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第1讲 三角函数的图象与性质1．(2016·四川)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度答案 D解析 由题意可知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，故选D. 2．(2016·课标全国甲)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 答案 B解析 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 3．(2016·课标全国乙)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B. 4．(2016·江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________． 答案 7解析 在区间[0,3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12) (2)(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 答案 (1)A (2)－1解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1，∴原式＝－－1－2＋1＝－1. 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4(2)如图，以Ox 为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.答案 (1)D (2)1825解析 (1)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.(2)由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αα＋cosαsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.热点二 三角函数的图象及应用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y ＝sin x―――――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)10sin()y x ωωωϕ>−−−−−−−−→横坐标变为原来的()倍纵坐标不变＝＋ ―――――――――――→纵坐标变为原来的A A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 例2 (1)(2015·山东)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则f (π3)的值为________．答案 (1)B (2)1解析 (1)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． (2)根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点(π6，2)，所以有sin(2×π6＋φ)＝1，而0<φ<π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin(2x ＋π6)，因此f (π3)＝2sin(2π3＋π6)＝1.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度(2)(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 (1)A (2)C解析 (1)由题意知，函数f (x )的周期T ＝π， 所以ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝cos 2x .把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin[2(x ＋π12)＋π3]，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象．故选A.(2)由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.热点三 三角函数的性质1．三角函数的单调区间：y ＝sin x 的单调递增区间是[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )； y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的递增区间是(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．例3 (2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减． 思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )单调递增．所以[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )为f (x )的单调递增区间．(2)当x ∈[0，π6]时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin(2x ＋π4)＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )， 故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错． 答案 A解析 先求出周期确定ω，求出两个函数解析式，然后结合平移法则求解． 由于函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin[2(x ＋3π20)＋π5]，所以要得到函数g (x )的图象，只要将f (x )的图象向左平移3π20个单位长度．故选A.2．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.833 B.1633 C ．8 D ．16押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A ，考查了数形结合思想． 答案 B解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)． 则M (a 2，－a2)，由两点间距离公式得，PM ＝－a22＋a22＝25，解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得，T2＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)得，f (x )＝A sin(π6x －π3)，从而f (0)＝A sin(－π3)＝－8，得A ＝1633.3．已知函数f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx － 3 (a >0，ω>0)的最大值为2，x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R |f (x )＝0}中的任意两个元素，且|x 1－x 2|的最小值为6.(1)求函数f (x )的解析式及其图象的对称轴方程；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2]时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式．解 (1)f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx . 由题意知f (x )的最小正周期为12， 则2π2ω＝12，得ω＝π12. 由f (x )的最大值为2，得a 2＋3＝2， 又a >0，所以a ＝1. 于是所求函数的解析式为f (x )＝sin π6x ＋3cos π6x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3，令π6x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )， 解得x ＝1＋6k (k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝1＋6k (k ∈Z )． (2)由题意可得g (x )＝2sin[π6(x －2)＋π3]＝2sin π6x ，所以h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x＝2sin2π6x ＋23sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x ＋3sin π3x＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.当x ∈(－1,2]时，π3x －π6∈(－π2，π2]，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,1]，即1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,3]，于是函数h (x )的值域为(－1,3]．A 组 专题通关1．若0≤sin α≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋2k π，－7π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋2k π，－π＋2k π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )答案 A解析根据题意并结合正弦线可知，α满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )，∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π.故选A.2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数为( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3 答案 C解析 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为y ＝cos[3(x ＋π3)－π3]＝cos(3x ＋2π3)，故选C.3．已知tan α＝3，则π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值为( ) A ．－13B ．－3C.13 D ．3答案 A 解析π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－13. 4．已知角α的终边经过点A (－3，a )，若点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 由条件，得抛物线的准线方程为y ＝1，因为点A (－3，a )在抛物线y ＝－14x 2的准线上，所以a ＝1，所以点A (－3，1)，所以sin α＝13＋1＝12. 5.函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)的值为( )A ．0B ．3 2C ．6 2D ．－ 2答案 A解析 由图可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 015＝8×251＋7，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝0.6．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为________．答案 2＋ 3 解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，因此当πx 6－π3＝π2时，函数y ＝2sin(πx 6－π3)取得最大值，即y max ＝2×1＝2.当πx 6－π3＝－π3时，函数y ＝2sin(πx 6－π3)取得最小值， 即y min ＝2sin(－π3)＝－3，因此y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为2＋ 3.7．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．答案 [－32，3]解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)，那么当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈[－32，3]．8．已知α是三角形的内角，若sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.答案 －43解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＋cos α＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45.因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝－43.方法二 由已知得(sin α＋cos α)2＝125，化简得2sin αcos α＝－2425，则可知角α是第二象限角，且(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，由于sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝75，将该式与sin α＋cos α＝15联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝－43.9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若f (α)＝35，其中π4<α<3π4，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值；(2)设g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值和最小值．解 (1)因为f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，且0<α－π4<π2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. (2)g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x .x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.则当x ＝0时，g (x )的最大值为12；当x ＝π3时，g (x )的最小值为－14.10．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . B 组 能力提高11．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是( )A ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]答案 D解析 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin[2(x ＋π6)＋π6]＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x .画出g (x )的部分图象，如图所示．由图可知，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，A 错误；其图象的一个对称中心为(－π4，0)，B 错误；函数g (x )为偶函数，C 错误；又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＝1，g ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＝－1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2＝－2， 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]，D 正确．故选D.12．(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析 由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.13．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则f (12)＝________.答案22解析 由已知得△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB ＝90°，所以12|AB |＝f (x )max －f (x )min ＝1－(－1)＝2，即|AB |＝4，而T ＝|AB |＝2πω＝4，解得ω＝π2.所以f (x )＝sin πx 2，所以f (12)＝sin π4＝22.14．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π4)(A >0，ω>0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g (17π4)． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈[a ，π3)时，h (x )有最小值为3，求a 的值．解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2，所以ω＝1.又A ＝2g (17π4)＝2tan 174π＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin(x ＋π4)．令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间为[2k π－3π4，2k π＋π4](k ∈Z )．(2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4×sin 2(x ＋π4)＋23cos 2x ＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋3(cos 2x ＋1) ＝3＋3＋23sin(2x ＋π6)，又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin(2x ＋π6)＝3，即sin(2x ＋π6)＝－12.因为x ∈[a ，π3)，所以2x ＋π6∈[2a ＋π6，5π6)，π6＝－π6，即a＝－π6.所以2a＋。
限时速解训练九 三角函数图象与性质(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x2cos x 2的最小正周期是( )A.π4 B.π2 C ．πD ．2π解析：选C.函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x2cos x 2＝12|sin x |的最小正周期T ＝π，故选C.2．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4(x ∈R )的图象为C ，则下列表述正确的是( ) A ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0是C 的一个对称中心B ．直线x ＝π2是C 的一条对称轴C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是C 的一个对称中心 D ．直线x ＝π8是C 的一条对称轴解析：选D.令2x ＋π4＝k π，k ∈Z 得x ＝－π8＋k π2，k ∈Z ，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k π2，0，k ∈Z ，排除A 、C.令2x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称轴为x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，排除B ，故选D.3．(2016·江西八所重点学校联考)函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值为( )A. 2 B ．3 2 C ．6 2D ．－ 2解析：选A.由图象可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 017＝8×252＋1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝ 2.4．函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0 D ．－2或0解析：选B.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 得x ＝π4是函数f (x )的一条对称轴，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±2，故选B.5．若函数y ＝f (x )的最小正周期为π，且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则f (x )的解析式可以是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin 2x －1D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：选D.依次判断各选项，A 项周期不符；B 项函数图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称；C错，因为y ＝2sin 2x －1＝－cos 2x ，同样点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0不是图象的对称中心，故选D.6．已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，74C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，94 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74 解析：选D.函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，其中k ∈Z .依题意，则有－π＋2k π≤ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4≤2k π(ω＞0)得4k －52≤ω≤2k －14，由⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0且4k －52＞0得k ＝1，因此ω的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74，故选D.7．为了得到函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可将函数g (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 的图象( )A ．向左平移π3B ．向右平移π3C ．向左平移π6D ．向右平移π6解析：选D.依题意得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，因此为了得到函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可将函数g (x )的图象向右平移π6个单位长度，故选D.8．将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称解析：选B.依题意，得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，故函数g (x )图象的对称轴为x ＝π4＋k π2(k ∈Z )，故A 错误；因为g (－x )＝－sin 2x ＝－g (x )，故函数g (x )为奇函数，函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，－14π上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－14π，14π上单调递增，故B 正确，C 错误；因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫38π＝sin 34π＝22≠0，故D 错误．综上所述，故选B. 9．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( ) A ．－ 3 B.33C. 3D ．1解析：选C.因为f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，πω＝π2，ω＝2，则f (x )＝tan 2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝3，故选C.10．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为( )A.π6 B.π3 C.5π12D.7π12解析：选A.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位，得到的图象对应的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π3，因为图象关于原点对称，所以－2φ＋π3＝k π，k ∈Z ，所以φ＝π6－k π，k ∈Z ，则当k ＝0时，φ取得最小正值π6，故选A.11．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝( ) A ．－32 B ．－16 C ．16D ．32解析：选D.因为当－2＜x ＜10时，0＜π6x ＋π3＜2π，故令f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3＝0，则π6x ＋π3＝π，解得x ＝4，由正弦函数的对称性可知点B ，C 关于点A (4,0)成中心对称，故有(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝32，故选D.12．已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时有极大值，且f (x －β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为( ) A.π6，－π12 B.π6，π12 C.π3，－π6D.π3，π6解析：选D.依题意得2×π12＋α＝2k 1π＋π2，即α＝2k 1π＋π3，k 1∈Z ，A ，B 均不正确．由f (x －β)是奇函数得f (－x －β)＝－f (x －β)，即f (－x －β)＋f (x －β)＝0，函数f (x )的图象关于点(－β，0)对称，f (－β)＝0，sin(－2β＋α)＝0，sin(2β－α)＝0,2β－α＝k 2π，k 2∈Z ，结合选项C ，D 取α＝π3得β＝k 2π2＋π6，k 2∈Z ，故选D.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间即为0≤x ＋π3≤π2与x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的交集，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π614．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.若y ＝f (x －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2是偶函数，则φ＝________.解析：利用偶函数定义求解．y ＝f (x －φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －φ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6是偶函数，所以－2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－π6－k π2，k ∈Z .又0＜φ＜π2，所以k ＝－1，φ＝π3.答案：π315．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，ω＞0的图象向左平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋ω－1π4，ω＞0，向右平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx －ω＋1π4，ω＞0.因为平移后的对称轴重合，所以ωx ＋ω－1π4＝ωx －ω＋1π4＋k π，k ∈Z ，化简得ω＝2k ，k ∈Z ，又ω＞0，所以ω的最小值为2.答案：216．已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中正确的是________(填入正确结论的序号)． ①y ＝f (x )的图象关于点(2π，0)中心对称； ②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π对称； ③f (x )的最大值为32； ④f (x )既是奇函数，又是周期函数．解析：依题意，对于①，f (4π－x )＝cos(4π－x )·sin[2(4π－x )]＝－cos x ·sin 2x ＝－f (x )，因此函数y ＝f (x )的图象关于点(2π，0)中心对称，①正确；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，f ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π4＝－22，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，函数y ＝f (x )的图象不关于直线x ＝π对称，②不正确；对于③，f (x )＝2sin x cos 2x ＝2(sin x －sin 3x )； 令t ＝sin x ，则y ＝2(t －t 3)，t ∈[－1,1]，y ′＝2(1－3t 2)，当－33＜t ＜33时，y ′＞0；当－1≤t ＜－33或33＜t ≤1时，y ′＜0，因此函数y ＝2(t －t 3)在[－1,1]上的最大值是 y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤33－⎝ ⎛⎭⎪⎫333＝439，即函数f (x )的最大值是439，③不正确；对于④，f (－x )＝－f (x )，且f (2π＋x )＝2sin(2π＋x )cos 2(2π＋x )＝2sin x cos 2x ＝f (x )，因此函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，④正确．综上所述，其中正确的结论是①④. 答案：①④。
限时速解训练七 导数及其应用(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．设函数f (x )＝x 24－a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.f ′(x )＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a2＝3，因此a ＝－4.2．曲线y ＝e x在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B.设A (x 0，e x 0)，y ′＝e x，∴y ′|x ＝x 0＝e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k ＝e x 0.由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0＝1，∴x 0＝0，∴A (0,1)．故选B.3．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选D.若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，从而c ＞32或c ＜－32. 4．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有fx 1－f x 2x 1－x 2≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x )＝a x＋x ≥2.可得x ＝a 时，f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.5．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( ) A ．15 B ．16 C ．17D ．18解析：选D.x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，即x ＝2是f ′(x )＝3x 2－3a ＝0的根，将x ＝2代入得a ＝4，所以函数解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时函数f (x )取得极大值f (－2)＝18，故选D. 6．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，－2) C ．(－2，－1)D ．(－2,0)解析：选D.设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数单调减区间为(－2,0)故选D.7．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：选C.f ′(x )＝4x －1x＝x －x ＋x，∵x ＞0，由f ′(x )＝0得x ＝12.∴令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.故C 正确．8．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④⑤D ．③解析：选D.当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f (x )无极值，⑤错．故选D.9．函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1,2) C ．(－1,3]D ．(－1,2]解析：选D.由题知f ′(x )＝3－3x 2，令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜1；令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞1，由此得函数在(－∞，－1)上是减函数，在(－1,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，故函数在x ＝－1处取到极小值－2，判断知此极小值必是区间(a 2－12，a )上的最小值，∴a 2－12＜－1＜a ，解得－1＜a ＜11，又当x ＝2时，f (2)＝－2，故有a ≤2.综上知a ∈(－1,2]，故选D.10．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x＋1的解集为( ) A ．{x |x >0} B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1，或x <－1}解析：选A.设h (x )＝e x f (x )－e x －1，则不等式e x f (x )＞e x＋1的解集就是h (x )＞0的解集．h (0)＝1×2－1－1＝0，h ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x.∵f (x )＋f ′(x )＞1，∴对于任意x ∈R ，e x [f (x )＋f ′(x )]＞e x ，∴h ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x＞0，即h (x )在R 上单调递增． ∵h (0)＝0，∴当x ＜0时，h (x )＜0；当x ＞0时，h (x )＞0.∴不等式e x f (x )＞e x＋1的解集为{x |x ＞0}．11．已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，a ＝20.2·f (20.2)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 39·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＞a ＞c B ．c ＞a ＞b C ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：选A.因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0，所以函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1＜20.2＜2,0＜log π3＜1，log 39＝2，所以0＜log π3＜20.2＜log 39，所以b ＞a ＞c ，选A.12．设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 解析：选D.设g (x )＝f (x )＋x ，依题意，存在x ∈[1,4]，使g (x )＝f (x )＋x ＝ax 2－2x －a ＋52＝0. 当x ＝1时，g (1)＝12≠0；当x ≠1时，由ax 2－2x －a ＋52＝0，得a ＝4x －5x 2－.设h (x )＝4x －5x 2－(1＜x ≤4)，则由h ′(x )＝－2x 2＋5x －2x 2－2＝0得x ＝2或x ＝12(舍去)．当x ∈(1,2)时，h ′(x )＞0；当x ∈(2,4)时，h ′(x )＜0，即函数h (x )在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数， 因此当x ＝2时，h (x )取得最大值，最大值是h (2)＝12，故满足题意的实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，故选D. 二、填空题(把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝x 2＋3x －2ln x ，则函数f (x )的单调递减区间为________．解析：函数f (x )＝x 2＋3x －2ln x 的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x ＋3－2x ，令2x ＋3－2x＜0，即2x 2＋3x －2＜0，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.又x ∈(0，＋∞)，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.14．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的最大值是________．解析：函数的定义域是x ＋2＞0，即x ＞－2，而f ′(x )＝－x ＋bx ＋2＝－x 2－2x ＋bx ＋2.因为x＋2＞0，函数f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，即－x 2－2x ＋b ≤0在x∈(－1，＋∞)上恒成立，得b ≤x 2＋2x 在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈(－1，＋∞)，g (x )＞g (－1)＝－1，所以b ≤－1.所以b 的最大值为－1. 15．若方程kx －ln x ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是________． 解析：令y ＝kx ，y ＝ln x .若方程kx －ln x ＝0有两个实数根，则直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有两个不同交点．故直线y ＝kx 应介于x 轴和曲线y ＝ln x 过原点的切线之间． 设曲线y ＝ln x 过原点的切线的切点为(x 0，ln x 0)，又y ′|x ＝x 0＝1x 0，故切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，将原点代入得，x 0＝e ，此时y ′|x＝x 0＝1x 0＝1e ，故所求k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 16．已知函数f (x )的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若f (x )＝x ＋m －ln x 的保值区间是[e ，＋∞)，则m 的值为________． 解析：由函数f (x )＝x ＋m －ln x 知，x ＞0， 所以由f ′(x )＝1－1x＞0，得x ＞1，即函数f (x )＝x ＋m －ln x 的递增区间为(1，＋∞)，因为f (x )＝x ＋m －ln x 的保值区间是[e ，＋∞)，且函数在[e ，＋∞)上单调递增，所以f (e)＝e ，即f (e)＝e ＋m －ln e ＝e ，即m ＝ln e ＝1. 答案：1。
题型专题(十二) 三角恒等变换与解三角形[师说考点]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [典例] (1)(2016²全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________．[解析] 由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45³53＝－43.[答案] －43(2)(2016²河南六市联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________．[解析] 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sinα＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. [答案] －45[类题通法]三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．[演练冲关]1．(2016²贵阳模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝513，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－717 B.177 C.717 D ．－177解析：选C 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1213，所以tan α＝－512，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－512＋11＋512＝717.2．(2016²东北四市联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：选D ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－(12－32)cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0.[师说考点]1．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 2．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.3．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .[典例] (1)(2016²全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.[解析] 因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35³513＋45³1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365³53＝2113. [答案]2113(2)(2016²全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .①求C ；②若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．[解] ①由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.②由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7. [类题通法]正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．[注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．[演练冲关]1．(2016²郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b3cos B ＝asin A，则cos B ＝( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析：选B 由正弦定理知sin B3cos B ＝sin A sin A＝1，即tan B ＝3，所以B ＝π3，所以cos B＝cos π3＝12，故选B.2．(2016²福建质检)在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝2，D 为AB 中点，△BCD 的面积为334，则AC 等于( )A ．2 B.7 C.10 D.19解析：选B 因为S △BCD ＝12BD ²BC sin B ＝12³1³BC sin π3＝334，所以BC ＝3.由余弦定理得AC 2＝4＋9－2³2³3cos π3＝7，所以AC ＝7，故选B.3．(2016²河北三市联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值． 解：(1)∵a sin B ＝－b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，∴由正弦定理得sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33，∵A ∈(0，π)，∴A ＝5π6.(2)∵A ＝5π6，∴sin A ＝12，由S ＝34c 2＝12bc sin A ＝14bc ，得b ＝3c ， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ， 由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714.[师说考点]解三角形实际问题的常考类型及解题思路(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．[典例] (2016²河南六市联考)如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．[解] (1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5³8＝x －12.在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ²AB ＝x 2＋202－（x －12）22x ²20＝3x ＋325x，同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ²AC ＝x 2＋502－x 22x ²50＝25x.∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝25x， 解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中， 由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131，∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31³42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米． [类题通法]解三角形中实际问题的4个步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[演练冲关]1．(2016²武昌区调研)据气象部门预报，在距离某码头正西方向400 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300 km 以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为( )A ．9 hB ．10 hC ．11 hD ．12 h解析：选B 记码头为点O ，热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝400，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得4002＋400t 2－2³20t ³400³22≤3002，即t 2－202t ＋175≤0，解得102－5≤t ≤102＋5，所以所求时间为102＋5－102＋5＝10(h)，故选B.2.(2016²湖北七市联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.解析：分析题意可知，设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ²AD ²cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2²3h ²h3²⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m. 答案：1039解三角形与其他知识的交汇解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式求最值、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．[典例] (2016²山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A.(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值． [解] (1)证明：由题意知 2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ， 即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋sin B ＝2sin C ， 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝38²⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12， 当且仅当a ＝b 时，等号成立， 故cos C 的最小值为12.[类题通法](1)本题是三角恒等变换、解三角形与基本不等式的交汇问题．(2)解答此类问题的一般思路是利用三角恒等变换对所给条件进行转化，再结合正余弦定理，转化到边的关系，利用基本不等式求解．[演练冲关]1．在△ABC 中，，若sin C ²＋sin A ²＋sin B ²＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选A 设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由，可知P 为BC的中点．结合题意及正弦定理可得c＋a＋b＝0，故c (－)＋a －b ＝(a －c )＋(c －b ) ＝0，而与为不共线向量，所以a －c ＝c －b ＝0，故a ＝b ＝c .故选A.2．(2016²河北五校联考)已知锐角△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝6ab cos C ，且sin 2C ＝2sin A sin B .(1)求角C 的值； (2)设函数f (x )＝－cos ωx (ω>0)，且f (x )图象上相邻两最高点间的距离为π，求f (A )的取值范围．解：(1)因为a 2＋b 2＝6ab cos C ，由余弦定理知a 2＋b 2＝c 2＋2 ab cos C ，所以cos C ＝c 24ab ，又sin 2C ＝2sin A sin B ，则由正弦定理得c 2＝2ab ，所以cos C ＝c 24ab ＝2ab 4ab ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)f (x )＝－cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝，由已知可得2πω＝π，所以ω＝2，则f (A )＝，因为C ＝π3，所以B ＝2π3－A ，因为0<A <π2，0<B <π2，所以π6<A <π2，所以0<2A －π3<2π3，所以f (A )的取值范围是(0， 3 ]．一、选择题1．(2016²武昌区调研)已知cos(π－α)＝45，且α为第三象限角，则tan 2α的值等于( )A.34 B ．－34 C.247 D ．－247解析：选C 因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－35，tan α＝34，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝321－916＝247，故选C. 2．(2016²全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15 C ．－15 D ．－725解析：选D 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2³925－1＝－725.3．(2016²河北模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ等于( )A.23B.43C.34D.32解析：选D 由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.4．(2016²重庆模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34 B.34 C.32 D.32解析：选B 依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C＝12³3³32＝34，选B. 5．(2016²山西太原模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若 sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为( )A. 3B.322C ．2 2D ．2 3解析：选A 在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ²223＝2，∴bc ＝3，①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6³⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝12，∴b ＋c ＝23.②由①②得b ＝c ＝3，故选A.6．(2016²海口调研)如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223 B.24 C.64 D.63解析：选C 依题意得，BD ＝AD ＝DEsin A ＝22sin A，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ³23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A ，由此解得cosA ＝64，选C. 二、填空题7．(2016²北京高考)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________．解析：在△ABC 中，∠A ＝2π3，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .∵a ＝3c ，∴3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋bc －2c 2＝0， ∴(b ＋2c )(b －c )＝0，∴b －c ＝0，∴b ＝c ，∴b c＝1. 答案：18．(2016²石家庄模拟)已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于D ，则BD CD的值为________． 解析：在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ²AB cos ∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6，则cos ∠ABC ＝28＋36－162³27³6＝27，BD ＝AB ²cos ∠ABC ＝6³27＝127，CD ＝BC －BD ＝27－127＝27，所以BD CD ＝6. 答案：69．(2016²郑州模拟)△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，若3cos A ＋sin A 3sin A －cos A＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，则tan A ＝________. 解析：3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－A －π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝3π12＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1.答案：1三、解答题10．(2016²合肥质检)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )＝sin(2x ＋B )＋3cos(2x ＋B )为偶函数，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12. (1)求b ；(2)若a ＝3，求△ABC 的面积S .解：(1)f (x )＝sin(2x ＋B )＋3cos(2x ＋B )＝2sin， 由f (x )为偶函数可知B ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 所以B ＝π6＋k π，k ∈Z . 又0<B <π，故B ＝π6， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝ 3. (2)因为B ＝π6，b ＝3，a ＝3， 由正弦定理可知sin A ＝a sin B b ＝32，所以A ＝π3或2π3. 当A ＝π3时，C ＝π2，△ABC 的面积S ＝332；当A ＝2π3时，C ＝π6，△ABC 的面积S ＝334. 11．(2016²山西四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，且cos A ＝13. (1)求cos 2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)cos2B ＋C 2＋cos 2A ＝1＋cos （B ＋C ）2＋2cos 2A －1＝12－cos A 2＋2cos 2A －1＝12－12³13＋2³⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－49. (2)由余弦定理可得，(3)2＝b 2＋c 2－2bc ²cos A ＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ， ∴bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，bc 有最大值94， 又cos A ＝13，A ∈(0，π)， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， ∴(S △ABC )max ＝12bc sin A ＝12³94³223＝324. 12．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝2c －b .(1)若cos(A ＋C )＝－5314，求cos C 的值； (2)若b ＝5，＝－5，求△ABC 的面积；(3)若O 是△ABC 外接圆的圆心，且cos B sin C ²＋cos C sin B ²＝m ，求m 的值． 解：(1)由2a cos B ＝2c －b ，得2sin A cos B ＝2sin C －sin B ，化简得cos A ＝12，则A ＝60°.由cos(A ＋C )＝－cos B ＝－5314，知cos B ＝5314， 所以sin B ＝1114. 所以cos C ＝cos(120°－B )＝－12cos B ＋32sin B ＝3314.＝12bc －b 2＝－5，又b ＝5，解得c ＝8，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝10 3.(3)由cos Bsin C ²＋cos Csin B ²＝m ，可得cos Bsin C ²²＋cos Csin B ²²＝m 2，(*)因为O 是△ABC 外接圆的圆心，又||＝a2sin A ，所以(*)可化为cos B sin C ²c 2＋cos C sin B ²b 2＝12m ²a2sin 2A ，所以m ＝2(cos B sin C ＋sin B cos C )＝2sin(B ＋C )＝2sin A ＝ 3.。
专题三 综合提升训练(三)(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·北大附中模拟)函数f (x )＝2sin 2x －1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析：选D.f (x )＝2sin 2x －1＝－cos 2x ， 所以最小正周期为T ＝2π2＝π.f (－x )＝－cos[2(－x )]＝－cos 2x ＝f (x )为偶函数．2．(2016·河北唐山高三模拟)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：选B.∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递减， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋π22＝0， ∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋π22＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＋π3＝0，∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π6，ω>0， ∴ω＝2.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形解析：选C.因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得a ＝2b ×a 2＋b 2－c 22ab，整理得b 2＝c 2，所以b ＝c .所以此三角形一定是等腰三角形．4．为了使变换后的函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称，只需将原函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选 C.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0(k ∈Z )，其中距离点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，故只需将原函数的图象向右平移π12个单位长度即可．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A.根据正弦定理，得a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 等价于sin A cos C ＋sin C cosA ＝sin(A ＋C )＝12，∴sin B ＝12.又∵a ＞b ，∴B ＝π6，故选A.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ) A.725 B ．－725C ．±725D.2425解析：选A.∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C . 又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin 2B ，∴8sin B ＝10sin B cos B .∵sin B ≠0，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.7．设ω是正实数，函数f (x )＝2cos ωx 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是减函数，那么ω的值可以是( ) A.12 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.因为函数f (x )＝2cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，T 2上递减，所以要使函数f (x )＝2cos ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，则有2π3≤T 2，即T ≥4π3，所以T ＝2πω≥4π3，解得ω≤32.所以ω的值可以是12，故选A.8．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边．若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是( ) A ．b ＋c ＝2a B ．b ＋c ＜2a C ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a解析：选C.由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos 2A ＝－12.又∵A 为锐角，∴0＜2A ＜π，∴2A ＝2π3，即A ＝π3.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，即a 2≥(b ＋c )2－34(b ＋c )2＝b ＋c24，解得2a ≥b ＋c ，故选C.9．(2016·山西太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称 解析：选B.∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π3＋k π<π2，∴k＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误，当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．10．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( ) A.32B.22C.12 D ．－12解析：选C.由cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，利用二倍角公式，得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2(1－2sin 2C )，即sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C .由正弦定理，得a 2＋b 2＝2c 2.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ≥c 2a 2＋b 2＝12，当且仅当a ＝b 时取等号，故cos C 的最小值为12，故选C. 11．(2016·云南昆明统考)已知函数：①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22·sin x cos x ，则下列结论正确的是( )A ．两个函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0中心对称B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4轴对称C ．两个函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同解析：选C.设f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g (x )＝22sin x cos x ＝2sin 2x ，对于A ，B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－2≠0，易知A ，B 都不正确，对于C ，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )，易知C 正确．对于D ，f (x )的最小正周期为2π，g (x )的最小正周期为π，D 不正确．故选C.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．若b ＝3，则a ＋c 的最大值为( ) A.32 B ．3 C ．2 3D ．9解析：选C.∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列， ∴2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，∴2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )， ∴2sin B cos B ＝sin B ，∴cos B ＝12.∵0＜B ＜π，∴B ＝π3.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3，ac ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，当且仅当a ＝c 时取等号，∴a ＋c2－33≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，即(a ＋c )2≤12，∴a ＋c ≤2 3. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，A ＝60°，b ＝4，a ＝23，则c ＝________.解析：由已知及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(23)2＝42＋c 2－2×4c cos 60°，即c 2－4c ＋4＝0，解得c ＝2. 答案：214．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.答案：2215．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知点D 是BC 边的中点，且AD →·BC →＝12(a 2－3ac )，则角B ＝________. 解析：∵AD →·BC →＝(BD →－BA →)·BC →＝BD →·BC →－BA →·BC →＝a 2·a －a ·c ·cos B ＝12a 2－ac ·cos B ，AD →·BC →＝12(a 2－3ac )，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.答案：30°16．(2016·河北石家庄二中一模)已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.解析：f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋A 2＋1.由相邻两条对称轴间的距离为2知，T2＝2，得T ＝4＝2π2ω，ω＝π4，由f (x )的最大值为3，得A ＝2.又f (x )的图象过点(0,2)， ∴cos 2φ＝0，∴2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，又0＜φ＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin πx 2＋2. ∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，f (4)＝2.又f (x )的周期为4,2 019＝4×504＋3，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝504×(1＋2＋3＋2)＋1＋2＋3＝4 038. 答案：4 038。
2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点6 三角求值【热点考法】本热点的主要考试形式为选择填空题或解答题的一个小题，主要考查三角函数定义、诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式及其变形、角的分拆与配凑，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为基础题或中档题.. 【热点考向】 考向一 给角求值【解决法宝】(1)一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题. (2)利用诱导公式化简求值时的原则①“负化正”，运用α-的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数； ②“大化小”，利用360()k k Z α⋅+∈的诱导公式将大于360的角的三角函数化为0到360的三角函数；③“小化锐”，将大于90的角化为0到90的角的三角函数；④“锐求值”，得到0到90的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．（3）若角终边上一点求角的三角函数问题，利用三角函数的定义求三角函数值. 例1【2017届河南息县第一高级中学高三文上段测五】2014cos 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12BC ．12- D ．【分析】 【解析】例2【黑龙江省哈尔滨三十二中2016届高三上学期期末】设cos （﹣80°）=k ，那么tan100°= ． 【分析】 【解析】例3【2017届河北武邑中学高三理11月考】已知函数()()log 130,1a y x a a =-+>≠且的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则2sin sin 2αα-的值等于（ ）A ．313B ．513 C.313- D ．513-【分析】 【解析】 考向二 给值求值【解决法宝】（1）在给值求值中，先对所给式子和所求式子化简，然后观察所给角与已知角的差异，通过角的配凑与分拆寻求未知角与已知角的联系，用已知角表示未知角或用未知角表示已知角，再利用两角和与差的三角公式用已知角的三角函数表示出来，再利用同角三角函数基本关系求出所需的三角函数，若用到平方关系，注意根据角的范围确定根号前的符号，若是用未知角表示已知角，常用解方程的方法求所求角的三角函数. （2）几个常见的变形切入点： ①ααcos sin 可凑倍角公式； ②αcos 1±可用升次公式；③αsin 1±可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式；或21sin sin cos 22ααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭；④()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中 ab=ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握；⑤当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； ⑥当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． ⑦常见的配角技巧：22αα=⋅；()ααββ=+-；()αββα=--；1[()()]2ααβαβ=++-；1[()()]2βαβαβ=+--；()424πππαα+=--；()44ππαα=--.（3）三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用及变形应用等. 例 4 【2017届陕西西安铁一中高三理上学期三模】若354sin )32sin(=+-ααπ，则)67sin(πα+的值是（ ）A.532-B.532 C.54- D.54【分析】 【解析】 考向三 给值求角【解决法宝】实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角，给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2等例5【2017届广东汕头市高三理上学期期末】设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（ ） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=-【分析】 【解析】例6 【长春市普通高中2016届高三质量监测（二）】已知直线21y x =+与圆224x y +=相交于A 、B 两点，设α、β分别是以,OA OB 为终边的角，则sin()αβ+= A.35B. 35-C. 45D. 45-【分析】 【解析】 【热点集训】1.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，5】求0000sin16cos134sin 74sin 46+=（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2-2.【山东肥城市2017届高三上学期升级统测，6】若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且23sin cos 2210παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭,则tan α=（ ）A ．17B ．13C ．3D ．73.【2017届四川省泸州市高三上学期第一次诊断性考试】设(0,)2πα∈，(0,)4πβ∈，且1sin 2tan cos 2βαβ+=，则下列结论中正确的是（ ）A.24παβ-=B.24παβ+=C.4παβ-=D.4παβ+=4.【2017届安徽百校论坛高三理上学期联考二】已知4cos cos sin 236ππθθθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 26πθ⎛⎫-⎪⎝⎭等于（ ）A ．16 B ． C.D ．3-5.【湖北2017届百所中点校高三联考，2】已知角θ的终边经过点()(),30P x x <且cos x θ=，则x 等于（ ） A ．-1 B ．13-C ．-3D ． 6.【山东省枣庄市2017届高三上学期期末，6】已知()33,,tan 224ππααπ⎛⎫∈-=-⎪⎝⎭，则sin cos αα+的值是（ ）A ．15±B ．15 C. 15- D ． 75-7.【湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检，3】若1sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．79 B ．23 C ．23- D ．79- 8.【2017届安徽百校论坛高三理上学期联考二】已知4cos cos sin 236ππθθθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 26πθ⎛⎫-⎪⎝⎭等于（ ）A ．16 B ． C.D ．3-9. 【四川自贡普高2017届一诊，5】已知24cos 0352παπα⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，，则sin sin 3παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．B ． D10.【浙江杭州地区重点中学2017届高三上学期期中，5】若11sin cos αα+=sin cos αα=（ ）A ．13-B ．13C ．13-或1 D ．13或1- 11.【2017届福建南平浦城县高三理上学期期中】若A 为△ABC 的内角，且3sin 25A =-，则cos()4A π+等于（ ）A ．BC ．D 12.【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，3】若tan =34α⎛⎫+- ⎪⎝⎭π，则2cos 2sin 2αα+=（ ）A ．95 B ．1 C ．35- D ．75- 13.【2017届四川双流中学高三必得分训练7】若4s i n 3c o s 0αα-=，则21c o s 2s i n 2αα+的值为（ ） A ．2516 B ．1 C. 2548 D ．256414．【2017届黑龙江虎林一中高三理上学期月考三】已知()0s i n ,s i n ,,ααβαβ=-均为锐角，则cos 2β=（ ） A．2-B ．1-C ．0D ．1 15．【2017届广东七校联合体高三理上学期联考二】若0,,0,22x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()tan 23tan x x y =-，则x y +的可能取值是（ ）A ．12π B ．4π C ．3π D ．712π16.【广东珠海市2017届上学期调研测试（1），14】已知3(,2)2πθπ∈，且3c o s ()45πθ-=，则tan()4πθ+= .17.【天津六校2017届高三上学期期中联考，12】若sin cos 3sin cos αααα+=-，tan()2αβ-=，则tan(2)βα-= ．18. 【山东潍坊2017届高三上学期期中联考，13】已知4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0 4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos sin 4απα2=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ． 19.【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，11】已知α为锐角，若3sin()65πα+=，则cos(2)6πα-= ．20.【2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】已知()t an 2αβ+=，()tan 3αβ-=，则sin 2cos 2αβ的值为__________．21.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研，14】若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 22.【湖北2017届百所中点校高三联考，15】已知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则42sin cos 335cos sin 66ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________．23.【2017届安徽百校论坛高三理上学期联考二】已知函数()222cos f x x x a =--在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2. （1）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）设11016,0,,,221213235f f πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ-的值.。
三角函数作为高中数学的主干知识，在相关学科中有着广泛的应用。
虽然教学内容与原来相比做了适当的删减，难度有所降低。
高考中三角试题主要以中档题出现，通过研究近几年全国高考试卷，题目设置上如果没有解答题，会有2--3个选填题；如果有解答题，为一个大题和一个小题。
分值为10—17分。
针对2012年---2016年全国高考试题中三角函数及解三角形的考查内容，笔者从考查知识、思想方法、数学能力等方面进行命题意图分析，从中找出命题的规律和特点，考查的重点和难点，试题与教材的联系，学生存在的问题等。
分类整理出近几年该部分典的高考试题供师生欣赏，供学生模拟练习，意在帮助我们掌握命题规律，提高学生的复习效率。
面对2017年的三角函数和解三角形的高考复习，为大家提出以下建议；三角函数与解三角形部分知识公式多、内容丰富、变化灵活、渗透性强．通过对这几年高考试题的分析可知，选填题是有针对性地考查本专题的重要知识点；解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用。
笔者认为，具体解答时，熟练掌握基本解题策略，将有助于提高我们灵活解决考查这部分知识解题的能力。
复习教学中应注意“四化”，知识理解“深化”、考试题型“类化”、通性通法“强化”、解题思维“优化”。
数学教学与高考复习内容四查：查考纲把握方向、查考题明辨重点、查课本回归基础、查学情对症下药。
数学教学与高考复习要求四通：对学生点，心有灵犀一点通；让学生悟，融会贯通；让学生做，触类旁通；让学生考，无师自通。
【考纲解读】一、考点及要求说明: A.了解 B.理解 C.掌握二、考点说明：1. 三角函数（1）任意角的概念、弧度制①了解任意角的概念。
②了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。
（2）三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
能画出y = sin x,y = cos x,y = tan x的图像，了解三角函数的周期性。
专题限时集训(一) 三角函数问题[建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．(2016·泰安模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) 【导学号：67722010】A ．－32B ．－12C.12D.32A [函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，π∈Z ，解得φ＝k π－π3，又|φ|＜π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，23π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A.] 2．(2016·河南八市联考)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x的值是( )A ．－23B ．－43C.43D.34D [因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D.]3．(2016·全国甲卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝cos 2x ＋6sin x＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B.]4．(2016·郑州模拟)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图16所示，则f (0)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫17π12的值为( )图16A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1－32D ．1＋32A [由函数f (x )的图象得函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π，解得ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又因为函数图象经过点－π12，－2，所以f －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝－2，则2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π3＋2k π，k ∈Z.又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×0－π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×17π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2sin 5π2＝－3＋2，故选A.]5．(2016·石家庄二模)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．[－1,1]B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[1，2]A [由sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝π2，β＝α－π2∈[0，π]⇒α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(π－α)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π⇒α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22⇒2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈[－1,1]，故选A.]二、填空题6．(2016·合肥三模)已知tan α＝2，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝________.【导学号：67722011】35 [∵tan α＝2， ∴sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝cos 2α＋sin αcos α ＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝1＋tan αtan 2α＋1 ＝1＋24＋1＝35.] 7．(2016·兰州模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图17所示，△EFG (点G 在图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.图17－ 3 [由函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数可得φ＝π2，则f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx (A ＞0，ω＞0)．又由△EFG 是边长为2的等边三角形可得A ＝3，最小正周期T ＝4＝2πω，ω＝π2，则f (x )＝－3sin π2x ，f (1)＝－ 3.]8．(2015·天津高考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．π2 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称， 所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z.又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.] 三、解答题9．(2016·临沂高三模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2满足下列条件：①周期T ＝π；②图象向左平移π6个单位长度后关于y 轴对称；③f (0)＝1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－1013，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝65，求cos(2α－2β)的值．[解] (1)f (x )的周期T ＝π，∴ω＝2.1分f (x )的图象向左平移π6个单位长度，变为g (x )＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ.2分由题意，g (x )关于y 轴对称， ∴2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z.3分又|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.4分∵f (0)＝1，∴A sin π6＝1，∴A ＝2.5分因此，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.6分 (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－1013，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝65，得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－2π3＋π6＝－1013，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π3＋π6＝65.7分 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴2α，2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝513，cos 2β＝35，sin 2α＝1213，sin 2β＝45，11分 cos(2α－2β)＝cos 2αcos 2β＋sin 2αsin 2β ＝513×35＋1213×45＝6365.12分 10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图18所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.图18(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．[解] (1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋52－1322×4×5＝55.2分 又cos ∠POQ ＝x P5，∴x P ＝1，∴y P ＝2，∴P (1,2).3分 由此可得振幅A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12，又2πω＝12，则ω＝π6.4分将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1.∵0＜φ＜π2，∴φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.6分(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －＋π3＝2sin π6x .7分 ∴h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x＝2sin2π6x ＋23sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.9分当x ∈(－1,2)时，π3x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，10分∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,1)，即1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,3)，于是函数h (x )的值域为(－1,3).12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P ，则sin 2α－sin 2α的值为( )A.513 B ．－513C.313D ．－313D [根据已知可得点P 的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得sin α＝313，cos α＝213，所以sin 2α－sin 2α＝sin 2α－2sin αcos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3132－2×313×213＝－313.] 2．(2016·东北三省四市第二次联考)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.32B.12 C ．－12D ．－32D [f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π12个单位得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin2x －π6＋φ，此函数图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则－π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z.又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以f (x )的最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，故选D.]3．(2016·湖北七市四月联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R)在x ＝π4处取得最大值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B [由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即a cos π4＋b sin π4＝0，∴a ＋b ＝0，∴f (x )＝a (sin x ＋cos x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2a cos x .易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称，故选B.] 4．(2016·陕西省第二次联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图19所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图19A ．±223B.223C ．－223D.13C [由图易得A ＝3，函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3，解得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x ＋φ)．又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3在函数图象上，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝－3，解得2×π3＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝5π6＋2k π，k ∈Z.又因为0＜φ＜π，所以φ＝5π6，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，3π2.又因为f (α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝13＞0，所以2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－223，故选C.]二、填空题5．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．【导学号：67722012】⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z)． 由题意，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z)．由4k ＋12＜2k ＋54，解得k ＜38.由ω＞0，可知k ≥0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54.]6．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． π [∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3，∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.] 三、解答题7．(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：4分且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.6分 (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.7分 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z.8分由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z.10分 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.12分8．(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12，x ∈R.(1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上的最值；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )的图象．已知g (α)＝－65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，11π6，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6的值．[解] (1)f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝3sin 2x －1－cos 2x 2＋12cos 2x ＋12＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分∵－π4≤x ≤π2，∴－π3≤2x ＋π6≤7π6，3分∴当2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4时，f (x )的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－ 3.4分当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )的最大值为2×1＝2.5分(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.7分由g (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－65，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝－35.8分 ∵4π3＜α＜11π6，∴π＜α－π3＜3π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45.10分 ∵π2＜α2－π6＜3π4，11分 ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6＝－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π32＝－1－452 ＝－1010.12分。
【知识网络】【考点聚焦】对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）．1.原题（必修4第十页A组第五题）变式1下列说法中正确的是( )A ．第一象限角一定不是负角B ．－831°是第四象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的角一定相等 【答案】C.变式2 已知θ为第二象限角，那么3θ是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角 C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角 【答案】D.【答案】C. 【解析】22,(),,(),2422k k k Z k k k Z ππαππαππππ+<<+∈+<<+∈当2,()k n n Z =∈时，2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，2α在第三象限；而coscoscos0222ααα=-⇒≤，2α∴在第三象限；答案：C .2.原题（必修4第十页B 组第二题）变式时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )A.143 π B．－143 πC.718 πD ．－718π【答案】B.【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.3.原题（必修4第十九页例6）变式 （1）已知sin α13=，且α为第二象限角，求tan α；（2）已知sin α=m (0,1)m m ≠≠±，求tan α. 【解析】（1）1sin 3α=，且α为第二象限角，cos α∴=sin tan cos ααα∴== （2）sin (0,1)m m m α=≠≠±，α∴为象限角.当α为第一或第四象限角时，cos αtan α=α为第二或第三象限角时，cos α=tan α=，综上，tan α.4.原题（必修4第十九页例7）变式 若sin cos 1,sin cos 1,a b ab θθθθ+=-=则的值是（ ）【答案】B.5.原题（必修4第二十二页习题 1.2B 组第二题）变式 化简为（ ）A. 2tan x C. 2tan x -B. 2tan x ± D. 不能确定 【答案】C.【解析】:C .原式=2tan 2,4432tan 2,44xx k k x x k k ππππππππ⎧⎛⎫∈-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-∈++ ⎪⎪⎝⎭⎩6.原题（必修4第二十二页B 组第三题）变式 已知tan 2α=，计算：（1）2sin cos sin 2cos αααα-+； （2）22sin sin cos 2cos αααα+-【解析】：（1）原式2tan 13tan 24αα-==+；（2）原式2222sin sin cos 2cos sin cos αααααα+-=+22tan tan 24tan 15ααα+-==+ 7.原题（必修4第二十三页探究）变式1( )A.sin 2cos 2+B.cos 2sin 2-C.sin 2cos 2-D.±cos 2sin 2- 【答案】C.【答案】B. 【解析】(2001)sin(2001)cos(2001)4sin()cos()f a b a b παβαβ=++π++=π++π+ sin cos 45a b αβ=--+=,sin cos 1a b αβ∴--=,(2010)sin(2010)cos(2010)4sin cos 4143f a b a b αβαβ=π++π++=++=-+=8.原题（必修4第二十七页例4）变式 已知角x 终边上的一点P （-4，3），则()cos sin 29cos sin 22x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为. 【解析】()cos sin sin sin 2tan 9sin cos cos sin 22x x x x x x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪-∙⎝⎭==-∙⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角函数的定义，可知33tan ,=-tan 44y x x x ==-=所以原式 9.原题（必修4第四十一页练习题6）变式 函数12log cos 34x y π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为.【解析】1122log cos log cos 3434x x y ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，∴所求的递增区间就是使cos 34x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值为正值的递减区间，由22,342x k k k zππππ≤+〈+∈得：3366,.44k x k k z ππππ-+≤〈+∈∴所求的递增区间为()336,644k k k z ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭答案：()336,644k k k z ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭10.原题（必修4第五十三页例1）变式 设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3 【答案】C.11.原题（必修4第五十六页练习题3）变式 sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的振幅为______，频率和初相分别为______，______.【解析】 21π4π-12.原题（必修4第五十八页例4）变式 某正弦交流电的电压（单位V ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是),[0,)6v t t ππ=-∈+∞.（1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅； （2）当1600t =，160时，求瞬时电压； （3）将此电压加在激发电压、熄灭电压均为84V 的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V 时灯管才发光.1.4≈）【解析】（1）周期2110050T ππ==，频率150f T==，振幅A =（2）1600t =时，1)06006v ππ=⨯-==（V ）；160t =时，13)6062v πππ=⨯-==-V ）. （3）由)846t ππ-> 1.4，得1sin(100)62t ππ->.结合正弦图象，取半个周期，有5100666t ππππ<-<，解得11300100t <<. 所以，半个周期内霓虹灯管点亮的时间为112100300300-=（s ）. 13.原题（必修4第六十页例2）变式 在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、2tan(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数的个数为（） A ．个 B ．个 C ．个 D ．个14.原题（必修4第六十九页复习参考题A 组第八题）变式 已知1tan tan αα，是关于的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求2sin cos sin ααα+的值．【解析】21tan 31,2tan k k αα⋅=-=∴=±，而παπ273<<，则1t a n 2,t a n kαα+==得tan 1α=，则222222sin cos sin tan tan sin cos sin 1cos sin 1tan ααααααααααα+++===++. 15.原题（必修4第七十一页复习参考题B 组第六题）变式 已知222121,yx y u x x-==+则的值域为. 【解析】221,x y -=()22221cos tan 12tan cos 2sin sin 2sin 1sec sin 12,1sin 1x sec y u sec θθθθθθθθθθθθ⎧==⎪∴⎨⎪=⎩∴=+=+=-++=--+-〈〈可设其中 sin u θ随的增大而增大.sin 12,sin 12u u θθ→-→-→→又当时，当时，∴所求值域为（-1，2）.16.原题（必修4第一百二十七页例2）变式 已知431c o s ,,,t a n ,,,5232πααππββπ⎛⎫⎛⎫=-∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求()cos αβ+.17.原题（必修4第137页A 组第十题）已知：αtan ，βtan 是方程0382=--x x 的两根，试求)tan(βα+的值.变式 已知：αt a n ,βtan 是方程0382=--x x 的两根，求2)c o s ()s i n (3)(s i n 2+++-+βαβαβα的值.【解析】由题意有8tan tan =+βα，3tan tan -=βα， ∴2)3(18tan tan 1tan tan )tan(=--=-+=+βαβαβα，∴2)cos()sin(3)(sin 2+++-+βαβαβα)(cos )(sin )](cos )([sin 2)cos()sin(3)(sin 22222βαβαβαβαβαβαβα+++++++++-+=5812223231)(tan 2)tan(3)(tan 32222=++⨯-⨯=++++-+=βαβαβα.18.原题（必修4第一百三十九页例1）变式 +的结果是. 【解析】2sin219.原题（必修4第147页复习参考题B 组第七题）变式如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为AB 、DA 上的点，当∠PCQ=045时，求△APQ 的周长.20.原题（必修4第一百四十七页复习参考题B 组第六题）变式 若函数2()22cos f x x x m ++在区间[0,]2π上的最小值为3，求常数m 的值及此函数当[,]x a a π∈+(其中可取任意实数)时的最大值.21.原题（必修5第3页例1）变式 ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3C π=，326,a c ==则的值为（ ）B 1C 1D【解析】先求出sin A ，再求出sinB ，最后用一次正弦定理即得.选D. 22.原题（必修5第10页习题1.1A 组第2题）变式1 在三角形ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．a=8 b=16 A=30︒ B. a=25 b=30 A=150︒ C. a=30 b=40 A=30︒ D. a=72 b=60 A=135︒ 【解析】C.变式2 在△ABC 中，已知a =b B =45︒ ，求A 、C 及c .23.原题（必修5第10页习题1.1B 组第2题）变式 （2010辽宁）在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.【解析】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++ 即222a b c bc =++，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-，故1cos 2A =-，A=120° （Ⅱ）由（Ⅰ）得：sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-1sin 2sin(60)B BB =+=︒+ 故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1.24.原题（必修5第11页例2）变式 如图,为了测量河对岸两个建筑物C 、D 之间的距离,在河岸这边取两点A 、B,测得∠BAC=45°,∠DAC=75°,∠ABD=30°,∠DBC=45°.又AB=千米,A 、B 、C 、D 在同一平面内,试求C 、D 之间的距离.25.原题（必修5第19页习题1.2A 组第1题）变式 一只船以均匀的速度由A 点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A 点观测灯塔C 的方位角为30°，行驶60海里后，船在B 点观测灯塔C 的方位角为45°，求A 到C 的距离．【解析】A 到C 的距离为60+海里． 【感受高考】1.【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B 【解析】试题分析：因为4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()f x 图像的对称轴,所以()444T kT ππ--=+,即41412244k k T ππω++==⋅,所以41(*)k k N ω=+∈,又因为()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调,所以5236181222T ππππω-=≤=,即12ω≤,由此ω的最大值为9.故选B.2.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D.3.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ）（A ）725（B ）15 （C ）15-（D ）725-【答案】D4.【2016高考新课标1卷】 ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；（II ）若c ABC =∆的面积为2,求ABC 的周长． 【答案】（I ）C 3π=（II ）5【解析】（II ）由已知,1sin C 22ab =． 又C 3π=,所以6ab =．由已知及余弦定理得,222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=,从而()225a b +=．所以C ∆AB 的周长为5+5.【2016高考天津理数】已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间,44ππ-]上的单调性. 【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间,44ππ-]上单调性试题解析：()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π=-.所以,()f x 的最小正周期2.2T ππ==。
专题三 综合提升训练(三)(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·北大附中模拟)函数f (x )＝2sin 2x －1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析：选D.f (x )＝2sin 2x －1＝－cos 2x ， 所以最小正周期为T ＝2π2＝π.f (－x )＝－cos[2(－x )]＝－cos 2x ＝f (x )为偶函数．2．(2016·河北唐山高三模拟)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：选B.∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递减， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋π22＝0， ∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋π22＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＋π3＝0，∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π6，ω>0， ∴ω＝2.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形解析：选C.因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得a ＝2b ×a 2＋b 2－c 22ab，整理得b 2＝c 2，所以b ＝c .所以此三角形一定是等腰三角形．4．为了使变换后的函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称，只需将原函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选 C.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0(k ∈Z )，其中距离点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，故只需将原函数的图象向右平移π12个单位长度即可．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A.根据正弦定理，得a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 等价于sin A cos C ＋sin C cosA ＝sin(A ＋C )＝12，∴sin B ＝12.又∵a ＞b ，∴B ＝π6，故选A.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ) A.725 B ．－725C ．±725D.2425解析：选A.∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C . 又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin 2B ，∴8sin B ＝10sin B cos B .∵sin B ≠0，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.7．设ω是正实数，函数f (x )＝2cos ωx 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是减函数，那么ω的值可以是( ) A.12 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.因为函数f (x )＝2cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，T 2上递减，所以要使函数f (x )＝2cos ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，则有2π3≤T 2，即T ≥4π3，所以T ＝2πω≥4π3，解得ω≤32.所以ω的值可以是12，故选A.8．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边．若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是( ) A ．b ＋c ＝2a B ．b ＋c ＜2a C ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a解析：选C.由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos 2A ＝－12.又∵A 为锐角，∴0＜2A ＜π，∴2A ＝2π3，即A ＝π3.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，即a 2≥(b ＋c )2－34(b ＋c )2＝b ＋c24，解得2a ≥b ＋c ，故选C.9．(2016·山西太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称 解析：选B.∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π3＋k π<π2，∴k＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误，当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．10．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( ) A.32B.22C.12 D ．－12解析：选C.由cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，利用二倍角公式，得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2(1－2sin 2C )，即sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C .由正弦定理，得a 2＋b 2＝2c 2.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ≥c 2a 2＋b 2＝12，当且仅当a ＝b 时取等号，故cos C 的最小值为12，故选C. 11．(2016·云南昆明统考)已知函数：①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22·sin x cos x ，则下列结论正确的是( )A ．两个函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0中心对称B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4轴对称C ．两个函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同解析：选C.设f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g (x )＝22sin x cos x ＝2sin 2x ，对于A ，B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－2≠0，易知A ，B 都不正确，对于C ，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )，易知C 正确．对于D ，f (x )的最小正周期为2π，g (x )的最小正周期为π，D 不正确．故选C.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．若b ＝3，则a ＋c 的最大值为( ) A.32 B ．3 C ．2 3D ．9解析：选C.∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列， ∴2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，∴2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )， ∴2sin B cos B ＝sin B ，∴cos B ＝12.∵0＜B ＜π，∴B ＝π3.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3，ac ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，当且仅当a ＝c 时取等号，∴a ＋c2－33≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，即(a ＋c )2≤12，∴a ＋c ≤2 3. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，A ＝60°，b ＝4，a ＝23，则c ＝________.解析：由已知及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(23)2＝42＋c 2－2×4c cos 60°，即c 2－4c ＋4＝0，解得c ＝2. 答案：214．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.答案：2215．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知点D 是BC 边的中点，且AD →·BC →＝12(a 2－3ac )，则角B ＝________. 解析：∵AD →·BC →＝(BD →－BA →)·BC →＝BD →·BC →－BA →·BC →＝a 2·a －a ·c ·cos B ＝12a 2－ac ·cos B ，AD →·BC →＝12(a 2－3ac )，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.答案：30°16．(2016·河北石家庄二中一模)已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.解析：f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋A 2＋1.由相邻两条对称轴间的距离为2知，T2＝2，得T ＝4＝2π2ω，ω＝π4，由f (x )的最大值为3，得A ＝2.又f (x )的图象过点(0,2)， ∴cos 2φ＝0，∴2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，又0＜φ＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin πx 2＋2.∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，f (4)＝2.又f (x )的周期为4,2 019＝4×504＋3，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝504×(1＋2＋3＋2)＋1＋2＋3＝4 038. 答案：4 038。
