配套K12江苏省2019高考数学二轮复习 专题三 不等式 第2讲 线性规划与基本不等式学案

【考向解读】不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.【命题热点突破一】不等式的解法1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法 (1)f x g x >0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；(2)f x g x ≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例1、（2018年北京卷）设集合则A. 对任意实数a ，B. 对任意实数a ，（2,1）C. 当且仅当a <0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【变式探究】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .【答案】30【解析】总费用，当且仅当900x x =，即30x =时等号成立. 【变式探究】若,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）（D ）【答案】C【解析】用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，，选项B 错误，，选项C 正确，，选项D 错误，故选C ．【变式探究】设变量x ，y 满足约束条件则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4-（B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【变式探究】(1)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________.(2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________.【答案】(1) 2 (2)15【解析】(1)由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋2y 2－x 22yx＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号.(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝tt 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t ＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).【点评】求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得.【命题热点突破三】简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决． 例3、（2018年全国I 卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 A. 6 B. 19C. 21D. 45【答案】C【变式探究】【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件,则z =x +2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3【答案】D【解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线20x y +=,可知当其经过直线与2y =的交点()1,2-时, 2z x y =+取得最大值，为,故选D.3. （2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 (1). -2 (2). 84. （2018年天津卷）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．【答案】【解析】由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.5. （2018年北京卷）若,y满足，则2y−U最小值是_________.【答案】3【解析】不等式可转化为，即满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令， 由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.6. （2018年江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为________．【答案】9 7. （2018年全国III 卷）若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3【解析】作出可行域 1.【2017课标1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D2.【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件,则2z x y =+的最小值是A.15-B.9-C.1 D 9【答案】A【解析】x 、y 满足约束条件的可行域如图：5.【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件,则z =x +2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3【答案】D6.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件，则y x z 2+=的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+【答案】D 【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．7.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .【答案】30y【解析】总费用，当且仅当900x x =，即30x =时等号成立. 1. 【2016高考新课标1卷】若,则( ) （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）（D ）【答案】C2.【2016高考天津文数】设变量x ，y 满足约束条件则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4-（B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.3.【2016高考山东文数】若变量x ，y 满足，则22x y +的最大值是（ ）（A ）4 （B ）9 （C ）10（D ）12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC =,故选C.6.【2016年高考四川文数】设p ：实数x ，y 满足，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( )（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A7.【2016高考新课标3文数】若,x y 满足约束条件 则z x y =+的最大值为_____________. 【答案】32【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线z x y =+经过点A 时，z 取得最大值.由得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，即1(1,)2A ，则．8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】216000作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线73y x =-,当直线经过点M 时,z 取得最大值. 【答案】A8.(2015·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A.315B.6C.235D.4【解析】不等式组所表示的可行域如下图所示，【答案】C9.(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.【解析】f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f (x )的最小值为22－3.【答案】0 22－3。

第三讲不等式、线性规划考点一不等式的解法求解不等式的方法(1)对于一元二次不等式,应先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类,关键是找到对参数进行讨论的原因,确定好分类标准,有理有据、层次清楚地求解．[对点训练]1．(2018·湖南衡阳一模)若a,b,c为实数,且a<b<0,则下列结论正确的是()A．ac2<bc2 B.1 a< 1 bC.ba>ab D．a2>ab>b2[解析]∵c为实数,∴取c＝0,得ac2＝0,bc2＝0,此时ac2＝bc2,故选项A不正确;1a－1b＝b－aab,∵a<b<0,∴b－a>0,ab>0,∴b－aab>0,即1a>1b,故选项B不正确;∵a<b<0,∴取a＝－2,b＝－1,则ba＝－1－2＝12,ab＝2,此时ba<ab,故选项C不正确;∵a<b<0,∴a2－ab＝a(a－b)>0,∴a2>ab,又∵ab－b2＝b(a－b)>0,∴ab>b2,故选项D正确,故选D.[答案] D2．(2018·福建六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞,－1)∪(2,＋∞) B ．(－∞,－2)∪(1,＋∞) C ．(－1,2)D ．(－2,1)[解析] 易知f (x )在R 上是增函数,∵f (2－x 2)>f (x ),∴2－x 2>x ,解得－2<x <1,则实数x 的取值范围是(－2,1),故选D.[答案] D3．(2018·贵阳一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1,＋∞),则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞,－1)∪(3,＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞,1)∪(3,＋∞)[解析] 关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1,＋∞),∴a ＝b <0, ∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为 (x ＋1)(x －3)<0,解得－1<x <3, ∴所求不等式的解集是(－1,3),故选C. [答案] C4．(2018·山西太原一模)当x >1时不等式x ＋1x －1≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,3]B ．[3,＋∞)C ．(－∞,2]D ．[2,＋∞) [解析] ∵x >1,∴x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3,当且仅当x －1＝1x －1,即x ＝2时等号成立,所以最小值为3,∴a ≤3,即实数a 的取值范围是(－∞,3],故选A.[答案] A[快速审题] (1)看到有关不等式的命题或结论的判定,想到不等式的性质．(2)看到解不等式,想到求解不等式的方法步骤．(1)求解一元二次不等式的3步：第一步,二次项系数化为正数;第二步,解对应的一元二次方程;第三步,若有两个不相等的实根,则利用“大于在两边,小于夹中间”得不等式的解集．(2)解一元二次不等式恒成立问题的3种方法：①图象法;②分离参数法;③更换主元法．考点二 基本不等式的应用1．基本不等式：a ＋b2≥ab (1)基本不等式成立的条件：a >0,b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,它们的积有最大值．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R )．当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ,b 同号),当且仅当a ＝b 时取等号． [对点训练]1．下列结论中正确的是( ) A ．lg x ＋1lg x 的最小值为2 B.x ＋1x的最小值为2 C.sin 2x ＋4sin 2x 的最小值为4 D ．当0<x ≤2时,x －1x 无最大值[解析] 对于A,lg x 可能小于0;对于B,要使函数y ＝x ＋1x 有意义,则x >0,x＋1x≥2x ·1x ＝2,当且仅当x ＝1x,即x ＝1时取等号;对于C,当且仅当sin 2x ＝4sin 2x ,即sin x ＝2时取等号,但sin x 的最大值为1;对于D,x －1x 在(0,2]上为增函数,因此有最大值,故选B.[答案] B2．(2018·吉林长春二模)已知x >0,y >0,且x ＋y ＝2xy ,则x ＋4y 的最小值为( ) A ．4 B.72 C.92 D ．5[解析] 由x ＋y ＝2xy 得1x ＋1y ＝2.由x >0,y >0,x ＋4y ＝12(x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4y x ＋x y ≥12(5＋4)＝92,当且仅当4y x ＝x y 时等号成立,即x ＋4y 的最小值为92,故选C.[答案] C3．(2018·海淀期末)已知正实数a ,b 满足a ＋b ＝4,则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．[解析] ∵a ＋b ＝4,∴a ＋1＋b ＋3＝8,∴1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12,当且仅当a ＋1＝b ＋3,即a ＝3,b ＝1时取等号,∴1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.[答案] 124．(2018·河南洛阳一模)若实数a ,b 满足1a ＋2b ＝ab ,则ab 的最小值为________．[解析] 依题意知a >0,b >0,则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab ,当且仅当1a ＝2b ,即b ＝2a时,“＝”成立．因为1a ＋2b ＝ab ,所以ab ≥22ab,即ab ≥22,所以ab 的最小值为2 2.[答案]2 2[快速审题]看到最值问题,想到“积定和最小”,“和定积最大”．利用基本不等式求函数最值的3个关注点(1)形式：一般地,分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数,特别适合用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误．(3)方法：使用基本不等式时,一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax＋bx(ab>0)的形式,常用的方法是变量分离法和配凑法．考点三线性规划问题1．线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法把线性目标函数z＝ax＋by化为y＝－ab x＋zb,可知zb是直线ax＋by＝z在y轴上的截距,要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．2．常见的目标函数类型(1)截距型：形如z＝ax＋by,可以转化为y＝－ab x＋zb,利用直线在y轴上的截距大小确定目标函数的最值;(2)斜率型：形如z＝y－bx－a,表示区域内的动点(x,y)与定点(a,b)连线的斜率;(3)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2,表示区域内的动点(x,y)与定点(a,b)的距离的平方;形如z＝|Ax＋By＋C|,表示区域内的动点(x,y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的A2＋B2倍．[对点训练]1．(2018·天津卷)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45[解析] 由变量x ,y 满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)． 作出初始直线l 0：3x ＋5y ＝0,平移直线l 0,当直线经过点A (2,3)时,z 取最大值,即z max ＝3×2＋5×3＝21,故选C.[答案] C2．(2018·广东肇庆二模)已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x＋y 的最小值为3,则实数b ＝( )A.94B.32 C ．1 D.34[解析] 作出不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分所示．由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z , 平移直线y ＝－2x ,由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时,直线y ＝－2x ＋z 的纵截距最小,此时z 最小,为3,即2x ＋y ＝3.由⎩⎨⎧2x ＋y ＝3，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝32，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32,又点A 也在直线y ＝－x ＋b 上,即32＝－34＋b ,∴b ＝94,故选A. [答案] A3．(2018·江西九江二模)实数x ,y 满足线性约束条件⎩⎨⎧x －a ≤0，x ＋y －2≥0，2x －y ＋2≥0，若z＝y －1x ＋3的最大值为1,则z 的最小值为( ) A ．－13 B ．－37 C.13 D ．－15[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示,目标函数z ＝y －1x ＋3的几何意义是可行域内的点(x ,y )与点A (－3,1)两点连线的斜率,当取点B (a,2a ＋2)时,z 取得最大值1,故2a ＋2－1a ＋3＝1,解得a ＝2,则C (2,0)．当取点C (2,0)时,z 取得最小值,即z min ＝0－12＋3＝－15,故选D.[答案] D4．设x ,y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的取值范围是________．[解析]由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝13，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.(x ＋1)2＋y 2的几何意义是区域内的点(x ,y )与定点(－1,0)间距离的平方． 由图可知,点(－1,0)到直线AB ：2x ＋y ＋1＝0的距离最 小,为|－2＋1|5＝55,故z min ＝15;点(－1,0)到点C 的距离最大,故z max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝179.所以z ＝(x ＋1)2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，179. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，179[快速审题] (1)看到最优解求参数,想到由最值列方程(组)求解．(2)看到最优解的个数不唯一,想到直线平行;看到形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2和形如z ＝y －bx －a,想到其几何意义．(3)看到最优解型的实际应用题,想到线性规划问题,想到确定实际意义．求目标函数的最值问题的3步骤(1)画域,根据线性约束条件,画出可行域;(2)转化,把所求目标函数进行转化,如截距型,即线性目标函数转化为斜截式;如斜率型,即根据两点连线的斜率公式,转化为可行域内的点与某个定点连线的斜率;平方型,即根据两点间距离公式,转化为可行域内的点与某个定点的距离;(3)求值,结合图形,利用函数的性质,确定最优解,求得目标函数的最值．1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0},B ＝{x |2x －3>0},则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3[解析] ∵x 2－4x ＋3<0⇔(x －1)(x －3)<0⇔1<x <3, ∴A ＝{x |1<x <3}．∵2x －3>0⇔x >32,∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32, ∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |32<x <3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3,故选D.[答案] D2．(2018·北京卷)设集合A ＝{(x ,y )|x －y ≥1,ax ＋y >4,x －ay ≤2},则( ) A ．对任意实数a ,(2,1)∈A B ．对任意实数a ,(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时,(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A[解析]若(2,1)∈A ,则有⎩⎨⎧2－1≥1，2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32.结合四个选项,只有D 说法正确,故选D.[答案] D3．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3,b ＝log 20.3,则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b[解析] 解法一：∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0,b ＝log 20.3<log 21＝0,∴ab <0,排除C.∵0<log 0.20.3<log 0.20.2＝1,log 20.3<log 20.5＝－1,即0<a <1,b <－1,∴a ＋b <0,排除D.∵b a ＝log 20.3log 0.20.3＝lg0.2lg2＝log 20.2,∴b －b a ＝log 20.3－log 20.2＝log 232<1,∴b <1＋b a⇒ab <a ＋b ,排除A,故选B.解法二：易知0<a <1,b <－1,∴ab <0,a ＋b <0, ∵1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4<1, 即a ＋bab <1,∴a ＋b >ab , ∴ab <a ＋b <0,故选B.[答案] B4．(2018·全国卷Ⅰ)若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．[解析] 由x ,y 所满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示)．作出初始直线l 0：3x ＋2y ＝0,平移直线l 0,当经过点A (2,0)时,z 取最大值,即z max ＝3×2＝6.[答案] 65．(2018·天津卷)已知a ,b ∈R ,且a －3b ＋6＝0,则2a ＋18b 的最小值为________． [解析] 由已知,得2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝14,当且仅当2a ＝2－3b 时等号成立,由a ＝－3b ,a －3b ＋6＝0,得a ＝－3,b ＝1, 故当a ＝－3,b ＝1时,2a＋18b 取得最小值14.[答案] 141.不等式作为高考命题热点内容之一,多年来命题较稳定,多以选择、填空题的形式进行考查,题目多出现在第5～9或第13～15题的位置上,难度中等,直接考查时主要是简单的线性规划问题,关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用,主要体现在其工具作用上．2．若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇综合命题,难度较大．热点课题3求解不等式中参数范围问题[感悟体验]1．(2018·合肥模拟)在区间(1,2)上不等式x2＋mx＋4>0有解,则m的取值范围为()A．m>－4 B．m<－4C．m>－5 D．m<－5[解析]记f(x)＝x2＋mx＋4,要使不等式x2＋mx＋4>0在区间(1,2)上有解,需满足f(1)>0或f(2)>0,即m＋5>0或2m＋8>0,解得m>－5,故选C.[答案] C2．(2018·海淀模拟)当0<m<12时,若1m＋21－2m≥k2－2k恒成立,则实数k的取值范围为()A．[－2,0)∪(0,4] B．[－4,0)∪(0,2] C．[－4,2] D．[－2,4][解析]因为0<m<12,所以12×2m×(1－2m)≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m＋(1－2m)22＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号,所以1m ＋21－2m ＝1m (1－2m )≥8,又1m ＋21－2m≥k 2－2k 恒成立,所以k 2－2k －8≤0,所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4],故选D.[答案] D专题跟踪训练(九)一、选择题1．如果a <b <0,那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．ab <b 2 C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b[解析] 解法一(利用不等式性质求解)：由a <b <0,得b －a >0,ab >0,故1a －1b ＝b －a ab >0,即1a >1b ,故A 项错误;由a <b <0,得b (a －b )>0,故ab >b 2,故B 项错误;由a <b <0,得a (a －b )>0,即a 2>ab ,故－ab >－a 2,故C 项错误;由a <b <0,得a －b <0,ab >0,故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －bab <0,即－1a <－1b 成立,故选D. 解法二(特殊值法)：令a ＝－2,b ＝－1,则1a ＝－12>－1＝1b ,ab ＝2>1＝b 2,－ab ＝－2>－4＝－a 2,－1a ＝12<1＝－1b .故A,B,C 项错误,D 正确,故选D.[答案] D2．已知a ∈R ,不等式x －3x ＋a ≥1的解集为p ,且－2∉p ,则a 的取值范围为( )A ．(－3,＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞,2)∪(3,＋∞)D ．(－∞,－3)∪[2,＋∞)[解析] ∵－2∉p ,∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0,解得a ≥2或a <－3,故选D.[答案] D3．(2018·大连一模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3,＋∞)B ．(－3,1)∪(2,＋∞)C ．(－1,1)∪(3,＋∞)D ．(－∞,－3)∪(1,3)[解析] 由题意得,f (1)＝3,所以f (x )>f (1)＝3,即f (x )>3, 如果x <0,则x ＋6>3,可得－3<x <0;如果x ≥0,则x 2－4x ＋6>3,可得x >3或0≤x <1. 综上,不等式的解集为(－3,1)∪(3,＋∞), 故选A. [答案] A4．(2018·长春第二次质检)若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞,－2),则关于x 的不等式ax 2＋bx x －1>0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1,＋∞)B ．(－∞,0)∪(1,2)C ．(－∞,－2)∪(0,1)D ．(－∞,1)∪(2,＋∞)[解析] 关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞,－2),∴a <0,ba ＝－2,∴b ＝－2a ,∴ax 2＋bx x －1＝ax 2－2ax x －1.∵a <0,∴x 2－2x x －1<0,解得x <0或1<x <2,故选B.[答案] B5．(2018·河南平顶山一模)若对任意x >0,x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立,则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15[解析] 因为对任意x >0,xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立,所以对x ∈(0,＋∞),a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max ,而对x ∈(0,＋∞),xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15,当且仅当x ＝1x 时等号成立,∴a ≥15,故选A. [答案] A6．(2018·江西师大附中摸底)若关于x ,y 的不等式组⎩⎨⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形区域,则其表示的区域面积为( )A.12或14B.12或18 C ．1或12D ．1或14[解析] 由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域,得k ＝0或1,当k ＝0时,表示区域的面积为12;当k ＝1时,表示区域的面积为14,故选A.[答案] A7．(2018·昆明质检)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17[解析]解法一(图解法)：已知约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0所表示的平面区域为下图中的阴影部分(包含边界),其中A (0,2),B (3,0),C (1,3)．根据目标函数的几何意义,可知当直线y ＝－25x ＋z5过点B (3,0)时,z 取得最小值2×3＋5×0＝6,故选B.解法二(界点定值法)：由题意知,约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0所表示的平面区域的顶点分别为A (0,2),B (3,0),C (1,3)．将A ,B ,C 三点的坐标分别代入z ＝2x ＋5y ,得z ＝10,6,17,故z 的最小值为6,故选B.[答案] B8．(2018·合肥一模)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数,则a 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－3,5]D ．[－2,4][解析] 关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0.当a ＝1时,不等式的解集为∅;当a >1时,不等式的解集为1<x <a ;当a <1时,不等式的解集为a <x <1.要使得解集中至多包含2个整数,则a ≤4且a ≥－2,所以实数a 的取值范围是[－2,4],故选D.[答案] D9．若实数x ,y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则z ＝2y2x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，4 C ．[2,4]D ．(2,4][解析] 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(不包括边界OB )所示,其中A (1,2),B (0,2)．z ＝2y 2x ＋1＝yx ＋12＝y －0x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12,则z 的几何意义是可行域内的点P (x ,y )与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0所连直线的斜率． 可知k MA ＝2－01－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝43,k MB＝2－00－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4,结合图形可得43≤z <4. 故z ＝2y 2x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，4,故选B.[答案] B10．(2018·四川资阳诊断)已知a >0,b >0,且2a ＋b ＝ab ,则a ＋2b 的最小值为( )A ．5＋2 2B ．8 2C ．5D ．9[解析] 解法一：∵a >0,b >0,且2a ＋b ＝ab ,∴a ＝bb －2>0,解得b >2. 则a ＋2b ＝b b －2＋2b ＝1＋2b －2＋2(b －2)＋4≥5＋22b －2·2(b－2)＝9,当且仅当b ＝3,a ＝3时等号成立,其最小值为9,故选D.解法二：∵a >0,b >0,∴ab >0. ∵2a ＋b ＝ab ,∴1a ＋2b ＝1,∴(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2a b＝5＋4＝9.当且仅当2b a ＝2ab 时,等号成立,又2a ＋b ＝ab ,即a ＝3,b ＝3时等号成立,其最小值为9,故选D.[答案] D11．(2018·湖南湘东五校联考)已知实数x ,y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y的最大值为6,则(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3 C. 5 D. 3[解析]如图,作出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k对应的平面区域,如图阴影部分所示．由z ＝x ＋y ,得y ＝－x ＋z ,平移直线y ＝－x ,由图可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时,直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大,此时z 最大,为6,即x ＋y ＝6.由⎩⎨⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0得A (3,3), ∵直线y ＝k 过点A ,∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点(x ,y )与D (－5,0)的距离的平方,由可行域可知,[(x ＋5)2＋y 2]min 等于D (－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离的平方．则(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|－5|12＋222＝5,故选A.[答案] A12．(2018·广东清远一中一模)若正数a ,b 满足：1a ＋1b ＝1,则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1[解析] ∵正数a ,b 满足1a ＋1b ＝1,∴a ＋b ＝ab ,1a ＝1－1b >0,1b ＝1－1a >0,∴b >1,a >1,则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立,∴1a －1＋9b －1的最小值为6,故选C. [答案] C 二、填空题[解析] 不等式x －2x －3<0等价于(x －2)(x －3)<0,解得2<x <3, 故不等式x －2x －3<0的解集为(2,3),即M ＝(2,3)． 由log 12 (x －2)≥1,可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －2≤12，解得2<x ≤52,所以N ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52.故M ∩N ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤2，5214．(2018·全国卷Ⅱ)若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．[解析] 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．当直线x ＋y －z ＝0经过点A (5,4)时,z ＝x ＋y 取得最大值,最大值为9. [答案] 915．(2018·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工,生产一件甲产品需用A 设备2小时,B 设备6小时;生产一件乙产品需用A 设备3小时,B 设备1小时．A ,B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为________千元．[解析] 设生产甲产品x 件,生产乙产品y 件,利润为z 千元,则 ⎩⎨⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，z ＝2x ＋y ,作出⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线2x ＋y ＝0,平移该直线,当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x＋y＝960的交点(150,60)(满足x∈N,y∈N)时,z取得最大值,为360.[答案]36016．(2018·郑州高三检测)若正数x,y满足x2＋3xy－1＝0,则x＋y的最小值是________．[解析]对于x2＋3xy－1＝0可得y＝13⎝⎛⎭⎪⎫1x－x,∴x＋y＝2x3＋13x≥229＝223(当且仅当x＝22时,等号成立),故x＋y的最小值是223.[答案]22 3。

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第二篇专题一第3讲不等式、线性规划［限时训练·素能提升］(限时45分钟，满分80分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分,共60分)1．(2018·沧州二模）若错误!〈错误!〈0,给出下列不等式:①错误!〈错误!；②｜a|＋b〉0；③a－错误!〉b－错误!;④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是A．①④ B．②③ C．①③ D．②④解析因为错误!<错误!<0，故可取a＝－1，b＝－2。

显然｜a｜＋b＝1－2＝－1<0,所以②错误；因为ln a2＝ln（－1)2＝0，ln b2＝ln(－2）2＝ln 4>0,所以④错误．综上所述，可排除A，B,D。

答案C2．设f(x）＝错误!则不等式f（x)＜2的解集为A．（错误!，＋∞) B．（－∞，1）∪［2，错误!)C．(1，2］∪(错误!,＋∞) D．(1，错误!）解析原不等式等价于错误!或错误!即错误!或错误!解得2≤x＜错误!或x＜1.答案B3．(2018·潍坊模拟）已知函数f（x）＝(x－2）(ax＋b）为偶函数，且在（0，＋∞)单调递增，则f(2－x)＞0的解集为A．｛x｜x＞2或x＜－2｝ B．{x｜－2＜x＜2｝C．{x｜x＜0或x＞4｝ D．｛x|0＜x＜4}解析由题意可知f（－x)＝f(x），即(－x－2)（－ax＋b）＝(x－2）(ax＋b),（2a－b)x＝0恒成立,故2a－b＝0,即b＝2a，则f(x)＝a（x－2)(x＋2)．又函数在（0，＋∞)单调递增，所以a＞0。

第2讲 线性规划与基本不等式[考情考向分析] 1.线性规划的要求是A 级，主要考查线性目标函数在给定区域上的最值.2.基本不等式是江苏考试说明中的C 级内容，高考会重点考查．主要考查运用基本不等式求最值及其在实际问题中的运用，试题难度中档以上．热点一 简单的线性规划问题例1 (1)(2017·全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________． 答案 －5解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，求z 的最小值，即求直线y ＝32x －z2在y 轴上的截距的最大值，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，其在y 轴上的截距最大，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得A 点坐标为(－1,1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5.(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋y ≥2，则yx的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 解析 不等式组对应的平面区域是以点(3，－1)，(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12为顶点的三角形及其内部，设z ＝y x ，则z 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率，则当z ＝y x经过(3，－1)时取得最小值－13，经过点(3,2)时取得最大值23，故y x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23. 思维升华 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是： 画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较；一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练1 (1)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，若目标函数z ＝ax ＋y 的最小值为－2，则a ＝________. 答案 －2解析 约束条件对应的可行域是以点(1,1)，(1,3)和(2,2)为顶点的三角形及其内部．当a ≥－1时，当目标函数所在直线y ＝－ax ＋z 经过点(1,1)时，z 取得最小值，则z min ＝a ＋1＝－2，即a ＝－3(舍去)；当a <－1时，当目标函数所在直线y ＝－ax ＋z 经过点(2,2)时，z 取得最小值，则z min ＝2a ＋2＝－2，即a ＝－2，符合题意，故a ＝－2. (2)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为________ kg. 答案 30解析 设甲食物重x kg ，乙食物重y kg ，∵维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ≥100，5x ＋2y ≥120，x ＞0，y ＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝100，5x ＋2y ＝120，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝10，A (20,10)，混合物重z ＝x ＋y ，平移直线z ＝x ＋y ，由图知，当直线过A (20,10)时，z 取最小值为20＋10＝30. 热点二 利用基本不等式求最值例2 (1)(2018·苏北六市模拟)已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )，则a ＋b ＋c 的最小值为________． 答案 8解析 ∵abc ＝4(a ＋b )， ∴c ＝4()a ＋b ab，∴a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4()a ＋b ab ＝a ＋b ＋4b ＋4a≥2a ·4a＋2b ·4b＝4＋4＝8.(当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立)(2)设△ABC 的BC 边上的高AD ＝BC ，a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对应的三边，则b c ＋cb的取值范围是____________________． 答案 [2，5]解析 因为BC 边上的高AD ＝BC ＝a ， 所以S △ABC ＝12a 2＝12bc ·sin A ，所以sin A ＝a 2bc.又因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b －a 2bc ，所以b c ＋c b ＝2cos A ＋sin A ≤5，同时b c ＋c b ≥2(当且仅当b ＝c 时，等号成立)， 所以b c ＋c b∈[2，5]．思维升华 用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．跟踪演练2 (1)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 答案 3 2解析 ∵a ，b ＞0，a ＋b ＝5，∴(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1b ＋3≤a ＋b ＋4＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＝72，b ＝32时，等号成立，则a ＋1＋b ＋3≤32，即a ＋1＋b ＋3最大值为3 2.(2)(2018·兴化三校联考)已知函数f (x )＝e x －e －x ＋x 3＋3x ，若正数a ，b 满足f (2a －1)＋f (b －1)＝0，则2a 2a ＋1＋b 2＋1b 的最小值为________．答案 94解析 由题意得f (－x )＝－f (x )，且f (x )为单调增函数，最多有一个零点， 所以f (2a －1)＋f (b －1)＝0，即f (2a －1)＝－f (b －1)， 所以2a －1＝1－b ，即 2a ＋b ＝2，所以 2a 2a ＋1＋b 2＋1b ＝2()a ＋12－4()a ＋1＋2a ＋1＋b ＋1b＝2()a ＋1＋b ＋2a ＋1＋1b －4＝2a ＋1＋1b. 又2a ＋1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋1b []2()a ＋1＋b ×14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1＋2b a ＋1＋2()a ＋1b ≥94， 当且仅当a ＝13，b ＝43时取等号．所以2a 2a ＋1＋b 2＋1b 的最小值为94.热点三 基本不等式的实际运用例3 (2018·苏州期末)如图，长方形材料ABCD 中，已知AB ＝23，AD ＝4.点P 为材料ABCD 内部一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AD 于F ，且PE ＝1，PF ＝ 3.现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足∠MPN ＝150°，点M ，N 分别在边AB ，AD 上．(1)设∠FPN ＝θ，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围； (2)试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．解 (1)在Rt△NFP 中，因为PF ＝3，∠FPN ＝θ， 所以NF ＝3tan θ，所以S △NAP ＝12NA ·PF ＝12()1＋3tan θ×3，在Rt△MEP 中，因为PE ＝1，∠EPM ＝π3－θ，所以ME ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ， 所以S △AMP ＝12AM ·PE ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ×1， 所以S ＝S △NAP ＋S △AMP ＝32tan θ＋12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋3，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.(2)因为S ＝32tan θ＋12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋ 3＝32tan θ＋3－tan θ2()1＋3tan θ＋3，令t ＝1＋3tan θ，由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，得t ∈[]1，4，所以S ＝3＋3t 2－4t ＋423t＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋43t ＋33 ≥32×2×t ×43t ＋33＝2＋33，当且仅当t ＝43t ，即t ＝233时，即tan θ＝2－33时等号成立，此时，AN ＝233，S min ＝2＋33.答案 当AN ＝233时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为2＋33.思维升华 利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型．(2)注意当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．跟踪演练3 一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达400 km 外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，则这批物资全部运送到灾区最少需____ h.答案 10解析 时间最短，则两车之间的间距最小，且要安全，则时间t ＝400＋25×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋25v400≥225＝10，当且仅当v ＝80时等号成立．1．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)，一年的总存储费用为4x 万元， 总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x＋4x ≥23 600x·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．2．(2018·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________． 答案 9解析 方法一 如图，∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴12ac ·sin 120°＝12c ×1×sin 60°＋12a ×1×sin 60°， ∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1.∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝c a＋4ac＋5≥2c a ·4ac＋5＝9. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋1c ＝1，c a ＝4ac ，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a ＝32时取等号．方法二 如图，以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则D (1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，32a .又A ，D ，C 三点共线， ∴c2－1－32c ＝a2－132a ，∴ac ＝a ＋c .以下同方法一．3．已知正实数x ，y 满足向量a ＝(x ＋y,2)，b ＝(xy －2,1)共线，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，32，且a ·(a －c )≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，174 解析 由a ＝(x ＋y,2)，b ＝(xy －2,1)共线得 x ＋y ＝2(xy －2)，则x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，即(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，当且仅当x ＝y 时等号成立． 又由x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4. 不等式a ·(a －c )≥0，即a 2≥a ·c ， 所以(x ＋y )2＋4≥m (x ＋y )＋3，即(x ＋y )2－m (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4， 则t 2－mt ＋1≥0，t ∈[4，＋∞)(*)恒成立． 对于方程t 2－mt ＋1＝0，当Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2时，(*)恒成立；当m <－2时，相应二次函数y ＝t 2－mt ＋1的对称轴t ＝m2<－1，(*)恒成立；当m >2时，由相应二次函数y ＝t 2－mt ＋1的对称轴t ＝m 2<4，且16－4m ＋1≥0，得2<m ≤174.综上可得，当m ≤174时，(*)恒成立，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.4．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，则仓库面积S 的最大允许值是________平方米． 答案 100解析 设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则顶部面积为S ＝xy ， 依题意得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200， 由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故0<S ≤10，从而0<S ≤100，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧40x ＝90y ，xy ＝100，即x ＝15，y ＝203时等号成立．所以S 的最大允许值是100平方米．A 组 专题通关1．(2018·江苏无锡一中期末)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥0，则z ＝9x ·3y的最大值是________． 答案 27解析 由题意得z ＝9x·3y＝32x·3y ＝32x ＋y.不等式组对应的可行域如图所示的△OAB 及其内部，设u ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋u ，当直线y ＝－2x ＋u 经过点A (1,1)时，直线在y 轴上的截距最大，u max ＝2×1＋1＝3， 所以z max ＝33＝27.2．(2018·连云港期末)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≤3，x －y ＋1≤0，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________． 答案 12解析 先根据实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≤3，x －y ＋1≤0，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x 2＋y 2表示可行域内点到原点的距离的平方，由图可知，z ＝x 2＋y 2的最小值就是直线x －y ＋1＝0与原点的距离的平方， 所以最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|0－0＋1|22＝12. 3．已知x >1，则函数y ＝2x ＋42x －1的最小值为________．答案 5解析 ∵x >1，∴2x －1>0， ∴y ＝2x －1＋42x －1＋1≥2(2x －1)·42x －1＋1＝5， 当且仅当2x －1＝42x －1，即x ＝32时，等号成立．4．(2018·常州期末)各项均为正数的等比数列{}a n 中，若a 2a 3a 4＝a 2＋a 3＋a 4，则a 3的最小值为________． 答案3解析 因为{}a n 是各项均为正数的等比数列，且a 2a 3a 4＝a 2＋a 3＋a 4，所以a 33－a 3＝a 2＋a 4，则a 33－a 3＝a 2＋a 4≥2a 2a 4＝2a 3，(当且仅当a 2＝a 4，即数列{a n }为正数常数列时取等号)即()a 23－3a 3≥0，即a 23≥3，a 3≥3，即a 3的最小值为 3.5．若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是________．答案 3解析 点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，所以m ，n ＞0，且m 3＋n4＝1，所以m 3·n 4≤⎝⎛⎭⎪⎪⎫m 3＋n 422，⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”， 所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.6．设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 解析 因为y ′＝12x (x ＋1)＋x ＝3x ＋12x＝32x ＋12x ≥232x ·12x＝3， 当且仅当32x ＝12x，即x ＝13时“＝”成立． 所以切线的斜率k ＝tan θ≥3，又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2. 7．已知正数a ，b ，满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________． 答案 36 解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5， ∴ab －5≥21a ×9b ， 化为(ab )2－5ab －6≥0，解得ab ≥6，当且仅当1a ＝9b ，1a ＋9b＝ab －5，即a ＝2，b ＝18时取等号，解得ab ≥36. 8．(2018·扬州期末)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则3x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案 5＋2 6解析 正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，1x ＋1y＝1， 3x x －1＋2y y －1＝31－1x ＋21－1y， 故得到3x x －1＋2y y －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫31－1x ＋21－1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1y 1－1x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1－1y≥5＋26， 等号成立的条件为1－1x ＝1－1y，即x ＝y ＝2. 9．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．答案 6－24 解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，及正弦定理得a ＋2b ＝2c .又由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24， 当且仅当34a 2＝b 22时等号成立， 故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24. 10．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建造宿舍的费用与宿舍到工厂的距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝k 3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米的成本为6万元．设f (x )为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f (x )的表达式； (2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值．解 (1)根据题意得100＝k3×1＋5，所以k ＝800， 故f (x )＝8003x ＋5＋5＋6x (0≤x ≤8)． (2)因为f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5＝75， 当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)，即当x ＝5时f (x )min ＝75. 所以宿舍应建在离工厂5 km 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元．B 组 能力提高11．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值为________．答案 4解析 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ， 所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy＝x 2＋y 2xy＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x ＝y 时，等号成立．12．已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________．答案 10解析 由f (x )的值域为[0，＋∞)可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有4ac －14a ＝0，从而c ＝14a>0， 所以c ＋2a ＋a ＋2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋8a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号． 故所求的最小值为10.13．(2018·江苏如东高级中学等五校联考)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则(a 2＋b 2＋c 2)2＋52bc ＋ac的最小值为________．答案 4 解析 a 2＋b 2＋c 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋15c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋45c 2 ≥25ac ＋45bc ，即ac ＋2bc ≤52()a 2＋b 2＋c 2，当且仅当a ＝c 5，b ＝2c 5时等号成立， 则()a 2＋b 2＋c 22＋5ac ＋2bc ≥()a 2＋b 2＋c 22＋552()a 2＋b 2＋c 2≥25()a 2＋b 2＋c 252()a 2＋b 2＋c 2＝4(经验证两次等号可同时取得)，所以 ()a 2＋b 2＋c 22＋52bc ＋ac 的最小值为4.14．已知函数f (x )＝|x －2|.(1)解不等式f (x )＋f (2x ＋1)≥6；(2)已知a ＋b ＝1(a ，b ＞0)，且对于∀x ∈R ，f (x －m )－f (－x )≤4a ＋1b恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＋f (2x ＋1)＝|x －2|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－3x ，x ＜12，x ＋1，12≤x ≤2，3x －3，x ＞2， 当x <12时，由3－3x ≥6，解得x ≤－1； 当12≤x ≤2时，x ＋1≥6不成立； 当x ＞2时，由3x －3≥6，解得x ≥3. ∴不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (2)∵a ＋b ＝1(a ，b ＞0)， ∴4a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋4b a ＋a b ≥5＋24b a ·a b＝9， 当且仅当a ＝23，b ＝13时等号成立， ∴对于∀x ∈R ，f (x －m )－f (－x )≤4a ＋1b恒成立等价于对∀x ∈R ，|x －2－m |－|－x －2|≤9， 即[|x －2－m |－|－x －2|]max ≤9，∵|x －2－m |－|－x －2|≤|(x －2－m )－(x ＋2)|＝|－4－m |，∴－9≤m ＋4≤9，∴－13≤m ≤5.。

第2讲 基本不等式与线性规划1. 高考对线性规划的考查，除了传统的已知可行域求目标函数最值之外，还会结合围成可行域的图形特点，或是在条件中设置参数，与其他知识相结合，产生一些非常规的问题．在处理这些问题时，第一，依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确计算．2. 高考中对基本不等式的考查，主要是利用基本不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识进行综合考查，同时运用基本不等式的性质求参数范围、证明不等式等也是热点．1. (2018·南京学情调研)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y≤8，则z ＝3x －2y 的最大值为________．答案：6解析：如图，作出线性区域，阴影部分即为可行域．目标函数的斜率为32，根据图象找出最优解为(4，3)，从而目标函数的最大值为6.2. (2018·苏锡常镇调研一)已知a>0, b>0，且2a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值是________．答案：2 6解析：因为ab ＝2a ＋3b ≥22a ·3b，所以ab≥26，当且仅当2a ＝3b＝6时，取等号．3. (2018·启东调研测试)设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y ≤x ，|x|＋|y|≤1，则z ＝12x ＋y 的最大值为________．答案：34解析：线性规划的最优解为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，故z ＝12x ＋y ＝12×12＋12＝34. 4. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________．答案：8解析：由a ，b ，c 均为正数，abc ＝4(a ＋b)，得c ＝4a ＋4b ，代入得a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4a＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋4a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋4b ≥2a ·4a ＋2b ·4b＝8，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立，所以a ＋b ＋c 的最小值为8., 一) 简单的线性规划问题, 1) 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2.(1) 求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2) 若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1) 作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A(3，4)取最小值－2，过C(1，0)取最大值1， 所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2) 直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a<2.故所求a 的取值范围是(－4，2)．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为________．答案：8解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B(5，2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8., 二) 非线性目标函数的最值问题, 2) (2018·泰州中学学情调研)已知点P(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，y ≥x ，x ≥1，则z ＝y x的最大值为________．答案：3解析：画出满足条件的可行域，如图所示，由z ＝yx表示过平面区域的点(x ，y)与(0，0)的直线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝4，得A(1，3)，显然直线过A(1，3)时，斜率最大，即z 取得最大值，z max ＝y x＝3.(2018·姜堰、泗洪调研测试)设0<b <a ＋1，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中整数解恰有3个，则实数a 的取值范围是________．答案：(1，3)解析：不等式(x －b )2>(ax )2的解集中整数解恰有3个，所以a >1，不等式的解集为b1－a<x <b a ＋1.因为0<b <a ＋1，所以不等式的整数解为－2，－1，0，所以－3≤b1－a<－2，2(a －1)<b ≤3(a －1)，作出0<b <a ＋1，2(a －1)<b ≤3(a －1)，对应的可行域△ABC 区域(包括边界AB ，不包括边界AC ，BC )，A (1，0)，B (2，3)，C (3，4)，得区域上的点的横坐标的范围是(1，3)．, 三) 利用基本不等式求二元函数的最值, 3) 已知f(x)＝x 2－x ＋k ，k ∈Z .若方程f (x )＝2在(－1，32)上有两个不相等的实数根．(1) 求k 的值；(2) 求f 2（x ）＋4f （x ）的最小值及对应的x 值．解：(1) 设g (x )＝f (x )－2＝x 2－x ＋k －2，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝k ＞0，g （32）＝k －54＞0，Δ＝9－4k ＞0，－－12∈（－1，32），解得54＜k＜94. 又k ∈Z ，所以k ＝2. (2) 因为k ＝2，所以f (x )＝x 2－x ＋2＝(x －12)2＋74＞0，所以f 2（x ）＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，当且仅当f (x )＝4f （x ）， 即f 2(x )＝4时取等号． 因为f (x )＞0，所以f (x )＝2时取等号，即x 2－x ＋2＝2， 解得x ＝0或1.故当x ＝0或1时，f 2（x ）＋4f （x ）取得最小值4.(2018·徐州期中)已知实数F (0，0，1)满足x 2＋y 2＝3，|x |≠|y |，则1（2x ＋y ）2＋4（x －2y ）2的最小值为________．答案：35解析：因为(2x ＋y )2＋(x －2y )2＝5(x 2＋y 2)＝15，所以令(2x ＋y )2＝t ，(x －2y )2＝μ，所以t ＋μ＝15，1（2x ＋y ）2＋4（x －2y ）2＝1t ＋4μ＝115(t ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4μ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4t μ＋μt ≥115(5＋4)＝35，当且仅当t ＝5，μ＝10时取等号．所以1（2x ＋y ）2＋4（x －2y ）2的最小值为35., 四) 多元函数的最值问题, 4) (2018·淮安期中)在锐角三角形ABC 中，9tan A tan B ＋tan B tan C＋tan C tan A 的最小值为________．答案：25解析：不妨设A ＝B ，则C ＝π－2A ，因为△ABC 是锐角三角形，所以π4＜A ＜π2，所以tan A ＞1，所以9tan A tan B ＋tan B tan C ＋tan C tan A ＝9tan 2A ＋2tan A tan C ＝9tan 2A＋2tan A tan(π－2A )＝9tan 2A －2tan A tan 2A ＝9tan 2A －4tan 2A 1－tan 2A ＝9tan 2A ＋4－41－tan 2A＝9(tan 2A －1)＋4tan 2A －1＋13≥25(当且仅当tan 2A ＝53时等号成立)，所以9tan A tan B ＋tanB tanC ＋tan C tan A 的最小值为25.方法归纳：多变量函数的最值问题，常常将条件和结论统一起来，进行合理的消元和换元，将问题转化为函数或不等式问题．(2018·苏州一调)已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝1，1a ＋b ＋1c＝1，则c 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43解析：由1a ＋1b ＝1，可得a ＝b b －1，由1a ＋b ＋1c ＝1，得1c ＝1－1a ＋b ＝1－11b －1＋b －1＋2.因为b －1＋1b －1≥2或b －1＋1b －1<－2，所以0<11b －1＋b －1＋2≤14，34≤1c <1，1<c ≤43.1. (2018·浙江卷)若x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤6x ＋y≥2，，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．答案：－2 8解析：不等式组所表示的平面区域如图所示，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2时，z ＝x ＋3y 取最小值，最小值为－2；当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2时，z ＝x ＋3y 取最大值，最大值为8.2. (2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案：14解析：由a －3b ＋6＝0可知a －3b ＝－6，且2a ＋18b ＝2a ＋2－3b .因为对于任意x ，2x＞0恒成立，所以结合基本不等式的结论可得2a ＋2－3b ≥2×2a ×2－3b ＝2×2－6＝14.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2－3b ，a －3b ＝－6，即 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．综上，2a ＋18b 的最小值为14.3. (2018·北京卷)若x ，y 满足x ＋1≤y≤2x，则2y －x 的最小值是________． 答案：3解析：作可行域，如图，则直线z ＝2y －x 过点A(1，2)时，取最小值3.4. (2018·江苏卷) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案：9解析：由题意可知，S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，由角平分线性质和三角形面积公式得12ac sin120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，∴ 1a ＋1c＝1，因此4a ＋c＝(4a ＋c ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4a c＝9，当且仅当c ＝2a ＝3时取等号，则4a ＋c的最小值是9.5. (2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1) 用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2) 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1) 由题意得，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y≤600，5x ＋5y≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y≤60，x ＋y≥6，x －2y≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分．(2) 设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y.将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一簇平行直线．z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大． 因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，即点M 的坐标为(6，3)． 所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2018·南京学情调研)某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f(x)＝t 1＋t 2.(1) 求f(x)的解析式，并写出其定义域； (2) 当x 等于多少时，f(x)取得最小值？解：(1) 因为t 1＝9 000x，t 2＝ 3 0003（100－x ）＝1 000100－x,所以f(x)＝t 1＋t 2＝9 000x ＋1 000100－x，定义域为{x|1≤x≤99，x ∈N *}. (4分)(2) f (x )＝1 000(9x ＋1100－x )＝10[x ＋(100－x )]( 9x ＋1100－x)＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋9（100－x ）x ＋ x 100－x . (8分)因为1≤x ≤99，x ∈N *，所以9（100－x ）x ＞0，x 100－x＞0，所以9（100－x ）x ＋ x 100－x ≥2·9（100－x ）x ·x100－x ＝2×3＝6， (10分)当且仅当9（100－x ）x ＝x100－x，即当x ＝75时取等号．(12分)故当x ＝75时，f (x )取得最小值．(14分)1. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0.x≥1，若z ＝x 2＋y 2，则z 的取值范围是________．答案：[2，29]解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.作出(x ，y)的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得C(1，1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得B(5，2)． z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝OC ＝2，d max ＝OB ＝29，故z 的取值范围是[2，29]．2. 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0. (1) 求xy 的最小值；(2) 求x ＋y 的最小值．解：(1) 由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1.又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时等号成立， 所以xy 的最小值为64.(2) 由(1)知8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝(8x ＋2y )(x ＋y)＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.3. 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x 万元，y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z ＝x ＋0.5y 变形为y ＝－2x ＋2z ，则其为斜率为－2，随z 变化的一簇平行线，当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域内的点M 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y 轴上的截距2z 最大，z 也最大．这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元)，所以当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能确保在亏损不超过1.8万元的前提下，才能使可能的盈利最大．。

2019年高考数学二轮复习专题06：不等式与线性规划一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）已知实数 x,y 满足条件 {y ≤x −1x ≤3x +5y ≥4 ，令 z =lnx −lny ，则 z 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2分）设x ，y 满足约束条件 {x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2 ，若目标函数 z =ax +3y 仅在点（1,0）处取得最小值，则a 的取值范围（ ） A ．（-6，-3）B ．（-6,3）C ．（0,3）D ．（-6,0]3．（2分）已知 {x −y ≥03x −y −6≤0x +y −2≥0 ，则z =22x +y 的最小值是（ ）A ．1B ．16C ．8D ．44．（2分）满足线性约束条件 {2x +y ≤3,x +2y ≤3,x ≥0,y ≥0 的目标函数 z =x +y 的最大值是 （ ） A ．1B ．C ．2D ．35．（2分）记 min{a,b,c} 为 a,b,c 中的最小值，若 x,y 为任意正实数，则 M =min{2x,1y ,y +1x} 的最大值是（ ） A ．B ．2C ．D ．6．（2分）下列函数中，最小值为4的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2分）已知实系数一元二次方程 x 2+(1+a)x +a +b +1=0 的两个实根为 x 1 ， x 2 ，且0<x 1<1<x 2 ，则 b a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2分）设 a >0 ， b >0. 若3是 3a 与 3b 的等比中项，则1a +1b的最小值为 ( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．9．（2分）若关于x 的不等式 x 2−4x −2−a ≥0 在区间 [1,4] 内有解，则实数a 的取值范围是 ()A ．B ．C ．D ．10．（2分）设 x,y 满足约束条件 {x +y −3≥0x −y +1≥0x ≤3 ，则 z =2x +y 的最小值与最大值的和为（ ） A ．7B ．8C ．13D ．1411．（2分）若正实数 a,b 满足1a +2b =√ab，则 ab 的最小值为( )A ．B ．C ．D ．12．（2分）已知m ，n ∈ R ，且m ﹣2n+6=0，则 2m+14n 的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D ．3二、填空题(共7题；共13分)13．（1分）设变量 x,y 满足约束条件 {y ≥xx +2y −2≤0x +2≥0 ，则 z =|x −3y| 的最大值是 .14．（1分）已知 {2x −y +2≥0x +y −2≤0y −1≥0，则函数 z =3x −y 的取值范围是 ．15．（1分）设任意实数 a >b >c >0 ，要使 log a b2018+4log b c2018≥m ⋅log c a2018 恒成立，则 m 的最小值为 ．16．（2分）已知 x >0,y >0 ，且 x +2y =4 ，则 xy 的最大值是 ， 1x +2y 的最小值是 .17．（1分）已知变量 x,y 满足约束条件 {x +y ≤6,x −3y ≤−2,x ≥1,,若目标函数 z =ax +by(a >0,b >0)的最小值为2，则 1a +3b的最小值为 ．18．（2分）已知 x,y ∈R ，且 4x 2+y 2+xy =1 ，则 4x 2+y 2 的最小值 ，此时 x 的值为 .19．（5分）已知实数x,y满足约束条件{x−y≤0 x+y≥0x+2y−2≤0，则z=2x−y的取值范围是；三、解答题(共3题；共25分)20．（10分）已知函数f(x)=|x−5|+|x+4|（1）（5分）求不等式f(x)≥12的解集；（2）（5分）若f(x)−21−3a−1≥0对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围. 21．（10分）已知关于x的不等式x2+2x+1−a2≤0．（1）（5分）若a=2时，求不等式的解集；（2）（5分）当a为常数时，求不等式的解集．22．（5分）已知关于x的不等式ax2−3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}．(Ⅰ )求a，b的值；(Ⅱ )当x>0，y>0且满足ax+by=1时，有2x+y≥k2+k+2恒成立，求k的取值范围．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】作可行域如图，A(3,2)，则yx≤k OA=23∴z=lnx−lny=lnxy≥ln32，故答案为：A.【分析】本题利用二元一次不等式组画出可行域，再利用线性规划问题的解决方法求出目标函数的最小值。

2019-2020学年高考数学二轮专题复习 不等式及线性规划教案 文【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题．1． 四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx ＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形⇒>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； ②变形⇒≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.(3)简单指数不等式的解法①当a>1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)； ②当0<a<1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)． (4)简单对数不等式的解法①当a>1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0； ②当0<a<1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)<g(x)且f(x)>0，g(x)>0. 2． 五个重要不等式 (1)|a|≥0，a2≥0(a ∈R)． (2)a2＋b2≥2ab(a 、b ∈R)． (3)a ＋b 2≥ab(a>0，b>0)．(4)ab≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)．(5)a2＋b22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a>0，b>0)． 3． 二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4． 两个常用结论(1)ax2＋bx ＋c>0(a≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，Δ<0.(2)ax2＋bx ＋c<0(a≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0.考点一 一元二次不等式的解法 例1 (2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 答案 9解析 由题意知f(x)＝x2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a24. ∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b －a24＝0，即b ＝a24.∴f(x)＝⎝⎛⎭⎫x ＋a22. 又∵f(x)<c.∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c<x<－a2＋ c.∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．(1)已知关于x 的一元二次不等式ax2＋2x ＋b>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x≠－1a ，则a2＋b2＋7a －b(其中a>b)的最小值为________．(2)设命题p ：{x|0≤2x －1≤1}，命题q ：{x|x2－(2k ＋1)x ＋k(k ＋1)≤0}，若p 是q 的充 分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (1)6 (2)⎣⎡⎦⎤0，12 解析 (1)由题意知a>0且Δ＝4－4ab ＝0，即ab ＝1，则由a>b 得a －b>0. 故a2＋b2＋7a －b＝－＋2ab ＋7a －b ＝a －b ＋9a －b≥29＝6，当且仅当a －b ＝3时取“＝”． (2)p ：{x|12≤x≤1}，q ：{x|k≤x≤k ＋1}，由p ⇒q 且qD ⇒/p ，则⎩⎪⎨⎪⎧ k≤121<k ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧k<121≤k ＋1，∴0≤k≤12，即k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 考点二 利用基本不等式求最值问题例2 (1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)设x ，y 为实数，若4x2＋y2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 答案 (1)5 (2)2105解析 (1)∵x>0，y>0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y)⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5.(2)方法一 ∵4x2＋y2＋xy ＝1，∴(2x ＋y)2－3xy ＝1，即(2x ＋y)2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y)2－32·⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y)2≤85，即2x ＋y≤2105. 等号当且仅当2x ＝y>0，即x ＝1010，y ＝105时成立． 方法二 令t ＝2x ＋y ，则y ＝t －2x ，代入4x2＋y2＋xy ＝1，得6x2－3tx ＋t2－1＝0，由于x 是实数， 故Δ＝9t2－24(t2－1)≥0，解得t2≤85，即－2105≤t≤2105，即t 的最大值也就是2x ＋y 的最大值，为2105.方法三 化已知4x2＋y2＋xy ＝1为⎝⎛⎭⎫2x ＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫154y 2＝1，令2x ＋14y ＝cos α，154y ＝sin α，则34y ＝155sin α，则2x ＋y ＝2x ＋14y ＋34y ＝cos α＋155sin α＝2105sin(α＋φ)≤2105.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．(1)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．答案 32解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a)＋2x －a＋2a ≥2－2x －a＋2a ＝4＋2a ， 由题意可知4＋2a≥7，得a≥32，即实数a 的最小值为32.(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为________．答案 1解析 由已知得z ＝x2－3xy ＋4y2(*)则xy z ＝xy x2－3xy ＋4y2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1， 所以当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1.考点三 简单的线性规划问题 例3 (2013·湖北改编)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为________元． 答案 36 800解析 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元 则z ＝1 600x ＋2 400y x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤21y －x≤736x ＋60y≥900，x ，y≥0，x、y ∈N画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A(5,12)时纵截距最小，∴zmin ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元．(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．(1)(2013·山东改编)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为________． (2)(2013·北京改编)设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m 的取值范围是________．答案 (1)－13(2)⎝⎛⎭⎫－∞，－23解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A(3，－1)．此时线OM 的斜率最小，且为－13.(2)当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m<0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m)在直线y ＝12x －1的下方即可，即m<－12m －1，解得m<－23.1． 三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 2． 基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创设基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可．3．主要看不等号与B 的符号是否相向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫B 的值判断法．解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．1． 若实数x 、y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是________． 答案 (2,4]解析 依题意得，(2x ＋2y)2－2×2x×2y ＝2(2x ＋2y)， 则t2－2t ＝2×2x×2y≤2×(2x ＋2y 2)2＝t22； 即t22－2t≤0，解得0≤t≤4； 又t2－2t ＝2×2x×2y>0，且t>0， 因此有t>2，故2<t≤4.2． 已知点A(2，－2)，点P(x ，y)在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ＋1≥0，2x －y －1≤0所表示的平面区域内，则OP →在OA →方向上投影的取值范围是________． 答案 [－22，22] 解析 不等式组表示的平面区域，如图所示：由向量投影的几何意义知，当点P 与点D 重合时投影最大，当点P 与点B 或点C 重合时投影最小．又C(－1,0)，D(0，－1)， ∴OC →＝(－1,0)，OD →＝(0，－1)， ∴OD →在OA →方向上的投影为OD →·OA →|OA →|＝22，OC →在OA →方向上的投影为OC →·OA →|OA →|＝－22，故OP →在OA →方向上投影的取值范围是[－22，22]．(推荐时间：60分钟)一、填空题 1． (2012·福建改编)下列不等式一定成立的是________．(填序号) ①lg ⎝⎛⎭⎫x2＋14≥lg x(x>0)； ②sin x ＋1sin x≥2(x≠kπ，k ∈Z)； ③x2＋1≥2|x|(x ∈R)； ④1x2＋1>1(x ∈R)． 答案 ①③解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy(当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件． 当x>0时，x2＋14≥2·x·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x2＋14≥lg x(x>0)，故①正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x≠kπ，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故②不正确； 由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x2＋1＝1，故④不正确．2． 设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ①c a >cb；②ac<bc ；③logb(a －c)>loga(b －c)． 其中所有的正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 由不等式的基本性质可知①对； 幂函数y ＝xc(c<0)在(0，＋∞)上单调递减， 又a>b>1，所以②对；由对数函数的单调性可得logb(a －c)>logb(b －c)， 又由对数的换底公式可知logb(b －c)>loga(b －c)， 所以logb(a －c)>loga(b －c)，故选项①②③正确．3． 设A ＝{x|x2－2x －3>0}，B ＝{x|x2＋ax ＋b≤0}，若A ∪B ＝R ，A∩B ＝(3,4]，则a ＋b ＝________. 答案 －7解析 依题意，A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 又因为A ∪B ＝R ，A∩B ＝(3,4]，则B ＝[－1,4]． 所以a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，于是a ＋b ＝－7.4． 已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．答案 [6，＋∞)解析 由p 得：0<x≤1，若p 是q 的充分条件， 则有对∀x ∈(0,1]，4x ＋2x －m≤0恒成立， 即m≥4x ＋2x 恒成立，只需m≥(4x ＋2x)max ，而(4x ＋2x)max ＝6，∴m≥6.5． 函数y ＝a1－x (a>0，a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn>0)上，则1m ＋1n的最小值为________． 答案 4解析 定点A(1,1)，又A 在mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n ＝1.∴1m ＋1n ＝(m ＋n)⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋m n≥4.当且仅当m ＝n ＝12时取等号．6． 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． 答案 4解析 过原点的直线与f(x)＝2x 交于P 、Q 两点，则直线的斜率k>0，设直线方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ 2k ，y ＝2k 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2k ，y ＝－2k ，∴P(2k，2k)，Q(－2k ，－2k)或P(－2k ，－2k)，Q( 2k，2k)．∴PQ ＝2k＋2k＋2k ＋2k＝2 2k ＋1k≥4. 7． (2013·课标全国Ⅱ改编)已知a>0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤3，－，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________. 答案 12解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴zmin ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.8． 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，y －1≤0，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 如图所示，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线y －ax ＝0，要使目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到 最大值(即直线z ＝y －ax 仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时， 在y 轴上的截距达到最大)， 结合图形可知a>12.9． 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y)有无数个，则a 的值为________．答案 1解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域， 如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y)有无数个， 则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1. 10．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k<12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M(4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k<0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M(4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2. 二、解答题11．求解关于x 的不等式ax2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)当a ＝0时，原不等式变为－x ＋1<0，此时不等式的解集为{x|x>1}． (2)当a≠0时，原不等式可化为a(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a <0. 若a<0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1a >0， 又因为1a<1，所以此时不等式的解集为{x|x>1或x<1a }．若a>0，则上式即为(x －1)⎝⎛⎫x －1a <0. ①当1a<1，即a>1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1a <x<1；②当1a ＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为∅；③当1a >1，即0<a<1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1<x<1a .综上所述，当a<0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<1a 或x>1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1<x<1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1a <x<1.12．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p ＝k 3x ＋5(0≤x≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f(x)为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f(x)的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值．解 (1)根据题意得100＝k 3×1＋5，所以k ＝800， 故f(x)＝8003x ＋5＋5＋6x,0≤x≤8. (2)因为f(x)＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5， 当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)即x ＝5时f(x)min ＝75. 所以宿舍应建在离厂5 km 处，可使总费用f(x)最小，最小为75万元．13．已知函数f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x ＋1在x ＝x1处取得极大值，在x ＝x2处取得极小值，且0<x1<1<x2<2.(1)证明：a>0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围．(1)证明 求函数f(x)的导数f′(x)＝ax2－2bx ＋2－b.由函数f(x)在x ＝x1处取得极大值，在x ＝x2处取得极小值，知x1、x2是f′(x)＝0的两个根，所以f′(x)＝a(x －x1)(x －x2)．当x<x1时，f(x)为增函数，f′(x)>0，由x －x1<0，x －x2<0得a>0.(2)解 在题设下，0<x1<1<x2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ ，，， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b>0，a －2b ＋2－b<0，4a －4b ＋2－b>0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b>0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为：A ⎝⎛⎭⎫47，67，B(2,2)，C(4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8. 所以z 的取值范围为(167，8)．。

第 2 讲不等式与线性规划x－ y＋ 1≥0，1.(2016 课·标全国丙 )若 x，y 知足拘束条件x－ 2y≤0，则z＝x＋y的最大值为________. x＋ 2y－ 2≤0，3答案2x－ y＋ 1≥0，1分析知足拘束条件x－2y≤0，的可行域为以A(－2，－1)，B(0,1)，C 1，2为极点的x＋ 2y － 2≤013三角形内部及界限，如图，过 C 1，2时获得最大值2.2.(2016 浙·江改编 )已知实数 a， b， c，以下判断正确的选项是 ________.①若 |a2＋ b＋ c|＋ |a＋ b2＋ c| ≤1，则 a2＋ b2＋ c2＜ 100；②若 |a2＋ b＋ c|＋ |a2＋b－ c| ≤1，则 a2＋ b2＋ c2＜ 100；③若 |a＋ b＋c2|＋ |a＋ b－ c2| ≤1，则 a2＋ b2＋ c2＜ 100；④若 |a2＋ b＋ c|＋ |a＋ b2－ c| ≤1，则 a2＋ b2＋ c2＜ 100.答案④分析①中，设a＝b＝ 10，c＝－ 110，则 |a2＋ b＋ c|＋ |a＋b2＋c|＝ 0≤1， a2＋b2＋c2>100.②中，设a＝ 10， b＝－ 100， c＝ 0，则|a2＋ b＋ c|＋ |a2＋ b－ c|＝0≤1， a2＋ b2＋ c2>100.③中，设a＝ 100，b＝－ 100， c＝ 0，则|a＋ b＋ c2|＋ |a＋ b－c2 |＝0≤1， a2＋ b2＋ c2>100.∴④对 .3.(2016 上·海 )设 x∈R，则不等式 |x－ 3|<1 的解集为 ________.答案(2,4)分析－ 1<x－ 3<1 ，即 2<x<4，故解集为 (2,4).ax＋ y＝ 1，无解，则 a＋ b 的取值范围是4.(2016 上·海 )设 a>0，b>0，若对于 x，y 的方程组x＋ by＝ 1________.答案(2，＋∞)分析由已知得， ab＝ 1，且 a≠b，∴ a＋ b>2ab＝ 2.1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热门；二次不等式常与函数、数列联合考察一元二次不等式的解法和参数的取值范围；2.一元3.利用不等式解决本质问题.热门一不等式的解法1.一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋ bx＋ c>0( a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝0(a≠0)的根，最后依据相应二次函数图象与x 轴的地点关系，确立一元二次不等式的解集.2.简单分式不等式的解法f(x)(1) g(x)>0(<0) ? f( x)g(x)>0(<0) ；f(x)(2) g(x)≥ 0( ≤?0)f(x)g(x) ≥ 0( ≤且0)g(x) ≠ 0.3.指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单一性求解.例 1(1) 已知函数 f(x)＝ x2＋ ax＋b( a，b∈R)的值域为 [0，＋∞)，若对于 x 的不等式 f(x)< c 的解集为 (m， m＋ 6)，则实数 c 的值为 __________.(2) 已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为x|x<－1或x>1，则 f(10 x)>0 的解集为 __________.2答案(1)9(2){ x|x<－ lg 2}22a2分析(1)由值域为 [0，＋∞)，可知当 x＋ ax＋ b＝ 0 时有＝ a － 4b＝ 0，即 b＝4，22a2 a 2∴ f(x)＝ x ＋ ax＋b＝ x ＋ ax＋＝x＋2 .4a2∴f(x)＝ x＋2 <c，解得－a a a c<x＋ <c，－ c－ <x<c－ .222∵不等式 f(x)<c 的解集为 (m， m＋ 6)，a a∴c－2－ (－c－2)＝ 2c＝ 6，解得 c＝ 9.(2) 由已知条件 0<10x<1，2解得 x<lg12＝－ lg 2.思想升华(1)对于和函数相关的不等式，可先利用函数的单一性进行转变；(2)求解一元二次不等式的步骤： 第一步， 二次项系数化为正数； 第二步， 解对应的一元二次方程； 第三步，如有两个不相等的实根， 则利用 “大于在两边， 小于夹中间 ”得不等式的解集； (3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类议论.追踪操练 1(1)对于 x 的不等式 x 2－ 2ax － 8a 2<0(a>0) 的解集为 (x 1 ，x 2)，且 x 2－ x 1＝ 15，则 a＝ ________.(2) 不等式 2 x2－x ＜ 4 的解集为 ________.答案(1)5(2)(－ 1,2)2分析(1)由 x 2－ 2ax － 8a 2<0，得 (x ＋2a)( x － 4a)<0，因为 a>0 ，所以不等式的解集为 (－ 2a,4a)，即 x 2＝ 4a ， x 1＝－ 2a ，由 x 2 － x 1＝ 15，得 4a －(－52a)＝ 15，解得 a ＝ .2(2) ∵ 2 x 2－ x＜ 4＝22，∴ x 2－ x ＜ 2，即 x 2－ x － 2＜ 0，解得－ 1<x<2.热门二基本不等式的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法例是： (1)假如 x>0 ， y>0， xy ＝ p(定值 )，当 x＝ y 时， x ＋y 有最小值 2 p(简记为： 积定，和有最小值 )；(2)假如 x>0 ，y>0，x ＋ y ＝ s(定值 )， 当 x ＝ y 时， xy 有最大值124s (简记为：和定，积有最大值 ).例 2(1) 已知 ab ＝ 1， a ，b ∈ (0,1)，则 1 ＋ 2的最小值为 ________.41－ a 1－ b1 1(2) 设实数 m ， n 知足 m>0， n<0，且 m ＋n ＝ 1，则 4m ＋n 有最 ________值，为 ________.答案 (1)4＋ 43 2 (2)大1分析(1)1＋2＝ 1 ＋21－ a1－ b1－ a11－4a＝2＋(4＋24－ 4a 4a － 1)＝2＋( 4 ＋2 [(4－ 4a)＋ (4a － 1)] 4a － 1)34－ 4a1 4(4a － 1) 2(4－ 4a)＝2＋2＋ (＋)3 4－4a4a － 114(4a － 1) 2(4－4a) ＝4＋ 4 2，≥4＋ 3×2 4－ 4a ·4a －1 3当且仅当 4(4a － 1)＝ 2(4－ 4a)时取等号 .4－ 4a 4a － 11 ＋1＝ 1，(2) 因为 m n1 ＋ 1 4m n所以 4m ＋ n ＝ (4m ＋ n)n ＝5＋ n ＋ m ，m又 m>0， n<0 ，所以－4m － n4m ＋ nnm ≥4，当且仅当 n ＝－ 2m 时取等号，故 5＋ n m ≤5－ 4＝ 1，当且仅当 m ＝12， n ＝－ 1 时取等号 .思想升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “拆、拼、凑 ”等技巧，使其知足基本不等式中 “正 ”(即条件要求字母为正数 )、 “定 ”(不等式的另一边一定为定值 )、“等 ”(等号获得的条件 )的条件才能应用，不然会出现错误.追踪操练2(1)若正数a ，b 知足a ＋b ＝ 1，则 a ＋ b 的最大值为a ＋ 1b ＋ 1________.(2) 若圆 (x －2)2＋( y －2) 2＝9 上存在两点对于直线ax ＋ by －2＝ 0(a>0，b>0) 对称，则1＋ 9的最a b小值为________.答案(1)23(2)16分析 (1)∵正数 a ， b 知足 a ＋ b ＝1，∴a ＋b ＝ a(b ＋ 1)＋b(a ＋ 1)＝ 2ab ＋a ＋ ba ＋ 1b ＋ 1(a ＋ 1)(b ＋1)ab ＋ a ＋b ＋ 1＝ 2ab ＋ 1＝2(ab ＋ 2)－ 3＝2－ 3ab ＋ 2 ab ＋ 2 ab ＋ 2 ≤2－3＝ 2－ 3 ＝ 2，a ＋b2＋ 2 1＋ 2 3 2 4当且仅当 a ＝ b ＝ 12时取等号，∴ a ＋ b 的最大值为 2. a ＋ 1 b ＋ 13(2) 圆 (x － 2)2＋ (y － 2)2＝ 9 的圆心坐标为 (2,2)，由已知得直线 ax ＋ by － 2＝ 0 必经过圆心 (2,2)，即 a ＋b ＝ 1.1 9 1 9 b 9a ≥ 10＋2 b 9a＝ 16(当且仅当 b ＝ 9a，即 13时 所以 ＋ ＝( ＋ )( a ＋ b)＝ 10＋ ＋· a b a ＝ ， b ＝ a b a b a b a b 4 4等号建立 )，所以1a ＋9b 的最小值为16.热门三简单的线性规划问题解决线性规划问题第一要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形联合找到目标函数达到最值时可行域的极点 ( 或界限上的点 )，但要注意作图必定要正确，整点问题要考证解决 .xy ≥ － 2，例 3(1) 已知实数 x ，y 知足拘束条件3则 z ＝ x ＋ 2y 的最大值与最小值之y ≤2x ＋4，2x ＋ 3y － 12≤0，和为 ________.y ≤2，y ≥x － 2，且目标函数 z ＝－ kx ＋ y 当且仅当x ＝ 3，(2) 若变量 x ， y 知足拘束条件时15，y ＝ 1y ≥－2x ＋ 2获得最小值，则实数 k 的取值范围是 ________.答案(1)－ 2 (2) －1， 1218 16分析 (1)依据 x ，y 的拘束条件画出可行域， 如图暗影部分所示， 此中 A －5，－ 5 ，B(6,0) ，C(0,4).1 z18－16由 z ＝ x ＋ 2y 可知，当直线 y ＝－ 2x ＋ 2过点 A 时， z 取最小值，即 z min ＝－ 5 ＋2× 5 ＝－10；当直线 y ＝－ 1x ＋z过点 C 时， z 取最大值，即 z max ＝ 0＋ 2×4＝8，∴ z min ＋ z max ＝－ 2.22(2) 由题意知不等式组所表示的可行域为如下图的 △ABC 及其内部，此中 A(3,1) ， B(4,2) ，C(1,2). 将目标函数变形得y ＝ kx ＋ z ，当 z 获得最小值时， 直线的纵截距最小 .因为直线当且仅当经过点 (3,1)时纵截距最小，联合动直线y ＝ kx ＋ z 绕定点 A 旋转进行剖析，知－12<k<1，故所务实数 k 的取值范围是－ 1，1 .2思想升华(1) 线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求地区面积；三是确立目标函数中的字母系数的取值范围.(2)一般状况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或界限上获得.x≥0，追踪操练 3 (1)已知实数x， y 知足y≥0，则z＝4x＋y的取值范围是__________.x＋ y≤2，x＋ y≤1，(2)已知变量 x， y 知足拘束条件 x－ y≤1，若 x＋ 2y≥－ 5 恒建立，则实数 a 的取值范围为x≥a，__________.答案(1)[0,8] (2)[ －1,1]分析(1)作出不等式组所表示的平面地区，如图暗影部分所示，由图知当目标函数z＝ 4x＋ y 经过点B(2,0)时 z 获得最大值，最大值为4×2＋ 0＝8；当目标函数z＝ 4x＋ y 经过点 O(0,0)时 z 获得最小值，最小值为4×0＋ 0＝0，所以 z＝4x＋ y 的取值范围是[0,8].(2)由题意作出不等式组所表示的平面地区，如图中暗影部分所示，则 x＋ 2y≥－ 5 恒建立可转变为图中的暗影部分在直线x＋ 2y＝－ 5 的上方，x － y ＝1，由x ＋ 2y ＝－ 5，x ＝－ 1， 得y ＝－ 2，x － y ＝1，x ＝ 1， 由得x ＋ y ＝ 1，y ＝ 0，则实数 a 的取值范围为 [－ 1,1].1.若点 A( a ， b)在第一象限，且在直线 x ＋ 2y ＝ 1 上，则 ab 的最大值为 ________.押题依照基本不等式在历年高考取的地位都很重要， 已成为高考的要点和热门，用基本不等式求函数 (和式或积式 ) 的最值问题，有时与分析几何、数列等知知趣联合.答案 18分析因为点 A(a ， b)在第一象限，且在直线x ＋ 2y ＝1 上，所以 a>0， b>0，且 a ＋2b ＝ 1，1 1 a ＋ 2b2 1 ，所以 ab ＝·a ·2b ≤ ·(2 ) ＝228当且仅当 a ＝ 2b ＝1，即 a ＝1， b ＝1时， “＝ ”建立 .22 42.在 R 上定义运算：a b x － 1 a － 2 ≥1对随意实数 x 恒建立，则c d＝ ad － bc ，若不等式xa ＋ 1实数 a 的最大值为 ________.押题依照不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考取是必考内容.常常与函数的单一性相联合，最后转变成一元一次不等式或一元二次不等式 .答案32x － 1 a － 2分析 由定义知，不等式a ＋1x ≥1等价于 x 2－ x － (a 2－ a － 2) ≥1，∴ x 2－ x ＋ 1≥a 2－a 对随意实数 x 恒建立，21 23 3∵ x － x ＋ 1＝ (x － )＋≥ ，2 4 4 23 1 3∴ a － a ≤ ，解得－≤a ≤ ，42 2则实数 a 的最大值为 32.x － 2y ＋4≥0，3x － y － 3≤0，3.已知实数 x ， y 知足1 则 z ＝ x ＋2y 的最小值为 ________.x ≥ ，2y ≥1，押题依照线性规划的本质是数形联合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热门.5 答案2分析由题意可得不等式组所表示的可行域为如图中暗影部分所示的四边形ABCD 及其内部 .因为目标函数 z ＝ x ＋ 2y 可化为 y ＝－ x ＋ z ，其表示过可行域上的点 ( x ， y)，斜率为－ 1且在 y2 2 2轴上的截距为z1 ，1)时， z1 5 2的直线 .由图可知，当 z ＝ x ＋2y 过点 D(获得最小值 z min ＝ ＋2＝ .2224.若不等式 x 2＋ 2x<a ＋16b对随意 a ， b ∈ (0，＋ ∞)恒建立，则实数x 的取值范围是 ________.ba押题依照 “恒建立 ”问题是函数和不等式交汇处的重要题型， 可综合考察不等式的性质， 函数的值域等知识，是高考的热门. 答案(－ 4,2)2a 16b2a 16b 分析不等式 x ＋ 2x<b ＋ a 对随意 a ，b ∈ (0，＋ ∞)恒建立， 等价于不等式 x ＋ 2x<b ＋ amin .a 16b a 16ba 16b 因为对随意 a ， b ∈(0，＋ ∞)，b ＋ a ≥2 b ·a ＝ 8(当且仅当b ＝a ，即 a ＝ 4b 时取等号 )，所以 x 2＋ 2x<8，解得－ 4<x<2.A 组 专题通关1＋ a 21.若 log 2a 1＋ a <0 ，则 a 的取值范围是 ________.答案(1， 1)2分析11＋ a 2当 2a>1 ? a> 时，若 log 2a1＋a <0，21＋a 2则 0< 1＋ a <1? 0<a<1，∴12<a<1.当 1>2a>0? 0< a<12时，22若 log 2 a1＋a<0，则1＋ a>1? a>1，1＋ a 1＋ a此时无解 .2.(教材改编 )函数 y ＝ 1＋ 2x ＋ a ·4x 在 x ∈ (－∞，1]上 y>0 恒建立，则 a 的取值范围是 _________.答案(－ 3，＋ ∞)4分析由题意得 1 1111 12＋a>[ － ( x＋ xx，＋ ∞)，所以－ ( xx)＝－ (t4 2 )] max (x ≤ 1)，令 t ＝ 2 ，则 t ∈ [ 2 4 ＋2 t) ≤－3，进而 a>－ 3.44x ＋y ≤1，3.若实数 x ， y 知足拘束条件3x － y ≥0， 则 |3x －4y － 10|的最大值为 ________.y ≥0，答案494x ＋y ≤1，1， 3分析3x － y ≥0， 表示一个三角形 ABC 及其内部，此中 A(1,0)， B(0,0)，C( )，且可y ≥04 4行域在直线 3x － 4y －10＝ 0 上方，所以 |3x － 4y － 10|＝－ 3x ＋ 4y ＋ 10，过点 C(1，3)时取最大4 4值，为494.2 y 2 24.设 x ≥ 0,y ≥0， x ＋ ＝ 1，则 x1＋ y 的最大值为 ____________.2答案3 242y 2分析方法一∵ x ≥0,y ≥0,x ＋2＝1，2 222 1＋ y 2∴ x 1＋ y ＝ x (1＋ y ) ＝ 2x2x2＋ 1＋ y 2x2＋ y2＋ 13 222 22≤ 2 2＝ 2 ＝ 4 .当且仅当x ＝3 2 2 1＋ y 22获得最大值 3 2， y ＝2(即 x ＝2 )时， x1＋ y4.2方法二令 x ＝ cos θ，π(0 ≤θ≤ )，y ＝ 2sin θ2则 x 1＋y 2＝ cos θ 1＋ 2sin 2θ＝22 12cosθ(1＋ 2sin θ) ·2≤1 2cos 2θ＋ (1＋ 2sin 2θ) 2＝ 3 2 ， 2·[2] 4当 2cos 2θ＝ 1＋2sin 2θ，π 3 2 23 2即 θ＝ 时， x ＝， y ＝2时， x 1＋ y 获得最大值4.62x ≥1， 则 2y － 1的最大值为 ________. 5.已知实数 x ， y 知足拘束条件x ＋ y ≤5，x － y ≤－ 2， 2x ＋ 3答案751分析可行域为一个三角形ABC 及其内部， 此中 A(1,4)，B(1,3) ，C(3，7 )，而 2y － 1＝ y －2表2 2 2x ＋ 33x ＋24－ 1 示可行域内的点312 7.P( x ， y)到点 E(－， )连线的斜率，所以其最大值为k EA ＝ ＝22351＋ 26.若实数 x ， y 知足22＝ 1，则x － 2y2x ＋ xy － y2 2的最大值为 ________.5x － 2xy ＋ 2y答案24分析由题意得 (2x － y)(x ＋ y)＝ 1，令 2x － y ＝ t ， x ＋y ＝ 1， t1 1 1 2)，则 x ＝ (t ＋ )， y ＝ (－ t ＋ t 3 t 31 x － 2yt － t 所以 5x 2－ 2xy ＋2y 2＝ 1t 2＋ 2t＝ m|m| ≤ |m| ＝ 22 ≤ 2 ，m ＋ 2 m ＋ 2 2 2|m|4 1此中 m ＝ t － ，当且仅当 |m|＝2时取等号，x － 2y2 故 5x 2－2xy ＋ 2y2的最大值为4.7.要制作一个容积为4 m 3，高为 1 m 的无盖长方体容器 .已知该容器的底面造价是每平方米20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是________元.答案 160分析由题意知，体积 V ＝ 4 m 3，高 h ＝ 1 m ，所以底面积 S ＝ 4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是 y元，则 y ＝20×4＋ 10× 2x ＋8≥ 80＋ 2088时获得等号 .x 2x ·＝ 160，当且仅当2x ＝ ，即 x ＝2xx8.已知 x>0， y>0，若2y ＋ 8x>m 2 ＋2m 恒建立，则实数 m 的取值范围是 ________.xy答案 (－ 4,2)分析由题意可得m 2＋ 2m 应小于2y＋8x的最小值，所以由基本不等式可得2y ＋ 8x≥ 2xyxy2y 8x · ＝8，x y所以 m 2＋2m<8? － 4<m<2.9.设 0<a<1，会合 A ＝ { x ∈R|x>0} ，B ＝ { x ∈ R|2x 2 －3(1＋ a)x ＋ 6a>0} ，D ＝ A ∩B ，求会合 D.(用区间表示 )解令 g(x)＝ 2x 2－ 3(1＋a)x ＋ 6a ，其对称轴方程为x ＝34(1＋ a)，＝ 9(1＋ a)2－48a ＝ 9a 2－30a ＋ 9＝3(3 a － 1)(a － 3).13①当 0<a ≤ 时， Δ≥0， x ＝ (1＋ a)>0 ，g(0) ＝6a>0，3 4方程 g(x)＝ 0 的两个根分别为20<x 1＝ 3a ＋ 3－ 9a － 30a ＋ 9<3a ＋ 3＋ 9a 2－ 30a ＋ 9x 2＝，43a ＋ 3－ 9a 2－ 30a ＋ 9∴ D ＝A ∩B ＝ 0，∪43a ＋ 3＋ 9a 2－ 30a ＋ 94，＋∞；1②当3<a<1 时，<0，则 g(x)>0 恒建立，所以 D＝ A∩B＝(0，＋∞).1综上所述，当0< a≤时，3D＝0， 3a＋ 3－9a2－ 30a＋ 9 ∪423a＋ 3＋9a － 30a＋ 9，＋∞；1当3<a<1 时， D＝ (0，＋∞ ).10.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130 千米 (按交通法例限制50≤x≤ 100)(单位：千2x米 / 小时 ).假定汽油的价钱是每升 2 元，而汽车每小时耗油(2＋360)升，司机的薪资是每小时14元 .(1) 求此次行车总花费y 对于 x 的表达式；(2) 当 x 为什么值时，此次行车的总花费最低，并求出最低花费的值.解(1)行车所用时间为t＝ 130x (h) ，2130， x∈ [50,100].130xy＝x×2×(2＋360)＋ 14×x所以，此次行车总花费y 对于 x 的表达式是2 340＋ 13y＝x18x， x∈ [50,100].2 34013 2 34013(2) y＝x＋18x≥ 26 10，当且仅当x ＝18x，即 x＝ 18 10时，上述不等式中等号建立 .故当 x＝ 1810时，此次行车的总花费最低，最低花费为2610元 .B 组能力提升11.(2015 陕·西改编 )设 f(x)＝ ln x,0＜ a＜b，若 p＝f( ab)，q＝ f a＋ b，r＝1(f(a)＋ f(b)) ，则 p、22 q、 r 的大小关系为 ____________.答案p＝r ＜ q分析∵ 0＜ a＜ b，∴a＋b＞ ab，2又∵ f(x)＝ ln x 在(0 ，＋∞) 上为增函数，故 f a＋b＞ f(ab) ，即 q＞ p.21又 r ＝ 2(f(a)＋ f(b))1＝ 2(ln a ＋ ln b)111＝ 2ln a ＋ 2ln b ＝ ln( ab)2＝ f( ab)＝ p. 故 p ＝ r ＜ q.22x － y12.(2015 山·东 )定义运算 “?”： x?y ＝ xy (x ， y ∈R ， xy ≠ 0)，当 x ＞ 0，y ＞ 0 时， x?y ＋ (2y)?x的最小值为 ________.答案2x 2－ y 2 (2y)2－ x 2 x 2＋ 2y 22 x 2·2y 2分析由题意，得 x?y ＋(2y)?x ＝ xy ＋ 2yx ＝ 2xy ≥2xy ＝ 2，当且仅当 x ＝ 2y 时取等号 .x ≤0，13.设点 P(x ，y)知足条件 y ≥0，→ →点 Q(a ，b)( a ≤0， b ≥0)知足 OP ·OQ ≤1恒建立，此中 Oy ≤2x ＋ 2，是坐标原点，则 Q 点的轨迹所围成图形的面积是 ________.答案12分析→ →∵OP ·OQ ≤1，∴ ax ＋ by ≤1，∵点 P(x ， y)知足条件x ≤0，y ≥0， 的地区，如图暗影部分所示，y ≤2x ＋ 2→ →OP ·OQ ≤1，即 ax ＋ by ≤1，→ →且点 Q(a ， b)知足 OP ·OQ ≤1恒建立，只要点 P(x ， y) 在可行域内的交点处： A(－ 1,0)，B(0,2)， ax ＋ by ≤1建立刻可，－ a≤1，a≥－ 1，∴ 2b≤1，1即 b≤，a≤0， b≥0，2a≤0， b≥0，它表示一个长为 1 宽为1的矩形，其面积为1，故答案为1 222.14.提升过江大桥的车辆通行能力可改良整个城市的交通状况.在一般状况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米 / 小时 )是车流密度 x(单位：辆 /千米 )的函数 .当桥上的车流密度达到200 辆/千米时，造成拥塞，此时车流速度为0 千米 /小时；当车流密度不超出 20辆/ 千米时，车流速度为 60 千米 /小时，研究表示：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数 .(1)当 0≤x≤ 200时，求函数 v(x)的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量 (单位时间内经过桥上某观察点的车辆数，单位：辆/ 小时) f(x)＝ x·v(x)能够达到最大，并求出最大值.(精准到 1 辆/小时 )解 (1)由题意：当 0≤x≤20时， v(x) ＝60；当 20≤x≤200时，设 v(x)＝ ax＋ b，明显 v(x)＝ ax＋200a＋ b＝ 0，b在 [20,200] 上是减函数，由已知得20a＋ b＝ 60，a＝－1 3，解得200b＝3，故函数 v(x)的表达式为60(0≤x<20) ，v(x)＝ 13(200 － x)(20≤x≤ 200).(2)依题意并由 (1) 可得60x(0≤x<20) ，f(x)＝ 1当 0≤x≤20时， f(x)为增函数，故当x＝ 20 时，其最大值3x(200－ x) (20≤x≤ 200)，1 1 x＋ (200－ x) 2＝10 000，当且仅当 x为 60×20＝1 200；当 20≤x≤200时， f(x)＝ x(200 － x) ≤[2]333＝ 200－ x，即 x＝ 100 时，等号建立，所以，当x＝ 100 时， f(x)在区间 [20,200] 上获得最大值10 000.3综上，当 x＝ 100时， f(x)在区间 [0,200] 上获得最大值10 000≈ 3 333，3即当车流密度为100 辆 /千米时，车流量能够达到最大，最大值约 3 333辆/小时 .。

第3讲不等式与线性规划不等式的解法1.设f(x)=则不等式f(x)<2的解集为( B )(A)(,+∞) (B)(-∞,1)∪[2,)(C)(1,2]∪(,+∞) (D)(1,)解析:原不等式等价于或即或解得2≤x<或x<1.故选B.2.(2015山东卷)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,+∞)解析:f(-x)==,由f(-x)=-f(x)得=-,即1-a·2x=-2x+a,化简得a·(1+2x)=1+2x,所以a=1.f(x)=.由f(x)>3,得0<x<1,故选C.3.(2015陕西西安市模拟)关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=12,则实数a的值等于.解析:因为关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),所以x1+x2=2a,x1·x2=-3a2,又x2-x1=12,(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1·x2,所以144=4a2+12a2=16a2,解得a=±3,因为a<0,所以a=-3.答案:-3简单的线性规划问题4.(2015北京卷)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为( D )(A)0 (B)1 (C)(D)2解析:由x,y的约束条件可画出可行域(如图所示),其中A（,）,B(0,1),易知直线x+2y-z=0经过点B(0,1)时,z取最大值2,故选D.5.(2015浙江温州市第二次适应测试)若实数x,y满足不等式组且z=y-2x的最小值等于-2,则实数m的值等于( A )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由z=y-2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为-2, 即y-2x=-2,由解得即A(1,0),点A也在直线x+y+m=0上,则m=-1.故选A.6.(2015贵州遵义市第二次联考)若则目标函数z=的取值范围是( A )(A)[2,5] (B)[1,5] (C)[,2] (D)[2,6]解析:z==1+2,可理解为求斜率的最值问题,画出可行域如图阴影部分,可知k=在(1,2)点处最大,最大为2;在(2,1)点处最小,最小为,所以z的取值范围为[2,5].故选A.7.(2015河南开封市模拟)设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.解析:作出区域D的图象,联系指数函数y=a x的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点.则a的取值范围是1<a≤3.答案:(1,3]基本不等式的应用8.(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1),又点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,所以m+n=1,所以+=(m+n)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当m=n=时取等号.故选B.9.(2015河南郑州市第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为( C )(A)32 (B)32 (C)64 (D)64解析:设该三棱锥的高为h,由三视图知,两式相减并整理得x2+y2=128.又因为xy≤==64(仅当x=y时取等号).10.(2015广东深圳市第一次调研考试)已知向量a=(-1,1),b=(1,)(x>0,y>0),若a⊥b,则x+4y的最小值为.解析:由a⊥b得-1+=0,+=1,(x+4y)·(+)=5++≥2+5=9.（当且仅当=时取等号）答案:9一、选择题1.(2015四川资阳市三模)已知lo a<lo b,则下列不等式一定成立的是( A )(A)（）a<()b(B)>(C)ln(a-b)>0 (D)3a-b<1解析:因为y=lo x是定义域上的减函数,且lo a<lo b,所以a>b>0.又因为y=()x是定义域R上的减函数,所以()a<()b;又因为y=x b在(0,+∞)上是增函数,所以（）b<（）b;所以（）a<（）b,选项A正确.2.(2015湖南卷)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为( A )(A)-7 (B)-1 (C)1 (D)2解析:画出可行域如图所示.当直线y=3x-z过点C(-2,1)时,z取最小值,故z min=3×(-2)-1=-7.故选A.3.(2015广西柳州市、北海市、钦州市1月份模拟)设变量x,y满足约束条件则z=2x×的最小值为( B )(A)(B)(C)(D)解析:可得z=2x-2y,设m=x-2y,不等式组表示的平面区域如图阴影部分,平移直线l:y=x,由图象可知直线l经过点A时,其截距最大,m最小,z最小,解方程组得A(2,2),则z最小=.4.(2015江西南昌市第一次模拟)已知实数x,y满足若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)-解析:作出可行域如图,根据目标函数的几何意义可转化为直线y=-2x+z的截距,可知在N点z取最小值,在M点z取最大值.因为N(m-1,m),M(4-m,m),所以z M-z N=2(4-m)+m-2(m-1)-m=10-4m=2,所以m=2.5.(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考)已知集合{(x,y)|}表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则对应的区域为△AOB.由解得即B(4,-4).由解得即A（,）.直线2x+y-4=0与x轴的交点坐标为(2,0),则△OAB的面积S=×2×+×2×4=.点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=×π×()2=,由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=.故选D.6.(2015陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( D )(A)12万元(B)16万元(C)17万元(D)18万元解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得x,y满足不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.故选D.7.设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( C )(A)q=r<p (B)q=r>p(C)p=r<q (D)p=r>q解析:由题意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,因为0<a<b,所以>, 所以ln >ln ,所以p=r<q.故选C.8.(2015四川南充市第一次高考适应性考试)若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)满足约束条件且最大值为40,则+的最小值为( B )(A)(B)(C)1 (D)4解析:不等式表示的平面区域为如图阴影部分,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线2x-y-6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而+=(+)=+(+)≥+1=.故选B.9.(2014山东卷)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时, a2+b2的最小值为( B )(A)5 (B)4 (C)(D)2解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2.法一将2a+b=2两边分别平方得4a2+b2+4ab=20,而4ab=2×a×2b≤a2+4b2,当且仅当a=2b,即a=,b=时取等号.所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b2≥4,即a2+b2的最小值为4.故选B.法二将2a+b=2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,故其最小值为坐标原点到直线2a+b=2距离的平方,即()2=4.故选B.10.(2015重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m 的值为( B )(A)-3 (B)1 (C)(D)3解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则m>-1.由解得即A(1-m,1+m).由解得即B(-m,+m).因为S△ABC=S△ADC-S△BDC=(2+2m)[(1+m)-(+m)]=(m+1)2=,所以m=1或m=-3(舍去),故选B.11.(2015四川宜宾市二诊)已知集合A={x∈R|x4+mx-2=0},满足a∈A的所有点M(a,)均在直线y=x的同侧,则实数m的取值范围是( A )(A)(-∞,-)∪(,+∞)(B)(-,-1)∪(1,)(C)(-5,-)∪(,6)(D)(-∞,-6)∪(6,+∞)解析:因为集合A={x∈R|x4+mx-2=0},所以方程的根显然x≠0,原方程等价于x3+m=,原方程的实根是曲线y=x3+m与曲线y=的交点的横坐标,而曲线y=x3+m是由曲线y=x3向上或向下平移|m|个单位而得到的,若交点(x i,)(i=1,2)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与y=交点为(-,-),(,);所以结合图象可得或解得m>或m<-.故选A.12.已知函数f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是( A )(A)[,] (B)[0,] (C)[,] (D)[0,]解析:因为f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),且f′(x)=1+cos x≥0,所以函数f(x)为奇函数,且在R上是增函数.所以由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),所以y2-2y+3≤-x2+4x-1,即(x-2)2+(y-1)2≤1,其表示圆(x-2)2+(y-1)2=1及其内部.表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率.结合图形分析可知,直线AC的斜率=最小,切线AB的斜率tan∠BAX=tan 2∠PAX===最大.故选A.二、填空题13.(2015江苏卷)不等式<4的解集为.解析:不等式<4可转化为<22,由指数函数y=2x为增函数知x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为(-1,2).答案:(-1,2)14.(2014新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x 的取值范围是.解析:由题意,得函数f(x)的草图如图所示.因为f(x-1)>0,所以|x-1|<2,所以-2<x-1<2,所以-1<x<3.答案:(-1,3)15.(2015合肥八中段考)若正数a,b满足a+2b=3,且使不等式+-m>0恒成立,则实数m的取值范围是.解析:不等式+-m>0恒成立,即3(+)>3m恒成立.又正数a,b满足a+2b=3,(a+2b)(+)=+++2≥,当且仅当a=b=1时取“=”,所以实数m的取值范围是(-∞,).答案:(-∞,)16.(2015浙江卷)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.解析:因为-3<1,所以f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,所以f(f(-3))=f(1)=1+-3=0.当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3(当且仅当x=时,取“=”),当x<1时,x2+1≥1,所以f(x)=lg(x2+1)≥0,又因为2-3<0,所以f(x)min=2-3.答案:0 2-3。