第二章模糊集合1

§2.3 模糊集合的运算 2.3.1 模糊集合的基本运算 一、模糊集合并、交、补运算定义2.3.1 模糊集合的包含、相等设A ~、B ~为论域X 上的两个模糊集合，对于X 中每一个元素x ，都有)()(~~x x BAμμ≥，则称A ~包含B ~，记作B A ~~⊇。

如果B A ~~⊇，且A B ~~⊇，则说A ~与B ~相等，记作B A ~~=。

由于模糊集合是通过隶属函数来表征的，模糊集合相等也可用隶属函数来定义。

若对于X 上的所有元素x ，都有)()(~~x x BAμμ=，模糊集合A ~与B ~相等。

定义2.3.2 模糊空集设A ~为论域X 上的模糊集合，对于X 中每一个元素x ，都有0)(~=x Aμ，则称A ~为模糊空集，记作φ=A ~。

定义2.3.3 模糊集合并、交、补基本运算设A ~、B ~为论域X 上的两个模糊集合，令B A ~~ 、B A ~~ 、C A ~分别表示模糊集合A ~与B ~的并集、交集、补集，对应的隶属函数分别为B A~~ μ、B A ~~ μ、C A~μ，对于X 的任一元素x ，定义： )(V )()(B ~A ~B ~A~x x x μμμ∆ (2.3.1) )()()(B ~A~B ~A~x x x μμμΛ∆ (2.3.2)补算子 (2.3.3) 式中“V ”表示取大运算，“Λ”表示取小运算，称其为Zadeh 算子。

在此定义下，两个模糊集合的并、交实质是在做下面的运算①)](,)(max[B ~A ~B ~A~x x μμμ= 并算子 (2.3.4) )](,)(min[B ~A~B ~A~x x μμμ= 交算子 (2.3.5) 为了加深对模糊集合并、交、补基本运算的理解，现在给出模糊集合A ~和B ~，见图2.3.1(a)。

其中A ~为高斯分布，B ~为三角分布，二者的并、交运算结果如图2.3.1(b)的图2.3.1(c)所示，当然模糊集合的并、交运算可以推广到任意个模糊集合。

模糊集合论及其应用模糊集合论是一种重要的数学工具，它能够处理现实世界中的模糊、不确定和不精确的信息，具有广泛的应用前景。

本文首先介绍模糊集合论的基本概念和运算，然后探讨其在决策分析、控制理论、人工智能等领域的应用，并最后展望其未来发展方向。

一、模糊集合论的基本概念和运算1.1 模糊集合的定义在传统的集合论中，一个元素只能属于集合或不属于集合，不存在中间状态。

而在模糊集合论中，一个元素可以同时属于多个集合，并且对于不同的元素，其属于集合的程度也不同。

因此，模糊集合论将集合的概念进行了扩展，使其能够更好地描述现实世界中的不确定性和模糊性。

设X为一个非空的集合，称为全集，一个模糊集A是一个从X到[0,1]的函数，即：$$A(x):Xrightarrow[0,1]$$其中，A(x)表示元素x属于模糊集A的隶属度，取值范围为[0,1]。

当A(x)=1时，表示x完全属于A；当A(x)=0时，表示x完全不属于A；当0<A(x)<1时，表示x部分属于A。

1.2 模糊集合的运算模糊集合的运算包括模糊集合的交、并、补和乘积等。

模糊集合的交：对于两个模糊集合A和B，其交集为：$$(Acap B)(x)=min{A(x),B(x)}$$模糊集合的并：对于两个模糊集合A和B，其并集为：$$(Acup B)(x)=max{A(x),B(x)}$$模糊集合的补：对于一个模糊集合A，其补集为：$$(eg A)(x)=1-A(x)$$模糊集合的乘积：对于两个模糊集合A和B，其乘积为：$$(Atimes B)(x,y)=min{A(x),B(y)}$$其中，(A×B)(x,y)表示元素(x,y)属于模糊集合A×B的隶属度。

1.3 模糊关系和模糊逻辑在模糊集合论中，还有两个重要的概念，即模糊关系和模糊逻辑。

模糊关系是指一个元素对另一个元素的隶属度，可以用矩阵表示。

例如，设A和B是两个模糊集合，它们之间的模糊关系R可以表示为： $$R=begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} R_{21} & R_{22}end{bmatrix}$$其中，Rij表示元素i与元素j之间的隶属度。

第二章 模糊控制理论基础知识2.1 模糊关系一、模糊关系R ~所谓关系R ，实际上是A 和B 两集合的直积A ×B 的一个子集。

现在把它扩展到模糊集合中来，定义如下：所谓A ，B 两集合的直积A ×B={(a,b)|a ∈A ，b ∈B} 中的一个模糊关系R ~，是指以A ×B 为论域的一个模糊子集，其序偶(a,b)的隶属度为),(~b a Rμ，可见R ~是二元模糊关系。

若论域为n 个集合的直积，则A 1×A 2×A 3×……A n 称为n 元模糊关系R ~，它的隶属函数是n 个变量的函数。

例如，要求列出集合X={1,5,7,9,20}“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系R ~。

因为直积空间R=X ×X 中有20个“序偶”，序偶(20,1)中的前元比后元大得多，可以认为它的隶属度为1，同理认为序偶(9,5)的隶属于“大得多”的程度为0.3，于是我们可以确定“大得多”的关系R ~为R ~=0.5/(5,1)+ 0.7/(7,1)+ 0.8/(9,1)+ 1/(20,1)+ 0.1/(7,5)+0.3/(9,5)+ 0.95/(20,5)+ 0.1/(9,7)+0.9/(20,7)+ 0.85/(20,9)综上所述，只要给出直积空间A ×B 中的模糊集R ~的隶属函数),(~b a R μ，集合A 到集合B 的模糊关系R ~也就确定了。

由于模糊关系，R ~实际上是一个模糊子集，因此它们的运算完全服从第一章所述的Fuzzy 子集的运算规则，这里不一一赘述了。

一个模糊关系R ~，若对∀x ∈X ，必有),(~x x R μ=1，即每个元素X 与自身隶属于模糊关系R ~的隶属度为1。

称这样的R ~为具有自返性的模糊关系。

一个模糊R ~，若对∀x ，y ∈X ，均有),(~y x Rμ=),(~x y Rμ 即(x,y)隶属于Fuzzy 关系R ~和(y,x)隶属于Fuzzy 关系R ~的隶属度相同，则称R ~为具有对称性的Fuzzy 关系。

2.3 模糊集合及其运算2.3.1 模糊子集的定义及表示模糊子集的定义：设给定论域U ，U 到[0，1]闭区间的任一映射A μ→U A :μ[0,1])(u u A μ→ （2-3-1） 都确定U 的一个模糊子集A ,A μ称为模糊子集的隶属函数，)(u A μ称为u 对于A 的隶属度。

隶属度也可记为)(u A 。

在不混淆的情况下，模糊子集也称模糊集合。

上述定义表明，论域U 上的模糊子集A 由隶属函数A μ来表征。

)(u A μ取值范围为闭区间[0，1]，)(u A μ的大小反映了u 对于模糊子集的从属程度。

)(u A μ的值接近于l ，表示u 从属于A 的程度很高； )(u A μ的值接近于O ，表示u 从属A 的程度很低。

可见，模糊子集完全由隶属函数所描述。

当)(u A μ的值域＝{0，1}时，)(u A μ蜕化成一个经典子集的特征函数，模糊子集A 便蜕化成一个经典子集。

由此不难看出，经典集合是模糊集合的特殊形态，模糊集合是经典集合概念的推广。

模糊集合的表达方式有以下几种：1．当U 为有限集{}n u u u ,,21 时，通常有如下三种方式。

（1）Zadeh 表示法nn A A A u u u u u u A )()()(2211μμμ+++=其中ii A u u )(μ并不表示“分数”，而是表示论域中的元素i u 与其隶属度)(i A u μ之间的对应关系。

“＋”也不表示“求和”，而是表示模糊集合在论域U 上的整体。

在论域U 中，)(u A μ的元素集称为A 的台,又称为模糊集合A 的支集。

实际上若某元素的隶属函数值为零。

即它不属于这个集合，则用台来表示一个模糊集合，可使表达式简单明了。

以下采用台的方式给出模糊集合，例如模糊集合“几个”可表示为83.077.0615147.033.0+++++=A 若对于模糊集合A 有一个有限的台，{}n u u u ,,21，则可表示为如下一般形式 nn A A A u u u u u u A )()()(2211μμμ+++=∑==ni ii A u u 1)(μ （2-3-3）（2）序偶表示法将论域中的元素i u 与其隶属度)(i A u μ构成序偶来表示A ，则))}(,(,)),(,()),(,{(2211n A n A A u u u u u u A μμμ⋅⋅⋅= （2-3-4）采用序偶表示法，例1中的A 可写为(){})3.0,8(),7.0,7)(1,6(),1,5(),7.0,4(,3.0,3=A此种方法隶属度为0的项可不写入。

简述模糊集合的概念
模糊集合是指一个元素可能具有一定程度的隶属度，即一个元素可能同时属于多个集合。

它与传统的 crisp (确定性) 集合不同，传统集合中的元素要么完全属于集合，要么完全不属于集合，而模糊集合中的元素可能会部分属于集合。

模糊集合的隶属度可以用数值来表示，一般为0到1之间的实数。

当隶属度为0时，元素完全不属于集合，当隶属度为1时，元素完全属于集合。

模糊集合可以用来描述许多实际问题，如天气预报、医学诊断、模式识别等。

模糊集合理论是人工智能领域中的重要分支之一，被广泛应用于各种智能系统中。

模糊集合的运算以及合成
模糊集合是指其元素的隶属度不是二元的，而是在0到1之间的一个连续的实数。

模糊集合的运算包括交集、并集、补集和差集等。

交集运算是指对应元素的隶属度取较小值，即取最小规则。

并集运算是指对应元素的隶属度取较大值，即取最大规则。

补集运算是指对应元素的隶属度取1减去原隶属度的值。

差集运算是指对应元素的隶属度取最大值减去最小值。

这些运算可以帮助我们对模糊集合进行逻辑运算和推理。

另外，模糊集合的合成是指将两个或多个模糊集合通过某种规则进行合并得到一个新的模糊集合。

常见的合成方法包括最小-最大合成法、最大-最大合成法、乘积合成法等。

最小-最大合成法是指首先对两个模糊集合进行最小化合成，然后再对结果进行最大化合成。

最大-最大合成法是指对两个模糊集合进行最大化合成。

乘积合成法是指对应元素的隶属度进行乘积运算。

这些合成方法可以根据具体的应用场景选择合适的方法进行合成，以得到符合实际情况的模糊集合。

总之，模糊集合的运算和合成是模糊逻辑理论中的重要内容，通过这些运算和合成方法，我们可以更好地处理模糊信息，进行模
糊推理和决策，应用于控制系统、人工智能等领域。

希望我对模糊集合的运算和合成能够给你提供一些帮助。