人教版高中数学必修2-3.2基础训练：直线的两点式方程

预习导航请沿着以下脉络学习：1．两点式方程与截距式方程的概念(1)已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则其方程为112121y y x x y y x x --=--(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式．(2)若直线过点A (a,0)，B (0，b )，其中a 叫做直线在x 轴上的截距(也叫横截距)，b 叫做直线在y 轴上的截距(也叫纵截距)，则直线的方程为1x y a b +=(a ≠0，b ≠0)．称为截距式方程．2．中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 3．一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是A B -，在y 轴上的截距是C B-.当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，不存在斜率． 4．二元一次方程与直线的关系 二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．1．过两点(5,0)，(2，－5)的直线的方程是( )．A ．5x ＋3y －25＝0B ．5x －3y －25＝0C ．3x －5y －25＝0D ．5x －3y ＋25＝0答案：B解析：过两点(5,0)，(2，－5)的直线的方程是055025y x --=---，整理得5x －3y －25＝0. 2．直线123x y +=-，化成一般式方程为( )． A ．y ＝32x ＋3 B ．3x －2y ＋6＝0 C ．y －3＝32x D ．3x ＋2y －6＝0答案：B 解析：一般式指的是形如Ax ＋By ＋C ＝0的形式．3．直线221x y a b -=在y 轴上的截距是__________． 答案：－b 2解析：令x ＝0，得y ＝－b 2.4．若直线x ＋ay ＋2＝0和2x ＋3y ＋1＝0互相垂直，则a ＝__________. 答案：23- 解析：由题意，得12()13a -⨯-=-， 解得23a =-. 5．已知两点A (1,3)、B (5,7)，直线AB 过点C (m,12)，求直线AB 的方程和m 的值． 解：由两点式317351y x --=--得AB 的方程为x －y ＋2＝0，把C (m,12)代入得m ＝10.。

3.2.2 直线的两点式方程一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．过坐标平面内两点(1，2)和(3，4)的直线的方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝－x ＋2 D ．y ＝－x －22．下列说法中正确的是 ( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1来表示D ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示3．两条直线x m －y n ＝1与x n －ym ＝1的图像可能是下图中的( )图L3­2­24．若直线l 过点(－1，－1)和(2，5)，且点(1004，b )在直线l 上，则b 的值为( ) A ．2009 B ．2008 C ．2007 D ．20065．过点P (1，3)且在x 轴上的截距和在y 轴上的截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y －4＝0 B ．3x －y ＝0C ．x ＋y －4＝0或3x ＋y ＝0D ．x ＋y －4＝0或3x －y ＝06．若直线l 经过A (2，1)，B (1，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0≤α≤π4 B.π2<α<πC.π4≤α<π2D.π2<α≤3π47．已知两点A (3，0)，B (0，4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy ( ) A ．无最小值且无最大值 B ．无最小值但有最大值C．有最小值但无最大值D．有最小值且有最大值二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．过点A(1，2)，且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程是________．9．已知点A(－3，－2)，B(6，1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是________．10．已知直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点分别为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为________．11．若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为________．三、解答题(本大题共2题，共25分)12．(12分)如图L3­2­3所示，△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0)．(1)求边AC和BC所在直线的方程；(2)求边AC上的中线BD所在直线的方程．图L3­2­313．(13分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．14．(5分)若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为_______________________________________________________________．15．(15分)已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1，2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上的一点C，最后从C点反射回A点，求直线BC的方程．3．2.2 直线的两点式方程1．B [解析] 代入直线的两点式方程得y －24－2＝x －13－1，整理得y ＝x ＋1.2．D [解析] 直接根据方程的定义判断即可．3．B [解析] 两直线的方程分别化为y ＝n m x －n ，y ＝mnx －m ，易知两直线的斜率的符号相同．4．A [解析] 由直线的两点式方程得直线l 的方程为y －（－1）5－（－1）＝x －（－1）2－（－1），即y ＝2x ＋1，令x ＝1004，则有b ＝2×1004＋1，即b ＝2009.5．D [解析] 若直线过原点，则设直线方程为y ＝kx ，把点P (1，3)代入得k ＝3，此时直线方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0.若直线不经过原点，则设直线方程为x a ＋ya＝1，即x ＋y ＝a ，把点P (1，3)代入得a ＝4，所以直线方程为x ＋y ＝4，即x ＋y －4＝0，所以选D.6．C [解析] 因为直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α<π2.7．D [解析] 线段AB 的方程为x 3＋y 4＝1(0≤x ≤3)，于是y ＝41－x3(0≤x ≤3)，从而xy ＝4x 1－x 3＝－43x －322＋3，显然当x ＝32∈[0，3]时，xy 取最大值为3；当x ＝0或3时，xy取最小值0.8．x ＋y ＝3或y ＝2x [解析] 分两种情形：若直线过原点，则方程为y ＝2x ；若直线不过原点，则可设直线的方程为x a ＋ya＝1，将(1，2)代入，得a ＝3，则直线的方程为x ＋y ＝3.9．(0，－11) [解析]设点P (0，y )，∵k AB ＝－2－1－3－6＝13，k AP ＝－2－y －3－0＝2＋y3，∠BAP ＝90°.∴k AP ·k AB ＝－1，∴13×2＋y3＝－1，解得y ＝－11.∴P (0，－11)．10．y ＝23x [解析] 若直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3，2)，又因为直线l 过原点，所以直线l 的方程为y ＝23x .11.x 2＋y ＝1或x 3＋y2＝1 [解析] 设直线l 在y 轴上的截距为a (a ≠0)，则在x 轴上的截距为a ＋1. 则l 的方程为x a ＋1＋y a ＝1，代入点A (6，－2)得6a ＋1－2a＝1，即a 2－3a ＋2＝0，∴a ＝2或a ＝1，∴直线l 的方程为x 2＋y ＝1或x 3＋y2＝1.12．解：(1)由A (0，4)，C (－8，0)，根据直线方程的截距式，得直线AC 的方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由B (－2，6)，C (－8，0)，根据直线方程的两点式可得直线BC 的方程为y －60－6＝x －（－2）（－8）－（－2），即y －6－6＝x ＋2－6，即x －y ＋8＝0. (2)由中点坐标公式得D ⎝⎛⎭⎫0－82，4＋02，即D 点坐标为(－4，2)．根据两点式可得直线BD 的方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0.13．解：(1)令x ＝0，得y ＝a －2，令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1(a ≠－1)．∵l 在两坐标轴上的截距相等，∴a －2＝a －2a ＋1，解之，得a ＝2或a ＝0，∴所求的直线l 方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∵l 不过第二象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）≥0，a －2≤0.∴a ≤－1，∴a 的取值范围为(－∞，－1]． 14．x ＋y ±6＝0，x －y ±6＝0 [解析] 因为直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a ，则直线方程为x a ＋ya＝1，即x ＋y －a ＝0.∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6，∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a ，则纵截距为－a ，故直线方程为x a ＋y－a＝1，即x －y －a ＝0.∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6，∴直线方程为x －y ±6＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0. 15．解：作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2)． 设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋12－y 0＋22＋3＝0，y 0－2x 0－1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝4，即A 1点坐标为(－1，4)．由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，∴由直线的两点式方程得y －4－2－4＝x ＋11＋1，即3x ＋y －1＝0.故直线BC 的方程为3x ＋y －1＝0.。

3.2.2 直线的两点式方程教学过程导入新课思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点P 1(1,2),P 2(3,5),求直线l 的方程.（2）已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程. 思路2.要学生求直线的方程，题目如下：①A(8，-1)，B(-2，4)；②A(6，-4)，B(-1，2)；③A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k 及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?推进新课新知探究提出问题①已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程. ②若点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)中有x 1=x 2或y 1=y 2，此时这两点的直线方程是什么？ ③两点式公式运用时应注意什么？④已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0,b)，其中a ≠0,b≠0，求直线l 的方程.⑤a、b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.∵x 1≠x 2,k=1212x x y y --, ∴直线的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1). ∴l 的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1).① 当y 1≠y 2时,方程①可以写成121121x x x x y y y y --=--.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. ②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件.④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.因为直线l 经过(a ，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得a a xb y --=--000.① 就是by a x +=1.② 注意：②这个方程形式对称、美观,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距.因为方程②是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式. ⑤注意到截距的定义，易知a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：①若x 1≠x 2且y 1≠y 2,则直线l 方程为121121x x x x y y y y --=--. ②当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x 1≠x 2,y 1≠y 2). ④by a x +=1. ⑤a、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.应用示例思路1例1 求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.变式训练已知Rt△ABC 的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例2 如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.图1活动:根据A 、B 、C 三点坐标的特征，求AB 所在的直线的方程应选用两点式；求BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求AC 所在的直线的方程应选用截距式.解：AB 所在直线的方程，由两点式,得)5(3)5(030----=---x y ,即3x+8y+15=0. BC 所在直线的方程，由斜截式,得y=-35x+2,即5x+3y-6=0. AC 所在直线的方程，由截距式,得25y x +-=1,即2x-5y+10=0. 变式训练如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ ，MN ，x 轴，y 轴则不能用截距式，其中PQ ，MN 应选用斜截式；x 轴，y 轴的方程可以直接写出.解:因为|AB|=4，所以|OA|=|OB|=2224=.因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22,0)、(0,22)、(-22,0)、(0,-22). 所以AB 所在直线的方程是2222yx+=1,即x+y-22=0.BC 所在直线的方程是2222y x+-=1,即x-y+22=0. CD 所在直线的方程是22722-+-x=1,即x+y+22=0. DA 所在直线的方程是22722-+x=1,即x-y-22=0.对称轴方程分别为x±y=0,x=0,y=0.思路2例1 已知△ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点.（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长;（3）求AB 边的高所在直线方程.解：（1）由两点式写方程,得121515+-+=---x y ，即6x-y+11=0. （2）设M 的坐标为（x 0,y 0），则由中点坐标公式,得x 0=242+-=1,y 0=231+-=1, 故M （1，1）,AM=22)51()11(-++=25.(3)因为直线AB 的斜率为k AB =2315+-+=-6，设AB 边上的高所在直线的斜率为k, 则有k×k AB =k×(-6)=-1,∴k=61. 所以AB 边高所在直线方程为y-3=61(x-4),即x-6y+14=0. 变式训练求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程. 解：设直线方程为b y a x +=1,则由题意知,有21ab=3,∴ab=4. 解得a=4,b=1或a=1,b=4. 则直线方程是14y x +=1或41y x +=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0. 例2 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.解：当截距为0时，设y=kx ，又过点A(1,2)，则得k=2，即y=2x.当截距不为0时，设a y a x +=1或ay a x -+=1,过点A(1,2)， 则得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.这样的直线有3条：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.变式训练过点A(-5,-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5. 答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升问题：把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a≤c≤b，证明f(c)的近似值是f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.证明：∵A、B 、C 三点共线，∴k AC =k AB , 即a b a f b f a c c f c f --=--)()()()(.∴f(c)-f(a)= a b ac --［f(b)-f(a)］,即f(c)=f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.∴f(c)的近似值是f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.。

3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.若直线y=kx+b 经过原点,则( )A.k=0B.b=0C.k=0且b=0D.b=0且k≠0 解析:直线经过原点,则坐标(0,0)满足直线方程,直接代入求得b=0.答案：B2.过点P （2,1)，以3-为斜率的直线方程为________________.解析:依题意得y-1=)2(3--x ，整理得01323=--+y x . 答案：01323=--+y x3.过点P(3,2)和点Q(4,7)的直线方程为___________________.解析:将点P(3,2)和点Q(4,7)代入两点式求得直线方程为343272--=--x y ，整理得5x-y-13=0. 答案：5x-y-13=010分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.过点A （-2，1）与x 轴垂直的直线方程是( )A.x=-2B.y=1C.x=1D.y=-2思路解析:过点(x 0,y 0)与x 轴垂直的直线方程x=x 0，所以所求直线的方程为x=-2.答案：A2.在下列四个命题中，正确的是( )A.经过P(x 0,y 0)的直线都可以用方程y-y 0=k(x-x 0)表示B.不过原点的直线都可以用方程by a x +=1表示 C.经过A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b 表示D.过P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)表示解析:A 中直线方程为点斜式，它不能表示平行于y 轴的直线，错；B 中直线方程为截距式，它不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线，错；C 中的直线方程为斜截式，它不能表示平行于y 轴的直线，错;D 中的直线方程是两点式的变形，将分式变形为整式，去掉分母后，该方程没有任何限制条件，即可表示所有的直线.答案：D3.倾斜角为150°，在y 轴上的截距为-3的直线方程为________________.由直线的倾斜角为150°,知该直线的斜率为k=tan150°=33-，依据直线的斜截式方程y=kx+b ，得y=333--x . 答案：y=333--x4.过点（3，5），与直线l :y=233+-x 平行的直线方程为__________________. 解析:因直线l ：y=233+-x 的斜率为33-，所以所求直线的斜率为33-，根据直线的点斜式方程y-y 0=k(x-x 0)，所求直线方程为y-5=33-(x-3)，整理得0153333=--+y x . 答案：0153333=--+y x5.过点P(2,0)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_________________.解析:因点P(2,0)表示直线在x 轴上的截距为2，依题意，直线在y 轴上的截距也为2，根据直线的截距式方程1=+b y a x ,求得满足条件的直线方程为122=+y x ，整理得x+y-2=0. 答案：x+y-2=06.已知A(1,2)、B(5,4)、C(2,2)，求过点C 和线段AB 中点M 的直线方程.解：根据中点坐标公式,得M(3,3),根据两点式方程121121x x x x y y y y --=--，代入点C(2,2)和点M(3,3)，求得直线方程为232232--=--x y ，整理得y=x. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若k ＜0,且b ＜0,则直线y=kx+b 必不过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 解析:根据直线的斜截式方程画出该直线，显然直线经过第二、三、四象限，即不通过第一象限.答案：A2.(2004全国高考卷Ⅱ,文4)已知点A(1,2)、B(3,1),则线段AB 的垂直平分线l 的方程是( )A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5 解析:线段A 、B 的垂直平分线l 应该是过线段AB 的中点，且与过A 、B 两点的直线垂直的直线.由题意得：AB 的中点为(23,2),过A 、B 两点的直线斜率为213112-=--，即直线l 的斜率为2，且过点(23,2)，根据直线的点斜式方程y-y 0=k(x-x 0)得直线l 的方程为23-y =2(x-2)，整理得4x-2y=5.答案：B3.直线l 1：y=ax+b ，l 2：y=bx+a （a 、b 是不等的正数）的图象应该是( )解析:由题意得直线l 1、l 2的方程为斜截式，因为斜率为正数，所以倾斜角为锐角.又因两直线在y 轴上的截距均为正数，即可以判断 A 、B 、D 错，故C 正确.答案：C4.若从点M （1，2）向直线l 作垂线，垂足为点N （-1，4），则直线l 的方程为( )A.x+y-5=0B.x+y+5=0C.x-y-5=0D.x-y+5=0 解析:由题意知：直线l 过点N （-1，4）且垂直于过M 、N 两点的的直线，因过M 、N 两点直线的斜率为k=1124---=-1，所以直线l 的斜率为1，根据点斜式直线方程,可得直线l 的方程为y=(x+1)+4=x+5⇒x-y+5=0.答案：D5.在x 轴上的截距为2,在y 轴上的截距为-5的直线方程为_______________.解析:由截距式方程1==+b y a x ,可得所求方程为152=-+y x ，整理得5x-2y-10=0. 答案：5x-2y-10=06.过点(0,1)且与直线l ：y=3x+1垂直的直线方程为_________________.解析:由题意,得直线l 的斜率为3，因两条直线垂直，所以所求直线的斜率为33-.又因点(0,1)表示直线在y 轴上的截距，即所求的直线方程满足斜截式y=kx+b ，代入k=33-,b=1可得直线方程为y=133+-x . 答案：y=133+-x 7.过点P(-2,5),平行于x 轴的直线方程为_____________,平行于y 轴的直线方程为___________,倾斜角为135°的直线方程为_______________.解析:过点(x 0,y 0)与x 轴平行的直线方程为y=y 0；与y 轴平行的直线方程为x=x 0；以k 为斜率的直线方程为y-y 0=k(x-x 0)，由题意知倾斜角为135°时，斜率为-1，因此满足题目条件的直线分别为y=5；x=-2；y-5=-(x+2)⇒x+y-3=0.答案：y=5 x=-2 x+y-3=08.过点(-1,1)且与直线l :y=3-x-1垂直的直线方程为_____________.与直线l :y=3-x-1平行的直线方程为_______________.解析:由题意得直线l 的斜率为3-，所以两条直线垂直时，所求直线的斜率为33； 两条直线平行时，所求直线的斜率为3-，即根据点斜式直线方程y-y 0=k(x-x 0), 可求得与直线l 垂直的直线方程为y-1=33(x+1)，整理得03333=++-y x ； 与直线l 平行的直线方程为y-1=)1(3+-x ，整理得0133=-++y x . 答案：03333=++-y x 0133=-++y x9.已知直线l 被坐标轴截得的线段中点是(1,-3)，则直线l 的方程是__________________. 解析:设直线l 与x 轴的交点为A(a,0),与y 轴的交点为B(0,b),则根据中点坐标公式,得AB 的中点为M(2,2b a ),由题意知⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.6,23212b a b a 因此根据直线的截距式方程1=+b y a x ，求得过A 、B 两点的直线方程为162=-+y x ,整理得3x-y-6=0. 答案：3x-y-6=010.将一张纸折叠一次,使得点A(0,2)与点B(2,0)重合,且点P(2 005,2 006)与点Q(m,n)重合,求m 与n 的值.解：点A(0,2)与点B(2,0)重合时，说明两点组成的线段的垂直平分线为折痕.点(0,2)与点(2,0)的中点为N(1,1).因过A 、B 两点的直线的斜率为-1，所以折痕所在直线的斜率为1.点(2 005,2 006)与点(m,n)重合时，折痕也为线段PQ 的垂直平分线，根据几何知识,得AB 与PQ 平行且N(1,1)与线段PQ 的中点M(22006,22005n m ++)的连线就是折痕，因此得到方程组⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++--=-⇒⎩⎨⎧==.2005,2006140111200320042005200611n m n m n m mn m n k k k MN PQ AB 快乐时光 作 弊“波洛涅斯由于作弊被开除了.”“怎么回事啊？”“在生理卫生考试中，他数自己的肋骨，结果被发现了.”。

3.2.2 直线的两点式方程1．过两点(1,2)和(3,4)的直线的方程为【 】A. 1y x =-B. 1y x =+C. 2y x =-+D. 2y x =--2．直线221x y a b -=在y 轴上的截距是【 】 A. b B. 2b C. 2b - D. b ±3．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是【 】A ．425x y +=B ．425x y -=C ．25x y +=D ．25x y -=4．过两点(1,1)-和(3,9)的直线在x 轴上的截距为【 】A. 32-B. 23-C.25D. 2 5．下列四个命题中，真命题是【 】A ．经过定点),(00y x P 的直线，都可以用方程)(00x x k y y -=-来表示B ．过任意两点),(11y x P 和),(22y x P 的直线，都可以用方程))(())((121121y y x x x x y y --=--表示 C ．不经过原点的直线，都可以用方程1=+by a x 来表示 D ．经过定点),0(b A 的直线，都可以用方程b kx y +=来表示6．直线l 经过点(1,1)A -和)5,2(B ，且点(2009,1)P b -在直线l 上，则b 的值是 ．7．已知直线l 过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l 的方程为 .8．过(5,2)P -，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ．9．三角形ABC 的三个顶点A （－3，0），B （2，1），C （－2，3），求：（1）BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 所在直线的方程；（3）BC 边的垂直平分线DE 的方程．10．直线l 过点（3-，4），且在两坐标轴的截距之和为12，求直线l 的方程．参考答案1. B2. C3.B4. A5. B6. 120487. 20,x y +-=或40x y --=.8. 25y x =-或30x y ++= 9.（1）因为直线BC 经过B （2，1）和C （－2，3）两点，由两点式得直线BC 的方程为：12,2403122y x x y --=+-=---即. （2）设BC 边的中点D 的坐标为(,)x y ，则22130,2,22x y -+==== BC 边的中线AD 过点A （-3，0），D （0，2）两点， 由截距式得AD 所在直线的方程为132x y +=-，即2360x y -+=. （3）直线BC 的斜率为112k =-，则BC 边的垂直平分线DE 的斜率22k =，由斜截式得DE的方程为22y x =+，即220x y -+=.10 . 02793=-+y x 或0164=+-y x .。

直线的两点式方程一、选择题(每小题6分,共30分)1.在x轴,y轴上的截距为3,-4的直线方程为()A.y-2=2(x-1)B.y=43x-4C.y2x13(1)12--=---D.x y43+=12.直线l在x轴上的截距为2,且斜率为1,则直线l在y轴上的截距为()A.2B.-2C.2或-2D.以上都不正确3.两条直线x y1m n-=与x y1n m-=的图象是下图中的()4.设全集I={(x,y)|x∈R,y∈R},M={(x,y)|y3x2--=1},N={(x,y)|y≠x+1},则M与N的并集的补集为()A.∅B.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)|y=x+1}5.△ABC的三个顶点是A(0,3),B(3,3),C(2,0),直线l：x=a将△ABC分割成面积相等的两部分,则a的值是()二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·苏州高一检测)过点(2,-3),在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.7.过点A(a,0),B(0,b)及C(1,3)三点且a,b均为正整数的直线方程为.8.直线y=12x+k与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1,那么k的范围是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·金华高一检测)已知△ABC中,A(4,2),B(1,8),C(-1,8).(1)求AB 边上的高所在的直线方程.(2)直线l ∥AB,与AC,BC 依次交于E,F,S △CEF ∶S △ABC =1∶4,求l 所在的直线方程. 10.求分别满足下列条件的直线l 的方程： (1)斜率是34,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6. (2)经过两点A(1,0),B(m,1).11.(能力挑战题)为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪,另外△AEF 内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应如何设计才能使草坪面积最大?答案解析1.【解析】选B.因为直线在x 轴,y 轴上的截距为3,-4,所以由直线的截距式得方程为x y 134+=-,即y=43x-4,故选B.2.【解析】选B.因为直线的斜率为1,所以直线在x 轴,y 轴上的截距互为相反数,又因为直线l 在x 轴上的截距为2,所以直线l 在y 轴上的截距为-2.【变式训练】若直线y=43x-4被两坐标轴截得的线段长为1c ,则c 的值为( ) A.1 B.15 C.±15D.±1【解析】选B.由直线的方程y=x-4,可得直线与两坐标轴的交点分别为(3,0),(0,-4),因为直线被两坐标轴截得的线段长为,则=,即c=,故选B.3.【解析】选B.由x y 1m n -=得y=n m x-n,由x y 1n m -=得y=mnx-m,即两直线的斜率k 1,k 2同号且互为倒数. 4.【解析】选B.集合M={(x,y)|y 3x 2--=1}={(x,y)|y=x+1,x≠2},又因为N={(x,y)|y≠x+1},所以M ∪N={(x,y)|x ≠2,y≠3},所以M 与N 的并集的补集为 {(2,3)}.5.【解析】选A.如图,由图可知0<a<3,S △ABC =12×3×3=92,若a<2,则x=a 与AC交于(a,3-32a),所以12×32a 2=94,所以若a>2,则x=a 与BC 交于(a,3a-6),所以12×(3-a)×(9-3a)= 94,所以与a>2矛盾,舍去,故选A. 6.【解析】当直线过原点时,设直线方程为y=kx,把点(2,-3)代入得k=32-,所以所求直线的方程为y=32-x;当直线不过原点时,因为在两坐标轴上的截距互为相反数,设直线的方程为x y1a a+=-,把点(2,-3)代入得231a a -+=-,所以a=5,所以所求直线的方程为x y 155+=-,整理得y=x-5. 答案：y=32-x 和y=x-5【举一反三】若将“在两坐标轴上的截距互为相反数”改为“在两坐标轴上的截距相等”,则直线方程为 .【解析】当直线过原点时,设直线方程为y=kx,把点(2,-3)代入得k=32-,所以所求直线的方程为y=32-x;当直线不过原点时,因为在两坐标轴上的截距相等,设直线的方程为x y a a +=1,把点(2,-3)代入得23a a-+=1,所以a=-1,所以所求直线的方程为x y11+--=1,整理得y=-x-1.答案：y=32-x 和y=-x-17.【解析】因为直线过A(a,0),B(0,b)和C(1,3),所以k AB =k BC ,即0b b 3a 001--=--,整理得3a+b=ab,又a,b 均为正整数,所以a=2,b=6或a=4,b=4.所以由两点式可得所求直线的方程为y=-x+4或y=-3x+6. 答案：y=-x+4或y=-3x+68.【解题指南】根据直线在两坐标轴上的截距,利用k 表示出直线y=12x+k 与两坐标轴所围成的三角形面积,从而得出关于k 的不等式,解得k 的取值范围.【解析】令x=0,得y=k,令y=0,得x=-2k,所以三角形的面积S=12|xy|=k 2.因为S≤1,即k 2≤1,所以-1≤k≤1,又因为k=0时不合题意,所以-1≤k≤1,且k≠0. 答案：-1≤k≤1,且k≠09.【解析】(1)由A(4,2),B(1,8),可知k AB =8214--=-2,所以AB 边上的高所在的直线的斜率k=12,又所求直线过C(-1,8),所以由直线的点斜式方程,可知AB 边上的高所在的直线方程为y=117x 22+. (2)因为S △CEF ∶S △ABC =1∶4,所以E,F 分别是AC,BC 的中点,所以E,F 的坐标分别为(3,52),(0,8),由直线方程的两点式,可得直线EF 的方程为y=-2x+8. 10.【解析】(1)设直线l 的方程为y=34x+b.令y=0, 得x=34-b,所以12|b·(34-b)|=6,b=±3.所以直线l 的方程为y=34x±3. (2)当m≠1时,直线l 的方程是y 0x 110m 1－－＝－－,即y=1m 1－(x-1),当m=1时,直线l 的方程是x=1. 【方法锦囊】两点式方程的注意事项两点式方程的使用范围是不能表示平行或重合于坐标轴的直线,但其变形形式(y 2-y 1)(x-x 1)-(x 2-x 1)(y-y 1)=0可以表示过点(x 1,y 1),(x 2,y 2)的所有直线,因此在已知两点求经过两点的直线方程时,可直接利用上式写出方程,也可通过分类讨论的思想分类求解含参数的直线方程,最后总结.11.【解题指南】求出点E,F 的坐标,利用直线方程的两点式,写出直线EF 的方程,在线段EF 上取点P(m,n),利用点P 的坐标表示出草坪的面积,从而得出答案. 【解析】如图建立坐标系,则E(30,0),F(0,20),所以线段EF 所在的直线方程为x y3020+=1(0≤x≤30),在线段EF 上取点P(m,n),作PQ ⊥BC 于点Q,做PR ⊥CD 于点R,设矩形PQCR 的面积为S,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)·(80-n),又因为m n3020+=1(0≤x≤30),所以n=20(m 130-), 所以S=(100-m)(28020m 3-+) =23-(m-5)2+18 0503(0≤m≤30), 于是当m=5,即|EP |5|PF |1=时,草坪面积最大.关闭Word 文档返回原板块。

直线的两点式方程、直线的一般式方程【知识梳理】1．直线的两点式与截距式方程(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．(2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 3．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【常考题型】题型一、利用两点式求直线方程【例1】 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．[解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.【类题通法】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．【对点训练】1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.解析：(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0.又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2.答案：(1)x ＝2 (2)－2题型二、直线的截距式方程及应用【例2】 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6， 所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. 【类题通法】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．【对点训练】2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程． 解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ， 则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋yb＝1.∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2aa ＋2.∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.题型三、直线方程的一般式应用【例3】 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2， 需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2， ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 【类题通法】1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，(1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.【对点训练】3．(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程． 解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ， ∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34.又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝ －34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. ∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11. ∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. (2)法一：设直线l 的斜率为k . ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直， ∴k ·(－2)＝－1， ∴k ＝12.又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A (2,1)， ∴2－2×1＋m ＝0， ∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【练习反馈】1．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 2．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋yb ＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －(－1)2－(－1)，整理得x －y ＋3＝0.答案：x －y ＋3＝04．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程． 解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点， 由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点， 由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.。

a. 2.2直线的两点式方程》基础练习本课时编写:成都市第二十中学付江平一. 选择题C.可以写成点斜式或截距式D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式A. XD.甘=1直线盒一十=1与丰一讣=1在同一坐标系屮的图象可能是（）过点（5,2）,且在x 轴上的截距（直线与x 轴交点的横坐标）是在j 轴上的截距的2倍的 直线方程是（）A- 2x+y-]2=01. 下列说法正确的是（）A. 方程三里斗表示过点Mg, yj 且斜率为k 的直线方程 X —X\B. 在兀轴、轴上的截距分别为d, b 的直线方程为产+扌=1C. D. 直线y=kx+b 与y 轴的交点到原点的距离为b不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式 2. -条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程（）A. 可以写成两点式或截距式B. 可以写成两点式或斜截式或点斜式3. 直线歩一点=1在J 轴上的截距是（）A. B. -b 2 C. b 2 D. ±b 4. \h\在x 、y 轴上的截距分别是一3、4的直线方程是（）c.5. 6.B.2x+y—12=0 或2x—5y=0C.x-2y-\=0D.x+2y-9=0 或2x-5y=0二、填空题7.已知点A(l,2), B(3,l),则线段AB的垂直平分线的点斜式方式为 _________________ •8.过点P(6, -2),且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是9.过点P(l,3)的直线/分别与两坐标轴交于4、B两点，若P为AB的小点，则直线/的截距式是______________ .10.过点(-3, 2)且与直线j-l = |(x + 5)平行的直线的点斜式方程是_______________ •11.若直线(2f —3)兀+〉，+ 6 = 0不经过第一象限，则/的収值范围是_______________ .12.过点(4, -3)且在两坐标轴上的截距相等的直线/的方程为____________________ .三、解答题13.已知直线/的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为回，求直线/的方程.14.三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4), B(—2,6), C(—&0).(1)求边AC和AB所在直线的方程；(2)求4C边上的屮线BD所在直线的方程；(3)求AC边上的屮垂线所在直线的方程.15.在厶ABC中，已知点A(5, —2)、B(7,3),且边AC的中点M在y轴上，边BC 的中点N在x轴上.(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的两点式方程.参考答案1. A2. B3・ B [令x=0 得，y=—b?.]4・A5. B [两直线的方程分别化为斜截式：y=^x-n,y=^x-m,易知两直线的斜率的符号相同，四个选项屮仅有B选项的两直线的斜率符号相同•]6. D [当y轴上截距b=0时，方程设为y=kx,2将(5,2)代入得，y=尹,即2x—5y=0；当b^O时,方程设为金+*= 1，求得b=|，・•・选D.]37.y_^=2(x_2)【解析】k AB=—由1＜烁=一1得k=2, AB的中点坐标为(2,亍点斜式方程为y—弓=2(x—2).【解析】设直线方程的截距式为丰+十=1，则缶+子=1，解得a=2或a=l,则直线的方程是廿y+^= 1或芳^+丫 = |，即|+2=1或扌+y= 1・【解析】设A(m,O), B(0, n),由P(l,3)是AB的中点可得m=2, n=6, 即A、B的坐标分别为(2,0)、(0,6).则1的方程塢+舟=】•11.l-,+oo)【解析】方程可化为y = (3-2r)x-6,・・•直线不经过第一象限，・・・3-2応0,12.尸-x+l或)y—Ex【解析】依题意设直线/的方程为y + 3 = R(x—4).故所求方程为)r=~x+1或y —13.解方法一设所求直线1的方程为y=kx+b.・・・k=6,・・・方程为y=6x+b.令x=0, ・・・y=b,与y轴的交点为(0, b)；令y=0, ・・・x = —与x轴的交点为(一箱0)根据勾股定理得(一|)2 + b2=37,・・・b=±6.因此直线1的方程为y = 6x±6・方法二设所求直线为^+*=1，则与x轴、y轴的交点分别为(a,0)、(0, b). fh勾股定理知a2+b2 = 37.因此所求直线1的方程为x+±= 1或一x+J=l. A AB 所在直线方程为x+y —4 = 0.⑵D 点坐标为(一4,2),由两点式得总|=［二— ・•・BD 所在直线方程为2x-y+ 10=0. ⑶由k AC =*，・・・ AC 边上的中垂线的斜率为一2, 又 D(-4,2),由点斜式得 y —2=—2(x+4), AAC 边上的中垂线所在直线方程为2x+y+6=0.15.⑴C(—5,—3)(2)直线MN 的两点式方程为 又 k=-£=6, a 2+b 2 = 37, a=l, 解此方程组可得b —6 a=— b = 6.由两点式得 y_4 6-4 x T 2,/.AC 所在直线方程为x-2y + 8=0,。

数学·必修2(人教A 版)3.2 直线的方程3.2.2 直线的两点式方程基础达标 1．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( )A.x 3＋y 2＝1B.x 2＋y 3＝1 C.x 3－y 2＝1 D.x 2－y 3＝1答案：B2．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距为( ) A ．|b | B ．±b C ．b 2 D ．－b 2答案：D3．下列四个命题中是真命题的是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)·(x 2－x 1)＝(x －x 1)·(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b ＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示答案：B4．直线ax ＋by ＝1(a ，b ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是( )A.12abB.12|ab |C.12abD.12|ab |解析：直线ax ＋by ＝1可化为x 1a ＋y 1b＝1，故其围成的三角形的面积为S ＝12 1|a | 1|b |＝12|ab |. 答案：D5．若三角形ABC 的顶点A (－5,0)，B (3，－2)，C (1,2)，则经过AB 、BC 两边中点的直线方程为________．答案：x －3y －2＝06．过点C(－4,0)，D(0，－6)的直线的截距式方程是__________，化为斜截式方程是__________．答案：x－4＋y－6＝1y＝－32x－6巩固提升7．过点A(－1,2)作直线l，使它在x轴、y轴上的截距相等，则这样的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条解析：分截距为0和不为0的两种情况讨论，各有一条直线．答案：C8．过点A(1,2)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的条数为()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：分截距为0，截距不为0且相等或互为相反数，共三种情况．答案：C9．已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点(6，－2)，求直线l 的方程．解析：解法一：设直线l 的点斜式方程为y ＋2＝k (x －6)(k ≠0)．令x ＝0，得y ＝－6k －2；令y ＝0，得x ＝2k ＋6.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋6－(－6k －2)＝1，解得：k 1＝－23或k 2＝－12. ∴直线l 的方程为y ＋2＝－23(x －6)或y ＋2＝－12(x －6)． 即y ＝－23x ＋2或y ＝－12x ＋1.解法二：设直线的斜截式方程为y ＝kx ＋b .令y ＝0，则x ＝－b k .依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ －b k ＝b ＋1，6k ＋b ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝－12，b 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＝－23，b 2＝2.∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋1或y ＝－23x ＋2.解法三：设直线l 与y 轴的交点为(0，b )，则直线方程的两点式为y －b－2－b ＝x －06－0. 令y ＝0，得x ＝6b b ＋2.∴6b b ＋2＝1＋b ，解得b 1＝1或b 2＝2. ∴直线l 的方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋3y －6＝0.解法四：设直线方程的截距式为x b ＋1＋y b ＝1，又直线l 过点(6，－2)．∴6b ＋1＋－2b ＝1，解得b 1＝1，b 2＝2.∴直线l 的方程为x 2＋y ＝1或x 3＋y 2＝1.即x ＋2y －2＝0或2x ＋3y －6＝0.。