1.有理数

第一章有理数一、知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数；2)有理数的分类: ①②2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：或；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；若ab=1? a、b互为倒数；若ab=-1? a、b互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.10 .有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或(a-b)n=(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a³10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。

有理数的意义一、学习目标1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．二、要点疏理要点一、正数与负数像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．要点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．三、典型例题类型一、正数与负数1．（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0 （1）这8名男生有百分之几达到标准？（2）他们共做了多少引体向上？类型二、有理数的分类3．下面说法中正确的是( )．A．非负数一定是正数．B．有最小的正整数，有最小的正有理数．C．一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数．4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265, ，.正整数集合:{ …}，负整数集合:{ …}，整数集合:{ …}，正分数集合:{ …}，负分数集合:{ …}，分数集合:{ …}，非负数集合：{ …}，非正数集合：{ …}.类型三、探索规律5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是__________粒.四、巩固练习一、选择题1.（2014•甘肃模拟）下列语句正确的（）个（1）带“﹣”号的数是负数；（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数；（3）不存在既不是正数又不是负数的数；（4）0℃表示没有温度．A. 0B.1C.2D. 32.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( )A．0是整数 B．0是偶数C．0是正整数 D．0既不是正数也不是负数3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ( )A．前进-18米的意义是后退18米B．收入-4万元的意义是减少4万元C．盈利的相反意义是亏损D．公元-300年的意义是公元后300年4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( )A．甲站的东边70千米处 B．甲站的西边20千米处C．甲站的东边30千米处 D．甲站的西边30千米处5．在有理数中，下面说法正确的是（）A．身高增长和体重减轻是一对具有相反意义的量B．有最大的数C．没有最小的数，也没有最大的数D．以上答案都不对6.下列各数是正整数的是（）A．－1 B．2 C．0．5 D．二、填空题1．（2014秋•朝阳区期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作．2．在数中，非负数是______________；非正数是__________.3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 .4．既不是正数，也不是负数的有理数是 .5．（2016春•温州校级期中）如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作________米．6．是整数而不是正数的有理数是 .7．既不是整数，也不是正数的有理数是 .8．一种零件的长度在图纸上是（）毫米，表示这种零件的标准尺寸是毫米，加工要求最大不超过毫米，最小不小于毫米.三、解答题1．说出下列语句的实际意义.（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元（4）上升-2m (5)向南走-7m2．（2014秋•晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.3．（2015秋•赣州校级期末）随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”，记录数据如下表：4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，____________ ，____________ ，...____________ ，...(2)-1,,-,,,,,____________ ,____________ ,...____________ ,...。

第1讲有理数五大概念第一章有理数第1讲有理数五大概念知识导航1.正数和负数2.有理数3.数轴4.相反数5.绝对值方法技巧熟练掌握有理数的五大概念，依据定义解题【板块一】正数和负数题型一正数和负数的意义－－－－表示相反意义的量【例1】用正负数表示下列各题中具有相反意义的量：（1）足球比赛中，若输2个球记作－2，那么赢3个球记作；（2）若规定向东走3米记作＋3米，那么向西走5米记作米；（3）银行若存入3000元记作＋3000元，那么从中取出2000元记作；（4）负债100元也可以说成是拥有；题型二判断数的正负【例2】下列各数：0.6，－3，＋2，10%，0，－8，－1.2，＋，π，，。

（1）正数有；（2）负数有【例3】想一想:如果字母a表示一个有理数，那么“－a”是正数还是负数呢？题型三根据数的正负性求值或范围【例4】若a－1表示正数，2a－6表示负数，求整数a表示的数。

针对练习11.若规定海平面的高度为0米，且规定高出海平面的高度为正，一潜水艇在水面下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度分别为，，鲨鱼比潜水艇高出米。

2.通常高于海平面的地方，用正数表示它的高度，低于海平面的地方，用负数表示它的高度，已知甲、乙、丙三地的海拔高度分别为＋100米、－10米和－80米，下列说法中不正确的是（）A.甲地高出海平面100米B.丙地最低C.乙地比甲地低90米D.乙地比丙地高70米3.下列各数：＋5.9，，－7，0，，8中，正数的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.大于－4且小于3的所有整数有（）A.3个B.4个C.5个D.6个【板块二】有理数知识导航有理数：整数和分数统称有理数。

（可以化为两个整数的比的数）1.按定义分类2.按性质分类非负数：正数和0统称非负数；非正数：负数和0统称非正数；非负整数：正整数和0统称非负整数；非正整数：负整数和0统称非正整数。

有理数的概念（数轴、相反数）要点一、正数与负数大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点二、有理数的分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数 【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．要点三、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点四、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.类型一、正数和负数（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局； ②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元； ④增加10%与减少20%． 其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±”字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？知识导航典题精练例题1举一反三：【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ） A ．50.0千克 B ．50.3千克 C ．49.7千克 D ．49.1千克【变式2】（1）如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作__________．（2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________．类型二、有理数的概念及分类（1）下列说法错误的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，2.4，311-，3.14159，34-，2003①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }；举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ） （3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）例题2【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【变式3】下列说法正确的是（）A．在有理数中，零的意义仅仅表示没有B．正有理数和负有理数组成全体有理数C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．零既不是正数，也不是负数【变式4】把下列各数填入表示它所在的大括号：.-24，3，2.008，10-3，114，0，()--2，3.14，||--4．正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ }类型三、数轴（1）下面图形是数轴的是（）A．B．C．D．（2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______．（3）已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数是______．（4）在数轴上标出下列各数：0， 4.2，132，2，+7，113，并用“<”连接．举一反三：【变式】（1）如图，表示数轴正确的是（）A．B．C．D．（2）已知点A，点B在数轴上，点A表示数为-2，A、B两点的距离为5，则点B表示的数是________．（3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：-3，+1，122，.-15，5．例题3（4）已知，a b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则a 1，b1，0，1的大小关系为_______________．（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________．（2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________．（3）数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？举一反三：【变式】（1）点A 在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A 向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A 点表示的数是________．（2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A ．-4 B ．4 C ．2 D ．0类型、相反数（1）2017-的相反数是________，2017与________互为相反数．（2）已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，则a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（ ） A ．a b a b -<-<< B ．a b b a <-<<-C ．b a a b -<<-< D ．a b b a <<-<-（3）下列说法正确的是（ ） A ．一个数的相反数一定是负数 B ．π和.-314互为相反数 C ．所有的有理数都有相反数 D ．13和31互为相反数例题4例题5举一反三：【变式1】我们可以用字母表示数，比如a 、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的相反数．（1）5的相反数是_______；13的相反数是_______，0的相反数是_______，数a 的相反数是________；（2）5-的相反数是_______，12-的相反数是________，4-的相反数是________；数a -的相反数是________；（3）(2)--的相反数是________；(5)+-的相反数是________，数()a -+的相反数是________，数()a --的相反数是_______；()a b ---与________互为相反数．【变式2】下列说法中正确的有( )①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多化简下列各数中的符号．（1）123⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）12⎛⎫+- ⎪⎝⎭（5）-[-(+1)] （6）-(-a)举一反三：【变式1】如果a <0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①()a -+； ②()a --； ③[()]a -+-； ④[()]a ---； ⑤{[()]}a -+--； ⑥{{{{{[()]}}}}}a -----+--【变式2】（1）37与________互为相反数；a 1-2是________的相反数．（2）()--2的相反数是________；b +4是________的相反数．（3）{[()]}--+-4=________；{[()]}----5与________互为相反数．例题6一、选择题1.如图所示，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A ．1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.62．从原点开始向右移动3个单位，再向左移动1个单位后到达A 点，则A 点表示的数是( )． A.3 B.4 C.2 D.-23．关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数 4.下列说法中：（1）0是最小的自然数；（2）0是最小的正数；（3）0是最大的负整数；（4）0属于整数集合；（5）0既非正数也非负数．正确的是（ ） A ．（1）（2）（4） B ．（4）（5） C ．（1）（4）（5） D ．（1）（2）（5） 5.一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6.在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④ 7.-（-2）=（ ） A.-2B. 2C.±2D.4二、填空题1.不大于4的正整数的个数为 ．2.已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是 ．3. 既不是正数，也不是负数的有理数是 ．4.如图所示，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD ＝6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应的数为 ．5.数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=.6.已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= .7. 已知－1＜a ＜0＜1＜b ，请按从小到大的顺序排列－1，－a ，0，1，－b 为 ．8.一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.课堂巩固三、解答题9．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A 、B 、C 、D ，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米． (1)用数轴表示A 、B 、C 、D 的位置(建议以小敏家为原点)．(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?10．把下列各数填在相应的大括号内： 1.2-，３，１，41，0，－14.3，101-，6.20，25-，1056，－７．正分数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}；正整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}．11．化简下列各数，再用“<”连接.(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (4)245⎛⎫-- ⎪⎝⎭12.若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 是最大的负整数．求代数式的值．13.在数轴上有三个点A ，B ，C 如图所示，请回答：(1)将B 点向左移动3个单位长度后，三个点表示的数谁最小？ (2)与A 点相距3个单位长度的点所表示的数是什么？(3)将C 点左移6个单位长度后，这时B 点表示的数比C 点表示的数大多少？。

一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“有理数”.二、单元学习内容分析1.课标分析《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.“数与式”是代数的基本语言,初中阶段关注用字母表述代数式,以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母的运算和推理得到的结论具有一般性.课标的内容要求:①理解负数的意义,会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量;理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.②借助数轴理解相反数和绝对值的意义,初步体会数形结合的思想方法,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.教师应把握数与式的整体性,一方面,通过对有理数的认识,帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象,知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达;另一方面,通过代数式和代数式运算的教学,让学生进一步理解用字母表示数的意义,通过基于符号的运算和推理,建立符号意识,感悟数学结论的一般性,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.在教学过程中,要关注数学知识与实际的结合,让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律,经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程,形成模型观念;要关注基于代数的逻辑推理,能在比较复杂的情境中,提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑地表达与交流的能力.2.本单元教学内容分析人教版教材七年级上册第一章“有理数”,本章包括两个小节:1.1正数和负数;1.2有理数及其大小比较.数及其运算是中小学数学课程的核心内容.小学已经安排了自然数、正分数及其运算等学习内容.本单元借助生活实例引入负数.通过添加负数这一类“新数”,使数的范围扩张到有理数.引入负数是实际的需要,也是学习后续内容,特别是“数与代数”内容的需要,学生可以从中体会根据实际和数学的需要引入“新数”的好处.有理数的概念可以利用数轴来认识、理解;同时,利用数轴又可以把这些概念串在一起.数轴是数形结合思想的产物.引进数轴后,可以用数轴上的点直观地表示有理数,为学生提供了理解相反数、绝对值的直观工具,同时也为学习有理数的运算法则做了准备.引入相反数的概念,一方面可以加深对相反意义的量的认识,另一方面可以为学习绝对值、有理数运算做准备.绝对值概念借助距离概念加以定义.在数轴上,一个点由方向和距离(长度)确定;相应地,一个实数由符号与绝对值确定.这里,“方向”与“符号”对应,“距离”与“绝对值”对应,又一次体现了数与形的结合、转化.所以,绝对值概念可以促进对数轴概念的理解,同时也是学习数的大小比较、数的运算的基础.本单元重点是理解正负数、有理数和绝对值的相关概念;难点是在理解概念的基础上,养成良好的思维习惯.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学七年级上册第一章有理数.学生在小学已经学习了自然数、正分数及其运算、用字母表示数的知识,这些都是学习本章的基础.实际上,小学学过的数及运算的知识,就是有理数及其运算的知识,数的范围限制在“正数和0”.因此,本单元内容的教学,首先要做好与以往算术知识和方法的衔接,在原有基础上自然引申出新的问题和思路.例如,对负数的认识,借助实际生活、生产中大量存在的“相反意义的量”,提出引入“新数”的需要,然后借助“大于0的数叫作正数”,自然引入“在正数前面加上符号‘-’(负号)的数叫作负数”.另外,本单元渗透了用字母表示数的知识,例如,用-a表示a的相反数;用字母表示求一个数的绝对值的结论;等等.这样,既使问题阐述得更简明、更深入,也使学过的数与代数的知识得到巩固、加强和提高.总之,加强与小学学过的数及运算的衔接,不仅有利于学生理解本单元知识,也有利于培养学生提出问题的能力.四、单元学习目标1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.2.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法,知道|a|的含义(这里a表示有理数).五、单元学习内容及学习方法概览有理数课时划分内容本质与研究方法1.1正数和负数通过提出问题,根据问题归纳正数和负数的概念;培养学生观察、发现问题的能力,培养学生积极思考、合作交流的意识和能力续表有理数课时划分内容本质与研究方法1.2有理数及其大小比较1.2.1有理数的概念提出问题,根据问题归纳有理数的概念,并对有理数进行分类;培养学生观察、发现问题的能力,培养学生分类讨论的数学思想1.2.2数轴提出问题,根据问题归纳数轴的概念,让学生积极参与探究数轴的活动,并学会与他人交流合作;让学生感受在特定的条件下数与形是可有理数课时划分内容本质与研究方法以互相转化的,让学生体验生活中的数学1.2.3相反数通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征,培养归纳能力;渗透数形结合思想,感受事物之间的对应统一的辩证思想1.2.4绝对值提出问题,通过探索求一个数绝对值的方法让学生通过观察,发现规律,总结方法;培养学生积极参与数学活动,在数学活动中体验成功的乐趣1.2.5有理数的大小比较经历用数轴比较有理数大小的方法和形成过程,体会负数的大小比较与自己原有认知体系的不同;经历形式多样的数学活动,让学生通过观察、思考和自己动手操作,体验有理数大小比较法则的探索过程六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。

第一章有理数1.1 正数和负数1.2 数轴专题一探究数字的规律1．观察下面各数列，研究它们各自的变化规律，并接着填出后面的两个数.（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，_______，______，…（2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16，_____，______，…（3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，______，______，…2．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，…按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是_____粒.3．根据下表的规律，空格中应依次填写的数字是（）A．100，001 B．011，001 C．100，011 D．011，100 4．我们知道：1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，…观察下面的一列数：-1，2，-3，4，-5，6，…将这些数排成如下形式，根据规律猜想：第20行第4个数是（）A．-363 B．-365 C．-367 D．-369专题二与数轴有关的规律题5．电子跳蚤落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3跳4个单位到K4，…按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是30，则电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数为（）A．-26 B．-20C．-30 D．306．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上.先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．（1）圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a= _____；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_________（用含n的代数式表示）．【知识要点】1．具有相反意义的量相反意义的量，它们不但意义相反，面且还表示一定的数量.2．正数和负数正数：像+1.8，+1200，+30，+28，+2.5，+8844.43，+34200等这样的数，都是已学过的数（0除外）的前面添上“+”得到的，这样的数叫做正数.像-3，-800，-50，-24，-2，-155，-27450等这样形式的数，都是在已学过的数（0除外）的前面添上“-”得到的，这样的数叫做负数.0既不是正数，也不是负数.3．有理数的分类整数和分数统称为有理数.（1）按正数、负数与0的关系分类:（2）按整数、分数的关系分类:4．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.【温馨提示】1．具有相反意义的量必须是成对出现的两个量.2．正数和负数，不能简单地理解为带“+”号的数是正数，带“-”号的数是负数.3．0虽然不是正数也不是负数，但它是整数.4．在对有理数进行分类时，分类标准不同，分类的形式也不同，要弄清每一个括号所对应的分类标准，做到不重、不漏、不混淆.5．数轴有三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可.【方法技巧】1．生活中有许多相反意义的量，引入负数后可以用正、负数表示一对具有相反意义的量. 2．领会分类思想，有理数的分类有多种方式，无论采用哪种方式都要做到不重、不漏. 3．在学习数轴时，要充分注意数形结合思想，理解有理数可以直观地在数轴上表示出来.参考答案：1．(1)1 -1 (2)18 -20 (3) -1 02．2n+13．D4．B5．B6．2 3n+1解析：（1）∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，∴圆周上数字a与数轴上的数5对应时a=2.（2）∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，∴圆周上的数字0，1，2与正半轴上的整数每3个一组0，1，2；3，4，5；6，7，8；…分别对应，∴数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是3n+1．1.3 绝对值与相反数专题一绝对值与数轴相结合的综合题1．有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c -b|的结果是（）A ．2b -2cB ．2c -2bC ．2bD ．-2c2．已知|a -1|=3，|b |=3，a ,b 在数轴上对应的点分别为A ,B ，则A ,B 两点间距离的最大值等于________．专题二 绝对值的非负性及意义的运用3．已知056=-+-b a ,试求30)(332--b a 的值.4．一只可爱的小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程（单位：cm ）依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10,在爬行过程中，如果小虫每爬行1 cm 就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻？【知识要点】1．绝对值的意义在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫这个数的绝对值.2．相反数只有符号不同，绝对值相等的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数.3．去绝对值的法则一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.【温馨提示】1．在讨论数轴上的点与原点的距离时，只需要观察这个点与原点之间相隔多少个单位长度，而与它位于原点的左侧还是是右侧无关.2．0的相反数是0.3．定义中强调了“符号不同”和“绝对值相等”，二者缺一不可，不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数.4．相反数是成对出现的，不能单独存在.5．任何一个有理数的绝对值是非负数.【方法技巧】1．根据a,b互为相反数有a+b=0这一重要性质，建立相等关系,求出未知数的值.2．求一个数的绝对值时，必须先弄清这个数是正数还是负数或0，根据绝对值的意义去掉绝对值符号，得出结果，因此，求一个数的绝对值可概括为“一判二求”.参考答案：1．A 解析：由图可知：.330563330)(3322=--⨯=--）（b a c ＜b ＜0＜a ，-c ＞a ，-b ＜a ，∴a +b ＞0，a +c ＜0，c -b ＜0∴|b +a |+|a+c |+|c -b |=a +b -a -c +b -c =2b -2c ．故选A ．2．7 解析：∵|a -1|=3，∴a -1=3或a -1=-3，a =4或a =-2.∵|b |=3，∴b =±3.分为四种情况：①当a =4，b =3时，A ,B 两点间的距离是4-3=1；②当a =4，b =-3时，A ,B 两点间的距离是4-（-3）=7；③当a =-2，b =3时，A ,B 两点间的距离是3-（-2）=5；④当a =-2，b =-3时，A ,B 两点间的距离是（-2）-（-3）=1,即A ,B 两点间距离的最大值等于7，故答案为7．3．解：因为6-a ≥0,5-b ≥0,056=-+-b a ，所以a =6,b =5.所以 4．解：小虫爬行的总路程为：541012681035=-+++-+-+++-++. 54×2=108（粒）.1.4 有理数的大小 专题 利用比较大小的方法进行各种形式的有理数的比较 1．比较下列各数的大小：（1）74与85；（2）95-与116-.2．有一位同学在做作业，要比较两个数的大小，但不慎把右边的一个有理数小数点后面的一位小数弄上了墨水：2532-<-（ ），请写出“（ ）”这个数字的取值范围，并帮这位同学填上一个合适的数.3．有理数a ，b 在数轴上如图，（1）在数轴上表示-a ，-b ；（2）试把a ，b ，0，-a ，-b 这五个数用“＜”连接起来；（3）用“＞”“=”或“＜”填空：|a | ___a ，|b | ___b ．【知识要点】1．利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的的大.2．正数、0、负数比较大小正数大于0，0大于负数，正数大于负数.3．两个负数比较大小两个负数，绝对值大的反而小.【温馨提示】1．在数轴的负半轴，绝对值越大的负数离原点越远，即越靠左，就越小；而在正半轴上，绝对值越大的正数离原点越远，即越靠右，就越大.2．两个负数比较大小时，分三步来进行：一是先求两负数的绝对值；二是比较绝对值的大小；三是根据“两个负数，绝对值大的反而小”来确定这两个负数的大小.【方法技巧】有理数大小的比较方法有多种，利用数轴和两个负数“绝对值大的反而小”是比较有理数大小的重要方法.参考答案：1．解：（1）因为563274=，563585=，而<56325635，所以74<85. (2) 99559595==-,9954116116==-,而9955>9954,所以95-<116-. 2．解：因为532大于2.5，小数点后面只有一位小数，所以532-小于-2.0大于-2.5.小数点后面只有一位小数，所以括号内的数是0到5之间的整数，可任选一个，如1，3等.3．解：（1）在数轴上表示为：（2）a ＜-b ＜0＜b ＜-a .（3）＞ =1.5 有理数加法1.6 有理数的减法1.7 有理数的加减混合运算专题一 有理数加减法的新定义型题1． 符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1） f （1）=0,f （2）=1,f （3）=2,f （4）=3…（2） f （21）=2,f （31)=3，f （41）=4,f （51）=5… 利用以上规律计算：f （20131）-f （2013）=______. 2． 定义运算：＝a －b ＋c ，求－的值．专题二 有理数加减法的创新题3． 根据如图所示的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为______.4．计算：.256112816413211618141212--------【知识要点】1．有理数加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同0相加，仍得这个数.2．有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数.【温馨提示】1．对有理数的加法理解抓住三条：其一是同号两数相加；其二是异号两数相加；其三是一个数同0相加.2．在应用有理数加法计算时，切记“先定和的符号，后算绝对值”，否则，很容易出错.【方法技巧】1．用有理数加法法则进行计算时，首先根据两个加数的符号，确定用哪一条法则.2．在用减法法则进行减法运算时，要同时注意两个“变”，即运算符号“-”与减数的符号都要改变.参考答案：1．解：观察（1）中的各数，我们可以得出f （2013）=2012，观察（2）中的各数，我们可以得出f （20131）=2013， 则f （20131）-f （2013）=2013-2012=1． 2．解：原式=3．-54．解析：(1)先把2后面的负数相加，然后再加上2即可得结果；（2）用图形来分析。

第一章有理数第一章有理数【课标要求】考点知识点知识与技能目标了解理解掌握灵活应用有理数有理数及有理数的意义∨相反数和绝对值∨有理数的运算∨解释大数∨【知识梳理】1．数轴：数轴三要素：原点，正方向和单位长度；数轴上的点与实数是一一对应的。

2．相反数实数【能力训练】一、选择题。

1．下列说法正确的个数是()①一个有理数不是整数就是分数②一个有理数不是正数就是负数③一个整数不是正的，就是负的④一个分数不是正的，就是负的A1B2C3D42．a,b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示：把a,-a,b,-b按照从小到大的顺序排列()A-b＜-a＜a＜bB-a＜-b＜a＜bC-b＜a＜-a＜bD-b＜b＜-a ＜a3．下列说法正确的是()①0是绝对值最小的有理数②相反数大于本身的数是负数③数轴上原点两侧的数互为相反数④两个数比较，绝对值大的反而小A①②B①③C①②③D①②③④4.下列运算正确的是()AB－7－2×5=－9×5=－45C3÷D－(-3)2=-95.若a+b＜0,ab＜0,则()Aa＞0,b＞0Ba＜0,b＜0Ca,b两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值Da,b两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（25±0.1）kg,（25±0.2）kg,（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（）A0.8kgB0.6kgC0.5kgD0.4kg7.一根1m长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（）A()5mB[1－()5]mC()5mD[1－()5]m8．若ab≠0,则的取值不可能是（）A0B1C2D-2二、填空题。

9．比大而比小的所有整数的和为。

10．若那么2a一定是。

11．若0＜a＜1,则a,a2,的大小关系是。

有理数的基本概念知识点睛1. 用正、负数表示相反意义的量：“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量. 2. 有理数:按定义整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数 ()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数 ✧ ⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数. 3. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.有理数与数轴的关系：错例原因无原点没有正方向单位长度不统一没有单位长度4. 相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0. (1)代数意义：只有符号不同的两个数．相反数必须成对出现，不能单独存在⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．两点是关于原点对称的 ⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“—”号即可．——奇负偶正⑷互为相反数的两个数的和为零，即若a 与b 互为相反数，则0a b +=，若0a b +=则a 与b 互为相反数． 5. 绝对值：几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .✧ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ✧ 比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.2312234✧ 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来. ✧ 数轴上的点不都代表有理数，如π.利用数轴比较有理数的大小：✧ 数轴上右边的数总大于左边的数.✧ 正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.例题精讲【例1】 ⑴ 如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为 .⑵ 高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示 . ⑶ 某地区5月平均温度为20C ︒，记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+，0，1.4+，3-，4.7-，那么这5项记录表示的实际温度分别是 . ⑷ 向南走200-米，表示 . 【解析】 ⑴5000-元；⑵低于海平面600米的高度；⑶22.7C ︒，20C ︒，21.4C ︒，17C ︒，15.3C ︒；⑷向北走200米.【例2】 珠穆朗玛峰海拔高度为8848米，吐鲁番盆地海拔高度为155-米，则海平面为 【解析】 0米【例3】 耐克饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030±(mL )”字样，请问“30mL ±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603mL ，611mL ，589mL ，573mL ， 627mL ，问抽查产品的容量是否合格？ 【解析】 “60030±(mL )”表示：若每瓶饮料容量记为a ，则570630a ≤≤.抽查的5瓶容均是合格的. 【例4】 下列数中，哪些属于负数？哪些属于非正数？属于正分数？哪些属于非负有理数？4.5-，6，0， 2.4，π，12-，0.313-，3.14，11-【解析】 属于负数的有： 4.5-，12-，0.313-，11-；属于非正数的有：0， 4.5-，12-，0.313-，11-；属于正分数的有： 2.4，3.14；属于非负有理数的有：6，0， 2.4，3.14【例5】 把下列各数分别填在题后相应的集合中：05207385378131422，，，，，，，，--+--.. 正数集合：（07353782.，，，……+） 负数集合：（----52813142，，，…….）整数集合：（085312，，，，……-+-）分数集合：（--52073783142，，，……..）正整数集合：（+532，……） 负整数集合：（--81，……） 正分数集合：（07378.，……） 负分数集合：（--523142，…….）【例6】 ⑴在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“＜”号连接起来. 4-，0， 4.5-，112-，2，3.5，1，122⑵(2006年乌鲁木齐中考题)如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_________.(1-，0，1，2.)【解析】 ⑴先画出数轴，在数轴上方标注所求数（如图下所示），根据数轴上的大小顺序，按从左到右依次用“＜”号连接起来.即:114.5410122 3.522-<-<-<<<<<-1.3 2.6-112-4.5102123.5【例7】 数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是 _________. 【解析】 5.5±.【例8】 在数轴上，下面说法中不正确的是( )．D A ．两个正数，小的离原点B ．两个有理数，大数对应的点在右边C ．两个负数，较大的数对应的点离原点近D ．两个有理数，大的离原点较远【例9】 m -的相反数是 ，1m -+的相反数是 ，m n a b +-+的相反数是 . 【解析】 m ，1m -，m n a b --+-.【例10】 如果0a <，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数⑴()a -+；⑵()a --；⑶[]()a -+-；⑷[]()a ---；⑸(){}a -+--⎡⎤⎣⎦【解析】 ⑴()a a -+=-，是正数；⑵()a a --=，是负数；⑶[]()a a -+-=，是负数；（4）[]()a a ---=-，是正数；⑸(){}a a -+--=-⎡⎤⎣⎦，是正数.【例11】 下列说法错误的是( )A .(3)+-与(3)--互为相反数B .(3)+-与(3)++互为相反数C .(3)+-与(3)-+互为相反数D .3-与(3)--互为相反数 【解析】 选择C .【例12】 绝对值等于5的整数有 个，绝对值小于5的整数有 个 (2；9个) 【例13】 已知x y -++=320，求下列代数式的值。

第一章有理数1.1 正数与负数1.正数和负数的概念①正数：大于0的数叫正数。

（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）②负数：在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。

与正数具有相反意义。

③0既不是正数也不是负数。

0是正数和负数的分界，是唯一的中性数。

注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

如：（3） 0表示一个确切的量。

如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。

注意：搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等1.2 有理数有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

3，整数也能化成分数，也是有理数注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数 0 （0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

第一章有理数1正数、负数、有理数、相反数、科学记数法、近似数2数轴：用数轴来表示数3绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零4正负数的大小比较：正数大于零，零大于负数，正数大于负数，绝对值大的负数值反而小。

5有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去减小的绝对值；互为相反数的两数相加为零；一个数加上零，仍得这个数。

6有理数的减法（把减法转换为加法）减去一个数，等于加上这个数的相反数。

7有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘，都得零。

乘积是一的两个数互为倒数。

8有理数的除法（转换为乘法）除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。

9有理数的乘方正数的任何次幂都是正数；零的任何次幂都是负数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

10混合运算顺序（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如果有括号，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号依次进行。

第二章整式的加减1 整式：单项式和多项式的统称；2整式的加减（1）合并同类项（2）去括号第三章一元一次方程1 一元一次方程的认识2 等式的性质等式两边加上或减去同一个数或者式子，结果仍然相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。

3 解一元一次方程一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一第四章图形认识初步1 几何图形：平面图和立体图2 点、线、面、体3 直线、射线、线段两点确定一条直线；两点之间，线段最短4 角角的度量度数角的比较和运算补角和余角：等角的补角和余角相等初一下册第五章相交线和平行线1 相交线：对顶角相等2 垂线经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（垂线段最短）3 平行线平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；若两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行；判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。

有理数的基本概念
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数。

它们可以是正数、负数或零。

有理数包括整数和分数。

有理数的基本概念包括以下几个方面：
1. 整数：整数是没有小数部分的数，可以是正数、负数或零。

例如，-3、0和5都是整数。

2. 分数：分数是表示两个整数之间的比值的数。

它由一个分子和一个分母组成，分子表示分数的部分，分母表示分数的整体。

例如，1/2、-3/4和7/8都是分数。

3. 加法和减法：有理数之间可以进行加法和减法运算。

加法是将两个有理数合并成一个有理数，减法是从一个有理数中减去另一个有理数。

例如，2 + 3 = 5，-4 + 6 = 2，5 - 3 = 2。

4. 乘法和除法：有理数之间可以进行乘法和除法运算。

乘法是将两个有理数相乘得到一个有理数，除法是将一个有理数除以另一个有理数得到一个有理数。

例如，2 ×3 = 6，-4 ×6 = -24，6 ÷2 = 3。

5. 数轴：数轴是一个水平直线，用于可视化有理数的相对位置。

整数和分数可以在数轴上表示为点，距离原点越远，数值越大（正数）或越小（负数）。

6. 绝对值：绝对值表示一个数的距离原点的距离，忽略其正负号。

对于正数，绝对值等于该数本身；对于负数，绝对值等于该数的相反数。

例如，|3| = 3，|-5| = 5。

这些是有理数的基本概念，它们提供了理解有理数及其运算的基础。

有理数是数学中常见且重要的概念，在各种数学应用和问题中都有广泛的应用。

第一章 有理数知识框架知识要点1.正数和负数正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。

负数：像-1、-3.12、-2008等在正数前加上“ - ”（读作负）号的数，叫做负数。

0既不是正数，也不是负数。

生活中到处都存在具有相反意义的量，我们把某一意义的量规定为正，那么其相反意 义的量就是负。

2.有理数:整数和分数统称有理数。

()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数 ()()⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数负数 <0 <正数3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

作用：（1）用数轴上的点表示数； （2）用数轴来比较两个数的大小；（3）用数轴表示相反数和绝对值的几何意义。

4.相反数：像2和2-，4和4-这样，只有符号不同的两个数叫作互为相反数。

一般来说，a 的相反 数是a -，0的相反数是0。

数轴上互为相反数的两个点关于原点对称。

当0>a 时，0<-a （正数的相反数是负数）； 当0<a 时，0>-a （负数的相反数是正数）； 当0=a 时，0=-a （0的相反数是0） 5.绝对值：几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a绝对值的性质：（1）0≥a （2）a a -= （3）a a ≥，a a -≥ （4）222a a a ==6.倒数：若a 与b 的乘积是1，则称a 与b 互为倒数；反之，若a 与b 互为倒数，则1=ab7.有理数运算：有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 有理数乘法法则：（1） 两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。

有理数相关概念知识点：1、由于实际生活中存在着许多具有相反意义的量，因此产生了正数与负数．正数是大于0的数，负数就是在正数前面加上“-”号的数．0既不是正数，也不是负数，0可以表示没有，也可以表示一个实际存在的数量，如0℃．2、三个重要的定义：（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数。

3、有理数的分类：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 4、到现在为止，我们学过的数有：正整数，如1，2，3，…； 零，0；负整数，如－1，－2，－3，…； 正分数，如1／2，5.3，2／3，…;负分数，如－1／2，－3.6，－6／7，…。

正整数、0、负整数统称整数，正分数、负分数统称分数。

整数和分数统称有理数。

例题：1、下面两题是有关“正”和“负”的概念，怎样表示出来。

（1）在收入和支出两项目中，若把收入定为正的，那么元表示什么？（2）在前进和后退的军训操练中，若把后退定为负的，那么米表示什么？2、如果把向北的方向规定为正，那么走3.5千米，走-1.2千米，走0千米的意义各是什么？练习题：一、选择题1、下面说法中正确的是（ ）A 、在有理数中，0没有意义B 、正有理数和负有理数组成全体有理数C 、0.3既不是整数，也不是分数，因此它不是有理数D 、0既不是正数，也不是负数2、下列各数：9,05.0,101,324,650,76.8,1,54--+---，，中,（ ） A 、只有1，–7，+101，–9是整数 B 、其中有三个数是正整数C 、非负数有1，8.6，+101，0，D 、有三个是负分数3、下列说法正确的是（ ）A 、3.14不是分数B 、正整数和负整数统称为整数C 、正数和负数统称为有理数D 、整数和分数统称为有理数4、下列四种说法，正确的是（ ）A 、所有的正数都是整数B 、不是正数的数一定是负数C 、正有理数包括整数和分数D 、0不是最小的有理数5、0是（ ）A. 正数B. 负数C. 整数D. 正有理数160-102+6、 下列说法中正确的是（ ）A. 整数又叫自然数B. 0是整数C. 一个数不是正数就是负数D. 0不是自然数二、填空题1、用正数或负数表示下列各题中的数量：(1)如果火车向东开出400千米记作+400千米，那么火车向西开出4000千米，记作______；(2)球赛时，如果胜2局记作+2，那么-2表示______；(3)若-4万表示亏损4万元，那么盈余3万元记作______；(4)+150米表示高出海平面150米，低于海平面200米应记作______；2、最小的自然数是 ，最大的负整数是 ，最小的非负整数是 。

第一讲 有理数Ⅰ、主要知识回顾㈠ 有关概念1、 、 和 统称整数， 和 统称分数， 和 统称有理数 . 负分数, 如722-,-0.3(即103-),.0.3,53-.... 2、规定了 、 和 的直线叫做数轴在数轴上表示的两个数， 边的数总比 边的数大.3、只有符号不同的两个数称互为相反数.如211 和 互为相反数. 在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的 ，且与原点的距离 。

我们还规定：0的相反数是 . 通常把在一个数前面添上“-”号，表示这个数的 . 例如 -(-4)=4, -(+5.5)=-5.5同样，在一个数前面添上“+”号，表示这个数本身. 例如 +(-4)=-4，+(+12)=12.4、我们把在数轴上表示数a 的点与 的距离叫做数a 的绝对值。

记作|a|例如，在数轴上表示数-6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以-6和6的绝对值都是6，记作|-6|=|6|=6.同样可知|-4|= ，|+1.7|= .一个正数的绝对值是它 ； 0的绝对值是 ；一个负数的绝对值是它的 . 不论有理数a 取何值，它的绝对值总是 或 (通常也称 ).即对任意有理数a ，总有|a| 0.5、有理数大小比较的一般法则：(1) 负数小于0，0小于正数，负数小于正数；(2) 两个正数，应用已有的方法比较；(3) 两个负数，绝对值大的反而 .如：－1 －0.01; --；－0.3 31-；⎪⎭⎫ ⎝⎛--91 101-- ㈡运算1、有理数的加法法则：（1） 同号两数相加，取 的符号，并把 相加；（2） 绝对值不等的异号两数相加，取 加数的符号，并用较大的绝对值 较小的绝对值；（3） 互为相反数的两个数相加得 ；(4) 一个数同0相加，仍得 .注意：一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.如：(+2)+(-11)= ；(+20)+(+12)= ；12123⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ；(-3.4)+4.3= 2、有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的 .如；(1)(+2)-(-3)=(-2)+( )； (2)0 - (-4)= 0 +( )；(3)(-6)- 3 =(-6)+( )； (4)1 - (+39) = 1 +( ).3、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘.任何数同0相乘，都得0.如：(－5)×(－6)= ；1124⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭ 不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为 ； 当负因数有偶数个时，积为几个不等于0的数相乘，首先确定积的 ，然后把 相乘.几个数相乘，有一个因数为0，积就为 .如： ()()153222⎛⎫-⨯-⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭ ； ()()58.1 3.140-⨯-⨯⨯= 4、有理数除法则：除以一个数等于乘上这个数的 .注意：0不能作除数.因为除法可化为乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：两数相除，同号得 ，异号得 ，并把 相除.0除以任何一个 的数，都得0.如；()618÷-= ; ⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-5251= ;⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷54256= 5、n 个相同的因数a 相乘，即a ·a ·…·a ，记作n an 个这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在n a 中， 叫作底数， 叫做指数，n a 读作a 的n 次方，也可读作a 的n 次幂. 正数的任何次幂都是 ；负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 .计算：()31-= ; ()101-= ；()31.0= ；423⎪⎭⎫ ⎝⎛= 6、加法交换律:两个数相加，交换加数的位置， 不变.即 a + b =加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.即 ( a + b )+ c = + ( + )计算：(1) (+26)+(-18)+5+(-16)(2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-218312417211321乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置， 不变。