抽屉

抽屉原理及其应用
抽屉原理（也称鸽笼原理、容斥原理）是离散数学中的一个基本原理，它描述了把若干个物体放入若干个容器中时，如果物体数量多于容器数量，那么至少有一个容器必须放多于一个物体。

抽屉原理可以应用在多个领域，包括：
1. 计算概率：假设有n个鸽巢和m个鸽子，如果将m个鸽子平均放入n个鸽巢中，那么至少有一个鸽巢中会放多于一个鸽子。

2. 计算排列组合：假设将n个物品分成m堆，至少有一堆中包含的物品数量不少于⌈n/m⌉（向上取整）。

3. 求解问题：当问题本身的解法很难找到时，可以利用抽屉原理削减解空间，锁定可能的解，减少求解难度。

4. 数据存储：在计算机程序设计中，抽屉原理可以用来优化数据存储和搜索。

将数据划分多个小区域同时进行搜索，可以减少搜索空间，提高效率。

总之，抽屉原理是一种非常实用的思想工具，可以帮助我们解决各种实际问题。

一．第一抽屉原理原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.原理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。

证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn 个物体,与题设不符，故不可能。

原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。

二．第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。

例1：400人中至少有2个人的生日相同.例2：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.例3: 从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。

例4:从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。

例5：从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。

三．抽屉原理与整除问题整除问题：把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。

(证明：n+1个自然数被n整除余数至少有两个相等（抽屉原理），不妨记为m=a1*n+b n=a2*n+b，则m-n整除n)。

例1 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。

四．经典练习：1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色不相同，则最少要取出多少个球？解析：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于7，故至少取出8个小球才能符合要求。

一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的 问题，因此，也被称为狄利克雷原则•抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以 解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用•许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题， 在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.二、抽屉原理的定义(1) 举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

(2) 定义一般情况下，把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。

我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案(一)、利用公式进行解题苹果十抽屉=商……余数 结论：至少有(商+ 1)个苹果在同一个抽屉里 结论：至少有(商+ 1 )个苹果在同一个抽屉里结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里将复杂的题目变得非常简单， 也就是常说的极限思想 方法、特殊值方法.【例1】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以 从口袋中随意取出 2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一 样•你能说明这是为什么吗？【解析】从三种颜色的球中挑选两个球，可能情况只有下面 6种：红、红；黄、黄；蓝、蓝；红、黄；红、蓝；黄、蓝，我们把6种搭配方式当作6个“抽屉”，把7个小朋友当作7个“苹果”，根据抽屉原理，至少有 两个“苹果”要放进一个“抽屉”中，也就是说，至少有两个人挑选的颜色完全一样.【巩固】11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本•试说明：必有两个学生所借的书的类型相同【解析】 设不同的类型书为A 、E 、C 、D 四种，若学生只借一本书，则不同的类型有A 、E 、C 、D 四种；若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有 AB AC AD BC BD CD 六种.共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果” •如果谁借哪种类型的书， 就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同. 【巩固】 体育用品的仓库里有许多足球、 排球和篮球，有66个同学来仓库拿球， 要求每个人至少拿一个，最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？【解析】以拿球配组的方式为抽屉，每人拿一个或两个球，所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮共 9种情况，即有9个抽屉，则：66十9 = 7沖3 , 7+1=8，即至少有8名同 学所拿球的种类是一样的.第八讲：抽屉原理(二)余数：(1)余数=1,(2) 余数=x 1 YxY ： n-1 , (3) 余数=0,(二)、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论, “任我意”【巩固】幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？【解析】根据题意列下表：有3个小朋友就有三种不同的选择方法，当第四个小朋友准备拿时，不管他怎么选择都可以跟前面三个同学其中的一个选法相同•所以至少要有4个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的.总结：本题是抽屉原理应用的典型例题，作为重点讲解.学生们可能会这么认为：铺垫：2件3种二6件，6件“ 2个二3人，要保证有相同的所以至少要有3 7=4人；对于例题中的题目同样2件4种二8件，8件亠2个二4人，要保证有相同的所以至少要有4 ^5人•因为铺垫是正好配上数了，而例题中的问题在于4种东西任选两种的选择有几种.可以简单跟学生讲一下简单乘法原理的思想，但建议还是运用枚举法列表进行分析，按顺序列表可以做到不遗漏，不重复.【例2】红、蓝两种颜色将一个2 5方格图中的小方格随意涂色(见下图)，每个小方格涂一种颜色. 是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？第第第第第一二三四五列列列列列【解析】用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形:将上面的四种情形看成四个“抽屉”，把五列方格看成五个“苹果”，根据抽屉原理，将五个苹果放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两个苹果，也就是至少有一种情形占据两列方格，即这两列的小方格中涂的颜色完全相同.【例3】从2、4、6、8、…、50这25个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52 ? 【解析】构造抽屉：{2,50} , {4,48} , {6,46} , {8,44},{24,28} , {26}，共13种搭配，即13个抽屉，所以任意取出14个数，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里，这两数和为52，所以应取出14个数.或者从小数入手考虑，2、4、6、…、26，当再取28时，与其中的一个去陪，总能找到一个数使这两个数之和为52 .【巩固】证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.【解析】将10个奇数分为五组(1、19) , (3、17), (5、15) , (7、13) , (9、11)，任取6个必有两个奇数在同一组中，这两个数的和为20.【巩固】从1, 4, 7, 10,…，37, 40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有2个数的和是41.【解析】构造和为41 的抽屉：(1,40) , (4,37) , (7,34), (10,31) , (13,28) , (16,25) , (19,22)，现在取8个【巩固】从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34.【解析】我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉，（2）,（4,30）, （6,28），…，（血佝，凡是抽屉中的有两个数，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34.现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34.【例4】（北京市第^一届“迎春杯”刊赛）从1, 2, 3, 4,…，1994这些自然数中，最多可以取___________ 个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9.【解析】方法一：把1994个数一次每18个分成一组，最后14个数也成一组，共分成111组•即1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18;19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36;1963, 1964,…，1979, 1980;1981, 1982, (1994)每一组中取前9个数，共取出9 111=999 （个）数，这些数中任两个的差都不等于9.因此，最多可以取999个数.方法二：构造公差为9的9个数列（除以9的余数）[1,10,19,28川|,1990?,共计222个数◎ ,11,20,29，山,1991?，共计222 个数012,21,30，山,1992?，共计222个数〈4,13,22,31川|,1993?，共计222个数[5,14,23,32,川,1994?，共计222 个数@,15,24,33,山,1986?，共计221 个数〈7,16,25,34,（11,1987?，共计221 个数〈8,17,26,35,^,1988?，共计221 个数4,18,27,36，川,1989?，共计221 个数每个数列相邻两项的差是9,因此，要使取出的数中，每两个的差不等于9,每个数列中不能取相邻的项•因此，前五个数列只能取出一半，后四个数列最多能取出一半多一个数，所以最多取111 9 =999 个数【巩固】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12.【解析】在这20个自然数中，差是12的有以下8对：{ 20, 8}, {19, 7}, {18, 6} , {17 , 5} , {16 , 4}, {15 , 3},{ 14 , 2},{ 13 , 1}.另外还有4个不能配对的数{ 9},{ 10} {11} { 12},共制成12 个抽屉（每个括号看成一个抽屉）•只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12 ,根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取 1 , 2 , 3,…,12）,那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）.【巩固】（小学数学奥林匹克决赛）从 1 , 2 , 3 , 4,…,1988 , 1989这些自然数中，最多可以取_________ 个数，其中每两个数的差不等于4.【解析】将1〜1989排成四个数列：1, 5 , 9,- -,1985 , 19892 , 6, 10 , …,19863 , 乙11, …,19874 , 8, 12 , …,1988每个数列相邻两项的差是 4 ,因此，要使取出的数中，每两个的差不等于 4 ,每个数列中不能取相邻的项.因此，第一个数列只能取出一半，因为有（1989 -1），4 *1 =498项，所以最多取出249叽例如1 , 9, 17,…，1985.同样，后三个数列每个最多可取249项.因而最多取出249 4 = 996个数，其中每两个的差不等于4.【例5】(2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛)从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出__________________ 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍.【解析】把这12个数分成6个组：第1组: 1, 2 , 4 , 8第2组: 3, 6 , 12第3组: 5, 10第4组: 7第5组: 9第6组：11每组中相邻两数都是2倍关系，不同组中没有2倍关系.选没有2倍关系的数，第1组最多2个(1 , 4或2, 8或1 , 8)，第2组最多2个(3 , 12),第3组只有1 个,第4 , 5, 6组都可以取，一共2 2 1 1 1 ^8个.如果任意取9个数，因为第3, 4, 5, 6组一共5个数中，最多能取4个数，剩下9-4=5个数在2个组中，根据抽屉原理，至少有3个数是同一组的，必有2个数是同组相邻的数，是2倍关系.【巩固】从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数.【解析】把这20个数分成以下10组，看成10个抽屉：(1 , 2, 4, 8, 16) , (3 , 6, 12) , (5 , 10 , 20), (7 ,14) , (9 , 18) , (11) , (13) , (15) , (17) , (19),前5个抽屉中，任意两个数都有倍数关系. 从这10个抽屉中任选11个数，必有一个抽屉中要取2个数，它们只能从前5个抽屉中取出，这两个数就满足题目要求.【巩固】从1 , 3 , 5 , 7 ,…,97 , 99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?【解析】方法一：因为均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是3、5、7等奇数倍.3 X 33: 99 , 于是从35开始，1〜99的奇数中没有一个是35〜99的奇数倍(不包括1倍)，所以选出35 , 37 ,39 ,…,99这些奇数即可•共可选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数.方法二：利用3的若干次幕与质数的乘积对这50个奇数分组.(1 , 3 , 9 , 27 , 81) , (5 , 15 , 45), (7 ,21 , 63) , (11 , 33), (13, 39), (17 , 51) , (19 , 57), (23 , 69) , (25, 75), (29 , 87), (31 , 93) ,(35) , (37) , (41) , (43),…,(97)共33组.前11组，每组内任意两个数都存在倍数关系，所以每组内最多只能选择一个数.即最多可以选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数.评注：1〜2n个自然数中，任意取出n+1个数，则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从2 ,3.……,2n+1中任取n+2个数，必有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从1, 2 , 3.……3n中任取2n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是3倍;从1 , 2 , 3,……,mn中任取(m-1)n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是m倍(m、n为正整数).【巩固】从整数1、2、3、…、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数.【解析】把这200个数分类如下：(1)1, 1 2, 1 22, 1 23,…,1 27,(2) 3 , 3 2, 3 22, 3 23,…,3 26,(3)5, 5 2 , 5 22, 5 23，…，5 25，…(50) 99, 99 2 , (51) 101, (52) 103，…(100) 199,以上共分为100类，即100个抽屉，显然在同一类中的数若不少于两个，那么这类中的任意两个数都有倍数关系•从中任取101个数，根据抽屉原理，一定至少有两个数取自同一类，因此其中一个数是另一个数的倍数.【例6】从1 , 2, 3,……49, 50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？【解析】将1至50这50个数，按除以7的余数分为7类：[0] , [1] , [2] , [3] , [4] , [5]，⑹，所含的数的个数分别为7 , 8 , 7, 7 , 7 , 7 , 7.被7除余1与余6的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；同样的，被7除余2与余5的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；被7除余3与余4的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；两个数都是7的倍数，它们的和也是7的倍数，所以7的倍数中只能取1个.所以最多可以取出8 7 - 7 • 1 =23个【例7】从1 , 2, 3,…，99, 100这100个数中任意选出51个数.证明：(1)在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50; (3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于 1 .【解析】(1)我们将1〜100分成(1 , 2) , (3 , 4) , (5 , 6) , (7, 8)，…，(99 , 100)这50组，每组内的数相邻.而相邻的两个自然数互质. 将这50组数作为50个抽屉，同一个抽屉内的两个数互质. 而现在51个数，放进50个抽屉，则必定有两个数在同一抽屉，于是这两个数互质•问题得证.(2) 我们将1—100 分成(1 , 51) , (2 , 52) , (3 , 53)，…，(40 , 90)，…(50 , 100)这50 组，每组内的数相差50 •将这50组数视为抽屉，则现在有51个数放进50个抽屉内，则必定有2个数在同一抽屉，那么这两个数的差为50.问题得证.(3) 我们将1 —100按2的倍数、3的奇数倍、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有(2 , 4, 6, 8，…，98, 100) , (3 , 9, 15, 21, 27,…，93, 99) , (5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23,…，95 , 97)这三组.第一、二、三组分别有50、17、33个元素.最不利的情况下，51个数中有33个元素在第三组，那么剩下的18个数分到第一、二两组内，那么至少有9个数在同一组•所以这9个数的最大公约数为2或3或它们的倍数，显然大于1.【例8】有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同•现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100,那么你最多能挑选出多少个孩子？【解析】将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下：(1 X 2)、(1 X 3)、(1 X 4)、…、(1 X 49)；(2 X 3)、(2 X 4)、(2 X 5)、…、(2 X 49)；■ ■■ ■■ IB ■ ■ ■■■ B IB ■ ■ IB ■ B IB(8 X 9)、(8 X 10)、(8 X 11)、(8 X 12) ；(9 X 10)、(9 X 11).因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18 X 2=36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数.例如：(10 X 9)、(9 X 11)、(1 X 8)、(8 X 12)、(12 X 7)、(7 X 13)、(13 X 6)、(6 X 14)、(14 X 5)、(5 X15)、(15 X 4)、(4 X 16)、(16 X 3)、(3 X 17)、(17 X 2)、(2 X 18)、(18 X 1)、(1 X 10).共出现I〜18号，共18个孩子.若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对.那么在9组中取出19个数时，有19=9X 2+1，由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次（或三次以上），由分析知，这是不允许的.故最多挑出18个孩子.【例9】要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？【解析】每个盒子不超过5个球，最“坏”的情况是每个盒子的球数尽量不相同，为1、2、3、4、5这5种各不相同的个数，共有：1+2+3+4+515 , 61*15=4川1，最不利的分法是：装1、2、3、4、5个球的各4个，还剩1个球，要使每个盒子不超过5个球，无论放入哪个盒子，都会使至少有5个盒子的球数相同.【例10】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？【解析】需先跟学生介绍奇偶性：奇数•奇数二偶数；奇数•偶数二奇数；偶数•偶数二偶数。

抽屉原理的诀窍
抽屉原理，也称为二分法原理，是一种用于解决问题的算法，它可以帮助你在最短的时间内找到所需的信息或解决问题。

诀窍如下：
1.先确定所要查找的范围，然后将其平分成两个部
分。

2.先查看较小的一部分，看看所要找的信息或解决
的问题是否在这一部分中。

3.如果在，则直接找到答案。

如果不在，则继续在
另一部分中查找。

4.重复这个过程，直到找到答案为止。

抽屉原理的优点在于，它可以让你在最短的时间内找到所需的信息或解决问题，而且它是一种非常简单易用的算法。

希望这能帮到你。

抽屉原理抽屉原理又叫鸽笼原理，是德国数学家狄里克雷首先发现的，所以又叫狄里克雷原理。

这类问题似乎都有“存在”、“必有”、“至少有”这样的字眼。

在解决这类问题时，只要求证明存在，一般并不要求指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。

一、原理抽屉原理(一)：把多于．．n个的物体任意分放进n个空抽屉里（n是非0自然数），那么一定有．．．．了2个物体。

．．．1个抽屉里至少放进抽屉原理(二)：把多于．．k．n个的物体任意分放进n个空抽屉里（k、n都是非0自然数），那么一定有．．．．了（k+1）个．．．1个抽屉里至少放进物体。

抽屉原理（一）是抽屉原理（二）的特殊情况。

二、解决抽屉原理问题的关键：1、确认什么是被投放的“物体”，什么是“抽屉”；2、正确构造“抽屉”——最重要的关键；3、分清问题属于下述三类问题中的哪一类。

三、抽屉原理问题的三种类型和解法（一）已知被投物体的个数和抽屉数，求某一个抽屉里至少可以放进的物体个数。

方法：要把a个物体放进n个空抽屉，如果a÷n＝b……c （c≠0且c﹤n），那么一定有一个抽屉至少可以放进（b．＋．1．）个物体。

而不是（b+c）个物体。

（二）已知被投物体的个数和某一个抽屉里至少可以放进的物体个数，求抽屉数。

方法：（被投物体的个数-1）÷（某一个抽屉里至少可以放进的物体个数－1）＝n……c (c﹤n)，则n就是所求的抽屉数。

（三）已知抽屉数和某一个抽屉里至少可以放进的物体个数，求被投物体的个数。

方法：抽屉数×（某一个抽屉里至少可以放进的物体个数－1）＋1，就是所求的被投物体的个数。

（2011—04—21）。

第43卷湖北师范大学学报(哲学社会科学版)Vol.43第5期Journal of Hubei Normal University(Philosophy and Social Science)No.5,2023“屉”指“抽屉”是怎么来的?孙玉文(北京大学中文系,北京　100000)〔摘　要〕　“抽屉”一词,至晚在南北朝时期已经出现,抽屉的“屉”当时已出现,有“替、屉”等多种写法。

段玉裁注《说文》以为“屟”作“抽屉”讲是“屟”的本义引申而来,“屟”本义指鞋子的木底。

本文先采取排除法,论证“屉”不可能从别的词发展而来;然后从音、义两个方面论证段说可信,并由此探讨了从“枼”得声的其他一些同源词。

文章最后由此探讨了若干理论问题,对当今有的研究率意假定《广韵》异读中的甲读音变成乙读音,不管甲读音跟乙读音的声母、开合、等列、声调等各方面的因素来确定符号的历史同一性,抓住一点,不及其余的做法提出批评,明确指出这种研究跟确定语言符号的历史同一性的要求相距甚远,旨在深化汉语史研究。

〔关键词〕　屉;南北朝;单音词;词源〔中图分类号〕H13 〔文献标志码〕A 〔文章编号〕2096⁃3130(2023)05⁃0084⁃04doi:10.3969/j.issn.2096-3130.2023.05.013 “屉”指抽屉,家喻户晓。

但是这种用法是怎么来的?这是值得追溯的。

“屉”后来还指笼屉,指用竹木等材料制成的用来蒸食物的器具。

后者是从“抽屉”义引申出来的,产生的时期很晚,此时“屉”作“鞋子的木底”讲的意义在汉语口语中已经不太使用了,“笼屉”义不可能由它引申而来。

笼屉作为器物,很早就有,但是古人叫“箅”,《说文》竹部:“箅,所以蔽甑底者也。

从竹,畀声。

”“箅”指笼屉,今天沿用下来了,一般用“箅子”。

因此,要追溯“屉”的“抽屉”和“笼屉”这两个意义的语源,首先要追溯“抽屉”义的来源。

我们先从地下考古资料说起。

根据考古材料,抽屉的产生是时代较晚的事。

抽屉原理、最不利原则知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．知识框架：认识——抽屉原理解决的是存在性问题操作——构造抽屉的方法：从问题出发，相同即为抽屉；从数量出发：少的就是抽屉。

1、袋中取球；2、数的整除演练——抽屉原理的逆向应用代数细想最不利原则最糟的情形+1就能保证完成目标一、对抽屉原理两个版本的认识抽屉原理1：将n+1个物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

原理要点：（1）物品数比抽屉数多1。

只有物品数比抽屉数多时抽屉原理才会成立。

（2）物品是“任意放”到抽屉中。

（3）其中“物品不少于2件”的抽屉是一定存在的，但是不确定是哪一个。

（4）原理的结论是：“至少有一个抽屉中的物品数不少于2件”，也可以这么说，“至少有2件物品在同一个抽屉中”。

原理讲解：只要有一个抽屉中的物品数不少于2件，抽屉原理1 就是成立的。

当我们可以往抽屉中任意放物品时，最不利的情形就是“平均分”，这样所有抽屉中的物品数都不会太多。

n+1个物品平均地放入n个抽屉，每个抽屉放一个，由于物品数比抽屉数多，就会余出一个物品。

最后，余出的这个物品放入某个抽屉，这个抽屉中就有了2个物品。

此外，其它情形，只要有一个抽屉是空的，那么就一定会有另外的抽屉中有2个或2个以上的物品。

每种方法中，都会有一个鸟笼中的鸽子数不少于2。

在有些地方抽屉原理又叫做“鸽笼原理”。

抽屉原理2（加强版的抽屉原理）将m件物品任意放入n个抽屉（m>n），（1）当m是n的整数倍时，那么至少有一个抽屉中的物品件数是不少于m÷n件；（2）当m不是n的整数倍时，那么至少有一个抽屉中的物品件数是不少于[m÷n]+1件。

抽屉原理的应用领域1. 什么是抽屉原理？抽屉原理，也称为鸽巢原理，是一种基于数学逻辑的原理。

它的基本思想是：如果将n+1个物体放入n个抽屉中，必定会有至少一个抽屉中放置了至少两个物体。

2. 抽屉原理的应用领域抽屉原理在不同领域有着广泛的应用，以下是几个重要的应用领域：2.1 计算机科学•数据库理论：在关系型数据库中，抽屉原理用于解决冲突问题。

当多个不同的数据项映射到同一个存储位置时，抽屉原理允许数据库系统在一个存储位置中存储多个数据项。

•哈希算法：在哈希算法中，抽屉原理用于处理哈希冲突。

当多个不同的关键字被映射到同一个哈希桶时，抽屉原理允许哈希算法将这些关键字存储在同一个桶内，并通过链表或其他方式进行查找。

2.2 数学•数论：抽屉原理在数论中有着广泛的应用。

例如，当我们需要证明两个自然数中必定有一个是偶数时，可以使用抽屉原理来进行证明。

•组合数学：在组合数学中，抽屉原理用于解决排列组合问题。

例如，当我们需要证明在n+1个整数中，必定存在两个整数的和可以被n整除时，可以使用抽屉原理进行推导。

2.3 认知科学•人类记忆：抽屉原理在认知科学中也有一定的应用。

根据抽屉原理，我们可以推断人类记忆存在一定的局限性。

即人类记忆容量有限，当信息量超过一定范围时，就会出现遗忘或混淆的现象。

2.4 产品设计•交互设计：抽屉原理在交互设计中也有一定的应用。

当设计师需要在有限的屏幕空间内展示大量的信息时，可以运用抽屉原理的思想，将信息进行分类和隐藏，以提供更好的用户体验。

2.5 经济学•市场研究：在市场研究中，抽屉原理可以用来解释市场中的一些现象。

例如，当市场上存在多个竞争对手时，根据抽屉原理，相似的产品或服务容易造成市场竞争过度，导致市场的分割和细分。

以上只是抽屉原理在若干应用领域中的一些例子，实际上，抽屉原理在各个领域都有着广泛的应用。

这一原理的重要性在于它的普适性和灵活性，可以为我们解决各种问题提供有力的逻辑基础。

抽屉原理一．什么是抽屉原理？实例1：把3个苹果放在两个抽屉里，不论怎样放，“必有一个抽屉里至少放了2个苹果”。

实例2：把七只山雀,任意装入3只鸟笼内，则其中必有一只鸟笼至少装有3只山雀。

上述问题共同点都是在“任意放入”的条件下，得出“必然的结论”，这就是抽屉原理的基本思想二．抽屉原理的几种常见形式原理1。

把m 件物体，任意放在)(m n n <个抽屉里，则其中必有一个抽屉里至少放有两件物体。

原理2。

把)1(≥+k k mn 个物体放进n 个抽屉，则至少有一个抽屉里要放进1+m 个或更多个物体原理3。

把)1(321≥++++k k m m m m n 个物体放入n 个抽屉里，那么或在第一个抽屉里至少放入11+m 个物体，或在第二个抽屉里至少放入12+m 个物体，……，或在第n 个抽屉里至少放入1+n m 个物体。

原理4。

把m 个物体任意放在n 只抽屉里，那么总有一只抽屉里，至多有⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m 个物体。

三．构造抽屉的几种常用方法在运用抽屉原理解题时，怎样才能构造出符合条件的抽屉呢？关键要合理地进行分类，无论怎样分类，都应当先确定分类的对象，再确定分类的标准，下面就常见的的设计抽屉的方法介绍如下1．分割图形构造抽屉例1． 在边长为1的正三角形中任意放置五个点，则必有两点，它们之间的距离不超过21。

分析：在正三角形内（包括边界）任意两点间的距都不超过其边长（其它多边形无此性质），根据这个性质，如果能把原来正三角形划分为四个边长为21的正三角形即可 解：设正三角形ABC 边长为1，连接三边中点DE 、EF 、FD ，则构成四个边长为21的小正三角形，任意放置五个点，依据抽屉原理，至少在一个小正三角形内（包括边界）不少于两点，它们之间的距离不大于小正三角形的边长。

即证。

例2． 在一个边长为1的正方形内任意给定9点，求证：在以这些点为顶点的各个三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于81。

分析：首先要考虑这个正方形需要分割几块，才能保证在某一块里至少有3个点，根据抽屉原理319=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k ，可知,4=k 这就是说，把正方形分割成4块， 证明：将正方形分成四个面积为41的小正方形，根据抽屉原理2，至少有一个小正方形EFGH 所含（在内部或周界上）的给定点不少于3149=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡个，设为A 、B 、C ，显然，若A 、B 、C共线，则命题成立，如果它们不共线，总可以用如图的方法将ABC ∆部分，那么212121==+≤+=∆∆∆EFGH MFGN EMNH CBD ABD ABC S S S S S S例3． 把93⨯的矩形分成27个单位小方格，将每个小方格任意涂上红色或蓝色。

抽屉原理
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有：
①k=[n/m]+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=n/m个物体：当n能被m整除时。

例题：把97件玩具分给幼儿园大班的小朋友，不管怎样分都至少有一位小朋友得5件或5件以上的玩具。

问：这个班最多有多少个小朋友？
根据抽屉原理，不管怎样分都至少有一位小朋友得5件或5件以上的玩具，就是说每位小朋友都得到4个玩具后，玩具至少还要剩余1件。

97/4=24余1
也就是说最多24位小朋友。

抽屉收纳技巧家居收纳的5个小妙招技巧一：床下空间别浪费床下的空间常常被搁置或是塞满杂物，要拿东西十分不方便，也容易造成收纳死角，因此要充分利用床下空间规划收纳机能，可以使用轨道式或是滑轮式的收纳抽屉放置杂物，要用时可拉出，一目了然，创造额外收纳空间又方便使用。

技巧二：量身订做的餐厨柜小户型的厨房餐厅建议采取开放式设计，并且可以利用墙面及梁柱下半部分订做多功能餐厨收纳柜。

除了可展示收藏的杯盘外，还可设计一个活动的工作台面，作为备餐台、或是烫衣板。

除了小东西的收纳，还可针对家中的清洁大型家电，例如电风扇、吸尘器、空气清新机订做大型的专属收纳空间，一个收纳柜解决各种收纳问题。

技巧三：美观机能兼具的造型背板一块电视背墙板可以包含电视、影音器材收纳及CD收纳，将这些都量身框起来，就像艺术品般的陈列，是兼具趣味及功能的造型收纳设计。

技巧四：梁柱也有收纳空间对于收纳量大的家庭而言，再小的空间也不能浪费。

于是在不影响结构安全、支撑功能的状况下，可以运用到柱体空间——例如在保留主干之余，将柱体局部挖空。

从一边看似乎仍完好无缺，其实另外一边，已经提供大量的收纳空间，加上同色门片隐藏，可以置放许多杂物。

技巧五：书柜巧设计书柜由于深度浅，如果设计成活动推拉式，也较容易操作订做成连结书房与其它空间的书柜门片，打开时书柜隐藏于墙面内，进入书房拉上时，书柜就出现，一扇门二种功能，非常具有巧思。

同时也正由于深度浅，书柜可订作成双层拉柜式设计，前后层都可规划放书。

双层书柜的厚度控制在大约65公分，与一般衣柜的深度切齐，使得空间线条整齐规划。

四个家居收纳基本原则原则一我们不必抱怨房间太小，不必害怕是否会有损家里的空间，只要巧妙地组合，小房子也能有高容量的收纳———向墙面要空间就是一种常见手法。

该手法主要有两种打造方式：一种是紧贴墙面设计：一套储物柜或搁架，利用柜子不一样的大小和形状进行灵活组合，墙面也能变得很艺术;另外一种便是入墙式设计，利用原本恼人的凹位或墙柱，因地制宜地把这些空间变成收纳空间，既利用了空间又让室内更加美观，一举两得。

抽屉开关原理
抽屉开关是一种常见的家居用电器，它可以在打开或关闭抽屉
时实现自动开关灯光的功能。

它的原理是基于物理传感器和电路控
制的结合，下面我们就来详细了解一下抽屉开关的原理。

首先，抽屉开关内部通常包含一个物理传感器，这个传感器可
以根据抽屉的开合状态来进行感应。

当抽屉关闭时，传感器会检测
到抽屉的位置，触发开关断开电路，灯光自动关闭；而当抽屉打开时，传感器再次感应到抽屉的位置，触发开关闭合电路，灯光则会
自动打开。

其次，抽屉开关还包含一个电路控制模块，这个模块可以根据
传感器的信号来控制灯光的开关。

当传感器检测到抽屉关闭时，电
路控制模块会接收到信号，自动切断电路，使灯光熄灭；而当传感
器检测到抽屉打开时，电路控制模块会再次接收到信号，自动闭合
电路，使灯光亮起。

总的来说，抽屉开关的原理就是通过物理传感器和电路控制模
块的配合，实现了抽屉开合状态与灯光开关的自动联动。

这种设计
不仅方便了人们的生活，还节省了能源，提高了家居的智能化水平。

在实际应用中，抽屉开关的原理也可以根据需求进行一定的调
整和改进。

例如，可以增加灵敏度调节装置，使传感器对抽屉的感
应更加精准；还可以加入延时控制模块，使灯光在抽屉关闭后延迟
一定时间再熄灭，以便人们取用物品时不会陷入黑暗中。

总之，抽屉开关作为一种智能家居产品，其原理基于物理传感
器和电路控制的结合，实现了抽屉开合状态与灯光开关的自动联动。

通过不断的技术创新和改进，相信抽屉开关在未来会有更广泛的应用，为人们的生活带来更多便利和舒适。

抽屉原理若除数不为零，则“答案”为商加1；规律：用物体数除以抽屉数，若除数为零，则“答案”为商抽屉原则一：把n个以上的苹果放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有两个苹果。

抽屉原则二：把多于m × n 个苹果放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有（m+1）个苹果。

一、基础训练。

1、把98个苹果放到10个抽屉里，无论怎么放，我们一定能找到一个含苹果最多的抽屉，它里面至少有______个苹果。

2、1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少有_______只鸽子。

3、从8个抽屉里拿出17个苹果，无论怎么拿，我们一定能拿到苹果最多的那个抽屉，从它里面至少拿出______个苹果。

4、从______个抽屉中（填最大数）拿出25个苹果，才能保证一定能找出一个抽屉，从它当中至少拿出7个苹果。

二、拓展训练。

1、六（1）班有49名学生，数学高老师了解到期中考试该班英语成绩除3人外，均在86分以上后就说：“我可以断定，本班至少有4人成绩相同”。

王老师说的对吗？为什么2、从1、2、3……，100这100个数中任意挑出51个数来，证明这51个数中，一定有（1）2个数互质（2）有两个数的差是50100个中，有50个奇数，50个偶数，而奇数和偶数必定互质，所以51个数字中，必有一对奇偶数是互质的。

3、圆周上有2000个点，在其上任意地标上0、1、2……、1999（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数），求证：必然存在一点，与它紧相邻的两个数和这点上所标的三个数之和不小于2999.4、有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号，证明：在200个信号中至少有四个信号完全相同。

解：四种颜色的小旗取出三面共可组成4×4×4=64种信号(注三面可以是同色的)，则将200看作苹果，64种信号看作64个抽屉，由抽屉原则知至少有4个苹果在同一抽屉中，即至少有4个信号完全相同。