2009-2010微积分(I)作业zucc 浙江大学城市学院

诚信考试 沉着应考 杜绝违纪浙江大学2009–2010学年 秋冬 学期《 高等数学 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 ，考试形式： 闭 卷，允许带___________入场 考试时间： 2010 年 1 月 23 日,所需时间： 120 分钟考生姓名： _____学号： 专业： ______一、填空题（每个空格3 分，共33 分）1.设函数⎩⎨⎧<+≥-=0 ,0,1)(2x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k -1 。

2.计算极限：11lim 21--→x x x = 2 ；)sin 11(lim 0xx x -→= 0 。

3.设函数x x y sin =，则=dxdysin cos x x x +；=22dx y d 2cos sin x x x -。

4.设1=-yxe y ，则==0|x dxdye 。

5.5001.1的近似值为 1.0002 。

6.函数)1ln(+-=x x y 的单调增加区间为 (0,+∞) 。

7.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1 2 4 16 5 2 2 4 2 2 1 A ，则A 的秩为 3 。

8.假设有100件产品，其中有70件为一等品，30件为二等品。

从中一次随机地抽取3件，则恰好有2件一等品的概率为2170303100 C C C 。

9.甲、乙二人各投篮一次，设甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，则甲、乙二人至少有一人投中的概率为 0.88 。

二、（本题 6分）欲造一个容积为250m 3的圆柱形无盖蓄水池，已知池底的单位面积造价是周围的单位面积造价的两倍。

要使水池造价最低，问其底半径与高应是多少？解： 设所做的圆柱形底半径为r ，高为h ，侧面造价为1单位，则总造价2()22P r r rh ππ=+．由2V r h π=得到2Vh rπ=，代入上式消去h ，得22()2VP r r r π=+，(0,)r ∈+∞． 令22()4=0VP r r rπ'=-，得到唯一驻点r =点，即底面半径r ===三、计算不定积分与定积分（每小题 5分，共 15分）1.解：()3222111(1)23x x C =+=++⎰2.解：()()()()11sin 2sin 22cos 2221111cos(2)cos 2cos(2)sin 22224x xdx x x d x xd x x x x dx x x x C ==-=-+=-++⎰⎰⎰⎰3.解：()()()()242044242404sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2x x dx x x dx x x dxx x dx x x dx x x x x ππππππππππ==-=-+-=-+-=++--=⎰⎰⎰⎰⎰四、（本题5分）求由直线x y =与曲线2x y =所围成平面图形的面积。

2009年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题及参考答案摘要：(文专类)一,计算题(每小题12分,满分60分)1.求极限解=2.计算不定积分解==3.设,求解=4.设,,求此曲线的拐点解,,令得当时,...关键词：微积分,积分类别：专题技术来源：牛档搜索（）本文系牛档搜索（）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。

不代表牛档搜索（）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（）不对其付相应的法律责任！2009年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题及参考答案（文专类）一、计算题（每小题12分，满分60分） 1.求极限211lim sinnn i i i nnπ→∞=∑解211l i m s i n nn i i in nπ→∞=∑=10sin x xdxπ⎰=101cos xd xππ-⎰=1101(cos cos )x x xdx πππ--⎰=111(1sin )x πππ---=1π2．计算不定积分1x dxxx-⎰解 1x dxxx -⎰=413dx x--⎰=C- 3．设21()(44xx f x πππ=---L，求(1)f '解2100()(tan1)[(tan2)(tan100)]444xxxf x πππ=---L21002()sec[(tan2)(tan100)]4444xxxf x ππππ'=--L2100(tan1)[(tan2)(tan100)]444xxxπππ'+---L2(1)sec[(12)(1100)]44f ππ'=--L =99!2π-⨯ 4．设c o t c o s 2s in x tt y t =⎧⎪⎨=⎪⎩，(0,)t π∈，求此曲线的拐点 解csc cot 2cos dy t t tdt=--，2csc dx t dt=-2cos (12sin )dy t t dx=+，2323sin cos 2d y t tdx=-令22d y dx=得123,44tt ππ==当04t π<<时，22d y dx<， 当344t ππ<<时，22d y dx>， 当34t ππ<<时，22d y dx<，因此拐点为(1,0),(1,0)- 5．已知极限212lim ()1xx x eax bx →++=，求常数的值,a b 解212lim ()x xx e ax bx →++=221lim (1)x x e ax bx xe→++-⋅=(2)lim2xx e ax b xe →++=1 于是0lim (2)0xx eax b →++=，1b =-由0(2)lim2xx e a →+=，得12a =-另解2222111221lim ()lim (11)xxe ax bx x xx eax bx xx x e ax bx e ax bx ++-++-→→++=+++-2201l i mxx e a x b xxe-++-=＝122222211()112limlimx x x x x o x ax bx e ax bx xx--+++++-++-=2221(1)()()12lim0,12x b x a x o x a b x-++++==⇒=-=- 二、（满分20分）设(0)0,0()1f f x '=<<，证明：当0x >时，2300(())()x x f t dt f t dt>⎰⎰证 设23()(())()x x F x f t dt f t dt=-⎰⎰则(0)0F =，2()()[2()()]xF x f x f t dt f x '=-⎰，由(0)0f =且0()1f x '<<，知当0x >时，()0f x >。

浙江大学城市学院线性代数 2010—2011学年第一学期期末试卷一，填空题（每空2分，共20分）1．已知3阶行列式111532101||=ij a ，则12a 的代数余子式_______|| _______,==A2．设3阶方阵A 的行列式2||-=A ，则________|| _______,|2|2==A A 3．已知向量()()()TTT432,301,021321=-==ααα，则___________32321=-+ααα4．设非齐次线性方程组2)( ,34==⨯A R b X A ，且()()T T 231,01221-=-=ξξ是该方程组的解，则此非齐次线性方程组的通解为______________________5．已知3阶方阵A 与B 相似，且A 的秩2)(=A R ，则____|| ____,)(==B B R 6．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=152543231A 所对应的二次型为____________________________，且此二次型的秩为_______ 二，问答题（每题5分，共20分）1．5阶行列式的项5344312512a a a a a 的符号为_________，请说明理由。

2．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100210001F 是初等矩阵吗？（正确说明理由，错误请举反例）3．n 阶实对称矩阵A 一定有n 个不同的特征值吗？（正确说明理由，错误请举反例）4．向量组()()()TTT323,202,121321===ααα是不是3维向量空间3R 的一组基？请说明理由。

三，简单计算题（每题5分，共30分，只写答案无过程不得分）1．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4221A ，求92 ,A A 。

2．用初等行变换法求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0403202321321321x x x x x x x x x 的通解，并将通解用基础解系表示。

3．已知向量组()()()TTTt 12,113,202321===ααα，则t 取何值时该向量组线性相关，并在线性相关时求此向量组的一个极大线性无关组。

诚信应考 考出水平 考出风格浙江大学城市学院2009 — 2010 学年第 一 学期期末考试试卷《 大学物理C 》开课单位： 计算分院 ； 考试形式： 开卷 ； 考试时间： 2010 年 1 月 20 日； 所需时间： 120 分钟一． 选择题 (本大题共 10 题，每题 2 分，共 20 分。

)下述选择题中请选择a 、bc d 字母之一填入答题表格相应题号空格中：) 1．（2分）开普勒的行星运动第二定律指出：由太阳到行星的连线在相同的时间内扫过相等的面积，这是行星在运动过程中 的结果。

a ．动量守恒；b ．动能守恒；c ．角动量守恒；d ．机械能守恒。

2．（2分）电磁波的振动方向与传播方向互相垂直，它反映了电磁波的 。

a ．干涉特性； b ．衍射特性； c ．偏振特性； d ．波粒二象性。

3．（2分）电子显微镜比光学显微镜具有更高的分辩率，这是因为电子显微镜中的电子比可见光光子的 。

a ．波长更短；b ．波长更长；c ．质量更小；d ．质量更大。

第 1 页共 6 页4. （2分）氢原子光谱是一种线状光谱，反映了原子的结构特征，验证了原子的。

a．J.J.汤姆逊模型；b．卢瑟福模型；c．玻尔模型；d．行星模型。

5．（2分）阳光下肥皂膜上出现的彩虹是由于。

a．光的干涉；b．光的衍射；c．光的折射；d．光的散射。

6．（2分）成语“只闻其声，不见其影”，实际上是反映了的物理现象。

a．光的直线传播；b．声音的直线传播；c．声波比光波传得更远；d．声波比光波更容易衍射。

7．（2分）狭义相对论的“相对性原理”是指。

a．物理规律在洛仑兹变换下保持不变；b．物理规律在伽利略变换下保持不变；c．物理规律是相对的；d．同时性是相对的。

8.（2分）产生激光的介质要实现粒子数反转，其必要条件是介质具有。

a．光放大能力；b．半导体特性；c．亚稳态能级；d．光学谐振腔。

9．（2分）以下哪个条件不是干涉实验成功的必备条件。

a．两束光有相同的频率；b．两束光有相同的振幅；c．两束光有相同的振动方向；d．两束光有稳定的相位差。

微积分习题一一、填空题（每题3分，总计15分）。

1、]1sin 2)1cos([lim )(lim 200320021x x x x x cx c x x x x ++=+-∞→+∞→，则=c . 2、设)(x f 在0x x =处连续，且) ()(lim 00为常数A A x x x f x x =-→，则=')(0x f .3、已知b ax x x f ++=23)(在1+x 处有极值-2，则)(x f 的极大值为 .4、已知==+=')(,0)0(,ln 1)(ln x f f x x x f 则且 .5、若向量x垂直于向量{}1,3,2-=a 与向量{}3,2,1-=b ，且与向量{}1,1,2-=c 的数量积等于-6，则向量=x .二、单向选择填空题（每题3分，总计15分）1、 1、 设函数0)0(0)(]10[)(=''>'''f x f x f 且上，在，下列关系正确的是（ ）. A.)0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->'C. )0()1()0()1(f f f f '>'>-D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2、 2、 下列广义积分收敛的是（ ）. A.⎰∞++121dx x x B. ⎰1021sin 1dx x xC. ⎰10ln xdxD. ⎰∞+>aa x dx的常数）0(323、 3、 已知0,1)(,)(=-='=x x dx dyx x f e f y 则= （ ）.A. 1B. eC. 2D. 04、曲线)40(2cos 0π≤≤=⎰x dt t y x的弧长为（ ）.A. 1B. 2C. 21D. 12-5、函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,cos 1,2)(x x a x xx f π 处处连续，则 =a ( ). A. 2 B.-2 C. 1 D. –1三、计算题（每题6分，总计48分）。

常微分方程 2010年春夏任课教师： 韩丹夫 李克峰Jerry Shen 按记忆整理 2010年7月6日(10:30-12:30)一、（20分）解下列常微分方程。

1. y ′+y =y 2ln x2. y ′′+y =cos t参考答案：1． 两边除以y ，左边凑微分换元 u =ln xy ，分离变量。

y =2/(2cx −x(ln x)^2 )2． 常数变易法。

二、（20分）考虑初值问题{dx =y dy =tx x (0)=1 y (0)=01． 求Picard 迭代序列前三项。

2． 问解是否可以表示成e −∫A (τ)dτt0X 0的形式，为什么？其中X 0=(1,0)T 。

参考答案：1. X 0=(10) X 1=(112t 2) X 2=(1+16t 312t 2) X 2=(1+16t 312t 2+130t5) 2. 不能。

设D (t )=∫A (τ)dτt 0，可得D (t )A (t )≠A (t )D (t )，所以不能。

三、（15分）证明：初值问题dy dt=t 2+x 2,y (1)=y 0 的解的存在区间对任意的y 0都有限。

参考答案：对y 0讨论，利用解的存在定理。

（可能还要用延拓定理）四、（15分）解微分方程组：{ dx =x −y dy dt =2x +y x (0)=1 y (0)=2 参考答案：先求特征值、特征向量，用复数表达，再化成实值形式得通解，最后求特解。

(x y )=e t (12)cos √2t +e t (−√2√2)sin √2t五、（20分）1．用解的存在性定理确定 y ′=y 2, y|x=0=2 的解的最大存在区间。

2．试证明 y ′=y 对解有连续依赖性，但不是稳定的。

参考答案：1．利用解的存在定理2．利用局部Lipschitz 条件和李雅普诺夫第二方法。

六、（10分）设A 是常数矩阵，A 的所有特征值的实部都为负值。

试证明系统 X ′=AX 的零解具有渐进稳定性。

浙工大之江学院2009-2010学年第一学期《微积分B 》期末试卷（A ）班级 姓名 学号一．选择题：（每格3分，共15分）1、下列四种趋向中，函数11)(2+++=x x x x x f 不是无穷小量的是（ B ） A.0→x B.1→x C.1-→x D.+∞→x2、关于函数)(x f y =在点x 处连续、可导及可微三者的关系是（ D ）A. 连续是可微的充分条件B. 连续是可导的充要条件C. 可微不是连续的充分条件D. 可微是可导的充要条件3、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<--=1,21,11)(2x x x x x x f , 则1=x 是)(x f 的 ( A ) A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点4、311-+=x y 的拐点为 ( C )A. )0,0(B.)2,2(C. )1,1(D. 无5、若)(x f 是)(x g 的一个原函数,则 ( B )A.⎰+=c x g dx x f )()( B.⎰+=c x f dx x g )()( C.c x g dx x f +='⎰)()( D.⎰+='c x f dx x g )()(二．填空题：（每格3分，共15分）1、 设x x x f cos )(=, 则='')(x f __-2sinx-xcosx______________2、某商品的需求量Q 与价格P 的函数关系式为P Q 3100-=，则需求量对价格的弹性是______31003p p-____________3、函数32)(3+-=x x x f 在区间]0,2[-上满足拉格朗日定理的条件，求定理中的=ξ_____4、设x e x f -=)(, 则='⎰dx x x f )(ln ____1c x +______________5、x e x f 2)(=的n 阶麦克劳林公式为 __________22(2)(2)12()2!!nx n x x e x x n ο=+++++ __________________________三. 计算题：1、求极限（每题5分，共10分） (1) x x x )1ln(lim 0+→011lim 11x x→+==(2) 10)xx x →1)0012032lim )lim 1(1)132=x x x x x ex xx e →→-→=++==先求原式2、求不定积分（每题5分，共15分） (1) dx x x ⎰+231()()()()22222312222111122111123x xx x c=+-+=+-++=(2) ⎰+++dxxxx82622221225228(1)71ln282xdx dxx x xx x c+=+++++=++++⎰⎰(3) 3lnx xdx⎰4444344ln4ln ln441ln441ln416xxdx xx d xxx x dxxx x c==⋅-=⋅-=-+⎰⎰⎰3、利用对数求导法求函数35)33()23(4+-⋅+=xxxy的导数y'（7分）解：1ln ln(4)5ln(32)3ln(33)2y x x x=++--+1115(2)33243233yy x x x-'=⋅+-⋅+-+532)1103()(33)2(4)321xyx x x x-'=--++-+4、设曲线方程为33(1)cos()90x y x y π++++=，试求此曲线在横坐标1-=x 的点处的切线方程。

浙江大学2004-2005学年秋冬季学期《微积分》课程期末考试试卷一、填空题1．1lim()xx x e x →-= .2．设()f x 可导，2(cos )f x y x =则d d yx= . 3．ln (0)xy x x=>的值域范围为 . 4．3121x x -=⎰5．设,arcsin x y t⎧⎪=⎨=⎪⎩则22d d y x = . 6．当0x →时，20cos d 2x tx e t t x --⎰与B Ax 等价无穷小，则常数A = ，B = .二、计算题1.求221d .22x x x x +++⎰ 2．已知(0),(),f a f b π==且()f x ''连续，求[]0()()sin d f x f x x xπ''+⎰.3．求2+∞⎰.4．求曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得的旋转体体积x V 和y V .5．在曲线段 2(08)y x x =≤≤上, 求一点2(,)P a a 使得过P 点的切线与直线0,8y x ==所围成的三角形的面积最大．三、求幂级数2021!n n n x n ∞=+∑的收敛区间以及在收敛区间上的和函数，并求级数0212!nn n n ∞=+∑的和.四、证明若2,e a b e <<<则2224ln ln ()b a b a e ->-⋅ 五、已知sin 0()0x e x x F x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩为连续函数.（1）求常数a ； （2）证明()F x 的导函数连续.浙江大学2004-2005学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、填空题1．2110ln()lim()lim x x x x x x e x e x e →→--=1002ln()1lim lim 22()x x x x e x e x x e x x e e e →→---===．2. 22(cos )d (cos )[2(cos )(cos )sin ln ]d f x y f x x f x f x x x x x'=-⋅． 3． (1,]e-∞ ．4.3121x x -+⎰．111x x x --=+⎰⎰12x x =⎰， 令sin x t =222222001312sin cos td 2sin (1-sin t)d 2()224228t x t x πππππ===⋅-⋅⋅=⎰⎰.5.由x =d d x t = a r c s i n y t =，d d y t =d 1d y x t =-，2221d d yt x==．6. 由洛必达法则20100cos d cos 12lim lim x tx B B x x x e t t x e x xAx ABx-→→----=⎰， 2323310[1()][1()]12!3!2!lim B x x x x x o x o x xABx-→++++-+--=， 其中：232331(),cos 1()2!3!2!xx x x e x o x x o x =++++=-+33101()3lim 1B x x o x ABx -→-+==, 得13,13B AB -=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即1,412A B =-=. 二、计算题 1.22221221d d d 22221(1)x x x x x x x x x x ++=-++++++⎰⎰⎰=2ln(22)arctan(1)x x x C ++-++．2.[]00()()sin d ()sin d ()sin d f x f x x x f x x x f x x x πππ''''+=+⎰⎰⎰()sin d sin d ()f x x x x f x ππ'=+⎰⎰00()sin d sin ()()cos d f x x x xf x f x x x πππ''=+-⎰⎰00()sin d cos ()()sin d f x x x xf x f x x x πππ=--⎰⎰=a b +.3.221x +∞+∞=-⎰⎰21arcsinx +∞=-=6π . 4. 22sin d 2x V x x πππ==⎰,2002sin d 2cos 2cos d 2y V x x x x x x x πππππππ==-+=⎰⎰．5. 解:（1）过点2(,)P a a 的切线方程为 22()y a a x a -=-， 令0y =，得22()a a x a -=-，得2a x =， 令8x =，得222(8)16y a a a a a =+-=-，令221()(8)(16)(8)222a aS a a a a =--=-，213()(8)2(8)()(8)(8)22222a a a aS a a '=-+--=-- ，令()0S a '=，得163a =，16a =（舍）．1333()(8)(8)1622222a a S a a ''=----=- ，16316()1680323S ''=⋅-=-<，所以，当163a =时，三角形面积最大．三、因为 2220102121()!(1)!!n n n n n n n x x x n n n ∞∞∞===+=+-∑∑∑2220()2!n x n x x e n ∞==+∑222222(21)x x x x e e e x =+=+，所以2220021212(221)5!!n n n n n n e e n n ∞∞==++==⋅+=∑∑．四、 设 2()ln ,()f x x g x x ==，在[,]a b 上由柯西定理，有 222ln ln ln 2,b a e a b e b a ξξξ-=<<<<- .再令2ln 1ln (),()0()x xx x e x x x ϕϕ-'==<<,故()x ϕ单调下降，得222(),()x e x e e ϕ><<，有2ln 2e ξξ>,得2224ln ln ()b a b a e ->-. 五、 (1）因为 0sin lim1x x e xx→=， 所以1a =． (2）0sin 1(0)lim x x e xx F x→-'=20sin lim x x e x x x→-= 00sin cos 12cos lim lim 122x x x x x e x e x e x x →→+-===， 所以，2(s i n c o s )s i n,0;()1,0.x x x x e x e x e x x F x x x ⎧+-≠⎪'=⎨⎪=⎩而 20sin cos sin limx x x x xe x xe x e xx →+-02cos lim 12x x xe x x →==,所以 ()F x '在(,)-∞+∞上是连续的．浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、 计算题1.已知抛物线2y ax bx c =++过点(1,2)，且在该点的曲率圆方程为22151()(),222x y -+-=则a = ,b = ,c =2.设12()sin d x f x t t =⎰，则(1) 10()d f x x =⎰ ；(2) 1()lim1x f x x →=- 3.若011lim ,2a x x →=则a = 4.当x = 时，函数2x y x =⋅取得极小值.5.曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程为 *6.已知01(cos sin ),(0,2),2n n n xa a nxb nx x ππ∞=-=++∈∑则5b = （此题不作要求）二、求极限1.0sin tan lim tan (1)ln(1)x x x x x e x →--- 2. 21sin 0lim(cos )xx x → 三、求导数1.设函数()x x y =由sin 0y x x -+=所确定，求22d d ,d d x xy y2.设sin arctan ,ln(x t t y t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩ 求22d d ,d d y y x x 3.设()arccot xy x e =-()y x '. 四、求积分 1.21d (1)(1)x x x ++⎰．2.x ．3.1321(x x x -+⎰． 4.20sin 2d 1cos xxx xπ+⎰．五、设曲线21:1(01),C y x x =-≤≤x 轴和y 轴所围区域被曲线22:(0)C y ax a =>分为面积相等的两部分，试求常数a .六、将函数12()arctan 12x f x x -=+展开成x 的幂级数，并求级数0(1)21nn n ∞=-+∑的和.七、设()f x 在(,)a +∞内可导，且lim (),x f x a →∞'=证明：()limx f x a x→∞=．浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案 一、计算题1. 由2y ax bx c =++，有2,2y ax b y a '''=+=，得112,2,2x x a b c y a b y a =='''++==+=由曲率圆方程22151()(),222x y -+-=两边求导，152()2()022x y y '-+-=，得1,21x y y =='=，5222()02x y y y y ''''++-=，得1,24x y y ==''=根据2y ax bx c =++与曲率圆22151()(),222x y -+-=在点(1,2)有相同的,,y y y '''；得到 24,21,2a a b a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩， 所以有2,3,3a b c ==-=.2. （1）11120()d (sin d )d xf x x t t x =⎰⎰⎰＝111220sin d sin d xx t t x x x +⎰⎰12201=sin d 2x x ⎰ =12011cos (1cos1)22x -=- ． （2）1211sin d ()limlim 11xx x t tf x x x →→=--⎰21sin lim sin11x x →-==-. 3. 因为，当0x →时2112x, 所以200112lim ,2a x x x x →→==得 2a = . 4. ()2x y x x =⋅,()22ln 2x x y x x '=+,令()0,22ln 20x x y x x '=+=，解得 1ln 2x -=， 由于2()2ln 22ln 22ln 22ln 2(2ln 2)x x x x y x x x ''=++=+， 当1ln 2x =-时，1()0ln 2y -''>，所以当1ln 2x -=时，()2x y x x =⋅取到极小值．5. 因为, 21111arctan ,,,arctan1124x x y x y y y x π==''=====+， 所以，切线方程为 1(1)24y x π=-+. 6. 515b =．二、求极限1. 0sin tan lim tan (1)ln(1)x x x x x e x →---=30sin (cos 1)cos lim x xx x x→--，注：当0x →时1,ln(1)x e x x x --- , 20cos 11lim2x x x →-==-． 2. 因为 ,21sin 0lim(cos )xx x →=2cos 11cos 1sin 0lim[1(cos 1)]x x xx x -⋅-→+- ，而 20cos 11limsin 2x x x →-=-，1cos 1lim[1(cos 1)]x x x e -→+-=， 所以 11sin2lim(cos )xx x e-→=．三、求导数1. 对方程sin 0y x x -+=两边关于y 求导数,注意到()x x y =,有 d d 1cos 0d d x x x y y -+=,得 d d xy =11cos x-, 222d 1d()d()(cos )d d 1-cos d d d (1-cos )y xx x yx yy y x '--===3sin (1cos )x x -=-. 2. 2d 1sin arctan ,cos d 1x x t t t t t=-=-+, ln(y t =，d d y t =d d d d d yy t x t==, 222d d (1)cos 1yxt t =⎡⎤+-⎣⎦．3.111()arccot arccot [ln ln(1)]arccot ln(1)222xx x x x x y x e e e e e x e =---+=-++，2211()122(1)12(1)x x x x x x xe e e y x e e e e '=--+=--++++. 四、 １.21d (1)(1)x x x ++⎰=22111()d 2111x x x x x -++++⎰ 2111ln 1ln(1)arctan 242x x x C =+-+++. 2. (令15x t =)x =145315d t t t t +⎰=11215d 1t t t +⎰ =9753215()d 1tt t t t t t t -+-+-+⎰ =108642211111115[ln(1)]1086422t t t t t t C -+-+-++=28242231551515153155151515ln(1)282422x x x x x x C -+-+-++.3.1321(x x x -+⎰11x x -=⎰22202sin cos d t t t π=⎰ 注：令sin x t =22202sin (1sin )d t t t π=-⎰1312()224228πππ=⋅-⋅⋅=.4. 20sin 2d 1cos x x x x π+⎰=220dcos 1cos x x xπ-+⎰=20dln(1cos )x x π-+⎰ 2200ln(1cos )ln(1cos )d x x x x ππ=-+++⎰＝22(cos )ln 2(1)2d 1n nn x x n ππ+∞=-+-⋅⋅+∑⎰1201(1)ln 2cos d n nn x x n ππ-∞=-=-+∑⎰ 12201(1)ln 22cos d n n n x x n ππ-∞=-=-+⋅∑⎰=11(1)(21)!!ln 22(2)!!2n n n n n ππ-∞=---+⋅⋅⋅∑.五、由 221,y x y ax⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点0x =, 311212002(1)d ()33x S S x x x +=-=-=⎰，022310012[(1)]d ()33x x a S x ax x x x +=--=-=⎰，由12S S =，得212323=⋅， 所以 3a =.六、由12()arctan 12x f x x -=+， 2221()2(1)4,142n n nn f x x x x ∞=-'==--<+∑， 210(1)4()()d (0)2421n n x n n f x f x x f xn π∞+=-'=+=-+∑⎰， 当12x =时，210(1)41024212n n n n n π∞+=-=-+∑， 得 0(1)214nn n π∞=-=+∑.七、解法一：由洛必达法则, ()()lim lim 1x x f x f x a x →+∞→+∞'==.解法二：① 若0a =，由lim ()0x f x →+∞'=，按定义知0ε∀>，10x ∃>，当1x x >时，恒有()2f x ε'<．1(,)b x ∀∈+∞，当x b >时，有()()()2f x f b f x b x b εξ'-=-<-，由于()()()()2f x f b f x f b x b ε-≤-<-，有()()2f x f b x b ε≤+-，再取2x b >，使得2()2f b x ε<，当2x x >时， 有2()()()()()()2222x bf b x b f b f x f x f b f b x x x x x x εεεεε---+=<+<+<+=， 所以，()lim0x f x x→+∞=． ② 若0a ≠，由lim ()x f x a →+∞'=，则有 lim [()]0x f x ax →+∞'-=， 设()()F x f x ax =-，有lim ()0x F x →+∞'=，由①知，()()limlim 0x x F x f x axx x→+∞→+∞-==，得证．浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、求导数或微积分（1）设sin43(arctan 2)ln 2x y x x =++，求d d yx .（2）设22d ,sin()d t ts x e s y t s s -==-⎰⎰，求t =d d y x 及22d d y x .（3）设()y y x =是由方程210x y e x xy +---=确定的x 的可导函数，求0d x y =. 二、求积分（4）求60x ⎰.（5）求2arctan d xxe x e ⎰. （6）求1+∞⎰.三、求极限 （7）求3012cos lim[()1]3x x x x →+-. （8）设()f a ''存在，()0f a '≠，求11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--.（9）设1121)1))nn n u n n n ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦（（（1，求lim n n u →∞. 四、选择题（10）设2620arcsin d ,(1)d xt t t e t αβ==-⎰⎰，则0x →时 [ ]（A ）αβ与是同阶但不等价无穷小. （B ）αβ与是等价无穷小. （C ）αβ是的高价无穷小. （D ）βα是的高价无穷小. （11）设级数1n n a ∞=∑收敛，则下述结论不正确的是[ ]（A ）11()n n n a a ∞+=+∑必收敛. （B ）2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛.（C ）2211()n n n a a ∞+=+∑必收敛. （D ）2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛.（12）设1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰，则()0F x x =在处[ ]（A ）极限不存在 （B ）极限存在，但不连续（C ）连续但不可导 （D ）可导（13）设()y f x =为连续函数，除点x a =外，()f x 二阶可导，()y f x ''=的图形如图， 则() [ ]y f x =（A ）有一个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （B ）有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （C ）有一个拐点，一个极小值点，二个极大值点. （D ）有一个拐点，二个极小值点，一个极大值点.五、（14）设曲线2y ax =(0,x ≥常数0)a >与曲线21y x =-交于点A ，过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面形D ．(I) 求D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积()V a ；（II ）求a 的值使()V a 为最大.六、（15）将函数21()arctan ln(1)2f x x x x =-+在0x =处展开成泰勒级数（即麦克劳林级数）并指明成立范围.七、（16）设0,x >证明2()(4)(2)20x x f x x e x e =---+<．浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、求导数或微分(1） sin 4sin 4122d 14cos 4ln sin 46(arctan 2)d 14x x y x x x x x x x x -=⋅+⋅++． (2) 由 20d ts x e s -=⎰，得2d d t xe t -=，由20sin()d ty t s s =-⎰，令t s u -=，得0220sin d sin d tty u u u u =-=⎰⎰，得2d sin d y t t =，所以222d d sin ,d d t t y ye t e x x π==，2222222222(sin )d 2sin 2cos d t t t tt t e t y te t te t x e e--'+== 22222(sin cos )t te t t =+, 22d d t y x π=．(3) 由 210x y e x xy +---=及0x =，得0y =，对方程 210x y e x xy +---= 两边取微分有(d d )2d (d d )0x y e x y x x y y x ++--+=， 将0x =，0y =代入，得 0d d x y x ==．二、求积分 （4）解66x x =⎰⎰6x =⎰ （令33sin x t -=）2227(1sin )cos cos d t t t t ππ-=+⎰22012754cos d 54222t t πππ==⋅⋅=⎰．（5）解 令x e t =，2arctan d xxe x e ⎰＝3arctan d t t t ⎰211arctan d 2t t =-⎰ 2221arctan 1[d ]2(1)t t t t t =--+⎰ 2221arctan 11[d d ]21t t t t t t =--++⎰⎰ 21arctan 1[arctan ]2t t C t t=-+++ 21arctan [arctan ]2x x xxe e e C e-=-+++． （6）解t =，1+∞⎰202d 1t t +∞+⎰02arcta n t π+∞==. 三、求极限 (7) 解 3012cos lim[()1]3xx x x →+- 2cos ln()3301lim [1]x x x e x +→=- 注2cos ln()32cos [1ln(),(0)]3xx x e x x ++-→ 2012cos limln()3x xx →+= 201cos 1lim ln(1)3x x x →-=+ 注[cos 1cos 1ln(1),(0)33x x x --+→] 201cos 11lim ()36x x x →-==． (8) 解 11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--()()()()lim ()()(()())x a f x f a f a x a f a x a f x f a →'---='-- ＝()()lim()(()())()()()x af x f a f a f x f a f a f x x a →''-'''-+-2()()()lim ()(()())2(())()()x a f x f a f a x a f a f x f a f a f a f x x a→''-''-=='-'''+-． （9）解 由 112[1)1))]nn n u n n n =+++（（（1， 取11ln ln(1)n n i i u n n==+∑,则 11100011limln lim ln(1)ln(1)d ln(1)d 2ln 211n n n n i i x u x x x x x n n x →∞→∞==+=+=+-=-+∑⎰⎰,所以 2ln 214lim n n u e e-→∞==． 四、（10）解：因为262000arcsin d limlim (1)d xx x t t te tαβ→→=-⎰⎰注：由洛必达法则2222331arcsin 3lim 1x x x x xe -→⋅=- 注：221,(0)x e x x -→ 22320231arcsin 1lim33x x x x x →==⋅， 所以，αβ与是同阶但不等价无穷小，则选 A ． （11）解：（A ） 因为11111()nn n n n n n aa a a ∞∞∞++===+=+∑∑∑11212n n n n n n a a a a ∞∞∞====+=+∑∑∑，而1nn a∞=∑收敛，所以11()n n n a a ∞+=+∑必收敛，（B ）因为222222222221122311211()n n n n n n n a a a a a a a a a a a ∞++++=-=-+-++-+-=∑，所以2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛．（C ）因为2212345221111()n n n n n n n a a a a a a a a a a ∞∞++==+=+++++++=-∑∑所以2211()n n n a a ∞+=+∑必收敛,（D ）221234522112()(1)n n n n n n n n a a a a a a a a a ∞∞++==-=-+-++-+=-∑∑未必收敛，例如 1(1)n n n ∞=-∑收敛， 但221(1)nn n n a n ∞∞==-=∑∑发散，则结论不正确的是D ，本题选Ｄ（12）解：由1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰，则 11121,0,()11,02x t x x t e dt e e x F x e dt e x x ----⎧=-≤⎪=⎨⎪=-+>⎩⎰⎰，即 112,0,()11,02x e e x F x e x x --⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩， 因为 12101lim ()lim(1)12x x F x e x e ++--→→=-+=-， 11lim ()lim()1x x x F x e e e ----→→=-=- 所以 ()F x 在0x =处连续．因为 2012(0)lim 0x x F x++∆→∆'==∆， 01(0)lim 1xx e F x-∆-∆→-'==∆，(0)(0)F F +-''≠所以，()F x 在0x =不可导，所以选Ｃ． （13）如图，在点(,0)b 处，左边0y ''>，右边0y ''<，而点(,0)b 处0y ''=，所以点(,0)b 为曲线的拐点； 同理，在点(0,)d 处，左边0y ''<，右边0y ''>，而点(0,)d 处0y ''=，所以点(0,)d 为曲线的拐点； 在点(,0)c 处，左边0y '<，右边0y '>，而点(,0)c 处0y '=，所以点x c =为函数的极小值点； 在点(,0)a 处，左边0y '>，右边0y '<，而点(,0)a 处0y '=，所以点x a =为函数的极大值点， 所以，曲线有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点. 选（B ）五、解：由22,1y ax y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩求得交点)1a A a +（如图）， 直线OA 的方程y x =． （Ｉ） 旋转体体积 ()Va 2224()d 1a x a x x aπ=-+⎰=25/2215(1)a a π⋅+， （II ）53222552(1)(1)d ()22d 15(1)a a a a V a a a π+-+=⋅+ 27/2(4)15(1)a a a π-=+．在0a >处有唯一驻点4a =，当04a <<时d ()0d V a a >， 当4a >时，d ()0d V a a<, 故4a =为唯一极大值点，为最大值点．六、（15）解：由21()arctan ln(1)2f x x x x =-+21()arctan ,(),1f x x f x x'''==+展开之，20()(1),(1,1)n n n f x x x ∞=''=-∈-∑，两边积分，得212100(1)(1)()(0),(1,1)2121n n n n n n f x f x x x n n ∞∞++==--''=+=∈-++∑∑，再次两边积分，得220(1)()(0)(21)(22)nn n f x f x n n ∞+=-=+++∑220(1),(1,1)(21)(22)nn n x x n n ∞+=-=∈-++∑． 右边级数在1x =±处收敛，左边函数在1x =±处连续，所以成立范围可扩大到闭区间[1,1]-． 七、（16）证法1：由2()(4)(2)2x x f x x e x e =---+2(0)0,()(1)(1),2xx x f f x e x e '==---(0)0f '=2221()()44x x x xx f x e xe xe e ''=-=-．而当0x >时2114x e >>，所以当0x >时()0f x ''<， 于是知，当0x >时，()0f x '<，从而知，当0x >时，()0f x <. 证法2：由证法一，有 2211()(0)(0)()()022f x f f x f x f x ξξ''''''=++=< 证法3：由2()(1)(1)2xx x f x e x e '=---()1()2x x xx e x ξ='⎡⎤=--⎣⎦()02xe ξξ=-<，所以()0f x <．注：设()(1)x g x x e =-，在[,]2xx 上的拉格郎日中值定理，有()2(1)(1)1(),222xx x x x x x e x e x e x x ξξ='⎡⎤---=--<<⎣⎦ ．浙江大学2007-2008学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、(每小题6分)（1）设4cos 1tan 5ln 2x x y x e x π=++，求d d y x .（2）设由参数式22ln(1)x t ty t t ⎧=+⎨=-+⎩，确定了y 为x 的函数()y y x =，求曲线()y y x =的凹、凸区间及拐点坐标（区间用x 表示，点用(,)x y 表示）.（3）求210sin lim()x x x x→（4）求(2)]x x →+∞+二、(每小题6分) （5）求21d (1)x x x +⎰.（6）求arcsin d xxe x e⎰. （7）求230d x xe x +∞-⎰.三、（第(8)-(11)小题每小题8分，第(12)小题6分） （8）（8分） 设()y y x =是由32210y xy x x ++-+=及(1)0y =所确定，求131()d lim (1)x x y t tx →-⎰.（9）（8分）设2()231x f x x x =-+，试将()f x 展开成x的幂级数，并求()(0)(1)n f n ≥.（10）（8分） 设常数0a >，讨论曲线y ax =与2ln y x =在第一象限中公共点的个数. （11）（8分） 设0a <，曲线2y ax bx =+当01x ≤≤时0y ≥.又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围成的图形的面积13D =，试确定常数a 与b 使该图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积V 最小.（12）（6分） 设()f x 在区间(0,1)内可导，且()f x M '≤（M 为常数）证明：① 级数1111(()())22n n n f f ∞+=-∑绝对收敛； ② 1lim ()2n n f →∞存在.四、选择题（四选一，每小题4分）（13）设()()(),()()()f x u x v x g x u x v x =+=-，并设0lim ()x u x →与0lim ()x v x →均不存在，则下列结论正确的是 [ ]（A ）若0lim ()x f x →不存在，则0lim ()x g x →必存在.（B ）若0lim ()x f x →不存在，则0lim ()x g x →必不存在.（C ）若0lim ()x f x →存在，则0lim ()x g x →必不存在.（D ）若0lim ()x f x →存在，则0lim ()x g x →必存在.（14）曲线1ln(1)(1)x y e x x =++-的渐近线的条数 [ ]（A ）4条 （B ）3条. （C ）2条. （D ）1条.（15）设2122()lim 1n n n x x xf x x -→∞++=+，则()f x 的不连续点的个数为 [ ] （A ）0个 （B ）1个. （C ）2个. （D ）多于2个. （16）设()f x [,]a b 上可导，且()0,()0,f a f b ''><下述结论不正确的是[ ] （A ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f a >； （B ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f b >； （C ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x '=；（D ）至少存在一点0(,)x a b ∈使01()(()())2f x f a f b =+．（17）设0(1,2,)n a n >=，下列结论正确的是[ ]（A ）若存在0N >，当n N >时均有11n n a a +<，则1n n a ∞=∑必收敛. （B ）若存在0N >，当n N >时均有11n n a a +>，则1n n a ∞=∑必发散. （C ）若1n n a ∞=∑收敛.则必存在0N >，当n N >时必有11n na a +<， （D ）若1n n a ∞=∑发散.则必存在0N >，当n N >时必有11n na a +>．浙江大学2007-2008学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、(每小题6分)（1）24cos 4cos d 5cos sec 54(sin ln )d 2x x x x y xx e x e x x x x x =++-． （2）由22x t t =+，d 2(1)d x t t =+，ln(1)y t t =-+，d d 1y t t t =+，2d d 2(1)y tx t =+， 224d 1d 2(1)y tx t -=+，令 22d 0d y x =， 得 1t = 当11t -<<时，22d 0d yx> 曲线凹；当1t >时，22d 0d yx< 曲线凸，当1t =时，对应拐点．换成,x y ，当13x -<<时， 曲线()y y x =凹； 当3x >时， 曲线当()y y x =凸，点(3,1ln 2)-为拐点．（3）解 因为2211sin ln()00sin lim()lim xxx x x x x ex→→= ，而22001sin 1sin limln lim ln(11)x x x x x x x x→→=+-，201sin lim (1)x x x x →=- 注sin sin ln(11)1,(0)x xx x x+--→ 3200sin cos 11lim lim 36x x x x x x x →→--===-， 所以 21160s i n l i m ()x x xe x-→=．（4）lim (2))xx →+∞+2lim (1)]x x x→+∞=+222sin 2(1(1))limx x x ++-+=22sin 24()limx x x --=sin 42lim 1x x --==- ．二、 （5）22111d ()d (1)(1)x x x x x x x -=-+++⎰⎰ =1ln ln 1x x C x--+++．（6） 方法1：令 arcsin x e t =，则cos sin ,ln sin ,d d sin x te t x t x t t===2arcsin cos d d sin x x e t tx t e t=⎰⎰1d()sin t t =-⎰ 1d sin sin t t t t =-+⎰ ln csc cot sin t t t C t =-+-+arcsin ln x x x e e e e C ---=-+-+，或写成arcsin ln 1x x e e x C -=--++．方法2：令 x e t =，则1ln ,d d ,(0)x t x t t t==>2arcsin arcsin 1d d arcsin d x xe t x t t e t t==-⎰⎰⎰arcsin t t =-+arcsin tt=-+arcsin 1ln t C t t =--++arcsin ln 1x x e e x C -=+-．（7）2232200011d d d 22x x tx ex x e x te t +∞+∞+∞---==⎰⎰⎰001[d ]2t t te e t +∞+∞--=-+⎰011[]22t e +∞-=-=．三、（8）解 由32210y xy x x ++-+=，1lim ()0x y x →=两边关于x 求导数，有23220y y xy y x ''+++-=，得222()3x yy x y x--'=+，1lim ()0x y x →'=， 222(3)(2)(22)(61)()(3)y x y x y yy y x y x ''+-----+''=+，1lim ()2x y x →''=-． 由洛必达法则，1321111()d ()()()1limlimlim lim (1)3(1)6(1)63x x x x x y t ty x y x y x x x x →→→→'''====----⎰． （9）解：()(21)(1)xf x x x =--1111121112x x x x-=-=+---- 0(2)nn n n x x ∞∞===-+∑∑1(21),2n n n x x ∞==-<∑ ()(0)(21)!,1n n f n n =-≥（10）解：令()2ln f x ax x =-，有2()f x a x'=-，令()0f x '=，得2x a=，22()f x x''=，由于()0f x ''>，所以22()22ln f a a=-为()f x 的唯一极小值，为最小值.以下讨论最小值的符号.①若222ln 0a->，即2a e >时，()0f x >，()f x 无零点，两曲线无公共点；②若2a e=，则当且仅当a e =时，()0f x =，()f x 有唯一零点，两曲线在第一象限中相切；③若20a e <<，有2()0f a<时，有因0lim ()x f x +→=+∞，lim ()x f x →+∞=+∞， 所以在区间2(0,)a 与2(,)a+∞内，()f x 各有至少一个零点，又因为在这两个区间中()f x 分别是严格单调的，所以()f x 正好有两个零点，即两曲线在第一象限中有且仅有两个交点． （11）解：因0a <，且当01x ≤≤时，0y ≥，所以如下图1211()d 323b ax bx x a +=+=⎰，所以312a b =-， 221220()d ()523a ab b V ax bx x ππ=+=++⎰21()51030b b π=-+，d 1()d 1015V b b π=-+，22d d 15V bb π=，令d 0d V b =，32b =，2232d 0d b V b=>，为唯一极小值，故32b V=为最小值，此时53,42a b =-=．（12）① 由拉格朗日中值定理 1111111111()()()()()()222222n n n n n n f f f f M ξξ++++''-=-=≤， 而1112n n ∞+=∑收敛，所以，1111[()()]22n n n f f ∞+=-∑绝对收敛；② 111()()22n n S f f +=-,因为lim n n S →∞存在，所以1lim ()2n n f →∞存在．四、 （13）解 （A ）若0lim ()x f x →不存在，则0lim ()x g x →必存在.不正确，例如 211(),()u x v x x x ==， 221111(),()f x g x x x x x=+=-， 此时0lim ()x f x →不存在，0lim ()x g x →也不存在．（B ）若0lim ()x f x →不存在，则0lim ()x g x →必不存在.不正确，例如 11(),()u x v x x x ==，2(),()0f x g x x==，此时0lim ()x f x →不存在，0lim ()0x g x →=存在．（C ）若0lim ()x f x →存在，则0lim ()x g x →必不存在.假设0lim ()x g x →存在，由()()2()f x g x u x +=，得0lim ()x u x →存在，与已知矛盾，所以结论正确．（D ）若0lim ()x f x →存在，则0lim ()x g x →必存在.由上述（Ｃ），说明0lim ()x g x →必存在不正确．所以结论正确的是Ｃ，本题选Ｃ． （14）解，因为11lim[ln(1)](1)x x e x x →++=∞-，1lim[ln(1)](1)x x e x x →++=∞-,有铅垂渐近线（0,1x x ==）2条，因为1lim[ln(1)]0(1)x x e x x →-∞++=-，有水平渐近线（0y =）1条，又因为 2()1l n (1)l i m l i m []1,1(1)xx x f x e a x x x x→+∞→-∞+=+==-,1lim[()]lim[ln(1)](1)x x x f x ax e x x x →+∞→+∞-=++--lim[ln (1)]lim[ln ln(1)]x x x x x x e e x e e x --→+∞→+∞=+-=++-lim ln(1)0x x e -→+∞=+=,有斜渐近线（y x =）1条，所以本题共有4条渐近线，选A.（15）解22122,1,3,1,2()lim 11,121,1,n n n x x x x x x x f x x x x x-→∞⎧+<⎪⎪=⎪++⎪==⎨+-=-⎪⎪⎪>⎪⎩， 则()f x 的不连续点(1,1x x =-=)的个数为2个所以选C. （16）解 取2()4,[1,1],1,1,()3,()3f x x x a b f a f b =-∈-=-===,当(1,1)x ∈-时()3f x >,()2,()2,()2f x x f a f b '''=-==-,满足题目条件:（A ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f a >，成立, （B ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f b >；成立, （C ）至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x '=；成立,（D ）至少存在一点0(,)x a b ∈使01()(()())2f x f a f b =+．不成立. 所以本题选D（17）解 （A ）不成立,例如11n n ∞=∑,满足当1n >时 111n n a n a n +=<+, 但11n n∞=∑发散, （B ）成立,若存在0N >，当n N >时均有111,n n n na a a a ++>>， 则必有lim 0n n a →∞≠ 则1n n a ∞=∑必发散.（C ）不成立, 例如 21(1)2n n n ∞=-+∑收敛，但不存在0N >，当n N >时必有11n n a a +<， （D ）不成立,例如 11n n ∞=∑发散,但则存在0N >，当n N >时有111n na n a n +=<+．浙江大学2008-2009学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、求导数或微分(每小题6分)（1）设sin 3(cos )(arcsin 2)x y x x e π=++，求d y .（2）设由参数式3arctan 16x t t y t t=++⎧⎨=+⎩，所确定的函数()y y x =在1t =-处的一阶导数d d yx , 及二阶导数22d d yx.二、求极限(每小题6分)（3）011lim()1x x x e →--, （4）lim x(5)21lim(sin cos )x x x x x →+.三、求积分(每小题6分)（6） 221ln d (1)x x x x x x -+-⎰, （7）11(2)x x x -+⎰, （8）已知2d 2x ex +∞-=⎰，求0xx -+∞⎰．四、(每小题6分)（9）试将函数12()arctan 12xf x x-=+展开成x 的幂级数，并写出此展开式成立的开区间. （10）求幂级数1!nnn n x n∞=∑的收敛半径及收敛区间，并讨论收敛区间端点处级数的敛散性. 五、(每小题8分)（11） 求由方程3222220y y xy y x -++-=确定的函数()y y x =的极值,并问此极值是极大值还是极小值,说明理由．（12）求由曲线2y x =与2y x =+围成的图形绕水平线4y =旋转一周所生成的旋转体体积V .（13）设()f x 在[0,1]上连续，(0)0f =，并设()f x 在0x =处存在右导数(0)1f +'=，又设0x +→时，220()()d ()d x x F x x f u u u u =-⎰⎰与n Ax 为等价无穷小，求常数n 及A 的值．六、(每小题8分)（14）设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，(,)a b 内可导， （Ｉ）叙述并证明拉格朗日中值定理；（II ）如果再设()()f a f b =,且()f x 不是常数,试证明至少存在一点(,)a b ξ∈,使()0f ξ'>．（15）设n 为正整数，24021()d d 1nx x e t F x e t t t -=++⎰⎰（I ）试证明：函数()F x 有且仅有一个（实）零点（即()0F x =有且仅有一个实根），并且是正的，记此零点n x ；（II ）试证明级数21n n x ∞=∑收敛．浙江大学2008-2009学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、求导数或微分(每小题6分)（1）sin 2d [(cos )(cos ln cos tan sin )6(arcsin 2)x y x x x x x x x =-+．（2）222d 2d ,3(2)d 1d x t y t t t t +==++，21d d 3(1),6d d t y y t x x =-=+=222222d d()d 66(1)d 2d d 21yy t t t x t x x t t +===+++， 221d 4d t y x =-=-．二、求极限(每小题6分)（3）00111lim()lim 1(1)x x x x x e xx e x e →→---=-- 注1,0x e x x -→ 201lim x x e xx →--= 011lim 22x x e x →-==． （4）limlim x x =lim2x ==-．(5)21201ln(sin cos )lim(sin cos )lim xx x x x x x x x x e →→++=，而22001ln(1sin cos 1)limln(sin cos )lim x x x x x x x x x x→→++-+= 20sin cos 11lim 2x x x x x →+-==， 注：ln(1sin cos 1)sin cos 1,0x x x x x x x ++-+-→所以，21lim(sin cos )x x x x x →+=三、求积分（6） 222111ln d ()ln d (1)(1)x x x x x x x x x x -+=+--⎰⎰ 1ln d ln ln d()1x x x x =--⎰⎰ 21ln 1ln d 21(1)x x x x x x =-+--⎰ 21ln 11ln ()d 211x x x x x x =-+---⎰ 21ln ln ln 1ln 21x x x x C x =-+--+-． （7）112211(2)(24x x x x x x x x --+=++⎰⎰110x x =⎰ 令sin x t =22210sin cos d t t t π=⎰222010sin (1sin )d x x x π=-⎰131510()224228πππ=⋅-⋅⋅=．(8)2(1xxx e -+∞+∞-=--⎰⎰0]xx -+∞=--⎰2024d xu u e u -+∞+∞-==⎰⎰四、（9）12()arctan12xf x x -=+， 221(12)(2)(12)2()12(12)1()12x x f x x x x +---'=-+++ 22422814x x -==-++ 21212012(4)(1)2,2n n n n n x x x ∞∞++===--=--<∑∑， 12120()(0)(1)2d x n n n n f x f x x ∞++==+-∑⎰12121011(1)2,4212n n n n x x n π∞+++==+-<+∑．（10）记!n nn a n =，由11(1)!11(1)limlim lim lim !1(1)(1)n n n n n n n n n nnn a n n n a n en n++→∞→∞→∞→∞++====++． 所以，收敛半径R e =，收敛区间为(,)e e -，在x e =±处，级数成为1!()nnn n e n∞=±∑， 考察!n n n n u e n =，有111(1)n n n u eu n+=>+， 所以lim 0n n u →∞≠，并且也有lim(1)0n n n u →∞-≠，所以在x e =±处，该级数都发散．（11）由3222220y y xy y x -++-=, 求导有2(6421)220y y x y y x '-+++-=,令0y '=,得y x =与3222220y y xy y x -++-=联立,有3222(21)0x x x x x x -+=-+=,解之得唯一解0x =.相应地有0y =, 此时的确可由2(6421)220y y x y y x '-+++-=解出y ',故0x =为驻点. 再有 222()6421x yy y y x -'''=-++ 2222(6421)(22)2()(6421)(6421)y y x y x y y y x y y x ''-++----++=-++． 以0x y ==,及0y '=代入,得20y ''=>,故当0x =时, y 为极小值,极小值0y =.（12）由2,2y x y x ⎧=⎨=+⎩得交点(1,1),(2,4)-，则由上图22221[(4)(4(2)]d V x x x π-=---+⎰2241(1249)d x x x x π-=+-+⎰235211108[1223]55x x x x ππ-=+-+=．(13)220000()d ()d ()lim lim x x n nx x x f u u u uF x Ax Ax++→→-=⎰⎰22201()2()d ()2lim x n x xf x x f u u x x Anx+-→+=⎰2201200()()2limlim (1)x n n x x f u duf x xAnx An n x++--→→==-⎰ 2302()lim (1)n x f x An n x +-→=-25202()(0)lim (1)n x f x f An n x x+-→-=- 按题意, 0()lim 1n x F x Ax +→=,又220()(0)lim (0)1x f x f f x++→-'==, 若5n >则25202()(0)lim (1)n x f x f An n x x+-→--为∞, 若5n <则25202()(0)lim 0(1)n x f x f An n x x +-→-=-为,均与题意不符,故 5n =，于是25202()(0)1lim (1)10n x f x f An n x x A +-→-=-⨯,所以110A =． (14)(I)略,(II)设存在0(,)x x a b =∈,使0()0,f x >在区间0[,]a x 上用拉格郎日中值定理,存在0(,)(,)a x a b ξ∈⊂使得00()()()0f x f a f x aξ-'=>-, 如果存在0(,)x a b ∈,使0()0,f x <在区间0[,]x b 上用拉格郎日中值定理类似可证． (15) (I) 24021()d d 1nx xe t F x e t t t -=++⎰⎰，2014021(0)d d 01t F e t t t -=+<+⎰⎰， 2140211()d d 01e tn F e t t nt -=+>+⎰⎰，24()01nxx nx ne F x ee -'=+>+，故知存在唯一的n x 使 1()0,0n n F x x n =<<．(II) 因为 221nx n <,211n n∞=∑收敛， 故21nn x∞=∑收敛．。

浙江大学城市学院微积分（1）期中试卷参考解答1.220022e11lim lim 21.112ln(1)22ax x x ax a a x x→→-====+由于，则：2.00003(1)111(1)()0 1.(2)lim ()0lim ()0().e 13(1)(3)lim ()2lim 2lim 5111x x x x x x f x x x f x f x x f x x f x xx x →-→+-→→→====+∞=--=+=+==--函数的间断点为和，，故，为的第二类间断点，故，为可去间断点.3.11(1)lim 511(2)lim 50xx xy x →∞===+∞=由于，故，为曲线的渐近线；由于，故，为曲线的渐近线.4. 00002020(1)()0 2.1(2)lim ()arctan lim ()0().2(3)lim ()lim ()1()22x x x x f x x x f x f x x f x f x f x x fx ππ→-→+→-→+===-=+∞==-+=+=函数的间断点为和，，故，为的第二类间断点为的第一类间断点.5. (2(1)())().y f f x x =这些间断点的求的间断点，并指出类型；求曲线的渐近线00001001(1)()0 1.lim ()0lim ()0.lim ()1.(2)lim ()lim ()()0 1.x x x x x f x x x f x f x x f x x f x f x y f x x x →-→+→→+→==∙==+∞=∙=∞==+∞=∞===函数的间断点为和，；故，为其第二类间断点，故，为其第二类间断点因为，，故曲线的渐近线为和6.2222()221lim lim 1e 3ln 3.2xx c cxc x c c x x x c c c x c x c -⋅-→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭由于，则： 7.2()()2()()d sec (2)(2)2e e ()d 2(2)sec (2)e e ().f x f x f x f x yf x f x x f x xf x f x x f x ''=⋅⋅++''=++ 8.01()()()11()()()()()1()()()()(1)()lim lim ().11()()(2)lim 1e.()x n f a f a f a n f a f a f a f a nnf a n f a f a f a x f a n f a f a xn f a f a n I f a ∆→→∞+-⋅+-'→∞+-+∆-''==∆⎛⎫+- ⎪=+= ⎪ ⎪由于9. ()44(1)0 1.(2)e 510.1e d .0.e 5d xy xy xy x x yx y xy y yy y y y x==''+--=-'=⇒=-当时，等式两边同时对求导：因此， 10. 222(1)(2)d .y y x '=+-==11.20222d d 22d d (1)2(1). 2.d 1d d d 1d d 4(1)d (2)4(1).d 1dt yy t y t t x x x t ty y t t t x x=+===+⇒=+'+===+12.3322(1)24.d 2(2).d 1x yy y x yy x y x y ''+==+等式两边同时对求导，有因此13. ()222211(1)(22).1+22.22(2)d .222xy y x x yy x x y y x xy y x yy x yx yyy dx x y x yx y'-'⋅=⋅++⎛⎫⎪⎝⎭''-=+++'==≠--等式两边同时对求导：因此由上可得： 14. 0e (1)e e .1e e(2)0e d d .1e yyyyy a yx x x y y y x x y a y y x x ='''+=⇒=-'====-方程两边同时对求导，有当时，；因此，，15. 00()(0)1(0)limlim arctan 0.1arctan .2x x f x f f x x xx π→→-'===<其中：16.()1ln ln ln(1)3ln(3).21113ln 1.2131ln 1.(1)(3)x y x x x x x y x y x x y x x x x =++-+⎛⎫'=++- ⎪++⎝⎭⎫'=+-⎪++两边取对数，有两边同时对求导，因此17. 330d (e 1)3e 3.d ()t t t yf dyx f t dx='-⋅=='由于，则：18. 22002sec 1tan lim lim 2.11cos 2x x x x I xx →→-===-19. 22221arctan 12lim lim lim 1.111x x x x x x I x xxπ→∞→∞→∞--+====+-20. 2000e 1sin e cos e sin 1lim lim lim .222x x x x x x x x x I x x →→→---+==== 21. 2000(1)ln(1)(1)ln(1)1ln(1)11limlim lim .ln(1)22x x x x x x x x x x I x x x x →→→-++-++-+-====-+22.()243003200022222444440(e 1)2(e 1)(e 1)lim lim 42(e 1)1e 11e 11lim lim lim .42224e 1():21e 1()e 1().241()4lim x x x x x x x x x x x xxx x x x I x x x x x x x x x x o x x x o x x x o x x o x I x →→→→→→-----==-----=====+++--=+⇒--=++==【】：【】：由Taylor 展开，，则因此方法一方法二1.423.222222000cos csc 1sin lim lim .4(2)88.22ln cos 1ln[1(cos 1)]1cos 11lim lim lim .4448x x u u u xx x I x x u x u u u u I u u u πππππ→→→→→-===----==-+--====-【】：【】：令：，则：方法一方法二 24.222222001(1)0()~3tan ~().3(2)0()~4sin ~8()()1(3)lim lim .()88x x x f x x x f x x x x x x g x x f x x g x x →→→⨯→--==--当时，，故，是的二阶无穷小量当时，，故，是的二阶无穷小量.25.4d cos d (1)cot .d sin d (2)4t y b t b y bt x a t a x at P ππ===-⇒=--=曲线在处对应的点，则：26.3d sin sin d (1).d (1cos )1cos d 1(2)321:.32t y a t t yx a t t x C t P a C t l y a x πππ===⇒=--⎫=⎪⎪⎝⎭⎫=-=-⎪⎪⎝⎭曲线在处对应的点为，，则曲线在处的切线方程 27. 2()[01]0() 1.(01)().f x f x c f c c <<∃∈=设在，上连续，且证明：，使得22()()()[01](0)(0)0(1)(1)10.(01)()0().g x f x x g x g f g f c g c f c c =-=>=-<∃∈==令，则：在，上连续，且，由连续函数的零点存在定理，，使得，即28. ()arctan [01]f x x =Lagrange Lagrange 叙述中值定理，试问在，上是否满足.ξ中值定理的条件，为什么？如果满足条件，试求出满足定理条件的中值“” 22(1):()[]()()()()()().(2)()arctan [01](01)()[01]11(3)()(1)(0)()(10).141(01)f x a b a b a b f b f a fb a f x x f x f x f f f x ξπξξξ'∃∈-=-='=-==-=++∈Lagrange Lagrange 中值定理设在，上连续，在，内可导，则：，使得由于函数在，上连续，在，内可导，故，在，上满足中值定理的条件.由于，则：其中，ξ=，因此，29. 123()()()()()f x a b f x f x f x ==设在，内具有二阶导数，且，其中：()123()()0.a x x x b c a b f c ''<<<<∃∈=，证明：，使得1223123112223121212(1)()[][]()()()()()()()0.(2)[]()()()0.f x x x x x f x f x f x c x x c x x f c f c c c c c c a b f c ==''∃∈∈==''∃∈⊂=Rolle Rolle 函数在区间，、，上可导，且，由定理，，，，使得再在区间，上应用定理，，，使得30. ()[]()0()f x a b f x a b ξ>∃∈设在，上可微且，证明：，使得()=ln ()()[]()()()()().()()()()ln ().()()()F x f x F x a b a b F b F a F b a f x f b f F x b a f x f a f ξξξξ'∃∈-=-'''==-Lagrange 记，则：在，上可导，由中值定理，，使得又。

浙江大学城市学院线性代数期末试卷及解答浙江大学姜豪汇编2012年2月目录第一部分试卷真题城院线代11—12学年第一学期期末试卷 (2)城院线代10—11学年第二学期期末试卷 (4)城院线代10—11学年第一学期期末试卷 (6)城院线代09—10学年第二学期期末试卷 (7)城院线代09—10学年第一学期期末试卷 (9)第二部分答案与评估城院线代11—12学年第一学期期末试卷答案 (11)城院线代11—12学年第一学期期末试卷难度与题量评估 (12)城院线代10—11学年第二学期期末试卷答案 (12)城院线代10—11学年第二学期期末试卷难度与题量评估 (13)城院线代10—11学年第一学期期末试卷答案 (13)城院线代10—11学年第一学期期末试卷难度与题量评估 (14)城院线代09—10学年第二学期期末试卷答案 (14)城院线代09—10学年第二学期期末试卷难度与题量评估 (16)城院线代09—10学年第一学期期末试卷答案 (16)城院线代09—10学年第一学期期末试卷难度与题量评估 (17)第三部分试题详解城院线代11—12学年第一学期期末试卷详解 (18)城院线代10—11学年第二学期期末试卷详解 (24)城院线代10—11学年第一学期期末试卷详解 (31)城院线代09—10学年第二学期期末试卷详解 (37)城院线代09—10学年第一学期期末试卷详解 (43)第一部分 试卷真题城院线代11—12学年第一学期期末考试卷一、填空题（每空2分，共20分）1．3阶行列式132201171--中12a 的余子式为______，23a 的代数余子式为._______2．设B A ,均为3阶方阵，且3|| ,2||==B A ，则__,|2|=T AB __|)(|12=-A 。

3．已知向量111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且T A αα=，则A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ ，2012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

4．已知向量组321,,ααα线性无关，4321,,,αααα线性相关，则_____4α（填能或不能）由321,,ααα线性表示。

浙江大学2007年数学分析考研试题及解答1. 证明:()()3sin 1xex x x O x -+=，()0x →.证明：()30sin 1lim x x e x x x x→-+ 20sin cos 12lim 3x x x e x e x xx →+--= 02cos 2lim6x x e x x→-= 01cos sin 1lim 313x x x e x e x →-==.2. 证明：2cos sin 1x x x x +>+-，()0,x ∈+∞.证明：设()()2cos sin 1f x x x x x =+-+-，()00f =，()sin cos 12f x x x x '=-+-+， ()00f '=，()cos sin 20f x x x ''=--+>，从而，当0x >时，()()00f x f ''>=， ()()00f x f >=，故2cos sin 1x x x x +>+-， ()0,x ∈+∞.3. 设f是[]1,1-上的可积函数，则有()()()22212111x y z f z dxdydz f u u du π-++≤=-⎰⎰⎰⎰.证明：()2221x y z f z dxdydz ++≤⎰⎰⎰()222111x y t f z dxdy dz -+≤-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()222111x y t f z dxdy dz -+≤-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()()1211f z z dz π-=-⎰()()1211f u u du π-=-⎰.4. 叙述数集的上确界及下确界的定义.解：设E 是一非空数集，数β称为E 的上确界， 如果（1）x E ∀∈，有x β≤；（2）0ε∀>，x E ε∃∈，使得x εβε>-.设E 是一非空数集，数α称为E 的下确界，如果（1）x E ∀∈，有x α≤； （2）0ε∀>，x E ε∃∈，使得x εαε<+.5. 设E 是一个有上界的数集，用a E 表示E 的一个平移，即{}:a E x a x E =+∈,其中a 是一个实数，试证明：sup sup aE E a =+.证明：由于E 有上界，由确界原理，sup E β=是有定义的，证a β+是a E 的上确界.（1）任意a x x a E '=+∈，x E ∈，x x a a β'=+≤+；（2）0ε∀>，存在x E ε∈，使得x εβε>-，从而()a x a E ε+∈，有()()x a a εβε+>+-，故a β+是a E 的上确界，结论得证.6. 确定数集()22311,1,2,3,2n n S n n ⎧⎫-=-=⎨⎬⎩⎭的上确界和下确界. 解：()22223313131312222222n n n n n -⎛⎫⎛⎫-<--≤-≤-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()()()2223213lim1222k k k k →∞--=， ()()()221232113lim 12221k k k k +→∞+--=-+， 所以3sup 2S =，3inf 2S =-. 7. Dirichlet 函数 ()10x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，，为无理数.试分别用（1）极限的定义，（2）Cauchy 收敛准则， 证明：当1x →时，()Dx 的极限不存在.证明：（1）用极限定义证：00ε∃>，0δ∀>，存在无理数()1,u U δ∈，使得()()01011D u D ε-=-=≥.（2）Cauchy 收敛准则证：00ε∃>，0δ∀>，存在有理数()1,r U δ∈，存在无理数()1,u U δ∈，使得()()0101D r D u ε-=-=≥.8. 设函数列(){}nf x 与(){}ng x 在区间I 上分别一致收敛于()f x 与()g x ，且假定()f x ，()g x 都在I 上有界，试证明()(){}n n f x g x 在I 上一致收敛于()()f x g x .证明：由(){}nf x 在I 上一致收敛于()f x ，且()f x 在I 上有界，可知(){}nf x 在I 上一致有界，同理(){}ng x 在I 上一致有界.设()n f x A ≤，()n g x B ≤，由()()()()n n f x g x f x g x -()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x =-+-()()()()()()n n n f x g x g x f x f x g x ≤-+- ()()()()n n A g x g x B f x f x ≤-+-，再由条件，即可得到结论. 9. 在第8题中，如果只给出(){}nf x 与(){}ng x 分别一致收敛于()f x 与()g x ，能否保证有()(){}nnf xg x 一致收敛于()()f x g x .解：不能保证. 例1：()()1n n f x g x x n==+，()()f x g x x ==，显然(){}nf x 与(){}ng x 分别一致收敛，()()22112n n f x g x x x n n=++，()()2lim n n n f x g x x →∞=，但()()()()221supsupn n x Rx Rf xg x f x g x x n n∈∈-=+=+∞ 故()(){}nnf xg x 在R 上不一致收敛于()()f x g x .例2. 在(0,1)I =上, ()()11n n f x g x x n==+,()()1f xg x x ==, 显然(){}nf x 与(){}ng x 分别一致收敛，()()2211112n n f x g x x x n n =++，()()21lim n n n f x g x x →∞=，但()()()()2(0,1)(0,1)211sup supn n x x f x g x f x g x n x n∈∈-=+=+∞ 故()(){}nnf xg x 在(0,1)上不一致收敛于()()f x g x10. 设()f x 在[],a b 上可积，并且在x b =处连续，证明：()()()()11limbnn an n x a f x dx f b b a +→∞+-=-⎰.证明：由于()f x 在[],a b 上可积，从而()f x 在[],a b 上有界，0M ∃>，使得()f x M ≤，[](),x a b ∈，又()f x 在x b =处连续，0ε∀>，()0,b a δ∃∈-，使得[],x b b δ∈-时，有()()2f x f b ε-<.注意到()()111bnn an x a dx b a ++-=-⎰，我们有()()()()11bnn an x a f x dx f b b a ++---⎰()()()()11bnn a n x a f x f b dx b a ++=--⎡⎤⎣⎦-⎰()()()()11b nn an x a f x f b dx b a δ-++≤---⎰()()()()11bnn b n x a f x f b dx b a δ+-++---⎰()()()()111122b bnnn n ab n n Mx a dx x a dx b a b a δδε-++-++≤-+---⎰⎰()()1122n n b a Mb a δε++--≤+-1212n M b a δε+⎛⎫=-+⎪-⎝⎭，由于对该固定的δ，有1lim 10n n b a δ+→∞⎛⎫-= ⎪-⎝⎭， 从而*N N ∃∈，使得当n N >时，114n b a Mδε+⎛⎫-<⎪-⎝⎭，即有()()()()11bnn an x a f x dx f b b a ++---⎰道242MMεεε<+=，故结论得证.11. 设()f x 连续,证明Poisson 公式du c b a u f dS cz by ax f )(2)(22211++=++⎰⎰⎰-∑π，其中∑为2221x y z ++=.证明 取新坐标系Ouvw ，其中原点不变，平面0ax by cz ++=即为Ovw ，u 轴垂直于该面，点(,,)x y z 到平面0ax by cz ++=的距离为222ax by cz d a b c++=++；点(,,)x y z 在Ouvw 中的坐标为(,,)u v w ，则有 222ax by cz u a b c++=++在新坐标系下，公式左端的积分可写为()222Sf u a b c dS ++⎰⎰显然，球面S 的方程为2221u v w ++=或()22221v w u+=-，若表示成参数式，则为22,1cos ,1sin u u v u w u θθ==-=- 其中 11,02u θπ-≤≤≤≤；22(,1cos ,1sin )r u u u θθ→=--， 221(1,cos ,sin )11u u r uuθθ→=----，22(0,1sin ,1cos )r u u θθθ→=---，2211uE r u→==-， 221G r uθ→==-， 20,1u F r r EG F θ→→=⋅=-=从而2dS EG F dud dud θθ=-=，于是，最后得到()222()SSf ax by cz dS f ua b cdS ++=++⎰⎰⎰⎰()2122201d f u a b c du πθ-=++⎰⎰()122212f u a b c du π-=++⎰.12. 设10a >，1314nn na a a +=++，1,2,3,n =证明：数列{}n a 有极限，并求其值.证明：显然11n a +>，1311344nn na a a +=+<+=+，111331144n n n n n n a a a a a a -+-⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()113444n n n n a a a a --⋅=-++134n n a a -<-，()1,2,3,n =，由此，可知{}n a 收敛，设lim nn a a →∞=，在1314n n na a a +=++中，令n →∞取极限，得314aa a=++， 故得到2a =，lim 2nn a →∞=.13. 设()()211ln 1nn f x x n n ∞==+∑， 证明：（1）()f x 在[]1,1-上连续；（2）()f x 在1x =-处可导；（3）()1lim x f x -→'=+∞；（4）()f x 在1x =处不可导.证明：（1）设()()21ln 1n n u x x n n =+， 则()n u x 在[]1,1-上连续，由于()()2211ln 1n u x n n n ≤≤+，()2n ≥，[]()1,1x ∈-，所以()1n n u x ∞=∑在[]1,1-上一致收敛，于是()()1n n f x u x ∞==∑在[]1,1-上连续，对()1,1x ∈-，有()()1nn f x u x ∞=''=∑； （2）因为()()1111ln 1n n n n u x x n n ∞∞-=='=+∑∑，在[]1,0-上一致收敛，所以()f x 在[]1,0-上可导，且()()1nn f x u x ∞=''=∑，[]1,0x ∈-； （3）先证明一个引理： 引理. 设幂级数1nn n a x ∞=∑的收敛半径为R ，且0n a ≥， 则有11lim nn n n x Rn n a x a R -∞∞→===∑∑.对于0R =，不用证明.对于0R >，由于数列1n k k k a R =⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑是递增的，若其有上界，则1n n n a R ∞=∑收敛， 从而1nn n a x ∞=∑在x R =左连续，结论成立， 若其无上界，则1nn n a R∞==+∞∑，于是0M ∀>，*N N∃∈，使得11Nnn n a R M =>+∑， 知0δ∃>，使得当[),x R R δ∈-，有111NNnnn n n n a R a x ==-<∑∑， 从而11Nn nnnn n a x a xM∞==≥≥∑∑，即11lim nn n n x Rn n a x a R -∞∞→===+∞=∑∑.现在回头来证明题目，()()11111lim lim ln 1n x x n f x x n n --∞-→→='=+∑()11ln 1n n n ∞==+∑，由于级数()11ln 1n n n ∞=+∑发散， ()11ln 1n n n ∞==+∞+∑， 从而()1lim x f x -→'=+∞；（4）由()()()111lim lim 1x x x f x f f x ξ--→→-'==+∞-，其中(),1x x ξ∈， 所以()()11lim 1x f x f x -→--不有限，()f x 在1x =处不可导.浙江大学2009年数学分析考研试题及解答1. 求22221cos sin dx a x b x +⎰，()0ab ≠.解：原式222221cos 1tan dx b a x x a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰2t a n 11t a n b d x a ab b x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰1a r c t a n t a n bx C ab a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 2. 求()()22022cos lim11cos arctan t xx xe tdt xex x→---⎰.解：原式()22220252cos lim1cos arctan 1t x x x e tdt xx x xx x xe →-=⋅⋅⋅--⎰2240cos 1lim 5x x e x x→-=()223cos sin lim20x x ex x x x →-=30c o s s i nl i m 20x x x x x →-=20sin 1lim6060x x x x →-==-. 3. 求2ln 1xdx x+∞+⎰. 解：2ln 1xIdx x+∞=+⎰2021l n 111t x d t t t t +∞-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+⎰ 2ln 1tdt t+∞=-+⎰I =-， 所以2ln 01xIdx x+∞==+⎰. 4. 求()()sgn Dx y x y dxdy +-⎰⎰，其中[][]0,10,1D =⨯.解：原式()()110x ydx x y dy dy x y dx =+-+⎰⎰⎰⎰()()11xxdx x y dy dx x y dy =+-+⎰⎰⎰⎰0=.5. 如果()f x 在0x 的某邻域内可导，且()001lim2x x f x x x →'=-， 证明：()f x 在点0x 处取极小值.证明：由()001lim02x x f x x x →'=>-，0δ∃>，使得当00x x δ<-<时，()0f x x x '>-，从而当00x x δ<-<时，()0f x '>；当00x x δ-<-<时，()0f x '<，即f在0x 的左领域上递减，在0x 的右邻域上递增，于是f在点0x 处取得极小值.6. 设(),,f x y z 表示从原点到椭球面2222221x y z a b c∑:++=，()0,0,0a b c >>>上点(),,P x y z 处的切平面的距离，求第一型曲面积分(),,dSf x y z ∑⎰⎰.解：容易知道，椭球面上点()000,,x y z 处的切平面方程为0002221x y z x y z a b c++=， 于是()0002220004441,,f x y z x y z a b c =++，即得()2224441,,f x y z x y z a b c =++，由对称性(){}1,,,0,0,0x y z x y z ∑=∈∑≥≥≥，22221x y z c a b=--，()2222,1,,0x y x y D x y a b ⎧⎫∈=+≤≥⎨⎬⎩⎭，221x y dS z z dxdy =++22244422221x y zc a b c x y a b++=--，()()18,,,,dS dS f x y z f x y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰222281Dc dxdy x ya b =--⎰⎰12281c d abrdr rπθ=-⎰⎰12821r abc dr rπ=⋅-⎰()1122812abc r π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭4abc π=.7. 设()f x 在[],a b 上连续，且[](),min 1x a b f x ∈=，证明：()()1lim 1nb n a n dx f x →∞⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭⎰.解：直接利用，()[],gx a b ∈，()()[]()1,limmax bnnan x a b g x dxg x →∞∈=⎰，令()()1gx f x =，即得结果. 8. 设对任意0a >，()f x 在[]0,a 上黎曼可积，且()lim x f x C →+∞=，证明：()00lim tx t te f x dx C ++∞-→=⎰.证明：()0txu u tef x dx e f du t +∞+∞--⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰，由题设条件可知()f x 在[)0,+∞上有界，()f x M≤，u u u e f Me t --⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，u u e f du t +∞-⎛⎫⎪⎝⎭⎰关于0t >是一致收敛的，在任意[],A δ上，uu e f t -⎛⎫ ⎪⎝⎭一致收敛于ue C -.由广义积分的控制收敛定理， 原式00lim u t u e f du t ++∞-→⎛⎫=⎪⎝⎭⎰00lim u t u e f du t ++∞-→⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰0ue Cdu C +∞-==⎰. 9. 证明()sin xf x x=在()0,1与()1,0-上均一致连续，但是在()()1,00,1-上不一致连续.证明：定义()1sin ,(0,1]1,0xx g x x x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩，()[)2sin ,1,01,0xx g x xx ⎧∈-⎪=⎨⎪-=⎩， 即知()1g x ，()2g x 分别在[]0,1，[]1,0-上连续，从而一致连续，而他们的限制()f x 在()0,1，()1,0-上一致连续.用反正法. 若()f x 在()()1,00,1-上一致收敛，则对0ε∀>，0δ∃>，当()()12,1,00,1x x ∈-，且12x x δ-<，有()()12f x f x ε-<，特别，由柯西收敛定理， 可以推知()0limx f x →存在，但()0lim 1x f x +→=，()0lim 1x f x -→=-， 这是矛盾的， 所以()f x 在()()1,00,1-上不一致连续.10. 设()f x 在[],a b 上可导，导函数()f x '在[],a b 上单调下降，且()0f b '>.证明：()()2cos baf x dx f b ≤'⎰.证明：()cos baf x dx⎰()()()()()11cos f b f a y f x ydyf fy -='⎰()()()()11cos f b f aydy f fξ-='⎰ ()()()1sin sin f b f a f b =-'()2f b ≤'，其中用到了推广的积分第一中值定理.或者利用第二积分平均值定理，得()()()()11cos f b f aydy f f y -'⎰()()()11cos f b ydy f f b η-='⎰()2f b ≤'.浙大2010年数学分析考研试题及解答1. 求()2211limn n k n k+→∞=∑.解：由()221221221n k n n n n n k+=++≤≤+∑， 知()2211lim2n n k n k+→∞==∑. 2. 求()[][]0,0,1sin y xy dxdy π⨯⎰⎰.解：原式()1sin dy y xy dx π=⎰⎰()101cos 1y dy π=-=⎡⎤⎣⎦⎰.3. 求()30sin 1lim sin x x e x x x x→-+. 解：原式()3330sin 1lim sin x x e x x x x x x→-+=⋅ 20sin cos 12lim 3x x x e x e x xx →+--= 02cos 2lim6x x e x x→-= ()0sin cos 1lim 31x x e x x →-+=13=.4. 计算zdxdy ∑⎰⎰，其中∑是三角形(){},,:,,0,1x y z x y z x y z ≥++=，其法向量与()1,1,1相同.解：(){},,:,,0,1x y z x y z x y z Ω=≥++≤由高斯公式zdxdy zdxdy ∑∂Ω=⎰⎰⎰⎰16dxdydz Ω==⎰⎰⎰，()1,01x y x y dxdydz x y dxdy Ω+≤≥=--⎰⎰⎰⎰⎰()11001xdx x y dy -=--⎰⎰()()12201112x x dx ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦⎰()12011126x dx =-=⎰， :1z x y ∑=--，(){},,:,0,1x y D x y x y x y ∈=≥+≤，zdxdy ∑⎰⎰()1Dx y dxdy =--⎰⎰()11001xdx x y dy -=--⎰⎰()()12201112x x dx ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦⎰()12011126x dx =-=⎰.5. 求201sin xdx π+⎰. 解：201sin xdx π+⎰20cos 1sin x dx xπ=-⎰32223022cos 1sin x dx xπππππ⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰()()()3211122222302221sin 21sin 21sin x x x πππππ=--+---()22221242=+--=.6. 求()120ln 11x dx x ++⎰.解：()120ln 11x dx x ++⎰()40tan ln 1tan x d πθθθ=+⎰()440ln sin cos ln cos d d ππθθθθθ=+-⎰⎰4400ln 2cos ln cos 4d d πππθθθθ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰404ln 2ln cos ln cos 8udu d πππθθ-=+-⎰⎰ln 28π=.7. 设1sin nn a a -=，()2,3,n =，且10a >，计算lim3n n na →∞. 解：（1）先证明lim 0n n a →∞=，事实上11sin n n n a a a --=≤，而limn n a A →∞=存在，由于211a -≤≤，n a ，()2,3,n =是同号的，所以lim nn a B →∞=存在，于1sin n n a a -=两边令n →∞，有sin A A =，而得0A =.（2）证1111,22,lim 0,,31,222,n n k a k n a a k k a k ππππππππ→∞<<+⎧⎪==⎨⎪-+<<+⎩，1,2,k =，事实上 （a ）当1a k π=时，0n a =，而lim03n n na →∞=； （b ）当1a k π≠时， 若122k a k πππ<<+时，则0na >；若1222k a k ππππ+<<+时，则0n a <.故此时，仅需证2lim13n n n a →∞=. 而这可以通过用Stolz 公式立即得到：221lim lim 133n n n n n n a a →∞→∞=22111lim 113n n n a a →∞-=-221111lim 113sin n n n a a →∞--=-221122111sin lim 3sin n n n n n a a a a --→∞--=-222201sin lim 3sin x x xx x→=-32201sin lim 3sin sin x x x x x x x x x →⎛⎫=⋅⋅ ⎪-+⎝⎭3011lim32sin x x x x →=⋅-2013lim61cos x x x→=-012lim 12sin x x x→==.8. 设函数()f x 在(),-∞+∞上连续，n 为奇数，试证：若()()limlim 1n n x x f x f x x x→-∞→+∞==，则方程()0nf x x +=有实根. 证明：有题设条件， 存在0A >，使得()0nf A A >,()()0n f A A ->-. ()()n F x f x x =+，n 为奇数，()()10n n f A F A A A ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，()()()()10nn f A F A A A ⎛⎫--=-+< ⎪ ⎪-⎝⎭，于是由连续函数的介值定理， 存在(),A A ξ∈-，使得()0F ξ=，结论得证.9. 证明sin xydy y+∞⎰在[),δ+∞上一致连续，其中0δ>. 证明：由sin 2u du u π+∞=⎰， 可知()0sin xy f x dy y +∞=⎰0s i n 2u x y u d u u π+∞==⎰， 故()0sin xyf x dy y+∞=⎰在[),δ+∞上一致连续， （1）先证sin xydy y+∞⎰在[),δ+∞上一致收敛， 事实上，因为1001sin sin sin xyxy xy dy dy dy y y y+∞+∞=+⎰⎰⎰，由于111200sin sin x y x y dy dy y y -⎰⎰1120sin sin x y x ydy y -≤⎰()1120cos y x x dy yξ⋅-≤⎰12x x ≤-，所以10sin xydy y ⎰在[),δ+∞上一致连续；只需验证反常积分1sin xydy y+∞⎰一致收敛，而用Dirichlet 判别法， 1）122sin Axydy x δ≤≤⎰，2）1y 关于y 递减，且1lim 0y y→+∞=，由狄利克雷判别法， 于是1sin xydy y+∞⎰在[),δ+∞上一致收敛， 对于任意固定0ε>，1A ∃>，使得对一切[),x δ∈+∞，有sin 3Axydy ε+∞<⎰，1211sin sin x y x y dy dy y y +∞+∞-⎰⎰12121sin sin sin sin AAAx y x yx yx ydy dy dy yyy+∞+∞-≤++⎰⎰⎰()12213A x x ε≤--+ε≤，(当123x x Aε-<时)， 即1sin xydy y+∞⎰关于x 在[),δ+∞上一致连续， 故sin xydy y+∞⎰关于x 在[),δ+∞上一致连续. 11. 设{}n a ，{}n b 为实数序列，满足（1）limn n b →∞=+∞；（2）1111n i i i nb b b -+=⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑有界， 证明：若11limn n n n na ab b +→∞+--存在，则lim n n n ab →∞，也存在.证明：记11n nnn na a cb b ++-=-，不妨设lim 0nn c c →∞==，若不然，用n n a cb -代替n a ，而()()111lim0n n n n n n na cb a cb b b ++→∞+---=-，lim lim n n n n n nn a a cb c b b →∞→∞-=+， 往证lim 0n n na b →∞=， 由1111n i i i n b b b -+=⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑有界， 而设界为0M >，由lim 0n n c →∞=知，对任意固定的0ε>，*1N N ∃∈，使得 当1n N >时，有2n c M ε≤； 由1lim 0n nb →∞=，知 对于上述1N ，*N N ∃∈，当n N >时， 有 12N n a b ε<；现有()111n n n n n a a c b b ---=+-=()1111n N i i i i N a c b b -+==+-∑， 而()111112n N n i i i i N n n na a cb b b b M b ε-+=≤+⋅-∑ 22M M εε≤+⋅ ε≤，当n N >， 故lim0n n n a b →∞=.。