一元二次方程根的分布与根的个数

一元二次方程根的分布结论：设二次函数()f x 在区间(,)()m n m n <上递增（或递减），且()()f m f n 与异号，则方程()0f x =在(,)m n 内有唯一实根。

（如图1）例1：设20x x m -+=在区间(1,3)-有两个不等实数根，求m的范围？解：令2()f x x x m =-+因为()f x 在1(1,)2-递减，在1(,3)2递增。

则(1)011()0224(3)0f f m f ->⎧⎪⎪<⇒-<<⎨⎪>⎪⎩ 点评：设2()(0)f x ax bx c a =++>，两个不等2均在区间(,)m n 内，由例1知：①()0,()0f m f n >> ②对称轴2b x a=-在区间(,)m n 内 ③224()040024b ac b f b ac a a--=<⇒->⇒∆> 对0a <情形，类似解决。

练习：若关于x 的方程210x ax -+=两个不等根均在(0,4)内，则a 的范围： 1724a << 推论：：设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠中()()f m f n 与异号()m n <，则方程()0f x =在(,)m n 内有唯一实根。

（如图2）例2：若关于x 的方程20x x a -+=两实根分别在在(2,0),(0,3)-内，则a 的范围？解：(2)0(0)060(3)0f f m f ->⎧⎪<⇒-<<⎨⎪>⎩练习：若关于x 的方程20x x a -+=两实根满足：122x x <<则a 的范围： 2a <-例3：设关于x 的方程2430ax ax -+=的两个不等实数根都在区间(1,)-+∞，求a 范围？ 解：当0a >时，由草图知03(1)0421f a x ∆>⎧⎪->⇒>⎨⎪=>-⎩当0a <时，由草图知03(1)0521f a x ∆>⎧⎪-<⇒<-⎨⎪=>-⎩综上所述：3354a a <->或 例4：设关于x 的方程2230x ax a --=在(0,3)有唯一实数根，求a 范围？解：设2()23f x x ax a =--（1）若0∆=，即03a a ==-或当0a =时，两根120(0,3)x x ==∉当3a =-时，两根123(0,3)x x ==∉（2）若0∆>，即03a a ><-或①001(0)(3)0a f f ∆>⎧⇒<<⎨<⎩ ②0(0)0(3)0f f ∆>⎧⎪=⇒⎨⎪>⎩无解 ③0(3)0(0)0f f ∆>⎧⎪=⇒⎨⎪>⎩无解综上所述：01a <<二：综合运用1、若方程20x x m -+=在实数R 上有解，则m 的范围14m < 2、若方程20x x m -+=在区间(1,3)-上有两个不等解，则m 的范围1(2,)4- 3、关于x 的方程220x x m -+=在(0,)+∞有两个不等的实根，求m 的范围？4、关于x 的方程20x x a -+=的两实根满足120,14x x <<<，则a 的范围：5、关于x 的方程222320kx x k ---=的两个根12,x x 满足121x x <<,求实数k 的范围? 04k k ><-或6、 求实数k 的范围, 关于x 的二次方程227(3)20x k x k k -++--=有两个实根,他们分别在区间(0,1)和(1,2)内.21k k ><-或7、 若关于x 的一元二次方程2210(0)ax x a -+=≠有一正根和一负根，则a 的范围 0a <8、已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数m 的取值范围? 1m ≤9．已知{}2(/(2)10,A x x p x p R =+++=∈若A R -⋂=∅，则p 的范围0p < 10、关于x 的一元二次方程20x x a -+=在(2,2)-内至少有一个实根，则a 的范围？164a -<≤三：函数与方程1．已知函数2()2(2)f x x p x p =+-+，若在]0,1⎡⎣内至少存在一个实数c ，使得()0f c >，则p 的范围是CA (1,4)B (1,)+∞C (0,)+∞D (0,1)法一，若1p =检验法二，反面使得]0,1c ⎡∈⎣，有()0f c ≤即(0)0(1)0f f ≤⎧⎨≤⎩2．若方程2(5)80x a x a -+++=在(1,)x ∈+∞上有解，求a 的范围 解：法1 由2(5)80x a x a -+++=得2581x x a x -+=- 设2584()1311x x f x x x x -+==-+---因为1,10x x >-> 故413311x x -+-≥=- 即()1f x ≥ 故1a ≥法2 设2()(5)8f x x a x a =-+++则51(1)020a f +⎧>⎪<⎨⎪∆≥⎩或 则1a ≥ 点评：()a f x =在A 内有解，a 的范围为()f x 在A 上的值域。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f 同时检验00)(0)(=∆==或或n f m f 的情况()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f 同时检验00)(0)(=∆==或或n f m f 的情况()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f 同时检验00)(0)(=∆==或或n f m f 的情况()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

二面角主讲：张传风齐铁一中高一数学组例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（1）两个正根⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥--=∆00304)3(2m m m m {}1≤0m m <例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（2）有两个负根⇒⎪⎩⎪⎨⎧><-≥--=∆00304)3(2m m m m {}9≥m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（3）两个根都小于1⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<-=-≥--=∆022)1(123204)3(2m f m a b m m {}9≥m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（4）两个根都大于21⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=>-=-≥--=∆0456)21(2123204)3(2m f m a b m m ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<165m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（5）一个根大于1，一个根小于1一元二次方程ax 2+bx+c=0（a>0）的根的分布f(1)=2m-2<0⇒{}1<m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（6）两个根都在（0 . 2）内⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=>=<-<≥--=∆023)2(0)0(2230 04)3(2m f m f m m m ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<1 32m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（7）两个根有且仅有一个在（0 . 2）内f(0)f(2)=m(3m-2)<0⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<1 32m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（8）一个根在（-2 .0）内，另一个根在（1 . 3）内⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=<=>+-=-04)3(0 22)1(0 )0(010)2(m f m f m f m f Ø例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-=-<=02320)0(m a b m f {}0<m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（10）一个根小于2，一个根大于4⇒⎩⎨⎧<+=<-=045)4(023)2(m f m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<54m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（11）一个根在（-2 .0）内，另一个根在（0 . 4）内⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=>+-=-045)4(0)0(010)2(m f m f m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-054m m小结两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K，一个根大于Kyxk kk⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆)(2kfkab⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆)(2kfkab一个根正，一个根负f(k)<0f(0)<0,正根大f(0)<0且02>-ab小结两个根有且仅有一个在（k.k)内12x1∈(m,n)x2∈(p,q)两个根都在（k.k)内21yxkk12k k12m n p q⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<>∆)()(22121kfkfkabk f(k )f(k )<012⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>)()()()(qfpfnfmf谢谢大家！。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

专题04 一元二次方程根的分布二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.若在()+∞∞-,内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考查()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由∆、21x x +、21x x ⋅的值与符号，从而判断出实根的情况.若在区间()n m ,内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定.知识梳理分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（0>a ）知识结模块一：得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f大致图象（0<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f综合结论（不讨论）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a【例1】已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由典例剖析()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩⇒330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒03m <<-3m >+即为所求的范围．【例2】若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1） 方程两实根均为正数； （2） 方程有一正根一负根． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析 讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行．代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法．解1 （1）由题意，得.45244050)2(0)5(4)2(00022121-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->--≥---⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆m m m m m m m m m x x x x 或所以，当4-≤m 时，原方程两实根均为正数；（2）由题意，得.5050021>⇒<-⇒⎩⎨⎧<≥∆m m x x所以，当5>m 时，原方程有一正根一负根．解2 二次函数m x m x y -+-+=5)2(2的图象是开口向上的抛物线． （1）如图，由题意，得4052)2(4)2(022050)2(020)0(22-≤⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+--->-->-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤->->m m m m m m a b f a b f 。

一元二次方程根的分布1.一元二次方程的跟的基本分布—零分布所为一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系，比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说两个根分布在零的两侧设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x 且12x x ≤定理12121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪>>⇔+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩定理2：2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪<<⇔+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩定理3：121200c x x x x a<<⇔=< 2.一元二次方程的根的非零分布----k 分布 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x 且12x x ≤，k 为常数，则一元二次方程的k 分布（即12,x x 相对于k 的位置）有以下若干定理（请画出图形分析） 定理1：21240()02b ac k x x af k b k a⎧⎪∆=-≥⎪<≤⇔>⎨⎪⎪->⎩定理2：21240()02b ac x x k af k b k a⎧⎪∆=-≥⎪≤<⇔>⎨⎪⎪-<⎩定理3：12()0x k x af k <<⇔<推论1：1200x x ac <<⇔<推论2：121()0x x a a b c <<⇔++<定理4：有且仅有11k x <（或2x ）2k <12()()0f k f k ⇔<定理5：11121222120()0()0()0()0a f k k x k p x p f k f p f p >⎧⎪>⎪⎪<<≤<<⇔<⎨⎪<⎪⎪>⎩或12120()0()0()0()0a f k f k f p f p <⎧⎪<⎪⎪>⎨⎪>⎪⎪<⎩定理6：211221212400()0()02b ac a k x x k f k f k b k k a ⎧⎪∆=-≥⎪>⎪⎪<≤<⇔>⎨⎪>⎪⎪<-<⎪⎩或21212400()0()02b ac a f k f k b k k a ⎧⎪∆=-≥⎪<⎪⎪<⎨⎪<⎪⎪<-<⎪⎩训练一（1） 若一元二次方程2(1)2(1)0m x m x m -++-=有两个正根，求m 的取值范围。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳21、一元二次方程ax bxO 根的分布情况设方程ax 2 bx O a = O 的不等两根为x 1 ,x 2且x 1 ：：： X 2，相应的二次函数为 f X = ax 2 bx O ，方程的 根即为二次函数图象与 X 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与O 的大小比较即根的正负情况）Δ >0-b ： O 2aa f O O分布情况两个负根即两根都小于 0 X 1 ：： O, x 2 ：： O两个正根即两根都大于 0x 1 O, x 2 O一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 OX 1 ::： O ::：X 2得出的结论O OO O OOf O ：O得出的结论O OOO OO综合结论{不讨论a2a表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即x1：： k,X2：： k两根都大于k即x1 k, x2k一个根小于k ,一个大于k即x1：：k x2( >0 ) 0I∖ // J∖J ka 得出的结论b- k2ab2af k ：：得出的结论Δ Ao-b：k2a f k<0Δ>0-b k2a fk ：0综合结论{不讨论aA >0-Hk2aa f k 0Δ >02aa f k C 0表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在m,n 内大致图象∖1√两根有且仅有一根在m,n 内一根在 m, n 内，另一根在 p, q内,m ：：： n ：：： p .- q得出的结论Δ >0 f (m )A 0 * f (n )>0 bm £ ------ Cn2af m f n ：： 0得出的结论Δ>0 f (m )v 0« f (n )<0bm £ —一 C n2a综合结论{不讨论af n )<0 或 J f (m f n )^° f ( p )<0 I f (P )f (q )c ° f q )>of (m )c 0 f (n )>0[f (m )f ( n )c °«或Qf ( p )A 0 I f (P )f (q )<°f q )c 0f m f n ：： 0f P f q ： ： 0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 m, n 夕卜，即在区间两侧 x 1 ：：：m,x 2 ∙n ,（图形分别如下）需满 足的条件是(2) a对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:(1)两根有且仅有一根在m,n内有以下特殊情况:若f m =0或f n =0,则此时f m =f n ：：： 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n ,可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m,n内，从而可以求出参数的值。

一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b ，推论：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b上述推论结合二次函数图象不难得到。

例1若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

【定理2】01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b ，推论：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b由二次函数图象易知它的正确性。

【定理3】210x x <<⇔0<ac例3 k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？【定理4】 ○101=x ，02>x ⇔0=c 且0<a b； ○201<x ，02=x ⇔0=c 且0>ab。

一元二次方程根的分布设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1<x 2，相应的一元二次函数为=)(x f ax 2＋bx ＋c ，一元二次方程的根即为相应一元二次函数图象与x 轴的交点的横坐标，它们的分布情况可以分为以下三类：一．一元二次方程根的零分布：一元二次方程根的0分布，指的是方程的根相对于0的关系。

0分布的情况如下表所示：对于一元二次方程有两正根、两负根、一正一负根这三种情况，还可以用韦达定理解决如下，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则（1）x 1、x 2＞0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0x 1＋x 2＝－b a ＞0x 1x 2＝c a ＞0；（2）x 1、x 2＜0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0x 1＋x 2＝－ba ＜0x 1x 2＝c a＞0；（3）x 1＜0＜x 2 ⇔ c a＜0。

二．一元二次方程根的k分布：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两实根为x1，x2，且x1<x2。

k为常数,则一元二次方程根的非12kk km n分布：二．一元二次方程根的(,)补充：对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：1.两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时0)()(<n f m f 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值．如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；2.对于方程有两个相等实根的情况，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．3.总之，讨论一元二次方程根的分布问题实际上就是利用相应一元二次函数的图象及函数值来“控制”一元二次方程根的分布，因此必须从以下五个方面入手：①开口方向；②对称轴的位置；③判别式；④端点处的函数值；⑤与坐标轴（y 轴）的交点。