高中数学人教A版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制 答案和解析

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！ )一、选择题 (每题 5 分，共 20 分 )1．将－ 300 °化为弧度数为 ( )A ．－ 4πB ．－ 5π33C ．－ 7πD ．－ 7π64π5分析： － 300°＝－ 300× 180＝－ 3π. 答案：B2．以下与 9π的终边同样的角的表达式中，正确的选项是()49πA ． 2k π＋ 45°B ． k ·360°＋ 45π C ．k ·360 °－ 315 °(k ∈ Z )D ． k π＋ 4 (k ∈ Z)9π9π分析： 与2k π＋ 4 (k ∈ Z )，可是角度制与弧度制不可以混用，4 的终边同样的角能够写成 因此只有答案 C 正确．答案： C3．已知 α＝－ 3，则角 α的终边所在的象限是 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限π分析： 因为－π＜－ 3＜－ 2，因此 α在第三象限． 答案：C4．一扇形的面积是3π，半径为1，则该扇形的圆心角是()83π3π A. 16B. 83π3π C. 4D. 21分析：∵ l ＝ θR， S ＝ 1lR ，∴ S ＝θ 3 3π2× R 2＝ π，∴ θ＝4.2 8答案：C二、填空题 (每题 5 分，共 15 分)5．在扇形中，已知半径为 8，弧长为 12，则圆心角是 ________弧度，扇形面积是 ________．分析：|α|＝ l 123r ＝ 8 ＝ 2，S ＝12l ·r ＝ 12×12× 8＝ 48.答案：3 4828π的终边同样，则在 [0，2π )上，终边与角α6．若角 α的终边与角的终边同样的角是54________．分析：由题意，得 α＝85π＋2k π(k ∈ Z)，α2k π因此 4＝ 5π＋ 2 (k ∈ Z )．令 k ＝ 0， 1， 2，3，α2 9 7 19得 4＝ 5π，10π，5π，10π.2 9 7 19答案： 5π，10π，5π， 10 π 7．假如一扇形的弧长变成本来的 3倍，半径变成本来的一半， 则该扇形的面积为原扇形2面积的 ________．1分析：因为 S ＝ 2lR ，31若 l ′＝ 2l ， R ′＝ 2R ，1 1 3 1 3 则 S ′＝l ′R ′＝× l × R ＝ S.22 224答案：34三、解答题 (每题 10 分，共 20 分 )8．已知 α＝－ 800 °.(1)把 α改写成 β＋ 2k π (k ∈ Z ， 0≤ β＜ 2π )的形式，并指出 α是第几象限角；2(2)求γ，使γ与α的终边同样，且γ∈ －π，π. 2214分析：(1) ∵－ 800°＝－ 3× 360°＋ 280°， 280°＝9π，∴α＝－800°＝149π＋(－3)×2π.14π∵ α与9角终边同样，∴ α是第四象限角．14π(2)∵与α终边同样的角可写为2kπ＋9， k∈ Z 的形式，而γ与α的终边同样，∴ γ＝14π2kπ＋9， k∈ Z .又γ∈ －π π，∴ －π14ππ2，22＜ 2kπ＋9＜， k∈ Z ，214π4π解得 k＝－ 1，∴γ＝－ 2π＋9＝－9 .9．如图，已知扇形AOB 的圆心角为120 °，半径长为6，求弓形ACB 的面积．分析：∵ 120°＝120180π＝23π，2∴l ＝6×3π＝4π，∴ AB 的长为 4π.11∵S 扇形OAB＝2lr ＝2× 4π× 6＝ 12π，△OAB 1× AB× OD( D 为 AB 中点 ) ＝1× 2× 6cos 30°× 3＝ 9 3.如下图，有 S＝22∴S 弓形ACB＝ S 扇形OAB－ S△OAB＝ 12π－9 3.∴弓形 ACB 的面积为 12π－9 3.3。

1.1.2弧度制
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________
课后练习
基础过关
1．(2013·山东省济南市调研)将分针拨快15分钟,则分针转过的弧度数是() A.- B. C.- D.
2．设集合，则等于A.{} B.{}
C.{}
D.{ }
3．扇形周长为6，面积为2，则其中心角的弧度数是
A.1或4
B.1或2
C.2或4
D.1或5
4．扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为______．5．已知，则角θ的终边所在的象限是____. 6．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，求此扇形所含弓形面积．
7．已知一个扇形的周长为12 cm.
(1)若扇形的圆心角θ=3,求该扇形的半径;
(2)当扇形的半径为何值时,这个扇形的面积最大?并求出此时的圆心角.
8．已知α=-800°.
(1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈(-,).
能力提升
1．已知集合，，
，试确定M、N、P之间满足的关系.
2．扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长A B.。

．弧度制[提出问题]问题：在角度制中，把圆周等分成份，其中的一份是多少度？提示：°.问题：半径为的圆的周长是π，即周长为π时，对应的圆心角是°，那么弧长为π时，对应的圆心角是多少？提示：°.问题：在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？提示：确定．[导入新知]．角度制与弧度制()角度制①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②度的角：周角的作为一个单位．()弧度制①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是.．角的弧度数的计算如果半径为的圆的圆心角α所对弧的长为，那么，角α的弧度数的绝对值是α＝.[化解疑难]角度制和弧度制的比较()弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制．()弧度的角与度的角所指含义不同，大小更不同．()无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．()用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“”通常省略不写.[提出问题]问题：周角是多少度？是多少弧度？提示：°，π.问题：半圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？提示：°，π.问题：既然角度与弧度都是角的度量单位制，那么它们之间如何换算？提示：π＝°.[导入新知]．弧度与角度的换算[化解疑难]角度与弧度互化的原则和方法()原则：牢记°＝π，充分利用°＝，＝°进行换算．()方法：设一个角的弧度数为α，角度数为，则α＝°；°＝· .[扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为，弧长为，α(<α<π)为其圆心角，则。

高中数学人教A 版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1． 下列命题中，正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径长的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角2．1920︒转化为弧度数为（ ）A ．163B ．323C ．163πD ．323π 3．296π是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 4．若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数是A ．3πB ．23πCD ．25．集合P ＝{x |2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，Q ＝{α|－4≤α≤4}．则P ∩Q ＝( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π}二、填空题6．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________．7． 如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．8． 若角α的终边与85π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与4α的终边相同的角有________．三、解答题9． 已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k ∈Z ,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且,22ππγ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 10．如图，动点,P Q 从点()4,0A 出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒转6π弧度，求,P Q 第一次相遇时所用的时间及,P Q 点各自走过的弧长.11． 如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．参考答案1．D【解析】逐一考查所给的命题：A . 弧度制表示角度，则1弧度不是1度的圆心角所对的弧B . 弧度制表示角度，1弧度不是长度为半径长的弧由弧度的定义可知选项C 说法错误，D 说法正确.本题选择D 选项.2．D【解析】已知180°对应π弧度，则1920︒转化为弧度数为1920321803ππ=. 本题选择D 选项.3．B【解析】 295466πππ=+，则296π与56π终边相同，它是第二象限角. 本题选择B 选项.4．C【解析】试题分析：设圆半径为r ，所以由弧度制定r÷故选C ． 考点：本题主要考查角度制与弧度制的概念及其互化．点评：牢记概念，并注意两种度量制度的转化．5．B【解析】令k ＝0，±1，在数轴上标注出P 与Q 如图所示，可知选B.6．{α|2kπ<α<2kπ＋π，k ∈Z }【解析】由题意结合终边相同的角的表示方法可知终边落在x 轴上方的角的集合为{α|2kπ<α<2kπ＋π，k ∈Z }.7．3【解析】设圆的半径为R ，弧长为l ，此时l R α=则变换之后的半径为12R ，弧长为32l ， 该弧所对的圆心角为332'12l l RR α==， 则'3αα=，即该弧所对的圆心角是原来的3倍. 8．29719,,,510510ππππ 【详解】 由题意可知：()825k k Z αππ=+∈，则()2425k k Z αππ=+∈， 当0k =时，245απ=；当1k =时，9410απ=； 当2k =时，745απ=；当3k =时，19410απ=； 而当4k =时，[]120,245αππ=∉；当1k =-时，[]10,2410αππ=-∉； 综上可得：终边与4α的终边相同的角有29719,,,510510ππππ. 点睛：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合： {}{}|2,|360,S k k Z k k Z ββαπββα==+∈==+⨯∈.即任何一个与角α的终边相同的角都可以表示为角α与周角的整数倍的和.9．(1)()14329αππ=+-⨯,α是第四象限角；(2)49γπ=-. 【解析】试题分析：(1)由题意－800°＝－3×360°＋280°，而280°＝149π，据此可得：()14329αππ=+-⨯,α是第四象限角；(2)由题意结合(1)的结论可知γ＝2kπ＋149π，k ∈Z ，结合题意，则取k ＝－1得49γπ=-. 试题解析： (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π，∴α＝－800°＝＋(－3)×2π. ∵α与角终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋，k ∈Z .又γ∈，∴－<2kπ＋<，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋＝－. 10．,P Q 第一次相遇时所用的时间为4s .P 点走过的弧长为163π，Q 点走过的弧长为83π. 【分析】 设出两点相遇时间，用两点所走过的弧长之和为2π建立方程，解方程求得时间，进而求得,P Q 两点所走过的弧长.【详解】依题意知圆的半径为4，设,P Q 第一次相遇时所用的时间是ts ，则236t t πππ+-⨯=.解得4t =，即,P Q 第一次相遇时所用的时间为4s . P 点走过的弧长为416433ππ⨯=，Q 点走过的弧长为28433ππ⨯=. 【点睛】本小题主要考查角速度有关计算，考查方程的思想，属于基础题.11．12π-【解析】试题分析：角度制转化为弧度制，12023π=，据此可得弧长AB 为4π，由扇形面积公式求得扇形的面积为12π，由几何关系可得△ABO 的面积为，据此可知弓形ACB 的面积为12π-试题解析：∵120°＝π＝π，∴l＝6×π＝4π，∴AB的长为4π.∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×3＝9.∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.∴弓形ACB的面积为12π－9.点睛：在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤4}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}解析：选D.令k ＝－1,0可得集合A 分别为{α|－2π≤α≤－π，k ∈Z }和{α|0≤α≤π，k ∈Z }，所以A ∩B ＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}．2．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车以30 km/h 的速度通过，10 s 间转过________弧度．解析：10 s 间列车转过的扇形弧长为103 600×30＝112(km)， 转过的角α＝1122＝124(弧度)． 答案：1243．已知α＝2 000°.(1)把α写成β＋2k π(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式；(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝200°＋5×360°＝109π＋10π； (2)θ与α的终边相同，故θ＝109π＋2k π，k ∈Z ； 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝109π＋4π＝46π9.4.如图，圆心在原点，半径为R 的圆交x 轴正半轴于点A ，P 、Q 是圆上的两个动点，它们同时从点A 出发沿圆周做匀速运动．点P 逆时针方向每秒转π3，点Q 顺时针方向每秒转π6，试求它们出发后第五次相遇时的位置及各自走过的弧长．解：令经过t s 后第一次相遇．(π3＋π6)t ＝2π， 即t ＝4(s)．则第5次相遇在20 s 时．当t ＝20 s 时，点P 走过的弧长为π3×20＝203π， 点Q 走过的弧长为π6×20＝103π. 因为203π＝6π＋23π， 则两点相遇时所在位置为23π处．。

任意角和弧度制__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式 3.熟记特殊角的弧度数 (一)角的概念： 1 任意角正角：按顺时针方向形成的角 负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。

与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数） （1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 （3）区间角的表示： ①象限角：象限角 象限角的集合表示第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α⋅⋅+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第三象限角的集合o o o o {|360180<<360270,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第四象限角的集合o o o o {|360270<<360360,x k k k α⋅+⋅+∈Z }②写出图中所表示的区间角： 由α的终边所在的象限， 来判断2α所在的象限，来判断3α所在的象限 (二)弧度制1 弧度角的规定.它的单位是rad 读作弧度如图：∠AOB=1rad∠AOC=2rad 周角=2πrad 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

1.1.2弧度制一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.2.弧度制的定义[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，yxAαOB或1弧度，或1(单位可以省略不写).3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是,那么a 的弧度数是多少?角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 5.根据探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=,1___rad =度显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度:(1) 精确值；(2) 精确到0.001的近似值.例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.8.例题讲评例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =. 其中R 是半径,是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85︒的大小.注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.9.练习 教材10P .9.学习小结(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?五、评价设计1．作业：习题1.1 A 组第7,8,9题． 2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．。

高中数学人教A 版必修4第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系（2）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于（ ） A ．513 B ．－513C ．512D ．－5122．已知cosα＝23，则sin 2α等于 ( ) A ．59 B ．59±C D ．±3．α是第四象限角，5tan 12α=-,，则sin α=（ ） A ．15B ．15- C ．513D ．513-4．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于 ( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．25．已知α是三角形的一个内角，且sinα＋cosα＝23，那么这个三角形的形状为 ( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形6．已知sin α－cos α＝－54，则sin αcos α等于（ ）A B ．－916C ．－932D ．9327．若32ππα<<( ) A ．2tan α B ．2tan α-C ．2sin αD ．2sin α-8．若sin 2cos 2sin cos θθθθ+=-，则sinθ·cosθ＝ ( )A ．417- B ．45C ．417±D ．4179．如果1sin cos 5x x +=，且0πx <<，那么tan x 的值是 ( ) A ．43- B ．43-或34-C ．34-D ．43或34-二、填空题10．在△ABC A =____. 11．已知tanα＝cosα，那么sinα＝ ______. 12．已知sinθ＝35m m -+，cosθ＝425mm -+，则tanθ＝_____.13．在△ABC 中，tan 3A =，则sin A =____________三、解答题14．求证：sin α (1＋tan α)＋cos α (1＋1tan α)＝1sin α＋1cos α. 15．已知tanα＝7，求下列各式的值. (1)sin cos 2sin cos αααα+-；(2)sin 2α＋sinαcosα＋3cos 2α.16．已知2221tan tan αβ＝＋ ，求证：2221sin sin βα＝－ . 17．化简下列式子.(1)cos 6α＋sin 6α＋3sin 2αcos 2α；(2)若x 是第二象限角，化简sin 1cos x x -18．设A 是三角形的内角，且sinA 和cosA 是关于x 的方程25x 2－5ax －12a ＝0的两个根.(1)求a 的值； (2)求tanA 的值．参考答案1．B 【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出． 【详解】由条件知α是第四象限角，所以sin 0α<，即sin α＝＝＝513-. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题． 2．A 【解析】 sin 2α＝1－cos 2α＝59. 故选A. 3．D 【分析】根据同角三角函数基本关系，得到22sin 5cos 12sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，求解，再根据题意，即可得出结果. 【详解】因为5tan 12α=-，由同角三角函数基本关系可得：22sin 5cos 12sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 解得：5sin 13α=±， 又α是第四象限角，所以5sin 13α=-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查已知正切求正弦，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型. 4．C【解析】原式＝(1＋22sin cos αα)·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1. 故选C. 5．B 【解析】 (sin α＋cos α)2＝49，∴2sin αcos α＝－59<0， 又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角． 故选B.点睛：三角形的内角范围为：()0,π, 同角三角函数关系：221sin cos αα+=. 6．C 【分析】由题意得(sin α－cos α)2＝2516，化简即得解. 【详解】由题意得(sin α－cos α)2＝2516， 即sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝2516， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴1－2sin αcos α＝2516， ∴sin αcos α＝－932. 故选：C. 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．D 【解析】112cos cos sin sin sin ααααα-+=+=, ∵32ππα<<，∴原式＝2sin α-. 故选D. 8．D 【解析】 由sin 2cos 2sin cos θθθθ+=-，得tan θ＝4，2224117sin cos tan sin cos sin cos tan θθθθθααθ==++＝. 故选D. 9．A 【详解】将所给等式两边平方，得12sin cos 25x x =-， ∵0πx <<，sin ,cos 0x x ∴><s ，249(sin cos )12sin cos 25x x x x --==， 9sin cos 5x x ∴-=， ∴434sin ,cos tan 553x x x =-∴=-＝，. 故选A. 10．60 【详解】∵2sin 2A ＝3cos A ，∴2(1－cos 2A )＝3cos A ，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， ∵A 为△ABC 的内角 ∴cos A ＝12，cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝60°. 故答案为60°.11【分析】由于sin tan cos cos αααα＝＝，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2α，解得sin α.又sin α＝cos 2α≥0，所以sin α＝12-+.故答案为12-+. 12．34-或512- 【解析】由sin 2θ＋cos 2θ＝1得，m ＝0或8，m ＝0时，sin θ＝－35，cos θ＝45，tan θ＝－34， m ＝8时，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ＝－512.本题易错点为直接由tan θ＝sin cos θθ给出一个关于m 的表达式或者求解关于m 的方程时，将零因子约掉只得出m ＝8.13 【解析】因为tan 03A =>，则A ∠是锐角，于是2221111tan 199cos A A +=+==，则29cos11A =，cos A =，sin tan cos 311A A A =⋅==．（或由29cos 11A =得22sin 11A =，因为sin 0A >，则sin A =．） 14．详见解析 【分析】将等式左边利用切化弦分式通分,利用同角三角函数的平方和为1化简即可得到证明. 【详解】证明：左边＝sin α (1＋sin cos αα)＋cos α (1＋cos sin αα)＝sin α＋2sin cos αα＋cos α＋2cos sin αα＝22sin cos sin ααα+＋22sin cos cos ααα+＝1sin α＋1cos α＝右边. 即原等式成立. 【点睛】本题考查利用同角三角函数关系式证明等式问题，考查切化弦的思想，是基础题. 15．（1）813（2）5950【解析】试题分析：（1）由sin tan cos ααα＝，代入求解即可； （2）原式分子1化为：22sin cos αα+，进而分子分母同时除以2cos α化简为关于tan α的代数式，代入求解即可. 试题解析：(1)＝＝＝＝.(2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α＝＝＝＝＝.16．证明见解析 【解析】试题分析：方法一由2221tan tan αβ＝＋ ⇒ 222tan 1tan tan2sin221tan αββββ-+＝＝.⇒2222222222222sin tan 11tan 1sin cos cos 2sin22s 1tan 1sin tan 1sin cos 112cos in ααααααβααααααα-----++++＝＝＝＝＝－；方法二：由已知可得2212(1)tan tan αβ＋＝＋⇒222sin cos 2cos ααα+＝·22222sin cos 12cos cos cos βββαβ+＝⇒222cos cos βα＝ ，⇒2212(1)sin sin βα－＝－⇒2221sin sin βα＝－ .试题解析：方法一 ∵2221tan tan αβ＝＋，∴2tan 1tan22αβ-＝. ∵2222sin sin tan2cos 1sin βββββ-＝＝，∴22tan sin21tan βββ+＝. ∴22222222sin tan 11tan 1cos 2sin2tan 1sin tan 1112cos ααααβαααα----+++＝＝＝ 22222sin cos 2s 1sin cos in ααααα-+＝＝－. 方法二 ∵2221tan tan αβ＝＋，∴2212(1)tan tan αβ＋＝＋ ， 即222sin cos 2cos ααα+＝·222sin cos cos βββ+，即2212cos cos αβ＝， 即222cos cos βα＝ ，即2212(1)sin sin βα－＝－ ， ∴2221sin sin βα＝－. 17．（1）1；（2）1 【解析】试题分析：（1）利用立方和公式因式分解，利用221sin cos αα+=即可化简； （2）利用x tanx x sin cos =化简得x 1x 1sinx sin cos cosx-+，结合角的范围去绝对值，由221sin x cos x +=即可得解.试题解析：(1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α)＋3sin 2α·cos 2α＝cos 4α＋2sin 2αcos 2α＋sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝ 1. (2)原式＝·＝·＝·＝·. ∵x 为第二象限角，∴sin x >0，∴原式＝＝1.18．（1）（2）43-【解析】试题分析：（1）利用韦达定理，结合221sin A cos A +=列方程求解即可；（2）由51225a sinA cosA sinAcosA a⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，求解方程，利用tanA sinA cosA =求解即可.试题解析：(1)∵sin A 和cos A 是关于x 的方程25x 2－5ax －12a ＝0的两个根，∴由韦达定理得将①两边分别平方得sin 2A ＋2sin A cos A ＋cos 2A ＝a 2，即1－a ＝，解得a ＝－25或a ＝1.当a ＝－25时，sin A ＋cos A ＝－5不合题意，故a ＝1.(2)由得sin A >0，cos A <0，∴sin A ＝，cos A ＝－.∴tan A ＝＝－.。

高中数学第一章三角函数1.1.2 弧度制练习（含解析）新人教A版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.1.2 弧度制练习（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.1。

2 弧度制一、选择题:1。

与角错误!π终边相同的角是（)A．错误!π B．2kπ－错误!π（k∈Z)C．2kπ－103π(k∈Z） D．(2k＋1）π＋错误!π(k∈Z)【答案】C【解析】选项A中错误!＝2π＋错误!π,与角错误!π终边相同，故A错；2kπ－错误!π，k ∈Z，当k＝1时,得［0，2π)之间的角为错误!π，故与错误!π有相同的终边，B错；2kπ－错误!π，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)之间的角为错误!π,与错误!π有相同的终边,故C对；（2k ＋1）π＋错误!π,k∈Z，当k＝0时,得[0，2π）之间的角为错误!π，故D错．2.若α是第三象限的角，则π－错误!是( ）A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角C．第二或第三象限的角 D．第二或第四象限的角【答案】B【解析】因为α为第三象限的角，所以有2kπ＋π〈α〈2kπ＋错误!π,k∈Z，kπ＋π2〈错误!〈kπ＋错误!π，k∈Z，－kπ－错误!π<－错误!〈－kπ－错误!,k∈Z，故－kπ＋错误!〈π－错误!<－kπ＋错误!，k∈Z。

当k为偶数时,π－错误!在第一象限；当k为奇数时，π－α2在第三象限，故选B．3。

设扇形的周长为8 cm,面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】设扇形半径为r，弧长为l，由题意得错误!解得错误!则圆心角α＝错误!＝2 rad。

人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.1任意角和弧度制同步测试一、单选题（共15题；共30分）1.下列角为第二象限角的是（）A. B. C. D.2.化成弧度是（）A. B. C. D.3.与—457°角的终边相同的角的集合是（）A. B.C. D.4.把-495°表示成k×360°+θ(k∈Z)的形式，则θ可以是（）A. -135°B. 45°C. -225°D. 135°5.下列各角中与330°角的终边相同的是()A. 510°B. 150°C. －150°D. －390°6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A. B. 2 C. D.7.时间经过2h，时针转过的角是（）A. B. C. 2π D.8.下列命题正确的是（）A. 第一象限的角一定不是负角B. 小于90°的角一定是锐角C. 钝角一定是第二象限的角D. 终边相同的角一定相等9.化为弧度制为（）A. B. C. D.10.若角α是第二象限的角，则是（）A. 第一象限或第二象限的角B. 第一象限或第三象限的角C. 第二象限或第四象限的角D. 第一象限或第四象限的角11.手表时针走过2小时，时针转过的角度为（）A. 60°B. ﹣60°C. 30°D. ﹣30°12.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A. 2B. sin 2C.D. 2sin 113.在半径不等的两个圆内，1rad的圆心角（）A. 所对的弧长相等B. 所对的弦长相等C. 所对的弧长等于各自的半径D. 所对的弧长为R14.若角α与角β终边相同，则一定有（）A. α+β=180°B. α+β=0°C. α﹣β=k•360°，k∈ZD. α+β=k•360°，k∈Z15.与60°相等的弧度数是（）A. 60πB. 6πC. πD.二、填空题（共5题；共5分）16.50°化为弧度制为________17.将1440°化为弧度，结果是________18.与﹣2015°终边相同的最小正角是________19.855°角的终边在第________ 象限．20.若α是第三象限角，则是第________ 象限角．三、解答题（共5题；共25分）21.把112°30′化成弧度．22.把下列各角的弧度化为角度或把角度化为弧度：（1）﹣135°（2）．23.写出与370°23′终边相同角的集合S，并把S中在﹣720°～360°间的角写出来．24.有小于180°的正角，这个角的9倍角的终边与这个角的终边重合，求这个角的度数．25.你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】终边相同的角【解析】【分析】,的终边是第二象限角。

高中数学人教A 版必修4第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α终边经过点12P ⎫⎪⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．12BCD ．12± 2．若MP 和OM 分别是角76π的正弦线和余弦线，则（ ） A ．0MP OM <<B ．0OM MP >>C ．0OM MP <<D ．0MP OM >> 3．若23πα=，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A ．12⎛ ⎝⎭B ．12⎛- ⎝⎭C ．,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛- ⎝⎭4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能 5． 函数11sin y x =+的定义域为( ) A ．3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．|2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．{}|2,x x k k Z π≠∈D ．3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭6． 若α是第三象限角，则sin sin αα－cos cos αα＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2二、填空题7．sin750︒=______. 8． sin 1 485°的值为________．9．已知,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为____________．10． 已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则cos α＝________．三、解答题11． 求下列各式的值：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)2317cos tan 34ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.12．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α，求cos ,tan αα的值． 13．利用三角函数线，写出满足|cos α|＞|sin α|的角α的集合．参考答案1．B【解析】由于1,r OP x ===，所以由三角函数的定义可得cos 2x r α==，应选答案B ． 2．C【分析】 在单位圆中画出角76π的正弦线MP 和余弦线OM ，然后根据图形比较正弦线和余弦线的大小即可.【详解】 在单位圆中画出角76π的正弦线MP 和余弦线OM ，如图所示，则0OM MP <<. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数线的应用，考查数形结合思想的应用，属于基础题.3．B【解析】依题意，横坐标为2π1cos32=-，纵坐标为2πsin 32=. 4．B【详解】由于,αβ为三角形内角，故sin 0α>，所以cos 0β<，即β为钝角，三角形为钝角三角形，故选B .5．A【解析】 分母不能为零，即3π1sin 0,sin 1,2π2x x x k +≠≠-≠+，故选A . 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查特殊值对应的角的大小.求定义的方法主要看函数表达式中各个部分要存在需要满足的条件，常见的是分母不等于零，偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数要大于零，零次方底数不能为零.三角函数5个特殊点的三角函数值要熟记.6．A【解析】α是第三象限，故sin 0,cos 0αα<<，故原式()110=---=.7．12【解析】 试题分析：由三角函数的诱导公式得1sin 750sin(72030)sin 302︒=︒+︒=︒=. 【考点】三角函数的诱导公式【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解．8．2【解析】原式()2sin 360445sin 45=⨯+==. 9．AT >MP >OM【解析】画图图像如下图所示，由图可知，AT MP OM >>.【点睛】本题主要考查三角函数线的比较大小.首先根据题意画出角θ终边所在的位置，由终边和单位圆的交点向x 轴作垂线，交点为M ，由此可以得到正弦线为MP ，余弦线为OM ，再由单位圆与x 轴正半轴的交点作x 轴的垂线，交角的终边于T ，由此得到正切线AT ，三角函数线要注意方向与正负号.10．35【解析】 依题意可知4cos 4tan 3cos 3θαθ==--，故22222cos 19cos cos sin 1tan 25ααααα===++，由于α第四象限角，所以3cos 5α=. 11．(1)1；(2)32. 【解析】 【试题分析】（1）将角写成360k α⋅+的形式，然后利用诱导公式进行化简，最后利用特殊角的三角函数值求出结果.（2）将弧度写成2πk α⋅+的形式，并利用诱导公式进行化简，最后利用特殊角的三角函数值求出结果.【试题解析】(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1. (2)原式＝cos＋tan ＝cos ＋tan ＝＋1＝.12．1cos tan 52αα=-=. 【分析】根据三角函数的定义，利用sin α的三角函数值求得y 的值，然后利用余弦和正切的定义，求得cos ,tan αα.【详解】因为点P 到原点的距离为r ＝， 所以sin α＝＝－，所以y 2＋4＝5y 2， 所以y 2＝1.又易知y <0，所以y ＝－1，所以r ＝， 所以cos α＝＝－，tan α＝＝. 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，考查同角三角函数.根据三角函数的定义，sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=，这三个三角函数如果知道其中一个，就可以求得其它两个，要注意的是角所在的象限，本题正弦值为负数，横坐标为负数，故角为第三象限角.13．|,44k k k Z ππαπαπ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【详解】如图，作出单位圆．所以角α满足的集合为.。

1．下列命题中，正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角D ．1弧度是1度的弧与1度的角之和解析：利用弧度的概念可直接推得C 为正确选项．答案：C2．2 100°化成弧度是( )A.35π3 B ．10πC.28π3D.25π3解析：2 100°＝2 100×π180＝35π3. 答案：A3．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的面积为________．解析：扇形的面积S ＝12|α|r 2＝12×π3×62＝6π. 答案：6π4．若θ角的终边与8π5角的终边相同，在[0,2π)内与θ4角的终边相同的角是________．解析：由题设知θ＝2k π＋8π5，k ∈Z ，则θ4＝k π2＋2π5，k ∈Z.∴当k ＝0时，θ4＝2π5； 当k ＝1时，θ4＝9π10； 当k ＝2时，θ4＝7π5； 当k ＝3时，θ4＝19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π105．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求 γ角，使γ与α角的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9，∴α＝14π9＋(－3)×2π，α角与14π9的终边相同， ∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2k π＋α，k ∈Z ，α与14π9终边相同， ∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z. 又∵γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2， 当k ＝－1时，不等式成立，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.。

第一章 三角函数 1．1任意角和弧度制 练习（P5）1、锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角不属于任何一个象限，不属于任何一个象限的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角.2、三，三，五说明：本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上. 题目联系实际，把教科书中的除数360换成每个星期的天数7，利用了“同余”（这里余数是3）来确定7k 天后、7k 天前也是星期三，这样的练习不难，可以口答. 3、（1）第一象限角； （2）第四象限角； （3）第二象限角； （4）第三象限角. 4、（1）305°42′第四象限角；（2）35°8′第一象限角；（3）249°30′第三象限角. 5、（1）{130318+360,}k k Z ββ'=︒⋅︒∈，49642'-︒，13642'-︒，22318'︒； （2）{225+360,}k k Z ββ=-︒⋅︒∈，585-︒，225-︒，135︒. 练习（P9）1、（1）8π； （2）76π-； （3）203π. 2、（1）15°；（2）240-︒； （3）54°.3、（1）{,}k k Z ααπ=∈； （2）{,}2k k Z πααπ=+∈.4、（1）cos0.75cos0.75︒>； （2）tan1.2tan1.2︒<. 说明：体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同，并进一步认识两种单位制. 注意在用计算器求三角函数值之前，要先对计算器中角的模式进行设置. 如求cos0.75︒之前，要将角模式设置为DEG （角度制）；求cos0.75之前，要将角模式设置为RAD （弧度制）.5、3πm. 6、弧度数为1.2. 习题1.1 A 组（P9） 1、（1）95°，第二象限； （2）80°，第一象限； （3）23650'︒，第三象限； （4）300°，第四象限. 2、{180,}S k k Z αα==⋅︒∈.3、（1）{60360,}k k Z ββ=︒+⋅︒∈，300-︒，60︒； （2）{75360,}k k Z ββ=-︒+⋅︒∈，75-︒，285︒；（3）{82430360,}k k Z ββ'=-︒+⋅︒∈，10430'-︒，25530'︒； （4）{75360,}k k Z ββ=-︒+⋅︒∈，75-︒，285︒； （5）{90360,}k k Z ββ=︒+⋅︒∈，270-︒，90︒；（7）{180360,}k k Z ββ=︒+⋅︒∈，180-︒，180︒； （8）{360,}k k Z ββ=⋅︒∈，360-︒，0︒.说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角. 4、（2）D . 说明：因为36090360,k k k Z α⋅︒<<︒+⋅︒∈，所以18045180,2k k k Z α⋅︒<<︒+⋅︒∈当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角. 6、不等于1弧度. 这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长.7、（1）5π； （2）56π-； （3）7312π； （4）8π.8、（1）210-︒；（2）600-︒；（3）80.21︒；（4）38.2︒. 9、64°. 10、14 cm.. 习题1.1 B 组（P10）1、（1）略； （2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-. 可得0.618(2)θπθ=-，则0.764140θπ=≈︒.说明：本题是一个数学实践活动，题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足120.618S S =2、（1）时针转了120-︒，等于23π-弧度；分针转了1440-︒，等于8π-弧度. （2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数.因为分针旋转的角速度为26030ππ=（rad ∕min ） 时针旋转的角速度为21260360ππ=⨯（rad ∕min ） 所以()230360t n πππ-=，即72011t n =因为时针旋转一天所需的时间为24601440⨯=（min ）所以720144011n ≤，于是22n ≤.故时针与分针一天内只会重合22次. 2、864°，245π，151.2π cm.说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式. 当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864205π⨯︒=︒=rad.由于大齿轮的转速为3 r ∕s所以小齿轮周上一点每1 s 转过的弧长是483210.5151.220ππ⨯⨯⨯= （cm ）1．2任意角的三角函数 练习（P15）1、71sin62π=-，7cos 62π=-，7tan 63π=. 2、5sin 13θ=，12cos 13θ=-，5tan 12θ=-. 345、（1）正； （2）负； （3）零； （4）负； （5）正； （6）正. 6、（1）①③或①⑤或③⑤； （2）①④或①⑥或④⑥； （3）②④或②⑤或④⑤； （4）②③或②⑥或③⑥.7、（1）0.8746； （2； （3）0.5； （4）1.练习（P17）1、终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况，包括三角函数值的符号情况，终边相同3、解：∵sin0θ>且sin1θ≠∴θ为第一或第二象限角由22sin cos1θθ+=得222cos1sin10.350.8775θθ=-=-=（1）当θ为第一象限角cos0.94θ≈sin0.35tan0.37cos0.94θθθ=≈≈（2）当θ为第二象限角cos0.94θ≈-正切线长分别为2.5cm，4.3cm，2.9cm，其中5，2.5是准确数，其余都是近似数（图略）.3.5sin2250.75︒=-=-，3.5cos2250.75︒=-=-，tan2251︒=；sin3300.5︒=-，4.3cos3300.865︒==，2.9tan3300.585︒=-=-.4、三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念. 与三角函数的定义结合起来，可以从数和形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一等的理解容易了.4、（1）原式=sin cos sin cos θθθθ⋅=；（2）原式=22222222222cos (cos sin )cos sin 1(cos sin )2sin cos sin αααααααααα-+-==+--. 5、（1）左边=222222(sin cos )(sin cos )sin cos αααααα+-=-； （2）左边=222222sin (sin cos )cos sin cos 1αααααα++=+=.习题1.2 A 组（P20）1、（1）17sin()32π-=，171cos()32π-=，17tan()3π-=（2）21sin42π=-21cos 42π=-，21tan 14π=；（3）231sin()62π-=，23cos()62π-=，23tan()63π-=；（4）sin1500︒=1cos15002︒=，tan1500︒=2、当0a >时，4sin 5α=，3cos 5α=，4tan 3α=； 当0a <时，4sin 5α=-，3cos 5α=-，4tan 3α=.3、（1）10-； （2）15； （3）32-； （4）94-.4、（1）0； （2）2()p q -； （3）2()a b -； （4）0.5、（1）2-； （2）26、（1）负； （2）负； （3）负； （4）正； （5）负； （6）负.7、（1）正； （2）负； （3）负； （4）正.8、（1）0.9659； （2）1； （3）0.7857； （4）1.045.9、（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sin tan 0θθ⋅<.当角θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，则sin tan 0θθ⋅<； 当角θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，则sin tan 0θθ⋅<， 所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sin tan 0θθ⋅<. 再证如果sin tan 0θθ⋅<，那么角θ为第二或第三象限角.因为sin tan 0θθ⋅<，所以sin 0θ>且tan 0θ<，或sin 0θ<且tan 0θ>，当sin 0θ>且tan 0θ<时，角θ为第二象限角； 当sin 0θ<且tan 0θ>时，角θ为第三象限角； 所以如果sin tan 0θθ⋅<，那么角θ为第二或第三象限角. 综上所述，原命题成立.（其他小题同上，略）（1）解： 由22sin cos 1αα+=得2221cos 1sin 1(4αα=-=-= ∵α为第四象限角 ∴1cos 2α=sin tan 2cos ααα===（2）解： 由22sin cos 1αα+= 得2225144sin 1cos 1()13169αα=-=--= ∵α为第二象限角 ∴12sin 13α=sin 121312tan ()cos 1355ααα==⨯-=-（3）解：∵tan 0α< ∴α是第二或第四象限角 ∵sin 3tan cos 4ααα==- ∴3sin cos 4αα=- ∵22sin cos 1αα+= ∴229cos cos 116αα+=∴216cos 25α=（1）当α是第二象限角时4cos 5α=-3343sin cos ()4455αα=-=-⨯-= （2）当α是第四象限角时4cos 5α=3343sin cos 4455αα=-=-⨯=-（4）解：∵cos 0α>且cos 1α≠ ∴α是第一或第四象限角∵22sin cos 1αα+=∴222sin 1cos 10.680.5376αα=-=-=（1）当α是第一象限角时sin 0.73α=≈sin 0.73tan 1.1cos 0.68ααα=≈≈（2）当α是第四象限角时sin 0.73α=≈-sin 0.73tan 1.1cos 0.68ααα-=≈≈-10、cos 34x13、（1）左边=2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---==+-++；（2）左边=222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x x x x x x x x--=⋅=⋅=⋅； （3）左边=2212cos cos sin 22cos ββββ-++=-；（4）左边=2222222(sin cos )2sin cos 12sin cos x x x x x x +-⋅=-⋅.习题1.2 B 组（P22）1、原式=22222sin (1)cos cos sin 1cos ααααα+⋅=+=. 2、原式1sin 1sin cos cos αααα+--. ∵α为第二象限角.∴原式=1sin 1sin 11tan tan 2tan cos cos cos cos ααααααααα+--=--+-=---.3、∵tan 2α=，∴sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---.4、又如4422sin cos 12sin cos x x x x +=-⋅也是22sin cos 1x x +=的一个变形；211tan x =+是22sin cos 1x x +=和sin tan x x =的变形；等等.1、（1）4cos 9π-；（2）sin1-； （3）sin 5π-； （4）cos706'︒.2、（1）12； （2）12； （3）0.6428； （4）2-.3、（1）2sin cos αα-； （2）4sin α.4、5、（1）2tan 5π-；（2）tan7939'-︒； （3）5tan 36π-； （4）tan3528'-︒.6、（1）2-（2）2；（3）0.2116-；（4）0.7587-；（5（6）0.6475-.7、（1）2sin α； （2）21cos cos αα+. 习题1.3 A 组（P29）1、（1）cos30-︒；（2）sin8342'-︒；（3）cos6π；（4）sin3π； （5）2cos9π-；（6）cos7534'-︒；（7）tan8736'-︒；（8）tan 6π-.2、（1）2；（2）0.7193-；（3）0.0151-；（4）0.6639；（5）0.9964-；（6）3、（1）0； （2）2cos α-4、（1）sin(360)sin()sin ααα︒-=-=-360； （2）（3）略 习题1.3 B 组（P29）1、（1）1； （2）0； （3）0.2、（1）12；（2）2αα⎨⎪-⎪⎩ 当为第一象限角当为第二象限角；（3）12-；（4）αα⎪⎩ 当为第一象限角当为第二象限角.1、可以用单位圆中的三角函数作出它们的图象，也可以用“五点法”作出它们的图象，还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象. 两条曲线形状相同，位置不同，例如函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象，可以通过将函数cos y x =，3[,]22x ππ∈-的图象向右平行移动2π个单位长度而得到.2、两个函数的图象相同. 练习（P36）1、成立. 但不能说120°是正弦函数sin y x =的一个周期，因为此等式不是对x 的一切值都成立，例如sin(20120)sin 20︒+︒≠︒.2、（1）83π； （2）2π； （3）2π； （4）6π. 3、可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质，再利用函数的周期性，将所研究的性质扩展到整个定义域. 练习（P40） 1、（1）(2,2),k k k Z πππ+∈； （2）(2,2),k k k Z πππ-+∈； （3）(2,2),22k k k Z ππππ-++∈； （4）3(2,2),22k k k Z ππππ++∈.2、（1）不成立. 因为余弦函数的最大值是1，而3cos 12x =>.（2）成立. 因为2sin 0.5x =，即sin 2x =±，而正弦函数的值域是[1,1]-，[1,1]2±∈-. 3、当{2,}2x x x k k Z ππ∈=+∈时，函数取得最大值2；当{2,}2x x x k k Z ππ∈=-+∈时，函数取得最大值2-.4、B .5、（1）sin 250sin 260︒>︒； （2）1514coscos89ππ>； （3）cos515cos530︒>︒； （4）5463sin()sin()78ππ->-.6、5[,],88k k k Z ππππ++∈ 练习（P45）1、在x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心，单位长为半径作圆. 作垂直于x 轴的直径，将1O 分成左右两个半圆，过右半圆与x 轴的交点作1O 的切线，然后从圆心1O 引7条射线把右半圆分成8等份，并与切线相交，得到对应于3π-，π-，π-，0，π，π，3π等角的正切线.相应地，再把x 轴上从2π-到2π这一段分成8等份.把角x 的正切线向右平行移动，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正切线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到函数tan y x =，(,)22x ππ∈-的图象.2、（1）{,}2x k x k k Z πππ<<+∈；（2）{,}x x k k Z π=∈；（3）{,}2x k x k k Z πππ-+<<∈.3、{,}63k x x k Z ππ≠+∈ 4、（1）2π； （2）2π. 5、（1）不是. 例如0π<，但tan0tan 0π==.（2）不会. 因为对于任何区间A 来说，如果A 不含有()2k k Z ππ+∈这样的数，那么函数tan ,y x x A =∈是增函数；如果A 至少含有一个()2k k Z ππ+∈这样的数，那么在直线2x k ππ=+两侧的图象都是上升的（随自变量由小到大）.6、（1）tan138tan143︒<︒； （2）1317tan()tan()45ππ-<-. 习题1.4 A 组（P46） 1、（1）（2）2、（1）使y 取得最大值的集合是{63,}x x k k Z =+∈，最大值是32； 使y 取得最小值的集合是{6,}x x k k Z =∈，最小值是12； （2）使y 取得最大值的集合是{,}8x x k k Z ππ=+∈，最大值是3； 3π（3）使y 取得最大值的集合是{2(21),}3x x k k Z π=++∈，最大值是32； 使y 取得最小值的集合是{4,}3x x k k Z ππ=+∈，最小值是32-； （4）使y 取得最大值的集合是{4,}3x x k k Z ππ=+∈，最大值是12； 使y 取得最小值的集合是5{4,}3x x k k Z ππ=-+∈，最小值是12-. 3、（1）3π； （2）2π. 4、（1）sin10315sin16430''︒>︒； （2）4744cos()cos()109ππ->-； （3）sin508sin144︒<︒； （4）cos760cos(770)︒>-︒. 5、（1）当[2,2],22x k k k Z ππππ∈-++∈时，1sin y x =+是增函数；当3[2,2],22x k k k Z ππππ∈++∈时，1sin y x =+是减函数. （2）当[2,2],x k k k Z πππ∈-+∈时，cos y x =-是减函数； 当[2,2],x k k k Z πππ∈+∈时，cos y x =-是增函数. 6、{,}3x k k Z ππ≠+∈. 7、2π 8、（1）13tan()tan()57ππ->-； （2）tan1519tan1493︒>︒；（3）93tan 6)tan(5)1111ππ>-； （4）7tan tan 86πππ<.9、（1）{,}42x k x k k Z ππππ-+≤<+∈； （2）{,}32xk x k k Z ππππ+≤<+∈.10、由于()f x 以2为最小正周期，所以对任意x R ∈，有(2)()f x f x +=.于是：2(3)(12)(1)(11)0f f f =+==-=273331()(2)()(1)22224f f f =+==-= 11、由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为(,0)k π，k Z ∈. 正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k Z ππ=+∈.由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0).2k k Z ππ+∈，xy-2-1214321O xy 3π4π2ππ-1-2-3-44321Ox yπ22π3π3π6-0.50.5-0.10.1O对称轴的方程是,x k k Z π=∈；正切曲线的对称中心坐标为(,0).2k k Z π∈. 正切曲线不是轴对称图形.习题1.4 B 组（P47） 1、（1）2{22,}33xk x k k Z ππππ+≤≤+∈；（2）33{22,}44x k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.2、单调递减区间5(,),8282k k k Z ππππ++∈. 3、（1）2；（2）(1)y f x =+的图象如下：（3）2,[21,21],y x k x k k k Z =-∈-+∈.1．5函数sin()y A x ωϕ=+的图象练习（P55） 1、 2、（1）C ； （2）B ； （3）C .3、23A =，4T π=，14f π=24231sin sin()sin()42421sin(324y x y x y x y x ππππ=−−−−→=-−−−−−−→=-−−−−−−→=-向右平移横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变个单位纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变4、12π. 把正弦曲线在区间[,)12π+∞的部分向左平移12π个单位长度，就可得到函数sin(),[0,]12y x x π=+∈+∞的图象.习题1.5 A 组（P57） 1、（1）C ； （2）A ； （3）D . 2、（1） （2）第3（2）题（3）（4）3、（1）8A =，8T π=，8πϕ=-48sin sin()sin()8488sin()8sin()[0,)4848y x y x y x y x x y y x πππππ=−−−−→=-−−−−−−→=-−−−−−−→=-−−−−→=-∈+∞向右平移横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变个单位纵坐标伸长到原来把轴左侧的8倍，横坐标不变的部分抹去，（2）13A =，23T π=，7πϕ=17313sin sin(+)sin(3+)7711sin(3+)sin(3+)[0,)3737y y x y x y x y x y x x πππππ=−−−−→=−−−−−−→=−−−−−−→=−−−−→=∈+∞向左平移横坐标缩短到原来个单位的倍，纵坐标不变纵坐标缩短到原来把轴左侧的部分抹去的倍，横坐标不变，4、（1）150T =，50f =，5A =，3πϕ= （2）0t =时，i =；1600t =时，5i =；1150t =时，0i =； 7600t =时，5i =-；160t =时，0i =； 5、（1）2T =； （2）约24.8cm 习题1.5 B 组（P58）1、根据已知数据作出散点图.由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin(),[0,)62x y x t ππ=-∈+∞ 2、函数2sin()4h t π=+在[0,2]π上的图象为点P 的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ. 1．6三角函数模型的简单应用 练习（P65）1、乙点的位置将移至它关于x 轴的对称点处.2、如CCTV-1新闻联播节目播出的周期是1天.3、可以上网下载有关人体节律的软件，利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线，它们都是正弦型函数图象. 根据曲线不难回答题中的问题. 习题1.6 A 组（P65） 1、（1）30︒或150︒； （2）135︒； （3）45︒； （4）150︒.2、（1）43π或53π； （2）32π； （3）2π或32π； （4）4π或54π.3、5.5天；约3.7等星；约4.4等星.4、先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案.习题1.6 B 组（P66） 1、略； 2、略.第一章 复习参考题A 组（P69）1、（1）79{2,},,,4444k k Z ππππββπ=+∈-；（2）22410{2,},,,3333k k Z ββπππππ=-+∈-； （3）128212{2,},,,5555k k Z ββπππππ=+∈-；（4）{2,},2,0,2k k Z ββπππ=∈-. 2、周长约44 cm ，面积约为21.110⨯2cm .3、（1）负； （2）正； （3）负；4、解：∵cos 0ϕ>且cos 1ϕ≠∴ϕ为第一或第四象限角 ∵22sin cos 1ϕϕ+= ∴2215sin 1cos 16ϕϕ=-= （1）当ϕ为第一象限角时6、222222224=sin (sin 1)cos sin (cos )cos cos (sin 1)cos ααααααααα-+=-+=-+=原式22222722sin 2cos 2sin cos 1sin cos 2sin 2cos 2sin cos (1sin )2cos (1sin )cos (1sin cos )αααααααααααααααα=-+-=++-+-=-+-+=-+=、(1)原式 右边222222222sin (1sin )sin cos cos cos (sin cos )sin 1αββαββααβ=-++=++==(2)原式 右边8、（1）4sin 2cos 4tan 243255cos 3sin 53tan 5337αααααα--⨯-===+++⨯；（2）2222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 13110αααααααα====+++； （3）22222222(sin cos )(tan 1)(31)8(sin cos )sin cos tan 1315αααααααα++++====+++. 9、（1）0； （2）1.0771.10、（1）当α为第一象限角时，cos(2)πα-=，当α为第二象限角时，cos(2)πα-=；（2）当α为第一象限角时，tan(7)απ-=，当α为第二象限角时，tan(7)απ-=.11、（1）tan11110.601︒=，sin378210.315'︒=，cos642.50.216︒=； （2）sin(879)0.358-︒=-，33tan()0.4148π-=-，13cos()0.58810π-=-；（3）sin30.141=，cos(sin 2)0.614=.12、13、（1）因为cos x =或cos x =1>,1-，所以原式不能成立. （2）因为sin x =1<，所以原式有可能成立.14、（11π，此时x 的集合为{2,}2x x k k Z ππ=+∈.1π，此时x 的集合为{2,}2x x k k Z ππ=-+∈.（2）最大值为5，此时x 的集合为{2,}x x k k Z ππ=+∈. 最小值为1，此时x 的集合为{2,}x x k k Z π=∈. 15、（1）3{2}2x x ππ≤≤；（2）{}2x x ππ≤≤；（3）{0}2x x π≤≤；（4）3{}2x x ππ≤≤.16、（1）（2）（3） （4）17、（1）（图略）（2）由sin()sin x x π-=，可知函数sin ,[0,]y x x π=∈的图象关于直线2x=对称，据此可得函数sin ,[,]2y x x ππ=∈的图象；又由sin(2)sin x x π-=-，可知sin ,[0,2]y x x π=∈的图象关于点(,0)π对称，据此可得出函数sin ,[,2]y x x ππ=∈的图象.（3）先把y 轴向右（当0ϕ>时）或向左（当0ϕ<时）平行移动ϕ个单位长度，再把x 轴向下（当0k >时）或向上（当0k <时）平行移动k 个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0,2]π之外的部分，便得出函数sin(),[0,2]y x k x ϕπ=++∈的图象.18、（1）21,,56A T ππϕ===. 165sin ,sin(+),sin(5+),67y x x R y x x R y x x R πππ=∈−−−−→=∈−−−−−−→=∈向左平移横坐标缩短到原来个单位的倍，纵坐标不变 （2）2,12,0A T πϕ===.6211sin ,sin ,2sin ,66y x x R y x x R y x x R =∈−−−−−−→=∈−−−−−−→=∈横坐标伸长到原来纵坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变的倍，横坐标不变第一章 复习参考题B 组（P71）1、（1）342k k παπππ+<<+，所以2α的终边在第二或第四象限； （2）9012030901203k k α︒+⋅︒<<︒+︒+⋅︒，所以3α的终边在第二、第三或第四象限； （3）34244k k ππαππ+<<+,所以2α的终边在第三或第四象限,也可在y 轴的负半轴上. 2、约143︒3、解：原式1sin 1cos cos sin cos sin cos sin αααααααα--==⋅+⋅∵α为第二象限角∴原式1sin 1cos cos ()sin 1sin 1cos sin cos cos sin αααααααααα--=⋅-+⋅=-++-=-. 4、（1）12sin 2cos tan 25315cos sin 5tan 165()3αααααα-+++===----；（2）2222221()11sin cos tan 110312sin cos cos 2sin cos cos 2tan 132()13αααααααααα-+++====+++⨯-+. 5、左边22sin cos sin cos 2sin cos 1sin cos αααααααα++++=++2(sin cos )sin cos 1sin cos (sin cos )(sin cos 1)1sin cos sin cos αααααααααααααα+++=+++++=++=+=右边. 6、将已知条件代入左边，得：左边=22222222222tan 1sin 1sin 1cos cos cos cos a b a b θθθθθθθ--=-== 7、将已知条件代入左边，得：左边=22222[(tan sin )(tan sin )]16tan sin θθθθθθ+--= 再将已知条件代入右边，得：右边=16(tan sin )(tan sin )θθθθ+-2216(tan sin )θθ=-2222222sin sin cos sin sin 1616cos cos θθθθθθθ-⋅=⨯=⨯ 2216tan sin θθ=⋅. 所以，左边=右边8、（1）2[,],63k k k Z ππππ++∈； （2）272[,],43123k k k Z ππππ++∈.9、（1）表示以原点为圆心，r 为半径的圆. （2）表示以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆.第二章 平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB ，BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =， 2.5CD =，3EF =，22GH =4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE 相等的向量有：,AF FC ；与EF 相等的向量有：,BD DA ； 与FD 相等的向量有：,CE EB .4、与a 相等的向量有：,,CO QP SR ；与b 相等的向量有：,PM DO ； 与c 相等的向量有：,,DC RQ ST5、332AD =. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×. 习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD 同向的共有3对，与AD 反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA ； （2）CB .4、（1）c ； （2）f ； （3）f ； （4）g . 练习（P87）1、图略.2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略.水流方向CDA B 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =，27BC AB =-.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向.3、（1）2b a =； （2）74b a =-； （3）12b a =-； （4）89b a =.4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -； （2）111123a b -+； （3）2ya . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ； （3）向东北走102km ； （4）向西南走52km ；（5）向西北走102km ；（6）向东南走102km.2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =，2AD =， 所以222282217AC AB AD =+=+=因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是217km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、（1）0； （2）AB ； （3）BA ； （4）0； （5）0； （6）CB ； （7）0. 5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略.8、（1）略； （2）当a b ⊥时，a b a b +=-9、（1）22a b --； （2）102210a b c -+； （3）132a b +； （4）2()x y b -.10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-，DC b a =-，BC a b =--.12、14AE b =，BC b a =-，1()4DE b a =-，34DB a =， （第11题）34EC b =，1()8DN b a =-，11()48AN AM a b ==+.13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =， 即12EF AC =；同理，12HG AC =，所以EF HG =.习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC =，13AM AB =， 所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.证明：∵AB DC =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形. 证明：因为OA OB BA -=，OD OC CD -= 而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =，即AB ∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形. 2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）（第1题）（第4题(2)）（第4题(3)）（第5题）1、（1）(3,6)a b +=，(7,2)a b -=-； （2）(1,11)a b +=，(7,5)a b -=-； （3）(0,0)a b +=，(4,6)a b -=； （4）(3,4)a b +=，(3,4)a b -=-.2、24(6,8)a b -+=--，43(12,5)a b +=.3、（1）(3,4)AB =，(3,4)BA =--； （2）(9,1)AB =-，(9,1)BA =-； （3）(0,2)AB =，(0,2)BA =-； （4）(5,0)AB =，(5,0)BA =-4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =.所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，得32AP PB =-(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=3、解法一：(1,2)OA =--，(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5). 解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++，(53,6(1))(2,7)BC =---=由AD BC =可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =，(2,4)AB =-.1(1,2)2AC AB ==-，2(4,8)AD AB ==-，1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)OC OA AC =+=，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-. 6、(4,4)AB =，(8,8)CD =--，2CD AB =-，所以AB 与CD 共线. 7、2(2,4)OA OA '==，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)OB OB '==-，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=- 习题2.3 B 组（P101） 1、(1,2)OA =，(3,3)AB =.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==，所以(4,5)P ； 当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=，所以57(,)22P ； 当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--，所以(5,4)P --； 当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--，(1,1.5)AC =，所以4AB AC =-，所以A 、B 、C 三点共线； （2）因为(1.5,2)PQ =-，(6,8)PR =-，所以4PR PQ =，所以P 、Q 、R 三点共线； （3）因为(8,4)EF =--，(1,0.5)EG =--，所以8EF EG =，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=，得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）19OP = （2）对于任意向量12OP xe ye =+，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积 练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=. 2、当0a b ⋅<时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略 练习（P107）1、2(3)5a =-=，252b =+=35427a b ⋅=-⨯+⨯=-.2、8a b ⋅=，()()7a b a b +-=-，()0a b c ⋅+=，2()49a b +=.3、1a b ⋅=，13a =，74b =，88θ≈︒. 习题2.4 A 组（P108）1、63a b ⋅=-222()225a b a a b b +=+⋅+=-25a b +=-2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=，22235a b a a b b -=-⋅+=. 4、证法一：设a 与b 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为θ，所以 ()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== ()cos a b a b λλθ⋅=()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）当0λ<时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=- 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=，于是可得6a b ⋅=-，1cos 2a ba bθ⋅==-，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=，(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-∴AB DC =，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯= ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =，则2292x y yx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是35(,a =或35(,55a =--. 11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y =，则221420x y xy ⎧+=⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 于是5(,)55e =-或5(,55e =-. 习题2.4 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+，1313a c x x y y ⋅=+由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-= 而2323(,)b c x x y y -=--，所以()0a b c ⋅-= 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=， 即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+.3、证明：构造向量(,)u a b =，(,)v c d =.cos ,u v u v u v ⋅=<>，所以,ac bd u v +=<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，而AM BAC AC∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅==5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=证明：∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+. 由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅= ∴222CA CB AB +=（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+，,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -= ∴0AC DB ⋅=，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-，所以22AC BD =，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例 习题2.5 A 组（P113） 1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩（第4题）代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =. 2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+（2）因为1()2AE a b =+所以23AO AE =，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE =同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD ===3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-； （2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v ⋅=. 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为θ，则31F =+，30θ=︒； 331F =+，3F 与1F 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos x v v θ=，0sin y v v θ=.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v gθ，最大投掷距离为20sin 2v gθ.2、解：设1v 与2v 的夹角为θ，合速度为v ，2v 与v 的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v vvθθα==，0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin d vθ=. 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--. (2,22)AB =-.ODFEABC（第2题）（第4题）将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y '' 则cos sin 44sin cos44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()22()2x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-，1()2AD a b =+4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+2233AD a b =+，1133BC a b =+1133EF a b =--，1233FA DC a b ==-1233CD a b =-+，2133AB a b =-CE a b =-+5、（1）(8,8)AB =-，82AB =；（2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =-； （3）33OA OB ⋅=. 6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线. 7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===（第4题）11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=，所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=，1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b +=+=++⋅，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅. 因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，于是22a b a b a b +=+=-. 再证a b a b a b +=-⇒⊥.由于222a b a a b b +=+⋅+，222a b a a b b -=-⋅+ 由a b a b +=-可得0a b ⋅=，于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=- 又a b =，所以0c d ⋅=，所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】4、12AD AB BC CD a b =++=+，1142AE a b =+而34EF a =，14EM a =，所以1111()4242AM AE EM a b a a b =+=++=+5、证明：如图所示，12OD OP OP =+，由于1230OP OP OP ++=，所以3OP OD =-，1OD = 所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.（第3题）DOP 3P P 2（第5题）（第6题）6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，222MN AB b a ==-. 7、（18（千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为 沿与水流方向成90︒+. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅，所以()0OB OA OC ⋅-=，所以0OB CA ⋅= 同理，0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =第三章 三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=. 4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β===所以32cos()cos cos sin sin ((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=.练习（P131）1、（1（2（3（4）22、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ===；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-；所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅. 5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+；（3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-；（4）原式=12(cos )cos sin sin ))2333x x x x x πππ=-=+.7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β=-.因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=. 练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得3sin 85α==-，3sin385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---=2232tan23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α===，所以sin tan (2)cos ααα==-=。

1.1.2弧度制1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数.(重点、难点)3.“角度制”与“弧度制”的区别与联系.(易错点)[基础·初探]教材整理1角度制与弧度制的定义阅读教材P6～P7第三行以上内容，完成下列问题.1. 角度制与弧度制的定义如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度是1度的圆心角所对的弧.()(2)1弧度是长度为半径的弧.()(3)1弧度是1度的弧与1度的角之和.()(4)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.() 【解析】根据弧度制的定义知(4)正确.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√教材整理2角度制与弧度制的换算阅读教材P7第四行至P8例3以上内容，完成下列问题.1.角度与弧度的互化2.将下列角度与弧度进行互化.(1)20°＝________；(2)－15°＝________； (3)7π12＝________；(4)－115π＝________. 【解析】 (1)20°＝20×π180＝π9；(2)－15°＝－15×π180＝－π12；(3)712π＝712π×⎝⎛⎭⎫180π°＝105°；(4)－115π＝－115π×⎝⎛⎭⎫180π°＝－396°. 【答案】 (1)π9 (2)－π12 (3)105° (4)－396°教材整理3 扇形的弧长与面积公式 阅读教材P 8例3内容，完成下列问题.设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________.【解析】 扇形的面积为12×62×π3＝6π.【答案】 6π[小组合作型]角度与弧度的互化与应用(1)把－157°30′化成弧度为________，－5π12化成度为________.(2)在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________.(用弧度表示)【精彩点拨】 在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住π rad ＝180°，1°＝π180 rad 这一关系.【自主解答】 (1)－157°30′＝－157.5°＝－3152×π180 rad ＝－78π rad.－5π12＝－5π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－75°. (2)因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z ). 当k ＝0时，θ＝72°＝25π；当k ＝1时，θ＝432°＝125π， 所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有25π，125π.【答案】 (1)－78π，－75°(2)25π，125π角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式π rad ＝180°是关键；(2)方法：度数×π180＝弧度数；弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数；(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.[再练一题]1.把56°15′化为弧度是( ) 【导学号：00680003】 A.5π8 B.5π4 C.5π6D.5π16【解析】 56°15′＝56.25°＝2254×π180 rad ＝5π16rad. 【答案】 D用弧度数表示角(1)与角23π终边相同的角是( )A.113π B.2k π－23π(k ∈Z )C.2k π－103π(k ∈Z )D.(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )(2)若α是第三象限的角，则π－α2是( )A.第一或第二象限的角B.第一或第三象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角【精彩点拨】 (1)可把选择题中角写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))形式来判断； (2)可由α范围写出π－α2范围后，根据k 为奇数或偶数来确定π－α2终边位置.【自主解答】 (1)A 中，11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A 错；B 中，2k π－23π，k∈Z ，当k ＝1时，得[0,2π)之间的角为43π，故与43π有相同的终边，B 错；C 中，2k π－103π，k ∈Z ，当k ＝2时，得[0,2π)之间的角为23π，与23π有相同的终边，故C 对；D 中，(2k ＋1)π＋23π，k ∈Z ，当k ＝0时，得[0,2π)之间的角为53π，故D 错. (2)因为α为第三象限的角，所以有2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ，k π＋π2<α2<k π＋34π，k ∈Z ，－k π－34π<－α2<－k π－π2，k ∈Z ，故－k π＋π4<π－α2<－k π＋π2，k ∈Z .当k 为偶数时，π－α2在第一象限；当k 为奇数时，π－α2在第三象限，故选B.【答案】 (1)C (2)B1.弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.2.确定角范围时，k 的值的取法：在表示角或角的范围时，通常会用到k ，如α＝π4＋2k π(k ∈Z )①，k π－π3<β<k π－π6，k ∈Z②，在确定角α或β的范围时，要根据k 的系数来取值，如①中k 的系数为2π，则取k 的任一个值如0，得α＝π4在第一象限.②中k 的系数为π，则要分k 为奇数、偶数两种情况取值.k为奇数时，取k ＝1，得β∈⎝⎛⎭⎫23π，56π，在第二象限；k 为偶数时，取k ＝0，得β∈⎝⎛⎭⎫－π3，－π6，在第四象限，则β为第二或第四象限的角.[再练一题]2.用弧度表示终边落在如图1-1-6所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.图1-1-6【解】 因为30°＝π6 rad,210°＝7π6rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z .[探究共研型]弧长公式与扇形面积公式的应用探究1 用公式|α|＝lr求圆心角时，应注意什么问题？【提示】 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负.探究2 在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？【提示】 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错.(1)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) 【导学号：70512003】A.1 radB.2 radC.3 radD.4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【精彩点拨】 (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解.【自主解答】 (1)设扇形半径为r ，弧长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12l ·r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4，r ＝2，则圆心角α＝lr＝2 rad.【答案】 B(2)设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)，∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2， 此时α＝l r ＝20－2×55＝2 rad.∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为25 cm 2.弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr .(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式. (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.[再练一题]3.已知一扇形的圆心角为α，所在圆半径为R ，周长为4R ，则扇形中所含弓形的面积是________.【解析】 由周长为4R 可知扇形的弧长为2R ，面积为S ＝12lR ＝12·2R ·R ＝R 2，圆心角弧度数为|α|＝l R ＝2RR ＝2，所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为R cos 1，底为2R sin 1，所以此三角形面积为S 1＝12·R cos 1·2R sin 1＝R 2sin 1cos 1，从而弓形面积为S 2＝S －S 1＝R 2(1－sin1cos 1).【答案】 R 2(1－sin 1cos 1)1.下列转化结果错误的是( ) A.22°30′化成弧度是π8B.－10π3化成度是－600°C.－150°化成弧度是－7π6D.π12化成度是15° 【解析】 对于A,22°30′＝22.5×π180＝π8，正确；对于B ，－10π3＝⎝⎛⎭⎫－10π3×180π°＝－600°，正确；对于C ，－150°＝－150×π180＝－5π6，错误；对于D ，π12＝⎝⎛⎭⎫π12×180π°＝15°，正确.【答案】 C2.正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( ) A.⎝⎛⎭⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) D.⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 【解析】 B 中，k ＝1时为⎝⎛⎭⎫π，32π，显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角，故C ，D 均错，只有A 正确.【答案】 A3.与30°角终边相同的角的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B.{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C.{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈Z 【解析】 ∵30°＝30×π180 rad ＝π6rad ，∴与30°终边相同的所有角可表示为α＝2k π＋π6，k ∈Z ，故选D.【答案】 D4.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )【导学号：00680004】A.403πB.203πC.2003π D.4003π 【解析】 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，选A.【答案】 A5.一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数. 【解】 设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α， 则2R ＋l ＝4.①由扇形的面积公式S ＝12lR ，得12lR ＝1.②由①②得R ＝1，l ＝2，∴α＝lR ＝2 rad.∴扇形的圆心角为2 rad.。