沪八上15.2三角形全等的判定同步练习

三角形全等的判定一 、选择题1.不能确定两个三角形全等的条件是（ ）A ．三边对应相等B ．两边及其夹角相等C ．两角和任一边对应相等D ．三个角对应相等 2.下列命题错误的是（ ）A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．全等三角形对应角的角平分线相等D ．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等3.如图，AC AB AD =，平分CAB ∠,E 在AD 上，则图中能全等的三角形有对．A ．1B ．2C ．3D ．44.ABC △和DEF △，AB DE A D =∠=∠，，若ABC DEF ≌△△还需要（ ） A ．B E ∠=∠ B ．C F ∠=∠ C ．AC DF = D ．以上三中情况都可以5.如图，图中有两个三角形全等，且A D AB ∠=∠，与DF 是对应边，则下列书写最规范的是（ ）A ．ABC DEF ≌△△B ．ABC DFE ≌△△ C ．BAC DEF ≌△△D ．ACB DEF ≌△△二 、填空题6.如图，若12∠=∠，C D ∠=∠，则ADB ≌△ ，理由 ．DECBADE C BA7.如图，AC BD =，要使ABC DCB ≌△△还需要知道的一个条件是 ．8.考查下列命题：①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有_________个．三 、解答题9.两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形如图，在筝形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，AC 、BD 相交于点O ⑴求证：①ABC ∆≌ADC ∆；②OB OD =，AC BD ⊥ ⑵如果6AC =，4BD =，求筝形ABCD 的面积10.已知：如图，A B C D 、、、四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个作为条件，其余一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明．①ACE D ∠=∠,②AB CD =③AE BF =，④EAG FBG ∠=∠11.如图，已知AD BC ∥，AD BC =，AE AD ⊥，AF AB ⊥，AE AD =，AB AF =。

初中数学八年级上册三角形全等的判定练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 不能确定两个三角形全等的条件是( )A.三边对应相等B.两边及其夹角相等C.两角和任一边对应相等D.三个角对应相等2.如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，添加下列条件能使△MNS≅△SQP的是( )A.∠A=∠QSPB.∠MSN=∠PC.MS=SPD.MN=QN3. 如图，尺规作图“过点C作CN//OA”的实质就是作∠DOM=∠NCE，其作图依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS4. 下列条件中，能判定△ABC≅△DEF的是（）A.∠A=∠D，∠C=∠F，∠B=∠EB.∠B=∠E，AB=ED，AC=DFC.∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DFD.∠A=∠D，AB=DE，BC=EF5. 下面的语句正确的有()①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；③一锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等；④一锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等．A.1个B.2个C.3个D.4个6. 在△ABC和△A′B′C′中，已知条件：①AB=A′B′；②BC=B′C′；③AC=A′C′④∠A=∠A′；⑤∠B=∠B′；⑥∠C=∠C′．下列各组条件中不能保证△ABC≅△A′B′C′的是（）A.①②③B.②③④C.③④⑤D.③⑤⑥7. 下列图形：①等腰三角形；②平行四边形；③矩形；④菱形；⑤正方形．用两个全等但不是等腰的直角三角形，一定能拼成的是（）A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①②③④⑤8. 如图，点B、E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≅△EFD的是（）A.BC=FD，AC=EDB.∠A=∠DEF，AC=EDC.AC=ED，AB=EFD.∠ABC=∠EFD，BC=FD9. 如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，则他带的是第三块玻璃去，依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS10. 如图所示，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，OC＝OD，连接AD、BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是()①△APC≅△BPD②△ADO≅△BCO③△AOP≅△BOP④△OCP≅△ODPA.②③④B.①②③C.①②③④D.①③④11. 如图，∠1=∠2，要利用“AAS”得到△ABD≅△ACD,需要增加的一个条件是________.12. 把一张正方形纸沿两对角线对折两次，形成了四个同样大小的________三角形．13. 如图，∠1=∠2．（1）当BC=BD时，△ABC≅△ABD的依据是________；（2）当∠3=∠4时，△ABC≅△ABD的依据是________．14. 如图，△ABC的顶点分别为A(0, 3)，B(−4, 0)，C(2, 0)，且△BCD与△ABC全等，则点D坐标可以是________．15. 如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90∘，AD=BC=8，AB= CD=17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B 为直角三角形时，DE的长为________．16. 如图，用硬纸片剪一个长为16cm，宽为12cm的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是________cm，周长最小的是________cm．17.如图，线段AC与BD交于点O，且OA=OC，请添加一个条件，使△OAB≅△OCD，这个条件是________．18. 如图所示，已知∠AFB=∠CED，AE=CF，要使△ABF≅△CDE，应补充的直接条件是________.（写出所有符合题意的条件）19. 如图所示，∠B=∠D，BC=DC，要判定△ABC≅△EDC，可添加的条件是________．20. 如图，AD=BC，请添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明．你所添加的条件为：________；得到的一对全等三角形是△________≅△________．21. 如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，DE=DF，连接AD．求证：（1）∠FAD=∠EAD；（2）BD=CD．22. 如图，AD平分∠BAC，点E在AD上，连接BE，CE．若AB=AC,BE=CE，求证：∠1=∠2.23. 如图，AO平分∠BAD，⊙O与AB相切于点C.求证：AD是⊙O的切线.24. 如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC // DF．求证：△ABC≅△DEF．25. 画图：已知线段a，b．(1)画△ABC，使AB=a，BC=b，∠B=45∘；(2)过点D作DE⊥AB，垂足为点E，如果点D到直线AB的垂线段的长度为1.7，那么点D到直线AC的距离为________．26. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，且B′C=3，求CN和AM的长．27. 如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD.28. 如图，△ACD中，以∠ACD=60∘，以AC为边作等腰三角形ABC，AB=AC，E，F 分别为边CD,BC上的点，连结AE,AF,EF, ∠BAC=∠EAF=60∘.(1)求证：△ABF≅△ACE；(2)若∠AED=70∘，求∠EFC的度数；(3)请直接指出：当F点在BC何处时，AC⊥EF?29. 如图，∠B=∠BDC=∠CDE，∠A=∠E．（1）求证：△ABC≌△EDC；（2）若DE⊥AC于F，∠B=78∘，求∠A的度数．30. 已知△ABC和点A′，如图．(1)以点A′为顶点求作△A′B′C′，使△A′B′C′∼△ABC，且S△A′B′C′=4S△ABC;（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)设D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，AC的中点，D′，E′，F′分别是你所作的△A′B′C′三边A′B′，B′C′，A′C′的中点，求证：△DEF∼△D′E′F′．31. 如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，点E，F是垂足，AE=CF，求证：△ABF≅△CDE.32. 如图，AB，CD相交于点O，AO=BO，AC // DB．求证：△AOC≅△BOD．33. 在△ABC中，∠ACB=2∠B．(1)如图①，当∠C=90∘，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证：CD=DE=________；AC+CD=________.（请直接写出结论，不用证明．)(2)如图②，当∠C≠90∘，AD为∠BAC的角平分线时，模仿题(1)的思路，求证：AB=AC+CD；(3)如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．34. （用直尺和圆规作图）已知：线段，求作：，使.35. 折叠矩形的一边AD，点D落在BC边点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，（1）说出图中哪些线段相等？（2）写出全等的三角形；（3）求EC的长．36. 如图，已知B,E,C,F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：(1)△ABC≅△DEF；(2)AB // DE．37. 如图，幼儿园的滑梯有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．（1）△ABC≅△DEF吗？（2）两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？请你说明（1）、（2）两个结论的道理．38. 已知：线段，，求作：，使，．39. 如图，长方形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，E为BC上的一点，将纸片沿AE翻折，使点B与CD边上的点F重合．求线段EF的长．40. 如图：已知∠DAE=∠CBE，EA=EB，求证：△ABD≅△BAC．参考答案与试题解析初中数学八年级上册三角形全等的判定练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】全等三角形的判定【解析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，做题时要结合各选项的已知条件逐个进行验证．【解答】解：A,三条边对应相等，符合SSS，能判定三角形全等，不符合题意；B,两边及其夹角对应相等，符合SAS，能判定三角形全等，不符合题意；C,两角和任一边对应相等，符合ASA或AAS，能判定三角形全等，不符合题意；D,三个角对应相等，不能判定三角形全等，符合题意．故选D．2.【答案】C【考点】全等三角形的判定【解析】如图，对所给的四个选项逐一判断、解析，即可解决问题．【解答】解：如图，添加条件MS=SP；理由如下：∵MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，∴∠M+∠MSN=∠MSN+∠PSQ，∴∠M=∠PSQ；在△MNS与△SQP中，{∠M=∠PSQ∠MNS=∠SQPMS=SP，∴△MNS≅△SQP(AAS)，故选C.3.【考点】边边边证全等【解析】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定.【解答】解：通过尺规作图，作出三边相等，使得△ODM≌≌CNE，∴ ∠ECN=∠MOD，∴ CN∥OD，故选：A.4.【答案】C【考点】全等三角形的判定【解析】全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可．【解答】解：A、没有边的参与，不能判定△ABC≅△DEF，故本选项错误；B、根据SSA不能判定△ABC≅△DEF，故本选项错误；C、由全等三角形的判定定理AAS可以证得△ABC≅△DEF，故本选项正确；D、根据SSA不能判定△ABC≅△DEF，故本选项错误；故选：C．5.【答案】C【考点】直角三角形全等的判定【解析】根据直角三角形的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可利用SAS定理进行判定，说法正确；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等，说法错误；③一锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等，可利用AAS进行判定，故此说法正确；④一锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等，可利用AAS进行判定，故此说法正确；故选：C．6.【考点】全等三角形的判定【解析】根据四个选项所给条件结合判定两个三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．【解答】解：A、①②③可利用SSS判定△ABC≅△A′B′C′，故此选项不合题意；B、②③④不能判定△ABC≅△A′B′C′，故此选项符合题意；C、③④⑤可利用AAS判定△ABC≅△A′B′C′，故此选项不合题意；D、③⑤⑥可利用AAS判定△ABC≅△A′B′C′，故此选项不合题意；故选：B．7.【答案】A【考点】图形的剪拼【解析】根据等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法进行逐一分析即可．【解答】解：①根据有两条边相等的三角形即为等腰三角形，所以能拼成等腰三角形，如图所示：②根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则可以拼成平行四边形，如图所示：③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，则可以拼成矩形，如图所示：④根据四条边相等的四边形才是菱形，而全等直角三角形的两条直角边不相等，所以不能拼成；⑤根据有一个角是直角的菱形才是正方形，则不能拼成菱形，当然不能拼成正方形．故选：A．8.【答案】C【考点】角边角证全等边边边证全等角角边证全等边角边证全等利用三角形的全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．解：A、增加BC=FD,ACC=ED可利用SAS判定△ABC≅△EFD，故此选项不合题意；B、增加∴ A=∠DEF,AE=ED可利用ASA判定△ABC≅△EFD，故此选项不合题意；C、增加AE=ED,AB=EF，不能判定△ABC≅△EFD，故此选项合题意；D、增加∠ABC=∠EFD,BC=FD，可利用ASA判定△ABC≅△EFD，故此选项不合题意；故选C．【解答】此题暂无解答9.【答案】C【考点】全等三角形的应用【解析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．故选：C．10.【答案】C【考点】角边角证全等边边边证全等角角边证全等边角边证全等【解析】由AO=BO,OC=OD,O=∠O，可证得②△ADO=△BCO，所以有∠COP=∠DOP，又OC=OD,OP=OP，可证得④ΔOO≅△OPP，所以有PC=DD，又∠CAP=∠DBP,∠CPA=∠DBP可证得①△APC≅△BPO，所以有PA=PB，又AO=BO,OP= OP，可证得①△AOP≅△BOP.解：AO=BO,OC=OD20=20△ADQ≅△BCO(SAS)，故②正确；△COP=∠DOPOC=OD,OP=OP△OCP≅ΔOP(SAS)，故④正确；PC=PD∵ EAP=∠DB,,∠CPA=∠DPB△APC≅△BPD(AAS)，故①正确；PA=PBAO=BO,OP=OP△AOP=△BOP(555)，故③正确．【解答】此题暂无解答二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】∠ABD=∠ACD【考点】全等三角形的判定【解析】根据全等三角形的判定定理“AAS”分析即可解答.【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠ADB=∠ADC.在△ABD和△ACD中，现已经有∠ADB=∠ADC，AD=AD(公共边)，如果要用“AAS”证明△ABD≌≌ACD，需要添加的条件是边AD的对角相等，即∠ABD=∠ACD.故答案为：∠ABD=∠ACD.12.【答案】等腰直角【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】把一张正方形纸沿两对角线对折两次，形成了四个同样大小的三角形，即是被正方形的对角线分成的四个三角形，因为正方形的对角线互相垂直平分，所以四个三角形为等腰直角三角形．【解答】解：由题意知，四个同样大小的三角形，是被正方形的对角线分成的四个三角形，∵正方形的对角线互相垂直平分，∴形成了四个同样大小的等腰直角三角形三角形，故答案为：等腰直角．13.【答案】SAS、ASA．【考点】全等三角形的判定【解析】（1）因为∠1=∠2，AB共边，当BC=BD时，能根据SAS判定△ABC≅△ABD；（2）因为∠1=∠2，AB共边，当∠3=∠4时，能根据ASA判定△ABC≅△ABD．【解答】解：（1）∵∠1=∠2，AB=AB，BC=BD∴△ABC≅△ABD(SAS)；（2）∵∠1=∠2，AB=AB，∠3=∠4∴△ABC≅△ABD(ASA)．14.【答案】(−2, 3)或(−2, −3)或(0, −3).【考点】三角形固定找全等全等三角形的应用坐标与图形性质【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示,△BCD与△ABC全等，点D坐标可以是(−2, 3)或(−2, −3)或(0, −3).故答案为：(−2, 3)或(−2, −3)或(0, −3).15.【答案】2或32．【考点】全等三角形的性质边角边证全等【解析】分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可．解：如图1，¬C图1折叠，△ADE≅△ADE∴ AD′D=90∘,∵ ∠ADB=90∘，∴B、D′、E三点共线，又ABD′−△BEC,AD′=BC.ABD′≅△BEC，BE=AB=47BD′=√AB2−AD′2=√172−82=15DE=DE=17−15=2如图2，En n∠ABD′+∠CBE=∠ABD′+∠BAD′=90∘∠CBE=∠BAD′在△ABD′和△BEC中，D′=∠BCE,AD′=BC,,CBE=∠BAD′△ABD′≅△BECBE=AB=47DE=D′E=17+15=32综上所知，DE=2或32．故答案为：2或32．“点睛”翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．【解答】此题暂无解答16.【答案】72,56【考点】图形的剪拼【解析】先根据勾股定理求出对角线的长为√162+122=20(cm)，则得两个全等三角形，其边长为12cm、16cm、20cm，从各边长可以得到周长最长的三角形或四边形的周长为(16+20)×2=72(cm)，周长最小的三角形或四边形的周长为(12+16)×2=56，从而得出问题的答案．【解答】解：根据勾股定理得：矩形的对角线的长为√162+122=20(cm)，那么拼出各种三角形和四边形的周长有以下情况：(12+16)×2=56(cm)，(12+20)×2=64(cm)，(16+20)×2=72(cm)，所以周长最大的是72cm，周长最小的是56cm，故答案为：72，5617.【答案】∠A=∠C或∠B=∠D或OD=OB或AB // CD【考点】全等三角形的判定【解析】本题要判定△OAB≅△OCD，已知OA=OC，∠AOB=∠COD，具备了一组边对应相等和一组角对应相等，故添加∠A=∠C，∠B=∠D，OD=OB，AB // CD后可分别根据ASA、AAS、SAS、AAS判定△OAB≅△OCD．【解答】解：∵OA=OC，，∠AOB=∠COD，∴△OAB≅△OCD(ASA)．∵OA=OC，∠B=∠D，∠AOB=∠COD，∴△OAB≅△OCD(AAS)．∵OA=OC，OD=OB，∠AOB=∠COD，∴△OAB≅△OCD(SAS)．∵AB // CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等），∵OA=OC，∴△OAB≅△OCD(AAS)．故答案为：∠A=∠C或∠B=∠D或OD=OB或AB // CD.18.【答案】BF=DE，∠A=∠C，∠B=∠D【考点】全等三角形的判定【解析】先由题意得AF=CE，然后再根据补充的条件，用全等三角形的判定定理SAS，ASA，AAS从而证得△ABF≅△CDE．【解答】解：∵ AE=CF，∴ AE−EF=CF−EF，即AF=CE.①添加BF=DE.在△ABF和△CDE中，{AF=CE，∠AFB=∠CED，BF=DE，∴△ABF≅△CDE(SAS)；②添加∠A=∠C.在△ABF和△CDE中，{∠A=∠C，AF=CE，∠AFB=∠CED，∴△ABF≅△CDE(ASA)；③添加∠B=∠D.在△ABF和△CDE中，{∠B=∠D，∠AFB=∠CED，AF=CE，∴△ABF≅△CDE(AAS).故答案为：BF=DE，∠A=∠C，∠B=∠D.19.【答案】∠A=∠E【考点】全等三角形的判定【解析】由条件可知一组角和一组边对应相等，则可再添加一组角或AB=DE．【解答】解：∵∠B=∠D，BC=DC，∴可添加∠A=∠E，此时两三角形满足AAS，可证明△ABC≅△EDC，故答案为：∠A=∠E．20.【答案】PA=PB,PAD,PBC【考点】全等三角形的判定【解析】三角形全等条件中必须是三个元素，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，并且一定有一组对应边相等．【解答】解：所添加条件为PA=PB，得到的一对全等三角形是△PAD≅△PBC.证明如下：∵PA=PB，∴∠A=∠B.又∵AD=BC，∴△PAD≅△PBC．故答案为：PA=PB；PAD；PBC．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【考点】全等三角形的性质角角边证全等角边角证全等【解析】（1）根据BE⊥AC,CF⊥AB,DE=DF可直接得出AD是∠BAC的平分线，由角平分线的定义可知∠FAD=∠EAD（2）由DE=DFAD=AD可知Rt△ADF=Rt△ADE，故可得出∴ ADF=∠ADE，由对顶角相等可知∠BDF=∠CDE，进而可得出∴ ADB=∠ADC，由以上条件可判断出△ABD≅△ACD，由全等三角形的判定定理即可得出BD=CD【解答】（1）BE⊥AC,CF⊥AB,DE=DF…AD是∠BAC的平分线，∠FAD=∠EAD（2）△ADF与△ADE是直角三角形，DE=DFAD=ADRt△ADF=Rt△ADE∴ ADF=∠ADE∠BDF=∠CDE∠ADF+∠BDF=∠ADF+∠CDE即∠ADB=∠ADC在△ABD≅△ACD中，∠FAD=∠EADAD=AD∠ADB=∠ADC△ABD≅△ACDBD=CD.22.【答案】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE与△CAE中，{AB=AC,∠BAE=∠CAE, AE=AE,∴△BAE≅△CAE(SAS)，∴∠AEB=∠AEC，∴∠1=∠2．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】无【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE与△CAE中，{AB=AC,∠BAE=∠CAE, AE=AE,∴△BAE≅△CAE(SAS)，∴∠AEB=∠AEC，∴∠1=∠2．23.【答案】证明：连接OC，作OE⊥AD，垂足为E，∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB，∵AO平分∠BAD，∴OE=OC，∴OE是⊙O的半径，又∵OE⊥AD，∴AD是⊙O的切线.【考点】全等三角形的判定直角三角形全等的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：连接OC，作OE⊥AD，垂足为E，∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB，∵AO平分∠BAD，∴OE=OC，∴OE是⊙O的半径，又∵OE⊥AD，∴AD是⊙O的切线.24.【答案】证明：∵点B，E，C，F在同一直线上，AC // DF，∴∠ACB=∠DFE．在△ABC和△DEF中，{∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，AB=DE，∴△ABC≅△DEF(AAS)．【考点】全等三角形的判定【解析】首先根据AC // DF可得∠ACB=∠F，然后再加上条件AB=DE，∠A=∠D可根据AAS 定理判定△ABC≅△DEF．【解答】证明：∵点B，E，C，F在同一直线上，AC // DF，∴∠ACB=∠DFE．在△ABC和△DEF中，{∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，AB=DE，∴△ABC≅△DEF(AAS)．25.【答案】解：(1)如图：①作∠B=45◦，分别截取AB=a，AC=b，②连接BC，则△ABC即为所求；1.7【考点】已知两边及夹角作三角形点到直线的距离【解析】（1）首先作出∠B=45∘，再分别截取AB=a，AC=b，即可画出△ABC；（3）根据角平分线的性质，即可求得点D到直线AC的距离．【解答】解：(1)如图：①作∠B=45◦，分别截取AB=a，AC=b，②连接BC，则△ABC即为所求；(3)∵AD是△ABC的角平分线，点D到直线AB的垂线段的长度为1.7，∴点D到直线AC的距离为1.7．故答案为：1.7.26.【答案】解：如图，∵边长为9的正方形纸片，沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，∴A′B′=AB=9，NB′=NB，∠NB′A′=∠B=90∘，设CN=x，则NB=9−x，NB′=9−x，在Rt△NCB′，B′C=3，∵NC2+B′C2=NB′2，∴x2+32=(9−x)2，解得x=4，∴CN=4，NB′=9−4=5，∵∠1+∠2=90∘，∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∴Rt△B′DE∽Rt△NCB′，∴DB′NC =DEB′C=B′ENB′，而DB′=DC−CB′=6，∴DE3=B′E5=64，∴DE=92，B′E=152，∴A′E=A′B′−B′E=9−152=32，∵∠5=∠4，∴Rt△MA′E∽Rt△B′DE，∴MEB′E =A′EDE，即ME152=3292，∴ME=52，∴AM=AD−ME−DE=9−52−92=2，故CN的长为4，AM的长为2．【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】根据折叠的性质得到A′B′=AB=9，NB′=NB，∠NB′A′=∠B=90∘，设CN=x，则NB=9−x，NB′=9−x，在Rt△NCB′，利用勾股定理了计算出x=4，即CN=4，得到NB′=9−4=5，根据三角形相似的判定方法易得Rt△B′DE∽Rt△NCB′，则DB′NC =DEB′C=B′ENB′，可分别计算出DE=92，B′E=152，于是A′E=A′B′−B′E=9−152=32；然后再证明Rt△MA′E∽Rt△B′DE，得到MEB′E =A′EDE，即ME152=3292，可计算出ME=52，最后利用AM=AD−ME−DE可求出AM的长．【解答】解：如图，∵边长为9的正方形纸片，沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，∴A′B′=AB=9，NB′=NB，∠NB′A′=∠B=90∘，设CN=x，则NB=9−x，NB′=9−x，在Rt△NCB′，B′C=3，∵NC2+B′C2=NB′2，∴x2+32=(9−x)2，解得x=4，∴CN=4，NB′=9−4=5，∵∠1+∠2=90∘，∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∴Rt△B′DE∽Rt△NCB′，∴DB′NC =DEB′C=B′ENB′，而DB′=DC−CB′=6，∴DE3=B′E5=64，∴DE=92，B′E=152，∴A′E=A′B′−B′E=9−152=32，∵∠5=∠4，∴Rt△MA′E∽Rt△B′DE，∴MEB′E =A′EDE，即ME152=3292，∴ME=52，∴AM=AD−ME−DE=9−52−92=2，故CN的长为4，AM的长为2．27.【答案】证明：∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠ACD.在△ABC与△ADC中，{∠B=∠D，∠ACB=∠ACD，AC=AC，，∴△ABC≅△ADC(AAS)，∴CB=CD.【考点】全等三角形的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠ACD.在△ABC与△ADC中，{∠B=∠D，∠ACB=∠ACD，AC=AC，，∴△ABC≅△ADC(AAS)，∴CB=CD.28.【答案】解：(1)∵ ∠BAC=∠EAF=60∘，∴ ∠BAC−∠CAF=∠EAF−∠CAF,∴ ∠EAC=∠BAF,∵ AB=AC,∴ ∠B=∠ACB=(180∘−60∘)÷2=60∘, ∵ ∠ACD=60∘,∴ ∠ACD=∠B,∴ △ABF≅△ACE.(2)由(1)可知，△ABF≅△ACE,∴ AE=AF ∠AEC=∠AFB,∴ ∠AEF=∠AFE=(180∘−60∘)÷2=60∘,∵ ∠AEC+∠AED=∠AFC+∠AFB=180∘, ∴ ∠AED=∠AFC=70∘,∴ ∠EFC=∠AFC−∠AFE=70∘−60∘=10∘ .(3)当F为BC中点时，AC⊥EF，∵ △ABF≅ACE,∴ AE=AF CE=BF,∵ BF=CF,∴ CE=CF,∴ AC⊥EF .【考点】全等三角形的应用全等三角形的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ ∠BAC=∠EAF=60∘，∴ ∠BAC−∠CAF=∠EAF−∠CAF,∴ ∠EAC=∠BAF,∵ AB=AC,∴ ∠B=∠ACB=(180∘−60∘)÷2=60∘,∵ ∠ACD=60∘,∴ ∠ACD=∠B,∴ △ABF≅△ACE.(2)由(1)可知，△ABF≅△ACE,∴ AE=AF ∠AEC=∠AFB,∴ ∠AEF=∠AFE=(180∘−60∘)÷2=60∘, ∵ ∠AEC+∠AED=∠AFC+∠AFB=180∘, ∴ ∠AED=∠AFC=70∘,∴ ∠EFC=∠AFC−∠AFE=70∘−60∘=10∘ .(3)当F为BC中点时，AC⊥EF，∵ △ABF≅ACE,∴ AE=AF CE=BF,∵ BF=CF,∴ CE=CF,∴ AC⊥EF .29.【答案】（1）证明：∵∠B=∠BDC，∴BC=DC（等角对等边），{∠A=∠E（已知）∠B=∠EDC（已知）BC=DC（已证），∴△ABC≌△EDC．（2）解：∵∠B=78∘，∴∠BDC=∠CDE=78∘，∴∠EDB=156∘.∵ED⊥AC，∴∠AFD=90∘.又∵∠FDB为△ADF的外角，∴∠A=156∘−90∘=66∘.【考点】全等三角形的应用【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．【解答】（1）证明：∵∠B=∠BDC，∴BC=DC（等角对等边），在△ABC和△EDC中，{∠A=∠E（已知）∠B=∠EDC（已知）BC=DC（已证），∴△ABC≌△EDC．（2）解：∵∠B=78∘，∴∠BDC=∠CDE=78∘，∴∠EDB=156∘.∵ED⊥AC，∴∠AFD=90∘.又∵∠FDB为△ADF的外角，∴∠A=156∘−90∘=66∘.30.【答案】(1)解：如图，作线段A′C′=2AC，A′B′=2AB，B′C′=2BC，得△A′B′C′即为所求．∵A′C′=2AC，A′B′=2AB，B′C′=2BC，∴S△A′B′C′S△ABC =(A′B′AB)2=4.(2)证明：∵D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，AC的中点，∴DE=12AC，DF=12BC，EF=12AB，∴△DEF∼△CAB.同理：△D′E′F′∼△C′A′B′，由(1)可知：△CAB∼△C′A′B′，∴△DEF∼△D′E′F′．【考点】相似三角形的性质与判定已知三边作三角形相似三角形的判定作图—应用与设计作图【解析】（1）分别作A′C′＝2AC、A′B′＝2AB、B′C′＝2BC得△A′B′C′即可所求．（2）根据中位线定理易得∴△DEF∽△ABC，△D′E′F′∽△A′B′C′，故△DEF∽△D′E′F′【解答】(1)解：如图，作线段A′C′=2AC，A′B′=2AB，B′C′=2BC，得△A′B′C′即为所求．∵A′C′=2AC，A′B′=2AB，B′C′=2BC，∴△ABC∼△A′B′C′，∴S△A′B′C′S△ABC =(A′B′AB)2=4.(2)证明：∵ D ，E ，F 分别是△ABC 三边AB ，BC ，AC 的中点， ∴ DE =12AC ，DF =12BC ，EF =12AB ， ∴ △DEF ∼△CAB .同理：△D ′E ′F ′∼△C ′A ′B ′， 由(1)可知：△CAB ∼△C′A′B′， ∴ △DEF ∼△D ′E ′F ′． 31.【答案】证明：∵ DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴ ∠DEC =∠BFA =90∘． 又∵ AE =CF ，∴ AE +EF =CF +EF ， 即AF =CE .在Rt △ABF 与Rt △CDE 中，{AB =CD ，AF =CE ，∴ △ABF ≅△CDE(HL)． 【考点】直角三角形全等的判定 【解析】 此题暂无解析 【解答】证明：∵ DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴ ∠DEC =∠BFA =90∘． 又∵ AE =CF ，∴ AE +EF =CF +EF ， 即AF =CE .在Rt △ABF 与Rt △CDE 中，{AB =CD ，AF =CE ，∴ △ABF ≅△CDE(HL)． 32.【答案】证明：∵ AC // DB ， ∴ ∠C =∠D ．在△AOC 与△BOD 中，{∠C=∠D，∠AOC=∠BOD，AO=BO，∴△AOC≅△BOD(AAS)．【考点】全等三角形的判定【解析】由平行线的性质易证：∠C=∠D，结合已知条件和对顶角相等，利用判定定理AAS证得结论．【解答】证明：∵AC // DB，∴∠C=∠D．在△AOC与△BOD中，{∠C=∠D，∠AOC=∠BOD，AO=BO，∴△AOC≅△BOD(AAS)．33.【答案】BE,AB(2)证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵ AD为∠BAC的角平分线时，∴∠BAD=∠CAD，∵ AD=AD，∴ △ADE≅△ADC(SAS)，∴ ∠AED=∠C, ED=CD，∵ ∠ACB=2∠B，∴ ∠AED=2∠B，∴ ∠B=∠EDB，∴ EB=ED，∴ EB=CD，∴ AB=AE+BE=AC+CD.(3)猜想：AB+AC=CD．证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED.∵ AD平分∠FAC，∴ ∠EAD=∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD, AD=AD，∴△EAD≅△CAD(SAS)．∴ ED=CD，∠AED=∠ACD，∴ ∠FED=∠ACB．又∠ACB=2∠B, ∠FED=2∠B=∠B+∠EDB，∠EDB=∠B，∴ EB=ED，∴ EA+AB=EB=ED=CD，∴ AC+AB=CD.【考点】角角边证全等角边角证全等【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由题意易得：△ACD≌≌AED(SAS)，∴∠AED=∠C=90∘，CD=DE，AC=AE，∵∠C=90∘，∠ACB=2∠B，∴∠B=45∘，∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE=BE，∴AC+CD=AE+EB=AB，故答案为：BE，AB．(2)证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵ AD为∠BAC的角平分线时，∴∠BAD=∠CAD，∵ AD=AD，∴ △ADE≅△ADC(SAS)，∴ ∠AED=∠C, ED=CD，∵ ∠ACB=2∠B，∴ ∠AED=2∠B，∴ ∠B=∠EDB，∴ EB=ED，∴ EB=CD，∴ AB=AE+BE=AC+CD.猜想：AB+AC=CD．证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED.∵ AD平分∠FAC，∴ ∠EAD=∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD, AD=AD，∴△EAD≅△CAD(SAS)．∴ ED=CD，∠AED=∠ACD，∴ ∠FED=∠ACB．又∠ACB=2∠B, ∠FED=2∠B=∠B+∠EDB，∠EDB=∠B，∴ EB=ED，∴ EA+AB=EB=ED=CD，∴ AC+AB=CD.34.【答案】见解析【考点】已知两角及夹边作三角形已知三边作三角形已知两边及夹角作三角形【解析】先作∠PAD=∠α，再在射线AD上截取AC=a得到点C，即可得到符合要求的图形．【解答】作法：如图，aA—○以点O为圆心，c长为半径画弧，分别交么○的两边于点E，F；②画一条射线AP，以点A为圆心，毛长为半径画弧，交AP于点B；③以点B为圆心，EF长为半径画弧，与第③步中所画的弧相交于点D；④画射线AD；⑨以点A为圆心，ａ长为半径画弧，交AD于点C；⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．35.【答案】解：（1）相等的线段有：AD=AF=BC，AB=CD，DE=EF；（2）全等的三角形：△ADE≅△AFE；（3）在Rt△ABF中，BF=2−AB2=√102−82=6cm，∴FC=BC−BF=10−6=4cm，∵DE=EF，∴EF=8−EC，在Rt△CEF中，EC2+FC2=EF2，即EC2+42=(8−EC)2，解得EC=3cm．【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】（1）根据翻折变换的性质和矩形的对边相等解答；（2）根据翻折前后的两个三角形全等解答；（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理列式求出BF，然后求出FC，再用EC表示出EF，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）相等的线段有：AD =AF =BC ，AB =CD ，DE =EF ；（2）全等的三角形：△ADE ≅△AFE ；（3）在Rt △ABF 中，BF =√AF 2−AB 2=√102−82=6cm ，∴ FC =BC −BF =10−6=4cm ，∵ DE =EF ，∴ EF =8−EC ，在Rt △CEF 中，EC 2+FC 2=EF 2，即EC 2+42=(8−EC)2，解得EC =3cm ．36.【答案】证明：(1)∵ BE =CF ，∴ BE +EC =CF +EC ，即BC =EF ，在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE ，AC =DF ，BC =EF ，∴ △ABC ≅△DEF(SSS);(2)∵ △ABC ≅△DEF ，∴ ∠ABC =∠DEF ，∴ AB // DE ．【考点】边边边证全等全等三角形的判定全等三角形的性质平行线的判定【解析】（1）根据已知条件，通过全等三角形的判定定理SSS 证得△ABC ≅△DEF ；（2）△ABC ≅△DEF ，则全等三角形的对应角相等，利用平行线的判定定理得出AB // DE ．【解答】证明：(1)∵ BE =CF ，∴ BE +EC =CF +EC ，即BC =EF ，在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE ，AC =DF ，BC =EF ，∴ △ABC ≅△DEF(SSS);(2)∵ △ABC ≅△DEF ，∴ ∠ABC =∠DEF ，∴ AB // DE ．37.【答案】解：(1)△ABC与△DEF全等．理由如下：在Rt△ABC与Rt△DEF中，{BC=EFAC=DF，∴Rt△ABC≅Rt△DEF(HL)；（2）∠ABC+∠DFE=90∘，理由如下：由（1）知，Rt△ABC≅Rt△DEF，则∠ABC=∠DEF，∵∠DEF+∠DFE=90∘，∴∠ABC+∠DFE=90∘．【考点】全等三角形的应用【解析】（1）由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等；（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，可得∠ABC=∠DEF，再由∠DEF+∠DFE=90∘利用等量代换可得∠ABC+∠DFE=90∘．【解答】解：(1)△ABC与△DEF全等．理由如下：在Rt△ABC与Rt△DEF中，{BC=EFAC=DF，∴Rt△ABC≅Rt△DEF(HL)；（2）∠ABC+∠DFE=90∘，理由如下：由（1）知，Rt△ABC≅Rt△DEF，则∠ABC=∠DEF，∵∠DEF+∠DFE=90∘，∴∠ABC+∠DFE=90∘．38.【答案】答案见解析【考点】已知两角及夹边作三角形已知三边作三角形已知两边及夹角作三角形【解析】试题分析：首先作∠ABC=α,进而以B为圆心α的长为半径画弧，再以4为圆心α为半径画弧即可得出C的位置．试题解析：如图所示：△ABC即为所求【解答】此题暂无解答39.【答案】解：根据折叠的性质知：∠ABE=∠AFE=90∘，AB=AF=10cm，EF=BE，Rt△ADF中，AF=10cm，AD=8cm，由勾股定理得：DF=6cm，∴CF=CD−DF=10−6=4cm，在Rt△CEF中，CE=BC−BE=BC−EF=8−EF，由勾股定理得：EF2=CF2+CE2，即EF2=42+(8−EF)2，解得：EF=5cm．【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】根据折叠的性质知AB=AF=10cm，可在Rt△ADF中根据勾股定理求出DF的长，进而可求出CF的值；在Rt△CEF中，根据折叠的性质知BE=EF，可用EF表示出CE，进而由勾股定理求出EF的长．【解答】解：根据折叠的性质知：∠ABE=∠AFE=90∘，AB=AF=10cm，EF=BE，Rt△ADF中，AF=10cm，AD=8cm，由勾股定理得：DF=6cm，∴CF=CD−DF=10−6=4cm，在Rt△CEF中，CE=BC−BE=BC−EF=8−EF，由勾股定理得：EF2=CF2+CE2，即EF2=42+(8−EF)2，解得：EF=5cm．40.【答案】证明：∵EA=EB，∴∠EAB=∠EBA，∵∠DAE=∠CBE，∴∠DAB=∠CBA，在△ABD和△BAC中{∠DAB=∠CBA AB=BA ∠DBA=∠CAB∴△ABD≅△BAC(ASA)．【考点】全等三角形的判定【解析】由EA=EB可求得∠EAB=∠EBA，结合条件证明△ABD≅△BAC．【解答】证明：∵EA=EB，∴∠EAB=∠EBA，∵∠DAE=∠CBE，∴∠DAB=∠CBA，在△ABD和△BAC中{∠DAB=∠CBA AB=BA ∠DBA=∠CAB∴△ABD≅△BAC(ASA)．。

直角三角形第2课时 直角三角形全等的判定一、选择题:1. 两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等 （2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( )A. 30°B. 60°C. 30°和60°之间D. 以上都不对3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的 依据是( )A. AAS4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和 … △DEF 全等的是( )=DE,AC=DF =EF,BC=DF=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF5. 如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) 对; 对; 对; 对6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( ) |①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.个 个 个 个12A BCD第2题图 第5题图 第7题图 第8题图7. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠BAEFD8. 如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）]A．A B=AC B．∠BAC=90°C．B D=AC D．{∠B=45°二、填空题:9.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”.10.判定两个直角三角形全等的方法有______________________________.·11.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是_________________________________12.如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△________≌△________，其判定依据是________，还有△________≌△________，其判定依据是________．第11题图第12题图第13题图13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=_______…第14题图第15题图第16题图14.如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有对全等三角形.15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，PQ=AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP=_______时，△ABC≌△APQ．16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=________cm .《17.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度18.如图，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为__________m.第17题图第18题图）三、解答题:19. 如图，,于点，，平分交于点，请=⊥=∠AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F你写出图中三对．．全等三角形，并选取其中一对加以证明．【20.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.-(1)求证: Rt△AB E≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.21. 如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；&（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．：22. 已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.B AC D23. 如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.(1)用圆规比较EM与FM的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗B AE MF D—~"@参考答案一、选择题…二、填空题9. 斜边,直角边,HL 10. SSS 、ASA 、AAS 、SAS 、HL 11. BP=DP 或AB=CD 或∠A=∠C 或∠B=∠D ． ,DCB,HL,AOB,DOC,AAS. `13. 45° 14. 3 15. 4或8 16. 7 17. 90° 18. 500三、解答题】19.解：（1）ADB ADC △≌△、ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、BFD BFE △≌△、 ABE ACD △≌△（写出其中的三对即可）. （2）以△ADB ≌ADC 为例证明． 证明：,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=°.在Rt ADB △和Rt ADC △中，,,AB AC AD AD == ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.[20.解：（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt △ABE 和Rt △CBF 中,∵AE=CF, AB=BC, ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)(2) ∵AB=BC, ∠ABC=90°, ∴ ∠CAB=∠AC B=45°.∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由（1）知 Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF=∠BAE=15°, ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.?21.（1）证明：在△ACD 与△ABE 中，∵∠A=∠A ，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC ， ∴△ACD ≌△ABE ， ∴AD=AE ．（2）互相垂直，在Rt △ADO 与△AEO 中，—∵OA=OA ，AD=AE ， ∴△ADO ≌△AEO ， ∴∠DAO=∠EAO ， 即OA 是∠BAC 的平分线， 又∵AB=AC ， ∴OA ⊥BC ．22.证明：∵BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E ∴∠ADB=∠AEC=90° ∵∠BAC=90°∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD ∴∠ABD=∠CAE在△ABD 和△CAE 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE(AAS) ∴BD=AE,AD=CE ∵AE=AD+DE ∴BD=CE+DE23. 解：(1)EM=FM(2)作EH ⊥AM,垂足为H,FK ⊥AM,垂足为K 先说明Rt △EHA ≌Rt △ADB 得EH=AD Rt △FKA ≌Rt △ADC 得FK=AD 得EH=F K在Rt△EHK与Rt△FKM中,Rt△EHM≌Rt△FKM 得EM=FM.。

三角形全等的判定专题训练题1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。

求证：△ABD ≌△ACD 。

5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。

求证：AC ⊥CE 。

2、如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。

求证：△ABC ≌△EDF 。

3、 如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

4、 如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。

求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE6、如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。

求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。

7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN=BC 。

求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。

8、如图（8）：A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，（图1）DC B A F E （图2）D C BA FE （图3）D C B A E（图4）D CB A E （图5）DC B A G FE（图6）D C B AN M（图7）C BA求证：△ABE ≌△DCF 。

9、如图（9）AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

10、如图（10）∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE 。

求证：AB=AC 。

11、如图（11）在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，P 是BC 上任一点。

求证：PA=PD 。

12、如图（12）AB ∥CD ，OA=OD ，点F 、D 、O 、A 、E 在同一直线上，AE=DF 。

求证：EB ∥CF 。

13、如图（13）△ABC ≌△EDC 。

求证：BE=AD 。

三角形全等的判定同步练习基础巩固一、填空题1.能够________的两个图形叫做全等形。

两个三角形重合时,互相_______的顶点叫做对应顶点。

记两个三角形全等时,通常把________•顶点的字母写在_____的位置上.2。

如图1，AB ∥EF ∥DC,∠ABC ＝900,AB ＝DC ，那么图中有全等三角形 对.图13.如图2,△ABC ≌△ADE,若∠D=∠B ，∠C=∠AED,则∠DAE= ,∠DAB= .DCB E A图24。

如图3,△ABD ≌△CDB,若AB=4，AD=5，BD=6,则BC=______,CD=______。

DC B A图35.观察下列图形的特点：图4有几组全等图形？请一一指出: 。

6。

如图5所示, 已知△AOB ≌△COD ， △COE ≌△AOF ， 则图中所有全等三角形中, 对应角共有______对，共有______组对应线段相等。

二、选择题7。

下列说法正确的个数有( )①形状相同的两个图形是全等形;②对应角相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的面积相等；④若△ABC ≌△DEF, △DEF ≌△MNP, 则△ABC ≌△MNP 。

A.0个B.1个C.2个D.3个8。

下列说法中不正确的是（ ）A.一个直角三角形与一个锐角三角形一定不会全等B 。

两个等边三角形是全等三角形C 。

斜边相等的两个等腰直角三角形是全等三角形D 。

若两个钝角三角形全等， 则钝角所对的边是对应边9.如图6所示，若B 、E 、F 、C 在同一条直线上, AB ∥CD ， AE ∥FD, 若△ABE 与△CDF 全等, 指出图中相等的线段和相等的角.10。

如图7所示, 已知△ABE ≌△ACD ， 指出它们的对应边和对应角。

11.下列图形中， ①平行四边形; ②正方 D C B A E F 图6 A D BE C图7D E C OA F B图5形; ③等边三角形; ④等腰三角形. 能用两个全等的直角三角形拼成的图形是（ ）A 。

《三角形全等的判定-HL》同步练习一、选择——基础知识运用1．下列说法中，正确的个数是（）①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，且交于点O，则下面正确的是（）A．图中共有五个三角形，它们不全等B．图中只有四个全等的直角三角形C．图中有四对全等直角三角形D．图中有四个全等的直角三角形，两对全等的等腰三角形3．如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，AD=BC，∠C=∠D=90°，下列结论中不成立的是（）A．∠DAE=∠CBE B．CE=DEC．△DAE与△CBE不一定全等D．∠1=∠25．如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=OFE．其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AB；③△BRP≌△CSP，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、解答——知识提高运用7．如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥CD，且AE=OD，求证：△AOD≌△DEA。

8．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE．求证：BC=BE。

9．如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC 才能和△APQ全等。

八年级数学三角形全等的判定(全等三角形)基础练习试卷简介:全卷共6个选择题，2个填空题，5个证明题，分值100，测试时间30分钟。

本套试卷立足基础，主要考察了学生对全等三角形基本性质的判定。

各个题目难度不一，但是思路类似，学生在做题过程中可以回顾本章知识点，认清自己对知识的掌握及灵活运用程度。

学习建议:本讲主要内容是勾股定理及其逆定理的概念及运用，不仅是中考常考的内容之一，更是几何数学的重要内容之一。

本章题目灵活多变，同学们可以在做题的同时加强三角形全等判定条件的理解，并且关注问题的解决过程及解题思路的多样性。

一、单选题(共6道，每道5分)1.如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，则在下列条件中，无法判定△ABE≌△ACD的是（）A.AD=AEB.AB=ACC.BE=CDD.∠AEB=∠ADC答案：D解题思路：已知条件有∠B=∠C，∠A=∠A，如果再加上∠AEB=∠ADC，就是说△ABE和△ACD 的三个内角对应相等，如果两个三角形三个内角分别相等，这两个三角形不一定全等，所以D选项为正确答案易错点：对三角形全等的判定条件不熟悉试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定2.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去答案：C解题思路：如果只带①去或者带①和②去，那么只有一个已知角，无法判断出三角形的三边长；如果只带②去，没有一条边是已知的，同样判断出三角形的三边长；如果带③去，相当于已知了三角形的两个角和一条边，那么根据三角形全等ASA的判别条件，是可以配出一块和原来的三角形玻璃完全一样的玻璃的易错点：对三角形全等的判定条件不会灵活应用试题难度：五颗星知识点：全等三角形的判定3.如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DFE（）A.BC=EFB.∠A=∠DC.AC∥DFD.AC=DF答案：D解题思路：由已知条件可知，AB=DE，BE+EC=CF+EC，即BC=EF，只要再有∠B=DEF（SAS）或AC=DF（SSS）就可以推证△ABC≌△DFE易错点：对三角形全等的判定条件不会熟练应用试题难度：四颗星知识点：全等三角形的判定4.如图，给出下列四组条件：① AB=DE，BC=EF，AC=DF；② AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③ ∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④ AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A.1组B.2组C.3组D.4组答案：C解题思路：①利用了SSS可以使得△ABC≌△DEF，②利用了SAS可以使得△ABC≌△DEF，③利用了ASA可以使得△ABC≌△DEF，④利用SSA不能使△ABC≌△DEF，故满足条件的共有3组易错点：对三角形全等的判定条件掌握不牢固试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定5.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：① AB=AE；② BC=ED；③ ∠C=∠D；④ ∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A.4个B.3个C.2个D.1个答案：B解题思路：由∠1=∠2可得∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠BAC=∠EAD，结合已知条件，①给出的条件是利用了SAS，可以判定△ABC≌△AED；②给出的条件是SSA，不能判定△ABC≌△AED；③给出的条件是利用了ASA，可以判定△ABC≌△AED；④给出的条件是利用了AAS，可以判定△ABC≌△AED.故满足条件的有3个易错点：对三角形全等的判定条件掌握不牢固试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定6.以下说法正确的是（）①两个等边三角形全等；②有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；③一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；④有一条直角边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等；A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④答案：D解题思路：两个等边三角形，由于边的关系不知道，不能判定出全等，①错误；②描述的条件是AAS，可以判定出全等，正确；③描述的是AAS或ASA，可以判定出全等，正确；④中条件也可以判定出直角三角形的全等，正确易错点：对三角形全等的判定条件掌握不熟练试题难度：四颗星知识点：全等三角形的判定二、填空题(共2道，每道5分)1.已知，如图：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明ΔABC≌ΔDEF（1）若以“ASA”为依据，还缺条件_____________ .（2）若以“AAS”为依据，还缺条件_____________ .（3）若以“SAS”为依据，还缺条件_____________.答案：（1）∠BAC=∠EDF （2）∠ACB=∠DFE （3）BC=EF易错点：对三角形全等的几种判定条件没有牢固掌握试题难度：四颗星知识点：全等三角形的判定2.在△ACD和△ABD中, ∠C=∠B=90°, 要使△ACD≌△ABD, 还需增加一个条件是_________答案：CD=BD或AC=AB或∠CAD=∠BAD或∠ADC=∠ADB易错点：对直角三角形全等的几种判定条件掌握不熟练,或者考虑不全面试题难度：四颗星知识点：全等三角形的判定三、证明题(共5道，每道12分)1.如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB = AC，∠B = ∠C（1）根据上述条件你能得到全等三角形吗？（2）求证：OB=OC答案：（1）因为AB = AC，∠B = ∠C，∠A=∠A，所以△ABE≌△ACD （2）由（1）知，△ABE≌△ACD，所以AE=AD，又因为AB=AC，所以BD=CE，又因为∠B = ∠C，∠BOD=∠COE，所以△BOD≌△COE（AAS），故OB=OC易错点：对三角形全等的判定条件角角边掌握不熟练试题难度：四颗星知识点：全等三角形的性质2.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证AC=AD答案：∠3=∠1+∠D，∠4=∠2+∠C，因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠D=∠C，又因为AB=AB，所以△ABD≌△ABC（AAS）易错点：对三角形全等的判定条件角角边掌握不熟练试题难度：四颗星知识点：全等三角形的判定3.已知C是线段AB的中点，CD=CE，DA⊥AB，EB垂直AB，求证：DA=EB.答案：因为C是线段AB的中点，所以AC=BC，因为DA⊥AB，所以∠A=∠B=90°，又CD=CE，所以△ACD≌△BCE（HL），所以DA=EB易错点：对直角三角形全等的判定条件HL掌握不熟练试题难度：四颗星知识点：全等三角形的判定4.如图，△ABC中，AB=AC,AD是高，求证：（1）BD=CD;(2)∠BAD=∠CAD.答案：（1）因为AD是△ABC的高，所以∠ADB=∠ADC=90°，根据勾股定理，BD²=AB²-AD²，CD²=AC²-AD²，因为AB=AC，所以BD²=CD²，即BD=CD （2）因为AB=AC，AD=AD，BD=CD，所以△ABD≌△ACD（SSS），所以∠BAD=∠CAD易错点：对勾股定理及三角形全等边边边的判定条件掌握不熟练试题难度：四颗星知识点：全等三角形的判定5.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F.在图中找出一对全等三角形，并加以证明答案：△ADE≌△DCF解题思路：由已知条件，因为∠DAE+∠ADE=∠CDF+∠ADE=90°，所以∠DAE=∠CDF，又因为AD=DC，∠AED=∠DFC=90°，所以△ADE≌△DCF（AAS）易错点：对三角形全等的判定条件掌握不牢固试题难度：五颗星知识点：全等三角形的判定。

三角形全等的判定同步练习一、选择题1、下列说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．其中正确的有（）．A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 [ ]．A．2个 B．4个 C．6个 D．8个(第2题图) (第3题图) (第4题图) (第7题图)3、方格纸中，每个小格顶点叫做一个格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，在4×4的方格纸中，有两个格点三角形△ABC、△DEF，下列说法中成立的是（）A、∠BCA=∠EDFB、∠BCA=∠EFDC、∠BAC=∠EFDD、两个三角形中，没有相等的角4、如图，△ABC≌△DCB，若∠A=80°，∠ACB=40°，则∠BCD等于（）A．80° B．60° C．40° D．20°5、下列说法正确的是（）A、全等三角形是指周长和面积都一样的三角形;B、全等三角形的周长和面积都一样 ;C、全等三角形是指形状相同的两个三角形;D、全等三角形的边都相等6、下列两个三角形中，一定全等的是（）A. 两个等边三角形B. 有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形C. 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形D. 有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形7、如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB<BD，若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为 ( )A．AE=CD B．AE>CD C．AE<CD D．无法确定8、如图, 小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A.PO B．PQ C．MO D．MQ(第8题图) (第9题图) (第10题图) (第11题图)9、如图,D、E、F是△ABC三边的中点,且DE∥AB,DF∥AC,EF ∥BC, 平移△AEF可以得到的三角形是( )A.△BDFB.△DEFC.△CDED.△BDF和△CDE10、如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°二、填空题11、如图，铁路上A，B两站（视为线上两点）相距25千米，C，D为铁路同旁两个村庄（视为两点），DA⊥AB于A点，CB⊥AB于B点，DA＝15千米，CB＝10千米，现在要在铁路AB 上修一个土特品回购站E，使C，D两村庄到E站的距离相等，则E站应建在距A站______千米处．12、如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点B在直线PQ上，AD⊥PQ于D，CE⊥PQ于E，且AD=2cm，DB=4c m，则梯形ADEC的面积是 _____．(第12题图) (第13题图) (第14题图) (第15题图)13、将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图17的位置, 若∠AOD=110°,则∠BOC=____°14、如图，和都是边长为4的等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的长为 .15、如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有对（填数字）16、如图，若△ABC ≌△ADE ，∠EAC=35, 则∠BAD =________度.(第16题图) (第17题图)17、如图,△ABC的三个顶点分别在格子的3个顶点上,请你试着再在图中的格子的顶点上找出一个点,使得△DBC与△ABC全等,这样的三角形有个．18、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；（2）另一个三角板CDE•的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？三、简答题19、一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将两张三角形纸片摆成如图18的形式，使点B，F，C， D在同一条直线上．（1）你能说明AB⊥DE吗？（2）若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予说明．20、如图，已知M在AB上，BC=BD，MC=MD．请说明：AC=AD．21、如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=BE，（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并说明理由，你添加的条件是理由是：（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形（只要求写出一对全等三角形，不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母，不必说明理由。

三角形全等的判定要点感知1 斜边和一条_______分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成_____或“_____〞).预习练习1-1 如图,∠B=∠E=90°,AB=DE,AC=DF,那么△ABC≌△DEF的理由是( )要点感知2 直角三角形全等除“HL〞外,还有SSS,SAS,ASA,AAS都适合.预习练习2-1 以下命题：①两直角边分别相等的两个直角三角形全等；②两锐角分别相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等；④一锐角和一直角边分别相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和斜边分别相等的两个直角三角形全等.其中,正确的命题有_____.(填写正确的序号)知识点1 用“HL〞判定直角三角形全等1.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD，Rt△ABC与Rt△BAD全等吗？为什么？2.，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，求证：AD平分∠BAC.3.如图，∠ACB=∠CFE＝90°，AB=DE，BC=EF，求证：AD=CF.知识点2 直角三角形全等的判定方法的选用4.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如图，那么以下各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°5.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF.(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；(2)选择一对你认为全等的三角形说明理由.6.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,DE⊥BC,AC=6,EC=6,∠ACB=60°,那么∠ACD的度数为( )°°°°7.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,一条线段PQ=AB,点P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,当AP=_____时,才能使△ABC≌△QPA.8.如图，方格纸中是4个相同的正方形，那么∠1+∠3=_____.9.如图,AE=DE,AB⊥BC,DC⊥BC,且AB=EC.求证：BC=AB+DC.10.如图,在△ABC中,AD是中线,分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF,垂足分别为点E，F.求证：BE=CF.11.如下图,AB＝CD,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F，且BF=DE，求证：AB∥CD.12.如图,AD，AF分别是两个钝角△ABC和△：BC=BE.挑战自我13.：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等,且OB=OC.(1)如图1,假设点O在边BC上,求证：∠ABO=∠ACO；(2)如图2,假设点O在△ABC的内部,求证：∠ABO=∠ACO.参考答案课前预习要点感知1 直角边斜边、直角边 HL预习练习1-1 D预习练习2-1 ①③④⑤当堂训练1.Rt△ABC≌Rt△BAD.理由如下：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C＝∠D＝90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB＝BA，AC ＝BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).2.证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=AC，AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.3.证明：∵∠ACB=∠CFE＝90°，∴∠ACB=∠DFE=90°.在Rt△ACB和Rt△DFE中，AB=DE，BC=EF，∴Rt△ACB≌Rt △DFE(HL).∴AC=DF.∴AC-AF=DF-AF，即AD=CF.4.B5.(1)△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD，△ABD≌△ACD.(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF是直角三角形.∵D 是BC的中点，∴∵BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).课后作业6.B7.CB8.90°9.证明：∵AB⊥BC,DC⊥BC,∴∠B=∠C=90°.在Rt△ABE和Rt△ECD中,AE=DE,AB=EC,∴Rt△ABE≌Rt△ECD.∴BE=CD.∵BC=BE+EC,∴BC=AB+DC.10.证明：∵在△ABC 中,AD 是中线,∴BD=CD.∵CF ⊥AD,BE ⊥AD,∴∠CFD ＝∠BED ＝90°.在△BED 与△CFD 中,∵∠BED ＝∠CFD,∠BDE ＝∠CDF,BD ＝CD,∴△BED ≌△CFD(AAS).∴BE=CF.11.证明：∵DE ⊥AC,BF ⊥AC,∴∠AFB=∠CED=90°.在Rt △ABF 和Rt △CDE 中,AB=CD ， BF=DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL).∴∠BAF=∠DCE.∴AB ∥CD.12.证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高,∴∠ADB=∠AFB=90°.∵AB=AB ，AD=AF ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF.∴DB=FB.∵AC=AE,AD =AF ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE.∴DC=FE.∴DB-DC=FB-FE,即BC=BE. 13.(1)证明：过点O 作OE ⊥AB 于E,作OF ⊥AC 于F,那么∠BEO=∠CFO=90°∵OB=OC,∴Rt △BOE ≌Rt △COF(HL).∴∠ABO=∠ACO.(2)证明：过点O 分别作OE ⊥AB,OF ⊥AC,E ，F 分别是垂足,那么∠BEO=∠CFO=90°,OE=OF.又OB=OC,∴Rt △OEB ≌Rt △OFC.∴∠EBO=∠∠ABO=∠ACO.整式的乘法根底题—初显身手1．以下运算正确的选项是( ) A ．－2(a －b )＝－2a －b B ．－2(a －b )＝－2a ＋b C ．－2(a －b )＝－2a －2b D ．－2(a －b )＝－2a ＋2b2．5m (m －n ＋2)＝5m 2－5mn ＋10m ．3．－6x (x －3y )＝－6x 2＋18xy ．能力题—挑战自我4．x (1＋x )－x (1－x )等于( ) A ．0 B ．2x 2 C ．2x D ．－2x ＋2x 25．(－3a 2＋b 2－1)(－2a )等于( )A ．6a 3－2ab 2B ．6a 3－2ab 2－2aC ．－6a 2＋2ab －2aD ．6a 3－2ab 2＋2a . 6．以下各题计算正确的选项是( ) A ．(ab －1)(－4ab 2)＝－4a 2b 3－4ab 2 B ．(3x 2＋xy －y 2)·3x 2＝9x 4＋3x 3y －y 2 C ．(－3a )(a 2－2a ＋1)＝－3a 3＋6a 2 D ．(－2x )(3x 2－4x －2)＝－6x 3＋8x 2＋4x 7．如图是L 形钢条截面，它的面积为(B ) A ．ac ＋bc B ．ac ＋c (b －c ) C ．(a －c )c ＋(b －c )c D ．(a －b )c ＋(b －c )b8．现规定一种运算：a *b ＝ab ＋a －b ，其中a ，b 为实数，那么a *b ＋(b －a )*b 等于( B ) A ．a 2－b B ．b 2－b C ．b 2 D ．b 2－a9．要使(x 2＋ax ＋1)(－6x 3)的展开式中不含x 4项，那么a 应等于( D )A ．6B ．－1C ．16D ．010．x －x (x －1)＝2x －x 2．11．有一个长方形，它的长为3a ，宽为(7a ＋2b )，那么它的面积为21a 2＋6ab ．12．3x n y n ＋1(－2x n －3－3x 5y 5)＝－6x 2n －3y n ＋1－9x n ＋5y n ＋6．13．ab [ab (ab －1)＋1]＝a 3b 3－a 2b 2＋ab ． 34πm 2． 14．如图，阴影局部的面积为14．观察以下等式：1×(1＋2)＝12＋2×1，2×(2＋2)＝22＋2×2，3×(3＋2)＝32＋2×3，……，那么第n 个等式可以表示为n (n ＋2)＝n 2＋2n ．15．ab 2＝－3，那么－ab (a 2b 5－ab 3－b )＝33．16．计算：(1)(－7x 2y )(2x 2y －3xy 2＋xy ) (2) (－13xy 2)2·［xy (2x －y )＋xy 2］解：(1)原式＝(－7x 2y )·2x 2y －(－7x 2y )·3xy 2＋(－7x 2y )·xy )＝－14x 4y 2＋21x 3y 3－7x 3y 2． (2)原式＝19x 2y 4·［2x 2y －xy 2＋xy 2］＝19x 2y 4·(2x 2y )＝29x 4y 5．17．化简求值：m 2(m ＋3)＋2m (m 2－1)－3m (m 2＋m －1)，其中m ＝25．解：原式＝m 3＋3m 2＋2m 3－2m －3m 3－3m 2＋3m ＝m ＝25．18．下面是小明和小红的一段对话：小明说：“我发现，对于代数式x (3x ＋2)－3 (x 2＋3x )＋7x －2，当x ＝2021和x ＝2021时，值居然是相等的．〞 小红说：“不可能，对于不同的值，应该有不同的结果．〞在此问题中，你认为谁说的对呢？说明你的理由．原式＝3x 2＋2x －3x 2－9x ＋7x －2＝－2，这个代数式的结果与x 无关，所以小明是对的．19．如果一个三角形的底边长为2x 2y ＋xy －y 2，高为6xy ，那么这个三角形的面积是多少？ 解：12(2x 2y ＋xy －y 2)·6xy ＝3xy (2x 2y ＋xy －y 2)＝6x 3y 2＋3x 2y 2－3xy 3．答：三角形的面积为6x 3y 2＋3x 2y 2－3xy 3．拓展题—勇攀顶峰20．规定表示ab －c ，表示ad －bc ，试计算－的结果．解：原式＝[x (x ＋1)－x 2]－[x (2x －1)－3x ·4x ]＝(x 2＋x －x 2)－(2x 2－x －12x 2)＝x －(－10x 2－x )＝x －10x 2＋x ＝－10x 2＋2x ．21．假设2x 2·(x 2＋mx ＋n )＋x 2的结果中不含x 3项和x 2项．试求m ，n 的值．解：2x 2·(x 2＋mx ＋n )＋x 2 ＝2x 4＋2mx 3＋2nx 2＋x 2＝2x 4＋2mx 3＋(2n ＋1)x 2，因为展开的结果中不含x 3项和x 2项，所以有2m ＝0且2n ＋1＝0，解得m ＝0，n ＝－12．警示:一般来说，为了简化运算，能合并同类项的可先合并同类项，减少项数，再进行下一步的运算．。

12.2三角形全等的判定HL学校： 班级： 学号： 姓名： 成绩：1 .判断①两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕 ②有两角分别对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕 ③有一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕 ④斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 〔 〕2. 在Rt △ABC 和Rt △AB /C /中，∠C=∠C /=90°，以下条件中能判定Rt △ABC ≌Rt △A /B /C /的个数有〔 〕(1)AC=A /C / ,∠A=∠A / ；〔2〕AC=A /C / ，AB=A /B /；〔3〕AC=A /C / ，BC=B /C / ；〔4〕AB=A /B / ,∠A=∠A/3. 如图在△ABC 与△ADC 中，∠B ＝∠D ＝90°，假设利用“AAS 〞证明△ABC ≌△ADC ，那么需添加条件 或 ；假设利用“HL 〞证明证明△ABC ≌△ADC ，那么需添加条件 或 .4. 如图，AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ，AC 交BD 于点O ，假设AC=DB ，那么以下结论不正确的选项是〔 〕A.∠A=∠DB.∠ABC ≌∠DCBC.OB=ODD.OA=OD 5. 如下图，△ABC 中，∠BAD=∠CAD，要判断△ABD≌△ACD: (1)根据SAS 还需要添加的最少条件是： (1)根据ASA 还需要添加的最少条件是：(1)根据AAS 还需要添加的最少条件是：(1)根据HL 还需要添加的最少条件是：6． 如下图，∠B=∠ACD,∠ACB=∠D=90°，AC 是△ABC 和△ACD 的公共边。

能否判断△ABC≌△ACD？请说明理由。

A DB COD B CA第3题图 第4题图 第5题图 A DB7.，如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=CB，求证：△AB D ≌△CDB。

8. 如图，AB=CD ，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF，求证：AE=DF。

八年级数学上册《第十二章三角形全等的判定》同步练习题含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列各组图形中，是全等形的是（）A．两个含30°角的直角三角形B．一个钝角相等的两个等腰三角形C．边长为5和6的两个等腰三角形D．腰对应相等的两个等腰直角三角形2．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，则∠EDF等于（）A．90°−∠A B．90°−12∠A C．180°−∠A D．45°−12∠A3．如图，AC与BD交于O，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需（）A．AB=DC B．OB=OC C．∠A=∠D D．∠AOB=∠DOC4．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（）A．10 B．8 C．6 D．45．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG∥BC6．小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO=OC，CD⊥BC，点A、O、D 在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，从而可通过测量CD的长度得知小河的宽度AB．在这个问题中，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．HL7．已知等边三角形ABC的边长为12，点P为AC上一点，点D在CB的延长线上，且BD=AP，连接PD交AB 于点E，PE⊥AB于点F，则线段EF的长为（）A．6 B．5C．4.5 D．与AP的长度有关8．如图，已知AB=AC，∠B=∠C，∠1=∠2给出下列结论：①AE=AF；②AM=AN；③BM=CN；④DM=DN正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．如图，AB＝DE，AF＝DC，EF＝BC，∠AFB＝70°，∠CDE＝80°，∠ABC＝.10．如图由6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3= ．11．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6.延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为秒时，△ABP和△DCE全等.12．如图，有一块三角形的玻璃，不小心掉在地上打成三块，现要到玻璃店重新划一块与原来形状、大小一样的玻璃，只需带第块到玻璃店去．13．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=5cm，DE=3.4cm，则BE= ．三、解答题14．如图，ΔABC为等边三角形，点M，N分别在BC，AC上，且BM=CN，AM与BN交于Q点.求：∠AQN的度数.15．如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AD＝BC.16．如图C、E分别在AB、DF上，O是CF的中点EO=BO，求证：∠ACE+∠DEC=180°．17．如图，AB=AD，∠BAD=∠CAE，AC=AE，求证：BC=DE．18．如图，已知：BE⊥CD于E，F为线段BC上一点，DF交BE于点A，BE＝DE，CB＝AD．（1）求证：∠B＝∠D；（2）求证：DF⊥BC．19．在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路．如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点 A 在 OM 上，此时，在射线ON上截取 OB=OA，连结 BC，根据三角形全等的判定方法(SAS)，容易构造出全等三角形△OBC 和△OAC，参考上面的方法，解答下列问题：（1）如图2，在△ABC 中，AD是∠BAC的平分线，E，F 分别为AB，AC上的点，且∠AED+∠AFD=180°．求证：DE=DF．（2）如图3，在非等边△ABC 中，∠B=60°，AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，且AD，CE 交于点F，求证：AC=AE+CD．参考答案1．D2．B3．B4．C5．B6．B7．A8．D9．30∘10．135°.11．1或712．③13．1.6cm14．解：∵ΔABC为等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°.在△ABM与△BCN中，∵{AB=BC∠ABC=∠C=60°BM=CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM=∠NBC，∴∠AQN=∠BAM+∠ABQ=∠NBC+∠ABQ=∠ABM=60°，∴∠AQN=60°15．证明：∵∠C＝∠D＝90°∴△ACB和△BDA是直角三角形在Rt△ACB和Rt△BDA中{AB=BAAC=BD∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）∴AD=BC.16．证明：∵O是CF的中点∴CO=FO在△BOC和△EOF中{CO=FO∠BOC=∠EOF BO=EO∴△BOC≌△EOF（SAS）∴∠B=∠OEF∴AB∥DF∴∠ACE+∠DEC=180°．17．证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中{AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE∴△ABC≌△ADE（SAS），∴BC=DE18．（1）证明：∵BE⊥CD∴∠BEC=∠DEA=90°在RtΔBEC和RtΔDEA中：{BE=DECB=AD∴RtΔBEC≅RtΔDEA(HL)∴∠B=∠D；（2）证明：∵∠DAE=∠BAF，∠B=∠D∴∠DAE+∠D=∠BAF+∠B∴180°−(∠DAE+∠D)=180°−(∠BAF+∠B)∴∠BFA=∠DEA=90°∴DF⊥BC．19．（1）证明：如图1，在AB上截取AK=AF，连结KD∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD.在△AKD和△AFD中∴△AKD≌△AFD(SAS)∴DK=DF，∠AKD=∠AFD∵∠AED+∠AFD=180°∠EKD+∠AKD=180°∵，∠AED=∠EKD∴DE=DK∴DE=DF（2）证明：如图2，在AC 上截取AG=AE ，连接FG∵AD 是∠BAC 的平分线，CE 是∠BCA 的平分线∴∠1=∠2，∠3=∠4在△AEF 和△AGF 中 ∴△AEF ≌△AGF(SAS)∴∠AFE=∠AFG∵∠B=60°∵.∠BAC+∠ACB=120°∵.∠2+∠3= 12 (∠BAC+∠ACB)=60°，∵∠AFE=∠2+∠3，∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，∴∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°∴∠CFD=∠CFG在△CFG 和△CFD 中 {∠CFG =∠CFDFC =FC ∠3=∠4∴△CFG ≌△CFD(ASA)∴CG=CD∴AC=AG+CG=AE+CD。

八年级数学上册《三角形全等的判定》练习题及答案学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．如图，//BC EF ，BC EF =，要使得ABC DEF △≌△，需要补充的条件不能是（ ）A ．B E ∠=∠ B ．AB DE =C ．AD CF = D ．//AB DE2．如图，已知ABC ，用直尺和圆规按以下步骤作出DEF ．（1）画射线DM ，以点D 为圆心，AB 长为半径画弧，与DM 交于点E ；（2）分别以D ，E 为圆心，线段AC ，BC 长为半径画弧，两弧相交于点F ；（3）连接DF ，EF ．则能用于证明ABC DEF ≌△△的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS3．如图，由AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，便可证得BAD ∠CAE ，其全等的理由是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS4．如图，在矩形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，点F 是CD 边上一点（不与点D 重合）．点P 为DE 上一动点，PE PD <，将DPF ∠绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA 于H ，G 两点，有下列结论：∠DH DE =；∠DP DG =；∠DG DF +；∠DP DE DH DC ⋅=⋅，其中一定正确的是（ ）A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠5．已知：如图AB //EF ，BC ∠CD ，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（ ）A ．βαγ∠=∠+∠B ．180αβγ∠+∠+∠=C ．90αβγ∠+∠-∠=D ．90βγα∠+∠-∠=6．如图所示，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ∠BC ，EG ∠CD ，垂足分别是F 、G ．若CG ＝3，CF ＝4，则AE 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．7二、填空题7．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，线段PQ AB =，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP =__________时，ABC 和PQA △全等．8．如图，AB 是∠O 的直径，AC 是∠O 的切线，A 为切点，连接BC ，与∠O 交于点D ，连接OD ．若82AOD ∠=︒，则C ∠=_________︒．9．正方形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，4）．若反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象经过点C ，则k 的值为 _____．10．如图，已知l 1∠l 2，MN 分别和直线1l 、2l 交于点A 、B ，ME 分别和直线1l 、2l 交于点C 、D ，点P 在MN 上（P 点与A 、B 、M 三点不重合）如果点P 在直线AB 运动时，α∠、β∠、γ∠之间有何数量关系______．11．如图，EFG 和HIJ 都是等边三角形，连接HG ，EI 交于点P ，则EPH ∠=_________度．12．如图，ABC 中，AB AC =，AD BD ⊥于点D ，20BAD ∠=︒，若2BC BD =，则BAC ∠的度数为 _____．三、解答题13．如图，已知ABC（1）用直尺和圆规按下列要求作图：（保留作图痕迹）在BC 上作点D ，使点D 到AB 和AC 的距离相等；过点B 作//BE AD 交CA 的延长线于E ；（2）若AF BE ⊥，垂足为F ，证明BF EF =．14．在∠ABC 中，D 是BC 的中点，DE ∠AB ，DF ∠AC ，垂足分别是E ，F ．(1)若BE ＝CF ，求证：AD 是∠ABC 的角平分线．(2)若AD 是∠ABC 的角平分线，求证：BE ＝CF ．15．如图，AB CD ，AD 与BC 交于点O ，40C ∠=︒，80AOB ∠=︒，求A ∠的度数．16．在ABC 中，AB AC =，D 是BC 边的中点，E 、F 分别是AD 、AC 边上的点．(1)如图∠，连接BE 、EF ，若ABE EFC ∠=∠，求证：BE EF =；(2)如图∠，若B 、E 、F 在一条直线上，且45ABE BAC ∠=∠=︒，探究BD 与AE 的数量之间有何等量关系，并说明理由；17．如图，在Rt DEF △和Rt ABC 中，90D A ∠=∠=︒，30E ∠=︒，45C ∠=︒，AC 与DF 相交于点G ，若105FGC ∠=︒，请判断EF 与BC 是否平行？并说明理由．18．如图，点D ，E 分别在OA ，OB 上，点P 在OC 上，且PD PE =．若180ODP OEP ∠+∠=︒，求证：OC 平分AOB ∠．参考答案：1．B【分析】根据全等三角形的判定定理判断解答即可．【详解】解：A 、∠BC ∠EF ，∠∠ACB =∠DFE ，又∠B =∠E ，BC =EF ，∠∠ABC ∠∠DEF （ASA ），正确，不符合题意；B 、根据全等三角形的判定定理，不能证明∠ABC ∠∠DEF ，错误，符合题意；C 、∠BC ∠EF ，∠∠ACB =∠DFE ，∠AD=CF ，∠AD+DC=CF+DC ，∠AC=DF ，∠BC=EF ，∠ACB =∠DFE ，AC=DF ，∠∠ABC ∠∠DEF （SAS ），正确，不符合题意；D 、∠BC ∠EF ，AB ∠DE ，∠∠ACB =∠DFE ，∠BAC =∠EDF ，又BC=EF ，∠∠ABC ∠∠DEF （AAS ），正确，不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键．2．A【分析】根据作图方法可知，DE AB =，DF AC =，EF BC =，由此可解．【详解】解：根据作图的步骤（1）知DE AB =，由步骤（2）知DF AC =，EF BC =，根据三组边对应相等（SSS ），可证ABC DEF ≌△△． 故答案为：A ．【点睛】本题考查尺规作图和全等三角形的判定，根据作图的方法判断出两个三角形的三条边对应相等是解题的关键．3．C【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可．【详解】解：在BAD 和CAE 中，A A AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠BAD ∠CAE ()ASA ，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．4．D【分析】根据旋转的性质判断得()GPH DPF ASA ∆≅∆，可判断∠正确，证PDHCDE ∆∆可判断∠正确，从而得出结果.【详解】解：根据旋转的性质可知，90DPH GPF ∠=∠=︒，∠DE 平分ADC ∠，∠45HDP ∠=︒，∠45DHP PDH PDF ∠=∠=∠=︒，∠PH =PD ，∠90DPH GPF ∠=∠=︒∠GPH DPF ∠=∠在GPH ∆和DPF ∆中， ∠GHP FDP PH PD GPH DPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠()GPH DPF ASA ∆≅∆∠HG DF =∠45PDH ∠=︒∠DH =∠DF DG GH DG DH +=+==故∠正确；∠45PDH PDF ∠=∠=︒，90DPH DCE ∠=∠=︒∠PDHCDE ∆∆ ∠DH DP DE CD= 即DP DE DH DC ⋅=⋅，故∠正确；根据已知条件无法证明∠DH =DE ，∠DP =DG .故选：D ．【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．5．C【分析】分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，由平行线的性质可得到最终结果．【详解】如图，分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，,,,,,,90,90,AB EF AB CM DN EF BCM MCD NDC NDE BC CD BCD BCM MCD NDCNDE αγααβαβγ∴∴∠=∠∠=∠∠=∠⊥∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒∴∠+∠-∠=︒故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即∠两直线平行，同位角相等；∠两直线平行，内错角相等；∠两直线平行，同旁内角互补．6．C【分析】由“SAS”可证△ABE ∠∠CBE ，可得AE =CE ，可证四边形CFEG 是矩形，可得GC =EF =3，∠EFC =90°，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，连接CE ，∠四边形ABCD 是正方形，∠AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°，在△ABE 和△CBE 中，AB BC ABE CBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABE ∠∠CBE （SAS ），∠AE ＝CE ，∠EF ∠BC ，EG ∠CD ，∠BCD ＝90°，∠四边形CFEG 是矩形，∠GC ＝EF ＝3，∠EFC ＝90°，∠CE5，∠AE ＝5，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．7．5或10【分析】当AP ＝5或10时，∠ABC 和∠PQA 全等，根据HL 定理推出即可．【详解】解：∠∠C ＝90°，AO ∠AC ，∠∠C ＝∠QAP ＝90°，∠当AP ＝5＝BC 时，在Rt ∠ACB 和Rt ∠QAP 中∠AB PQ BC AP =⎧⎨=⎩， ∠Rt ∠ACB ∠Rt ∠QAP （HL ），∠当AP ＝10＝AC 时，在Rt ∠ACB 和Rt ∠P AQ 中AB PQ AC AP =⎧⎨=⎩， ∠Rt ∠ACB ∠Rt ∠P AQ （HL ），故答案为：5或10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA ，AAS ，SAS ，SSS ，HL ．8．49【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠B =12∠AOD =41°，根据AC 是∠O 的切线得到∠BAC =90°，即可求出答案．【详解】解：∠∠AOD =82°，∠∠B =12∠AOD =41°，∠AC 为圆的切线，A 为切点，∠∠BAC =90°，∠∠C =90°-41°=49°故答案为49．【点睛】此题考查圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形两锐角互余，正确理解圆周角定理及切线的性质定理是解题的关键．9．24【分析】过点C 作CE ∠y 轴，由正方形的性质得出∠CBA =90°，AB =BC ，再利用各角之间的关系得出∠CBE =∠BAO ，根据全等三角形的判定和性质得出OA =BE =2，OB =CE =4，确定点C 的坐标，然后代入函数解析式求解即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ∠y 轴，∠点B（0，4），A（2，0），∠OB=4，OA=2，∠四边形ABCD为正方形，∠∠CBA=90°，AB=BC，∠∠CBE+∠ABO=90°，∠∠BAO+∠ABO=90°，∠∠CBE=∠BAO，∠∠CEB=∠BOA=90°，，∠ABO BCE∠OA=BE=2，OB=CE=4，∠OE=OB+BE=6，∠C（4，6），将点C代入反比例函数解析式可得：k=24，故答案为：24．【点睛】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数解析式的确定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．10．∠α+∠β=∠γ【分析】根据平行线的性质可求出它们的关系，从点P作平行线，平行于AC，根据两直线平行内错角相等可得出．【详解】解：如图，过点P作AC的平行线PO，∠AC∠PO，∠∠β=∠CPO，又∠AC∠BD，∠PO∠BD，∠∠α=∠DPO ，∠∠α+∠β=∠γ，故答案为：∠α+∠β=∠γ．【点睛】本题主要考查了两直线平行，内错角相等，正确作出辅助线是解题的关键．11．60【分析】根据等边三角形的性质可证∠FIH ∠∠GJI ，再证明∠FGH ∠∠GEI ，根据全等三角形的性质可得∠FGH =∠GEI ，从而可得∠GEI +∠HGE =60°，根据外角的性质可得∠EPH 的度数．【详解】解：在等边∠EFG 中，∠F =∠FGE =60°，FG =GE ，∠∠FHI +∠FIH =120°，在等边∠HIJ 中，∠HIJ =60°，HI =JI ，∠∠FIH +∠JIG =120°，∠∠FHI =∠JIG ，在∠FIH 和∠GJI 中，F G FHI GIJ HI JI ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠FIH ∠∠GJI （AAS ），∠FH =GI ，在∠FGH 和∠GEI 中，FH GI F G FG GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠FGH ∠∠GEI （SAS ），∠∠FGH =∠GEI ，∠∠FGH +∠HGE =60°，∠∠GEI +∠HGE =60°，∠∠EPH =60°，故答案为：60【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．12．40︒【分析】如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A 作AE BC ⊥于点E ，可证RT ABE RT ABD △≌△，即可求出BAC ∠的度数．【详解】解：如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，∠AB =AC ，∠E 是BC 的中点，且AE 平分BAC ∠．∠2BC BD =，∠BD =BE ．在RT ABE 和RT ABD 中，()AB AB RT ABE RT ABD HL BD BE =⎧⇒⎨=⎩△≌△， ∠20BAD BAE CAE ∠=∠=∠=︒．∠40BAC ∠=︒．故答案为：40︒．【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关键．13．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作∠BAC 的平分线，交BC 于D ，作∠ABE =∠BAD ，交CA 延长线于E 即可；（2）根据已知条件，利用ASA 证明∠AFE ∠∠AFB ，可得结果．【详解】解：（1）如图所示，AD 和BE 即为所作；（2）∠BE ∠AD ，AF ∠BE ，∠∠DAF =180°-90°=90°，∠EAF +∠CAD =90°，即∠BAF +∠BAD =90°，由（1）可知：∠BAD =∠CAD ，∠∠CAD +∠BAF =90°，∠∠BAF =∠EAF ，∠∠AFE =∠AFB =90°，AF =AF ，∠∠AFE ∠∠AFB （ASA ），∠EF =BF ．【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．14．(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）根据D 是BC 的中点可得BD DC =，根据 DE ∠AB 可得90DEB DFC ∠=∠=︒，利用直角三角形全等的判定和性质可得Rt Rt BDE CDF ≌，DE ＝DF ，再用角平分线得判定定理即可证明；（2）根据角平分线的性质得到DE ＝DF ，根据D 是BC 的中点可得BD DC =，再用HL 证明Rt Rt BDE CDF ≌，最后用全等三角形对应边相等证明．（1）证明：∠DE ∠AB ，DF ∠AC ，∠∠BDE 与∠DCF 是直角三角形．在Rt∠BDE 与Rt∠CDF 中，BD CD BE CF=⎧⎨=⎩， ∠Rt∠BDE ∠Rt∠CDF （HL ），∠DE ＝DF ．又∠DE ∠AB ，DF ∠AC ，∠AD 是∠ABC 的角平分线；（2）∠AD 是∠ABC 的角平分线，DE ∠AB 于E ，DF ∠AC 于F ，∠DE ＝DF ，∠AD 是BC 边的中线，∠BD ＝CD ．在Rt∠BDE 和Rt∠CDF 中，BD CD DE DF =⎧⎨⎩＝， ∠Rt∠BDE ∠Rt∠CDF （HL ），∠BE ＝CF ．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定（HL ），角平分线的性质定理和判定定理，用HL 证明Rt∠BDE ∠Rt∠CDF 是解题的关键．15．60︒【分析】由AB 与CD 平行，利用两直线平行内错角相等求出B 的度数，在AOB 中，利用三角形内角和定理即可求出A ∠的度数．【详解】解：∠AB CD ，40C ∠=︒，∠40B C ∠=∠=︒，∠180A B AOB ∠+∠+∠=︒，∠18060∠=︒-∠-∠=︒A AOB B ．【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理是解本题的关键．16．(1)证明见解析；(2)2AE BD =，理由见解析【分析】（1）AD 为线段BC 的垂直平分线，垂直平分线的性质可得∠ABC =∠ACB ，BE =CE ，通过角的等量替换可得∠ACE =∠EFC ，再证边长相等即可．（2）由（1）可得∠ABE =∠ACE ，直角三角形证明全等即可得出．（1）连接CE ，AB AC =，D 是BC 边的中点，AD ∴为线段BC 的垂直平分线，A ABC CB =∠∠，BE CE ∴=，EBC ECB ∴∠=∠，ABC EBC ACB ECB ∴∠-∠=∠-∠，即ABE ACE =∠∠，ABE EFC ∠=∠，ACE EFC ∴∠=∠，EF CE ∴=，BE EF ∴=；（2）连接CE ，由（1）可得ABE ACE =∠∠，45ABE BAC ∠=∠=︒，ABF ∴和CEF △都是等腰直角三角形，AF BF CF EF ∴==，，CBF EAF ∴≌△△，BC AE ∴=，2AE BD ∴=；（注：辅助线连接CE 不要求）17．EF BC ∥，理由见解析【分析】过G 点作GH BC ∥，根据平行线的性质，角的和差关系，三角形内角和定理可得∠F ＝∠FGH ，再根据平行线的判定即可求解．【详解】解：EF BC ∥．理由如下：过G 点作GH BC ∥，∠∠C ＝45°，90A ∠=︒，∠∠CGH ＝45°，∠∠FGC ＝105°，∠∠FGH ＝105°−45°＝60°，在Rt ∠DEF 中，∠D ＝90°，∠E ＝30°，∠∠F ＝60°，∠∠F ＝∠FGH ，∠EF GH ∥，∠EF BC ∥．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，关键是熟悉两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．18．见解析【分析】过点P 作PF OA ⊥，PH OB ⊥，证明∠PDF ∠∠PEH ，得出PF PH =，根据角平分线的判定定理得出OC 平分AOB ∠．【详解】证明：过点P 作PF OA ⊥，PH OB ⊥，∠90PFD PHE ∠=∠=︒∠180ODP OEP ∠+∠=︒，180PEB OEP ∠+∠=︒∠ODP PEB ∠=∠在∠PDF 和∠PEH 中PFD PHE PDF PEH PF PH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠PDF ∠∠PEHPF PH ∴=，∠OC 平分AOB ∠．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质与判定，掌握角平分线的判定定理是解题的关键．。

三角形全等的判定同步练习题一. 选择题1. 下列条件不能判定两个三角形全等的是（）A. 有两边和夹角对应相等B. 有三边分别对应相等C. 有两边和一角对应相等D. 有两角和一边对应相等2. 下列条件能判定两个三角形全等的是（）A. 有三个角相等B. 有一条边和一个角相等C. 有一条边和一个角相等D. 有一条边和两个角相等3. 如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，那么图中共有全等三角形（）AB C DO第3题A. 1对B. 2对C. 4对D. 8对4. 如图所示，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（）AB CDE12第4题FA. ∠E ＝∠BB. ED ＝BCC. AB ＝EFD. AF ＝CD5. 如图所示，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠1＝∠2，∠E ＝∠C ，AE ＝AC ，则 （ ）A B CD E123第5题FA. △ABC ≌△AFEB. △AFE≌△ADC C. △AFE ≌△DFC D. △ABC ≌△ADE6. 我们学过的判定两个直角三角形全等的条件，有 （ ）A. 5种B. 4种C. 3种D. 2种7. 如图所示，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝DC ，那么图中的全等三角形有 （ ）A B C DEF 第7题A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对8. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BC ＝6cm ，则BD ＝__________.（）AB C D 第8题A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm9. 如图所示，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AE ＝AF ，则下列结论成立的是 （ ）AB C DEF 第9题 A. BD ＝CD B. DE ＝DF C. ∠B ＝∠C D. AB ＝AC二. 填空题10. 如图所示，AC ∥BD ，AC ＝BD ，那么__________，理由是__________.B CD O第10题11. 已知△ABC ≌△A'B'C'，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，AC ＝9cm ，∠A'＝70°，∠B'＝80°，则A'B'＝__________，B'C'＝__________，A'C'＝__________，∠C'＝__________，∠C ＝__________.12. 如图所示，已知AB ＝AC ，在△ABD 与△ACD 中，要使△ABD ≌△ACD ，还需要再添加一个条件是____________________.AB CD13. 如图所示，已知△ABC≌△DEF，AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝5cm，CF＝2cm，∠A＝70°，∠B＝65°，则第12题∠D＝__________，∠F＝__________，DE＝__________，BE＝__________.14. （2007年福州）如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是__________（只要求写一个条件）.15. （2007年沈阳）如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一个条件，使得△AOB≌△DOC，你补充的条件是__________.三. 解答题16. （2007年浙江温州）已知：如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，求证：AC ＝AD.A BCD1217. （2007年浙江金华）如图，A 、E 、B 、D 在同一直线上，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，AC ＝DF ，AC ∥DF. （1）求证：△ABC ≌△DEF ；（2）你还可以得到的结论是__________（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母）A B CDEF18. （2007年武汉）你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O 上下转动，立柱OC 与地面垂直. 当一方着地时，另一方上升到最高点. 问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA'、BB'有何数量关系？为什么？C O A'AB'B19. MN 、PQ 是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口C 等距离的B 、E 两处，这时他们分别从B 、E 两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达A 、D 两点，他们的行走路线AB 、DE 平行吗？请说明你的理由.MNP20. 有一块不规则的鱼池，下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端A 、B 的距离的方案，请你分析一下两种方案的理由.方案一：小明想出了这样一个方法，如图①所示，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD ＝BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在同一条直线上，测得DE 的长就是AB 的长. 你能说明一下这是为什么吗？方案二：小军想出了这样一个方法，如图②所示，先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A 、B 的点C ，连结AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ，连结BC 并延长到E ，使CE ＝CB ，连结DE ，量出DE 的长，这个长就是A、B之间的距离. 你能说明一下这是为什么吗？A BCD EF①A B②CE D21. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等. 那么在什么情况下，它们会全等?（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）.对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.求证：△ABC≌△A1B1C1. （请你将下列证明过程补充完整）证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1.则∠BDC＝∠B1D1C1＝90°，∵BC＝B1C1，∠C＝∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD＝B1D1.______________________________。

课题：第15章 全等三角形 15．2 三角形全等的判定（5）主备人：曹智 审核人: 时间：2011年 月 日年级 班 姓名：学习目标：学会判定直角三角形全等的特殊方法，发展合情推理能力。

学习重点：掌握判定直角三角形全等的特殊方法学习难点：应用“HL ” 解决直角三角形全等的问题一、学前准备1、复习思考(1)、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、 (2)、如图，Rt △ABC 中，直角边是 、 ，斜边是 2、探究: 如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ (1)动手试一试。

已知：Rt △ABC求作：Rt △'''A B C ， 使'C =90°，''A B =AB, ''B C =BC作法：(2) 把△'''A B C 剪下来放到△ABC 上，观察△'''A B C 与△ABC 是否能够完全重合？(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形 （可以简写成“ ”或“ ”）DCBANMEDCBA(4)用数学语言表述上面的判定方法 在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中,∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △ （5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、“ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”练一练 :1. 如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC 与BD 相等吗？预习疑难摘要___________________________________________________ _______________________________________________________________二、探究活动(一)师生探究·解决问题例1、已知:如图∠BAC=∠CDB=90°,AC=DB 求证：AB=DC例2. 在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，如图，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ， 求证：（1）△ADC ≌△CEB （2）DE=AD+BE.BA 11CF EDC BA(二)独立思考·巩固升华1、如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法）2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A 、两条直角边对应相等 B 、斜边和一锐角对应相等 C 、斜边和一条直角边对应相等 D 、两个锐角对应相等三、自我测试1、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由 答：AB 平行于CD理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义） ∵BE=CF ，∴BF=CE在Rt △ 和Rt △ 中∵⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌ （ ） ∴ = （ ） ∴ （内错角相等，两直线平行） 2、如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，（1）若AC//DB ，且AC=DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据 （2）若AC//DB ，且AE=BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据 （3）若AE=BF ，且CE=DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据（4）若AC=BD ，AE=BF ，CE=DF 。