20100106复变函数B期末试题A解答

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =7．在下列复数中，使得ze i =成立的是（ ） 8．已知31z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分||342z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于（ ） A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（ ）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（ ）A. 0.1BC.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π 15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（ ） A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f ' 24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f =。

一、填空题1、设12z =，则||z = 1 ，Argz =2,0,1,3k k ππ-+=± . 2、曲线422=+y x 在映射z1=ω下的象为2214u v +=.（写出象曲线的方程） 3、设(1)(1,2,)4n n ni n n α-+==+ 则lim n n α→∞=i . 4、=Z k k i k ∈+),32sin()32cos(ππ.5、函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的 必要不充分 条件.(填充分必要性）6、若幂级数0n nn c z ∞=∑在12z i =+处收敛，则该级数在2z =处的敛散性为绝对收敛 .7、|2|12zz e dz z -==-⎰22ie π. 8、0=z 是函数5sin )(z z z z f -=的 2 阶极点。

9、若1()sin f z z =，则0Res ()z f z == 1 。

二、计算题1、设C 为连接0到2a π的摆线，(sin ),(1cos )x a y a θθθ=-=-，求积分2(281)C z z dz ++⎰.解：由于函数2281z z ++在整个z 平面上解析，故 2220(281)(281)a C z z dz z z dz π++=++⎰⎰3223320216(4)|16233a a z z z a a a ππππ=++=++2、判别级数∑∞=1n nn i 是否绝对收敛，是否收敛.解：因为：∑∑∞=∞==111||n n n n n i 发散，故级数 ∑∞=1n n n i 不绝对收敛.由于∑∑∑∞=∞=∞=+==11212sin 2cos )(n n n in n n n i n n e n i πππ ∑∑∞=∞=+=112s i n 2c o s n n n n i n n ππ 而∑∞=12cos n n n π，∑∞=12sin n n n π都为收敛级数，所以原级数收敛， 故原级数条件收敛。

【复变函数期末考卷】复变函数考试试题《复变函数》练习题⼀.单项选择题.1. 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 2.函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 3.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既⾮充分条件也⾮必要条件 4.下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满⾜柯西-黎曼⽅程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析5. 使得22z z =成⽴的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯⼀的（C ）纯虚数（D ）实数 6. z e 在复平⾯上( )（A ）⽆可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 7. 设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平⾯上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是⽆界的8. 设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π（B ）2i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能9. 设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=?+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π410. 10. 复数ii+=1z 位于复平⾯第( ) 象限. A ．⼀ B ．⼆ C ．三 D ．四11. 下列等式成⽴的是( ).A ．Lnz Lnz 77=； B ．)1arg()1(r =g A ；C ．112=i； D ．)z z Re(z z =。

石家庄铁道大学2009-2010学年第2学期2009级本科班期末考试试卷(A)课程名称： 复变函数（B ）考试日期：2010.6.30 考试时间：120分钟考试性质（学生填写）：正常考试（）缓考补考（）重修（）提前修读（）一、填空题（每小题2分，共20分）1.设11z i=-，则()Im z =_________. 2. 当11iz i+=-时，1007550z z z ++的值等于__________. 3. 设sin cos z i αα=+，则z 的三角表示为________.4. 复数乘幂=i i __________.5. 函数()()y xy i x y x z f -+--=222的导数是__________.6. 幂级数nn nz nn ∑+∞=1!的收敛半径为__________. 7. Ln(34)i -+=_______.8. 孤立奇点0=z 是函数32z ze e z --的__________级极点.9.⎰==-23)1(cos z dz z zπ __________. 10. =+∞→n ine nπ)11(lim _________. ——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————————学号： 班级： 姓名：二、判断题（每小题2分，共20分）（正确的在题号下写T ，错误的在题号下写F ）1.i i 2< .2. sin z 在复平面内有界.3. 若0z 为()f z 的奇点，则()f z 在0z 不可导.4. 设(,)u x y 的共轭调和函数为(,)v x y ，则(,)v x y 的共轭调和函数为(,)u x y .5. z w =在整个复平面上处处解析.6. 若函数()z f 是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.7. 函数z arg 在-1处连续. 8. 若)(z f 在0z 点可导, 则)(z f '在0z 点连续.9. 若0z 是)(z f 的奇点，且0z 不是可去、本性奇点，则0z 必是极点.10. 设)(z f 在单连通域D 内处处解析,且不为0. C 为D 内任意一条简单闭曲线, 则⎰='C dz z f z f 0)()(.三、解答下列各题（每小题9分，共36分）1. 计算41i +.2. 计算2Res[,1](1)ze z z -.3. 讨论级数∑∞=-+-⋅1)1()1(1n nn i n n的收敛性.4. 设)0(),(21)(≠-=z zzz z i z f . 说明)(lim 0z f z →不存在.——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————————四、解答下列各题（每小题8分，共24分）1. 设323v y x y =-，验证v 是调和函数，并求解析函数()f z u iv =+，使之(0)0f =.2. 求函数(1)(1)zz z -+在12z <<内的罗朗展式.3. 2()C e f z d zζξζζ=-⎰设，其中{}:2C z z ==为正向圆周，试求)2)((≠z z f 及)1(f ',(23)f i '+.。

a - b1- abn (z -1) n (z -1) XXXX 学院 2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数 试卷7.幂级数∑(-1)n n =0z n2nn !的和函数是()学号和姓名务必正确清 A. e -zz B. e2- zC. e2dzD. sin z楚填写。

因填写错误或不清 8. 设C 是正向圆周 z = 2 ，则⎰C z2=()楚造成不良后果的，均由本 A. 0 B. - 2i C. iD. 2i人负责；如故意涂改、乱写 的，考试成绩 答一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 9. 设函数 f (z ) 在0 < z - z 0 < R (0 < R ≤ +∞) 内解析，那么 z 0 是 f (z ) 的极点的充要条件是()A. lim f (z ) = a （ a 为复常数）B. lim f (z ) = ∞视为无效。

题分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，z → z 0z → z 0请勿1.Re(i z ) =并将其前面的字母填在题中括号内。

）()10. 10. C. lim f (z ) 不存在D.以上都对z → z 0ln z 在 z = 1处的泰勒级数展开式为 ()超 A. - Re(i z )B. Im(i z )∞(z -1)n +1∞ (z -1)n A. ∑(-1)n, z -1 < 1B. ∑(-1)n, z -1 < 1过C. - Im z此 D. Im zn =1∞n +1n +1n =1 n∞n2. 函数 f (z ) =z 2在复平面上()C. ∑(-1) , z -1 < 1D. ∑(-1) , z -1 < 1密 封 A.处处不连续B.处处连续，处处不可导线 C.处处连续，仅在点 z = 0 处可导D.处处连续，仅在点 z = 0 处解析，3. 设复数 a 与b 有且仅有一个模为 1，则的值()n =0n +1 n =0n 否 则 A.大于 1 B.等于 1 C.小于 1D.无穷大视 4. 设 z = x + i y ，f (z ) = - y + i x ，则 f '(z ) = ()二、填空题(本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分)为A.1+ i无B. isin zC. -1D. 011. z = 1+ 2i 的5. 设C 是正向圆周 z = 1 ， ⎰C dz = 2i ，则整数n 等于 ()zn A. -1B. 0e z -1C.1D. 26. z = 0 是 f (z ) =的()z2A.1阶极点B. 2 阶极点C.可去奇点D.本性奇点∞系别专业姓名班级学号（最后两位）总分 题号 一 二 三四统分人 题分 30203030复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人⎰18.求在映射 w = z 2 下， z _ _ _ _ 平面上的直线 __ _z = (2 + i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.12.设 z = (2 - 3i)(-2 + i) ，则arg z =.13.在复平面上，函数 f (z ) = x 2 - y 2 - x + i(2xy - y 2 ) 在直线上可导.cos 5z.19.求e z 在 z = 0 处的泰勒展开式.14. 设C 是正向圆周 z = 1 ，则 ⎰Cdz = .z∞ ∞∞15. 若级数∑ zn 收敛，而级数∑ zn 发散，则称复级数∑ zn 为.n =1n =1n =1三、计算题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)16. 利用柯西-黎曼条件讨论函数 f (z ) = z 的解析性.20.计算积分1+iz 2dz .2017 + n i 17.判断数列 z n = n +1的收敛性. 若收敛，求出其极限.三、证明题(本大题共1 小题，每小题15 分，共15 分)nn !⎩ 21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z ) 在圆C : z - z 0 = R 所围的区域内解析，且在C因此在任何点(x , y ) 处， ∂u ≠∂v，所以 f (z ) 在复平面内处处不解析。

复变函数期末考试试题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(z)在z=a处解析，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a的邻域内解析B. f(z)在z=a的任何邻域内解析C. f(z)在z=a处可导D. f(z)在z=a处连续2. 以下哪个函数是解析的？A. |z|B. z^2C. Re(z)D. Im(z)3. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则以下哪个条件是f(z)解析的必要条件？A. u_x=v_yB. u_y=-v_xC. u_x=v_y且u_y=-v_xD. u_x=v_y或u_y=-v_x4. 以下哪个函数是整函数？A. e^zB. sin(z)C. z/(z-1)D. 1/z5. 若f(z)和g(z)都是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)+g(z)B. f(z)-g(z)C. f(z)g(z)D. f(z)/g(z)（g(z)≠0）6. 以下哪个函数是调和函数？A. e^zB. z^2C. Re(z)D. Im(z)7. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)的实部B. f(z)的虚部C. f(z)的共轭复数D. f(z)的逆函数8. 若f(z)在z=a处有极点，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a处解析B. f(z)在z=a处有界C. f(z)在z=a处无界D. f(z)在z=a处有界且解析9. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的导数？A. u_x+iv_xB. u_x-iv_xC. u_y+iv_yD. u_y-iv_y10. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的积分？A. ∫(u_x+iv_x)dxdyB. ∫(u_x-iv_x)dxdyC. ∫(u_y+iv_y)dxdyD. ∫(u_y-iv_y)dxdy二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)的柯西-黎曼方程为________。

复变函数复习题及答案一、判断题(红色的是错误的)1.0的幅角为0.2.i i 2<.3.z z ln 2ln 2=. 4.Lnz Lnz 22=.5.Lnz z Ln 21=. 6.0=-Lnz Lnz .7.z z Re ||>. 8.z z z Im Re ||+≤.9.Lnz Lnz z Lnz Lnz +=+=ln 2.10.函数()()231z z f +=在复平面内没有奇点. 11.若0z 是函数()z f 的奇点，则()0/z f不存在.12.设()y x v ,是()y x u ,的共轭调和函数，函数则()y x u ,也是()y x v ,的共轭调和函数. 13．设()y x v ,是()y x u ,的共轭调和函数，则22v u +一定是调和函数.14.函数()zzz f =的奇点只有一个0=z . 15.设C 是不经过原点的简单闭曲线，则⎰=Cdz z 012. 16.解析函数的导数还是解析函数. 17.Argz nArgz n11=. 18.1|cos |≤z . 19.1cos sin 22=+z z .20.∑+∞==-011n n z z .21.0sin lim=∞→zzz .22.若c z f z z =→)(lim 0，则z 0是函数的可去奇点.23.若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. 24. 若∞=z 是函数)(z f 的可去奇点，则[]0),(Re =∞z f s .25. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.二、选择题1．下列各式中表示有界区域的是（ C ）.A.0Re >zB.0Im >zC.2|2|<-zD.2||>z 2．在映射2z w =下，双曲线122=-y x 在w 平面上的象是（A ）. A.平行于u 的直线 B.平行于v 的直线 C.双曲线 D.圆3.方程2|||1|=+++i z z 所表示的曲线是（ B ）.A ．圆 B.椭圆 C ．双曲线 D.直线4.下列方程中表示直线的是（ C ）.A.1Re 2=z B.1=z z C.1=+z z D.1||||=+z z5.复数iiz -+=21在第（ A ）象限. A.一 B.二 C.三 D.四 6．=Lni ( A )，其中k 是整数. A.i k ⎪⎭⎫⎝⎛+ππ22 B.i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππ22 C.i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ24 D. i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππ24 7．对于幂级数，下列命题中正确的是（ B ）.A.在收敛圆内，其条件收敛B.在收敛圆内，其绝对收敛C.在收敛圆上，其处处收敛 D 在收敛圆上，其处处发散8．0=z 是()zz z f 2sin =的（ D ）.A.本性奇点B.极点C.连续点D.可去奇点 9．在复平面内，关于z sin 的命题中，错误的是（ C ）.A.z sin 是周期函数B.z sin 是解析函数C.1|sin |≤zD.()z z cos sin /=10．设C 为正向曲线1||=z ，则()=--⎰Ci z dz21( A ).A.0B.iπ1C.i πD. i π2 11．设()zz z z f 222-+=，则()[]=0,Re z f s ( C ).A.0B.1C.1-D. 212.函数()zz f 1=将z 平面上的曲线1=x 映射成w 平面内的一条（ A ）. A ．圆 B.椭圆 C ．双曲线 D.直线13. 下列积分中，值不为零的是（ D ）（其中C 是正向曲线1||=z ）. A.⎰Czdz B.⎰C dz z z sin C.()⎰-C dz z z 5.01 D.()⎰-Cdz z z 2114. 下列级数中，绝对收敛的级数为（ D ）. A.∑∞=1n )1(1n i n + B.∑∞=1n ]2)1([n n i n +- C.∑∞=2n n i n ln D. ∑∞=1n nni 2 15. 2lim1n n nini→∞+-=（ A ）.A.12i -+B.12i +C.2i +D.∞16. 0=z 为函数()()zz z z z f 1sin11)(+-=的（ A ）.A.非孤立奇点B.极点C.本性奇点D.可去奇点17.下列式子中成立的是（ D ）.A.i i 2<B.1sin ≤zC.z z ln 2ln 2=D.z Lnz Lnz ln 2+=18.若幂级数∑+∞=0n nn z c 在点12i +收敛，则∑+∞=1n nn n z c 在点2=z 处的敛散性为（ A ）.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定(∑+∞=1n nn n z c 与∑+∞=0n n n z c 收敛半径是一样的，再根据阿贝尔定理)19.0=z 是函数()zzz f 1sin =的（ D ）.A.可去奇点B.极点C.本性起点D.非孤立奇点 20.下列级数中条件收敛的是（ B ）.A. nn i ∑∞+=⎪⎭⎫⎝⎛+021 B. ∑+∞=0n n n i C. ∑+∞=02n n n i D. ∑+∞=+021n n n i21.下列级数绝对收敛的是（ B ）.()()()()()221111112nnnn n n n i i i A B C i D nnn ∞∞∞∞====⎛⎫++⎪⎝⎭∑∑∑∑22、级数∑∞=++-111)1(n n n nz 的收敛半径R 和和函数为（ B ）. A.1),1ln(=+R z B.1),1ln(=+R z z C.1),1ln(=-R z D.1),1ln(=-R z z （∑∞=++-111)1(n n n n z =∑⎰∑∑∞=∞=++∞=+-=+-=-0001211d )1(1)1()1(n z n nn n n n n n z z z n z z n z z()z z dz zz dz z z z z zzz n n n znn +=+=-=-=⎰⎰∑∑⎰∞=∞=+1ln 11)(d )1(001) 23.设C 为椭圆1422=+y x ，则积分⎰Cz z d 1= （ A ）. A.i π2 B.π C.0 D.i π2-24.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则( B )为D 内解析函数.A.),(),(y x iu y x v +B.),(),(y x iu y x v -C.),(),(y x iv y x u -D.xvi x u ∂∂-∂∂ 25. 级数∑∑+∞=+∞=+01n n nn n n bz z a b a ,(是复常数），则其收敛域是（ D ）.A.||||a z <B.||||b z <C.+∞<<||0zD.当||||b a <时||||||b z a << 三、填空题 1． 设42πiez -=，则=z Re 12． ()()112-+=z z z z f 在奇点0=z 附近的洛朗级数的收敛圆环域为1||0<<Z .3． 方程0=chz 的根是i k π⎪⎭⎫ ⎝⎛+21 4．=-⎰=1||12sin z dz z zπ____i π_________. 5． =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,sin Re 4z z z s 61. 6．=⎰=1||z dz z i π2.7． ()()by x i ay x z f +++=在复平面内解析，则=a 1-,=b 1 .8.设i e z +=1，则=z Im i k ⎪⎭⎫⎝⎛+24π；9.函数2z w =将z 平面内的曲线222=-y x 映射成w 平面内曲线的方程为2=u . 10.=⎰+idz z 102()3131i +. 11.设()12-=z ze z f z，则()=0///f__-９_____________.(()12-=z ze z f z zz z e zz e z z z ze 222111--=-=-= ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++-=...!31 (3)253z z z z z z z = (2)332----=z z z ()()()()()32///!3002100z f z f z f f z f '''+++=所以()()9!3230,23!30-=-='''-='''f f ） 12.设()∑+∞=-=+02111n nn z c z ，则此幂级数的收敛半径是2 .13.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+0,1sin Re 6z chz z s 1201. 14.=-⎰=3||24z dz z i π2 15. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,11Re 3z s ___０_______. 16. 设i z 22-=,则z arg =4π-,z ln =i 48ln π-.17.dz zez z⎰=11= i π18.设i z 432+=，则=||z 5.19. 若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a ____－３ .20. 0=z 是函数()121sin z e z z f z --=的__10__级极点.21. =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∞,Re 1z e 0 .22.函数()4ln 2-=z zz f 的奇点的集合是}2{]0,( -∞ 23. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __-1+ie________. 24.()1-=z zz f 将区域2||=z 映射成___________________.25. z=0为()()122-=z e z z f 的 4 级零点.四、计算题1. 计算()i -1ln ，()1sin -i π和21的值解：()()i i i i i 42ln 211arg |1|ln 1ln π-=-+-=- ()i ee sh i ch i 211cos 1sin sin 2--=+=+πππ（()xshy i xchy iy x cos sin sin +=+）()()ππππ2sin 2cos 12)1(ln 2122i eeeii Ln +====+2. 求解析函数()iv u z f +=其中()01,22=+=f y x yu解：()()()222222222/2ziy xy x iy x xy y u i x u z f =+-++=∂∂-∂∂= ()()c zidz z fz f +-==⎰/由()01=f 得到，i c = 3. 求满足方程i y iix 21+=++的x 和y 的值。

北京信息科技大学2009 ~2010 学年第一学期《复变函数与积分变换》课程期末考试试卷（A ）答案课程所在学院： 理学院 适用专业班级： 测控0801-0803，机械0801-0806 考试形式：(闭卷)一.完成下列各题（本题满分40分，共含10道小题，每小题4分）1.计算i i i i z ++-=11，并求z 的模和辐角。

解； i i i i z ++-=11=12i - ----2||2z = 2,0,1,24Argz k k ππ=-=±± ----22.将复数i z +=3化为三角表示式和指数表示式。

解： 6arg ,2π==z z ),6sin 6(cos2ππi z += ----3 62πie z = ----13.一个复数乘以-i ,它的辐角和模有何改变。

解：由于复数arg 2,ii z z z e i e π-=-=，)2(arg π-=-z i ez iz ， ----3即模不变，辐角减小2π。

-----1 4.判断函数)cos (sin )(x i x e z f y +=是否解析？解：x e y x v x e y x u x ie x e z f y y y y cos ),(,sin ),(,cos sin )(==+=，=∂∂=∂∂yvx e x u y ,cos x e y cos ，x e x v x e y u y y sin ,sin -=∂∂=∂∂ - -----3在复平面上满足柯西-黎曼条件， 所以在复平面上解析。

-------1 5.求方程=+164z 0的所有根。

解： )3,2,1,0(),42sin42(cos 164=+++=k k i k z ππππ -------222,22,22,223210i z i z i z i z -=--=+-=+=-------26.设C 为正向圆周,1=z 计算dz z zz z c⎰-+3sin 33。

复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（i 432ln 21π+）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f （0），4．0=z 是4sin z z z -的（一级）极点；5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每题3分，共15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（）；（A ）y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （），则0d )(=⎰Cz z f ． （A ）23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是()（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰C dz z f（C ）如果0)(=⎰C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（）．(A)的可去奇点；为z1sin ∞(B)的本性奇点；为z sin ∞ (C);1sin 1的孤立奇点为z ∞(D).sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a b i a b w z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =. 令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x y y uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -.6. 2k i π，()k z ∈.7. 0；8. i ±；9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑. 2. 解 令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)nn n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00n a z = 有相同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R < 内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

学号和姓名务必正确清楚填写。

因填写错误或不清楚造成不良后果的，均由本人负责；如故意涂改、乱写南昌职业学院2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数试卷学号（最后两位）总分题号一二三四统分人题分30203030复查人得分精品文档7. 设z x iy， f ( z)y i x ，则 f ( z)()A. 1iB.iC.1D.08. 设C是正向圆周z2，则dz()C z2A. 0B.2iC.iD.2i9. 设函数f ( z)在0z z0R (0R) 内解析，那么z0是 f (z) 的极点的充要条件是()A.lim f (z) a （a为复常数） B.lim f (z) 不存在z z0z z0的，考试成绩视为无效。

系别专业班级答一、单项选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30得分评卷人复查人题分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，请并将其前面的字母填在题中括号内。

）勿1.设 f ( z)z23i z2，则 f (z) 的零点个数为超()过 A.0 B.1 C.2 D.3此 2.设 z a cost ib sin t （ a b为实常数），则它表示的曲线是( )密A.双曲线B.圆C.椭圆D.抛物线封1i 时，则z100线 3. 若z z75z50( )，1iA.iB.iC.1D.1否则 4.函数 f ( z)1在下列哪个环域内不能展开成洛朗级数()视z(z25z6)为 A.z1 B.0 z2C.lim f ( z)z z010. 因为e z2(n0A.(1)n1） n!n 0（2nC.(1)n2n）（n 11n!得分评卷人D.以上都对1)nz2n ze z2dz 的幂级数展开式是( )( z) ，故n!0z2n 1 , z B.( 1) n 2n z2 n 1, zn 0（2n1） n!z2n1, z D.（(1) n 2n 2 n 1, z2n）zn 1 1 n!复查人二、填空题 ( 本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分 )姓名无2 z3z3C. D.效。