两角和与差的三角函数.

两角和和差的正弦公式正弦公式是三角函数中的基本公式之一，用于求解两角和和差的正弦值。

我们先来看一下两角和的正弦公式，然后再来推导两角差的正弦公式。

1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)其中A和B是任意两个角。

推导：根据向量的加法：设向量A的模为a，向量B的模为b，A与y轴的夹角为α，B与y轴的夹角为β，A与B的夹角为θ。

则向量A可以表示为：A = a(sinα, cosα)向量B可以表示为：B = b(sinβ, cosβ)向量A+B可以表示为：A+B = a(sinα, cosα) + b(sinβ, cosβ)= (asinα + bsinβ, acosα + bcosβ)设向量A+B与y轴的夹角为γ，则：tanγ = (asinα + bsinβ) / (acosα + bcosβ)根据三角函数的定义：sinγ = (asinα + bsinβ) / √[(asinα + bsinβ)² + (acosα + bcosβ)²]cosγ = (acosα + bcosβ) / √[(asinα +bsinβ)² + (acosα + bcosβ)²]根据正弦函数的定义：sin(A + B) = sinγ所以：sin(A + B) = (asinα + bsinβ) / √[(asinα + bsinβ)² + (acosα + bcosβ)²]= [(sinα + (b/a)sinβ) / √(1 + (b/a)cos(β - α))²]= (sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α)) / √(1 +(b/a)cos(β - α))²= sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) / √(1 +2(b/a)cos(β - α) + (b/a)²cos²(β - α))= sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) / √(1 - sin²(β - α) + (b/a)²(cos(β - α))²)= sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) / √(cos²(β - α) - sin²(β - α) + (b/a)²(cos(β - α))²)由于sin²θ + cos²θ = 1，所以：sin(A + B) = sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) /√(cos²(β - α) - sin²(β - α) + (b/a)²(cos(β - α))²) = sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) / √cos²(β - α)(1 + (b/a)²cos²(β - α))= sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) / cos(β - α)√(1 + (b/a)²cos²(β - α))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + (b/a)²cos²(β - α))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + (b/a)²(1 - sin²(θ)))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + (b/a)² - (b/a)²sin²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + sin²(α)/cos²(α) -(b/a)²sin²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(cos²(α)/cos²(α) +sin²(α)/cos²(α) - (b/a)²sin²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √((cos²(α) + sin²(α))/cos²(α) - (b/a)²sin²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1/cos²(α) - (b/a)²sin²(θ))由于1/cos²θ = sec²θ，所以：sin(A + B) = sinα + (sinα/b)sinβ / √(sec²(α) -(b/a)²sin²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + tan²(α) - (b/a)²sin²(θ)) = sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + (b/a)²sin²(θ)/cos²(α))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + (b/a)²tan²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + sin²(β)tan²(α))根据正弦函数的定义：sin(A + B) = sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 +sin²(β)tan²(α))= sinα + sinβ(1/b) / √(1 + sin²(β)tan²(α))所以：sin(A + B) = sinα + sinβ(1/b) / √(1 + sin²(β)tan²(α))这就是两角和的正弦公式。

两角和与差及二倍角的三角函数公式1.两角和公式：设角A和角B的三角函数值分别为sinA、cosA、tanA、cotA等，sinB、cosB、tanB、cotB等，且A和B的和（差）角也在三角函数的定义域内（常用定义域是[-π, π]或[0,2π]），则有以下两角和（差）公式：（1）sin(A ± B) = sinA*cosB ± cosA*sinB（2）cos(A ± B) = cosA*cosB ∓ sinA*sinB（3）tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA*tanB)（4）cot(A ± B) = (cotA*cotB ∓ 1) / (cotB ± cotA)2.二倍角公式：设角A的三角函数值为sinA、cosA、tanA、cotA等，且2A在三角函数的定义域内，则有以下二倍角公式：（1）sin2A = 2*sinA*cosA（2）cos2A = cos^2A - sin^2A = 2*cos^2A - 1 = 1 - 2*sin^2A （3）tan2A = (2*tanA) / (1 - tan^2A)（4）cot2A = (cot^2A - 1) / (2*cotA)推导两角和与差公式和二倍角公式的方法通常有几种：三角函数的和差化积、三角恒等式推导法、欧拉公式推导法等。

这里以三角函数的和差化积为例，推导两角和公式和二倍角公式。

推导两角和公式：对于sin(A ± B)，利用三角函数的和差化积公式，有：sin(A ± B) = sinA*cosB ± cosA*sinB其中，sinA*cosB表示A和B的正弦余弦积，cosA*sinB表示A和B 的余弦正弦积。

推导二倍角公式：对于sin2A，利用三角函数的和差化积公式，令A=B，有：sin(2A) = sin(A + A) = sinA*cosA + cosA*sinA = 2*sinA*cosA 同样地，对于cos2A，利用三角函数的和差化积公式，有：cos(2A) = cos^2A - sin^2A = 2*cos^2A - 1 = 1 - 2*sin^2Atan2A和cot2A的推导过程类似，利用两角和公式进行展开和化简即可。

作用。

2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦余弦正切共式，二倍角的正弦余弦正切公式，了解它们的内在联系。

学习过程：一． 知识梳理：1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β)：cos(α－β)＝ ；C (α＋β)：cos(α＋β)＝ ；S (α＋β)：sin(α＋β)＝ ；S (α－β)：sin(α－β)＝ 。

T (α－β)：tan(α－β)＝ ；T (α+β)：tan(α+β)= 。

2．二倍角的正弦余弦正切公式 =αα2s i n :2S=αα2c o s :2C = ==αα2t a n :2T对于任意角α，等式)4cos()4sin(απαπ+=-都成立吗？若成立你会几种方法证明。

二． 问题探究：1． 已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝ 2. 已知的值。

求都是锐角， cos ,1411)cos( ,71cos ,ββααβα-=+=3. 化简；000058cos 77sin 148cos 347sin +4.31sin )sin(cos )cos(=+++ββαββα已知的值求且 )42cos(),2,23(παππα+∈.5.的值。

求已知 2tan ,2cos ,2sin ,270180,33cos 00ϕϕϕϕϕ<<-=三．拓展升华 1． 在的值求中 cos ,53cos ,32sin C B A ABC ==∆2．求值：sin50°(1＋3tan10°)－cos20°cos80°1－cos20°3．已知：tan(α－β)＝12tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．证明。

的等式，并对等式进行点写出能反映一般规律分析上述各式的共同特观察以下各等式：.4345cos 15sin 45cos 15sin ,4350cos 20sin 50cos 20sin ,4360cos 30sin 60cos 30sin 4000202000202000202=++=++=++5． 已知：向量a =(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2sin β＝－513，求sin α的值．四．规律总结：。

两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式是指在给定两个角的情况下，通过公式计算它们的和或差的三角函数值的关系式。

这些公式在解决三角函数的实际问题和简化计算中起着重要的作用。

本文将介绍两角和与差的三角函数公式的基本知识点，包括公式的推导、证明和应用。

一、两角和与差的三角函数公式的推导1.两角和的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的和公式如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以通过将和角的正弦、余弦和正切分别展开为各自的和差形式，然后进行合并得到。

以正弦和公式为例，我们可以化简如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB由正弦的和差公式可得：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB= (sinAcosB + cosAsinB)(cosAcosB – sinAsinB)/(cosAcosB –sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cosAcosB – sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cos^2A - sin^2B)= sinAcos^2B - sinAsin^2B + cos^2AsinB - cosBsinA/(cos^2A - sin^2B)= sinA(cos^2B - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)2.两角差的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的差公式如下：sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)同样，这些公式也可以通过将差角的正弦、余弦和正切展开为各自的差和比值形式，然后进行合并得到。

课题：两角和与差的三角函数公式个性化教学辅导教案第3讲两角和与差的三角函数公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；（2）cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin αsin_β；（3）tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin 2α＝2sin_αcos__α．（2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．（3）tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，＝a 2＋b 2sin(α＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a＝a 2＋b 2·cos(α－φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .三个变化1．变角：通过对角的拆分尽可能化为同角、特殊角、已知角的和与差，其手法通常是“配凑”．2．变名：通过变换尽可能减少函数种类，降低次数，减少项数，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等． 3．变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更简化、更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”“逆用变形用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等．1．(必修4 P 127练习T 2改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α为( ) A.210B ．－210C.7210 D ．－7210解析：选A.∵cos α＝－35，α是第三象限的角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－22×⎝⎛⎭⎫－45＝210. 2．(必修4 P 130例4(1)改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为( ) A.32B ．12C ．－12D ．－32解析：选B.法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°·sin 42° ＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.3．(必修4 P 135练习T 2改编)已知sin(α－k π)＝35(k ∈Z )，则cos 2α的值为( )A.725B ．－725C.1625D ．－1625解析：选A.由sin(α－k π)＝35(k ∈Z )得sin α＝±35.∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫±352＝1－1825＝725.故选A.4．(必修4 P 138A 组T 19(4)改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________.解析：原式＝2tan 15°（1－tan 15°）（1＋tan 15°）＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. 答案：335．(必修4 P 137A 组T 10改编)tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个实数根．α，β均为锐角，则α＋β＝________． 解析：由题意知tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，∴tan(α＋β )＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4. 答案：π4两角和与差公式的应用(2015·高考四川卷)sin 15°＋sin 75°的值是________． [解析] 法一：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15° ＝2(22sin 15°＋22cos 15°) ＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°) ＝2sin 60°＝2×32＝62. 法二：sin 15°＋sin 75° ＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°) ＝2sin 45°cos 30°＝2×22×32＝62. [答案]62用两角和与差的三角函数公式直接求三角函数值时，只需在α±β中知道α，β的三角函数值，用公式展开后直接代入求值即可．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 扫一扫 进入 精品微课1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．7 B ．17C ．－17D ．－7解析：选B.因α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45， 所以sin α<0，即sin α＝－35，所以tan α＝34.所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17.2．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________． 解析：tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin 2α＝45，cos 2α＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 答案：4＋3310两角和与差公式的逆向应用(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12[解析] sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10° ＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.[答案] D两角和与差的三角函数的公式的逆向应用，注意两点：①角的统一；②三角函数名称的对应．1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－22B ．22C ．32D ．1解析：选B.原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 2.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°的值为( )A.33B ． 3C ．－33D ．－ 3解析：选B.原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.3．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( ) A.2 B ．22 C ．12D ．32解析：选 B.原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.利用两角和与差公式求角度设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2[解析] 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴由sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.[答案] B利用两角和与差的三角函数公式求角度，需要注意：①根据基本关系和公式求出需要求的角的三角函数值；②确定所求角的范围，求出对应的角度．1．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β为( ) A.π6B ．π4C ．π3D ．3π4解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得 tan α＋tan β＝1－tan αtan β，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1－tan αtan β1－tan αtan β＝1.∵0<α，β<π2，∴0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.2．设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则α的值为( ) A.π6B ．π3C ．π4D ．5π12解析：选C.由cos(α＋β)＝sin(α－β)，得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， 即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)， 因为β为锐角，所以cos β＋sin β≠0，所以cos α＝sin α， 所以tan α＝1.∴α＝π4，故选C.3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. ∴β＝π4.故选C.二倍角公式及其应用(2015·高考广东卷)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.利用二倍角公式求三角函数值时，应注意：①cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α的选择应用； ②高次化简求值时，用cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos2α2降次； ③注意用恒等式(sin α±cos α)2＝1±sin 2α等价转化．1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16B ．13C ．12D ．23＝45×22＋35×22＝7210. 答案：7210一、选择题1．(必修4 P 69A 组T 8(3)改编)已知tan α＝3，则(sin α－cos α)2等于( )A.35B ．25C ．75D ．85解析：选B.∵tan α＝3，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2sin α cos αsin 2α＋cos 2α＝1－2tan αtan 2 α＋1＝1－610＝25. 2．(必修4 P 146A 组T 8(3)改编)化简sin 3αsin α－2cos 2α等于( ) A ．sin αB ．cos αC ．1D ．0 解析：选C.sin 3αsin α－2cos 2α ＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α－2cos 2α ＝2cos 2α＋cos 2α－2cos 2α＝2cos 2α－(2cos 2α－1)＝1.3．(必修4 P 143A 组T 2(2)改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，若tan α＝m tan β，则m 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13， ∴sin αcos β＝512，cos αsin β＝112， ∴tan α＝5tan β，∴m ＝5，故选C.二、填空题4．(必修4 P 137A 组T 5改编)已知sin(30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos(2α＋150°)＝________． 解析：设30°＋α＝t ，∴90°<t <180°，∵sin t ＝35， ∴cos t ＝－45， ∴cos(2α＋150°)＝cos[2(t －30°)＋150°]＝cos(2t ＋90°)＝－sin 2t ＝－2sin t cos t ＝2425. 答案：2425三、解答题5．(必修4 P 125～126内文改编)用向量法证明cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.证明：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B .则OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)．由向量数量积的坐标表示，有OA →·OB →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β.设OA →与OB →的夹角为θ，则OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos θ＝cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β.另一方面，由图(1)可知，α＝2k π＋β＋θ；由图(2)可知，α＝2k π＋β－θ.于是α－β＝2k π±θ，k ∈Z .所以cos(α－β)＝cos θ.则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.一、选择题1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( )。

两角和与差倍角半角公式一、两角和与差公式：两角和公式可以将两个角的三角函数之和表示为一个角的三角函数。

具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角和公式：1. 正弦和：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2. 余弦和：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B3. 正切和：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)类似地，两角差公式可以将两个角的三角函数之差表示为一个角的三角函数。

具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角差公式：1. 正弦差：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B2. 余弦差：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B3. 正切差：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)这些公式的推导可以通过欧拉公式和三角函数的定义推导得到。

二、倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。

具体来说，对于任意角A，有以下倍角公式：1. 正弦倍角：sin(2A) = 2sin A cos A2. 余弦倍角：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A3. 正切倍角：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A)倍角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。

三、半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。

具体来说，对于任意角A，有以下半角公式：1. 正弦半角：sin(A/2) = ±√((1 - cos A) / 2)2. 余弦半角：cos(A/2) = ±√((1 + cos A) / 2)3. 正切半角：tan(A/2) = ±√((1 - cos A) / (1 + cos A))半角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。

两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。

在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。

本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。

一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。

我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。

同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。

三角函数两角和差及二倍角公式一、三角函数的两角和差公式对于任意两个角A和B，我们定义它们的和角为C=A+B，差角为D=A-B。

三角函数的两角和差公式能够将C和D的三角函数表示成A和B的三角函数。

1.两角和公式sin(C) = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(C) = cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(C) = tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以用来计算两个角的正弦、余弦和正切之和。

2.两角差公式sin(D) = sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(D) = cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(D) = tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这些公式可以用来计算两个角的正弦、余弦和正切之差。

二、三角函数的二倍角公式对于角A，我们定义它的二倍角为B=2A。

三角函数的二倍角公式能够将B的三角函数表示成A的三角函数。

1.二倍角正弦公式sin(B) = sin(2A) = 2sinAcosA这个公式可以用来计算角A的二倍角的正弦。

2.二倍角余弦公式cos(B) = cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A)这个公式可以用来计算角A的二倍角的余弦。

3.二倍角正切公式tan(B) = tan(2A) = (2tanA) / (1 - tan^2(A))这个公式可以用来计算角A的二倍角的正切。

三、证明示例我们可以通过证明示例来演示三角函数的两角和差及二倍角公式。

示例1：证明sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB证明：由于正弦函数的定义，我们有：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB因此，得证。

两角和差的正弦余弦正切公式两角和差的正弦、余弦、正切公式是解决三角函数的运算中的常用工具。

它们可以通过已知两个角的三角函数值来求解它们的和或差的三角函数值。

这些公式在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

下面将详细介绍这些公式，以及它们的推导和应用。

1.两角和差的正弦公式sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。

为了推导这个公式，我们可以使用三角函数的和差角公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)通过观察可以发现，两角和差的正弦公式可以通过将cos(A ± B)公式正负号变化得到。

2.两角和差的余弦公式cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。

可以看到，这个公式可以通过将sin(A ± B)的公式正负号变化得到。

3.两角和差的正切公式tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B))/(1 ∓ tan(A)tan(B))其中A和B为任意两个角。

这个公式可以通过两角和差的正弦公式和余弦公式相除得到。

使用公式sin(A)/cos(A) = tan(A)和cos(A)cos(B) -sin(A)sin(B)=cos(A+B)得到。

这些公式在解决三角函数运算中有着广泛的应用。

例如，我们可以将它们用于证明或求解三角恒等式。

以下是一些常见的应用示例：1.求两个特定角的正弦、余弦或正切值的和或差的问题。

例如，已知sin(A) = 0.6，cos(B) = 0.8，求sin(A+B)的值。

根据两角和差的正弦公式，我们可以有：sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)= 0.6*0.8 + cos(A)*sin(B)如果我们已经知道了cos(A)和sin(B)的值，就可以计算出sin(A+B)的值。

三角函数两角和与差公式三角函数两角和与差公式_高中数学学好数学的关键是公式的掌握，数学能让我们思考任何问题的时候都比较缜密，而不至于思绪紊乱。

还能使我们的脑子反映灵活，对突发事件的处理手段也更理性。

下面是小编为大家整理的三角函数两角和与差公式，希望能帮助到大家!三角函数两角和与差公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)高三数学学习方法1、变介绍方法为选择方法高三学生的头脑中已经储存了很多解题方法和规律，如何提取运用是第二轮数学复习的关键。

“给出方法解题目”不可取，必须“给出习题选方法”。

选法是思维活动，只要在如何选上做文章，才能解决好学生自做不会，老师一讲就通的问题。

2、变全面覆盖为重点讲练第二轮数学复习仅有两个半月的时间，从面面俱到从头来过一遍是根本做不到。

要做到紧紧围绕重点方法，重要的知识点，重要的数学思想和方法以及近几年的重点题型，狠抓过关。

3、变以量为主为以质取胜高三数学复习中一切的讲练都是要围绕学生展开的，贪多嚼不烂，学生如果消化不了，那么，讲再多也没有用。

只有重质减量，才能有利于学生更好的掌握知识，减少练习量，不是指不做或是少做，而是要在精选上下功夫，要做到非重点的就少做甚至是不做。

4、变以“补弱”为主为“扬长补弱”并举虽然影响学生的数学成绩的因素很多，但是学习兴趣和爱好与成绩绝对是相辅相成的。

所以一味的强调“补弱”是不科学的，要因人而异，因成绩而异。

一般，成绩居中上游的学生，应以“扬长”为主，居下游的学生，应以补弱为主。

处理好扬长、补弱的关系，才是正确的做法。

高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。

两角和与差的三角函数公式的证明.doc两角和与差的三角函数公式证明（1）正弦余弦定理将△ABC投影到x轴，得出△ABC的正弦余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bc*cosA（2）正弦余弦反比定理正弦余弦反比定理：sinA/a=sinB/b=sinC/c（3）根据正弦余弦定理、正弦余弦反比定理，可以得出：a^2=b^2+c^2-2bc*cosA即：a^2=(b*sinA)*(b*sinA)+(c*sinA)*(c*sinA)-2bc*cosA由正弦余弦反比定理可知：b*sinA=c*sinB即：a^2=(c*sinA)*(c*sinB)+(c*sinA)*(c*sinB)-2bc*cosA化简得：a^2=2c^2*sinA*sinB-2bc*cosA（4）根据正弦余弦定理、正弦余弦反比定理，可以得出：b^2=a^2+c^2-2ac*cosB即：b^2=(a*sinB)*(a*sinB)+(c*sinB)*(c*sinB)-2ac*cosB由正弦余弦反比定理可知：a*sinB=c*sinC即：b^2=(c*sinB)*(c*sinC)+(c*sinB)*(c*sinC)-2ac*cosB化简得：b^2=2c^2*sinB*sinC-2ac*cosB（5）两角和与差的三角函数公式将（3）式和（4）式相加得：a^2+b^2=2c^2*[sinA*sinB+sinB*sinC]-2(bc*cosA+ac*cosB)根据正弦余弦反比定理，有：a*sinA=b*sinB=c*sinC即：a^2+b^2=2c^2*[sinA*sinB+sinB*sinC]-2c^2*[cosA+cosB]化简得：a^2+b^2=2c^2*[sinA+sinB+sinC-(cosA+cosB)]即：sin(A+B+C)=sinA+sinB+sinC-cosA-cosB又因为：sin(A-B-C)=sinA-sinB-sinC+cosA-cosB所以，两角和与差的三角函数公式为：sin(A+B+C)=sin(A-B-C)=sinA+sinB+sinC-cosA-cosB。