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22.2.3因式分解法解一元二次方程习题精选（二）直接开平方法1．如果（x－2）2=9，则x＝．2．方程（2y－1）2－4=0的根是．3．方程（x+m）2＝72有解的条件是．4．方程3（4x－1）2=48的解是．配方法5．化下列各式为（x+m）2+n的形式．（1）x2－2x－3=0 ．（2）210x+=．6．下列各式是完全平方式的是（）A．x2+7n=7B．n2－4n－4C．211216 x x++D．y2－2y+27．用配方法解方程时，下面配方错误的是（）A．x2+2x－99=0化为（x+1）2=0B．t2－7t－4=0化为2765 ()24 t-=C．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25D．3x2－4x－2=0化为2210 ()39 x-=8．配方法解方程．（1）x2+4x=－3 （2）2x2+x=0因式分解法9．方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）A．化为x+1=0B．x+1＝1C．化为（x+1）（x+l－1）＝0D．化为x2+3x+2＝010．方程9（x+1）2－4（x－1）2=0正确解法是（）A ．直接开方得3（x +1）=2（x －1）B ．化为一般形式13x 2+5＝0C ．分解因式得[3（x +1）+2（x －1）][3（x +1）－2（x —1）]=0D ．直接得x +1＝0或x －l ＝011．（1）方程x （x +2）=2（z +2）的根是 ．（2）方程x 2－2x －3=0的根是 ．12．如果a 2－5ab －14b 2=0，则235a bb += ．公式法13．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的求根公式是 ，其中b 2—4ac ．14．方程（2x +1）（x +2）=6化为一般形式是 ，b 2—4ac ，用求根公式求得x 1= ，x 2= ，x 1+x 2= ，12x x = ，15．用公式法解下列方程．（1）（x +1）（x +3）＝6x +4．（2）21)0x x ++=．（3） x 2－（2m +1）x +m ＝0．16．已知x 2－7xy +12y 2＝0（y≠0）求x ：y 的值．综合题17．三角形两边的长是3，8，第三边是方程x 2—17x +66＝0的根，求此三角形的周长．18．关于x 的二次三项式：x 2+2rnx +4－m 2是一个完全平方式，求m 的值．19．利用配方求2x 2－x +2的最小值．20．x 2+ax +6分解因式的结果是（x －1）（x +2），则方程x 2+ax +b ＝0的二根分别是什么?21．a 是方程x 2－3x +1=0的根，试求的值．22．m 是非负整数，方程m 2x 2－（3m 2—8m ）x+2m 2－13m+15=0至少有一个整数根，求m的值．23．利用配方法证明代数式－10x 2+7x －4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l 、2、3．24．解方程（1）（x 2+x ）·（x 2+x －2）=24；（2）260x x --= 25．方程x 2－6x －k ＝1与x 2－kx －7=0有相同的根，求k 值及相同的根．26．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，若每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少?这时，应进货多少?27．两个不同的一元二次方程x 2+ax +b =0与x 2+ax +a =0只有一个公共根，则（ ）A ．a =bB ．a －b =lC ．a +b =－1D ．非上述答案28．在一个50米长30米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰为原荒地面积的寺，试给出你的设计．29．海洲市出租车收费标准如下（规定：四舍五入，精确到元，N≤15）N 是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N 的值吗?30．（2004·浙江）方程（x －1）（x +2）（x －3）＝0的根是 ．31．（2004·河南）一元二次方程x 2—2x ＝0的解是（ ）A ．0B ．2C ．0，－2D ．0，232．（2004·南京）方程x 2+kx —6=0的一根是2，试求另一个根及k 的值．33．（2003·甘肃）方程(2)310mm x mx +++=是一元二次方程，则这方程的根是什么?34．（2003·深圳）x 1、x 2是方程2x 2—3x —6=0的二根，求过A （x 1+x 2，0）B （0，x l ·x 2）两点的直线解析式．35．a 、b 、c 都是实数，满足2(2)80a c c -++=，ax 2+bx +c ＝0，求代数式x 2+2x +1的值．36．a 、b 、c 满足方程组求方程2848a b ab c +=⎧⎪⎨=+-⎪⎩的解。
21.1 一元二次方程学问点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
留意一下几点：1.只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
学问点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项。
学问点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的根据。
21.2 降次——解一元二次方程22.2.1 配方法学问点一干脆开平方法解一元二次方程(1)假如方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以干脆开平方。
一般地，对于形如.x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a(2)干脆开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，假如p≥0，就可以利用干脆开平方法。
(3)用干脆开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
(4)干脆开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边干脆开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
学问点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
(1)把常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；(4)若等号右边为非负数，干脆开平方求出方程的解。
22.2.2 公式法学问点一公式法解一元二次方程(1)一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，假如b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值干脆求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
22.2.3一元二次方程的解法——因式分解法（1课时）白泉中学郑卫东一、导学与检测引入新课：直接开平方解方程比较简单，配方法、公式法非常麻烦，运算量较大，有没有简单解一元二次方程的解法呢？（一）阅读P38，回答下列问题（1）因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解，都是一元二次方程的解，这样也就把原方程进行了，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了。
（2）因式分解法解一元二次方程的步骤：①，使方程的右边为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的；③令每个因式分别为，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的。
（二）合作探究：用因式分解法解方程（1）4x2=11x （2）= 2x-4（3）（4）二、巩固训练题：1.用因式分解法解方程，可把它化为两个一元一次方程，，求解。
2.如果方程x2-3x+c = 0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一个根是，该方程可化为(x-1)(x )=0.3.方程(x-3)(x-1)= 3的根是（）.A、x1=3 , x2=1 B、x1=1 , x2=2C、x1=0 , x2=4 D、x1= , x2=4.用适当的方法解下列方程：（1）（2）5.用因式分解法解下列方程（1）（2）2x2+8x+8= 0（3）（4）x2-4x-3596=0三、课堂检测：1.用因式分解法解方程：（1）x-2=x(x-2) （2）(y+2)(2y+3)= 6（3）(1+x)(x-7) = -16 (4)参考答案：巩固训练： 1、x+3=0 5-2x=0 2、C=2 1 x-2 3、C 4、（1）101,219-（2）1,235.(1) x 1=0 , x 2=2 (2) x 1=x 2=-2 (3) x 1=1 , x 2=7 (4) x 1=-58 , x 2=62 课堂检测：（1）、x 1=1 , x 2=2 （2）、x 1=0 , x 2= 27-（3）、x 1=x 2=3 （4）x 1=7 , x 2= 319-。
人教版数学九年级上册22.2.3《用十字相乘法因式分解》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.3《用十字相乘法因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握用十字相乘法分解因式的方法。
教材通过实例引入，让学生理解并掌握十字相乘法的步骤和规律。
本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过大量的练习来巩固。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了多项式的乘法、因式分解的基本方法，但对于用十字相乘法因式分解可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解并掌握十字相乘法的原理，通过大量的练习让学生熟练运用。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握用十字相乘法因式分解的方法，能够独立完成简单的题目。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在解决数学问题的过程中，体验到数学的乐趣，增强对数学学习的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握用十字相乘法因式分解的方法。
2.教学难点：如何引导学生理解并掌握十字相乘法的原理，以及如何运用到实际问题中。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解，让学生理解十字相乘法的原理和方法。
2.案例分析法：教师通过分析具体案例，让学生掌握十字相乘法的运用。
3.小组合作法：学生通过小组合作、讨论，共同解决问题，培养合作意识。
4.练习法：学生通过大量练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.课件：教师准备相关的课件，帮助学生直观地理解十字相乘法。
2.练习题：教师准备适量的练习题，用于课堂练习和课后作业。
3.小组合作学习材料：教师准备小组合作学习所需的材料，促进学生互动交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个具体的例子，引导学生思考如何将一个多项式因式分解。
让学生尝试用已学的因式分解方法解决问题，从而引出本节课的内容。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示十字相乘法因式分解的步骤和规律，让学生初步了解并感知十字相乘法。
初中数学因式分解方法一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种因式分解的方法叫做运用公式法。
二、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例:分解因式x3.-2x,2-xx3,-2x2,-x=x(x2-2x-1)三、完全平方公式1、把乘法公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2和(a-b)^2=a^2-2ab+b^2反过来。
就可以得到：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2和a^2-2ab+b^2=(a-b)^2，这两个公式叫完全平方公式。
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。
2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项；②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍。
3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
5、因式分解，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
四、分式的乘除法1、把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2、分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式。
3、如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分。
4、分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)^2=(y-x)^2，(x-y)^3=-(y-x)^3。
因式分解法是一种常用的数学方法，用于将一个多项式分解为几个因式的乘积。
在九年级上册数学中，因式分解法通常用于解决一元二次方程和分式方程等问题。
因式分解法的步骤如下：
1.观察多项式，尝试将其分解为几个因式的乘积。
2.通过提取公因式、利用平方差公式或完全平方公式等方法进行因式分解。
3.反复进行因式分解，直到无法再分解为止。
4.检查因式分解的结果是否正确，可以通过代入法或比较系数法等方法进行
验证。
例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以将其分解为(x + 2)(x - 2)。
这是一个典型的平方差公式，其中a = x, b = 2。
在九年级上册数学中，因式分解法通常用于解决以下问题：
1.一元二次方程：通过因式分解法将一元二次方程化为两个一次方程，从而
求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2 或x = 3。
2.分式方程：通过因式分解法将分式方程化为整式方程，从而求解。
例如，
对于方程x/(x - 1) = 2x/(3x - 3) + 1，我们可以将其化为整式方程(3x -
3)/(x - 1) = 2x/(x - 1) + 1，从而得到x = 2。
总之，因式分解法是一种非常重要的数学方法，在九年级上册数学中有着广泛的应用。
通过掌握因式分解法，可以更好地解决各种数学问题。
教学过程设计
○4中的方程结构较复杂,需要先整理.
5.选用合适方法解方程
x2+x+
4
1=0；x2+x-2=0；(x-2)2 =2-x；2x2-3=0.
分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式,求根公式法,提公因式法,直接开平方法或利用平方差公式.
归纳：配方法要先配方,再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元,即降次.
三、课堂训练
1.完成课本练习
2.补充练习：
○1已知（x+y）2 –x-y=0,求x+y的值．
分析：先观察,并在本节课的知识情境下思考解题方法：先加括号,再提取公因式,体会整体思想的优越性.
○2下面一元二次方程解法中,正确的是（）．
A．（x-3）（x-5）=10×2,∴x-3=10,x-5=2,∴x1=13,x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0,∴（5x-2）（5x-3）=0,∴x1=2
5
,x2=
3
5
C．（x+2）2+4x=0,∴x1=2,x2=-2
D．x2=x 两边同除以x,得x=1
○3今年初,湖北武穴市发生禽流感,某养鸡专业户在禽流感后,打算改建养鸡场,建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长am,另三边用竹篱围成,如果篱笆的长为35m,问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）
四、小结归纳
本节课应掌握：
1.用因式分解法解一元二次方程
2.归纳一元二次方程三种解法,比较它们的异同,能根据方程特点选择合适的方法解方程
五、作业设计
复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做；学有余力的学生,要求模仿编拟课堂上出现的一些补充题目进行重复练习.
补充作业：先观察,尝试选用合适方
法解方程,之后交流,比
较三种解法,便于选取合
适的方法解方程
学生尝试归纳,师生总结
学生独立完成,教师巡回
检查,师生集体订正
学生归纳,总结阐述,
体会,反思.并做出笔
记.
选用合适方法解
方程,培养学生灵
活解方程的能力,
进一步加强对所
学知识的理解和
掌握
通过归纳、比较
方程的三种解
法,进一步理解
降次思想解方程
让学生在巩固过
程中掌握所学知
识,培养应用意
识和能力
加强教学反思,
帮助学生养成系
统整理知识的学
习惯
加深认识,深化
提高,形成学生
自己的知识体
系.
板书设计
课题
因式分解法的解题步骤问题3 问题4
问题5
归纳教学反思。
