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分式的基本概念及性质-学生版

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分式的基本概念及性质分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式． 整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1x，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． 分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a mb b m÷=÷(0m ≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念例题精讲知识点睛中考要求【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例2】代数式22221131321223x x x a b a b abm n xyx x y+--++++，，，，，，，中分式有（）A.1个B.1个C.1个D.1个二、分式有意义的条件【例3】求下列分式有意义的条件：⑴1x⑵33x+⑶2a ba b+--⑷21nm+⑸22x yx y++⑹2128x x--⑺293xx-+【例4】要使分式23xx-有意义，则x须满足的条件为．【例5】⑴x为何值时，分式1111x++有意义？⑵要使分式241312aaa-++没有意义，求a的值.【例6】x为何值时，分式1122x++有意义？【例7】x为何值时，分式1122xx+-+有意义？【例8】 若分式25011250x x -++有意义，则x ； 若分式2501250x x-++无意义，则x ；【例9】 若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对【例10】 x 为何值时，分式29113x x-++有意义？【例11】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;三、分式值为零的条件【例12】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +--⑹2242x x x-+【巩固】当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+ ⑵223(1)(2)x x x x --++ ⑶2656x x x --- ⑷221634x x x -+-⑸288x x +⑹2225(5)x x -- ⑺(8)(1)1x x x -+-【例13】 若分式41x x +-的值为0，则x 的值为 ．【巩固】若22x x a-+的值为0，则x = .【巩固】若分式242x x --的值为0，则x 的值为 ．【巩固】若分式221x xx +-的值为0，则x 的值为 ．【例14】 如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 ．【巩固】若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．【例15】 x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？【巩固】x 为何值时，分式23455x xx x ++-+值为零？【巩固】若分式233x x x--的值为0，则x = .【巩固】 若分式250011250x x-=++，则x .四、分式的基本性质【例16】 填空：（1）()2ab ba = （2）()32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++=（4）()222x y x y x xy y +=--+【例17】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴x y x y +- ⑵xy x y - ⑶22x y x y -+【巩固】把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y ++ （2）22923x x y+【例18】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数． ⑴1.030.023.20.5x y x y +- ⑵32431532x yx y -+【巩固】不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。

（1）0.3 1.20.051x x +-； （2）115710.12x yx y -+【例19】 不改变分式值，使下列各式分子与分母中的最高次数项的系数为正数：（1）212a a ---； （2）322353a a a a -+---【例20】 求下列各组分式的最简公分母⑴277a -，2312a a a -+，211a - ⑵2145x x --，232xx x ++，22310x x x --⑶22a ab a ab +-，22ab b ab -，222a ab -⑷231881x x -+，2281x -，211881x x ++【例21】 通分：⑴238x y -，3512x yz ，3320xy z - ⑵1(1)x x x +-，21x x -，2221x x -+ ⑶2n m mn -，2m n mn -，221m n - ⑷1()()a b a c --，1()()b c b a --，1()()c a c b --【例22】 下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式。

（1）22444x x x -+- （2）()()6334a a b b a -- （3）222x y y -； （4）2221288x x x x ++++【巩固】以下分式化简：①42226131x x x x ++=--；②x a ax b b+=+；③22x y x y x y +=++；22x y x y x y -=++。

其中错误的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【例23】 约分：⑴32324______30x y x y -=；⑵262______31x xx +=+【例24】 化简：232428_______416n nn n nx x x x x+++-=++．【巩固】（6级）约分：（1）22366m mm m +-- （2）2222444y x x xy y -+-+-（3）14162n n a b a b +-（n 是大于1的整数）； （4）2222142n nn n nx x x x x +++---（n 是正整数）1.⑴x 为何值时，分式2141x x ++无意义？ 课后作业⑵x 为何值时，分式2132x x -+有意义？⑶x 为何值时，分式211x x -+有意义？2. 若分241++x x 的值为零，则x 的值为________________________． 3. 若22032x xx x +=++，求21(1)x -的值. 4. 若分式2160(3)(4)x x x -=-+，则x ；5.（6级）若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？ ⑴2222x y x y +-⑵3323x y⑶223x y xy-6.（4级）约分： ⑴232215____20a b c b c -=⑵224____16x x x -=-⑶2(2)____2x y y x-=-⑷22____mx my x y +=-⑸222249____4129x y x xy y -=++ ⑹22412____710x x x x --=++ ⑺2222222____2a b c bc c a b ab --+=--+⑻11234____18m m m m x y x y +-+-=。

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分式的基本性质教案

分式的基本性质教案

分式的基本性质教案分式是数学中常见的表达形式之一，也是解决实际问题常用的数学工具。

掌握分式的基本性质对于学生来说是非常重要的。

下面是一份关于分式的基本性质的教案，包含了相关的知识点、教学目标、教学活动和评价方法等。

【教案】主题：分式的基本性质教学目标：1.了解分式的基本形式和定义；2.掌握分式的化简方法；3.理解分式的运算规则，灵活运用分式进行计算；4.能够解决实际问题中的分式应用题。

教学重点：1.分式的基本形式和定义；2.分式的化简方法；3.分式的运算规则。

教学难点：1.分式的化简方法；2.分式的运算规则。

教学准备：1.教案、黑板、彩色粉笔；2.分式的例题和习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1.教师通过引入一道实际问题，如“小明有1块巧克力，他吃了其中的1/4，问还剩下多少？”，引起学生对分式的认识；2.学生回答后，教师给出一个简单的分式的定义：“分式是一个由数和字母以及分数线组成的表达式，它可以表示一个数或一个代数式的值。

”；3.教师要求学生举出其他的分式的例子。

二、探究（15分钟）1.教师示范如何将一个分数化简为最简分数，并解释化简的原则；2.学生根据教师的示范，尝试自己化简一些分数；3.教师让学生交流分享自己的化简方法，并让他们发现和总结化简分式的规律。

三、讲解（20分钟）1.教师向学生介绍分式的运算规则，包括相同底数的分式相加减、相乘除以及分式的乘方等；2.教师通过例题向学生解释每个运算规则的使用方法和注意事项；3.学生跟随教师一起完成一些运算的例题，加深对运算规则的理解。

四、练习（25分钟）1.教师给学生布置若干分式的练习题，要求学生将其化简为最简分式；2.学生独立完成练习，并互相订正答案；3.教师挑选一些较复杂的练习题向全班展示解题过程，并让学生解释自己的解题思路。

五、归纳总结（10分钟）1.教师引导学生回顾今天学习的内容，总结分式的基本性质；2.学生通过小组讨论，提出自己关于分式的疑惑和问题；3.教师解答学生的问题，并给出相关的拓展问题。

专题03 分式及其运算(4大考点)(学生版)

专题03 分式及其运算(4大考点)(学生版)

第一部分数与式专题03分式及其运算核心考点核心考点一分式的概念核心考点二分式的基本性质核心考点三分式的运算核心考点四分式的化简求值新题速递核心考点一分式的概念（2022·湖南怀化·中考真题）代数式25x，1π，224x+，x2﹣23，1x，12xx++中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个（2022·内蒙古包头·1x+在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．（2022·湖北黄石·中考真题）先化简，再求值：2269111a aa a++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，从-3，-1，2中选择合适的a 的值代入求值．注意1.分式可以表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。

2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是区别分式和整式的重要依据。

3.在任何情况下，分式的分母的值都不为0，否则分式无意义。

知识点：分式的概念一般地,如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母,那么式子AB叫做分式，其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

（1）分式有意义的条件:分母不为零，即()0AB B≠（2）分式值为零：分子为零，且分母不为零。

即A B（0A =且0B ≠）【变式1】（2022·河北石家庄·一模）关于代数式M =2211121x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭－－＋＋＋，下列说法正确的是（）A ．当x =1时，M 的值为0B ．当x =﹣1时，M 的值为﹣12C ．当M =1时，x 的值为0D ．当M =﹣1时，x 的值为0【变式2】（2022·广东珠海·模拟预测）若21(1)ma =--（m 为正整数），且a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，则2()m m ab b b c +--的值为（）A ．0B ．1-C ．2-D ．0或2-【变式3】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是___________；若分式11x x +-的值为零，则x 的值为___________；若代数式26x x b -+可化为()21x a --，则b a -的值是___________．【变式4】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是___________；若分式11x x +-的值为零，则x 的值为___________；若代数式26x x b -+可化为()21x a --，则b a -的值是___________．【变式5】（2022·广东佛山·二模）平面直角坐标系中有两个一次函数1y ，2y ，其中1y 的图象与x 轴交点的横坐标为2且经过点()1,2，22y mx =-．(1)求函数1y 的关系式；(2)当2y 的图象经过两点11,22n ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(),1n 时，求22n m +的值；(3)当1x >时，对于x 的每一个值，都有12y y <，求m 的取值范围．核心考点二分式的基本性质（2020·河北·中考真题）若a b ¹，则下列分式化简正确的是（）A ．22a ab b +=+B ．22a ab b -=-C ．22a a b b=D ．1212aa b b =（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式22x x -与282x x -的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________．（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x ﹣2）2﹣x （x ﹣1）3224x x x -+．知识点：分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

初中奥数系列：.分式A级.第02讲.学生版

初中奥数系列：.分式A级.第02讲.学生版

1.会进行简单的分式加减乘除综合运算；2.利用分式的基本性质进行分式化简求值；3.会用作差法比较分式大小.趣味小故事：《棋盘上的麦粒问题》 在印度有一个古老的传说：国王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔。

国王问他想要什么。

他对国王说：陛下，请您在这个棋盘的第一个小格里给我一粒麦子，第二个小格2粒，第三个小格4粒，以后每一个小格都比前一个加倍。

国王认为太容易就答应了他。

当人们把一袋袋麦子搬来后，才发现就是全印度的麦子都不能满足。

那么宰相的要求是多少呢？123426641+2+2+2+2++2=2-1=18446744073709551615 （粒），人们估计全世界两千年也难以产这么多麦子。

中考要求重难点课前预习分式的综合运算、化简及比较大小分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母 ，把分子 ，用公式表示为 . 异分母分式相加减，先 ，变为同分母的分式再 .分式的混合运算的运算顺序：先算 ，再算 ，后算 ，如有 ， 内先算．结果以最简形式存在.模块一 分式的加减运算☞分式分母相同或互为相反数 【例1】 （2010福建泉州）计算：111a a a +=++ .【巩固】计算：9333a b a bab ab++-【巩固】计算：2222135333x x x x xx x x +--+-++++【巩固】计算：22222621616x x x x x +-++--☞分式分母不相同例题精讲奥数精品【例2】 （2010延庆一模）计算：21211x x ---【巩固】计算：22b aa ab b ab+--．【巩固】计算：2216322a a a a a --++--模块二 分式的综合运算【例3】 化简293()33a a a a a++÷--的结果为 （ ） A ．aB ．a -C ．()23a + D ．1【巩固】（2010黄冈）化简：211()(3)31x x x x +-⋅---的结果是（ ）A ．2B ．21x - C ．23x - D ．41x x --【巩固】（2008黄冈）计算()a b a bb a a+-÷的结果为（ ）A ．a b b -B ．a b b +C ．a b a -D ．a ba+ 【巩固】（2010江苏南京）计算2211()a b a b ab--÷【例4】 （2010门头沟二模）计算：22282()24a a a a a a+-+÷--。

分式的概念及其基本性质优秀教案

分式的概念及其基本性质优秀教案

9.1分式（1）教学设计一、教材分析1.内容：分式的概念，分式有意义的条件。

2.内容解析：分式是描述实际问题中两个量之比的一类代数式。

从运算角度看，分式表示两个整式相除的商，这与分数表示两个整数相除的商类似。

正因为都是表示两个量相除的商，因此，分式与分数具有相似的基本性质和运算法则、相似的研究思路和方法。

分式是分数的分子分母分别进行符号抽象的结果，分式是分数的一般化，分数是分式中字母取一些特殊值时具体的结果。

本课是分式一章的起始课，核心是分式的概念。

作为起始课教学，需要引导学生类比分数的学习构建分式研究的整体思路和方法，在这一过程中能发展学生系统结构抽象的素养；类比分数表示整数运算结果的方法，研究整式的运算，产生分式，抽象分式概念,类比有理数的概念抽象有理式的概念，发展学生数学概念抽象的素养。

因此，本课的重点是：类比分数抽象分式的概念，整体构建分式的研究思路和方法。

二、目标与目标解析1.目标（1）了解分式的概念和分式有意义的条件。

（2）能根据实际情境列出分式。

（3）能类比分数抽象分式的概念，提出分式研究的整体思路和方法。

2.目标解析(1)目标（1）要求学生能判断一个代数式是否是分式，知道分式与分数、分式与整式的关系，能确定分式有意义的字母取值范围；（2）目标（2）要求学生能根据实际问题中的数量关系列出分式；（3）目标（3）要求类比分数得到分式的概念，提出分式研究的整体思路“定义——性质—运算”。

三、教学问题诊断分析学生已经学习过整式及其运算，分数及其运算，这为分式的学习奠定了知识基础，提供了学习经验。

学生从字面上理解分式的概念并不困难，难的是理解分式所反映的数量关系的本质，理解分数与分式、整式与分式之间的联系与区别。

因此，设计合理的活动，让学生类比分数，经历分式概念的形成过程是帮助学生突破难点的关键，也是发展学生数学抽象素养的抓手。

四、教学整体思路从整数四则运算的封闭性出发，引导学生回顾引入分数表示整数的商的做法；在此基础上，引导学生类比这一思路，考察整式四则运算的封闭性，用类似分数的方法表示两个整式相除的商，发现一类新的代数式，在这个过程中，插入字母表示数的抽象活动；接着类比分数提出研究这类新代数式的整体思路：用定义明确研究对象——探索性质——研究运算；然后，让学生列出实际问题中的分式，类比分数概括分式的本质属性——两个整式的商，分母含有字母；再给出分式的定义，用数系扩充的思想指导学生类比从整数到有理数的扩充过程得到有理式的概念;最后引导学生辨别分式与整式、分式与分数的联系与区别，确定分式有意义的条件。