概率论1.1~1.2

试验E的所有可能的最基本结果构成
的集合称为E的样本空间，用Ω表示。 Ω 中的元素即E的每个结果叫做样本点或基 本事件，用ω表示。
例如
对应E1的样本空间 ={正 , 反 } 对应 E2 的样本空间为
{ 00 , 01 , 10 , 11 }
对应 E4的样本空间为
={0, 1, 2, … }；

A
部分样本点 样本点

一、事件的关系
1、A B，
Ω
称为事件B包含事件A （或事件A包含于事件B）。
B A
含义：
A发生必导致B发生。
若A B，B A，则称A 与B相等，记为A B。
2、A B
称为A与B的并。
含义：事件A、B至少有一个发生。即
Ω
A B
A B
| A 或 B
伯努利之后，棣莫佛对概率论的发展作了 巨大推进，给出了中心极限定理的特殊情形。
棣莫佛(1667--1754) 法国数学家
，大部分时间在
伦敦度过。三角 学上有著名的棣 莫佛定理。
18世纪，英国的辛普生（1710---1761）和法国 的蒲丰（1707---1788）也做了重要工作。
蒲丰，他于
1760年完成著
第一章 概率论的基本概念
§1.1随机试验
一
随机试验
自然界中，有些现象，对它观察时
，可能出现这种结果，也可能出现那种
结果，这样的现象，叫随机现象。 概率论是研究随机现象的统计规律的 一门学科
随机现象的观测或测量,叫随机试验
简称试验。用E表示。
例如
E1: 抛一枚硬币，可能出现正面或反面; E2: 抛两枚硬币，考虑按次序可能出现 的结果；
5、三次中至少有一次取到正品
A1 A2 A3
第一章 作业题




P- 25 3 ， 6, 14， 17， 21, 23， 25， 26 ， 28， 36，
推广
A， 表示事件
i i 1
n
A1 , A2 An至少发生一个。
A， 表示可列个事件
i i 1

A1 , A2 至少发生一个。
3.
A B或AB.
称为A与B的交。
含义：A与B同时发生。即
Ω
A B
A B
| A 且 B
推广
A:表示事件
i i 1
方面都有重要贡献。
他是解析几何的创立 者之一，数论上有著 名的费马定理。
帕斯卡（1623---1662 ）法国数学家。在影 射几何、概率论、流
体力学中都有很著名
的工作。16岁发现“
帕斯卡六边形定理”
，23岁推测大气压力
的存在，25岁放弃科
学研究，献身于宗教
。
惠更斯（1629--
-1695）荷兰天
B
二、事件的运算
设：A、B、C为三事件，则有
1、交换律： A B B A，AB BA.
2、结合律： A ( B C ) ( A B) C; A( BC ) ( AB)C.
3、分配律：
A( B C ) AB AC.
A ( BC ) ( A B)( A C );
用事件运算的关系表示下列事件 1、前两次都取到正品，第三次未取到正品
A1 A2 A3
2、三次都未取到正品
A1 A2 A3 或 A1 A2 A3
3、三次中只有一次取到正品
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
4、三次中至多有一次取到正品
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
事件A发生（出现）当且仅当就是属
于集合A的某一样本点在试验中出现。
A发生（出现）
A
出现
两个特殊事件：
每次试验一定发生的事情称为必然 事件，用Ω表示；

每次试验一定不发生的事情称为不可 能事件，用Φ表示；

事件的集合表示
样本空间 无样本点 全集 空集 子集 单元素 必然事件

不可能事件 随机事件 基本事件
祝同学们大学生活快乐、 充实、健康、向上、学有所成！
数学学院：李敏
概率统计公共邮箱
gailvlunxuexi2014 @ 密码： gailvlun2014
引言
概率论发展简介:
概率论产生于十七世纪。费马、 帕斯卡和惠更斯是概率论的早期创立者
。
费马（1601---1665） 法国人，律师，业余 数学家。对于数论、 解析几何、概率论三
E3: 掷一颗骰子，考虑可能出现的点数i; E4:记录电话交换台一分钟内接到的呼叫
次数； E5:在一批灯泡中任取一只，测其寿命。
试验具有三个特点：


1、试验可以在相同条件下重复进行；
2、每次试验的所有可能结果都是明
确可知的，并且不止一个； 3、每次试验之前不能预知将会出现哪 一个结果。

§1.2样本空间与随机事件
4、摩根定律： .
A B AB ， . AB A B.
推广
A A.
i i i 1 i 1
n
n
（1）、
A1 , A2 ,, An
都不出现.
中至少有一个出现的对立事件是
A1 , A2 ,, An
A A . i i
i 1 i 1
n
n
（ 2）
A1 , A2 ,, An

n
A1 , A2 ,, An同时发生。
A，表示可列个事件
i i 1
A1 , A2 同时发生。
则称A 与 B互不相容， 4、若AB＝， 或互斥。
Ω
A B
含义：
A与B不可能同时发生。
5、若A B＝，AB ，
则称A与B互相对立，或互逆。
含义：在每一次试验中，A、B必有 一 个出现，但不能同时出现。
例如 对于试验 E2 A＝“恰有一次出现正面” B＝“至少有一次出现正面” 则
A { 01 , 10 }
B { 00 , 01 , 10 }
任何事件均是某些样本点组成的集合.
定义：随机试验E的样本空间 的子集，称为随机事件（简称事件）。 记为 A，B，C …
随机事件可能发生，也可能不发生。
中都出现的对立事件是
A1 , A2 ,, An 中至少有一个不出现
例1 设A，B，C 是某随机试验中的事件，则
事件“A与B出现但C至少有一个出现”可表示为
A B C
事件“A,B,C中恰有一个事件出现”可表示为
ABC ABC ABC
常用结论
1、若随机事件A、B相互对立，则 A与B互不相容。反之，不一定成立。
作《或然算术
试验》，导入
“蒲丰投针问 题”。
19世纪初拉普拉斯的工作。
拉普拉斯(1749---1827)
法国大数学家, 主要著
作有 《概率的哲学探讨》 《分析概率论》、 《天体力学》、 《宇宙体系论》等。
19世纪概率论领域的代表性工作：
高斯：奠定了最小二乘法的基础。
泊松：推广了大数定律，引入了泊松分布。 切比雪夫：大数定律的创立者之一。 马尔可夫：导入了马尔可夫链。
高斯（1777---1855）
泊松（1781---1840）
切比雪夫（1821---1894） 马尔可夫（1856---1922）
20世纪30年代，苏联的柯尔莫戈洛夫以测 度论为基础，建立了概率论的公理体系。 柯尔莫戈洛夫 （1903--1987）莫斯科学派的代表 人物之一，在三角级数、 测度论、集论、积分论、 逻辑、微分方程、概率论 等方面均有重要贡献，并 在二次大战中做了许多开 创性工作，如提出了空间 的“熵”概念等。
A B AB
A A
7、若A与B互不相容，则
AB, 或 B A
8、
AA ;
A A ;
A A;
9、 A B
B AB A AB
10、
A AB AB B AB AB
练习
在产品质量的抽样检验中，
每次抽取一个产品，记事件
An “第n次取到正品”，n 1, 2,3.
2、
AB A ;
B ( A B)
3、若 4、若
A B ; B C, 则 A C
A B, 则
A B B
Ω
B A
AB A
AB
5、
A ; AA A; A A
A A ; A A A; A
6、
A B A AB
Ω
A
A 记 A 的对立事件为A. 则
A A ，AA ， A A.
A不发生意味着A发生。
6、A B， 称为 A 与 B 的差。
含义：A发生且B不发生。 易见
Ω
A
A B A AB AB.
A B AB A B AB.
A AB AB
B BA BA
文学家、物理 学家、数学家
。
十七、十八世纪之交，雅各布.伯努利在巨 著《猜度术》中给出了大数定律的最早形式。 伯努利（1654---1705 ）瑞士数学家族的第 二代成员。由他开始 ，极坐标得到系统的 应用。提出悬链线问 题，深入研究了双纽 线与对数螺线。 《 猜度术》是概率论发 展史上的一座里程碑