湖南省长沙市长望浏宁四县高三数学3月模拟考试试题 理

2019年湖南省长沙市长、望、浏、宁四县区高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（5分）已知全集U＝R，则M＝{x|﹣x2≥2x}，则∁U M＝（）A．{x|﹣2＜x＜0}B．{x|﹣2≤x≤0}C．{x|x＜﹣2或x＞0}D．{x|x≤﹣2或x ≥0}2．（5分）已知i是虚数单位，是z的共轭复数，z（1+i）＝，则的虚部为（）A．B．﹣C．i D．﹣i3．（5分）某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C．2015年与2018年艺体达线人数相同D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加4．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点在双曲线上、则•＝（）A．﹣12B．﹣2C．0D．45．（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF＝2，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）＝cosωx的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称7．（5分）设函数f′（x）为函数f（x）＝x sin x的导函数，则函数f′（x）的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π9．（5分）（x2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2+y2＝a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）A．﹣B．+C．D．10．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为棱BB1，CC1的中点，点O为上底面的中心，过E，F，O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A1的部分为V1，不含A1的部分为V2，连结A1和V2的任一点M，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为α，则sinα的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）＝f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）＝0（a ＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（）A．B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞）12．（5分）如图，O是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2＝2px（p＞0）于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x＝p相交于点N．则|ME|2﹣|NE|2＝（）A．2p2B．2p C．4p D．p二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为．14．（5分）平面向量＝（1，2），＝（4，2），＝m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m＝．15．（5分）甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为．16．（5分）已知△ABC的三边分别为a，b，c所对的角分别为A，B，C，且三边满足＝1，已知△ABC的外接圆的面积为3π，设f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1．则a+c的取值范围为，函数f（x）的最大值的取值范围为．三、解答题：(本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(一)必考题：共60分17．（12分）在数列{a n}中，a＝1，a2＝b，前n项之和为S n．（1）若{a n}是等差数列，且a8＝22，求b的值；（2）对任意的n∈N*有：＝4，且S10＝2a10﹣1．试证明：数列{a n}是等比数列．18．（12分）某单位为促进职工业务技能提升，对该单位120名职工进行了一次业务技能测试，测试项目共5项．现从中随机抽取了10名职工的测试结果，将它们编号后得到它们的统计结果如下表（表1）所示（“√”表示测试合格，“×”表示测试不合格）：表1规定：每项测试合格得5分，不合格得0分．（1）以抽取的这10名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率．①设抽取的这10名职工中，每名职工测试合格项的项数为X，根据上面的测试结果统计表，列出X的分布列，并估计这120名职工的平均得分；②假设各名职工的各项测试结果相互独立．某科室有5名职工，求这5名职工中至少有4人得分不小于20分的概率；（2）已知在测试中，测试难度的计算公式为N i＝，其中N为第i项测试的难度，R i 为第i项合格的人数，Z为参加测试的总人数，已知抽取的这10名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下表（表2）表2定义统计量S＝[（N1﹣N）2+（N2﹣N）2+…+（N n﹣N）2]，其中N i为第i项的实测难度，N为第i项的预估难度（i＝1，2，…，n）．规定：若S≤0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理测试前，预估了每个测试项目的难度，如下表（表3）所示表3：判断本次测试的难度预估是否合理．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，底面是边长为4的正三角形，P A＝2，P A⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面P AC；（Ⅱ）在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为？若存在，确定点C的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知△ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），AB＝4，点P在线段AB上，且∠BAC ＝∠PCA．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若Q（1，），过C的直线与E交于M，N两点，与直线x＝4交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为k1，k2，k3，证明：为定值．21．（12分）设函数f（x）＝ax﹣，a∈R．（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）若存在x∈[e，e2]，使不等式f（x）≥成立，求a的取值范围．(二)选考题：共10分，考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝a sinθ（a≠0）．（Ⅰ）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣5|≤m的解集不是空集，记m的最小值为t．（Ⅰ）求t；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＝max{，}，求证：c≥1．注：maxA表示数集A中的最大数．2019年湖南省长沙市长、望、浏、宁四县区高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（5分）已知全集U＝R，则M＝{x|﹣x2≥2x}，则∁U M＝（）A．{x|﹣2＜x＜0}B．{x|﹣2≤x≤0}C．{x|x＜﹣2或x＞0}D．{x|x≤﹣2或x ≥0}【解答】解：由﹣x2≥2x，得x2+2x≤0，解得﹣2≤x≤0．所以∁U M＝{x|x＜﹣2或x＞0}．故选：C．2．（5分）已知i是虚数单位，是z的共轭复数，z（1+i）＝，则的虚部为（）A．B．﹣C．i D．﹣i【解答】解：由z（1+i）＝，得z＝，∴，∴的虚部为．故选：A．3．（5分）某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C．2015年与2018年艺体达线人数相同D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【解答】解：设2015年高考考生人数为x，则2018年高考考生人数为1.5线，由24%•1.5x﹣28%•x＝8%•x＞0，故选项A不正确；由（40%•1.5x﹣32%•x）÷32%•x＝，故选项B不正确；由8%•1.5x﹣8%•x＝4%•x＞0，故选项C不正确；由28%•1.5x﹣32%•x＝42%•x＞0，故选项D正确．故选：D．4．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点在双曲线上、则•＝（）A．﹣12B．﹣2C．0D．4【解答】解：由渐近线方程为y＝x知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x2﹣y2＝2，于是两焦点坐标分别是F1（﹣2，0）和F2（2，0），且或、不妨令，则，∴•＝故选：C．5．（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF＝2，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意有：AF＝2，EF＝4，∠AFC＝，FC＝6，再△AFC中，由余弦定理得：AC2＝AF2+FC2﹣2AF×FC×＝52，设事件A为”此点取自小等边三角形（阴影部分）“，由几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝＝，故选：A．6．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）＝cosωx的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝2．把其图象向左平移个单位后得到函数g（x）＝cosωx＝sin（2x++φ）的图象，∴+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝﹣，∴f（x）＝sin（2x﹣）．由于当x＝时，函数f（x）＝0，故A不满足条件，而C满足条件；令x＝，求得函数f（x）＝sin＝，故B、D不满足条件，故选：C．7．（5分）设函数f′（x）为函数f（x）＝x sin x的导函数，则函数f′（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f'（x）＝sin x+x cos x，所以f'（x）为奇函数，故C错误，又f'（π）＝﹣π，只有B符合，故选：B．8．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R＝．故R＝，故半球的体积为：＝π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V＝，故组合体的体积为：+π，故选：C．9．（5分）（x2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2+y2＝a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）A．﹣B．+C．D．【解答】解：因为（x2+）6展开式的常数项是15，所以＝15，解得a＝2，所以曲线y＝x2和圆x2+y2＝2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为＝＝﹣．故选：A．10．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为棱BB1，CC1的中点，点O为上底面的中心，过E，F，O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A1的部分为V1，不含A1的部分为V2，连结A1和V2的任一点M，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为α，则sinα的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：连结EF．因为EF∥平面ABCD．所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线．过点O作GH∥BC交CD于点G，交AB于H点，则GH∥EF，连结EH，FG．则平行四边形EFGH即为截面．则五棱柱A1B1EHA﹣D1C1FGD为V1，三棱柱EBH﹣FCG为V2，设M点为V2的任一点，过M点作底面A1B1C1D1的垂线，垂足为N，连结A1N，则∠MA1N即为A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以∠MA1N＝α．因为，要使α的正弦值最大，必须MN最大，A1M最小，当点M与点H重合时符合题意．故．故选：B．11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）＝f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）＝0（a ＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（）A．B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞）【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）＝f（2+x），∴f（x+4）＝f[2+（x+2）]＝f[（x+2）﹣2]＝f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T＝4．又∵当x∈[﹣2，0]时，，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）＝0恰有4个不同的实数解，则函数y＝f（x）与y＝log a（x+2）（a＞1）在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）＝f（2）＝f（6）＝1，则对于函数y＝log a（x+2），由题意可得，当x＝6时的函数值小于1，即log a8＜1，由此解得：a＞8，∴a的范围是（8，+∞）故选：D．12．（5分）如图，O是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2＝2px（p＞0）于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x＝p相交于点N．则|ME|2﹣|NE|2＝（）A．2p2B．2p C．4p D．p【解答】解：过E（p，0）的直线分别交抛物线y2＝2px（p＞0）于A、B两点为任意的，不妨设直线AB为x＝p，由，解得y＝±2p，则A（﹣p，﹣p），B（p，p），∵直线BM的方程为y＝x，直线AM的方程为y＝﹣p，解得M（﹣p，﹣p），∴|ME|2＝（2p）2+2p2＝6p2，设过点M与此抛物线相切的直线为y+p＝k（x+p），由，消x整理可得ky2﹣2py﹣2p+2p2k＝0，∴△＝4p2﹣4k（﹣2p+2p2k）＝0，解得k＝，∴过点M与此抛物线相切的直线为y+p＝（x+p），由，解得N（p，2p），∴|NE|2＝4p2，∴|ME|2﹣|NE|2＝6p2﹣4p2＝2p2，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为1．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示；由，解得B（3，﹣2），设z＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最小值，∴z最小值＝3﹣2＝1．故答案为：1．14．（5分）平面向量＝（1，2），＝（4，2），＝m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m＝2．【解答】解：∵向量＝（1，2），＝（4，2），＝m+（m∈R），∴＝m（1，2）+（4，2）＝（m+4，2m+2）．∴＝m+4+2（2m+2）＝5m+8，＝4（m+4）+2（2m+2）＝8m+20．，＝2．∵与的夹角等于与的夹角，∴＝，∴，化为5m+8＝4m+10，解得m＝2．故答案为：2．15．（5分）甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为．【解答】解：甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，甲袋中白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．②抓出白球，抓入白球，概率是×＝，故所求事件的概率为P＝＝．故答案为：．16．（5分）已知△ABC的三边分别为a，b，c所对的角分别为A，B，C，且三边满足＝1，已知△ABC的外接圆的面积为3π，设f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1．则a+c的取值范围为（3，6]，函数f（x）的最大值的取值范围为（12，24]．【解答】解：∵由＝1，通分化简可得：a2+c2﹣b2＝ac，∴cos B＝＝＝，∵0＜B＜π，∴B＝．∵△ABC的外接圆的面积为3π＝πR2，∴△ABC的外接圆的半径为R＝，∴b＝2R sin B＝2×＝3，a+c＝2R（sin A+sin c）＝6sin（A+）．∵A∈（0，），∴a+c∈（3，6]，∵f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1＝﹣2sin2x++4（a+c）sin x+2，令g（t）＝﹣2t2++4（a+c）t+2，t∈[﹣1，1]，∵g（t）在[﹣1，1]单调递减，∴g（t）max＝g（﹣1）＝4（a+c）∈（12，24]，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为（12，24]，故答案为：（3，6]，（12，24]．三、解答题：(本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(一)必考题：共60分17．（12分）在数列{a n}中，a＝1，a2＝b，前n项之和为S n．（1）若{a n}是等差数列，且a8＝22，求b的值；（2）对任意的n∈N*有：＝4，且S10＝2a10﹣1．试证明：数列{a n}是等比数列．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，则由题意，可知：a＝1，a 8＝a+（8﹣1）•d＝1+7d＝22，解得：d＝3．又∵a2﹣a1＝d，即b﹣1＝3，∴b＝4．（2）由题意，可知：∵对任意的n∈N*有：＝4，∴数列{a n}的奇数项和偶数项分别都成公比为4的等比数列．∴S10＝a1+a2+a3+…+a10＝（a1+a3+a5+a7+a9）+（a2+a4+a6+a8+a10）＝+＝＝45﹣．又∵a10＝a2•44＝b•44，∴2a10﹣1＝2b•44﹣1．由题意S10＝2a10﹣1，即：45﹣＝2b•44﹣1．解得：b＝2．∵a2n+1＝1•4n+1＝22n+2，a2n＝2•4n＝22n+1，∴＝＝2．∴每一个偶数项后面的奇数项都是该偶数项的2倍．∴数列{a n}是以1为首相，2为公比的等比数列．18．（12分）某单位为促进职工业务技能提升，对该单位120名职工进行了一次业务技能测试，测试项目共5项．现从中随机抽取了10名职工的测试结果，将它们编号后得到它们的统计结果如下表（表1）所示（“√”表示测试合格，“×”表示测试不合格）：表1规定：每项测试合格得5分，不合格得0分．（1）以抽取的这10名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率．①设抽取的这10名职工中，每名职工测试合格项的项数为X，根据上面的测试结果统计表，列出X的分布列，并估计这120名职工的平均得分；②假设各名职工的各项测试结果相互独立．某科室有5名职工，求这5名职工中至少有4人得分不小于20分的概率；（2）已知在测试中，测试难度的计算公式为N i＝，其中N为第i项测试的难度，R i 为第i项合格的人数，Z为参加测试的总人数，已知抽取的这10名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下表（表2）表2定义统计量S＝[（N1﹣N）2+（N2﹣N）2+…+（N n﹣N）2]，其中N i为第i项的实测难度，N为第i项的预估难度（i＝1，2，…，n）．规定：若S≤0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理测试前，预估了每个测试项目的难度，如下表（表3）所示表3：判断本次测试的难度预估是否合理．【解答】解：（1）①根据上面的测试结果统计表，得X的分布列为：∴X的数学期望E（X）＝1×0.1+2×0.2+3×0.2+4×0.4+5×0.1＝3.2．∵每项测试合格得5分，不合格得0分，∴估计这120名职工的平均得分为5E（X）＝3.2×5＝16．②“得分不小于20分”，即“X≥4”，由①知P（X≥4）＝P（X＝4）+P（X＝5）＝0.4+0.1＝0.5．设该科室5名职工中得分不小于20分的人数为ξ，则ξ～B（5，0.5），∴P（ξ≥4）＝P（ξ＝4）+P（ξ＝5）＝＝，∴这5名职工中至少有4人得分不小于20分的概率为．（2）由题意知：S2＝[（0.8﹣0.9）2+（0.8﹣0.8）2+（0.7﹣0.7）2+（0.7﹣0.6）2+（0.2﹣0.4）2]＝0.012＜0.05，∴本次测试的难度预估是合理的．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，底面是边长为4的正三角形，P A＝2，P A⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面P AC；（Ⅱ）在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为？若存在，确定点C的位置；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，又P A⊥平面ABCP，BE⊂面ABC，∴P A⊥BE，∵P A∩AC＝A，∴BE⊥面P AC，∵BE⊂面BEF，∴平面BEF⊥平面P AC．解：（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知P A⊥BE，P A⊥AC，点E，F分别为AC，PC的中点，∴EF∥P A，∴EF⊥BE，EF⊥AC，又BE⊥AC，∴EB，EC，EF两两垂直，分别以EB，EC，EF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣2，0），P（0，﹣2，2），B（2，0，0），C（0，2，0），设＝＝（﹣2，﹣2λ，2λ），λ∈[0，1]，∴＝＝（2（1﹣λ），2（1﹣λ），2λ），＝（﹣2，2，0），＝（0，4，﹣2），设面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，），∵直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为，∴＝，解得或（舍），∴．∴线段PB上存在中点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为．20．（12分）已知△ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），AB＝4，点P在线段AB上，且∠BAC ＝∠PCA．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若Q（1，），过C的直线与E交于M，N两点，与直线x＝4交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为k1，k2，k3，证明：为定值．【解答】解：（1）三角形ACP中，∠BAC＝∠PCA，∴P A＝PC，∴PB+PC＝PB+P A＝AB＝4，∴点P的轨迹是以，B，C为焦点，长轴为4的椭圆，（不含实轴的端点）∴点P的轨迹E的方程为+＝1，（x≠±2）；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），可设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），则K（4，3k），由，可得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴k1＝＝＝k﹣，同理可得k2＝k﹣，∵k3＝＝k﹣，∴k1﹣k3＝﹣，k2﹣k3＝﹣，∵k1﹣k3+k2﹣k3＝﹣+﹣＝1﹣•＝1﹣•＝0，∴＝﹣1为定值21．（12分）设函数f（x）＝ax﹣，a∈R．（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）若存在x∈[e，e2]，使不等式f（x）≥成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，1）U（1，+∞），因为函数f（x）存在单调递减区间，所以有解．∵，∴，∴．（2）问题等价于“当x∈[e，e2]，有．∵，①．当时，f’（x）≥0，f（x）在[e，e2]上是单调递增函数，∴，由得．②．当时，∵的值域为，（i）若a≤0，∵f’（x）≤0，故f（x）在[e，e2]上是单调递减函数，∴f（x）max＝f（e）＝ae﹣e，由得，与a＜0矛盾．（ii）若a＞0，即，则f’（x）的单调性及值域知，存在唯一的，使f′（x0）＝0，且当x∈（e，x0）时，f’（x）＞0，当时，f’（x）＜0，∴，由得，与矛盾．综上所述，a的取值范围是．(二)选考题：共10分，考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝a sinθ（a≠0）．（Ⅰ）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，可得：4x+3y﹣8＝0；由圆C的极坐标方程为ρ＝a sinθ（a≠0），可得ρ2＝ρa sinθ，根据ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得圆C的直角坐标系方程为：x2+y2﹣ay＝0，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆C的圆心为（0，）半径r＝||，直线方程为4x+3y﹣8＝0；那么：圆心到直线的距离d＝＝直线l截圆C的弦长为＝2解得：a＝32或a＝故得直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍时a的值为32或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣5|≤m的解集不是空集，记m的最小值为t．（Ⅰ）求t；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＝max{，}，求证：c≥1．注：maxA表示数集A中的最大数．【解答】解：（Ⅰ）|x﹣3|+|x﹣5|≥|（x﹣3）﹣（x﹣5）|＝2，当且仅当3≤x≤5时取等号，故m≥2即t＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c＝max{，}，则c2≥•＝≥1，当且仅当＝＝1即a＝b＝1时“＝”成立，∵c＞0，∴c≥1．。

2015年3月长望浏宁高三模拟考试理科数学试卷时量：120分钟 总分150分 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、集合{}{}03,62>-∈=≤∈=x x R x B x x A N ，则=B AA ．{}36x x <≤ B ．{}3,4,5 C ．{}36x x <≤ D ．{}4,5,62、设a R ∈，则11a <是1a >的A ．充要条件B ．充分但不必要条件C ．必要但不充分条件D ．既不充分也不必要条件3、已知函数x x f y -=)(是偶函数，且1)2(=f ，则=-)2(f A ．－3B ．－1C ．1D ．24、5)11)(2(22-+x x 的展开式的常数项是A ．2B ．3C ．-2D ． -35、如下图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ＝x OA ＋y OB ，且BP ＝3PA ，则A 、x ＝23，y ＝13B 、x ＝13，y ＝23 C 、x ＝14，y ＝34 D 、x ＝34，y ＝146、定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则7234(cos )tanππ⊗的值为A ．2B ．-2C ．-1D ．17、已知最小正周期为2的函数)(x f 在区间]11[，-上的解析式是2)(x x f =，则函数)(x f在实数集R 上的图象与函数xx g y 5log )(==的图象的交点的个数是A ．3B ．4C ．5D ．68、已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是 边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为9、如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(0,—1)，B(π,—1)，C(π,1)，D(0,1)，正弦曲线x x f sin )(=和余弦曲线x x g cos )(=在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是A ．π21+10、若数列n T a =成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T.已知数列{}n a 满足)0(1>=m m a ，⎪⎩⎪⎨⎧≤<>-=+.10,1,1,11n nn n n a a a a a 则下列结论中错误的是 A. 若43=a ，则m 可以取3个不同的值；B. 若2=m ，则数列{}n a 是周期为3的数列；C. *N T ∈∀且2≥T ，存在1>m ，数列{}n a 周期为T ； D. Q m ∈∃且2≥m ，数列{}n a 是周期数列.第8题图二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。

2024届模拟试卷（三）数学（答案在最后）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合{}{}22,1,3,5,4A B xx x =--=<∣，则A B ⋂=（）A.{}1-B.{}3C.{}2,1-- D.{}2,1,3--2.若i 13i z z +=+，则zz =（）A.2B.1D.53.已知点()00,A x y 是抛物线22(0)y px p =>上一点，且它在第一象限内，焦点为,F O 坐标原点，若3,2pAF AO ==）A.4x =-B.3x =-C.2x =-D.1x =-4.已知函数()f x 满足()πsin cos 3f x f x x ⎛⎫=-⎪'⎝⎭，求()f x 在π4x =的导数（）1+1- C.-2D.25.函数()e 21x x y x -=-的图象大致是（）A. B.C. D.6.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数6m =，根据上述运算法则得出63105168421→→→→→→→→，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，则当42m =时，则使1n a =需要的雹程步数为（）A.7B.8C.9D.107.某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩()78,9X N ~，如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩由高到低分为,,,A B C D 四个等级，则A 等级的分数线应该是（）参考数据：若()2,X N μσ~，则()()0.68,20.96P X P X μσμσ-≤≈-≤≈.A.69B.81C.87D.968.如图，在两条异面直线,a b 上分别取点,A E '和点,A F ，使AA a '⊥，且AA b '⊥.已知6,3,4,7AA A E AF EF ==='='，则异面直线,a b 所成的角为（）A.π6 B.π4 C.π3 D.π2二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知由样本数据()(),1,2,3,,10i i x y i = 组成的一个样本，得到经验回归方程为4ˆ20.yx =-，且2x =，去除两个样本点()2,1-和()2,1-后，得到新的经验回归方程为ˆ3ˆy x b=+.在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中（）A.相关变量,x y 具有正相关关系B.新的经验回归方程为ˆ33yx =-C.随着自变量x 值增加，因变量y 值增加速度变小D.样本()4,8.9的残差为-0.110.当实数m 变化时，关于,x y 的方程()()222211m x my m m ++=+可以表示的曲线类型有（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线11.如图，正方形ABCD 的边长为1,P Q ､分别为边AB DA ､上的动点，，则（）A.若1PQ =，则APQ1+B.若1PQ =，则APQ 的面积最大值为14C.若APQ 的周长为定值2，则PCQ ∠的大小为30D.若APQ 的周长为定值2，则PQ 长度的最小值为2-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()5(12)13x x -+的展开式中按x 的升幂排列的第三项为__________.13.如图，在平行四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AD DC 边的中点，,BE BF 分别与AC 交于,R T 两点，用向量,AB AD表示向量RT ，则RT =__________.14.已知正三棱柱11,ABC A B C -的侧面积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在ABC 中，已知3,6,AB AC A ==为锐角，,BC AC 边上的两条中线,AM BN 相交于点,P ABC 的面积为932.（1）求BC 的长度；（2）求APB ∠的余弦值.16.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E F ､分别在11,BB DD 上，且11,AE A B AF A D ⊥⊥.（1）求证：1AC ⊥平面AEF ；（2）当14,3,5AB AD AA ===时，求平面AEF 与平面11D B BD 的夹角的余弦值.17.一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个白球，6个黄球，从中随机地摸4个球作为样本，用X 表示样本中黄球的个数，Y 表示样本中黄球的比例.（1）若有放回摸球，求X 的分布列及数学期望；（2）（i ）分别就有放回摸球和不放回摸球，求Y 与总体中黄球的比例之差的绝对值不超过0.2的概率；（ii ）比较（i ）中所求概率的大小，说明其实际含义.18.已知双曲线22149x y -=与直线3:2l y kx m k ⎛⎫=+≠±⎪⎝⎭有唯一的公共点M .（1）若点()2,9N 在直线l 上，求直线l 的方程；（2）过点M 且与直线l 垂直的直线分别交x 轴于()1,0,A x y 轴于()10,B y 两点.是否存在定点G ，H ，使得M 在双曲线上运动时，动点()11,P x y 使得PG PH -为定值.19.已知函数()2()exx a f x +=.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设,m n 分别是()f x 的极小值点和极大值点，记()()()(),,,M m f m N n f n .（i ）证明：直线MN 与曲线()y f x =交于除,M N 外另一点P ；（ii ）在（i ）结论下，判断是否存在定值(),1t a a ∈+且a ∈Z ，使MN t PN =，若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.2024届模拟试卷（三）数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】D 【详解】因为0322p px +=，所以00,x p y ==.又22)12p +=，所以2p =，准线方程为1x =-.故选：D.4.【答案】D【详解】因为()πcos sin 3f x f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭'='，所以ππππ1πcos sin 3333232f f f '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎭'⎝，解得πππππ2262cos sin 34344222f f f +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''.故选：D.5.【答案】C【详解】对于()()e 21x x f x x -=-，当0x <时，()0f x >，故B 错误；()2222333324e e(1)(1)x x x x x f x x x ⎛⎫-'+ ⎪-+⎝⎭==--，显然在定义域内()0f x '>，即在(),1∞-和()1,∞+都是增函数，C 正确，AD 错误；故选：C.6.【答案】B【详解】解：根据题意，当42m =，根据上述运算法则得出42216432168421→→→→→→→→，所以共需经过8个步骤变成1，故使1n a =需要的霖程步数为8.故选：B 7.【答案】B【详解】由题意可知：78,3μσ===，因为()1()0.16P X P X μσμσ--≤>+=≈，所以A 等级的分数线应该是78381μσ+=+=.故选：B.8.【答案】C 【详解】如图，过点A 作直线a '∥a ，过点E 作EB ∥A A '，交直线a '于点B ，连接BF ，因AA a '⊥，则AA a '⊥'，又,,,AA b a b A a b ⊂'''⊥⋂=平面ABF ，则AA '⊥平面ABF ，故EB ⊥平面ABF ，又BF ⊂平面ABF ，则EB BF ⊥.易得：6,7BE AA EF ==='，在Rt EBF 中，2213FB EF BE =-=,a b 所成的角为θ，则BAF ∠θ=，因3AB A E ='=，由余弦定理可得：222916131cos 2242AB AF FB AB AF θ+-+-===⨯，又因π02θ<<，故π3θ=.故选：C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】ABD 【详解】10120,ii x x ==∑新平均数120 2.5,220.4 3.68y ⨯==⨯-=.y 新平均数1ˆˆ10 3.6 4.5, 4.53 2.5,38bb ⨯⨯=∴=⨯+∴=-.新的线性回归方程ˆˆ3,,y x bx y =+具有正相关关系，A 对.新的线性回归方程：ˆ33,yx =-B 对.由线性回归方程知，随着自变量x 值增加，因变量y 值增加速度恒定，C 错；ˆ4,9,8.990.1,x y==-=-D 对.故选：ABD.10.【答案】ACD【分析】利用曲线方程的特征逐一判断即可.【详解】当0m =时，方程为20x =，即0x =，此时方程表示直线；当0m ≠时，方程为22211x y m m +=+；若0m <，则方程表示双曲线；若201m m m >⎧⎨+=⎩，此时m 无解；当201m m m >⎧⎨+≠⎩，方程表示椭圆.方程可以表示的曲线类型有直线，双曲线，椭圆.故选：ACD 11.【答案】ABD 【详解】选项A ：122AP AQAP AQ PQ +≤⇒++≤选项B ：221112224APQAP AQ S AP AQ ⎛⎫+=⋅⋅≤⋅= ⎪⎝⎭ 选项C ：设线段BP DQ ､的长度分别为,,a b BCP DCQ ∠α∠β==､则1,1AP a AQ b =-=-，因为APQ 的周长为定值2，所以PQ a b =+.则由勾股定理得222()(1)(1)a b a b +=-+-，即1a b ab +=-，又因为tan ,tan a b αβ==，于是()tan tan tan 11tan tan 1a babαβαβαβ+++===--因为090αβ<+< ，所以45αβ+= 即45PCQ ∠= ，故C 错误；选项D ：由C 选项的推理可知1,a b ab PQ a b +=-=+所以2112a b a b ab +⎛⎫+=-≥- ⎪⎝⎭，所以212PQ PQ ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，即2440PQ PQ +-≥又因0PQ >得2PQ ≥-，当且仅当a b =即BP DQ =时等号成立，故D 正确；三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】210x 【详解】题意即展开式中2x 的项为141232255C 1(2)3C 1(2)110,x x x x -⋅+-⋅=∴按x 的升幂排列的第三项为210x .故答案为：210x .13.【答案】1133AB AD+【详解】在平行四边形ABCD 中，AD ∥,,BC AER CBR EAR BCR ∠∠∠∠∴==，AER CBR ∴≈ ，且相似比为1:2,:1:2AR RC ∴=，即R 是AC 的三等分点，同理T 也是AC 的三等分点，()()111333RT AC AB BC AB AD ∴==+=+ ，故答案为：1133AB AD +.14.【答案】3【详解】如图是过侧棱1AA 的球的截面，12,O O 是正三棱柱下底面和上底面外心，设正三棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为R，由题意知3ah =，即ah =1π2sin3a r AO ===222224h R OA r ==+，当且仅当32a h =时取等号，则该正三棱柱外接球的体积的最小值为34π33⨯⨯=.故答案为：3.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【答案】（1）BC =2）14【详解】（1）由题知，1sin 22ABC S AB AC BAC ∠=⋅=，所以sin 2BAC ∠=，又因为()0,πBAC ∠∈，所以π3BAC ∠=或2π3.因为BAC ∠为锐角，所以π3BAC ∠=.在ABC 中，由余弦定理知2222cos BC AB AC AB AC BAC ∠=+-⋅⋅，整理得21936236272BC =+-⨯⨯⨯=，解得BC =.（2）因为22292736AB BC AC +=+==，所以π13,222ABC BN AC AM ∠=⋅====，所以222222,cos 33214AP BP AB AP AM BP BN APB AP BP ∠+-======⋅.所以APB ∠的余弦值为14.16.【答案】（1）证明见解析（2）25【详解】（1）因为BC ⊥平面11,ABB A AE ⊂平面11ABB A ，所以AE BC ⊥.又11,AE A B A B BC B ⊥⋂=，所以AE ⊥平面1A BC ，因为1AC ⊂平面1A BC ，所以1AE AC ⊥同理：因为CD ⊥平面11,ADD A AF ⊂平面11ADD A ，所以AF CD ⊥.又11,AF A D A D CD D ⊥⋂=，所以AF ⊥平面1ACD 因为1AC ⊂平面1ACD ，所以1AF AC ⊥，又因为1,AE AC AE AF A ⊥⋂=，所以1AC ⊥平面AEF（2）以A 为原点，分别以1AB AD AA ､､所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系如图.则()()()()()()110,0,0,0,0,5,4,0,0,4,0,5,0,3,0,4,3,0A A B B D C .所以()14,3,5A C =- ，且1A C是平面AEF 的一个法向量.()10,0,5BB = ，()4,3,0BD =- 设平面11D B BD 的法向量为(),,n x y z = 则10n BB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即50430z x y =⎧⎨-+=⎩所以0z =，令3x =，得4y =.则平面11D B BD 的一个法向量为()3,4,0n = .所以111212245,n A C n A C ⋅=+=⋅====所以111122cos ,25n A C n A C n A C ⋅==⋅.所以平面AEF 与平面11D B BD的夹角的余弦值为25.17.【答案】（1）分布列见解析，()125E X =；（2）（i ）有放回摸球时，所求概率为432625，不放回摸球时，所求概率为1721；（ii ）答案见解析.【详解】（1）因为有放回摸球，每次摸到黄球的概率为35，且各次试验的结果是独立的，由题意可知，34,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则X 的所有可能取值有01234､､､､，()()431421632960,1C 562555625P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()223234423216322162C ,3C 5562555625P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()438145625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X 01234P166259662521662521662581625随机变量X 的数学期望为()312455E X =⨯=；（2）（i ）样本中黄球的比例为4XY =，由题意0.60.24X -≤，解得1.6 3.2X ≤≤，即X 取2､3，有放回摸球时，概率()()1216432232625625P P X P X ==+==⨯=，不放回摸球时，概率()()223164642410172321C C C C P P X P X C +==+===；（ii ）由（i ）可知，12P P <，所以，在误差不超过0.2的限制下，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，采用不放回估计的结果更可靠些.18.【详解】（1）点()2,9N 在直线:l y kx m =+上，则有92k m =+，联立22149x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，则()2229484360k x kmx m ----=，由2940k -≠，则()()2222Δ644944360k m k m=----=，可得2249m k =-，所以：22(92)49k k -=-，解得52k =，当52k =时，4m =；所以直线l 的方程：542y x =+（2）联立22149x y y kx m ⎧⎧-=⎪⎨⎨⎩⎪=+⎩，则()2229484360k x kmx m ----=，因为3,2k M ≠±是双曲线与直线的唯一公共点，所以()()2222Δ644944360k m km=----=，化简得2249m k =-，解得点M 的坐标为2249,9494km m k k ⎛⎫⎪--⎝⎭，即为49,k m m ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，于是，过点M 且与l 垂直的直线为914k y x m k m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，可得13131313,0,0,,,k k A B P m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111313,k x y m m =-=-，于是2221222211691699169916991699114444413k m x y m m m y ⎛⎫⎪⎛⎫+ ⎪⎛⎫===+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即P 的轨迹方程为：()221016916949x y y -=≠，由双曲线的定义可知，存在定点131313,0,66G H ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得当点M 运动时，PG PH -为定值13.19.【答案】（1）()f x 在(),2a a --+上单调递增，在()(),,2,a a ∞∞---++上单调递减（2）（i ）证明见解析；（ii ）存在定值t ，此时1a =.【详解】（1）()2()e x x a f x +=定义域为()()()()22()2R,,e ex xx a x a x a x a f x x +-+-++-='=∈R ，令()0f x '>，则2a x a -<<-+，令()0,f x x a <<-'或2x a >-+，()f x ∴在(),2a a --+上单调递增，在()(),,2,a a ∞∞---++上单调递减.（2）（i ）法一：由（1）知,2m a n a =-=-+且()()()2240,4e e a a f m f a f n --+=-===，224e 2e ,2a a MNk MN a a--∴==∴-++直线方程为()22e a y x a -=+，令()22()2eea x x a x a -++=，即()()22e 0,x a x a x a x a +-⎡⎤+-+=∴=-⎣⎦或()22e 0x a x a +--+=，设()()22e ,x a g x x a x +-=-+∈R ，则()22e 1x a g x +-=-'，令()0g x '=，则12ln2x a +-=，2ln2x a ∴=--，令()0g x '>，则2ln2x a >--，令()0g x '<，则2ln2x a <--，()g x ∴在(),2ln2a ∞---上单调递减，在()2ln2,a ∞--+上单调递增，()()()()2ln 220,2e 0,2ln22e 2ln2ln210g a g a g a ---=-=>--=--=-< ，（或者()()2ln220)g a g a --<-<∴存在唯一的()0,2x a a ∈--，使()00g x =，即0202e x a x a +-=+，故方程①的解有0,2,a a x --综上，直线MN 与曲线()y f x =交于除,M N 点外另一点P ；法二：由（1）知,2m a n a =-=-+且()()()2240,4e e a a f m f a f n --+=-===，224e 2e ,2a a MNk MN a a--∴==∴-++直线方程为()22e a y x a -=+，令()22()2ee a x x a x a -++=，即()22e 0,e a x x a x a x a -+⎡⎤+-=∴=-⎢⎥⎣⎦或22e 0e a x x a -+-=，设()22e ,e a x x a h x x -+=-∈R ，则()1e xx a h x --='，令()0h x '=，则1x a =-；令()0h x '>，则1x a <-；令()0h x '<，则1x a >-，()h x ∴在(),1a ∞--上单调递增，在()1,a ∞-+上单调递减，()()()()12221e 2e e e 20,2e 0,20a a a a h a h a h a -----=-=->-=-<-= ，()0,1x a a ∴∃∈--，使得()00h x =，故方程（1）的解有0,2,a a x --，综上，直线MN 与曲线()y f x =交于除,M N 点外另一点P .（ii ）法一：由（i ）知，()()()()200022,,0,2,4e,22a P a a MN x x M a N a t PNa x a x --+--=--+===-+--+，022(0)a x t t ∴+=->，由（i ）可知，022022e ,2e 2x a t x a t -+-=+∴=-，即21e 1t t-=-，21e10(0)tt t-∴+-=>，设10u t =-<，设()2e 1,0uH u u u =--<，()22e 1,0u H u u =-<'，令()0H u '=，则ln22u =-，令()0H u '>，则ln202u -<<，令()0H u '<，则ln22u <-，()H u ∴在ln2,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln2,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增.()()21111e 0,00,02e 2H H H -⎛⎫-=>=-=-< ⎪⎝⎭ ，011,2u ⎛⎫∴∃∈-- ⎪⎝⎭，使()00H u =，此时()011,2t u =-∈，故存在定值t ，且()1,2t ∈，使MN t PN =，又(),1t a a ∈+，故1a =；法二：（ii ）由（i ）知，()()()()200022,,0,2,4e,22a P a a MN x x M a N a t PNa x a x --+--=--+===-+--+，()()()000222(0),,1,122,12a x t x a a a x t t∴-+=>∈--∴<-+<∴<< ，12t ∴<<，故存在定值t ，且()1,2t ∈，使MN t PN =，此时1a =.。

2024年3月高三调研考试试卷数学（长沙县､望城区､浏阳市､宁乡市联合命制）注意事项：1.本试题卷共5页，共四个大题，19个小题.总分150分，考试时量120分钟.2.接到试卷后，请检查是否有缺页､缺题或字迹不清等问题.如有，清及时报告监考老师.3.答题前，务必将自己的姓名､考号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名､考号和科目.4.作答时，请将答案写在答题卡上.在草稿纸､试题卷上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则()A B ⋃R ð＝（）A ．{}|1x x >B ．{}1|x x ≥-C ．{}|12<≤x x D ．{}|12x x ≤≤2．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若366,3a a ==，则8S =（）A ．76B ．72C ．36D ．323．设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，且a α⊥，b β⊂，则“//a b ”是“αβ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B C D 5．将甲､乙､丙､丁4个人全部分配到,,A B C 三个地区工作，每个地区至少有1人，则不同的分配方案为（）A ．36种B ．24种C ．18种D ．16种6．过点()00，与圆224240x y x y +--+=相切的两条直线夹角为α，则cos α=（）A ．35B ．45C D 7．钝角ABC 中，sin cos a C c B =，则()cos A B -=（）A ．1B ．12C ．2D ．08．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，斜率为k 的直线l 经过点F ，并且与抛物线C 交于A B 、两点，与y 轴交于点M ，与抛物线的准线交于点N ，若2AF MN =，则k =（）AB C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设z 为非零复数，则下列命题中正确的是（）A ．22||z z =B ．2||z zz=C ．22z z=D ．若1z =，则i z +的最大值为210．已知函数()1πcos 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把()y f x =的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，以下说法正确的是（）A ．π6x =是()y f x =图象的一条对称轴B ．()f x 的单调递减区间为()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()y g x =的图象关于原点对称D ．()()f x g x +的最大值为1211．已知()f x 是定义在R 上的连续函数，且满足()()()2f x y f x f y xy +=+-，当0x >时，()0f x >，设()()2g x f x x =+（）A ．若()()113f f ⋅-=-，则()11f =B ．()g x 是偶函数C ．()g x 在R 上是增函数D ．()()10x g x ->的解集是()(),01,-∞⋃+∞三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知一组数据如下：4,4,4,7,7,8,8,9,9,10，则这组数据的第75百分位数是.13．一个正四棱锥底面边长为2，则该四棱锥的内切球表面积为.14．已知对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时，都有：()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-，则a 的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在圆锥SO 中，AB 是圆O 的直径，且SAB △是边长为4的等边三角形，,C D 为圆弧AB 的两个三等分点，E 是SB 的中点.(1)证明：DE //平面SAC ；(2)求平面SAC 与平面SBD 所成锐二面角的余弦值.16．已知函数()()22ln f x x ax x a =+-∈R (1)当0a =时，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在区间[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；17．春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A 、B 、C 三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A 中奖的概率是14，项目B 和C 中奖的概率都是25.(1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A 、B 、C 三个项目，如果A 、B 、C 三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券.求每位顾客获得奖券金额的期望；(2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了，求他参加的是A 项目的概率.18．如图，已知,A B 分别是椭圆2222:1x y E a b +=的右顶点和上顶点，椭圆E 的离心率为ABO 的面积为1.若过点(),P a b 的直线与椭圆E 相交于,M N 两点，过点M 作x 轴的平行线分别与直线,AB NB 交于点,C D .(1)求椭圆E 的方程.(2)证明：,,M C D 三点的横坐标成等差数列.19．若存在常数t ，使得数列{}n a 满足1123n n a a a a a t +-⋅⋅⋅=（1n ≥，n ∈N ），则称数列{}n a 为“()H t 数列”.(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“()1H 数列”，并说明理由；(2)若数列{}n a 是首项为2的“()H t 数列”，数列{}n b 是等比数列，且{}n a 与{}n b 满足212321log ni n n i aa a a ab ==+∑ ，求t 的值和数列{}n b 的通项公式；(3)若数列{}n a 是“()H t 数列”，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a >，0t >，试比较ln n a 与1n a -的大小，并证明1e n S n n n t S S -+>--.1．B 【分析】由补集和并集的定义直接求解.【详解】集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则{}1|B x x =≥R ð，(){}1|=A B x x ≥-R ð.故选：B 2．C 【分析】根据题意，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】在等差数列的求和公式，可得()()1836888S 3622a a a a ++===.故选：C.3．A 【分析】由空间中的线面关系结合充分必要条件的判断得答案【详解】由a α⊥，//a b ，则b α⊥，又b β⊂，所以αβ⊥，故“//a b ”是“αβ⊥”的充分条件.当满足αβ⊥，a α⊥，b β⊂时，直线,a b 可能平行，可能相交，也可能异面.故“//a b ”不是“αβ⊥”的必要条件.故选：A 4．B 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，求得2b =，结合c e a ==.【详解】由双曲线222:1(0,0)4x y C a b b-=>>，可得其渐近线为2b y x =±，不妨取2by x =，即20bx y -=，且焦点(c,0)F ，因为焦点到一条渐近线的距离为22bcb c===，所以双曲线C的离心率c e a ===故选：B.5．A 【分析】把4个人按2:1:1分成3组，再分配到三个不同地区即可.【详解】依题意，,,A B C 三个地区中必有一个地区有2人，先在甲､乙､丙､丁4个人中选2个人有24C 种组合，将这两个人捆绑在一起看作一个元素，与其他2个人一起分配到,,A B C 三个地区，共有2343C A 36=种.故选：A 6．A 【分析】先求圆心和半径，然后设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出切线方程，再根据两直线的夹角公式即可求出.【详解】224240x y x y +--+=化为标准方程为22(2)(1)1x y -+-=，圆心为(2,1),半径为1,过点(0,0)与圆224240x y x y +--+=相切的两条直线夹角为α，设切线为y kx =，点线距离为d，则1d =，解得43k =或0k =，故切线为43y x =或0y =，故根据两直线的夹角公式得4043tanα43103-==+⨯，且易知α一定为第一象限角，解得cos α=35.故选:A7．D【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到sin sin sin cos A C C B ⋅=⋅，进而得到22cos sin A B =，进而判定得到A 为钝角，得出cos sin A B =-，结合两角差的余弦公式，即可求解.【详解】因为sin cos a C c B ⋅=⋅，由正弦定理得sin sin sin cos A C C B ⋅=⋅，在钝角ABC 中，sin 0C ≠，所以sin cos 0A B =>，即22sin cos A B =且B 为锐角，所以221cos 1sin A B -=-，所以22cos sin A B =，若C 为钝角，则090,09090A B A B <+<<<-< ，可得sin cos A B <，这与sin cos A B =矛盾，所以只可能A 为钝角，所以cos sin A B =-，所以()cos cos cos sin sin 0A B A B A B -=+=.故选：D.8．D【分析】设准线与x 轴的交点为P ，过A 作准线的垂线，垂足为A '，，根据抛物线的定义以及三角形的性质可得2AN AA ='，根据含30 角的直角三角形的性质可得答案.【详解】当A 在第一象限时，设准线与x 轴的交点为P ，过A 作准线的垂线，垂足为A '，因为OM PN ∥，且O 为PF 的中点，所以OM 为三角形PFN 的中位线，即FM MN =，所以2N AF MN F ==，又根据抛物线的定义AF AA ='，所以22AN AF AA =='，所以在直角三角形AA N '中，60A AN '∠=o ，所以60AFx ∠= ，此时k =根据对称性，当A 在第四象限时，k =故选：D.9．BD 【分析】对于A ，结合题意进行判断，举反例即可，对于B ，设()i ,z a b a b R =+∈,先求出共轭复数和模的平方，求解即可，故B 正确，对于C,举反例证明即可，对于D ，利用1z =画出图形，利用几何意义求解即可.【详解】对于A ，设()i ,z a b a b =+∈R ，当,a b 均不为0时，2222(i)2i z a b a b ab =+=-+为虚数，而||222z a b =+为实数，所以22||z z =不成立，故A 错误；对于B ，则i z a b =-，所以22222,||z a b z a b =+=+，而()()22i i zz a b a b a b =+-=+，所以2||z zz =成立，故B 正确；对于C ，设22i,i 1z z ===，又221z i ==-，所以22z z ≠，故C 错误.对于D ,1z =，则复数z 对应的点P 的轨迹是以()0,0O 为圆心，1为半径的圆，()i i z z +=--的几何意义为复数z 对应的点P 与()0,1Q -两点间的距离PQ ，所以，如图可知，当点P 为()0,1时，PQ 最大，i z +取最大值，则最大值为2，故D 正确.故选:BD.10．ABD【分析】根据题意，求得()1cos22g x x =-的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数()1πcos 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()()11cos 2πcos222y g x x x ==-=-的图象，对于A 中，令π6x =，求得()12f x =，即为函数()y f x =最大值，所以直线π6x =是函数()f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令π2π22ππ,Z 3k x k k ≤-≤+∈，解得π2πππ,Z 63k x k k +≤≤+∈，可得()f x 的单调减区间为π2ππ,π,Z 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，所以B 正确.对于C 中，由于()1cos22g x x =-是偶函数，可得函数()g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由()()1π1cos 2cos2232f x g x x x ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111cos2cos2222x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦11π1cos2sin 244262x x x ⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭，即()()f x g x +的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD.11．ACD 【分析】取0x y ==得到()00f =，取1x =，1y =-计算得到A 正确，确定()()22x f x f x -+=-，计算()()g 0x g x +-=得到B 错误，取12x x <，计算()()21g x g x >得到C 正确，考虑1x >，1x =和1x <三种情况，根据函数单调性解得D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：取0x y ==得到()()()000f f f =+，即()00f =，取1x =，1y =-得到()()()00211f f f +-=+=，又()()113f f ⋅-=-，()10f >，解得()11f =，正确；对选项B ：取y x =-得到()()()202f f x f x x -=++，即()()22x f x f x -+=-，()()()()220g x g x f x x f x x +-=++-+=，函数定义域为R ，函数为奇函数，错误；对选项C ：设12x x <，则()()()()22212211g x g x f x x f x x -=+--()()()()222221121121211212f x x x x f x x f x x x x x x x =-++--=---+-()()()22221211221122f x x x x x x f x x x x =--++=-+-，0x >时，()0f x >，故()210f x x ->，()1220x x ->，故()()210g x g x ->，即()()21g x g x >，函数单调递增，正确；对选项D ：()()0000g f =+=，()()10x g x ->，当1x >时，()0g x >，则0x >，故1x >；当1x =时，不成立；当1x <时，()0g x <，则0x <，故0x <；综上所述：()(),01,x ∞∞∈-⋃+，正确；故选：ACD.12．9【分析】根据题意，利用百分位数的计算方法，即可求解.【详解】由题意，数据4,4,4,7,7,8,8,9,9,10，可得75%107.5⨯=，故第75百分位数是第8个数，即为9.故答案为：9.13．43π##43π【分析】根据三角形相似求出内切球半径，再利用球的表面积公式求其表面积.【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，O 为内切球的球心，PH 是棱锥的高，,E F 分别是,AB CD 的中点，连接,PF G 是球与侧面PCD 的切点，可知G 在PF 上，OG PF ⊥，设内切球半径为r ，则,1,2OH OG r HF PH PF ====，由△PGO ∽△PHF 可知OG PO HF PF =，即12r r=，解得3r =，所以内切球表面积224π4π4π3S r ==⨯=⎝⎭.故答案为：4π3.14．(],2-∞【分析】依题意可得22112111ln ln a x x a x x x x -+<-+对任意的()12,0,x x ∈+∞当12x x <恒成立，令()()1ln ,0,f x a x x x x∞=-+∈+，即可得到()f x 在()0,∞+上单调递减，求出函数的导函数，即可得到()0f x '≤在()0,∞+上恒成立，参变分离可得1a x x≤+在()0,∞+上恒成立，利用基本不等式求出1x x+的最小值，即可得解.【详解】因为对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-恒成立，所以21212112ln ln x x a x a x x x x x --<-+恒成立，所以21211211ln ln a x a x x x x x -<-+-恒成立，所以22112111ln ln a x x a x x x x -+<-+恒成立①，令()()1ln ,0,f x a x x x x∞=-+∈+，由①式可得()()21f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，所以()2210x ax f x x -+'=-≤在()0,∞+上恒成立，所以210x ax -+≥在()0,∞+上恒成立，所以1a x x ≤+在()0,∞+上恒成立，又12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，2a ∴≤.故答案为：(],2-∞【点睛】关键点点睛：本题关键是将式子变形得到22112111ln ln a x x a x x x x -+<-+对任意的()12,0,x x ∈+∞当12x x <恒成立，从而将问题转化为函数在区间上单调递减求参数问题.15．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）证明：取SA 的中点F ，连接,,CF EF CD ，由题意可证得DE //CF ，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）以O 为坐标原点，,OB OS的方向分别为,y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面SAC 与平面SBD 的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【详解】（1）证明：取SA 的中点F ，连接,,CF EF CD .因为,C D 为圆弧AB 的两个三等分点，所以CD //1,2AB CD AB =.因为,E F 分别为,SB SA 的中点，所以EF //1,2AB EF AB =，则CD //,EF EF CD =，从而四边形CDEF 为平行四边形，故DE //CF .因为DE ⊄平面,SAC CF ⊂平面SAC ，所以DE //平面SAC .（2）解：以O 为坐标原点，,OB OS的方向分别为,y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为4AB SA ==，所以()())0,2,0,0,2,0,3,1,0A B C --，)(3,1,0,0,0,3DS ，则)()3,1,0,0,2,3,3,1,0,AC AS BD BS ====(0,2,3-.设平面SAC 的法向量为()111,,m x y z =，则111130,230,m AC x y m AS y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令11x =，得()1,3,1m = .设平面SBD 的法向量为()222,,n x y z =，则222230,230,n BD x y n BS y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令21x =，得()3,1n = .设平面SAC 与平面SBD 所成锐二面角为θ，则||1cos |cos ,|||||5m n m n m n θ⋅=〈〉==.故平面SAC 与平面SBD 所成锐二面角的余弦值为15.16．(1)极小值为1，无极大值(2)3a ≤-【分析】（1）求定义域，求导，根据导函数求出单调区间，从而得到极值情况；（2）由题意得在区间[]1,2上()0f x '≤，参变分离，构造函数()22g x x x=-，求出最小值，得到答案.【详解】（1）0a =时，()22ln f x x x =-，定义域为()0,∞+，()22222x f x x x x-'=-=，令()0f x ¢>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，故()f x 在1x =处取得极小值，()11f =，()f x \的极小值为()11f =，无极大值.（2）()f x 在区间[]1,2上为减函数，∴在区间[]1,2上()0f x '≤，()22202f x x a a x x x∴=+-⇒≤-'≤，令()22g x x x =-，只需min ()a g x ≤，显然()22g x x x=-在区间[]1,2上为减函数，()min ()2143g x g ∴==-=-，3a ∴≤-17．(1)16(2)521【分析】（1）根据题意先写出获得奖券金额的可能取值，再根据相互独立事件的概率乘法公式计算得出对应的概率后即可计算数学期望；（2）根据条件概率定义及计算公式计算可得.【详解】（1）设一位顾客获得X 元奖券，则X 的可能取值为100，50，0，()122110045525P X ==⨯=，()21212332650C 4554525P X ⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()161801252525P X ==--=，所以每位顾客获得奖券金额的期望是()16100500162525E X =⨯+⨯+=（元）（2）设“该顾客中奖”为事件M ，参加项目A ，B ，C 分别记为事件1N ，2N ，3N ，则()()()31111212734353520i i i P M P N P M N ===⨯+⨯+⨯=∑，所以()()()()()()11111153472120P N P M N P N M P N M P M P M ⨯====，即已知某顾客中奖了，则他参加的是A 项目的概率是521.18．(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件列出方程组222112,ab c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩计算即可得出结果；（2）设直线MN 方程与椭圆方程联立，设()()1122,,,M x y N x y ，()()11,,,C D C x y D x y 进而利用韦达定理证明12D C x x x +=即可得出结果.【详解】（1）依据题意，222112,ab c a a b c⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：21,a b c ⎧=⎪=∴⎨⎪=⎩椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解法1：设直线:,MN x my n =+ 直线过点()2,1,2P m n ∴+=.联立方程组2244x my n x y =+⎧⎨+=⎩可得：()2224240m y mny n +++-=，()()()222222Δ44441640m n m n m n =-+-=-+>设()()1122,,,M x y N x y ，则：212122224,44mn n y y y y m m --+==++，():11220,22,AB l x y C y y +-=∴- ，2211BN y l y x x -=+ ：，令1y y =可得：()12211D y x x y -=-，下面证明：12D C x x x +=.即证：()121121441y x x yy -+=--，即证：()()()()()()12121211441my n y y my n y y +-+-+=--整理可得即证：()()()1212244240m y y n m y y n ++--+-+=，即证：()()2224224424044n mnm n m n m m --+⋅+--⋅-+=++，整理可得即证：()2248480m mn n m n ++-+=，即证：()2()20m n m n +-+=，2,m n +=∴ 上式成立，原式得证.解法2：设()()()112212,,,1,1,M x y N x y y y MD ≠≠ x 轴，()()11,,,D C D x y C x y ∴，设直线()11,MN MN l mx n y l +-= ：过点()12,1,212P m m ∴=⇒=.由方程组()221044mx n y x y ⎧+-=⎨+=⎩可得：当1y ≠时，2848011x xm n y y ⎛⎫+⋅++= ⎪--⎝⎭，12128411x xm y y ∴+=-=---，又,,B D N 三点共线，22111D x xy y ∴=--，111411D x xy y ∴+=---，即()1141D x x y +=--. 点()1,C C x y 在直线:12xAB y +=上，112C x y ∴-=-，142C D x x x ⎛⎫∴+=-⨯- ⎪⎝⎭，即12.,,D C x x x M C D +=∴三点的横坐标成等差数列.解法3：设直线:,MN x my n =+ 直线过点()2,1,2P m n ∴+=.联立方程组2244x my n x y =+⎧⎨+=⎩可得：()2224240m y mny n +++-=，设()()()112212,,,1,1M x y N x y y y ≠≠，则：212122224,,44mn n y y y y m m --+==++()()()()()1221122121211841111()x y x y m n x xy y y y m n -+--+∴+===-----+，又,,B D N 三点共线，21211112,4211111CD D AB x x x x x y y y y k y ∴=∴-==⋅-----12,,,D C x x x M C D ∴+=∴三点的横坐标成等差数列.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，联立椭圆方程得到韦达定理式，再计算121211x x y y +--为定值，最后再利用,,B D N 三点共线即可证明.19．(1)不是“()1H ”数列(2)1t =-，12n n b +=(3)ln 1n n a a <-，证明见解析【分析】（1）根据“()H t 数列”的定义进行判断，说明理由；（2）根据{}n a 是首项为2的“()H t 数列”，求出23,a a ，由{}n b 是等比数列，设公比为q ，由212321log nin n i aa a a ab ==+∑ ，可得212321111log n n n i n i a a a a a a b +=++=+∑ ，作差可得()2211132121log log n n n n n a a a a a b b a +++--=+ ，利用{}n b 前三项数列，可以求解t 和q ，进而求解等比数列{}n b 的通项公式；（3）根据题意构造函数()ln 1f x x x =-+，求导并判断()f x 在()1,+∞上单调递增，由{}n a 是“()H t 数列”与11,0a t >>，反复利用1231n n a a a a t a +=+ ，可得对于任意的1,n n ≥∈N ，1n a >,进而得到ln 1n n a a <-，推出()12ln n n a a a S n <- ，再利用ln y x =在()0,x ∈+∞上单调递增，得到12e n S nn a a a -< ，通过已知条件变形推出1e n S n n n t S S -+>--.【详解】（1）根据“()H t 数列”的定义，则1t =，故11231n n a a a a a +-= ，因为211a a -=成立，3211a a a -=成立，432181238621a a a a -=-⨯⨯=-=≠不成立，所以1,2,3,8,49不是“()1H 数列”.（2）由{}n a 是首项为2的“()H t 数列”，则22a t =+，334a t =+，由{}n b 是等比数列，设公比为q ，由212321log ni n n i a a a a a b ==+∑ ，则212321111log n n n i n i a a a a a a b +=++=+∑ ，两式作差可得()2211132121log log n n n n n a a a a a b b a +++--=+ ，即()1123212o 1l g n n n qa a a a a a ++-=+ 由{}n a 是“()H t 数列”，则1231n n a a a a t a +-= ，对于1,n n ≥∈N 恒成立，所以()()121121log n n n a t a q a ++++--=，即()1212log log 1n n n t t b b a ++-=++对于1,n n ≥∈N 恒成立，则()()22321log 1log t a t q t a t q ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，即()()()()2212log 134log t t t q t t t q ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩，解得，1t =-，2q =，又由12a =，21121log a a b =+，则14b =，即12n n b +=故所求的1t =-，数列{}n b 的通项公式12n n b +=（3）设函数()ln 1f x x x =-+，则()11f x x'=-，令()0f x '=，解得1x =，当1x >时，()0f x '<，则()ln 1f x x x =-+在区间()1,+∞单调递减，且()1ln1110f =-+=，又由{}n a 是“()H t 数列”，即1231n n a a a a t a +-= ，对于1,n n ≥∈N 恒成立，因为11,0a t >>，则211a t a =+>，再结合121,0,1a t a >>>，反复利用1231n n a a a a t a +=+ ，可得对于任意的1,n n ≥∈N ，1n a >,则()()10n f a f <=，即ln 10n n a a -+<，则ln 1n n a a <-，即11ln 1a a <-，22ln 1a a <-，L ，ln 1n n a a <-，相加可得1212ln ln ln n n a a a a a a n +++<+++- ，则()12ln n n a a a S n <- ,又因为ln y x =在()0,x ∈+∞上单调递增，所以12e n S nn a a a -< ，又1231n n a a a a t a +-= ，所以1e n S nn a t -+-<，即1e n S nn n S S t -+--<，故1en S nn n t S S -+>--.【点睛】关键点睛：本题主要数列的新定义题型，紧扣题意进行求解，同时构造函数，利用导数判断单调是证明不等式的关键.。

2024年3月湖南省高三数学考前模拟演练试卷（试卷满分150分；考试时间120分钟）2024.03一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知{}{}20,1,2,0A B xx x ==+=∣，则A B ⋃为（）A ．∅B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．已知复数2i1iz +=+，则复数z 的实部与虚部之和为（）A ．0B ．1CD ．23．某骑行爱好者在专业人士指导下对近段时间骑行锻炼情况进行统计分析，统计每次骑行期间的身体综合指标评分x 与骑行用时y （单位：小时）如下表：身体综合指标评分()x 12345用时(/y 小时）9.58.87.876.1由上表数据得到的正确结论是（）参考数据：()()()()5552211110,7.06,8.4,8.402.i i i i i i i x x y yx xy y ===-=-=--=-∑∑∑参考公式：相关系数()()niix x yy r --=∑A ．身体综合指标评分x 与骑行用时y 正相关B ．身体综合指标评分x 与骑行用时y 的相关程度较弱C ．身体综合指标评分x 与骑行用时y 的相关程度较强D ．身体综合指标评分x 与骑行用时y 的关系不适合用线性回归模型拟合4．已知二项式(12)n x +（其中*n ∈N 且5n ≥）的展开式中3x 与4x 的系数相等，则n 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．85．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对任意实数()(),2x f x f x -=.当[]1,2x ∈时，()21log f x x =-.则()21f 的值为（）A ．0B ．1C ．21log 21-D ．210log 21+6．已知点()4,1M ，抛物线22(0)y px p =>的焦点为,F P 为抛物线上一动点，当P 运动到()2,t 时，4PF =，则PM PF +的最小值为（）A ．6B ．5C ．4D ．37．湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C 点和一建筑物DE 的楼顶E 为测量观测点，已知点A 为塔底，,,A C D 在水平地面上，来雁塔AB 和建筑物DE 均垂直于地面（如图所示）.测得18m,15m CD AD ==，在C 点处测得E 点的仰角为30°，在E 点处测得B 点的仰角为60°，则来雁塔AB 的高度约为（1.732≈，精确到0.1m ）A ．35.0mB ．36.4mC ．38.4mD ．39.6m8．已知圆()22:44C x y -+=，点M 在线段()04y x x =≤≤上，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，以AB 为直径作圆C '，则圆C '的面积的最大值为（）A ．πB ．2πC ．5π2D ．3π二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．已知函数()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象经过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．π3ϕ=-C ．函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭单调递减10．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，()g x 是定义域为R 的奇函数，且()()2e xf xg x +=.函数()()()22F x f x mf x =-在[)0,∞+上的最小值为11-，则下列结论正确的是（）A ．()e ex xf x -=+B ．()g x 在实数集R 单调递减C ．3m =D ． 3.3m =-或13411．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是侧棱11,BB CC 的中点，P 是侧面11BCC B （含边界）内一点，则下列结论正确的是（）A ．若点P 与顶点1C 重合，则异面直线1AA 与DP 所成角的大小为60B ．若点P 在线段MN 上运动，则三棱锥11C PDB -的体积为定值C ．若点P 在线段1B C 上，则1AP BD ⊥D ．若点P 为1BC 的中点，则三棱锥-P ABC三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．在ABC 中，,AB c AC b ==，点M 满足(01)BM BC λλ=<< ，若1233AM b c =+ ，则λ的值为.13．已知π1sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于.14．已知12,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且()121260,23F PF PF m PF m ∠==，则椭圆C 的离心率取值范围为.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且497,81a S ==.等比数列{}n b 是正项递增数列，且1231238,7b b b b b b =++=.(1)求数列{}n a 的通项n a 和数列{}n b 的通项n b ；(2)若1,,n n n n na b n c a b n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和.16．如图1，在五边形ABCDP 中，连接对角线AD ，//AD BC ，AD DC ⊥，224PA PD AD BC DC =====，将三角形PAD 沿AD 折起，连接,PC PB ，得四棱锥P ABCD -（如图2），且PB E =为AD 的中点，M 为BC 的中点，点N 在线段PE 上.(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若平面AMN和平面PAB38729，求线段EN的长.17．三人篮球赛是篮球爱好者的半场篮球比赛的简化版，球场为1511⨯米，比赛要求有五名球员.某高校为弘扬体育精神，丰富学生业余生活､组织“挑战擂王”三人篮球赛，为了增强趣味性和观赏性，比赛赛制为三局二胜制，即累计先胜两局者赢得最终比赛胜利（每局积分多的队获得该局胜利，若积分相同则加时决出胜负）.每局比赛中犯规次数达到4次的球员被罚出场（终止本场比赛资格）.该校的勇士队挑战“擂王”公牛队，李明是公牛队的主力球员，据以往数据分析统计，若李明比赛没有被罚出场，公牛队每局比赛获胜的概率都为34，若李明被罚出场或李明没有上场比赛，公牛队每局比赛获胜的概率都为12，设李明每局比赛被罚出场的概率为p且11,62 p⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.(1)若李明参加了每局的比赛，且13 p=（i）求公牛队每局比赛获胜的概率；（ii）设比赛结束时比赛局数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)为了增强比赛的娱乐性，勇士队和公牛队约定：李明全程上场比赛，但若李明被罚出场，则李明将不参加后面的所有局次比赛.记事件A为公牛队2：0获得挑战赛胜利，求事件A的概率的最小值.18．已知双曲线2222:1(0)x yE a ba b-=>>的左､右焦点为12F F､，点()02,P y在双曲线E的右支上.且124PF PF-=，三角形12PF F5(1)求双曲线E的方程；(2)已知直线:1l x=与x轴交于点M，过M作斜率不为0的直线12,l l，直线1l交双曲线E于,A B两点，直线2l交双曲线E于,C D两点.直线AC交直线l于点G，直线BD交直线l于点H.试证明：MGMH为定值，并求出该定值.19．已知函数()2e 3(,0,e xf x a ax a a =-∈≠R 是自然对数的底数，e 2.71828)= .(1)当1a =时，求函数()f x 的零点个数；(2)当1a =时，证明：()cos 2f x x x ≥-；(3)证明：若[)1,,a x ∞∈+∈R ，则()12sin f x x ≥-.1．D【分析】化简集合，根据并集运算即可求解.【详解】由{}20B x x x =+=∣，得{}0,1B =-，又集合{}0,1,2A =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-.故选：D 2．B【分析】求出复数z 的代数形式，进而可得实部与虚部，相加即可.【详解】因为()()()()2i 1i 2i 31i 1i 1i 1i 22z +-+===-++-，所以复数z 的实部与虚部之和31122⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故选:B.3．C【分析】求出相关系数，根据相关系数的大小确定答案即可.【详解】因为相关系数()()51iix x y y r --==≈-∑.即相关系数近似为1,y -与x 负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.所以选项ABD 错误，C 正确.故选：C.4．A【分析】利用二项式定理的通项公式建立等量关系可求答案.【详解】因为*n ∈N 且5n ≥，由题意知33442C 2C n n =，得()()()()()3412123223!4!n n n n n n n -----⋅=⋅，求得5n =，故选：A .5．B【分析】利用函数的奇偶性以及()()2=f x f x -，推出函数的周期，再结合[]1,2x ∈时函数解析式，即可求得答案.【详解】由已知()y f x =为偶函数，所以()()f x f x -=，又()()2=f x f x -，所以()()2f x f x -=-，所以()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，结合[]1,2x ∈时，()21log f x x =-，故()()()221210111log 11f f f =⨯+==-=，故选：B.6．A【分析】利用抛物线的定义结合三点共线即可解决.【详解】由抛物线的定义可知，422p PF ==+，所以4p =，所以抛物线的方程为28y x =，过点P 作PP '垂直抛物线的准线，垂足为P '，则426PM PF PM PP MP +=+≥≥+'='，当且仅当,P P '和M 三点共线时等号成立.故选：A.7．B【分析】现从四棱锥C ABED -中提取两个直角三角形ECD 和BEF △的边角关系，进而分别解出两个三角形边,DE BF 的长，求出来雁塔AB 的高度即可.【详解】过点E 作EF AB ⊥，交AB 于点F ，在直角三角形ECD 中，因为30ECD ∠=︒，所以tan 18tan30DE CD DCE ∠=⋅=⨯︒=在直角三角形BEF △中，因为60BEF ∠=︒，所以tan 15tan6015BF EF FEB ∠=⋅=⨯︒=则()36.4m AB BF AF BF ED =+=+==≈.故选：B.8．D【分析】利用面积桥可表示出AB ，根据切线长定理可化简知AB 取最大值时，MC 取得最大值，根据M 点轨迹可确定最大值点，由此可求得AB 最大值，结合圆的面积公式可得结果.【详解】由题意知：圆C '是以AB 为直径的圆，则当AB 最大时，圆C '的面积最大，11222AMCAB S MC AM AC=⋅⋅=⋅ ，2MA AC AB MC ⋅∴=，又圆C 是以()4,0为圆心，2为半径的圆，2AC ∴=，又AC MA ⊥，AB ∴=当()0,0M 或()4,4M 时，max 4MC =，max AB ∴=∴圆C '面积的最大值为2π3π2AB ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆问题中的最值问题的求解，解题关键是能够确定圆的面积最值是由变量MC 来决定，从而将问题转化为定点到动直线上的点的距离最值的求解问题.9．ABD【分析】由条件可求()f x 的解析式，再利用余弦函数的性质逐项判断即可.【详解】对选项A ，依题意函数()f x 的周期为2ππ2T ==，所以选项A 正确；对选项B ，因为()102f =，即1cos 2ϕ=，又π02ϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以选项B 正确；对选项C ，因为()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()5π5ππcos 2cos 2π1663f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以点5π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 的中心对称，所以选项C 错误；对选项D ，因为ππ62x <<，所以π2π02π33x <-<<，因为cos y x =在()0,π单调递减，所以函数()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以选项D 正确.故选:ABD.10．AC【分析】根据函数的奇偶性可得出关于()(),f x g x 的方程组，即可得()(),f x g x 的解析式，从而得选项A ；结合函数的单调性，可判断选项B ；根据()f x 的解析式，求出()F x 的解析式，利用换元法，将所求函数转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的对称轴和二次函数的定义域，即可求出其最小值，从而解得3m =，即可判断选项C 与选项D.【详解】A ，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，又()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，因为()()2e x f x g x +=①，所以()()2e x f x g x --+-=，即()()2e xf xg x --=②，由①②得：()e e x x f x -=+，()e e x xg x -=-，所以选项A 正确；B ，因为函数e ,e x x y y -==-在R 上均为增函数，故()e e x xg x -=-在R 上单调递增，所以选项B 错误；C 、D ，因为()()2222e e e e 2x x x x f x --=+=+-，所以()()()2e e 2e e 2x x x x F x m --=+-+-，又()e e 2x x f x -=+≥，当e e x x -=，即0x =时等号成立，[)e e 2,x xt ∞-=+∈+，设()()22222()22h t t mt t m m t =--=---≥，对称轴t m =，当2m >时，函数()h t 在[)2,m 上为减函数，在(),m ∞+上为增函数，则()2min ()211h t h m m ==--=-，解得3m =或3m =-（舍）；当2m ≤时，()h t 在[)2,+∞上单调递增，()min ()22411h t h m ==-=-，解得：1324m =>，不符合题意.综上3m =，所以选项C 正确，D 错误.故选：AC .11．BCD【分析】利用异面直线所成角定义求出异面直线1AA 与DP 所成角判断A ，利用等体积法求出三棱锥11C PDB -的体积判断B ，利用线面垂直判定定理和性质判断C ，根据条件确定三棱锥-P ABC 的外接球的球心，求出半径，即可求出球的体积判断D.【详解】A ，因为1AA //1CC ，又点P 与顶点1C 重合，所以1DC C ∠是异面直线1AA 与DP 所成角，其大小为45 ，故A 错误；B ，因为,M N 是侧棱11,BB CC 的中点，所以MN //11B C ，又点P 在线段MN 上，所以三棱锥11C PDB -的体积1111112221323C PDBD PC B V V --==⨯⨯⨯⨯=（定值），故B 正确；C ，因为点P 在线段1B C 上，连接111,,,AC AB BD B D ，因为1BB ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，则1BB AC ⊥，又ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，且11,,BB BD B BB BD ⋂=⊂平面11BB D D ，则AC ⊥平面11BB D D ，且1BD ⊂平面11BB D D ，可得1AC BD ⊥，同理可得11⊥AB BD ，又11,,AC AB A AC AB =⊂ 平面1AB C ，则1BD ⊥平面1AB C ，因为AP ⊂平面1AB C ，所以1AP BD ⊥，故C 正确；D ，因为点P 为1BC 的中点，连接BD ，记AC 与BD 的交点为O ，取BC 的中点为F ，连接,PF OF ，则OP ==又OA OB OC ==O 为三棱锥-P ABC 的外接球的球心，所以三棱锥-P ABC ，所以三棱锥-P ABC 的外接球的体积为34π33⨯=，故D 正确.故选:BCD.12．13【分析】根据向量的加减运算即可得出答案.【详解】由题意可得：()AM AB BM AB BC AB AC ABλλ=+=+=+- ()()121133AC AB b c b c λλλλ=+-=+-=+ .所以13λ=.故答案为：13.13．2325【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可.【详解】22ππππ123cos 2cos 2cos212sin 123366525αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：2325.14．⎣⎦【分析】由12PF m PF =，可得2122,11a ma PF PF m m ==++，由余弦定理223112c a m m =-++，设()12f m m m=++，利用函数单调性求取值范围即可.【详解】设椭圆长轴长为2a ，焦距为2c ，因为12PF m PF =，由椭圆的定义可得()12212PF PF m PF a +=+=，所以2122,11a maPF PF m m ==++.又因为1260F PF ∠=，122F F c =，12F PF △中由余弦定理可得：22222222cos6041111a ma a mac m m m m ⎛⎫⎛⎫+-⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ .化简得22233111(1)2c m a m m m=-=-+++，由对勾函数的性质可知，()12f m m m =++在区间[]2,3上单调递增，所以9116223m m ≤++≤，所以2217316c a ≤≤e ≤≤，所以椭圆C 的离心率取值范围为⎣⎦.故答案为：⎣⎦【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b a c =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．与椭圆的焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a +=，得到a ，c 的关系．15．(1)21n a n =-，12n n b -=(2)22243n +-（或1443n +-）【分析】（1）根据题意分别求出数列{}n a 的首项和公差，以及数列{}n b 的首项和公比，进而可得出答案；（2）利用并项求和法求解即可.【详解】（1）由题意，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，又497,81a S ==，所以1137989812a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得112a d =⎧⎨=⎩，故()1121n a a n d n =+-=-，因为数列{}n b 为各项为正的递增数列，设公比为q ，且1q >，因为1238b b b =，所以3318b q =，得122b q b ==，又1237b b b ++=，所以2227q q++=，即()()2120q q --=，又1q >，解得2q =，从而11b =，所以1112n n n b a q --==；（2）由（1）得()()1212,212,nn n n n c n n -⎧--⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，所以()()212122124324122n n n n n c c n n ---+=--+-=，所以数列{}n c 的前2n 项和为21234212n n nS c c c c c c -=++++++ ()()()2421234212222nn n c c c c c c -=++++++=+++()22221424143nn +--==-（或1443n +-）.16．(1)证明见解析(2)1【分析】（1）由等腰三角形证得PE AD ⊥，勾股定理证得PE BE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ，得平面PAD ⊥平面ABCD .（2）以E 为原点，建立空间直角坐标系，设EN t =，利用向量法表示两个平面夹角的余弦值，由方程解出t 的值.【详解】（1）连接BE ，则122===BC AD DE ，因为//AD BC ，AD DC ⊥，所以四边形BCDE 为矩形，所以2BE CD ==，因为PA PD ==E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥，且2PE ==，所以22222228PE BE PB +=+==，即PE BE ⊥，又因为AD BE E = ，,AD BE ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，又PE ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .（2）以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EP 为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,2A B M P -，设()02EN t t =≤≤，则()0,0,N t ，所以()()2,2,0,2,0,2AB AP =-=-，设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z = ，则11112+20,2+20,m AB x y m AP x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令11x =，则111,1==y z ，得()1,1,1,m =又()()3,2,0,2,0,AM AN t =-=-，设平面AMN 的法向量为()222,,n x y z = ，则2222320,20,n AM x y n AN x tz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令2x t =，则223,22ty z ==，得3,,22t n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以322cos ,tt m n m n m n++⋅===⋅，解得1t =，或10441t =（舍），所以线段EN 的长为1.17．(1)（i ）23；（ii ）分布列见解析，期望为229(2)2364【分析】（1）（i ）公牛队每局比赛获胜情况分两种情况，分别计算出两种情况的概率，再求和；（ii ）写出随机变量X 的可能取值，分别计算出各个取值的概率，进而求X 的分布列和数学期望；（2）公牛队2：0获得挑战赛胜利分为三种情况，分别计算出三种情况的概率，再求和，得出事件A 的概率，再利用二次函数性质，即可求出事件A 的概率的最小值.【详解】（1）（i ）记i A 表示事件“第i 局公牛队获胜”，i B 表示事件“球员李明第i 局没有被罚出场”，1,2,3i =.由全概率公式公牛队每局比赛获胜的概率为()()()()02311234323i i i i i i P P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=∣.（ii ）由已知随机变量X 的可能取值为2，3.()2222521339P X ⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()112222222243C 1C 113333339P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，随机变量X 的分布列如下表：X23P5949()542223999E X =⨯+⨯=.（2）依题意事件A 擂王公牛队2:0获得挑战赛胜利的可能情形是：两局比赛李明均没有被罚出场；第一局李明没有被罚出场，第二局被罚出场；第一局李明被罚出场，第二局不能参加比赛.所以()()()2331111144222P A p p p p ⎡⎤=-⨯+-⨯⨯⨯+⨯⨯⎢⎥⎣⎦2141131633p ⎡⎤⎛⎫=⨯-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.又11,62p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当12p =时，()min 2364P A =.即事件A 的概率的最小值为2364.18．(1)2214x y -=(2)证明见解析，1【分析】（1）根据双曲线定义以及焦点三角形的面积即可求解；（2）根据题意得()1,0M ，设出()()()()112233441122,,,,,,,,:1,:1A x y B x y C x y D x y l x m y l x m y =+=+，将直线与双曲线方程联立，结合韦达定理进行论证即可.【详解】（1）因为124PF PF -=，所以24a =，得2a =，又三角形12PF F120012F F y ⋅==所以0y =，得P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，22541b b +=，得221,5b b ==-（舍），所以双曲线E 的方程为：2214x y -=.（2）由题意，()1,0M ，且12,l l 斜率存在且不为0，设()()()()112233441122,,,,,,,,:1,:1A x y B x y C x y D x y l x m y l x m y =+=+，由几何性质可知122,2m m >>，联立方程221141x y x m y ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()22114230m y m y -+-=，且Δ0>恒成立，11212221123,44m y y y y m m --+==--，同理可得：23434222223,44m y y y y m m --+==--，直线AC 方程：()311131y y y y x x x x --=--，令1x =，得()3111311G y y y y x x x -=+--()21133111123112311m m y y y y y m y m y m y m y m y --=-=--，同理：()21242412H m m y y y m y m y -=-，因为()()2113212423112412G H m m y y m m y y y y m y m y m y m y --+=--()()()()()1324122423112123112412y y m y m y y y m y m y m m m y m y m y m y -+-=---()()()()()23412112342123112412m y y y y m y y y y m m m y m y m y m y +-+=---()()()2112222221122123112412323244440m m m m m m m m m m m y m y m y m y ----⋅-⋅----=-=--，所以G H y y =-，所以1G HMG y MHy ==.19．(1)有两个不同零点(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，结合零点存在性判断即可；（2）依题意可得e cos x x x -≥，令()e xh x x =-，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，结合余弦函数的性质即可得证；（3）依题意可得2e 32sin 10x a ax x -+-≥，令()2e 32sin 1x g a a xa x =-+-，结合二次函数的性质可得()()1e 32sin 1x g a g x x ≥=-+-，只需证明e 32sin 10x x x -+-≥即可，即证32sin 110e xx x -+-≤，令()32sin 11e xx x F x -+=-，利用导数说明函数的单调性求出函数的最大值，即可得证.【详解】（1）因为()e 3x f x x =-定义域为R ，所以()e 3xf x '=-，当ln3x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当ln3x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()()()ln3min ln3e 3ln331ln30f x f ==-=-<，又()()020e 10,2e 60f f ==>=->，由零点存在性定理可知()f x 在区间()0,ln 3和()ln 3,2上各存在一个零点，所以()f x 有两个不同零点.（2）当1a =时，()e 3xf x x =-，由()cos 2f x x x ≥-，得e cos x x x -≥，令()e x h x x =-，则()e 1xh x '=-，当0x <时，()()0,h x h x '<在(),0∞-上为减函数，当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上为增函数，所以()()01h x h ≥=，而cos 1x ≤，且()0cos0h =，所以e cos x x x -≥，即()cos 2f x x x ≥-.（3）由已知()12sin f x x ≥-，即2e 32sin 10x a ax x -+-≥，因为[)1,a ∞∈+，令()2e 32sin 1x g a a xa x =-+-为开口向上的二次函数，对称轴为32e xx a =，令()32e x xx ϕ=，所以()()312e xx x ϕ-'=，当1x <时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增；当1x >时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减，所以()()max 3112ex ϕϕ==<，即3312e 2ex x a =≤<，故()g a 在区间[)1,+∞上单调递增，所以()()1e 32sin 1xg a g x x ≥=-+-，从而只需证明e 32sin 10x x x -+-≥即可，即证32sin 110e xx x -+-≤，令()32sin 11e x x x F x -+=-，则()232sin 2cos e xx x xF x --'+=，令()232sin 2cos q x x x x =-+-，则()π32cos 2sin 304q x x x x ⎛⎫=-++=+-< ⎪⎭'⎝，所以函数()q x 单调递减，且()00q =，所以当0x <时，()0F x '>，当0x >时，()0F x '<，所以函数()F x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故()()00F x F ≤=，即32sin 110exx x -+-≤，从而不等式2e 32sin 10x a ax x -+-≥得证.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

第22课 科学技术与思想文化（二） 【学习目标】 京师大学堂的开办与科举制的废除（√） 鲁迅、徐悲鸿、聂耳、冼星海的代表作（√） 【知识梳理】 一、新式教育的开端： 1、 时期，作为新政，创办了 。

这是中国 （地位），也是戊戌变法留下的重要成果，他的创办表明 。

2、后来清政府迫于形势，拟订了《奏定学堂章程》，建立起包括 、 、 三个学程的新式教育体制，并于 年宣布废除沿用了。

二、讴歌光明、鞭笞黑暗的文学家、艺术家 类别姓名代表作文学家 《狂人日记》、《 》 艺术家美术大师 《愚公移山》人民音 乐家聂耳《 》 《黄河大合唱》【自主检测】 1、北京大学的前身，中国近代第一所国家建立的最高学府是（ ） A．同文馆　B．京师大学堂　C．翰林院　D．清华大学 2、在中国延续了一千三百多年的科举制度被废除是在（ ） A．1905年 B．1912年 C．1919年 D．1949年 3、“风在吼，马在叫，黄河在咆哮，黄河在咆哮……”。

这首发出中华民族抗日的怒吼，震撼一代中国人心扉的《黄河大合唱》的作者是（ ） 4、小华喜欢看鲁迅的作品，他不可能从《鲁迅全集》中看到的作品是 （ ） A．《狂人日记》 B．《阿Q正传》 C．《孔乙己》 D．《子夜》 5、《义勇军进行曲》《黄河大合唱》宣传了同样的主题，此主题的核心是（ ） A．歌颂祖国山河 B．宣传抗日救亡 C．追求革命理想 D．反对黑暗统治 二、非选择题 6、阅读下列图片和材料，回答下列问题 材料一： 材料二：1901年，清政府在全国范围内设立大、中、小学堂；1904年，清政府颁布《奏定学堂章程》，这是中国近代第一个以法律形式公布并在全国推行的学制，为中国近现代教育体制奠定了基础。

1905年，清政府废除科举制，这是中国教育史上的一件大事。

（1）图一和图二与中国近代的哪一所著名的学府有关？它是在近代中国历史上哪一重大事件中成立的？ （2）该学府在当时具有怎样的地位？它后来成为中国哪一所著名大学的前身？ （3）科举制始于历史上哪一位皇帝？请你列举一下唐朝时期科举制度的相关情况？（举唐朝某一位皇帝时期科举制情况为例） 初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。

试卷第1页，共6页2024年湖南省长沙市高考三模数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{12},{21}A xx B x x =-<<=-<<∣∣，则集合()A B A B ⋃⋂=ð（）A ．()1,1-B ．()2,2-C ．()()2,11,2--⋃D ．(2,1][1,2)--⋃2．已知复数()2i 1i z =⋅-，则复数z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为（）A ．14B ．15C ．16D ．184．已知1cos 3π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππsin sin 236αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．109B ．49-C ．23D ．655．已知向量()1,1a = ，()0,b t = ，若()2a a b ⊥+，则b = （）A ．22B ．1CD ．26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若210,a a ≥>20100S =，则1011a a （）A ．有最小值25B ．有最大值25C ．有最小值50D ．有最大值507．已知三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，AB =4，BC =3，5CD =，BD =7，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．196π3B ．244π3C ．196π5D ．244π58．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:14C x y -+=，若直线:0l x y m ++=上有且只有一个点P 满足：过点P 作圆C 的两条切线,PM PN ，切点分别为,M N ，且使得四边形PMCN 为正方形，则正实数m 的值为（）A ．1B．C ．3D ．7二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．试卷第2页，共6页9．下列说法正确的是（）A ．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B ．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C ．线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强D ．根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到2 3.937χ=，根据小概率值0.05α=的独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断x 与y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.0510．瑞士数学家Jakob Bernoulli 于17世纪提出如下不等式：1x ∀>-，有()()11,111,01r rx rx r x rx r ⎧+≥+≥⎪⎨+≤+≤≤⎪⎩，请运用以上知识解决如下问题：若01a <<，01b <<，a b ¹，则以下不等式正确的是（）A ．1a b a b +>B ．1b a a b +>C ．a b b aa b a b +>+D ．a b b aa b a b +<+11．若定义在R 上的连续函数()f x 满足对任意的实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=⋅且()12f =，则下列判断正确的有（）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当()0,x ∈+∞时，()1f x >D ．()()()()()()()()()()24620222024...202413520212023f f f f f f f f f f +++++=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．根据国家“乡村振兴战略”提出的“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”，某师范大学4名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这4名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则不同分配方案的种数为．13．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，延长CD 至E ，使得2DE CD ＝．动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，AP AB AE λμ=+，则λμ+的试卷第3页，共6页取值范围为．14．如图所示，直角三角形ABC 所在平面垂直于平面α，一条直角边AC 在平面α内，另一条直角边BCπ6BAC ∠=，若平面α上存在点P ，使得ABP线段CP 长度的最小值为．四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知)tan tan 1C B C +=-，(1)求角A .(2)若a =ABC 所在平面内有一点D 满足2π3BDC ∠=，且BC 平分ABD ∠，求ACD 面积的取值范围.16．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：试卷第4页，共6页若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K ，按规定须将该指标大于K 的产品应用于A 型手机，小于或等于K 的产品应用于B 型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K 的芯片错误应用于A 型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K 的芯片错误应用于B 型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)设临界值60K =时，将1个Ⅰ级品芯片和1个Ⅱ级品芯片分别应用于A 型手机和B 型手机．求两部手机有损失的概率（计算结果用小数表示）；(2)设K x =且[]50,55x ∈，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A 型手机、B 型手机各1万部的生产，试估计芯片生产商损失费用的最小值．17．已知直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，,M N 分别为BC 和1BB 的中点，P 为棱11A C 上的动点，11AN A C ⊥.试卷第5页，共6页(1)证明：平面ANP ⊥平面1A MP ；(2)设111A P A C λ= ，是否存在实数λ，使得平面11AA B B 与平面PMN18．已知函数()()11n n n f x x x x n -+=+++-∈N ．(1)判断并证明()n f x 的零点个数(2)记()n f x 在(0,)+∞上的零点为n x ，求证;（i ）{}n x 是一个递减数列（ii ）121122n n nx x x +≤+++<+ ．试卷第6页，共6页19．已知双曲线2222Γ:1(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为()1F，点(M 在双曲线上，直线l 与双曲线Γ交于,A B 两点.(1)若l 经过点()2,0-，且AOB 90∠= ，求AB ；(2)若l 经过点1F ，且,A B 两点在双曲线Γ的左支上，则在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB⋅为定值.若存在，请求出QAB 面积的最小值；若不存在，请说明理由.答案第1页，共15页参考答案：1．D【分析】利用不等式性质、交集、并集、补集定义求解．【详解】由题意，()()1,1,2,2A B A B ⋂=-⋃=-，所以()][()2,11,2A B A B ⋃⋂=--⋃ð.故选：D.2．A【分析】先利用复数乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义确定对应点所在的象限.【详解】因为()22i 1i 2i 2i 22i z =⋅-=-=+，所以该复数在复平面内对应的点为()2,2，在第一象限.故选：A 3．D【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】将数据从小到大排序可得10,12,14,14,15,16,20,24，共8个样本数据，则上四分位数即第75百分位数为80.756⨯=，即为1620182+=.故选：D 4．A【分析】使用诱导公式和二倍角公式，结合已知条件即可求解.【详解】ππππππsin sin 2coscos 2362362αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3ππcos cos 26αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππcos 2cos 166αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111021339⎛⎫⎛⎫=-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.5．B【分析】先出求2(1,12)a b t +=+ ，再根据(2)a a b ⊥+ 即可得出t 的值，最后求b的模.【详解】由题意可知，因为(1,1)a =，(0,)b t = ，答案第2页，共15页所以2(1,1)2(0,)(1,12)a b t t +=+=+，又因为(2)a a b ⊥+ ，所以(2)0a a b ⋅+=，即()111120t ⨯+⨯+=，解得1t =-.所以||1b = .故选：B.6．B【分析】由20100S =，利用等差数列的性质推出101110a a +=，再利用基本不等式计算即得.【详解】由12020101120()10()1002a a S a a +==+=可得101110a a +=，因210,a a ≥>则等差数列{}n a 的公差0d ≥，故10110,0a a >>，则121011011()252a a a a +≤=，当且仅当10115a a ==时取等号，即当10115a a ==时，1011a a 取得最大值25.故选：B.7．B【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出BCD △的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【详解】如图，设BCD △的外心为M ，过M 作底面的垂线MO ，使12MO BA =，则O 为三棱锥的外接球的球心，在BCD △中，由BC =3，5CD =，BD =7，得2223571cos 2352BCD +-∠==-⨯⨯，答案第3页，共15页故sin 2BCD ∠=，设BCD △的外接圆的半径为r ，则r =，2OM =，∴22226123OB R =+==．∴三棱锥外接球的表面积为2612444π4ππ33R =⨯=．故选：B 8．C【分析】根据直线与圆相切得圆心与点P 的距离，即结合正方形的性质可得符合的点P 的位置，从而可得结论.【详解】由()2214x y -+=可知圆心()1,0C ，半径为2，因为四边形PMCN 为正方形，且边长为圆C 的半径2，所以=PC 所以直线:0l x y m ++=上有且只有一个点P，使得=PC PC l ⊥，所以圆心C 到直线l的距离为，=3m =或5m =-，又0m >，所以3m =．故选：C.9．ABD【分析】利用分层抽样计算判断A ；求出第75百分位数判断B ；利用线性相关系数的意义判断C ；利用独立性检验的思想判断D.【详解】对于A ，该校高一年级女生人数是503020050500-=，A 正确；对于B ，由875%6⨯=，得第75百分位数为911102+=，B 正确；对于C ，线性回归方程中，线性相关系数r 绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C 错答案第4页，共15页误；对于D ，由20.053.937 3.841x χ=>=，可判断x 与y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D 正确.故选：ABD 10．ABC【分析】不妨设a b <，根据选项C 的结构构造函数()a bf x x x =-，利用导数研究其单调性，结合题目不等式结论即可判定正确，再根据题目不等式结论证明得ba a ab >+及ab b a b>+，相加即可判断B 正确，结合C 判断A 正确，得解.【详解】不妨设a b <，先证明C ：证明()a bf x x x =-在a x b <<上单调递减即可.()1111a b a b abf x ax bx ax x a ----⎛⎫='-=- ⎪⎝⎭，即要证明10b a b a b a x x a b ---⇔，即要证明111b aa b a b aa b a b a b-+-+->⇔>⇔>，因为()()11111111111a ba babb b a a b a b+-+-⎡⎤=-+>-+=>⎣⎦+-+-，得证，所以a b a b a a b b ->-，即a b b a a b a b +>+，故选项C 正确，D 错误；再证明B ：()1111+1bbb a a a b ab a b a a a a a --+-+⎛⎫⎛⎫=≤+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此ba a ab >+，同理a b b a b >+，故1b aa b a b a b a b+>+=++，且1a b b a a b a b +>+>，所以AB 正确.故选：ABC【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．11．BCD【分析】直接证明()2xf x =，然后逐个判断选项即可.【详解】由()()()211f f x f x ==-知()0f x ≠恒成立，再由()20222x x x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭知()0f x >恒成立.设()()2log g x f x =，则()()221log 1log 21g f ===，且()()()()()()()()()2222log log log log g x y f x y f x f y f x f y g x g y +=+==+=+.故()11g =，()()()g x y g x g y +=+.由于()()()()()0000020g g g g g =+=+=，故()00g =.而()()()()111g x g x g g x +=+=+，故归纳即知()()g n n n =∈Z .又因为对()0m m ∈≠Z 有()11g x g x g m m ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故归纳即知()1n g n g n m m ⎛⎫⎛⎫=⋅∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z .特别地有1m g m g m m ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()11111m g g g m m m m m ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以对(),0m n m ∈≠Z 有1n ng n g m m m⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.这就得到了()()g q q q =∈Q ，从而()()2qf q q =∈Q .设有无理数r ，有理数数列{}n q 使得n q r →，由于()f x 是连续的，故()()n f q f r →，而()22n q r n f q =→，故()2r f r =.这就表明()2xf x =.由于()()11212f f -=≠-=-，故()2x f x =不是奇函数，故其图象并不关于原点对称，A 错误；由于()2xf x =在定义域上单调递增，且当()0,x ∞∈+时，()0221x f x =>=，故B ，C 正确；对于D ，由()()11222x x f x f x ++==可得()()()()()()()()()()24620222024...213520212023f f f f f f f f f f ======，从而()()()()()()()()()()24620222024...202413520212023f f f f f f f f f f +++++=，D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：值得注意的是，如果去掉()f x 是连续函数的条件，并承认选择公理，则此时不能说明对无理数r ，有()2rf r =，且()f x 不一定单调递增.事实上，此时可以构造一个→R Q 的满足()11P =的线性映射()P x ，再取()()2P x f x =，即可得到反例.12．36【分析】把4人分成3组，再分配到3所学校即可.【详解】依题意，有2人去同一所学校，所以不同分配方案的种数为2343C A 6636=⨯=.故答案为：3613．[]0,4【分析】建立适当的平面直角坐标系，讨论,,,P AB P BC P CD P DA ∈∈∈∈四种情况，即可求出λμ+的取值范围.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：则()()1,0,2,1B E -，所以()2,AP AB AE λμλμμ=+=-，当P AB ∈时，有0210λμμ≤-≤⎧⎨=⎩，即01,0λμ≤≤=，此时λμ+的取值范围为[]0,1，当P BC ∈时，有2101λμμ-=⎧⎨≤≤⎩，即()123134λμλμμμ≤+=-+=+≤，此时λμ+的取值范围为[]1,4，当P CD ∈时，有0211λμμ≤-≤⎧⎨=⎩，即()()323234λμλμμλμ≤+=-+=-+≤，此时λμ+的取值范围为[]3,4，当P DA ∈时，有2001λμμ-=⎧⎨≤≤⎩，即()02333λμλμμμ≤+=-+=≤，此时λμ+的取值范围为[]0,3，综上所述，λμ+的取值范围为[]0,4.故答案为：[]0,4.14．63/163【分析】由题意，根据面面垂直的性质可得BC ⊥平面ABC ，利用线面垂直的性质可得BC ⊥CP ，进而213CP BP =-，由三角形的面积公式可得1sin BP θ=，即可求解.【详解】在Rt ABC 中，3π,36BC BAC =∠=，则233AB =，又平面ABC α⊥，平面ABC ,,AC AC BC BC α=⊥⊂ 平面ABC ，所以BC ⊥平面ABC ，连接CP ，CP α⊂，所以BC ⊥CP ，得22213CP BP BC BP =-=-，设ABP θ∠=（0πθ<<），则1sin 2ABP S AB BP θ=⋅ ，即3123sin 323BP θ=⋅⋅，得1sin BP θ=，当sin 1θ=即π2θ=即AB BP ⊥时，BP 取到最小值1，此时CP 取到最小值221161333BP -=-=.故答案为：63【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用勾股定理和三角形面积公式计算得到213CP BP -1sin BP θ=，而sin 1θ≤，即为所求.15．(1)π3(2)33⎛ ⎝⎭【分析】（1）由两角和的正切公式结合题意化简得tan 3A =（2）设ABC CBD x ∠=∠=，由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式得34sin cos ACD S x x = ，结合导数求解即可.【详解】（1）由题)tan 3tan 31C BC =-，即)tan tan 1tan tan B C B C +=-，即tan tan 1tan tan B CB C+=-所以()tan B C +=()tan πA -=tan A =，又(0,π)A ∈，所以π3A =.（2）由题（1）知π3BAC ∠=，又2π3BDC ∠=，设ABC CBD x ∠=∠=，由BCD △中，2π3BDC ∠=，故π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π2π2π233ACD x x ∠=---=-，由正弦定理有sin sin BC AC BAC x =∠，sin sin BC DCBDC x=∠，则2sin AC CD x ==，故ACD 面积()()2312sin sin π24sin cos 2ACD S x x x x =⋅-= ，令()34sin cos x x x ϕ=，则())224212sin cos 4sin 4sin cos sin cos sin x x x x xx xx x ϕ=-=+-'，又π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0x ϕ'>，知函数()34sin cos x x x ϕ=在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00ϕ=，π3ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ACD 面积的取值范围为0,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.16．(1)0.163(2)136万元【分析】（1）根据频率分布直方图，I 级品中该指标小于或等于60的频率和II 级品中该指标大于60的频率，即可求解；（2）由题意分别计算A 、B 型手机的损失费用可得()5768f x x =-，结合一次函数的性质即可求解.【详解】（1）临界值60K =时，I 级品中该指标小于或等于60的频率为()0.0020.005100.07+⨯=，II 级品中该指标大于60的频率为0.1，故将1个I 级品芯片和1个II 级芯片分别应用于A 型手机和B 型手机，两部手机有损失的概率为：()()110.0710.10.163--⨯-=；（2）当临界值K x =时，I 级品中该指标小于或等于临界值K 的概率为()0.002100.005500.0050.23x x ⨯+⨯-=-，可以估计10000部A 型手机中有()100000.0050.23502300x x -=-部手机芯片应用错误；II 级品中该指标大于临界值K 的概率为()0.01100.03600.03 1.9x x ⨯+⨯-=-+，可以估计10000部B 型手机中有()100000.03 1.919000300x x -+=-部手机芯片应用错误；故可以估计芯片生产商的损失费用()()()0.085023000.0419000300f x x x =⨯-+⨯-5768x=-又[]50,55x ∈，所以()[]136,176f x ∈，即芯片生产商损失费用的最小值为136万元.17．(1)证明见解析；(2)存在14λ=.【分析】（1）先用线面垂直的判定定理证明AN ⊥平面1A MP ，再使用面面垂直的判定定理即可；（2）使用空间向量法直接求解两平面的夹角（用λ表示），再根据夹角条件，解关于λ的方程即可.【详解】（1）由于在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AA ⊥平面ABC ，而AC 在平面ABC 内，故1AA AC ⊥.同时有11//AC A C ，且11AN A C ⊥，故AN AC ⊥.由于AN AC ⊥，1AA AC ⊥，且AN 和1AA 在平面11AA B B 内交于点A ，故AC ⊥平面11AA B B .由于AB 在平面11AA B B 内，故AB AC ⊥.取AB 的中点R ，由于,M R 分别是BC 和BA 的中点，故//MR AC ，而11//AC A C ，故11//MR A C ，即1//MR A P .由于,M R 分别是BC 和BA 的中点，可以得到1111122MR AC AC A P ===，所以有平行四边形1MRPA ，故1//A R MP .设1A R 和AN 交于点T ，由于11111222BN BB AA AB AR ====，1AB A A =，190ABN A AR ∠=︒=∠，从而得到ABN 全等于1A AR ，故19090TRA A RA ANB BAN RAT ∠=∠=∠=︒-∠=︒-∠.这就得到90TRA RAT ∠+∠=︒，从而90RTA ∠=︒，即1AN A R ⊥.而1A R MP ，故AN MP ^.由于11AN A C ⊥，即1AN A P ⊥，而AN MP ^，1A P 和MP 在平面1A MP 内交于点P ，故AN ⊥平面1A MP .由于AN ⊥平面1A MP ，AN 在平面ANP 内，故平面ANP ⊥平面1A MP .（2）有AB AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ，AB 和AC 在平面11AA B B 内，故1AA AB ⊥，1AA AC ⊥.由于1,,AB AC AA 两两垂直，故我们能够以A 为原点，1,,AB AC AA分别作为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.由于题设条件和需要求证的结论均只依赖于线段间的比值，不妨设12AB AC AA ===，这就得到()0,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,0C ，()10,0,2A ，()10,2,2B ，()12,0,2C ，()1,1,0M ，()0,2,1N .据题设有111A P A C λ=，显然01λ≤≤，此时()2,0,2P λ.从而有()0,2,0AB = ，()10,0,2AA = ，()2,2,1NP λ=- ，()1,1,1MN =-.设()1,,n p q r = 和()2,,n u v w = 分别是平面11AA B B 和平面PMN 的法向量，则1110n AB n AA ⋅=⋅= ，220n NP n MN ⋅=⋅= .即220q r ==，220u v w u v w λ-+=-++=，从而可取()11,0,0n =，()23,21,22n λλ=+- .此时平面11AA B B 与平面PMN 所成的角的余弦值为121212cos ,n nn n n n ⋅==，=22784142λλ-+=，解得14λ=，所以存在14λ=，使得平面11AA BB 与平面PMN 18．(1)当n 为奇数数，()n f x 有1个零点；当n 为偶数时，()n f x 有2个零点(2)证明见解析【分析】（1）当0x ≥时，利用导数研究函数()n f x 的零点和零点的存在性定理可知其在(0,)+∞内有唯一零点；当0x <时，分类讨论n 为奇、偶数时零点的情况，即可下结论；（2）（i ）易知11x =，当2n ≥时可得111()()n n n n f x f x +++>，利用()n f x 的单调性解不等式可得1n n x x +<，即可证明；（ii ）由（i ）1112n n x x +>>>，求和可得1212n n x x x ++++≥；由2ln 2(22)ln 21n n n ≥+>+得11ln 411ln(1)122n n n ++>>++，利用放缩法和函数单调性解不等式可证得11()22n nx <+，求和，结合等比数列数列前n 项求和公式计算即可证明.【详解】（1）当n 为奇数时，()n f x 有1个零点；当n 为偶数时，()n f x 有2个零点.证明如下：当0x ≥时，由1()1n n n f x x x x -=+++- ，得12()(1)10n n n f x nx n x --'=+-++> ，所以函数()n f x 在(0,)+∞上单调递增，又(0)10n f =-<，(1)10n f n =-≥，所以函数()n f x 在(0,)+∞内有唯一零点；当0x <时，11()(21)1n n f x x x x+=---，若n 为奇数，1210n x x +--<，则()0n f x <，此时()n f x 在(,0)-∞内无零点；若n 为偶数，设1()21n h x x x +=--，则()2(1)n h x n x '=-+，方程()0h x '=有一个解102()1nx n =-+，所以函数()h x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,0)x 上单调递增，且10(2)5(2)0,()(0)0n h h x h +-=---><<，此时()n f x 在(,0)-∞内有1个零点.综上，当n 为奇数时，()n f x 有1个零点；当n 为偶数时，()n f x 有2个零点.（2）（i ）由（1）知，当1n =时，1()f x 在在(0,)+∞内的零点11x =，当2n ≥时，()0n n f x =，2(0)10,(1)0,01n n f f x =-<><<，则11111()10()n n n n n n n n n n n f x x x x x f x +++++=+++-=>= ，故1n n x x +<，所以数列{}n x 是一个递减数列；（ii ）由（i ）知，当1n =时，11x =，当2n ≥时，1111111()()()()1()022222n n n n f -=+++-=-< ，有1((1)02n n f f <，所以1112n n x x +>>>，求和可得1211122n n n x x x -++++≥+= ，当且仅当1n =时等号成立；当3n ≥时，012C C C 22n nn n n n =+++≥+ ，故2ln 2(22)ln 21n n n ≥+>+，则ln 2112n >+，得11ln 411ln(1)122n n n ++>>++，即11ln 4(1)ln(1)2n n +>++，即(1)114(1)2n n ++>+，即(1)1114211(1)2222n n n n n ++++->+，即(1)111111()222222n n n n ++-+>-，即(1)1111()112222()10()112222n n n n n n n nf f x ++-++=->=-，即11()22n nx <+，当2n =时，234x <，所以当2n ≥时，均有11(22n nx <+成立，求和可得1211211111111()()()1[1()]122222222n n n n n nx x x ---+++<+++=++-<+ .综上，121122n n nx x x +≤+++<+ .【点睛】方法点睛：在证明导数与数列不等式综合问题时，常常将上一问的结论直接应用到证明当中去，再综合考虑不等式特征合理选取方法巧妙放缩求和，即可实现问题求解.19．(1)(2)存在，【分析】（1）先利用点在双曲线上和双曲线的性质求出双曲线方程，然后分直线的斜率存在与否讨论，存在时，设出直线方程，利用韦达定理法表示出1212,x x x x +，再代入直线方程表示出12y y ，最后利用向量的数量积为零求出斜率k ，再代入弦长公式求出弦长；（2）假设存在，设直线方程x ty =-，利用韦达定理法表示出QA QB ⋅ ，要使QA QB ⋅为定值，则843421--=-，解出m 后得到点Q 的坐标，再用弦长公式表示出三角形的面积，最后利用换元法和分离常数法结合复合函数的单调性求出面积的最小值.【详解】（1）把(M 代入22221x y a b-=得：22461a b-=，又()1,F c ∴=.又222+=a b c ，解得1,a b ==∴双曲线方程为2212y x -=.若直线l 的斜率不存在时，:2l x =-，此时不妨设((,2,A B --.4620OA OB ⋅=-=-≠，舍去.若l 的斜率存在，设l 方程为()2y k x =+，代入2212y x -=，化简得()()222224420k xk x k ---+=，()()4222Δ16424224160k k kk =+-+=+>，设()()1112,,,A x y B x y ，则22121222442,22k k x x x x k k ++==--，()()()22121212122622242k y y k x k x k x x x x k -⎡⎤=+⋅+=+++=⎣⎦-.90AOB ∠=，得0OA OB ⋅= ，即12120x x y y +=.则222224260.122k k k k k +-+=∴=--.4AB =（2）假设存在(),0Q m ，使得QA QB ⋅为定值.设l 方程为x ty =-，代入2212y x -=，化简得()222140t y --+=.由题意()2222210,Δ48162116160t t t t -≠=--=+>.12122421y y y y t +==-.由题意221210,210,2y y t t <∴-<<.()()1122,,QA QB x m y x m y ⋅=-⋅-()()1122,,ty m y ty m y =-⋅-())()2212121()t y y m t y y m =+-++())2241(21t m t m t =+⋅⋅+-()22284(21t m t --+=++-要使QA QB ⋅ 41=-，解之得0m =.∴存在()0,0Q ，使得QA QB ⋅为定值1-.此时12112QAB S F Q y y =⋅-==答案第15页，共15页222231,1,12322u u t t u =≥=+<-=-，1,2u ⎡∴∈⎢⎣⎭.32QAB S u u∴=- 由复合函数的单调性可知32y u u =-在1,2⎡⎢⎣⎭递减，32y u u∴=-在1u =时取得最大值1.QAB S ∴的最小值为【点睛】关键点点睛：（1）求弦长时，可用弦长公式AB =，韦达定理表示出两根之和和两根之积；（2）对于直线过定点问题时，可采用向量垂直数量积为零，求出关于参数的方程，再讨论定点问题；（3）求圆锥曲线中三角形的面积最值问题时，可用弦长公式表示出面积，再结合换元法或基本不等式或函数的单调性求出面积的最值.。

湖南省长沙市数学高三理数3月综合练习（一模）试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）设全集,集合,,则（）A .B .C .D .2. （2分）若复数z满足，则复数z=（）A .B .C .D .3. （2分）直线的参数方程可以是（）A . （为参数）B . （为参数）C . （为参数）D . （为参数）4. （2分）为第一象限角是的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（）A . 种B . 种C . 50种D . 10种6. （2分） (2016高一下·抚顺期末) 说出下列三视图(依次为主视图、左视图、俯视图)表示的几何体是（）A . 六棱柱B . 六棱锥C . 六棱台D . 六边形7. （2分）已知，并设：，至少有3个实根；当时，方程有9个实根；当时，方程有5个实根.则下列命题为真命题的是（）A .B .C . 仅有D .8. （2分）(2017·铜仁模拟) 设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A . 25B . 49C . 12D . 24二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）(2017·南通模拟) 运行如图所示的流程图，则输出的结果S是________．10. （1分）(2017·武邑模拟) 已知双曲线C2与椭圆C1： + =1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为________．11. （1分） (2015高一上·雅安期末) 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ| ）的部分图象如图所示，则函数y=f（x）对应的解析式为________．12. （1分） (2017高二下·郑州期中) 已知圆C的参数方程为（a为参数）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为psinθ=1，则直线l与圆C的交点的直角坐标系为________．13. （1分）(2020·江西模拟) 已知数列中，，且，，数列的前项和为，则 ________.14. （1分） (2019高三上·玉林月考) 已知，是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为________．三、解答题 (共6题；共60分)15. （5分）已知α，β为锐角，cos（﹣α）= ，sin（+β）=﹣，求sin（α+β）的值．16. （15分） (2018高二下·泰州月考) 如图,在直三棱柱中, 是边长为4的正方形., .（1）求直线与平面所成角的正弦值;（2）求二面角的余弦值;（3）证明:在线段上存在点 ,使得 ,并求的值.17. （10分） (2018高二下·鸡泽期末) “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．18. （15分） (2019高三上·城关期中) 设函数 .（1）求过点的切线方程；（2）若方程有3个不同的实根，求的取值范围。

湖南省长、望、浏、宁2012届高三3月一模联考数 学 试 题（文）本试题包括选择题、填空题和解答题三部分。

时间120分钟，满分150分。

参考公式：（1）柱体体积公式v sh =，其中s 为底面面积，h 为高。

（2）球的体积公式313V R π=，其中R 为球的半径 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知集合{1,2,3},{2,3,4}M N ==，则（ ） A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{2,3}M N =D ．{1,4}M N =2．i 是虚数单位，若复数z 满足(1)1z i i +=-，则复数z 的实部与虚部的和是（ ） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．23．“a=-2”是“直线20ax y +=垂直于直线1x y +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若某几何的三视图（单位：cm ）如图所示，同此几何体的体积是 （ ）A ．336cmB ．348cmC ．360cmD ．723cm5．函数212sin ()4y x π=--是（ ） A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数6．以双曲线22163x y -=的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ ）A ．22(1x y +=B ．22(3x y +=C ．22(3)3x y -+=D ．22(3)9x y -+=7．函数()ln |1|f x x =-的图像大致是（ ）8．对于函数(),y f x x D =∈，若存在常数C ，对任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得C =，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为C 。

已知(),[2,4f x x D ==，则函数()f x 在D 上的几何平均数为（ ）A ．B ．3C ．2D 二、填空题（本大题共8个小题，考生作答7个小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应号后的横线上。

2022年3月高三模拟考试理科数学试题卷时量 120分钟 总分 150分 考生留意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否全都。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。

答卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

一：选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数i z -=11，则z z -对应的点所在的象限为A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知33cos 25πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2πϕ<，则tan ϕ为 A ．43-B ．43C ．34-D ．343．下列命题中，真命题是 A ．0Rx ∃∈，00x e≤ B ．R x ∀∈，22x x >C ．0a b +=的充要条件是1ab =- D ．1a >，1b >是1ab >的充分条件4．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线）的点的个数的估量值为 A ．1193 B ．1359 C ．2718 D ．3413 5.若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．6 6．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，FE ,是线段11D B 上的两个动点，且22=EF ，则下列结论中错误的是A ．BF AC ⊥；B ．三棱锥BEF A -的体积为定值；C ．//EF 平面ABCDD ．异面直线AE 、BF 所成的角为定值。

湖南省长望浏宁四县2019年高三3月调研考试数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，则M={x|−x2≥2x}，则∁U M=()A. {x|−2<x<0}B. {x|−2≤x≤0}C. {x|x<−2或x>0}D. {x|x≤−2或x≥0}【答案】C【解析】解：由−x2≥2x，得x2+2x≤0，解得−2≤x≤0.所以C U M={x|x<−2或x>0}．故选：C．解不等式得出集合M，根据补集的定义计算即可．本题考查了解不等式与补集的运算问题，是基础题．2.已知i是虚数单位，z−是z的共轭复数，z(1+i)=1−i1+i，则z−的虚部为()A. 12B. −12C. 12i D. −12i【答案】A【解析】解：由z(1+i)=1−i1+i，得z=1−i(1+i)2=1−i2i=(1−i)(−i)−2i2=−12−12i，∴z−=−12+12i，∴z−的虚部为12．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是( )A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】解：设2015年高考考生人数为x ，则2018年高考考生人数为1.5线， 由24%⋅1.5x −28%⋅x =8%⋅x >0，故选项A 不正确； 由(40%⋅1.5x −32%⋅x)÷32%⋅x =78，故选项B 不正确； 由8%⋅1.5x −8%⋅x =4%⋅x >0，故选项C 不正确； 由28%⋅1.5x −32%⋅x =42%⋅x >0，故选项D 正确． 故选：D ． 作差比较可得．本题考查了概率分布直方图，属中档题．4. 已知双曲线x 22−y 2b2=1(b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，其一条渐近线方程为y =x ，点P(√3,y 0)在双曲线上、则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −12B. −2C. 0D. 4【答案】C【解析】解：由渐近线方程为y =x 知双曲线是等轴双曲线， ∴双曲线方程是x 2−y 2=2，于是两焦点坐标分别是F 1(−2,0)和F 2(2,0)， 且P(√3,1)或P(√3,−1)、 不妨令P(√3,1)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−√3,−1)，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−√3,−1)∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−√3,−1)(2−√3,−1)=−(2+√3)(2−√3)+1=0 故选：C ．由双曲线的渐近线方程，不难给出a ，b 的关系，代入即可求出双曲线的标准方程，进而可以求出F 1、F 2，及P 点坐标，求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解． 本题考查的知识点是双曲线的简单性质和平面向量的数量积运算，处理的关键是熟练掌握双曲线的性质(顶点、焦点、渐近线、实轴、虚轴等与a ，b ，c 的关系)，求出满足条件的向量的坐标后，再转化为平面向量的数量积运算．5. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF =2AF =2，若在大等边三角形内部(含边界)随机取一点，则此点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是( )A. 413B. 2√1313C. 926D. 3√1326【答案】A【解析】解：由题意有：AF =2，EF =4，∠AFC =2π3，FC =6，再△AFC 中，由余弦定理得：AC 2=AF 2+FC 2−2AF ×FC ×cos2π3=52，设事件A 为”此点取自小等边三角形(阴影部分)“， 由几何概型中的面积型可得：P(A)=S 三角形DEFS 三角形ABC=1652=413，故选：A ．由几何概型中的面积型得：P(A)=S 三角形DEFS三角形ABC，由余弦定理得：AC 2=AF 2+FC 2−2AF ×FC ×cos 2π3=52，结合三角形的面积公式可得解，本题考查了几何概型中的面积型及余弦定理、三角形的面积公式，属简单题．6. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且其图象向左平移π3个单位后得到函数g(x)=cosωx 的图象，则函数f(x)的图象( )A. 关于直线x =π12对称 B. 关于直线x =5π12对称 C. 关于点(π12,0)对称D. 关于点(5π12,0)对称【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，∴2πω=π，∴ω=2．把其图象向左平移π3个单位后得到函数g(x)=cosωx =sin(2x +2π3+φ)的图象，∴2π3+φ=kπ+π2，k∈Z，∴φ=−π6，∴f(x)=sin(2x−π6).由于当x=π12时，函数f(x)=0，故A不满足条件，而C满足条件；令x=5π12，求得函数f(x)=sin2π3=√32，故B、D不满足条件，故选：C．利用正弦函数的周期性、函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律、诱导公式，求得f(x)的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查正弦函数的周期性、诱导公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7.设函数f′(x)为函数f(x)=xsinx的导函数，则函数f′(x)的图象大致为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，所以为奇函数，故C错误，又，只有B符合，故选：B．求出函数f(x)的导数f′(x)，结合函数的奇偶性，定义域，单调性的性质进行判断．本题主要考查函数导数的性质，以及函数图象的判断，求函数的导数，利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键．8.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A. 13+23π B. 13+√23π C. 13+√26π D. 1+√26π【答案】C【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=√2．故R=√22，故半球的体积为：23π⋅(√22)3=√26π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=13，故组合体的体积为：13+√26π，故选：C．由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．9.(x2+a2x)6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为()A. π4−16B. π4+16C. π4D. 16【答案】A【解析】解：因为(x2+a2x)6展开式的常数项是15，所以C64⋅(a2)4=15，解得a=2，所以曲线y=x2和圆x2+y2=2的在第一象限的交点为(1,1)所以阴影部分的面积为π4−∫(1x−x2)dx=π4−(12x2−13x3)|01=π4−16．故选：A．用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．本题考查了二项式定理以及定积分求阴影部分的面积，属于常规题．10. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为棱BB 1，CC 1的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含A 1的部分为V 1，不含A 1的部分为V 2，连结A 1和V 2的任一点M ，设A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为α，则sinα的最大值为( )A. √22 B. 2√55 C. 2√65 D. 2√66【答案】B【解析】解：连结EF.因为EF//平面ABCD ．所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线．过点O 作GH//BC 交CD 于点G ，交AB 于H 点，则GH//EF ， 连结EH ，FG.则平行四边形EFGH 即为截面．则五棱柱A 1B 1EHA −D 1C 1FGD 为V 1，三棱柱EBH −FCG 为V 2，设M 点为V 2的任一点，过M 点作底面A 1B 1C 1D 1的垂线，垂足为N ，连结A 1N ，则∠MA 1N 即为A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角，所以∠MA 1N =α． 因为sinα=MNA 1M ，要使α的正弦值最大，必须MN 最大，A 1M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意 .故(sinα)max =(MNA 1M )max=HNA1H=2√55． 故选：B ．连结EF.过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线.过点O 作GH//BC 交CD 于点G ，交AB 于H 点，则GH//EF ，连结EH ，FG.则平行四边形EFGH 即为截面.则五棱柱A 1B 1EHA −D 1C 1FGD 为V 1，三棱柱EBH −FCG 为V 2，设M 点为V 2的任一点，过M 点作底面A 1B 1C 1D 1的垂线，垂足为N ，连结A 1N ，则∠MA 1N 即为A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角，由此能求出结果．本题考查线面角的正弦值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．11.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)=f(2−x)，当x∈[−2,0]时，f(x)=)x−1，若在区间(−2,6)内关于x的方程f(x)−log a(x+2)=0(a>0且a≠1)有(√22且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是(),1) B. (1,4) C. (1,8) D. (8,+∞)A. (14【答案】D【解析】解：∵对于任意的x∈R，都有f(x−2)=f(2+x)，∴f(x+4)=f[2+(x+2)]=f[(x+2)−2]=f(x)，∴函数f(x)是一个周期函数，且T=4．)x−1，又∵当x∈[−2,0]时，f(x)=(√22且函数f(x)是定义在R上的偶函数，若在区间(−2,6)内关于x的方程f(x)−log a(x+2)=0恰有4个不同的实数解，则函数y=f(x)与y=log a(x+2)(a>1)在区间(−2,6)上有四个不同的交点，如下图所示：又f(−2)=f(2)=f(6)=1，则对于函数y=log a(x+2)，由题意可得，当x=6时的函数值小于1，即log a8<1，由此解得：a>8，∴a的范围是(8,+∞)故选：D．由已知中可以得到函数f(x)是一个周期函数，且周期为4，将方程f(x)−log a(x+2)=0恰有4个不同的实数解，转化为函数f(x)的与函数y=−log a(x+2)的图象恰有4个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．12.如图，O是坐标原点，过E(p,0)的直线分别交抛物线y2=2px(p>0)于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N.则|ME|2−|NE|2=()A. 2p 2B. 2pC. 4pD. p【答案】A【解析】解：过E(p,0)的直线分别交抛物线y 2=2px(p >0)于A 、B 两点为任意的， 不妨设直线AB 为x =p ， 由{x =p y 2=2px，解得y =±2√2p ， 则A(−p,−√2p)，B(p,√2p)， ∵直线BM 的方程为y =√2x ， 直线AM 的方程为y =−√2p ， 解得M(−p,−√2p)，∴|ME|2=(2p)2+2p 2=6p 2，设过点M 与此抛物线相切的直线为y +√2p =k(x +p)，由{y 2=2px x +√2p =k(x +p)，消x 整理可得ky 2−2py −2√2p +2p 2k =0， ∴△=4p 2−4k(−2√2p +2p 2k)=0， 解得k =√2+22，∴过点M 与此抛物线相切的直线为y +√2p =√2+22(x +p)，由{y +√2p =2+√22(x +p)x =p，解得N(p,2p)， ∴|NE|2=4p 2，∴|ME|2−|NE|2=6p 2−4p 2=2p 2， 故选：A ．过E(p,0)的直线分别交抛物线y 2=2px(p >0)于A 、B 两点为任意的，不妨设直线AB 为x =p ，分别求出M ，N 的坐标，即可求出答案．本题考查了直线和抛物线位置关系，以及直线和直线的交点坐标问题，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足不等式组{x −3y +5≥02x +y −4≥0y +2≥0，则z =x +y 的最小值为______．【答案】1【解析】解：画出不等式组{x −3y +5≥02x +y −4≥0y +2≥0表示的平面区域，如图中阴影部分所示；由{2x +y −4=0y=−2，解得B(3,−2)， 设z =x +y ，将直线l ：z =x +y 进行平移， 当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值=3−2=1． 故答案为：1．根据题意画出不等式组表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数z 的最小值． 本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．14. 平面向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(4,2)，c =m a ⃗ +b ⃗ (m ∈R)，且c 与a ⃗ 的夹角等于c 与b ⃗ 的夹角，则m =______． 【答案】2【解析】解：∵向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(4,2)，c =m a ⃗ +b ⃗ (m ∈R)， ∴c =m(1,2)+(4,2)=(m +4,2m +2)．∴c ⋅a ⃗ =m +4+2(2m +2)=5m +8，c ⋅b ⃗ =4(m +4)+2(2m +2)=8m +20． |a ⃗ |=√5，|b ⃗ |=√42+22=2√5．∵c 与a ⃗ 的夹角等于c 与b ⃗ 的夹角， ∴c ⃗ ⋅a ⃗|c ⃗ | |a ⃗ |=c ⃗ ⋅b⃗ |c ⃗ | |b ⃗ |， ∴√5=2√5，化为5m +8=4m +10， 解得m =2． 故答案为：2．利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出．本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题．15.甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为______．【答案】3544【解析】解：甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，甲袋中白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：58．②抓出白球，抓入白球，概率是38×511=1588，故所求事件的概率为P=58+1588=3544．故答案为：3544．白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：58.②抓出白球，抓入白球，概率是38×511，再把这2个概率相加，即得所求本题考查概率的求法，考查古典概型、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知△ABC的三边分别为a，b，c所对的角分别为A，B，C，且三边满足ca+b +ab+c=1，已知△ABC的外接圆的面积为3π，设f(x)=cos2x+4(a+c)sinx+1.则a+c的取值范围为______，函数f(x)的最大值的取值范围为______．【答案】(3,6](12,24]【解析】解：∵由ca+b +ab+c=1，通分化简可得：a2+c2−b2=ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12，∵0<B<π，∴B=π3．∵△ABC的外接圆的面积为3π=πR2，∴△ABC的外接圆的半径为R=√3，∴b=2RsinB=2√3×√32=3，a+c=2R(sinA+sinc)=6sin(A+π6 ).∵A∈(0,2π3)，∴a+c∈(3,6]，∵f(x)=cos2x+4(a+c)sinx+1=−2sin2x++4(a+c)sinx+2，令g(t)=−2t2++4(a+c)t+2，t∈[−1,1]，∵g(t)在[−1,1]单调递减，∴g(t)max=g(−1)=4(a+c)∈(12,24]，则f(x)=cos2x+4(a+c)sinx+1的最大值的取值范围为(12,24]，故答案为：(3,6]，(12,24]．由ca+b +ab+c=1，通分移项，化简，结合余弦定理即可求解角B的大小，利用圆的面积公式可求外接圆的半径，利用正弦定理可求b的值，可得a+c=6sin(A+π6)，由范围A∈(0,2π3)，可求a+c的范围，化简函数可得f(x)=−2sin2x++4(a+c)sinx+2，令g(t)=−2t2++4(a+c)t+2，t=sinx∈[−1,1]，利用二次函数的图象和性质可求f(x)的最大值的取值范围．本题考查△ABC的外接圆，正弦、余弦定理的灵活运用，考查了二次函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和函数思想，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在数列{a n}中，a1=1，a2=b，前n项之和为S n．(1)若{a n}是等差数列，且a8=22，求b的值；(2)对任意的n∈N∗有：a n+2a n =4，且S10=2a10−1.试证明：数列{a n}是等比数列．【答案】解：(1)设数列{a n}的公差为d，则由题意，可知：a1=1，a8=a1+(8−1)⋅d=1+7d=22，解得：d=3．又∵a2−a1=d，即b−1=3，∴b=4．(2)由题意，可知：∵对任意的n∈N∗有：a n+2a n=4，∴数列{a n}的奇数项和偶数项分别都成公比为4的等比数列．∴S10=a1+a2+a3+⋯+a10=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8+a10)=1−451−4+b(1−45)1−4=45−13+b(45−1)3=b+13⋅45−b+13．又∵a10=a2⋅44=b⋅44，∴2a10−1=2b⋅44−1．由题意S10=2a10−1，即：b+13⋅45−b+13=2b⋅44−1.解得：b=2．∵a2n+1=1⋅4n+1=22n+2，a2n=2⋅4n=22n+1，∴a2n+1a2n =22n+222n+1=2．∴每一个偶数项后面的奇数项都是该偶数项的2倍．∴数列{a n}是以1为首相，2为公比的等比数列．【解析】(1)通过a8和a1得出公差d，即可求出b的值；(2)数列{a n}的奇数项和偶数项分别都成公比为4的等比数列，奇数项和偶数项分成两个等比数列就可以求出b的值，然后算出奇数项的一般项a2n+1和偶数项一般项a2n，给这两个一般项作商即得出结果．本题的第(1)题主要考查等差数列的基本定义，第(2)题主要考查数列{a n}的奇数项和偶数项的相关知识，要将奇偶项分开去思考，本题属较难的中档题．18.某单位为促进职工业务技能提升，对该单位120名职工进行了一次业务技能测试，测试项目共5项.现从中随机抽取了10名职工的测试结果，将它们编号后得到它们的统计结果如下表(表1)所示(“√”表示测试合格，“×”表示测试不合格)：表1规定：每项测试合格得5分，不合格得0分．(1)以抽取的这10名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率．①设抽取的这10名职工中，每名职工测试合格项的项数为X，根据上面的测试结果统计表，列出X的分布列，并估计这120名职工的平均得分；②假设各名职工的各项测试结果相互独立.某科室有5名职工，求这5名职工中至少有4人得分不小于20分的概率；(2)已知在测试中，测试难度的计算公式为N i=R i，其中N为第i项测试的难度，R iZ为第i项合格的人数，Z为参加测试的总人数，已知抽取的这10名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下表(表2) 表2定义统计量S =1n [(N 1−N 1′)2+(N 2−N 2′)2+⋯+(N n −N n ′)2]，其中N i 为第i 项的实测难度，N i ′为第i 项的预估难度(i =1,2，…，n).规定：若S ≤0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理测试前，预估了每个测试项目的难度，如下表(表3)所示 表3：判断本次测试的难度预估是否合理．【答案】解：(1)①根据上面的测试结果统计表，得X 的分布列为：∴X 的数学期望E(X)=1×0.1+2×0.2+3×0.2+4×0.4+5×0.1=3.2． ∵每项测试合格得5分，不合格得0分，∴估计这120名职工的平均得分为5E(X)=3.2×5=16． ②“得分不小于20分”，即“X ≥4”，由①知P(X ≥4)=P(X =4)+P(X =5)=0.4+0.1=0.5． 设该科室5名职工中得分不小于20分的人数为ξ，则ξ～B(5,0.5)，∴P(ξ≥4)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=C 54(12)4×12+C 55(12)5=316，∴这5名职工中至少有4人得分不小于20分的概率为316． (2)由题意知：S 2=15[(0.8−0.9)2+(0.8−0.8)2+(0.7−0.7)2+(0.7−0.6)2+(0.2−0.4)2]=0.012<0.05，∴本次测试的难度预估是合理的．【解析】(1)①根据测试结果统计表，得X 的分布列，从而求出X 的数学期望E(X)=3.2.估计这120名职工的平均得分为5E(X)，由此能求出结果．②“得分不小于20分”，即“X ≥4”，P(X ≥4)=P(X =4)+P(X =5)=0.4+0.1=0.5.设该科室5名职工中得分不小于20分的人数为ξ，则ξ～B(5,0.5)，由此能求出这5名职工中至少有4人得分不小于20分的概率．(2)由题意知S 2=15[(0.8−0.9)2+(0.8−0.8)2+(0.7−0.7)2+(0.7−0.6)2+(0.2−0.4)2]=0.012<0.05，从而本次测试的难度预估是合理的．本题概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力，是中档题．19. 如图，在三棱锥P −ABC 中，底面是边长为4的正三角形，PA =2，PA ⊥底面ABC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点． (Ⅰ)求证：平面BEF ⊥平面PAC ；(Ⅱ)在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成的角的正弦值为√155？若存在，确定点C 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】证明：(Ⅰ)∵AB =BC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ， 又PA ⊥平面ABCP ，BE ⊂面ABC ，∴PA ⊥BE ， ∵PA ∩AC =A ，∴BE ⊥面PAC ， ∵BE ⊂面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC ．解：(Ⅱ)如图，由(Ⅰ)知PA ⊥BE ，PA ⊥AC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，∴EF//PA ，∴EF ⊥BE ，EF ⊥AC ，又BE ⊥AC ， ∴EB ，EC ，EF 两两垂直，分别以EB ，EC ，EF 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,−2,0)，P(0,−2,2)，B(2√3,0，0)，C(0,2，0)， 设BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3λ,−2λ,2λ)，λ∈[0,1]， ∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3(1−λ),2(1−λ),2λ)， BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2，0)，PC ⃗⃗⃗⃗ =(0,4，−2)， 设面PBC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3x +2y =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗ =4y −2z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√3,2√3)，∵直线AG 与平面PBC 所成的角的正弦值为√155，∴|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=4√34√16(1−λ)2+4λ2，解得λ=12或λ=1110(舍)， ∴λ=12．∴线段PB 上存在中点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成的角的正弦值为√155．【解析】(Ⅰ)推导出BE ⊥AC ，PA ⊥BE ，从而BE ⊥面PAC ，由此能证明平面BEF ⊥平面PAC ．(Ⅱ)分别以EB ，EC ，EF 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PB 上存在中点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成的角的正弦值为√155．本题考查面面垂直的证明，考查线面有的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20. 已知△ABC 中，B(−1,0)，C(1,0)，AB =4，点P 在线段AB 上，且∠BAC =∠PCA ．(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)若Q(1,32)，过C 的直线与E 交于M ，N 两点，与直线x =4交于点K ，记QM ，QN ，QK 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，证明：k 1−k3k 2−k 3为定值．【答案】解：(1)三角形ACP 中，∠BAC =∠PCA ， ∴PA =PC ，∴PB +PC =PB +PA =AB =4，∴点P 的轨迹是以，B ，C 为焦点，长轴为4的椭圆，(不含实轴的端点) ∴点P 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1，(x ≠±2)；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，可设直线MN 的方程为y =k(x −1)，则K(4,3k)，由{x 24+y 23=1y =k(x −1)，可得(4k 2+3)x 2−8k 2x +(4k 2−12)=0， ∴x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3， ∴k 1=y 1−32x1−1=k(x 1−1)−32x 1−1=k −32(x 1−1)，同理可得k 2=k −32(x 2−1)，∵k 3=3k−324−1=k −12，∴k 1−k 3=12−32(x1−1)，k 2−k 3=12−32(x 2−1)，∵k 1−k 3+k 2−k 3=12−32(x1−1)+12−32(x2−1)=1−32⋅x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=1−32⋅8k 24k 2+3−24k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3+1=0，∴k 1−k3k 2−k 3=−1为定值【解析】(1)由题意可得点P 的轨迹是以，B ，C 为焦点，长轴为4的椭圆，(不含实轴的端点)，即可求出点P 的轨迹E 的方程，(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，可设直线MN 的方程为y =k(x −1)，则K(4,3k)，根据韦达定理和斜率公式，化简整理即可证明本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．21. 设函数f(x)=ax −xlnx ，a ∈R ．(1)若函数f(x)存在单调递减区间，求a 的取值范围；(2)若存在x ∈[e,e 2]，使不等式f(x)≥14成立，求a 的取值范围． 【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,1)U(1,+∞)，因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f ′(x)=(1lnx )2−1lnx +a <0有解． ∵(1lnx)2−1lnx+a =(1lnx −12)2+a −14≥a −14，∴a −14<0，∴a <14．(2)问题等价于“当x ∈[e,e 2]，有f(x)max ≥14． ∵f ′(x)=(1lnx −12)2+a −14，①.当a ≥14时，f’(x)≥0，f(x)在[e,e 2]上是单调递增函数， ∴f(x)max =f(e 2)=ae 2−e 22，由ae 2−e 22≥14得a ≥14e 2+12．②.当a <14时，∵f ′(x)=(1lnx −12)2+a −14的值域为[a −14,a]， (i)若a ≤0，∵f’(x)≤0，故f(x)在[e,e 2]上是单调递减函数， ∴f(x)max =f(e)=ae −e ，由ae −e ≥14得a ≥14e +1，与a <0矛盾．(ii)若a >0，即0<a <14，则f’(x)的单调性及值域知，存在唯一的x 0∈(e,e 2)， 使f′(x 0)=0，且当x ∈(e,x 0)时，f’(x)>0，当x ∈(x 0,e 2)时，f’(x)<0，∴f(x)max =f(x 0)=ax 0−xlnx 0， 由ax 0−x 0lnx 0≥14得a ≥14x 0+1lnx 0>1lnx 0>12，与0<a ≤14矛盾．综上所述，a 的取值范围是[14e 2+12,+∞)．【解析】(1)原问题等价于f’(x)<0有解，据此求解实数a 的取值范围即可； (2)问题等价于“当x ∈[e,e 2]，有f(x)max ≥14，据此分类讨论确定实数a 的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究不等式问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22. 在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为{x =−35t +2y =45t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=asinθ(a ≠0)． (Ⅰ)求圆C 的直角坐标系方程与直线l 的普通方程；(Ⅱ)设直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍，求a 的值．【答案】解：(Ⅰ)直线l 的参数方程为{x =−35t +2y =45t(t 为参数)，消去参数t ，可得：4x +3y −8=0；由圆C 的极坐标方程为ρ=asinθ(a ≠0)，可得ρ2=ρasinθ，根据ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2 可得圆C 的直角坐标系方程为：x 2+y 2−ay =0，即x 2+(y −a2)2=a 24．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知圆C 的圆心为(0,a 2)半径r =|a2|， 直线方程为4x +3y −8=0； 那么：圆心到直线的距离d =|3a2−8|5=|3a−810|直线l 截圆C 的弦长为√3a 2=2√r 2−d 2解得：a =32或a =3211故得直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍时a 的值为32或3211．【解析】(Ⅰ)将t 参数消去可得直线l 的普通方程，根据ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2带入圆C 可得直角坐标系方程； (Ⅱ)利用弦长公式直接建立关系求解即可．本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，属于中档题．23. 已知关于x 的不等式|x −3|+|x −5|≤m 的解集不是空集，记m 的最小值为t ．(Ⅰ)求t ；(Ⅱ)已知a >0，b >0，c =max{1a ,a 2+b 2tb}，求证：c ≥1.注：maxA 表示数集A 中的最大数．【答案】解：(Ⅰ)|x −3|+|x −5|≥|(x −3)−(x −5)|=2， 当且仅当3≤x ≤5时取等号， 故m ≥2即t =2； (Ⅱ)由(Ⅰ)得：c =max{1a ,a 2+b 22b}，则c 2≥1a⋅a 2+b 22b=a 2+b 22ab≥1，当且仅当1a=a 2+b 22ab=1即a =b =1时“=”成立，∵c >0，∴c ≥1．【解析】(Ⅰ)根据绝对值不等式的意义求出|x−3|+|x−5|的最小值即可求出t；(Ⅱ)由(Ⅰ)得：c=max{1a ,a2+b22b}，根据基本不等式的性质求出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道基础题．。

2021届长望浏宁高三3月调研考试数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.214.415.23316.]222222[+---四、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本题满分10分）解：（1）23)3sin(cos 2)(+-⋅=πx x x f 23)cos 23sin 21(cos 2+-=x x x （2分）x x 2cos 232sin 21-=（4分）)32sin(π-=x （6分）所以f （x ）的最小正周期T ＝π．（7分）（2）因为f （α+125π）＝＝sin（2α+2π）＝cos2α＝α2sin 21-＝﹣257， α为锐角，∴54sin =α（10分）18、（本题满分12分）解：（Ⅰ）若选①，等差数列{a n }满足a 1＝1，a 5＝9（n ∈N *），设等差数列{a n }的公差为d ，则1+4d ＝9，解得d ＝2，（2分）则a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1（n ∈N *），（3分）题号12345678答案ABDAACAB题号9101112答案BCDBCBDABC若选②，数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2，⎩⎨⎧≥-=-==-2,121,11n n S S n a n n n ，（2分）显然n ＝1时，a n ＝2n ﹣1也成立，所以a n ＝2n ﹣1（n ∈N *）；（3分）若选③，公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝1，且a 1，a 2，a 5成等比数列．设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则a 22＝a 1a 5，即有（a 1+d ）2＝a 1（a 1+4d ），（1分）因为a 1＝1，所以d ＝2，即a n ＝2n ﹣1（n ∈N *），（3分）因为b 1+b 2+…+b n ＝3n ，当n ＝1时，b 1＝3；当n ≥2时，b n ＝3n ﹣3n ﹣1＝2•3n ﹣1，所以⎩⎨⎧≥⋅==-2,321,31n n b n n ；（6分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得=1T 1223321<=c ；（7分）当n ≥2时，1)31(1-⋅=+=n n n n n b a c ，则T n ＝231(331232⨯+⨯++…+1)31(-⋅n n ，（8分）31T n ＝+⨯+⨯+32)31(3)31(292…+nn 31(⋅，（10分）两式相减可得+++=231(319732n T …+131(-n ﹣n •n )31(所以T n ＝n n )31()23(231223⋅+-1223<（12分）19、（本题满分12分）解：（1）根据所给等高条形图，得到22⨯的列联表：A 材料B 材料合计成功453580不成功51520合计50501002K 的观测值()21004515535 6.2550502080K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于6.25 6.635<，故没有99%的把握认为试验成功与材料有关．（5分）（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X 万元．易知X 可取0，0.1，0.2，0.3．（6分）()3280327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21321120.13327P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2231260.23327P X C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()2110.3327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，（10分）则Ｘ的分布列为：（分布列也可以不列）X 00.10.20.3P8271227627127修复费用的期望：()8126100.10.20.30.127272727E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（11分）所以石墨烯发热膜的定价至少为0.111 2.1++=万元/吨，才能实现预期的利润目标．（12分）20、（本题满分12分）解：（1）延长DG 交BC 于点F ，连接EF ，因为点G 是BCD ∆的重心，故F 为BC 的中点，（1分）因为D ，E 分别是棱AB ，BP 的中点，所以//DF AC ，//DE AP ，（2分）又因为DF DE D = ，所以平面//DEF 平面APC ，（4分）又GE ⊂平面DEF ，所以GE 平面PAC ．（5分）（2）解法1：连接PD ，因为45PAB PBA ︒∠=∠=，所以PA PB =，又D 是AB 的中点，所以PD AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，而平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD ⊂平面PAB ，所以PD ⊥平面ABC ，（6分）如图，以D 为原点，垂直于AB 的直线为x 轴，DB ，DP 所在直线分别为y 轴，z 轴建空间直角坐标系，（7分）设2PA PB ==，则AB =PD CD ==，所以(0.0,0)D ，B，22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,,062G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，P ，假设存在点E ，设BE BP λ=，(0.1]λ∈，则(0,(0,),)DE DB BE DB BP λλλ=+=+=+=-，所以)E λ-，又,,022DC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ECD 的法向量为1(,,)n x y z =，则112022)0n DC x y n DE y λ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ，令1x =，解得13(1)1,n λλ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，（10分）又平面CDG ，平面ABC 的法向量2(0,0,1)n =，而二面角E CD G --的大小为30︒，所以1212123|cos ,|2||||n n n n n n ⋅〈〉==，)2λ-=，解得13λ=，所以存在点E ，使二面角E CD G --的大小为30︒，此时13BE BP =．（12分）解法2：如图，过点E 作EH⊥AB 于点H.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，EH ⊂平面PAB.所以EH⊥平面ABC.（7分）过点H 作HQ⊥DC 于点Q，连接EQ，所以∠EQH 为二面角E-CD-G 的平面角.（9分）设PA=PB=2，则AB=.假设存在点E，且,(0]BEBPλλ=∈，1，则EH=PD λ，DH=(-))DB λλ-1，则HQ=DHsin60°=(1)2λ-.因为tan∠EQH=EHHQ=tan30°，所以32，解得1=3λ.所以存在点E，使二面角E-CD-G 的大小为30°，此时13BE BP =.（12分）21、（本题满分12分）解：（1）由23=e 得224b a =（2分）由3,2(P 在椭圆上，所以13422=+b a （3分）解得：4,1622==b a 椭圆C 的方程为1416:22=+y x （4分）（2）设直线AB 的方程为)2(-=x k y （5分）由0161616)41(16)2(4)2(1416222222222=-+-+⇒=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+k x k x k x k x x k y y x 设),(),,(2211y x B y x A ，则22212221411616,4116kk x x k k x x +-=+=+，（7分）)2(),2(2211-=-=x k y x k y k x x x y x y k k 22323232321221121+-+-=--+--=+kk x x x x x x 2332)(24)(334212121+-=+++-+-=（10分）易求得直线AB 与直线l 的交点为)6,8(k M ，6328363-=--=∴k k k （11分）3212k k k =+∴所以，存在常数λ满足题设条件，且2=λ（12分）或：（2）①当直线AB 与x 轴重合时，)0,4(-A ，)0,4(B ，)0,8(M 631=k ，232-=k ，633-=k ，∴3212k k k =+（5分）②当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为)0(2≠+=m my x （6分）由0124)4(164)2(21416222222=-++⇒=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+my y m y my my x y x 设),(),,(2211y x B y x A ，则221221412,44my y m m y y +-=+-=+，（8分）2,22211+=+=my x my x )11(32232321221121y y m m x y x y k k +-=--+--=+my my y y 2)32121++-=m233+-=（10分）易求得)6,8(m M ，mk 1633+-=∴3212k k k =+综合①，②得，存在常数λ满足题设条件，且2=λ（12分）22、（本题满分12分）解:（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，222()22a x x ax a f x a x x-+'=-+=，（2分）令2()22g x x ax a =-+，易知()g x 图象的对称轴方程为x a =，且0x a =<，因为1a >，且(1)10g =>，所以当[1,]x e ∈时，()0g x >，此时()()02g x f x x'=>，所以()f x 在[1,]e 上单调递增，（4分）min 15()(1)ln 2ln 244f x f a a ==-+=-，解得1a =-．（5分）（2）ea ≥ 可得()0f x '=在(0,)+∞上有2个不同的实根1x ，2x .)2,2,084(21212a x x a x x a a =⋅=+>-=∆ 由根与系数的关系可得122x x a +=，122x x a =，（6分）所以222121212()2x x x x x x +=+-=244a a -，当a e ≥时，2222121212121211()()()2ln(4)()()224f x f x x x e a x x a x x x x e+-++=-+-++2221ln(8)2(44)2ln(8)32()4a a a a a e a a a a e a e =---+=-++≥，（7分）令2()ln(8)32()g a a a a a e a e =-++≥，则()ln(8)62()g a a a a e '=-+≥，（8分）令()()ln(8)62h a g a a a '==-+，则116()6a h a a a-'=-=，（9分）当a e ≥时，()0h a '<，所以()h a 在[,)e +∞上单调递减，所以()()h a h e ≤，即()()ln(8)62(13ln 2)62g a g e e e e ''≤=-+=+-+3ln 263363660e e e =-+<-+=-<，所以()g a 在[,)e +∞上单调递减，（10分）22()()ln(8)33(13ln 2)33g a g e e e e e e e e≤=-+=+-+(3ln 234)(334)(73)0e e e e e e =-+<-+=-<，（11分）所以()0g a <，所以原不等式成立，即2212121()()()22f x f x x x e +<+-．（12分）。

2024年湖南省高三数学3月模拟训练卷（试卷满分150分．考试用时120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知由小到大排列的4个数据1、3、5、a ，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（）A ．7B ．6C ．5D ．42．若椭圆2221mx y +=m 的值为（）A ．12B ．12或4C ．12或8D ．12或63．各项均不为零的等差数列{}n a 中，12a =，若()2110,2n n n a a a n n *-+--=∈≥N ，则2017S 等于（）A ．0B ．2C ．2017D ．40344．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//n m ，n α⊥，则m α⊥C ．若//m α，//n β，m n ⊥，则αβ⊥D ．若//m α，n β⊥，//m n ，则//αβ5．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术，赛艇，射击3个自选项目.若将3男，3女6名志愿者分成3组，每组一男一女，分别分配到3个自选项目比赛场馆服务，则不同的分配方案共有（）A ．540种B ．36种C ．108种D ．90种6．如图,在梯形ABCD 中,2DC AB = ,P 为线段CD 上一点,且12DP PC =，E 为BC 的中点,若EP AB AD λμ=+（λ，R μ∈）,则λμ+的值为（）A ．13B ．13-C ．0D ．127．在ABC 中2sin sin 2sin A B C +=，则59sin sin A C+的最小值为（）A ．14B ．16C ．18D ．208．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，110F A F B ⋅=，22F B F A =-uuu r uuu r ，则双曲线C 的离心率为（）A ．12B 1C ．12D 1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数()()πcos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，下列选项中正确的有（）A ．若()f x 的最小正周期2T =，则πω=B ．当2ω=时，函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到()cos 2g x x =的图象C ．若()f x 在区间()0,π上单调递减，则ω的取值范围是20,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ω的取值范围是17,66⎛⎤⎝⎦10．已知复数1z ，2z ，则下列结论正确的有（）A ．2211z z =B ．1212z z z z ⋅=⋅C ．1212z z z z =⋅D ．1212z z z z +=+11．已知函数()f x 和其导函数()g x 的定义域都是R ，若()f x x -与(21)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．()f x x关于点(0,1)对称C ．(2023)1g =D ．((1)1)((2)1)((2)1)((3)1)((2023)1)((2024)1)0g g g g g g -⨯++-⨯+++-⨯+= 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若集合()2{,|231}A x y y x x ==-+，(){,|}B x y y x ==，则集合A B ⋂中的元素个数为．13．已知圆锥的顶点为P ，轴截面为锐角PAB ，PAB α∠=，则当α=时，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值最大，最大值为．14．已知正实数,,,a b c d 满足210a ab -+=，221c d +=，则当22()()a c b d -+-取得最小值时，ab =．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数2()e x f x x mx =-．(1)求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若函数()()e x g x f x =-在0x =处取到极小值，求实数m 的取值范围．16．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F 症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现F 症状的概率均为13，且每次给药后是否出现F 症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F 症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F 症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X ，求X 的分布列和数学期望．17．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为梯形，其中AB ,60CD BCD ∠= ，224,AB BC CD AD PB ===⊥．(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)若PB PD =，点E 满足2PE EC = ，且三棱锥E ABD -PAD 与平面BDE 的夹角的余弦值．18．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，不过原点的直线l 交抛物线C 于A ，B 两不同点，交x 轴的正半轴于点D ．(1)当ADF △为正三角形时，求点A 的横坐标；(2)若||||FA FD =，直线1//l l ，且1l 和C 相切于点E ；①证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标；②ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．19．基本不等式可以推广到一般的情形：对于n 个正数12,,,n a a a ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即12n na a a +++≥ 12n a a a === 时，等号成立．若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①0,n M a M ∃><；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P ．(1)若24n a n n =+，求数列{}n a 的最小项；(2)若121n n b =-，记1nn n i S b ==∑，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；(3)若11nn c n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求证：数列{}n c 具有性质P ．1．A【分析】根据极差和中位数概念得到关于a 的方程，再利用百分位数的概念即可.【详解】由小到大排列的4个数据1、3、5、a ，则5a ≥，这四个数为极差为1a -，中位数为3542+=，因为这4个数据极差是它们中位数的2倍，则124a -=⨯，解得9a =，所以，这四个数由小到大依次为1、3、5、9，因为40.753⨯=，故这4个数据的第75百分位数是5972+=.故选：A.2．C【分析】根据离心率的计算公式，分焦点的位置，讨论即可求解.【详解】椭圆2221mx y +=的标准形式为221112x y m +=，当焦点在x轴时，2e ==，解得12m =，此时椭圆方程为221122x y +=符合要求，当焦点在y轴时，e =，解得8m =，此时椭圆为2211182x y +=符合要求，故选：C 3．D【分析】根据等差数列性质可化简已知等式为220n n a a -=，由此可求得()2,2n a n n *=∈≥N ，结合12a =即可求得结果.【详解】 数列{}n a 为等差数列，()112,2n n n a a a n n *+-∴+=∈≥N ，则由2110n n n a a a -+--=得：220n n a a -=，又0n a ≠，()2,2n a n n *∴=∈≥N ，又12a =，2017201724034S ∴=⨯=.故选：D.4．B【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，逐一判断选项.【详解】A.若//m α，n α∥，则m 与n 平行，或相交或异面，故A 错误；B.若n m ，n α⊥，则m α⊥，故B 正确；C.若//m α，//n β，m n ⊥，则α与β相交或平行，故C 错误；D.若//m α，n β⊥，//m n ，则αβ⊥，故D 错误.故选：B 5．B【分析】根据题意，将3男、3女6人分成3组，每组一男一女，再将这3组分别分配到3个自选项目，结合排列组合的知识，即可求解.【详解】由题意，将3男、3女6人分成3组，每组一男一女，分组方法有1111332233C C C C 6A =种，将这3组分别分配到3个自选项目比赛场馆的分配方法有33A 种，故不同的分配方案共有336A 36=（种）.故选：B.6．B【分析】直接利用向量的线性运算，化简求得1526EP AD AB =-，求得,λμ的值，即可得到答案.【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：()1214111232326EP EC CP BC CD AC AB AB AC AB=+=+=--=-()1111522626AD AB AB AD AB =+-=-又因为EP AB AD λμ=+ ，所以51,62λμ=-=，所以511623λμ+=-+=-，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理应用向量的三角形法则化简向量EP是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．B【分析】利用和差角公式及二倍角公式得到2sin cos 4sin cos 2222C A C A C A C A++-+=，即可得到sin2sin 22C A C A +-=，从而得到tan 3tan 22C A =，再令tan 2A m =，则59416sin sin m A C m+=+，利用基本不等式计算可得.【详解】因为2sin sin 2sin A B C +=，所以()sin 2sin sin B C A =-，即()()sin 2sin sin A C C A +=-，因为sin sin cos cos sin 22222C A C A C A -=-，cos cos cos sin sin 22222C A C A C A+=-，所以sin cos 22C A C A-+2222sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos 222222222222C A C C C A C A A C A A =+--11sin sin 22C A =-，所以2sin cos 4sin cos 2222C A C A C A C A++-+=，又π022C A +<<，所以cos 02C A +>，所以sin 2sin 22C A C A+-=即sincos cos sin 2sin cos cos sin 22222222C A C A C A C A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以tan 3tan 22C A=，设tan2A m =，则tan 32C m =，显然tan 02A>，tan 02C >，即0m >，所以22225959sin sin 2sin cos 2sin cos2222sin cos sin cos 2222A A C C A C A A C C +=+++22592tan2tan 22tan 1tan 122AC A C=+++225926191m m m m =+++216441616m m m m +==+≥，当且仅当416m m =，即1tan 22A m ==时等号成立，故59sin sin A C+的最小值为16.故选：B 8．A【分析】根据直角三角形的性质可得出4AB c =，推导出12BF F △为等边三角形，求出1AF 、2AF ，利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.【详解】因为22F B F A =-uuu r uuu r，则2F 为线段AB 的中点，因为110F A F B ⋅=，则11AF BF ⊥，则1224AB F F c ==，因为O 为12F F 的中点，12OB F F ⊥，则1212122BF BF AB c F F ====，所以，12BF F △为等边三角形，由勾股定理可得1AF ===，由双曲线的定义可得122AF AF a -=，即22c a -=，因此，该双曲线的离心率为c e a ===故选：A.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.9．ACD【分析】利用最小正周期公式可得ω，可判断A ；利用三角函数图象的平移可得()g x ，可判断B ；利用余弦函数的减区间列不等式组求ω的取值范围，可判断C ；结合cos y x =在区间()0,π上只有一个零点，列不等式组可求ω的取值范围，可判断D.【详解】对于A ：由()f x 的最小正周期2T =可得2π2ω=，又0ω>，解得πω=，故A 正确；对于B ：当2ω=时，()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移π3个单位长度后，得()πππcos 2cos 2333g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故B 错误；对于C ：由()0,πx ∈得ππππ333x ωω<+<+，令π3x t ω+=，则cos y t =在区间ππ,π33ω⎛⎫+ ⎝⎭上单调递减，于是0πππ3ωω>⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得203ω<≤，即20,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故C 正确；对于D ：因为()f x 在区间()0,π上只有一个零点，所以cos y t =在区间ππ,π33ω⎛⎫+ ⎝⎭只有一个零点，于是0πππ32π3ππ32ωωω⎧⎪>⎪⎪+>⎨⎪⎪+≤⎪⎩，解得1766ω<≤，即17,66ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故D 正确.故选：ACD.10．BC【分析】根据复数的运算性质以及模的运算公式对应各个选项逐个判断即可求解．【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中,,,R a b c d ∈.对于选项A:()222222211i 2i,2i z a b a b ab z a b ab =+=-+--=，所以2ab 与2ab -不一定相等，故选项A 错误；对于选项B:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++，所以()()21i z b z ac d ad bc ⋅=--+，因为()()()()12i i i z z c d ac bd a b ad bc ⋅-=--+=-，所以1212z z z z ⋅=⋅,故选项B 正确；对于选项C:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++,所有12z z ==因为11z z =，所以1212z z z z =⋅,故选项C 正确；对于选项D:因为()()12i z z a c b d +=+++，所以12z z +=12z z +,故选项D 错误；故选：BC.11．BD【分析】用特殊值法，假设()1f x x =+，可判断选项A ；对()()f x x f x x -=-+进行变形处理，即可判断其对称性，从而判断选项B ；对()()f x x f x x -=-+两边求导，可得()()2g x g x +-=，根据(21)(21)g x g x +=-+可判断()g x 的周期性和对称性，再根据特殊值关系，即可判断选项C ；由特殊值关系得到(2)(4)2g g +=，(1)(3)2g g +=，化简((1)1)((2)1)((2)1)((3)1)((2023)1)((2024)1)g g g g g g -⨯++-⨯+++-⨯+ ，即可判断选项D.【详解】假设()1f x x =+，则()1f x x -=，(21)1g x +=都为偶函数，则所设函数()1f x x =+符合题意，此时(0)1f =，所以A 错误；因为()f x x -为偶函数，所以()()f x x f x x -=-+，即()()2f x f x x x-+=-，令()()f x h x x=，则()()2h x h x +-=，所以()h x 关于点(0,1)对称，故B 正确；因为(21)g x +均为偶函数，所以(21)(21)g x g x +=-+，所以函数()g x 的图象关于直线1x =对称，即(1)(1)g x g x +=-，因为()()f x x f x x -=-+，所以()1()1f x f x ''-=--+，所以()()2g x g x +-=，所以(4)()g x g x +=，(2023)(3)g g =，又(1)(3)g g -=，(0)(4)g g =，所以(1)(3)(1)(1)2g g g g +=+-=，所以无法确定(2023)g 的值，所以C 错误；又(2)(2)2g g +-=，(2)(2)g g =-，所以()()221g g =-=，又(4)(0)1g g ==，所以(2)(4)2g g +=，由(4)()g x g x +=知函数()g x 周期为4，则()(1)g x g x ⋅+的周期也为4，则((1)1)((2)1)((2)1)((3)1)((2023)1)((2024)1)g g g g g g -⨯++-⨯+++-⨯+ (1)(2)(2)(3)(2023)(2024)(2024)(1)2023g g g g g g g g =+++-+-[]506(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(2024)(2025)(2024)(1)2023g g g g g g g g g g g g =+++--+-()()506(2)(4)(1)(3)(0)(1)(0)(1)2023g g g g g g g g =++--+-⎡⎤⎣⎦()()506411120230g g =⨯--+-=，所以D 正确.故选：BD【点睛】对称性有关结论：若()()f a x f a x =-+，则()f x 关于直线x a =对称；若(2)()f a x f x -=，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f a x f a x b -++=，则()f x 关于点(),a b 中心对称；若(2)()2f a x f x b -+=，则()f x 关于点(),a b 中心对称；周期性结论：若()()f x T f x +=，则函数()f x 的周期为T .12．2【详解】集合()2{,|231}A x y y x x ==-+，(){,|}B x y y x ==均表示的是点集，即曲线上的点构成的集合，则集合A B ⋂即为求两函数图象的交点.联立方程得：2231y x x y x ⎧=-+⎨=⎩，22410x x -+=，由16880∆=-=>知两函数图象有两个交点，所以集合A B ⋂中的元素个数为2.13．3π##13π14##0.25【分析】作出图形，设2AB =，PA PB =，M 为线段AB 的中点，连接PM ，设圆锥的内切球和外接球的半径分别为r 、R ，计算出r 、R 关于α的表达式，结合二次函数的基本性质可求得rR的最大值及其对应的α值，即可得解.【详解】如下图所示：不妨设2AB =，PA PB =，M 为线段AB 的中点，连接PM ，圆锥的内切球球心为1O ，半径为r ；外接球球心为O ，半径为R .圆锥的内切球与外接球的表面积之比为2224π4πr r R R ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在1Rt O MA △中，1AM =，12O AM α∠=，21sin 2sin 1cos 22tan2sin cos2sin cos 222r O M αααααααα-=====，在Rt OMA △中，1AM =，tan OM R α=-，222OA OM AM =+，即()222tan 1R R α=-+，所以，22222sin cos 1cos tan 11sin 2tan sin 22cos cos R ααααααααα⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===⋅，所以，()21cos 1cos 11sin 22sin cos 21cos cos 2cos sin sin 24r R αααααααααα⎡⎤--⎛⎫=⋅=⋅=-=--+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦12≤，当且仅当1cos 2α=时，即当π3α=时，等号成立，所以，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值的最大值为14.故答案为：π3；14.1412+【分析】将22()()a c b d -+-转化为(),a b 与(),c d 两点间距离的平方，进而转化为(),a b 与圆心()0,0的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.【详解】可将22()()a c b d -+-转化为(),a b 与(),c d 两点间距离的平方，由210a ab -+=，得1b a a=+，而221c d +=表示以()0,0为圆心，1为半径的圆，(),c d 为圆上一点，则(),a b 与圆心()0,0当且仅当2212a a =，即a =此时(),a b 与圆心()0,0的距离最小，即(),a b 与(),c d 两点间距离的平方最小，即22()()a c b d -+-取得最小值.当a =22112ab a =+=+，故答案为：12+.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆221c d +=上的点到1b a a=+上的点的距离的最小值的求解问题，进而求解.15．(1)y x =(2)1(,2-∞【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，（2）求导，分类讨论m 的取值，即可结合函数的单调性求解极值.【详解】（1）由题意，()(1)e 2xf x x mx '=+-，则()01f '=，又(0)0f =，故所求的切线方程为y x =．（2）由题意，2()e e x x g x x mx =--，故()e 2(e 2)x x g x x mx x m '=-=-．若0m ≤，则e 20x m ->，故当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<，当,()0x ∈+∞时，()0g x '>，故当0x =时，函数()g x 取到极小值；若0m >，则令()0g x '=，解得0x =或ln 2x m =，要使函数()g x 在0x =处取到极小值，则需ln 20m <，即12m <，此时当(,ln 2)x m ∈-∞时，()0g x '>，当(ln 2,0)x m ∈时，()0g x '<，当,()0x ∈+∞时，()0g x '>，满足条件．综上，实数m 的取值范围为1(,2-∞．16．（1）2227；（2）分布列见解析，21781.【分析】（1）利用“正难则反”思想，计算一个给药周期也没有参加完的概率P ，则至少能参加一个给药周期的概率为1P -；（2）先计算出一个给药周期内至少出现3次F 症状的概率，然后根据题目条件确定随机变量X 的可能取值，分别计算每一个X 值所对应的概率，列出分布列并求出数学期望.【详解】解：（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件M ，则M 的对立事件为一个给药周期也没有参加完．设一次给药出现F 症状为事件A ，则一个给药周期也没有参加完的概率为()()212115333327P P AA P AAA ⎛⎫=+=+⨯⨯=⎪⎝⎭，所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为()522112727P M P =-=-=．（2）设事件B 为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F 症状”，则()343412113339P B C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则随机变量X 的取值为1,2,3．()3434121113339P X C ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()818219981P X P B P B ==-⋅=⨯=⎡⎤⎣⎦，()()()88643119981P X P B P B ==-⋅-=⨯=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以X 的分布列为X123P198816481所以随机变量X 的数学期望为()18642171239818181E X =⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查概率的乘法公式及加法公式，考查随机变量的分布列及数学期望计算，难度一般.解答时易错点如下：（1）每次给药相互独立；（2）在解答第（2）小题时，注意若前一个给药周期能通过，才可以参加下一个给药周期.17．(1)证明见解析【分析】（1）利用勾股定理先证AD BD ⊥，再证AD ⊥平面PBD 即可得面面垂直；（2）根据条件建立合适的空间直角坐标系，根据体积先计算E 坐标，再利用空间向量求面面角即可.【详解】（1）60,2,BCD BC CD BCD ∠===∴ 为等边三角形，24AB BD ∴==，又四边形ABCD 为梯形，AB DC ，则60ABD ∠=o ，根据余弦定理可知，在ABD △中，2222212cos 42242122AD AB BD AB BD ABD ∠=+-⋅=+-⨯⨯⨯=根据勾股定理可知，222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，,,,AD PB PB BD B PB BD ⊥⋂=⊂ 平面PBD ，AD ∴⊥平面PBD ，又AD ⊂ 平面,ABCD ∴平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）O 为BD 中点，,PB PD PO BD =∴⊥，由（1）可知，平面PBD ⊥平面ABCD ，又平面PBD 平面,ABCD BD PO =⊂平面PBD ，PO ∴⊥平面ABCD ，连接OC ，则OC BD ⊥，且OC ⊂平面ABCD ，故,PO OC PO BD ⊥⊥，所以PO ，BD ，OC 两两垂直．以O 为原点，以OB 为x 轴正方向，以OC 为y 轴正方向，以OP为z轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()()1,,1,0,0,,1,0,0A B C D ---，设()0,0,P t 且20,3t PE PC >=，则3t E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，由三棱锥E ABD -112323t ⨯⨯⨯=所以6t =，2,,2,3PE PC E O ⎛⎫=∴ ⎪ ⎪⎝⎭()()()()231,,2,2,0,0,,1,0,6,20,3DE DB DC DP DA CO ⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAD 的一个法向量为(),,m a b c=，则60m DP a c m DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1c =，则0,6b a ==-，故()6,0,1m =- ，设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z =r，则20203n DB x n DE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令y =0,1x z ==-，故()1n =-．所以平面PAD 与平面BDE的夹角余弦值为：cos ,m n m n m n ⋅=.18．(1)3(2)证明见解析，定点为（1,0），最小值为16【分析】（1）根据抛物线C 的方程，可以求得焦点坐标，由ADF △是正三角形，设点A 和D 的坐标，可以求解；（2）过点A ，作准线的垂线，得垂足P ，构造平行四边形，设A 点的坐标，以A 点的纵坐标为参变量，分别计算直线1l ，AE ，AB 的方程以及三角形AEB 的面积即可.【详解】（1）∵24,24,12py x p ===，∴抛物线焦点坐标F （1,0），准线方程为x =-1，设A (a ，t )，D (m ，0)，因为ADF △是正三角形，必有()1112a m m a ⎧--=-⎪⎨+=⎪⎩，解得3a =，即A 点横坐标为3；（2）如图，设A 点在第一象限，过A 点作准线x =-1的垂线，得垂足P ，连接PF ，AF FD AP == ，//AP FD ，∴四边形APFD 是平行四边形，//PF AD ，设A (a ，t )()0,0a t ＞＞，则P (-1，t )，直线PF 的斜率为112t tk ==---，设1l 的方程为2t y x b =-+，联立方程242y xty x b ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得：2880y y b t t +-=，因为1l 是抛物线C 的切线，28320bt t ⎛⎫∴∆=+= ⎪⎝⎭，2b t =-，4y t =-，24x t=，即E 点的坐标为244,tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AE 的方程为：224444t t y x t t a t⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭+=- ⎪⎝⎭-，其中24t a =，化简得：()2414ty x t =--，故AE 过定点F （1，0）；直线l 的方程为：()2t y t x a -=--，化简得：328t t y x t =-++，联立方程32284t t y x t y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，消去x 得22880y y t t +--=，212128,8y y y y t t+=-=-- ，1242y y t t ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即A ，B 两点的纵坐标之差的绝对值为42t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，过E 点作x 轴的平行线交l 于H 点，则22842,4t H t t ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，22424t EH t =++，用铅垂高水平底的方法计算三角形AEB 的面积，2122114422224AEBt S EH y y t t t ⎛⎫⎛⎫=-=⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322162t t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当t =2时等号成立，AEB S V 的最小值为16；综上，A 点的横坐标为3，直线AE 过定点F （1,0），三角形AEB 的面积最小值为16.【点睛】本题的核心观察到四边形APFD 是平行四边形，设点A 的纵坐标为参数，这样计算会简便一些，计算三角形AEB 的面积用初中的方法——水平底铅垂高比较方便，便于使用韦达定理.19．(1)最小项为23a =(2)数列{}n S 具有性质P ，理由见解析．(3)证明见解析【分析】（1）利用2422n n n a n =++，结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解；（2）变形112n n b -≤，再利用等比数列求和证明性质①，利用10,21nn b =>-证明②；（3）结合二项式定理及n 元基本不等式求解.【详解】（1）24322n n n a n =++≥= ，当且仅当242n n =，即2n =时，等号成立，∴数列{}n a 的最小项为224232a =+=．（2）数列{}n S 具有性质P ．111111212212n n n n n b ---==≤-+- ，111121111111121212,12222212i i n n i i n n n n S b ==---⎛⎫∴=∑≤∑=+++==-< ⎪⎝⎭-，∴数列{}n S 满足条件①．{}110,,21n n n n n b S S S +=>∴<∴- 为单调递增数列，∴数列{}n S 满足条件②．综上，数列{}n S 具有性质P ．（3）先证数列{}n c 满足条件①：012323111111C C C C C nnn n n n n nn c n n n n n ⎛⎫=+=+⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭．当2k ≥时，()()()12111211C !!k n k k n n n n k n n n n k n n k n n n n k ---+---+⋅==⋅⋅⋅⋅ ()1111,!11k k k k k≤≤=---则11111111111332231nn c n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴数列{}n S 满足条件①．再证数列{}n c 满足条件②：111111111nn c n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥<+⎢⎥⎢⎥⎣⎦（111n+>，等号取不到）1111111,11n n n n n n c n n +++⎛⎫++⋅ ⎪⎛⎫==+= ⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪⎝⎭{}n c ∴为单调递增数列，∴数列{}n c 满足条件②．综上，数列{}n c 具有性质P .【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和及二项式定理，证明性质①均需要放缩为可求和数列.。

湖南省长望浏宁四县市2015届高三3月高考模拟 （理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、集合{}{}03,62>-∈=≤∈=x x R x B x x A N ，则=B AA ．{}36x x <≤B ．{}3,4,5C ．{}36x x <≤D ．{}4,5,6 2、设a R ∈，则11a<是1a >的 A ．充要条件B ．充分但不必要条件C ．必要但不充分条件D ．既不充分也不必要条件3、已知函数x x f y -=)(是偶函数，且1)2(=f ，则=-)2(f A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．24、5)11)(2(22-+xx的展开式的常数项是 A ．2 B ．3 C ．-2 D ． -35、如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ＝x OA ＋y OB ，且BP ＝3PA ，则 A 、x ＝23，y ＝13B 、x ＝13，y ＝23 C 、x ＝14，y ＝34 D 、x ＝34，y ＝146、定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则7234(cos)tanππ⊗的值为A ．2B ．-2C ．-1D ．17、已知最小正周期为2的函数)(x f 在区间]11[，-上的解析式是2)(x x f =，则函数)(x f 在实数集R 上的图象与函数x x g y 5log )(==的图象的交点的个数是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．68、已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是 边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为9、如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(0,—1)，B(π,—1)，C(π,1)，D(0,1)， 正弦曲线x x f sin )(=和余弦曲线x x g cos )(=在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是 A ．π21+ B ．π221+ C ．π1D ．π21第8题图10、若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a =+成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T .已知数列{}n a 满足)0(1>=m m a ，⎪⎩⎪⎨⎧≤<>-=+.10,1,1,11n nn n n a a a a a 则下列结论中错误．．的是 A. 若43=a ，则m 可以取3个不同的值； B. 若2=m ，则数列{}n a 是周期为3的数列；C. *N T ∈∀且2≥T ，存在1>m ，数列{}n a 周期为T ； D. Q m ∈∃且2≥m ，数列{}n a 是周期数列. 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。