(2+1)维Davey-Stewartson方程新的精确解
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(2+1)维Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程新的精确解
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔｈ ｅ ｍｏ ｄ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄ ＣＫ ｄ ｉ ｒ ｅ ｃ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ， ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｌ ｉ ｅ ｇ ｒ ｏ ｕ ｐ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ， ｗａ ｓ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｍｏ ｄ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄ Ｃ Ｋ ｄ ｉ ｒ ｅ ｃ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ；（ ２ ＋１ ） 一 ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｃ ａ ｌ ｏ ｇ ｅ ｒ ｏ ＿ ｂ ｏ ｇ ｏ ｙ ａ ｖ ｌ ｅ ｎ ｓ ｋ ｉ ｉ — Ｓ ｅ ｈ ｉ ｆ ｆ ｅ —
收稿 日期 ： ２ ０ １ ５ — ０ ３ — ２ ０
通讯作者 ： 鱼翔（ １ ９ ８ ５ 一） ， 男， 陕西省咸阳市人 ， 西安培华 学院助 教 ， 硕士 ， 研 究方 向为非线 性偏微 分方程． Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ｙ ｕ ｘ —
程， 得到 该 方程 的一般 对称群 ， 并 以此 为基础 约化 该 方程 得 到低 维微 分 方程 ． 借 助 辅 助 函数 法 求
解所得 约化 方程 ， 得 到 该方程 的一 些新 的精 确 解． 该 方 法给 出 了方程 的 新 解与 旧解之 间的 联 系，
也 适 用 于 其 他 的非 线 性 演 化 方 程 ．
２ ０ １ ５年 ８月
Ｖｏ １ ． ２ ９ ， Ｎｏ ． ４ （ Ｓ ｕ ｍ． Ｎｏ ． １ ３ ４ ）
ＤＯ Ｉ ： １ ０ ． １ ３ ３ ３ ８ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ４ — ６ ４ ９ ｘ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ４ ． ０ ２ ５
（ ２ ＋１ ） 维Ｃ ａ ｌ ｏ ｇ ｅ ｒ ｏ — Ｂ ｏ ｇ ｏ ｙ ａ ｖ ｌ ｅ ｎ ｓ ｋ ｉ ｉ ＿ Ｓ ｃ ｈ ｉ ｆ 方 程 新 的 精 确 解
Davey-Stewartson Ⅰ方程新的精确周期解
维普资讯
第３ 期
刘 常 福 ， 戴 正 德 ：Ｄａ ｅ －ｔｗａ ｔｏ ｖｙ Ｓ ｅ ｘｓ ｎ Ｉ方 程 新 的精 确周 期 解
５１ １
２ Ｄａｅ —ｔｗａｔｏ （ ） 程 的周 期解 ｖｙＳｅ ｒｓｎＩＤＳＩ方
考 虑 Ｄ 程 描 述 丫 有 限 深 度 的 水 中 水波 的 运 动 ，它 的第 一 种类 型 称 为（ ａｅ． Ｄ ｖｙＳｅ ｒ ｏ 方 ｗ ｔ Ｄ ｖｙ
Ｓｅ ｒｓｎ Ｉ足 椭 圆 一 双 曲 型 方 程 。 物 理 学 中 ， 微 分 方 程 的 精 确 解 对 考 察 非 线 性 现 象 起 ｔｗａｔｏ ） 着 非 常 重要 的作 用 ，为 、揭 示 Ｄａｅ — ｔｗａｔｏ 方 程 的 运 动 性 质 ， 本 文 研 究 它 的精 确 周 期 解 。 ｒ ｖ ｙＳｅ ｒｓ ｎＩ 应 用Ｆ 代 数 方 法 并通 过 一 个 高阶 辅 助 微 分 方 程 ，获 得 －Ｄａ ｅ —ｔｗａｔｏ 程 的 一 系 列 新 的 一 ｊ ｖｙＳ ｅ ｒｓｎＩ方 ＂ 精 确 周 期解 ，包 括 三 角 函 数 剧 期解 ，Ｊ ｃｂ椭 圆函 数 用 期 解 。 ａｏ ｉ
法【、Ｊ ｃｂ椭 圆函数 展 开 泫【等等 。近 年 来 ，范 恩 贵提 出了一 种 ＿ 找可 积 或 不可 积 的 非 ４ ａｏｉ 】 ５ 】 寻 线性 发展 方程 一系 列行 波解 的统 一代 数方 法【 ，该 方法基 丁某种 非线 性常微 分 方程 多种 类 ６ 】 型 的解 去构 造非 线性 发 展方 程 的解 。 本文 应用Ｆ 代数 方法 和通 过 一个 高阶 辅助 方程 【，求 一 ７ 】 得Ｄａ ｅ—ｔｗ ｒｓｎＩ ｖ ｙＳｅ ａｔｏ Ｎ程的周期解，包括三角 函数剧期解 ，Ｊ ｃ ｂ椭 圆函数周期解。 ａｏｉ
(2+1)维Potential Kadomtsev-Petviashvili方程新的精确解
(2+1)维Potential Kadomtsev-Petviashvili方程新的精确解丁瑶【摘要】利用推广后的G′/G展开法,结合符号计算软件Mathematical,讨论了(2+1)维Potential Kadomtsev-Petviashvili方程,获得(2+1)维Potential Kadomtsev-Petviashvili方程的用双曲函数和三角函数表示的新精确解.%By using the G′/G-expansion method and the Symbolic computation software MATHEMATICA,the (2+1)-dimensional Potential Kadomtsev-Petviashvili equationwas discussed,andnew exact solutions containingthehyperbolic function and the trigonometric function were presented.【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2016(040)006【总页数】4页(P528-531)【关键词】G′/G展开法;PotentialKadomtsev-Petviashvili方程;精确解;符号计算软件【作者】丁瑶【作者单位】重庆电子工程职业学院,马克思主义与通识教育学院,重庆 401331【正文语种】中文非线性波现象在物理学和应用数学的许多分支中都有应用，人们越来越重视对非线性理论的研究。
特别是非线性发展方程的精确解问题，吸引了众多学者的注意，寻求方程的精确解一直是一个热点问题。
随着符号计算的发展，各种各样的求解非线性发展方程精确解的方法不断被发现，如齐次平衡法[1]、Hirota双线性法[2]、混合指数法[3]、辅助方程法[4]、双曲函数[5]、散射反演法[6]、F展开法[7]、Jacobi椭圆函数展开方法[8]、(G′/G)展开法[9-15]等。
推广的Tanh函数法与_2_1_维Burgers方程组新的精确行波解
［13 ］
2 c2 2（ 1 － m ） c0 = ， c2 ＞ 0 ， c4 （ 2 － m 2 ） 2
槡
－
槡
c2 ξ） ， 2 － m2 （ 13 ）
c0 槡
+ c1
+ c2
2
+ c3 ω 3 + c4 ω 4 ， （ 5）
当 m→1 时， 周期解 （ 11 ） 退化为钟状孤子解 （ 5 ） ， 周期解（ 12 ） 退化为扭状孤子解（ 8 ） ． （ iv） 当 c4 = c0 = c1 = 0 时， 方程 （ 1 ） 具有如下 钟状孤子解， 三角函数周期解和有理解 =－ =－ c2 c2 sech2 （ 槡 ξ） ， c2 ＞ 0 ， c3 2 （ 14 ）
sech［ c2 （ x + 槡－ α y + λ t） ］ ， 槡 c2 ＞ 0 ， c4 ＜ 0 ， u12 = a0 + 槡－ α b1
（ iii） 当 c3 = c1 = 0 时， 有解为 u31 = a0 + 槡－ α b1 cn［ v31 = c2
2
槡
c2 × c4 c2 － × c4
（ School of Mathematics and Informations，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454000 ，Henan，China）
Abstract： Based on an extension of the Hyperbolic Tangent Function Method， which is a direct and unified algebraic method for constructing more general form travelling wave solutions of nonlinear partial differential equations and implemented in a computer algebraic system． More general form solutions are obtained， including kindshaped solitons， bellshaped solitons，singular solitons and periokdic solitions． The properties of some new formal solitary wave solutions are shown by some figures． Key words： an extension of the hyperbolic tangent function method； （ 2 + 1 ） dimensional burgers equation； exact solution； soliton solution； clock shape solution； periodic solution
2 c2 2（ 1 － m ） c0 = ， c2 ＞ 0 ， c4 （ 2 － m 2 ） 2
槡
－
槡
c2 ξ） ， 2 － m2 （ 13 ）
c0 槡
+ c1
+ c2
2
+ c3 ω 3 + c4 ω 4 ， （ 5）
当 m→1 时， 周期解 （ 11 ） 退化为钟状孤子解 （ 5 ） ， 周期解（ 12 ） 退化为扭状孤子解（ 8 ） ． （ iv） 当 c4 = c0 = c1 = 0 时， 方程 （ 1 ） 具有如下 钟状孤子解， 三角函数周期解和有理解 =－ =－ c2 c2 sech2 （ 槡 ξ） ， c2 ＞ 0 ， c3 2 （ 14 ）
sech［ c2 （ x + 槡－ α y + λ t） ］ ， 槡 c2 ＞ 0 ， c4 ＜ 0 ， u12 = a0 + 槡－ α b1
（ iii） 当 c3 = c1 = 0 时， 有解为 u31 = a0 + 槡－ α b1 cn［ v31 = c2
2
槡
c2 × c4 c2 － × c4
（ School of Mathematics and Informations，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454000 ，Henan，China）
Abstract： Based on an extension of the Hyperbolic Tangent Function Method， which is a direct and unified algebraic method for constructing more general form travelling wave solutions of nonlinear partial differential equations and implemented in a computer algebraic system． More general form solutions are obtained， including kindshaped solitons， bellshaped solitons，singular solitons and periokdic solitions． The properties of some new formal solitary wave solutions are shown by some figures． Key words： an extension of the hyperbolic tangent function method； （ 2 + 1 ） dimensional burgers equation； exact solution； soliton solution； clock shape solution； periodic solution
(2+1)-维Burgers方程的精确解
’ ２ｌ Ｊ．１ …ｏ ａ～。 ｎ ‘
文章 编号 ： ０３２４ （０ １ Ｉ ０２０ １０ —８３２ １） ． ５－３ ００
（＋ ） Ｂ ｒｅｓ 程 的精 确解 ２ １一 ｕｇｒ 方 维
徐秀丽 宋 明 ，
（． １ 枣庄科技 职业 学院 高级技 工部，山东滕州 ２ ７０ ；． ７ ５ ０ ２荣成 市第二中学，山 东荣成 ２ ４ ０ ） ６３９
５ ４
西南民族大学学报 ・ 然科学版 自
第 ３ 卷 ７
＝
ｎ１ ｌ 卜 （
）一七 】
（０ ２）
这里 的 七ｂＣ 足 一ｂ ，， 满 ｋ—Ｃ＝０ 条件 ．
取 ｂ＝０ ｋ＝２ ｃ＝４， 以得到 如下 的精确 孤波解 ， ， 可
１ 引言
非 线性发 展 方程反 映 了各种 各样 的物理 、化 学、生物 现象规律 ，那么 寻求非线 性发展 方程 的行 波解 成为 研 究 非 线性 方程 的一 个重 要课 题 ．已经有 很 多求解 方法可 以求 出非 线性 方程 的解 ∞最近 ，又 出现 了一 种 更为 有
效的方法——齐次平衡法［ ］ 本文主要是利用这种方法得到了（ １ Ｂ ｒ ｒ 方程的精确解， ４． － ７ ２ ） ｕｅ ＋ 维 ｇｓ 并通过 ｍ ｔ ｂ ａａ 做 ｌ 出了它的精确解的图像．
＝ ＝
（） ６
‘ ２ 厂（ ＋
＋ ） 厂 ， ２ ＋
（） ７
收稿 Ｅ期 ：２ １．２ １ ｔ ０ ０ １．０
作者简介 ：徐秀丽（９ ２） １８ － ，女，山东枣庄人，助教， 硕士，研究方 向：孤立子理论与应 用． － ｉ ｘ ｘｕｉ０ ０ ６ ． ｍ Ｅｍａ ： ｕ ｉｌ ２ ＠１３ｃ ｌ １ ｏ
可 以得 到
二维空间中广义Davey-Stewartson系统整体解存在的最佳条件(英文)
二维空间中广义Davey-Stewartson系统整体解存在的最佳
条件(英文)
甘在会;张健
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2004(17)3
【摘要】根据基态的特征 ,首先在二维空间中导出了广义Davey Stewartson系统解爆破和整体存在的最佳条件 ;其次得到了整体解存在的一个最佳充分条件 ;最后证明了当初值为多小时 ,该系统的整体解存在 .
【总页数】6页(P360-365)
【关键词】最佳条件;广义Davey-Stewartson系统;基态;整体解;爆破
【作者】甘在会;张健
【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.三维空间中耦合非线性Klein-Gordon方程组整体解存在的最佳条件 [J], 甘在会;郭柏灵
2.三维空间中广义Davey-Stewartson系统整体解存在的最佳条件 [J], 甘在会;张健
3.三维空间中耦合非线性Schr(o)dinger方程组整体解存在的最佳条件 [J], 甘在
会;张健
4.双波作用模型在三次非线性介质中的整体解存在的最佳条件 [J], 舒级; 张健
5.一类二维空间中广义Boussinesq水波系统解的渐近性(英文) [J], 蔡红梅;赖绍永
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_2_1_维Burgers方程的精确周期波解
பைடு நூலகம்ZHUANTI YANJIU
专 题 研 究
129
（ 2 + 1 ） － 维 Burgers 方程的精确周期波解
◎夏良娟 （ 江苏省镇江中学 212013 ） 得一代数方程组， 解得： a 2 a0 = － ， a － 1 = 0， a1 = ． （ 14 ） b b 2P a a0 = － ， a －1 = － ， a = 0． （ 15 ） b b 1 a 2P 2 a0 = － ， a －1 = － ， a = ． （ 16 ） b b 1 b 显然， 最后一组解是前两组解的叠加 ． （ 15 ） ， （ 16 ） 分别代入式（ 12 ） ， 将式（ 14 ） ， 得方程（ 1 ） 的 三个行波解的浓缩公式： a 2 u （ ξ） = － + F （ ξ） ． （ 17 ） b b 2P a u （ ξ） = － F － 1 （ ξ） － ． （ 18 ） b b a 2P 2 u （ ξ） = － F － 1 （ ξ） － + F （ ξ） ． （ 19 ） b b b 2 l 1 ω a= 3 － ， b= ． 其中 ξ = kx + ly － ωt + ξ0 ， k k k 利用 Riccati 方程的解（ 7 ） ～ （ 9 ） 可从浓缩公式（ 17 ） ～ （ 19 ） 中解出精确解： ①P ＞ 0 ， 将式（ 7 ） 分别代入（ 17 ） ～ （ 19 ） 可得周期波解： a 2 u11 = － ± 槡 Ptanh（ 槡 P ξ + c） ； b b 2 a u21 = － ± 槡 Pcoth（ 槡 P ξ + c） ； b b a 2P u12 （ ξ） = ± coth（ 槡 P ξ + c） － ； b b 2P a u22 （ ξ） = ± tanh（ 槡 P ξ + c） － ； b b 2P 2 a u13 （ ξ） = ± coth（ 槡 ± 槡 Pξ + c） － Ptanh（ 槡 Pξ + c） ； b b b 2P 2 a u23 （ ξ） = ± tanh（ 槡 ± 槡 Pξ + c） － Pcoth（ 槡 Pξ + c） ． b b b ②P ＜ 0 ， 将式（ 8 ） 分别代入（ 17 ） ～ （ 19 ） 可得周期波解： a 2 u31 = － ± － Ptanh（ 槡 － Pξ + c） ； b b 槡 a 2 u41 = － ± － Pcoth（ 槡 － Pξ + c） ； b b 槡 2P a u32 （ ξ） = ± coth（ 槡 － Pξ + c） － ； b b a 2P u42 （ ξ） = ± tanh（ 槡 － Pξ + c） － ； b b 2P a 2 u33 （ ξ ） = ± coth （ 槡 － P ξ + c ） － ± －P· b b b 槡 tanh （ 槡 － Pξ + c） ； 2P a 2 u43 （ ξ ） = ± tanh （ 槡 － P ξ + c ） － ± － P· b b b 槡 coth（ 槡 － Pξ + c） ． ③P = 0 ， 将式（ 9 ） 分别代入（ 17 ） ～ （ 19 ） 可得周期波解： a a 2 2p ； u = － （ ξ + c） － ； u51 = － + b b（ ξ + c） 52 b b 2P a 2 u53 = － （ ξ + c） － + ． b b b（ ξ + c） 1． 前 言 寻求非线性发展方程的精确解在有关非线性方程的研 人们已经发现了许多有效的方法， 如 究中占着重要的地位， Jacobi 椭 圆 函 数 展 开 法［1］ 、 Backlund 变 换 法［2］ 、 齐次平衡 ［3 ～ 5 ］ 法 等． 本 文 将 根 据 齐 次 平 衡 原 则， 并利用 F － 展开 ［6 ， 7 ］ ， 法 在 F － 展 开 法 中 添 加 了 F 的 负 幂 项， 这里 F 是 Riccati 方程的解， 用这种方法求出了（ 2 + 1 ） － 维 Burgers 方 ［8 ］ （ 1） 程 的精确周期波解： （ u t + uu x － u xx ） x + u yy = 0 ． 2 ． F － 展开法 考虑如下形式的非线性发展方程： P（ u， ut ， ux ， uy ， u tt ， u tx ， u yt ， u xx ， u yy ， …） = 0 ． （ 2） y， t ） = u （ ξ） ， （ 3） 作变换 u（ x， ξ = kx + ly － ωt + ξ0 ． l， k≠0 ， 其中 k， ω 为待定常数， ξ0 为任意常数． 将（ 3 ） 代入（ 2 ） 得到 ODE： 2 P（ u， － ωu'， ku'， lu'， － ωku″， － lωu″， k2 u″， l2 u″， …） =0． ω u″， （ 4） 设 u（ ξ） 可表示为 F（ ξ） 的有限幂级数：
专 题 研 究
129
（ 2 + 1 ） － 维 Burgers 方程的精确周期波解
◎夏良娟 （ 江苏省镇江中学 212013 ） 得一代数方程组， 解得： a 2 a0 = － ， a － 1 = 0， a1 = ． （ 14 ） b b 2P a a0 = － ， a －1 = － ， a = 0． （ 15 ） b b 1 a 2P 2 a0 = － ， a －1 = － ， a = ． （ 16 ） b b 1 b 显然， 最后一组解是前两组解的叠加 ． （ 15 ） ， （ 16 ） 分别代入式（ 12 ） ， 将式（ 14 ） ， 得方程（ 1 ） 的 三个行波解的浓缩公式： a 2 u （ ξ） = － + F （ ξ） ． （ 17 ） b b 2P a u （ ξ） = － F － 1 （ ξ） － ． （ 18 ） b b a 2P 2 u （ ξ） = － F － 1 （ ξ） － + F （ ξ） ． （ 19 ） b b b 2 l 1 ω a= 3 － ， b= ． 其中 ξ = kx + ly － ωt + ξ0 ， k k k 利用 Riccati 方程的解（ 7 ） ～ （ 9 ） 可从浓缩公式（ 17 ） ～ （ 19 ） 中解出精确解： ①P ＞ 0 ， 将式（ 7 ） 分别代入（ 17 ） ～ （ 19 ） 可得周期波解： a 2 u11 = － ± 槡 Ptanh（ 槡 P ξ + c） ； b b 2 a u21 = － ± 槡 Pcoth（ 槡 P ξ + c） ； b b a 2P u12 （ ξ） = ± coth（ 槡 P ξ + c） － ； b b 2P a u22 （ ξ） = ± tanh（ 槡 P ξ + c） － ； b b 2P 2 a u13 （ ξ） = ± coth（ 槡 ± 槡 Pξ + c） － Ptanh（ 槡 Pξ + c） ； b b b 2P 2 a u23 （ ξ） = ± tanh（ 槡 ± 槡 Pξ + c） － Pcoth（ 槡 Pξ + c） ． b b b ②P ＜ 0 ， 将式（ 8 ） 分别代入（ 17 ） ～ （ 19 ） 可得周期波解： a 2 u31 = － ± － Ptanh（ 槡 － Pξ + c） ； b b 槡 a 2 u41 = － ± － Pcoth（ 槡 － Pξ + c） ； b b 槡 2P a u32 （ ξ） = ± coth（ 槡 － Pξ + c） － ； b b a 2P u42 （ ξ） = ± tanh（ 槡 － Pξ + c） － ； b b 2P a 2 u33 （ ξ ） = ± coth （ 槡 － P ξ + c ） － ± －P· b b b 槡 tanh （ 槡 － Pξ + c） ； 2P a 2 u43 （ ξ ） = ± tanh （ 槡 － P ξ + c ） － ± － P· b b b 槡 coth（ 槡 － Pξ + c） ． ③P = 0 ， 将式（ 9 ） 分别代入（ 17 ） ～ （ 19 ） 可得周期波解： a a 2 2p ； u = － （ ξ + c） － ； u51 = － + b b（ ξ + c） 52 b b 2P a 2 u53 = － （ ξ + c） － + ． b b b（ ξ + c） 1． 前 言 寻求非线性发展方程的精确解在有关非线性方程的研 人们已经发现了许多有效的方法， 如 究中占着重要的地位， Jacobi 椭 圆 函 数 展 开 法［1］ 、 Backlund 变 换 法［2］ 、 齐次平衡 ［3 ～ 5 ］ 法 等． 本 文 将 根 据 齐 次 平 衡 原 则， 并利用 F － 展开 ［6 ， 7 ］ ， 法 在 F － 展 开 法 中 添 加 了 F 的 负 幂 项， 这里 F 是 Riccati 方程的解， 用这种方法求出了（ 2 + 1 ） － 维 Burgers 方 ［8 ］ （ 1） 程 的精确周期波解： （ u t + uu x － u xx ） x + u yy = 0 ． 2 ． F － 展开法 考虑如下形式的非线性发展方程： P（ u， ut ， ux ， uy ， u tt ， u tx ， u yt ， u xx ， u yy ， …） = 0 ． （ 2） y， t ） = u （ ξ） ， （ 3） 作变换 u（ x， ξ = kx + ly － ωt + ξ0 ． l， k≠0 ， 其中 k， ω 为待定常数， ξ0 为任意常数． 将（ 3 ） 代入（ 2 ） 得到 ODE： 2 P（ u， － ωu'， ku'， lu'， － ωku″， － lωu″， k2 u″， l2 u″， …） =0． ω u″， （ 4） 设 u（ ξ） 可表示为 F（ ξ） 的有限幂级数：
一类(2+1)维复金次堡-朗道方程的新孤立波解的开题报告
一类(2+1)维复金次堡-朗道方程的新孤立波解的开题
报告
本文旨在研究一类(2+1)维复金次堡-朗道方程的新孤立波解。
该方
程是描述量子霍尔效应的一个重要方程，在凝聚态物理、量子场论等领
域具有广泛的应用。
特别是在描述电子、自旋和孤子等方面，有着重要
的物理意义。
首先，我们将研究该方程的变换方法，采用拉格朗日-迈卡普方法将该方程化为标准的非线性薛定谔方程。
然后，我们将基于非线性薛定谔
方程理论，利用逆散射变换方法来构造方程的新孤立波解。
具体地，我
们将通过初始值问题和边界值问题来验证新孤立波解的稳定性和可行性，并通过计算机模拟来验证我们的结论。
这项研究的意义在于，它不仅有助于深入了解复金次堡-朗道方程的物理本质和数学特性，还为量子霍尔效应的应用提供了新的理论基础和
技术支持。
同时，我们的研究还将有望为发展新型电子器件、量子计算
等领域的应用提供新的思路和方法。
在整个研究过程中，我们将使用数学分析方法和计算机模拟技术，
建立理论模型、构造算法和进行实验验证。
我们相信，通过我们的不懈
努力和探索，我们一定能够取得令人满意的研究成果，为理论物理和应
用科学的发展做出积极的贡献。
（2＋1）维Davey—Stewartson II方程的精确解
（2＋1）维Davey—Stewartson II方程的精确解
施业琼
【期刊名称】《广西科技大学学报》
【年(卷),期】2015(000)001
【摘要】通过引入并扩展（G＇/G）一展开法，构造出（2＋1）维Davey—stewartson Ⅱ系统的3种形式的新精确通解：双曲函数通解，三角函数通解，有理函数通解．
【总页数】7页(P96-102)
【作者】施业琼
【作者单位】广西科技大学理学院,广西柳州545006
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.(2+1)维Davey-Stewartson Ⅱ方程的精确解 [J], 施业琼
2.推广的Davey-Stewartson和 Mikhailov-Shabat方程的精确解 [J], 兰天柱;徐衍聪;王良彬
3.应用G'/G展开法求Davey-Stewartson Ⅰ方程的精确解 [J], 冯庆江
4.Davey-Stewartson方程组新的精确解 [J], 刘绍庆;高存臣
5.(2+1)维Davey-Stewartson方程新的精确解 [J], 杨耕文
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基于Davey-Stewartson方程的显式行波解及其极限形式下解的关系研究
为了求出方程组的行波解，我们引入如下变换
u(x, y, t) = φ(ξ )ei(x+ y−c1t) ， v(x, y, t) = v(ξ ) ，
ξ = x + y − c2t
（4）
其中φ(ξ )及v(ξ )为实值函数；c1及c2为任意实数。
把式（4）代入式（3）中，方程（3）化为下
面的形式：
收稿日期：2018-04-04 基金项目：东莞理工学院城市学院 2018 年青年教师发展基金项目（项目编号：2018QJY0032）。 作者简介：杨 宇（1988— ），女，四川资中县人，东莞理工学院城市学院助教、硕士，主要从事微分方程与动力系统 研计算数学研究。
科技应用
Application of Science and Technology
基于 Davey-Stewartson 方程的显式行波解 及其极限形式下解的关系研究
■杨 宇1 周 琴2
（1. 东莞理工学院城市学院，广东 东莞 523419；2. 西华师范大学，四川 南充 637009）
摘 要：利用微分方程定性理论和动力系统分支方法，画出了 Davey-Stewartson 方程的分支相图，求 出了该方程的各种显式行波解，最后给出了各种行波解在一定极限形式下解的关系。
iut
+
1 2
(uxx
+ uyy ) + α
u2
u
− uv
= 0
（1）
vxx − vyy − 2α ( u2 )xx = 0
其中 u 表示表面波包的振幅， v 表示水波产生 的运动， α 是实常数。此方程的应用比较广泛，
最常见的是应用在流体力学中，它描述了有限深
度的水中长波和短波的运动。近些年来，许多学者
(2+1)维的schr(o)dinger方程组的精确解
第３ ４卷第 ３期
王 秀秀 ， 等： （ ２＋１ ） 维的 ｓ ｃ ｈ ｒ ￣ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ 方程 组 的精确 解
２ （ 。 ）满足 如 下二 阶常 微分 方程 ：
Ｇ ” ＋ａ Ｇ ＋ 卢 Ｇ＝ ０ ，
（ ５ ）
（ ６ ）
接 下 来 我 们 将 详 细 说 明 应 用 扩 展 的 （ ） 展 开 法 求 解 （ ２ ＋ １ ） 维 的 ｓ ｃ ｈ ｒ ｓ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ 方 程 组 精 确 解 ．
（ ， ｔ ）＝ｕ （ ｚ ） ， ＝ｉ ｆ ｕ ＝ 一ｉ ｃ ｕ ， ｕ 叶＝ ｕ ， ｕ ＝ｃ ， ｕ ＝ｃ ｕ ， ｕ 坍 ＝一 ｕ （ ３ ）
从 而将 （ ２ ） 变 为关 于 “＝ｕ （ ） 的常微 分方 程 Ｐ（ Ｈ ， 一ｉ ｃ ｕ ， ｕ ， ｃ “ ” ， ｃ Ｍ ， 一 ｕ ， …）＝０ ，
此处 和 ｔ 为两个 独立 变量 ， “＝ （ ， ｔ ） 是 一个 未 知的复 值 函数 Ｐ是 一个关 于 ｕ＝ｕ （ ， ｔ ） 及其 各 阶偏 导数 的
多项式 ， 包 含最 高 阶导数项 和非线 性项 ．
扩 展的 ｌ ＼ 展 开法的 主 要步 骤 如下：
、 Ｉ
步骤 １ 作行波变换 ＝＿ ∑ 一 ｃ ｔ ， 其中ｋ ｊ （ ｊ ＝ １ ， ２ ， …， ｎ ） 表示波数， ｃ 表示频率 ， 均为待定常数 ． 则
其 中， 口 （ ｉ ： ０ ， １ ， ２ ， …， ｍ）是 待定 常数 ， 而 ｍ 的值则 由方程 的最 高 阶导 数项 和非 线性 项根 据 齐次平 衡原
其 中， 和 都是 待定 常 数 ．
步 骤 ３将 （ ５ ） 代 人 （ ４ ） 中 ， 运 用 常 微 分 方 程 （ ６ ） 来 合 并 所 有 （ ） 的 相 同 幂 次 项 ． 从 而 方 程 （ ４ ） 变 成 （ ） 的 多 项 式 ， 令 多 项 式 中 （ ） 的 各 次 幂 的 系 数 为 零 ， 则 得 一 个 关 于 ａ （ ｆ ＝ ０ ， １ ， ２ ， … ， ｍ ） ， （ ＿ 『 ＝ １ ， ２ ， … ， ｎ ） ， ｃ ， ａ ，
davey-stewartson方程新的周期孤立波解
davey-stewartson方程新的周期孤立波解Davey-Stewartson方程是一种二维无约束非线性波方程，可以对它们提出新的周期孤立波解。
Davey-Stewartson方程是一种广泛应用在物理学，电磁学和水动力学中的一种用于描述自由界面问题的非线性波方程，它是基于著名的Korteweg-de Vries（KdV）方程的推广。
Davey-Stewartson方程能够准确地描述由非线性光度受到背景非线性界面效应而引起的波动。
Davey-Stewartson方程的解的研究技术发展的很快，基于Davey-Stewartson方程，可以构造新的周期孤立波解来求解问题。
为了得到新的周期孤立波解，一般采用改进出增益技术来进行分析，用途和求解复杂非线性波方程类似。
新的周期孤立波解被用来模拟海洋水体的非线性波发展，以及其他复杂系统中的各种多尺度输运过程。
Davey-Stewartson方程是一个十分受欢迎的方程，新的周期孤立波解它可以被用于描述特殊现象，特别是它可以有效的描述复杂的流体动力学过程。
这种过程的研究不仅可以帮助人们理解自然规律，还可以应用到工程实践中。
Davey-Stewartson方程的新的周期孤立波解的研究可以帮助我们深入了解波的特性，以及它们对流体动力学的影响。
这种研究可以帮助我们更好的探索宇宙中复杂的现象，可以为宇宙中复杂过程的研究结果提供依据。
总之，Davey-Stewartson方程新的周期孤立波解具有重要的研究价值。
它可以帮助我们深入理解物理学和流体力学中的一些复杂的现象，这些现象对宇宙的研究很不利。
因此，Davey-Stewartson方程的新的周期孤立波解的研究是一个非常有价值的领域，应该给予更多关注。
(2+1)维变系数kdv方程的新精确解
(2+1)维变系数KdV方程的新精确解是利用线性算子理论和Painlevé分析来求解的。
其中，线性算子理论是指通过研究线性算子来得到方程组解的方法，而Painlevé分析则是指利用Painlevé定理来确定是否存在精确解的方法。
这些新的方法在近年来得到了广泛的研究和应用。
在线性算子理论方面，通过对(2+1)维变系数KdV方程的Lax算子进行研究，可以得到这个方程的稳定性和解析解。
在Painlevé分析方面，首先需要将(2+1)维变系数KdV方程进行移项和变形，然后利用Painlevé定理对其进行分析，确定其是否存在精确解。
在新的研究中，已经得到了一些新的精确解和新的稳定性分析，为进一步研究(2+1)维变系数KdV方程提供了重要的理论基础。
除了线性算子理论和Painlevé分析之外，还有其他的方法可以求解(2+1)维变系数KdV方程的精确解，例如：Backlund变换: 它是一种将一个不确定方程变成另一个确定方程的变换方法，可以用来求解(2+1)维变系数KdV方程的精确解。
分离变量法: 它是一种将复杂的方程分解成若干个简单的方程的方法，可以用来求解(2+1)维变系数KdV方程的精确解。
特殊函数法: 利用类似于笛卡尔函数，紫函数等特殊函
数，将原方程转化为简单的形式，进而解决。
这些方法在近年来也都得到了广泛的研究和应用。
(2+1)维Burgers方程的新的精确解①
第31卷 第4期西南师范大学学报(自然科学版)2006年8月Vol.31 No.4Journal of S outhwest China Normal University (Natural Science )Aug.2006文章编号:10005471(2006)04002903(2+1)维Burgers 方程的新的精确解①杜先云绵阳师范学院数学系,四川绵阳621000摘要:构造一种新的tanh 函数法求解(2+1)维Burger 方程,得到了这个方程的一些新的精确解.关 键 词:(2+1)维Burgers 方程;精确解;tanh 函数法中图分类号:O175124文献标识码:A本文研究(2+1)维Burgers 方程[1](u t +uu x -u xx )x+u yy =0(1)的精确解问题.该方程描述了在耗散介质中的弱非线性的(2+1)维激波,即其y 方向上的波长远远大于x 方向的波长,它的Painleve 性质和一些精确解已在文献[2]中给出.进一步的研究可以发现,方程(1)不仅有上述文献给出的a 0+a 1tanh 型的激波解,而且还包含sech 与tanh ,tanh 与cot h ,tan 与cot 的组合解.本文的目的是在文献[3,4]中给出的扩展的tanh 函数法的基础上改进方法,找出方程(1)的这些解.为了得到方程的行波解,我们设u (x ,y ,t )=u (ω) ω=x +my +nt +c 0(2)其中m ,n 是待定的常数,c 0是任意的常数.将(2)代入(1),方程(1)变化为(nu ′+uu ′-u ″)′+m 2u ″=0(3)其中u ′=d ud ω.将(3)式积分一次并取积分常数为0,得(m 2+n )u ′+uu ′-u ″=0(4)在文献[3,4]的基础上,我们改进tanh 函数法如下:设方程(1)具有如下形式的解u =a 0+∑ni =1a i<i+b i <-i+c i <i-1δ+<2且<′=δ+<2根据齐次平衡原则,有n =1,于是所求方程的解u 的形式简化为u =A +B <+C δ+<2+D <-1(5)从而有u ′=(B δ-D )+B <2+C <δ+<2-D δ<-2u ″=2B δ<+2B <3+Cδδ+<2+2C <2δ+<2+2D δ2<-3+2D δ<-1uu ′=(AB δ-A D )+(B 2δ+C 2δ)<+AB <2+(B 2+C 2)<3+CB δδ+<2+A C <δ+<2-DC δ<-1δ+<2+①收稿日期:20050613基金项目:四川省教育厅基金资助项目(2003c019);绵阳师范学院基金资助项目(ma2003003).作者简介:杜先云(1964),男,副教授,博士,主要从事数学物理方程和无穷维动力系统的研究.2B C <2δ+<2-D 2<-1-A D δ<-2-D 2δ<-3(m 2+n )u ′+uu ′-u ″=(m 2+n )(Bδ-D )+(AB δ-A D )+((CB 2δ+C 2δ)-2B δ)<+((m 2+n )B +AB )<2+((B 2+C 2)-2B )<3+(CB δ-C δ)δ+<2+((m 2+n )C +A C )<δ+<2+(2B C -2C )<2δ+<2-DC δ<-1δ+<2+(-D 2-2D δ)<-1+[-(m 2+n )D δ-A D δ]<-2+(-D 2δ-2D δ2)<-3=0令<i ,<-i ,<i-1δ+<2(i =1,2,3)的系数为0,我们有(m 2+n )(B δ-D )+(AB δ-A D )=0(6)B 2δ+C 2-2Bδ=0(7)(m 2+n )B +AB =0(8)B 2+C 2-2B =0(9)CB δ-Cδ=0(10)(m 2+n )C +A C =0(11)2B C -2C =0(12)DC δ=0(13)D 2+2Dδ=0(14)(m 2+n )D δ+A D δ=0(15)D 2δ+2Dδ2=0(16)解方程组(6)(16),可以得3组解:ΒA =-(m 2+n ),B =2,C =0,D =0;ΧA =-(m 2+n ),B =1,C =±1,D =0;∆A =-(m 2+n ),B =2,C =0,D =-2δ.由此可知方程(1)有如下精确解:Β当δ<0时u 1(x ,y ,t )=-(m 2+n )-2-δtanh (-δ(x +my +nt +c 0))(17)取-δ=k 2,μ1为文献[2]中的解.或u 2(x ,y ,t )=-(m 2+n )-2-δcot h (-δ(x +my +nt +c 0))(18)当δ=0时u 3(x ,y ,t )=-(m 2+n )+1x +my +nt +c 0(19)当δ>0时u 4(x ,y ,t )=-(m 2+n )+2δtan (δ(x +my +nt +c 0))(20)或u 5(x ,y ,t )=-(m 2+n )-2δcot (δ(x +my +nt +c 0))(21) Χ当δ<0时u 6(x ,y ,t )=-(m 2+n )--δtanh (-δ(x +my +nt +c 0))+i-δsech (-δ(x +my +nt +c 0))(22)或u 7(x ,y ,t )=-(m 2+n )--δcot h (-δ(x +my +nt +c 0))+i-δcsch (-δ(x +my +nt +c 0))(23)当δ=0时u 8(x ,y ,t )=-(m 2+n )(24)3西南师范大学学报(自然科学版) 第31卷或u 9(x ,y ,t )=-(m 2+n )-2x +my +nt +c 0=u 3(x ,y ,t )(25)当δ>0时u 10(x ,y ,t )=-(m 2+n )+δtan (δ(x +my +nt +c 0))±δsec (δ(x +my +nt +c 0))(26)或u 11(x ,y ,t )=-(m 2+n )-δcot (δ(x +my +nt +c 0))±δcsc (δ(x +my +nt +c 0))(27) ∆当δ<0时u 12(x ,y ,t )=-(m 2+n )-2-δtanh (-δ(x +my +nt +c 0))+2δ-δtanh-1(-δ(x +my +nt +c 0))(28)或u 13(x ,y ,t )=-(m 2+n )-2-δcot h (-δ(x +my +nt +c 0))+2δ-δcot h-1(-δ(x +my +nt +c 0))(29)当δ=0时u 14(x ,y ,t )=-(m 2+n )-2x +my +nt +c 0=u (x ,y ,t )(30)当δ>0时u 15(x ,y ,t )=-(m 2+n )+2δtan (δ(x +my +nt +c 0))-2δδtan -1(δ(x +my +nt +c 0))(31)或u 16(x ,y ,t )=-(m 2+n )-2δcot (δ(x +my +nt +c 0))+2δδcot -1(δ(x +my +nt +c 0))(32)至此我们得到了文献[2]中所报道的孤子解,并获得了tanh 与sech ,tanh 与cot h ,cot h 与sech 等形式的组合的周期解,这个方法能用于求其它的非线性偏微分方程.参考文献:[1]Bartucetucetli M ,Pantano P.Two 2Dimensional Burgers πEquation [J ].Nuovo cimento ,1983,37:433438.[2] Webb G M ,Zank G P.Painleve Analysis of the Two Dimensional Burgers Equation [J ].J Phys A ,1990,23(23):54655477.[3] Engai Fan.Extended T anh 2Function Method and its Applications to Nonlinear Equations [J ].Phys lett ,2000,277(45):212218.[4] Lan Hui Bin ,Wang K e Lin.Exact S olutions for T wo Nonlinear Equations Ⅰ[J ].J Phys A ,1990,23(17):39233928.N ew Exact Solutions for (2+1)2Dimensional Burgers Equ ationDU Xian 2yunDept 1of Mathematics ,Mianyang Normal University ,Mianyang Sichuan 621000,ChinaAbstract :A new extended tanh 2f unction met hod is suggested to const ructing multiple exact solutions for (2+1)dimensional Burgers equation ,and more new exact solutions are obtained for t he t his equation.K ey w ords :(2+1)2dimensional Burgers equatio n ;exact solution ;tanh 2f unction met hod责任编辑 覃吉康 13第4期 杜先云:(2+1)维Burgers 方程的新的精确解。
(2+1)-维色散长波方程新的精确行波解
(2+1)-维色散长波方程新的精确行波解戴振祥;徐园芬【摘要】By using the method of dynamical systems to the (2 + 1) -dimensional dispersive long wave equation , the existence of exact traveling wave solutions was proved. Under different parametric conditions, explicit exact parametric representations for the new solitary wave solutions and periodic wave solutions were obtained.%应用平面动力系统方法研究了(2+1)-维色散长波方程的精确行波解,在不同的参数条件下获得了该方程的新孤立波解和周期波解的精确的显式参数表达式.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(034)003【总页数】6页(P246-251)【关键词】动力系统方法;孤立波解;周期波解;色散长波方程【作者】戴振祥;徐园芬【作者单位】宁波教育学院信息与艺术学院浙江宁波 315010;浙江万里学院基础学院浙江宁波 315101【正文语种】中文【中图分类】O357.10 引言(2+1)-维色散长波方程［1］为方程(1)是描述水波通过等深、狭长理想运动水道的重要方程，其中u(x，y，t)，v(x，y，t)为所示变量的物理场．文献［2］给出了式(1)的一组广义对称及其李代数结构;文献［3］利用齐次平衡法得到了式(1)的一些精确孤波解;文献［4］给出了式(1)的类孤子解;文献［5］给出了式(1)的孤子解和有理分式解析解;文献［6］利用广义射影Riccati方程得到了精确行波解;文献［7］利用扩展椭圆函数有理展开解法得到了冲击波解和孤立波解．本文将利用平面动力系统方法［8-11］研究该方程行波解的动力学性质，在给定的参数条件下，求出方程(1)新的峰形(谷形)光滑孤立波解和周期波解．为研究方程(1)的行波解，作如下行波变换:把式(2)的第1个方程关于ξ积分2次，第2个方程关于ξ积分1次，并取积分常数为0，得方程(4)等价于系统并有以下首次积分:下面的目标是:首先通过定性分析得到系统(5)随参数改变的相图，然后得到方程(1)在参数平面上不同区域内的行波解的精确参数表达式．1 系统(5)的所有相图先求系统(5)的平衡点．设E(φe，0)为系统(5)的任一平衡点，M(φe，0)是系统(5)的线性化系统在该平衡点处的系数矩阵，用J(φe，0)表示其 Jacobi行列式，经计算得J(φe，0)= －f'(φe)．由平面动力系统分支理论［8-11］知，作为Hamilton系统(5)的平衡点，当 J＞0(或 J＜0)时，E(φe，0)是中心(或鞍点);当 J=0并且其Poincaré指标为零时，E(φe，0)是尖点．通过定性分析知，随着参数c，a的改变，系统(5)有如图1、图2所示的相图．图1 当c＞0时系统(5)的相图图2 当c＜0时系统(5)的相图2 方程(1)孤立波、周期波解的存在性和参数表示根据以上结果和奇非线性行波方程研究的动力系统方法［8］知，下面的结论成立: 定理1 若下列条件之一成立，则方程(1)存在一峰形或谷形光滑孤立波解:定理2 若下列条件之一成立，则方程(1)存在一族峰形或谷形光滑周期波解:下面计算方程(1)在不同的参数条件下其光滑孤立波解和周期波解的参数表达式．(5)的第1个方程得经计算得到方程(1)的峰形光滑孤立波解的参数表达式为②对应于系统(5)并由式(6)定义的水平曲线H(φ，y)=h(h∈(h2，0))，设参数 r1，r2由所定义，其中r1＞r2＞φ＞r3＞r4．利用系统(5)的第1个方程得经计算得到方程(1)的峰形光滑周期波解的参数表达式为所定义，其中0＞φ＞r3＞r4．利用系统(5)的第1个方程得经计算得到方程(1)的谷形光滑孤立波解的参数表达式为②对应于系统(5)并由式(6)定义的水平曲线H(φ，y)=h(h∈(h1，0))，经计算得到方程(1)的谷形光滑周期波解的参数表达式同式(8)．所定义，其中r1＞r2＞φ＞φ2．利用系统(5)的第1个方程得经计算得到方程(1)的峰形光滑孤立波解的参数表达式为②对应于系统(5)并由式(6)定义的水平曲线H(φ，y)=h(h∈(0，h2))，经计算得到方程(1)的峰形光滑周期波解的参数表达式同式(8)．所定义，其中φ1＞φ＞r3＞r4．利用系统(5)的第1个方程得经计算得到方程(1)的谷形光滑孤立波解的参数表达式为②对应于系统(5)并由式(6)定义的水平曲线H(φ，y)=h(h∈(0，h1))，经计算得到方程(1)的谷形光滑周期波解的参数表达式同式(8)．①对应于系统(5)并由式(6)定义的水平曲线H(φ，y)=h1(H(φ，y)=h2)，经计算得到方程(1)的谷形(峰形)光滑孤立波解的参数表达式同式(11)(式(10))．②对应于系统(4)并由式(5)定义的水平曲线H(φ，y)=h(h∈(h2，h1)或h∈(h1，h2))，经计算得到方程(1)的谷形(峰形)光滑周期波解的参数表达式同式(8)．致谢:衷心感谢浙江师范大学赵晓华教授的指导!参考文献:［1］洪宝剑，方国昌，卢殿臣，等．(2+1)维色散长波方程新的类孤子解［J］．数学的实践与认识，2009，39(1):194-197．［2］Lou S Y．Symmetries and algebras of the integrable dispersive long wave equations in 2+1 dimensional spaces［J］．Phys A，1994，27(2):3235-3243．［3］Wang Mingliang，Zhou Yubin，Li Zhibin．Application of a homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physics［J］．Phys Lett A，1996，216(1/2/3/4/5):67-75．［4］曾昕，张鸿庆．(2+1)维色散长波方程的新的类孤子解［J］．物理学报，2005，54(2):504-510．［5］闫振亚，张鸿庆．2+1维非线性色散长波方程的相似约化和解析解［J］．数学物理学报，2001，21A(3):384-390．［6］智红燕，陈勇，张鸿庆．广义射影Riccati方程方法与(2+1)维色散长波方程新的精确行波解［J］．数学物理学报，2005，25A(7):956-964．［7］向以华，石义霞．(2+1)-维色散长波方程的扩展椭圆函数有理展开解法［J］．数学杂志，2009，29(2):206-210．［8］Li Jibin，Dai Huihui．On the study of singular nonlinear traveling wave equations:Dynamical system approach［M］．Beijing:Science Press，2007．［9］李继彬．(2+1)-维广义 Benney-Luke方程的精确行波解［J］．应用数学和力学，2008，29(11):1261-1267．［10］李继彬．两类Boussinesq方程的行波解分支［J］．中国科学:A数学，2008，38(11):1221-1234．［11］Li Jibin，Liu Zhengrong．Smooth and non-smooth traveling wavesin a nonlinear dispersive equation［J］．Applied Mathematical Modelling，2000，25(1):41-56．。
(2+1)维非线性偏微分方程的精确解
(2+1)维非线性偏微分方程的精确解鱼翔【摘要】利用李群分析法得到了(2+1)维Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的对称及不变解,并求得该方程的新的精确解,包括雅克比椭圆函数解、三角函数解.【期刊名称】《玉溪师范学院学报》【年(卷),期】2015(031)004【总页数】5页(P13-17)【关键词】(2+1)维CBS方程;对称群;群不变解;精确解【作者】鱼翔【作者单位】西安培华学院基础部,陕西西安710125【正文语种】中文【中图分类】O175随着现代数学和物理学的发展,非线性偏微分方程的求解问题特别是对一些高维的非线性微分方程的求解成为研究的热点.近年来,对非线性偏微分方程寻找对称约化和构造精确解方面的研究取得了很大的进展.为了得到非线性偏微分方程的精确解,研究者提出了很多方法来解决,诸如经典的李群方法[1]、非经典的李群方法[2]、CK直接法[3]和改进的CK直接法[4].本文研究(2+1)维Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff(CBS)方程4uxt+uxxxz+4uxuxz+2uxxuz=0(1)文献[5]利用Hirota双线性法求出了CBS方程的部分多孤子解;文献[6]利用经典的李对称方法给出了CBS方程的李点对称;文献[7]给出了(2+1)维广义CBS方程的无穷多对称及其约化;文献[8]利用李群分析法和行波约化法给出了(2+1)维CBS方程的相似解;文献[9]利用拓展的双曲函数展开法求出了该方程的行波解.本文利用非古典对称方法得到(2+1)维CBS方程的群不变解,然后将该方程约化为常微分方程,最后得到了该方程一些新的精确解.1 (2+1)维CBS方程的对称非线性发展方程Φ(x,z,t,ux,ut…)=0(2)称函数σ(x,z,t,ux…)为方程(2)的一个对称，如果Φ'(u)σ=0(3)对于任意的u都成立.其中对于(2+1)维CBS方程(1),利用(2)可得到方程(1)的对称满足的方程如下:σxxxz+4σxt+4σxuxz+4σxzux+2σxxuz+2uxxσz=0.(4)下面利用待定系数法[10，11]求解方程(1)的σ.假设方程(1)有如下形式的解σ=a(x,z,t)ut+b(x,z,t)ux+c(x,z,t)uz+d(x,z,t)u+e(x,z,t)(5)其中a,b,c,d,e为待定函数.将方程(5)代入方程(1),并且利用-4uxt-4uxuxz-2uxxuz 替换uxxxz,即可得到关于a,b,c,d,e的偏微分方程组ax=0,az=0,bz=0,cx=0,dz=0,dxx=0,d-bx=0,4dx+bxx=0,2bt+ez=04ext+exxxz=0,3dxx+4ct+bxxx+4ex=0,dt+bxt+exz=0,at-2bx-cz=0通过求解该决定方程组可得a=2f1t2+(2f2+f3)t+f4,b=(f1t+f2)x+φ(t),d=f1t+f2c=(2f1z+f5)t+f3z+f6,e=-x(2f1z+f5)-2zφ'(t)+ψ(t)(6)其中φ(t),ψ(t)为t的任意函数,fi(i=1,2,3,4,5,6)为常数.则方程(1)的对称为σ=[2f1t2+(2f2+f3)t+f4]ut+[(f1t+f2)x+φ(t)]ux+[(2f1z+f5)t+f3z+f6]uz+[f1t+f2]u+[-x(2f1z+f5)-2zφ'(t)+ψ(t)].(7)2 (2+1)维CBS方程的群不变解为得到方程(1)的对称约化,利用σ=0和方程(1)的相容性,先求解σ=0时方程(1)的特征方程组(8)现在讨论以下几种情况:情况(1):令f1=f4=φ(t)=f5=f6=ψ(t)=0,f2=f3=1特征方程为解特征方程可得到它的不变解为(9)将(9)式代入方程(1).就可以将方程(1)约化为下面的方程6hθθhω-8hθ-4θhθθ-4ωhθω+12hθhθω+3hθθθω=0.(10)情况(2):令f1=f2=f3=f4=f5=ψ(t)=0,f6=-a其特征方程为解特征方程可得到它的不变解为(11)将(11)代入方程(1)得到约化方程为(12)情况(3):令f1=f4=f6=φ(t)=ψ(t)=0,f3=-2,f2=f5=1其特征方程为解特征方程可得到它的不变解为(13)将(13)代入方程(1)得到约化方程为(14)情况(4):令f1=f4=f5=f6=ψ(t)=0,f2=f3=1,φ(t)=t其特征方程为解特征方程可得到它的不变解为(15)将(15)代入方程(1)得到约化方程为6ω2hθθθω-6ωhθθθ+6ωhθhθω-2θω2hθθ+3ωhθθhω-3hhθθ-2ω3hθω-2ω2hθ=0(16)情况(5):令f1=f2=f3=f6=ψ(t)=0,f4=f5=φ(t)=1其特征方程为解特征方程可得到它的不变解为(17)将(17)代入方程(1)得到约化方程为hθθθω+4θhθω-4hθhθω+2hω-2hωhθθ-4hθθ=0(18)3 (2+1)维CBS方程的精确解通过解约化方程(12)就可得到方程(2+1)维CBS方程的一些新的精确解,然后作下面的变换(19)方程(12)就可约化为常系数常微分方程(20)其中k为任意常数,由方程(11)和方程(19)可知其变换如下(21)即方程(1)就可约化为方程(20).对方程(20)两边同时积分后在同时乘以h''在积分,然后令h'=g得(22)求解上式方程的解就可以得到方程(1)的一些新的精确解:a)如果b=c=0,ak<0方程(22)的解如下(23)(24)因此方程(20)的解为(25)(26)由方程(21)、(25)、(26)可得方程(1)的新精确解为(27)(28)b)如果b=c=0,ak>0方程(1)的解为(29)c)如果取则方程方程(1)的解为(30)d)如果取则方程(1)的解为(31)e)如果取则方程(1)的解为(32)其中为雅克比椭圆函数4 结论本文通过李群分析法得到(2+1)维CBS方程的对称，然后利用特征方程得到群不变解将该方程约化为常微分方程，并求得该方程一些新的精确解，其中包括雅克比椭圆函数解、三角函数解.这些解在数学物理中有着重要的应用,这种方法也可以适用于其他高维的非线性微分方程的求解.参考文献：[1]OLVER P J.Application of lie group to differentialequations[M].Berlin:Springer,1986.[2]楼森岳，唐晓燕.非线性数学物理方法[M].北京:科学出版社,2006.[3]CLARKSON P A.KRUSKAL M D.New similarity reductions of theboussinesq equation[J].J Math Phys,1989,30:2201-2212.[4]LOU S Y,MA H C.Non-Lie symmetry groups of (2+1)-dimensional nonlinear systems obtained from a simple direct method[J].J Phy A:Math Gen,2005(38):129-137.[5]WAZWAZ Abdul-Majid.Multiple-soliton solutions for the Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff,Jimbo-Miwa and YTSF equation[J].Appl Math Comput,2008,203(2):592-597.[6]智红燕.(2+1)维Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的对称约化及其新的类孤子解[J].中国石油大学学报:自然科学版,2010,34(3):170-173.[7]ZHANG H P，CHE Y,LI B.(2+1)维广义Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程无穷多对称及其约化[J].物理学报,2009,58(11):7393-7396.[8]M.L.Gandarias1,M.S. Bruzon1,Symmetry group analysis and similarity solutions of the CBS equation in (2+1) dimensions[J].Appl. Math. Mech,2008,8:10591-10592.[9]Wazwaz A.M. New solutions of distinct physical structures to high-dimensional nonlinear evolution equations[J].Applied Mathematics and Computation,2008,196:363-370.[10]李富志,刘希强.Jimbo-Miwa方程的对称约化及不变解[J].量子电子学报，2008,25(2):155-160.[11]刘娜,刘希强.(2+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的对称，精确解及守恒律[J].量子电子学报，2008,25(5):546-552.。
22624308_（2+1）维Davey-StewartsonⅡ方程的精确解
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解对于洞察这些问题的物理本质具有很重要的意义 "因此寻求非线性演化方程的孤子解一直是物理学和
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施业琼 !-'维 .)/,0123,4)53678方程的精确解
(2+1)维耗散长水波方程组的精确解和守恒律
(2+1)维耗散长水波方程组的精确解和守恒律(2+1)维耗散长水波方程组是一组精确模拟海洋流场及其相关水文过程的基本水动力方程。
其主要表达的就是海洋洋流的变化，这种洋流的特点是有一定的长度，除此之外还会分布在特定区域内。
该方程组由两个部分组成，一是描述洋流运动方向及其变化的Z-方程，而另一个则描述洋流的深度及其它性质的S-方程。
它们由波动方程联立而得，即(2+1) u_z t+ α(u_z^2 + v_z^2)-α_s S_x + Λ(u_s S_z - v_sS_y )=0；(2+1) S_z t + ΦH(u_s S_z - v_s S_y )+ β(u_s^2+v_s^2)=0。
其中u_z和v_z分别为洋流沿z方向的速度分量和沿y方向的速度分量；u_s和v_s分别为沿x的速度分量和沿y的速度分量；H为洋流深度；α是洋流加减速度系数，α_s是涡系数，β是洋流发散系数，Λ是涡矢偏向系数，t是时间。
(2+1)维耗散长水波方程组的精确解是u_z = u_0sin(Ωt+Φ_0), v_z =v_0cos(Ωt+Φ_0);u_s = u_0sin(Ωt+Φ_0) cot(Ωt+Φ_0);v_s =v_0cos(Ωt+Φ_0) csc(Ωt+Φ_0);H = H_0 - (1/Ω)[u_0 sin(Ωt+Φ_0)cot(Ωt+Φ_0)+v_0cos(Ωt+Φ_0)csc(Ωt+Φ_0)], 其中u_0, v_0 是洋流的初始速度，H_0是初始深度，Ω=α/α_s,Φ_0是相位，α是洋流加减速度系数, α_s是涡系数。
此外，(2+1)维耗散长水波方程组还有一组守恒律，包括质量守恒律和能量守恒律。
质量守恒律表明海洋洋流的整体质量是一定的，其计算表达式为∫[u_z+u_s]dl = Co，其中Co为一定值；而能量守恒律则表明整体洋流能量变化，其计算表达式为：E=∫{(”u_2+v_2”+”H_2+S_2”+Ω ΦH}dl= C，其中C为一定值。
(2+1)维色散长波方程组新的无穷序列精确解
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第 ２ ７卷
第 ４期
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杨 耕 文
（ 阳理 工 学 院 数 理 部 ， 洛 河南 洛 阳 ４ １ ２ ） ７ ０ ３
摘 要 ： 在辅助方程的基础上构建 了一种新 的形式解 ， 并利用符号计算系统 Ｍａｈｍａｉ ， ｔｅ ｔ ａ 求得 （ ＋１ 维 Ｄ ｖ ｃ ２ ） ａ
ｅ－ ｔｗ ｒｓｎ方 程 的精 确 解 ， 中包 括 双 曲 函数 解 ， 圆 函数 解 以及 复 孤 波 解 ． ｙＳｅ ａｔｏ 其 椭
作 者 简 介 ： 耕 文 （９ ３ ）男 ， 南 偃师 人 ， 阳理 工 学 院 副 教 授 ， 要 从 事 孤 立 子 理 论 的 研究 杨 １６ － ， 河 洛 主
第 ４期
杨 耕 文 ： ２ １ 维 Ｄａ ｅ － ｔｗａ ｔｏ （＋ ） ｖ ｙ Ｓ ｅ ｒｓ ｎ方 程 新 的 精 确 解
１ 方 法 简 述
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关键 词 ： 辅助方程 ； 精确解 ； 的形式解 ；２ ） Ｄ ｖｙ ｔ ａｔ ｎ 新 （＋１维 ａｅ— ｅ ｒ ｏ 方程 Ｓｗ ｓ 中 图分 类 号 ： １５２ Ｏ ７．９ 文献标 志码 ： Ａ
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圆 函数 展 开 法 等 ．其 中 ， 常 用 的 双 曲 函 数展 开法 已经 被 扩 展 成 多种 求 解 方 法 ． 文 献 ［ ］ ， 者 就 引 进 了一 种 新 的 扩 展 的 最 在 ４中 作
Ｔａ ｈ函数 法 ， 以新 的形 式 解 求 得 精 确 解 ； 文 献 ［ ］ ， 者 用 （ Ｇ） 展 开 法 求得 ｒ方 程 的行 波 解 ． ｎ 并 在 ５中 作 Ｇ／ 的
的 系数 为零 ， 以 得 到 一 系列 代数 方程 ， 此 方程 组 从 而得 到形 式 解 中 的系 数 ， 最 终 求 得 方 程 的精 确 解 ． 可 解 并
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对 于
收 稿 日期 ：０ ９ １ — ２ ２ ０ — ０２ 基金项 目： 国家 自然科 学基 金 （ ０ ７ ０ ３ １ ３ １２ ）
第 ３ 卷 第 ４期 ８
２１ Ｏ Ｏ年 ７ 月
河 南 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
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最 初是 由 Ｄ ｖ ｙ和 Ｓ ｅ ａ ｓ ｎ 研 究 浅 水 波 时 推 出 来 的 ． ｅ １ ａ－± １时 ， 为 Ｄ Ｉ 程 ； ￡ ｌ 一± ｉ ， 为 Ｄ Ｉ 方 ａｅ ｔｗ ｒｔ 在 ｏ 当 一 ，＿ 称 Ｓ方 当 一 ， 时 称 ＳＩ 程 ．本 文 在 此 基 础 上 寻 找 （ ＋ １ ２ ）维 Ｄ ｖ ｙ Ｓ ｅ ｒ ｏ （ Ｉ） 程 的解 ， ａ ｅ ｔｗａｔ ｎ ＤＡ Ｉ 方 ｓ 引进 了一 种 新 的 形 式 解 ， 而 得 到 方 程 新 的 精 确 解． 从