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数理统计1-6

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概率论与数理统计(chapt1-6 n重贝努利试验)

概率论与数理统计(chapt1-6 n重贝努利试验)

设A:恰好4次命中，B:至少4次命中，C:至多4次命中
（1） P( A) P5( 4) C54 0.840.2 0.4096
（2） P( B) P5( 4) P5( 5)
C
4 5
0.840.2
C
5 5
0.85
0.7373
（3） P(C ) 1 P(C) 1 P5( 5)
1
C
5 5
n重贝努利（Bernoulli ）试验的例子 1.已知在指定时间内某十字路口的事故率为p，现在此 时间段内对经过的n 辆机动车进行观察 每辆车是否经过这个十字路口是相互独立的，而且观
察结果有且只有这是一个贝努利试验
2.某射手每次射击命中目标的概率都是 p，现对同一目 标独立射击 n 次，观察射击结果 此射手独立射击n次，每次射击命中目标的概率都 是p，所以这n次射击构成独立试验序列，每次射击
比如 s 3, a 1, b 1 则再赌3局必分胜负
P{甲赢} P{X 2} P{X 2} P{X 3}
C32
(1)2 2
1 2
C33
( 1 )3 2
1 2
又如 s 3, a 1, b 2
则再赌2局必分胜负
P{甲赢}
P{X
2} C22
( 1 )2 2
1 4
第一章 小 结
设事件A：10件中至少有两件次品，则
10
p( A) p10 (k) 1 p10 (0) p10 (1) k 2 1 0.9610 C110 0.04 0.969 0.0582
（2）设事件B：前 9 次中抽到 8 件正品一件次品； 事件C：第 10 次抽到次品，则所求概率为
P(BC) P(B)P(C)
0.1 0.4 0.7

概率论与数理统计：1_6全概率与贝叶斯公式

概率论与数理统计：1_6全概率与贝叶斯公式

C72 C125
C52 C120
ห้องสมุดไป่ตู้
C82 C125
C32 C120
C81C71 C125
C42 C120
?
《概率统计》
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结束
三、全概率公式应用
例2. 设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球．第一次比赛
取3球，比赛后放回；第二次比赛再任取3球，求第二次比赛
取得3个新球的概率．
解：Ai={第一次比赛恰取出i个新球}（i=0,1,2,3 )
由乘法公式得， P(B/Ω1)= P(Ω1B)/P(Ω1)= P(Ω1B)，
所以，P(B)= P(Ω1B)，其中 Ω1为Ｅ1的基本空间件。
而，Ω1B= (A1+A2+…+An)B= A1B+ A2B+…+ AnB，从而有
n
n
P(B) P(1B) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
§１.6 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式引入 二、全概率公式推导 三、全概率公式应用 四、贝叶斯公式及其应用
《概率统计》
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下页
结束
全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式问题引入
引例1. 设甲袋有8个白球7个红球，乙袋有5个白球3个红球，现从 甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2 个红球的概率。
…
故 BAi BAj =Φ（i≠j），
按概率的可加性及乘法公式有
n
B BA1 BA2 BAn BAi
n
n
i1 n
P(B) P( AiB) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
i 1
i 1

概率论与数理统计-6

概率论与数理统计-6

一、统计量
定义1 设X1, X2, …, Xn是总体X的样本，样本函数g(X1, X2, …, Xn)是样 本的实体函数，且不含有任何未知参数，则称这类样本函数g(X1, X2, …, Xn)为统计量。
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即对 一次具体的观测或试验，它们都是具体的数值，但当脱离开具体的某 次观测或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量。
n i 1
( xi
x )2
1n (
n 1 i1
xi2
nx 2 )
。
（3）样本标准差
S
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
它的观测值记为 s
s2
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
。
（6-5）
（4）样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
(k
1，2 ，3，
)
它的观测值记为 ak
解 将样本的观察值由小到大排列为 1 2 3 3 4 4 4 5 6 8
所以样本的频率分布如表所示
X
1
2
3
4
5
6
8
fn
0.1
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.1
例1 设总体服从泊松分布，容量为10的样本观察值如下：
214 3 5 6 4 8 4 3 试构造样本的分布函数F10(x)。
例1 设随机变量 X ~ (0 ，1) 分布，求D(X)。
解 因为 X ~ (0 ，1)
所以 又
E(X ) p E( X 2 ) 0 (1 p) 12 p p

概率论与数理统计课件1-6

概率论与数理统计课件1-6
P( A) = P(B) = P(C ) = 4 = 1 82
P( ABC ) = 1 = P( A)P(B)P(C ) 8
P( AB) = 3 ≠ 1 = P( A)P(B) 84
(3)设 A1, A2 , , An 相互独立，则它们中的 任意一部分事件也相互 独立.
(4)设 A1, A2 , , An 相互独立，则它们中的 任意一部分事件换成各 自事件的对立事件后，
所得的 n个事件也是相互独立的 .
如A, B,C 相互独立 , 则A, B,C 相互独立 , A, B,C
也相互独立 . A1, , An 相互独立，则
P( A1 + + An ) = 1 − P( A1)
P( An )
(5)设 A1, A2 , , An 相互独立，则将它们分 成 分成若干组，各组内的 运算结果间 也相互独立 .
于是 P(C1)=P(A1A2A3)+P(B1B2B3) -P(A1A2A3B1B2B3)
=p3+p3-p6=p3(2-p3),
P(C2)=(p+p-p2 )3=p3(2-p)3,
当0<p<1时, P(C2)>P(C1).
例6 甲、乙、丙同时向一架飞机射击，命中率各 为 0.4，0.5，0.7，一人和二人击中时，飞机坠毁的 概率分别为 0.2与0.6，三人击中时飞机一定坠毁.现 飞机坠毁了，计算是由三人同时击中的概率. 解 设 B =“飞机坠毁”注： (1)相互独立Fra bibliotek两两独立
袋内有4个球,全红、全黑、全白各一 个，另一个
涂有红、黑、白三色 ,从中任取一个， A、B、C分别表
示取到红、黑、白球
P( A) = P(B) = P(C ) = 2 = 1

数理统计常用公式

数理统计常用公式

数理统计常用公式1.样本均值的公式：样本均值（x̄）是在一组样本数据中，所有数据的总和除以样本数量的结果。

即：x̄=(x₁+x₂+x₃+...+x̄)/n其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，n为样本数量。

2.总体均值的公式：总体均值（μ）是在一个总体中，所有数据的总和除以总体数量的结果。

在样本数据无法覆盖总体数据的情况下，可以通过样本均值来估计总体均值。

即：μ=(x₁+x₂+x₃+...+x̄)/N其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，N为总体数量。

3.样本方差的公式：样本方差（s²）是一组样本数据与其均值之差的平方和除以样本数量减一的结果。

即：s²=((x₁-x̄)²+(x₂-x̄)²+(x₃-x̄)²+...+(x̄-x̄)²)/(n-1)其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，x̄为样本均值，n为样本数量。

4.总体方差的公式：总体方差（σ²）是一组数据与其均值之差的平方和除以总体数量的结果。

在样本数据无法覆盖总体数据的情况下，可以通过样本方差来估计总体方差。

即：σ²=((x₁-μ)²+(x₂-μ)²+(x₃-μ)²+...+(x̄-μ)²)/N其中，x₁、x₂、x₃等为样本数据，μ为总体均值，N为总体数量。

5.样本标准差的公式：样本标准差（s）是样本方差的平方根。

即：s=√(s²)其中，s²为样本方差。

6.总体标准差的公式：总体标准差（σ）是总体方差的平方根。

即：σ=√(σ²)其中，σ²为总体方差。

7.相关系数的公式：相关系数（r）衡量了两个变量之间线性关系的强度和方向。

其计算公式为：r=Σ((x-x̄)*(y-ȳ))/(√(Σ(x-x̄)²)*√(Σ(y-ȳ)²))其中，x、y为两个变量的取值，x̄、ȳ分别为两个变量的均值，Σ表示求和。

《概率论与数理统计》第1章第6节

《概率论与数理统计》第1章第6节

第一章 概率论的基本概念
1
§1.6 独立性
定义 若事件 A, B 满足 P(AB) = P(A)P(B), 则称 A, B (相互)独立.
性质:
1. 事件的独立性是对称关系; 2. 若 P(A)>0, 则 P(B | A) = P(B); 若 P(B)>0, 则 P(A | B) = P(A); 3. 必然事件 S、不可能事件Ø 与任何事件独立; 4. 若 P(A)>0, P(B)>0，则“A, B独立”与“A, B互斥”不同时成 立5. .若 A, B 独立，则 A与B, A与B, A与B 这三对事件也相互独立.
解: 1) P((AI B) I C) P(ABC) P(A)P(B)P(C) P( A I B)P(C).
2) P((AU B) I C) P(AC U BC)
P(AC) P(BC) P(ABC) [P(A) P(B) P(PA()APB(B) )] P(C)
P( AC ) P( A)P(C ),
(1)
P(BC ) P(B)P(C ),
P( ABC) P( A)P(B)P(C), (2)
则称 A, B, C 相互独立.
注: 1. 仅(1)式成立时，称 A, B, C 两两独立;
2. (1),(2)两式不能相互蕴含, “相互独立”强于“两两独立”.
第一章 概率论的基本概念
2
例2. 甲, 乙两人同时向敌人炮击，已知甲击中敌机的概率为
0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求敌机被击中的概率 .
解: 记 A = “甲击中敌机” ，B = “乙击中敌机”.
∵甲, 乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机，
∴ A, B 相互独立. A , B 亦相互独立. 则所求为：P( A U B) P( A) P(B) P( AB)

6-1数理统计学的基本问题与基本概念


Example 2:吸烟与肺癌的关系 • 吸烟增加患肺癌，其他癌症以及诸如心脏病 等严重疾病的危险． • １９４８－１９４９，英国学者多尔与希尔 从伦敦２０家医院中收集了７０９名肺癌病
人以及对照组－另７０９名患肺癌者的吸烟
情况的资料，按吸烟斗还是纸烟，男或女，
将烟吞进肺里与否等指标分类．
统计结论:吸烟与患肺癌呈明显的正相关. 如何理解这个统计规律的意义? 首先,统计规律是关于群体的规律。 对于群体中的个体情况复杂多样,没有一定.拿本例来 说:有吸烟很多而终生保持健康者,也有不吸烟而很早
, xn ) f ( xi )
i 1
n
由于抽样的目的是为 了对总体进行统计推断，为 了使抽取的样本能很好地反 映总体的信息，必须考虑抽 样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽 样”，它要求抽取的样本满足下面两点:
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察 的总体X有相同的分布. 2. 独立性： X1, X2,…, Xn是相互独立的随机变量.
简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当 说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别 说明，就指简单随机样本.
在实际问题中如何才能得到简单随机样本呢？
N 10 ），则连续抽取的n个个体就 （一般是 n
可以看成是一个简单随机样本。
当样本容量n相对总体中的个体数N很小时
如果是有放回的抽样，则不必要求n相对小 ，就能得到简单随机样本。
患肺癌者,不能用这类个别例子来否定二和者有正相关
性的结论,因为它讲的是群体中一种趋势。 １．这种规律反映了某种客观存在的现实有科学和认 识意义。 ２．对个体有警戒作用。
统计应用实例：
1． 孟德尔遗传定律的发现； ２．中国患SARS的病人的死亡率是多少；

第六章 数理统计的基本概念(1)

(k 1, M1就是X )
XK
1 n
n i 1
X
k i
（4）样本k阶中心矩：
1 n
n i 1
(Xi
X )k
（5）顺序统计量： X(1) X(2) X(n) . 其中 X(k) 为将 X1, X2 , , Xn 从小到大排列第 k 位值.
18 September 2020
概率论与数理统计
理学院数学系
2、离散型 设总体X的分布律为 P{ X x} p( x)
则样本X1, X2 ,的, 联Xn合分布律为 P{ X1 x1, X2 x2 ,, Xn xn } p( x1 ) p{ x2 ) p( xn )
18 September 2020
概率论与数理统计
理学院数学系
样本分布
第六章 数理统计的基本概念
（1）样本均值：
X
1 n
n i 1
Xi
（2）样本方差：
Sn2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2
修正样本方差：
Sn*2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
nSn2 (n 1)Sn*2
18 September 2020
概率论与数理统计
理学院数学系
第六章 数理统计的基本概念
第22页
（3）样本k阶原点矩：
第13页
1、样本的联合分布函数 设总体 X 的分布函数为 FX (., ), (X1, X2 ,
则样本的联合分布函数为
, Xn ) 为样本.
FX1,X2 , ,Xn ( x1, x2 , , xn ; ) FX ( x1, )FX ( x2 , ) FX ( xn , )

概率论与数理统计第6章


以分组区间为底，以
Yj
Wj X j1 X j
Wj 5
为高
作频率直方图
23
从频率直方图可看到：靠近两个极端的数据出现比 较少，而中间附近的数据比较多，即中间大两头小的分 布趋势，——随机变量分布状况的最粗略的信息。
在频率直方图中， 每个矩形面积恰好等于样本值 落在该矩形对应的分组区间内的频率，即
S j
Wj X j1
Xj
X j1 X j
Wj
频率直方图中的小矩形的面积近似地反映了样本数
据落在某个区间内的可能性大小，故它可近似描述X的
分布状况。
24
12
第二．计算样本特征数
1.反映集中趋势的特征数：样本均值、中位数、众数等 样本均值MEAN 中位数MEDIAN 众数
X 90.3
91
91, 94
代表性——即子样( X1, X2 ,
,
X
)的每个分量
n
X
与
i
总体 X 具有相同的概率分布。
独立性——即 X1, X2, , Xn 是相互独立的随机变量。
满足上述两点要求的子样称为简单随机子样.获得简 单随机子样的抽样方法叫简单随机抽样.
从简单随机子样的含义可知，样本 X1, X2 , , Xn 是来自总体 X、与总体 X具有相同分布的随机变量.
2分布 t 分布 数理统计的三大分布(都是连续型). F分布 它们都与正态分布有密切的联系.
在本章中特别要求掌握对正态分布、 2分布、 t分布、F分布的一些结论的熟练运用. 它们
是后面各章的基础.
31
一、 2分布
定义 设总体 X ~ N 0,1 ， X1, X2,..., Xn 是 X

数学的数理统计学

数学的数理统计学数理统计学是一门应用数学的分支学科，旨在研究数据的收集、分析和解释。

它是现代科学、工程和社会科学中必不可少的工具之一。

本文将从数学的角度出发，介绍数理统计学的基本概念、方法和应用。

一、基本概念数理统计学的基本概念包括总体、样本、随机变量和概率分布等。

总体是指研究对象的全体，样本则是从总体中选取的一部分个体。

随机变量是描述随机现象的数值特征，概率分布则描述了随机变量的取值规律。

二、数据的收集与描述在数理统计学中，收集和描述数据是关键的一步。

常见的数据收集方法包括抽样调查、实验和观测等。

而对数据进行描述的手段主要有集中趋势度量和离散程度度量。

集中趋势度量包括均值、中位数和众数等，用于反映数据的中心位置；离散程度度量包括方差、标准差和变异系数等，用于反映数据的离散程度。

三、概率与概率分布概率是数理统计学的重要概念之一，用来描述随机现象发生的可能性。

概率分布则用于描述随机变量的取值规律。

常见的概率分布包括正态分布、二项分布和泊松分布等。

正态分布是一种重要的连续型概率分布，其以钟形曲线为特征，广泛应用于自然科学和社会科学领域。

二项分布和泊松分布则常用于描述离散型随机变量的概率分布。

四、参数估计与假设检验参数估计与假设检验是数理统计学中的核心内容。

参数估计是根据样本数据对总体参数进行估计，常用的方法包括点估计和区间估计。

假设检验则是用于判断总体参数是否满足某个假设，常用的方法包括单样本假设检验、双样本假设检验和方差分析等。

五、回归与相关分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的统计方法。

简单线性回归分析用于描述两个变量之间的线性关系，多元线性回归分析则考虑多个自变量对因变量的影响。

相关分析则用于描述两个变量之间的相关程度，常用的是皮尔逊相关系数。

六、应用领域数理统计学在各个领域都有广泛的应用。

在自然科学方面，数理统计学可以帮助分析实验数据，验证理论模型。

在工程领域，数理统计学可以应用于质量控制、可靠性分析等。

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0
x
2
(x)
x2 x 4
1
0
x
2
x
第一章 概率论
当x>2时, F ( x )
t 0dt ( 1) dt 0dt 2 0 2
0
2
x
( x)
1
2 t2 2 | t | 1 2 1 0 4 0
0
2
x
x
第一章 概率论
综合前面最后得
150
100
100 1 dx 2 x 3
P X 150 F (150) 1
100 1 150 3
设 Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时的元 件数， Y ~ B(5, 1/ 3).
80 1 2 2 P{Y 2} C5 243 3 3
第一章 概率论
用两种方法计算P{1.5<x<2.5}的示意图 (x)
1
0.0625
0
F(x)
1.5
2 2.5 0.0625
x
1 0
1.5 2 2.5
x
第一章 概率论
例5*: 设 X 是连续型随机变量，其密度函 数为 2
c 4 x 2 x f x 0


0 x2 其它
2) F( x) ； (3)P X 1． 求：⑴常数c； (
1
F(x) 0 1 2 3 x
第一章 概率论
1.6.7 连续型随机变量的概念与性质 1) 定义 随机变量X在某区间上连续取值 ，存在非 P( X x) 负函数 f (x)，使得对于任意实数 x ， 有
P( X x) F ( x)
x

f (t )dt ,
则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为 X 的概率密度函数,简称概率密度.
1
f x dx
0
0.5
3 2 4 x 2 x dx 8
0.5
3 2 2 3 5 2x x 8 3 0 32
2 3 3 2 5 P ( 1 X 0.5) F (0.5) - F (-1) 2 0.5 0.5 8 3 32
b.根据概率密度函数进行计算
第一章 概率论
(3.b)根据概率密度函数计算 P{1.5<x<2.5}
P{1.5 2.5} x ( 1)dx 2 1.5
2 2
2.5
1.5 2.5
( x)dx
0dx
2
2.5 x 2 | x| 2 4 1.5 1 0.5625 0.5 0.0625
cos x ( x ) g( x) 2 2 (其它) 0

2

2
x
y
f ( x) 0
y cos x




2
O
2



x


g( x )dx cos xdx [sin x ] 2 1 ( 1) 2 1
第一章 概率论
(3) P X 1


1
3 1 2 f x dx 4 x 2 x dx 8 2 1
2
3 2 2 3 1 P X 1 1 F (1) 1 2 x x 8 3 1 2
0.5
(4) P ( 1 X 0.5)
x 2
2
0
x

f t dt
0
x
0
x
tdt
0
第一章 概率论
当1 x 2时，F x
0

tdt 2 t dt
1 2 x 2x 1 2
0 1
1
f t dt f t dt f t dt
(x)
1
x 1 0 x 2 ( x) 2 其它 0
0
2
x
第一章 概率论
(2) 计算分布函数 F(x)
当x<0时,
F ( x ) 0dt 0

x
(x)
1
x 0
2
x
第一章 概率论
当0<x<2时,
x t t x F ( x ) 0dt ( 1) dt | t | 0 0 2 4 0
2 3
第一章 概率论
一些常用的连续型随机变量 1.6.8 正态分布（Normal Distribution） 如果连续型随机变量X的密度函数为
f ( x) 1 2
2
e

( x )2 2 2
0
f (x)
X ~ N (, )
(1)对称性(2)最大值(3)拐点
x
第一章 概率论
综上所述, 最后得分布函数为
0 xa F ( x) ba 1
xa a xb xb
第一章 概率论
F(x) 的图形如下
F(x) 1 0 a
b
x
第一章 概率论
例4 已知连续型随机变量有概率密度
kx 1 0 x 2 ( x) 其它 0
x
0 1

f t dt
1
x
x
第一章 概率论
当x 2时，F x
0 1

f t dt
2 x 1 2
x


1
f t dt f t dt f t dt f t dt
0
2 0 1
tdt 2 t dt
1
当 a<x<b 时
( x)
1 ba
0
a
a
x
x
b
x
F ( x)

0dt
a
x 1 1 xa dt t| ba ba a ba
第一章 概率论
当 x >b 时
(x)
1 ba
0
a
a
b
b
x
x
x
1 1 b F ( x ) 0dt dt 0dt 1 | a b a b a a b
求系数k及分布函数F(x), 并计算P(1.5<x<2.5) 解 (1)
0 2
( x )dx 0dx ( kx 1)dx 0dx
0 2

2 1 22 kx | x| 2k 2 1 0 0 2 1 k 2
第一章 概率论
则 ( x ) 及其图形如下
y
O
100
x
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率. y 解： 0 x 100
F x 100 1 x x 100
O
100
x
第一章 概率论
P X 150
150

f x dx
a b
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b

1 ba
第一章 概率论
( x ) 的图形为
( x)
1 ba
0
a
b
x
x
求分布函数F(x)则是根据公式
F ( x ) (t ) dt

第一章 概率论
当 x <a 时
(x)
1 ba
0
x a
x
b
x
F ( x ) 0dt 0

第一章 概率论
x2 . F ( x ) P { X x } P { X 0} P {0 X x } 4
（ 3） 若 x
2,
则 { X x } 是必然事件，于是
F ( x ) P { X x } 1.
第一章 概率论
x 0, 0, 2 x F ( x ) , 0 x 2, 4 x 2. 1,




2
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第一章 概率论
例3 若 有概率密度
a x b ( a b ) ( x) 其它 0
则称ξ 服从区间[a,b]上的均匀分布, 试求λ 和分布 函数F(x).

解

( x)dx 0dx dx 0dx (b a ) 1
分布函数与密度函数
几何意义
F(x)
0.08 0.06 0.04 0.02
y f ( x)
-10
-5
x
5
x
第一章 概率论
例2: 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，假定射击 都能中靶,弹着点在圆上均匀分布，以 X 表示 弹着点与圆心的距离, X 的分布函数:
x 0, 0, 2 x F ( x ) , 0 x 2, 4 x 2. 1, x , 0 x 2, f ( x) 2 0, otherwise
第一章 概率论
例6 设随机变量 X的密度函数为 0 x1 x f x 2 x 1 x 2 0 其它 试求 X 的分布函数．
解： 当 x 0时，F x
当0 x 1时，F x
x

f t dt f t dt f t dt
F (x ) 1
X
0
1
1 f (x )
2
3
x
F ( x)
x