(中学联盟)山东实验中学2016届高三下学期(4月)第一次模拟考试(数学文)

1 / 11山东省实验中学2016届第四次诊断性考试数学（文科）试题
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合
0,1,2，220x x x ，则（）A ．0,1,2B ．
1,2C ．0,1D ．02.复数373z i i （i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3.下列函数中，既是奇函数，又是在区间0,
上单调递减的函数为（）A ．1ln y
x B ．1y x C ．12x y D ．3y x x
4.已知向量1,2a ，4,b
m ，若2a b 与a 垂直，则m （）A ．3B ．3C ．8D ．8
5.已知x ，y 满足约束条件40400x
y x y
y
，则32z x y 的最大值为（）A ．6B ．8
C ．10
D ．126.下列说法错误的是（
）A ．若
a ，R
b ，且4a b ，则a ，b 至少有一个大于2B ．“
0R x ，021x ”的否定是“R x ，21x ”C ．1a
，1b 是1ab 的必要条件D ．C 中，是最大角，则222sin sin sin C 是C 为钝角三角形的充要条件
7.已知函数2,21
,23x f x
x f x x ，则31log 5f 的值为（）。

数学试题（文科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本题包括10小题,每小题5分,共50分.每小题只有一个选项符合题意.1. 若复数z 满足23z z i i +∙=+（为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 已知集合2{log 1}A x x =<，2{20}B x x x =+-<，则A B = （ ） A ．(,2)-∞ B ．(0,1) C ．(0,2) D ．(2,1)-3.设120.3log 2,ln 2,5a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<4.若向量a 、b 满足2(3,4)a b +=- ，(1,2)a =，则向量a 与b 的夹角等于（ ）A ．045B ．060C ．0120D ．01355.从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（ ） A ．78 B ．76 C ．74 D ．726.已知函数(5),2(),2xf x x f x ae x ->⎧=⎨≤⎩，若(2016)f e =，则(5)f =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．e7. “2m >”是“对于任意的实数k ，直线:(2)l y k x =+与圆22:0C x y mx ++=都有公共点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．309. 已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的离心率e =P 是抛物线24y x =上的一动点，点P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的距离与到直线1x =-的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（ ）A ．221123y x -=B ．221842y x -=C ．2214y x -= D ．22123y x -=10. 若关于x 的不等式0x xe ax a -+<的解集为(,)m n (0)n <，且(,)m n 中只有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．221[,)32e e B ．221[,)3e e C ．221(,)32e e D ．221(,)3e e第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11.若实数,x y 满足约束条件2110y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为___________.12. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____________.13.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -内随机取点P ，则点P 到正方体各顶点的距离都大于1的概率为___________.14. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3b =，1c =，2A B =，则a 的值为_________. 15.已知正数,x y 满足111x y +=，则4911x yx y +--的最小值为___________. 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）盒中有6个小球，3个白球，记为123,,a a a ，2个红球，记为12,b b ，1个黑球，记为1c ，除了颜色和编号外，球没有任何区别. （1）求从盒中取一球是红球的概率；（2）从盒中取一球，记下颜色后放回，再取一球，记下颜色，若取白球得1分，取红球得2分，取黑球得3分，求两次取球得分之和为5分的概率. 17.（本小题满分12分）已知ABC ∆的面积为3，且满足06AB AC ≤∙≤ ，设AB 和AC夹角为θ.（1）求θ的取值范围；（2）求函数2()2sin ()24f πθθθ=+的最大值与最小值.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是正三角形，点,,D E F 分别是棱BC ，1BB ,11A B 的中点.（1）求证：1AD BC ⊥；（2）判断直线EF 与平面1ADC 的位置关系，并证明你的结论.19.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，39S =+（1）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和为n S ； （2）设数列{}n b 满足nn S b n=（*n N ∈），试讨论数列{}n b 中是否存在三项成等比数列，如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 20.（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点12,F F 在x 轴上，若椭圆C上的点A 到12,F F 两点的距离之和等于4. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)Q 的直线交椭圆C 于,M N 两点. （i ）求OMN ∆面积的最大值；（ii ）过,M N 两点分别作椭圆的切线1l 与2l ，求证：1l ，2l 的交点在定直线上. 21.（本小题满分12分）已知函数()ln x f x ax x=-（a R ∈），其导函数为'()f x （1）设0a =，求()f x 在()1,+∞上的最小值；（2）设0a >，如果函数()f x 在(1,)+∞上单调，求实数a 的取值范围；（3）设0a >，若存在212,[,]x x e e ∈，满足不等式'12()()f x f x a ≤+，求实数a 的取值范围.山东省实验中学2013级第二次模拟考试答案数学（文科）（1）—（10） DBADC BACCA（11）37 ；（12）275；（13）4181π- ； （14）； （15）25.（16）解：(Ⅰ)所有基本事件为：,,,321a a a ,,21b b 1c 共计6个. 记“从盒中取一球是红球”为事件A ,事件A 包含的基本事件为：21,b b∴3162)(==A P . ∴从盒中取一球是红球的概率为31. ...............................4分(Ⅱ)记“两次取球”为事件A ，“两次取球得分之和为5分”为事件B ， 事件A 包含的基本事件为：()11,a a ，()21,a a ，()31,a a ，()11,b a ，()21,b a ，()11,c a ，()12,a a ，()22,a a ，()32,a a ， ()12,b a ，()22,b a ，()12,c a ，()13,a a ，()23,a a ，()33,a a ，()13,b a ，()23,b a ， ()13,c a ，()11,a b ，()21,a b ，()31,a b ，()11,b b ，()21,b b ，()11,c b ， ()12,a b ，()22,a b ，()32,a b ，()12,b b ，()22,b b ，()12,c b ， ()11,a c ，()21,a c ，()31,a c ，()11,b c ，()21,b c ，()11,c c ，共计36个 ...............................8分事件B 包含的基本事件为：()11,c b ，()12,c b ，()11,b c ， ()21,b c 共计4个 .........10分∴91364)(==B P . ∴“两次取球得分之和为5分”的概率为91. ....................12分（17）解(Ⅰ)由3sin 21=θbc ，6cos 0≤≤θbc ，可得1cot 0≤≤θ，又πθ≤≤0， 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππθ. ....................4分 (Ⅱ)()θθπθθπθ2cos 322cos 12cos 34sin 22-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=f132sin 22cos 32sin 1+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=πθθθ. ...........................8分因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππθ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-32,632πππθ，得132sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πθ，故3132sin 22≤+⎪⎭⎫⎝⎛-≤πθ. ...................................10分 即当且仅当4πθ=时，()2min =θf ；当125πθ=时，()3max =θf ...................12分(18) (Ⅰ)证明：因为直三棱柱111C B A ABC -，所以⊥1CC 底面ABC ，因为⊂AD 平面ABC ，所以AD CC ⊥1,因为ABC ∆是正三角形，D 为棱BC 的中点，所以AD BC ⊥又因为C CC BC =1 ，所以⊥AD 平面11B BCC .................4分 因为⊂1BC 平面11B BCC ，所以1BC AD ⊥................5分 (Ⅱ)直线EF ∥平面1ADC ，证明如下：...............6分 如图，连接B A 1，C A 1，交1AC 于点G ，连DG . 因为四边形11ACC A 为矩形，所以G 为C A 1的中点. 又D 为BC 的中点，所以DG ∥B A 1.因为点F E ,分别是棱111,B A BB 的中点，所以EF ∥B A 1，所以DG ∥EF .因为DG ⊂平面1ADC ，EF ⊂/平面1ADC ，所以直线EF ∥平面1ADC ................12分（19）解：(Ⅰ)由已知得⎩⎨⎧+=++=239331211d a a ，解得2=d所以212+-=n a n ，)2(+=n n S n . ..............4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知2+=n b n .假设数列}{n b 中存在三项r q p b b b ,,（*,,N ∈r q p ，r q p <<）成等比数列，则r p q b b b =2，故)2)(2()2(2++=+r p q于是02)2()(2=--+-r p q pr q由于*,,N ∈r q p ，所以⎩⎨⎧=--=-0202r p q pr q ，消去q ，得0)(2=-r p ，于是r p =，这与rp ≠矛盾所以数列中任三项不成等比数列.............12分（20）解：(Ⅰ)因为椭圆C 的焦点在x 轴上，设椭圆C 的方程为()012222>>=+b a by a x .由椭圆上的点A 到两焦点21,F F 两点的距离之和等于4，得42=a ，即2=a . 又点)23,1(A 在椭圆上，因此2213 1.24b+=得12=b . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x .............4分 (Ⅱ) （i ）方法1：设直线MN 为1+=my x ，M (x 1,y 1)， N (x 2,y 2).联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x my x 得()032422=-++my y m .则42221+-=+m m y y ，43221+-=m y y ，且△0>成立. ...............5分 432212221++=-=∆m m y y S OMN...............6分 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+++=3131213322222m m m m 设32+=m t ，则3≥t . 令()t t t f 1+=)3(≥t ,()211tt f -=',因为3≥t ，所以()0>'t f ，得()t f 在[)+∞,3上单调递增.所以()()343=≥ft f ，即23≤∆OMN S................8分综上所述，OMN ∆................9分 方法2： ①当直线MN 与x 轴垂直时，方程为x =1，S △OMN =；...............5分 ②当直线MN 不与x 轴垂直时，设MN 方程为()1y k x =-， M (x 1,y 1)， N (x 2,y 2) 代入椭圆C 的方程得：()22241230k y ky k ++-=则y 1+y 2=2241k k -+， y 1y 2=22341k k -+，且△=()()()03144222>-+-k k k (6)分OMN S ∆=12|y 1-y 2|=()()222241312k k k ++ ......................7分 ()()231311231312222222222++++=+++=kkk k k kk k设2231k t k +=，则3>t ，记()21++=tt t f ).3(>t 21()1f t t'=-，因为3>t ，所以()0>'t f ，得()f t 在(3,)+∞单调递增 所以，()()3163=>f t f ，即23<∆OMN S . ......................8分综上所述，OMN ∆. ......................9分 （ii ）设()11y x M ，、N()22y x ，，则切线21,l l 的方程分别为：1l 1411=+y y xx ，：1l 1411=+y y xx ，设两条切线21,l l 的交点为()00,y x P ，则140101=+y y x x ，140202=+y y x x ，所以直线MN 方程为1400=+y y xx ，因为直线MN 过点()0,1，所以，14=x 即40=x ，这就是()00,y x P 所在的直线.所以21,l l 的交点P 在定直线40=x 上. ......................13分（21）解：(Ⅰ)2)(ln 1ln )(x x x f -='，...................1分 令0)(='x f ，得e =x ，当()e ,1∈x 时，0)(<'x f ，当()+∞∈e,x 时，.0)(>'x f 即函数()x f 在()e ,1上单调递减，在()+∞e,上单调递增，所以当e =x 时函数()x f 取最小值，即() e.e )(min ==f x f ............4分 (Ⅱ)a x a x x x f -+--=--='41)21ln 1()(ln 1ln )(22故当2e x =时a x f -='41)(max ，所以当41≥a 时0)(≤'x f 恒成立，此时函数在),1(+∞上单调递减 当410<<a 时)(x f '不恒大于0综上41≥a ............8分 （III ）由已知条件，问题等价于],[2e e x ∈时()()maxmin )(a x f x f +'≤①当41≥a 时函数()x f 在区间],[2e e 上单调递减，则222min 2)()(ae e e f x f -==，故24121e a -≥.故存在唯一的),(20e e x ∈使0)(0='x f ，当),(0x e x ∈0)(<'x f ，当),(20e x x ∈0)(>'x f ，于是函数()x f 在区间],e [0x 上单调递减，在]e ,[20x 上单调递增，所以()()0min x f x f =.所以41ln )(0000≤-=ax x x x f ，得41412141ln 141ln 1200=->->-≥e e x x a ，这与410<<a 矛盾 综上所述，实数a 的取值范围是),4121[2+∞-e ............14分。

山东省实验中学2015届高三第一次模拟考试数学（文）试题说明：试题分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

试题答案请用2B 铅笔或0．5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第I 卷 （共50分）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分。

每小题只有一个选项符合题意）1．i 为虚数单位，若),||i z i z +=-=则A ．1B C D ．22．已知集合，则为A ．（-2，3）B ．C ．D ．3．命题：“若x 2<1，则-1<x<1”的逆否命题是 A ．若B ．若-1<x<1，则x 2<1C ．若x>1或x<-1，则x 1>1D ．若4．某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A ．B ．C ．D ．5．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．30B ．40C ．24D ．726．已知x ，y 满足的最小值为A ．5B ．-5C ．6D ．-67．函数的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f （x ）的图象A ．关于点对称B ．关于直线对称C ．关于点对称D ．关于直线对称8．已知双曲线，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是9．已知的各项排列成如下的三角形状：10．函数f （x ）的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f(x 1)=f(x 2)时总有x 1=x 2，则称f(x)为单函数．则①函数f （x ）=（x-1）3是单函数： ②函数是单函数③若f （x ）为单函数，④若函数f （x ）在定义域内某个区间D 上具有单调性，则f （x ）一定是单函数 以上命题正确的是 A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．①③④第II 卷（非选择题，共1 00分）二、填空题（本题包括5小题，每小题5分，共25分）11．已知a 、b ∈R +2a+b=2，则的最小值为 。

参考公式：123nx x x x x n+++=。

第Ⅰ卷(共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1.设复数z 满足()2105z i i +=-（i 虚数单位）,则z 的共轭复数z 为（ ) A ．34i -+ B ．34i -- C ．34i + D ．34i -2.已知集合{}|13M x x =-≤<，集合{}2|6N x y x x ==--+，则MN =( ）A ．MB ．NC ．{}|12x x -≤≤D ．{}|33x x -≤<3.某校高三(1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3,11，19,35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为( ） A ．27 B ．26 C ．25 D ．24 4。

已知直线1ax by +=经过点()1,2，则24ab +的最小值为（ ）A 2B ．22C ．4D ．425.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//,m n m β⊥，则n β⊥；②若//,//m m αβ，则//αβ； ③若//,//m n m β，则//n β；④若//,m m αβ⊥,则αβ⊥； A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6。

已知命题0:p xR ∃∈,使05sin 2x =;命题:0,2q x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x >，则下列判断正确的是（ ）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为真D ．p q ∨为假7。

函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()17012f f π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ）A ．23B ．23C ．312-D ．312+8。

已知,x y 满足约束条件2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则11y z x +=+的范围是（ )A ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9。

山东省实验中学2011级高三第一次模拟考试数学试题（文科） (2014．3)第I 卷（选择题 50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知i 为虚数单位，复数212,21i z a i z z z =+=-=，且，则实数a 的值为A.2B.2-C.2或2-D.20±或2.已知全集{}{}()2=12,680,U U R A x x B x x x C A B =->=-+<⋂，且则等于A.[)14-，B.(]23，C.()23，D.()14-， 3.cos sin cos sin 12121212ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为 A.3- B.12- C.12 D.3 4.若一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为A.12B.32C.1D.135.已知x 、y 的取值如下表所示：若y 与x 线性相关，且0.95y x a ∧=+，则a 的值为A.2.2B.2.9C.2.8D.2.6 6.下列结论错误．．的是 A.命题“若23404x x x --==，则”的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则”B.“4x =”是“2340x x --=”的充分条件C.命题“若200m x x m >+-=，则方程有实根”的逆命题为真命题D.命题“若2200=0m n m n +==，则且”的否命题是“若220.m n +≠则0m ≠或0n ≠”7.设,z x y x y =+，其中实数满足200,0x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为12，则z 的最小值为A.3-B.6-C.3D.68.已知ABC ∆的三边长为a 、b 、c ，满足直线2201ax by c x y ++=+=与圆相离，则ABC∆是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上情况都有可9.抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 A.33 B.23 C.2 D.310.已知函数()()()()()21010x x f x f x x a f x x -⎧-≤⎪==+⎨->⎪⎩，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为A.(],0-∞B.[)0,1C.(),1-∞D.[)0,+∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知向量(),,2,2,a b a b a b a ==-⊥u u r u u r r r r r r 满足，则向量a b r r 与的夹角为_______.12.如果执行右边的框图，输入N=5，则输出的数等于_________.13.若ABC ∆三边长a,b,c 满足等式()()a b c a b c ab +-++=，则角C 的大小为_______.14.已知数列{}12132143211121231234n a ⋅⋅⋅为：，，，，，，，，，，，依它的前10项的规律，则50a =___.15.若函数()y f x =是奇函数，则()y f x =的图像关于y 轴对称；②若函数()f x 对任意()()()121f x x R f x f x -∈+=+满足，则4是函数()f x 的一个周期；③若log 3log 30,0m n m n <<<<<1则；④若()[)1x a f x e -=+∞在，上是增函数，则1a ≤.其中正确命题的序号是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题满分12分）已知函数()()23sin cos sin 244f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（II ）若将()f x 的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17.（本小题满分12分）对山东省实验中学高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图：（I ）求出表中M ，p 及图中a 的值；（II ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求两人来自同一小组的概率.18.（本小题满分12分）如图，点C 是以AB 为直径的圆上一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在的平面垂直，且DE//BC ，1,2, 3.2DC BC DE BC AC CD ⊥==== （I ）证明：EO//平面ACD ；（II ）证明：平面ACD ⊥平面BCDE ；（III ）求三棱锥E-ABD 的体积.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}250,,n a d a a >的公差且是方程{}212270n x x b -+=的两根，数列的前n 项和为()*11,3,23.n n n T b b T n N +==+∈且满足（I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n c 满足，n n n a c b =，求数列{}n c 的前n 项和.n M20.（本小题满分13分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过焦点垂直于长轴的弦长为2，焦点与短轴两端点构成等腰直角三角形.（I ）求椭圆C 的标准方程.（II ）过点()2,0P l C A B -作直线与椭圆交于、两点，求1AF B ∆的面积的最大值.21.（本小题满分14分）已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-. （I ）函数()()()22f x f 在点，处的切线与30x y ++=平行，求a 的值； （II ）讨论函数()f x 的单调性；（III ）对于任意()()()12121221,0,,,x x x x f x f x x x ∈+∞>->-有，求实数a 的范围.。

山东省实验中学2013级第一次模拟考试数学试题答案(理科) 2016．41-10 BDBDC CBAAD 11.91 12． 316 13． 280 14. 9 15. ）（1,2116.解 (Ⅰ)因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B，即sin C cos C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B ， …………2分所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ， 即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B .得sin(C －A )＝sin (B －C ). …………4分 所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C )(舍).即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3 . …………6分 (Ⅱ)由C ＝π3，设A ＝π3＋α，B ＝π3－α，0<A ，B <2π3，知－π3<α<π3.又a ＝2R sin A ＝2sin A ，b ＝2R sin B ＝2sin B ， …………8分 故a 2＋b 2＝4（sin 2A ＋2sin 2B ）＝4（1－cos 2A 2＋1－cos 2B2） ＝4－2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝4＋2cos 2α. …………10分 由－π3<α<π3，知－2π3<2α<2π3，－12<cos 2α≤1，故3<a 2＋b 2≤6. …………12分 所以a 2＋b 2的取值范围是]6,3(.17.（Ⅰ）证明(方法一)：由PA ⊥底面ABCD ，得PA AB ⊥．又PA AB =，故PAB △为等腰直角三角形，而点E 是棱PB 的中点，所以AE PB ⊥． …………2分 由题意知AB BC ⊥，又AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理得PB BC ⊥， 从而⊥BC 平面PAB ，故AE BC ⊥． …………4分因AE PB ⊥，AE BC ⊥，所以AE ⊥平面PBC ． …………5分 （Ⅰ）证明（方法二）：如图，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系xyz A -．设(00)D a ，，，则0)0)B C a ，，，，(000P E ，．于是22(0)(00)(222AE BC a PC a ===，，，，，，，，， 则00AE BC AE PC ⋅=⋅=，，因而，AE BC ⊥，所以⊥AE 平面PBC． …………5分（Ⅱ）解：设平面BEC 的法向量为1n ，由（Ⅰ）知，AE ⊥平面BEC ，故可取1022EA ⎛==-- ⎝⎭，n ． …………7分设平面DEC 的法向量2222()x y z =，，n ，则2200DCDE ==，n n ．由||1AD =，得(010)0)D C ，，，，， 从而2(200)(12DC DE==-，，，，，故222200.22x x y z =⎧-+=⎩，所以2220x z ==，，可取12=y，则2=n ． …………10分从而111212cos ||||3n <>==-，n n n n n ． 所以二面角B EC D --的平面角的余弦值为3-．---------------12分 18.解：（Ⅰ）ξ的可能取值为3,4,5 ………………1分943232)3(=⨯==ξP ,943132)4(12=⨯==C P ξ,913131)5(=⨯==ξP ………………4分ξ的分布列为ξ 345p494919441113459993E ξ=⨯+⨯+⨯= ………………7分（Ⅱ）小王恰好到达6有三种情形①抛掷骰子五次，出现点数全部小于5，概率512323243P ⎛⎫== ⎪⎝⎭； ……………8分 ②抛掷骰子四次，出现点数三次小于5，一次大于等于5,概率为312421323381P C ⎛⎫==⎪⎝⎭；…9分③抛掷骰子三次，出现点数一次小于5，两次大于等于5，概率2233122339P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭……10分所以32322182243819243P =++=即小王恰好到达正整数6的概率为182243． (12)分19.解 (Ⅰ)由2nS n ＋1－2(n ＋1)S n ＝n (n ＋1)，得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12.所以数列{S n n }是以首项为1，公差为12的等差数列．因此S n n ＝S 1＋(n －1)×12＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，即S n ＝n n ＋12. 于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝n ＋1n ＋22－nn ＋12＝n ＋1. 因为a 1＝1，所以a n ＝n . …………4分 又因为b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0，所以数列{b n }是等差数列． 由S 9＝9b 3＋b 72＝63，b 3＝5，得b 7＝9.所以公差d ＝9－57－3＝1.所以b n ＝b 3＋(n －3)×1＝n ＋2. …………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2(1n －1n ＋2)， …………7分所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2×(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝2n ＋2(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝3－2(1n ＋1＋1n ＋2)＋2n . …………8分所以T n －2n ＝3－2(1n ＋1＋1n ＋2)．设A n ＝T n －2n ＝3－2(1n ＋1＋1n ＋2)． …………9分因为A n ＋1－A n ＝3－2(1n ＋2＋1n ＋3)－[3－2(1n ＋1＋1n ＋2)]＝2(1n ＋1－1n ＋3)＝4n ＋1n ＋3>0，所以{A n }单调递增，故(A n )min ＝A 1＝43.因为A n ＝3－2(1n ＋1＋1n ＋2)<3，所以43≤A n <3. …………11分因为对任意正整数n ，T n －2n ∈[a ，b ]，所以a ≤43，b ≥3，即a 的最大值为43，b 的最小值为3，所以(b－a )min＝3－43＝53. …………12分 20.（I ）设),4(1y N ，代入py x 22=，得p y 81=，所以pMN 8||=，p p y p NF 822||1+=+=．由题设得pp p 84582⨯=+，解得2-=p （舍去）或2=p ， ∴C 的方程为y x 42=；---------5分（II ）点A 、B 均在抛物线y x 42=上，假设存在点P (0，t )(t <0)满足条件，则直线P A 的方程是y ＝t －12x ＋t ，直线PB 的方程是y ＝1－t2x ＋t . ---------------6分曲线C 在Q 处的切线l 的方程是422m x m y -=，它与y 轴的交点为F (0，42m -)．由于–2<m <2，因此121<<-m.①当–1<t <0时，21211-<-<-t ，存在m ∈(–2,2)，使得212-=t m ， 即l 与直线P A 平行，故当－1<t <0时不符合题意．---------------7分 ②当t ≤－1时，t －12≤－1<2m ，1－t 2≥1>2m，所以l 与直线P A ，PB 一定相交．分别联立方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=42212m x m y t x t y ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=42212m x m y tx t y 解得D ，E 的横坐标分别是)1(242t m t m x D -++=,)1(242-++=t m tm x E则222)1(4)1(--+-=-t m t m t x x E D ---------------9分又|FP |＝t m --42，有S △PDE ＝12·|FP |·|x E －x D |＝2222)1()4(81m t t m t --+⋅-， 又S △QAB ＝12·4·(1－4m )＝242m -，于是S △QAB S △PDE ＝22222)4(])1()[4(14t m t m m t +---⋅-＝2242224168)1(4])1(4[14ttm m t m t m t ++-+-+-⋅-.----11分对任意m (－2,2)，要使S △QAB S △PDE为常数，即只需t 满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=---22216)1(48)1(4tt tt 解得t ＝－1.此时S △QABS △PDE＝2，故存在t ＝－1，使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.----13分21．解：（Ⅰ）由01>+x ,得1->x ．∴()x f 的定义域为()+∞-,1． …………1分因为对x ∈()+∞-,1,都有()()1f x f ≥，∴()1f 是函数()x f 的最小值，故有()01='f ．…2分,022,12)(/=+∴++=bx b x x f 解得4-=b ． ……3分经检验，4-=b 时，)(x f 在)1,1(-上单调减，在),1(+∞上单调增．)1(f 为最小值．故得证．………4分（Ⅱ）∵,12212)(2/+++=++=x bx x x b x x f 又函数()x f 在定义域上是单调函数，∴()0≥'x f 或()0≤'x f 在()+∞-,1上恒成立．若()0≥'x f ，则012≥++x bx 在()+∞-,1上恒成立, 即x x b 222--≥=21)21(22++-x 恒成立,由此得≥b 21；若()0≤'x f ,则012≤++x bx 在()+∞-,1上恒成立,即x x b 222--≤=21)21(22++-x 恒成立．因21)21(22++-x 在()+∞-,1上没有最小值，∴不存在实数b 使()0≤'x f 恒成立．综上所述，实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21． ………………………8分（Ⅲ）当1-=b 时，函数()()1ln 2+-=x x x f ．令()()()1ln 233+-+-=-=x x x x x f x h ，则()()1131123232+-+-=+-+-='x x x x x x x h ． 当()+∞∈,0x 时，()0<'x h ，所以函数()x h 在()+∞,0上单调递减．又()00=h ，∴当[)+∞∈,0x 时，恒有()()00=<h x h ，即()321ln x x x <+-恒成立．故当()+∞∈,0x 时，有()3x x f <．而*∈N k ，()+∞∈∴,01k．取k x 1=，则有311kk f <⎪⎭⎫ ⎝⎛． ∴33311312111n k f nk +⋅⋅⋅+++<⎪⎭⎫⎝⎛∑=．所以结论成立． ……………………………14分。

山东省实验中学2017届高三下学期一模考试（4月）数学（理）试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．是虚数单位，复数，则的共轭复数是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．下列结论正确的是（ ） A ．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B ．已知是上的可导函数，则“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件C ．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”D ．命题“角的终边在第一象限角，则是锐角”的逆否命题为真命题5．已知，满足2≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩y xx y x a ，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．46．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数，，的零点依次为，，，则（ ） A ． B ． C ． D ．8．已知椭圆（）的离心率为，双曲线（，）与椭圆有相同的焦点，，是两曲线的一个公共点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知直线：（）与圆：的交点为、，点是圆上一动点，设点，则的最大值为（ ） A ．7 B ．8 C ．10 D ．12 10．定义在上的函数，对任意的，都有()()1⎛⎫--= ⎪-⎝⎭x y f x f y f xy ，当时，.若，，，则，，的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知随机变量服从正态分布，若，则 ．12．已知，在二项式的展开式中，含的项的系数为 ．13．已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于103的概率是 ．14．已知，，，则的最小值是 ．15．已知函数，若存在使得成立，则实数的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （Ⅰ）求角的大小；sin 6π⎛⎫+-⎪⎝⎭A C 的取值范围. 17．如图所示，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，.（Ⅰ）求证平面平面；（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.18．在数列（）中，其前项和为，满足. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设2213211,2++=-=+⎪=⎪⋅⎩n n n n k b n n k a a （为正整数），求数列的前项和.19．奥运会乒乓球比赛共设男子单打、女子单打、男子团体、女子团体共四枚金牌，保守估计中国乒乓球男队单打或团体获得一枚金牌的概率均为，中国乒乓球女队单打或团体获得一枚金牌的概率均为.（1）求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率； （2）记中国乒乓球队获得的金牌数为，按此估计的分布列和数学期望.20．已知动圆恒过且与直线相切，动圆圆心的轨迹记为；直线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与轨迹有两个不同的公共点，，为坐标原点.（1）求动圆圆心的轨迹的方程，并求直线的斜率的取值范围；（2）点是轨迹上异于，的任意一点，直线，分别与过且垂直于轴的直线交于，，证明：为定值，并求出该定值；（3）对于（2）给出一般结论：若点，直线，其它条件不变，求的值（可以直接写出结果）. 21．已知函数（）.（1）当时，令（），求函数在（）上的最小值； （2）若对于一切，恒成立，求的取值集合； （3）求证：()114=<∑nii ei.参考答案一、选择题1-5:CBDBB 6-10:ABACC二、填空题11．0.35 12．13．14．4 15．三、解答题16．解：（Ⅰ）()2sin sin cos -C A B ，. ，，，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，sin 6π⎛⎫+- ⎪⎝⎭A C .，， ，sin 6π⎛⎫+- ⎪⎝⎭A C 的取值范围是.17．解：（Ⅰ）平面，平面，， 由条件知，，. ，. 又，平面. 平面，平面平面.（Ⅱ）取中点为，连结，则，以为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则，，. 设（），则， ，，. 取，则， 为面的法向量. 设为面的法向量，则， 令，，， 则.依题意，有cos ,⋅=u r ru r ru r r m n m n m n，则， 于是.设直线与平面所成角为，则⋅=uu r r uu r r PA n PA n18．解:(Ⅰ)由题设得:,所以()21211-=---n S n n （） 所以（）当时，,数列是为首项、公差为1的等差数列 故.（Ⅱ）由(Ⅰ)知:2213211,2++=-=+⎪=⎪⋅⎩n n n n k b n n k aa ()2221111,242=-⎪=⎨⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩n k n k n n22221111142446⎡⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣()22112⎤⎛⎫⎥+- ⎪ ⎪+⎥⎝⎭⎦n n19．解：（1）设中国乒乓球男队获0枚金牌，女队获1枚金牌为事件，中国乒乓球男队获1枚金牌，女队获2枚金牌为事件，那么，()()()+=+P A B P A P B 21234411455⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 21233413144550⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C （2）根据题意中国乒乓球队获得金牌数是一随机变量，它的所有可能取值为0，1，2，3，4（单位：枚），那么()2123014ξ⎛⎫==- ⎪⎝⎭P C()123114ξ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭P C 2123441455⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 23471145200⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()11223214ξ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭P C C 22243411545⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12333144ξ⎛⎫⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P C 2212434545⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C则概率分布为：那么，所获金牌的数学期望01400200ξ=⨯+⨯E （枚） 答：中国乒乓球队获得金牌数的期望为枚。

青岛市高三统一质量检测数学(文科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集{}3,1,0,1,2U y y x x ===-，集合{}{}1,1,1,8A B =-=，则()U A C B ⋂= A. {}1,1- B. {}1- C. {}1 D. ∅2.函数2232y x x =--的定义域为 A. (],1-∞ B. []1,1- C. [)()1,22,⋃+∞ D. 111,,122⎡⎫⎛⎤--⋃-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦3.已知数据12350,,,,,500x x x x ⋅⋅⋅（单位：公斤），其中12350,,,,,x x x x ⋅⋅⋅是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x ，中位数为y ，则12350,,,,,500x x x x ⋅⋅⋅这51个数据的平均数、中位数分别与x y 、比较，下列说法正确的是A.平均数增大，中位数一定变大B.平均数增大，中位数可能不变C.平均数可能不变，中位数可能不变D.平均数可能不变，中位数可能变小4.下列函数为偶函数的是A. ()2f x x x =-B. ()cos f x x x =C. ()sin f x x x =D. ()(1f x g x =5.已知a R ∈，“关于x 的不等式220x ax a -+≥的解集为R ”是“01a ≤≤”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()123,0,0x x f x xx --<⎧⎪=⎨⎪≥⎩的图象与函数()()12log 1g x x =+的图象的交点个数是A.1B.2C.3D.47.如图，非零向量,OM a ON b ==u u u r r u u u r r ，且NP OM ⊥，P 为垂足，若向量OP a λ=uu u r r ，则实数λ的值为 A. a b a b⋅⋅r r u r u r B. a b a b⋅-⋅r r u r u r C. 2a b a⋅r r u r D. 2a b b⋅r r u r8.已知,x y R ∈，且满足1,230x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩则1y t x +=的最大值为 A.3 B.2 C.1 D. 129.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2NB PN =，则三棱锥N PAC -与四棱锥P A -的体积比为A.1：2B.1：3C.1：6D.1：810.如图所示的程序框图，输出S 的值为 A. 99223-B. 100223- C. 101223- D. 102223-第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知i 是虚数单位，,m n R ∈，且22m i ni +=-，则m ni m ni+-的共轭复数为_______； 12.已知圆C 的圆心坐标为()3,2，抛物线24x y =-的准线被圆C 截得的弦长为2，则圆C 的方程为_________；13.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<是偶函数，它的部分图象如图所示.M 是函数()f x 图象上的点，K ，L 是函数()f x 的图象与x 轴的交点，且KLM ∆为等腰直角三角形，则()f x =___________；14.若0,0a b >>，则()21a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值是___________； 15.已知点12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=o，则双曲线的离心率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）2016年1月份，某家电公司为了调查用户对该公司售后服务的满意度，随机调查了10名使用该公司产品的用户，用户通过“10分制”对公司售后服务进行评价.分数不低于9.5分的用户为满意用户，分数低于9分的用户为不满意用户，其它分数的用户为基本满意用户.已知这10名用户的评分分别为：7.6，8.3，8.7，8.9，9.1，9.2，9.3，9.4，9.9，10.（I ）从这10名用户的不满意用户和基本满意用户中各抽取一人，求这两名用户评分之和大于18的（II ）从这10名用户的满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，求这两名用户至少有一人为满意用户的概率.17. （本小题满分12分） 在锐角ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，向量()(=2s i n 3m A C +u r ，向量2c o s 2,12c o s 2B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，且//m n u r r . （I ）求角B 的大小；（II ）若2sin sin sin A C B =，求a c -的值.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC AD AB BC ⊥⊥，，45,2BCA AP AD AC ∠====o ，E 、F 、H 分别为PA 、CD 、PF 的中点.（I ）设面PAB ⋂面PCD l =，求证：//CD l ；求证CD ∥l（II ）求证：AH ⊥面EDC.19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差d=2，其前n 项和为n S ，数列{}n a 的首项12b =，其前n 项和为n T ，满足)122,n T n N *=+∈.（I ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}14n n a b -的前n 项和n W .20. （本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的长轴长为点A ，B ，C 在椭圆E 上，其中点A 是椭圆E 的右顶点，直线BC 过原点O ，点B 在第一象限，且2BC AB =，1cos 5ABC ∠=. （I ）求椭圆E 的方程；（II ）与x 轴不垂直的直线l 与圆221x y +=相切，且与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ，求M O N ∆的面积的取值范围.21. （本小题满分14分）已知函数()sin f x x ax =-，14ln 2sin ,ln 22π><. （I ）对于()()0,1,0x f x ∈>恒成立，求实数a 的取值范围；（II ）当0a =时，()()()ln 1h x x x f x '=--，证明()h x 存在唯一极值点.。

2016届山东师大附中高三下学期高考模拟数学（文）试题一、选择题1．设复数z 满足()2105z i i ⋅+=-(i 虚数单位)，则z 的共轭复数z 为（ ）A ．34i -+B ．34i --C ．34i +D ．34i - 【答案】C 【解析】试题分析：由()2105z i i⋅+=-得()()()()10521051520342225i i i i z i i i i ----====-++-，所以34z i =+，故选C.【考点】复数的运算与共轭复数的概念.2．已知集合{}|13M x x =-≤<，集合{|N x y ==，则M N =（ ）A ．MB ．NC ．{}|12x x -≤≤D ．{}|33x x -≤< 【答案】D 【解析】试题分析：集合{{}{}2||x x 60|3x 2N x y x x ===+-≤=-≤≤，所以MN ={}{}{}|13|3x 2|3x 3x x x x -≤<-≤≤=-≤<，故选D.【考点】集合的运算.3．某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（ ）A ．27B ．26C ．25D ．24 【答案】A【解析】试题分析：根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，也就抽取的号码差相等，根据抽出的序号可知学号之间的差为8，所以在19与35之间还有27，故选A. 【考点】随机抽样.4．已知直线1ax by +=经过点()1,2，则24ab+的最小值为（ ）A ．B ．C ．4D ．【答案】B【解析】试题分析：因为直线1a x b y +=经过点()1,2，所以21a b +=，24a b +≥==2a b =时，等号成立，所以24a b+的最小值为 B. 【考点】基本不等式.5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//,m n m β⊥，则n β⊥；②若//,//m m αβ，则//αβ； ③若//,//m n m β，则//n β；④若//,m m αβ⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】试题分析：①因为“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”，所以①正确；②当m 平行于两个相交平面,αβ的交线l 时，也有//,//m m αβ，所以②错误；③若//,//m n m β，则//n β或n β⊂内，所以③错误；④平面,αβ与直线m 的关系如下图所示，必有αβ⊥，故④正确.【考点】空间中直线与平面平行与垂直关系的判断.6．已知命题0:p x R ∃∈，使0sin x =:0,2q x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x >，则下列判断正确的是（ ）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为真D ．p q ∨为假 【答案】B【解析】试题分析：根据正弦函数的值域可知命题p 为假命题，设()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=->，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()00f x f >=，即sin x x >在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以命题q 为真命题，q ⌝为假命题，故选B. 【考点】复合命题真假性判断. 7．函数()()2s i n 0,2fx x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()17012f f π⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A．2 B．2 C．1 D．1【答案】A【解析】试题分析：由图象可知24,2612T ππππωω⎛⎫==+=∴= ⎪⎝⎭，由此可知()()2sin 2f x x ϕ=+，所以2sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,3k k πϕπ=-∈Z 又2πϕ<，所以3πϕ=-，()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()17502sin 2sin 21232f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A. 【考点】正弦函数的图象与性质.8．已知,x y 满足约束条件2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则11y z x +=+的范围是（ ）A ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如下图所示，因为目标函数11y z x +=+表示可行域内的点(),x y 与定点()1,1P --连线的斜率，由图可知，PA PB k z k ≤≤，解方程组2250y x y =⎧⎨+-=⎩得()1,5B ，由方程组20250x y x y --=⎧⎨+-=⎩得()3,1A ，所以13,22PA PB k k ==,所以11y z x +=+的范围是13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选C.【考点】线性规划.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，考查了数形结合的思想方法，属于中档题.线性规划问题是统考和高考中常见的题型，解题的基本策略是作出约束条件表示的可行域，根据目标函数的几何意义来探索最优解，从而求得最值.探索目标函数的几何意义时，应充分联想学过的公式形式，最常见的是直线的斜截式方程、斜率公式及两点间的距离公式等，本题11y z x +=+与斜率公式形式一致，表示可行域内的点(),x y 与定点()1,1P --连线的斜率，结合图形即可求得目标函数的范围.9．已知函数()321132f x ax bx x =-+，连续抛掷两颗骰子得到点数分别是,a b ，则函数()f x '在1x =处取得最值的概率是（ ） A ．136B ．118C ．112D ．16【答案】C【解析】试题分析：()()21,,,16,16f x ax bx a b N a b *'=-+∈≤≤≤≤且，其对称轴方程为12bx a==即2b a =，抛掷两颗骰子得到的点数一共有(){},|,b N,16,16a b a a b ∈≤≤≤≤共36种等可能出现的情况，其中满足2b a =的有()()()1,2,2,4,3,6共3种情况，所以其概率为313612P ==，故选C.【考点】古典概型.【方法点晴】本题主要考查了古典概型、二次函数的最值及导数的运算问题，属于中档题.本题先通过求导得到要研究的二次函数，结合二次函数的性质找到1x =处取得最值,a b 满足的条件.因为连续抛掷两颗骰子，研究得到的点数情况满足有限性和等可能性，所以属于古典概型，列举出所有可能的基本事件空间，找出满足条件的基本事件，即得所求的概率.10．已知抛物线()220,y px p ABC =>∆的三个顶点都在抛物线上，O 为坐标原点，设ABC ∆三条边,,AB BC AC 的中点分别为,,M N Q ，且,,M N Q 的纵坐标分别为123,,y y y .若直线,,AB BC AC 的斜率之和为-1，则123111y y y ++的值为（ ） A ．12p -B ．1p -C ．1pD ．12p【答案】B【解析】试题分析：设,,A B C 三点的坐标分别为()()(),,,,,A A B B C C x y x y x y ，则有222,2,A A B B y px y px ==22,C C y px =所以()()2222A B A B A B A B y y y y y y px px -=-+=-()2A B p x x =-，所以11222A B AB A B A B y y p p p k x x y y y y -====-+,同理可得23,BC AC p pk k y y ==，又因为AB k BC k +1AC k +=-，所以1231p p p y y y ++=-，所以1231111y y y p++=-，故选B. 【考点】抛物线方程的应用.【方法点晴】本题主要考查了抛物线方程的应用，属于中档题.本题解答的关键是利用已知条件“ABC ∆的三个顶点都在抛物线上”，把,,A B C 三点坐标代入抛物线方程，通过两个方程相减得到经过两点的直线的斜率表达式，进而得到弦的斜率与中点坐标的关系，这种方法我们称为“平方差法”，主要就是来解决二次曲线弦的斜率问题，通常给出中点坐标时，考虑这种方法.二、填空题11．设ln 3,ln 7a b ==，则a be e +=__________.（其中e 为自然对数的底数）【答案】10【解析】试题分析：ln3ln73710a b e e e e +=+=+=.【考点】对数恒等式. 12．已知向量,a b ，其中3,2a b ==，且()a b a -⊥，则向量a 和b 的夹角是__________．【答案】6π 【解析】试题分析：因为()a b a -⊥，所以()220a b a a a b a a b -⋅=-⋅=-⋅=即23a b a ⋅==，所以3cos ,2a b a b a b⋅==⋅，又因为0,a b π≤≤，所以向量a 和b 的夹角是6π. 【考点】平面向量的数量积运算.13．已知过点()2,4的直线l 被圆22:2450C x y x y +---=截得的弦长为6，则直线l 的方程为_____.【答案】20x -=或34100x y -+=【解析】试题分析：圆22:2450C x y x y +---=的标准方程为()()221210x y -+-=，圆心为()1,2C ，半径r =当直线l 的斜率不存在时，方程为2x =，圆心为()1,2C 到直线l 的距离为1d =，弦长为6=，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为()24y k x =-+即420kx y k -+-=，圆心为()1,2C 到直线l 的距离为1d ==，解得34k =，此时直线l 方程为34100x y -+=，综上所述，满足被圆截得的弦长为6的直线方程为20x -= 或34100x y -+=.【考点】直线与圆的位置关系.14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14.这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为____________.（参考数据：001.732,sin150.2588,sin7.50.1305≈≈≈）【答案】24【解析】试题分析：运行程序可得336,3sin 60n S ===，不满足条件 3.10S ≥；12,3sin303n S ===，不满足条件 3.10S ≥；24,12sin15 3.1056n S ===，满足条件 3.10S ≥，退出循环，所以输出的n 的值为24. 【考点】程序框图.【方法点晴】本题主要考查了程序框图中的循环结构，考查了两角差的正弦公式，属于基础题.解答程序框图问题的基本策略就是按照给出的程序一步一步运行，直到找出满足判断框内容的变量值，退出循环，得到问题的答案.运算时需严格按照程序框图的顺序计算，不能随意更改，否则极易出现错误.15．已知函数()()(),1,11,1xe xf xg x kx f x x ⎧≤⎪==+⎨->⎪⎩，若方程()()0f x g x -=有两个不同实根，则实数k 的取值范围为___________. 【答案】(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】试题分析：方程()()0f x g x -=有两个不同实根，即函数()y f x =与()y g x =的图象有两个不同的交点，作出它们的图象如图所示. 函数()1g x kx =+表示过点()0,1的直线，因为函数()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+，所以当直线1y x =+绕点()0,1P 逆时针方向旋转到过点()1,A e 的过程中均能满足与()y f x =的图象有两个不同的交点，当直线1y x =+绕点()0,1P 顺时针方向旋转到过点()2,B e 的过程中也能满足与()y f x =的图象有两个不同的交点.因为11,,2PA PB e k e k -=-=所以实数k 的取值范围为(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭.【考点】函数的零点.【方法点晴】本题主要考查了函数的问题，属于中档题.把函数的零点转化为两个基本初等函数的交点，通过数形结合来解决.本题中函数()(),11,1xe xf x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩在()1,+∞上是以1为周期的周期函数，与()0,1上的图象相同，这样作出分段函数()f x 的图象，并求出()xf x e =在()0,1的切线方程1y x =+，把直线1y x =+旋转即可找到满足条件的斜率k 的范围.16．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边为,,a b c ，已知2cos 2c A a b +=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆,a b . 【答案】（1）3C π=；（2）2a b ==.【解析】试题分析：根据正弦定理可得2sin cos sin 2sin C A A B +=，根据内角和定理和两角和的正弦公式整理可得1cos 2C =，即得角C 的值；（2）由ABC ∆的面积为ab 的值，根据余弦定理表示2c 构造,a b 的另一个方程，解方程组即可求得,a b .试题解析：（1）∵2cos 2c A a b +=， ∴2sin cos sin 2sin C A A B +=， ∴()2sin cos sin 2sin C A A A C +=+，即2sin cos sin 2sin cos 2cos sin C A A A C A C +=+， ∴sin 2sin cos A A C =，∴1cos 2C =， 又∵C 是三角形的内角，∴3C π=（2）∵ABC S ∆=，∴1sin 23ab π=4ab =，又∵2222cos c a b ab C =+-，∴()242a b ab ab =+--，∴4a b +=， ∴2a b ==【考点】正余弦定理解三角形.17．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S .满足52225S a -=，且1413,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项. （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）设n T 是数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.是否存在*k N ∈，使得等式112k k T b -=成立，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21n a n =+，3n n b =；（2）不存在*k N ∈，使得等式112k kT b -=成立. 【解析】试题分析：由等差数列的通项公式和前n 项和可得13,2a d ==，所以21n a n =+，由此求得1413,,a a a 即得等比数列的前三项，据此可得{}n b 的通项公式；（2）根据裂项求和法求得n T ，整理112k kT b -=可得21312315k T <-≤，即1110,33k k b ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，因此不存在*k N ∈，使得等式112k k T b -=成立.试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，所以()()()1121115452252312a d a d a d a a d ⎧⨯⎛⎫+-+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=+⎩， 解得13,2a d ==，所以21n a n =+, ∵11243,9b a b a ====，∴3n n b = （2）()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 所以11111111112355721232323n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以21112,32323k T k k ⎧⎫-=+⎨⎬++⎩⎭单调递减，得21312315k T <-≤，而1110,33k k b ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦， 所以不存在*k N ∈，使得等式112k kT b -=成立 【考点】等差、等比数列的通项公式及数列求和.三、解答题 18．近日，济南楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响.某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A 户型每套面积为100平方米，均价1.1万元/平方米，B 户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米.下表是这18套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：（1）求,a b 的值；（2）张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率.【答案】（1） 1.16, 1.17a b ==；（2）35. 【解析】试题分析：（1）根据表中数据和平均数的定义即可求得,a b 的值；（2）根据给出的,A B 两种户型的面积和单价求得满足总价小于100万的A 户型有2套，设为12,A A ，B 户型有4套，设为1234,,,B B B B ，列出所有可能的购买方法，从中找到事件“至少有一套面积为100平方米”包含的基本事件，即可求得概率. 试题解析：（1） 1.16, 1.17a b ==（2）A 户型小于100万的有2套，设12,:A A B 户型小于100万的有4套，设为1234,,,B B B B买两套价小于100万的房子所含基本事件为：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121112131421222324121314232434,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B共有15个基本事件令事件A 为“至少有一套面积为100平方米住房”，则A 中所含基本事件有{}{}{}{}{}{}{}{}{}121112131421222324,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B 共9个∴()93155P A ==即所买两套房中至少有一套面积为100平方米的概率为35【考点】样本平均数与古典概型中某事件发生的概率.19．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面,,,,A B C D P A A D E F H ⊥分别为,,AB PC BC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：平面PAH ⊥平面DEF . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）方法一可考虑线面平行的判定定理，证明EF 与平面PAD 内的一条直线平行，取PD 中点M ，连接,FM AM ，可证得四边形AEFM 是平行四边形；方法二用面面平行的性质，过EF 作平面PAD 的平行平面，取CD 中点N ，连接,FN EN ，可证得平面EFN 平行于平面平面PAD ；（2）证明平面PAH ⊥平面DEF ，只能用面面垂直的判定定理，即证直线与平面垂直，根据已知条件可证得DE PA ⊥，DE AH ⊥，所以有DE ⊥平面PAH ，从而证得平面PAH ⊥平面DEF . 试题解析：（1）方法一：取PD 中点M ，连接,FM AM .∵在PCD ∆中，,F M 为中点，∴//FM CD 且12FM CD =， ∵正方形ABCD 中，//AE CD 且12AE CD =，∴//AE FM 且AE FM =， 则四边形AEFM 为平行四边形，∴//AM EF ，∵ EF ⊄平面,PAD AM ⊂平面PAD ，∴//EF 平面PAD ， 方法二：取CD 中点N ，连接,FN EN .∵在CPD ∆中，,F N 为中点，∴//FN PD ， ∵正方形ABCD 中，,E N 为中点，∴//EN AD ∵EN ⊂平面,EFN FN ⊂平面,EFN EN FN N ⋂=，PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，PD AD D ⋂=，∴平面//EFN 平面PAD ， ∵EF ⊂平面EFN ，∴//EF 平面PAD ，（2）∵侧面PAD ⊥底面,ABCD PA AD ⊥，侧面PAD ⋂底面ABCD AD =，∴PA ⊥底面ABCD ，∵DE ⊂底面ABCD ，∴DE PA ⊥，∵,E H 分别为正方形ABCD 边,AB BC 中点，∴Rt ABH Rt ADE ∆≅∆， 则BAH ADE ∠=∠，∴090BAH AED ∠+∠=，则DE AH ⊥， ∵PA ⊂平面,PAH AH ⊂平面,PAH PA AH A ⋂=∴DE ⊥平面PAH ， ∵DE ⊂平面EFD ∴平面PAH ⊥平面DEF ， 【考点】空间中直线与平面的平行、垂直关系.20．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，定义椭圆C 的“相关圆”方程为222222a b x y a b+=+.若抛物线24y x =的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.（1）求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；（2）过“相关圆”E 上任意一点P 的直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点. O 为坐标原点，若OA OB ⊥，证明原点O 到直线AB 的距离是定值，并求m 的取值范围.【答案】（1）椭圆C 的方程为2212x y +=，“相关圆”E 的方程为2223x y +=；（2）m ≥或m ≤ 【解析】试题分析：（1）由抛物线24y x =的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形可得1b c ==，从而得到椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；（2）联立方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220k xkmx m +++-=，利用判别式、韦达定理及点到直线的距离公式，结合已知条件即可证明原点O 到直线AB 的距离是定值，并求得m 的取值范围. 试题解析：（1）因为若抛物线24y x =的焦点为()1,0与椭圆C 的一个焦点重合，所以1c =，又因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以1b c ==，故椭圆C 的方程为2212x y +=，“相关圆”E 的方程为2223x y +=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220k x kmx m +++-=，()()()22222216412228210k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()()()()222222222121212122222242121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++，由条件OA OB ⊥得223220m k --=,所以原点O 到直线l的距离是d ==， 由223220m k --=得3d =为定值 此时要满足0∆>，即22210k m -+>，又223202m k -=≥， 即222132m m ⎧>⎨≥⎩，所以223m ≥，即m ≥或m ≤【考点】椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了椭圆、圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中的定值为题，属于中档题.求椭圆和圆的方程，只要根据条件建立基本量,,a b c 之间的关系，问题即可得解；定值问题也是直线与圆锥曲线位置关系的综合应用中的常见题型，解答的基本策略是把要证为定值量用参数表示，根据韦达定理、判别式及其它一些已知条件建立交点坐标与参数间的关系进行消元、运算，即可证得结论.21．设函数()()()()221ln ,12f x ax b x xg x x b x =+-=-+-.已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线10x y -+=垂直. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值点；（3）若对于任意()1,b ∈+∞，总存在[]12,1,x x b ∈，使得()()()()12121f x f x g x g x m -->-+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12a =-；（2）当4b <-时，函数()f x 有一个极小值点2b -和一个极大值点2b -+，当40b -≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上有无极值点，当0b >时，函数()f x ，无极小值点；（3）1m ≤-.【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求出曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率，利用两直线垂直时斜率间的关系即可求得a 的值；（2）因为()2x bx b f x x--+'=，其极值点就是()2h x x bx b =--+在()0,x ∈+∞上的变号零点的个数，通过讨论对称轴的位置和判别式∆的符合得其单调性，找到函数()f x 的极值点情况；（3）要使总存在[]12,1,x x b ∈，使得()()()()12121f x f x g x g x m -->-+成立，即总存在[]12,1,x x b ∈，使得()()()()11221f x g x f x g x m ->-++成立，构造函数()()()F x f x g x =-，[]1,x b ∈，则总存在[]12,1,x x b ∈，使得()()121F x F x m ->+成立，所以即()()max min 1F x F x m ->+，利用导数研究含()()()F x f x g x =-的单调性，求出最大值和最小值即得m 的范围.试题解析：（1）()121f x ax b x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭， 所以()121k f a '===-，所以12a =-，（2）()()21ln 2f x x b x x =-+-，其定义域为()0,+∞， ()211x bx b f x x b x x --+⎛⎫'=-+-=⎪⎝⎭， 令()()2,0,h x x bx b x =--+∈+∞，24b b ∆=+①当40b -≤≤时，240b b ∆=+≤，有()0h x ≤，即()0f x '≤，所以()f x 在区间()0,+∞上单调递减，故()f x 在区间()0,+∞无极值点；②当4b <-时，∆>，令()0h x =，有12210x x x x ==>>，当()10,x x ∈时，()0h x <，即()0f x '<，得()f x 在()10,x 上递减； 当()12,x x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，得()f x 在()12,x x 上递增； 当()2,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<，得()f x 在()2,x +∞上递减；此时()f x 有一个极小值点2b -和一个极大值点2b -.③当0b >时，0∆>，令()0h x =，有120,0x x =<=>，当()20,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，得()f x 在()20,x 上递增； 当()2x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<，得()f x 在()2,x +∞上递减.此时()f x综上可知，当4b <-时，函数()f x 和一个极大值点2b -.当40b -≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上有无极值点；当0b >时，函数()f x ，无极小值点（3）令()()()F x f x g x =-，[]1,x b ∈， 则()()()2211ln [1]ln 22F x x b x x x b x b x x =-+---+-=-， 若总存在[]12,1,x x b ∈，使得()()()()12121f x f x g x g x m -->-+成立， 即总存在[]12,1,x x b ∈，使得()()()()11221f x g x f x g x m ->-++成立， 即总存在[]12,1,x x b ∈，使得()()121F x F x m ->+成立， 即()()max min 1F x F x m ->+，()1b b x F x x x-'=-=，因为[]1,x b ∈，所以()0F x ≥，即()F x 在[]1,b 上单调递增， 所以()()()()max min 1ln 1F x F x F b F b b b -=-=-+， 即ln 11b b b m -+>+对任意()1,b ∈+∞成立， 即ln b b b m ->对任意()1,b ∈+∞成立， 构造函数：()ln t b b b b =-，[)1,b ∈+∞，()ln t b b '=，当[)1,b ∈+∞时，()0t b '≥，∴()t b 在[)1,+∞上单调递增，∴()()min 11t b t ==-.∴对于任意()1,b ∈+∞，∴ ()()11t b t >=-.所以1m ≤-【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性和极值、最值等.【方法点晴】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性和极值、最值等，考查了分类讨论的数学思想和转化的数学思想，属于难题.求曲线上某点的切线关键是根据导数的几何意义求得切线斜率，研究函数的极值就是研究导数的变号零点，本题中由于定义域为()0,x ∈+∞，所以转化为讨论二次函数在给定区间上的零点问题；本题的难点是第三问，通过构造函数，把问题转化为求新函数在给定区间上的最大值和最小值，充分体现了导数在研究函数中的工具作用.。

山东省实验中学高三4月数学模拟试题数学理科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分。

第Ⅰ卷（选择题 60分） 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集为R ，集合1|1A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则R C A =（ ） A ．{}|01x x ≤< B ．{}|01x x <≤ C ．{}|01x x <<D ．{}|10x x x ≥<或 2．201112()2i i+-=( ) A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．已知4sin 5θ=，且sin cos 1θθ->，则sin 2θ=（ ） A ．2425- B ．1225- C ．45- D ．24255．定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递增，1()03f =，则满足18(log )0f x >的x 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．11(0,)(,2)82 C ．1(0,)(2,)2+∞ D ．1(0,)26．公差不为零的等差数列{}n a 中，236,,a a a 成等比数列，则其公比为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有（ ）A ．474种B ．77种C ．462种D ．79种8．已知向量(1,2),(4,),,93x y a x b y a b =-=⊥+若则的最小值为（ ）A ．B ．6C ．12D ．9．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A .12π B. C.3πD.10.双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅= ，则点M 到x 轴的距离为（ ） A .43 B.5311．点P是曲线20x y --=上任意一点，则点P 到直线4410x y ++=的最小距离是（ ） Aln 2)- Bln 2)+1(ln 2)2+ D. 1(1ln 2)2+12.设实数,x y 满足约束条件202502x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则222xy u x y =+的取值范围是（ ） A ．3,1)10⎡⎢⎣ B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．31,102⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上. 13．已知9(ax-的展开式中3x 的系数为9，则常数a 的值为14．已知数列{}n a 满足123a =，且对任意的正整数,m n 都有m n m n a a a +=⋅，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =15．不等式11x -≤表示的平面区域与抛物线24y x =组成的封闭区域的面积是16．下列命题中：（1）2()tan 3k k Z παπα=+∈=是（2）函数()2cos 1f x x =-的最小正周期是π；（3）ABC ∆中，若cos cos sin sin A B A B >，则ABC ∆为钝角三角形； （4）若0a b +=，则函数sin cos y a x b x =-的图像的一条对称轴方程为4x π=；其中是真命题的为二、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知函数2()sin 2cos ,(),4f x x a x a R π=+∈且是函数()y f x =的零点.（1）求a 的值，并求函数()f x 的最小正周期；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域，并写出()f x 取得最大值时x 的值.18．（本小题满分12分）某考生参加2011年大学自主招生考试，面试时从两道数学题，一道物理题，一道化学题中任选两道回答，该考生答对每一道数学题、物理题、化学题的概率依次为0.9,0.8,0.7, （1）求该考生恰好抽到两道数学题并都答对的概率；（2）求该考生在这次面试中答对试题个数X 的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，四棱锥,,P ABCD AB AD CD AD PA ABCD -⊥⊥⊥中,底面，22PA AD CD AB ====，M PC 为的中点.（1）求证：BMPAD 平面 ;（2）在侧面PAD 内找一点N ，使MN P B D ⊥平面，并求直线PC PBD 与平面所成角的正弦值.20．（本小题满分12分）已知抛物线方程2:2(0)C y px p =>，点F 为其焦点，点(3,1)N 在抛物线C 的内部，设点M是抛物线C 上的任意一点，||||MF MN +的最小值为4. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 作直线l 与抛物线C 交于不同两点A 、B ，与y 轴交于点P ，且12PF FA FB λλ==，试判断12λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，*112,220,(),n n a a a n n N +=---=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12321111n n n n nb a a a a +++=++++ ，若对任意的正整数n ，当[1,1]m ∈-时，不等式2126n t mt b -+>恒成立，求实数t 的取值范围.22．（本小题满分14分）已知向量(3,),(,),(),p a x q x a x f x p q =-=+=⋅且,m n 是方程()0f x =的两个实根， （1）设333(),g a m n a =++求()g a 的最小值； （2）若不等式2ln bx x x-<在[1,)x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围； （3）对于（1）中的函数()y g a =，给定函数3()(ln ),(0),h x c x x x c =-<若对任意的0[2,3]x ∈，总存在1[1,2]x ∈，使得01()()g x h x =，求实数c 的取值范围.参考答案1—12ADAACC ABCDBD13．1 14．1223n n +- 15 16．（1）（3）（4）17．解：2πππ()sin cos 0,424f a =+=则10,22aa +==-…………………………………………………3分 所以2()sin22cos sin2cos21f x x x x x =-=--π)1,4x --…………………………………………………………5分所以函数()f x 的最小正周期为π.………………………………………6分（2）由π[0,]2x ∈，得ππ3π2[,]444x -∈-……………………………8分则πsin(2)[4x -∈ ()[1]f x ∈-……………………………………………………10分当ππ242x -=，即3π8x =时，()f x 1………………12分 18．解：（1）该考生恰好抽到两道数学题并都答对的概率22240.90.90.135C P C =⨯⨯=……4分（2）X 的可能取值为0，1，2 240.10.10.20.32(0.10.30.10.2)17(0)600P x C ⨯+⨯+⨯+⨯=== 240.90.90.80.72(0.90.70.90.8)407(2)600P x C ⨯+⨯+⨯+⨯=== 17407176(1)1600600600P x ==--=………………………………………………7分33() 1.6520E X == 19．解（1）取PD 的中点E ，连接,,EM EA 则EM AB ，且EM AB =所以四边形ABME 为平行四边形，所以BM AE ……………………2分又AE ⊂平面PAD ，BM 不在平面PAD 内，BM ∴ 平面PAD ；………4分（2）以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系则(1,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,1),(0,1,1)B C D P M E假设存在满足题意的点，则在平面PAD 内，设(0,,)N y z(1,1,1),(1,0,2),(1,2,0)MN Y Z PB DB =---=-=-MN PB MN DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11,,22y z == 所以11(0,,)22N =，即N 是AE 的中点，此时MN ⊥平面PBD ，…………8分设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ，易得11(2,2,2),(1,,)22PC MN =-=---设PC 与MN 的夹角为α，则cos ||||PC MN PC MN α⋅==…………………10分sin cos θα=-=故直线PC 与平面PBD…………………………12分 20．解：（1）准线方程为:2pl x =-，点M 到l 的距离设为d ，由抛物线定义，||||||34,2pMF MN d MN +=+≥+= ………………………2分所以2,p =所以24y x =…………………………………………………………………4分 （2）设1122(,),(,),(1,0)A x y B x y F由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于0， 设:(1),l y k x =-则(0,),P k - 由12PF FA FB λλ==知111222(1,)(1,)(1,)k x y x y λλ=-=- 1122k y y λλ∴== 12121212120,,,,k k y y k k y y y y λλλλ+≠∴==+=⨯ ………………………8分 将(1)y k x =-代入24y x =得2440,y y k--= 12124,4y y y y k +=⋅=-1212411,4y y y y k k +∴=-⨯=-………………………………………10分121()1k kλλ∴+=⨯-=-为定值.……………………………………12分21．解：（1）由题意12.(2)n n a a n n --=≥累差叠加得，(1)(2)n a n n n =+≥………………………………3分 又12a =，所以*(1),()n a n n n N =+∈……………………………4分 （2）111(1)(2)(2)(3)(2)(21)n b n n n n n n =+++++++211121(1)(21)231n n n n n n n n =-==++++++…………………………5分 1123n b n n=++，n b 的最大值为116b =……………………………7分 所以211266t mt -+>恒成立，[1,1]m ∈- 构造2()2g m t m t =-+，即()g m >恒成立[1,1]m ∈-………………………………………………9分当0t =，不成立；当0t ≠，是一次函数，(1)0,(1)0g g ->⎧⎨>⎩………………………11分 解得(,2)(2,)t ∈-∞-+∞ …………………………………12分 22．解：（1）22()(3)3f x x a x a a =+-+-有两个实根，所以0∆≥，解得[1,3]a ∈-……………………………1分 由题意233m n amn a a+=-⎧⎨=-⎩ 3332332()()[()3]3927,[1,3]g a m n a m n m n mn a a a a =++=++-+=-+∈-………3分 ()9(2)0g a a a =-=，解得0a =或2 (0)(3)27,(1)(2)15g g g g ==-==所以最小值为15.（2）若不等式2ln bx x x-<在[1,x ∈上恒成立，即 2ln 0bx x x-+>恒成立， 解得2(ln )b x x x >-………………………………6分 令2()(ln ),[1,)h x x x x x =-∈+∞ 2()1ln 3,h x x x '=+-。

2016年高考模拟训练试题文科数学(一)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米规格黑色签字笔将自己姓名、准考证号、考试科目填写在规定位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.第II 卷必须用0.5毫米规格黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔.4.不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效.第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10个小题。

每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}=12357=21,M N x x k k M =-∈，，，，，，则M N ⋂= A. {}1,2,3B. {}1,3,5C. {}2,3,5D. {}1,3,5,7 2.i为虚数单位，()21i =A. 14+B. 12C. 12-D. 14- 3.已知1,2a b a b ==-=,a b 的夹角为 A. 6π B.3π C. 4π D. 2π 4.在ABC ∆中，“sin sin A B =”是“ABC ∆为等腰三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,a b 表示两条直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若//,//,//a M b M a b 则；②若,,//,//b M a M a b a M ⊂⊄则；③若,,a b b M a M ⊥⊂⊥则；④若,,//a M a b b M ⊥⊥则.其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.36.某程序框图如图所示，当输出y 的值为8-时，则输出x 的值为A.64B. 32C. 16D. 87.若变量,x y 满足条0,21,43,y x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =+的取值范围是A. (],3-∞B. [)3,+∞C. []0,3D. []1,38.已知函数()()21,0,1,0,x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则方程()()12log 1f x x =+的根的个数为 A.0 B.1 C.2 D.39.已知函数()()2,14x f x ax e f '=--=-，则函数()y f x =的零点所在的区间是A. ()3,2--B. ()1,0-C. ()0,1D. ()4,510.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 A.12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：将第II 卷答案用0.5mm 规格的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数()tan sin 2015f x x x =++，若()2f m =，则()f m -=_________.12.将一批工件的尺寸（在40~100mm 之间）分成六段，即[)[)[)40,50,50,60,90,100⋅⋅⋅，得到如图的频率分布直方图，则图中实数a 的值为_________.13.若直线y kx =与圆22680x y x +-+=相切，且切点在第四象限，则k=_________.14.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为________. 15.设M 是一个非空集合，#是它的一个代数运算（例如+，×），如果满足以下条件：（I ）对M 中任意元素,,a b c 都有()()####a b c a b c =；（II ）对M 中任意两个元素,a b ，满足#a b M ⊂.则称M 对代数运算#形成一个“可#集合”.下列是“可#集合”的为________.①{}2,1,1,2-- ②{}1,1,0- ③Z ④Q三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量(()22cos ,1,sin 2a x b x ==，函数()2f x a b =⋅-. （I ）求函数()63f x ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦在，上的最小值.（II ）在,,ABC a b c ∆中，分别是角A,B,C 的对边，若()1,1,f C c ab ===，且a b >，求边,a b 的值.17. （本小题满分12分）如图，在三棱锥111ABC A B C -中，四边形1111ABB A ACC A 和都为矩形.（I ）设D 是AB 的中点，证明：直线1BC //平面1A DC ；（II ）在ABC ∆中，若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面1ACC A .18. （本小题满分12分）济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A 和B 两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）.若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高精灵”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“帅精灵”.已知A 大学志愿者的身高的平均数为176cm ，B 大学志愿者的身高的中位数为168cm.（I ）求x,y 的值；（II ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人为“高精灵”的概率.19. （本小题满分12分）将正奇数组成的数列{}n a ，按下表排成5列；（I ）求第五行到第十行的所有数的和；（II ）已知点()()()111222,,,,,,n n n A a b A a b A a b⋅⋅⋅在指数函数2x y =的图象上，如图以12,,,n A A A ⋅⋅⋅为一个顶点，x 轴、y 轴为邻边构成的矩形面积分别为1212,,,n n S S S S S S ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+，求的值n T .20. （本小题满分13分）已知函数()()ln 1x f x e x x =--.（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）是否存在实数(),1,,a b a b ∈+∞<，使得函数()[],f x a b 在上的值域也是[],a b ？并说明理由.21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与椭圆C 交于P,Q 两点，直线2l 与直线4x =交于T 点.（i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上；（ii ）求TFPQ 的取值范围.。

山东师范大学附属中学2016届高三下学期模拟考试文数试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设复数z满足Z・2 • i ]=10-5i （i虚数单位），则z的共轭复数z为（）A. 一3 4i B •-3-4i C • 3 4i D • 3-4i 【答案】C【解析】10-5i 2-丨=15-20i=3_4i，所以试题分析：由z・2 i =10-5i 得z = l^5l=2 + i （2 + 订2-i） 5z =3 • 4i，故选C.考点：复数的运算与共轭复数的概念•2.已知集合M - \x | -1 玄x ：：： 3』，集合N =、x| y = -X2 - X ■ 6』，则M U N =（）A . MB . NC . fx| -1 _ x _ 2lD. 、x|-3^x：：3/【答案】D【解析】试题分析：集合{^1J = J-^-x+6j = {x\x n+x-6< 0} = [x\-3< x <2J ,所以M\JN={X|-1<X<3|U{JC|-3<X<2}={X|-3<X <3},故选D.考点：集合的运算.3.某校高三（1）班共有48人，学号依次为1, 2, 3,…，48,现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3, 11, 19, 35, 43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（）A. 27 B . 26 C . 25 D . 24【答案】A【解析】试题分析：根据系统抽样的规则一一“等距离”抽取，也就抽取的号码差相等，根据抽出的序号可知学号之间的差为8，所以在19与35之间还有27,故选A.考点：随机抽样•4.已知直线ax by =1经过点1,2，则2a4b的最小值为（）A.2 B . 2.2 C. 4 D . <2【答案】B【解析】试题分析：因为直线q斗切=1经过点（L2）,所以口+2X1, 2曲+ 4"2勺莎歹二2疔茹=茲乞当且仅当"乃时，等号成立，所以2" + *的最小值为2血，故选乩考点：基本不等式.5.设m, n是两条不同的直线，：•，：是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m / / n, m.丨“，贝y n .丨“；②若m / / ：•, m / / ：,则〉/ / ：；③若m //n, m / / ：,则n II：；④若m//_：>,m.丨“，则鳥丄：；其中真命题的个数为（）A. 1 B . 2 C . 3 D . 4【答案】B【解析】试题分析：①因为“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”，所以①正确；②当m平行于两个相交平面a,P的交线|时，也有m//a,m//P，所以②错误；③若m//n,m/ / ：,则nil ：或n :内，所以③错误；④平面，:与直线m的关系如下图所示，必有：'_ 1 ,故④正确.2考点：空间中直线与平面平行与垂直关系的判断 6.已知命题p : -l x 。

参考公式：123nx x x x x n+++=.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足()2105z i i +=-(i 虚数单位)，则z 的共轭复数z 为（ ） A ．34i -+ B ．34i -- C ．34i + D ．34i -2.已知集合{}|13M x x =-≤<，集合{|N x y ==，则M N =（ ）A ．MB ．NC ．{}|12x x -≤≤D ．{}|33x x -≤<3.某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（ ）A ．27B ．26C ．25D ．244.已知直线1ax by +=经过点()1,2，则24ab+的最小值为（ ）A ．．4 D ．5.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//,m n m β⊥，则n β⊥；②若//,//m m αβ，则//αβ； ③若//,//m n m β，则//n β；④若//,m m αβ⊥，则αβ⊥； A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.已知命题0:p x R ∃∈，使0sin x =；命题:0,2q x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x >，则下列判断正确的是（ ）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为真D ．p q ∨为假7.函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()17012f f π⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A．2．2．1 D．1+8.已知,x y 满足约束条件2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则11y z x +=+的范围是（ ）A ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.已知函数()321132f x ax bx x =-+，连续抛掷两颗骰子得到点数分别是,a b ，则函数()f x '在1x =处取得最值的概率是（ ） A ．136B ．118C ．112D ．1610.已知抛物线()220,y px p ABC =>∆的三个顶点都在抛物线上，O 为坐标原点，设ABC∆三条边,,AB BC AC 的中点分别为,,M N Q ，且,,M N Q 的纵坐标分别为123,,y y y .若直线,,AB BC AC 的斜率之和为-1，则123111y y y ++的值为（ ） A ．12p -B ．1p -C ．1pD ．12p第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.设ln 3,ln 7a b ==，则a be e +=__________.（其中e 为自然对数的底数） 12.已知向量,a b ，其中3,2a b ==，且()a b a -⊥，则向量a 和b 的夹角是__________．13.已知过点()2,4的直线l 被圆22:2450C x y x y +---=截得的弦长为6，则直线l 的方程为________.14.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14.这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为____________.（参考数据：001.732,sin150.2588,sin7.50.1305≈≈≈）15.已知函数()()(),1,11,1xe xf xg x kx f x x ⎧≤⎪==+⎨->⎪⎩，若方程()()0f x g x -=有两个不同实根，则实数k 的取值范围为___________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）近日，济南楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响.某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A 户型每套面积为100平方米，均价1.1万元/平方米，B 户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米.下表是这18套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：房号123456789户型A 户型 0.98 0.99 1.06 1.17 1.10 1.21 a 1.09 1.14B 户型1.08 1.11 1.12b 1.26 1.27 1.26 1.25 1.28（1）求,a b 的值；（2）张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率.17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边为,,a b c ，已知2cos 2c A a b +=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆,a b . 18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面,,,,ABCD PA AD E F H ⊥分别为,,AB PC BC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ； （2）求证：平面PAH ⊥平面DEF . 19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S .满足52225S a -=，且1413,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项. （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设n T 是数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.是否存在*k N ∈，使得等式112k k T b -=成立，若存在，求出k 的值；，若不存在，说明理由. 20.（本小题满分13分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，定义椭圆C 的“相关圆”方程为222222a b x y a b+=+.若抛物线24y x =的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.（1）求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；（2）过“相关圆”E 上任意一点P 的直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点. O 为坐标原点，若OA OB ⊥，证明原点O 到直线AB 的距离是定值，并求m 的取值范围. 21.（本小题满分14分）设函数()()()()221ln ,12f x ax b x xg x x b x =+-=-+-.已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线10x y -+=垂直.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值点；（3）若对于任意()1,b ∈+∞，总存在[]12,1,x x b ∈，使得()()()()12121f x f x g x g x m -->-+成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题 CDABA BACCB 二、填空题 11. 10 12.6π13. 20x -= 或34100x y -+= 14. 24 15. (]1,11,12e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题16.解：（1） 1.16, 1.17a b ==…………………………………………4分 （2）A 户型小于100万的有2套，设12,:A A B 户型小于100万的有4套，设为1234,,,B B B B ………6分买两套价小于100万的房子所含基本事件为：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121112131421222324121314232434,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B共有15个基本事件…………………………………………………………9分 令事件A 为“至少有一套面积为100平方米住房”， 则A 中所含基本事件有{}{}{}{}{}{}{}{}{}121112131421222324,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B 共9个…………………………11分∴()2sin cos sin 2sin C A A A C +=+，即2sin cos sin 2sin cos 2cos sin C A A A C A C +=+， ∴sin 2sin cos A A C =，∴1cos 2C =， 又∵C 是三角形的内角，∴3C π=……………………………………………6分（2）∵ABC S ∆，∴1sin 23ab π=4ab =，………………………………9分 又∵2222cos c a b ab C =+-，∴()242a b ab ab =+--，∴4a b +=，∴2a b ==………………………………………12分 18.解：（1）方法一：取PD 中点M ，连接,FM AM .∵在PCD ∆中，,F M 为中点，∴//FM CD 且12FM CD =， ∵正方形ABCD 中，//AE CD 且12AE CD =，∴//AE FM 且AE FM =，……………………2分则四边形AEFM 为平行四边形，∴//AM EF ，………………………………4分∵ EF ⊄平面,PAD AM ⊂平面PAD ，∴//EF 平面PAD ，…………………………………6分 方法二：取CD 中点N ，连接,FN EN .∵在CPD ∆中，,F N 为中点，∴//FN PD ， ∵正方形ABCD 中，,E N 为中点，∴//EN AD ………………………………2分 ∵EN ⊂平面,EFN FN ⊂平面,EFN EN FN N ⋂=，PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，PD AD D ⋂=，∴平面//EFN 平面PAD ，………………4分∵EF ⊂平面EFN ，∴//EF 平面PAD ，……………………6分（2）∵侧面PAD ⊥底面,ABCD PA AD ⊥，侧面PAD ⋂底面ABCD AD =，∴PA ⊥底面ABCD ，∵DE ⊂底面ABCD ，∴DE PA ⊥，∵,E H 分别为正方形ABCD 边,AB BC 中点，∴Rt ABH Rt ADE ∆≅∆，则BAH ADE ∠=∠，∴090BAH AED ∠+∠=，则DE AH ⊥，…………………………………8分∵PA ⊂平面,PAH AH ⊂平面,PAH PA AH A ⋂=∴DE ⊥平面PAH ，……………………………10分∵DE ⊂平面EFD ∴平面PAH ⊥平面DEF ，………………………………12分19.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，所以()()()1121115452252312a d a d a d a a d ⎧⨯⎛⎫+-+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=+⎩，解得13,2a d ==，所以21n a n =+,∵11243,9b a b a ====，∴3n n b =……………………………………………………5分（2）()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 所以11111111112355721232323n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，…………………9分 所以21112,32323k T k k ⎧⎫-=+⎨⎬++⎩⎭单调递减，得21312315k T <-≤，而1110,33k k b ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦， 所以不存在*k N ∈，使得等式112k kT b -=成立……………………………………12分 20.解：（1）因为若抛物线24y x =的焦点为()1,0与椭圆C 的一个焦点重合，所以1c =，又因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以1b c ==，故椭圆C 的方程为2212x y +=，“相关圆”E 的方程为2223x y +=………………………………4分 （2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220k x kmx m +++-=， ()()()22222216412228210k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>………………………6分12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()()()()222222222121212122222242121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++，由条件OA OB ⊥得223220m k --=,………………………………8分所以原点O 到直线l的距离是d == 由223220m k --=得3d =为定值………………………………………10分 此时要满足0∆>，即22210k m -+>，又223202m k -=≥， 即222132m m ⎧>⎨≥⎩，所以223m ≥，即m ≥或m ≤13分21.解：（1）()121f x ax b x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭， 所以()121k f a '===-，所以12a =-，…………………………………………………2分 （2）()()21ln 2f x x b x x =-+-，其定义域为()0,+∞， ()211x bx b f x x b x x --+⎛⎫'=-+-=⎪⎝⎭， 令()()2,0,h x x bx b x =--+∈+∞，24b b ∆=+①当40b -≤≤时，240b b ∆=+≤，有()0h x ≤，即()0f x '≤，所以()f x 在区间()0,+∞上单调递减，故()f x 在区间()0,+∞无极值点； ②当4b <-时，0∆>，令()0h x =，有12210x x x x ==>>，当()10,x x ∈时，()0h x <，即()0f x '<，得()f x 在()10,x 上递减； 当()12,x x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，得()f x 在()12,x x 上递增； 当()2,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<，得()f x 在()2,x +∞上递减；此时()f x.③当0b >时，0∆>，令()0h x =，有120,022b b x x --=<=>， 当()20,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，得()f x 在()20,x 上递增； 当()2x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<，得()f x 在()2,x +∞上递减.此时()f x综上可知，当4b <-时，函数()f x 有一个极小值点2b -和一个极大值点当40b -≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上有无极值点；当0b >时，函数()f x 点……………………………8分（3）令()()()F x f x g x =-，[]1,x b ∈，则()()()2211ln [1]ln 22F x x b x x x b x b x x =-+---+-=-， 若总存在[]12,1,x x b ∈，使得()()()()12121f x f x g x g x m -->-+成立， 即总存在[]12,1,x x b ∈，使得()()()()11221f x g x f x g x m ->-++成立， 即总存在[]12,1,x x b ∈，使得()()121F x F x m ->+成立，即()()max min 1F x F x m ->+，()1b b x F x x x-'=-=，因为[]1,x b ∈，所以()0F x ≥，即()F x 在[]1,b 上单调递增， 所以()()()()max min 1ln 1F x F x F b F b b b -=-=-+，即ln 11b b b m -+>+对任意()1,b ∈+∞成立，即ln b b b m ->对任意()1,b ∈+∞成立，构造函数：()ln t b b b b =-，[)1,b ∈+∞，()ln t b b '=，当[)1,b ∈+∞时，()0t b '≥，∴()t b 在[)1,+∞上单调递增，∴()()min 11t b t ==-.∴对于任意()1,b ∈+∞，∴ ()()11t b t >=-.所以1m ≤-……………………………………………………………14分。

山东省实验中学2013级第一次模拟考试理科综合试题2016．4 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

第I卷1至6页，第II卷7至22页，共300分。

考试时间150分钟。

考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将答题卡收回。

可能用到的相对原子质量：H 1 N 14 O 16 Na 23 S 32 Fe 56第I卷(选择题共126分)本卷共21小题，每小题6分，共126分。

一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于核酸的叙述，不正确的是A．真核生物和原核生物的遗传物质都是DNAB．核糖体和染色体中核酸种类不同C．DNA主要分布在细胞核，RNA只能分布在细胞质D．ATP的高能磷酸键依次断裂后，可作为转录的原料2．关于植物细胞质壁分离和复原的实验，下列叙述正确的是A．质壁分离到一定程度后不再继续分离的原因是细胞因大量失水死亡B．质壁分离复原后，细胞内外渗透压相等C．质壁分离和复原的过程中，水分进出细胞的方式均为自由扩散D．质壁分离过程中，细胞液的浓度逐渐减小3．关于细胞的生命历程，下列叙述正确的是A．有丝分裂间期细胞有适度的生长B．若某细胞中存在胰岛素的基因，证明该细胞已分化C．抑癌基因主要负责调节细胞周期，控制细胞生长和分裂的进程D．对于所有生物而言，细胞衰老或死亡不等于个体衰老或死亡4．下列关于内环境及稳态的描述，正确的是A．稳态的维持有利于呼吸作用等重要的生理过程在内环境中顺利进行B．组织液是多细胞生物体内所有细胞生存的直接环境C．正常情况下，血浆渗透压与细胞内液渗透压相当D．神经和体液调节是机体维持稳态的主要调节机制5．下图甲、乙、丙三种生物构成一条完整的食物链。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,6M =，{}1,4,5N =，则()U C M N = （ ）A ．{}1B ．{}15，C ．{}54，D ．{}1,4,5 【答案】B考点：集合的运算.2.设i 是虚数单位，若复数17()4a a R i-∈-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，()()()1717(4)(4)4444i a a a i a i i i i +-=-=-+=----+，因为复数17()4a a R i -∈-是纯虚数，所以404a a -=⇒=，故选D. 考点：复数的概念与运算.3.已知命题:1xp e >，命题:ln 0q x <，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，命题:10xp e e >⇒>，命题:ln 001q x x <⇒<<，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.考点：必要不充分条件的判定.4.通过随机询问110名学生是否爱好打篮球，得到如下的22⨯列联表：附：22112212211122()n n n n n K n n n n ++++-=；参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别无关”；B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别有关”；C ．有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别无关”；D ．有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关”. 【答案】D考点：独立性检验.【方法点晴】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了观测数值表的认识，这种题目一般运算量比较大，着重考查学生的运算能力，属于基础题，本题的解答中，根据题目给定的22⨯的列联表，利用表中的数据和2K 的计算公式，可得27.8K ≈，再根据观测数值表7.8 6.635>，即可判定有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关”．5.执行如下图的程序框图，输出S 的值是（ ）A ．2B ．1C ．12D ．-1【答案】C考点：程序框图的计算与输出.6.若,x y 满足3010x y x y x k -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩且2z x y =+的最大值为6，则k 的值为（ ）A ．-7B ．-1C ．1D ．7 【答案】C 【解析】试题分析：画出满足条件的平面区域，如图所示，由30x kx y =⎧⎨-+=⎩，解得(,3)A k k +，由2z x y =+，得2y x z =-+，显然直线2y x z =-+过(,3)A k k +时，z 最大，故236k k ++=，解得1k =，故选C.考点：简单的线性规划的应用.7.偶函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+≠>≤≤的图象向右平移4π个单位得到的图象关于 原点对称，则ω的值可以为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B考点：三角函数的图象与性质.8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =，,P E 分别为11,AC CC 的中点， 则三棱锥P BDE -的体积为（ ）A B C ． 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，BDP ∆为等腰三角形，其中BD =，高h '=，所以BDP ∆的面积为122BDP S ∆=⨯=，三棱锥P BDE -的为h =，所以三棱锥的体积为11233P BDE E PBD PBD V V S h --∆==⨯⨯=⨯=A.考点：三棱锥的体积的计算.9.已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ∙的最小值是（ ）A ．1B ．0CD 1- 【答案】A考点：平面向量的数量积的运算；直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的数量积的运算、直线与圆的位置关系，注意运用向量的平方即为模的平方，以及点到直线的距离公式，属于中档试题，着重考查了学生的推理、运算能力，本题的解答中运用向量的加减运算和数量积的性质，可得2222PA PB PO r d r ∙=-=- ，在运用点到直线的距离公式，可得d 的最小值，进而得到结论.10. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()(24),(0)f x m x x m =-+->，若函数[]()4y f f x m =- 恰有4个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．155(0,)(,)462B ．155(0,)(,)642C ．155(0,)(,)442D ．155(0,)(,)662【答案】D 【解析】试题分析：设(),(0)f x t t =>，则[()]40y f f x m =-=，即()4f t m =，则(24)4m t t m -+-=，则244t t -+-=，得5t =或1t =，若1t =，则()(24)1f x m x x =-+-=，即124x x m-+-=，若5t =，则()(24)5f x m x x =-+-=，即524x x m-+-=，设()24(0)g x x x x =-+-≥，因为函数()f x 是偶函数，所以要使得[]()4y f f x m =-恰有4个零点，则等价为当0x ≥时，函数[]()4y f f x m =-恰有2个零点，作出()g x 在[0,)+∞上的图象如图，①112552555622662m m m m m ⎧⎧<>⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪<<<<⎪⎪⎩⎩，②1120160556606m m m m m ⎧⎧><>⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪><<⎪⎪⎩⎩，综上实数m 的取值范围是155(0,)(,)662，故选D.考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质.【方法点晴】本题主要考查了函数与方程的应用，利用换元法结合函数与方程之间的关系，利用数形结合思想以及分类讨论进行求解是解答的关键，试题综合性强，难度较大，同时着重考查了学生分析问题、解答问题的能力和转化与化归思想的应用，本题的解答中，利用换元化简后，正确作出函数的图象是解答的本题的关键和易错点.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．）11.已知函数4log ()3xx f x ⎧=⎨⎩x x >≤，则1[()]16f f =______________. 【答案】91考点：指数、对数函数的运算. 12.由曲线y =，直线2y x =-和y 轴所围成的图形的面积为______________.【答案】316 【解析】试题分析：由题意得，作出围成的图形，如图所示，联立2y x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，所以(4,2)M ，由曲线y =，直线2y x =-及y轴围成的图形的面积424023116(2)](2)|3223S x dx x x =--=⨯-+=⎰.考点：定积分的应用. 13.已知(2nx +的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中x 的系数为______________. （用数字作答） 【答案】280考点：二项式定理的应用. 14.设01x <<，则141x x+-的最小值为______________. 【答案】9 【解析】试题分析：因为01x <<，所以011x <-<，则141414()[(1)]14111x xx x x x x x x x-+=+--=+++---59≥+=，当且仅当14113x x x x x -=⇒=-时，等号成立，故141x x+-的最小值为9. 考点：基本不等式的应用.【方法点晴】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，属于中档试题，此类问题解答中要注意基本不等式的成立的条件和等号成立的条件，灵活应用，着重考查了构造思想的应用，本题的解答中把141414()[(1)]14111x xx x x x x x x x-+=+--=+++---，在利用基本不等式求得最小值，其中灵活利用011x <-<是解答本题的关键.15.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若M 是线段1PF 上一点，且满足122,0MF PM MF OP =∙=，则椭圆离心率的取值范围为______________. 【答案】1(,1)2考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，属于中档试题，着重考查了转化与化归思想和函数方程思想的应用，同时考查了推理运算能力，本题的解答中设出点P 的坐标，取1MF 的中点N ，可转化为ON OP ⊥ ，代入点的坐标，可得点P 的轨迹方程，只需使得圆与椭圆有交点即可得到,a c的关系，求解椭圆离心率的取值范围.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）在ABC ∆，边,,a b c 的对角分别为,,A B C ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+.（1）求角C 的大小；（2）若c =22a b +的取值范围.【答案】(1)3π； (2) ]6,3(. 【解析】(2)由C ＝3π，设A ＝3π＋α，B ＝3π－α，0<A ，B<23π，知－3π<α<3π. 又a ＝2Rsin A ＝2sin A ，b ＝2Rsin B ＝2sin B ， …………8分 故a 2＋b 2＝4（sin 2A ＋2sin 2B ）＝4（1cos 22-A ＋1cos 22-B ） ＝4－222cos 2cos 233ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝4＋2cos 2α. …………10分 由－3π<α<3π，知－23π<2α<23π，－12<cos 2α≤1， 故3<a 2＋b 2≤6. …………12分 所以a 2＋b 2的取值范围是]6,3(.考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换的应用. 17.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB ==，点E 是棱PB的中点.（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若1AD =，求二面角B EC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）（Ⅰ）证明（方法二）：如图，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系xyz A -．设(00)D a ，，，则0)0)B C a ，，，，(000P E ，．于是0(00)AE BC a PC a ===-，，，，，，考点：直线与平面垂直的判定；二面角的求解.18.（本小题满分12分）现有编号依次为:1,2,3,…，n的n级台阶，小明从台阶1出发顺次攀登，他攀登的步数通过抛掷骰子来决定；骰子的点数小于5时，小明向前一级台阶；骰子的点数大于等于5时，小明向前两级台阶. （1）若抛掷骰子两次，小明到达的台阶编号记为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）求小明恰好到达编号为6的台阶的概率.【答案】（1）分布列见解析，113；（2）182243.（2）小王恰好到达6有三种情形①抛掷骰子五次，出现点数全部小于5，概率512323243P ⎛⎫== ⎪⎝⎭； ……………8分 ②抛掷骰子四次，出现点数三次小于5，一次大于等于5,概率为312421323381P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭；…9分 ③抛掷骰子三次，出现点数一次小于5，两次大于等于5，概率2233122339P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭……10分 所以32322182243819243P =++=， 即小王恰好到达正整数6的概率为182243．…………12分 考点：二项分布与n 此独立重复试验的应用.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且122(1)(1)n n nS n S n n +-+=+ *()n N ∈，数列{}n b 满足 2120n n n b b b ++-+=*()n N ∈，35b =，其前9项和为63.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令n n n n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2[,]n T n a b -∈，求b a -的 最小值. 【答案】（1）,2n n a n b n ==+；（2）53. 试题解析：(1)由2nS n ＋1－2(n ＋1)S n ＝n(n ＋1)，得1112n n S S n n +-=+. 所以数列{n S n }是以首项为1，公差为12的等差数列． 因此n S n ＝S 1＋(n －1)×12＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，即S n ＝()12n n +. 于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝()()122n n ++－()12n n +＝n ＋1. 因为a 1＝1，所以a n ＝n. …………4分又因为b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0，所以数列{b n }是等差数列．由S 9＝()3792b b +＝63，b 3＝5，得b 7＝9.所以公差d ＝9573--＝1. 所以b n ＝b 3＋(n －3)×1＝n ＋2. …………6分(2)由(1)知c n ＝n n b a ＋n na b ＝2n n +＋2n n +＝2＋2(1n －12n +)， …………7分考点：数列的递推关系；等差数列的通项公式；数列求和的应用.20.（本小题满分13分）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为M ，与C 的交点为N ，且 54NF MN =. （1）求C 的方程；（2）设(2,1),(2,1)A B -，动点(,)(22)Q m n m -<<在曲线C 上，曲线C 在点C 处的切线为l .问：是否 存在定点(0,)P t (0)t <，使得l 与,PA PB 都相交，交点分别为,D E ，且QAB ∆与PDE ∆的面积之比是 常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）y x 42=；（2）1t =-.【解析】 试题分析：（1）设),4(1y N ，代入py x 22=，结合54NF MN =，求出p 的值，即可得到抛物线的方程；（2）假设存在点(0,)P t ，得到直线,PA PB 的方程即曲线在Q 处的切线方程，可确定m 的范围，当10t -<<（2）点A 、B 均在抛物线y x 42=上，假设存在点P(0，t)(t<0)满足条件，则直线PA 的方程是y ＝12t -x ＋t ，直线PB 的方程是y ＝12t -x ＋t. ---------------6分 曲线C 在Q 处的切线l 的方程是422m x m y -=，它与y 轴的交点为F(0，42m -)． 由于–2<m<2，因此121<<-m .①当–1<t<0时，21211-<-<-t ，存在m ∈(–2,2)，使得212-=t m ，即l 与直线PA 平行，故当－1<t<0时不符合题意．---------------7分②当t ≤－1时，12t -≤－1<2m ，12t -≥1>2m ，所以l 与直线PA ，PB 一定相交． 分别联立方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=42212mx m y t x t y ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=42212m x m y t x t y 解得D ，E 的横坐标分别是 )1(242t m t m x D -++=,)1(242-++=t m t m x E 则222)1(4)1(--+-=-t m t m t x x E D ---------------9分 又|FP|＝t m --42，有S △PDE ＝12·|FP|·|x E －x D |＝2222)1()4(81m t t m t --+⋅-，又S △QAB ＝12·4·(1－4m )＝242m -， 于是Q D S S ∆AB∆P E ＝22222)4(])1()[4(14t m t m m t +---⋅-＝2242224168)1(4])1(4[14t tm m t m t m t ++-+-+-⋅-.----11分 对任意m(－2,2)，要使Q D S S ∆AB∆P E 为常数，即只需t 满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=---22216)1(48)1(4t t t t 解得t ＝－1.此时Q D S S ∆AB∆P E ＝2，故存在t ＝－1，使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.----13分考点：抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用、抛物线方程的求法，着重考查了分析问题、解决问题的能力及分类讨论的思想、转化与化归思想的应用，试题运算量大，属于难题，此类问题的解答中，把直线方程与圆锥曲线方程联立，借助根与一元二次方程的系数之间关系，利用韦达定理是解答的一种常见方法.21.（本小题满分14分）设函数2()ln(1)f x x b x =++.（1）若对定义域内的任意x ，都有()(1)f x f ≥成立，求实数b 的值；（2）若函数()f x 的定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若1b =-，证明对任意的正整数n ，33311111()123n k f k n=<++++∑ . 【答案】（1）4b =-；（2）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21；（3）证明见解析.（2）∵,12212)(2/+++=++=x b x x x b x x f 又函数()x f 在定义域上是单调函数， ∴()0≥'x f 或()0≤'x f 在()+∞-,1上恒成立．若()0≥'x f ，则012≥++x b x 在()+∞-,1上恒成立, 即x x b 222--≥=21)21(22++-x 恒成立,由此得≥b 21； 若()0≤'x f ,则012≤++x b x 在()+∞-,1上恒成立, 即x x b 222--≤=21)21(22++-x 恒成立． 因21)21(22++-x 在()+∞-,1上没有最小值，∴不存在实数b 使()0≤'x f 恒成立． 综上所述，实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21． ………………………8分（3）当1-=b 时，函数()()1ln 2+-=x x x f ． 令()()()1ln 233+-+-=-=x x x x x f x h ， 则()()1131123232+-+-=+-+-='x x x x x x x h ． 当()+∞∈,0x 时，()0<'x h ，所以函数()x h 在()+∞,0上单调递减．又()00=h ，∴当[)+∞∈,0x 时，恒有()()00=<h x h ，即()321ln x x x <+-恒成立． 故当()+∞∈,0x 时，有()3x x f <． 而*∈N k ，()+∞∈∴,01k ．取k x 1=，则有311kk f <⎪⎭⎫ ⎝⎛．∴33311312111n k f nk +⋅⋅⋅+++<⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=．所以结论成立． ……………………………14分 考点：利用导数求曲线上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；不等关系的证明.【方法点晴】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的极值、最值的应用，利用导数研究函数的饿单调性及不等关系的证明，综合性强，难度大，计算繁琐，是高考的重点内容之一，解答时要认真审题，仔细解答，注意合理的进行等价转化，同时着重考查了分类讨论思想和转化与化归思想的应用，平时要注意总结.：。