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《实变函数》课程教学大纲一、课程性质与目标（一）课程性质实变函数是高等师范院校数学专业的一门专业必修课程，是重要的专业基础课，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析和科学研究提供必不可少的基础知识。
而且对加深对数学分析及其它有关课程的理解有着至关重要的作用。
它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，为进一步钻研现代数学理论打下初步基础。
（二）课程目标通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个基本的数学工具，特别是极限与积分顺序的交换。
并且在一定程度上掌握集的分析方法。
通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力的培养。
在某些与中学教材相关的教学内容中，要引导学生在学习新知识的同时要加深对相关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教学实践能用较高的观点处理中学教材。
为培养成人师范学生较强的教学能力打下坚实的基础。
采用课堂讲授，倡导和实施启发式和交互式教学法，组织课程教学。
二、课程内容与教学（一）课程内容1、课程内容选编的基本原则（1）、把握理论、技能相结合的基本原则。
（2）、注意教学内容与其他相关课程的联系和渗透。
2、课程基本内容（1）集合（2）点集（3）测度论（4）可测函数（5）积分论（二）课程教学1、注重数学思想与数学素养的培养，阐述所讲内容在整个理论体系中的作用和地位。
2、加强建立数学模型的思想和训练，提高学生的数学素养和创新能力。
3、在传授基础理论和基本技能的同时，加强学生分析实际问题和解决实际问题的能力。
4、注重课堂讲授、习题课、习题批改等环节。
三、课程实施与评价（一）学时、学分本课程总学时为54学时。
学生修本课程部分内容，成绩合格，可获3学分。
本大纲的完成需54学时。
由于课时的限制，主要以讲授第一章、第二章和第三章为主；在教学过程中，根据实际情况，计划可能要作一些调整。
（二）教学基本条件1、教师教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。
实变函数论实变函数论是数学分析领域中非常重要的一个分支。
它主要研究实数域上的函数，涉及到微积分、拓扑、测度论等多个数学分支，具有广泛的应用和深刻的理论意义。
一、实变函数的连续性和一致连续性实变函数中，连续性和一致连续性是非常基础的概念。
在实变函数论中，我们经常需要用到这两个概念来描述函数的性质。
连续性是指函数在某一点处的极限等于函数在该点处的函数值。
更准确地说，设$f(x)$为定义域上的一函数，$x_0$为定义域上的一点，则$f(x)$在$x_0$处连续等价于满足以下条件：$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$而一致连续性则更为强，它指的是函数在整个定义域上均满足某一性质，即在整个定义域上均具有连续性。
形式化地，设$f(x)$为定义域上的一函数，则$f(x)$在定义域上一致连续等价于满足以下条件：$$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\text{s.t. }|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$$连续性和一致连续性是实数域上函数的最基本的性质，是很多其他性质和定理的前提条件。
二、实变函数的导数和微分微积分中，导数和微分是非常基础的概念。
在实变函数中，我们同样需要研究函数的导数和微分。
导数描述的是函数在某一点处的变化率，它是一个极限。
对于实变函数$f(x)$，在$x_0$处的导数定义为：$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$微分是一个线性近似，用直线去接近曲线。
对于实变函数$f(x)$，在$x_0$处的微分为：$$df(x_0)=f'(x_0)dx$$在实变函数中，导数和微分的性质有很多，比如说链式法则、洛必达法则等，这些性质在高等数学中都会有所涉及。
三、实变函数的积分积分是微积分中非常重要的一个概念，是研究实变函数的重要手段。
《实变函数》教学大纲一、课程名称：《实变函数论》二、课程性质：数学与应用数学专业必修课，信息与计算科学专业选修课先修课程：数学分析、高等代数、复变函数论、常微分方程等课程三、课程的地位及教学目的《实变函数》是在数学分析的基础上发展起来的一门学科，是数学专业的一门重要的专业基础课。
其内容主要是以n维欧氏空间上的实值函数为对象，介绍勒贝格测度和勒贝格积分理论。
《实变函数》这一课程无论在思想方法上，还是在理论上都把数学分析往前推进了一步，在经典数学与现代数学之间起着承前启后的作用。
教学目的是通过对该课程的学习，使学生掌握《实变函数》的基本理论和基本方法，特别是勒贝格测度理论和勒贝格积分理论，进一步充实、拓宽和加深已经学过的数学基础知识和分析功底，提高对数学概念和数学方法的认识水平，同时也提高学生分析抽象问题和解决应用问题的能力，为今后从事《分析学》领域的研究工作打下坚实的基础。
四、教学原则与教学方法按照数学学科的特点和规律，《实变函数》这一课程应采取精讲、讨论与自学相结合的手段。
考虑到《实变函数》这一课程具有高度的抽象性，在教学过程中应主要采用精讲的方式，个别内容可以进行讨论或留给学生自学。
采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。
五、总学时68课时（含复习考试）六、课程教学内容要点及建议学时分配第一章集合（10学时）一、教学目的与要求通过对这一章内容的学习，让学生理解和掌握（1）集合的运算，重点是无穷集合的运算及集合的极限运算；（2）掌握基数概念，理解并较熟练应用伯恩斯坦定理；（3）掌握可数集和不可数集的基本知识。
二、教学原则与教学方法综合运用线性代数，数学分析的相关知识，将集合的运算推广到无穷多个集合上；引入集合间的对等概念进而给出基数概念，进而讨论与此有关的一系列相关问题，如集合列的收敛性、可数集、不可数集的性质的讨论等。
教学方法以讲解和讨论为主。
1.1 集合的概念1.2* 集合的运算（2课时）1.3* 对等与基数（4课时）1.4* 可数集与不可数集（4课时）1.5 半序集与Zorn引理（简单介绍）作业要求：完成13~15道基础性练习题，1~2提高性练习题。
实变函数教学辅导课程的性质和目的《实变函数》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课，近年来，它已成为高等院校数学与应用数学专业的一门重要基础课，实变函数论是数学分析中微积分理论的深入和发展。
它的主要任务是使学生掌握抽象分析的基本思想，为进一步学习现代数学打下必要的基础。
学习实变函数课程需要数学分析课程的有关知识，同时它也为应用概率统计与泛函分析等后继课的学习做好了必要的准备。
课程介绍实变函数课程的主要内容是勒贝格测度和勒贝格积分理论，包括集合与点集、勒贝格测度与勒贝格积分等。
实变函数是一门抽象性很强的学科，它虽然是数学分析的深入和继续，但在思想方法上却有着较大的飞跃，它比后者更抽象、更理论化。
通过本课程的学习要培养学生抽象思维的能力，提高逻辑推理与论证能力。
本课程中的概念和定理较多，要注意概念的本质及与相关概念之间的联系。
通过例题和适当的练习使学生加深对概念的理解。
在定理的证明中，要注意引导学生掌握证明的思想方法，教学中注意由简单到复杂，由特殊到一般。
对重要定理，要指出它的实质，意义和作用，使学生能深入理解并能用来解决实际问题。
除了要利用好文字和录像教材外（24讲），应该充分利用网络教学等其它辅助媒体的综合优势，如系统讲授本课程内容的网上教学IP课件（45讲）以及网上教学辅导和实时教学活动等学习媒体，以提高学习效率和效果。
学习建议怎样才能学好本课程，多看书，多练习，这是我们一贯的提法，当然要已基本概念和基本方法为主。
在实变函数这门课程中，建立勒贝格积分理论是一条主线，首先要理解集合的对等和集合的基数的概念，熟悉开集、闭集、完备集的性质，熟悉勒贝格可测集、勒贝格可测函数的性质和构造，理解关于收敛性的几个重要定理。
理解勒贝格积分与黎曼积分的关系。
理解勒贝格积分的控制收敛定理。
课程重难点一、集合重点集合的并、交、差、补及其运算，基数，可列集与具有连续基数的集合的运算。
难点 集合的基数。
二、Rn 中的点集重点 聚点及其等价条件，Bolzano-Weierstrass 定理，直线上开集的构造，Borel 有限覆盖定理，Cantor 集。
第1章集合与点集实变函数论作为现代分析数学的基础,其知识结构是建立在集合论之上的.集合论产生于19世纪70年代,由德国数学家康托尔（Cantor）创立,它是整个现代数学的开端及逻辑基础.作为本科教材,本章只介绍必需的集合论知识,而不涉及有关集合论公理的讨论.1.1 集合及相关概念大家在中学就认识了集合这个概念.所谓集合,是指具有某种特定性质的对象的全体.集合中的对象称为该集合的元素.集合通常用大写英文字母A,B,C,…表示；元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示.今后用一些特殊的记号表示特殊的集合：R表示全体实数形成的集合；C表示全体复数形成的集合；N,Z,Q分别表示自然数集、整数集和有理数集.另外,不含任何元素的集合称为空集,用记号表示.集合的具体表示方法一般有两种：一种是枚举法,如集合{1,2,3,4,5};一种是描述法,例如,大于20的自然数组成的集合,可写为{x|x>20,且x为自然数}.一般地,若A是具有某种性质P的元素组成的集合,通常记为A={x|x具有性质P}.对于给定的某集合A及某对象a,若a是A中的元素,就说a属于集合A,记为a∈A;否则,就说a不属于集合A,记为给定两个集合A和B,若A中的元素都属于B,则称A是B的子集,记为或进而,若同时有和，则A=B.对于任意的非空集合A,空集和A当然是A的子集,这两个子集称为平凡子集.除此之外的子集称为真子集.例1.1.1 写出{1,2,3}的所有子集,由此计算{1,2,…,n}的子集的个数,其中n∈N.{1,2,3}的所有子集是：,{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},第1章集合与点集1.1集合及相关概念共个.一般地,{1,2,…,n}的子集的个数是：C0n+C1n+…+C n n=2n,其中C k n=n!k!(n-k)! (k∈{0,1,…,n})为组合数公式.任给集合A,它的所有子集构成的集合称为它的幂集,记为1.1.1 集合的运算我们知道,数可以进行运算,并由此生成新的数.类似地,集合之间也可以进行运算,并由此生成新的集合.其中,最常用的运算有“并”、“交”、“差”三种.定义1.1.1任意给定集合A和B,集合{x|x∈A或x∈B}称为A与B的并集,并集也称为和集,记为A∪B,或A+B;集合{x|x∈A且x∈B}称为它们的交集,交集也称为积集,记为A∩B,或AB;推而广之,给定集合族∈Γ,其中Γ是指标集,则此集合族的并集与交集分别为∪α∈∈Γ,x∈Aα};(1.1)∩α∈∈Γ,x∈Aα}.(1.2)集合{x|x∈A且称为A与B的差集,又称补集，记为A\\B,或A-B.注意：一般来说(A-B)∪B未必等于A.如果已知则A-B称为B相对于A的余集,记为AB,特别地,如果我们在某一问题中所考虑的一切集合都是某一给定集合S的子集时,集合B相对于S的余集就简称为B的余集, SB简记为而集合(A-B)∪(B-A)称为A与B的对称差,记为A△B.例1.1.2 设-1+1i≤x≤1--1k<x<1k,k=1,2,…,则∪mi=1B i=x-1+1m≤x≤1-1m, -1p<x<1p. 其中n,m,p∈N.由此知∪-1<x<1},集合的并、交、差（补）运算满足下面的运算律：定理1.1.1 (1) 交换律A∪B=B∪A, A∩B=B∩A;特别地A∩A=A,A∪A=A, A∪=A,(2) 结合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪C, A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.(3) 分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);一般地A∩∪α∈∪α∈(4) 大小关系∪B).(5) 若∈Γ,则∪α∈∪α∈∩α∈∈特别地,若或∈Γ,则∪α∈∈证明下面仅证A∩∪α∈∪α∈任取x∈A∩∪α∈则x∈A且α0∈Γ,使得x∈Bα0,于是x∈∪α∈由x 的任意性得A∩∪α∈∪α∈反过来,任取x∈∪α∈α),则α0∈Γ,使得x∈即x∈A且x∈Bα0,从而x∈A且x∈∪α∈故x∈A∩∪α∈由x的任意性得∪α∈∪α∈综合起来,等式成立.□以下给出关于余集计算的部分性质. 定理1.1.2 (1) A-(2) 若则SA SB,B\\A=B∩A c;(3) 对偶律（德摩根（De）律）若则(A∪B)c=A c∩B c,∪B c.一般地∩α∈∪α∈∪α∈∈证明下面仅证对偶律：若则(A∪B)c=A c∩B c,其余结合相关定义类似可得.事实上,由补集定义, (A∪B)c={x|x∈X且∪B}={x|x∈X,x A且={x|x∈X,x∈A c且x∈B c}=A c∩B c.□德摩根律使我们通过余集的运算把并集变为交集,把交集变为并集.这种转化在集合的运算及论证中是很有用的.1.2 集合列的上极限和下极限众所周知,数列可以讨论极限.类似地,集合列也可以讨论极限.以下我们给出集合列及其极限的定义.定义1.1.2 一列集合(n=1,2,…）称为集合列,也可记为属于上述集合列中无限多个集的元素的全体所形成的集称为该集合列的上极限,或称为上限集,记为lim n→∞或lim n→∞sup A n;对于上述集合列,那些除了有限个下标外,属于该集合列中每个集合的元素的全体形成的集称为这个集合列的下极限,或称为下限集,记为lim n→∞A n或lim n→∞inf等价地,lim n→∞sup A n={x|对于任意的自然数n,存在k≥n,使得x∈A k}, lim n→∞inf存在∈N,当时,x∈A n}. 由此知,lim n→∞inf n→∞sup A n.进而,对于给定集合列若其上、下极限相等,则称集合列收敛,其极限即为它的上（或下）极限,记为lim n→∞A n.集合列的上（下）极限可以用“并”与“交”运算来表达. 定理1.1.3 给定集合列n},则lim n→∞∪lim n→∞inf∪证明利用lim n→∞∈N,k≥n,使得x∈A k}(1.3)来证明关于上极限的等式,关于下极限的情况可类似证得.记∪事实上,设x∈A,则对任意取定的n,存在m>n,使得x∈A m,即对任意n,总有x∈∪故x∈B,继而反之,设x∈B,则对任意的n>0,总有x∈∪即总存在m(m≥n),使得x∈A m,故x∈A,继而从而A=B,另一等式可同样证明.□若集合列满足：∈N,则称是单调增加集合列；若∈N,则称之为单调减少集合列.统称为单调集合列.由定理1.1.3易知,单调集合列是收敛的.具体地,若为单调增加集合列,则lim n→∞A n=∪若为单调减少集合列,则lim n→∞A n=∩∞n=1A n.例1.1.3 设是如下一列点集：A2m+1=0,2-12m+1〗,m=0,1,2,…, 〗, 我们来确定的上、下极限.因为闭区间\中的点属于每个而对于开区间(1,2)中的每个点x,必存在自然数N(x),使得当n>N(x)时,有1+12n<x≤2-12n+1,即当n>N(x)时但x∈A2n+1.换言之,对于开区间(1,2)中的x,具有充分大的奇数指标的集合都含有x,即中有无限多个集合含有x,而充分大的偶数指标的集合都不含有x,即中不含有x的集合不会是有限个.又区间\n→∞sup\n→∞inf\例1.1.4 设为：当n=2k时,k∈N;当n=2k+1时,k∈N. 则lim n→∞sup∪{(0,y)|y≥0};lim n→∞inf定义1.1.3设A,B是两个集合,称一切有序“元素对”(x,y)(其中x∈A,y∈B)形成的集合为A与B的直积集或笛卡儿（Descartes）积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},其中(x,y) =(x′,y′)是指x=x′,y=y′,X×X也记为例1.1.5 设A={1,2,3},B={4,5}，则A×B={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}.例1.1.6 \×\为平面上单位闭正方形.例1.1.7 Q×Q=Q Q2为平面上有理点集.习题习题1.3 试证：(1) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);(2) (A\\B)∪B=(A∩B)\\B的充要条件是(3) A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C).1.4 证明：(1) A△B=B△A;(2) (A△B)△C=A△(B△C);(3) A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C);(4) 对任意的A,B,存在C使得A△C=B.1.5 设是一集合列，作-∪n-1k=1A k,n=2,3,…,试证互不相交,且∪ni=1A i=∪nj=1B j,n=1,2,…,∞.1.6 设f(x),g(x)是点集E上定义的两个函数,a,k为任意实数,但k≠0.则(1) {x: f(x)≥a}=∩∞n=1x:f(x)>a-1n;(2) {x: |f(x)|>k}∪x: |g(x)|>ak.1.7 试证：(1) ∪∞i=1(A\\(2) ∩∞i=1(A\\∪i.1.8 设-求出集合列的上限集和下限集.1.9 设A n=E,n=2k-1,F,n=2k, 求集合列的上限集和下限集.1.10 设m为整数,n=1,2,…,试证lim n→∞sup n→∞inf1.11 设是\上的一列函数,且存在\使得lim n→∞f n(x)=1,x∈\\\E, 0, x∈E.令∈\: 求集合lim n→∞E n.1.12设以及f(x)是定义在R上的实值函数,则使不收敛于f(x)的一切点x所形成的集合为∪∞k=1∩∞N=1∪∞n=Nx:-11. 设(k=1,2,…)随着k→∞单调下降趋于(n=1,2,…）定义在E上∈E),试证：对任意的a有(1) E\=∪\;(2) E\\;(3) E\=∪\.注：E\={x∈E|f(x)>a}.1.1.2 映射、基数与可数集1.2 映射、基数与可数集我们都知道,实数是可以比较大小的,那么自然地联想一下,集合有没有大小的差别呢？直观地想,如果是有限集合,可能集合元素的个数多集合就大,那么对于含有无限个元素的集合,集合的大小该怎么比较呢？全体实数构成的集合就一定比全体正实数构成的集合大吗？在对集合的定义和基础运算有了一定的了解之后,我们接下来就介绍一下用以刻画集合大小的概念：基数.在此之前,我们要引入映射的概念,本节的最后,我们还将向大家介绍一种最常见的集合：可数集.1.2.1 映射大家都熟悉函数概念,下面要讲到的映射是函数概念的抽象化.定义1.2.1给定两个非空集合X,Y,若对于X中每个元素x在Y中都存在唯一的元素y与之对应,则称这个对应为映射.若用φ表示这种对应,则记为φ:并称φ是从X到Y的一个映射.此时,x∈X在Y中对应元y称为x在映射φ下的像, x称为y的一个原像,记为y=φ(x).进而,y的原像集为{x|y=φ(x),x∈X},记为-1(∈X}Y称为映射φ:X→Y的值域,而X为定义域.特别地,若φ(X)=Y，则称映射φ是满射,也称为到上的映射(X到Y上的映射)；若对于每个y∈φ(X)其原像集-1(y)是单点集,等价地,若x1,x2∈X,当时必有则称该映射是单射,也称为一一映射.注1.2.1 一一映射存在逆映射,即-1:-1(y)=x,当φ(x)=y时.进而,到上的一一映射称为双射,也称为一一对应.给定映射φ:X→Y,及则A的像集为∈A},B的原像集为-1(B)={x|φ(x)∈B}.综上易得下面关于映射与集合的并和交运算的关系式：φ∪α∈∪α∈φ∩α∈∈φ-1∪α∈∪α∈--1∩α∈∈-例1.2.1给定非空集合X,定义其非空子集A上的特征函数为χA(x)=1,x∈A,于是是从X的幂集到{0,1}上的映射.而且可以利用特征函数来反馈集合本身的特征：1.2.2 基数给定一个集合,若它只含有限个元素则称为有限集；否则,就称为无限集.对于有限集来说,若不考虑元素的具体特性,则所含元素的个数是一个基本而重要的量,因与元素个数有关的问题一般会涉及元素个数的比较.两个有限集是否含有相同数量的元素可用能否建立一一对应来衡量.受此启发,尽管对于无限集来说谈论个数没有实际意义,但比较两个无限集所含元素的多少，仍然可以用能否建立一一对应来度量.定义1.2.2 给定集合A,B,若存在从A到B的一一对应,则称集合A与B对等,记为A～B.对等关系有下述性质. 定理1.2.1 任给集合A,B,C,有(1) （自反性）A～A;(2) （对称性）若A～B,则B～A;(3) （传递性）若A～B,且B～C,则A～C.符合上述三条的关系称为等价关系.因此,集合之间的对等是一种等价关系.下面,我们描述性地给出集合基数的概念.定义1.2.3设A,B为给定两个集合,如果A～B,那么就称集合A与集合B的基数或者势相同.记为=.因此,对等的集合具有相同的基数（势）.特别地,当A是非空有限集时,则存在某自然数使得A与一一对应,而由唯一确定,于是可以认为=n 0.由此知,基数（势）的概念是通常元素个数的推广.以下给出一些常见的集合的例子.例1.2.2 (0,1)～R.事实上,令φ:-π2,则易知φ建立了(0,1)与R之间的一一对应.例1.2.3任意两个圆周上的点集具有相同的基数.事实上,不妨令任给的两个圆同圆心,于是让从圆心出发的同一条射线与两个圆的交点相互对应,则该对应是一一对应.有了集合大小的概念--基数,接下来,我们给出基数大小比较的法则.定义1.2.4给定两个集合A和B,若存在B的子集使得A～则称A的基数不大于B的基数, 记为≤;若≤,并且≠,此时称A的基数小于B的基数,记为<.自然数可以比较大小,类似地,基数也可以比较大小.即,对于任意给定的两个基数α,β,关系式α<β,α=β,α>β,这三者中有且仅有一式成立.证明要涉及集合论的公理系统,超出本教材范围,故略.对于自然数a,b,若a≤b且b≤a则a=b.对于基数也有类似的结论,也就是说集合的大小在某种意义下也是可以比较的. 定理1.2.2（伯恩斯坦（Bernstein）定理）给定集合A,B,若≤且≥,则=.证明由题设,存在双射φ:及双射ψ:下面用迭代法寻找及使得φ(A′)=B\\B′,同时ψ(B′)=A\\A′.为此,考虑下面的方程组：φ(A′)=B\\B′,ψ(B′)=A\\等价地A′=A\\ψ(B′),B′=B\\φ(A′).(1.4) 为了求解方程组(1.4),运用迭代法,逐次作A1=A\\ψ(B), \\\\\\\\-1),\\由上述构造知注意到ψ是一一映射,于是有再结合德摩根律,有∪∪∞i=1(A\\-1))=A∩∞-- 此处记类似地,可得\\∪从而,式(1.4)有解A′=∪定义映射Φ(x)=φ(x),x∈-1(x),x∈A\\A′. 由上述构造知,φ(A′)=B\\-1(A\\A′)=B′,于是Φ是满射.至于Φ的单射性由φ及ψ的单射性即得.因此,Φ是从A到B上的一一对应.从而,A～B.□推论1.2.1 设～C,则A～B,B～C.证明以A～B为例,设φ是A和C之间的一个一一对应,令x∈A,φ(x)∈B},则～B,取则自然有～A.于是由伯恩斯坦定理有A～B.1.13 可数集本小节我们给出最常见的一种无穷集合--可数集的定义,并研究其相关性质.定义1.2.5与自然数集对等的集合称为可数集,或称为可列集.于是任意的可数集A均可写成A={反之,这种形式的集合均为可数集.可数集的基数记为0.下面的定理表明,可数集的基数在无限集中是最小的. 定理1.2.3任意无限集均包含可数子集.证明设A是任意给定的无限集,任意取定∈A,因A\\仍然是无限集,再任意取定2∈A\\{a1},依次类推,在A\\中取出在A\\中取出照此继续,即得A的可数子集进一步,我们有下述定理.□定理1.2.4若X是一个无限集,Y是有限集或可数集,则X∪Y=.证明因X∪Y=X∪(Y\\X),故不妨设若Y是可数集,记由于X是无限集,由定理1.2.3知,X有可数子集于是有分解∪(X\\X1) .令φ:X∪Y→X,使得-1,n=1,2,…;φ(x)=x,x∈X\\X 1.由此构造知φ是X与X∪Y之间的一一对应;若Y为有限集,则对应的取为与Y有相同个数的X中的有限集,然后类似于上面的证明即得.□众所周知,有限集不可能和它的任意真子集建立一一对应关系.无限集与有限集的本质区别就在于此,即下面的定理. 定理1.2.5集合X是无限集的充要条件是,存在X的真子集Y有Y～X.证明因若X是有限集时,X不可能与它的任意真子集对等,由此得证充分性；下证必要性：任取X的一个有限子集A,因X是无限集,故X\\A亦是无限集,利用定理1.2.4得,X\\A=(X \\A)∪A=,记Y=X\\A,得证.□下面一系列定理关心的是集合及其子集的可数性问题. 定理1.2.6可数集的子集如果不是有限集,则一定是可数集.证明设A是可数集是A的一个无限子集.首先,因故其次,因是无限集,由定理1.2.3可知于是由伯恩斯坦定理得即是可数集.□定理1.2.7 设A为可数集,B为有限或可数集,则A∪B为可数集.证明设或(1)先设由于可数集总可排成无穷序列,当B有限时,A∪B={b1,b2,…,b n,a；当B可数时,A∪B={a1,b1,a2,b2,…,a n,b n,…},可见A∪B总可以排成无穷序列，从而是可数集.(2) 一般情况下,此时令-A,则A∩B*=,A∪B*=A∪B.由于B至多可数,故作为B的子集,也至多可数（有限集或可数集）,由(1)的证明知,A∪B*可数,故A∪B也可数.□推论1.2.2设是有限集或可数集,则∪ni=1A i也是有限集或可数集,但如果至少有一个是可数集,则∪ni=1A i必为可数集. 定理1.2.8 可列个可数集的并集是可数集.证明设(n=1,2,…）是一列可数集.(1)先设因为都是可数集,于是可记A n={a n1,a n2,…,a nk,…},n,k=1,2,…,从而∪中元素可按下述方式排成一列：∪规则是：排第一位,当i+j>2时排在第j+∑i+j-2k=1k位因此∪是可数集（注：当部分是有限集时仍适用）.(2) 一般情况下,各可能相交,令-∪i-1j=1A j(i≥2),则且∪∪由可数易知都是有限集或可数集,如果只有有限个不为空集,则由推论1.2.2易知∪为可数集（因为至少为可数集）;如果有无限多个（必为可数个）不为空集,则由(1)知∪∪也是可数集,故在任何场合∪都是可数集.□推论1.2.3 (1) 有限集与可数集的并是一可数集;(2) 有限个可数集的并是一可数集;(3) 可数个互不相交的非空有限集的并是一可数集;(4) 可数个可数集的并是一可数集. 例1.2.4 整数集,有理数集均为可数集.事实上,整数集Z=N∪(-N),其中-为负自然数全体的集合. 因映射f:N→-N,f(n)=-n,建立了N与-之间的一一对应,故-N是可数集.于是由定理1.2.7知Z是可数集.对于有理数集,记Q+为正有理数全体的集；Q-为负有理数全体的集,于是Q=Q+∪Q-∪{0}.令A n=1n,2n,3n,…则(n∈N）是一列可数集,而Q+=∪从而由定理1.2.8知Q+亦可数；又Q-与Q+通过映射f(x)=-x (x∈Q+）建立了一一对应,于是Q-也可数.再利用定理1.2.7即得Q是可数集.由例1.2.4易得下面一些今后很有用的结论：有理系数多项式全体所构成的集合是可数集；R中无限个互不相交的开区间所形成的集是可数集.事实上,在每一个开区间中任意取定一个有理数,由题设可知开区间与取定的有理数是一一对应的.因此这些有理数形成Q的一个无限子集,记为Q 1,由定理1.2.6得Q1可数,从而得证.注1.2.2若A中每个元素可由n个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号跑遍一个可数集,即A={a x1,x2,…,x n|x k=x k(1),x k(2),x k(3),…;k=1,2,…,n},则A为可数集.例1.2.5元素是由k个正整数所组成的集合,其全体构成一可数集A={(n 1,n2,…,n k)|n i∈Z+}.例1.2.6 整系数多项式a0x n+a1x n- -的全体是一可数集.记a a0,a1,…,a n=a0x n+a1x n- -则整系数多项式的全体可记为∪，为可数集,其中代数数的全体是一个可数集（所谓代数数,就是整系数多项式的根）.事实上,整系数多项式的全体可数,而每一个整系数多项式只有有限个根,故代数数的全体是一个可数集.例1.2.7 N与R不对等,即N≠R.若不然,存在N与R的一个一一对应,将与N中n对应的元素(n)记为则R上至少有一个单位长度的区间不含不妨设此区间为\,将\分为三等分,则0,13〗,23,1〗中至少有一个不含以表示这个区间,将三等分,其左、右两个区间中至少有一个区间不含记为依此类推,可得一串闭区间},满足：(1) 且的长度趋于0; (2)由闭区间套定理知但对任意的换言之不在R中,这是不可能的.这一矛盾说明与R不可能对等.例1.2.8R上任一单调函数的不连续点全体的集至多可数,即或为空集,或为有限集,或为可数集.不妨设f(x)是单调递增函数.若f(x)在R上连续,则其不连续点集为空集；若存在间断点由柯西（Cauchy）收敛原理可知-0)与均存在,于是f(x1-0)=lim x→x1-表明对应开区间-对于两个不同间断点和由函数f(x)的单调性可得,开区间-与-互不相交.进而,由上面的分析知,f(x)的不连续点集与上述开区间形成的集合之间存在一一对应,于是,或为有限集,或为可数集.1.14 不可数集与连续基数对于一个无限集,若不是可数集,则称之为不可数集. 定理1.2.9开区间(0,1)是不可数集.证明用反证法：假若(0,1)是可数集,则可记而每个(i=1,2,…）均可按下述方式唯一表示成十进制纯小数：a(1)=0.a(1)1a2(1)a3(1)…,(2)…,(3)…,规定,上述各数不能从某位起全为0.令满足：当当由上述构造知∈(0,1),但这与假设矛盾.□由前面的例1.2.2及定理1.2.9得,实数集R是不可数集.今后用c表示实数集R的基数,称之为连续基数（势）.而且由定理1.2.9知例1.2.9 (a,b)=c,其中a,b∈R.事实上,令φ(x)=a+x(b-a),x∈(0,1),则φ建立了(0,1)与(a,b)之间的一一对应,于是(a,b)=(0,1)=c.类似地,可证(-∞,0)=(0,+∞)=\=(a,b\]=\=\=(0,1)=c.下面的定理关心的是连续基数的性质问题. 定理1.2.10设是一列互不相交的集合,它们均有连续基数,则并集∪n也有连续基数.证明注意到\及\故∪～∪∞n=1\即∪n有连续基数.□由定理1.2.10易知,平面R2有连续基数,即R2=c.类似地有R n=R∞=c,此处R∞是指可数个R的笛卡儿积.定理1.2.3告诉我们,可数集在无限集中间基数最小,那么有没有最大的基数呢？答案是否定的,即下面的结论. 定理1.2.11任给一个非空集合是其幂集,即由A的所有子集形成的集合.则证明假若A～则存在一一对应φ:于是对于每个a∈A,都唯一存在A的子集φ(a)与之对应.作A的子集∈A|xφ(x)}.根据假定,应有A中元素与对应.由此,若∈A0，则与的定义矛盾；若，则由的定义知又应该属于矛盾.于是A与不对等.进而,单点集全体形成的真子集,记为A ~,显然A~～A,因此例1.2.10其中记从自然数集N到两点集{0,1}的所有映射形成的集.事实上,对于任意的f∈{0,1}N,令φ:则φ是从到(0,1\]的一一映射,于是有0,1\];另一方面,每个x∈(0,1\]均可唯一表示(规定下面二进制表达式中必须出现无限多个1)为x=∑∞n=1x n2n,∈{0,1}.令∈N,则∈{0,1}N.进而,定义映射φ:∈(0,1\],则φ是从(0,1\]到的一一映射,于是有(0,1\再利用伯恩斯坦定理即得\]=c.注意到N=0,例1.2.10用记号表示,即既然没有最大的基数,那么限定在0与c之间情况又如何呢？集合论的奠基者康托尔于1878年提出下面的猜想：在0与c之间没有基数存在,即不存在集合X,使得0<<c.这个问题又被称为连续统假设问题.20世纪伟大的数学家希尔伯特（Hilbert）在1900年国际数学家大会上提出了23个重大数学问题,其中就包括连续统假设问题.而连续统假设问题直到1963年才由科恩（Korn）和哥德尔（Godel）解决：他们证明了,连续统假设与已有的集合论公理系统是相容的,既不能被证明也不能被否定. 习题习题1.15 设f: X→Y是一个满射,证明下列3个命题等价：(1) f是一一映射;(2) 对任意的有f(A∩B)=f(A)∩f(B);(3) 对任意的若则1.16 设f: X→Y,证明f是满射的充要条件是,对任意的有-1(A))=A.1.17 设映射f: ∈I(I为指标集),试证：(1) f∪α∈IAα=∪α∈If(Aα);(2) f∩α∈IAα∩α∈If(Aα);(3) 若则--∈I,i=1,2; (4) -1∪α∈IBα=∪α∈If-1(Bα);(5) -1∩α∈IBα=∩α∈If-1(Bα);(6) -1(Y--1(Y)--1.18 设E是X的子集,定义在X上的特征函数为χE(x)=1,x∈E, 0,x∈X-E.如果都是X的子集.证明：(1) ∪B(x)-(2) (3) --(4) n→∞sup sup(5) n→∞inf n→∞inf 5.设分别是到到的一一映射,问是否一定存在\\到\\的一一映射?1.1.3 试构造(0,1)与\7.试构造出一个从无理数集Q c到实数集R之间的一一映射.1.2.2 试证：若集合A中每个元素由n个独立的记号决定，各记号跑遍一可数集B,即A={a x∈B,k=1,2,…,n},则A为可数集.1.19平面点集A中任意两点之间的距离都大于某一固定常数d,且d>0,则A至多为可数集.1.20 设A=B∪C,=c,则B与C中至少有一个集合的势为c.1.21 如果A=∪则至少有一个的势为c.1.22 试证：若且A～A∪C,则有B～B∪C.1.23 证明：\上的全体无理数作成的集合其基数是c.1.24 证明：若E是可列集,则E中存在可列个互不相交的真子集. 15.若f(x)是R上的实值函数,则集合A1={x|x∈R,f(x)在x处不连续,但右极限f( x+0)存在是可数集.1.1.4 证明\上的连续函数全体C\的势为c.1.1.5 若对任意有限个x:使得∑ni=1f(x)≤M成立,试证,能使f(x)≠0的x的集合至多为可数集.1.1.6 证明(a,b)上的凸函数在除一个至多可数集的点外都是可微的.1.3R n中的点集1.3 中的点集1.3.1 n维欧氏空间R是实数集,其几何表示即数轴；R2={(x,y)|x,y∈R}是有序实数对全体形成的集合,其几何表示即坐标平面.对于任意的∈R2, 定义两种线性运算：(1) 加法(2)数乘∈R.则R2关于这两种运算构成线性空间,(0,1),(1,0)是R2的一组基,因个数为两个,故R2称为二维线性空间.因平面上的点与从原点出发以该点为终点的向量一一对应,故R2又称为向量空间,其中的元素又称为向量.平面几何（欧几里得（Euclid）几何）及平面解析几何就是建立在R2基础之上的.推而广之,有下面的定义.定义1.3.1 n维欧氏空间为集合{x=(x1,x2,…,x n)|x i∈R,i=1,2,…,n(n∈N)},记为R n,或记为R×R×…×R,共n个R.类似地关于上述加法及数乘运算构成一个线性空间为R n的一组基.沿用二维线性空间的称谓也称为n维向量空间,其中的元素称为点或向量.对于任意的∈R n,定义d(x,y)=∑ni= -则d(x,y)有下述3条性质：(1) 正定性,d(x,y)≥0,且d(x,y)=(2) 对称性,d(x,y)=d(y,x);(3) 三角不等式,d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).这3条性质是距离的本质刻画,因此,上面定义的d(·)是R n上的一种距离,于是称为距离空间.性质(1), (2)由定义立得；性质(3)的证明要用到下述柯西-施瓦茨（Cauchy- Schwarz）不等式.引理1.3.1（柯西-施瓦茨不等式)。
《实变函数论》课程主要内容第一章 集 合1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习： ①证明()()A B C A B C --=- ； ②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+ ； 2、 对等与基数的定义及性质；练习： ①证明(0,1) ；②证明(0,1)[0,1] ；3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；5、第一章所布置的作业。
第二章 点 集1、度量空间，n 维欧氏空间中有关概念2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor 集的构造和性质；5、练习： ①P =，P '= ，P = ； ②111,,,,2n '⎧⎫⎨⎬⎩⎭ = ； 6、第二章所布置的作业。
第三章 测 度 论1、 外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、 可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、 零测度集的例子和性质；4、 可测集的例子和性质；练习： ①mQ = ，mP = ；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；5、存在不可测集合；6、第三章所布置的作业。
第四章 可 测 函 数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；7、第四章所布置的作业。
目录1．数论的内容......... ... (3)2．实变函数论的特点......... (4)3．学习实变函数论的方法......... (5)4．本教材的特色处理之处......... (5)第一章集合论§１.１集合概念与运算......... (6)§１.２集合的势、可数集与不可数集 (13)习题...... (25)第二章点集§２.１R n空间...... ... (26)§２.２几类特殊点和集......... (30)§２.３有限覆盖定理与隔离性定理 (35)§２.４开集的构造及其体积... (38)习题......... (45)第三章测度论§３.１Lebesgue外测度定义及其性质 (46)§３.２可测集的定义及其性质...... ... (48)§３.３可测集的构造......... (55)习题......... (59)第四章可测函数§４.１可测函数定义及其性质... ...... (59)§４.２可测函数的结构......... (63)§４.３可测函数列的依测度收敛 (70)习题第五章Lebesgues积分理论§５.１Lebesgue积分的定义及其基本性质... (77)§５.２Lebesgue积分的极限定理 (84)§５.３(L)积分的计算... (88)§５.４Fubini定理......... (93)习题......... (98)第六章积分与微分§６.１单调函数与有界变差函数... (101)§６.２绝对连续函数......... (106)§６.３微分与积分......... (108)习题......... (112)附录1．不可测集......... (113)2.一般集合的抽象测度和抽象积分...... (115)3.单调函数的可微性绪 论1.实变函数论的内容顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函只做一件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。
《实变函数论》如果您翻开《实变函数论》，就会发现整本书都在讨论函数的复合和积分，而且全部是由实数来表示，更奇怪的是有些地方还用到了虚数。
其中，令我印象最深刻的是：一元二次函数的图象和它的导数（即二次导数）之间，只存在确定的一对对应关系。
1。
任何一个点都是该点的一个函数值与该点所选取的参考方向的函数值之差（即方位角），这两者之差等于180°2。
任何一个点都可以被唯一地映射成一条与正负无穷大相等的直线。
3。
任何一个点的一切连续函数值都能求出，且它们的函数值相等。
4。
函数y=f(x)与参考方向一致时，其导数（即二次导数）为零。
5。
函数y=f(x)→__x x = 0__的图像经过每一个不是0的实数。
6。
函数y=f(x)的图像是凹向原点的椭圆。
4。
任何一个点都可以被唯一地映射成一条与正负无穷大相等的直线。
5。
函数y=f(x)→__x x = 0__的图像经过每一个不是0的实数。
6。
函数y=f(x)的图像是凹向原点的椭圆。
一个简单的命题“一切连续的函数值都能求出”：一切连续的函数值，其导数为零。
既然是简单的命题，那么如果把它扩展到n次以后，当n趋于无穷时，这个命题就显得含糊起来。
因为当n趋于无穷时，函数值将不再是函数值，而是所谓的数值或者说是量值。
但是，函数值不是一个集合吗？为什么还要从它的导数出发，找寻这个函数值呢？7。
函数y=f(x)的图像与x轴没有交点，这一事实，说明y=f(x)不是连续函数。
8。
如果我们用一般连续函数的思想来解释x^n-x^k、x^n-x^{n-k}等实际问题，很多结论便是显而易见的。
一个例子：上述三个命题仅用连续函数来解释是难以成立的。
9。
有理函数的定义域的存在性问题。
在自变量取实数集合的时候，其图像是闭合曲线。
所以，如果已知某个函数y=f(x)的定义域，便可以求出它的图像。
10。
一般连续函数都有自变量的取值范围，但在不同的取值范围内，图像会有不同程度的凹凸性。
《实变函数》课程教学大纲一、课程基本信息
二、课程目标及对毕业要求指标点的支撑
三、教学内容及进度安排
四、课程考核
注：各类考核评价的具体评分标准见《附录：各类考核评分标准表》
五、教材及参考资料
[1]程其襄, 张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础（第四版）[M]. 北京: 高等教育出版社,
2019, ISBN: 9787040508109
[2]夏道行等. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2010, ISBN:
9787040274318
[3]江泽坚,吴智泉，纪友清.实变函数论(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2007, ISBN:
9787040226430
[4]曹广福. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社, 2011, ISBN:
9787040316742
六、教学条件
需要多媒体教室，电脑要安装好Windows 7、Office 2010、MathType 6.9、Mathematica l1以上版本的正版软件。
附录：各类考核评分标准表
实变函数平时作业评分标准
实变函数设计评分标准
注：评分标准的分数段划分可以根据课程需要自行设计。
《实变函数》---- 课程主要内容提要* 第一章集合论* 1. 集合族之交、并、补、差的运算；*** 2. 集合的分解；集合列的极限运算；特征函数；** 3. 集合的基数与可数、不可数集；* 4. 极限点(聚点)、孤立点、导集的性质；** 5. 闭集、闭包、开集、内点的概念以及闭集、开集的性质；** 6.Gδ集、Fσ集、σ-代数、Borel集、稠密集；*** 7. Cantor三分集的概念及其性质；* 8. 点集间距离的概念。
** 第二章 Lebesgue可测集与Lebesgue测度*** 1. Lebesgue外测度的概念及其性质:单调性、次可加性、距离外测度性质、可测分离可加性；** 2. Lebesgue可测集的概念及其性质：交、并、补、差的运算性质；*** 3. Lebesgue测度的基本性质：可数可加性；测度与极限运算的交换性；** 4. Lebesgue可测集与Borel集的关系；等测包与等测核的存在性；* 5. 不可测集的存在性。
*** 第三章可测函数*** 1. 可测函数的基本概念及其运算性质；** 2. 简单函数的概念；简单函数逼近定理；*** 3. 可测函数列处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、近一致收敛和依测度收敛的概念及其相互关系：Egoroff定理；Lebesgue定理；Riesz定理；* 4. 依测度Cauchy列的概念；*** 5. 可测函数与连续函数的关系：卢津(Lusin)定理及其推论；*** 第四章 Lebesgue积分* 1. 非负简单可测函数的Lebesgue积分：基本概念；积分与极限的交换性；** 2. 非负可测函数的Lebesgue积分：基本概念与简单性质；*** 3. 三大基本定理：Levi定理、Lebesgue基本定理和Fatou引理；对积分域的可数可加性；Chebyshev(契比雪夫)不等式；** 4. 一般可测函数的Lebesgue积分：基本概念与简单性质；积分的绝对连续性；*** 5. 控制收敛定理: Lebesgue控制收敛定理, 有界收敛定理，依测度型控制收敛定理；L1-收敛；** 6. 可积函数与连续函数的关系；积分的平均连续性；*** 7. Lebesgue积分与Riemann积分的关系；** 8. Fubini定理以及Lebesgue积分的几何意义；卷积与分布函数的概念。
218.114.1实变函数论教学大纲(Functions of Real Variable)学分数 3 周学时 3+1一、说明1、课程名称：实变函数论（一学期课程）学时：（3+1）×182、教学目的和要求（1）课程性质：本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修。
（2）基本内容：本课程主要是以n维Euclid空间及其上实值函数为背景，运用点集分析的方法建立测度与积分的理论，具体内容包括：集合、映射，R n中点集的拓朴，可测集和可测函数，积分理论，微分和不定积分。
（3）基本要求：通过本课程的学习，学生应熟练掌握关于可测集、可测函数的概念和性质，深刻理解并掌握Lebesgue积分的理论，并在学习过程中形成抽象思维能力和逻辑推理能力的一个飞跃。
3、教学方式：课堂讲授+习题课训练4、考试方式：闭卷笔试5、教材：《实变函数论与泛函分析》（上册），夏道行等编，高等教育出版社，1984《实变函数与泛函分析》，自编讲义参考书：《实变函数论》，那汤松，高等教育出版社，1958《Real and Abstract Analysis》, Hewitt E., Stromberg K., Springer-Verlag,1975.二、讲授纲要（其中学时数不包括习题课时间）第一章集合和R n中的点集（10学时）§1 集和集的运算（2学时）§2 映射和势（4学时）§3 R n中的点集（4学时）本章教学要求熟练掌握集合的代数运算和极限运算，能应用Bernstein定理确定一些集合的势，熟悉R n的点集拓扑中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念。
第二章测度（12学时）§1 外测度与可测集（4学时）§2 测度及其性质（4学时）§3 可测集类（4学时）本章教学要求：掌握外测度的概念，正确理解Caratheudory条件，熟练掌握测度及其性质，熟悉一些重要的可测集类，理解不可测集的典型例子。
