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．思考1 比较大小：x2＋3________x2＋1.答案:＞2.不等式的基本性质．(1)对称性：如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .(2)传递性：如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)加法：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .推论：如果a ＞b ，且c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d .即a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .(4)乘法：如果a ＞b ，且c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，且c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n(n ∈N，且n ＞1)． (6)开方：如果a ＞b ＞0，那么n a ＞nb (n ∈N，且n ＞1)． 思考2 若a ＞b ，则有3＋a ____2＋b . 思考3 若a ＞b ＞0，则有3a ____2b . 答案: 2．思考2：＞ 思考3：＞一层练习1．设a ，b ，c ∈R 且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案: D2．(2014·四川高考理科)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞bd B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c解析：选D.因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0.得a－d＞b－c，从而有a d ＜b c.答案：D3．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)________(x ＋6)2. 答案：＜ 4．“a ＞b ”与“1a＞1b”同时成立的条件是________________________________________________________________________． 答案：b ＜0＜a二层练习5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜0答案：C6．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2答案：A7．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b答案：D8．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab>2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：B9．已知a >b >0，则a b 与a ＋1b ＋1的大小是________．答案：a b >a ＋1b ＋110．已知a >0，b >0，则b 2a ＋a 2b 与a ＋b 的大小关系是________．答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三层练习11．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 答案：A12．设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3>b 3B.1a <1bC ．a b>1 D ．lg(b －a )<0 答案：D13．(2014·山东高考理科)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：选D.由a x ＜a y(0＜a ＜1)知，x ＞y ，所以 A ．y ＝1x 2＋1在(－∞，0)递增，(0，＋∞)递减，无法判断 B ．y ＝ln(x 2＋1)在(－∞，0)递减，(0，＋∞)递增，无法判断 C ．y ＝s in x 为周期函数，无法判断D ．y ＝x 3在R 上为增函数，x 3＞y 3答案：D14．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c<b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________． A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③解析：根据不等式的性质构造函数求解． ∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0，∴c a >c b，故①正确．构造函数y ＝x c.∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c <b c，故②正确． ∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )， 即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确． 答案：D1．不等关系与不等式．(1)不等关系强调的是关系，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”，“a＜b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式子表示，不等关系可通过不等式来体现；离开不等式，不等关系就无法体现．(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．2．不等式的性质．对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、是或很显然的理由代替不等式的性质．特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如：因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．【金版学案】2015-2016学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式讲末检测 新人教A 版选修4-5一、选择题(每小题5分，共60分)1．若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C.b a ＋a b＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b | 答案: D2．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则ab ＋1ab的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．2 2解析：由a ＞0，b ＞0，2＝a ＋b ≥2ab 得0＜ab ≤1，令t ＝ab ，则t ∈(0，1]．因为y ＝t ＋1t在(0，1]上为减函数，所以当t ＝1时，y min ＝2.答案：A 3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：∵(x －a )(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，∴(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x成立，∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，∴1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，∴－12＜a ＜32.答案：C4．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是( ) A.b a ＞c a B.b －ac＞0 C.b 2c ＞a 2c D.a －c ac＜0 解析：∵c ＜b ＜a 且ac ＜0，∴a ＞0，c ＜0.由b ＞c ，a ＞0，即1a ＞0可得b a ＞c a .故A 恒成立．∵b ＜a ，∴b －a ＜0，又c ＜0，∴b －a c＞0.故B 恒成立．∵c ＜a ，∴a －c ＞0，又ac ＜0，∴a －cac＜0.故D 恒成立．当b ＝－2，a ＝1时，b 2＞a 2，而c ＜0，∴b 2c ＜a 2c，故C 不恒成立． 答案：C5．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＝log 2c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：依题意知a ＞0，b ＞0，c ＞0，故2a＞1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＜1，∴log 12a ＞1，0＜log 12b ＜1，0＜log 2c ＜1，即0＜a ＜12，12＜b ＜1，1＜c ＜2，从而a ＜b ＜c .答案：A6．若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值－1D ．最小值－1 答案：C7．若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．[4，5] 答案：A8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|＞k 恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜3 B ．k ＜－3 C ．k ≤3 D ．k ≤－3 答案：B9．设a ＞b ＞c ，n ∈N ＋，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：因为原不等式⇔n ≤⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －b ＋b －c )恒成立， 所以n ≤⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [（a －b ）＋（b －c ）]min＝4. 答案：C10．不等式|x |＞2x －1的解集为( ) A ．{x |x ＞2或x ＜－1} B ．{x |－1＜x ＜2} C ．{x |x ＜1或x ＞2} D ．{x |1＜x ＜2} 解析：方法一 当x ＜1时，2x －1＜0，不等式恒成立，故选C. 方法二 |x |＞2x －1]⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2x －1，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜21－x ]，x ＜0，解得x ＜1或x ＞2.答案：C11．已知命题p ：不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，则m ＜1，若函数f (x )＝－(5－2m )x是减函数， 则5－2m ＞1，则m ＜2，.故p ⇒q ，q ⇒ /p . 答案：A12．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为( ) A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |x ＞1} D ．{x |x ＞2}解析：因为|a －b |≤|a |＋|b |，其中等号成立的条件为ab ≤0，所以由原不等式成立得 2x ·log 2x ＞0，所以x ＞1. 答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝______________． 解析：由集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}解出A ＝{x |－4≤x ≤5}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}＝{x |x ≥ －2}；故A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．答案：{x |－2≤x ≤5} 14．已知x 1·x 2·x 3·…·x 2012＝1，＝且x 1，x 2，…，x 2012都是正数，则(1＋x 1)(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)的最小值是________．解析：∵x 1是正数，∴1＋x 1≥2x 1，同理：1＋x 2≥2x 2，…，1＋x 2012≥2x 2012，各式相乘，得(1＋x 1)·(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)≥22012x 1·x 2·…·x 2012＝22012.等号成立的条件为x 1＝x 2＝…＝x 2012＝1.答案：2201215．设a ＞b .①ac 2＞bc 2；②2a ＞2b ；③1a ＜1b；④a 3＞b 3；⑤a 2＞b 2.其中正确的结论序号有________．解析：若c ＝0，①错；若a ，b 异号或a ，b 中有一个为0，则③⑤错． 答案：②④16．若a ＋1＞0，则不等式x ≥x 2－2x －ax －1的解集为________．解析：由题意得x －x 2－2x －ax －1≥0∴x ＋ax －1≥0.又a ＋1＞0，∴－a ＜1， ∴x ≤－a 或x ＞1，∴原不等式的解集为(－∞，－a ]∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，a ]∪(1，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分11分)解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1.解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1，∴x －2x ＞1或x －2x ＜－1，∴x 2－x －2x ＞0或x 2＋x －2x＜0，∴－1＜x ＜0或x ＞2或x ＜－2或0＜x ＜1.∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或－1＜x ＜0或0＜x ＜1或x ＞2}．18．(本小题满分11分)设关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a . (1)当a ＝1时，解这个不等式；(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R? 解析：(1)当a ＝1时，原不等式可变形为 |x ＋3|＋|x －7|＞10，可解得其解集为 {x |x ＜－3或x ＞7}．(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立，∴lg(|x ＋3|＋|x －7|≥lg10＝1对任意x ∈R 都成立，即lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a 当且仅当a ＜1时对任意x ∈R 都成立．19．(本小题满分12分)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值． 解析：∵x ＞3，∴x －3＞0，∴y ＝1x －3＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －3＋x －3＋3≥21x －3·（x －3）＋3＝5，当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时取等号． ∴当x ＝4时，函数的最小值为5.20．(本小题满分12分)设f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，g (x )的图像与f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且当x ∈[2，3]时，g (x )＝－x 2＋4x －4.(1)求f (x )的解析式；(2)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|＜2|x 2－x 1|； (3)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|≤1. (1)解析：由题意知f (x ＋1)＝g (1－x )⇔ f (x )＝g (2－x )．当－1≤x ≤0时， 2≤2－x ≤3，∴f (x )＝－(2－x )2＋4(2－x )－4＝－x 2； 当0＜x ≤1时，－1≤－x ＜0，∴f (－x )＝－x 2.∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2（－1≤x ≤0），x 2（0＜x ≤1）.(2)证明：∵当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0＜x 1＋x 2＜2，∴|f (x 2)－f (x 1)＝|x 22－x 21|＝|(x 2－x 1)(x 2＋x 1)|＜2|x 2－x 1|.(3)证明：当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0≤x 21≤1，0≤x 22≤1，∴－1≤x 22－x 21≤1，即|x 22－x 21|≤1，∴|f (x 2)－f (x 1)|＝|x 22－x 21|≤1.21．(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 的距离的最小值．解析：(1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)．又A (0，－1)，所以MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)．再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0.所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点．因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.所以直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.所以O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2，当且仅当x 0＝0时，等号成立，所以O 点到l 的距离的最小值为2.22．(本小题满分12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为：y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ (2)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少(结果可保留分数形式)?解析：(1)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64；(2)依题意，y ＝9203＋⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时上式等号成立， ∴y max ＝92083(千辆/时)．第三讲柯西不等式与排序不等式1．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．2．认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3) （x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x3）2＋（y1－y3）2(通常称作平面三角不等式)．3．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：∑n,i＝1a2i·∑n,i＝1b2i≥(∑n,i＝1a i b i)2.4．用向量递归方法讨论排序不等式．,1．在本讲教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景．学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质．2．准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式，深刻理解其几何意义，综合提升数学应用能力．3．1 二维形式的柯西不等式1．利用柯西不等式证明不等式．2．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．3．认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．1．定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：设a，b，c，d均为实数，则____________________________________，其中等号当且仅当________时成立．答案：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2ad＝bc2．定理2(柯西不等式的向量形式)：设α，β为两个平面向量，则________，其中等号当且仅当两个向量__________________时成立．答案：|α||β|≥|α·β|方向相同或相反(即两个向量共线)思考1 几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A (a ，b )，B (c ，d )，那么它们的数量积α·β＝________，而|α|＝a 2＋b 2，|β|＝c 2＋d 2，所以柯西不等式的几何意义就是________，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立．答案：ac ＋bd |α||β|≥|α·β|3．定理3(三角形不等式)：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则________________________________________________________________________．答案：（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2思考2 设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n，则P 与Q 的大小关系是________．解析：由柯西不等式，得P ＝am ·b m ＋nc ·dn ≤am ＋nc ·b m ＋dn＝Q ， ∴P ≤Q . 答案：P ≤Q一层练习1．已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝4，则3a ＋2b 的最大值为( ) A ．4 B ．213 C ．8 D ．9 答案：B2．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋ny＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2B.m ＋nC ．m ＋nD ．(m ＋n )2答案：A3．已知a ，b >0，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b 的最小值为________．解析：∵12a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b ＝[(a )2＋(b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·12a ＋b ·1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝32＋ 2.答案：32＋24．若3x ＋4y ＝2，求x 2＋y 2的最小值及最小值点．解析：由柯西不等式有(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4，∴x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y 4时等号成立，为求最小值点，需解⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2的最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.二层练习5．若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b2≥1答案：D6．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为______． 答案：37．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是______． 答案：38．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.14答案：A三层练习9．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，求证：a 2＋b 2＝1.证明：由柯西不等式，得(a 1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][b 2＋(1－b 2)]＝1. 当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)．于是a 2＋b 2＝1.10．设a ＋b ＝12，求证：a 8＋b 8≥127.证明：a 8＋b 8＝12(12＋12)[(a 4)2＋(b 4)2]≥12(1×a 4＋1×b 4)2＝12(a 4＋b 4)2＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 4＋b 4）2＝12×14{(12＋12)[(a 2)2＋(b 2)2]}2≥123(1×a 2＋1×b 2)2＝123(a 2＋b 2)2＝123·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 2＋b 2）2≥123×122(a ＋b )2＝127.∴原不等式成立．11．在半径为R 的圆内，求周长最大的内接长方形．解析：如图，设内接长方形ABCD 的长为x ，则宽为4R 2－x 2，于是长方形ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1·4R 2－x 2)，由柯西不等式有l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12＝22·2R ＝42R ，等号成立⇔x 1＝4R 2－x 21⇔x ＝2R ，此时宽为4R 2－（2R ）2＝2R ，即长方形ABCD 为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R .1．二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的，也要关注结构形式的变化对数值的要求．2．理解柯西不等式，就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，并从形和数两方面来理解和记忆．另外，对等号“＝”取到的条件是要从推导过程来理解的．2．3 反证法与放缩法1．了解用反证法证明不等式．2．了解用放缩法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．反证法．(1)先________________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明________不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．答案：假设要证的命题不成立矛盾假设(2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．第二步，做出与所证不等式________的假定．第三步，从____________出发，应用正确的推理方法，推出________结果．第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假定________，于是原证不等式________．答案:相反条件和假定矛盾不正确成立反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题．(3)用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等．推导出的矛盾必须是明显的；④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件．(4)反证法中的数学语言．反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见个以上思考1 已知a ＞b ＞0，求证：n a ＞nb (n ∈N 且n ＞1)．用反证法证明此题时第一步是：________．答案：假设n a ≤nb2．放缩法．(1)所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地________(或________)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．答案：放大 缩小(2)放缩法的主要理论依据． ①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较； ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质； ⑤三角函数的有界性等． (3)使用放缩法的主要方法．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122； 将分子或分母放大(或缩小)：1k2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k＞2k ＋k ＋1( k ∈R，k ＞1)等．(4)对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型：①直接放缩； ②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩； ④利用基本不等式放缩．思考2 对于任何实数x ，求证：x 2－x ＋1≥34.证明： 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以x 2－x ＋1≥34.一层练习1．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个偶数”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案：B2．在求证“数列2，3，5不可能为等比数列”时最好采用( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．反证法 D ．直接法 答案：C3．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定 答案：B4．A ＝1＋12＋13＋ (1)与n (n ∈N *)的大小关系为________．解析：n ∈N *，当n ＝1时，A ＝n ＝1；当n >1时，A ＝1＋12＋13＋…＋1n >1＋12＋1＋13＋2＋…＋1n ＋n －1＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n .综上可知，A ≥n . 答案：A ≥n二层练习5．(2014.山东高考理科·T4)用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根．B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根．C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根．解析：本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设．一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根．选A.答案：A6．设a ，b ，c ∈R ＋，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 答案：D7．A ＝1＋122＋132＋…＋1n2与2的大小关系是________．解析：A ＝1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2. 答案：A ＜28．已知x ，y >0，且x ＋y >2.证明：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋y x≥2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥2y ， ①1＋y ≥2x . ②由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )， 即x ＋y ≤2与题设矛盾． ∴1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2.9．若数列{x n }的通项公式为x n ＝nn ＋1，求证：x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1<1－x n1＋x n. 证明：∵1－x n1＋x n＝1－nn ＋11＋n n ＋1＝12n ＋1，x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1＝12×34×…×2n －12n <13×35×…×2n －12n ＋1＝12n ＋1. ∴x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1< 1－x n1＋x n.10．(2014·佛山一模·节选)数列{a n }的通项公式a n ＝4n (n ＋1)． (1)记1c n ＝1a n ＋1a n ＋1，求证：对一切正整数n ，有1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n <38；(2)求证：对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27. (1)证明：证法一1a n ＝14n 2＋4n ＝14(1n －1n ＋1)， 所以1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n ＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2]＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. 证法二1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14n （n ＋1）＋14（n ＋1）（n ＋2）＝12n （n ＋2）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋(1n －1n ＋2)] ＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. (2)证明：所证明的不等式为 17＋123＋147＋…＋14n 2＋4n －1<27. 证法一 首先证明14n 2＋4n －1<27(1n －1n ＋1)(n ≥2)．∵14n 2＋4n －1<27⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1⇔14n 2＋4n －1<27n 2＋7n⇔7n 2＋7n <8n 2＋8n －2⇔n 2＋n －2>0⇔(n －1)·(n ＋2)>0.∴当n ≥2时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋27[⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]<17＋27×12＝27. 当n ＝1时，17<27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.方法二14n 2＋4n －1<14n 2＋4n －3＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3.当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋14·[⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3]<17＋123＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17<17＋114＋114＝27.当n ＝1时，17<27；当n ＝2时，17＋123<17＋17＝27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.三层练习11．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. 证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<74，∴原不等式成立．②当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14<74，∴原不等式成立． ③当n ≥3时，∵n 2>(n －1)·(n ＋1)，∴1n 2<1（n －1）·（n ＋1）.1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74＋12(－1n －1n ＋1)<74.∴当n ≥3时，∴原不等式成立．综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.12．已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1，2，3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1 解析：①首先{a n }中的项不能是0，否则d 1＝a 1－0＝2，与已知矛盾．②{a n }中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{a n }中有超过2的项，设a k 是第一个大于2的项， {a n }中一定存在项为1，否则与d n ＝1矛盾． 当n ≥k 时，a n ≥2，否则与d k ＝1矛盾．因此存在最大的i 在2到k －1之间，使得a 1＝1， 此时d i ＝A i －B i ＝2－B i ≤2－2＝0，矛盾． 综上{a n }中没有超过2的项．综合①②，{a n }中的项只能是1或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：若a k 为最后一个1，则d k ＝A k －B k ＝2－2＝0，矛盾． 因此1有无数个．13．(2014·广东高考文科)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜13.解析：(1)令n ＝1，则S 1＝a 1，S 21－(12＋1－3)S 1－3(12＋1)＝0，即a 21＋a 1－6＝0，解得a 1＝2或a 1＝ －3(舍去)．(2)S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0可以整理为(S n ＋3)[S n －(n 2＋n )]＝0， 因为数列{a n }中a n ＞0，所以S n ≠－3，只有S n ＝n 2＋n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(3)因为1a n （a n ＋1）＝12n （2n ＋1）＝14·1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＜14·1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14，1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14＝1n －14－1n ＋1－14， 所以1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜14⎣⎢⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－14－12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－14－13－14＋…＋⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －14－1n ＋1－14＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－14－1n ＋1－14＝13－14n ＋3＜13.故对一切正整数n ，有。

（人教A版）高中数学选修4-1（全册）同步练习汇总第一讲相似三角形的判定及有关性质1.1 平行线等分线段定理A级基础巩固一、选择题1．下列命题中正确的个数为()①一组平行线截两条直线，所得到的平行线间线段都相等．②一组平行线截两条平行直线，所得到的平行线间线段都相等．③三角形两边中点的连线必平行第三边．④梯形两腰中点的连线必与两底边平行．A．1B．2C．3D．4解析：③④正确，它们分别是三角形、梯形的中位线．①②错，因为平行线间线段含义不明确．答案：B2．如图所示，已知l1∥l2∥l3，且AE＝ED，AB，CD相交于l2上一点O，则OC＝()A．OA B．OBC．OD D．OE解析：由平行线等分线段定理可得OC＝OD.答案：C3．如图所示，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE为()A．9 B．10C．11 D．12解析：过O作直线l∥AB，由AB∥l∥CD∥EF，AO＝OD＝DF，知BO＝OC＝CE.又BC＝6，所以CE＝3，故BE＝9.答案：A4．如图所示，在△ABC 中，DE 是中位线，△ABC 的周长是16 cm ，其中DC ＝2 cm ，DE ＝3 cm ，则△ADE 的周长是( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．10 cm解析：因为DC ＝2 cm ，DE ＝3 cm ，DE 为中位线， 所以AB ＝16－4－6＝6(cm)，所以AE ＝3 cm. 所以△ADE 周长为8 cm. 答案：C5．如图，AD 是△ABC 的高，DC ＝13BD ，M ，N 在AB 上，且AM ＝MN ＝NB ，ME ⊥BC 于E ，NF ⊥BC 于F ，则FC ＝( )A.23BC B.23BD C.34BC D.34BD 解析：因为AD ⊥BC ，ME ⊥BC ，NF ⊥BC ， 所以NF ∥ME ∥AD ， 因为AM ＝MN ＝NB ， 所以BF ＝FE ＝ED . 又因为DC ＝13BD ，所以BF＝FE＝ED＝DC，所以FC＝34BC.答案：C二、填空题6.如图所示，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD＝12AD，若EG＝5 cm，则AC＝________；若BD＝20 cm，则EF＝________．解析：E为AB中点，EF∥BD，则AF＝FD＝12AD，即AF＝FD＝CD.又EF∥BD，EG∥AC，所以四边形EFDG为平行四边形，FD＝5 cm.所以AC＝AF＋FD＋CD＝15 cm.因为EF＝12BD，所以EF＝10 cm.答案：15 cm10 cm7．如图所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，点E，F分别是线段AB，AD的中点，则EF＝________．解析：连接DE，由于点E是AB的中点，故BE＝a 2.又CD＝a2，AB∥DC，CB⊥AB，所以四边形EBCD是矩形．在Rt△ADE中，AD＝a，点F是AD的中点，故EF＝a 2.答案：a 2三、解答题8．如图所示，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，连BE、DF交AC于G、H点．求证：AG＝GH＝HC.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD綊BC，又因为ED＝12AD，BF＝12BC，所以ED綊BF，所以四边形EBFD是平行四边形，所以BE∥FD.在△AHD中，因为EG∥DH，E是AD的中点，所以AG＝GH，同理在△GBC中，GH＝HC，所以AG＝GH＝HC.9.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝12 cm，AC 交梯形中位线EG于点F.若EF＝4 cm，FG＝10 cm，求梯形ABCD 的面积．解：作高DM、CN，则四边形DMNC为矩形．因为EG是梯形ABCD的中位线，所以EG∥DC∥AB.所以点F是AC的中点．所以DC＝2EF＝8 cm，AB＝2FG＝20 cm，MN＝DC＝8 cm.在Rt△ADM和Rt△BCN中，AD＝BC，∠DAM＝∠CBN，∠AMD＝∠BNC，所以△ADM≌△BCN.所以AM＝BN＝12(20－8)＝6(cm)．所以DM＝AD2－AM2＝122－62＝63(cm)．所以S梯形＝EG·DM＝(4＋10)×63＝843(cm2)．B级能力提升1.如图所示，在△ABC 中，BD 为AC 边上的中线，DE ∥AB 交BC 于E ，则阴影部分面积为△ABC 面积的( )A.14B.13C.15D.16 解析：因为D 为AC 的中点，DE ∥AB ， 所以E 为BC 的中点．所以S △BDE ＝S △DEC ，即S △BDE ＝12S △BDC ＝14S △ABC .答案：A2.如图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，EF ∥BC ，G 是BC 边上任一点，如果S △GEF ＝22cm 2，那么梯形ABCD 的面积是________．解析：因为E 为AB 的中点，EF ∥BC ， 所以DF ＝FC .所以EF 为梯形ABCD 的中位线． 所以EF ＝12(AD ＋BC )，且△EGF 的高是梯形ABCD 高的一半． 所以S 梯形ABCD ＝4S △GEF ＝4×22＝82(cm 2)． 答案：8 2 cm 23.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，∠B ＝ 60°，AB ＝BC ，E 为AB 的中点，求证△ECD 为等边三角形．证明：如图所示，连接AC，过点E作EF平行于AD交DC于点F.因为AD∥BC，所以AD∥EF∥BC.又因为E是AB的中点，所以F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底边平行的直线平分另一腰)．因为DC⊥BC，所以EF⊥DC，所以ED＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)．所以△EDC为等腰三角形．因为AB＝BC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形．所以∠ACB＝60°.又因为E是AB边的中点，所以CE平分∠ACB，所以∠FEC＝∠ECB＝30°，所以∠DEF＝30°，所以∠DEC＝60°.又因为ED＝EC，所以△ECD为等边三角形．第一讲相似三角形的判定及有关性质1.2 平行线分线段成比例定理A 级 基础巩固一、选择题1.如图所示，下列选项不能判定DE ∥BC 的是( )A.AD DB ＝AE CEB.AB AC ＝AD AEC.AE AB ＝DE BCD.AD AB ＝DE BC解析：由平行线分线段成比例定理推论易知C 不成立． 答案：C2．如图所示，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝1∶3，那么下列等式成立的是( )A ．AB ＝2A ′B ′ B ．3A ′B ′＝B ′C ′ C ．BC ＝B ′C ′D ． AB ＝A ′B ′解析：因为AA ′∥BB ′∥CC ′， 所以AB BC ＝A ′B ′B ′C ′.因为AB ∶BC ＝1∶3，所以A ′B ′∶B ′C ′＝1∶3. 所以B ′C ′＝3A ′B ′. 答案：B3．如图所示，DE ∥AB ，DF ∥BC ，若AF ∶FB ＝m ∶n ，BC ＝a ，则CE ＝( )A.am nB.an mC.am m ＋nD.an m ＋n解析：因为DF ∥BC ，所以AF FB ＝AD DC ＝mn .因为DE ∥AB ， 所以AD DC ＝BE EC ＝BC －EC EC ＝a －EC EC ＝m n. 所以EC ＝an m ＋n .答案：D4．如图所示，AD 是△ABC 的中线，点E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( )A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1解析：过D 作DG ∥AC 交BE 于G ， 所以DG ＝12EC .又AE ＝2EC ，所以AF ∶FD ＝AE ∶DG ＝2EC∶12EC＝4∶1.答案：C5.如图所示，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，则EF等于()A．10 B．12C．16 D．18解析：因为AB∥EF∥CD，所以EFAB＝CFBC，EFCD＝BFBC.所以EFAB＋EFCD＝CFBC＋BFBC＝BCBC＝1，即EF20＋EF80＝1.所以EF＝16.答案：C二、填空题6.如图所示，已知在△ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，若AD∶AB＝1∶3，且CE＝4，则AE＝________.解析：由AD∶AB＝1∶3，得AD∶DB＝1∶2.因为DE∥BC，所以AD∶DB＝AE∶EC，即1∶2＝AE∶4.所以AE＝2.答案：27．如图所示，已知l1∥l2∥l3，AB＝5 cm，BC＝3 cm，DF＝24 cm，则DE＝________．解析：因为l1∥l2∥l3，所以ABBC＝DEEF.所以53＝DE 24－DE.所以DE＝15 cm.答案：15 cm8．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE＝2，EC ＝1，BC＝4，则BF＝________．解析：在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，所以BFBC＝BDBA＝ECAC，又因为AE＝2，EC＝1，BC＝4，所以BF4＝11＋2，所以BF＝43.答案：4 3三、解答题9.如图所示，已知D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED 交AB于点G，交BC延长线于点F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，求AE的长．解：因为AE∥BC ，D 为AC 的中点， 所以AE ＝CF .设AE ＝x ，因为AE ∥BC ， 所以AE BF ＝AG BG ＝13. 又BC ＝8，所以xx ＋8＝13，3x ＝x ＋8.所以x ＝4.所以AE ＝4.10.如图所示，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，若AB ＝2CD ，MN ∥AB ，且MP ＝PN ，求证：MN ＝CD .证明：⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫MN ∥AB ∥CD ⇒⎩⎪⎨⎪⎧MN AB ＝DM AD MP CD ＝AM AD 又MN AB ＝12MN12AB ＝MP CD⎭⎪⎬⎪⎫⇒DM AD ＝AMAD ⇒DM ＝AM ⇒MP ＝12CD 又MP ＝12MN ⇒MN ＝CD . B 级 能力提升1．如图所示，将一边长为12的正方形纸ABCD的顶点A折叠至边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是()A.512 B.519 C.25 D.219解析：如图所示，作MN∥AD交DC于N，所以DNNE＝AMME.又因为AM＝ME，所以DN＝NE＝12DE＝52.因为PD∥MN∥QC，所以PMMQ＝DNNC＝52192＝519.答案：B2.如图所示，在△ABC中，E，F分别在AC，BC上，且DF∥AC，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，BC＝8，则CF＝____________，BF＝____________．解析：因为DE∥BC，所以AD AB ＝AE AC ＝46＝23.①因为DF ∥AC ，所以AD AB ＝CFCB .②由①②式，得23＝CF 8，即CF ＝163.BF ＝BC －CF ＝8－163＝83. 答案：163 833.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过该梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .(1)求证：OE ＝OF ；(2)求OE AD ＋OEBC 的值；(3)求证： 1AD ＋1BC ＝2EF.(1)证明：因为EF ∥AD ，AD ∥BC ， 所以EF ∥AD ∥BC .因为EF ∥BC ，所以OE BC ＝AE AB ，OF BC ＝DFDC .因为EF ∥AD ∥BC ，所以AE AB ＝DFDC .所以OE BC ＝OFBC .所以OE ＝OF .(2)解：因为OE ∥AD ，所以OE AD ＝BEAB .由(1)知OE BC ＝AE AB，所以OEAD＋OEBC＝BEAB＋AEAB＝BE＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知OEAD＋OEBC＝1，所以2OEAD＋2OEBC＝2.又EF＝2OE，所以EFAD＋EFBC＝2.所以1AD＋1BC＝2EF.第一讲相似三角形的判定及其有关性质1.3 相似三角形的判定及性质第1课时相似三角形的判定A级基础巩固一、选择题1.如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AD AC＝13，AE＝BE，则有()A．△ADE∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD解析：在△AED和△CBD中，AE∶BC＝AD∶CD＝1∶2，∠EAD＝∠BCD，所以△AED∽△CBD.答案：B2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：因为等腰三角形底边上的高分这个三角形为两个全等的三角形，全等三角形一定相似，所以这个三角形可以是等腰三角形；又因为直角三角形斜边上的高分这个三角形为两个相似三角形，所以这个三角形也可以是直角三角形．答案：D3．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()解析：首先求得△ABC三边的长，然后分别求得A、B、C、D 选项中各三角形的三边的长，然后根据三组对边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．答案：A4.如图所示，在△ABC中，点M在BC上，点N在AM上，CM＝CN，且AMAN＝BMCN.下列结论正确的是()A ．△ABM ∽△ACB B ．△ANC ∽△AMB C ．△ANC ∽△ACMD ．△CMN ∽△BCA解析：CM ＝CN ，即∠AMC ＝∠MNC ， 即∠AMB ＝∠ANC . 又AM AN ＝BMCN，即△AMB ∽△ANC . 答案：B5.如图所示，△ABC ∽△AED ∽△AFG ，DE 是△ABC 的中位线，△ABC 与△AFG 的相似比是3∶2，则△ADE 与△AFG 的相似比是( )A ．3∶4B ．4∶3C ．8∶9D ．9∶8解析：因为△ABC 与△AFG 的相似比是3∶2，所以AB ∶AF ＝3∶2，又因为△ABC 与△AED 的相似比是2∶1， 即AB ∶AE ＝2∶1.所以△AED 与△AFG 的相似比 k ＝AE AF ＝AB AF ·AE AB ＝32×12＝34.答案：A 二、填空题6.如图所示，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 的中点，DE ⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．解析：因为E为AB的中点，所以AEAB＝12，即AE＝12AB.在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝32AB，又因为Rt△AED∽Rt△ACB，所以相似比为AEAC＝13.故△ADE与△ABC的相似比为1∶ 3.答案：1∶ 37．如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的角平分线，若DC·AC＝19，则AD＝________．解析：因为∠A＝36°，AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝72°.又因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD＝36°.所以∠BDC＝72°＝∠C，所以AD＝BD＝BC，且△ABC∽△BCD，所以BCCD＝ABBC.所以BC2＝AB·CD.所以AD2＝AC·CD.所以AD2＝19，所以AD＝19.答案：198．△ABC的三边长分别是3 cm，4 cm，5 cm，与其相似的△A′B′C′的最大边长是15 cm，那么S△A′B′C′＝________．解析：由题意知：△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶3，又因为△ABC的三边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，所以△A′B′C′的三边长分别为9 cm，12 cm，15 cm.又因为92＋122＝152，所以△A′B′C′为直角三角形，所以S△A′B′C′＝12×9×12＝54(cm2)．答案：54 cm2三、解答题9.如图所示，CD平分∠ACB，EF是CD的中垂线交AB的延长线于E，求证：△ECB∽△EAC.证明：连接EC，因为EF是CD的中垂线，所以EC＝ED，且∠EDC＝∠ECD.又因为∠EDC＝∠A＋∠ACD，且∠ECD＝∠DCB＋∠ECB，又因为CD为∠ACB的平分线，则∠ACD＝∠DCB，所以∠A＝∠ECB.又∠CEA为公共角，所以△ECB∽△EAC.10.如图所示，在△ABC(AB>AC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP CP＝BD CE.证明：过点C作CM∥AB，交DP于点M.因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED.又AD∥CM，∠ADE＝∠CME，∠AED＝∠CEM，所以∠CEM＝∠CME，所以CE＝CM.因为CM∥BD，所以△CPM∽△BPD，所以BPCP＝BDCM，即BPCP＝BDCE.B级能力提升1．若△ABC与△DEF相似，∠A＝60°，∠B＝40°，∠D＝80°，则∠E的度数可以是()A．60°B．40°C．80°D．40°或60°解析：根据判定定理，可知∠E的度数可以是40°或60°.答案：D2．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线BD⊥DC，则△ABD∽________，BD2＝________．解析：因为AD∥BC，所以∠ADB＝∠DBC.又因为∠A＝∠BDC＝90°，所以△ABD∽△DCB.所以BDBC＝ADBD.所以BD2＝AD·BC.答案：△DCB AD·BC3．如图所示，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．解：(1)因为△PCD是等边三角形，所以∠PCD＝∠PDC＝60°，PD＝PC＝CD.从而∠ACP＝∠PDB＝120°.所以，当ACPD＝PCBD时，△ACP∽△PDB，即当CD2＝AC·BD时，△ACP∽△PDB.(2)当△ACP∽△PDB时，∠APC＝∠PBD.所以∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB＝∠PBD＋60°＋∠DPB＝60°＋60°＝120°.第一讲相似三角形的判定及有关性质1.3 相似三角形的判定及性质第2课时相似三角形的性质A级基础巩固一、选择题1．两个相似三角形的面积之比为1∶2，则其外接圆的半径之比为()A．1∶4B．1∶3C．1∶2 D．1∶ 2解析：因为相似三角形的面积比为相似比的平方，所以相似比为1∶2，两相似三角形外接圆半径之比为相似比，故选D.答案：D2.如图所示，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，则△ADE与四边形BCED的面积比为()A．1∶3 B．1∶9C．1∶15 D．1∶16解析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.又因为AD ∶DB ＝1∶3.所以AD ∶AB ＝1∶4，其面积比为1∶16，则所求两部分面积比为1∶15.答案：C3.如图所示，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，正方形DEFC 内接于△ABC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AC ＝1，BC ＝2，则AF ∶FC 等于( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶2D ．2∶3解析：设正方形边长为x (x >0)，则由△AFE ∽△ACB ，可得AF ∶AC ＝FE ∶CB ， 即1－x 1＝x 2.所以x ＝23，于是AF FC ＝12.答案：C4．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，ABA ′B ′＝23，△ABC 外接圆的直径为4，则△A ′B ′C ′外接圆的直径等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：设△A ′B ′C ′和△ABC 外接圆的直径分别是r ′，r ，则r ′r ＝A ′B ′AB ，所以r ′4＝32，所以r ′＝6. 答案：C5．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，D 为AC 上一点，DC ＝23AC ，在AB 上取一点E ，得到△ADE ，若△ADE 与△ABC 相似，则DE 的长为( )A ．6B ．8C ．6或8D ．14解析：如图①所示，过D 作DE ∥CB 交AB 于E ，则AD ∶AC ＝AE ∶AB ＝DE ∶CB ，AB ＝9，AC ＝12，DC ＝23AC ＝23×12＝8.图① 图②所以AD ＝AC －DC ＝12－8＝4， 所以DE ＝AD ·CB AC ＝4×1812＝6. 如图②所示，作∠ADE ＝∠B ，交AB 于E ， 则△ADE ∽△ABC .所以有AD ∶AB ＝AE ∶AC ＝DE ∶BC ， 所以DE ＝AD ·BC AB ＝4×189＝8.所以DE 的长为6或8. 答案：C 二、填空题6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________．解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥DC ，且AB ＝DC ，于是△CDF ∽△AEF ，且CD AE ＝ABAE ＝3，因此△CDF 的面积△AEF 的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD AE 2＝9.答案：97．两个相似三角形的对应边上的中线之比是2∶3，周长之和是20，那么这两个三角形的周长分别为________．解析：由中线之比为周长之比都为相似比，得周长之比为2∶3，设其中一个三角形周长为2x ，则另一个三角形周长为3x .所以2x ＋3x ＝20.所以x ＝4，即两个三角形的周长分别为8，12. 答案：8 128．如图所示，已知∠ACB ＝∠E ，AC ＝6，AD ＝4，则AE ＝____．解析：因为∠ACB ＝∠E ， ∠DAC ＝∠CAE ， 所以△DAC ∽△CAE . 所以AD AC ＝AC AE ，所以AE ＝AC 2AD ＝624＝9.答案：9 三、解答题9.如图所示，直线DF 交△ABC 的BC ，AB 两边于D ，E 两点，与CA 的延长线交于F ，若BD DC ＝FEED＝2，求BE ∶AE 的值．解：过D 作AB 的平行线交AC 于G ， 则△FAE ∽△FGD ，△CGD ∽△CAB . 则AE DG ＝EF FD ＝23，DG AB ＝CD CB ＝13. 所以AE ＝23DG ，BE ＝73DG ，所以BE ∶AE ＝7∶2.10.如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 延长线交AC 、CF 于E 、F ，求证：PB 2＝PE ·PF .证明：连接PC ，易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP ， 因为CF ∥AB ，所以∠F ＝∠ABP ， 从而∠F ＝∠ACP ，又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角， 从而△CPE ∽△FPC ，所以CP FP ＝PEPC. 所以PC 2＝PE ·PF ，又PC ＝PB ， 所以PB 2＝PE ·PF ，命题得证．B 级 能力提升1.如图所示，点D 、E 、F 、G 、H 、I 是△ABC 三边的三等分点，△ABC 的周长是l ，则六边形DEFGHI 的周长是 ( )A.13l B ．3l C ．2lD.23l 解析：易得DE 綊13BC ，HI 綊13AC ，GF 綊13AB .又DI ＝13AB ，HG ＝13BC ，EF ＝13AC ，则所求周长为23(AB ＋AC ＋BC )＝23l .答案：D2．如图所示，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F .若AD ＝3AE ，则AF ∶FC ＝________．解析：延长CD 与直线l 交于点G ，设AB ＝2a ，则CD ＝2a ，而M 是AB 的中点， 则AM ＝12AB ＝a ，由已知得△AME ∽△DGE ，所以AMDG＝AEED⇒AMDG＝AEAD－AE.因为AD＝3AE，所以aDG＝AE2AE⇒DG＝2a.又因为△FCG∽△FAM，AF FC＝AMCG⇒AFFG＝AMCD＋DG＝a2a＋2a＝14，即AF∶FC＝1∶4.答案：1∶43．如图所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝2∶3.(1)求△AEF与△CDF周长的比；(2)若S△AEF＝8，求S△CDF.解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD且AB＝CD.因为AEEB＝23，所以AEAE＋EB＝22＋3，即AEAB＝25.所以AECD＝25.又由AB∥CD知△AEF∽△CDF，所以△AEF的周长∶△CDF的周长＝2∶5.(2)由(1)知S△AEF∶S△CDF＝4∶25，又因为S△AEF＝8，所以S△CDF＝50.第一讲 相似三角形的判定及有关性质1.4 直角三角形的射影定理A 级 基础巩固一、选择题1．线段MN 在直线l 上的射影不可能是( ) A ．点 B ．线段 C ．与MN 等长的线段 D ．直线解析：由射影的概念易知线段的射影不可能是直线． 答案：D2．直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为6 cm 和4 cm ，则斜边上的高是( )A ．10 cmB ．2 cmC ．2 6 cmD ．24 cm 解析：由直角三角形的射影定理得，斜边上的高为6×4＝26(cm)．答案：C3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BDCD等于( ) A.34 B.43 C.169 D.916解析：如图所示，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC .所以AC2AB2＝CDBD＝⎝⎛⎭⎪⎫342，即CDBD＝916，所以BDCD＝169.答案：C4．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的相似比为()A．2∶3 B．4∶9C.6∶3 D．不确定解析：如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得CD2＝AD·BD，即CDAD＝BDCD.又因为∠ADC＝∠BDC＝90°，所以△ACD∽△CBD.又因为AD∶BD＝2∶3，设AD＝2x，BD＝3x(x>0)，所以CD2＝6x2，所以CD＝6x，易知△ACD∽△CBD的相似比为AD CD＝2x6x＝63＝6∶3.答案：C5.如图所示，在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于点F ，点E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是( )A ．BF 2＝12AF 2B ．BF 2＝13AF 2C ．BF 2>12AF 2D ．BF 2<13AF 2解析：根据射影定理可得 BF 2＝AF ·CF ， 因为△ABF ∽△CEF ，所以CF ∶AF ＝CE ∶AB ＝1∶2， 所以BF 2＝AF ·12AF ＝12AF 2.答案：A 二、填空题6．如图所示，小明在A 时测得某树的影长为2 m ，在B 时又测得该树的影长为8 m ．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m.解析：依题意作图如下， 在Rt △CDE 中，EF ⊥CD .由射影定理，得EF2＝CF·DF＝2×8＝16，所以树的高度EF＝4 m.答案：47．在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，则CE·CA＝________．解析：在Rt△ADC中，DE⊥AC，所以由射影定理知CD2＝CE·CA.同理CD2＝CF·CB，所以CE·CA＝CF·CB.答案：CF·CB8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝12 cm，BC ＝15 cm，则S△ACD∶S△BCD＝________．解析：因为∠ACB＝90°，CD是高，所以AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，所以AD∶BD＝AC2∶BC2.又因为S△ACD＝1 2·AD·CD，S△BCD＝1 2·BD·CD，所以S△ACD∶S△BCD＝AD∶BD＝AC2∶BC2.又因为AC＝12，BC＝15，所以S△ACD∶S△BCD＝144∶225＝16∶25.答案：16∶25三、解答题9．如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是在Rt△BCD斜边BC上的高，若BE＝6，CE＝2，求AD的长．解：因为CD⊥AB，所以△BCD为直角三角形，即∠CDB＝90°，因为DE⊥BC.由射影定理可知：DE2＝CE·BE＝12，所以DE＝23，CD2＝CE·BC＝16，所以CD＝4，因为BD2＝BE·BC＝48，所以BD＝43，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理可得：CD2＝AD·BD，所以AD＝CD2BD＝1643＝433.10．如图所示，已知BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于点G、H，交CE于点F，且∠H＝∠BCF.求证：GD2＝GF·GH.证明：因为∠H＝∠BCE，CE⊥BH，所以△BCE∽△BHG.所以∠BEC＝∠BGH＝90°，所以HG ⊥BC .因为BD ⊥AC ，在Rt △BCD 中， 由射影定理得， GD 2＝BG ·CG .① 因为∠H ＝∠BCF ，所以∠FGC ＝∠BGH ＝90°， 所以△FCG ∽△BHG ， 所以FG BG ＝CGGH， 所以BG ·CG ＝GH ·FG .② 由①②，得GD 2＝GH ·FG .B 级 能力提升1．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( )A.14B.13C.12D ．2解析：如图所示，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又因为BD ∶AD ＝1∶4， 令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)，所以CD 2＝AD ·BD ＝4x 2，所以CD ＝2x . 在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12.答案：C2．已知在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AC ⊥BC .AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，则此梯形的面积为________．解析：如图所示，过C 点作CE ⊥AB 于E ，在Rt △ACB 中，因为AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，所以BC ＝8 cm. 在Rt △ABC 中，由射影定理易得 BE ＝6.4 cm ，AE ＝3.6 cm. 所以CE ＝ 6.4×3.6＝4.8(cm)， 所以AD ＝4.8 cm.又因为在梯形ABCD 中，CE ⊥AB ， 所以DC ＝AE ＝3.6 cm.所以S 梯形ABCD ＝（10＋3.6）×4.82＝32.64(cm 2)．答案：32.64 cm 23.如图所示，四边形ABCD 是正方形，E 为AD 上一点，且AE ＝14AD ，N 是AB 的中点，NF ⊥CE 于F .求证：FN 2＝EF ·FC .证明：如图所示，连接NE 、NC .设正方形的边长为a .因为AE ＝14a ，AN ＝12a ，所以NE ＝a 216＋a 24＝5a4， 因为BN ＝12a ，BC ＝a ，所以NC ＝a 24＋a 2＝5a 2. 因为DE ＝34a ，DC ＝a ，所以EC ＝9a 216＋a 2＝5a 4. 所以NE 2＝5a 216，NC 2＝5a 24，EC 2＝25a 216.所以NE 2＋NC 2＝EC 2.所以EN ⊥NC ，△ENC 是直角三角形． 又因为NF ⊥EC ，所以NF 2＝EF ·FC .章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．平行线等分线段定理的易错点定理中的“一组平行线”是指每相邻两条直线间的距离都相等的平行线，若不满足这一条件，则不能使用该定理．2．使用平行线分线段成比例定理的两个易错点(1)在使用定理进行证明时，容易以特殊代替一般，与平行线等分线段定理混淆而出错．(2)在利用定理时，不会应用比例的性质而出现计算错误．3．相似三角形的两个易错点(1)在判定两个三角形相似时，对判定定理中的“对应”二字把握不准确．(2)对相似三角形的性质理解不透而导致应用错误．4．直角三角形的射影定理的关注点由于射影定理得出的结论(等式)较多，在解有较复杂图形的问题时，有时因选不准题目所需的等式，使得问题复杂化．专题一三角形相似的判定1．已知有一角对应相等时，可选择判定定理1或判定定理2.2．已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2或判定定理3.3．判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．[例1]如图所示，F是平行四边形ABCD的一边AD上的一点，且AF＝12FD，E为AB的中点，EF交AC于G点，O为AC的中点，已知AC＝10.(1)求证△AGF∽△OGE；(2)求AG的长．(1)证明：因为O为AC的中点，E为AB的中点，所以OE∥BC，又因为BC∥AD，所以OE∥AD，所以∠FAG＝∠GOE，∠AFG＝∠GBO，所以△AGF∽△OGE.(2)解：由(1)知△AGF∽△OGE，所以AFOE＝AGOG，又AF＝12FD，所以AF＝13AD，由题意知OE＝12AD，所以AFOE＝AGOG＝23.所以AG＝2.[变式训练]已知，如图所示，D为△ABC内一点，连接BD，AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.证明：因为在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，所以△CBE∽△ABD.所以BCAB＝BEBD，即BCBE＝ABBD.又因为在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD，∠DBC＝∠DBC，所以∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC.所以∠DBE＝∠ABC.又BCBE＝ABBD，所以△DBE∽△ABC.专题二相似三角形性质的应用相似三角形的性质主要有如下几方面的应用：(1)可用来证明线段成比例、角相等；(2)可间接证明线段相等；(3)为计算线段长度及角的大小创造条件；(4)可计算周长、线段长等．[例2]如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边的垂直平分线EM和AB交于点D，和CA的延长线交于点E.连接AM，求证：AM2＝DM·EM.证明：因为∠BAC＝90°，M是BC的中点，所以AM＝CM，所以∠MAC＝∠C.因为EM⊥BC，所以∠E＋∠C＝90°.又因为∠BAM＋∠MAC＝90°，所以∠E＝∠BAM.因为∠EMA＝∠AMD，所以△AMD∽△EMA，所以AMDM＝EMAM，所以AM2＝DM·EM.[变式训练]如图所示，AD，CF是△ABC的两条高线，在AB 上取一点P，使AP＝AD，再从点P引一条BC的平行线与AC交于点Q，求证PQ＝CF.证明：因为AD⊥BC，CF⊥AB，所以∠ADB＝∠BFC.又因为∠B＝∠B，所以△ABD∽△CBF，所以ADCF＝ABCB.又因为PQ ∥BC ，所以△APQ ∽△ABC . 所以PQ BC ＝AP AB ，所以AP PQ ＝AB BC， 所以AD CF ＝AP PQ.又因为AD ＝AP ，所以PQ ＝CF . 专题三 函数与方程的思想在相似三角形中，存在多种比相等的关系，利用这些相等关系，可以构造函数的模型，利用函数的性质解决问题，也可以将相等关系转化为方程的形式，利用方程的思想解决问题．[例3] 如图所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 停止，运动速度为每秒2个单位长度，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y .(1)求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值是多少？ 解：(1)因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AD AB ＝AE AC.又因为AB ＝8，AC ＝6，AD ＝8－2x ，AE ＝y ， 所以8－2x 8＝y 6.所以y ＝－32x ＋6，自变量x 的取值范围是[0，4]．(2)S ＝12BD ·AE ＝12×2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋6＝－32×x 2＋6x ＝－32(x －2)2＋6， 所以当x ＝2时，S max ＝6.[变式训练] 如图所示，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝53.(1)若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，求△ABC 的周长； (2)若△ABC 与△DBE 的面积之和为170 cm 2，求△DBE 的面积． 解：(1)因为AB DB ＝BC BE ＝AC DE ，所以△ABC ∽△DBE . 所以△ABC 的周长△DBE 的周长＝AB DB ＝53.设△ABC 的周长为5x ， 则△DBE 的周长为3x ，依题意得5x －3x ＝10，解得x ＝5. 所以△ABC 的周长为25 cm. (2)因为△ABC ∽△DBE ， 所以S △ABC S △DBE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532＝259.设S △ABC ＝25x ，则S △DBE ＝9x . 依题意有25x ＋9x ＝170，解得x ＝5. 所以△DBE 的面积为45 cm 2. 专题四 转化思想在证明一些等积式时，往往将其转化为比例式，当证明的比例式中的线段在同一直线上时，常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量，证明比例式成立也常用中间比来转化证明．[例4]如图所示，AC∥BD，AD，BC相交于E，EF∥BD，求证1AC＋1BD＝1EF.证明：由题意知AC∥EF∥BD，所以EFAC＝BFAB，EFBD＝AFAB，所以EFAC＋EFBD＝AF＋BFAB＝ABAB＝1，即1AC＋1BD＝1EF.[变式训练]如图所示，在锐角△ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，且DE＝22，求点B到直线AC的距离．解：因为AD⊥BC，CE⊥AB，所以∠ADB＝∠CEB＝90°.又因为∠B＝∠B，所以△ADB∽△CEB，所以BDBE＝ABBC，所以BDAB＝BEBC.又因为∠B＝∠B，所以△BED∽△BCA，所以S △BED S △BCA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ED AC 2＝218＝19.又因为DE ＝22，所以⎝⎛⎭⎪⎫22AC 2＝19， 所以AC ＝6 2.设点B 到直线AC 的距离为h ， 则S △ABC ＝12AC ·h ，故18＝12×62h ，所以h ＝3 2.章末评估验收(一)(时间：120分钟 满分：150分)一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．如图所示，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列式子：①AE EC ＝BF FC ；②AD BF ＝AB BC ；③EF AB ＝DE BC ；④CE CF ＝EA BF . 其中正确式子的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 解析：由平行线分线段成比例定理知，①②④正确． 答案：B2．已知三角形的三条中位线长是3 cm ，4 cm ，5 cm ，则这个三角形的面积是( )A ．6 cm 2B ．12 cm 2C ．24 cm 2D ．40 cm 2解析：由中位线性质得三边长分别为6 cm ，8 cm ，10 cm ，由勾股逆定理知，此三角形为直角三角形，所以S ＝12×6×8＝24(cm 2)．答案：C3．如图所示，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列结论不正确的是( )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABC C.AD AE ＝AB ACD ．S △ABC ＝3S △ADE解析：根据三角形中位线定义与性质可知，BC ＝2DE ；因DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，AD ∶AB ＝AE ∶AC ，即AD ∶AE ＝AB ∶AC ，S △ABC ＝4S △ADE ，所以选项D 错误．故选D.答案：D4．如图所示，△ABC 的三边互不相等，P 是AB 边上的一点，连接PC ，下列条件中不能使△ACP ∽△ABC 成立的是( )A ．∠1＝∠2B ．AP ·BC ＝AC ·PCC ．∠2＝∠ACBD ．AC 2＝AP ·AB解析：因为∠A 公共，所以由相似三角形的判定定理知，C ，D 项一定能使△ACP ∽△ABC 成立．若△ACP ∽△ABC ，则AP AC ＝PCBC，即B 成立， 所以加一条件B 项能使△ACP ∽△ABC 成立，而A 项则不能． 答案：A5．如图所示，AB ∥GH ∥EF ∥DC ，且BH ＝HF ＝FC ，若MN ＝5 cm ，则BD 等于( )A ．15 cmB ．20 cm C.503cm D ．不能确定解析：因为AB ∥GH ∥EF ∥DC ，且BH ＝HF ＝FC ，所以由平行线等分线段定理得DM ＝MN ＝NB .因为MN ＝5 cm ， 所以BD ＝3MN ＝15(cm)． 答案：A6．如图所示，已知AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上的一点，CE 的延长线交AB 于F ，且AE ED ＝14，则AFFB等于( )A.17B.18C.19D.110解析：过D 作DG ∥CF ，如图所示，因为CD＝BD，所以FG＝GB.因为EF∥DG，所以AFFG＝AEED＝14.所以AFFB＝AF2FG＝18.答案：B7．两个三角形相似，其对应高的比为2∶3，其中一个三角形的周长是18 cm，则另一个三角形的周长为()A．12 cm B．27 cmC．12 cm或27 cm D．以上均不对解析：设另一个三角形的周长为x cm，由相似三角形的周长之比等于相似比，也等于对应高的比．所以18x＝23或x18＝23.解得x＝27 cm或x＝12 cm.答案：C8.如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝14CD.有下列结论：①∠BAE＝30°，②△ABE∽△AEF，③AE⊥EF，④△ADF∽△ECF.其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：②③正确，①④不正确．答案：B9．如图所示，在△ABC中，EF∥BC，EF交AB于E，交AC 于F，AD⊥BC于D，交EF于M，若BC＝36，AD＝30，MD＝10，则EF的长是()A．12 B．30 C．24 D．18解析：因为EF∥BC，所以EFBC＝AMAD＝AD－MDAD.所以EF36＝2030，所以EF＝24.答案：C10．如图所示，在△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，CD 平分∠ACB，DE∥BC.若AC＝6，AE＝2，则BC的长为()A．10 B．12 C．14 D．8解析：因为DE∥BC，所以∠1＝∠2.又∠1＝∠3，所以∠2＝∠3，所以DE＝EC＝AC－AE＝6－2＝4，因为DE∥BC，所以DEBC＝AEAC，所以BC ＝AC ·DE AE ＝6×42＝12.答案：B11.如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， AC ＝12，BC ＝5，则CD 的长为( )A.6013B.12013C.5013D.7013 解析：AB ＝AC 2＋BC 2＝122＋52＝13. 因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD .所以CD ＝AC ·BC AB ＝12×513＝6013.答案：A12.如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是( )A ．∠APB ＝∠EPC B ．∠APE ＝90° C ．P 是BC 的中点D ．BP ∶BC ＝2∶3解析：因为四边形ABCD 是正方形， 所以AB ＝BC ＝CD ＝AD ，。

第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.,在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用．学习时注意适当联系实际，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适当应用数形结合有利于解决问题．如函数的图象、集合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1不等式1．1.1不等式的基本性质1．回顾和复习不等式的基本性质．2．灵活应用比较法比较两个数的大小．3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小顺序的关系．数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞b⇔a－b________；a＝b⇔a－b________；a＜b⇔a－b________．答案: ＞0＝0＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．思考1比较大小：x2＋3________x2＋1.答案: ＞2.不等式的基本性质．(1)对称性：如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .(2)传递性：如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c .(3)加法：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .推论：如果a ＞b ，且c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d .即a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .(4)乘法：如果a ＞b ，且c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，且c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n (n ∈N ，且n ＞1)．(6)开方：如果a ＞b ＞0，那么n a ＞n b (n ∈N ，且n ＞1)．思考2 若a ＞b ，则有3＋a ____2＋b .思考3 若a ＞b ＞0，则有3a ____2b .答案: 2．思考2：＞ 思考3：＞一层练习1．设a ，b ，c ∈R 且a >b ，则( )A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3 答案: D2．(2014·四川高考理科)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解析：选D.因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0.得a －d ＞b －c，从而有a d ＜b c. 答案：D3．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)________(x ＋6)2.答案：＜4．“a ＞b ”与“1a ＞1b ”同时成立的条件是________________________________________________________________________． 答案：b ＜0＜a二层练习5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab ＞acB ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜0答案：C6．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2答案：A7．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b答案：D8．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b >2.其中正确的有() A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：B9．已知a >b >0，则a b 与a ＋1b ＋1的大小是________．答案：a b >a＋1b ＋110．已知a >0，b >0，则b 2a ＋a 2b 与a ＋b 的大小关系是________．答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三层练习11．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案：A12．设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( )A ．a 3>b 3 B.1a <1bC ．a b >1D ．lg(b －a )<0答案：D13．(2014·山东高考理科)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：选D.由a x ＜a y (0＜a ＜1)知，x ＞y ，所以A ．y ＝1x 2＋1在(－∞，0)递增，(0，＋∞)递减，无法判断 B ．y ＝ln(x 2＋1)在(－∞，0)递减，(0，＋∞)递增，无法判断C ．y ＝s in x 为周期函数，无法判断D ．y ＝x 3在R 上为增函数，x 3＞y 3答案：D14．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b； ②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________．A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：根据不等式的性质构造函数求解．∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0， ∴c a >c b，故①正确． 构造函数y ＝x c .∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确．∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．答案：D1．不等关系与不等式．(1)不等关系强调的是关系，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”，“a＜b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式子表示，不等关系可通过不等式来体现；离开不等式，不等关系就无法体现．(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．2．不等式的性质．对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、是或很显然的理由代替不等式的性质．特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如：因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．。

第5模块 第1节[知能演练]一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列 解法一：∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)3(n ＋1)＋1－2n3n ＋1＝2[3(n ＋1)＋1](3n ＋1)>0， ∴a n ＋1>a n ，数列{a n }为递增数列．解法二：研究函数f (x )＝2x3x ＋1(x >0)的单调性，f (x )＝2x ＋23－233x ＋1＝23(3x ＋1)－233x ＋1＝23－23(3x ＋1)，∴f (x )＝2x3x ＋1在(0，＋∞)上单调递增，∴f (n ＋1)>f (n )，故a n ＋1>a n ，数列{a n }为递增数列． 答案：A2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.6116B.259C.2516D.3115 解法一：由已知得a 1·a 2＝22，∴a 2＝4.a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝94，a 1·a 2·a 3·a 4＝42，∴a 4＝169，a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝52，∴a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝94＋2516＝6116.解法二：由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，得a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝(n n －1)2(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116.答案：A3．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记f (n )＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )为( )A.n ＋1nB.n ＋3n ＋1C.n ＋2n ＋1D.n ＋3n ＋2解析：f (1)＝2(1－a 1)＝32＝1＋21＋1，f (2)＝2(1－14)(1－19)＝43＝2＋22＋1，f (3)＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2(1－14)(1－19)(1－116)＝54＝3＋23＋1，可猜测f (n )＝n ＋2n ＋1.答案：C4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：∵S n ＝n 2－9n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8也适合上式，∴a n ＝2n －10，又5<2k －10<8，152<k <9，∴k ＝8.答案：B 二、填空题5．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ， 0≤a n <12，2a n －1， 12≤a n <1，a 1＝35，则数列的第2008项为________．解析：∵a 1＝35，∴a 2＝2a 1－1＝15，∴a 3＝2a 2＝25，∴a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15…，∴该数列的周期为T ＝4.∴a 2008＝a 4＝45.答案：456．已知数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则数列{a n }的一个通项公式a n ＝________. 解法一：由a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1， 可得a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4， ∴数列的通项公式a n ＝n .验证：当a n ＝n 时，(n ＋1)a n ＝na n ＋1成立．解法二：由(n ＋1)a n ＝na n ＋1可得a n ＋1a n ＝n ＋1n .∴当n ≥2时，a n a n －1＝n n －1，a n －1a n －2＝n －1n －2，…，a 3a 2＝32，a 2a 1＝2.将以上各式累乘求得a na 1＝n ，∴a n ＝n ，而n ＝1时也适合．∴数列的通项公式为a n ＝n . 答案：n三、解答题7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，求数列的通项公式．解：S n 满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，∴1＋S n ＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1.∴a 1＝3，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n (n ≥2)，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)，2n (n ≥2).8．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2008.(1)证明：a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n －1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a na n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n .(2)解：由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2008＝a 3×669＋1＝a 1＝12.∴a 2008＝12.[高考·模拟·预测]1．记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2＝( )A ．4B ．2C ．1D ．－2解析：取n ＝1得a 1＝2(a 1－1)，所以a 1＝2，再由n ＝2得2＋a 2＝2(a 2－1)，所以a 2＝4.答案：A2．在数列{a n }中，若a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，则通项a n 是( )A.2n ＋13B.n ＋23C.12n －1D.13n －2解析：将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0的两边同时除以a n a n －1(a n a n －1≠0)得：3＋1a n －1－1a n＝0，1a n －1a n －1＝3，故数列{1a n }是首项为1，公差为3的等差数列，1a n ＝1a 1＋(n －1)×3＝3n －2，故通项a n ＝13n －2.答案：D3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (20－n )，则当a n a n ＋1<0时，n ＝________.解析：由S n ＝n (20－n )得，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (20－n )－(n －1)[20－(n －1)]＝－2n ＋21； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1×(20－1)＝19＝－2×1＋21. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋21.由a n ·a n ＋1＝(－2n ＋21)[－2(n ＋1)＋21]＝(－2n ＋21)(－2n ＋19)<0⇔192<n <212，因为n ∈N ，所以n ＝10.答案：104．设a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝|a n ＋2a n －1|，n ∈N *，则数列{b n }的通项b n ＝________.解析：∵b n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1＋2a n ＋1－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a n ＋1＋22a n ＋1－1＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2(a n ＋2)a n ＋1－(a n －1)a n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2(a n ＋2)a n －1＝2b n ，∴b n ＋1＝2b n.又b 1＝4，∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1.答案：2n ＋15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由已知有a 1＋a 2＝4a 1＋2，解得a 2＝3a 1＋2＝5，故b 1＝a 2－2a 1＝3.又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－(4a n ＋2)＝4a n ＋1－4a n ， 于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，即b n ＋1＝2b n . 因此数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知等比数列{b n }中b 1＝3，公比q ＝2，所以a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，于是a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，因此数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列，a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14，所以a n ＝(3n －1)·2n －2.[备选精题]6．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋1n )a n ＋n ＋12n .(1)设b n ＝a nn，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)由已知得b 1＝a 1＝1，且a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n ，即b n ＋1＝b n ＋12n ，从而b 2＝b 1＋12，b 3＝b 2＋122，……b n ＝b n －1＋12n －1(n ≥2)，于是b n ＝b 1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n 1(n ≥2)．又b 1＝1，故所求的通项公式b n ＝2－12n 1.(2)由(1)知，a n ＝n (2－12n －1)＝2n －n2n －1.令T n ＝∑k ＝1nk2k －1，则2T n ＝∑k ＝1nk2k －2.于是T n ＝2T n －T n ＝∑k ＝0n －112k －1－n2n －1＝4－n ＋22n －1. 又∑k ＝1n (2k )＝n (n ＋1)，所以S n ＝n (n ＋1)＋n ＋22n －1－4.。

3.1 数学归纳法原理 3.1.1 数学归纳法原理1.理解归纳法和数学归纳法原理.2.会用数学归纳法证明有关问题.自学导引1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法.2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当n 取初始值n 0时命题成立；(2)假设当n ＝k 时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n 0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法.基础自测1.设f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么f(n ＋1)－f(n)等于( )A.12n ＋1B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2解析 f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12nf(n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2∴f(n ＋1)－f(n)＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2，选D.答案 D2.用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需增乘的代数式是( )A.2k ＋1B.2k ＋1k ＋1 C.2(2k ＋1)D.2k ＋2k ＋1解析 n ＝k 时，(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k)＝2k×1×3×…×(2n －1). n ＝k ＋1时，(k ＋2)…(k ＋k)·(k＋1＋k)(k ＋1＋k ＋1). ∴增乘的代数式是（2k ＋1）（2k ＋2）k ＋1＝2(2k ＋1)，选C.答案 C3.数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________. 解析 a 1＝1，a 2＝a 1＋3＝4，a 3＝4＋5＝9，a 4＝9＋7＝16，猜想a n ＝n 2. 答案 a n ＝n2知识点1 利用数学归纳法证明等式【例1】通过计算下面的式子，猜想出－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n －1)的结果，并加以证明. －1＋3＝________；－1＋3－5＝________；－1＋3－5＋7＝________；－1＋3－5＋7－9＝________. 解 上面四个式子的结果分别是2，－3，4，－5， 由此猜想：－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n －1)＝(－1)nn 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，式子左右两边都等于－1，即这时等式成立. (2)假设当n ＝k(k ≥1)时等式成立，即 －1＋3－5＋…＋(－1)k(2k －1)＝(－1)kk 当n ＝k ＋1时，－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k －1)＋(－1)k ＋1(2k ＋1)＝(－1)kk ＋(－1)k ＋1(2k ＋1)＝(－1)k ＋1(－k ＋2k ＋1)＝(－1)k ＋1(k ＋1).即n ＝k ＋1时，命题成立.由(1)(2)知，命题对于n ∈N *都成立.●反思感悟：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关.由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.1.用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立.(2)假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 上式表明当n ＝k ＋1时命题也成立.由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立.【例2】证明12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n ＝1－12n (其中n ∈N *)成立的过程如下，请判断证明是否正确？为什么？证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12.∴当n ＝1时，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋11－12＝1－12k ＋1＝右边.这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立.解 不正确，错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n ＝k ＋1时，式子12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1的和，而没有利用“归纳假设”.正确的证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，等式成立，就是 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－12k ＋1＝右边.这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任意n ∈N *都成立.●反思感悟：在推证“n ＝k ＋1”命题也成立时，必须把“归纳假设”n ＝k 时的命题，作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错是常见错误.2.用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2). 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－122＝34，右边＝2＋12×2＝34，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（k ＋1）2 ＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（k ＋1）2＝k ＋12k ·k 2＋2k （k ＋1）2＝k ＋22（k ＋1）， 即n ＝k ＋1时，等式成立.由(1)(2)知，对于任意正整数n(n ≥2)，原等式成立. 知识点2 用数学归纳法证明不等式 【例3】用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2). 证明 (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立.(2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k，当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1k （k ＋1）＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，命题成立.由(1)、(2)知原不等式在n ≥2时均成立.●反思感悟：(1)由n ＝k 到n ＝k ＋1时的推证过程中应用了“放缩”的技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.(2)数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.3.求证：1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1 (n ∈N *).证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1， ∴左边≥右边，即命题成立. (2)假设当n ＝k 时，命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k2k ＋1.那么当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2≥3k 2k ＋1＋1（k ＋1）2 ＝3k 2k ＋1＋1k 2＋2k ＋1≥3k 2k ＋1＋3（2k ＋1）（2k ＋3）＝3k （2k ＋3）＋3（2k ＋1）（2k ＋3）＝（3k ＋3）（2k ＋1）（2k ＋1）（2k ＋3）＝3k ＋32k ＋3＝3（k ＋1）2（k ＋1）＋1.由(1)(2)知原不等式在n ∈N *时均成立.课堂小结1.数学归纳法的两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就可能得出不正确的结论，因为单靠(1)无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确无法判断.同样只有步骤(2)而没有步骤(1)也可能得出不正确的结论.因为缺少(1)，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了. 2.数学归纳法证明的关键是第二步，此处要搞清两点：(1)当n ＝k ＋1时，证明什么，即待证式子的两端发生了哪些变化.(2)由n ＝k 推证n ＝k ＋1时，可以综合应用以前学过的定义、定理、公式、方法等来进行证明，只不过必须得把n ＝k 时的结论作为条件应用上.随堂演练1.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证( ) A.n ＝1成立 B.n ＝2成立 C.n ＝3成立D.n ＝4成立解析 因为多边形边数最少的是三角形，故应选C. 答案 C2.设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，则f(n ＋1)－f(n)等于( )A.13n ＋2 B.13n ＋13n ＋1 C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析 f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n －1.f(n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.∴f(n ＋1)－f(n)＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2，应选D.答案 D3.已知a 1＝2，a n ＋1＝2＋a n ，n ∈N *，求证：a n <2. 证明 (1)n ＝1时，∵a 1＝2，∴a 1<2. (2)设n ＝k (k ≥1)时，a k <2，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2＋a k <2＋2＝2. 故n ＝k ＋1时，命题成立.由(1)(2)知，n ∈N *时，a n <2都成立.基础达标1.满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n ×(n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数n ＝( ) A.1 B.1或2 C.1，2，3D.1，2，3，4解析 经验证当n ＝1，2，3时均正确，但当n ＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，而右边＝3×42－3×4＋2＝38，故选C. 答案 C2.一个与自然数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立推得n ＝k ＋2时命题也成立则( )A.该命题对于n>2的自然数n 都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k 取什么值无关D.以上答案都不对解析 由题意n ＝2时成立可推得n ＝4，6，8…都成立，因此所有正偶数都成立，故选B. 答案 B3.某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时该命题成立，则一定可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时该命题不成立，那么应有( ) A.当n ＝4时该命题成立 B.当n ＝6时该命题成立 C.当n ＝4时该命题不成立 D.当n ＝6时该命题不成立答案 C4.在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n(2n －1)a n .通过求a 2，a 3，a 4猜想a n 的表达式是________.解析 13＋a 2＝2(2×2－1)a 2，a 2＝115，13＋115＋a 3＝3(2×3－1)a 3，a 3＝135， 13＋115＋135＋a 4＝4(2×4－1)a 4，a 4＝163， 猜想a n ＝1（2n ）2－1. 答案 a n ＝1（2n ）2－1 5.观察下列等式 1＝1，3＋5＝8， 7＋9＋11＝27， 13＋15＋17＋19＝64， …，请猜想第n 个等式是________________________.答案 (n 2－n ＋1)＋(n 2－n ＋3)＋…＋[n 2－n ＋(2n －1)]＝n 36.求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *).证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56， 则当n ＝k ＋1时，1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13（k ＋1）＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立.综合提高7.用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )A.1B.1＋aC.1＋a ＋a 2D.1＋a ＋a 2＋a 3解析 当n ＝1时，an ＋1＝a 2，∴左边应为1＋a ＋a 2，故选C. 答案 C8.已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若f(k)≥k 2成立，则f(k ＋1)≥(k ＋1)2成立，下列命题成立的是( )A.若f(3)≥9成立，则对于任意的k ≥1，均有f(k)≥k 2成立 B.若f(4)≥16成立，则对于任意的k ≥4，均有f(k)<k 2成立C.若f(7)≥49成立，则对于任意的k<7，均有f(k)<k 2成立 D.若f(4)≥16成立，则对于任意的k ≥4，均有f(k)≥k 2成立 答案 D9.用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为__________.答案 (k 3＋5k)＋3k(k ＋1)＋610.用数学归纳法证明：设f(m)＝1＋12＋13＋…＋1n ，则n ＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)＝nf(n)(n ∈N ＋且n≥2)，第一步要证的等式是________. 答案 2＋f(1)＝2f(2)11.求证：11×2＋13×4＋…＋1（2n －1）·2n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n .证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立. (2)假设当n ＝k 时，等式成立，即 11×2＋13×4＋…＋1（2k －1）·2k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k. 则当n ＝k ＋1时，11×2＋13×4＋…＋1（2k －1）·2k ＋1（2k ＋1）（2k ＋2） ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋1（2k ＋1）（2k ＋2） ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＋1k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋1（k ＋1）＋k ＋1（k ＋1）＋（k ＋1），即当n ＝k ＋1时，等式成立.根据(1)(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立. 12.用数学归纳法证明：当n ∈N *时， (1＋2＋3＋…＋n)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n ≥n 2.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，左边≥右边，不等式成立. (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立，即(1＋2＋3＋…＋k)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ≥k 2，则当n ＝k ＋1时，左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k ＋1)]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＝(1＋2＋3＋…＋k)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋(1＋2＋3＋…＋k)1k ＋1＋(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1≥k 2＋k （k ＋1）2·1k ＋1＋(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1＝k 2＋k 2＋1＋(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ，∵当k ≥2时，1＋12＋13＋…＋1k ≥1＋12＝32，∴左边≥k 2＋k 2＋1＋(k ＋1)×32＝k 2＋2k ＋1＋32≥(k ＋1)2.这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式成立. 由(1)(2)知，当n ∈N *时，不等式成立.。

第一讲不等式和绝对值不等式
不等式
基本不等式
级基础巩固
一、选择题
．已知，∈，且≠，则下列结论恒成立的是( )
．＋≥
＋≥
．＋＞
≥
解析：当，都是负数时，不成立；
当，一正一负时，不成立；
当＝时，不成立，因此只有是正确的．
答案：
．下列各式中，最小值等于的是( )
＋
．θ＋θ)
．＋－
解析：因为＞，－＞，
所以＋－≥＝.
当且仅当＝－，即＝时，等号成立．
答案：．设，∈，且＋＝，则＋的最小值是( )
．
．
．
．
解析：＋≥＝＝＝，
当且仅当＝＝时，等号成立．
答案：
．设，为正数，则(＋)的最小值为( )
．
．
．
．
解析：，为正数，(＋)＝＋＋＋≥，当且仅当＝，即＝时，等号成立，
选.
答案：．(·福建卷)若直线＋
＝(＞，＞)过点(，)，则＋的最小值等于( )
．
．
．
．
解析：因为直线＋＝过点(，)，所以＋＝.
又，均大于，
所以＋＝(＋)＝＋＋＋≥＋＝＋＝，当且仅当＝时，等号成立．
答案：
二、填空题
．设＞，则函数＝－－的最大值是．
解析：＝－≤－，
当且仅当＝，即＝时，等号成立．
所以＝－.
答案：－．已知函数()＝，点(，)在函数＝
(＞)的图象上，那么()·()的最小值是．
解析：点(，)在函数＝(＞)的图象上，所以有＝.。

第一讲 不等式和绝对值不等式1.1不等式三个正数的算术—几何均匀不等式A 级 基础稳固一、选择题．若实数 ， 知足 ＞ ，且 2 ＝ ，则 ＋ 2 的最小值是 () 1 x y xy 0 x y 2 xy x A ．1B ．2C ．3D ．411311解 析 ： xy ＋ x 2＝ 2 xy ＋2xy ＋ x 2≥ 32xy · 2xy ·x 2＝ 3 331（x2）2＝3 4＝3，当且仅当1 ＝ 2，即 x ＝1 时，等号建立．4y42xy x答案： C．若＞＞，则＋1的最小值为 ()2 a b 0a b （a －b ）A ．0B ．1C ． 2D ．311分析：由于 a ＋b （ a －b ）＝(a － b)＋b ＋b （a －b ）≥313（a －b ）·b · ＝ 3，当且仅当 a ＝2，b ＝1 时取等号，b （a－b ）1因此 a ＋b （a －b ）的最小值为 3.答案： D3．设 x ，y ，z ∈R ＋，且 x ＋y ＋z ＝6，则 lg x ＋lg x ＋lg z 的取值范围是 ()A ．(－∞，lg 6]B ．(－∞，3lg 2]C ．[lg 6，＋ ∞)D ．[3lg 2，＋ ∞)分析：由于 lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz)，而 xyz ≤x ＋y ＋z3＝23，3因此 lg x ＋lg y ＋ lg z ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当 x ＝y ＝z ＝2 时，取等号．答案： B．已知 ＋ ＋ ＝ ，则 x ＋4y ＋8z 的最小值为 ( )4 x 2y 3z 6 2A ．33 6B ．2 2C ．12D ．12353分析： 2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z ≥3 26＝12.当且仅当 x ＝2y ＝3z ＝ 2 时等号建立．答案： C5．若 log x y ＝－ 2，则 x ＋y 的最小值是 ()33C.323D.232A.3 2 2B.23 3分析：当 log x＝－ 2，得 －2＝y ，即 x 2＝ ，且 ＞， ＞ ，y xy 1 x 0 y 01 13113 3x ＋y ＝2x ＋ 2x ＋y ≥3 2x ·2x ·y ＝22.1当且仅当 2x ＝y 时等号建立．答案： A二、填空题．已知正数 ， b 知足2＝1，则 a ＋b 的最小值是 ________． 6 a ab分析：由于 a ，b 是正数， ab 2＝1，b b33ab23因此 a ＋b ＝a ＋2＋2≥34＝22.33故 a ＋b 的最小值是 2 2，ab 2＝1， 13当且仅当b即a ＝22，时取到最小值．a ＝2，3b ＝ 233 2答案： 27．函数 f(x)＝x(5－2x)20＜ x ＜52 的最大值是 ________．1分析： f(x)＝4×4x(5－2x)(5－2x)≤1 4x ＋5－ 2x ＋5－2x 3＝ 250， 4 3 275当且仅当 4x ＝ 5－2x ，即 x ＝6时，等号建立．故函数 f(x)＝x(5－2x)20＜x ＜52 的最大值为 25027.250答案： 278．设 x ，y ，z ＞0 且 x ＋3y ＋4z ＝6，则 x 2y 3z 的最大值是 _________．6分析：由于 6＝x ＋3y ＋ 4z ＝x 2＋x2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥6x 2y 3z ，因此 x 2y3z ≤1，当且仅当 2x＝y ＝4z ，1即 x ＝2，y ＝1，z ＝4时，等号建立．2 3因此 x y z 获得最大值 1.三、解答题29．θ为锐角，求 y ＝sin θ· cos θ的最大值．解：y 2＝sin 2θ2θ 2θ＝12θ －1 234·2sin 2θ －2θ≤3 ＝27.cos cos2(1sin )(1 sin ) 2 当且仅当 2sin 2θ＝1－sin 2θ，即 sin θ＝3时取等号．3因此 y max ＝29 3.10．已知 a ，b ， c 为正数，求证：222(a ＋b ＋c)(a ＋ b ＋c ) ≥9abc.证明：由于 a ，b ，c 为正数，33因此 a ＋b ＋c ≥3， 2＋b 2＋c 2≥3 2 2 2abc aa b c333因此 (a ＋b ＋c)(a 2＋b 2＋c 2≥ · 222＝9·222) 3 abc 3 a b c abc a b c .因此 (a ＋b ＋c)(a 2＋b 2＋c 2 ≥ ，) 9abc当且仅当 a ＝b ＝ c 时等号建立．B 级能力提高n1．若数列 {a n }的通项公式是 a n ＝n 3＋128，则该数列中的最大项是()A ．第4 项B ．第 6 项C ．第7 项D ．第8 项分析： a n ＝ 3 n ＝ 1＝1＋64＋64n ＋ 128n 2＋128n 2nn n由于 n 2＋64＋64≥33n 2·64·64＝48，nnn n当且仅当 n2＝64n ，即 n ＝4 时，等号建立，1因此 a n ≤48，该数列的最大项是第 4 项．答案： A2．函数 y ＝ 4sin 2x · cos x 的最大值为 __________，最小值为________．分析：由于 y 2＝16sin 2 · 2 ·2 ＝x sin x cosx2 ··22 2 322≤ sin x ＋sin x ＋2cosx＝ 8×8 ＝64，8(sin xsin x 2cosx) 83 27 27因此 y 2≤64，当且仅当 sin2＝2，即 ＝± 2 时取等号．27x 2cosx tan x因此 y＝8， ＝－ 8 3.max9 3 y min 9答案： 8 9 3 －89 33．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥，如下图．试问当帐篷的极点 O 究竟面中心 O 1 的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设 OO 1 为 x m ，则 1＜x ＜ 4.由题设可得正六棱锥底面边长为32－（ x －1）2＝ 8＋2x －x 2，于是底面正六边形的面积为 6×43×( 8＋2x －x 2)2＝32 3(8＋2x －x 2)，帐篷的体积为＝33＋－ 2 1＝ 3－V(x) (8 2x ·（x －1）＋ 1 (42 x ) 32 x)(x ＋ 2)(x ＋2) ＝3 (8 －2x)(x ＋ 2)(x ＋2)≤ 3 44（ 8－2x ）＋（ x ＋2）＋（ x ＋2） 3＝ 16 3.3当且仅当 8－2x ＝x ＋ 2，即 x ＝2 时取等号．即当帐篷的极点 O 究竟面中心 O 1 的距离为 2 m 时帐篷的体积最大．。

数学选修4-5 不等式选讲[提高训练C 组]一、选择题1．若log 2x y =-，则x y +的最小值是（ ）A ． 2233B ．3323 C ．233 D ．3222．,,a b c R +∈，设a b c d S a b c b c d c d a d a b =+++++++++++， 则下列判断中正确的是（ ）A ．01S <<B ．12S <<C ．23S <<D ．34S <<3．若1x >，则函数21161x y x x x =+++的最小值为（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．非上述情况4．设0b a >>，且P =211Q a b =+，M = 2a b N +=，R =， 则它们的大小关系是（ ）A ．P Q M N R <<<<B ．Q P M N R <<<<C ．P M N Q R <<<<D ．P Q M R N <<<<二、填空题1．函数23(0)1x y x x x =<++的值域是 . 2．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是3．已知1,,1a b c -<<，比较ab bc ca ++与1-的大小关系为 .4．若0a >，则1a a +的最大值为 . 5．若,,x y z 是正数，且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为______。

三、解答题1． 设,,a b c R +∈，且a b c +=，求证：222333a b c +>2．已知a b c d >>>，求证：1119a b b c c a a d ++≥----3．已知,,a b c R +∈，比较333a b c ++与222a b b c c a ++的大小。