2018北京十一学校高二(上)期末数学(理)

2018北京十一学校高二（上）期末数 学II （理） 2018.1 本试卷共8页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、填空题(共15道小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分,共55分)1. 下面说法正确的是______.①长方体的八个顶点在同一个球面上,此时长方体称为球的内接长方体,球是长方体的外接球,并且长方体的对角线是球的直径;②一球与正方体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;③一球与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径.2. 在球内有相距9cm 的两个平行截面,面积分别为249πcm 和2400πcm ,则此球的半径为______.3. 已知异面直线a 与b 所成的角70θ=,P 为空间一点,则过P 点与a 和b 所成角45φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角35φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角70φ=的直线有______条4. 设,,l m n 表示不同的直线,,,αβγ表示不同的平面,给出下列四个命题,其中正确的序号是______.①若//m l ,且m α⊥,则l α⊥;②若//m l ,且//m α,则//l α;③若,,l m n αββγγα===,则////l m n ; ④若,,m l n αββγγα===,且//n β,则//l m .5. 在三棱锥P ABC -中,点O 是点P 在底面ABC 内的射影.①若PA PB PC ==,则O 是ABC !的______心;②若,PA BC PB AC ⊥⊥,则O 是ABC !的______心;③若侧面,,PAB PBC PAC 与底面ABC 所成的二面角相等,则O 是ABC !的______心.6. 如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列四个命题正确的序号是______.①直线BM 与直线ED 平行; ②直线CN 与直线BE 是异面直线;③直线AF 与平面BDM 平行;④平面CAN 与平面BEM 平行.第6题图 第7题图 第8题图7. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积是______.8. 如图所示,侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中,40AVB BVC CVA ︒∠=∠=∠=,过A 作截面AEF ,则截面AEF !周长的最小值等于______.9. 如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为______.10. 在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,00,(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和左视图分别为______,______.①②③④ 11. 将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中2AD BD ==,30BAC ∠=,若他们的斜边AB 重合,让三角板ABD 以AB 为轴转动,则下列说法正确的是______.①当平面平面ABC 时,C 、D 两点间的距离为2;②在三角板ABD 转动过程中,总有AB CD ⊥;③在三角板ABD 转动过程中,三棱锥D ABC -体积的最大值为3612. 如图,PA 垂直于圆O 所在的平面,AB 是圆O 的直径,C 是圆O 上一点,,AE PC AF PB ⊥⊥,给出下列结论,其中真命题的序号有______.①AE BC ⊥;②EF PB ⊥;③AF BC ⊥;④AE ⊥平面PBC .13. 如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为正三角形,底面ABCD 为边长为1的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,M 为底面ABCD 内的一个动点,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为______.14. 如图,正方形123SG G G 中,,E F 分别是1223,G G G G 的中点,现沿,SE SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体,使113,,G G G 三点重合于点G .下列五个结论中,正确的是______.①SG ⊥平面EFG ;②SD ⊥平面EFG ;③GF ⊥平面SEF ;④EF ⊥平面GSD ;⑤GD ⊥平面SEF .15. 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,点P 在正方体的表面上移动,且满足11B P D E ⊥,则点P 形成的轨迹图形的周长是______.B ACD二、解答题(共4小题,共45分.要求有推理计算过程)16. （本小题满分8分）证明:如果一个角所在平面外一点与角的顶点的连线与角的两边所成的角相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.17. （本小题满分12分）如图,已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2,底面ABC !是等腰直角三角形,且90,2,ACB AC D ∠==是1AA 的中点.（Ⅰ）求异面直线AB 和1C D 所成的角（用反三角函数表示）;（Ⅱ）若E 为线段AB 上一点,试确定点E 在AB 上的位置,使得11A E C D ⊥;（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求点D 到平面11B C E 的距离.18. （本小题满分12分）如图,在三棱锥P ABC -中,底面ABC ,,60,90PA AB BC BCA =∠=∠=,点D 、E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC .（Ⅰ）求证:BC ⊥平面PAC ;（Ⅱ）当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的大小;（Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角?并说明理由.19. （本小题满分13分）如图,已知菱形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直,其中1π//,,2,23BE AF AB AF AB BE AF CBA ⊥===∠=,P 为DF 的中点. （Ⅰ）求证://PE 平面ABCD ;（Ⅱ）求二面角D EF A --的余弦值;（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点,AG AD λ=,若直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为3926,求λ的值.数学试题答案一、填空题:本大题共15小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分共55分.1.①②③2.25cm3.2;1;44.①④5.外;垂;内6.③④7.28π3- 8.6 9.23 10.④;③11.①③ 12.①②④13.A 14.①④ 15.3252+二、解答题:16. （本小题满分8分）已知:如图,点P 为BAC ∠所在平面外一点,PD AC ⊥于D ,PE AB ⊥于E ,PD PE =,PG ⊥平面ABC 于G .证明:连结,GE GD .PG ⊥平面ABC ,,EG DG ⊂平面ABC ,,PG EG PG DG ∴⊥⊥,又,PD PE PG PG ==,,PEG PDG GE GD ∴≅∴=!!,PG ⊥平面ABC ,EG ∴为PE 在平面ABC 内的射影,又,AB PE AB EG ⊥∴⊥,同理AC DG ⊥,,AGE AGD EAG DAG ∴≅∴∠=∠!!,AG ∴为BAC ∠的角平分线.17. （本小题满分12分）（Ⅰ）以C 为坐标原点,1,,CB CA CC 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则11(0,2,0),(0,2,2),(2,0,0),(0,0,2),(0,2,1)A A B C D ,1(2,2,0),(0,2,1)AB C D ∴=-=-.异面直线AB 与1C D 所成的角为向量AB 与向量1C D 的夹角或其补角. 设AB 与1C D 的夹角为θ, 则410cos 5225θ-==-⨯, 10πarccos 5θ=-, 即异面直线AB 与1C D 所成的角为10arccos5. （Ⅱ）设E 点的坐标为(,,0)x y ,要使得11A E C D ⊥,只要110A E C D ⋅=,11(,2,2),(0,2,1),1A E x y C D y =--=-=, 又点E 在AB 上,//,(,2,0),(2,2,0)AE AB AE x y AB ∴=-=-, 1,(1,1,0)x E ∴=,E ∴点为AB 的中点.（Ⅲ）取AC 中点N ,连接1,EN C N ,则11//EN B C . 11B C ⊥平面11AA C C ,∴平面11B C NE ⊥平面11AA C C , 过点D 作1DH C N ⊥,垂足为H ,则DH ⊥平面11B C NE , DH ∴的长度即为点D 到平面11B C E 的距离.在正方形11AA C C 中,由计算知355DH =, 即点D 到平面11B C E 的距离为355.18. （本小题满分12分）解:（Ⅰ）PA ⊥底面ABC ,PA BC ∴⊥,又90BCA ︒∠=,AC BC ∴⊥,BC ∴⊥平面PAC .（Ⅱ）D 为PB 的中点,//DE BC ,12DE BC ∴=.又由（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC ,DAE ∴∠是AD 与平面PAC 所成的角,PA ⊥底面ABC ,PA AB ∴⊥.又PA AB =,ABP ∴!为等腰直角三角形, 12AD AB ∴=.在Rt ABC !中,60ABC ︒∠=,12BC AB ∴=,∴在Rt ADE !中,2sin 24DE BC DAE AD AD ∠===,即AD 与平面PAC 所成角的正弦值为24.（Ⅲ）//DE BC ,又有（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC , DE ∴⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ,PE ⊂平面PAC ,,DE AE DE PE ∴⊥⊥,AEP ∴∠为二面角A DE P --的平面角, PA ⊥底面ABC ,PA AC ∴⊥,90PAC ︒∴∠=,∴在棱PC 上存在一点E ,使得AE PC ⊥. 这时90AEP ︒∠=,故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角.19. （本小题满分13分）解:（Ⅰ）取AD 的中点M ,连接,PM BM , P 是DF 的中点,M 是AD 的中点,1//,2PM AF PM AF ∴=, 又1//,,//,2BE AF BE AF BE PM BE PM ==, ∴四边形BEPM 是平行四边形,//PE BM ∴,又PE Ú平面ABCD ,BM ⊂平面ABCD , //PE ∴平面ABCD .（Ⅱ）取AB 中点M ,连接,AC CM ,在ABC !中,π,3AB BC CBA =∠=, ABC ∴!是等边三角形,CM AB ∴⊥, 又平面ABCD ⊥平面ABEF AB =,CM ∴⊥平面ABEF ,又AB AF ⊥,AB ∴⊥平面DAF ,AF ⊥平面ABCD , ∴以A 为原点,作//Az MC 建立如图所示的空间直角坐标系, 设1AB =,则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,0,3),(1,0,3),(0,4,0)A B E C D F -,(3,2,3),(1,4,3)DE DF ∴=-=-,设平面DEF 的法向量(,,)n x y z =,则00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即3230430x y z x y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩,令1z =,则33,55y z ==, 故33(,,1)55n =为平面DEF 的一个法向量,又因为AF ⊥平面ABCD , 故AF 为平面ABCD 的一个法向量,所以39cos ,31AF nAF n AF n ⋅<>==⋅, 平面DEF 与平面ABCD 所成角的余弦值为3931. （Ⅲ）过G 作GH BA ⊥,交BA 延长线于H ,连接,FH FG , 平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD 平面,,ABEF AB GH AB GH =⊥⊂平面ABCD , GH ∴⊥平面ABCD , GFH ∴∠位置线FG 与平面ABEF 所成角. ,2,AG AD AG λλ=∴=π3CBA DAH ∠=∠=, ππsin 3,cos ,33GH AG AH AG λλ∴=⋅==⋅= 22216HF AF AH λ∴=+=+, 22224FG GH FH λ=+=+,2339sin 2624GH GFH FG λλ∠===+, 计算得出33λ=.。

2018北京市西城区高二（上）期末数学（理） 2018.1一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2. 命题“对任意，都有”的否定是（）A. 存在,使得B. 对任意,都有C. 存在,使得D. 对任意,都有3. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A. 1B.C. 2D.4. 设是两个不同的平面，是三条不同的直线，（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则5. “”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设是两个不同的平面，是一条直线，若，，，则（）A. 与平行B. 与相交C. 与异面D. 以上三个答案均有可能7. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段的中点，则直线的斜率的最大值为（）A. B. 1 C. D. 28. 设为空间中的一个平面，记正方体的八个顶点中到的距离为的点的个数为，的所有可能取值构成的集合为，则有（）A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 命题“若，则”的逆否命题为_______.10. 经过点且与直线垂直的直线方程为_______.11. 在中，，，. 以所在的直线为轴将旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为____.12. 若双曲线的一个焦点在直线上，一条渐近线与平行，且双曲线的焦点在轴上，则的标准方程为_______；离心率为_______.13. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有_______个直角三角形.14. 在平面直角坐标系中，曲线是由到两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的. 对于曲线，有下列四个结论：①曲线是轴对称图形；②曲线是中心对称图形；③曲线上所有的点都在单位圆内；④曲线上所有的点的纵坐标.其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 如图，在正三棱柱中，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面.16. 已知圆，其中.（Ⅰ）如果圆与圆相外切，求的值；（Ⅱ）如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值.17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，，为的中点.（Ⅰ）求四棱锥的体积；（Ⅱ）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度；（Ⅲ）判断线段上是否存在一点，使得？（结论不要求证明）18. 设为抛物线的焦点，是抛物线上的两个动点，为坐标原点.（Ⅰ）若直线经过焦点，且斜率为2，求；（Ⅱ）当时，证明：求的最小值.19. 如图，在四面体中，平面，，，为的中点.（Ⅰ）求证: ；（Ⅱ）求二面角的余弦值.（Ⅲ）求四面体的外接球的表面积.（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球. 球的表面积）20. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为. 点为圆上任意一点，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）记线段与椭圆交点为，求的取值范围；（Ⅲ）设直线经过点且与椭圆相切，与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.数学试题答案一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.【答案】D【解析】直线可化为：.斜率为-1，所以倾斜角为.故选D.2.【答案】C【解析】根据命题的否定的写法，只否结论，不改变条件，且转化其中的量词，将任意改为存在。

北京十一学校2018年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线 C1：﹣=1（ a＞0，b＞0），圆 C2：x2+y2﹣2ax+a2=0，若双曲线C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则双曲线 C1的离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由圆的方程求得圆心及半径，利用点到直线的距离公式，求得圆心到渐近线的距离小于半径，求得a和c关系，利用离心率公式即可求得双曲线C1的离心率的范围．【解答】解：双曲线 C1：﹣=1（ a＞0，b＞0），渐近线方程y=±x，即bx±ay=0，圆 C2：x2+y2﹣2ax+a2=0，（x﹣a）2+y2=，圆心（a，0），半径a，由双曲线C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则＜a，即c＞2b，则c2＞4b2=4（c2﹣a2），即c2＜a2，双曲线 C1的离心率e=＜，由e＞1，∴双曲线 C1的离心率的范围（1，），故选A．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．2. 下列说法正确的是（）A．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件B．命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．命题p：“?x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．利用充要条件的定义和函数的性质判断．B．利用特称命题的否定是全称命题来判断．C．利用充分条件和必要条件的定义进行判断．D．利用命题p与￢p真假关系进行判断．【解答】解：根据对数函数的性质可知，“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”，则a＞1，所以A正确．特称命题的否定是全称命题，所以命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3≥0”，所以B错误．因为x2+2x+3=0的判断式△＜0，所以方程无解，所以“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”即不充分也不必要条件，所以C错误．因为命题p为真命题，所以￢p是假命题，所以D错误．故选：A．3. 如图，在中，已知，则（）A. B.C. D.参考答案：C略4. 函数的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：C5. 幂函数在(0,+∞)上单调递增，则m的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 2或4参考答案：C由题意得：解得,∴m=4．故选：C．6. 已知变量x，y满足约束条件则的最大值为A．16 B．32 C．4 D．2参考答案：B7. 设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为A． B．Ｃ．Ｄ．参考答案：D由，得.由，得，所以，且.所以数列为递减的数列.所以为正，为负，且，，则，，，又，所以，所以最大的项为，选D.8. 已知，则是（）A. 偶函数，且在(0,10)是增函数B. 奇函数，且在(0,10)是增函数C. 偶函数，且在(0,10)是减函数D. 奇函数，且在(0,10)是减函数参考答案：【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论.【详解】由，得，故函数的定义域为，关于原点对称，又，故函数为偶函数，而，因为函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在上单调递减，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数）.9. 若集合则（）A. B. C.D.参考答案：B略10. 已知向量＝（4，2），＝（6，），且∥，则等于（）A．3 B．C．12 D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设变量x，y满足约束条件，则的最大值是．参考答案：略12. 某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S的值是A．－3 B．－ C． D． 2参考答案：B13. 计算：＝．参考答案：答案：解析：；14. 函数的最小正周期为.参考答案：.15. 一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：第1组：，2个；第2组：，3个；第3组：，4个；第4组：，5个；第5组：，4个；第6个：，2个。

2018北京十一学校高二（上）期末数 学II （理） 2018.1 本试卷共8页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、填空题(共15道小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分,共55分)1. 下面说法正确的是______.①长方体的八个顶点在同一个球面上,此时长方体称为球的内接长方体,球是长方体的外接球,并且长方体的对角线是球的直径;②一球与正方体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;③一球与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径.2. 在球内有相距9cm 的两个平行截面,面积分别为249πcm 和2400πcm ,则此球的半径为______.3. 已知异面直线a 与b 所成的角70θ=,P 为空间一点,则过P 点与a 和b 所成角45φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角35φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角70φ=的直线有______条4. 设,,l m n 表示不同的直线,,,αβγ表示不同的平面,给出下列四个命题,其中正确的序号是______.①若//m l ,且m α⊥,则l α⊥;②若//m l ,且//m α,则//l α;③若,,l m n αββγγα===,则////l m n ; ④若,,m l n αββγγα===,且//n β,则//l m .5. 在三棱锥P ABC -中,点O 是点P 在底面ABC 内的射影.①若PA PB PC ==,则O 是ABC 的______心;②若,PA BC PB AC ⊥⊥,则O 是ABC 的______心;③若侧面,,PAB PBC PAC 与底面ABC 所成的二面角相等,则O 是ABC 的______心.6. 如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列四个命题正确的序号是______.①直线BM 与直线ED 平行; ②直线CN 与直线BE 是异面直线;③直线AF 与平面BDM 平行;④平面CAN 与平面BEM 平行.第6题图 第7题图 第8题图7. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积是______.8. 如图所示,侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中,40AVB BVC CVA ︒∠=∠=∠=,过A 作截面AEF ,则截面AEF 周长的最小值等于______.9. 如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为______.10. 在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,00,(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和左视图分别为______,______.①②③④ 11. 将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中2AD BD ==,30BAC ∠=,若他们的斜边AB 重合,让三角板ABD 以AB 为轴转动,则下列说法正确的是______.①当平面平面ABC 时,C 、D 两点间的距离为2;②在三角板ABD 转动过程中,总有AB CD ⊥;③在三角板ABD 转动过程中,三棱锥D ABC -体积的最大值为312. 如图,PA 垂直于圆O 所在的平面,AB 是圆O 的直径,C 是圆O 上一点,,AE PC AF PB ⊥⊥,给出下列结论,其中真命题的序号有______.①AE BC ⊥;②EF PB ⊥;③AF BC ⊥;④AE ⊥平面PBC .13. 如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为正三角形,底面ABCD 为边长为1的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,M 为底面ABCD 内的一个动点,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为______.14. 如图,正方形123SG G G 中,,E F 分别是1223,G G G G 的中点,现沿,SE SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体,使113,,G G G 三点重合于点G .下列五个结论中,正确的是______.①SG ⊥平面EFG ;②SD ⊥平面EFG ;③GF ⊥平面SEF ;④EF ⊥平面GSD ;⑤GD ⊥平面SEF .15. 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,点P 在正方体的表面上移动,且满足11B P D E ⊥,则点P 形成的轨迹图形的周长是______.B AC D二、解答题(共4小题,共45分.要求有推理计算过程)16. （本小题满分8分）证明:如果一个角所在平面外一点与角的顶点的连线与角的两边所成的角相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.17. （本小题满分12分）如图,已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2,底面ABC 是等腰直角三角形,且90,2,ACB AC D ∠==是1AA 的中点.（Ⅰ）求异面直线AB 和1C D 所成的角（用反三角函数表示）;（Ⅱ）若E 为线段AB 上一点,试确定点E 在AB 上的位置,使得11A E C D ⊥;（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求点D 到平面11B C E 的距离.18. （本小题满分12分）如图,在三棱锥P ABC -中,底面ABC ,,60,90PA AB BC BCA =∠=∠=,点D 、E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC .（Ⅰ）求证:BC ⊥平面PAC ;（Ⅱ）当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的大小;（Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角?并说明理由.19. （本小题满分13分）如图,已知菱形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直,其中1π//,,2,23BE AF AB AF AB BE AF CBA ⊥===∠=,P 为DF 的中点. （Ⅰ）求证://PE 平面ABCD ;（Ⅱ）求二面角D EF A --的余弦值;（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点,AG AD λ=,若直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为39,求λ的值.数学试题答案一、填空题:本大题共15小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分共55分.1.①②③2.25cm3.2;1;44.①④5.外;垂;内6.③④7.28π3-8.69.23 10.④;③11.①③ 12.①②④13.A 14.①④ 15.325+二、解答题:16. （本小题满分8分）已知:如图,点P 为BAC ∠所在平面外一点,PD AC ⊥于D ,PE AB ⊥于E ,PD PE =,PG ⊥平面ABC 于G .证明:连结,GE GD .PG ⊥平面ABC ,,EG DG ⊂平面ABC ,,PG EG PG DG ∴⊥⊥,又,PD PE PG PG ==,,PEG PDG GE GD ∴≅∴=,PG ⊥平面ABC ,EG ∴为PE 在平面ABC 内的射影,又,AB PE AB EG ⊥∴⊥,同理AC DG ⊥,,AGE AGD EAG DAG ∴≅∴∠=∠,AG ∴为BAC ∠的角平分线.17. （本小题满分12分）（Ⅰ）以C 为坐标原点,1,,CB CA CC 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则11(0,2,0),(0,2,2),(2,0,0),(0,0,2),(0,2,1)A A B C D ,1(2,2,0),(0,2,1)AB C D ∴=-=-.异面直线AB 与1C D 所成的角为向量AB 与向量1C D 的夹角或其补角. 设AB 与1C D 的夹角为θ, 则10cos 225θ==-⨯, 10πarccos θ=-, 即异面直线AB 与1C D 所成的角为10arccos. （Ⅱ）设E 点的坐标为(,,0)x y ,要使得11A E C D ⊥,只要110A E C D ⋅=,11(,2,2),(0,2,1),1A E x y C D y =--=-=,又点E 在AB 上,//,(,2,0),(2,2,0)AE AB AE x y AB ∴=-=-, 1,(1,1,0)x E ∴=,E ∴点为AB 的中点.（Ⅲ）取AC 中点N ,连接1,EN C N ,则11//EN B C . 11B C ⊥平面11AA C C ,∴平面11B C NE ⊥平面11AA C C , 过点D 作1DH C N ⊥,垂足为H ,则DH ⊥平面11B C NE , DH ∴的长度即为点D 到平面11B C E 的距离.在正方形11AA C C 中,由计算知35DH =,即点D 到平面11B C E 的距离为35. 18. （本小题满分12分）解:（Ⅰ）PA ⊥底面ABC ,PA BC ∴⊥,又90BCA ︒∠=,AC BC ∴⊥,BC ∴⊥平面PAC .（Ⅱ）D 为PB 的中点,//DE BC ,12DE BC ∴=.又由（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC ,DAE ∴∠是AD 与平面PAC 所成的角,PA ⊥底面ABC ,PA AB ∴⊥.又PA AB =,ABP ∴为等腰直角三角形, 2AD AB ∴=.在Rt ABC 中,60ABC ︒∠=,12BC AB ∴=,∴在Rt ADE 中,2sin 2DE BCDAE AD AD ∠===,即AD 与平面PAC 所成角的正弦值为2.（Ⅲ）//DE BC ,又有（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC , DE ∴⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ,PE ⊂平面PAC ,,DE AE DE PE ∴⊥⊥,AEP ∴∠为二面角A DE P --的平面角, PA ⊥底面ABC ,PA AC ∴⊥,90PAC ︒∴∠=,∴在棱PC 上存在一点E ,使得AE PC ⊥. 这时90AEP ︒∠=,故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角.19. （本小题满分13分）解:（Ⅰ）取AD 的中点M ,连接,PM BM , P 是DF 的中点,M 是AD 的中点, 1//,2PM AF PM AF ∴=, 又1//,,//,2BE AF BE AF BE PM BE PM ==, ∴四边形BEPM 是平行四边形,//PE BM ∴,又PE 平面ABCD ,BM ⊂平面ABCD , //PE ∴平面ABCD .（Ⅱ）取AB 中点M ,连接,AC CM ,在ABC 中,π,3AB BC CBA =∠=, ABC ∴是等边三角形,CM AB ∴⊥,又平面ABCD ⊥平面ABEF AB =,CM ∴⊥平面ABEF ,又AB AF ⊥,AB ∴⊥平面DAF ,AF ⊥平面ABCD , ∴以A 为原点,作//Az MC 建立如图所示的空间直角坐标系, 设1AB =,则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,0,3),(1,0,3),(0,4,0)A B E C D F -, (3,2,3),(1,4,3)DE DF ∴=-=-,设平面DEF 的法向量(,,)n x y z =,则00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即3230430x y z x y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩,令1z =,则y z ==故3(,n =为平面DEF 的一个法向量,又因为AF ⊥平面ABCD , 故AF 为平面ABCD 的一个法向量,所以39cos ,AF nAF n AF n ⋅<>==⋅平面DEF 与平面ABCD . （Ⅲ）过G 作GH BA ⊥,交BA 延长线于H ,连接,FH FG , 平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD 平面,,ABEF AB GH AB GH =⊥⊂平面ABCD , GH ∴⊥平面ABCD , GFH ∴∠位置线FG 与平面ABEF 所成角. ,2,AG AD AG λλ=∴=π3CBA DAH ∠=∠=, ππsin ,cos ,33GH AG AH AG λ∴=⋅=⋅=HF ∴=FG =sin GH GFH FG ∠===,计算得出λ=.。

2017-2018学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题1．（3分）直线x+y+=0的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°2．（3分）命题“对任意x＞3，都有lnx＞1”的否定是（）A．存在x＞3，使得lnx＞1 B．对任意x＞3，都有lnx≤1C．存在x＞3，使得lnx≤1 D．对任意x≤3，都有lnx＞13．（3分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．4．（3分）设α，β是两个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线，（）A．若a⊥b，b⊥c，则a∥c B．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥b，a⊥α，则b∥αD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β5．（3分）“n＞m＞0”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（3分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，若l∥α，l∥β，α∩β=m，则（）A．l与m平行B．l与m相交C．l与m异面D．以上三个答案均有可能7．（3分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF的中点，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．1 C．D．28．（3分）设α为空间中的一个平面，记正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到α的距离为d（d＞0）的点的个数为m，m的所有可能取值构成的集合为M，则有（）A．4∈M，6∉M B．5∉M，6∉M C．4∉M，6∈M D．5∉M，6∈M二、填空题9．（3分）命题“若a2﹣b2=0，则a=b”的逆否命题为．10．（3分）经过点M（2，1）且与直线3x﹣y+8=0垂直的直线方程为．11．（3分）在△ABC中，AB=3，BC=4，AB⊥BC．以BC所在的直线为轴将△ABC 旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为．12．（3分）若双曲线C的一个焦点在直线l：4x﹣3y+20=0上，一条渐近线与l 平行，且双曲线C的焦点在x轴上，则双曲线C的标准方程为；离心率为．13．（3分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有个直角三角形．14．（3分）在平面直角坐标系中，曲线C是由到两个定点A（1，0）和点B（﹣1，0）的距离之积等于2的所有点组成的．对于曲线C，有下列四个结论：①曲线C是轴对称图形；②曲线C是中心对称图形；③曲线C上所有的点都在单位圆x2+y2=1内；④曲线C上所有的点的纵坐标．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题15．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：BC1∥平面A1CD．16．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，其中m∈R．（Ⅰ）如果圆C与圆x2+y2=1相外切，求m的值；（Ⅱ）如果直线x+y﹣3=0与圆C相交所得的弦长为，求m的值．17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为AA1的中点．（Ⅰ）求四棱锥C﹣AEB1B的体积；（Ⅱ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求线段AM的长度；（Ⅲ）判断线段B1C上是否存在一点N，使得NE∥CD？（结论不要求证明）18．设F为抛物线C：y2=2x的焦点，A，B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求|AB|；（Ⅱ）当OA⊥OB时，求|OA|•|OB|的最小值．19．如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=CD=AD=2，M为AC的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥MD；（Ⅱ）求二面角B﹣MD﹣C的余弦值．（Ⅲ）求四面体A﹣BCD的外接球的表面积．（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球．球的表面积S=4πR2）20．已知椭圆的一个焦点为，离心率为．点P为圆M：x2+y2=13上任意一点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）记线段OP与椭圆C交点为Q，求|PQ|的取值范围；（Ⅲ）设直线l经过点P且与椭圆C相切，l与圆M相交于另一点A，点A关于原点O的对称点为B，试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．2017-2018学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题1．（3分）直线x+y+=0的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【解答】解：设直线x+y+=0的倾斜角为θ，则0°≤θ＜180°，直线x+y+=0变形可得y=﹣x﹣，其斜率为﹣1，则有tanθ=﹣1，且0°≤θ＜180°，则θ=135°，故选：D．2．（3分）命题“对任意x＞3，都有lnx＞1”的否定是（）A．存在x＞3，使得lnx＞1 B．对任意x＞3，都有lnx≤1C．存在x＞3，使得lnx≤1 D．对任意x≤3，都有lnx＞1【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x＞3，都有lnx＞1”的否定是：存在x＞3，使得lnx≤1．故选：C．3．（3分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣y2=1，其焦点坐标为（±，0），其渐近线方程为y=±x，即x±y=0，则其焦点到渐近线的距离d==1；故选：A．4．（3分）设α，β是两个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线，（）A．若a⊥b，b⊥c，则a∥c B．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥b，a⊥α，则b∥αD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β【解答】解：对于A，若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a与c相交，或a与c异面；故A错误；对于B，若若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b相交，或a与b异面，故B错误；对于C，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，故C错误；对于D，若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故D正确．故选：D．5．（3分）“n＞m＞0”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程表示的曲线为椭圆，则m＞0，n＞0且m≠n，则“n＞m＞0”是“方程表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件，故选：A．6．（3分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，若l∥α，l∥β，α∩β=m，则（）A．l与m平行B．l与m相交C．l与m异面D．以上三个答案均有可能【解答】解：如图所示，α，β是两个不同的平面，l是一条直线，当l∥α时，则存在a⊂α，a∥α，当l∥β时，则存在b⊂β，b∥β，∴a∥b，可得a∥β，又α∩β=m，∴l∥m．故选：A．7．（3分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF的中点，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．1 C．D．2【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），M（x，y），∵M是线段PF的中点∴x=（+），y=，∴k OM==≤=1，当且仅当y0=p时取等号∴直线OM的斜率的最大值为1．故选：B．8．（3分）设α为空间中的一个平面，记正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到α的距离为d（d＞0）的点的个数为m，m的所有可能取值构成的集合为M，则有（）A．4∈M，6∉M B．5∉M，6∉M C．4∉M，6∈M D．5∉M，6∈M【解答】解：如图所示，由题意知，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到平面α的距离为d（d＞0），则满足条件的顶点个数为m，m的可能取值为0，1，2，4，8．∴4∈M，6∉M．故选：A．二、填空题9．（3分）命题“若a2﹣b2=0，则a=b”的逆否命题为若a≠b，则a2﹣b2≠0．【解答】解：交换条件和结论，同时进行否定得逆否命题为：若a≠b，则a2﹣b2≠0，故答案为：若a≠b，则a2﹣b2≠010．（3分）经过点M（2，1）且与直线3x﹣y+8=0垂直的直线方程为x+3y﹣5=0．【解答】解：经过点M（2，1）且与直线3x﹣y+8=0垂直的直线方程为：（x﹣2）+3（y﹣1）=0，即：x+3y﹣5=0，故答案为：x+3y﹣5=011．（3分）在△ABC中，AB=3，BC=4，AB⊥BC．以BC所在的直线为轴将△ABC 旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为15π．【解答】解∵在△ABC中，AB=3，BC=4，AB⊥BC．∴AC===5，以BC所在的直线为轴将△ABC旋转一周，形成的旋转体是底面半径为r=AB=3，高为BC=4的圆锥，∴旋转所得圆锥的侧面积：S=πrl=π×AB×AC=π×3×5=15π故答案为：15π．12．（3分）若双曲线C的一个焦点在直线l：4x﹣3y+20=0上，一条渐近线与l平行，且双曲线C的焦点在x轴上，则双曲线C的标准方程为；离心率为．【解答】解：根据题意，若双曲线C的一个焦点在直线l：4x﹣3y+20=0上，且其焦点在x轴上，直线与x轴交点坐标为（﹣5，0），则双曲线的焦点为（﹣5，0）与（5，0），c=5，又由双曲线的渐近线与直线l：4x﹣3y+20=0平行，则双曲线的一条渐近线为4x ﹣3y=0，设双曲线的方程为：﹣=1，（t＞0）又由c=5，则有9t+16t=25，解可得：t=1，则双曲线的方程为：，其中a=3，则双曲线的离心率e==；故答案为，13．（3分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有4个直角三角形．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=DC=1，AB∥DC，AB⊥AD，则侧面三角形PAB、PAD、PDC为直角三角形；由题意求得PB=，PD=，PC=，BC=，则PB2=PC2+BC2，即三角形PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．∴这个四棱锥的四个侧面三角形中，有4个直角三角形．故答案为：4．14．（3分）在平面直角坐标系中，曲线C是由到两个定点A（1，0）和点B（﹣1，0）的距离之积等于2的所有点组成的．对于曲线C，有下列四个结论：①曲线C是轴对称图形；②曲线C是中心对称图形；③曲线C上所有的点都在单位圆x2+y2=1内；④曲线C上所有的点的纵坐标．其中，所有正确结论的序号是①②．【解答】解：由题意设动点坐标为（x，y），利用题意及两点间的距离公式的得：[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]=4，对于①，方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，故关于y轴对称和x 轴对称，故曲线C是轴对称图形，故①正确对于②，把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线C是中心对称图形，故②正确；对于③y=0可得，（x+1）2•（x﹣1）2=4，即x2﹣1=2，解得x=±，∴曲线C上点的横坐标的范围为[﹣，]，故③错误，对于④令x=0可得，y=±1，∴曲线C上点的纵坐标的范围为[﹣1，1]，故④错误；故答案为：①②三、解答题15．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：BC1∥平面A1CD．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D为AB的中点，所以CD⊥AB，AA1⊥底面ABC．…（1分）又因为CD⊂底面ABC，所以AA1⊥CD．…（3分）又因为AA1∩AB=A，AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，所以CD⊥平面ABB1A1．…（6分）（Ⅱ）连接AC1，设A1C∩AC1=O，连接OD，…（7分）由正三棱柱ABC﹣A1B1C1，得AO=OC1，又因为在△ABC1中，AD=DB，所以OD∥BC1，…（10分）又因为BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．…（13分）16．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，其中m∈R．（Ⅰ）如果圆C与圆x2+y2=1相外切，求m的值；（Ⅱ）如果直线x+y﹣3=0与圆C相交所得的弦长为，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）将圆C的方程配方，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，…（1分）∴圆C的圆心为（3，4），半径．…（3分）因为圆C与圆x2+y2=1相外切，所以两圆的圆心距等于其半径和，即，…（5分）解得m=9．…（7分）（Ⅱ）圆C的圆心到直线x+y﹣3=0的距离．…（9分）因为直线x+y﹣3=0与圆C相交所得的弦长为，所以由垂径定理，可得，…（11分）解得m=10．…（13分）17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为AA1的中点．（Ⅰ）求四棱锥C﹣AEB1B的体积；（Ⅱ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求线段AM的长度；（Ⅲ）判断线段B1C上是否存在一点N，使得NE∥CD？（结论不要求证明）【解答】解：（Ⅰ）∵AA1⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AA1⊥AD．又∵AB⊥AD，AA1∩AB=A，∴AD⊥平面ABB1A1．∵AB∥CD，∴四棱锥C﹣AEB 1B的体积••AD=×[×（1+2）×2]×1=1；（Ⅱ）以A为原点，以AD为x轴，以AA1为y轴，以AB为z轴，建立空间直角坐标系，∵AD=CD=1，AA1=AB=2，E为AA1的中点，∴B（0，0，2），B1（0，2，2），C1（1，2，1），C（1，0，1），E（0，1，0），，．设点M（a，b，c），∵点M在线段C1E上，∴=λ，λ＞0，∴（a，b﹣1，c）=λ（1，1，1）=（λ，λ，λ），∴a=λ，b=λ+1，c=λ，得M（λ，λ+1，λ），∴=（λ，λ+1，λ），设平面BCC1B1的一个法向量为=（x，y，z），由，取z=1，得．∵直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得．∴，则||==．∴线段AM的长度为；（Ⅲ）线段B1C上不存在点N，使得NE∥CD．18．设F为抛物线C：y2=2x的焦点，A，B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求|AB|；（Ⅱ）当OA⊥OB时，求|OA|•|OB|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，抛物线C的方程为y2=2x，则其焦点坐标为F（，1），则直线AB的方程为y=2（x﹣）=2x﹣1．由消去y，得4x2﹣6x+1=0．设点A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0，且x1+x2=，x1x2=，所以|AB|=•=•=．（Ⅱ）设直线OA的方程为y=kx，k≠0，∵OA⊥OB，∴直线OB的方程为y=﹣x，由，解得，即A（，），则|OA|2=+，由，解得，即B（2k2，﹣2k），则|OB|2=4k4+4k2，∴（|OA|•|OB|）2=（+）（4k4+4k2）=16（2++k2）≥16（2+2）=64，当且仅当k=±1时取等号，∴|OA|•|OB|的最小值为8．19．如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=CD=AD=2，M为AC的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥MD；（Ⅱ）求二面角B﹣MD﹣C的余弦值．（Ⅲ）求四面体A﹣BCD的外接球的表面积．（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球．球的表面积S=4πR2）【解答】（Ⅰ）证明：AD⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以BC⊥AD，又：BC⊥CD，AD∩CD=D，所以BC⊥平面ACD，CM⊂平面ACD，∴BC⊥MD；（Ⅱ）解：以D为坐标原点，DC为x轴，过D平行BC的直线为y轴，DA所在直线为：z轴，如图：BC=CD=AD=2，M为AC的中点．D（0，0，0）；C（2，0，0），B（2，﹣2，0），M（1，0，1），平面MBC的一个法向量不妨为：=（0，1，0），设平面BMD的法向量为：=（x，y，z），则，即：，取x=1，则y=1，z=﹣1，=（1，1，﹣1），二面角B﹣MD﹣C的余弦值为：==．（Ⅲ）解：四面体A﹣BCD是棱长为2的正方体，外接球的球心是AB中点，半径为：=，外接球的表面积：12π．20．已知椭圆的一个焦点为，离心率为．点P为圆M：x2+y2=13上任意一点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）记线段OP与椭圆C交点为Q，求|PQ|的取值范围；（Ⅲ）设直线l经过点P且与椭圆C相切，l与圆M相交于另一点A，点A关于原点O的对称点为B，试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：c=，e==，则a=3，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）由题意可知：|PQ|=|OP|﹣|OQ|=﹣|OQ|，设Q（x1，y1），，∴|OQ|===，由x1∈[﹣3，3]，当x1=0时，|OQ|min=2，当x1=±3时，|OQ|max=3，∴|PQ|的取值范围[﹣3，﹣2]；（Ⅲ）证明：由题意，点B在圆M上，且线段AB为圆M的直径，所以PA⊥PB．分3种情况讨论：①，当直线PA⊥x轴时，易得直线PA的方程为x=±3，由题意，得直线PB的方程为y=±2，显然直线PB与椭圆C相切．②，同理当直线PA∥x轴时，直线PB也与椭圆C相切．③，当直线PA与x轴既不平行也不垂直时，设点P（x0，y0），直线PA的斜率为k，则k≠0，直线PB的斜率﹣，所以直线PA：y﹣y0=k（x﹣x0），直线PB：y﹣y0=﹣（x﹣x0），由，消去y，得（9k2+4）x2+18（y0﹣kx0）kx+9（y0﹣kx0）2﹣36=0．因为直线PA与椭圆C相切，所以△1=[18（y0﹣kx0）k]2﹣4（9k2+4）[9（y0﹣kx0）2﹣36]=0，整理，得△1=﹣144[（x02﹣9）k2﹣2x0y0k+y02﹣4]=0 （1）同理，由直线PB与椭圆C的方程联立，得△2=﹣144[（x02﹣9）+2x0y0+y02﹣4]．（2）因为点P为圆M：x2+y2=13上任意一点，所以x02+y02=13，即y02=13﹣x 02．代入（1）式，得（x02﹣9）k2﹣2x0y0k+（9﹣x02）=0，代入（2）式，得△2=﹣[（x02﹣9）+2x0y0k+（x02﹣4）k2]=﹣[（x02﹣9）+2x0y0k+（9﹣x02）k2]，=[（x02﹣9）k2﹣2x0y0k+（9﹣x02）]=0．所以此时直线PB与椭圆C相切．综上，直线PB 与椭圆C 相切．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； yxo（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）直线在轴上的截距为A. B. C. D.（2）在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点的坐标是A. B. C. D.（3）已知圆经过原点，则实数等于A. B. C. D.（4）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑.它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为A.32B.34C.36D.40（5）已知平面，直线，下列命题中假命题．．．是A.若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则（6）椭圆的焦点为，若点在上且满足，则中最大角为A. B. C. D.（7）“”是“方程表示双曲线”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（8）平面两两互相垂直，在平面内有一个点到平面，平面的距离都等于1.则在平面内与点，平面，平面距离都相等的点的个数为A.1B.2C.3D.4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

（9）直线的倾斜角为 ,经过点且与直线平行的直线方程为 .（10）直线被圆所截得的弦长为 .（11）请从正方体的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是 .（只需写出一组）（12）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则 .（13）已知椭圆和双曲线的中心均在原点，且焦点均在轴上，从每条曲（14）曲线的方程为①请写出曲线的两条对称轴方程；②请写出曲线上的两个点的坐标；③曲线上的点到原点的距离的取值范围是 .三、解答题共4小题，共44分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题10分）在平面直角坐标系中，圆的半径为1，其圆心在射线上，且.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程.（16）（本小题10分）如图，在三棱锥中，，且点分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面.（17）（本小题12分）如图，平面平面，四边形和是全等的等腰梯形，其中，且，点为的中点，点是的中点.（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面垂直，并给出证明．．；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求出的长度；如果不存在，请说明理由.（18）（本小题12分）已知抛物线，直线与抛物线交于两点.点为抛物线上一动点，直线，分别与轴交于. （Ⅰ）若的面积为4，求点的坐标；（Ⅱ）当直线时，求线段的长；（Ⅲ）若与面积相等，求的面积.。

2018北京101中学高二（上）期末数 学（理）（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 双曲线的左、右焦点坐标分别是F 1（-3，0），F 2（3，0），虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ）A. 14y 5x 22=-B. 14x 5y 22=- C. 14y 13x 22=-D.116y 9x 22=- 2. 命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是（ ）A. ∀x ∈（0，+∞），lnx ≠x-1B. ∀x ∉（0，+∞），lnx=x-1C. ∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0-1D. ∃x 0∉（0，+∞），lnx 0=x 0-l3. 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ） A. （0，1）B. （0，161） C. （1，0） D. （161，0） 4. 有下列三个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x>y ，则x 2>y 2”的逆否命题；③“若x<-3，则x 2+x-6>0”的否命题。

则真命题的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 05. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种6. 已知圆M ：x 2+y 2-2ay=0截直线x+y=0所得的线段长是22，则a 的值为（ ） A. 2B. 2C. 2±D. ±27. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ） A. 24B. 18C. 12D. 68. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. （332，2] B. [332，2） C . （332，+∞） D. [332，+∞） 二、填空题共6小越。

2018北京十一学校高二数 学II （理）（上）期末2018.1本试卷共8页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、填空题(共15道小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分,共55分)1. 下面说法正确的是______.①长方体的八个顶点在同一个球面上,此时长方体称为球的内接长方体,球是长方体的外接球,并且长方体的对角线是球的直径;②一球与正方体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;③一球与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径.2. 在球内有相距9cm 的两个平行截面,面积分别为249πcm 和2400πcm ,则此球的半径为______.3. 已知异面直线a 与b 所成的角70θ=,P 为空间一点,则过P 点与a 和b 所成角45φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角35φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角70φ=的直线有______条4. 设,,l m n 表示不同的直线,,,αβγ表示不同的平面,给出下列四个命题,其中正确的序号是______.①若//m l ,且m α⊥,则l α⊥;②若//m l ,且//m α,则//l α;③若,,l m n αββγγα===,则////l m n ; ④若,,m l n αββγγα===,且//n β,则//l m .5. 在三棱锥P ABC -中,点O 是点P 在底面ABC 内的射影.①若PA PB PC ==,则O 是ABC !的______心;②若,PA BC PB AC ⊥⊥,则O 是ABC !的______心;③若侧面,,PAB PBC PAC 与底面ABC 所成的二面角相等,则O 是ABC !的______心.6. 如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列四个命题正确的序号是______.①直线BM 与直线ED 平行; ②直线CN 与直线BE 是异面直线;③直线AF 与平面BDM 平行;④平面CAN 与平面BEM 平行.第6题图 第7题图 第8题图7. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积是______.8. 如图所示,侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中,40AVB BVC CVA ︒∠=∠=∠=,过A 作截面AEF ,则截面AEF !周长的最小值等于______.9. 如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为______.10. 在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,00,(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和左视图分别为______,______.①②③④ 11. 将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中2AD BD ==,30BAC ∠=,若他们的斜边AB 重合,让三角板ABD 以AB 为轴转动,则下列说法正确的是______.①当平面平面ABC 时,C 、D 两点间的距离为2;②在三角板ABD 转动过程中,总有AB CD ⊥;③在三角板ABD 转动过程中,三棱锥D ABC -体积的最大值为3612. 如图,PA 垂直于圆O 所在的平面,AB 是圆O 的直径,C 是圆O 上一点,,AE PC AF PB ⊥⊥,给出下列结论,其中真命题的序号有______.①AE BC ⊥;②EF PB ⊥;③AF BC ⊥;④AE ⊥平面PBC .13. 如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为正三角形,底面ABCD 为边长为1的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,M 为底面ABCD 内的一个动点,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为______.14. 如图,正方形123SG G G 中,,E F 分别是1223,G G G G 的中点,现沿,SE SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体,使113,,G G G 三点重合于点G .下列五个结论中,正确的是______.①SG ⊥平面EFG ;②SD ⊥平面EFG ;③GF ⊥平面SEF ;④EF ⊥平面GSD ;⑤GD ⊥平面SEF .15. 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,点P 在正方体的表面上移动,且满足11B P D E ⊥,则点P 形成的轨迹图形的周长是______.B ACD二、解答题(共4小题,共45分.要求有推理计算过程)16. （本小题满分8分）证明:如果一个角所在平面外一点与角的顶点的连线与角的两边所成的角相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.17. （本小题满分12分）如图,已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2,底面ABC !是等腰直角三角形,且90,2,ACB AC D ∠==是1AA 的中点.（Ⅰ）求异面直线AB 和1C D 所成的角（用反三角函数表示）;（Ⅱ）若E 为线段AB 上一点,试确定点E 在AB 上的位置,使得11A E C D ⊥;（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求点D 到平面11B C E 的距离.18. （本小题满分12分）如图,在三棱锥P ABC -中,底面ABC ,,60,90PA AB BC BCA =∠=∠=,点D 、E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC .（Ⅰ）求证:BC ⊥平面PAC ;（Ⅱ）当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的大小;（Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角?并说明理由.19. （本小题满分13分）如图,已知菱形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直,其中1π//,,2,23BE AF AB AF AB BE AF CBA ⊥===∠=,P 为DF 的中点. （Ⅰ）求证://PE 平面ABCD ;（Ⅱ）求二面角D EF A --的余弦值;（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点,AG AD λ=,若直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为3926,求λ的值.数学试题答案一、填空题:本大题共15小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分共55分.1.①②③2.25cm3.2;1;44.①④5.外;垂;内6.③④7.28π3- 8.6 9.23 10.④;③11.①③ 12.①②④13.A 14.①④ 15.3252+二、解答题:16. （本小题满分8分）已知:如图,点P 为BAC ∠所在平面外一点,PD AC ⊥于D ,PE AB ⊥于E ,PD PE =,PG ⊥平面ABC 于G .证明:连结,GE GD .PG ⊥平面ABC ,,EG DG ⊂平面ABC ,,PG EG PG DG ∴⊥⊥,又,PD PE PG PG ==,,PEG PDG GE GD ∴≅∴=!!,PG ⊥平面ABC ,EG ∴为PE 在平面ABC 内的射影,又,AB PE AB EG ⊥∴⊥,同理AC DG ⊥,,AGE AGD EAG DAG ∴≅∴∠=∠!!,AG ∴为BAC ∠的角平分线.17. （本小题满分12分）（Ⅰ）以C 为坐标原点,1,,CB CA CC 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则11(0,2,0),(0,2,2),(2,0,0),(0,0,2),(0,2,1)A A B C D ,1(2,2,0),(0,2,1)AB C D ∴=-=-.异面直线AB 与1C D 所成的角为向量AB 与向量1C D 的夹角或其补角. 设AB 与1C D 的夹角为θ, 则410cos 5225θ-==-⨯, 10πarccos 5θ=-, 即异面直线AB 与1C D 所成的角为10arccos5. （Ⅱ）设E 点的坐标为(,,0)x y ,要使得11A E C D ⊥,只要110A E C D ⋅=,11(,2,2),(0,2,1),1A E x y C D y =--=-=, 又点E 在AB 上,//,(,2,0),(2,2,0)AE AB AE x y AB ∴=-=-, 1,(1,1,0)x E ∴=,E ∴点为AB 的中点.（Ⅲ）取AC 中点N ,连接1,EN C N ,则11//EN B C . 11B C ⊥平面11AA C C ,∴平面11B C NE ⊥平面11AA C C , 过点D 作1DH C N ⊥,垂足为H ,则DH ⊥平面11B C NE , DH ∴的长度即为点D 到平面11B C E 的距离.在正方形11AA C C 中,由计算知355DH =, 即点D 到平面11B C E 的距离为355.18. （本小题满分12分）解:（Ⅰ）PA ⊥底面ABC ,PA BC ∴⊥,又90BCA ︒∠=,AC BC ∴⊥,BC ∴⊥平面PAC .（Ⅱ）D 为PB 的中点,//DE BC ,12DE BC ∴=.又由（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC ,DAE ∴∠是AD 与平面PAC 所成的角,PA ⊥底面ABC ,PA AB ∴⊥.又PA AB =,ABP ∴!为等腰直角三角形, 12AD AB ∴=.在Rt ABC !中,60ABC ︒∠=,12BC AB ∴=,∴在Rt ADE !中,2sin 24DE BC DAE AD AD ∠===,即AD 与平面PAC 所成角的正弦值为24.（Ⅲ）//DE BC ,又有（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC , DE ∴⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ,PE ⊂平面PAC ,,DE AE DE PE ∴⊥⊥,AEP ∴∠为二面角A DE P --的平面角, PA ⊥底面ABC ,PA AC ∴⊥,90PAC ︒∴∠=,∴在棱PC 上存在一点E ,使得AE PC ⊥. 这时90AEP ︒∠=,故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角.19. （本小题满分13分）解:（Ⅰ）取AD 的中点M ,连接,PM BM , P 是DF 的中点,M 是AD 的中点,1//,2PM AF PM AF ∴=, 又1//,,//,2BE AF BE AF BE PM BE PM ==, ∴四边形BEPM 是平行四边形,//PE BM ∴,又PE Ú平面ABCD ,BM ⊂平面ABCD , //PE ∴平面ABCD .（Ⅱ）取AB 中点M ,连接,AC CM ,在ABC !中,π,3AB BC CBA =∠=, ABC ∴!是等边三角形,CM AB ∴⊥, 又平面ABCD ⊥平面ABEF AB =,CM ∴⊥平面ABEF ,又AB AF ⊥,AB ∴⊥平面DAF ,AF ⊥平面ABCD , ∴以A 为原点,作//Az MC 建立如图所示的空间直角坐标系, 设1AB =,则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,0,3),(1,0,3),(0,4,0)A B E C D F -,(3,2,3),(1,4,3)DE DF ∴=-=-,设平面DEF 的法向量(,,)n x y z =,则00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即3230430x y z x y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩,令1z =,则33,55y z ==, 故33(,,1)55n =为平面DEF 的一个法向量,又因为AF ⊥平面ABCD , 故AF 为平面ABCD 的一个法向量,所以39cos ,31AF nAF n AF n ⋅<>==⋅, 平面DEF 与平面ABCD 所成角的余弦值为3931. （Ⅲ）过G 作GH BA ⊥,交BA 延长线于H ,连接,FH FG , 平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD 平面,,ABEF AB GH AB GH =⊥⊂平面ABCD , GH ∴⊥平面ABCD , GFH ∴∠位置线FG 与平面ABEF 所成角. ,2,AG AD AG λλ=∴=π3CBA DAH ∠=∠=, ππsin 3,cos ,33GH AG AH AG λλ∴=⋅==⋅= 22216HF AF AH λ∴=+=+, 22224FG GH FH λ=+=+,2339sin 2624GH GFH FG λλ∠===+, 计算得出33λ=.。

2018年北京市海淀区高二数学上期末试卷(理有答案和解
释）
5
2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知圆（x+1）2+2=2，则其圆心和半径分别为（）
A．（1，0），2B．（﹣1，0），2c． D．
【考点】圆的标准方程．
【分析】利用圆的标准方程的性质求解．
【解答】解圆（x+1）2+2=2的圆心为（﹣1，0），
半径为．
故选D．
2．抛物线x2=4的焦点到准线的距离为（）
A． B．1c．2D．4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】直接利用抛物线方程求解即可．
【解答】解抛物线x2=4的焦点到准线的距离为P=2．
故选c．
3．双曲线4x2﹣2=1的一条渐近线的方程为（）
A．2x+=0B．2x+=1c．x+2=0D．x+2=1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线。

2018北京市西城区高二（上）期末数学（理） 2018.1一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2. 命题“对任意，都有”的否定是（）A. 存在,使得B. 对任意,都有C. 存在,使得D. 对任意,都有3. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A. 1B.C. 2D.4. 设是两个不同的平面，是三条不同的直线，（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则5. “”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设是两个不同的平面，是一条直线，若，，，则（）A. 与平行B. 与相交C. 与异面D. 以上三个答案均有可能7. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段的中点，则直线的斜率的最大值为（）A. B. 1 C. D. 28. 设为空间中的一个平面，记正方体的八个顶点中到的距离为的点的个数为，的所有可能取值构成的集合为，则有（）A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 命题“若，则”的逆否命题为_______.10. 经过点且与直线垂直的直线方程为_______.11. 在中，，，. 以所在的直线为轴将旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为____.12. 若双曲线的一个焦点在直线上，一条渐近线与平行，且双曲线的焦点在轴上，则的标准方程为_______；离心率为_______.13. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有_______个直角三角形.14. 在平面直角坐标系中，曲线是由到两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的. 对于曲线，有下列四个结论：①曲线是轴对称图形；②曲线是中心对称图形；③曲线上所有的点都在单位圆内；④曲线上所有的点的纵坐标.其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 如图，在正三棱柱中，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面.16. 已知圆，其中.（Ⅰ）如果圆与圆相外切，求的值；（Ⅱ）如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值.17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，，为的中点.（Ⅰ）求四棱锥的体积；（Ⅱ）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度；（Ⅲ）判断线段上是否存在一点，使得？（结论不要求证明）18. 设为抛物线的焦点，是抛物线上的两个动点，为坐标原点.（Ⅰ）若直线经过焦点，且斜率为2，求；（Ⅱ）当时，证明：求的最小值.19. 如图，在四面体中，平面，，，为的中点.（Ⅰ）求证: ；（Ⅱ）求二面角的余弦值.（Ⅲ）求四面体的外接球的表面积.（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球. 球的表面积）20. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为. 点为圆上任意一点，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）记线段与椭圆交点为，求的取值范围；（Ⅲ）设直线经过点且与椭圆相切，与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.数学试题答案一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.【答案】D【解析】直线可化为：.斜率为-1，所以倾斜角为.故选D.2.【答案】C【解析】根据命题的否定的写法，只否结论，不改变条件，且转化其中的量词，将任意改为存在。

北京十一学校2018届高三数学（理科）二模模拟试题（2018.4.25）总分：150分 时间：120分钟 命题人：杨文学一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知{}{|31,|x A x B x y =<==，则AB =（ ）答案AA.[)3,0- B. []3,0- C. ()0,+∞ D.[)3,-+∞ 解析：{}{}|0,|3A x x B x x =<=≥-，所以A B =[)3,0-2.若复数z 满足1ziz i=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数为（ ）答案B A. 1122i -+ B. 1122i -- C. 1122i - D.1122i +解析：zi z i =-，所以(1)11(1)(1)2i i i iz i i i +-+===--+，所以12i z --= 3.已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( ) 答案CA.1x －1y＞0 B.sin x －sin y ＞0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y ＜0 D.ln x ＋ln y ＞0解析：函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以1x ＜1y ，即1x －1y ＜0，A 错；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不是单调函数，B 错；函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(0，＋∞)上单调递减，所以⎝⎛⎭⎫12x＜⎝⎛⎭⎫12y，即⎝⎛⎭⎫12x－⎝⎛⎭⎫12y＜0，所以C 正确；ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x ＞y ＞0时，xy 不一定大于1，即不一定有ln xy ＞0，D 错. 4.已知:0,1x p x e ax ∃>-<成立, :q 函数()()1x f x a =--是减函数, 则p 是q 的（ ）答案BA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析：:0,1x p x e ax ∃>-<即0,1x x e ax ∃><+结合x y e =在(0,0)处切线为1y x =+，可知1a >；q中，11a ->，所以2a >，可知1a >是2a >的必要不充分条件.5.若函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ )答案BA ．21()1x e f x x -=-B ．2()1xe f x x =-C. 321()1x x f x x ++=- D ．421()1x x f x x ++=- 解析：可知()0f x <在(1,1)-恒成立，排除,A C ，再结合单调性可知，只有B 符合，因为222-2-1()(1（））xx x e f x x '=-在(,1)-∞-递增，(1,1-递增，(1递减，(1,1递减，(1)+∞递增6.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 不存在相邻的两个人站起来的概率为（ ） A.14 B.716 C.12 D.916解析：古典概型，4人共有16种．可能4人都不站起来，有1种；可能只有1个人站起来有4种；可能相对的两人站起来，有2种，共7种，所以概率为716，答案B 7.在平面直角坐标系中，如果我们定义两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的距离(,)d A B 为：{}1212(,)max ,d A B x x y y =--，则单位圆（到原点(0,0)O 的距离等于1的所有点的轨迹）的面积为（ ）A.πB.1C.2D.4 答案D8．已知点(1,1)A --．若曲线T 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①30(03)x y x +-=≤≤；②222(0)x y x +=≤≤；③1(0)y x x=->． 其中，“正三角形”曲线的个数是（ ） 答案C A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：①设线段30(03)x y x +-=≤≤为MN ，则MN =AM =60MAN ∠>︒，一定可以在MN 上找到,B C 满足题意； ②画个图显然不对；③法一：（戴老师）考虑以A 为圆心的动圆A e ，当A e 的半径r 在()0,+∞上变化时，A e 与1y x=-从没有交点到相切相交，设交点为PQ ，研究PAQ ∠的变化趋势，至少能取到()0,90︒，因此必有r 可以满足60PAQ ∠=︒；法二：设1(0)y x x=->上有两动点P 、Q 满足60PAQ ∀∠=︒且AP 到AQ 为顺时针旋转。

2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.直线在y轴上的截距为A. B. C. D. 12.在空间直角坐标系中，已知点0，，2，，则线段AB的中点的坐标是A. B. C. D.3.已知圆经过原点，则实数m等于A. B. C. 1 D.4.鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为A. 32B. 34C. 36D. 405.已知平面，，直线m，n，下列命题中假命题是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则6.椭圆的焦点为，，若点M在C上且满足，则中最大角为A. B. C. D.7.“”是“方程表示双曲线”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.平面，，两两互相垂直，在平面内有一个点A到平面，平面的距离都等于则在平面内与点A，平面，平面距离都相等的点的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.直线l：的倾斜角为______，经过点且与直线l平行的直线方程为______．10.直线被圆所截得的弦长为______．11.请从正方体的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是______只需写出一组12.在空间直角坐标系中，已知点2，，3，，y，，若A，B，C三点共线，则______．13.已知椭圆和双曲线的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为______．14.曲线W的方程为请写出曲线W的两条对称轴方程______；请写出曲线W上的两个点的坐标______；曲线W上的点到原点的距离的取值范围是______．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线上，且．Ⅰ求圆C的方程；Ⅱ若直线l过点，且与圆C相切，求直线l的方程．16.如图，在三棱锥中，，，且点D，E分别是BC，PB的中点．Ⅰ求证：平面PAC；Ⅱ求证：平面平面PAD．17.如图，平面平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．Ⅰ请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；Ⅱ求二面角的余弦值；Ⅲ在线段CD上是否存在点，使得平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．18.已知抛物线W：，直线与抛物线W交于A，B两点．点为抛物线上一动点，直线PA，PB分别与x轴交于M，N．Ⅰ若的面积为4，求点P的坐标；Ⅱ当直线时，求线段PA的长；Ⅲ若与面积相等，求的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】解：直线化为：，则在y轴上的截距为1．故选：D．把直线方程化为斜截式即可得出．本题考查了斜截式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查线段中点坐标的求法，考查中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用中点坐标公式直接求解．【解答】解：在空间直角坐标系中，点0，，2，，线段AB的中点的坐标是1，．故选B．3.【答案】B【解析】解：圆经过原点，，则实数，故选：B．把原点的坐标代入圆的方程，即可求得实数m的值．本题主要考查圆的一般方程，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为2的小长体的一个几何体，如图，该零件的体积：．故选：C．由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为2的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积．本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．5.【答案】D【解析】解：由平面，，直线m，n，知：在A中，若，，则由面面平行的判断定理得，故A正确；在B中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故B正确；在C中，若，，则由面面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若，，，则m与n平行或异面，故D错误．故选：D．在A中，由面面平行的判断定理得；在B中，由线面垂直的判定定理得；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，m与n平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．利用椭圆的定义列出方程，求出，，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：椭圆：的焦点为，，若点M在C上且满足，，所以，，，则中最大角为：．故选：A．7.【答案】C【解析】解：方程表示双曲线，．“”是“方程表示双曲线”的充要条件．故选：C．方程表示双曲线，即可判断出结论．本题考查了双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：如图1所示，，令，，点C满足题意；如图2所示，，令，则，点M满足题意；综上，满足条件的点的个数是2个．故选：B．根据题意，满足条件的点应在正方形的对角线OA上，结合题意画出图形，利用等腰三角形的性质求出结果．本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力，是难题．9.【答案】；【解析】解：直线l：的斜率为，倾斜角为，经过点且与直线l平行的直线方程为：，即．故答案为：，．先求出直线l：的斜率为，由此能求出倾斜角，利用点斜式方程能求出经过点且与直线l 平行的直线方程．本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线方程的求法，考查直线方程、直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】【解析】解：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离：，直线被圆所截得的弦长为：．故答案为：．圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，直线被圆所截得的弦长为．本题考查弦长的求法，考查圆、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解，考查函数与方程思想，是基础题．11.【答案】、A、C、D【解析】【解答】解：正方体中，平面，，，，正方体中，平面ABCD，，，从正方体的8个顶点中，找出4个点、A、C、D，构成一个三棱锥，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．故答案为：、A、C、D．【分析】正方体中，由平面，平面ABCD，得到从正方体的8个顶点中，找出4个点、A、C、D，构成一个三棱锥，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．本题正方体的八个顶点中能构成4个面都是直角三角形的三棱锥的顶点的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、函数与方程思想，是中档题．12.【答案】【解析】【分析】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．1，，，根据A，B，C三点共线时，存在实数k使得即可解答．【解答】解：1，，，，B，C三点共线，存在实数k使得，解得，，．．故答案为．13.【答案】【解析】解：双曲线的焦点在x轴上，图标中点是椭圆上的点，则，是双曲线上的两点．设双曲线方程为，则，解得．，．则．故答案为：．由题意可知图标中点，是双曲线上的两点，设双曲线方程为，把点的坐标代入双曲线方程，求得a，b的值，结合隐含条件求得c，则双曲线的离心率可求．本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．14.【答案】，；、；【解析】解：，曲线W的方程为，分析可得，有，其图象关于x轴对称，又由有，其图象关于y轴对称，则曲线W的两条对称轴方程为，；，曲线W的方程为，有，，点与都在曲线上，则曲线W上的两个点的坐标为，；，曲线W的方程为，设是曲线W上的点，其到原点的距离为t，则，又由，则有，即有，变形可得：，即曲线W上的点到原点的距离的取值范围为，由曲线的方程，分析与都在曲线上，则可得曲线的对称轴方程；，由曲线的方程，分析与都在曲线上，则可得答案；，根据题意，设是曲线W上的点，其到原点的距离为t，则，，由基本不等式的性质分析可得，即可得，变形可得：，即可得答案．本题考查曲线方程的应用，涉及基本不等式的性质以及应用，关键是理解曲线方程的定义，注意本题的答案不唯一．15.【答案】解：Ⅰ设，，．，则，即圆心，．则圆C的标准方程为．Ⅱ若直线斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离，此时满足直线和圆相切，若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为，即，直线和圆相切，圆心到直线的距离，即，平方得，即，此时直线方程为，即，则对应的切线方程为或．【解析】Ⅰ设出C的坐标，根据线段长度求出C的坐标，即可求圆C的方程；Ⅱ讨论直线斜率是否存在，利用直线和圆相切的位置关系建立方程关系进行求解即可．本题主要考查圆的标准方程以及直线和圆相切的位置关系的应用，利用点到直线的距离等于半径是解决本题的关键．16.【答案】证明：Ⅰ点D，E分别是BC，PB的中点．，平面PAC，平面PAC，平面PAC．Ⅱ三棱锥中，，，且点D是BC，，，，平面PAD，平面ABC，平面平面PAD．【解析】Ⅰ由点D，E分别是BC，PB的中点．得，由此能证明平面PAC．Ⅱ推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面PAD．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17.【答案】解：Ⅰ，D为所求的点．证明如下：四边形ABCF是等腰梯形，点O是FC的中点，点G是AB的中点，，又平面平面FCDE，平面平面，平面FCDE，同理，取DE中点M，由平面ABCF，分别以OG、OC、OM为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，由，得0，，1，，，，则3，，0，，，，，，，，平面ECO．Ⅱ由Ⅰ知平面EGO的一个法向量为3，，设平面EFG的法向量y，，则，取，得，，，二面角的平面角为钝角，二面角的余弦值为．Ⅲ假设存在点H，使得平面EGO，设，，，1，，2，，3，，0，，，，，，，这与矛盾，在线段CD上不存在点，使得平面EGO．【解析】Ⅰ，D为所求的点，由四边形ABCF是等腰梯形，点O是FC的中点，点G是AB的中点，得，从而平面FCDE，取DE中点M，由平面ABCF，分别以OG、OC、OM为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ECO．Ⅱ求出平面EGO的一个法向量和平面EFG的法向量，利用向量法能出二面角的余弦值．Ⅲ假设存在点H，使得平面EGO，设，利用向量法推导出在线段CD上不存在点，使得平面EGO．本题考查线面垂直的判断与证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：Ⅰ由，解得，或，不妨设，，则，点为抛物线上一动点，点P到直线的距离d为，，解得，当时，，点P的坐标为；Ⅱ点为抛物线上一动点，点的坐标，，，，，解得或，点P的坐标为或，舍去．，Ⅲ由Ⅰ可得，P点的坐标，，，则直线AP的方程为，直线BP的方程为，直线AP，BP分别与直线x轴交于点M，N，令，得，，的面积，的面积，，解得，．【解析】Ⅰ联立方程组，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式即可求出点P的坐标，Ⅱ根据向量垂直，即可求出P的坐标，即可求出线段PA的长，Ⅲ设出直线AP的方程和直线BP的方程，由直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，得的面积本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查满足条件的点是否存在的确定，综合性强，难度大．。

2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB的中点的坐标是（）A．（1，1，1）B．（2，1，1）C．（1，1，2）D．（1，2，3）3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．405．（4分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中假命题是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∥β，n⊂β，则m∥n6．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°7．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一个点A到平面β，平面γ的距离都等于1．则在平面α内与点A，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为．10．（4分）直线被圆x2+y2=1所截得的弦长为．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是．（只需写出一组）12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C三点共线，则x+y=．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．14．（4分）曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2①请写出曲线W的两条对称轴方程；②请写出曲线W上的两个点的坐标；③曲线W上的点到原点的距离的取值范围是．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅱ）求二面角O﹣EG﹣F的余弦值；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．18．（12分）已知抛物线W：y2=4x，直线x=4与抛物线W交于A，B两点．点P （x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，直线PA，PB分别与x轴交于M，N．（Ⅰ）若△PAB的面积为4，求点P的坐标；（Ⅱ）当直线PA⊥PB时，求线段PA的长；（Ⅲ）若△PMN与△PAB面积相等，求△PMN的面积．2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．1【解答】解：直线2x+y﹣1=0化为：y=﹣2x+1，则在y轴上的截距为1．故选：D．2．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB的中点的坐标是（）A．（1，1，1）B．（2，1，1）C．（1，1，2）D．（1，2，3）【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点A（1，0，1），B（3，2，1），∴线段AB的中点的坐标是（2，1，1）．故选：B．3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．【解答】解：∵圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，∴0+0﹣0+m+1=0，则实数m=﹣1，故选：B．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．40【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为2的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V=10×2×2﹣2×2×1=36．故选：C．5．（4分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中假命题是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∥β，n⊂β，则m∥n【解答】解：由平面α，β，直线m，n，知：在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判断定理得α∥β，故A正确；在B中，若m∥n，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故B正确；在C中，若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m∥α，α∥β，n⊂β，则m与n平行或异面，故D错误．故选：D．6．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°【解答】解：椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，|MF1|+|MF2|=8，所以|MF1|=5，|MF2|=3，|F1F2|=4，则△F1MF2中最大角为：∠F1F2M=90°．故选：A．7．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程x2+my2=m表示双曲线，+y2=1⇔m＜0．∴“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的充要条件．故选：C．8．（4分）平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一个点A到平面β，平面γ的距离都等于1．则在平面α内与点A，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图1所示，∠OCB=45°，令∠OAB=22.5°，∴AC=BC，点C满足题意；如图2所示，∠OAN=45°，令∠OMN=22.5°，则AN=AM，点M满足题意；综上，满足条件的点的个数是2个．故选：B．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为135°，经过点（1，1）且与直线l 平行的直线方程为x+y﹣2=0．【解答】解：直线l：x+y﹣1=0的斜率为k=﹣1，倾斜角为α=135°，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：135°，x+y﹣2=0．10．（4分）直线被圆x2+y2=1所截得的弦长为．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径r=1，圆心O（0，0）到直线的距离：d==，∴直线被圆x2+y2=1所截得的弦长为：|AB|=2=2=．故答案为：．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是A1、A、C、D．（只需写出一组）【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，∴A1D⊥CD，AD⊥CD，AA1⊥CD，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥AD，AA1⊥AC，∴从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点A1、A、C、D，构成一个三棱锥A1﹣ACD，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．故答案为：A1、A、C、D．12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C三点共线，则x+y=﹣．【解答】解：=（x﹣1，1，﹣1），=（3，y﹣2，2），∵A，B，C三点共线，∴存在实数k使得：=k，∴，解得k=﹣，x=﹣，y=0．∴x+y=﹣．故答案为：﹣．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴图标中点（0，）是椭圆上的点，则（4，﹣2），（，﹣）是双曲线上的两点．设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则，解得．∴，．则e=．故答案为：．14．（4分）曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2①请写出曲线W的两条对称轴方程x=0，y=0；②请写出曲线W上的两个点的坐标（0，0）、（1，1）；③曲线W上的点到原点的距离的取值范围是[0，] ．【解答】解：①，曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2，分析可得，有[x2+（﹣y）2]3=8x2（﹣y）2，其图象关于x轴对称，又由有[（﹣x）2+y2]3=8（﹣x）2y2，其图象关于y轴对称，则曲线W的两条对称轴方程为x=0，y=0；②，曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2，有（02+02）3=8×02×02，（12+12）3=8×12×12，点（0，0）与（1，1）都在曲线上，则曲线W上的两个点的坐标为（0，0），（1，1）；③，曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2，设（x，y）是曲线W上的点，其到原点的距离为t，则t=，（t≥0）又由x2y2≤（）2，则有（x2+y2）3≤（）2，即有t6≤，变形可得：0≤t≤，即曲线W上的点到原点的距离的取值范围为[0，]．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，∵．∴=a，则a=2，即圆心C（2，2），．则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．（Ⅱ）若直线斜率不存在，则直线方程为x=1，圆心到直线x=1的距离d=2﹣1=1=r，此时满足直线和圆相切，若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时直线方程为x﹣y﹣=0，即3x﹣4y﹣3=0，则对应的切线方程为x=1或3x﹣4y﹣3=0．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．【解答】证明：（Ⅰ）∵点D，E分别是BC，PB的中点．∴DE∥PC，∵DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC．（Ⅱ）∵三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D是BC，∴PD⊥BC，AD⊥BC，∵PD∩AD=D，∴BC⊥平面PAD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAD．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅱ）求二面角O﹣EG﹣F的余弦值；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）F，D为所求的点．证明如下：∵四边形ABCF是等腰梯形，点O是FC的中点，点G是AB的中点，∴OG⊥FC，又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，∴OG⊥平面FCDE，同理，取DE中点M，由OM⊥平面ABCF，分别以OG、OC、OM为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，由AB=2，得G（，0，0），D（0，1，），E（0，﹣1，），F（0，﹣2，0），则=（0，3，），=（，0，0），=（0，﹣1，），∵=0，=0，∴FD⊥OG，FD⊥OE，∵EO∩OG=0，∴FD⊥平面ECO．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面EGO的一个法向量为=（0，3，），设平面EFG的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（﹣2，，﹣1），∴cos＜，＞==，∵二面角O﹣EG﹣F的平面角为钝角，∴二面角O﹣EG﹣F的余弦值为﹣．（Ⅲ）假设存在点H，使得BH∥平面EGO，设=，∴，∴=0，∵B（，1，0），C（0，2，0），=（0，3，），=（﹣，0，）+（0，﹣λ，）=（﹣，﹣λ，），=0﹣3λ+3+3λ=3，这与=0矛盾，∴在线段CD上不存在点，使得BH∥平面EGO．18．（12分）已知抛物线W：y2=4x，直线x=4与抛物线W交于A，B两点．点P （x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，直线PA，PB分别与x轴交于M，N．（Ⅰ）若△PAB的面积为4，求点P的坐标；（Ⅱ）当直线PA⊥PB时，求线段PA的长；（Ⅲ）若△PMN与△PAB面积相等，求△PMN的面积．【解答】解：（Ⅰ）由，解得，或，不妨设A（4，4），B（4，﹣4），则|AB|=4+4=8，∵点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，∴点P到直线x=4的距离d为4﹣x0，∴S=|AB|•d=×8×（4﹣x0）=4，△PAB解得x0=3，当x0=3时，y0=2，∴点P的坐标为（3，2）；（Ⅱ）∵点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，∴P点的坐标（y02，y0），∴=（4﹣y02，4﹣y0），=（4﹣y02，﹣4﹣y0），∵PA⊥PB，∴•=（4﹣y02）2﹣（4﹣y0）（4+y0）=0，解得y0=0或y0=4，∴点P的坐标为（0，0）或（4，4），舍去．∴|PA|=4，（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，P点的坐标（y02，y0），∵A（4，4），B（4，﹣4），则直线AP的方程为y﹣4=（x﹣4）=（x﹣4），直线BP的方程为y+4=（x﹣4）=（x﹣4），∵直线AP，BP分别与直线x轴交于点M，N，∴令y=0，得x M=﹣y0，x N=﹣y0，∴△PMN的面积S=•|x M﹣x N|•y0=y02，△PMN=|4﹣x0|×8=16﹣y02，∵△PAB的面积S△PAB∴16﹣y02=y02，解得y02=8，∴S=8．△PMN。

北京2018年第一学期期末练习高二理科数学一、选择题 1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于( )A.6B.7C.8D.92．由=1，给出的数列的第34项为( )A ．B ．100C ．D ．3．已知数列{ a n }是正项等比数列，若a 1=32，a 3+ a 4=12，则数列{loga n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．15B ． 12C ． 9D ．64．抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，抛物线上的动点M 在准线上的射影为M '，若△F M M '是等边三角形，则点M 的横坐标是( ) A ．p B ．23p C ．3p D ．27p 5．数列{n a }前n 项和是n S ，如果*32()n n S a n N =+∈，则这个数列是（）A.等比数列B.等差数列C.除去第一项是等比D.除去最后一项为等差6．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为，与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于( ) A ．33 B ．43 C ．63 D ．837．△ABC 中，c b a ,,分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果c b a ,,成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b=（ ） A.231+ B.31+ C.232+ D.32+8．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为（ ） A.2 B. C.12 D.149．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是 ( ) A.1141 B.1241 C.1341 D.144110．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．6411．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项之和，且98776,S S S S S >=<，则下列结论中错误的是（ ）A.0<dB.08=aC.610S S >D.87,S S 均为n S 的最大项 12．已知二次函数)(x f =a x 2+2x+c(x ∈R)的值域为[0，+∞)，则c a 1++ac 1+的最小值为（ ） A.4 B ．42 C ．8 D ．82 二、填空题13．在△ABC 中,三边的长为连续自然数,且最大角是钝角,这个三角形三边的长分别为_________.14．如图，长方体ABCD A B C D -1111中，AB =b ,=BC =a ,则与所成的角的度数是；与BB 1所成角的余弦值是。

主视图侧视图2018年清华附高二上期末数学（理）试卷一、选择题．（共8小题，共8×5=40分） 1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）． A ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ B ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x > C ．0:p x ⌝∃∈R ，0sin 1x ≥ D ．0:p x ⌝∃∈R ，0sin 1x >【答案】D【解析】p ⌝为命题p 的否定，即0x ∃∈R ，0sin 1x >． 故选：D ．【答案】A【解析】由双曲线标准方程可知，双曲线焦点在x 轴上，2a =，1b =．∴渐进线的方程为12y x =±．故选：A ．3．下列命题中的假命题是（ ）． A ．x ∀∈R ，120x -> B ．*x ∀∈N ，2(1)0x -> C ．x ∃∈R ，lg 1x < D ．x ∃∈R ，tan 2x =【答案】B【解析】A 选项中，2的任意次方都是正数，正确．B选项中，当1x =时，2(1)0x -=．C 选项中，当10x <时，lg 1x <，正确．D 选项中，tan x 的取值范围是全体实数，正确．故选：B ．【答案】B【解析】223i (3i)34i 24i(1i)i 12i1i (1i)(1i)1i 2++++++====+--+-． 故选：B ．【答案】C【解析】由三视图可还原该几何体的直观图，如下所示，该几何体为四棱柱，底面ABCD 为正方形，边长PB ⊥底面ABCD ．=2PB ，PAB △≌PBC △，且均为直角三角形．12PAB S AB PB =⋅⋅△PAD △≌PCD △，PA =PD =．∴222PA AD PD +=．∴PA AD ⊥，12PAD S PA AD =⋅⋅=△．故选：C ．6．函数2()log 2f x x x =+-的零点所在的区间是（ ）． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】B【解析】易知()f x 在(0,)+∞上递增． 2(1)log 11210f =+-=-<． 2(2)log 22210f =+-=>．∴()f x 在(1,2)内有唯一零点．故选：B ．7．“0x >”是“sin 0x x +>”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分调价 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】令()sin f x x x =+，()1cos 0f x x '=+>，可知()f x 在R 上单调递增． (0)0f =，当0x >时，()(0)f x f >，即sin 0x x +>．若sin 0x x +>，即()(0)f x f >． ∴()f x 在R 上单调递增． ∴0x >．故0x >是sin 0x x +>的充要条件．DCBA故选：C ．【答案】B【解析】取AD ，BC 中点F ，G ，连接1A F ，FG ，1B G ． 易知FG AB ∥，AB ⊥平面11BCC B ． ∴FG ⊥平面11BCC B ．∴FG BE ⊥，在正方形11BCC B 中，1B G BE ⊥． ∴BE ⊥平面11A B GF ． ∵P 在平面ABCD 中． ∴P 点的轨迹就是线段FG ．当P 与F 重合时，1A P 最短，此时1A P =． 当P 与G 重合时，1A P 最长，此时132A P =．故选：B ．二、填空题．（共6小题，共6×5=30分） 9．复数12i -的虚部为__________． 【答案】2-【解析】根据复数的定义，1为实部，2-为虚部，i 为虚数单位． 故答案为：2-．10．命题“若0x ≠，则20x >”的逆否命题为__________． 【答案】若0x ≤，则0x =【解析】原命题为若p 则q ，逆否命题为q ⌝，则p ⌝．故答案为：若0x ≤，则0x =．11．抛物线24x y =上的点到其焦点的最短距离为__________． 【答案】1【解析】抛物线焦点坐标(0,1)为，记200,4x P x ⎛⎫⎪⎝⎭为抛物线上任意一点，则P 到焦点的距离PF =． 当且仅当00x =时，PF 有最小值1． 故答案为：1．12．已知对x ∀∈R ，210ax x -+>恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令21y ax x =-+．由已知x ∀∈R ，0y >恒成立． ∴0140a a >∆=-<⎧⎨⎩．综上所述，14a >．故答案为：1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．13．在下列四个命题：①x ∀∈R ，2310x x ++>；②x Q ∀∈，211132x x ++是有理数； ③,R αβ∃∈，使sin()sin sin αβαβ+=+；④,x y Z ∃∈，使3210x y -= 真命题的序号是 __________． 【答案】②③④【解析】①当1x =-时，2310x x ++<．∴错误． ②∵x ∈Q ，∴211132x x ++∈Q ，∴正确．③当0α=时，sin()sin αββ+=，sin sin sin0sin sin αβββ+=+=． ∴,αβ∃∈R ，使sin()sin sin αβαβ+=+． ④令2x =，2y =，则3210x y -=．故答案为：②③④．14．已知42(),()4,a x x a xf x x x a x ⎧-+<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩．（1）当1a =时，()3f x =，则x =__________．（2）当1a ≤-时，若()3f x =有三个不等实数根，是它们成等差数列，则a =__________．【答案】（1）4．（2）116-． 【解析】（1）1a =时，42,1()4,1x x x f x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎧⎪⎪⎨=-⎪⎭⎪⎩≥．1x <时，423x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，该方程无解．1x ≥时，43x x-=，解得4x =或1x =-（舍去）． ∴4x =．（2）∵x a >时，()3f x =的解为4x =或1x =-． ∵123x x x <<，且它们依次成等差数列． ∴21x =-，34x =，16x =-，∴1a -≤． ∴x a <时，()3f x =只能有一个实数根6-．∵2(6)2633f a -=++=，∴116a =-． 故答案为：（1）4．（2）116-．三、解答题．（共6小题，共80分）15．设命题2:ln((1)1)p y x a x =+-+的定义域为R ，命题Q ：复数1(2)()z a a i a R =-+-∈表示的点在第四象限．若p q ∨为真,p q ∧为假,求a 的取值范围． 【答案】(1,1][2,3)-【解析】由题意可知，p 真q 假或p 假q 真． 若p 真，则令2(1)+1t x a x =+-，0∆<． 即2(1)40a --<，13a -<<． 若q 为真，则1020a a ->-<⎧⎨⎩，12a <<．∴p 真q 假时1312a a a -⎧⎨<⎩<≤或≥【注意有文字】．∴11a -<≤或23a ≤≤． p 假q 真时1312a a a -<⎧⎩<⎨≤或≥，a ∈∅．综上所述，a 的取值范围是(1,1][2,3)-．16．在ABC △中，内角A，B ，C 所对的边为a ，b ，c ．已知3cos 20A -=，sin()A C C +=．（1）求tan C 的值；（2）若2a =，求ABC ∆的面积．【答案】（1．（2． 【解析】（1）由已知得2cos 3A =，∴sin A∴2sin()sin 3A C C C C +=+=．∴2sin 3C C =．∴tan C =（2）∵tan C =sin C =cos C ．∴sin sin()B A C C =+= ∵sin sin a cA C=，∴c =∴11sin 222ABC S ac B ==⨯△17由．【答案】（1）证明见解析．（2）π4．（3）存在，12BE BC =． 【解析】（1）证明：∵M ，N 分别为PB ，PC 中点，∴MN BC ∥．在矩形ABCD 中，BC AD ∥，∴MN AD ∥． ∵MN ⊄平面PAD ． ∴MN ∥平面PAD ．（2）取AB 中点O ，连接PO ． ∵PAB △为正三角形，∴PO AB ⊥． ∵平面PAB ⊥平面ABCD ． 平面PAB 平面ABCD AB =． ∴OP ⊥平面ABCD ，作Oy AB ⊥． 建立如图空间直角坐标系．PABCDMN设=2AB ，1AD =．设平面BAM 的一个法向量为m ，则m 可取(0,1,0)．A ，M ，C 坐标分别为(1,0,0)-，12⎛ ⎝⎭，(1,1,0)． 3,0,AM ⎛= ，(2,1,0)AC =设平面AMC 的一个法向量(,,)n x y z =则3n AM x ⋅=+，2n AC x ⋅=+1x =，则y 3，∴(1,2,n =--AM C -角为α22,12m n m n m n⋅-<>==⨯⋅由图可知α为锐角，∴cos PAB 平面ABCD ． 18．已知函数()e sin x f x x ax =-．（1）若0a =，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程． （2）若()f x 在π[0,]2上为单调函数，求a 的取值范围．【答案】（1）y x =．（2）1a ≤或π2e a ≥． 【解析】（1）0a =时，()e sin x f x x =，()e (sin cos )x f x x x '=+． (0)0f =，(0)1f '=．∴切线方程为y x =．（2）()e (sin cos )x f x x x a '=+-．令()()g x f x '=，则()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调等价于()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒为负或非正．()2e cos x g x x '=，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥恒成立． ∴()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．∴π2maxπ()e 02g x g a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭≤即π2e a ≥． 或min ()(0)10g x g a ==-≥即1a ≤． 综上所述：1a ≤或π2e a ≥． 19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴为AB ，如图所示，直线:2l x =与椭圆相切与B 点，且椭圆的离心率为e = （1）求椭圆方程．（2）设P 点为椭圆上的动点，过P 做x 轴的垂线，垂足为H ，延长HP 到Q ，使得||||PH PQ =，直线AQ 与直线l 交于点M ，N 为线段MB 的中点，判断直线QN 与以AB 为直径的圆的位置关系，并给出证明．【答案】（1）2214x y +=．（2）相切．【解析】（1）由已知得：2a =，c e a =∴c ． ∴2221b a c =-=．∴椭圆的方程为2214x y +=．（2）设P 点的坐标为00(,)x y ，则Q 点的坐标为00(,2)x y ．又∵A 点的坐标为(2,0)-． ∴直线AQ 的方程为002(2)2y y x x =++．令2x =，则M 点的坐标为0082,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭．∴N 点的坐标为0042,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭．由题意，直线QN 存在斜率，00000200422224QNy y x x y k x x -+==--．∵220014x y +=．∴000200242QN x y x k y y ==--．∴QN 的方程为00002()2x y y x x y -=--． 即220000002(4)240x x y y x y x x y y +-+=+-=． 原点O 到直线QN的距离422d ===与圆半径相等． ∴以AB 为直径的圆与QN 相切．20．设{}n a 为至少有三项的有限数列，若它满足：①120n a a a ≤<<…<．②i ∃，*j N ∈，1i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -至少有一个是数列{}n a 中的某一项则称该数列为B -数列．（1）判断数列①1，2，4；②0，2，4，6是否为B -数列． （2）设数列12,n a a a ,...是B -数列，求证112()2n n n a a a a a +++=…+． （3）求证：“数列12,n a a a ,...为B -数列”是“12,n a a a ,...是等差数列”的充分不必要条件．【答案】（1）①不是．②是．（2）证明见解析．（3）证明见解析． 【解析】（1）数列1，2，4中，31a a -与21a a +均不在该数列中． ∴该数列不是B -数列．数列0，2，4，6中，j i a a +与(13)j i a a i j -≤≤≤均是该数列中的项． 432a a -=也是该数列中的项．∴该数列是B -数列．（2）令i j n ==，n n a a +不在该数列中． ∴0n n a a -=一定在数列中． 又∵120n a a a <<<<．∴10a =．令j n =，1i n =-． 则1n n a a -+不在数列中． ∴1n n a a --在该数列中． ∵10a =，1n n a a -<． ∴11n n a a a --≠．∴1n n a a --可以是2a 或3a ．若13n n a a a --=，则312n n n a a a a a --=<-． 即21n n a a a -->，则只能2n n a a a -=． ∵210a a >=．∴矛盾，则只能12n n a a a --=． 同理可知1(1)n i n i a a a i +-=+>． ∴1n n a a a =+． 21n n a a a -=+． 32n n a a a -=+．…1n n a a a =+．以上累加得122()n n na a a a =+++．∴112()22n n n na n a a a a a +==+++．（3）先证充分性：对于3n ∀≥，*n ∈N ，由（2）可知，12n n a a a --=，而2a 为定值． ∴如果数列为B -数列，则一定是等差数列．不必要性：设数列{}n a 为等差数列，且10a >，0d >． 若{}n a 同时为B -数列，则2n n n a a a +=或0n n a a -=． 在该数列中，而2n a 显然不存在，0也不存在． ∴与{}n a 是B -数列矛盾． ∴{}n a 不是B -数列．综上所述，数列数列12,n a a a ,...为B -数列”是“12,n a a a ,...是等差数列”的充分不必要条件．。