数值分析习题2

第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。

（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。

（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。

（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。

（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。

数值分析习题解⼆三章12. 设()k T x 是k 次Chebyshev 多项式，证明（1）()()m n mn T T x T x =；（2）()()()()2m n m n m n T x T x T x T x +-+=. 证明：由Chebyshev 多项式的定义，()()()()()()cos arccos cos arccos cos arccos m n mn T T x m n x m n x T x ==??=()()()()()()()()()()cos arccos cos arccos 2cos arccos cos arccos 2m n m n m n T x T x m n x m n x m x n x T x T x +-+=+?+-?=??= 13. 求函数()f x =[]0,1上的⼀次最佳平⽅逼近多项式。

解：⽅法⼀（⽤多项式21,,,x x 作基底）令()01x ?=，()1x x ?=，设所求多项式为()*01S x a a x =+。

因为()12000,1d 1x ??==?，()()1011001,,d 2x x ===?，()121101,d 3x x ??==?，()(001,ln 122f x ?==++?，()()1101,13f x ?==?所以关于0a 和1a 的法⽅程为(()0011111ln 1=0.9343222110.4269511233a a a a ??+?=?=因此所求最佳平⽅逼近多项式 ()*0.934320.42695S x x =+。

⽅法⼆（⽤Legendre 正交多项式()01P x =, ()1P x x =, ()()221 31P x x =-, 因为[][]0,11,1≠-，令()[]11,1,12x t t =+∈-，则()()f x F t ==令()()001t P t ?==，()()11t P t t ?==，则()0,,2,21i j i ji j i ??≠??=?=?+?。

第二章习题参考答案1.解： 由于20Ax b−≥，极小化2b Ax −与极小化22Ax b −是等价的。

令22()(,)(,)2(,)x Ax b Ax Ax b b Ax b ϕ=−=+−，对于任意的n R y x ∈,和实数α，)()(),()()(,*222*2****x Ay a x Ay Ay a x ay x b Ax x ϕϕϕϕ≥+=+=+=则有满足若这表示处达到极小值。

在*)(x x ϕ反之，若必有处达到极小，则对任意在nR y x ay x ∈+*)(ϕ0),(2),(2),(20)(**0*=−=+−=+=Ay b Ax Ay Ay a Ay b Ax daay x d a 即ϕ故有 b Ax =*成立。

以上证明了求解,22b Ax b Ax −=等价于极小化即。

等价于极小化2b Ax b Ax −= 推导最速下降法过程如下：),/(),(0),(),(,0),,2)(222)()(11k T k T k T k k T k T k T k k T k k k T k k kT k T k T T x x k r AA r AA r AA r a r AA r AA a r AA r r aA x da dx a r aA x x r A Ax b A Ax A b A x grad x x k==+−=++==−=−=−++=最终得到得出（由取得极小值。

使求出取的负梯度方向，且下降最快的方向是该点在ϕϕϕ给出的算法如下：1）)(000Ax b A r A R x T T n −=∈，计算给定； 2）L ,2,1,0=k 对于）转到否则数。

为一事先给定的停机常则停止；其中若2),/(),(10,11kT k k k k T k k k k k k k k k r A p Ax b r r A a x x Ap Ap p p a k k r =−=+==+=>≤−−εε2.证明 1） 正定性由对称正定矩阵的性质，(),0x Ax ≥（当且仅当x ＝0时取等号），所以 ()12,0Axx Ax =≥（当且仅当x ＝0时取等号）2） 齐次性()()()121122,(),,AA xx A x x Ax x Ax x αααααα⎡⎤====⎣⎦3）o1方法（一）A 是对称正定矩阵，得到(,())0x y A x y λλ++≥，把它展开如下2(,)(,)(,)(,)0y Ay x Ay y Ax x Ax λλλ+++≥考虑到(,)(,)(,)x Ay Ax y y Ax ==，把上式看成关于λ的一元二次方程，则式子等价于24(,)4(,)(,)0x Ay x Ax y Ay ∆=−≤因此1/21/2(,)(,)(,)x Ay x Ax y Ay ≤所以1/21/221/21/2((,)(,))(,)(,)2(,)(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)(,)((),())x Ax y Ay x Ax y Ay x Ax y Ay x Ax y Ay x Ay x Ax y Ay x Ay y Ax x y A x y +=++≥++=+++=++两边开平方即可得到AA A x yx y +≤+因此，1/2(,)A x Ax x =是一种向量范数。

第二章习 题 解 答西南交大 草上飞1下列数据作为π=*x 的近似数,试确定它们各有几位有效数字,并确定其相对误差限..722,15.3,14.3,141.34321====x x x x (i x 表示*x 的近似数,)1415926.3 =π 解：把近似数)4,3,2,1(*=i x i 规格化形式后均有1=k ，首位非零数字为3Ⅰ）31*11021005.000059.0141.3-⨯=≤=-=- πx x *1x 有3位有效数字，0017.010321)(31*1≈⨯⨯=-x r ε Ⅱ) 31*21021005.0001.014.3-⨯=≤=-=- πx x*2x 有3位有效数字，0017.010321)(31*2≈⨯⨯=-x r ε Ⅲ) 21*31021005.0008.015.3-⨯=≤=-=- πx x*3x 有2位有效数字，017.010321)(21*3≈⨯⨯=-x r ε Ⅳ)142857.3722=， 31*41021005.0001.0722-⨯=≤=-=- πx x *4x 有3位有效数字，0017.010321)(31*4≈⨯⨯=-x r ε 2 证明§2.2中的定理 2.1,定理 2.2.3 已知20的近似数x 相对误差为%5.0，试问x 至少有几位有效数字？解：因20的第一位数字为4，所以x 的第一位数字41=a ，根据定理2.1，当n r a x e -⨯+≤1015|)(|1 成立时，x 有n 位有效数字，而2=n 时,101451019510005%5.0)(22--⨯+<⨯+===x e r 所以近似数x 至少有2位有效数字.4 为尽量避免有效数字的严重损失，当1||<<x 时应如何加工下列计算公式：（1）xx x +--+11211 （2）x cos 1- （3）1-xe解：（1）)1)(21(22x x x ++；（2）2sin 22x ；（3）4322416121x x x x +++ 5 序列{}n y 满足递推关系()⎪⎩⎪⎨⎧=-==- ,2,1,110210n y y y n n若取41.120≈=y 做近似计算，问计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：,414.120 ==y ,41.1*=y δ=⨯≤--2*001021||y y 10||*11=-y y δ10||*00≤-y y10||*1010=-y y δ10*0010*9910||10||≤-==-y y y y 此递推关系每计算一次误差增长10倍，故算法不稳定. 6设,,1,0,11 ==⎰-n dx e x I x n n 验证,110--=e I .11--=n n nI I 若取,3679.01≈-e 依次计算 n I I I ,,10时(不要求具体算出),请你证明这样设计的算法其误差传播是逐步扩大的,算法是不稳定的.并要求另外设计一种数值稳定的算法.解: ,11110⎰---==e dx eI x 对n I 用分部积分法得==⎰-11dx e x I x n n ⎰-11x n de x ne x x n -=-101|⎰--111dx e x x n .11--=n nI设误差,*n n n I I e -=其中*1*1--=n n nI I .于是=--=-=--)(*11*n n n n n I I n I I e =--=)(!)1(*00I I n n 0!)1(e n n - 当n 增大时n e 是递增的, *n I 的误差达到0!)1(e n n -,是严重失真的.数值稳定的计算方法: 将递推公式11--=n n nI I 改为)1(11n n I nI -=- )1,2,1,( -=k k n 于是在从后往前计算时, 1-n I 的误差减少为原来n I 的n1,若取k n =足够大,误差逐步减少,计算结果是稳定可靠的. 7 7可由下列迭代公式计算:⎪⎩⎪⎨⎧=+==+,2,1,0),7(21210k x x x x k k k若k x 是7的具有n 位有效数字的近似值,求证1+k x 是7的具有n 2位有效数字的近似值.解 由1+k x ,1,0,)7(217)7(2172=-=-+=-k x x x x k kk k 和20=x ,得到,,2,1,7 =≥k x k 数列∞=1}{k k x 有下界.又1)11(21)71(2121=+≤+=+kk k x x x 即k k x x ≤+1,数列∞=1}{k k x 单调不增. 故k k x ∞→lim 存在.令∞→k ,对迭代公式两边取极限,可求得7lim =∞→k k x .现设k x 是7的具有n 位有效数字的近似值,即有11021|7|+-⨯≤-n k x 于是,得|7|1-+k x 2)7(721-≤k x 221041721+-⨯⨯≤n 121021+-⨯≤n可见, 1+k x 是7的具有n 2位有效数字的近似值.8用秦九韶算法计算多项式4532)(23-+-=x x x x p 在自变量3=x 时的值. 解：381432429634532-- 故 38)3(=p补充例题例题1：试问真值62.2*=x 的近似数 2.58x =是否为有效数. 解：*112110.040.05101022x x ---=<=⨯=⨯∴由有效数的定义知近似数 2.58x =具有两位有效数字，分别是2,5由于8不是有效数字，故 2.58x =不是有效数.例题2为尽量避免有效数字的严重损失，当1||>>x 时应如何加工下列计算公式xx x x 11--+解： 为尽量避免有效数字的严重损失，应作变换：xx x x x xx x x 11211-++=--+例题3 设10000,2,1,0,1==⎰n dx e x I x n n（1）证明：.10000,,3,2,1,1 =-=-n nI e I n n （2）设计一种数值稳定的算法，并证明算法的稳定性. 解: (1) 对n I 用分部积分法得 ==⎰1dx e x I x n n ⎰1x n de x n e x x n -=10|⎰-11dx e x x n.10000,,3,2,1,1101 =-=-=--⎰n nI e dx e x n e n x n(2) 由（1）得：,1n n I e nI -=-若已知N I ，设计如下递推算法： 1,2,1,),(11 --=-=-N N N n I e nI n n 注意到： )1,0(,1|110110∈+=+==+⎰ξξξξn e n x e dx x e I n nn ,于是.111+<<+n e I n n 取)1(21++=N eI N 可得如下递推算法1,2,,1,,)1(21)(11 -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-=-N N n N e I I e n I N n n . 设 n n n I I e -=，则11---n n I I )(1n n I I n--=， ||11---n n I I |)(|1n n I I n -=，即n n e ne 11=-.每迭代一次误差均在减少，所以设计的递推算法是数值稳定的.例题4 已知,1410⎰+=dx x x y nn 试建立一个具有较好数值稳定性的求),2,1( =n y n 的递推公式,并证明算法的稳定性.解: 由=+-14n n y y ⎰++-101144dx x x x n n =n dx x n 1101=⎰- 得到求),2,1( =n y n 的递推公式:14141--=n n y n y , ,2,1=n (*) 而初值40235.0|)]14[ln(4114110100≈+=+=⎰x dx x y ,由此出发,根据上述递推公式可以求 ),2,1( =n y n 的近似值求*ny : *1*4141--=n n y n y , ,2,1=n . 记*n y 的绝对误差为||*n n n y y -=∆,则有:)(41*11*----=-n n n n y y y y ,即141-∆=∆n n , ,2,1=n . 由此可见,*1-n y 的误差将缩小41传播到*n y ,误差传播是逐步衰减的.因而,递推公式(*)是数值稳定的.例题5 数列{}n x 满足递推公式1101(1,2,)n n x x n -=-=.若取*001.41(3x x =≈=位有有效数字),问按此递推算法从0x 算至10x 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 解: *20001||||102e x x ε-=-=<⨯ *00||||10||10n nn n n n e x x x x ε=-=-=,||()n e n →∞→∞,则计算过程不稳定.计算至10x 时误差: 10281011||10101022e -=⨯⨯=⨯.。

2015《数值分析》练习题1、 填空题（1）1.73和1.7321都是3的近似值，已知 7320508.13=则1.73具有 位有效数字，则1.7321具有 位有效数字。

（2）设25.1=x 是四舍五入后得到的某个量的近似值，则x 有 位有效数字（3）设80~=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取 位有效数字。

（4）为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为 。

（5）设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。

（6）矩阵3132A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则1A =_____，2A =_____，A ∞=_____，()cond A ∞=_____。

（7）已知4222102226A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， 对于A 作Cholesky 分解T A LL =，则L = . （8）设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。

（9）设14)(34-++=x x x x g ，则差商[]4,3 ,2 ,1 ,0g =________ 。

（10）已知16)4(,8)2(,4)1(===f f f ，则=]2,1[f ，=]4,2,1[f ；相应的二次Newton 插值多项式为 ；（11）解方程0)(=x f 的Newton 迭代公式为，Newton 迭代法对于单根是 阶局部收敛的。

（12）用迭代格式)1(31-+=+kk k x c x x 法求方程013=-x 的实根，为了保证迭代法的局部收敛性，则参数c 的选取范围是 。

（13）用二分法求方程0152)(3=--=x x x f 在区间[1,3]内的根,进行一步后根所在区间为 ,进行二步后根所在区间为 .（14）当 a （满足怎样的条件）时，用高斯—赛德尔迭代法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-+=+-36410218321321321ax x x x x x x x x 一定收敛。

数值分析试题答案一、选择题1. 以下哪个数值方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 欧几里得算法D. 拉格朗日插值法答案：B2. 在数值分析中，舍入误差通常是由什么引起的？A. 人为计算错误B. 计算机表示数字的限制C. 测量误差D. 数据输入错误答案：B3. 插值和拟合的区别在于：A. 插值通过所有数据点，而拟合不通过B. 拟合通过所有数据点，而插值不通过C. 插值是线性的，拟合是非线性的D. 插值是精确的，拟合是近似的答案：A4. 以下哪种方法最适合求解非线性方程？A. 雅可比迭代法B. 牛顿-拉弗森方法C. 托马斯算法D. 布雷尔-史密斯算法答案：B5. 在数值分析中，条件数用于衡量什么？A. 方程组解的存在性B. 方程组解的唯一性C. 方程组解的稳定性D. 方程组解的精确性答案：C二、填空题1. 在数值分析中，__________误差指的是由于计算机舍入而产生的误差，而__________误差指的是由于数据不精确或截断而产生的误差。

答案：截断；舍入2. 线性方程组的矩阵表示为__________，其中A是系数矩阵，x是变量向量，b是常数向量。

答案：Ax = b3. 牛顿法求解非线性方程时，需要计算函数的__________。

答案：导数4. 拉格朗日插值法通过构建一个多项式来近似数据点，该多项式的每一段都与数据点的__________相匹配。

答案：切线5. 为了减少数值分析中的误差，通常采用__________方法来提高计算的精度。

答案：增量三、简答题1. 请简述高斯消元法的基本思想及其在求解线性方程组中的应用。

高斯消元法的基本思想是通过行变换将系数矩阵转化为阶梯形矩阵，进而简化方程组的求解过程。

在求解线性方程组时，首先将增广矩阵进行行变换，使得主元下方的元素为零，然后通过回代过程逐步求解出未知数。

2. 描述牛顿-拉弗森方法求解非线性方程的迭代过程。

牛顿-拉弗森方法是一种迭代求解非线性方程的方法。

习题21. 分析下列方程各存在几个根，并找出每个根的含根区间：(1) 0cos =+x x ； (2) 0cos 3=-x x ； (3) 0sin =--x e x ； (4) 02=--x e x 。

解：(1) 0cos =+x x (A) x x x f cos )(+= ，0sin1)(≥-='x x f ,),(∞-∞∈x10cos 0)0(=+=f ,01cos 1)1cos(1)1(<+-=-+-=-f ∴ 方程(A) 有唯一根 ]0,1[*-∈x (2) 0cos 3=-x x (B) x x x f c o s 3)(-=,0sin 3)(>+='x x f , ),(∞-∞∈x 时010c o s03)0(<-=-⨯=f ，01cos 31cos 13)1(>-=-⨯=f ∴ 方程(B) 有唯一根 ]1,0[*∈x (3)sin =--xex (C)xex -=sinx x f sin )(1=, xex f -=)(2方程(C)有无穷个正根，无负根 在[22,2πππ+k k ] 内有一根 )(1k x ，且0]2[lim )(1=-∞→πk x k k在[ππππ++k k 2,22]内有一根)(2k x ，且0])12([lim )(2=+-∞→πk x k k (示图如下) 3,2,1,0=k)(2x f x(4)02=--xex(D) xex-=2,)(21x x f = xex f -=)(2方程(D) 有唯一根 ]1,0[*∈x 当 0<x 时 (D)与方程2x ex -=- (E) 同解 当 0<x 时 (E)无根 2. 给定方程 012=--x x ； (1)(2)若在[0 , 2]上用二分法求根，要使精确度达到6位有效数，需二分几次？ 解：012=--x x1) 01)(2=--=x x x f 1)1(-=f , 025.0)5.1(<-=f ,1)2(=f]2,5.1[*∈x, 618034.1251*=+=x)(5.1- 1.75(+) 2(+) )(5.1- 1.625(+) 1.75(+) )(5.1-1.5625(+) 1.625(+))(5625.1- )(59375.1-1.625(+)1102103125.02)5625.1625.1(-⨯<=-6.159375.1*≈≈x2位有效近似值为 1.6 2)00==a a ， 20==b b)(21k k k b a c +=kk k a b c x 2121*=-≤-+5102121-⨯≤k，51102≥-k60.162ln 10ln 51=≥-k∴ 只要2等分18次3. 为求0353=--x x 的正根，试构造3种简单迭代格式，判断它们是否收敛，且选择一种较快的迭代格式求出具有3位有效数的近似根。

数值分析试题一、 填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2位有效数字。

2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。

3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。

4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。

6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。

7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。

8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。

9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是(B)<1 。

10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y =f (x )-2-1.75-10.2524.2511. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

数值分析课后习题及答案第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当时，，求的二次插值多项式。

[解]。

3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，，则，，则，从而。

若取，，，则，，，则，从而补充题：1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。

[解]由，可知，，余项为，故。

2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有，从而。

5、给定数据表：，1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。

[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。

第三章函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。

又，，，故法方程为，解得。

均方误差为。

27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米）0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式，则由。

，。

又，，，故法方程为，解得。

故直线运动为。

补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。

[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：。

应用最小二乘原理，求R使得达到最小。

对求导得到：。

令，得到电阻R为。

2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。

[解]令，求x使得达到最小。

对求导得到：，令，得到，这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。