第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析 §7-1 动态电路的方程及其初始条件此节主要讲了动态电路的定义和电路的初始条件的求解。
重点是换路定则：即换路前后在若电容电流和电感电压保持为有限值， 则换路瞬间电容电压和电感电流保持不变。
求初始值的步骤:1.由换路前电路（稳定状态）求u C (0－)和i L (0－)；2.由换路定律得 u C (0+) 和 i L (0+)。
3.画0+等效电路。
4.电容（电感）用电压源（电流源）替代。
取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向。
4.由0+电路求所需各变量的0+值。
§7-2 一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生电压和电流称为零输入响应。
对于RC 电路放电过程中电容电压的u的表达式为：其中U 0为电容初始电压。
令 τ =RC , 称τ为一阶电路的时间常数，其大小反映了电路过渡过程时间的长短。
放电过程中的能量关系为：电容储能：. 电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕. 例：其中U 0=5V t=1s 时开关闭合。
电容上的电压，电路上电流变化如下：上边为电压，下边为电流。
符合RC 电路特性。
而对于RL 电路：其中是0I 电感的初始电流。
令 τ =L/R ，同样为电路的时间常数，其大小反映了电路过渡过程时间的长短。
§7-3 一阶电路的零状态响应零状态响应：动态元件初始能量为零，由t >0电路中外加激励作用所产生的响应。
对于RC 电路电容电压表达式：电路电流：RCte RU t u C i -==SC d d其中U S 外加激励的电压值。
此时表明：① 电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：+ ② 响应变化的快慢，由时间常数τ＝RC 决定；τ 大，充电慢，τ 小充电就快。
③ 响应与外加激励成线性关系； ④ 能量关系电源提供能量：2S S 0S d CUq U t i U ==⎰∞电阻消耗能量：t R RU t R i RCted )(d 2S 02-⎰⎰∞∞=2S 21CU =电容储存能量：2S 21CU例：仿真结果：上边为电路电流，下边为电容电压，符合计算结果。
而RL其中U s 为外加激励的电压值令 τ =L/R ，同样为电路的时间常数，其大小反映了电路过渡过程时间的长短。
电感电流：t LR e U ti L u -==S LL d d§7-4 一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。
对于已经充电的电容：例：其中电容初始电压为5V 。
仿真结果：上边为电路电流，下边为电容电压。
符合计算结果。
三要素法分析一阶电路 ：无论从各个不同角度分解全响应，它总是由初始值，特解和时间常数三个要素决定，分析一阶电路问题可以转为求解电路的三个要素的问题。
直流激励时：Aτt ef t f -+∞-+∞=)](f )0([)(f )(⎪⎩⎪⎨⎧∞+时间常数初始值稳态解三要素 )0( )( τf f)(∞f 用t →∞的稳态电路求解 )0(+f 用0-等效电路求解 §7.5 二阶电路的零输入响应推导过程：以电容电压为变量时的初始条件：u C (0+)=U 0 i (0+)=0以电感电流为变量时的初始条件： i (0+)=0 u C (0+)=U 000=+=t C tu d d)0()0(00U t iLu u t L C ===+=++d d LU t i t0=+=d d电路方程：特征方程：特征根：2. 零状态响应的三种情况过阻尼临界阻尼欠阻尼① 电容电压② 电容和电感电流③ 电感电压④ 能量转换关系u C ，i 大于或等于0，电容始终放电，因此称为非振荡放电或过阻尼放电。
0 < t < t m u C 减小 ，i 增加，电感建立磁场储能。
t > t m u C 减小 ，i 减小，电感放能，磁场减弱直到消失。
例：电容初始U 0=10V（1）R=4000ohm2=++C C C u tu RC t u LC d d d d 012=++RCP LCP LCL R R P 2/42-±-=LC L R L R 1)2(22-±-=二个不等负实根 2C L R >二个相等负实根 2C L R =二个共轭复根 2CLR < 2 )1( C LR >2121C ttp eA p eA u +=)(2112120C t t P e P P e P P P U u --=)()(21120C tt c p e p e P P L U t u C i ---=-=d d )(2112120C t t P e P P e P P P U u --= 2)1( CLR >电感电压：电感电容电流：u c 的解答形式：经常 写为：t =0 时 u c =U 0 uc 零点： ωt = π-β，2π-β ... n π-β（2）R=1000ohm 2 )2( CL R <LC L R L R P 1)2(222,1-±-=(谐振角频率) (衰减系数),令 1 2：0LC L R ==ωδ 220(固有振荡角频率)δωω-= ωδj P ±-= )( 21)(2121t j t j t tp t p C e A e A e e A e A u ωωδ--+=+=)sin( βωδ+=-t Aeu tC 0sin ωωβ=00U A ωω=弦函数。
为包线依指数衰减的正是振幅以00U uC ωω±2 )2( C L R <电感电容电流：电容电压：以上物理量不随时间作振荡变化。
该过程是振荡与非振荡的分界线，称为临界非振荡过程。
（3）R=2000ohm电感电压：2 )3( C L R =δ-=-==L R P P 221tt CteA e A u 2 1δδ--+=⎪⎩⎪⎨⎧=+-→==→=++0)(0)0()0(21010A A tu U A U u c c δd d 由初始条件⎩⎨⎧==δ0201U A U A 非振荡放电⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-===-=+=---) 1()1( 0 0 0t e U t i L u te L U t u C i t e U u tL t C C tC δδδδδd d d d 2)3( CLR =上图是电感电电容电流 电容电压：可推广 应用于 一般二 阶电路小结：1.二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。
2.二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。
3. 求二阶电路全响应的步骤： (a)列写t >0+电路的微分方程 (b)求通解 (c)求特解(d)全响应=强制分量+自由分量非振荡放电 过阻尼， 2CLR >ttC p eA p eA u 2121+=非振荡放电 临界阻尼， 2CLR =tt C te A e A u 2 1δδ--+=振荡放电欠阻尼， 2 CLR <)sin( βωδ+=-t Ae u t C0ωδ>非振荡放电 临界阻尼， 0 ωδ=t te A e A u 2 1C δδ--+=振荡放电 欠阻尼， 0ωδ<sin( C βωδ+=-t Ae u t以下是两个课后习题：习题7-14电路模型：电路仿真结果：如图，上边是电感电流、下边是电感电压在换路后的变化图形，符合电感的特性，即在换路时，电感电流不越变，而电压跳变。
数学计算的过程：第一步：根据环路前的稳态结构算出电感的i （0-）值 第二步：根据环路定理得到i （0+）= i （0-）值第三步：把电感外的电路换成等效戴维宁电路，有零状态响应规律得到方程，解得到结果il （t ）=由初值)0()0( )(++dtdff e Ae t )1(385.4--Ul(t)=计算和仿真的结果一致。
习题7-24电路模型：（1）：当R=3000ohm 时仿真结果：当R=2000ohm时：Ve t 5.424当R=200ohm时：仿真结果：如图，以上三个图都是上边电感电流、下边是电容电压在换路后的变化图形，符合电感和电容的特性，即在换路时，电感电流不越变，而电压跳变，电容电压不变，而电流跳变。
数学计算的过程：第一步：根据环路前的稳态结构算出电感的i（0-）和电容u（0-）值第二步：根据环路定理得到i（0+）= i（0-），u（0+）=u（0-）值第三步：根据二阶电路零状态响应规律得到方程，解得到结果il（t）和Ul(t)和，再和仿真的结果对比。
计算和仿真的结果一致。
以上是第七章：一阶电路和二阶电路的时域分析的课程设计。
电气一班：程成、张远航。
