课解·人A数学·必修1·16版(答案)

高中数学人教版A版必修一第一章集合与函数概念§1.2函数及其表示1．2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．函数(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x 叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)值域是集合B的________．2．区间(1)设a，b是两个实数，且a<b，规定：①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为________，________，________，______.一、选择题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y 是x 的函数②对于不同的x ，y 的值也不同③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量 ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个B ．2个 C ．3个D ．4个2．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )24．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个 5．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1} 6．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，－1]二、填空题7．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：8．如果函数f (x )满足：对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )f (b )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋f (4)f (3)＋f (5)f (4)＋…＋f (2011)f (2010)＝________. 9．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为______________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________． 三、解答题11．已知函数f (1－x1＋x )＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A 中的任一个值，按照对应关系所对应数集B 中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x ，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f (x )以表格形式给出时，其定义域指表格中的x 的集合；②当f (x )以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f (x )以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．§1.2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念知识梳理1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →B y ＝f (x )，x ∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集2．(1)①a ≤x ≤b [a ，b ] ②a <x <b (a ，b ) ③a ≤x <b a <x ≤b [a ，b )，(a ，b ] (2)(－∞，＋∞) 正无穷大 负无穷大 [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，b ] (－∞，b ) 作业设计1．B [①、③正确；②不对，如f (x )＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]2．C [①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.] 3．D [A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.]4．B [由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]5．D [由题意可知⎩⎨⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.]6．B 7．3 2 1解析 g [f (1)]＝g (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2， g [f (3)]＝g (1)＝1. 8．2010解析 由f (a ＋b )＝f (a )f (b )，令b ＝1，∵f (1)＝1， ∴f (a ＋1)＝f (a )，即f (a ＋1)f (a )＝1，由a 是任意实数，所以当a 取1,2,3，…，2010时，得f (2)f (1)＝f (3)f (2)＝…＝f (2011)f (2010)＝1.故答案为2010. 9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 10．[0，13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A＝[2＋(2＋2h)]h2＝h2＋2h(m2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．一、选择题1．一个面积为100cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( ) A ．y ＝50x (x >0) B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x (x >0)2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋75．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( ) A ．1B ．15C ．4D ．306．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3kg 物体后弹簧总长是13.5cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________．三、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等． 2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．1．2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法知识梳理(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格 作业设计1．C [由x ＋3x2·y ＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x (x >0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，故选B.] 4．B [由已知得：g (x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g (x ＋2)＝2x ＋3，则有g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.]5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14，∴f (12)＝1－(14)2(14)2＝15.] 6．B [当t <0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，12)；当t >0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．]7．y ＝12x ＋12解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，k ＝12.所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)解析 ∵f (x )＝2f (1x )＋x ，①∴将x 换成1x ，得f (1x )＝2f (x )＋1x .②由①②消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x3，即f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)．9．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b .∴⎩⎨⎧a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝83或⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－8.10．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝f (4)知⎩⎨⎧f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，f (0)＝f (4)，得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点， 所以c ＝3.②设f (x )＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca . 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f (x )＝x 2－4x ＋3.11．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －5 0 3 4 3 0 －5 …连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一 特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1， 所以选B.]13．解 因为对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1， ∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.第2课时分段函数及映射课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应_____________________________________．2．映射的概念设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中____________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的__________．一、选择题1．已知，则f(3)为()A．2B．3C．4D．52．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：A．100元B．90元C．80元D．60元4．已知函数，使函数值为5的x的值是()A．－2B．2或－5 2C．2或－2D．2或－2或－5 25．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为() A．13立方米B．14立方米C．18立方米D．26立方米6．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射的是()A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13xC．f：x→y＝23x D．f：x→y＝x二、填空题7．已知，则f(7)＝____________.8．设则f {f [f (－34)]}的值为________，f (x )的定义域是______________．9．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．三、解答题 10．已知，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．能力提升12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是() A．∅B．∅或{1}C．{1}D．∅13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．1．全方位认识分段函数(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．对映射认识的拓展映射f：A→B，可理解为以下三点：(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；(2)对A中不同的元素，在B中可以有相同的元素与之对应；(3)A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．3．函数与映射的关系映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射．由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．第2课时 分段函数及映射知识梳理1．(1)对应关系 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 2．都有唯一 一个映射 作业设计 1．A [∵3<6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.] 2．D3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．] 4．A [若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2， 若－2x ＝5，则x ＝－52，与x >0矛盾，故选A.]5．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]6．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，故选C.] 7．6解析 ∵7<9，∴f (7)＝f [f (7＋4)]＝f [f (11)]＝f (11－3)＝f (8)． 又∵8<9，∴f (8)＝f [f (12)]＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6.8.32 {x |x ≥－1且x ≠0}解析 ∵－1<－34<0，∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12.而0<12<2，∴f (12)＝－12×12＝－14.∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32.因此f {f [f (－34)]}＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．9．f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1， －1≤x <0，－x ，0≤x ≤1解析 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎨⎧ －a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1. 10.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ， 0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.12．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2. 所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.]13．解 根据题意可得d ＝k v 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中，解得k ＝12500.∴d ＝12500v 2S .当d ＝S 2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 2 (0≤v <252)12500v 2S (v ≥252).§1.2习题课课时目标 1.加深对函数概念的理解，加深对映射概念的了解.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，理解简单的分段函数，并能简单应用．1．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是()2．已知函数f：A→B(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是()A．M＝A，N＝B B．M⊆A，N＝BC．M＝A，N⊆B D．M⊆A，N⊆B3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点()A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上4．已知函数，若f(a)＝3，则a的值为()A.3B．－ 3C．±3D．以上均不对5．若f(x)的定义域为[－1,4]，则f(x2)的定义域为()A．[－1,2]B．[－2,2]C．[0,2]D．[－2,0]6．函数y＝xkx2＋kx＋1的定义域为R，则实数k的取值范围为() A．k<0或k>4B．0≤k<4C．0<k<4D．k≥4或k≤0一、选择题1．函数f (x )＝xx 2＋1，则f (1x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C.1f (x )D.1f (－x )2．已知f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则f (x )的定义域为( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－1,2]D ．[－3，3]3．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是()4．与y ＝|x |为相等函数的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．D ．y ＝3x 35．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为( )A ．(－∞，43)∪(43，＋∞)B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，23)∪(43，＋∞)6．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)二、填空题7．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为____________．8．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为___________________________________.9．已知函数，则f(f(－2))=______________________________.三、解答题10．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，求f(x)．11．已知，若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．能力提升12．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x－a)＋f(x＋a)(0<a<12)的定义域为()A．∅B．[a,1－a] C．[－a,1＋a]D．[0,1]13．已知函数(1)求f(－3)，f[f(－3)]；(2)画出y＝f(x)的图象；(3)若f(a)＝12，求a的值．1．函数的定义域、对应关系以及值域是构成函数的三个要素．事实上，如果函数的定义域和对应关系确定了，那么函数的值域也就确定了．两个函数是否相同，只与函数的定义域和对应关系有关，而与函数用什么字母表示无关．求函数定义域时，要注意分式的字母不能为零；偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零．2．函数图象是描述函数两个变量之间关系的一种重要方法，它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势．函数的图象可以是直线、光滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等．3．函数的表示方法有列举法、解析法、图象法三种．根据解析式画函数的图象时，要注意定义域对函数图象的制约作用．函数的图象既是研究函数性质的工具，又是数形结合方法的基础．§1.2习题课双基演练1．C[C选项中，当x取小于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．]2．C[值域N应为集合B的子集，即N⊆B，而不一定有N＝B.]3．C[当a属于f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点．]4．A[当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾；当－1<a<2时，有a2＝3，∴a＝3，a＝－3(舍去)；当a≥2时，有2a＝3，∴a＝32与a≥2矛盾．综上可知a ＝ 3.]5．B [由－1≤x 2≤4，得x 2≤4，∴－2≤x ≤2，故选B.]6．B [由题意，知kx 2＋kx ＋1≠0对任意实数x 恒成立，当k ＝0时，1≠0恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4，综上，知0≤k <4.]作业设计1．A [f (1x )＝1x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＝f (x )．] 2．C [∵x ∈[－3，3]，∴0≤x 2≤3，∴－1≤x 2－1≤2，∴f (x )的定义域为[－1,2]．]3．C [C 选项中，和a 相对应的有两个元素0和1，不符合映射的定义．故答案为C.]4．B [A 中的函数定义域与y ＝|x |不同；C 中的函数定义域不含有x ＝0，而y ＝|x |中含有x ＝0，D 中的函数与y ＝|x |的对应关系不同，B 正确．]5．B [用分离常数法．y ＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3. ∵7x －3≠0，∴y ≠2.] 6．C [化简集合A ，B ，则得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)．∴A ∩B ＝[2，＋∞)．]7．(52，－12)解析 由题意⎩⎨⎧ x －y ＝3x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52y ＝－12.8．f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 ∵f (x ＋1)＝x ＋2x＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1. 由于x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．9．4解析 ∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，又∵4≥0，∴f (4)＝4，∴f (f (－2))＝4.10．解 令t ＝x －1，则1－x ＝－t ，原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代t ，原式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )，得f (t )＝2t ＋25. 即f (x )＝2x ＋25.11．解 f (1)＝1×(1＋4)＝5，∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0.当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)．当a ＋1<0，即a <－1时，有(a ＋1)(a －3)＝0，无解．综上可知a ＝－1.12．B [由已知，得⎩⎨⎧ 0≤x ＋a ≤1，0≤x －a ≤1⇒⎩⎨⎧－a ≤x ≤1－a ，a ≤x ≤1＋a . 又∵0<a <12，∴a ≤x ≤1－a ，故选B.]13．解 (1)∵x ≤－1时，f (x )＝x ＋5，∴f (－3)＝－3＋5＝2，∴f [f (－3)]＝f (2)＝2×2＝4.(2)函数图象如右图所示．(3)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋5＝12，a ＝－92≤－1； 当－1<a <1时，f (a )＝a 2＝12，a ＝±22∈(－1,1)； 当a ≥1时，f (a )＝2a ＝12，a ＝14∉[1，＋∞)，舍去． 故a 的值为－92或±22.。

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。

第2课时 基本不等式的应用1．已知x >0，则9x ＋x 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 『答 案』 A『解 析』 ∵x >0，∴9x＋x ≥2x ·9x＝6， 当且仅当x ＝9x ，即x ＝3时，等号成立．2．已知x >－2，则x ＋1x ＋2的最小值为( )A ．－12B ．－1C ．2D ．0『答 案』 D『解 析』 ∵x >－2，∴x ＋2>0， ∴x ＋1x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－2≥2－2＝0，当且仅当x ＝－1时，等号成立．3．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为( ) A ．1B ．22C ．2D ．4 『答 案』 A『解 析』 由基本不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 4．(多选)设y ＝x ＋1x －2，则( )A ．当x >0时，y 有最小值0B ．当x >0时，y 有最大值0C ．当x <0时，y 有最大值－4D ．当x <0时，y 有最小值－4 『答 案』 AC『解 析』 当x >0时，y ＝x ＋1x －2≥2x ·1x－2 ＝2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故A 正确，B 错误；当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立，故C 正确，D 错误．5．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16B ．25C ．9D ．36 『答 案』 B『解 析』 (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25， 当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，等号成立． 6．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是________．『答 案』 4『解 析』 ∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b＋2ab ≥21ab＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 7．若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n 的最小值为________．『答 案』 3＋2 2 『解 析』 ∵2m ＋n ＝1， 则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n ) ＝3＋2m n ＋n m ≥3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝1－22，n ＝2－1时，等号成立，即最小值为3＋2 2.8．要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 『答 案』 160『解 析』 设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4m 3，高为1m ，得另一边长为4x m.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160， 当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．因此当x ＝2时，y 取得最小值160， 即容器的最低总造价为160元． 9．(1)已知x <3，求4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解 (1)∵x <3，∴x －3<0， ∴4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，∴4x －3＋x 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ·x ＋y4＝14⎝⎛⎭⎫4＋y x ＋3x y ≥1＋234＝1＋32， 当且仅当y x ＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时等号成立．故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值分别为多少？ 解 (1)由题意得，xy ＝1 800，b ＝2a ， 则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝a (x －4)＋b (x －6)＝a (x －4)＋2a (x －6)＝(3x －16)a ＝(3x －16)×y －63＝xy －6x －163y ＋32＝1832－6x －163y ，其中6<x <300,6<y <300.(2)由(1)可知，6<x <300,6<y <300，xy ＝1 800， 6x ＋163y ≥26x ·163y ＝26×16×600＝480，当且仅当6x ＝163y 时等号成立，∴S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－480＝1 352，此时9x ＝8y ，xy ＝1 800，解得x ＝40，y ＝45， 即x 为40，y 为45.11．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A ．－92B.92C.14D ．－4『答 案』 A『解 析』 因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1， 所以12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92， 当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时，等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92.12．(多选)一个矩形的周长为l ，面积为S ，则下列四组数对中，可作为数对(S ，l )的有( ) A ．(1,4) B ．(6,8) C ．(7,12) D.⎝⎛⎭⎫3，12 『答 案』 AC『解 析』 设矩形的长和宽分别为x ，y ， 则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .由xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22知，S ≤l 216，故AC 成立．13．已知x >－1，则(x ＋10)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．『答 案』 16『解 析』 (x ＋10)(x ＋2)x ＋1＝(x ＋1＋9)(x ＋1＋1)x ＋1＝(x ＋1)2＋10(x ＋1)＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1＋10，∵x >－1，∴x ＋1>0，∴(x ＋1)＋9x ＋1＋10≥29＋10＝16.当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立．14．若对∀x >－1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．『答 案』 a ≤0『解 析』 因为x >－1，所以x ＋1>0， 则x ＋1x ＋1－1＝x ＋1＋1x ＋1－2 ≥2(x ＋1)×1x ＋1－2＝2－2＝0，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立，由题意可得a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1－1min ＝0，即a ≤0.15．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a 3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________．『答 案』 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥19 『解 析』 原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23，又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a (x 2＋1)·1x 2＋1＝2a ，当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1， 即a ＝1(x 2＋1)2时，等号成立，则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19.16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？解 设2020年该产品利润为y ， 由题意，可知当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx 元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29，∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时，等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。

人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版习题1.2（第24页）练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R∈，且12x x <， 因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >， 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．最小值．练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3（第39页）1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-， 由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x=-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为xm ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题（第44页）A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320xx -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P POcm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==I 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a=时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a=，而B A ⊆，则11a =-，或11a =，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭I ，即{(0,0)}A B =I ；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I，即A C =∅I ；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I； 则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-IU I .6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞U ．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x+=-， 所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x=， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性， 则208k ≥，或58k ≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数； （2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3．解：由(){1,3}U A B =U ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =U ，集合A B U 里除去()U A B I ð，得集合B ， 所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩． .5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++， 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤， 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<， 因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则 0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩ 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。

(人教A版 )高中数学必修1 (全册 )课时同步作业汇总活页作业(一) 集合的含义(时间：45分钟总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．以下几组对象可以构成集合的是( )A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．世|界著名的科学家D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人 解析：A 、B 、C 中标准不明确 ,应选D. 答案：D2．下面有四个语句： ①集合N *中最|小的数是0； ②－a ∉N ,那么a ∈N ；③a ∈N ,b ∈N ,那么a ＋b 的最|小值是2； ④x 2＋1＝2x 的解集中含有两个元素． 其中正确语句的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：N *是不含0的自然数 ,所以①错误； 取a ＝ 2 ,那么－2∉N ,2∉N ,所以②错误；对于③ ,当a ＝b ＝0时 ,a ＋b 取得最|小值是0 ,而不是2 ,所以③错误；对于④ ,解集中只含有元素1 ,故④错误．答案：A3．集合A 含有三个元素2,4,6 ,且当a ∈A 时 ,有6－a ∈A ,那么a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4D ．0解析：假设a ＝2∈A ,那么6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ,那么6－a ＝2∈A ；假设a ＝6∈A ,那么6－a ＝0∉A .应选B.答案：B4．假设集合M 中的三个元素a ,b ,c 是△ABC 的三边长 ,那么△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：由集合中元素的互异性可知△ABC 的三边长满足a ≠b ≠c .应选D. 答案：D5．设a ,b ∈R ,集合A 中含有0 ,b ,ba三个元素 ,集合B 中含有1 ,a ,a ＋b 三个元素 ,且集合A 与集合B 相等 ,那么a ＋2b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．不确定解析：由题意知a ＋b ＝0 ,∴b a＝－1 ,∴a ＝－1 ,b ＝1 ,∴a ＋2b ＝1.答案：A二、填空题(每题5分 ,共15分)6．集合A中只含有1 ,a2两个元素 ,那么实数a不能取的值为________．解析：由a2≠1 ,得a≠±1.答案：±17．假设集合P含有两个元素1,2 ,集合Q含有两个元素1 ,a2 ,且P ,Q相等 ,那么a ＝________.解析：由于P ,Q相等 ,故a2＝2 ,从而a＝± 2.答案：± 28．集合P中元素x满足：x∈N ,且2＜x＜a ,又集合P中恰有三个元素 ,那么整数a ＝________.解析：∵x∈N ,且2＜x＜a ,∴结合数轴可得a＝6.答案：6三、解答题(每题10分 ,共20分)9．假设所有形如3a＋2b(a∈Z,b∈Z)的数组成集合A,判断6－22是不是集合A中的元素．解：∵3a＋2b(a∈Z ,b∈Z)中 ,令a＝2 ,b＝－2 ,可得6－2 2 ,∴6－22是集合A中的元素．10．设集合A中含有三个元素3 ,x ,x2－2x.(1)求实数x应满足的条件；(2)假设－2∈A ,求实数x.解：(1)由集合中元素的互异性可知 ,x≠3 ,且x≠x2－2x ,x2－2x≠3.解得x≠3 ,且x≠0 ,且x≠－1.(2)∵－2∈A ,∴x＝－2或x2－2x＝－2.由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1 ,∴x＝－2.一、选择题(每题5分 ,共10分)1．2a∈A ,a2－a∈A ,假设A只含这两个元素 ,那么以下说法中正确的选项是( ) A．a可取全体实数B．a可取除去0以外的所有实数C．a可取除去3以外的所有实数D ．a 可取除去0和3以外的所有实数解析：∵2a ∈A ,a 2－a ∈A ,∴2a ≠a 2－a .∴a (a －3)≠0.∴a ≠0且a ≠3.应选D. 答案：D2．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1 ,假设t ∈A ,那么t 的值为( ) A ．0 B ．1C ．0或1D ．小于等于1解析：∵y ∈N 且y ＝－x 2＋1≤1 ,∴y ＝0或1.∵t ∈A ,∴t ＝0或1. 答案：C二、填空题(每题5分 ,共10分)3．集合A 是由m －1,3m ,m 2－1三个元素组成的集合 ,且3∈A ,那么实数m 的值为________．解析：由m －1＝3 ,得m ＝4 ,此时3m ＝12 ,m 2－1＝15 ,故m ＝4符合题意；由3m ＝3 ,得m ＝1 ,此时m －1＝m 2－1＝0 ,故舍去；由m 2－1＝3 ,得m ＝±2 ,经检验m ＝±2符合题意．故填4或±2.答案：4或±24．假设a ,b ∈R 且a ≠0 ,b ≠0 ,那么|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a ＞0 ,b ＞0时 ,|a |a ＋|b |b＝2；当ab ＜0时 ,|a |a ＋|b |b ＝0；当a ＜0 ,b ＜0时 ,|a |a＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2,0 ,－2.即集合中元素的个数为3. 答案：3三、解答题(每题10分 ,共20分)5．集合A 的元素由kx 2－3x ＋2＝0的解构成 ,其中k ∈R ,假设A 中的元素只有一个 ,求k 的值．解：由题意知A 中元素即方程kx 2－3x ＋2＝0(k ∈R )的解． 假设k ＝0 ,那么x ＝23 ,知A 中只有一个元素 ,符合题意；假设k ≠0 ,那么方程为一元二次方程．当Δ＝9－8k ＝0 ,即k ＝98时 ,方程kx 2－3x ＋2＝0有两个相等的实数解 ,此时A 中只有一个元素．综上所述 ,k ＝0或98.6．集合A 中的元素全为实数 ,且满足：假设a ∈A ,那么1＋a1－a ∈A .(1)假设a ＝2 ,求出A 中其他所有元素． (2)0是不是集合A 中的元素 ?请说明理由． 解：(1)由2∈A ,得1＋21－2＝－3∈A .又由－3∈A, 得1－31＋3＝－12∈A .再由－12∈A ,得1－121＋12＝13∈A .由13∈A ,得1＋131－13＝2∈A . 故A 中除2外 ,其他所有元素为－3 ,－12 ,13.(2)0不是集合A 中的元素．理由如下： 假设0∈A ,那么1＋01－0＝1∈A ,而当1∈A 时 ,1＋a1－a不存在 ,故0不是集合A 中的元素．活页作业(二) 集合的表示(时间：45分钟 总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3} ,那么有( ) A ．－1∈A B ．0∈A C.3∈AD ．2∈A解析：∵0∈N 且－3＜0＜ 3 ,∴0∈A . 答案：B2．集合M ＝{y |y ＝x 2} ,用自然语言描述M 应为( ) A ．函数y ＝x 2的函数值组成的集合B．函数y＝x2的自变量的值组成的集合C．函数y＝x2的图象上的点组成的集合D．以上说法都不对解析：从描述法表示的集合来看 ,代表元素是函数值 ,即集合M表示函数y＝x2的函数值组成的集合．答案：A3．集合{－2,1}等于( )A．{(x－1)(x＋2)＝0} B．{y|y＝x＋1 ,x∈Z}C．{x|(x＋1)(x－2)＝0} D．{x|(x－1)(x＋2)＝0}解析：选项A是含有一个一元二次方程的集合 ,选项B是函数y＝x＋1 ,x∈Z的函数值组成的集合 ,有无数多个元素 ,选项C是方程(x＋1)(x－2)＝0的解的集合为{－1,2} ,选项D是方程(x－1)(x＋2)＝0的解的集合为{1 ,－2}．应选D.答案：D4．假设1∈{x ,x2} ,那么x＝( )A．1 B．－1C．0或1 D．0或1或－1解析：∵1∈{x ,x2} ,∴x＝1或x2＝1 ,∴xx＝1 ,那么x＝x2＝1 ,不符合集合中元素的互异性．答案：B5．以下集合中表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)} ,N＝{(2,3)}B．M＝{3,2} ,N＝{2,3}C．M＝{(x ,y)|x＋y＝1} ,N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2} ,N＝{(1,2)}解析：A中M、N都为点集 ,元素为点的坐标 ,顺序不同表示的点不同；C中M、N分别表示点集和数集；D中M为数集 ,N为点集 ,应选B.答案：B二、填空题(每题5分 ,共15分)6．集合A＝{x|x2＝a ,x∈R} ,那么实数a的取值范围是________．解析：当x∈R时 ,a＝x2≥0.答案：a≥07．集合A＝{－1,0,1} ,集合B＝{y|y＝|x| ,x∈A} ,那么B＝____________.解析：∵|－1|＝1 ,|0|＝0 ,|1|＝1 ,∴B＝{0,1}．答案：{0,1}8．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫125－x ∈N x ∈N ,那么用列举法表示为__________________．解析：根据题意 ,5－x 应该是12的因数 ,故其可能的取值为1,2,3,4,6,12 ,从而可得到对应xx ∈N ,所以x 的值为4,3,2,1.答案：{4,3,2,1}三、解答题(每题10分 ,共20分) 9．用另一种方法表示以下集合． (1){绝|对值不大于2的整数}； (2){能被3整除 ,且小于10的正数}； (3){x |x ＝|x | ,x ＜5 ,且x ∈Z }； (4){(x ,y )|x ＋y ＝6 ,x ∈N *,y ∈N *}； (5){－3 ,－1,1,3,5}． 解：(1){－2 ,－1,0,1,2}． (2){3,6,9}．(3)∵x ＝|x | ,∴x ∵x ∈Z ,且x ＜5 , ∴x ＝0或1或2或3或4. ∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．(4){(1,5) ,(2,4) ,(3,3) ,(4,2) ,(5,1)}． (5){x |x ＝2k －1 ,－1≤k ≤3 ,k ∈Z }．10．集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0 ,x ∈R } ,假设A 中至|多有一个元素 ,求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时 ,A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43；当a ≠0时 ,关于x 的方程ax 2－3x －4＝0应有两个相等的实数根或无实数根 , ∴Δ＝9＋16a ≤0 ,即a ≤－916. 综上 ,所求实数a 的取值范围是a ＝0或a ≤－916.一、选择题(每题5分 ,共10分)1．设x ＝13－52 ,y ＝3＋2π ,集合M ＝{m |m ＝a ＋2b ,a ∈Q ,b ∈Q } ,那么x ,y 与集合M 的关系是( )A ．x ∈M ,y ∈MB ．x ∈M ,y ∉MC ．x ∉M ,y ∈MD ．x ∉M ,y ∉M 解析：x ＝13－52＝3＋523－523＋52＝－341－2×541∈M ,y ∉M .应选B. 答案：B2．用描述法表示如下图阴影局部的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )A ．{－2≤x ≤0且－2≤y ≤0}B ．{(x ,y )|－2≤x ≤0且－2≤y ≤0}C ．{(x ,y )|－2≤x ≤0且－2≤y ＜0}D ．{(x ,y )|－2≤x ≤0或－2≤y ≤0}解析：阴影局部为点集 ,且包括边界上的点 ,所以－2≤x ≤0且－2≤y ≤0. 答案：B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．集合A ＝{(x ,y )|y ＝2x ＋1} ,B ＝{(x ,y )|y ＝x ＋3} ,a ∈A 且a ∈B ,那么a 为________．解析：∵a ∈A 且a ∈B ,∴a 是方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋1 y ＝x ＋3的解．解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 y ＝5 ∴a为(2,5)．答案：(2,5)4．A ＝{1,2,3} ,B ＝{1,2} ,定义集合间的运算A ＋B ＝{x |x ＝x 1＋x 2 ,x 1∈A ,x 2∈B } ,那么集合A ＋B 中元素的最|大值是________．解析：当x 1＝1 ,x 2＝1或2时 ,x ＝2或3；当x 1＝2 ,x 2＝1或2时 ,x ＝3或4；当x 1＝3 ,x 2＝1或2时 ,x ＝4或5.∴集合A ＋B 中元素的最|大值是5.答案：5三、解答题(每题10分 ,共20分)5．集合A ＝{(x ,y )|2x －y ＋m ＞0} ,B ＝{(x ,y )|x ＋y －n ≤0} ,假设点P (2,3)∈A ,且P (2,3)∉B ,试求m ,n 的取值范围．解：∵点P ∈A ,∴2×2－3＋m ＞0.∴m ＞－1. ∵点P ∉B ,∴2＋3－n ＞0.∴n ＜5.∴所求m ,n 的取值范围分别是{m |m ＞－1} ,{n |n ＜5}．6．集合P ＝{x |x ＝2k ,k ∈Z } ,M ＝{x |x ＝2k ＋1 ,k ∈Z } ,a ∈P ,b ∈M ,设c ＝a ＋b ,那么c 与集合M 有什么关系 ?解：∵a ∈P ,b ∈M ,c ＝a ＋b , 设a ＝2k 1 ,k 1∈Z ,b ＝2k 2＋1 ,k 2∈Z , ∴c ＝2k 1＋2k 2＋1＝2(k 1＋k 2)＋1. 又k 1＋k 2∈Z , ∴c ∈M .活页作业(三) 集合间的根本关系(时间：45分钟 总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分) 1．以下关系中 ,表示正确的选项是( ) A ．1∈{0,1} B ．1{0,1} C ．1⊆{0,1}D ．{1}∈{0,1}解析：、⊆表示集合之间的关系 ,故B 、C 错误；∈表示元素与集合之间的关系 ,故D 错误．答案：A2．假设x ,y ∈R ,A ＝{(x ,y )|y ＝x } ,B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫xy ⎪⎪⎪y x ＝1 ,那么A ,B 的关系为( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝BD ．A ⊆B解析：集合A 表示函数y ＝x 图象上所有点组成的集合 ,集合B 中要求x ≠0 ,所以集合B 表示除点(0,0)以外的y ＝x 图象上的点组成的集合 ,A B 成立．答案：B3．全集U ＝R ,那么正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )解析：∵M＝{－1,0,1} ,N＝{0 ,－1} ,∴N M.应选B.答案：B4．集合A＝{x|0≤x＜3 ,x∈N}的真子集的个数是( )A．16 B．8C．7 D．4解析：易知集合A＝{0,1,2} ,∴A的真子集为∅ ,{0} ,{1} ,{2} ,{0,1} ,{0,2} ,{1,2} ,共有7个．答案：C5．设A＝{x|1＜x＜2} ,B＝{x|x＜a} ,假设A⊆B ,那么a的取值范围是( )A．a≤2B．a≤1C．a≥1D．a≥2解析：如图 ,在数轴上表示出两集合 ,只要a≥2 ,就满足A⊆B.答案：D二、填空题(每题5分 ,共15分)6.右图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系 ,那么A ,B ,C ,D ,E分别代表的图形的集合为______________．解析：由以上概念之间的包含关系可知：集合A＝{四边形} ,集合B＝{梯形} ,集合C ＝{平行四边形} ,集合D＝{菱形} ,集合E＝{正方形}．答案：A＝{四边形} ,B＝{梯形} ,C＝{平行四边形} ,D＝{菱形} ,E＝{正方形}7．设集合M＝{(x ,y)|x＋y＜0 ,xy＞0}和P＝{(x ,y)|x＜0 ,y＜0} ,那么M与P的关系为________．解析：∵xy＞0 ,∴x ,y同号．又x＋y＜0 ,∴x＜0 ,y＜0 ,即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点 ,故M＝P.答案：M＝P8．集合A＝{x|－2≤x≤3} ,B＝{x|x≥m} ,假设A⊆B ,那么实数m的取值范围为_________________________________．解析：集合A ,B 在数轴上的表示如下图．由图可知 ,假设A ⊆B ,那么m ≤－2. 答案：m ≤－2三、解答题(每题10分 ,共20分)9．集合A ＝{(x ,y )|x ＋y ＝2 ,x ,y ∈N } ,试写出A 的所有子集． 解：∵A ＝{(x ,y )|x ＋y ＝2 ,x ,y ∈N } , ∴A ＝{(0,2) ,(1,1) ,(2,0)}． ∴A 的子集有：∅ ,{(0,2)} ,{(1,1)} ,{(2,0)} ,{(0,2) ,(1,1)} ,{(0,2) ,(2,0)} ,{(1,1) ,(2,0)} ,{(0,2) ,(1,1) ,(2,0)}．10．集合A ＝{x |1<ax <2} ,B ＝{x |－2<x ＜2} ,求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：B ＝{x |－2＜x ＜2}． (1)当a ＝0时 ,A ＝∅ ,显然A ⊆B . (2)当a ＞0时 ,A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜2a . ∵A ⊆B ,由以下图可知 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－2 2a ≤2 解得a ≥1.(3)当a <0时 ,A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a<x <1a .∵A ⊆B ,由以下图可知 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤22a ≥－2 解得a ≤－1.综上可知 , a ＝0 ,或a ≥1 ,或a ≤－1时 ,A ⊆B .一、选择题(每题5分 ,共10分)1．集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0 ,x ∈R } ,B ＝{x |0＜x ＜5 ,x ∈N } ,那么满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为集合A ＝{1,2} ,B ＝{1,2,3,4} ,所以当满足A ⊆C ⊆B 时 ,集合C 可以为{1,2} ,{1,2,3} ,{1,2,4} ,{1,2,3,4} ,故满足条件的集合C 有4个．答案：D2．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪⎪x ＝m ＋16 m ∈Z,N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝n 2－13 n ∈Z ,那么集合M ,N 的关系是( )A ．M ⊆NB ．M NC ．N ⊆MD ．N M解析：设n ＝2m 或2m ＋1 ,m ∈Z , 那么有N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝2m 2－13或x ＝2m ＋12－13m ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪ x ＝m －13或x ＝m ＋16 m ∈Z . 又∵M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪⎪x ＝m ＋16 m ∈Z ,∴M N .答案：B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．假设A ＝{1,2} ,B ＝{x |x ⊆A } ,那么B ＝________.解析：∵x ⊆A ,∴x ＝∅ ,{1} ,{2} ,{1,2} ,∴B ＝{∅ ,{1} ,{2} ,{1,2}}．答案：{∅ ,{1} ,{2} ,{1,2}}4．集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0 ,a ∈R } ,假设集合A 有且仅有2个子集 ,那么a 的取值构成的集合为________________．解析：∵集合A 有且仅有2个子集 ,∴A 仅有一个元素 ,即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时 ,方程化为2x ＝0 , ∴x ＝0 ,此时A ＝{0} ,符合题意．当a ≠0时 ,Δ＝22－4·a ·a ＝0 ,即a 2＝1 ,∴a ＝±1. 此时A ＝{－1} ,或A ＝{1} ,符合题意． ∴a ＝0或a ＝±1. 答案：{0,1 ,－1}三、解答题(每题10分 ,共20分)5．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝0 x ∈Z ,B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0} ,假设B ⊆A ,求实数a 的值．解：由题意得A ＝{0 ,－4}．(1)当B ＝∅时 ,方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无解 , ∴Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0. ∴a ＜－1. (2)当BA (B ≠∅)时 ,那么B ＝{0}或B ＝{－4} ,即方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0只有一解 , ∴Δ＝8a ＋8＝0. ∴aB ＝{0}满足条件．(3)当B ＝A 时 ,方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0 有两实根0 ,－4 ,∴⎩⎨⎧16－8a ＋1＋a 2－1＝0 a 2－1＝0.∴a ＝1.综上可知 ,a ≤－1 ,或a ＝1.6．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6} ,B ＝{x |m －1＜x ＜2m ＋1}． (1)当x ∈Z 时 ,求A 的非空真子集的个数； (2)假设A ⊇B ,求m 的取值范围． 解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)∵x ∈Z ,∴A ＝{－2 ,－1,0,1,2,3,4,5} ,即A 中含有8个元素．∴A 的非空真子集的个数为28－2＝254(个)． (2)①当m ≤－2时 ,B ＝∅⊆A ；②当m ＞－2时 ,B ＝{x |m －1＜x ＜2m ＋1} , 因此 ,要B ⊆A ,那么只要⎩⎨⎧m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述 ,m 的取值范围是{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．活页作业(四)并集、交集(时间：45分钟 总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2} ,N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3} ,那么M ∩N ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：由题意 ,得M ＝{－2 ,－1,0,1} ,N ＝{－1,0,1,2,3} ,∴M ∩N ＝{－1,0,1}． 答案：B2．假设集合M ＝{x |－2≤x ＜2} ,N ＝{0,1,2} ,那么M ∩N 等于( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1,2}D ．{0,1}解析：M ＝{x |－2≤x ＜2} ,N ＝{0,1,2} ,那么M ∩N ＝{0,1} ,应选D. 答案：D3．以下各组集合 ,符合Venn 图所示情况的是( )A ．M ＝{4,5,6,8} ,N ＝{4,5,6,7,8}B ．M ＝{x |0＜x ＜2} ,N ＝{x |x ＜3}C ．M ＝{2,5,6,7,8} ,N ＝{4,5,6,8}D ．M ＝{x |x ＜3} ,N ＝{x |0＜x ＜2}解析：因为{4,5,6,8}⊆{4,5,6,7,8} ,即M ⊆N ,所以选项A 错误．又因{x |0＜x ＜2}⊆{x |x ＜3} ,所以选项B 错误 ,选项C 显然错误 ,选项D 正确．答案：D4．设集合A ＝{1,2} ,那么满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．4D ．8解析：∵A ＝{1,2} ,且A ∪B ＝{1,2,3} ,∴B ＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}． 答案：C5．设集合A ＝{x ∈N |1≤x ≤10} ,B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0} ,那么图中阴影表示的集合为( )A ．{2}B ．{3}C ．{－3,2}D ．{－2,3}解析：∵A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ,B ＝{－3,2} ,∴图中阴影表示的集合为A ∩B ＝{2}．答案：A二、填空题(每题5分 ,共15分)6．集合M ＝{x |－3＜x ≤5} ,N ＝{x |－5＜x ＜－2 ,或x ＞5} ,那么M ∪N ＝____________ ,M ∩N ＝__________________.解析：借助数轴可知：M ∪N ＝{x |x ＞－5} ,M ∩N ＝{x |－3＜x ＜－2}．答案：{x |x ＞－5} {x |－3＜x ＜－2}7．集合A ＝{(x ,y )|y ＝x 2,x ∈R } ,B ＝{(x ,y )|y ＝x ,x ∈R } ,那么A ∩B 中的元素个数为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0 或⎩⎨⎧x ＝1y ＝1.答案：28．设集合A ＝{x |－1＜x ＜2} ,B ＝{x |x ＜a } ,假设A ∩B ≠∅ ,那么a 的取值范围是________．解析：利用数轴分析可知 ,a ＞－1.答案：a ＞－1三、解答题(每题10分 ,共20分)9．集合A ＝{1,3,5} ,B ＝{1,2 ,x 2－1} ,假设A ∪B ＝{1,2,3,5} ,求x 及A ∩B . 解：∵B ⊆(A ∪B ) , ∴x 2－1∈(A ∪B )．∴x 2－1＝3或x 2－1＝5 ,解得x ＝±2或x ＝± 6. 假设x 2－1＝3 ,那么A ∩B ＝{1,3}； 假设x 2－1＝5 ,那么A ∩B ＝{1,5}．10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0} ,B ＝{x |x 2－4x ＋a ＝0} ,假设A ∪B ＝A ,求实数a 的取值范围．解：A ＝{1,2} ,∵A ∪B ＝A ,∴B ⊆A .集合B 有两种情况：B ＝∅或B ≠∅. (1)B ＝∅时 ,方程x 2－4x ＋a ＝0无实数根 , ∴Δ＝16－4a ＜0.∴a ＞4. (2)B ≠∅时 ,当Δ＝0时 ,a ＝4 ,B ＝{2}⊆A 满足条件；当Δ＞0时 ,假设1,2是方程x 2－4x ＋a ＝0的根 , 由根与系数的关系知1＋2＝3≠4 ,矛盾 ,∴a ＝4. 综上 ,a 的取值范围是a ≥4.一、选择题(每题5分 ,共10分)1．集合A ＝{1,2} ,B ＝{x |mx －1＝0} ,假设A ∩B ＝B ,那么符合条件的实数m 的值组成的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1 12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1 12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1 0 12D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1 －12解析：当m ＝0时 ,B ＝∅ ,A ∩B ＝B ；当m ≠0时 ,x ＝1m ,要使A ∩B ＝B ,那么1m ＝1或1m＝2 ,即m ＝1或m ＝12,选C.答案：C2．定义集合{x |a ≤x ≤b }的 "长度〞是b －a .m ,n ∈R ,集合M ＝xm ≤x ≤m ＋23 ,N ＝xn－34≤x ≤n ,且集合M ,N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集 ,那么集合M ∩N 的 "长度〞的最|小值是( )A.23B.12C.512D ．13解析：集合M ,N 的 "长度〞分别为23 ,34 ,又M ,N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集 ,如图 ,由图可知M ∩N 的 "长度〞的最|小值为53－54＝512.答案：C二、填空题(每题5分 ,共10分)3．集合A ＝{1,3 ,m } ,B ＝{1 ,m } ,A ∪B ＝A ,那么m ＝________.解析：由A ∪B ＝A 得B ⊆A ,所以有m ＝3或m ＝m .由m ＝m 得m ＝0或1 ,经检验 ,m ＝1时 ,B ＝{1,1}矛盾 ,m ＝0或3时符合题意．答案：0或34．设集合A ＝{5 ,a ＋1} ,集合B ＝{a ,b }．假设A ∩B ＝{2} ,那么A ∪B ＝______________. 解析：∵A ∩B ＝{2} ,∴2∈A .故a ＋1＝2 ,a ＝1 ,即A ＝{5,2}；又2∈B ,∴b ＝2 ,即B ＝{1,2}．∴A ∪B ＝{1,2,5}．答案：{1,2,5}三、解答题(每题10分 ,共20分)5．A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3} ,B ＝{x |x ＜－1或x ＞5} ,假设A ∩B ＝∅ ,求a 的取值范围． 解：A ∩B ＝∅ ,A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}． (1)假设A ＝∅ ,有2a ＞a ＋3 ,∴a ＞3. (2)假设A ≠∅ ,如下图．那么有⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1a ＋3≤5 2a ≤a ＋3解得－12≤a ≤2.综上所述 ,a 的取值范围是－12≤a ≤2或a ＞3.6．集合M ＝{x |2x －4＝0} ,N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}． (1)当m ＝2时 ,求M ∩N ,M ∪N . (2)当M ∩N ＝M 时 ,求实数m 的值． 解：由得M ＝{2}． (1)当m ＝2时 ,N ＝{1,2}． ∴M ∩N ＝{2} ,M ∪N ＝{1,2}． (2)假设M ∩N ＝M ,那么M ⊆N , ∴2∈N . ∴4－6＋m ＝0. ∴m ＝2.活页作业(五) 补集及集合运算的综合应用(时间：45分钟 总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．全集U ＝{0,1,2} ,且∁U A ＝{2} ,那么A 等于( ) A ．{0} B ．{1} C ．∅D ．{0,1}解析：∵∁U A ＝{2} ,∴A ＝{0,1}． 答案：D2．A ＝{x |x ＋1＞0} ,B ＝{－2 ,－1,0,1} ,那么(∁R A )∩B ＝( ) A ．{－2 ,－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1}D ．{0,1} 解析：解不等式求出集合A ,进而得∁R A ,再由集合交集的定义求解． 因为集合A ＝{x |x ＞－1} ,所以∁R A ＝{x |x ≤－1}． 那么(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2 ,－1,0,1} ＝{－2 ,－1}． 答案：A3．如下图 ,U 是全集 ,A ,B 是U 的子集 ,那么图中阴影局部表示的集合是( )A．A∩B B．B∩(∁U A)C．A∪B D．A∩(∁U B)解析：阴影局部在B中且在A的外部 ,由补集与交集的定义可知阴影局部可表示为B∩(∁U A)．答案：B4．设集合M＝{x|x＝3k ,k∈Z} ,P＝{x|x＝3k＋1 ,k∈Z} ,Q＝{x|x＝3k－1 ,k∈Z} ,那么∁Z(P∪Q)＝( )A．M B．PC．Q D．∅解析：x＝3k ,k∈Z表示被3整除的整数；x＝3k＋1 ,k∈Z表示被3整除余1的整数；x＝3k－1表示被3整除余2的整数 ,所以∁Z(P∪Q)＝M.答案：A5．集合A＝{x|x<a} ,B＝{x|1<x<2} ,且A∪(∁R B)＝R,那么实数a的取值范围是( ) A．a≤1B．a<1C．a≥2D．a>2解析：如下图 ,假设能保证并集为R ,那么只需实数a在数2的右边 ,注意等号的选取．选C.答案：C二、填空题(每题5分 ,共15分)6．集合U＝{2,3,6,8} ,A＝{2,3} ,B＝{2,6,8} ,那么(∁U A)∩B＝________.解析：(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案：{6,8}7．设全集U＝R ,集合A＝{x|x≥0} ,B＝{y|y≥1} ,那么∁U A与∁U B的包含关系是______________．解析：∵∁U A＝{x|x<0} ,∁U B＝{y|y<1} ,∴∁U A∁U B.如图．答案：∁U A∁U B8．设全集S＝{1,2,3,4} ,且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0} ,假设∁S A＝{2,3} ,那么m＝________.解析：因为S＝{1,2,3,4} ,∁S A＝{2,3} ,所以A＝{1,4} ,即1,4是方程x2－5x＋m＝0的两根 ,由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.答案：4三、解答题(每题10分 ,共20分)9．全集U＝{2,3 ,a2－2a－3} ,A＝{2 ,|a－7|} ,∁U A＝{5} ,求a的值．解：由|a－7|＝3 ,得a＝4或a＝10.当a＝4时 ,a2－2a－3＝5 ,当a＝10时 ,a2－2a－3＝77∉U ,所以a＝4.10．集合A＝{x|3≤x＜7} ,B＝{x|2＜x＜10} ,C＝{x|x＜a}．(1)求(∁R A)∩B；(2)假设A⊆C ,求a的取值范围．解：(1)∵A＝{x|3≤x＜7} ,∴∁R A＝{x|x＜3或x≥7}．∴(∁R A)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．(2)∵C＝{x|x＜a} ,且A⊆C ,如下图 ,∴a≥7.∴a的取值范围是{a|a≥7}．一、选择题(每题5分 ,共10分)1．全集U＝R,集合A＝{x|－2≤x≤3} ,B＝{x|x＜－2或x＞4} ,那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A．{x|3＜x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}解析：∵∁U A＝{x|x＜－2或x＞3} ,∁U B＝{x|－2≤x≤4} ,如图 ,∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3＜x≤4}．应选A.答案：A2．设A ,B ,I均为非空集合 ,且满足A⊆B⊆I ,那么以下各式中错误的选项是( ) A．(∁I A)∪B＝I B．(∁I A)∪(∁I B)＝IC．A∩(∁I B)＝∅D．(∁I A)∩(∁I B)＝∁I B解析：方法一符合题意的Venn图 ,如图．观察可知选项A ,C ,D 均正确 ,(∁I A )∪(∁I B )＝∁I A ,应选项B 错误．方法二 运用特例法 ,如A ＝{1,2,3} ,B ＝{1,2,3,4} ,I ＝{1,2,3,4,5}．逐个检验只有选项B 错误．答案：B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．全集U ＝R ,A ＝{x |x ＜－3 ,或x ≥2} ,B ＝{x |－1＜x ＜5} ,那么集合C ＝{x |－1＜x ＜2}＝______________.(用A ,B 或其补集表示)解析：如下图 ,由图可知C ⊆∁U A ,且C ⊆B ,∴C ＝B ∩(∁U A )． 答案：B ∩(∁U A )4．某班共50人 ,参加A 项比赛的共有30人 ,参加B 项比赛的共有33人 ,且A ,B 两项都不参加的人数比A ,B 都参加的人数的13多1人 ,那么只参加A 项不参加B 项的有____人．解析：如下图 ,设A ,B 两项都参加的有x 人 ,那么仅参加A 项的共(30－x )人 ,仅参加B 项的共(33－x )人 ,A ,B 两项都不参加的共⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1人 ,根据题意得x ＋(30－x )＋(33－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1＝50 ,解得x ＝21 ,所以只参加A 项不参加B 项的共有30－21＝9(人)．故填9.答案：9三、解答题(每题10分 ,共20分)5．设全集是实数集R ,A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0} ,B ＝{x |x 2＋a ＜0}． (1)当a ＝－4时 ,求A ∩B 和A ∪B ；(2)假设(∁R A )∩B ＝B ,求实数a 的取值范围．解：(1)∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤3,当a ＝－4时 ,B ＝{x |－2＜x ＜2} ,∴A ∩B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ＜2 ,A ∪B ＝{x |－2＜x ≤3}．(2)∁R A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＜12 或x ＞3 ,当(∁R A )∩B ＝B 时 ,B ⊆∁R A .①当B ＝∅ ,即a ≥0时 ,满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅ ,即a ＜0时 ,B ＝{x |－－a ＜x ＜－a }． 要使B ⊆∁R A ,需－a ≤12 ,解得－14≤a ＜0.综上可得 ,实数a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≥－14.6．设全集I ＝R ,集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0} ,N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ,集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ,a ∈R } ,假设B ∪A ＝A ,求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3} ,N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}． ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2} , ∵B ∪A ＝A ,∴B ⊆A . ∴B ＝∅或B ＝{2}．当B ＝∅时 ,a －1>5－a ,∴a >3；当B ＝{2}时 ,⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝25－a ＝2解得a ＝3.综上所述 ,所求a 的取值范围是{a |a ≥3}．活页作业(六) 函数的概念(时间：30分钟 总分值：60分)一、选择题(每题4分 ,共12分)1．设f：x→x2是集合A到集合B的函数 ,如果集合B＝{1} ,那么集合A不可能是( ) A．{1} B．{－1}C．{－1,1} D．{－1,0}解析：假设集合A＝{－1,0} ,那么0∈A ,但02＝0∉B.应选D.答案：D2．各个图形中 ,不可能是函数y＝f(x)的图象的是( )解析：因垂直x轴的直线与函数y＝f(x)的图象至|多有一个交点．应选A.答案：A3．假设函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2} ,值域为N＝{y|0≤y≤2} ,那么函数y＝f(x)的图象可能是( )解析：选项A ,定义域为{x|－2≤x≤0} ,不正确．选项C ,当x在(－2,2]取值时 ,y 有两个值和x对应 ,不符合函数的概念．选项D ,值域为[0,1] ,不正确 ,选项B正确．答案：B二、填空题(每题4分 ,共8分)4．假设(2m ,m＋1)表示一个开区间 ,那么m的取值范围是________．解析：由2m＜m＋1 ,解得m＜1.答案：(－∞ ,1)5．函数y＝f(x)的图象如下图 ,那么f(x)的定义域是________________；其中只与x 的一个值对应的y值的范围是________________．解析：观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]； 只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]． 答案：[－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] 三、解答题6．(本小题总分值10分)求以下函数的定义域． (1)y ＝2x ＋1＋3－4x . (2)y ＝1|x ＋2|－1.解：由得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0⇒x ≥－12 3－4x ≥0⇒x ≤34∴函数的定义域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1234. (2)由得 ,|x ＋2|－1≠0 , ∴|xx ≠－3 ,x ≠－1.∴函数的定义域为(－∞ ,－3)∪(－3 ,－1)∪(－1 ,＋∞)．一、选择题(每题5分 ,共10分)1．四个函数：(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x 3；(3)y ＝x 2－1； (4)y ＝1x.其中定义域相同的函数有( )A ．(1) ,(2)和(3)B ．(1)和(2)C ．(2)和(3)D ．(2) ,(3)和(4)解析：(1) ,(2)和(3)中函数的定义域均为R ,而(4)函数的定义域为{x |x ≠0}． 答案：A2．函数f (x )＝－1 ,那么f (2)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．不确定解析：∵f (x )＝－1 ,∴f (2)＝－1. 答案：B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．集合A ＝{1,2,3} ,B ＝{4,5} ,那么从A 到B 的函数f (x )有________个．解析：抓住函数的 "取元任意性 ,取值唯一性〞 ,利用列表方法确定函数的个数.f (1) 4 4 4 4 5 5 5 5 f (2) 4 4 5 5 4 4 5 5 f (3)45454545由表可知 ,这样的函数有8个 ,故填8. 答案：8 4．函数y ＝x ＋26－2x －1的定义域为________．(并用区间表示)解析：要使函数解析式有意义 ,需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥06－2x ≥0 6－2x ≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2x ≤3x ≠52⇒－2≤x ≤3 ,且x ≠52.∴函数的定义域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－2 52∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤52 3.答案：⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－2 52∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤52 3三、解答题5．(本小题总分值10分)将长为a 的铁丝折成矩形 ,求矩形面积y 关于边长x 的解析式 ,并写出此函数的定义域．解：设矩形一边长为x ,那么另一边长为12(a －2x ) ,所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜a 2 0＜12a －2x ＜a2解得0＜x ＜a2,即函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 a 2.活页作业(七) 函数概念的综合应用(时间：30分钟 总分值：60分)一、选择题(每题4分 ,共12分)1．函数f (x )＝x ＋1x,那么f (1)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0解析：f (1)＝1＋11＝2.答案：B2．以下各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1 ,x ∈Z 与y ＝2x －1 ,x ∈Z解析：A 中两函数定义域不同 ,B 、D 中两函数对应关系不同 ,C 中定义域与对应关系都相同．答案：C3．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1 ,＋∞) B ．[0 ,＋∞) C ．(－∞ ,0]D ．(－∞ ,－1]解析：∵x ＋1≥0 ,∴y ＝x ＋1 ≥0. 答案：B二、填空题(每题4分 ,共8分) 4．函数y ＝x ＋1x的定义域为________． 解析：要使函数式有意义 ,需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x ≠0 ,所以函数的定义域为{x |x ≥－1且x ≠0}．答案：{x |x ≥－1且x ≠0}5．函数f (x )＝2x －3 ,x ∈{x ∈N |1≤x ≤5} ,那么函数的值域为__________________． 解析：函数的定义域为{1,2,3,4,5}． 故当x ＝1,2,3,4,5时 ,y ＝－1,1,3,5,7 ,即函数的值域为{－1,1,3,5,7}． 答案：{－1,1,3,5,7} 三、解答题6．(本小题总分值10分)假设f (x )＝ax 2－ 2 ,且f (f (2))＝－ 2 ,求a 的值． 解：因为f (2)＝a (2)2－2＝2a － 2 ,所以f (f (2))＝a (2a －2)2－2＝－ 2.于是a (2a －2)2＝0,2a －2＝0或a ＝0 ,所以a＝22或a ＝0.一、选择题(每题5分 ,共10分)1．以下函数中 ,值域为(0 ,＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝100x ＋2C ．y ＝16xD ．y ＝x 2＋x ＋1解析：A 中y ＝x 的值域为[0 ,＋∞)； C 中y ＝16x的值域为(－∞ ,0)∪(0 ,＋∞)；D 中y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34的值域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫34 ＋∞；B 中函数的值域为(0 ,＋∞) ,应选B. 答案：B2．假设函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ,那么a 的值是( )A ．－1或3B ．－1C ．3D ．不存在解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0 a －3≠0得a ＝－1.答案：B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．函数f (x )＝x －1.假设f (a )＝3 ,那么实数a ＝________. 解析：因为f (a )＝a －1＝3 ,所以a －1＝9 ,即a ＝10. 答案：104．给出定义：假设m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数) ,那么m 叫做离实数x 最|近的整数 ,记作{x } ,即{x }＝m .在此根底上给出以下关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个结论．①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12； ②f (3.4)＝－0.4；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14； ④y ＝f (x )的定义域为R ,值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1212. 那么其中正确的序号是________．解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12－－12＝－12－(－1)＝12 ,①正确； f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4 ,②错误； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－14－－14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14－0＝14,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝14－14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－0＝14, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 ,③正确； y ＝f (x )的定义域为R ,值域为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－1212 ,④错误．答案：①③ 三、解答题5．(本小题总分值10分)函数f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ,f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值． (2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x是定值．(3)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋ f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017的值．(1)解：∵f (x )＝x 21＋x2 ,∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1. f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)解：由(2)知f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1 ,∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1 ,f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1 ,f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1 ,… ,f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＝1.∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＝2 016.活页作业(八) 函数的表示法(时间：45分钟 总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．小明骑车上学 ,开始时匀速行驶 ,途中因交通堵塞停留了一段时间 ,后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最|好的图象是( )解析：方法一：出发时距学校最|远 ,先排除A ,中途堵塞停留 ,距离不变 ,再排除D ,堵塞停留后比原来骑得快 ,因此排除B ,选C.方法二：由小明的运动规律知 ,小明距学校的距离应逐渐减小 ,由于小明先是匀速运动 ,故前段是直线段 ,途中停留时距离不变 ,后段加速 ,直线段比前段下降得快 ,故应选C.答案：C 2．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ,那么f (x )＝( )A.x ＋1x －1B ．1－x 1＋x C.1＋x1－xD ．2x x ＋1解析：设t ＝1－x 1＋x ,那么x ＝1－t 1＋t ,f (t )＝1－t 1＋t ,即f (x )＝1－x1＋x .答案：B3．函数f (x )是一次函数 ,2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1 ,那么f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3D ．2x －3解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0) ,那么⎩⎨⎧22k ＋b －3k ＋b ＝52b －－k ＋b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3 b ＝－2∴f (x )＝3x －2. 答案：B4．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x ＋3 ,且f (m )＝6 ,那么m 等于( )A ．－14B.14C.32D ．－32解析：设12x －1＝m ,那么x ＝2m ＋2 ,∴f (m )＝2(2m ＋2)＋3＝4m ＋7＝6 ,∴m ＝－14.答案：A5．函数f (2x ＋1)＝3x ＋2 ,且f (a )＝2 ,那么a 的值等于( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．－1解析：由f (2x ＋1)＝3x ＋2 ,令2x ＋1＝t , ∴x ＝t －12.∴f (t )＝3·t －12＋2.∴f (x )＝3x －12＋2.∴f (a )＝3a －12＋2＝2.∴a ＝1.答案：A二、填空题(每题5分 ,共15分)6．如图 ,函数f (x )的图象是曲线OAB ,其中点O ,A ,B 的坐标分别为(0,0) ,(1,2) ,(3,1) ,那么f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 3的值等于________．解析：∵f (3)＝1 ,1f 3＝1 ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 3＝f (1)＝2.答案：27．函数f (x ) ,g (x )分别由下表给出：x 1 2 3 f (x )131x 1 2 3 g (x )321那么f (g (1))＝____________． 解析：∵g (1)＝3 ,∴f (g (1))＝f (3)＝1. 又∵x ,f (g (x )) ,g (f (x ))的对应值表为x 1 2 3 f (g (x ))131g (f (x ))3 1 3∴f (g (x ))＞g (f (x ))答案：1 28．假设f (x )是一次函数 ,f (f (x ))＝4x －1 ,那么f (x )＝______.解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0) ,那么f (f (x ))＝kf (x )＋b ＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x ⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4 kb ＋b ＝－1解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝－13或⎩⎨⎧k ＝－2b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.答案：2x －13或－2x ＋1三、解答题(每题10分 ,共20分) 9．下表表示函数y ＝f (x ).x0＜x ＜5 5≤x ＜1010≤x ＜1515≤x ≤20y ＝f (x )－46810(1)写出函数的定义域、值域； (2)写出满足f (x )≥x 的整数解的集合．解：(1)从表格中可以看出函数的定义域为(0,5)∪[5,10)∪[10,15)∪[15,20]＝(0,20]．函数的值域为{－4,6,8,10}．(2)由于当5≤x ＜10时 ,f (x )＝6 ,因此满足f (x )≥x 的x 的取值范围是5≤xx ∈Z ,故x ∈{5,6}．10．函数f (x )＝g (x )＋h (x ) ,g (x )关于x 2成正比 ,h (x )关于x 成反比 ,且g (1)＝2 ,h (1)＝－3 ,求：(1)函数f (x )的解析式及其定义域； (2)f (4)的值．解：(1)设g (x )＝k 1x 2(k 1≠0) ,h (x )＝k 2x(k 2≠0) , 由于g (1)＝2 ,h (1)＝－3 , 所以k 1＝2 ,k 2＝－3. 所以f (x )＝2x 2－3x,定义域是(0 ,＋∞)． (2)由(1)得f (4)＝2×42－34＝612.一、选择题(每题5分 ,共10分)1．正方形的周长为x ,它的外接圆的半径为y ,那么y 关于x 的解析式为( )A ．y ＝12xB ．y ＝24xC ．y ＝28x D ．y ＝216x 解析：正方形边长为x4 ,而(2y )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42,∴y 2＝x 232.∴y ＝x 42＝28x .答案：C2．以下函数中 ,不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：对于A ,f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ,f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；对于C ,f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于D ,f (2x )＝－2x ＝2f (x )．答案：C二、填空题(每题5分 ,共10分)3．观察以下图形和所给表格中的数据后答复以下问题：梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形周长58111417…当梯形个数为． 解析：由表格可推算出两变量的关系 ,或由图形观察周长与梯形个数关系为l ＝3n ＋2(n ∈N *)．答案：l ＝3n ＋2(n ∈N *)4．R 上的函数f (x )满足：(1)f (0)＝1；(2)对任意实数x ,y ,有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1) ,那么f (x )＝________.解析：因为对任意实数x ,y ,有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1) ,所以令y ＝x ,有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1) ,即f (0)＝f (x )－x (x ＋1) ,又f (0)＝1 ,所以f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1 ,即f (x )＝x 2＋x ＋1.答案：x 2＋x ＋1三、解答题(每题10分 ,共20分)5．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象 ,并根据图象答复以下问题： (1)比拟f (0) ,f (1) ,f (3)的大小；(2)假设x 1<x 2<1 ,比拟f (x 1)与f (x 2)的大小；(3)求函数f (x )的值域．解：因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ,列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y…－5343－5…连线 ,描点 ,得函数图象如图：(1)根据图象 ,容易发现f (0)＝3 ,f (1)＝4 ,f (3)＝0 ,所以f (3)＜f (0)＜f (1)． (2)根据图象 ,容易发现当x 1＜x 2＜1时 ,有f (x 1)＜f (x 2)．(3)根据图象 ,可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点 ,开口向下的抛物线 ,因此 ,函数值域为(－∞ ,4]．6．函数f (x )＝xax ＋b(a ,b 为常数 ,且a ≠0)满足f (2)＝1 ,方程f (x )＝x 有唯一解 ,求函数f (x )的解析式 ,并求f (f (－3))的值．解：由f (x )＝x ,得xax ＋b＝x , 即ax 2＋(b －1)x ＝0.因为方程f (x )＝x 有唯一解 , 所以Δ＝(b －1)2＝0 ,即b ＝1. 又f (2)＝1 , 所以22a ＋1＝1 ,a ＝12.所以f (x )＝x 12x ＋1＝2x x ＋2.所以f (f (－3))＝f (6)＝128＝32.活页作业(九) 分段函数、映射(时间：45分钟 总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．集合M ＝{x |0≤x ≤6} ,P ＝{y |0≤y ≤3} ,那么以下对应关系中 ,不能构成M 到P 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝xD ．f ：x →y ＝16x解析：由映射定义判断 ,选项C 中 ,x ＝6时 ,y ＝6∉P . 答案：C2．在给定映射f ：A →B ,即f ：(x ,y )→(2x ＋y ,xy )(x ,y ∈R )的条件下 ,与B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16 －16对应的A 中元素是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16 －136 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13 －12或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14 23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫136 －16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 －13或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23 14 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝16 xy ＝－16 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14y ＝23.应选B.答案：B3．以下图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ＜0x －1 x ≥0的图象的是( )解析：由于f (0)＝0－1＝－1 ,所以函数图象过点(0 ,－1)；当x ＜0时 ,y ＝x 2,那么函数图象是开口向上的抛物线y ＝x 2在y 轴左侧的局部．因此只有图象C 符合．答案：C4．f (x )＝⎩⎨⎧ x －5x ≥6f x ＋2x <6那么f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：f (3)＝f (5)＝f (7)＝7－5＝2. 答案：A5．f (x )＝⎩⎨⎧2xx ＞0f x ＋1x ≤0那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－4解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83 ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43 ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4.答案：B二、填空题(每题5分 ,共15分)6．函数f (x )的图象如下图 ,那么f (x )的解析式是____________________．解析：由图可知 ,图象是由两条线段组成．当－1≤x ＜0时 ,设f (x )＝ax ＋b ,将(－1,0) ,(0,1)代入解析式 ,那么⎩⎨⎧ －a ＋b ＝0 b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝1.∴f (x )＝x ＋1.当0≤x ≤1时 ,设f (x )＝kx ,将(1 ,－1)代入 ,那么k ＝－1 ,∴f (x )＝－x .。

特别说明：《高中数学教材》是根据最新课程标准，参考独家内部资料，结合自己颇具特色的教学实践和卓有成效的综合辅导经验精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。

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本套资料按照必修系列和选修系列及部分选修4系列的章节编写，每章或节分三个等级：[基础训练A组]，[综合训练B组]，[提高训练C组]目录：数学1（必修）数学1（必修）第一章：（上）集合 [训练A、B、C]数学1（必修）第一章：（中）函数及其表 [训练A、B、C]数学1（必修）第一章：（下）函数的基本性质[训练A、B、C] 数学1（必修）第二章：基本初等函数（I） [基础训练A组] 数学1（必修）第二章：基本初等函数（I） [综合训练B组]数学1（必修）第二章：基本初等函数（I） [提高训练C组]数学1（必修）第三章：函数的应用 [基础训练A组]数学1（必修）第三章：函数的应用 [综合训练B组]数学1（必修）第三章：函数的应用 [提高训练C组]（数学1必修）第一章（上） 集合[基础训练A 组]一、选择题1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ．()()A CBC U I UB ．()()A B AC U I U C ．()()A B B C U I UD ．()A B C U I4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个二、填空题1．用符号“∈”或“∉”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N（2）1______,_______,______2R Q Q e C Q π-（e 是个无理数） （3{}|,,x x a a Q b Q =+∈∈A B C2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =I ，则C 的非空子集的个数为 。

圆的方程圆的标准方程 课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2)( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P 在圆内.2.已知点A (-4,-5),B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116 C.(x-1)2+(y+3)2=29 D.(x-1)2+(y+3)2=116A (-4,-5),B (6,-1),所以线段AB 的中点为C (1,-3),所求圆的半径r=12|AB|=12√102+42=√29,所以以线段AB 为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C .3.方程x=√1-y 2表示的图形是( ) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆 D.半圆x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D .4.一个动点在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)的连线中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y 2=4 B.(x-3)2+y 2=1 C.(2x-3)2+4y 2=1D.x+322+y 2=12M (x 0,y 0)为圆上的动点,则有x 02+y 02=1,设线段MA 的中点为P (x ,y ),则x=x 0+32,y=y 0+02,则x 0=2x-3,y 0=2y ,代入x 02+y 02=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,即(2x-3)2+4y 2=1.5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .-3) √26.圆(x+1)2+y 2=5关于直线y=x 对称的圆的标准方程为 .(x+1)2+y 2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x 的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x 2+(y+1)2=5.2+(y+1)2=57.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的方程是 .解析由题意得A (0,3),B (-4,0),AB 的中点-2,32为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB 为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-322=254.答案(x+2)2+y-322=2548.已知圆M 过A (1,-1),B (-1,1)两点,且圆心M 在直线x+y-2=0上. (1)求圆M 的方程;(2)若圆M 上存在点P ,使|OP|=m (m>0),其中O 为坐标原点,求实数m 的取值范围.设圆M 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),根据题意得{a +b -2=0,(1-a )2+(-1-b )2=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,解得{a =1,b =1,r =2,所以圆M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)如图,m=|OP|∈[2-√2,2+√2].关键能力提升练9.若直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k ,b 的值分别为( ) A.12,-4B.-12,4C.12,4D.-12,-4y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=12,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A .10.已知圆O :x 2+y 2=1,点A (-2,0)及点B (2,a ),从A 点观察B 点,要使视线不被圆O 挡住,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-1)∪(-1,+∞) B .(-∞,-2)∪(2,+∞) C .-∞,-4√33∪4√33,+∞D .(-∞,-4)∪(4,+∞)方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.过A ,B 两点的直线方程为y=a 4x+a 2, 即ax-4y+2a=0, 令d=√a 2+16=1,化简后,得3a 2=16,解得a=±4√33.再进一步判断便可得到正确答案为C . (方法2)(数形结合法)如图,设直线AB 切圆O 于点C 在Rt △AOC 中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt △BAD 中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=4√33,再由图直观判断,故选C .11.(2020四川成都石室中学高二上期中)已知实数x ,y 满足x 2+y 2=1,则√3x+y 的取值范围是( ) A.(-2,2) B.(-∞,2] C.[-2,2]D.(-2,+∞)解析因为x 2+y 2=1,所以设x=sin α,y=cos α,则√3x+y=√3sin α+cos α=2sin α+π6,所以√3x+y 的取值范围是[-2,2].故选C .12.(多选题)若经过点P (5m+1,12m )可以作出圆(x-1)2+y 2=1的两条切线,则实数m 的取值可能是( ) A.110B.113C.-113D.-12P 可作圆的两条切线,说明点P 在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m )2>1,解得m>113或m<-113,对照选项知AD 可能.13.(多选题)设有一组圆C k :(x-k )2+(y-k )2=4(k ∈R ),下列命题正确的是( ) A.不论k 如何变化,圆心C 始终在一条直线上 B.所有圆C k 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π(k ,k ),在直线y=x 上,故A 正确;令(3-k )2+(0-k )2=4,化简得2k 2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k 2-6k+5=0无实数根,故B 正确;由(2-k )2+(2-k )2=4,化简得k 2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆C k 有两个,故C 错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D 正确.故选ABD .14.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|的最小值为√82+(-6)2-5=10-5=5.15.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C 的标准方程为 .(a ,0),且a>0,则点(a ,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即|3×a+4×0+4|√3+4=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-143(舍去),则圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=4.x-2)2+y 2=416.矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,1),AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T (-1,0)在AD 边所在直线上.(1)求AD 边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD 外接圆的方程.因为AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD 与AB 垂直,所以直线AD 的斜率为-2.又因为点 T (-1,0)在直线AD 上,所以AD 边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.(2)由{x -2y -4=0,2x +y +2=0,解得{x =0,y =-2,所以点A 的坐标为(0,-2),因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,1),所以M 为矩形外接圆的圆心.又|AM|=√(2-0)2+(1+2)2=√13,从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.学科素养创新练17.设A (x A ,y A ),B (x B ,y B )为平面直角坐标系内的两点,其中x A ,y A ,x B ,y B ∈Z .令Δx=x B -x A ,Δy=y B -y A ,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B 为点A 的“相关点”,记作B=τ(A ). (1)求点(0,0)的“相关点”的个数.(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.因为|Δx|+|Δy|=3(Δx ,Δy 为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个.(2)是.设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x ,y ).由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x-0)2+(y-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,√5为半径的圆上,所求圆的方程为x 2+y 2=5.。

第二章一元二次函数、方程和不等式2．1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式[目标] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.理解不等号的意义和不等式的概念,会用不等式和不等式组表示各种不等关系；3.理解实数大小与实数运算的关系,会用作差比较法比较两个实数的大小．[重点] 会用作差比较法比较两个实数的大小．[难点] 用不等式或不等式组表示各种不等关系．知识点一不等式与不等关系[填一填]1．不等式的定义所含的两个要点：(1)不等符号<,≤,>,≥或≠.(2)所表示的关系是不等关系．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换[答一答]1．不等关系通过什么样的形式表现出来？提示：通过不等式来表现不等关系．2．在日常生活中,我们经常看到下列标志：(1)你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？ (2)你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：(1)①最低限速：限制行驶时速v 不得低于50公里； ②限制质量：装载总质量G 不得超过10 t ； ③限制高度：装载高度h 不得超过3.5米； ④限制宽度：装载宽度a 不得超过3米； ⑤时间范围：t ∈{t |7.5≤t ≤10}．(2)①v ≥50；②G ≤10；③h ≤3.5；④a ≤3；⑤7.5≤t ≤10. 知识点二 比较两实数a,b 大小的依据[填一填][答一答]3．用作差法比较两个实数的大小时,对差式应如何变形？ 提示：一般地,对差式分解因式或配方． 4．比较x 2＋3与3x 的大小(其中x ∈R )．提示：因为(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝[x 2－3x ＋⎝⎛⎭⎫322]＋3－⎝⎛⎭⎫322＝⎝⎛⎭⎫x －322＋34≥34>0,所以x 2＋3>3x .类型一 用不等式(组)表示不等关系[例1] 已知甲、乙两种食物的维生素A,B 含量如下表：食物甲 乙 维生素A/(单位/kg) 600 700 维生素B/(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各x kg,y kg 配成混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用不等式组表示x ,y 所满足的不等关系．[分析] 根据维生素A 和B 分别至少为56 000单位和63 000单位列不等式．[解] x kg 甲种食物含有维生素A 600x 单位,含有维生素B 800x 单位,y kg 乙种食物含有维生素A 700y 单位,含有维生素B 400y 单位,则x kg 甲种食物与y kg 乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x ＋700y )单位,含有维生素B(800x ＋400y )单位,则有⎩⎪⎨⎪⎧ 600x ＋700y ≥56 000，800x ＋400y ≥63 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋7y ≥560，4x ＋2y ≥315，x ≥0，y ≥0.1.用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意,明确条件中的不等关系的个数； (2)适当设未知数表示变量；(3)用不等式表示每一个不等关系,并写成不等式组的形式． 2．常见的文字语言与符号语言之间的转换[变式训练1]《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行,身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票),超过1.4米的应买全价票,每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米,杆状物品不得超过200厘米,重量不得超过20千克……设身高为h(米),物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米),请用不等式表示下表中的不等关系.解：由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示,物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系,再用不等式表示．身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h≤1.4,身高超过1.4米可表示为h>1.4,身高不足1.1米可表示为h<1.1,物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：类型二 比较大小[例2] (1)设m ∈R ,x ∈R ,比较x 2－x ＋1与－2m 2－2mx 的大小．(2)甲、乙是同班同学,且住在同一小区,两人同时从小区出发去学校,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,且跑步速度大于步行速度,试判断两人谁先到学校．[分析] (1)将两个代数式作差,判断它们差的符号．(2)依据题意求出甲、乙所用时间,作差法进行比较．[解] (1)∵x ∈R ,m ∈R ,∴(x 2－x ＋1)－(－2m 2－2mx )＝x 2＋(2m －1)x ＋(2m 2＋1)＝x 2＋(2m －1)x ＋⎝⎛⎭⎫2m －122－⎝⎛⎭⎫2m －122＋2m 2＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋2m －122＋m 2＋m ＋34＝⎝⎛⎭⎫x ＋2m －122＋⎝⎛⎭⎫m ＋122＋12>0.∴x 2－x ＋1>－2m 2－2mx .(2)设步行速度与跑步速度分别为v 1,v 2,其中0<v 1<v 2,总路程为2s .则甲用的时间为s v 1＋sv 2,乙有的时间为4s v 1＋v 2.因为s v 1＋s v 2－4s v 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0,所以sv 1＋s v 2>4sv 1＋v 2,故乙同学先到学校．1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论.(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论. 2.作商法比较大小的步骤,①作商变形；②与1比较大小；③得出结论.[变式训练2] 设x ∈R ,且x ≠－1,比较11＋x 与1－x 的大小．解：∵11＋x －(1－x )＝x 21＋x ,而x 2≥0,(1)当x ＝0时,x 21＋x ＝0,∴11＋x ＝1－x .(2)当1＋x <0,即x <－1时,x 21＋x <0,∴11＋x<1－x . (3)当1＋x >0,且x ≠0,即－1<x <0或x >0时,x 21＋x >0,∴11＋x >1－x .综上可知：当x ＝0时,11＋x ＝1－x ；当x <－1时,11＋x <1－x ；当－1<x <0或x >0时,11＋x>1－x .类型三 不等式的实际应用[例3] 某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票,按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的,试根据此单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠．[分析] 依据题意表示出两车队的收费,然后比较大小．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *),全票价为x 元,坐甲车需花y 1元,坐乙车需花y 2元,则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ,y 2＝45xn ,y 1－y 2＝14x ＋34xn －45xn ＝14x －120xn ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时,y 1＝y 2； 当n >5时,y 1<y 2； 当n <5时,y 1>y 2.因此,当此单位去的人数为5人时,两车队收费相同；多于5人时,选甲车队更优惠；少于5人时,选乙车队更优惠．(1)“最优方案”问题,首先要设出未知量,搞清楚比较的对象,然后把这个未知量用其他的已知量表示出来,通过比较即可得出结论.(2)这是一道与不等式有关的实际应用问题,解答时要有设有答,步骤完整.[变式训练3] 某蛋糕师制作A ,B 两种蛋糕,原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个A 种蛋糕需要面粉150 g,黄油100 g,牛奶50 mL ；制作一个B 种蛋糕需要面粉200 g,黄油140 g,牛奶70 mL.现有面粉1 000 g,黄油600 g,牛奶350 mL.若分别制作x 个A 种蛋糕,y 个B 种蛋糕．试列出x ,y 满足的不等式组．解：①制作A ,B 两种蛋糕需要的面粉不超过1 000 g,用不等式表示为150x ＋200y ≤1 000； ②制作A ,B 两种蛋糕需要的黄油不超过600 g,用不等式表示为100x ＋140y ≤600； ③制作A ,B 两种蛋糕需要的牛奶不超过350 mL,用不等式表示为50x ＋70y ≤350； ④A ,B 两种蛋糕的制作量都应不少于0,且为整数个,故x ∈N ,y ∈N . 所以x ,y 满足的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧150x ＋200y ≤1 000100x ＋140y ≤60050x ＋70y ≤350x ∈N ，y ∈N .1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元,设x 个月后他至少有400元,则关于月数x 的不等式是( B )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋60≤400解析：x 月后他至少有400元,可表示成30x ＋60≥400.2．若x ≠－2且y ≠1,则M ＝x 2＋y 2＋4x －2y 的值与－5的大小关系是( A ) A ．M >－5 B ．M <－5 C ．M ≥－5D ．M ≤－5解析：M －(－5)＝x 2＋y 2＋4x －2y ＋5 ＝(x ＋2)2＋(y －1)2, ∵x ≠－2,y ≠1, ∴(x ＋2)2>0,(y －1)2>0, 因此(x ＋2)2＋(y －1)2>0. 故M >－5.3．设a ≥0,b ≥0,A ＝a ＋b ,B ＝a ＋b ,则A ,B 的大小关系是( B ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B 解析：由题意得,B 2－A 2＝－2ab ≤0,因为A ≥0,B ≥0,所以A ≥B .4．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0),若再添上m 克糖(m >0),则糖水就变甜了,试根据这个事实提炼一个不等式a ＋m b ＋m >ab(b >a >0,m >0)．解析：由题意ab的比值越大,糖水越甜,若再添上m 克糖(m >0),则糖水就变甜了,说明a ＋mb ＋m >ab. 5．已知a ,b 为正实数,试比较a b ＋ba与a ＋b 的大小． 解：方法1(作差法)：(a b ＋b a )－(a ＋b )＝(a b －b )＋(ba －a )＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab.∵a ,b 为正实数,∴a ＋b >0,ab >0,(a －b )2≥0, ∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0,∴a b ＋b a ≥a ＋b .方法2(作商法)：b a ＋ab a ＋b ＝(b )3＋(a )3ab (a ＋b )＝(a ＋b )(a ＋b －ab )ab (a ＋b )＝a ＋b －abab＝(a －b )2＋ab ab ＝1＋(a －b )2ab ≥1.∵b a ＋a b >0,a ＋b >0,∴b a ＋ab≥a ＋b . 方法3(平方后作差)：∵(a b ＋b a )2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab ,(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ,∴(a b ＋b a )2－(a ＋b )2＝(a ＋b )(a －b )2ab .∵a >0,b >0,∴(a ＋b )(a －b )2ab ≥0,又a b ＋ba >0,a ＋b >0, 故a b ＋ba≥a ＋b .——本课须掌握的三大问题1．不等关系强调的是关系,可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用“a >b ”“a <b ”“a ≠b ”“a ≥b ”“a ≤b ”等式子表示,不等关系是可以通过不等式来体现的．2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字大于,高于,超过小于,低于,少于大于或等于,至少,小于或等于,至多,不(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论,其中变形是判断符号的前提．。

基本不等式的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021江苏南京高一期末)设实数x 满足x>0,函数y=2+3x+4x+1的最小值为( )A.4√3-1B.4√3+2C.4√2+1D.6x>0,∴x+1>0,∴y=2+3x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-1≥2√3(x +1)·4x+1-1=4√3-1,当且仅当3(x+1)=4x+1,即x=2√33-1>0时,等号成立,∴函数y=2+3x+4x+1的最小值为4√3-1.故选A .2.(2020辽宁凤城高一期中)已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=1a +1b 的最大值为( ) A.-1 B .-32C .-4D .-2解析a<0,b<0,a+b=-2,∴1a+1b=-121a +1b(a+b )=-122+b a +a b≤-122+2√b a ·a b=-2,当且仅当a=b=-1时,等号成立,故y=1a+1b 的最大值为-2,故选D .3.(多选题)(2021广东番禺高一期末)已知a>0,b>0,且a 2+b 2=1,则( ) A.a+b ≤√2 B.a+b ≤12C.a+b>√2D.1a 2+1b2≥4(a+b )2=a 2+b 2+2ab=1+2ab ≤1+(a 2+b 2)=2(当且仅当a=b 时,等号成立),又a>0,b>0,则a+b ≤√2,故A 正确;1a 2+1b2=a 2+b 2a 2+a 2+b2b2=1+b 2a 2+a 2b2+1≥2+2√a 2b2·b2a 2=2+2=4,当且仅当b2a2=a 2b2,即a=b 时,等号成立,故D 正确.故选AD .4.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于v 2800 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要 h .解析当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50·v 2800v =v 16 h,最后一辆车驶完全程共需要400v h,所以一共需要400v +v16h,由基本不等式,得400v +v 16≥2√400v ·v16=10,故最少需要10 h .5.已知a ,b 都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab的最小值为 .a ,b 都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab=1b +2a =13(2a+b )2a +1b=135+2b a +2a b ≥13(5+4)=3,当且仅当2ba =2ab 且2a+b=3,即a=b=1时,a+2bab 取得最小值3. 6.已知正数a ,b ,x ,y 满足a+b=10,ax +by =1,x+y 的最小值为18,求a ,b 的值.(x+y )(ax +by )=a+bxy +ayx +b=10+bxy +ayx . 因为x ,y>0,a ,b>0,所以x+y ≥10+2√ab =18,即√ab =4. 当且仅当bx y =ayx时,等号成立. 又a+b=10,所以{a =2,b =8或{a =8,b =2.7.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x ≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油2+x 2360升,司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低费用的值.设所用时间为t=130x 小时,则y=130x ×6×(2+x 2360)+14×130x ,50≤x ≤100.所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y=3 380x +136x ,50≤x ≤100. (2)y=3 380x +136x ≥263√390, 当且仅当3 380x =136x ,即x=2√390时,等号成立.又2√390<50,所以当x=50时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为y=3 38050+136×50=2 63915(元).等级考提升练8.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m 恒成立,则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8 D.7解析2a +1b =2a +1b (2a+b )=5+2ba +2ab ≥5+2√2b a ·2ab =9,当且仅当2ba =2ab ,即a=b=13时,等号成立.所以2a +1b的最小值为9,又因为2a +1b ≥m 恒成立,所以m ≤9,即m 的最大值为9.9.(2021浙江温州高一期末)已知正数a ,b 满足a+b=1,则4a1-a +b1-b 的最小值是( ) A.1 B .2 C .4 D .8a ,b 满足a+b=1,则4a1-a +b1-b =4ab +ba ≥2√4ab ·ba =4, 当且仅当4ab =ba ,即b=2a=23时,等号成立. 故4a1-a +b 1-b 的最小值是4, 故选C .10.(2021云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是( ) A.14 B .12C .1D .2x ,y ,则x>0,y>0,且x+y=1, 由基本不等式可得x 2+y 2≥2xy ,所以2(x 2+y 2)≥x 2+y 2+2xy=(x+y )2=1,所以x 2+y 2≥12,当且仅当x=y=12时,等号成立,因此,两个正方形的面积之和x 2+y 2的最小值为12.故选B .11.(多选题)(2021浙江湖州高一期末)已知a>0,b>0.若4a+b=1,则( ) A.14a +1b 的最小值为9 B .1a +1b 的最小值为9 C .(4a+1)(b+1)的最大值为94 D .(a+1)(b+1)的最大值为94,14a +1b =(14a +1b )(4a+b )=2+b4a +4ab ≥2+2√b4a ·4ab =4,当b4a =4ab ,即b=4a 且4a+b=1时,等号成立,故14a +1b 的最小值是4,故A 不正确;1a +1b=(1a +1b )(4a+b )=5+b a +4a b ≥5+2√b a ·4a b =9,当b a =4a b ,即b=2a 且4a+b=1时,等号成立,1a +1b的最小值为9,故B 正确;(4a+1)(b+1)≤[(4a+1)+(b+1)2]2=94,当4a+1=b+1,即b=4a=12时,等号成立,故C 正确;(a+1)(b+1)=14[(4a+4)(b+1)]≤14[(4a+4)+(b+1)2]2=94,当且仅当4a+4=b+1时,等号成立,又因为4a+b=1,因此当a=-14,b=2时,等号成立,但a>0,所以等号不能成立,故D 不正确.故选BC . 12.设函数y=x+ax (a>0).(1)若a=1,求当x>0时,函数y 的最小值为 ;(2)当x>2时,该函数存在最小值,则满足条件的一个a 的值为 .(2)5(答案不唯一,只要a>4即可)当a=1时,由基本不等式得x+1x≥2√x ·1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时等号成立,故最小值为2.(2)由基本不等式得x+ax ≥2√x ·ax =2√a ,当且仅当x=ax ,x=√a 时等号成立,故√a >2,即a>4.填a>4的任意一个a 都符合题意.13.对任意m ,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0,则实数a 的最大值为 .√2m ,n 为正实数,都有m 2-amn+2n 2≥0,∴m 2+2n 2≥amn , 即a ≤m 2+2n 2mn=m n +2nm 恒成立.∵mn +2nm ≥2√m n ·2nm =2√2, ∴a ≤2√2,即最大值为2√2.14.经观测,某公路段在某时段内的车流量y (单位:千辆/时)与汽车的平均速度v (单位:千米/时)之间有如下关系:y=920vv 2+3v+1 600(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度v 为 时车流量y 最大,最大车流量为 千辆/时(精确到0.01).11.08 y=920v v 2+3v+1 600=920v+1 600v +3≤2√v ·1 600v+3=92083≈11.08.当v=1 600v ,即v=40千米/时,车流量最大,最大值为11.08千辆/时.新情境创新练15.中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米(2≤x ≤6).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900a (1+x )x元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a 的取值范围.设甲工程队的总造价为y 元,则y=3150×2x+400×12x+7 200=900x+16x+7 200(2≤x ≤6),900x+16x+7200≥900×2×√x ·16x +7 200=14 400.当且仅当x=16x,即x=4时,等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14 400元.(2)由题意可得,当2≤x ≤6时,900x+16x+7 200>900a (1+x )x恒成立,即(x+4)2x>a (1+x )x, ∴a<(x+4)2x+1=(x+1)+9x+1+6,又x+1+9x+1+6≥2√(x +1)·9x+1+6=12, 当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立. ∴a 的取值范围为{a|0<a<12}.。

高中数学必修1课后习题答案第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}； （3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，B A ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．解：{|}AB x x =是等腰直角三角形， {|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形． 4．解：显然{2,4,6}U B =，{1,3,6,7}U A =， 则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数； （3）Q π∉π是个无理数，不是有理数； （42R 2是实数； （59Z 93=是个整数； （6）25)N ∈ 2(5)5=是个自然数．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-； （2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形． 等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥， 则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =， 而{1,2,3,4,5,6}BC =，{3}B C =， 则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学； （2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}BC x x =是正方形， 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形， {|}S A x x =是梯形．10．解：{|210}AB x x =<<，{|37}A B x x =≤<， {|3,7}R A x x x =<≥或，{|2,10}R B x x x =≤≥或，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或， (){|3,7}R A B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合， 即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},AB A B ==∅； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}AB A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =， 得U B A ⊆，即()U U A B B =，而(){1,3,5,7}U A B =， 得{1,3,5,7}U B =，而()U U B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-； （2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页） 1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<，即22500(050)y x x x =-<<．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示． 3．解：4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32； 因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页） 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠， 得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．图象如下：8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d，即d =(0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x =+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得0)l d ===>，即(0)l d =>．9．解：依题意，有2()2dx vt π=，即24v x t dπ=， 显然0x h ≤≤，即240v t h dπ≤≤，得204h d t v π≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，得2221235x xt +-=+，(012)x ≤≤， 即241235x xt +-=+，(012)x ≤≤． （2）当4x =时，2441242583()3535t h +-=+=+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-， 所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-， 因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ． 3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的 垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =； 当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1． 5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y AB x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭； 则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞； （2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3．解：由(){1,3}UA B =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x 31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-.练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623b a ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m •••=4165413121mm m m m ••=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行.3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rt s -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y 21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n . (2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n . 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35. 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ), 2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=-2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =； （2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z =-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）2211lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-. 4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x= (5) 100.3x = (6) 3xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg 6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=- 5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)b x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4. 8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >.9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s. 10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.B 组1. 由3log 41x =得：143,43xx-==，于是11044333x x -+=+= 2. ①当1a >时，3log 14a<恒成立； ②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<.综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >3. (1)当1I = W/m 2时，112110lg 12010L -==；(2)当1210I -= W/m 2时，121121010lg 010L --==答：常人听觉的声强级范围为0120dB .4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称又∵ ()()log (1)log (1)()()a a f x g x x x f x g x -+-=-++=+ ∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3xy =，0.1x y =.习题2.3 A 组（P79） 1.函数y =21x是幂函数.2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x ≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v =k ·r 4； （2）把r =3,v =400代入v =k ·r 4中,得k =43400＝81400,即v =81400r 4；（3）把r =5代入v =81400r 4,得v =81400×54≈3 086（cm 3/s ）, 即r =5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s .第二章 复习参考题A 组（P82）1.（1）11； （2）87； （3）10001； （4）259. 2.（1）原式=))(()()(212121212212122121b a b a b a b a -+++-=b a b b a a b b a a -++++-2121212122=ba b a -+)(2;（2）原式=))(()(1121----+-a a a a a a =aa a a 11+-=1122+-a a .3.（1）因为lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=12lg 5lg =32lg 210lg2•=3lg 2lg 22lg 1+-,所以log 125=ba a +-21. （2）因为2log 3a =，3log 7b =37147log 27log 56log 27⨯=⨯=2log 112log 377++=7log 2log 11)7log 2(log 33333÷++÷=b ab a ÷++÷111)1(3=13++ab ab . 4.（1）（-∞,21）∪（21,+∞）;（2）［0,+∞）.5.（32,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.6.（1）因为log 67>log 66=1,所以log 67>1.又因为log 76<log 77=1,所以log 76<1.所以log 67>log 76. （2）因为log 3π>log 33=1,所以log 3π>1.又因为log 20.8<0,所以log 3π>log 20.8.7.证明：（1）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）·f （y ）=3x ×3y =3x +y .又因为f （x +y ）=3x +y ,所以f （x ）·f （y ）=f （x +y ）.（2）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）÷f （y ）=3x ÷3y =3x -y . 又因为f （x -y ）=3x -y ,所以f （x ）÷f （y ）=f （x -y ）.8.证明:因为f （x ）=lgxx+-11,a 、b ∈（-1,1）, 所以f （a ）+f （b ）=lgbb a a +-++-11lg11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--, f （ab b a ++1）=lg （abb a ab ba +++++-1111）=lg b a ab b a ab +++--+11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--. 所以f （a ）+f （b ）=f （abba ++1）. 9.（1）设保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式为y =k ·a x （a >0,且a ≠1）.因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,所以022192,42,k a k a ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≈==.93.0327,19222a k 所以y =192×0.93x ,即所求函数解析式为y =192×0.93x . （2）当x =30 ℃时,y ≈22（小时）；当x =16 ℃时,y ≈60（小时）,即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时. （3）图象如图：图2-210.解析：设所求幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为f （x ）的图象过点（2,22）, 所以22=2α,即221-=2α.所以α=21-.所以f （x ）=x 21-（x >0）.图略,f (x )为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.B 组1.A2.因为2a =5b =10,所以a =log 210,b =log 510,所以a 1+b 1=10log 12+10log 15=lg 2+lg 5=lg 10=1. 3.（1）f （x ）=a 122+-x 在x ∈（-∞,+∞）上是增函数. 证明：任取x 1,x 2∈（-∞,+∞）,且x 1<x 2.f （x 1）-f （x 2）=a 122+-x -a +1222+x =1222+x -1221+x =)12)(12()22(21221++-x x x x .因为x 1,x 2∈（-∞,+∞）,所以.012.01212>+>+x x 又因为x 1<x 2, 所以2122x x <即2122x x <<0.所以f （x 1）-f （x 2）<0,即f （x 1）<f （x 2）.所以函数f （x ）=a 122+-x 在（-∞,+∞）上是增函数. （2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数,则f （-x ）+f （x ）=0,即a 121+--x +a 122+-x =0⇒a =121+-x +121+x =122+x +121+x=1, 即存在实数a =1使f （x ）=121+--x 为奇函数.4.证明:（1）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以［g （x ）］2-［f （x ）］2=［g （x ）+f （x ）］［g （x ）-f （x ）］=)22)(22(xx x x x x x x e e e e e e e e -----++++ =e x ·e -x =e x -x =e 0=1, 即原式得证.（2）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以f （2x ）=222x x e e -+,2f （x ）·g （x ）=2·2x x e e --·2x x e e -+=222xx e e --.所以f （2x ）=2f （x ）·g （x ）.（3）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以g （2x ）=222x x e e -+,［g （x ）］2+［f （x ）］2=（2x x ee -+）2+（2xx e e --）2=4222222x x x x e e e e --+-+++=222xx e e -+.所以g （2x ）=［f （x ）］2+［g （x ）］2.5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t =1时,θ=52,于是52=15+(62-15)e -k ,解得k ≈0.24,那么θ=15+47e -0.24t . 所以,当θ=42时,t ≈2.3;当θ=32时,t ≈4.2.答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃. 6.(1)由P=P 0e -k t 可知,当t =0时,P=P 0;当t =5时,P=(1-10%）P 0.于是有(1-10%)P 0=P 0e -5k ,解得k =51-ln 0.9,那么P=P 0e t )9.0ln 51(.所以,当t =10时,P=P 0e 9.01051n I ⨯⨯=P 0e ln 0.81=81%P 0.答:10小时后还剩81%的污染物. (2)当P=50%P 0时,有50%P 0=P 0et )9.0ln 51(,解得t =9.0ln 515.0ln ≈33.答:污染减少50%需要花大约33h . (3)其图象大致如下:图2-3新课程标准数学必修1第三章课后习题解答第三章 函数的应用 3．1函数与方程 练习（P88）1.(1)令f (x )=-x 2+3x +5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(1))，它与x 轴有两个交点，所以方程-x 2+3x +5=0有两个不相等的实数根.(2)2x (x -2)=-3可化为2x 2-4x +3=0，令f (x )=2x 2-4x +3,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(2))，它与x 轴没有交点，所以方程2x (x -2)=-3无实数根. (3)x 2=4x -4可化为x 2-4x +4=0,令f (x )=x 2-4x +4,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(3))， 它与x 轴只有一个交点(相切)，所以方程x 2=4x -4有两个相等的实数根. (4)5x 2+2x =3x 2+5可化为2x 2+2x -5=0,令f (x )=2x 2+2x -5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(4))， 它与x 轴有两个交点，所以方程5x 2+2x =3x 2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点. (3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=e x-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=e x-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8练习（P91）1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.656 25.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的近似解可取为2.593 75.习题3.1 A组（P92）1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.937 5,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.937 5.4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)·f(1)<0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.。

3.4 函数的应用(一)课后训练巩固提升1.从装满20 L 纯酒精的容器中倒出1 L 酒精,然后用水加满,再倒出1 L 酒精溶液,再用水加满,照这样的方法继续下去,如果倒第k 次时前k 次共倒出纯酒精x L,倒第(k+1)次时前(k+1)次共倒出纯酒精f(x) L,则f(x)的解析式是( )A.f(x)=1920x+1 B.f(x)=120x+1 C.f(x)=1920(x+1) D.f(x)=120xk 次时共倒出纯酒精xL,所以第k 次后容器中含纯酒精(20-x)L,第(k+1)次倒出的纯酒精是20-x 20L,故f(x)=x+20-x 20=1920x+1.2.某商品的进货价为40元/件,当售价为50元/件时,一个月能卖出500件.通过市场调查发现,该商品的单价每提高1元,该商品一个月的销售量就会减少10件,为使销售该商品的月利润最高,商店应将每件商品定价为( )A.45元B.55元C.65元D.70元50元的基础上提高x元,x∈N,每月的月利润为y元,则y与x 的函数解析式为y=(500-10x)·(50+x-40)=-10x2+400x+5000,x∈N,其图象的对称轴为直线x=20,故每件商品的定价为70元时,月利润最高.3.(多选题)甲、乙两人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步;乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,且两人骑车的速度均大于跑步的速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下:则上述四个函数图象中,表示甲、乙两人运动的函数关系的图象对应正确的是( )A.甲对应图①B.甲对应图③C.乙对应图②D.乙对应图④,知前半程的速度大于后半程的速度,则前半程的直线的斜率大于后半程直线的斜率.乙是先跑步,到中点后改为骑自行车,则前半程的直线的斜率小于后半程直线的斜率.因为甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,则甲前半程的直线的斜率大于乙后半程直线的斜率,所以甲是①,乙是④.4.一批商品按期望获得50%的利润定价,结果只销售出70%的商品,为了尽早销售完剩下的商品,商场决定按定价打折出售,这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82%,则应打( )A.六折B.七折C.八折D.九折a,商品打x折,-a)×30%=0.5a×82%-0.5a×70%,解得x=8.即商品由题意,得(1.5a·x10应打八折.5.已知直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,直线x=t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(图中阴影部分)为y,则函数y=f(t)的大致图象为( )0≤t≤1时,f(t)=12t·2t=t2;当1<t≤2时,f(t)=12×1×2+(t-1)×2=2t-1,故当t∈[0,1]时,函数的图象是抛物线的一部分,当t∈(1,2]时,函数的图象是一条线段,故选C.6.将边长为1 m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,设S=(梯形的周长)2梯形的面积,则S的最小值是.,根据题意,得S(x)=√3·(3-x)21-x2(0<x<1),令3-x=t,则t∈(2,3),1t ∈(13,12),则S=√3·t2-t2+6t-8=√3·1-8t2+6t-1,故当1t =38,即x=13时,S有最小值,最小值是32√33.7.有一种新型的洗衣液,去污效果特别好.已知在装有一定量水的洗衣机中投放k(1≤k≤4,且k∈R)个单位的洗衣液时,它在水中释放的浓度y(单位:克/升)随着时间x(单位:分钟)变化的函数解析式近似为y=kf(x),其中f(x)={248-x-1(0≤x≤4),7-12x(4<x≤14).若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时,它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次k个单位的洗衣液,第2分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升,求k的值;(2)若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?(3)若第一次投放2个单位的洗衣液,10分钟后再投放1个单位的洗衣液,则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?请说明理由.由题意知,k(248-2-1)=3,解得k=1.(2)因为k=4,所以y={968-x -4,0≤x≤4,28-2x,4<x≤14.当0≤x≤4时,由968-x-4≥4,解得-4≤x<8,所以0≤x≤4;当4<x≤14时,由28-2x≥4,解得x≤12,所以4<x≤12.综上,当y≥4时,0≤x≤12.故只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟.(3)能.理由:在第12分钟时,水中洗衣液的浓度为2×(7-12×12)+1×[248-(12-10)-1]=5(克/升),因为5>4,所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用.8.在经济学中,函数f(f(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(x>0)报警系统装置的收益函数为R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4 000(单位:元).(1)求生产P(P(P(x)取得最大值时的实际意义是什么?由题意,得P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000,其中P(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)=248 0-40x,其中x∈[1,99],且x∈N*.(2)由(1)知P(x)=-20x2+2500x-4000=-20(x-1252)2+74125.由x∈N*,知当x=62或x=63时,P(a P(x)=2480-40x,该函数是减函数,即随着产量的增加,每台报警系统装置与前一台相比较,利润在减小,故当x=1时,MP(P(x)取得最大值时的实际意义是生产第2台报警系统装置与生产第1台的总利润差最大.。

空间向量基本定理课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A.-12a +12b +cB.12a +12b +c C.-12a -12b -cD.-12a -12b +c1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a -12b -c .2.(2020广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,点E 为上底面A 1C 1的中心,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x ,y 的值分别为( ) A.1,1B.1,12C.12,12D.12,1AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=12.故选C .3.在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,N 是OB 的中点,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.23a +12b -23c B.23a -12b +23c C.-13a +12b -23cD.13a +12b -13c=23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c .4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE⃗⃗⃗⃗⃗ = .,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a +12b +c .-12a +12b +c5.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB ⊥AC 1.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b +c .所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·(b +c )=a ·b +a ·c , 因为AA 1⊥平面ABC ,∠BAC=90°, 所以a ·b =0,a ·c =0, 得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AB ⊥AC 1. 6.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD=4,CD=3,∠ADC=60°,PA ⊥平面ABCD ,PA=6,求线段PC 的长.ABCD 中,∠ADC=60°,所以∠BAD=120°.又PA ⊥平面ABCD , 所以PA ⊥AB ,PA ⊥AD.因为PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AP⃗⃗⃗⃗⃗ )2= √|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗=√9+16+36+2×3×4×(-12)-0-0 =7,即线段PC 的长为7.关键能力提升练7.(2020安徽淮北一中高二上期中)已知M ,N 分别是四面体OABC 的棱OA ,BC 的中点,点P 在线段MN 上,且MP=2PN ,设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.16a+16b+16c B.13a+13b+13c C.16a+13b+13c D.13a+16b+16c⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+13×12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b +13c +16a ,故选C .8.在四面体O -ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x ,y ,z )为( ) A.(14,14,14)B.(34,34,34)C.(13,13,13) D.(23,23,23)如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 的中点,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ), AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3GG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34( OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗)=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ .9.(多选题)在三棱锥P-ABC 中,三条侧棱PA ,PB ,PC 两两垂直,且PA=PB=PC=3,G 是△PAB 的重心,E ,F 分别为棱BC ,PB 上的点,且BE ∶EC=PF ∶FB=1∶2,则下列说法正确的是( ) A.EG ⊥PG B.EG ⊥BC C.FG ∥BC D.FG ⊥EF,设PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个正交基底,则a ·b=a ·c=b ·c=0.取AB 的中点H , 则BC⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b , PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(a+b )=13a+13b , PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23b+13c , 则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-23b-13c=13a-13b-13c ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b ,FG⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-13b=13a , EF⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b-13c+23b =-13c-13b. EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 正确;EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),故C 不正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 正确.故选ABD .10.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =α a +β b +γ c 时,α+β+γ=.d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以{α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.11.(2020浙江杭州学军中学高二上期中)在棱长为a 的正四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AD ,BC 的中点,则异面直线EF 与AB 所成角的大小是 ,线段EF 的长度为 .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a ,a ·b=a ·c=b ·c =12a 2.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b )-12c , ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 2+12a ·b-12a ·c =12a 2, |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(12a +12b -12c) 2=√22a. ∴cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12a 2√22a×a=√22,∴异面直线EF 与AB 所成的角为π4.√22a12.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,试用a ,b ,c 表示MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AN ,则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b ),又A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -c ,故AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -13(b -c ),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b )+b -13(b -c )=13(-a +b +c ).13.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点.证明: (1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ; (2)A 1G ⊥平面EFD.设正方体棱长为1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =i ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =j ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k ,则{i ,j ,k }构成空间的一个单位正交基底. AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =i +k , GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12i +12k =12AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB 1∥GE.EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12k +(-12)(i +j )=-12i -12j +12k ,∵AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(i +k )·(-12i -12j +12k)=-12|i |2+12|k |2=0,∴AB 1⊥EH. (2)A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-k +j +12i ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =i -12j ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =i +12k . ∴A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i -12j)=-12|j |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DF.A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i +12k)=-12|k |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DE.又DE ∩DF=O ,∴A 1G ⊥平面EFD.学科素养创新练14.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥平面B 1AC.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,有a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0,则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-a +b +c ),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a +b +c )·(a +b )=12(|b |2-|a |2)=0. ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C. ∵AB 1∩B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.。

直线的方程直线的点斜式方程 课后篇巩固提升必备知识基础练1.直线y-4=-√3(x+3)的倾斜角和所经过的定点分别是( )A.30°,(-3,4)B.120°,(-3,4)C.150°,(3,-4)D.120°,(3,-4)k=-√3,过定点(-3,4).2.过点(0,1)且与直线y=12(x+1)垂直的直线方程是 ( )A.y=2x-1B.y=-2x-1C.y=-2x+1D.y=2x+1y=12(x+1)垂直的直线斜率为-2,又过点(0,1),所以所求直线方程为y=-2x+1,故选C .3.直线y=ax+1a(a ≠0)的图形可能是( )y=ax+1a(a ≠0)的斜率是a ,在y 轴上的截距是1a.当a>0时,直线在y 轴上的截距1a>0,此时直线y=ax+1a 过第一、二、三象限;当a<0时,直线在y 轴上的截距1a <0,此时直线y=ax+1a 过第二、三、四象限,只有选项B 符合.4.斜率为2的直线经过(3,5),(a ,7)两点,则a= .(3,5),斜率为2的直线的点斜式方程为y-5=2(x-3),将(a ,7)代入y-5=2(x-3),解得a=4.5.直线l 与直线y=-x+2垂直,且它在y 轴上的截距为4,则直线l 的方程为 .l 的方程为y=x+m ,又它在y 轴上的截距为4,∴m=4,∴直线l 的方程为y=x+4.46.已知直线l 的斜率为16,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l 的斜截式方程为 .l 的方程为y=16x+b (b ≠0).当x=0时,y=b ;当y=0时,x=-6b.由题意可得12·|b|·|-6b|=3,即6|b|2=6,解得b=±1.故直线l 的方程为y=16x+1或y=16x-1. y=16x+1或y=16x-17.已知△ABC 的顶点坐标分别是A (-5,0),B (3,-3),C (0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的点斜式方程.AB 的斜率k AB =-3-03-(-5)=-38,且直线AB 过点A (-5,0),∴直线AB 的点斜式方程为y=-38(x+5),同理:k BC =2+30-3=-53,k AC =2-00+5=25,∴直线BC 的点斜式方程为 y-2=-53x 或y+3=-53(x-3), 直线AC 的点斜式方程为 y-2=25x 或y=25(x+5). 8.已知直线l :y=kx+2k+1.(1)求证:对于任意的实数k ,直线l 恒过一个定点;(2)当-3<x<3时,直线l 上的点都在x 轴的上方,求实数k 的取值范围.y=kx+2k+1,得y-1=k (x+2),从而直线l 恒过定点(-2,1).f (x )=kx+2k+1,由题意可得{f (-3)≥0,f (3)≥0,即{-3k +2k +1≥0,3k +2k +1≥0,解得-15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是[-15,1].关键能力提升练9.将直线y=√3(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是( ) A.y=-√3x+2√3 B.y=√3x+2√3 C.y=-√3x-2√3D.y=√3x-2√3直线y=√3(x-2)的倾斜角是60°,∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°,斜率为-√3,且过点(2,0). ∴其方程为y-0=-√3(x-2),即y=-√3x+2√3.10.以A (2,-5),B (4,-1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A.y=2x+9 B.y=-12x+32C.y=2x-9D.y=-12x-32A (2,-5),B (4,-1),知线段AB 中点坐标为P (3,-3),又由斜率公式可得k AB =-1-(-5)4-2=2,所以线段AB 的垂直平分线的斜率为k=-1k AB =-12,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y-(-3)=-12(x-3),即y=-12x-32.故选D .11.若y=a|x|与y=x+a (a>0)的图象有两个交点,则a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(0,1) C.⌀D.(0,1)∪(1,+∞)(a>0)表示斜率为1,在y 轴上的截距为a (a>0)的直线,y=a|x|表示关于y 轴对称的两条射线.根据题意画出大致图象,如图.若y=a|x|与y=x+a 的图象有两个交点,且a>0,则根据图象可知a>1.故选A .12.(多选题)在同一直角坐标系中,能正确表示直线y=ax 与y=x+a 大致图象的是( )13.已知直线l 过点P (-2,0),直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为10,则直线l 的方程为 .l 在y 轴上的截距为b ,则由已知得12×|-2|×|b|=10,b=±10.①当b=10时,直线过点(-2,0),(0,10),斜率k=10-00-(-2)=5. 故直线的斜截式方程为y=5x+10.②当b=-10时,直线过点(-2,0),(0,-10),斜率k=-10-00-(-2)=-5. 故直线的斜截式方程为y=-5x-10.综合①②可知,直线l 的方程为y=5x+10或y=-5x-10.5x+10或y=-5x-1014.(2020广东广州二中高二上期中)已知直线l :kx-y+2+4k=0(k ∈R ). (1)若直线l 不经过第四象限,求k 的取值范围;(2)若直线l 交x 轴的负半轴于点A ,交y 轴的正半轴于点B ,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为S ,求S 的最小值及此时直线l 的方程.直线l 的方程可化为y=kx+2+4k ,则直线在y 轴上的截距为4k+2,要使直线l 不经过第四象限,需满足{k ≥0,4k +2≥0,解得k ≥0,故k 的取值范围是[0,+∞).(2)依题意,直线l 在x 轴上的截距为-4k+2k ,在y 轴上的截距为4k+2,且k>0,所以A (-4k+2k,0),B (0,4k+2),故S=12|OA|×|OB|=2(2k+1)2k =2(4k +1k +4)≥2×(4+4)=16,当且仅当4k=1k ,即k=12时,等号成立.故S 的最小值为16,此时直线l 的方程为y=12x+4.学科素养创新练15.有一个既有进水管又有出水管的容器,每单位时间进出的水量是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x (单位:分钟)与水量y (单位:升)之间的关系如图所示,若40分钟后只放水不进水,求y 与x 的函数关系.0<x<10时,直线段过点O (0,0)和A (10,20).所以k OA =2010=2,此时方程为y=2x.当10≤x ≤40时,直线段过点A (10,20)和B (40,30),所以k AB =30-2040-10=13.此时方程为y-20=13(x-10),即y=13x+503.当x>40时,由物理知识可知,直线的斜率就是相应进水或放水的速度.设进水速度为v 1,放水速度为v 2,当0≤x ≤10时,是只进水过程,所以v 1=2,当10<x ≤40时,是既进水又放水,所以此时速度为v 1+v 2=13,即2+v 2=13,所以v 2=-53.所以当x>40时,k=-53,又直线过点B (40,30).此时直线方程为y-30=-53(x-40),即y=-53x+2903.当y=0时,x=2905=58.此时,直线过点C (58,0),即第58分钟时水放完.综上所述可知,y={ 2x ,0≤x ≤10,13x +503,10<x ≤40,-53x +2903,40<x ≤58.。